PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE FÍSICA
Impreso en el Perú
DERECHOS DE AUTOR RESERVADOS © Autor/Editor: Martín Sandoval Casas. 4372639–999399143
[email protected]
Tiraje: 100 ejemplares
ISBN: 978–9972–33–831–1 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2008 – 10611 Martín Sandoval Casas RUC 10166281437 Fortunato Bedoya 280 – San Borja Primera Edición Impreso en computadora
Printed in Peru
PROLOGO El objetivo de este texto, Problem Problemas as Resueltos y Propuesto Propuestoss de Física Física,, es ofrecer a los estudiantes del curso de Física General de la UNALM, un material de ayuda para complementar la solución de problemas. Cada capitulo desarrollado tiene un fundamento teórico, problemas con solución y problemas propuestos, asimismo se dan estrategias de solución a los problemas en cada capitulo. La idea es implementar un libro de consulta completo, con teoría, estrategias de solución soluc ión de probl problemas, emas, problemas resueltos resueltos,, probl problemas emas propu propuestos estos,, exáme exámenes nes parci parciales ales y finales, experimentos de laboratorio. Esto se logrará con el aporte de los colegas profesores del Departamento de Ingeniería Ambiental Física y Meteorología y sobre todo con las sugerencias y necesidades de nuestros estudiantes. Esta primera edición es el resultado de los años en la enseñanza del curso de Física General que se imparte en la Universidad Nacional Agraria La Molina. En esta edición se incluyen problemas con alternativa múltiple, que han sido evaluados en ciclos anteriores. Un agradecimiento especial al colega Julio Arakaki y a todos los profesores del Depart Dep artame amento nto,, que han col colabo aborad radoo con pro proble blemas mas de Mec Mecáni ánica ca y Ter Termod modiná inámic mica. a. Los exámenes parciales y finales propuestos en este libro han sido proporcionados por la Ing. Reenaty estos2005–I exámenes fueron tomados mientras era coordinadora del curso de FísicaHuatay GeneralEnríquez, en el periodo y 2005–II. Espero con este modesto trabajo, llenar en parte el vacío de la falta de teoría y problemas para el nivel que desarrollamos desarrollamos en la UNALM. El autor.
PRESENTACION
El profesor Martín Sandoval Casas, es Físico y Magíster en Enseñanza de la Física, graduado en la Pontificia Universidad Católica del Perú. Tiene experiencia en el dictado del curso de Física General en lo que respecta a la parte experimental (Laboratorio) y es un connotado docente en el Centro Pre–Universitario de la l a UNALM. Los libros de texto en la Universidad constituyen un material curricular que tiene una influencia notable en la actividad que se desarrolla en el aula debido a que no sólo presentan información, sino que suelen incluir una propuesta didáctica implícita o explícita. Como es sabido, muchos profesores utilizan los libros de texto como guía principal en sus labores docentes. Dada la enorme influencia que ejercen los libros de texto en el aprendizaje de los alumnos, no resulta raro que formen el núcleo de una línea de investigación y actuación orientada a descubrir sus múltiples inconvenientes o defectos y a mejorar, en lo posible su elaboración y utilización. Este problema podría ayudarnos a entender algunas de las dificultades de aprendizaje de los alumnos de enseñanza en los primeros años de la Universidad Nacional Agraria La Molina. Con el fin de situar el marco general en el que se ubica, el libro comienza con una teoría sustentada en el curso de Física General que se imparte en la UNALM, además de un conjunto de problemas propuestos. resueltos, y para afianzar los conocimientos adquiridos, se presenta un conjunto de problemas Cabe señalar que este libro es una guía para el estudiante de los primeros ciclos de la Universidad, ya que pone a disposición una gama de exámenes parciales y finales, y lo más importante, para atacar a solucionar los problemas y ejercicios, presenta estrategias de solución.
Lic. Juan Pesantes Rojas
A mis hijas SANDHY y NATHALY Que son la FUERZA EXTERNA, que aumenta mi ENERGÍA MECÁNICA y mantiene constante mi ENTROPÍA
INDICE
• • •
Vectores – Teoría
01 – 05
Vectores – Problemas Resueltos
06 – 11
Vectores – Problemas Propuestos
12 – 17
• • • • • • • • • • • • • • • • •
Cinemática – Teoría Cinemática – Problemas Resueltos
18 – 26 27 – 44
Cinemática – Problemas Propuestos
45 – 53
Dinámica – Teoría
54 – 56
Dinámica – Problemas Resueltos
57 – 72
Dinámica – Problemas Propuestos
73 – 81
Trabajo y Energía – Teoría
82
Trabajo y Energía – Problemas Resueltos
83 – 90
Trabajo y Energía – Problemas Propuestos
91 – 97
Mecánica de Fluidos – Teoría
98
Mecánica de Fluidos – Problemas Resueltos
99 – 113
Mecánica de Fluidos – Problemas Propuestos
114 – 120
Calor y Termodinámica – Teoría
121– 124
Calor y Termodinámica – Problemas Resueltos
125 – 129
Calor y Termodinámica – Problemas Propuestos
130 – 133
Problemas para medio curso y final
134 – 148
Exámenes parciales y finales
149 – 160
VECTORE VEC TORES S
Martín B. Sandoval Casas.
VECTORES ESCALAR. Es una cantidad que queda descrita totalmente con solo su valor, es decir, su magnitud. Ejemplo: temperatura, longitud, área, volumen, masa, energía, trabajo, potencia, calor, intensidad de corriente eléctrica, potencial eléctrico, etc. VECTOR. Es una cantidad que se describe con dos características características:: magnitud y dirección. Cantid Can tidade adess física físicass que ten tengan gan estas estas car caracte acterís rística ticass se den denomi ominan nan cantidades vectoriales. Ejemplo: posición, desplazamiento, velocidad, aceleración, aceleración, fuerza, campo eléctrico, etc. En general una cantidad física que quede descrita solo con su magnitud recibe el nombre de cantidad escalar, pero si se necesita expresar su dirección para que quede totalmente descrita, entonces, estamos frente a una cantidad física vectorial. La Lass oper operac acio ione ness defi defini nida dass para para los los vect vector ores es so son: n: la su suma ma (s (sum umaa o re rest sta) a) y la multiplicación escalar y vectorial. En Física, las operaciones vectoriales son aplicadas en:
• • • • •
La suma. El cálculo de la resultante de fuerzas de diferente tipo, la resultante de campos eléctricos y magnéticos, etc. La resta. El calculo del desplazamiento, velocidad media, aceleración media, etc. El producto escalar. Es aplicado al concepto de trabajo, flujo de campo, etc. El producto vectorial. Es aplicado al concepto de torque o momento de una fuerza fue rza,, fue fuerza rza sob sobre re un con conduc ductor tor que transp transport ortaa una cor corrie riente nte elé eléctr ctrica ica en presencia de un campo magnético.
SIMBOLO O NOTACION NOTACION.. Los vectores se denotan con letras minúsculas o mayúsculas, pero →→→→ con una flecha encima de ellas o con letra negrita. Así, por ejemplo: A , F , v , p o A, F, v, p. SUMA GRAFICA.– Este método resulta eficaz si se hace en un papel milimetrado, con un transportador y el cuidado debido en cada trazo, el procedimiento se da a continuación. Dados los vectores
→
→
→
A , B y C :
→
A
→
•
Cogerr cu Coge cual alqu quie iera ra de los los vect vector ores es dado dadoss y ubicarlo en el origen de coordenadas.
B
→
C
• Coger otro vector y ubicarlo a continuación
del ant anteri erior. or. Rep Repeti etirr esto esto cua cuanta ntass vec vector tores es sean necesarios.
→
Final C
→
→ → → • Finalmente unir el punto de partida (Inicio) → con el punto de llegada (Final). Este vector R = A + B + C será el vector suma o vector resultante.
Inicio
B
→
A
1
VECTORE VEC TORES S
Martín B. Sandoval Casas.
SUMA ANALITICA ANALI TICA (Método del paralel paralelogramo) ogramo) Este método tiene la restricción de usarse solo para sumar dos vectores. Pero, si son más de dos los vectores a sumar y queremos aplicar este método, entonces debemos empezar sumando dos vectores, el resultado sumarlo a un tercero y así hasta terminar el proceso. →
Dados los vectores
→
→
A y B :
A
→
B →
B
• Unir los inicios de los vectores.
→
A →
B
• Trazar paralelas a los vectores.
θ
θ →
A→
• Trazar la diagonal que sale del vértice
B
de los vectores y se dirige hacia la intersección de las paralelas trazadas.
→ →
R = A + B
→
θ
β
→
θ
A
DEDUCCIÓN DE LA FORMULA (Método del paralel paralelogramo) ogramo) En el triangulo rectángulo MPQ.
→ → → →
B
θ M
2
R = A + B
→
θ
N A
2
Q
+ NP) Pero MP = (MN
θ
θ
β
2
+ PQ MQ = MP
2
MQ = ( MN + NP) 2 + PQ
P
2
θ)2 + (Bsenθ)2 R 2 = (A + B cos R 2 = A 2 + B2 cos2 θ + 2AB cos θ + B2sen 2θ Sabiendo que: B2 cos2 θ + B2sen 2θ = B2 (cos2 θ + sen 2θ) = B2 →
Se obtiene
→ →
R = A + B = A 2 + B2
+ 2AB cos θ
Para hallar la dirección β, aplicamos la ley de senos de donde obtenemos: R senθ
A
= senβ
∴
2
A β = arcsen R senθ
VECTORE VEC TORES S
Martín B. Sandoval Casas.
COMPONENTES RECTANGULARES Si definimos un eje de coordenadas, x – y en el plano ó x – y – z en el espacio, este será de gran utilidad para la ubicación y medición de las cantidades físicas que se desean medir. En este caso se introduce el concepto de vector unitario en cada uno de los ejes, ˆi para el eje de las abscisas (x), jˆ para el eje de las ordenadas (y) kˆ para el eje z. y
→
→ , es exp expre resa sado do como como una una Ahora el vector A combinación lineal de los vectores unitarios iˆ y jˆ
A
AY
→
A = A X ˆi + A Y jˆ
AX
x
MODULO MODUL O DE UN VECT VECTOR OR EN COM COMPONE PONENTES NTES RE RECTANG CTANGULAR ULAR ES Se puede notar que las componentes rectangulares son los catetos y el vector resultante la hipotenusa de un triangulo rectángulo, por lo tanto, se puede hallar el
y AY
modulo Pitágoras.aplicando el muy útil y famoso teorema de
→
A
AY
→
A
θ AX
x
Tam ambi bién én
= A X 2 + AY 2
pod podem emos os
expr expres esar ar
las las
comp compoonent nentes es
→
rectangulares en función del vector A y el ángulo θ. →
→
A X = A cosθ y AY = A sen θ
Si queremos hallar la dirección del vector, entonces podemos aplicar θ = arctg AY
A X
VECTOR UNITARIO Es un vector cuya magnitud es la unidad, muy usado en Física para dar dirección a vectores, los vectores vector es unitar unitarios ios ˆi , jˆ , no son los únicos, en si tenemos infinitos vectores unitarios. La figura esquematiza este hecho.
y →
ˆ ˆ = A X i + A Y j AX2 + AY2 A A
ˆ= → µ
x 3
VECTORE VEC TORES S
Martín B. Sandoval Casas.
SUMA VECTORIAL Dados los vectores:
→
→ → A± B
→
B = B X iˆ + BY jˆ , la suma es:
y
A = A X iˆ + AY jˆ
= (A X ± BX )ˆi + (A Y ± BY ) jˆ
→ → → Si A y B son fuerzas, entonces → A + B seria la fuerza resultante. → → → Si → A y B son el vector posición inicial y final respectivamente, entonces B − A seria el vector desplazamiento.
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES → → A.B
→ →
= B . A = A X .BX + A Y .BY (Es conmutativo)
→ → → → →→ A . B = B . A = A B cos θ
(Esta relación es muy usada para hallar el ángulo entre dos vectores) →→ A. B cos θ = → → A B
PROYECC PROYE CCION ION DE UN VECT VECTOR OR PRODUCTO ESCALAR)
→
SOBRE A SOBRE
EL VEC VECTOR TOR
→
B (APLICACIÓN
DEL
→
A
El vector buscado es:
→
θ
B
Acosθ
→
→ → P →B A
P
→ B
→
A
=
→
→
B
A cos θ → B
→ → → A . B B = → → B B
EN TRES DIMENSIONES Ángulos Direc Ángulos Directores tores.. Cada uno de estos ángulos, indica la dirección con respecto a cada eje cartesiano. z Az
→
A
γ
:
Ángulo entre A y el eje x.
β
:
Ángulo entre A y el eje y.
γ
:
Ángulo entre A y ele eje
β
α Ax
Ay
y
z. x 4
→
α
→
→
VECTORE VEC TORES S
Martín B. Sandoval Casas.
5
VECTORE VEC TORES S
Martín B. Sandoval Casas.
Cósenos Directores cosα =
A X →
A
cosβ =
,
AY
cosγ = =
→
A
A Z →
A
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 (Tarea: demostrar la igualdad)
∴
→
Sean los vectores:
→
y
ˆ A = A X iˆ + A Y jˆ + A Z k
ˆ B = B X iˆ + B Y jˆ + B Z k
SUMA VECTORIAL → →
ˆ A± B = ( A X ± B X )iˆ + ( A Y ± BY ) jˆ + ( A Z ± B Z )k
PRODUCTO ESCALAR → →
→ →
→ →
→ →
A . B = B . A = A X B . X
+ AY B . Y + A Z B . Z
→ →
A . B = B . A = A B cos θ
PRODUCTO VECTORIAL → →
iˆ
jˆ
A x B = A X AY
ˆ k
→
A Z = iˆ( AY B . Z − A Z . BY ) − jˆ( A X . B Z − A Z B . X ) + k ˆ( A X . BY − AY . B X ) = C
B X BY B Z →
→
→
C ⊥ A
→ →
y
→
C ⊥ B
→ →
Propiedad: A x B = − B x A , esta operación no es conmutativa. → →
A x B
→ →
= A . B sen θ
Esta operación es aplicada a:
•
Geométricamente, su magnitud representa el área del paralelogramo formado por los vectores.
•
Físicamente,, Si los vector Físicamente vectores es A y B fueran posición y fuerza, el producto seria el torque o momento producido por la fuerza.
→
→
6
VECTORE VEC TORES S
Martín. Sandoval Casas.
PROBLEMAS RESUELTOS – VECTORES
2. Exprese la fuerza F como un vector, en
1. Halle el módulo de la resultante en el siguiente sistema de vectores. 53 º 7 15
∧
función de los vectores unitarios ∧i , j y ∧
(verr figura). figura). Si el módul móduloo de F es k . (ve 170 N.
z
Solución: 9
y 12 8
x
ˆ F , en la Hallamos un vector unitario µ dirección del vector buscado. Ubicamos dos puntos por donde pase el vector F
La resultante es: →
→
→
→
→
Solución:
→
R = A+ B+ C+ D+ E ….(*)
z (0, 0, 9)
Usamos los vectores auxiliares → x . →
→
→
B = A + x
(1)
→
C = A+ 2x
(2)
→
(3)
→
→
→
→
D = A + 3 x →
→
→
F
9
y 8
x
E = A+ 4 x
(4)
De (4) se tiene:
→
µˆ F =
12 (12, 8, 0)
ˆ − 12ˆi − 8 jˆ + 9k 122 + 82 + 9 2 ˆ − 12ˆi − 8 jˆ + 9k
x
=
→ → E− A
17 µˆ F = → El vector tor buscado F lo hal hallamo lamoss
(5)
4
→
multiplicando el módulo del vector F
(1), (2), (3) y (4) en (*) →
→
→ →
ˆ F . por su vector unitario µ
(6)
R = 4 A + 6 x + E
→ → (5) en (6)
R =
F
5 → → A+ E 2
5 2 R = 7 + 15 2 + 2.7.15 cos 53 º 2
=
5 2
400
∴
R = 50
7
= F µˆ F
→ 170 − 12ˆi − 8 jˆ + 9k ˆ F= 17
(
→ F
)
ˆ = −120 ˆi − 80 jˆ + 90k
3. Sean los vectores: → a
→ →
ˆ. b = − 2 ˆi − 2 jˆ + 4 k
ˆ y = 3ˆi + 2 jˆ + 6 k
→
ˆ , B = 2ˆi − 2 jˆ A = 6ˆi + 10 jˆ + 16 k → → C
=10
2
y
D
=15
→
→
El vector vector C está en el plano xy, y D está en el plano yz
Halle el vector que resulta de proyectar el vector b sobre el vector a .
z
Solución:
→
D
→
b
37º
θ →
P
→
→
45º
a
→ b a
x
Solución: → → → → →
→ →
cos θ =
R = A + B + C + D
y además la proyección
Te Tene nemo moss que que expr expres esar ar los los vecto vectore ress → → → → en función de los vectores A, B, C y D
tiene la dirección del vector a . → → ˆ→ P → b = b cos θ µ a
a
= b
a
=
→ →→ a . b a
a
a
→ →→ a . b a
→
ab a
→ = ( b . µ ˆ → )µ ˆ → a
unitarios iˆ, j ˆ, k ˆ . A →
...(1)
B
a
→ C
El vector unitario en la dirección de es:
a
→ C
→ ˆa µ
=
ˆ 3ˆi + 2 jˆ + 6k 32
(1)
ab
→
→ → P → b
→
C
Como se puede ver la magnitud de la proyección es b cosθ , pero a.b
y
+ 22 + 62
⇒ µ ˆ a =
ˆ = 6ˆi + 10 jˆ + 16k
(2)
ˆ = 2 iˆ − 2 j
(3)
=
→
→
C cos 45º ˆi + C sen 45º jˆ
(4)
= 10 ˆi + 10 jˆ →
→
D = D cos 37º jˆ + D sen37º k ˆ
ˆ 3ˆi + 2 jˆ + 6k 7
→
(5)
ˆ D = 12 jˆ + 9k
3iˆ + 2 jˆ + 6k ˆ 3iˆ + 2 jˆ + 6k ˆ P a b = ( − 2iˆ − 2 jˆ + 4k ˆ ). 7 7
(2), (3), (4) y (5) en (1)
→ →
ˆ ˆ ˆ ∴ Pa b = 6i + 4 j + 12k 7
alle le el vect vectoor resul esulta tant ntee de lo loss 4. Hal vectores dados. Si,
→
ˆ R = (6 + 2 + 10) ˆi + (10 − 2 + 10 + 12) jˆ + (16 + 9) k
∴
→
ˆ R = 18ˆi + 30 jˆ + 25k
5. Hall Hallee la ex expr pres esió iónn vect vector oria iall de un vector de magnitud 5 y perpendicular a los vectores: →
ˆ A = − 2 jˆ + k
Las soluciones a la ecuación cuadrática encontrada, son los valores para m. (m − 2)(m + 1) = 0 ⇒ m = 2 ∧ m = − 1
→
y
ˆ B = ˆi + 2 jˆ − 2k
∴
Solución:
7. Dados
El producto vectorial nos proporcionara un → vector perpendicular a los vectores dados A → y B , con esto podemos tener un vector unitario. Para obtener el vector pedido lo multip mul tiplic licamo amoss por su mag magnit nitud ud 5, seg según ún dato.
→ → AxB → C = ±5 → → AxB iˆ →
→
AxB = 0 1
= ˆi + 2 jˆ;
los
B = 3iˆ + 4 jˆ
=
2
∴
2
Solución: iˆ
jˆ
k ˆ
A x B = 1
2
0 = ( 4 − 6) k ˆ = −2 k ˆ
3
4
0
→
→
→
ˆ=0 C .( A x B ) = (2iˆ + 3 jˆ). − 2k
jˆ
ˆ k
−2
1
2
−2
→ → →
C .( A x B ) = 0
∴
8. Se tiene tiene el vect vector or::
→ →
ángulo que forma el vector A+ B con el eje Z.
+ 12 + 22 = 3
C=±
5 3
ˆ) ( 2ˆi + jˆ + 2k
Solución:
ˆ y A = mˆi − 2 jˆ + k
de " m" los los ve vect ctor ores es A y B son perpendiculares? Solución: → formenn 90 90º, º, el y → Para que A B forme producto escalar de los dos vectores debe ser nulo (0).
⇒ cos ( A, B ) = 0
A.B = 0 ⇒ 2m
el
→
= ˆ ¿Pa ¿Para ra que valor valores es B 2m ˆi + m jˆ − 4k
→
A = 5iˆ + 7 jˆ y
¿Cuá uáll es el vector B = −5iˆ − 7 jˆ − 3k ˆ ¿C
6. Dados los vectores:
A ⊥ B
y
C = 2ˆi + 3 jˆ . Calcule: C.( AxB)
AxB
vectores:
→ →
ˆ y AxB = 2ˆi + jˆ + 2k
A
m = 2 ∧ m = −1
→ → Hallamos el vector A lueg egoo + B , lu haciendo uso del producto escalar se calcula el ángulo que este vector forma con el eje Z para el cual lo representamos por un vector unitario en la dirección de Z. →
→
ˆ Z −3k ˆ y µ A+ B =
ˆ = k
− 3k ˆ.k ˆ = −1 =
ˆ Z ( A + B ). µ
cos θ =
ˆ Z A + B µ
3 x1
θ = arccos− 1 = 180º
∴
2
− 2m − 4 = 0
θ = 180º
9. Sean los vectores: → A = 3iˆ + 2 jˆ y B = −2 iˆ + 3 jˆ
→
11. Sean los vectores: r 1 = (a 2 + b 2 )ˆi + ab jˆ
→
→ → → → Halle el vector: A+ B x A− B
y
→
r 22
=
20 ˆi + 6 jˆ .
Si r 2 = 2 r 1 . Determine Si
a y b .
Solución:
Solución:
Comparando componentes se obtiene: →
→+ B → = ˆi + 5 jˆ A
→
A − B = 5ˆi − jˆ
→ → → → A + B x A− B =
ˆi
jˆ
ˆ k
1
5
0
5
−1
0
ˆ = −26 k
a2
+ b2 = 10
(1)
ab = 3
(2)
Reemplazando (2) en (1) :
→ → → → ˆ ∴ A + B x A − B = −26 k
a 4 − 10 a 2
+ 9 = 0 ⇒ (a 2 − 1)(a 2 − 9) = 0 ∴ a = ±1 ∧ b ± 3 ∨ a = ±3 ∧ b ± 1 12. Halle un vector unitario perpendicular
→
10. Dados los vectores A = 5ˆi + 3 jˆ − 2k ˆ y
al plano que forman los vectores A y B. El lado del cubo es “a”.
→
z
ˆ . Halle un vector B = ˆi + 3 jˆ + 2k unitario perpendicular al vector suma. Solución: Hallamos el vector suma →
→
(1)
A+ B = 6ˆi + 6 jˆ
El vector a determinar debe ser unitario µˆ ⊥ = x iˆ + y j ˆ ⇒ x 2 + y 2 = 1 (2)
→
(A + B ). ˆ⊥ µ
=0
⇒ 6 x + 6 y = 0 ∴ x = − y
(3)
Reemplazando (3) en (2) se obtiene:
x
=±
2 2
y
=
y
A
x
Solución:
áfic De la gr gráf icaa dada dada ob obte tene nemo moss los los vectores A y B . → → y ˆ = − a i ˆ − a jˆ B ˆ A = −a i − a k 2 2
y perpendicular al vector suma →
B
2 2
∴ µ ˆ ⊥ = ± 22 iˆ 22 jˆ
Por lo tanto el vector perpendicular al plano que forman estos vectores, lo calc calcul ulam amos os con con ayud ayudaa del del pr prod oduc ucto to vectorial.
µˆ ⊥ = ±
→
→
→
→
AxB AxB
→ → A x B
iˆ
14. Sabiendo que la figura es un cuadrado
ˆ k
jˆ
a2
= −a 0 −a = 2 −a −a 0 2
a
2
ˆ ⊥ = ± 22 µ
→
de lado “L” .Expres .Expresee el vecto vectorr x en
(− iˆ + jˆ + k ˆ )
→
2
( −iˆ + jˆ + k ˆ)
a
2
2
→
función de M y N →
ˆ iˆ + jˆ + k − =±
2
2 1 +1 +1 ˆ ˆ ˆ ∴ µ ˆ ⊥ = ± − i + j + k 3
M
→
x
3
→
N
13. Calcule el vector h en función de los
Solución:
vectores a y b , sí AC = Diámetro.
B
→
M
→
b
→
x
→
h
30º
A
C
→
a →
N
Solución: Por el hecho de AC ser diámetro de la circunferencia, entonces el ángulo B es rectángulo.
El modulo de x es: x = ( L −
2 L) 2
→
Un vector unitario de x es: ∧
B
→
→
µ x→
→
b
→
→
L
2
= ( M + N )
→ →
h
A
→
m30º
M
C
→
→ ∧
El vector buscado es: x = x µ →x
m →
x
∆MBC: m = bcos30º ...(1)
→
= (L −
2 2
L)
→
( M+ N) L 2
→
= (1 −
→
2 ( M+ N) ) 2 2
∆ABC: b = a cos30º ..(2) (2) en (1) y obtenemos: m
→
→
b+ h
→
→
→
= m ⇒ h = m −
→
h
=
→
b
=
3→ → a − b 4
3
=
4
a
3→ → a− b 4
∴
→
x
2 − 1 → → = M + N 2
→
15. Sea
ˆ el r (t ) = (4t + t )iˆ + 3t 4 jˆ − 5t k vector posición ión que describe la tray trayec ecto tori riaa de un unaa part partícu ícula la que que se mueve en el espacio. Determine: 3
2
16. Sea
→
a
= t 2iˆ + 2t jˆ − k ˆ la aceleración de
una partícula. Determine la velocidad y la posición de la partícula para t = 2 s. → → Si v ( O ) = 0 y r (O ) = 5iˆ
→
d r (t )
Solución:
dt
La velocida idad de la partícu ícula la hallamo hal lamos, s, int integr egrand ando, o, de la sig siguie uiente nte relación.
→
d 2 r (t ) dt 2
De una interp interpretac retación ión física a estas derivadas.
a (t ) =
→
v (t )
Solución:
=
d r ( t ) = (12t 2 + 2t )ˆi + 12t 3 jˆ − 5k ˆ dt →
→
∫ d v (t ) = ∫ a (t )dt = v (t )
⇒
∫
(t 2 iˆ + 2t jˆ − k ˆ )dt =
t 3 iˆ + t 2 jˆ − t k ˆ + C 3
⇒ 0 = C
repres resent entaa el cam cambio bio de Si r (t ) rep posición de una partícula, entonces la primera derivada de esta función se denota por un vector v (t ) =
d r ( t ) dt
que que repr repres esen enta ta la
primera
de
v (t ) =
dt
re repr pres esen enta ta la acel aceler erac ació iónn de la partícula, para cualquier tiempo t dado y se denota con la letra a .
3
→
→
d r (t )
v (t ) =
r (t )
d r (t )
t 2 jˆ − t k ˆ v (t ) = iˆ +
La posición de la partícula la hallamos de la siguiente relación.
→
La segunda segunda der deriva ivada da de r (t ) o la
t 3
→
∴
ve velo loci cida dadd de la part partíc ícul ulaa para para cualquier tiempo (t ))..
→
C problema. Hallamos el vector v = 0 usando usa ndo la condic condición ión inici inicial al ( O ) .
→
d 2 r ( t ) d d r ( t ) = ( ) = (24 t + 2)ˆi + 36 t 2 2 dt dt dt
dt
→
Donde C es un vector que representa la constante de integración y depende de las cond condic icio ione ness in inic icia iale less del
d v (t )
→
→
→
⇒
dt
∫
→
∫
d r (t ) = v (t )dt
3
=
t
∫ 3 (
4
t
iˆ + t jˆ − t k ˆ)dt = 2
12
3
iˆ +
t
3
2
jˆ −
→
t
2
Halla llamo moss el vector tor C us usan ando do la → condición inicial r (O ) = 5iˆ . ⇒ C = 5iˆ
∴
→
r (t )
=(
t 4
12
+ 5)iˆ +
t 3 3
jˆ −
t 2 2
k ˆ
k ˆ + C
VECTORE VEC TORES S
Martín. Sandoval Casas.
PROBLEMAS PROPUESTOS - VECTORES 1. La figu figura ra mues uestra tra un siste istema ma de vec ecto tore ress unit unitar ario ioss. Dete eterm rmin inee el módu ódulo y la dir direcci eccióón del del vec vector tor resultante.
→ → →
→
4. Se muestran los vectores A , B , C y D . Halle el modulo de la resultante si D = 8 y C = 3. → C
→
D
60º →
B →
Rpta. 14 Rpta.
29 ; arctg(0,4)
A
5. Halle el modulo del vector resultante del sistema de vectores que se muestra en la figura, si A = 3 y E = 4.
2. En la figura que se muestra, halle el modulo de la resultante de los vectores →
→
si B = 4
C
→
D
E
B
53º
C
→
→
→
B
A
→
→
G
G
→
Rpta. 5
E
F
→ →
Rpta. 10
→
→
A
→
6. En la figura se muestra dos cubos. Si el volumen del cubo mayor es 8 veces el del cubo menor, determine el vector:
F
D
→ G
3. Determine el vector unitario paralelo a la resultante del conjunto de vectores mostrados. Si la arista del cubo mide “L”.
= 2 6uˆ1 + 5uˆ 2 ,
donde uˆ1 es el don
vector unitario a lo largo de AB y uˆ 2 es el vector unitario a lo largo de CD.
z
z
→
B
B → →
A
C
A
y
x
x
D
ˆ Rpta. 5 jˆ 2k
10 Rpta. 10 (−3iˆ − jˆ)
+ 13
y
C
VECTORE VEC TORES S
Martín. Sandoval Casas.
7. La figura muestra un cubo de arista a = → → → 4 m. Exprese 2 A – B +3 C , en m. z
10. Ha Hall llee el vect vector or un unit itar ario io para parale lelo lo a → → b− a
z
→
→
1
C
b2
3
→
B
y
→ a
1
2
y
x
→
A
Rpta.
x
3 ˆ ˆ ˆ (i + j + k ) 3
ˆ Rpta. − 8ˆi + 20 jˆ − 4k
→
→ , si su modulo es 8. Halle el vector P
ˆ 11. Dad Dados os los vecto vectores res P = 2iˆ + 4 jˆ + 4k 6
→
y Q = 4i ˆ + 3 jˆ , determine el cociente →
→ de la proyección de P sobre Q entre
z
→
→ la proyección de Q sobre P .
Rpta. 1,2
y
→
2 x
4
→ → a x b respectivamente. Halle → → a.b
2
Rpta.
− 2iˆ − jˆ + k ˆ
9. Se sabe que al sumar las tres fuerzas que se indican con una cuarta fuerza, se obtiene una fuerza resultante de modulo 50 N y que forma 53º con el semieje +x. Determine la cuarta fuerza, en N.
→
y
b →
F1 = 50N
z
3
Rpta. 4
-4
→
12. Los vectores a y b de la figura tienen magnitudes 3 y 5 unidades
53º
a
x
4ˆ k 3 →
45º
los vector tores: a 13. Sean los -4
→
= ( 2 ; − 1 ; 3 )
→
b = (5;1; 3) ,
c
= (1;1;0 ) .y
→
F3 = 20N Rpta.
-7
d = ( −5 ; 3; 8)
F2 = 60N
Halle los vectores: →
− 38iˆ + 66 jˆ
v
14
→
→
→
= a− 2b+ 3c
→
,
→
→
→
y w = 2 a + b − 3 d
VECTORE VEC TORES S
14. Sean
Martín. Sandoval Casas.
los
21. Sean los vectores:
vectores:
→
→
a = ( x + y + z ; 3 ; − 2)
→
b →
c
= (2 ; − x + y + z ; x +
a
z )
→
y.
b
y
ˆ = 3iˆ + 2 jˆ + 6 k
= −2iˆ − 2 jˆ + 4k ˆ . Halle el vector que
resulta de proy resulta proyectar ectar el vecto vectorr b sobre el vector a .
= (3 ; 5 ; 2) →
→
→
Halle x,y.z, si a + 2 b = c
22. →Dado los siguientes→vectores: ˆ y B A = iˆ − 2 jˆ + 3k
15. Se tiene los siguientes vectores: → → ˆ A = 4iˆ + 8 jˆ +12k , B = 2iˆ − 4 jˆ y
= 2iˆ − 3 jˆ + k ˆ
→
→
Halle: Pr oy→ A y Pr oy→ B B
→
C es
un vector situado en el plano YZ con una inclinación de 45° con el eje positivo Y, está dirigido hacia el origen y tien tienee una una ma magn gnitu itudd 10 2 . Halle el
A
23. Dado los siguientes vectores: →
A
→
= 10iˆ + 20 jˆ + 3k ˆ y B = −10 jˆ + 12k ˆ
Halle: → → a. A x B
→ → →
módulo de la suma A+ B+ C
→
→
b. El ángulo entre los vectores A y B 16. Dado los siguientes vectores: → → , y A = 4iˆ + 2 jˆ + 6k B j k ˆ , = −5 ˆ + 10 ˆ → ˆ ˆ ˆ C = −2i + 8 j − 7 k Halle la siguiente expresión:
→ →
c. A . B → y Pr oy→ B → d. Pr oy→ A B
24. Dados los vectores:
→ 1→ → → → A+ B + C + A− 2 B 2
→
→
→
A
= 2ˆ ˆi + 5 jˆ y
B
→ →
→
→
25. Sean los vectores A = 3iˆ + 2 jˆ y →
= −2ˆ ˆi + jˆ − 2k ˆ
B
= −2 iˆ + 3 jˆ . →
→ →
→
Halle el vector: A +B xA −B
→
26. Se tiene iene el vec vector: tor: A = 5ˆi + 7 jˆ y el →
vector B = 5ˆi - 7 jˆ - 3k ˆ . ¿Cuál es el
= 6ˆ ˆi − 10 jˆ
→
27. Determine el área de un triángulo, si sus vértices son: P(3,–1,2) , Q(1,–1,–3) y R(4,–3,1).
20. Dado los siguientes vectores: →
ˆ y B ˆi + 4 jˆ + 5k A = 2ˆ
→
ángu ángulo lo que que fo form rmaa el vect vector or ( A + B ) con el eje Z.
Determine el módulo, la dirección, y el → → vector unitario de 3 A + B →
→
Calcule: C .( A x B )
18. Determine el área de un triángulo, en forma vectorial si sus puntos son: P(3,– 1,2), Q(1,–1,–3) y R(4,–3,1) 19. Dado los vectores → →
→
A = ˆi + 2 jˆ; B = 3 ˆi + 4 jˆ y C = 2ˆi + 3 jˆ
17. Determine un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores ˆ y B A = 4ˆˆ i − jˆ + 3k
A
= 3ˆ ˆi + 2 jˆ − k ˆ ,
Halle:
→
→
→
→ →
→
28. Si A = 4, B = 5, C = 6 y A + B + C = 0 ,
→ →
a) A. B
→ . B → + A → .C → + B → .C →. Determine A
→ →
b) A x B
15
VECTORE VEC TORES S
Martín. Sandoval Casas.
29. Determine el vector unitario perpendicular al plano determinado por → 3 jˆ − k ˆ . A = 2iˆ − 6 jˆ − 3k ˆ y B = 4iˆ +
33. Aver verig igua uarr cuál cuál de lo loss si sigu guie ienntes tes vectores no es un vector unitario
→
a)
30. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son las correctas? a) La m mag agni nitu tudd de la lass co comp mpon onen ente tess b)
c) d)
e)
b)
→
1ˆ 3ˆ i− j 2 2
p = →
q
= Senθ ˆi - Cosθ jˆ
→
de un vector no puede que la del propio vector.ser mayor Si la componente de un vector sobr sobree un eje eje es nula nula,, pode podemo moss co conc nclu luir ir qu quee la magn magnit itud ud del del vector también lo es. Si un vecto ectorr eess pper erpe pend ndic icul ular ar a uunn eje, eje, la comp compon onen ente te del del vect vector or sobre dicho eje es nula. Si un vect vector or es para parale lelo lo a uunn eeje je,, llaa magnit mag nitud ud de la com compon ponent entee del vector sobre el eje es igual a la del vector. Si ambas componentes recta rectang ngul ular ares es de un vect vector or son son
c) d ) e)
3 4 s = − 5 iˆ + 5 jˆ → 5ˆ ˆ 3ˆ t = i+ j + k 2 4 → 1 ˆ 1 ˆ 3ˆ w= i+ j − k 3 3 3
34. Dados los puntos A (1,–2,–3) y B (2,3,– 2), halle: → → a) Lo Loss vect vector ores es ppos osic ició iónn A y B y su modulo correspondiente. b) El vector desplazamiento de A hacia B . c) vec tor unitar tario iollos B tores hhaci acia A A. yB d) El El vector ááng ngul uloouni en entre tre osdevvec ecto resa A .
nulas, nu las, pod podemo emos s con conclui cluirr que la magnitud del vector también lo es. → → →
31. Dados los vectores a , b y c perpendiculares entre si; con las magnitudes de estos vectores se forman un paralelepípedo rectangular de aristas a, b y c. El volumen del mismo se puede expresar como: → → → a) 2( a + b + c )
→
35. Sean los vectores: A = 6iˆ + 3 jˆ − k ˆ , →
→
ˆ y C = 5iˆ + 4 jˆ − 2k ˆ . B = 2iˆ + 3 jˆ + k →
→
→
Calcule: 3 A+ 2 B − 4 C
36. Dado los siguientes vectores: →
→ → →
b) ( a x b x c )/2
→
ˆ y B = −5 jˆ + 2k ˆ A = 5ˆi + 2 jˆ + 3 k
c) 2 a . ( b + c )
Halle el ángulo “θ” comprendido entre
d) →a . ( →b x →c )
los vectores A y B
→
→ →
→ →
→ → →
37. ¿Cuál de los siguientes vectores es un vector unitario?
e) 2 ( a x b x c ) 32. Si el triángulo pqr es equilátero de lado “G”. Halle el módulo de la resultante. Si G es el baricentro.
a) b) c) d) e)
16
ˆ iˆ + jˆ + k 1ˆ 3ˆ i − j 2 2 1ˆ 1ˆ 1 ˆ i + j + k 3 3 3 ˆ ˆi + 1 jˆ − 1 k 2 2 3ˆ 3ˆ 3 ˆ 3 i + 3 j + 3 k
VECTORE VEC TORES S
Martín. Sandoval Casas.
38. La figu figura ra mo most stra rada da es un cuad cuadra rado do,, → ha halla llarr el ve vect ctor or x en fun funció ciónn de los →
41. El gráfico mostrado, determine: → → a) A x C b) Un vector vector unita unitario rio en la dire dirección cción → de A
→
vectores A y B
z →
A
→
A
12
39. Dados los puntos en el espacio A = (2, –3, 5) B = (–2, 5,–3). Determine: Determine: → → → x posición A a) Los vectores y B .
→
C
→
→
→ B b) El modulo de los vectores A y B .
4
c) El vec ecto torr des desplaz plazam amie ient ntoo de A hacia B. d) El ángul nguloo entr entree los los vect vectoores res →
→
42. Si se tiene un vector 26 unidades en la → ˆ y dirección direcc ión del vecto vectorr A = 3ˆi + 4 jˆ + 12 k un segundo vector de 30 unidades en la → ˆ. dirección del vector B = 5ˆi + 10 jˆ + 10 k Calcule:
A y B →
→
40. Del gráfico siguiente: Si A = 14u, B = →
9 5 u y C = 21 u. Determine:
a) El ááng ngul uloo en entre tre llos os vvect ector ores es.. b) El vector resultante. c) Ha Hall llee la com compo pone nent ntee vec vecto tori rial al de A en la dirección de B.
→ → → a) A + B + C → → → b) ( A x B ). C
→
→
c) El ángulo entre A y B d) El área del paralelogramo formado por los vectores
→
43. Exprese el vector A en términos de los vector vec tores es uni unitar tarios ios rec rectan tangul gulare ares. s. A =
→
B y C
24.
e) El vector que resulta de proyectar →
3
x
→
B sobre A
z
A 6
→
C
A
y 3 x
2
B
17
y
VECTORE VEC TORES S
Martín. Sandoval Casas.
44. La figura es un hexágono regula regular, r, cada lado lado y la lass di diag agon onal ales es son son vecto vectore res. s. Encuentre la resultante en función de los vectores A, B y C.
48. Sean los puntos A (1, 1,2) y B (2,3,5). Halle: a) El vvect ector or que se dir dirige ige B ha hacia cia A. b) El modulo del vector BA c) Su vecto vectorr uuni nitar tario io de BA
45. En la figura mostrada, halle el vector resultante en función de los vectores → → f y d . → →
a
c
→
f
→
e
→
b
→
d
46. Hallar Hallar el vect vector or X en función de los vectores A y B , si G es baricentro y M es punto medio. →
A
→
B →
x
→
Hallee el vec vecto torr x en función de los 47. Hall vectores A y B , sabiendo que A = B .
→
A
→
B
→
x
18
CINEMÁ CIN EMÁTIC TICA A
Martín. Sandoval Casas.
CINEMÁTICA La cinemática es una parte de la l a mecánica, que estudia el movimiento de los cuerpos sin indagar en el ¿Por qué?, es decir solo evalúa variables de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. En este capitulo es muy importante conocer la posición del móvil en función del tiempo, de allí se puede predecir las posiciones sucesivas para cualquier tiempo. Si estamos en tres dimensiones conocemos la posiciónsi x(t), y(t), z(t), podremos determinardel la trayectoria de se la partícula. Poryejemplo en astronomía se conoce la ecuación de trayectoria Sol y la tierra puede predecir los eclipses que van a ocurrir a futuro. Para abordar el desarrollo, debemos precisar algunas definiciones previas:
• SISTEMA DE REFERENCIA z Es un eje de coordenadas espaciales a pa part rtir ir del del cu cual al se toma tomann me medi dida dass del del movimiento, este sistema de referencia debe ser Inercial, es decir estar en reposo o con velocidad constante MRU.
O
y
x Un ejemplo real de sistema de referencia lo constituye una torre de control en un aeropuerto; los móviles en estudio son los aviones que tienen que aterrizar, para este fin los técnicos en la torre de control toman datos de altura, velocidad, etc. y buscan las óptimas condiciones para un aterrizaje exitoso.
• MOVIL Es el objeto de estudio, del cual se va a describir su movimiento, medidos a partir del sistema de referencia elegido.
z
• VECTOR POSICIÓN →
r A
Es un vector trazado desde el origen de coordenadas del sistema de referencia hacia la ubicación instantánea del móvil.
O
• MOVIMIENTO
x
Si el vector posición cambia con el tiempo, entonces decimos que hay movimiento.
19
y
CINEMÁ CIN EMÁTIC TICA A
Martín. Sandoval Casas.
• TRAYECTORIA z
Las continuos cambios del vector posición dan origen a la trayectoria descrita por el móvil (líneas punteadas). Esta trayectoria da origen al nombre del movimiento. Así por ejemplo: Movimiento Rect Rectil ilín íneo eo – tray trayec ecto tori riaa líne líneaa rect recta, a, Movi Mo vimi mien ento to Movimiento Para Parabó bólic licoo –Circular tray trayec ecto tori ria–a parábola, trayectoria circunferencia, etc.
y
O
• DISTANCIA RECORRIDA
x
Es una magnitud física escalar que mide la longitud de la trayectoria descrita por el movil.
• DESPLAZAMIENTO Es un vector independiente de la trayectoria descrita por un móvil, se traza entre dos posiciones sucesivas en un intervalo intervalo de tiempo dado.
• VELOCIDAD MEDIA Es una cantidad vectorial que mide como cambia el vector posición con relación al tiempo.
∆ r =
→
∆ r vm = ∆t
→
→
o
o
→
z
r B − r A
→
r B
→
r A
Presenta las características siguientes: o
→
y
O
Tiene la misma dirección que el vector desplazamiento. x Se mide mide en un inte nterv rval aloo de tiempo. Su unidad es el m/s.
• VELOCIDAD INSTANTÁNEA z
Es un vector tangente a la trayectoria, que se deriva de la velocidad media, cuando el intervalo de tiempo se hace tender a cero. Como se puede ver, si el intervalo de tiempo lo hacemos tender a cero, matemáticamente ∆t → 0. Observamos como el vector desplazamiento se aproxima cada vez más a ser tangente a la trayectoria. →
→
r A O
→
∆ r d r ∆t →0 v m = Lim ∆t →0 ∆t = dt v = Lim
→
→
r B
→
x
20
y
CINEMÁ CIN EMÁTIC TICA A
Martín. Sandoval Casas.
Presenta las características siguientes: o o o
Es tangente a cualquier punto de la trayectoria. Se mide en un instante de tiempo. Su unidad es el m/s.
• RAPIDEZ Es una cantidad física escalar y es la magnitud de la velocidad.
• ACELERACIÓN MEDIA
→
→
→ →
r B
→
∆v am = ∆t
→
z
vA
Es una cantidad vectorial que mide como ca camb mbia ia el ve vect ctor or velo veloci cida dadd con con relac relació iónn al tiempo.
r A
o
o
y
O
Presenta las características siguientes: o
vB
Tiene la misma dirección que el vector cambio de velocidad. Se mide mide en un inte nterv rval aloo de tiempo. Su unidad es el m/s2.
→
x
vA →
→
∆ v = v − v B
A
→
vB
• ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
→
Es un vector hacia adentro de la concavidad de la trayectoria, que se deriva de la aceleración media, cuando el intervalo de tiempo se hace tender a cero. Como se puede ver, si el interv intervalo alo de tie tiempo mpo lo hac hacemo emoss ten tender der a cer cero, o, matemáticame matemá ticamente nte ∆t → 0. Observamos como el vector cambio de la velocidad se aproxima cada
vA
z → →
r B
→
r A O
vB
y
vez más hacia la concavidad de la trayectoria. → → → x→ ∆ v d v d d r d 2 r = = = a = Lim a m = Lim ∆t →0 ∆t →0 ∆t dt dt dt dt 2
→
→
Presenta las características siguientes: o o
o
Es hacia adentro de la concavidad a cualquier punto de la trayectoria. Se mide en un instante de tiempo. Su unidad es el m/s2.
De lo anterior podemos llegar a lo siguiente, muy útil en la solución de problemas, utilizando la derivada y la integral.
21
CINEMÁ CIN EMÁTIC TICA A
Martín. Sandoval Casas.
→
v
→
=
→
d r
y
dt
a
→
=
d v dt
→
=
d 2 r dt 2
→
Si se conoce la posición r (t ) de una partícula, entonces por derivación de la posición podemos →
→
obtener la velocidad la v (t ) y con la derivada de la velocidad tendremos la aceleración a (t ) . →
Sin emb embarg argoo si con conoce ocemos mos la ace aceler leració ación, n, a (t ) , de una una partí partícu cula la,, por por integ integra ració ciónn de la → aceleración obtendremos la velocidad v (t ) e integrando de nuevo la velocidad obtendremos la →
posición r (t ) . En el proceso de integración es necesario conocer condiciones iniciales para poder encontrar las constantes que que resultan de la integración.
• ACELERACIÓN TANGENCIAL Es una componente de la aceleración y mide como cambia la rapidez con relación al tiempo, su dirección es tangente a la trayectoria, en la misma dirección de la velocidad si el movimiento es acelerado y contrario a la velocidad si el movimiento es desacelerado. →
→
a
•
→
d 2 r
d v
=
dt
=
dt 2
ACELERACIÓN CENTRÍPETA
Es una componente de la aceleración y se encarga del cambio en la dirección de la velocidad, por lo tanto cualquier movimiento curvilíneo presentara esta aceleración. Vamos a cuantificar la magnitud de la aceleración centrípeta, para eso partimos de dos instantes muy cercanos en su trayectoria. Por semejanza podemos afirmar que:
v2
v 1
∆S R
R
φ
Pero a media =
∆v = ∆S v
R
∆v v∆S = ∆t R∆t
En el límite cuando ∆t = 0 , tenemos:
∆S v 2 ∆v v = = l lim a = lim ∆t →0 ∆t R ∆t →0 ∆t R
O en función de ω, a = Rω2 , es necesario tener en cuenta que R es radio de curvatura, que en general puede ser variable si se trata de una curva diferente a la circunferencia.
22
CINEMÁ CIN EMÁTIC TICA A
Martín. Sandoval Casas.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) Este movimiento describe una línea recta y con velocidad constante, es decir, el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales. v es positiva si el móvil se dirige hacia la derecha y negativa si el móvil se dirige hacia la izquierda. iz quierda. x = x O + vt
v
x xO
O
v x xO
O
En el primer caso, el móvil parte de una posición positiva, es decir a la derecha del origen del sistema de referencia y se dirige hacia la izquierda, es decir con velocidad negativa. En el segundo caso el móvil parte de una posición positiva y se dirige hacia la derecha, es decir con velocidad positiva.
GRAFICAS x –t Y v–t D DE EU UN NM MR RU
x
x
v
t v0
t v0
La primera grafica x–t, representa un movimiento que se inicia a la derecha del sistema de referencia y con velocidad negativa.
•
La segunda grafica x–t, representa representa un movimien movimiento to que se inicia a la izquierda del sistema de referencia y con velocidad positiva.
• •
La tercera grafica v–t, representa un movimiento con velocidad negativa. La cuarta grafica v–t, representa un movimiento con velocidad positiva.
23
CINEMÁ CIN EMÁTIC TICA A
Martín. Sandoval Casas.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) Este movimiento movimiento es en línea recta y con aceler aceleración ación const constante, ante, es decir, el móvil varia uniformemente su velocidad ya sea aumentando o disminuyendo, dependiendo si el sistema esta acelerado o desacelerado. En este caso el móvil recorre espacios desiguales en tiempos iguales. Se debe hacer notar que la condición para que un movimiento sea acelerado o desacelerado, es comparando los signos de la velocidad y la aceleración. Si la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo estamos en un movimiento acelerado (la rapidez crece uniformemente) y si tienen dire di recc ccion iones es op opue uest stas as,, estam estamos os en un mo movi vimie mient ntoo desa desace celer lerad adoo (l (laa ra rapi pide dezz decr decrec ecee uniformemente). Por lo anterior, la aceleración sola no brinda suficiente información sobre como se esta desarrollando el movimiento. x = xO
+ vO t + 1 at 2 y 2
v
= vO + at vo
x
xO
O
GRAFICAS GRAF ICAS x–t , v–t y a –t DE U UN N MR MRU UV
x
v
a
t
x
t
v
a
t
•
• • •
t
t
t
Las graficas de posición versus tiempo son parábolas, pues provienen matemáticamente de una cuadrática. Parábola hacia abajo indica aceleración negativa y parábola hacia arriba indica aceleración positiva. La grafica v–t (superior) indica un movimiento con velocidad inicial positiva y aceleración negativa, es decir la rapidez disminuirá hasta llegar a cero, luego aumentara negativamente y será un movimiento acelerado. La grafica v–t (inferior) indica un movimiento con velocidad inicial negativa y aceleración positiva, es decir la rapidez disminuirá hasta llegar a cero, luego aumentara positivamente y será un movimiento acelerado. El área de una grafica v-t representa el desplazamiento y el área de una grafica a-t representa el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo. 24
CINEMÁ CIN EMÁTIC TICA A
Martín. Sandoval Casas.
CAÍDA LIBRE Ca Caíd ídaa lib libre re o lanz lanzam amien iento to de proy proyec ecti tiles les en tiro tiro vert vertica ical, l, se cons consid ider eraa en es este te movimiento la única interacción con el campo gravitatorio terrestre, es decir, se desprecia los efectos de la resistencia del aire. Es Este te mo movi vimie mient ntoo es un cas casoo part particu icula larr de MR MRUV UV,, es deci decirr un mo movi vimi mien ento to con con aceleración constante. y
= yO + vO t − 12 gt 2
y
v
= vO − gt
con g = 9,8 m2 s
v=0
ts t s
=
t b v1
N.H.R.
t
v2
b
v = v 1
2
vo
MOVIMIENTO PARABÓLICO Es el caso general de movimiento de proyectiles, se comunica al móvil una velocidad horizontal. inicial v0 que forma un ángulo θ 0 por encima (o por debajo) de la horizontal. El movimiento del objeto será la combinación de dos movimientos; en la dirección horizontal un MRU. y en dirección vertical un MRUV tal como se observa en la figura.
= yO + vOY t − 4,9 g t 2
y
M
y vY
y
x = xO
+ vOX t
= vOY − 9,8 t
R U V Vx0 Vy V0
V
Vx0
Vx0
Vy0
H
-Vy
V
y
θ0
M.R.U.
Vx0
X
x R
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Restricciones del Movimiento Parabólico.
• •
La rapidez inicial de lanzamiento debe ser baja, de tal manera que el rozamiento del aire sea despreciable. Es un movimiento libre de interacciones, la única fuerza presente es la gravitatoria.
Particularidades del Movimiento Parabólico.
• El máximo alcance horizontal se logra si, el ángulo de lanzamiento es de 45º.
•
Dos tiros parabólicos tienen el mismo alcance horizontal, si cumplen dos condiciones al mismo tiempo: 1. La rrapid apidez ez in inici icial al ddee am ambos bos es llaa mi misma sma.. 2. Los ángulos de lanzamiento son complementarios.
vOA = vOB y α + θ = 90º
v
v
α D
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) Empezaremos por definir lo siguiente:
•
Periodo. Es el tiempo que se demora una partícula en realizar una vuelta completa. Si una partícula ha dado n vueltas el periodo se calcula calcula por: tiempo total
T = =
número de vueltas
Su unidad en el SI es el segundo (s).
•
Frecuencia. Es el número de vueltas por unidad de tiempo. Si una partícula ha dado n vueltas en un tiempo t, la frecuencia se calcula por: f =
numero de vueltas tiempo total
Su unidad en el SI es el s –1, que se denomina hertz.
•
Velocidad angular. Es una cantidad vector vectorial ial que mide como cambia la posic posición ión angular con respecto al tiempo. La dirección de este vector, por convención, es perpendicular al plano del movimiento y con ayuda de la mano derecha derecha se puede determinar su dirección.
ω = ∆∆θt 26
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Su unidad en el SI es rad/s. En general, se dice que un móvil realiza un movimiento circular cuando la trayectoria que describe es una circunferencia. El movimiento es circular uniforme, cuando en iguales interv intervalos alos de tiempo tiempo (t), (t), los áng ángulo uloss cen centra trales les des descri critos tos (θ) y las dis distan tancias cias rec recorr orridas idas correspondientes (S) son iguales. ó s = s O + vt θ = θ O + ω t
R
θ
t
θ
t
θ
S
S
t
S
Como se puede observar en la figura el vector velocidad esta cambiando en dirección, por lo tanto experimenta aceleración, aceleración centrípeta específicamente. específicamente.
•
Relación entre la rapidez y el modulo de la velocidad angular . Como sabemos S = Rθ y la rapidez se define como: v=
•
∆∆S t = ∆(∆ Rt θ) = R ∆∆θt = Rω
Relación entre la aceleración centrípeta y las magnitudes de las velocidades. a
=
v2 R
= Rω2
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV) En general, se dice que un móvil realiza un movimiento circular, cuando la trayectoria que describe es una circunferencia. El movimiento es circular uniformemente variado, cuando en iguales intervalos de tiempo (t), los ángulos centrales descritos ( θ) y las distancias recorridas correspondientes (S) no son iguales. θ = θ O
+ ω O t +
1
α t 2
ó
ω = ω O
+ α t
ó
2
s = s O
v = vO
+ vO t +
+ at
1 2
at 2
Estrategia para resolver problemas de cinemática Para resolver problemas de cinemática debemos tener t ener en cuenta las siguientes recomendaciones: • Elegir un sistema de referencia. • Plantear las ecuaciones de posición para cada móvil. • Establecer las condiciones del problema a resolver.
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PROBLEMAS RESUELTOS - CINEMATICA
1. Un automóvil marcha a 100 km/h por una carretera paralela a la vía del tren. ¿Cuánto tiempo empleará el automóvil en pasar a un tren de 40 m de largo que marcha a 60 km/h en la misma dirección. Solución:
O
O Automóvil Tren 40 m
O representa el origen de coordenadas de nuestro sistema de referencia elegido. La posición para el automóvil es: xA = 100 t La posición para el tren xT = 40x10 –3 + 60 t Como se podrá notar, el automóvil pasara al tren en las posiciones iguales. 40 x10 -3 t = = 10-3 h = 3,6 s 100 − 60
xA = xT
tAB = 3,6 s
2. Un móvil recorre entre dos árboles, la distancia de 60 m. Al pasar por el primer árbol, su velocidad era de 12 m/s; y al pasar por el segundo árbol, su velocidad era de 18 m/s. Encuentre su aceleración y el tiempo transcurrido en recorrer de un árbol al otro árbol. Solución:
v f −v o
18 − 12
6
Aplicando el concepto de aceleración a = t = t = t 1 Ahora usamos la relación de desplazamiento: ∆ x = v O t + at 2 2
∆x = 60 m, vo = 12 m/s 60 = 12t +
1
at 2
2 t = 4 segundos
= 12t +
1 2
6t = 15t
Reemplazando en la primera relación se obtiene: a = 1,5 m / s 2
28
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3. Un automóvil parte del reposo a lo largo de una trayectoria horizontal de tal forma que en un primer tramo acelera con 5 m/s2. y en un segundo tramo desacelera con 10 m/s2. hasta quedar finalmente en reposo. Si el tiempo total de recorrido es de 30 segundos. Calcule la distancia, en metros, que recorrió el automóvil. Solución:
d1
d2
vA = 0
vB = v tAB = t aAB = 5 m/s2
tBC = 30 – t aBC = –10 m/s2
TRAMO AB vB = vA + aABtAB vB = 5t
(1)
TRAMO BC VC = VB + aBCtBC 0 = vB – 10(30 – t)
(2)
Reemplazando (1) en (2): 5t = 300 – 10t t = 20 s.
∴ tAB = 20 s y tBC = 10 s. vB = 100 m/s d 1 d 2
2 2 = a ABt AB = 5(20 ) = 1000m
2
= V Bt BC +
d T = d 1
2
2 a BC t BC
2
vC = 0
2 = 100.10 − 10(10 ) = 500m
2
+ d 2 = 1500m
29
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4. Una persona se encuentra en el punto medio de la distancia que separa a dos grandes superficies planas verticales y se pone en movimiento hacia una de ellas con una velocidad constante de 10 m/s en el preciso instante que se emite un grito. Calcule la distancia, en metros, de separación entre dichos planos sabiendo que la persona escucha los ecos del grito con un intervalo de tiempo de 0,25 s (VSONIDO EN EL AIRE = 340 m/s)
Solución:
x1
Con el sonido hacia la derecha.
x2
d – x1 = vS tt 1 ......(1)
Con el sonido hacia la izquierda. d + x2 = vS tt 2 ......(2)
Con la persona se obtienen las l as siguientes ecuaciones. x1 = v P tt 1 ......(3) x2 = v pt 2 ......(4)
(2) – (1)
x2 + x1 = v s(t 2 – t 1 ) )
(4) – (3)
x2 – x1 = v p(t 2 – t 1 ))
x 2
=(
v S + v P )(t 2
2
− t 1 )
......(5)
(5) en (2) y obtenemos: d + x2
= vv S x2 ⇒ d = x2 ( vvS − 1) P
P
(v S + v P )(t 2 − t 1 )(v S − v P ) (v S 2 − v P 2 )(t 2 − t 1 ) = d = 2v P 2v P d =
(340 2 − 10 2 )(0,25) = 1443,75 m 2(10)
30
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5. Una avispa revolotea alrededor de un girasol haciendo el recorrido mostrado en la l a figura. a.
¿Qué velocidad media tenía entre los puntos A y C, si se tarda 10 s en ese recorrido?.
3m 1m
b. Si en "O", su velocidad es 10 pasar por D loa hacem/s, cony5alm/s (en sentido E); ¿cuál era la aceleración media, en m/s2, que tenía entr entree esos esos pu punt ntos os,, si se demora 40 s entre ese tramo?.
5m 2m 1m 4m
Solución:
a.
Considerando que el origen está en “0” y que las curvas son arcos de circunferencia, se pueden ubicar los puntos A y C: A = (6 ;–2 ) m, C = (3 ;–3 ) m. La definición de velocidad media es: →
v m →
→
r 2 t 2
=
− −
→
r 1 t 1
(1)
→
Donde r 1 y r 2 son los vectores de posición inicial y final, respectivamente, y están → → dados por Ay C. Reemplazando los datos: r 1 = (6;–2) m, r 2 = (3;–3) m, t2 – t 1 = 10 s, en la ec (1). →
Se obtiene que: v m = (–0,3 iˆ +– 0,1 jˆ ) m/s, es la velocidad media en ese tramo.
b. Para hallar la aceleración → media, → se usa una definición similar: → v 2 − v1 (2) am = t 2
−
t 1
→ → Reemplazando los datos: v 1 = 10 m/s iˆ , v 2 = 5 m/s jˆ , t2 – t1 = 40 s, en la ec. (2):
Se encontrará que: en ese tramo.
→
a m =
–0,25 m/s2 iˆ + 0,125 m/s2 jˆ , es la aceleración media
Las direcciones se deducen del hecho que la velocidad es tangente a la trayectoria.
31
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6. Un punto material se desplaza en movimiento rectilíneo a lo largo del eje x según la ecuación x = t3 – 11t2 + 30t. Donde X se mide en metros y t en segundos. Halle: a. La pposició osiciónn in instant stantánea ánea del m móvil óvil cuand cuandoo t = 3 s y cuand cuandoo t = 10 s. b. El valor de la velocidad instantánea eenn los instantes cuando la posición instantánea es igual a cero. c. El valo valorr de la ace aceleració leraciónn insta instantáne ntáneaa en los iinstan nstantes tes cuan cuando do la ve velocida locidadd insta instantáne ntáneaa es igual a cero. Solución: a.
Se no noss pid pidee eva evaluar luar la po posic sición ión ddel el pu punto nto ccuan uando do el ttiem iempo po es 3 y 10 ssegu egundo ndos. s. x(t) = t3 – 11t2 + 30t
x(3) = (3)3 – 11(3)2 + 30(3) = 18 m x(10) = (10)3 – 11(10)2 + 30(10) = 200 m
b.
La velocidad instantánea del punto material la obtenemos aplicando la derivada temporal a la posición. v(t ) =
dx (t ) dt
v (t ) = 3t 2 − 22t + 30 ⇒
Hallamos los valores del tiempo en que la posición del punto se hace cero. x(t) = 0 ⇒ t3 – 11t2 + 30t = 0
t(t2 – 11t + 30) = 0 ⇒ t(t – 5)(t – 6) = 0
De la ecuación anterior obtenemos los valores buscados de t.
⇒ t = 0 s , t = 5 s , t = 6 s. v(5) = 3(5)2 – 22(5) + 30 = –5 m/s
v(0) = 30 m/s v(6) = 3(6)2 – 22(6) + 30 = 6 m/s c.
La ace acele lera ració ciónn inst instan antá táne neaa del del punt puntoo ma mate teri rial al la obten obtenem emos os apl aplic ican ando do la deri deriva vada da temporal a la velocidad. a (t ) =
dv(t ) dt
⇒ a(t ) = 6t − 22
Hallamos los valores del tiempo en que la velocidad del punto se hace cero. v(t) = 0 ⇒ 3t2 – 22t + 30 = 0 3t – 22t + 30 = 0 ⇒ t = 2
t =
11 ± 31
3
22 ± ( −22) 2
− 4(3)(30)
2(3)
⇒t = 1.8 s y t = 5.5 s.
a (1,8) = 6(1,8) – 22 = –11.2 m/s2
a (5,5) = 6(5,5) – 22 = 11 m/s2.
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7. Un punto material se desplaza en movimiento rectilíneo a lo largo del eje x según la ecuación: x(t) = t3/3 – 5t2/2 + 6t, donde x se mide en metros y t en segundos. Halle: a. El valo valorr de la posi posició ciónn insta instantá ntánea nea en los inst instant antes es dond dondee la vel veloci ocidad dad ins instan tantán tánea ea es igual a cero. b. El desplazamiento para t = 10 s. Solución: a.
Hal Hallam lamos os la ve veloc locida idadd y obt obtene enemos mos llos os va valor lores es de t pa para ra la cu cual al la ve veloc locidad idad ssee hace cero (0).
v(t) = t2 –5t + 6 ⇒ t2 –5t + 6 = 0 ⇒ t = 2 s y t = 3 s. Luego evaluamos la posición para estos valores de t hallados. x(2) = 8/3 – 10 + 12 = 14/3 m = 4,7 m. x(3) = 9 – 45/2 + 18 = 9/2 m = 4,5 m. b.
El desplazamiento lo obtenemos evaluando la posición de t = 0 s a t = 10 s.
∆x = x(10) – x(0) = 143,3 – 0 = 143,3 m. 8. Un trabajador parte de su casa todos los días a la misma hora y realiza un movimiento uniforme, llegando a su destino a las 10:15 a.m. Si duplicara su velocidad llegaría a las 9:45 a.m. ¿A qué hora parte de su casa?. Solución: Como en ambos casos se trata de movimientos rectilíneos uniformes, debe aplicarse: x = vt
(1)
La hora de partida (instante inicial) to y el desplazami desplazamiento ento x, ssee mantie mantienen nen en ambo amboss viajes. Lo que cambia es la velocidad: “v” y “2v” (vea figuras 1.a y 1.b), en el primer y segundo caso respectivamente, y la hora de llegada (instante final): t en el primer viaje y t’ en el segundo viaje. Entonces, si se emplea la ec. (1) a cada caso, se obtiene: Primer viaje:
x = vt
(1a)
Segundo viaje:
x = 2v (t –30)
(1b)
Figura 1.a
Figura 1.b
Como Co mo en am ambo boss cas casos os reco recorr rree lo lo m mis ismo mo v t
= 22vv ((tt –30 –30))
vt
t= 60 minutos
= 2v (t –30)
Si llega a las 10:15, en la ec. (1a), se halla que t = 9:15 a.m. es la hora a la que parte de su casa.
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9. Un ratón corre en un bosque a la velocidad v = 9 m/s, en su camino se cruza con un gato montés mont és qu quee en ese ese inst instan ante te estab estabaa en repo reposo so.. El últi último mo inme inmedi diat atam amen ente te ar arra ranc ncaa 2 persiguiendo al roedor y aumentando su velocidad a razón de 0,15 m/s . Entonces, calcule: el tiempo que demora el felino en alcanzar a su presa y el desplazamiento que realiza cada uno. Solución: El ratón se mueve a velocidad constante, y el gato con aceleración constante. Como parten del mismo punto y llegan al mismo punto, sus sus de desp spla laza zami mien ento toss debe debenn coin coinci cidi dir. r. Además son movimientos simultáneos por lo que tardan el mismo tiempo en recorrer ese tramo. Las ecuaciones que les corresponden serían: Ratón: Gato:
x=vt x = vot + ½ at2 = ½ at2
(1) (2)
Se ha tenido en cuenta que el felino parte del reposo por lo cual v o = 0. Igualando las partes derechas de las ecuaciones (1) (1) y (2): v t = ½ at2 (3) y reemplazando los datos: v = 9 m/s, a = 0,15 m/s2, Se obtien obtienee qque: ue: t = 0 ((sol soluci ución ón trivia trivial, l, ccuan uando do se enc encuen uentran tran por pri primer meraa vez) vez) t = 120 s es el tiempo que tarda el gato montés en atrapar a su presa. Para encontrar el desplazamiento, se puede usar el resultado hallado del tiempo en la ec. (1) o (2) y obtener que: x = 1 080 m es el desplazamiento que realiza cada uno.
10. Se lanza verticalmente hacia arriba una bola, a partir de la orilla de un edificio, a una velocidad de 14,7 m/s. ¿Dónde se encontrara el objeto 2 s después de haber sido lanzado?, ¿Estará subiendo o bajando en ese momento?. Solución: El movimiento de caída libre es un tipo particular de un MRUV, con la característica de → ˆ que su aceleración es siempre: g = –9,8 m/s2 j (aceleración hacia abajo). Entonces las ecuaciones que deben usarse son las mismas que para cualquier MRUV. La relación que debe usarse es: y = v ot – ½ g t2 (1) En donde se ha tomado el punto de lanzamiento como punto de referencia; todos los desplazamientos se medirán entonces a partir de ese punto. Si se emplean los datos: vo = 14,7 m/s, t = 2 s, en la ec. (1) Se obtiene obtiene que: y = 9,8 m es la posición de la bola y como el signo es positivo, positivo, está por encima del punto de lanzamiento. Para responder a la interrogante de si está subiendo o bajando en ese momento, se puede calcular su velocidad: v = vo – 9,8t
(2)
Si se usa los datos anteriores, se encuentra que: v = –4,9 m/s. El signo negativo de la velocidad, indica que el cuerpo está bajando. 34
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11. Un objeto es lanzado hacia abajo con una velocidad inicial de 4,9 m/s y tarda un segundo en recorrer los últimos 19,6 m de su trayectoria vertical. Determine la altura desde la cual fue lanzado. Solución: Analizamos el tramo BC.(sistema de referencia en B) A BC
2 BC
B BC
y = V= V t + ½ gt –19,6 B – 4,9 ⇒ VB = –14,7 m/s h
Ahora se analiza el tramo AB.(sistema de referencia en A)
H
B 20 m
VB = VA –9,8 tAB –14,7 = –4,9 –9,8 tAB 2 yAB = vAtAB + ½ gt AB tAB = 1 segundo 2 –h = –4,9x1 – 4,9x1 = –9,8 ∴ h = 9,8 m Entonces la altura H desde donde fue el lanzamiento es:
C
H = (19,6 + 9,8) m H = 29,4 m
12. En un pr prooceso ceso de ma manu nufa fact ctur ura, a, los los bloq bloque uess de ma mate teri rial al es está tánn so sobr bree un unaa corr correa ea transportadora que se desplaza a 24 cm/s, caen sobre otra correa situada 75 cm debajo. Halle: a) Si el ppro roce ceso so re requ quie iere re qu quee un bl bloq oque ue de la correa superior caiga sobre la co corr rrea ea infe inferi rior or y qu quee siem siempr pree se 24 cm/s encuentre un solo bloque en el aire, ¿Que ¿Q ue es espa paci cioo debe debe habe haberr entr entree los los bloques de la correa superior? 75 cm b) Si los bloques se encuentran a 22,5 cm de distancia en la correa inferior ¿Cuál es la rapidez requerida en la correa inferior? Solución: Hallamos el tiempo que demora un bloque en pasar de la faja superior a la faja inferior. Aplicamos ∆ y = voy t − 4,9 t 2
entonces – 0,75= – 4,9 t2
de donde t = 0,39 s.
a) La faja ssuperio uperiorr debe te tener ner en entre tre bloq bloque ue y blo bloque que un eespaci spacioo de x = vt, sabien sabiendo do que la faja se mueve con MRU y con una rapidez de 0,24 m/s. Obtenemos: x = (0,24)(0,39)= 0.094 m.
b) En la faja inferior cae un bloque cada 0,39 s, por lo tanto si están separados 0.225 m, la rapidez de la faja debe ser: v
x
= = t
0,225 0,39
35
= 0,58 m / s
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13. Una piedra se deja caer a un pozo. El sonido del choque de la piedra con el agua se escucha 7,48 s después. La velocidad del sonido en el aire es 340 m/s. a) Cal Calcul culee a qu quee pro profun fundid didad ad eesta sta eell agu agua. a. b) Se lanza una segunda piedra al pozo. El sonido del choque de este pozo con el agua se oye 14,25 s después. Encuentre su velocidad inicial. i nicial. Solución: a)
NR
Con la piedra en caída libre
− H = −4,9t12
(1)
H
Con el sonido tenemos un MRU H = 340t 2
(2)
Combinando (1) y (2) tenemos:
t12 = 69,39t 2
(3)
Según el problema t 1 + t 2 = 7,48 s
(4)
(7,48 − t ) (4) en (3) y obtenemos: t 2 = 69,39 1
1
t12
De donde se obtiene la ecuación cuadrática t1 =
+ 69,39 t1 − 519,04 = 0
− 69,39 ± 69,39 2 − (4)(1)(−519,04) − 69,39 ± 83,01 = = 6,81s ( 2)(1)
(2)(1)
Reemplazando en (4) obtenemos t 2 = 0,67 s Para calcular H, hacemos uso de (1): H = 4,9 x 6,812
b)
= 227,24 m.
Si el es: sonido se escucho 14,25 s después, podemos deducir que el tiempo de caída libre t = 14,25 – 0,67 = 13,58 s Con este dato, aplicamos a la ecuación de posición en caída libre:
− 227,24 = v oy (13,58) − 4,9x13,582 De donde v oy = 49,8 jˆ m / s.
36
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14. A 78,4 m sobre el suelo, se suelta una piedra. Si falta 1 s para que impacte contra el suelo, ¿Cuál es la distancia que separa al cuerpo del suelo?. Solución: Primero se calcula el tiempo que tardaría la piedra en recorrer los 78,4 m: y = vot –½ g t2 = –½ g t2
(1)
Reemplazando los datos: g = 9,8 m/s2, y = –7 –78,4 8,4 m (des (desplazamiento plazamiento hacia abajo abajo)) Se halla que: t = 4 s. Luego, se encuentra el desplazamiento que recorre el cuerpo en el tiempo t’ = 3 s. y’ = –½ g t’2 Se obtiene obtiene que que:: y’ = –44 –44,1 ,1 m La distancia buscada se calcula restando los desplazamientos: d = y – y’ Se ha halla lla que: que: d = 34 34,3 ,3 m es llaa di dist stan ancia cia qque ue ssep epar araa a la ppie iedr draa del suelo.
15. Una bala es disparada, desde el punto v
A con una velocidad inicial de 100 m/s haciendo un ángulo de 60 º con la horizontal, determine: a) La alt altur uraa má máxi xima ma alc alcan anza zada da po porr el proyectil. b) Su alcance horizontal.
A
60 º
50 m
Solución:
a)
x
Obtenemos HMAX cuando la velocidad en y, es igual a cero. Usamos
vy
= v o − 9,8t
0 = vO.sen60º – 9,8 t
t
=
VO sen60º 9,8
=
100 3 2(9,8)
= 8,84 s.
∆ y = vOY t − 4,9 t 2 ∆ y = H MAX − 50 = (100
2
H MAX
3
)(8.,84) − (4,9)(8,84)2
= 432,65 m
Como el movimiento horizontal es MRU entonces usamos para el alcance horizontal x = vXt ⇒ x = vOcos60º tV (1) Hallamos el tiempo de vuelo de la bala. ∆y = v oy t V − 4,9 t V2
− 50 = 100sen60º t V − 4,9 t 2V = 50 3 t V - 4,9 t 2V tV = 18,23 18,2344 s. Ree Reempl mplazam azamos os eenn (1 (1)) y oobte btenem nemos os D D.. ⇒ D = 50x18,234 = 911,7 m
37
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16. Una partícula es lanzada con cierta velocidad vO desde el punto P = ( –2, 3 ) y al cabo de 2 → segundos alcanza la velocidad v = (12 iˆ + 8 jˆ ) m/s; Si su aceleración es – 9,8 jˆ m/s2. Determine: a. Su velocidad inicial vO. b. El tiempo que demora en llegar a tierra (eje x es la superficie horizontal). c. La vvelo elocid cidad ad ccon on la ccual ual llega llega a ti tierr erra. a.
Solución:
a.
Tenemos → r (0) = (–2, 3) m ; y en 2 segundos alcanza una velocidad de →
v
→
= (12 ˆi + 8 jˆ ) m/s y a =
(2)
- 9,8 jˆ m / s
2
⇒ →v (2) = (12 ˆ i + 8 jˆ ) = →v O + a t = →v O – 9,8(2) jˆ ⇒ →v O = (12 ˆi + 27,6 jˆ ) m/s. →
b. Enco Encont ntre remo moss el tiemp tiempoo que que tard tardaa la part partíc ícul ulaa en lleg llegar ar a tier tierra ra,, para para lo cual cual conocemos la velocidad inicial voY = 27,6 m/s, la altura desde donde fue lanzada 3 m y la gravedad g = 9,8 m/s2:
y O
Analizamos el movimiento en el eje Y
= 12 + 27,6
0 = 3 + 27,6 t – 4,9 t 2 4,9 t2 – 27,6 t –3 = 0 t
3m
+ ( 4)( 4,9)(3)
2(4,9)
t = 5,739 s
x
2m c.
=
27,6 ± 27,6 2
Aho Ahora ra ccalcu alculem lemos os la vvelo elocida cidadd ccon on qque ue lllega lega a ti tierr erra. a.
La velocidad en el eje X es constante y es 12 m/s. La velocidad en el eje Y varia por efecto de la aceleración de la gravedad y esta gobernada por la ecuación siguiente:
vY = voY – 9,8t ⇒ VY = 27,6 –(9,8)(5,739) = –29 m/s ⇒ VY = –28,64 m/s Por lo tanto la expresión vectorial para la velocidad en el momento que la partícula llega a tierra es: → → v = (12iˆ - 28,64 jˆ) m / s
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17. Dos pelotas son lanzadas simultáneamente desde los puntos A y B con las direcciones que se indican en la figura y sabiendo que v A = 20 m/s; y que se chocan en el punto P en el aire, determine la velocidad en dicho punto de la pelota desde B. vB h
B
30º
vA
10 m 60º
A 40m
x Solución:
Analizando la partícula A y B en el movimiento horizontal, (sistema de referencia en A):
(A)
XA = VAcos6 cos60º 0ºtt = 1100 t. t..................... (1) (1)
(B)
XB = 40 – VOBcos3 cos300ºt .... .... .... .... ....
(2)
3 3 VOBt = t( 10 + VOB)..... (*) 2 2
(1) = (2) ⇒ 40 = 10t +
Analizando la partícula A y B en el movimiento vertical, se obtiene lo siguiente: (A) yA = VAsen60ºt – 4,9t2 . ... (3)
(B)
yB = 10 + VOBsen30ºt – 4,9t2......
(3) = (4) ⇒ 10 = 10 3 t – (10 +
(*) / (**) ⇒ 4 =
2
(10 3 −
80 3 – 4VOB = 20 +
⇒ VOB =
3
80 3 − 20 4+ 3
(4)
1 1 VOBt = t( 10 3 – VOB).. 2 2
VOB )
1 VOB 2
(**)
(20 + 3VOB )
= (20
3 VOB ⇒ 80
3 − VOB )
3
− 20 =
( 4 + 3 ) VOB
=20,7 m/s
Si hallamos el tiempo en este tramo se obtiene t = 1,433 segundos. Esto lo usamos para hallar la velocidad de B en el momento del impacto. im pacto. →
VB →
VB
= −VOB cos 30º ˆi + (VOB − 9,8t ) jˆ
= (−17 ,91ˆi + 6,64 jˆ)m / s
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18. Ud. golpea una pelota de golf lanzándola con una velocidad de 15 m/s, y formando un
ángulo θ (tgθ= 3/4) con la dirección horizontal. Encuentre las componentes horizontal y vertical de: (Tome como sistema de referencia el punto de lanzamiento) a. La velocidad inicial. b. La velocidad a los 2 s. c. La posición a los 2 s. Solución:
a. Las componentes de la velocidad inicial se encuentran por trigonometría. En la figura, vo es la hipotenusa, y vox y voy son los catetos. vox = vo cosθ
(1)
voy = vo senθ
(2)
Reemplazando los datos: vo = 15 m/s, tgθ = ¾, en las relaciones (1 (1)) y (2) Se halla que: vox = 12 m/s, voy = 9 m/s, son las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial.
b. recuerde que en el eje horizontal (x), la velocidad es constante, y por lo tanto: vx = vox = vo cosθ Para hallar la componente vertical de la velocidad, se puede aplicar la ec. de caída libre: vy = voy – gt
(3)
Dondee voy es la comp Dond compon onen ente te vert vertic ical al de la velo velocid cidad ad,, que que ya se hall hallóó antes antes.. 2 Reemplazando éste y los otros datos: g = 9,8 m/s , t = 2 s, en la ec. (3). Se encuentra que: vx = 12 m/s, vy = –10,6 m/s, son las comp componentes onentes horizontal y vertical de la velocidad a los dos segundos.
c. La componente horizontal del movimiento es un MRU, por lo que se calcula con: x = vx t
(4)
y la componente vertical se comporta como un MRUV, en la que se usa: y = voyt –½ g t2 (5) Empleando los datos anteriores, en las ec. (4) (4) y (5) se obtiene qu que: e: x = 24 m m,, y = –1,6 m, son llaas componentes horizontal y vertical de la posición a los dos segundos. Finalmente se puede expresar las respuestas en fo forma rma vectorial: → ˆ Velocidad inicial: v = 12 m/s iˆ + 9 m/s j , O
Velocidad a los 2 s: Posición a los 2 s:
→
v
= 12 m/s iˆ – 10,6 m/s jˆ , → ˆ ˆ r = 24 m i – 1,6 m j .
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19. Un bloque se desplaza a 80 cm/s y cae al borde de una mesa de 78,4 cm de altura. a. ¿Qué tiempo demora en llegar al suelo?, ¿A qué distancia del pie de la mesa la bola choca contra el suelo?. b. ¿Cuál es la velocidad con que impacta contra el piso?. Solución:
a. Primero se analiza el movimiento vertical, como es de caída libre, se puede aplicar: y = voyt –½ g t2 = –½ g t2
(1)
Al inicio la velocidad solo tiene la componente horizontal, por lo cual v yo=0. Reemplazando los datos: g = 9,8 m/s2, y = –0,784 m en la ec. (1), Se obtiene que: t = 0,4 s es el tiempo que tarda en caer al suelo. suelo. Luego, se puede encontrar el desplazamiento horizontal: x = vxo t = vo t
(2)
Donde vxo = vo = 0,80 m/s, puesto que la componente horizontal se mantiene constante. S e enc encaula enque tra tra qimpacta ue: = 0, 0,332con m es llaa ddiistanc ancia aall ppiie de llaa mesa elxbloque el piso.
b. La com compon ponent entee hor horizon izontal tal de la vel veloci ocidad dad es la vel veloci ocidad dad inicia inicial: l: vx = vo, La componente vertical de la velocidad, se calcula con: vy = voy – gt Reemplazando los datos se obtiene que: vx = 0,80 m m/s, /s, vy = –3,92 m/s. Para encontrar el módulo de la velocidad, se puede aplicar el teorema de Pitágoras: v
= v x 2 +
v y 2
Encontrando que: v = 4,00 m/s, es la velocidad a la que impacta contra el piso.
20. Una rueda de diámetro 0,8 m, gira alrededor de un eje fijo que pasa por su centro. Una mancha ubicada en la parte externa, se mueve a la velocidad de 12 m/s. Resuelva: a. ¿Cuál es la velocidad angular con que gira?. b. ¿Qué aceleración centrípeta sufre la mancha?. Solución: La velocidad de 12 m/s es lo que comúnmente se denomina como velocidad tangencial. Hay una relación directamente proporcional entre las velocidades lineal y angular, y es: v = ω R Usando los datos: Se encuentra que:
(1)
v = 12 m/s, R = 0,8 m/2 = 0,4 m, en la ec. (1).
ω = 30 rad/s, es la velocidad angular a la que gira la rueda. 2
ac =
La aceleración centrípeta determina la (2), ec.: se halla que: v /R ac = 360 (m/s 2) s2, Usando los mismos datos se anteriores encon la ec. m/ aceleración centrípeta que sufre la mancha. 41
es la
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21. Un cascarón esférico de 2 m de diámetro gira con una velocidad
angular constante de 30π rad/s, respecto de un eje vertical fijo que pasa por su centro. Halle la máxima velocidad de la bala, tal que pase por el centro del cascarón haciendo haciendo un solo agujero. Solución: La bala se moverá en línea recta, con velocidad constante (se desprecia los efectos de la gravedad). Se aplica entonces: x = vt
(1)
Simultáneamente, el cascarón está girando a velocidad angular constante, por lo que se usa:
θ = ω t
(2)
Para que se cumpla la condición mencionada, debe ocurrir que cuando el cascarón gira media vuelta, la bala deberá recorrer un diámetro. Dividiendo (1) entre (2) se obtiene: Reemplazando los datos:
x
θ
=
v
ω
(3)
ω = 30π rad/s, x = 2 m, θ = π rad, en la ec. (10c).
Hay otras velocidades que también cumplirían la condición, por ejemplo, que la bala recorra un diámetro cuando el cascarón gire 1½ vuelta, 2½ vuelta, 3½ vuelta, etc, pero serían menores. Se halla que: v = 60 m/s, es la máxima velocidad de la bala tal que pase por el centro del cascarón haciendo un solo agujero.
22. Un disc discoo hori horizo zont ntal al gira gira con con una una velo veloci cida dadd angular constante de 2π rad/s. una persona deja caer un pequeño cuerpo sobre un punto “P” del disco. ¿Cuál es la mínima altura desde la cual se debe dejar caer el cuerpo para que al llegar al
disco lo haga justamente sobre el punto “P”? Solución: El tiempo que el disco demora en dar una vuelta completa (periodo) es igual al tiempo que usa el cuerpo en caer. Calculamos el periodo: T=
2π ω
; por dato ω = 2π rad/s ⇒ T = 1 s
Ahora podemos calcular la altura para este tiempo. 1
–H = –
2
gt 2
1
= −
2
(9 ,8 )(1)
2
= −4,9m
Por lo tanto la altura pedida es : H= 4,9 m
42
H P
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23. Un disco acelera a razón de 4π rad/s2. si emplea un tiempo “t” en dar la tercera parte del número de vueltas dadas. ¿Cuál debe ser la velocidad angular inicial para que las dos terceras partes restantes lo haga también en un tiempo “t”.
Solución: Teniendo en cuenta que el porcentaje de vueltas es igual al porcentaje del ángulo recorrido. Para la tercera parte se uso un tiempo t, entonces obtenemos la ecuación siguiente: θ
3
= ω O t + 1 α t 2
.........(1)
2
Para recorrer las dos terceras partes restantes también se uso un tiempo t, entonces para todo el recorrido se uso un tiempo total 2t. θ
= ω O (2t ) + 1 α ( 2t ) 2
.........(2)
2
3
2ωO t + 2αt 2 De (1) y (2) se tiene: 3ωO t + αt 2 = 2
⇒
ωO = 2πt
24. Una partícula parte del reposo con MCUV y al finalizar el cuarto segundo habrá dado 8 vueltas. Halle su velocidad angular en ese instante. Solución: Datos ω O = 0 ω f = ? θ = 2π n = 2π (8) = 16π
t = 4 s la aceleración de la partícula: Hallamos 1 θ = α t 2 2
⇒ 16π =
1 2
α ( 4 )2
⇒ α = 2π
rad s 2
Calculamos la velocidad angular final ω f
=α t ⇒ω f = 2π ( 4 ) =8π ω f = 8π
43
rad s
rad s
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25. Dos ruedas parten de un mismo punto en sentidos contrarios con velocidades angulares de
5π rad/s. una mantiene un MCU y la otra un MCUV acelerando a razón de 2 m/s 2. Calcule la suma de los radios de ambas ruedas en metros, sí después de 4 seg. están distanciados 156 m.
Solución: MCU
MCUV
rad s a = 2m / s 2
ω O = 5π
ω O = 5π
rad s
R 1
R 2 d1
d2
d 1 + d 2 = 156 m t = 4 s
MCU
d 1 = V 1t = R1wOt
MCUV
d 2 = V 2t +
1
(1)
at 2 = R2wOt +
at 2
(2)
2
2
(1)
1
+ (2) ⇒ d d 1 + d 2 = R1wOt + R2wOt +
1 2 at = 156 2
156 = wOt ( R1 + R2 ) + ½ (2)(4)2 = 5π (4) (4) ( R1 + R2 ) + 16 ⇒ 156 ⇒ 156 156 – 16 = 20 π ( ( R1 + R2 ) ⇒ ( R1 + R2 ) = 7/ π π
26. En una pista circular se corre una carrera de persecución individual, para lo cual la partida de dos ciclistas se hace en puntos diametralmente opuestos, uno en persecución del otro. Si un ciclista en los entrenamientos comprobó que daba 7 vueltas por un minuto y el otro 8 vueltas por minuto. ¿Cuánto tiempo después de la partida el segundo alcanza al primero?
Vemos que se trata de un MCU. El ángulo de separac sep aración ión es de π rad y tenemos como dato la frecuencia de los dos ciclistas.
Solución:
f A = 8 rev/min f B = 7 rev/min
θS = π A
B
ω A
= 2π ( 8) = 16π rad/min
ω B
= 2π ( 7 ) = 14π rad/min
Calculamos el tiempo de alcance: t A
44
=
θ S = π = 0,5 min ω A − ω B 2π(8 − 7)
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27. Un ci cili lind ndro ro,, cuyo cuyo part partee inte interi rior or es vací vacía, a, comienza a girar con MCUV alrededor de su propio eje, en el preciso instante que se suelta un cuerpo desde una altura conveniente para que pase por un agujero (En la base superior) situado justamente en la proyección del punto en el momento de ser soltada, en un tiempo mínimo.
A
Determine la altura mínima que deberá tener el cili cilind ndro ro pa para ra qu quee le cuer cuerpo po pase pase por por otro otro agujero, situado en la misma vertical que el anterior, sabiendo que cuando el cuerpo estuvo dentro del cilindro transcurrió 1 seg.
B
Solución: Hmin TRAMO AB Cuerpo: VB = gt1 Cilindro: 2π =
1
(1) 2 α 1
C
(2)
t
2 ω α t 1 B =
(3)
TRAMO BC Cuerpo: H min
= V B t 2 +
Cilindro: 2π = ω B t 2
+
1 2 gt 2 2 1 2
2 α 2
t
(4)
(5)
12 α t 12 = α t 1 + 12 α ⇒ Simplificando α se tiene: t 12
− 2t 1 − 1 = 0 ⇒ t 1 = 1 ±
y (6) en (4) : H min
= g (1 +
2 ∴ t 1
=1+
2 ...(6)
g 2) + H min = 5 ( 3 + 2 2 ) m 2
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PROBLEMAS PROPUESTOS - CINEMATIC CINEMATICA A 1. Un automóvil, al ser probado en una pista circular de 300m de radio, parte del punto A, como se muestra. a) Tr Trac acee en la ffig igur ura, a, eell ve vecto ctorr D qu quee repres rep resenta enta el des despla plazam zamien iento to del automóvil luego de haber efectuado
6. Un observador que mira con un solo ojo se encu encuen entr traa a 30 cm fr fren ente te a una una ventana de 20 cm de ancho, y a 12 m de él pasa un camión con una velocidad constante de 20 m/s. si el observador lo vio durante 1 s, ¿Cuál es la longitud del camión?
media vuelta. b) ¿Cuál es la magnitud de este desplazamiento? c) ¿Cuál será la magnitud del desplazamiento del auto después de haber dado una vuelta completa?
7. Un cuerpo con MRUV acelera a razón de 2 m/s2, de modo que al cabo de tres segundos triplica el valo alor de su velocidad. veloci dad. ¿Qué espa espacio cio recorre en ese tiempo?.
8. Desde el origen xo = 0 parte un cuerpo con velocidad v = 3t, en trayectoria re rect ctil ilín ínea ea.. En Ento tonc ncees la dis ista tanncia cia recorrida desde 0 hasta 10 s, es.
2. Un tren se tarda 120 s para atravesar un túne túnell de 15 1500 00 m de long longit itud ud,, y se demora 20 s en pasar delante de un observ obs ervado ador. r. ¿Cu ¿Cuál ál es la lon longitu gitudd del tren?.
9. Un auto esta esperando que cambie la luam z bde semá Cuan luraz cluz amb ie un a se vemáfo rdeforo , ro.e. l Cu aando utodo ala celer leluz uniformemente durante 6 s a razón de 2 m/s2, después de lo cual se mueve con velocidad veloci dad constante constante.. En el insta instante nte que el auto comienza a moverse, un camión se mueve en la misma dirección con velocidad constante de 10 m/s y lo pasa ¿En qué tiempo y a que distancia se encontraran nuevamente el auto y el camión?
3. Dos móviles siguen trayectorias que se cortan formando un ángulo de 106º. Si desde la intersección de las trayectorias se desplazan con velocidades constantes de 40 m/s y 80 m/s, halle la velocidad de un tercer móvil que parte del punto de intersección y se desplaza por la bisectriz de este ángulo, para que en cualquier instante equidiste de los otros dos.
10. Se tiene un móvil que se mueve según la ecuación x= –20 + 10t –t2 . Halle para t = 10s: a) b) c) d)
4. Un automóvil se acerca hacia una pared a una velocidad constante de 10 m/s. Si en determinado instante el chofer del automóvil hace sonar la bocina, y al cabo de 10 s. escucha el eco, calcule a que distanc ancia se encontraba el automóvil cuando el chofer hizo sonar la bocina (considere que la velocidad del sonido es 340 m/s.)
La desplazamiento. ppoosici ición. El La dist distan anci ciaa re reco corr rrid idaa Su vveeloc locida idad
11. Un auto automo movi vili list staa viaj viajaa a 36 km km/h /h.. Cuando ve un mamífero en el camino, a una distancia de 40 m adelante. Si la desacelerac desac eleración ión máxima del vehíc vehículo ulo es 2 de 5 m/s . Halle. a. ¿Cuál es el tiempo de reacción ión máxi má xima ma del del auto automo movi vilis lista ta de tal tal manera que no llegue a golpear al espécimen? b. Si el tiempo de reacción es de 3,5 s ¿Cuan rápido viajara cuando golpee al mamífero?
5. Un automóvil marcha a 100 km/h por una carretera paralela a la vía del tren. ¿Cuánto tiempo empleará el automóvil en pasar a un tren de 40 m de largo que marcha ay en60el mismo km/h sentido. en la misma dirección
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su aceleración?, ¿cuál es su velocidad angular?. 19. Do Doss auto autoss viaj viajan an inic inicia ialm lmen ente te a la mism mismaa ra rapi pide dezz so sobr bree un unaa carr carrete etera ra recta. El primero lleva una delantera de 100 100 m al se segu gund ndoo. Es Este te segun egundo do automóvil desarrolla una aceleración de 2,4 m/s2. y la aceleración constante del primero es de 1,8 m/s2. Determine el tiempo necesario para que el segundo auto alcance al primero.
12. Los planos inclinados lisos dispuestos en la figura forman entre sí un ángulo de 90°¿Cuál de las partículas llegara primero al vértice O. Si las partículas so sonn solt soltad adas as en el mism mismoo inst instan ante? te? Haga su respectiva demostración.
20. Un motociclista avanza por la carretera x
a la velocidad de 40 km/h, en su camino se cruza con un camión cisterna que en es esee mo mome ment ntoo es esta taba ba en re repo poso so.. El conductor condu ctor del último inmediatam inmediatamente ente ar arra ranc ncaa el cami camión ón pers persig igui uien endo do al motociclista, aumentando su velocidad a razón de 40 km/h2. Calcule el tiempo que demora el camión en alcanzar al motociclista; y el desplazamiento que realiza el camión.
x
O 13. Un cuerpo que cae recorre “d” metros en él ultimo segundo de su movimiento Suponiendo que el cuerpo partió del reposo, halle la distancia de la cual cayo el cuerpo.
14. Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo obse cuerpo observánd rvándose ose que en el ttercer ercer segundo de su movimiento se eleva 25 m. Determine el tiempo que el cuerpo permanece en el aire.
21. Se lanza vertica verticalmente lmente hacia arriba una bola, a partir de la orilla de un edificio, a una velocidad de 25 m/s. ¿Dónde se enco encont ntra rara ra el ob obje jeto to 4 s de desp spué uéss de haber sido lanzado?, ¿Estará subiendo o bajando en ese momento?. ¿Dónde se encontrara a los 6 s?.
15. De una altura de 80 m se suelta un cuerpo A y un segundo después desde la misma altura se lanza un cuerpo B en el mismo sentido del movimiento de A. Hallar con que velocidad se lanzo B si ambas chocan simultáneamente en la superficie de la tierra.
22. Un ascensor asciende con una velocidad “V” constante y su altura es de 5 m (del techo al piso del ascens ascensor). or). Si del techo se desprende un perno. ¿Cuál debe ser el valor de “V” para que
16. Un ascensor desc escien iende con una velocidad V constante y su altura es de 4,9 m (del techo al piso del ascensor). Si del techo se desprende un perno. ¿Cuál debe ser el valor de v para que cu cuan ando do el pern pernoo lleg llegue ue al piso piso del del ascensor, este haya bajado 3,5 m?
cuan cu ando do elestepern pehaya rnoo bajado lleg llegue ue 3,5? al piso piso del del ascensor,
23. Un carrito de demostraciones se mueve a lo largo de una regla con aceleración cons consta tant nte. e. Cu Cuan ando do el cr cron onóóme metr troo marc ma rcab abaa t1 = 7 s, el carrito se encontraba en x1 = 70 cm; en el tiempo
17. Un cuerpo que cae libremente recorre durante él último segundo de su caída la mita mitadd de dell camin caminoo total total.. Ha Halle lle la altura de la cual el cuerpo se deja caer.
24. t2 = 9 s, x2 = 80 cm; y en el instante t3 = 15 s, x3 = 230 cm ¿Qué aceleración poseía el carrito?
18. Un piloto de avión se lanza hacia abajo para describir un rizo siguiendo un arco de circunferencia cuyo radio es 300 m. En la parte inferior de la trayectoria,
25. Un automóvil viaja a razón de 25 km/h durante 4 minutos, después a 50 km/h durante 8 minutos y finalmente a 20 km/h durante 2 minutos. Encuentre:
donde su velocidad es de 180 km/h, ¿cuáles son la dirección y el modulo de
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b. Que distancia recorre hasta quedar en reposo.
a) La dis distan tancia cia total total rreco ecorri rrida da eenn kkm. m. b) La rapidez media de todo el viaje en m/s. 26. Desd Desdee el piso se lanza hacia arriba arriba una piedra, 2 segundos más tarde del mismo punto y con la misma velocidad ini inicia ciall se lanz lanzaa tam tambié biénn hac hacia ia arriba arriba otra piedra que alcanza a la primera después de 4 s. Determine la máxima altura que alcanza la primera piedra.
32. Después de saltar de un helicóptero, un paracaidista cae 78,40 m en forma libre, y abre en ese instante el paracaídas, lo cual cual le pro rodu duce ce un re reta tard rdoo en su 2 velocidad de 2 m/s , llegando al suelo con una velocidad de 1,2 m/s ¿Cuánto tiempo estuvo en el aire?
27. Un piloto suelta una bomba desde un
33. La ley de movimiento para dos móviles A y B viene dado por: A → x = 4t2 + 5t – 1
helicóptero estático en el aire y después de 120 s escucha la detonación. Si la velocidad del sonido es igual a 343 m/s, halle la velocidad de la bomba al tocar tierra.
B → x = 3t2 + 5t +8 En los cual cuales es x est estaa en met metros ros y t en segundos. Halle la velocidad de A en el momento en que se cruzan.
28. Una bola se lanza verticalmente hacia arrib arriba, a, de desd sdee la part partee infe inferio riorr de la ventana de un edificio que se halla a 10m. del suelo. Si la bola permanece en el aire 2 segundos. ¿Qué altura deberá tener la ventana, en metros, para que la bola alcance su punto de máxima altura justamente en la parte superior de la ventana.
34. Una maceta cae desde una repisa de un edificio de departamentos. Una persona de departamento inferior tiene un un cronómetro observa que laque maceta tarda 0,1 segundos en pasar a través de su vent ventan anaa qu quee tien tienee dos dos me metr tros os de altu altura ra.. ¿Q ¿Qué ué altu altura ra so sobr bree el bo bord rdee superior de la ventana esta la repisa de la cual cayo la maceta?.
29. Dos móviles, separados 2,7 km parten en el mismo instante de A y B. El de B parte del reposo y con aceleración constan tante y el de A lo hace con velocidad constante. Si el movimiento de am ambbos es hacia acia la derec erecha ha,, se encuentran al cabo de 1 minuto y si es hacia la izquierda al cabo de 3 minutos. Halle la desaceleración de B en m/s2.
35. Un rifle disp dispara ara una bala verticalm verticalmente ente hacia arriba con una velocidad inicial de 300 m/s de salida en la boca del arma. Despreciando la fricción con el aire. ¿Cuál es la altura máxima ima alcanzada por la bala.
30. Se tienen dos cuerpos en la misma línea
Halle la velocidad media y la 36. aceleración media entre t = 1s y t = 5s.
vertical separados una distancia de 32 m. Los cuerpos son puestos simult sim ultáne áneamen amente te en mov movimie imiento nto,, de modo que el de arriba se deja caer, y el de abajo es lanzado hacia arriba con velocidad de 8 m/s. ¿Después de cuánto tiem tiempo po los los cuer cuerpo poss se encu encuen entr tran an?. ?. Localice el punto de encuentro.
Para un móvil que se mueve según su ecuación de posición ˆ y su velocidad r = 2t 2iˆ + (4t + 1) jˆ − t 3k ˆ. v = 4t iˆ + 4 jˆ − 3t 2 k
37. En el pozo de la figura caen gotas de agua a razón de 1 gota/s. Un objeto asciende a una velocidad constante de 10 m/s, y es alcanzado por una gota cuando esta a una profundidad h = 490 m ¿Cuánto subirá el objeto aproximadamente, en metros, hasta ser alcanzado por la siguiente gota?
31. Un auto que se desplaza en movimiento re rect ctil ilín íneo eo a lo larg largoo del del eje eje x con con velocidad constante 45 m/s de pronto frena en un stop. Si la deceleración es 2
de m/s tiempo . dura el frenado hasta a. 6Que quedar en reposo. 48
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semáforo, determine la distancia desde donde el chofer ve el semáforo. (considere tiempo de reacción media de un conductor 7/10 s)
V
V
490 m v 38. Un jab jabalí alí se mu muev evee de ma mane nera ra no uniforme por el bosque, y tiene entre los instantes de tiempo de 3 s y 12 s, las velocidades de (5iˆ - 3 jˆ ) m/s y de (3iˆ + 5 jˆ ) m/s. Encuentre:
42. Desde la azotea de un edificio de 100 metros de altura se lanza, un pequeño misil de prueba, con una velocidad de 40 m/s hacia arriba, Calcule:
a. La aceler leración media en ese intervalo de tiempo. b. El desplazamiento, si su velocidad ˆi + 4 j ˆ ) m/s, /s, en el media es (-12ˆ anterior intervalo de tiempo.
a) En que tiempo llega el misil a la base del edificio velocid idad ad de impa impacto cto con con la b) La veloc base del edificio c) La posición con respecto a la base del edificio después de 8 segundos de su lanzamiento. para t = 6 segundos d) La velocidad para
39. Un glo globo bo aero aerost státi ático co asci ascien ende de con con ve velo loci cida dadd cons consta tant ntee de 10 m/s. m/s. Si después de cuatro segundos de haber partido se suelta una piedra del globo. Se pide determine:
43. La gráfica velocidad (v) versus tiempo (t (t)) que se mu mues estr tra, a, repre eprese sent ntaa el movimiento de un objeto con M.R.U.V. Determine:
a) Su posición de la piedra en t = 2 s b) c) d) e)
después de haber sido soltada. El tiempo que demora la piedra en llegar a tierra. La altura máxima alcanzada por la piedra, con respecto a tierra. La velocidad de la piedra cuando impacta con el piso. La posición del globo, con respecto a tier tierra ra cuan cuando do la pied piedra ra tien tienee velocidad nula.
a) La ecuación de su velocidad. b) Su desplazamiento, en metros, para t = 2 segundos. c) La posición para t =2s, si su posición inicial es de –6m. v (m/s) 50 40 30 20 10
40. En un cierto instante una partícula, que se desplaza a lo largo de aceleración una curva tiene una velocidad y una dada por las relaciones → → ˆ m/s y a = 2iˆ + 18k ˆ v = 6iˆ − 2 jˆ + 27k m/s2, determine:
a. El radio de curvatura. b. Su aceleración normal y tangencial. → → c. El ángulo entre los vectores v y a en dicho instante.
41. Un auto viaja a 20 m/s, cuando ve el semáforo en rojo y aplica los frenos,
t s
1 2 3 4 5 44. Dos móviles A y B parten desde x 0A= 10 m y x0B= – 800 m respectivamente, siendo sus gráficas velocidad – tiempo la que se muestra en la figura. ¿Qué dis ista tanncia los separa cuan cuanddo sus velocidades se igualen?
v (m/s) 28
B A
rmovimiento etardando a razón uniforde mem nte 2. Si selu 5 em/s au auto to se deti detien enee just justoo al la lado do del del
53º -12
t (s)
49
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45. Un pu punt ntoo ma mate teri rial al se desp despla laza za en movimiento rectilíneo a lo largo del eje x según la gráfica mostrada determine: a. El tiempo que tarda en llegar al reposo. b. Si partió de xo = 5m, determine la posición final del móvil. v
48. La gr gráf áfic icaa po posi sici ción ón tiem tiempo po qu quee se muestra describe el desplazamiento de un obje objeto to con con re resp spec ecto to a un cier cierto to marc ma rcoo de re refe fere renc ncia ia.. De Dete term rmin inar ar el valor y signo de la mayor velocidad que se pr pres esen enta ta a lo larg largoo de to todo do el movimie mov imiento nto,, y ade además más,, la vel veloci ocidad dad media en el intervalo de tiempo de 4 a 10 s. x (m) 50
5
t
-10
20
Un pu punt ntoo ma mate teri rial al se de spla laza za eje en 46. movimiento rectilíneo a lo desp largo del x según la gráfica mostrada determine: a. El tiempo que tarda en llegar al reposo. b. La dis distan tancia cia total total rec recorr orrida ida has hasta ta quedar en reposo. v (m/s)
10
37º
9
-10
0
2
4
5
10 11
49. Un pr proy oyec ecti till es disp dispar arad adoo con con un unaa velocidad de 20 m/s, bajo un ángulo de 37º con la horizontal, desde la azotea de un edificio de 4 m de altura, tal como se muestra en la figura. Simultáneamente desde el punto B parte un móvil con velocidad constante de 40 m/s. Halle la distancia AB sabiendo que los cuerpos chocan en C.
υ
0
40
53º 100
47. De Dell gr gráf áfic icoo calc calcul ulee la po posi sició ciónn del del móvil para t = 5s. si en t = 3 s el móvil se encontraba en x= +8 m.
37º
o
4m
υ´ v (m/s)
A
5 -20
t (s)
C
B
50. Una bola se desplaza a 30 cm/s y cae al borde de una mesa de 80 cm de altura. a. ¿Qué tiempo demora en llegar al suelo?, distancia pie la me mesa sa¿alaqué bo bola la choc chocaa del cont contra ra de el suelo?.
t (s)
50
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b. ¿Cuá ¿Cuáll es la velo veloci cida dadd con con qu quee impacta contra el piso?.
d. Las velocidades de los cuerpos en el instante en que se encuentran. 55. Desde un plano inclinado un ángulo α, es lanzada una piedra con una velocidad inicial vo y perpendicular al plano. ¿A qué distancia del punto de lanza lanzamiento miento cae está piedra?
51. Co Conn igua iguall rapi rapide dezz v se lanz lanzan an las las esferas y al mismo tiempo. Si tanα=1 =1/3 /3.. Halle alle ß para ara que que esto estoss choquen.
56. Se lanza una pequeña piedra con una velo veloci cida dadd de 10 m/ m/ss en la fo form rmaa mostrada en la figura. Si la piedra se introduce en un tubo que se orienta 45º respecto a la vertical, de modo que el movimiento de la piedra coincide con el eje del tubo, se pide calcular los valores de x e y en el instante que la piedra penetra en el tubo.
v
v
β
α
52. Al mi missmo in insstan tante se lan lanzan zan dos dos cuerpos A y B con velocidad de igual magnitud. Hallar la distancia X si se sabe que A y B chocan en H/2. A
v
V 45º
53º H
y H/2
1,2 m
v
x 57. Un carro carro se mue mueve ve por pro propul pulsió siónn a 2 chorro acelerando a 1,5 m/s , cuando llega llega al bo bord rdee de un desf desfil ilad ader eroo su velocidad era 13,4 m/s. ¿Cuál será el alcance del carro asumiendo que los cohe cohete tess toda todaví víaa fu func ncio iona nann y que que la altura del desfiladero es 150 m?
x B 53. En el punto O hay un cañón; el cual lanz lanzaa do doss proy proyec ectil tiles es bajo bajo ángu ángulo loss diferentes. Si los proyectiles alcanzan la misma misma altu altura ra h; H Halle alle el áángulo ngulo de lanzamiento del segundo proyectil. ( β). Si vOA = 30 m/s y vOB = 25 m/s
a = 1,5 m/s2
y A 30º
B
O 54. Dos cuerpos A y B, cuyas verticales se encuentran separadas 8 m se lanzan al encuentro. El cuerpo A se encuentra a 2 m y el B a 6 m del suelo; A es lanzado horizontalmente con una velocidad de 8 m/s. y B hacia abajo con una velocidad inicial tal que forma un ángulo de 45º con la horizontal. Calcule: a. La velocidad inicial de B. b. La Lass co coor orde dena nada dass del del pu punt ntoo de encuentro. c. El tiempo que tardan los cuerpos hasta el encuentro.
v = 13,4 m/s
150m
x
R
58. Un pro roye yect ctil il es lan lanzad zado con una velocidad velocid ad vo en un plano lano como como se indica. ind ica. Det Determ ermine ine el des despla plazam zamien iento to AB sobre el plano inclinado.
vO
B
α β
A
51
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59. Dos
pelotas son lanzadas simultáneamente desde los puntos A y B con las direcciones que se indican en la figura y sabiendo que vA = 20 m/s; y que si chocan en un punto P en el aire, determine la velocidad en dicho punto de la pelota lanzada desde B. vB 37º B
vA
63. Deter Determin minar ar la veloc velocid idad ad con con la cual cual debe lanzarse un objeto desde M para que al caer en P llegue simultáneamente con otro objeto lanzado horizontalmente 10 s después desde Q con una velocidad de 48 m/s.
v M
10 m A
θ 220 m
53º
Q
40 m
60. Un dardo se lanza desde un punto a la velocidad vo = 25 m/s y con un ángulo de inclinación θ = 45°, con la horizontal, y se incrusta perpendicularmente en = 60° una con pared incl inclin inad adaa un ángu ángulo lo α la horizontal [sentido horario]. Calcule el tiem tiempo po de viaj viajee del del proy proyec ectil til,, y su rapidez en el instante en que impacta contra la pared.
480 m
480 m
64. Según la figura mostrada, determine el tiempo a partir de la posición de la figura, en que el avión debe soltar una bomba para destruir el barco.(velocidad del avión = 200 m/s y velocidad del barco 10 m/s)
61. Un esquiador sale de la cima de una loma (A) con una velocidad de 40 m/s. Determinar a que distancia de “A” el esquiador vuelve a la loma. 1000 m vO A 37º
19 km
62. El grafico que muestra la figura, es el lanzamiento de un penal a 12 m del arco, de 2 m de altura, si el disparo choc chocaa en el para parant ntee ho hori rizo zont ntal al y su velocidad inicial fue de 20 m/s. ¿Con que angulo(s) se lanzo el balon? 20 m/s 2m
θ 12m
65. Ud. discute con su novia(o) y en un momento de la pelea, la lanza con una ra rapi pide dezz vo = 15 m/s m/s.. Ha Haci cien endo do un ángulo de lanzamiento ß = 36,87°. a. Halle las componentes de la velocidad inicial Vo, y exprese el vector Vo = Vox iˆ + Voy jˆ . b. Encuentre los vectores unitarios en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria, cuando t = 3 s.
52
66. Des esde de el punt puntoo A de la figu figura ra se
69. Un acróbata debe conducir un auto a
dispara un proyectil con una inclinación do 53º. Si la altura máxima alcanzada por el proyectil respecto al eje x es 50 m. Determine: a. Su velocidad inicial. b. Su alcance horizontal.
través del pozo de agua mostrado en la figura. Determinar la mínima velocidad que le debe imprimir el auto y el ángulo “θ” de la rampa.
Y
3m 1
Vo 2
θ
53 12m 20 m B 30 m
O
x
67. Conque velocidad angular debe girar el disco horizontal de la figura, para que la partícula que suelta caiga justo sobre el punto P, después que el disco de dos vueltas.
70. Según la figura mostrada, se lanza un proyectil del punto A, determine: (Considere O como origen de coordenadas) a. La ppos osici ición ón B (a (altu ltura ra m máx áxim ima) a).. b. La velocidad en C y
B
Vo = (10+20) m/s
ω
A
9,8m 105m
C
P O
68. Un jugador de básquet lanza la pelota y encesta como lo muestra la figura.
x
71. Halle la distancia “d” que esta protegida cont contra ra los los pr proy oyec ecti tile less que que lan lanza za el cañón mostrado. Desprecie la altura del cañón.
φ
vo 60º
0,75 m 5m
a. Halle la velocidad de lanzamiento del balón Hall Ha llee el áng ángul uloo φ qu quee el vect vector or b. velocidad de la pelota forma con la vertical cuando encesta.
Vo = 200 m/s
1000 m
100 m
d
72. En la figura de muestra dos proyectiles que son lanzados con la misma rapidez inicial y simultáneamente. Determine: a. La aalt ltur uraa má máxi xima ma ddel el ppro roye yecti ctill qu quee llega más alto. b. ¿Que proyectil logra el alcance horizo hor izonta ntall máx máximo imo?, ?, Det Determ ermine ine dicho alcance. y
vO=100 m/s 37º
vO=100 m/s 37º
x 73. Un cuerpo parte de un punto A de una circunferencia y acelera a razón de 2 rad/s2. En cierto instante pasa por un punto B, y un segundo después pasa por un punto C. Si BC = 90º, calcule la velocidad angular en C y el tiempo transcurrido desde A hasta B.
74. Un Unaa pa part rtíc ícul ulaa part partee del del repo reposo so,, con con MCUV Entre dos instantes de tiempo (tA, tB) de desc scri ribe be un ángu ángulo lo cent centra rall equivalente a 125 rev demorándose 2 minutos. Si en el instante tB, tiene una velocidad angular de 80 rpm determine él númer númeroo de revo revolu luci cion ones es desd desdee el reposo hasta el instante tB.
75. Un móvil da 90 RPM, se pide calcular:
•• Su Su periodo. frecuencia. • Su rapidez angular. 76. Un mó móvvil tien tienee la sigu siguie ient ntee ley ley de movimiento x=15+ movimiento x=15+24t–3 24t–3tt2, se pide calcular para t = 6 segundos. a. La po posi sici ción ón del del m móv óvil il b. El desplazamiento c. La ddis ista tanc ncia ia rrec ecor orri rida da d. La veloc locidad e. La ac aceeler leración ión
77. Un disco gira a partir del reposo con una aceleración angular constante. Si la seg egun undda vuelt ueltaa la dio dio en 0. 0.96 96 s.
Encuentre el tiempo que tarda en dar la primera vuelta y su aceleración angular. 78. ¿Co ¿Conn qué rap rapide idezz tan tangen gencia ciall deb deberá erá girar un punto situado en la periferia de la plata platafo form rmaa circu circula lar, r, para para que que un ho homb mbre re part partie iend ndoo de dich dichoo punt puntoo (si (sigui guiend endoo una tra trayec yector toria ia rec rectilí tilínea nea)) con una velocidad constante de 7 km/h. lleg llegue ue a un pu punt ntoo diam diamet etra ralm lmen ente te opuesto, después que la plataforma ha dado una revolución alrededor de su eje? ( π = 22/7)
79. Un Unaa part partícu ícula la part partee del del re repo poso so con con
MCUV y con una aceleración angular α = (6/7) rad/s2. en una trayectoria cuyo radio es (49/6) m. ¿Cuál es la acel aceler erac ació iónn tota totall de la part partíc ícul ulaa al término del segundo segundo?
80. Dos móv móvile iless par parten ten sim simult ultáne áneame amente nte desde el mismo punto y en el mismo sent se ntido ido re reco rrien iendo do esta un unaa animado tr tray ayec ecto tori ria circular. Elcorr primero dea movi mo vimi mien ento to un unif ifor orme me de velo velocid cidad ad angular 2 rad/s, y el segundo hace su re reco corr rrid idoo con con acel aceler erac ació iónn angu angula larr 2 cons consta tant ntee de 1 ra radd/s y vel veloci ocidad dad angu angula larr inic inicia iall de 2 ra rad/ d/s. s. ¿Cuá ¿Cuánt ntoo tiem tiempo po tard tardar aran an en enco encont ntra rars rsee de nuevo?
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DINÁMICA Las Leyes de Newton son los pilares de la mecánica, son tres principios con relación al ¿porqué del movimiento de los cuerpos?. La formulación matemática de estas leyes fue publicada por Isa Isaac ac New Newton ton en 1687 1687,, en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.. Estas leyes constituyen, Mathematica constituyen, junto con las transformaciones de Galileo Galileo,, la base de la mecánica clásica. clásica. En el tercer volumen de los Principia, Newton mostró que, combinando estas leyes con la Ley de gravitación universal universal,, se pueden deducir y explicar las Leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas. Las leyes de Newton son validas para sistemas de referencia inerciales, inerciales, es decir, sistemas de referencia en reposo o con MRU. En sistemas de referencia no–inerciales, no–inerciales, es decir, acelerados junto con las fuerzas reales deben incluirse las llamadas fuerzas ficticias ficticias o o fuerzas de inercia inerc ia que añaden términos suplemen suplementarios tarios capaces de explic explicar ar el movim movimiento iento de un siste sistema ma cerrado de partículas clásicas que interactúan entre sí.
Fuerza. Definimos fuerza como la interacción entre dos cuerpos, capaz de deformar o cambiar el estado de movimiento de los cuerpos. Tipos de fuerza Fuerzas de contacto. • La normal. Es una componente del resultado de la interacción efectiva entre dos cuerpo cue rposs en con contac tacto to (re (reacci acción) ón).. Su nat natura uralez lezaa es ele electr ctroma omagné gnétic ticaa y siempr siempree es perpendicular a la superficie de contacto.
•
La fricción. Si dos cuerpos están en contacto y hay un desplazamiento tangencial entre ellos o un intento de desplazamiento, entonces aparece esta fuerza de rozamiento, que siempre siemp re es tange tangente nte a la trayector trayectoria ia y en su mayoría de casos se opon oponee al movim movimiento, iento, pocas veces se encuentra a favor favor del movimiento.
•
La tensión. Generalmente es una fuerza que aparece en las cuerdas, como resultado del estiramiento de la cuerda por fuerzas en sus extremos.
|
Fuerzas de acción a distancia.
•
El peso. Es el resultado de la interacción entre la tierra y los cuerpos que la rodean. Su dirección es hacia el centro de la tierra (hacia abajo en una pequeña porción de tierra).
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Medición de una fuerza. Una fuerza se mide a través de un dinamómetro , que es un resorte calibrado que obedece a la ley de Hooke. Cuyo modelo matemático, es: F = −kx
Donde F es la fuerza que ejerce el resorte, x es el estiramiento o deformación del resorte, k es la constante elástica del resorte y el signo menos obedece a que la fuerza del resorte siempre es opuesta a la deformación.
Primera Ley o Ley de Inercia. (ley Inercia. (ley del equilibrio)
•
Si la fuerza resultante resultante sobre un cuerpo cuerpo es nula, el cuerpo cuerpo se encuentr encuentra a en equilibrio, equilibrio, en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que actúe sobre él una fuerza resultante que le obligue a cambiar dicho estado estacionario.
La Primera ley constituye una definición de la fuerza como causa de las variaciones de velocidad de los cuerpos e introduce en física el concepto de sistema de referencia inercial inercial..
Segunda Ley
•
Si la fuerza fuerza resultant resultantee sobre sobre un cuerpo cuerpo es dif difere erente nte de cero, cero, entonces entonces el cuerpo cuerpo presenta aceleración, aceler ación, esta aceleración es proporcional a la fuerza fuerz a resultante aplicada e inversamente proporcional a la masa del cuerpo.
Existen otras maneras de formular la segunda ley de Newton, que relaciona las fuerzas actuantes y la variación de la cantidad de movimiento o momento lineal. La formulación siguiente es válida tanto en mecánica newtoniana como en mecánica relativista:
•
de un cuerpo es proporcional a la resultante total de La variación de momento lineal de las fuerzas actuando sobre dicho cuerpo y se produce en la dirección en que actúan las fuerzas.
En esta parte de la mecánica, ya nos preocupamos del ¿Por qué? del movimiento, que origina el movimiento. La explicación, radica en las fuerzas, de todo esto se ocupo Isaac Newton, al enunciar las tres leyes de la mecánica, que son el pilar en el desarrollo y entendimiento de la mecánica. Matemáticamente: →
F =
→
d p dt
→
→
, con p = m v
Efectuando la derivada →
F =
→
d (m v ) dt
=m
→
d v dt
→
+v
dm
m = constante =
si
dt
dm dt
=0
La masa m, puede ser variable, como por ejemplo en el lanzamiento de un cohete al espacio, si m es constante, llegamos a la formulación de la segunda ley de Newton. →
∴
→
d v = m dt F
→
= ma
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Donde si la analizamos desde la causalidad, debe ser expresada de la siguiente forma: →
∴
a
→
=
F m
Tercera Ley de Newton o Ley de acción y reacción
•
Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza igual pero de dirección opuesta al cuerpo que la produjo . Dicho de otra forma: Las fuerzas siempre s iempre se presentan en pares de igual magnitud y dirección opuesta.
• No se equilibran por actuar en cuerpos cuerpos diferentes. • Son de la misma naturaleza, es decir, a un peso le corresponde un peso de reacción, a una normal le corresponde una normal, etc. et c.
Dinámica Lineal. Sin la trayectoria de una partícula es una línea recta y las fuerzas que actúan tienen una resultante en la línea recta, entonces la aceleración lineal se puede calcular, por: →
a
=
∑
→
FAVOR F
+
∑
→
F CONTRA
m
ESTRATEGIA DE SOLUCION DE PROBLEMAS
• Hacer el DCL del cuerpo o de los cuerpos en estudio. • Definir una posible dirección del movimiento
•
Aplicar la ecuación anterior. Si la aceleración tiene signo negativo, este signo nos esta indicando que el móvil se mueve en dirección opuesta al que hemos asumido.
Dinámica circular. Si la trayectoria descrita es una circunferencia, entonces existe fuerza resultante radial, es decir en la dirección del radio, esta fuerza es la fuerza centrípeta y es responsable del cambio en la dirección de su movimiento. mv 2
→
a
=
R
2
∑
→
F ADENTRO
= mRω =
+
∑
→
F AFUERA
m
Falta dinamica circular
ESTRATEGIA DE SOLUCION DE PROBLEMAS
• Hacer el DCL del cuerpo o de los cuerpos en estudio. • Definir la circunferencia donde se produce el movimiento. • Trazar los ejes de referencia. Uno a partir del centro de la circunferencia hacia la masa •
en estudio y el otro eje perpendicular a este. Aplicar la ecuación anterior al eje radial.
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PROBLEMAS RESUELTOS - DINAMICA 1. N bloques idénticos (cada uno con una masa mo) están situados sobre una mesa sin
rozamiento como se muestra en la figura. si se empuja a la primera masa con una fuerza horizontal P, responda: a. ¿Con qué aceleración se mueve el conjunto?. b. ¿Cuál es la fuerza con que actúa la masa de la posición [N–1] sobre la masa de la posición [N]?.
Solución:
a. ¿Con qué aceleración se mueve el conjunto? La segunda Ley de Newton indica que: F = ma
(1)
Aplicándola a todo el conjunto, la única fuerza externa es la fuerza “P”, y la masa del sistema es: mo + mo + mo+ ... = Nmo: P = Nmo a
(1a)
Despejando la aceleración “a” en la ec. (1a), se obtiene que: a = P/(Nmo)
(1b)
b. Aplicando la segunda Ley de Newton a solo el último bloque: f = mo a (1c) Donde “f” es la fuerza buscada y sería la única fuerza que actúa sobre el enésimo bloque. Como la aceleración no es dato, hay que reemplazarla la expresión (1b) en (1c), para encontrar que:
f = mo P/(Nmo) = P/N
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2. Si el sistema (m1 = 12 kg, m2 = 8 kg, tangθ = 3/4) se deja en reposo, encuentre: a. La aceleración con que se mueve el bloque 2. b. La tensión de la cuerda.
Solución: Primero se hace el diagrama de cuerpo libre de cada bloque, es decir, se aísla cada cuerpo del resto y se le dibujan las fuerzas que actúan sobre cada bloque. Estos esquemas se muestran a lado derecho de la figura. En el caso del bloque que está sobre el plano inclinado, es conveniente descomponer todas las fuerzas en las direcciones paralela y perpendicular a dicho plano. plano.
a. hay que aplicar la segunda Ley de Newton a cada cuerpo, en la dirección en que se mueven. Σ F = m a Bloque 1:
T – m1 g g senθ = m1a
(2a)
Bloque 2:
m2 g g – T = m2a
(2b)
En donde se ha tenido en cuenta que las tensiones a ambos lados de la polea son iguales, y que los bloques se mueven a la misma velocidad. Además de que el sentido en que se muev mu even en es con con el bloq bloque ue 2 desc descen enddiend iendo. o. Es Este te se sent ntid idoo es toma tomado do al inic inicio io arbitrariamente. Si el resultado numérico de la aceleración sale positivo, el sentido se tomó como correcto, si sucede que el signo de la aceleración es negativo, el sentido se tomóó equ tom equivo ivocad cadame amente nte.. En cua cualqu lquiera iera de los dos casos casos,, el val valor or abs absolu oluto to de la aceleración es el mismo. Sumando (2a) + (2b), se encuentra que: m2 g g – m1 g g senθ = ( m1 + m2 ) ) a
(2c)
Despejando la aceleración y reemplazando los datos en la ec. (2c) se obtiene que: a = 0,392 m/s2
b. La tensión de la cuerda se puede hallar despejando de la ec. (2a) o ec. (2b), usando
la aceleración como dato, calculando se halla que: T = 75,264 N
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3. Un auto viaja a 29,4 m/s, por una carretera horizontal. Los coeficientes de fricción entre la carretera y los neumáticos son 0,6 y 0,4. ¿cuánto tiempo tardará el auto en llegar al reposo si se frena: a. suavemente. b. con dureza. Solución:
a. La figura muestra a las fuerzas que actúan sobre el auto cuando éste se frena. Ya que no hay aceleración vertical, la primera Ley de Newton indica que:
ΣFy = N – mg = 0
(3a)
Donde N es la fuerza normal. Para simplificar, se supuso que el peso del auto se distribuye por igual sobre las cuatro ruedas y que los frenos se aplican a las cuatro ruedas. Cuando se frena suavemente, las ruedas no deslizan, esto significa que la fuerza de fricción que ejerce la cartera es estática. Si se aplica la segunda Ley de Newton en la dirección horizontal se obtiene:
ΣFx = f = – µ N sN = m a
(3b)
En dond dondee se ha cons consid ider erad adoo el sent sentid idoo de la velo velocid cidad ad como como posi positiv tiva. a. µs es el coeficiente de rozamiento estático. Usando (3a) en (3b), despejando la aceleración se encuentra: a =
– µ N/m sN/m = – µsmg/m = – µsg
(3c)
Y reemplazando los datos en la ec. (3c), se halla que: a = –5,88 m/s2. Para encontrar el tiempo que tarda en frenar se usa las ec. del MRU. v = vo + a t
(3d)
Donde v = 0, despejando t en (3d), y calculando con los datos se obtiene: t=5s b. cuando el vehículo se frena con dureza, las ruedas se bloquean, es decir, se deslizarán por la carretera y la fuerza de frenado será de fricción cinética. El razonamiento usado en la parte (a) es el mismo que puede emplearse en esta pregunta. El único cambio que debe hacerse es emplear el coeficiente de rozamiento cinético: a =
– µkg
El tiempo también se halla con la ec. (3d): t = –vo/ a Entonces los valores serán ahora: a = –3,92 m/s2,
t = 7,5 s
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4. Un coch cochee de ma masa sa 1 200 200 kg viaj viajaa por por una una carr carret eter eraa hori horizo zont ntal al desc describ ribie iend ndoo un unaa
circunferencia de 27 m de radio. Si el coeficiente de fricción estática entre las llantas del coche y la pista es 0,6; ¿cuál es la máxima velocidad a la que puede ir el auto sin patinar?. Solución: La figu figura ra mues uestra tra el diag iagra rama ma de fu fuer erza za correspondiente al auto. La fuerza normal se debe equilibrar con el peso: N – mg = 0 (4a) La única fuerza horizontal que obliga al vehículo a seguir la trayectoria de una circunferencia es la fuerza de rozamiento estático y debe ser igual a la fuerza centrípeta: f = mv2/R
(4b)
Entonces se deduce que la velocidad máxima a la que puede ir el auto, ocurre cuando la fuerza de rozamiento estático toma su máximo valor: v(máx) ⇒ f (máx) (máx) = µ N
(4c)
Si se despeja “v” de la ec. (4b), se usa (4c) y luego (4a), se encuentra que: v(máx) =
f(máx) R/m
=
µ NR / m = µmgR / m = µ gR
(4d)
y se reemplaza los valores numéricos en la ec. (4d), se obtiene: v(máx) = 12,6 m/s
5. Una piedra atada a una cuerda gira uniformemente en un plano vertical. Si la diferencia entre la tensión máxima y la tensión mínima de la cuerda es de 9,8 N. ¿cuál es la masa de la piedra? Solución: La tensión máxima y la tensión mínima, ocurren en los puntos más bajo y más alto respectivamente. Como se trata de un movimiento cir circul cular, ar, hay un unaa fue fuerza rza resul resultan tante te dir dirigid igidaa hac hacia ia el cen centro tro de la circunferencia, que es la fuerza centrípeta:
ΣF = mv2/R
(5)
Aplicando la definición de fuerza centrípeta, en cada uno de los puntos (1 y 2): Punto más alto (1):
T1 + mg = mv2/R
(5a)
Punto más bajo (2):
T2 – mg = mv2/R
(5b)
Donde se ha tomado en cuenta que la veloc Donde velocidad idad es la misma misma,, ya que se menciona que gira uniformemente. Ya que el dato que se menciona es: T2 – T1 = 9,8 N, Lo adecuado sería restar restar las ecuaciones, (5b) – (5a): T2 – T1 – 2mg = 0
(5c)
Despejando “m” en (5c) y reemplazando reemplazando los datos, se encuentra que: m=0,5 kg
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6. Un hombre de 700 N. se encuentra de pie sobre una báscula en el piso de un elevador. La
báscula registra la fuerza de todo lo que se ponga sobre ella ella ¿Cuál es la lectura de la balanza si el elevador tiene una aceleración de:
a. 2 m/s2 hacia arriba. b.
g hacia abajo.
Solución: a. Cuando el elev levador sube, se tiene un peso aparente, que marca la báscula de : WA = m( g + a ) ⇒ si a = 2 m/s2. WA = 842,86 N b. Cuando el elevador baja, se tendrá un peso aparente de: mg
WA= m(g –g) ⇒ si a = g
WA = 0 N 7. Dos masas m1 y m2 unidas mediante una cuerda flexible se colocan sobre un par de planos inclinados, tal como se indica en la figura. No hay rozamiento. Halle la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda.
m1
m2
θ1 Solución:
θ2 T
DCL de m1:
Asumi sumien endo do que el mo movvim imie ient ntoo es haci haciaa la entonc nces es tene tenemo moss lo direc ireccció iónn de m1gsenθ1, ento siguiente:
N m1 m1gsenθ1
Del DCL de m1
θ1 m1g
m1gcosθ1
m1gsenθ1 – T = m1 a .....(1)
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DCL de m2:
Del DCL de m2 El movimiento es hacia la dirección de T, entonces tenemos lo siguiente: T – m2gsenθ2 = m2a ......(2)
T m2 m2gcosθ2
θ2
Sumando (1) y (2) se tiene: m2gsenθ2 m2g
g(m1senθ1 – m2senθ2) = (m1 + m2) a a=
g (m1 senθ1 − m2 senθ 2 ) m1 + m2
.....(3)
Hallamos la tensión reemplazando (3) en (1): T =
m1m2 g ( senθ 1 + senθ2 ) m1 + m2
8. Una masa de 15 kg desliza en un plano inclinado
30º con la horizontal, y está unida mediante una cuerda que pasa por una polea, a una masa su susp spen endi dida da libr librem emen ente te de 35 kg kg.. como como se mues mu estr traa en la figu figura ra.. Ha Halle lle la ten tensi sión ón en la cuerda y la aceleración del sistema, suponiendo = 0,2. que el coeficiente µk =
30º
Solución: DCL de la masa de m1 = 15 kg : con θ = 30º y g = 10 m/s 2.
T N
θ
Analizando las fuerzas en la dirección normal, sin movimiento, se tiene: m1gcosθ
m1g
DCL de la masa de m2 = 35 kg : T
El mo movi vimi mien ento to es haci haciaa la dire direcc cció iónn de T, entonces tenemos lo siguiente: T – (m1gsenθ + Fr ) = m1 a .....(1)
m1 Fr m1gsenθ
Del DCL de m1
N = m1gcosθ .....(2) Además: Fr = = µ N ⇒DCL θ.....(3) Fr = = µde mm1gcos Del 2 (3 (3)) en (1 (1)) : El movimiento es hacia la dirección de m2g, entonces θ + µ m1gcosθ ) = m1 a .....(4) T – (m1logsen tenemos siguiente: m2g – T = m2 a .....(5) Sumando (4) y (5) se tiene: g[m2 – (m1senθ + µm1cosθ)] = (m1 + m2)a θ + µ m1 cos θ )] g [m 2 − (m1 sen a= .....(6)
m1 + m 2
a
2
a63 4.88 m/s T = m2(g – a) = 172,17 N
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m2
m2g
9. En la figura los pesos de los objetos son 200 N y 300 N.
Se considera que las poleas no tienen fricción y que sus masa ma sass son son desp despre reci ciab able les. s. La po polea lea P1 tien tienee un eje estacionario, la polea P2 puede subir o bajar libremente. Calcule las tensiones T1 y T2 así como la aceleración del cuerpo A.
P1 T2 P2 T1 A
B
Solución:
200 N
300 N
DCL de A:
DCL de P1:
El movimiento es hacia el peso de 200 N, entonces: 200 – T2 = 20 a A .....(1)
T2 a A Cons Co nsid ider eran ando do desp despre reci ciab able le la ma masa sa de la polea, se tiene:
T2
T2
2T2 = T1 .....(3) T1 Además considerando que el desplazamiento de A es el doble del desplazamiento de B, se tiene: a A = 2a B .....(4)
A
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200N
DCL de B:
T1
El mo movvimie imient ntoo es haci haciaa la tensión T1 entonces: T1 – 300 = 30 a B .....(2)
a B B 300N
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2), (3) y (4) obtenemos: a A = 1,78 m / s 2 a B = 0,89 m / s 2
T1 = 326,7 N T2 = 163,35 N 10. En el sistema mostrado. Halle “F”, en newton, con la finalidad de que los bloques de masas
“2m” y “m” no se muevan respecto del carro de masa “M”. Considere que no hay fricción. Tome M = 90 kg y m = 10 kg. DCL de m : T 2 m θ
M
m
mg
De (4) y (2): cosθ = ½ . ⇒ θ = 60º
⇒ a = 10
Solución: Considerando todas las masas como un único sistema, acelerado por la fuerza F. F = (M + 3m) a.....(1) Tsenθ = mg.....(3) Teniendo a...(4) que las masa m y 2 m Tcosθ =enmcuenta ex expe per rim imen enta tann fu fuer erza zass iner in erci cial ales es (3)/(4) proporcionales tanθ = g/ a a la aceleración a se tiene lo siguiente: a = g ctg θ DCL de 2m : T ⇒ T = 2m a.....(2)
3
3
⇒ F = 400 3 N
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11. Halle la máxima velocidad velocidad a la que un automóv automóvil il puede tomar una curva de 25 m de radio
sobre una carretera horizontal si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y la carretera es de 0,30. Solución: La fuerza que evita que el automóvil deje la pista debido a su velocidad es la fuerza de rozamiento, por lo tanto se tiene la siguiente relación: mv 2 = f R ⇒ v 2 = R µ g R v = R µ g = 8.59 m / s 12. Un vehículo de una “montaña rusa” tiene una masa de 500 kg. está completamente cargado
de pasajeros. a. Si el vehículo tiene una rapidez de 20 m/s en el punto A .¿ Cuál es la fuerza que ejerce la vía sobre el vehículo en ese punto? b. ¿Cuál es la rapidez máxima que puede tener el vehículo en ese punto B para que se mantenga sobre la vía. B
15 m 10 m
A
Solución:
DIAGRAMA DIAGRAM A DE CUERPO LIBRE DE A : (A) Sea F VV la la fuerza que ejerce la vía sobre el vehículo en estudio.
10 m Fv
F C =
mv 2
= F V − mg ⇒ F V = mg +
mv 2
R
mg
R
500 x 20 2 = 25 x10 3 N F V = 500 x10 + 10 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE B:
(B) mg mg
15m
La rapidez máxima en el punto B, la calculamos justo en el momento supuesto que el vehículo está apunto de despegar de la vía, es decir la fuerza que ejerce la vía sobre el vehículo es casí cero: mv 2 mg = ⇒ v = gR = 9,8 x15 = 12,12m / s R
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13. Un piloto de masa m, que vuela en un avión de reacción ejecuta una maniobra de “rizar el
rizo”, como se muestra en la figura. En ese vuelo modelo, el avión se mueve en un circulo vertical de radio 2,7 km. a una rapidez constante de 225 m/s. Determine la fuerza que ejerce el asiento sobre el piloto en: a. La parte inferior del rizo. b. La cima del rizo. De las respuestas en términos del peso del piloto.
Solución:
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE LA PARTE INFERIOR DEL RIZO: FA
Sea F A la fuerza que ejerce el asiento del avión sobre el piloto.
F C mg
FA mg
F A
=
mv 2 R
= F A − mg ⇒ F A = mg +
= mg (1 +
mv 2 R
v2
) = 2,91mg Rg
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE LA CIMA DEL RIZO: En este caso el avión esta volteado, F A y mg tienen la misma mis ma direcc dirección ión.. Hac Hacien iendo do el dia diagra grama ma de cue cuerpo rpo libre se tiene: F C = F V
mv 2 R
= mg (
= F A + mg ⇒ F A = v2
Rg
− 1) = 0,91mg
mv 2 R
− mg
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A
14. Se hace girar una masa m en un plano pl ano vertical con velocidad
angular constante w, al extremo de una barra delgada pero rígida, de longitud r o, la masa de la barra es despreciable en comparación de la masa m. Calcule: a. La tensión en la varilla cuando la masa está en el punto más alto de su trayectoria. ω b. La tensión de la varilla cuando la masa está en el punto más bajo de su trayectoria.
T
Solución: B
A
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE A: T
mg
F CC = = T + mg
⇒ T =
ω
T =
mv 2
mR 2ϖ 2
− mg = R 2 m ( ϖ R − g )
R
− mg
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE B : F C = T – mg
ω
T
mg
⇒ T =
mv 2 R
+ mg =
mR 2ϖ 2 R
+ mg
2 T = m ( ϖ R + g )
O
15. Una bola B está unida al extremo de un hilo de 24
cm de longitud cuyo extremo es un punto fijo O. La bola descr describe ibe una circun circunferen ferencia cia horizontal de radio CB como indica la figura. Halle la velocidad de la bola sabiendo que el hilo forma un ángulo de 30º con la vertical.
30º
Solución: DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE : B
12 cm
C
T 60º B mg
mv 2 .....(1) T cos 60 º = R T sen 60 º = mg .......( 2 )
Di Divi vidie diend ndoo (2 (2)) / (1 (1)) se obtie obtiene ne::
v2 c tg 60 º = ⇒ v = gRc tg 60 º Rg Con R = 12 cm = 12x10 –2 m
⇒ v = 0,824 m/s
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PROBLEMAS PROPUESTOS – DINAMICA 1. Ha Haga ga un di diag agra rama ma de cu cuer erpo po li libr bree de los bloques Ay B .Considere rozamiento en todas las superficies B A
2. El sist sistem emaa mo most stra rado do se mu muev evee con con velocidad constante, en una superficie con rozamiento cinético 0,2, determine: a) La ma masa sa m, qque ue ha hace ce po posi sibl blee est estee movimiento. b) Si del carro extraemos 20 g y le agregamos a m, la aceleración del sistema será: NOTA: Haga un cálculo teórico exacto, sin aproximaciones. 20 g/ cada 1.2 kg
5. Sobr Sobree un bloq bloque ue de 4 kg de ma masa sa se aplica una única fuerza F, que varia según la ley F = 8t + 5, donde F esta en Newton y t en segundos. Al cabo de que tiempo la aceleración del bloque es de 10 m/s2 F 4 kg Liso 6. De acuerdo al gráfico mostrado, deter determin minee verd verdad ader eroo o fa fals lsoo en las las siguientes proposiciones. a. La fu fuer erza za res esul ulta tant ntee so sobbre el sistema es de 20 N. b. La fu fuer erza za res esul ulta tant ntee so sobbre el sistema es de 30 N. c. El sistema se mueve hacia la derecha. d. E l sistema se mueve hacia la izquierda. 10 k = 1/2
m
3. En el sist sistem emaa mo most stra rado do,, las las ma masa sass parten del reposo y se mueven 1,2 m en 0,6 seg segund undos, os, en una sup superf erfici iciee con rozamiento cinético µ. Determine: a) La aace celer lerac ació iónn de dell si sist stem ema. a. b) La tensión de la cuerda. c) El co coef efic icie ient ntee de ro roza zami mien ento to cinético µ.
2 kg
7. Do Doss ma masa sass m1 y m2 unidas mediante una cuerda flexible, se colocan sobre un par de planos inclinados, tal como se indica en la figura. No hay rozamiento. Halle la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda. →
a
→
1,2 kg
a m1 40 g
θ
m2
θ
4. Halle la aceleración y la tensión de la
8. Una cuerda pasa sobre una polea sin
cuerda en el sistema ema mostrado ado. Considere bloques iguales de masa 10 kg y coeficiente de rozamiento cinético 0,2.
fricción y con una masa despreciable. Un objeto de 4 kg se cuelga en un extremo y en el otro un objeto de 12 kg. Calcule la aceleración y la tensión en la cuerda.
9. Un elevador parte del reposo y sube
B A 37º
con co n un una ac erac ació iónn cons consta nte, e, Un se mueve 2am acel eneler los primeros 0,6tant seg. pasajero en el elevador sostiene un
70
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paquete de 3 kg con una cuerda. ¿Cuál es la tensión en la cuerda durante la aceleración?. 10. Determine la fuerza de reacción entre los bloques A y B Masas 3 kg y 2 kg respectivamente. No hay rozamiento. F1=60 N
15. Determine el ángulo mínimo " α" para
que los bloques empiecen a moverse. β = 45°. 45°. El coef coefic icie ient ntee de ro roza zamie mient ntoo entre los bloques y la superficie es 0,5.
F2=40 N
A B
m
β
11. Un auto de 900 kg viaja a 20 m/s en un camino plano. ¿Cuál es la magnitud de un unaa fuer fuerza za reta retard rdad ador oraa cons consta tant ntee necesaria para detener el auto a una distancia de 30 m.
12. Sobre una mesa se halla un bloque, m1 = 20 kg, que está unido por una cuerda a otros dos, m2 = 5 kg y m 3 =3 kg como se muestra. El coeficiente de 1 rozamiento Calcular: entre m y la mesa vale 0,2. a. La aceleración con que se mueven. b. La tensión de los hilos.
13. Calcule la aceleración del cuerpo de
masa m2; Si, m1 = 10 kg y m2 = 20 kg. θ = 30° m1
m
β α
16. Una bala de 300 g de masa impacta cont contra ra un tabl tablón ón fi fijo jo de 10 cm de espesor. Si ingresa con v 1 = 300 m/s y sale con v2 = 200 m/s. ¿Cuál es la fuerza media de rozamiento, en N, que le imprimió el tablón, considerándola constante?
17. Tres bloques A, B y C, están colocados como se muestra en la figura, sus masas son mA = 12 kg, mB = 16 kg y mC = 24 kg. Sobre cada bloque se ejerce una fuerza horizontal FA = 30 N FB = 85 N y FC = 20 N. Los coeficientes tes de rozamiento estático y cinético entre los bloques A y B son respectivamente µs(AB) = 0,4 y µk (AB) = 0,2; y los coefic coe ficient ientes es de roz rozami amient entoo estáti estático co y cinético entre los bloques B y C son respectivamente µs(BC) = 0,1 0,155 y µk (BC) = 0,05. No hay fricción entre C y la mesa. Determine la aceleración de A con respecto a la mesa.
A
θ
m2
F
= 0,14) se deja en reposo encuentre: a. La aceleraci aceleración ón con qque ue se mueve el bloq bloquue 2 y la tens tensió iónn de la cuerda. b. La velocidad v con que se mueve el bloque 1, si se ha desplazado una distancia 0,3 m.
FC
18. Determinar el valor de la fuerza F que impedirá que el bloque de masa m 1 = 5 kg resbale, sobre el coche de masa M = 32 kg, sabiendo además que m2 = 3 kg, la masa de la cuerda, polea, y ro roza zam mien iento entr entree los bloq bloquues es despreciable.
1
B C
14. Si el sistema (m1 = 18 kg, m2 = 5 kg, µ
FA
m1
F
71
M
2
m2
µ = 0
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con velocidad uniforme. b. el ascensor desciende con aceleración de 4,9 m/s2. c. el ascen ascensor sor asciende con aceler aceleración ación 2 de 6,3 m/s . 19. Para Para el sistem sistemaa de bloqu bloques es mostr mostrado ado,, calcule: a. La aceleración del sistema. b. La tensión en la cuerda. 20 kg 80 kg
23. Par Paraa el siste sistema ma de blo bloque quess con conect ectado adoss mostrado en la figura, determine: a. La tensión en las cuerdas. b. La aceleración de cada bloque. Cons onsider ideree que el coe coefi fici cien ente te de rozamiento cinético entre B y el piso es 0,25; mA = 100 kg; mB = 50 kg; mC=150 kg. mB
Desprecie el rozamiento entre las superficies en contacto
37º
20. Calcular la masa del bloque A, para que el bloque B, cuya masa es 24 kg, pueda descender aceleradamente a razón de 2 m/s2.
A 37º
24 kg
mA
mC
24. N bloqu bloques es (co (conn masas m m,, 2m ,3m, N Nm) m) es está tán nmien si situ tuad os so sobr bre un unaaestr me mesa sin ro roza zami ento toados como como see mu mues tra a saen si lan figura. Si se empuja a la primera masa (m) con una fuerza horizontal F, ¿cuál es la fuerza con que actúa la masa antepenúltima (de masa [n–2]m) sobre la masa penúltima (de masa [n–1]m)?.
21. Un péndulo de masa m = 3 kg cuelga de una una cu cuer erdda, susp uspendi endida da de un extremo del techo del coche de masa M = 9 kg, cuando el sistema es jalado con una fuerza F = 35 N, permanente y según corno se indica en la figura, la cu cuer erda da de dell pénd péndul uloo se sepa separa ra de la vertical un ángulo . Calcule a. La aceleraciónθdel sistema. b. La medida del ángulo “θ”. c. EI valor de la tensión en la cuerda.
m 1
2m 2
3m 3
Nm N
25. Las masas de los bloques A, B y C de la figura son 15, 25 y 10 kg respec res pectiva tivamen mente. te. Si el coe coefic ficien iente te de ro roza zami mien ento toes entr en tree calcule: B y la su supe perf rfic icie ie horizontal 0,10, a. La tensión en cada cuerda. b. La aceleración del cuerpo B.
B
θ
F
m
C
M = 0
22. Un hombre cuya masa es de 85 kg se encuentra en un ascensor. Determinar la fuer fuerza za qu quee ejer ejerce ce el piso piso sobr sobree el hombre cuando: cuando: a. el ascensor as asciende ciende
26. Para el sis sistema tema mos mostrado trado el coe coeficien ficiente te de ro roza zami mien ento to ciné cinétic ticoo en toda todass las superficies es 0,2; calcular: a. La aceleración de los bloques. c uerdas. cuerdas. 3kgtensión en las2kg b. La A B
72
C 7kg
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27. Los bloques mostrados tienen masas m 1 = 1 kg y m2 = 2 kg. si la fuerza F = 16 N, halle la aceleración de los bloques. No hay rozamiento.
31. Determine la aceleración del sistema y las masas de A y C, si T A = 30 N y TC = 60 N. Considere rozamiento con µ=0.2 y la masa de B es de 5 kg.
B m m
A
C
F
28. Sí el sistema con m1 = 21 kg, m2 = 14
kg, µk = 0,3; ,3; se deja eja en repos eposoo; encuentre la aceleración del punto P,
32. Calcular la aceleración del bloque B, si mA = 3 kg, mB = 4 kg y F = 210 N. No considere rozamiento. F
cuando el bloque 1 sem.haRadio desplazado una distancia de 0,7 de la Polea, R = 2,1 cm.
B
A 30 29. En la figura mostrada el bloque de masa “M” tiene una aceler aceleración ación doble que el bloque de “2M”. El coeficiente de rozami roz amient entoo ent entre re los bloqu bloques es es µK y entre bloque 2M y el piso es µK /6. /6. Halle el coeficiente µK .
µ
M
µ /6
2M
M 30. Las masas de los bloques A y B del sistema mostrado en la figura son: 5 kg y 12 kg respectivamente. El sistema se mueve debido a la fuerza horizontal F = 150N y el bloque “A” adquiere una aceleración hacia arriba de 2m/s2. Halle el coeficiente de rozamiento entre el bloque B y la superficie horizontal. horizontal. F
33. En la figura, se muestran los bloques A y B de masas 2 kg y 4 kg respec res pectiva tivamen mente. te. Los coe coefic ficient ientes es de ro rozam zamien iento to son µA = 0,70 entre los cuerpos A y B; y µB = 0,20 entre B y la su supe perf rfic icie ie ho hori rizo zont ntal al.. Calc Calcul ulee las las aceleraciones en los cuerpos al aplicar al cuerpo A una fuerza de 20N. 20 N
A B
34. 34. En el si sist stem emaa qu quee mu mues estra tra la fi figu gura ra,, encu encuen entr tree el peso peso del del bloq bloque ue A, si partiendo del reposo y descendiendo re reco corrre la dis ista tanncia cia de 27 m en 3 segundos. No considere rozamiento ni el peso de las poleas.
B A
73
100 N
27 m
A
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F 35. Haga el di diagrama agrama ddee cuerpo lib libre re de los bloques A y B, Si el peso de A es 200N y el de B es de 150 N. Determine la fuerza de contacto entre los bloques.
39. La acel acelerac eración ión del blo bloque que de 2 kg, que desliza por el plano lizo de la figura, es:
A B
F=700 N
36. La cu cuñña B tien tienee una acel aceler erac ació iónn 2
horizontal de 5 m/s según se muestra en la figura. Un bloque de masa “m” se en encu cuen entr traa en enccim imaa de la cuñ cuña, sin co connsid sider erar ar roza rozami mien ento toss, hall hallee la aceleración relativa del donde bloqueserespecto a la cuña. Indica hacia mueve el bloque.
40 40.. El si sist stem ema a se mu muev evee con con velo veloci cida dadd 37º constante cuando la masa colgante es de 100 g, como se muestra en la figura, determ det ermine ine la ace acelera leració ciónn del sis sistem temaa cuando de la masa 9,9 kg se le quite 1,9 kg yg.se le agregue a la masa colgante de 100 9,9 kg
a
B
100g
30º
37. En la figura se muestra tres bloques A, B y C de pesos WA = 100 N, W B = 200 N y WC = 500 N respectivamente. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre A y B es 0,2 y entre B y la superficie horiz horizon onta tall 0, 0,3; 3; halle halle la acel aceler erac ació iónn relativa del bloque A con respecto a B.
41. Halle el co coeficien eficiente te de rozam rozamiento iento ent entre re la masa masa “m “m”” y el car carri rito to M, de ta tall modo que el bloque de masa “m” se mant ma nten enga ga en re repo poso so con con re resp spec ecto to al carrito M. a = 5 m/s2
A m
B
C 38. El móv móvil il de masa “m “m”” se desli desliza za haci haciaa ab abaj ajoo co conn velo veloci cida dadd cons consta tant ntee y ap apooyad adaa sob sobre la pared ared verti ertica call mostrada. Haga el diagrama de cuerpo libre de la masa “m”. Explique cada una de las fuerzas que identifique.
M
37º
42. Se quier eree subir con con movimien iento uniformemen unifo rmemente te aceler acelerado ado un cuerp cuerpoo de 2 kg por una rampa del 10 por 100 de pendiente y 5m de longitud en un tie tiemp mpoo de 10 s. El coef coefic icie ient ntee de rozamiento vale 0.4. Calcule la fuerza paralela a la rampa que se debe aplicar.
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piedra para la posición mostrada en la figura (Longitud de la cuerda 5 m)
F
43. 43. Un co coch chee ß viaja iaja por por una carr arreter eteraa horizontal describiendo una circunferencia de 30 m de radio. Si el coeficiente de fricción estática es 0,6; ¿cuál es la máxima velocidad a la que puede ir el coche sin patinar?. 44. 44. Se tie tiene ne un pénd péndul uloo que que osci oscila la en un plano vertical. La masa es m, la longitud de la cuerda es L y la ace cele lera raci ción ón de la grav ravedad edad es g , responda: a. ¿ Cuál es la tensión de la cuerda cuando la masa llega a su punto mas alto?. Inicialmente la masa se separoo de su posición de equilib separ equilibrio rio de modo que lalavertical. cuerda formaba un θ con ángulo b. ¿Dónde es mayor la tensión de la cuerda, si la masa esta en el punto mas bajo o en el punto mas alto?.
θ
48. Una carretera tiene una curva de radio r = 54 m y un peralte de θ = 37º, se sabe que el coeficiente de fricción entre los neum neumát ático icoss y el pavi pavime ment ntoo es µ=1/3 ¿C ¿Cuá uáll es la má máxi xima ma velo veloci cida dadd qu quee puede mantener el autom6vil sin salir resbalando por la carretera? (Peralte, es la inclinaci6n de la carretera).
49. Un automóvil arranca, y aumentando la velocidad unifo velocidad uniformemen rmemente te avanz avanzaa por un tr tram amoo de carr carret eter eraa ho hori rizo zont ntal al en forma de arco de circunferencia con ángulo áng ulo θ = ( 3 )/6 rad, el radio de la circunferencia es r = 180 m ¿Con que velocidad máxima “v” puede salir el autom tomóvil a la parte recta de la carretera?. El coeficiente de rozamiento entre los neumáticos y el pavimento es µ = 0,25.
L m
θ O
45. Hal Halle le la máxim máximaa veloc velocida idadd a la que un
50. Una masa de 20 g colgada de un hilo de
automóvil m de rapuede dio stomar obre una unacurva carrde et etee25 ra horizontal si el coeficiente de rozam ozamie ient ntoo entr entree las las rued ruedas as y la carretera es de 0,30.
1circunferencia m de lode ngit0,5 ud mdde escrradio ibe con una rapidez constante, como se indica en el gráfico. Calcule: a. La tensión del hilo. b. La velocidad con que gira..
46 46.. Un Unaa pied piedra ra atad atadaa a un unaa cuer cuerda da gira gira uniformemente en un plano vertical. Si la diferencia entre la tensión máxima y la tensión mínima de la cuerda es 9,8 N. ¿Cuál es la masa de la piedra? 47. 47. Un Unaa pi pied edra ra gira gira en un plan planoo vert vertica icall describiendo una circunferencia. Si la cuerda que la mantiene en movimiento tiene una tensión 6 veces el peso de la piedra, calcular la velocidad de la
51. Un niño ata una pita de 0,5 m de longitud a una pelota de 1 kg de masa y lo hace girar en un círculo vertical. La velocidad de la pelota en el punto mas alto es de 4 m/s y en el punto mas bajo
v
75
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6 m/s. Haga el DCL de la pelota en el punto mas alto y en el punto más bajo y halle el valor lor de la aceler leración ión centrípeta en dichos puntos.
52. El sist istema de la figu igura gir iraa con velocidad angul velocidad angular ar const constante ante alrede alrededor dor del eje vertical. Si la rapidez del bloque A es de 3 m/s, halle la tensión de la cuerda. mA = 0,5 kg (longitud de la cuerda 5 m)
ω
55. Se tiene una barra doblada en “L” (b = 0,57 m) en su extremo hay una cuerda de longitud “” = 0,83 m,y está unida a una una ma massita ita m = 4,74 4,74 kg kg,. ,. θ = 50° Calc Calcul ular ar:: a.la vel veloci ocidad dad ang angula ularr con que debe girar el eje de la barra; y la tensión de la cuerda. b. si la tensión máxima que puede soportar la cuerda es 98 N; encontrar el ángulo “α” que se inclinaría la cuerda.
A 53°
53. Dos bloques tienen el peso y la posición indicados en la figura. Descan Des cansan san sob sobre re un unaa pla plataf taform ormaa que gira alrededor de un eje vertical con vel eloc ocid idad ad angu angula larr cons consta tant nte. e. El coef coefic icie ient ntee de roza rozamie mient ntoo entr entree los los bloques y la plataforma es 0,2. Despre Des precian ciando do el pes pesoo de la peq pequeñ ueñaa polea, determinar: a. A cuantas revoluciones por minuto empiezan a deslizarse los bloques. b. La tensión en la cuerda.
56. Un Unaa boli bolita ta de ma masa sa "m "m"" desc descan anssa inic inicia ialm lmen ente te en la part partee baja baja de un casquete semiesférico cuyo interior es liso, tiene 2 m de radio. ¿Qué ángulo "θ " habr habráá su subi bido do "m "m"" cuan cuando do el casq casque uete te gi gire re a ra razó zónn cons constan tante te de π rad/s.
ω
15cm
45cm
B 16N
R
θ
A 24N
57. La tensión en la cuerda, de 2 m, en la posición mostrada, es: (La velocidad en el punto A es 4 m/s)
ω
54. La ma masa sa A esta esta mo movi vién éndo dose se en un plano horizontal según se muestra en la figura. La longitud de la cuerda es 5 m. ω de 1 kg en todo La rapidez de la masa instante es: 37º
37º
A
v
m = 1 kg
76
A
m = 1 kg
DINÁM DI NÁMICA ICA
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77
TRABAJO Y ENERGIA E NERGIA
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TRABAJO DE UNA FUERZA Una fuerza al actuar sobre un cuerpo tiende a cambiar el estado energético del mismo, o deforma al cuerpo macroscópica o microscópicamente. Si la fuerza cambia el estado energético del cuerpo, con la energía también se puede realizar trabajo y trasferir energía a través de trabajo mecánico a otros cuerpos. Matemáticamente, se define trabajo mecánico como: → r f
W =
∫
→
→
F .d r
→
→
→
→
→
→
→
→
⇒W = F . ∫ d r = F .∆ r = F .( r f − r O )
F =constante
Si
→ r f
→ r O
→ r O
ENERGÍA CINETICA. Es la capacidad que tiene un cuerpo de realizar trabajo debido a su rapidez. Se debe tener en cuenta que es una energía relativa, es decir, depende del nivel de referencia. Matemáticamente.
E K =
1 2 mv 2
Es la capacidad que gravitatorio. tiene un cuerpo para ENERGÍA POTENCIAL realizar trabajo debido a la GRAVITATORIA. posición que ocupa dentro de un campo Se debe tener en cuenta que es una energía relativa, es decir, depende del nivel de referencia. Matemáticamente.
E Pg = mgy
ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA. Es la capacidad que tiene un resorte para realizar trabajo debido a la deformación a la que ha sido sometido. Matemáticamente.
1 2
E PK = Kx 2
ENERGÍA MECÁ ENERGÍA MECÁNICA NICA. La suma suma esca escala larr de las las ener energí gías as ante anteri rior orme ment ntee desc descri rita tas, s, constituye la llamada Energía Mecánica. E M
= E K + E P = 1 mv 2 + mgy + 1 Kx 2 2
2
FUERZAS CONSERVA CONSERVATIVAS TIVAS. Se llaman así a las fuerzas que presentan las siguientes características.
• •
•
Toda fuerza conservativa tiene asociada una energía potencial, también se puede decir que si existe una energía potencial, esta proviene de una fuerza conservativa. El trabajo realizado por una fuerza conservativa en una trayectoria cerrada es cero, no se puede decir, que si una fuerza realiza trabajo nulo en una trayectoria cerrada esta fuerza no necesariamente es conservativa. El trabajo de un punto a otro, no depende de la trayectoria descrita, solo de su oposición inicial y final.
TRABAJO Y ENERGIA E NERGIA
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CONSE RVACIÓN CONSERVACI ÓN DE LA ENERGÍA ME MECÁNICA CÁNICA . Si todas las fuerzas que realizan trabajo son conservativas, entonces la energía mecánica se conserva. En un determinado proceso puede haber transformación de un tipo de energía a otra, es decir, de energía cinética a energía potencial y viceversa. Matemáticamente se expresa: E M
=
1 2
mv12
+ mgy1 +
1 2
Kx12 =
1 2
mv 22
+ mgy 2 +
1 2
Kx 22
= constante
TRABAJO DE FUERZ FUERZAS AS NO CONSERVATIVAS . Las fue fuerza rzass no con conser servat vativa ivas, s, ocasionan cambio en la energía mecánica, este cambio viene dado por la relación: W FNC = ∆ E M
= 1 mv22 + mgy 2 + 1 Kx 22 − 1 mv12 + mgy1 + 1 Kx12 2 2 2 2
TRABA JO DE FUERZAS CONS TRABAJO CONSERVAT ERVATIVAS IVAS . Las fuerzas conservativas, ocasionan un cambio negativo en la energía potencial, este cambio viene dado por la relación: W FC =
−∆ E P = − mgy 2 + 1 Kx 22 − mgy1 + 1 Kx12 2 2
. Es lasi suma total las de TRABAJO NETOtanto O TRABAJO DEconservativas LA FUERZAcomo RES RESULTANTE ULTANTE todos los trabajos, de las fuerzas no conservativas, sumamos dos relaciones anteriores obtenemos: W FR
= ∆ E K = 1 mv22 − 1 mv12 2 2
externas as realizan trabaj trabajo, o, este termin terminoo esta POTENCIA . Es la rapidez con que las fuerzas extern asociado asoci ado con maquinas, una maquina es mas potente que otra, si hace el mismo trabajo en menos tiempo o mas trabajo en el mismo tiempo. P=
∆W ∆t
Es elrealizar grado trabajo, de aprovechamiento la energía en unapierde maquina. Toda EFICIENCIA maquina se usa. para esta maquina sedealimenta y también energía en forma de calor. Por lo tanto tenemos: Ps= potencia suministrada o consumida por la máquina. Pu = Potencia útil o potencia desarrollada por la máquina. Pp = potencia perdida o disipada por la máquina. La eficiencia se calcula por: η =
Pu Ps
Si se desea en forma porcentual, se tiene: η% =
Pu Ps
*100
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PROBLEMAS RESUELTOS - TRABAJO Y ENERGIA
1. Un bloque de masa 10 kg, se empuja hacia arriba sobre un plano inclinado liso por medio de una fuerza constante “F” paralela al plano inclinado (ángulo de 37°), de modo que asciende a velocidad constante. El bloque se desplaza una distancia de 25 m sobre el plano. Calcúlese el trabajo efectuado por la fuerza “F”. Solución: Si se usa la definición el trabajo buscado debería ser: W = F.d
(1)
o para este caso particular: W = Fd
(1a)
Como la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido, se puede trabajar solo con los módulos. Para hallar la fuerza “F”, se usa la primera Ley de Newton, en la dirección paralela al plano.
ΣF = F – mgsenθ = 0
(1b)
Reemplazando la fuerza F de (1a) en (1b), se encuentra que: W = mgsenθ d
(1c)
Calculando con los datos, se obtiene que:
W = 1 470 J
2. Calcule el trabajo realizado por la fuerza de 120 N, al trasladar el cuerpo del punto A al punto B., por el camino curvado. curvado. θ = 37°. |AC| = 8 m, |CB| = 6 m. Solución
Como la trayectoria no es una línea recta, es conveniente dividir el recorrido total en pequeños tramos, tales que cada uno sería aproximadamente una línea recta, y evaluar el trabajo en cada tramo, es decir: W1 = F . d1,
W2 = F . d2,
W3 = F . d3... (1a)
Donde d1, d2, d3,...son los desplazamientos de cada tramo. Luego, se suman los trabajos de cada tramo para encontrar el trabajo total: W = W1 + W2 + W3 + ... Empleando (1a) en (1b):
(1b)
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W = F . d1 + F . d2 + F . d3 + ... W = F . (d1 + d2 + d3 + ...) = F . dAB
(1c)
Donde se ha empleado la propiedad distributiva del producto escalar de vectores, puesto que la fuerza es la misma. La suma de todos los pequeños desplazamientos es igual al desplazamiento que hace el cuerpo desde el punto inicial (A), hasta el punto final (B). Para aplicar la ec. (1c), hay que descomponer la fuerza en sus componentes horizontal y vertical, lo cual se hace por trigonometría. Fx = Fsenθ Fy = Fcosθ
(1d)
Las componentes del desplazamiento son datos:dx = |AC|=8 m, dy = |CB| = 6 m. Reemplazando (1d) en (1c), se obtiene que: W = F senθ dx + F cosθ dy
(1e)
Calculando con los datos en (7e), se encuentra que: W = 1 152 J
3. En el sistema de bloques que se deja en libertad las masas son m1 = 16 kg; m2=24 kg. Resuelva: a. ¿Cuál es la energía cinética del bloque 2, si el bloque 1 ha adquirido una energía cinética 15,68 J?. b. ¿Qué distancia ha recorrido el bloque 2 hasta que el bloque 1 adquiera la energía cinética de 15,68 J?.
Solución. hallar la velocidad del bloque 1: a. por def. de energía cinética, se puede hallar ½m1v2 = 15,68 J Obten Ob tenié iénd ndos ose: e: v = 1, 1,44 m/ m/ss Como ambos bloques se unen por una cuerda, tienen la misma velocidad y se puede hallar entonces la energía cinética del bloque 2: ½m2v2 = 23,52 J
b. recuerde que el teorema del trabajo y la energía, indica que: WF Resultante = ∆(½mv2) Empleando este teorema a cada bloque, se obtiene que:
(1)
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bloque 1:
(T – m1g)d = ½m1v2 – ½m1vo2 = ½m1v2
(1a)
bloque 2:
(m2g – T)d = ½m2v2 – ½m2vo2 = ½m2v2
(1b)
Donde “d” es la distancia que se mueven los bloques. Además se usó el dato de que v o = 0 (el sistema se deja en libertad). Sumando (1a) + (1b), se encuentra que:
1 m1 d = 2
v
2
m2 g
+ 1 m2 2 − m1 g
v
2
(1c)
Reemplazand Reemp lazandoo los ddatos atos eenn la ec ec.(1c) .(1c) llos os dato datoss se ob obtiene tiene qque: ue: d = 0,5 m.
4. Se em empu puja ja un bl bloq oque ue de 6 kg kg,, cont contra ra un resorte cuya constante de fuerza es de 600 N/m, comprimiéndolo 14 cm (punto A en la figura). Luego se suelta, y el resorte empuja al bloque por una superficie horizontal lisa, continuando luego por un plano inclinado a 53°. Resuelva: es la velocidad del bloque en el momento en que se separa del resorte (punto B)?. a. ¿Cuál b. ¿Qué distancia llega a recorrer subiendo por el plano inclinado hasta quedar en reposo (punto c)?.
Solución Como solo intervienen fuerzas conservativas, la energía mecánica se mantiene constante en todo momento. Si se elige el nivel de referencia a la superficie horizontal, la energía mecánica al inicio consta solo de la energía potencial elástica del sistema, bloque más resorte, es decir: Em,A = ½kx2
(1a)
Cuando se separa del rresorte esorte solo tiene en energía ergía cinética: Em,B = ½mv2
(1b)
Igualando las energías mecánicas en los puntos A y B, se obtiene que:
½kx2 = ½mv2
(1c)
Ree eemp mpla lazzando ando los los ddaato toss eenn la la eecc. ((1c 1c)), se se eenncuen cuentr traa qque ue::
v = 1,4 m/s m/s.
Cuando el bloque se desliza hacia arriba por el plano inclinado, su velocidad decrece hasta anularse a su máxima altura (punto C), donde quedará momentáneamente en reposo. Su energía mecánica es entonces puramente energía potencial gravitacional: Em,C = mgh
(1d)
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La energía mecánica se mantiene en su valor, por lo que se puede igualar las energías en los puntos Ay C: ½kx2 = mgh
(1e)
Calculando con los datos, en la ec. (1e) se obtiene que: h = 0,10 m. Y la distancia “s”, que recorre el bloque en el plano inclinado es: “s” = h/senθ = 0,125 m
5. Un cuerpo de masa 5 kg se deja en libertad en el punto (A) a la altura de 10 m sobre el nivel. La pista mostrada consta de una parte curva AB que es lisa; y de una parte recta (BC) (BC) que que es rugo rugosa sa,, El coef coefic icie ient ntee de rozamiento entre el cuerpo y la pista en el tramo BC es 0,4. La longitud del tramo BC es 30 m. Halle el trabajo hecho por las fuerzas de rozamiento desde el punto (A) hasta que quede en reposo.
Solución Como la única fuerza no conservativa es la fuerza de rozamiento que ejerce la parte horizontal sobre el cuerpo, el trabajo de ese fuerza debe ser igual al cambio de energía mecánica: Wfnc = ∆(½mv2) + ∆Ug = ∆Ug
(1a)
Donde se ha tomado en cuenta que solo hay cambio de energía potencial gravitacional. Como el bloque parte del reposo y finaliza en reposo, las energías cinéticas al inicio y al final son iguales a cero.
El cambio de energía potencial es:
∆Ug = –mgh
(1b)
Puesto que el bloque desciende, aparece un signo menos. Reemplazando (10b) en (10a), se obtiene que: Wfnc = –mgh Usando los datos, se encuentra que: Wfnc = –490 J
(1c)
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6. Una fuerza neta de 5 N actúa sobre un cuerpo de 15 kg que se encuentra inicialmente en reposo. a. Calcule el trabajo hecho por la fuerza durante el primer segundo. b. Calcule la potencia instantánea ejercida por la fuerza al terminar el tercer t ercer segundo.
Solución: a.
W = F.d d = f( a ) a = F/m = 1/3 m/s 2
vO = 0 F =m a 2 d = ½ a t = 1/6
W = 5/6 joules.
b.
P = ∆W/∆t = F ∆d/∆t = F.V V(3) = a t = 1/3. 3 = 1 m/s P = 5 watts
7. El clavo de la figura está localizado a una dis ista tannci ciaa “d “d”” bajo ajo el pun punto de apoy apoyoo. Encuentre el mínimo valor de la distancia “d” para que la bola pueda dar una vuelta completa en un círculo con centro en el clavo. L Solución :
d
Tomando como sistema de referencia el clavo y aplicando conservación de energía se obtiene: EA = EC ⇒
mgd = mg( L – d ) +
mV C 2
.....(1)
2
A DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE EN C : SR
C
L
d
La velocidad mínima en C para que pueda la bola dar una vuelta completa alredor del clavo es: F CC = = mg ⇒
mV C 2
= mg ⇒ V C 2 = g ( L − d ) ...(2)
L − d Reemplazando (2) en (1) se obtiene: mgd = ½ mg( L – d ) + mg ( L – d ) d = 0,6 L
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8. Se usa una cuerda para bajar verticalmente un bloque de masa “M” una distancia “d” con una aceleración constante hacia abajo g/4. Halle el trabajo efectuado por la cuerda sobre el bloque. Solución: T
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE M : Mg – T = Ma = M (g/4) ⇒
M
T = 3Mg/4
WT = – 3Mgd/4
Mg 9. El cable de un elevador de 17800N se revienta cuando el elevador se encontraba en reposo en el primer piso, de manera que su fondo estaba a una altura d = 2 m sobre un resorte cuya constante elástica es k = 32 000 N/m. un sistema de seguridad afianza las guías contra los rieles en tal forma que al movimiento del elevador se opone una fuerza de rozam rozamiento iento constan constante te de 1800 N. Encuentre la distancia “x” que se deformará el resorte.
d
Solución:
A d B x C
Considerando como sistema de referencia el punto final C: W f = = E CC – – E A
......(1)
–f r r ( ( d + x ) = ½ kx2 – mg ( d + x ) ( mg – f r r )(d )(d + x ) = ½ kx2 16000 ( 2 + x ) = ½ . 32000x 2 2 + x = 10 x 2 x1 = 0,5 m ∧ x2 = – 0,4 m Donde la máxima compresión es 0,5 m y 0,4 es la máxima altura que alcanza el resorte en el estiramiento.
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10. La fuerza potencial y cons constante tante F = 7iˆ − 6 jˆ + 2k ˆ N, actúa sobre la partícula. Calcule el trabajo efectuado sobre la partícula cuando se desplaza desde el origen de un sistema de ˆ N. coordenadas hasta r = 3iˆ + 4 jˆ +16k
Solución:
W = F.∆ r = (7ˆi − 6 jˆ + 2k ˆ ).(3ˆi + 4 jˆ + 16k ˆ ) = 21 − 24 + 32 = 29 J . W = 29 joules
observadores, uno de los cuales tiene el marco de referencia fijo al suelo y 11. Considérense dos observadores, otro con marco de referencia fijo a un tren que se mueve con velocidad uniforme “v” con respecto al suelo. Cada uno observa que una partícula de masa “m”, que se encuentra inic inicial ialmen mente te en rep repos osoo resp respec ecto to al tren tren,, es acel acelera erado do haci haciaa delan delante te,, adqu adquir irien iendo do la aceleración “a”, por medio de una fuerza constante aplicada a ella durante un tiempo “t”. Halle el trabajo hecho respecto al observador con marco de referencia fijo al suelo.
Solución : O’
V=µ
O’
O
dt
dm
El observador fijo al suelo (O) determina determina un trabajo W = F.( dt + d m ) ...(*) dm = ½ at 2
F = ma ...(1) d t = µ t ...(2)
.... ....(3 (3))
re reem empl plaz azan ando do en en (* (*))
W = ½ ma2t 2 + ma µ t t
12. La fuerza F(x) = 3x2 –2 x actúa sobre una partícula de masa 2 kg, Desde x = 2 m hasta x = 10 m. Calcule el trabajo, en joule, hecho por esta fuerza en el intervalo mencionado.
Solución: W ( F )
=
10
10
2
10
2
10
x2 x 3 = (10)3 − (2)3 − (10) 2 + (2)2 −2 xdx = 3 2 3 2 2 2 ∫ 10
=∫ 1000 − 8 − 100 +∫ 4 = 896 joule. 2
W( F)
(3 x − 2 x).dx = 3 x dx − 2 2
W ( F ) = 896 J
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13. La partícula de masa “m” de la figura se mueve en un circulo vertical de radio R dentro de la vía. No hay rozamiento. Cuando “m” se encuentra en su posición más baja, lleva una velocidad “V”. Supó Supónngase gase que que V = 0,775VO (donde VO es la velocidad mínima que la partícula tendría en su posición más baja para que dé una vuelta completa sin despegarse de la vía). En estas condiciones,
P
R
θ v
la partícula se moverá hastamoviéndose cierto puntosegún P, en la el cuál se despegará de lapor víalay vía seguirá tray trayec ecto tori riaa ma marc rcad adaa a traz trazos os.. Encu Encuen entr tre, e, en fo form rmaa aproximada, la posición angular θ del punto P.
Solución: Circulo mayor.(sistema de referencia B)
A
P
R
θ v
E A = E B
½ mV O2 = ½ mV A2 + mg(2R) ....(1)
DCL en A :
mV A2 /R /R = mg
(2) en (1)
½ mV O2 = ½ mgR + 2mgR
V A2 = Rg ....(2)
⇒
V O = 5Rg ....(3) ⇒ V
B Analizando B y P. Circulo punteado (sistema de referencia B). ½ mV2 = mg ( R + Rsen θ ) + ½ mVP2 ⇒ ½ ( 0.775)2VO2 = gR( 1 + senθ ) + ½ VP2 ...(4) Haciendo DCL en el punto P. mVP2 / R = mgsenθ
⇒
(5) en (4)
½ ( 0.775)2VO2 = gR( 1 + senθ ) + ½ Rgsenθ ...(6)
(3) en (6)
½ ( 0.775)2.5Rg = gR( 1 + senθ ) + ½ Rgsenθ
Simplificando se obtiene:
VP2 = Rgsenθ ....(5)
3/2 = 1 + 3/2 sen θ sen θ = 1/3
/ Rg
= arcsen 1/3
88
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PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS – – TRABAJO Y ENERGÍA
1. Se lanza un bloque de 5 kg con vo= 10 m/s de una altura de 5 m, realizando una una co comp mpre resió siónn má máxim ximaa al reso resort rtee mostrado en 20 cm. La constante de deformación del resorte, en N/m, es v = 1100 m m/s /s 5m
5. Un pe pequ queñ eñoo blo bloqu quee desl desliza iza ha hacia cia ab abaj ajoo a lo largo de un alambre recto partiendo desde el punto A con una velocidad de 5 m/s. Si el coeficiente de rozamiento cinético cinéti co entre el alamb alambre re y el bloque es 0,35, determine la velocidad del bloque cuando pasa por el punto B. 5m
K
2. Se lanza hacia abajo la masa de 2 kg con una velocidad de –10 m/sj, a una altu altura ra de 5 m, sobr sobree un res resor orte te si sinn estira estirar, r, si la com compre presió siónn máx máxima ima del re reso sort rtee es de 10 cm cm,, dete determ rmin inee la constante elástica del resorte. m
B
6. Un Unaa ma masa sa pequ pequeñ eñaa m esta ligada al extremo de una cuerda de longitud 3 m. La masa se suelta desde el punto A dándole una velocidad de salida de 2 m/ s. En el punto C la cuerda encuentra un clavo, cla vo, dete determi rmine ne el áng ángulo ulo θ al cual llega la masa m.
5m
1m
K 60º C
3. Ca Calc lcul ular ar el trab trabaj ajoo real realiza izado do por por el peso, al trasladarse por la fuerza F = 150 N al cuerpo de masa m = 10 kg a lo largo de la trayectoria ABCD.
θ A
D
12 m
53 º
A
C
37º
B A
16m
m
m
7. El bloque de 30 kg parte del reposo
desd desdee el punto unto “A “A”” dond onde es esta ta el re reso sort rtee inici inicial alme ment ntee si sinn defo deform rmar ar.. Calcule la constante “K” del resorte. La velocidad del bloque es 10 m/s al pasar por la posición B ( F = 250 N )
4. Una esfera de 1 kg pasa por A con una rapidez de 2 m/s y por B, con 4 m/s. Determine el trabajo neto, en joules, de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
A
A
3
4m
H = 0,5 m B
37º
4
F
3m
89
TRABAJO Y ENERGIA E NERGIA
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8. Si el móvil de 10 kg mostrado en la
11. Sean las fuerzas F1, F2, F3 aplicadas a
figura figura,, su sube be con vel veloci ocidad dad con consta stante nte por acción de la fuerza F, en un piso sin fricción. Determine el trabajo efectuado por la fuerza F, de A hacia B. B.
un cuerpo de masa m, si el cuerpo parte de A con rapidez Vo y recorre una trayec trayector toria ia arb arbitr itrari aria, a, per peroo reg regres resaa al mismo punto A y con la misma rapidez Vo. Indique verdadero (V) o falso (F) según egún corr corres esppond onda: (S (Soolo F1 es
B 6m
F 32º
A
9. Se tiene un resorte que se somete al siguiente siguie nte exp experi erimen mento. to. Se le cue cuelga lga ciertos pesos W y el resorte experimenta cierta deformación ∆x. Pe Peso so (N (N)) Defor eforma maci ción ón(m (m)) 2 0.020 4 0.040 6 0.060 8 0.085 10 0.100 Luego se procede a experimento siguiente: Una masa de 5 kg se suelta sue lta sob sobre re el res resort ortee desde una altura de 2m, ta tall co como mo muest uestra ra la figu figura ra.. De Dete term rmin inee la máxima máx ima defo deform rmac ación ión que exp experime imenta el resorte.
conservativa) ( ) WF1 = 0 ( ) WF2 + WF3 = 0 ( ) WFR = = 0 ( ) WF1 = ∆Ep ( ) WF2 + WF3 = ∆Ek ( ) WF2 = WF3 ( ) WFR = = ∆Ep ( ) WF1 = Wpeso Ep : ener energí gíaa po pote tenc ncia ia gr grav avita itato tori riaa Ek : ener energgía ciné cinéti tica ca W : trabajo FR : fu fuer erza za rres esul ulta tant ntee
12. Un bloque de 2 kg pasa por A con
hacer
el
5 kg 2m
cierta velocidad vA, en un piso rugoso hasta B y con µ = 0,4, luego ingresa a una pista semicircular lisa de radio 4m. El móvil al pasar por C experimenta una fuerza de reacción del piso de 80 N. Determine la velocidad vA.
v
C 4m
A
B
10 m
13. En el sistema de bloques 1 y 2 que se masa de 2 kgfijo es atada de 10. Una 5 m de longitud, en O,asiunsehilo suelta de la posición A. Determine: a. El tra traba bajo jo re real aliz izad adoo po porr la ten tensi sión ón de A hacia B. b. La velocidad del móvil al pasar por B. c. La ten tensi sión ón de la cuer cuerda da en A. d. La ten tensi sión ón de la cuer cuerda da en B O
muestra, las masas son m1 = 60 g, m2 = 40 g, la altura es H = 30 cm y el ángulo de inclinación es θ = 75°. Asuma que la energía potencial del conjunto 1 y 2 es 0,250 J, cuando el sistema se deja en libertad. libert ad. Despué Despuéss que el bloqu bloquee 2 se ha desplazado en el plano inclinado, una distancia de 15 cm, ¿Cuál es la energía mecánica del conjunto?. 1
37º
H
A B
2
θ
90
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b. Ca Calc lcul ulee la poten potencia cia inst instan antá táne neaa ejercida por la fuerza al terminar el tercer segundo. 18. La fuerza F(x) = 3x 2 –2x actúa sobre una partícula de masa 2 kg. Desde x = 2m hasta x = 10 m. Calcule el trabajo realizado por esta fuerza en el intervalo
14. Se dispone un sistema como muestra la figura con vo = 0. Determine el trabajo realizado por la tensión en el bloque de 2 kg después de 5 segundos de instalado el sistema. 5 kg
mencionado. 19. Un bloque de 1 kg de masa desciende por el plano inclinado que se muestra en la figura, si la superficie es rugosa, µ = 0,4 , determine la distancia “d” hasta k = que se detiene
µs = 0,5 = 0 3
2 kg
vo = 5m/s
15. El collarín de m = 2 kg se suelta desde
A con α = 37º y baja por el tubo sin fricci fricción. ón. Hal Halle le su vel veloci ocidad dad cua cuando ndo pase 5m por debajo del punto B. En α = 0º el resorte no esta deformado. ( k =31.4 N/m)
h = 5m 37º d
A m
20. El valor nominal de la energía
k
contenida en la mantequilla es de 2,5 x 107 J/kg. ¿Cuántos tos gramos de manteq man tequil uilla la ser serían ían equ equiva ivalen lentes tes a la energía necesaria para impulsar a un hombre desde una altura de 2 000 m hasta 4 000 m?
α
B
12 m
16. El sistema sistema de de deja ja en libe libertad rtad co conn el
21. Halle la mínima altura H para que el
resorte en su posición natural, halle la ve velo locid cidad ad de m2, cuan cuando do este este haya haya descendido un metro.
cuerpo de masa 2 kg pueda llegar al punto C de la circunferencia mostrada. Si el cuerpo se suelta del reposo del punto A y recorre el plano inclinado con µ= 0,4, después de B la superficie es lisa.
k m1
A m1 = 2 kg m2 = 6 kg k = 20 N/m µ = 0,3
C
m2
17. Un Unaa fuerz fuerzaa neta de 5 N actú actúaa sobr sobree un cu cuer erpo po de 15 kg qu quee se encu encuen entr traa inicialmente en reposo. el trabajo realizado por la a. Calcule fuerza durante el primer segundo.
2m
H 1m
37º B 22. Un niño se deja caer desde el punto “A” a través de la esfera. Cuánto vale el ángulo “ θ” , sabiendo que el niño se desp despre rend ndee en el pu punt nto” o” B” no hay hay rozamiento. A R θ B
91
R
TRABAJO Y ENERGIA E NERGIA
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23. Una masa de 5 kg se traslada de A
26. Una cuenta de masa m parte del reposo
hacia B, por acción de una fuerza F. El trabajo realizado en este tramo por el
desde el punto A (h1 = 83,6 cm), y comienza a deslizarse a lo largo del
peso, en J, es: y
alambre. llegahaalperdido punto B en (h 2 = 13,4 cm),Cuando la bolita el camino un 26,7% de su energía inicial (tomando como nivel de referencia el indi indica cado do en la fi figu gura ra). ). Ca Calc lcul ulee la velocidad de la bolita en el punto B.
B (4, 7)
F=12i+40j
A B
x
A (0, 0)
h1
h2
24. Se tiene un bloque de masa 2 kg. en reposo sobre una superficie rugosa con µc=0. c=0.3, 3, si se le apli aplica ca un unaa fuer fuerza za
Nivel de referencia
co connstan stante te,, de 20N 20N, par parale alela a la super uperffic icie ie y duran rante 5 segu egundo ndos, determine: a. La ace acele lera raci ción ón del blo bloqu quee du dura rant ntee lo loss 5 prim primer eroos segu segund ndoos y la ve velo loci ciddad in insstan tantán tánea a los los 5 segundos. b. La aceleración después de 5 segundos y el tiempo que tarda en de dete tene ners rsee desp despué uéss de deja dejarr de aplicar la fuerza de 20N. c. El trabajo trabajo rea realiz lizado ado por la ffuer uerza za de 20N. d. El trabajo de la fuerza de rozamiento.
un `motor que tira de una cajam/s (m)2. 27. M de es 1 542 kg. La caja avanza a 1,87
25. Un cuerpo de masa “m” se deja en libertad en el punto (A) a la altura “h1” sobre el nivel. La pista mostrada consta de una parte curva AB que es lisa; y de una parte recta (BCD) que es rugosa, y está a uuna na aaltura ltura ”h2” sobr sobree el nivel nivel.. Los coeficientes de rozamiento entre el cuerpo y la pista en los tramos BC y CD son respectivamente “µ1” y “µ2”. Las longitudes de los tramos BC y CD son respectivamente, “1” y “2”; g = aceler ace leració aciónn de la gra graved vedad. ad. Ha Halle lle el trab trabaj ajoo re real aliz izad ado o po porr las las fuer fuerza zass de 1
En cierto momento la velocidad de la caja es 6,7 m/s, pasados 4,7 s., ¿cuál es el trabajo realizado por el motor?, ¿Qué potencia proporciona el motor en ese momento?. θ = 35°. M m
θ 28. Dos masas “m” y “M” se dejan repo reposo so como se muestra en la figura. El peso de “M” vence a la fuerza de fricción estática estáti ca qque ue hhay ay eentre ntre “m” y la mesa; acelerando aceler ando eell conju conjunto. nto. L Laa masa “m” avanza una distancia “h + x” hasta que se deti detien enee en la pos posició iciónn (P (P). ). La posición inicial de la masa “M” con re resp spec ecto to al su suel elo, o, es “h”. “h”. Ha Hall llar ar el trabajo que hace la fuerza de ro roza zam mien iento (el coef coefic icie ient ntee no se cono conoce ce)). “g” “g” = ace acelera leraci cióón de gravedad. m
2
roz ento desde de elC pun punto to (A) has hasta ta D A m rozami B oendes queamient quede reposo. h1 µ1 µ2 h2
h
x
P M
92
h
TRABAJO Y ENERGIA E NERGIA
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29. En llaa figu figura ra la masa A es esta ta lig ligada ada a un resorte de constante elástica 200 N/m y a un bloque B. Si el sistema parte del reposo resorte: enyla posición si el cno oefestirada iciente del de rozamiento cinético entre A y el plano inclinado es 0,3 determine: a. La máxima elongación del resorte. Considere mA = 10 100 kkgg mB = 80 kg
32. En el doble plano inclinado ( θ = 35°), los bloques 1 y 2 se dejan en libertad.
2 Si m 171 m =ión 29 a. ¿C ¿Con on1 =qué qu é kg, acel aceler erac ació n kg,. se Calcule: mu muev evee el bloque 2?. ¿cuál es la tensión de la cuerda?. b. ¿después de cuánto tiempo el bloque 1 se desplaza una distancia de 13 m?.
1 2
θ B K
A
33. Si el móvil de 10 kg mostrado en la figura figura,, sub subee con vel veloci ocidad dad con consta stante nte por acción de la fuerza F, en un piso sin
30º 30. 30. Se dej dejaa en rep repos osoo un cue cuerp rpoo de pes pesoo “mg” desde una altura “H” = 3R, y desliza sin fricción por el camino. El riz izoo ci circ rcuula larr tien tienee un rad radio “R “R”. ”. Calcular: a. la velocidad ddel el cuerpo en el punto más alto del rizo circular. b. la alturaa “h” a la que llegaría el cuerpo en altur el rizo circular, si se suelta ahora desde una altura “H” = 9 R/4. m
H
fricción. Determine trabajo por la fuerza F, de Aelhacia B. efectuado
B 6m 32º
aceleradamente, las masas son m1 = 3 kg, m2 = 8 kg; la inclinación es θ = 30°. Aceleración del bloque 2 es 2,45 m/s2. Suponga que la tensión de la cuerda 2 ha hecho un trabajo de –294 J sobre el bloque 2. Encuentre el trabajo que hace el peso del bloque 1 sobre el bloque 1 y el trabajo que hace el peso del bloque 2 sobre el bloque 2. cuerda 1 1
A
34. 34. El móv móvil il de 4 kg de mas masaa pasa po porr A con una rapidez de 10 m/s, al llegar a B tiene una rapidez de 25 m/s. El trabajo, en J, de la fuerza resultante en este tramo es:
R
31. En el sistem sistemaa de bloqu bloques es que se mueve
F
A 5m B 35. Un bloque de masa “m” se ha colocado suavemente sobre un resorte vertical de long longit itud ud L y cons consta tant ntee elás elásti tica ca K, teniendo su otro extremo fijo al piso. ¿E ¿Enn que que relac elació iónn se encue ncuenntr traa la defo deform rmac ació iónn má máxi xima ma xm con la deformación xo que presenta el bloque cuando el sistema queda en reposo?
cuerda 2 2
θ
m 93
k
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36 36.. Un ob obje jeto to de ma masa sa m = 2 kg pen pende de,, como indica la figura, de una cuerda de 2 m de longitud y la masa despreciable, se tira lentamente de modo que exista equi equili libr brio io en todo todo inst instan ante te,, con con una una fuerza variable F, que, siendo inicialmente nula, aumenta hasta que la cuerda forma un ángulo de 60º con la vertical. Calcule el trabajo realizado por la fuerza. ¿Cuál es el valor de F al final del desplazamiento?
39. Un pequeño cuerpo es soltado desde A, e ingr ingres esaa a una una cavi cavida dadd es esfé féri rica ca de radio R = 8 m, para luego ingresar desde B a un plano inclinado, donde µ=1/4. Se desea averiguar en que punto C definido por h se detendrá el cuerpo. Si θ= 37°.
A
c
0
h
θ 60º
T
B 40. A lo largo de un plano inclinado se
ho h mg
37. El bloque de 2 kg. se mueve desde A ha haci ciaa B sobr sobree una una pist pistaa circ circul ular ar sin sin rozamiento de radio R = 0,6 m que termina en un tramo horizontal rugoso; en este recorre una distancia R y hace contacto con un resorte de constante k = 80 N/m. Calcule la velocidad inicial del bloq bloquue para ara que que comp comprrim imaa al res esoorte rte 0,5 m. con con coefi oefici cien ente te de rozamiento de 0,25.
desp de spla za cuer cuerpo po de peso pe La F laza altura del un plano inclinado essoH W. y tiene el 30 por 100 de pendiente, y además el coeficiente cinético de rozamiento entre la superficie y el cuerpo es µ. Determine. a) La fue fuerz rzaa míni mínima ma hor horiz izon onta tall para para su subi birr el cuer cuerpo po con con mo movi vimi mien ento to uniforme. b) La fuerza paralela al plano para subir al cuerpo en un tiempo t con movimiento uniformemente acelerado. c) El trabaj abajoo desarrolla llado, por la fuerza fue rza par parale alela la al pla plano, no, diga en quepot se encia ha invertido dicho t rabajo. trabajo. d) La potenc ia m medi ediaa de desar sarrol rollad lado. o.
41. Una barrera no homogénea de 10 kg. Se
A
R
K R 38. Inicialmente el bloque 2 está en reposo, B sin deformar. Encuentre con el resorte el trabajo hecho por la tensión de la cuerda, sobre el bloque 2, si el resorte se ha estirado en x = 10 cm. m1 = 6 kg, m2 = 4 kg, k = 490 N/m.
encuentra encuen tra en pos posició iciónn hor horizon izontal. tal. El tr trab abaj ajoo re real aliz izad adoo por por el pe peso so para para llevarla a la posición mostrada es de 800 Joules. Si la barra mide 12m. ¿A que distancia del “B” se encuentra su centro de gravedad? F B
37º
A
1
94
2
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95
MECANICA MECANIC A DE FLUIDOS
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MECÁNICA DE FLUIDOS HIDROSTÁTICA DENSIDAD. Es una propiedad de la materia, sea sólido, líquido o gas, en un cuerpo homogéneo, es decir, con igual distribución de masa en todo su volumen se define como, la cantidad de masa por unidad de volumen.
ρ=
m V
3
Su unidad en el SI es kg/m .
PRESIÓN EN UN FLUIDO. Un fluido estático ejerce una fuerza perpendicular en todas las superficies que mantienen contacto con el fluido. Se define entonces la presión como la fuerza perpendicular aplicada por unidad de área, matemáticamente: P =
F A
Su unidad en el SI es N/m2, a esta unidad se denomina pascal Pa.
PRESIÓN HIDROSTÁTIC HIDROSTÁTICA A. La presión P debido al peso de un fluido a una profundidad h dentro del fluido, fluido, es: PM = ρ gh
PRESIÓN ABSOLUTA. Esta presión es total, y se debe al peso de un fluido más el peso de la atmósfera, a una cierta altura y, y, es: P A
= P O + P M = P O + ρ gy
con
P O
= 1.013 x10 5 Pa
PRINCIPIO DE PASCAL. La presión aplicada a un fluido encerrado se transmite por igual a todas las partes del fluido. Matemáticamente. P 1 = P 2
ó
F 1 A1
=
F 2 A2
En este principio se basa el diseño y construcción de los l os elevadores hidráulicos.
FLOTACIÓN - PRINCIPIO DE ARQUIMIDES ARQUIMIDES. Si un cuerp cuerpoo de den densid sidad ad ρ y volumen V se sumerge un cierto volumen parcial V S , en un líquido de densidad ρ L , este cuerpo experimentara una fuerza vertical y hacia arriba, que es consecuencia de la diferencia de presiones que actúan en el cuerpo. La magnitud de esta fuerza viene dada por: E = ρ L gV S
En este principio se basa la construcción de los submarinos.
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HIDRODINÁMICA FLUJO DE UN FLUIDO. Las formulas que se describirán, son validas para fluidos ideales, con las siguientes características: • Incompresible, es decir que su densidad permanece constante. • Es no viscoso, es decir no presenta fr fricción icción interna. • Es estacionario, es decir independiente del tiempo, el tiempo pasa y las líneas de corriente se mantienen constantes en el tiempo.
•
Es laminar, es estable. decir las líneas de corriente se desplazan suavemente una sobre otra en un régimen
ECUACION DE BERNOULLI. En un fluido puede cambiar la velocidad, la presión y la altura con respecto a un nivel de referencia. El trabajo realizado por el fluido circundante sobre un volumen unitario es igual a la suma de los cambios de energía cinética y potencial por unidad de volumen.
1 2
P 1 + ρ v12
+ ρ gy1 = P 2 + 1 ρ v22 + ρ gy 2 = constante 2
ECUACION DE CO CONTINUIDAD NTINUIDAD (conserva conservación ción de masa) m asa). La masa de un fluido se mantiene constante, es decir, la masas que ingresa a una tubería es la misma que sale por la tubería. Matemáticamente: Q
= V t = A1 . v 1 = A2 .v 2 = constante
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PROBLEMAS RESUELTOS - HIDROSTATICA 1. El depósito de la figura contiene aire comprimido cuya lectura manométrica es de 18,4x10 4 Pa. Si los tres líquidos no miscibles situados debajo de él tienen densidades ρ1 = 0,6x103 kg/m3. ρ2=1,0x103 kg/m3 y ρ3 = 13,6x103 kg/m3. ¿Cuál es La presión manométrica en
Aire
la superficie de separación entre ρ2 y ρ3.
Solución: La presión manométrica pedida según el problema lo ubicamos en el punto A (según figura de solución)
ρ ρ
1,0 m
ρ
2,0 m
1,0 m
aire
Aplicando la formula para presión manométrica de un fluido.
ρ ρ
Pman = ρgH
ρ
1,0 m 1,0 m A
2,0 m
En el punto A observamos que actúa la presión del aire, además de la presión manométrica debida a los líquidos 1 y 2. PA = Paire + ρ1gh1 + ρ2gh2
....(1)
Reemplazando los datos en (1) obtenemos: PA = (18,4x104 + 0,6x103x9,8x1 + 1,0x103x9,8x1)Pa PA = 19,968x104Pa
2. Un cubo de madera de arista 30 cm con densidad 0,6 g/cm 3 esta sumergido parcialmente en agua, y sobre el cubo se encuentra un cilindro metálico como se muestra en la figura. Si las 3/4 partes del cubo están bajo el agua, calcule el peso del cilindro.
Solución: Haciendo diagrama de cuerpo libre del cuerpo y aplicando la primera condición de equilibrio en el agua agua se tiene: E – WM – WC = 0 E
.....(1)
WC = E – WM = ρaguagVS – ρMgVM
WM + WC 3 3 3 3 WC = ρaguag3VM/4 – ρMgVM = (1x10 x9,8x0,75x0,3 – 0,6x10 x9,8x0,3 )N WC = (198,45 – 158,76) N = 39,69 N
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3. La figura muestra un recipiente cilíndrico con tres líquidos no miscibles, con densidades 0,6 g/cm 3; 0,8g/cm3 y 1,2 g/cm3 respectivamente. Calcule la presión manométrica, en P, en el fondo del recipiente.
ρ1
4m
ρ2
2m
ρ3
3m
Solución: La presión manométrica en el fondo del recipiente será:
ρ1
4m
PF = ρ1gh1 + ρ2gh2 + ρ3gh3
ρ2
2m
PF = (0,6x103x9,8x4 + 0,8x103x9,8x2 + 1,2x103x9,8x3 ) Pa
ρ3
3m
PF = (23,52x103 + 15.68x103 + 35,28x103) Pa = 7,448x104 Pa
4. Un Unaa pi pieza eza de alum alumini inioo susp suspen endi dida da de un reso resort rtee se sumerge completamente en un recipiente con agua. La masa del aluminio es de 1 kg y su densidad es 2,7x103 kg/ m3. Calcule la tensión del resorte. a. Cuando el cuerpo esta en el aire. b. Cuando el cuerpo esta sumergido en el agua.
Solución: Haciendo diagrama de cuerpo libre del cuerpo en el aire se tiene:
→
T–W=0
T
T = W = mg = 1*9,8 = 9,8 N
Haciendo diagrama de cuerpo libre del cuerpo y aplicando la primera condición de equilibrio en el agua agua se tiene: T+E–W=0 →
T = W – E = 9,8 – ρaguagVS
W Tenemos como dato del problema que la masa del aluminio es 1 kg y su densidad es 2,7*103 kg/m3 y el cuerpo esta totalmente sumergido.
T
ρ = m/V
→
VS = m/ρ =
1 kg = 2 ,7 * 10 3 kg / m 3
0,37*10 –3m3
E W
T = 9,8 – 1*103*10*0,37*10 –3 = 9,8 – 3.7 = 6,1 N
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5. Un bloque de cierto material de 9 m de
Peso
altura y con una base de 5m 2 flota entre tres líquidos no miscibles de densidades: 0,6 0,6 g/cm g/cm3; 1,0 g/cm3 y 1,2 g/cm /cm3 respectivamente según se muestra en la figura. Si el peso colocado en uno de los platillos de la balanza es de 200 000 N
1m
1m
para quedensidad esta sedel mantenga halle la bloque yhorizontal, la presión 4 m manométrica del punto M. 4m
ρ ρ
2m
4m
ρ
3m
Solución: Hacemos diagrama de cuerp Hacemos cuerpoo libre a la balanza Peso 1m
A
1m
1m
200 000N 1m
T 4m
ρ
4m
ρ2
4m
ρ
T Aplica Ap licamos mos la seg segund undaa con condic dición ión de equilibrio en el punto A.
2m
∑ MA = 0
3m
1*T – 1*200 000 = 0
.....(1)
de (1) obtenemos T = 200 000 Haciendo diagrama de cuerpo libre al bloque y aplicando la primera condición de equilibrio en el eje Y obtenemos lo siguiente:
T = 200 000 N 4m
ρ
4m
ρ
4m
ρ
2m
200 000 + E1 +E2 +E3 = W
.....(2)
W = mg = ρVg 3m
Según Arquímedes.
E = ρLgVS = ρLgAhS
E1 = ρ1gAh1 = 0,6*103*10*5*2 = 5,88x104 Pa W E1 +E2 +E3
E2 = ρ2gAh2 = 1,0*103*10*5*4 = 19,6x104 Pa E3 = ρ3gAh3 = 1,2*103*10*5*3 = 17,6x104 Pa W = ρXgAhg = ρXx9,8x5x9 = 441xρX
Reemplazando en la ecuación (2) 20x104 + 5,88x104 + 19,6x104 + 17,6x104 = 441xρX ρX = 1,43*103 kg/m3
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Ahora la presión manométrica en el punto M es: PM = ρ1gh1 + ρ2gh2 + ρ3gh3 PM = (0,6x103x9,8x4 + 1,0x103x9,8x 4 + 1,2x103x9,8x 3 ) Pa PM = (23,52x103 + 39,2x103 + 35,28x103) Pa = 9,8x104 Pa
6. Determine la densidad de una esfera, kg/m3, que flota entre dos líquidos de densidades 0,8 g/cm3 y 1 g/cm3, sabiendo que la línea de separación de los dos líquidos pasa por el diámetro de la esfera. Solución
ρ1 = 0,8*103 kg/m3, ρ2 = 1*x103 kg/m3 y ρX = ?
ρ1
Como la esfera se encuentra en equilibrio, entonces tenemos:
ρX
W = E1 + E2
ρ2
.....(1)
V
V
2
2
ρXgV = ρ1g + ρ2g
W E1 + E2
ρX = (ρ1 + ρ2)/2
.....(2) .....(3)
ρX = 0,9x103 kg/m3 7. Halle la densidad de los líquidos. ρA + ρB = 1600 kg/m3. 0.2m A 0.3m B
0.2m A 0.3m B
Solución Tomando como sistema de referencia las líneas punteadas y teniendo en cuenta que el fluido se encuentra en reposo, se tiene lo siguiente: PA = PB Po + ρAghA = Po + ρBghB De la ecuación anterior obtenemos:
ρA*0,5 = ρB*0,3 →
5*ρA = 3*ρB
Teniendo en cuenta el dato del problema que señala que: ρA + ρB = 1600 kg/m3
ρA + 5ρA/3 = 1600 kg/m3 → 8ρA/3 = 1600 kg/m3 ρA = 600 kg/m3 y ρB = 1000 kg/m3
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8. Un tubo simple en forma de U contiene agua y kerosene de 6 cm de altura, como se muestra en la figura. Halle la diferencia H entre las alturas de las superficies de los dos líquidos no miscibles. (ρK = = 820 kg/m3)
H
6
Agua
Solución
H Agua
6
Toma Tomand ndoo como como sis iste tema ma de re refe fere renc ncia ia las las líne líneas as punteadas y teniendo en cuenta que el fluido se encuentra en reposo, se tiene lo siguiente: P1 = P2
h
Po + ρ1gh1 = Po + ρ2gh2 De la ecuación anterior obtenemos:
ρ1*h1 = ρ2*h2
.....(1)
Reemplazando los datos del problema tenemos: 1*103*(6 – H) = 0.82*103*6 De donde obtenemos el valor de en cm
H = 1,08 cm manó nóme metr troo abie abierto rto de me merc rcur urio io se 9. Un ma conecta con un tanque de gas. El mercurio está 39 cm más alto en el lado derecho que en el izqu izquie ierd rdo, o, cuan cuando do un baró baróme metr troo ce cerc rcan anoo ma marc rcaa 76 cm cm.H .Hg. g. ¿Cuá ¿Cuáll es la presión absoluta del gas?
Hg Tanque De gas
39 cm
Solución: Hg Tanque De gas
39 cm SR
Tomandoo com Tomand comoo niv nivel el de refere referenci nciaa la línea línea punteada Pgas = PHg + PO Pgas = 39 cmHg + 76 cmHg Pgas = 115 cmHg
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10. Un tubo en U cilíndrico de 4 cm2 y 20 cm2 de sección transversal contiene Hg a un mismo nivel. Por el tubo de mayo ma yorr secc secció iónn se vier vierte te lenta lentame ment ntee 816 816 g de H2O. Determine Deter mine la altu altura ra que sube eell nivel del Hg en el otr otroo 3 tubo. ρHg = 13,6 g/cm .
4 cm2
20 cm2
Solución Toma Tomand ndoo como como sis iste tema ma de re refe fere renc ncia ia las las líne líneas as punteadas y teniendo en cuenta que el fluido se encuentra en reposo, se tiene lo siguiente:
4 cm2 20 cm2
P1 = P2
HO h h
Po + ρ1gh1 = Po + ρ2gh2 De la ecuación anterior obtenemos:
Hg
ρ1*h1 = ρ2*h2
.....(1)
Teniendo en cuenta ρ1 = m/V, para el agua (lado izquierdo) se tiene: 1*103 = 816*10 –3/V1 → 816*10 –6 = 5*10 –4*h1
V1 = 816*10 –6 m3
→
y
V1 = Ah1
h1 = 54,4*10 –2 m = 0,544 m
Reemplazando el anterior resultado en la ecuación (1) obtenemos: 1*103*0,544 = 13,6*103*h2 h2 = 0,04 m
11. Un cascarón esférico de hierro flota casi completamente sumergido en agua. Si el diámetro exterior es “d” y la densidad relativa del hierro es ρr , encuentre el diámetro interior.
Solución: Como el cuerpo se encuentra en equilibrio, entonces el empuje es igual al peso del cuerpo. ρ Fe W = E y ρ r = ρ H 2O
Fe g ρ FeV V Fe
=
= g ρ H OV H O 4π (d 3 − d 13 ) 2
24
.....(1)
2
V H 2O
4π d 3 24
.....(2)
ρ 1 r Reemplazando (2) en (1) y simplificando g, se tiene: d I = d 3 ρ −r
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12. Dos recipientes cilíndricos idénticos contienen ambos un líquido de densidad “ ρ”. El área
de cada una de las bases es A, pero en un recipiente la altura es h 1, y en el otro es h 2. Calcule el trabajo que hará la gravedad al igualarse los niveles cuando se conectan los dos recipientes.
Solución: Suponemos que h1 > h2 Antes de conectarse se tiene, para el volumen. VT = h1A + h2A
.....(1)
Después de conectarse, cuando los niveles se igualan, se tiene: VT = hA + hA (1) = (2)
.....(2)
⇒
h=
h1 + h2 2
El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria, en este proceso es:
h 1 + h2 2 h 1 + h2 mT = ρ∆V = ρA∆h = ρA 2 2 h 1 + h2 (3) en (4) W = ρAg 2 W = mTg∆h = mTg
W=
.....(3) .....(4)
ρ gA
4
(h1
− h2 ) 2
13. Un tanque de forma cilíndr cilíndrica ica contiene aceite de dens densidad idad ρ = 0,8 g/cm3 y agua. La altura del aceite es de 2 m y del agua 1 m. Halle la presión total en el fondo del recipiente.
Solución:
La presión total en el fondo del recipi recipiente, ente, viene dado por la expresión siguiente: PO
h1=2 m
PT = PO + ρaceitegh1 + ρaguagh2 Reemplazando los datos del problema, obtenemos. PT = [1,013x105 + 0,8x103x9,8x2 + 1x103x9,8x1)]Pa
h2=1 m
PT = 1,2678x105 Pa
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14. Un Unaa bola bola de conc concre reto to ( ρ r = 2 ) se deposita
suavemente en la superficie de una corriente de agua que lleva una velocidad de 3 m/s y cuya profundidad es de 10m. a. ¿Cuánto tiempo tarda la bola en tocar el fondo?. distanc tancia ia med medida ida hor horizo izonta ntalme lmente nte b. ¿A qué dis
v = 3 m/s h = 10 m
desde el punto de partida tocará el fondo? Solución:
Haciendo el diagrama de cuerpo de libre de m se tiene
E
mg
Despejando de (1), hallamos la aceleración ( a ) con que cae la bola.
a= mg – E = m a .....(1)
ρ mVg − ρ H OVg 2
ρ mV
Simplificamos V y factorizando g, se tiene:
E: empuje = ρH2OVg
a = g (1 +
m = ρmVg
ρ H 2O ρ m
) = g (1 +
1 ρ r
)
a = g/2 Analizando la caída de la bola, se tiene: H = ½ a t2, con los datos. H =
1 g 2 t ⇒ t2 = 4 ⇒ t = 2s. 22
2 segundos es el tiempo que tarda la bola en tocar el fondo. Luego, analizamos el movimiento horizontal, con el tiempo que ya hemos obtenido. d = vt ⇒ d = 3x2 = 6m Por lo tanto la bola tocará el fondo a 6m del punto de partida.
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15. En un recipiente se coloca mercurio ( ρHg = 13,6 g/cm3 ) y agua. Un recipiente cilíndrico de 20 cm de altura flota en la superficie de separación de los dos líquidos, sumergido 8 cm en el mercurio. ¿Cuál es la densidad del recipiente cilíndrico?
Solución: Como existe equilibrio, entonces:
H2O
E1 + E2 = W .....(1) ρHgV1 + ρaguagV2 = ρXgV
X
.....(2)
Además V = V1 + V2 y h = h1 + h2
Hg
Reempl Ree mplaza azando ndo en la ecu ecuació aciónn ((2) 2) ρHgAh1 + ρaguaAh2 = ρXAh Simplificando y despejando γ X, se tiene:
ρX = 6,04x103 N/m3
ρXh = (ρHgh1 + ρaguah2)/h 16. En la figura se muestra un tanque conectado a un tubo en “U”. Cuando la superficie del agua está en el nivel A, el valor de “h” es 1m. Se agrega aguaa al tan agu tanque que,, ele elevan vando do el nivel en 3,4 m sobre A. En es esta tass co cond ndic icio ione nes, s, halle halle el nu nuev evoo va valo lorr de “h” “h”.. ( ρHg = 3 13,6 g/cm )
A
H 2O
Hg
h
Solución: En un primer caso se tiene:
H 2O
Hg
h
H 2O ρ Hg gh P =
.
..(1)
S.Ref.
Luegoo de agr Lueg greg egaar agu agua se tien tienee lo siguiente: P H 2O
+
g (3,4) H 2O
De la ecuación (2), calculamos el h’ buscado. h' =
P H 2O
+ ρ H 2O g (3,4) ρ Hg g
=
+ ρ H 2O g (3,4)
Hg gh
Reemplazando datos, obtenemos:
ρ Hg g
=
Hg h
+ ρ H 2O (3,4) ρ Hg
=
Hg gh '
...(2)
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13,6 x10 3 x1 + 1 x10 3 x3,4 13,6 + 3,4 = = 1,25 m h' = 13,6 13,6 x10 3
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h' = 1 ,25 m
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PROBLEMAS RESUELTOS - HIDRODINAMICA
17. A través del tubo AB pasa una corriente
A
de aire de 15 Lt por minuto. El área de la sección transversal de la parte ancha del tubo AB es igual a 2 cm 2, la de la parte estrecha del tubo abc es igual a 0,5
aire B
2
cm Hal Halle le la dife diferen rencia ciahay de niv nivele ∆h que. tendrá el agua que en eles el stubo abc. Considerar que la densidad del aire es igual a 1,6 kg/m3 ( g = 9,8 m/s2 )
c a
agua
h
b Solución: Aplicando la ecuación de Bernoulli, en A y B,(agua) se tiene: PA + ½ ρairevA2 + γ h1 = PB + ½ ρairevA2 + γ h2 PA – PB = ½ ρaire( vB2 – vA2 )
sí h1=h2 y γ = = gρ
.....(1)
Analizando el tubo en U, con agua, se tiene lo siguiente: PA = PB + ρaguag∆h
.....(2)
De (1) y (2) obtenemos: ρ aira
∆h = 2ρ g ( vB2 – vA2 ) agua
.....(3)
Para hallar las velocidades vA y vB, consideramos la ecuación de continuidad, además el caudal es dato y es igual a 15 litros/minuto. Q = 15 litros/minuto = 2,5x10 –4 m3/s. Q = AAvA = ABvB Reemplazando los datos, tenemos las velocidades buscadas. vA =
5 m/s y vB = 5m/s 4
Estas velocidades la reemplazamos en (3)
∆h =
1,6 3
(25 – 25/16)
2 x10 x9,8
∆h = 1,9133x10 –3 m
= 1,9133 mm.
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18. Considérese el tubo de Venturí de la figura, sin manómetro. Sea A igual a 5a. Supóngase que la presión en A es de 2 atm. Calcule los valores de V en “A” y de V’ en “a” para los cuales la presión “p” en “a” es igual a cero (El fenómeno que ocurre en “a” cuando “p” es igual a cero se llama cavitación, el agua se vaporiza en pequeñas burbujas) ( 1 atm = 1x10 5 Pa; g = 10 m/s2 )
A a v
v’
Solución: Aplicamos la ecuación de Bernoulli, y se tiene lo siguiente: PA + ½ ρvA2 = Pa + ½ ρva2 Por condición del problema, se tiene Pa = 0 PA = ½ ρ(va2 – vA2)
.....(1)
Aplicamos la ecuación de continuidad, y relacionamos las velocidades. AAvA = Aava ⇒
5avA = ava 1/ 2
(2) en (1) va =
1/ 2
50 P A 50 x 2 x105 24 ρ = 24 x103
Operando obtenemos: vA = 5 6 m/s y va = 25 6 m/s
3
⇒ vA = va/5
3
.....(2)
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19. De un deposito sale una tubería de 20 cm. de diámetro. Luego por medio de una una re redu ducc cción ión,, el flu fluid idoo pasa pasa a otra otra tubería de 10 cm. de diámetro descargando luego libremente. El caudal de salida es 120 lt/s. Calcule la rapidez de salida en ambos tubos.
HO
Solución:
m3 = 0.12 El caudal lo expresamos en m /s. 120 s 1000lt s lt 1 m 3
3
Aplicamos la ecuación de continuidad en ambas secciones y aprovechamos el dato del caudal. Q = A1v1= A2v2 π D 2
0.12 = 41 v1 0.12 =
π D22
4
v2
v1
x m s = π0 x,12 0,242 = 3,82 /
v2
= 0,12 x 42 = 15,28 m / s π x0,1
20. Un tanque cerrado y lleno de agua tiene una presión manométrica de 7,8x104 Pa en el fondo. Si se hace un agujero en la tapa del tanque sale un chorro verticalmente hacia arriba alcanzando una altura de 4,9 m por encima de la tapa. Calcular la altura H que tiene el tanque.
Solución: 49m
Aplicando la ecuación de Bernoulli, cogiendo el fondo con el orificio de salida se tiene: H
p1
+ 1 ρ v12 + ρ gh1 = p2 + 1 ρ v 22 + ρ gh2 2
2
Hallando la velocidad en el orificio de salida. Aplicando caída libre La ecuación de velocidad
0 = v 22 – (2)(9,8)(4,9)
v2 = 9,8 m/s Reemplazando datos: p1
= 1 ρ v 22 + ρ gH 2
Obtenemos H = p1 − 12 ρ v2 = 7 ,8 * 10 − 12 x1000 x9 ,8 = 3 m 1000 * 9 ,8 ρ g 2
4
2
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21. Un tan tanque que cilínd cilíndric ricoo abi abiert ertoo tien tienee una altura H = 10 m. El área de su sección transversal es A = 20 m2. A una profundidad h = 6 m con respecto al nivel del liquido se hace un orificio de área a = 1 m2. Si la velo veloci cida dadd en la supe superf rfic icie ie su supe peri rior or de dell líqu líquid idoo es “v1”, hall alle la
h v
H
magnitud de ladel velocidad líquido a través orificio. de salida del Adicionalmente determine la distancia “x” que alcanza el chorro.
x
Solución:
1
h v
H
2
x
NR
Aplicando la ecuación de continuidad a los puntos 1 y 2 obtenemos: A1v1 = A2v2
20v1=1v0
Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 del fluido. p1
+ 1 ρ v12 + ρ gh1 = p2 + 1 ρ v 22 + ρ gh2 2
2
Las presiones manométricas 1 y 2 son nulas, además v1 = v0/20
1 v02 + ρ gH = 1 ρ v02 + ρ g ( H − h) ρ 2 400 2
1 2
ρ gh = v 02 ( ρ −
Despejando v0 y reemplazando datos: v0
=
ρ gh
=
1 1 ( ρ − ρ ) 2 800
gh
1 1 ( − ) 2 800
= 10 ,86 m / s
Aplicando ciada libre para determinar el tiempo de caída del chorro. –4 = –4,9 t2 de donde t = 0,9 s Por lo tanto x = v0*t = 10,86x0,9 = 9,8 m.
1 ρ ) 800
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22. La tubería horizontal de 10 cm. de diámetro se reduce a 4 cm. de diámetro. Calcule la cantidad de agua, en m3, que pasa por la tubería en 1 minu minuto to.. Si las las pr pres esio ione ness ma mano nomé métr trica icass son son 5 5 0,5x10 Pa y 0,3x10 Pa.
Solución: Aplicando la ecuación de continuidad a los puntos 1 y 2 obtenemos: 1
A1v1 = A2v2
2
K*100v 1=k*16v2 v1 =
16 v 100 2
Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 del fluido. p1
+ 1 ρ v12 = p2 + 1 ρ v 22
Remplazando datos:
2 2 2 100v1 1 1 5 2 5 0,5 x10 + x1000 xv1 = 0 ,3 x10 + x1000 de donde obtenemos v1= 1,025 m 2 2 16 Calculando el volumen Q = Av = V/t A = π
d 2
4
V = π
d 2
4
V = A.v.t
.v.t = 0,48 m3
23. En la figura se muestra un tanque de área de sección muy grande que contiene agua. Calcule la presión manométrica en el punto A en el instante en que el chorro de agua toca l suelo. Considere g = 9.8 m/s2. Embolo
3,1 m
Solución: Aplicando Aplica ndo caída libre libre al cho chorro rro de agua, se obtiene que la velocidad de salida por el orificio mostrado es 12 m/s.
A
Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos A y el orificio de salida del fluido.
4,9 m Agua
p A
12 m
+ ρ . g . 3,1 = 1 ρ (12) 2 2
De aquí obtenemos la presión en A, que es 41620 Pa.
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PROBLEMAS PROPUESTOS - FLUIDOS
1. En la figu figura ra se mues muestr traa un recip recipie iente nte cont conten enie iend ndoo tres tres sust sustan ancia cias: s: acei aceite, te, glicerina y otra desconocida. En A la presión manométrica es de 3,5x104 N/m2 y esto hace que la glicerina suba hasta el
4. Dos líquidos no miscibles están en equilibrio tal como se muestra en la figura figura.. Det Determ ermina inarr la rel relaci ación ón ent entre re las las pr pres esio ione ness hidr hidros ostá tátic ticas as en los los
nivel Q. desconocida. Determinar la densidad de la sustancia ρ(aceite)= 850 kg/m3 Datos: ρ(glicerina)= 1250 kg/m3
puntos altura). A y B (ambos están a la misma
A 2H
Q SUSTANCIA
A
2m
H
H
6m
ACEITE
B
4m
R
T GLICERINA
5. El diagrama muestra los niveles de los líquidos equilibrados. Halle la presión mano ma nomé métr tric icaa del del nitr nitróg ógen enoo si la presión del aire en el manómetro registra 10 kPa. La densidad del aceite empl em plea eado do es 0,6 0,6 g/cm g/cm3 y la del mercurio 13,6 g/cm3.
2. Tres líquidos no miscibles se distribuyen
en un tubo en U. Calcular la densidad ρ, sabiendo que ρ1 = 0,8 g/cm3 y ρ2 = 0,9 g/ cm3.
ρ1
a
N
AIRE
ACEITE
AGUA
a
ρ
ρ2
50 cm
40 cm
a
3. Halle la presión del gas encerrado en el recipiente A mostrado en la figura.
gas
20 cm
35 cm 30 cm Hg
6. Un tan tanque de forma cilínd índrica ica contiene aceite de densidad ρr = = 0,8 g/ 3 cm y agua. La altura de aceite es de 2
El líquido del manómetro es mercurio ρHg=13.6 g/cm3 Po=1.013x105 Pa
m y en delelagua m. recipiente. Halle la presión total fondo1 del
113
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7. Un bloque cúbico de madera de 10 cm de arista flota en la superficie de separación de aceite y agua como indica la figura, estando su cara inferior 2 cm ppor or debajo de la supe uperfic rficie ie de separ eparac ació ión. n. La 3 densidad del aceite es 0.6 g/cm . calcule:
10. Un cilindro macizo flota en benceno
¿Cuál es delmanométrica bloque. a. ¿Cuál b. es la la masa presión en la cara inferior del bloque?
¿Cuá ¿C uáll esdeelhierro, pes peso, sienla Nparte , de no la a. porción
ACEITE H =10 =10 cm MADERA
h =1 =100 cm cm
AGUA
(d0 = 0,879 g/cm3). El cuerpo tiene dos partes: la superior es de madera, de altura h = 1,12 m y área A = 8,01 cm2 y la inferior es de hierro. sumergida de la madera tiene una altura y = 19,9 cm?. Densidades de madera y de hierro: d 1 = 0,7 g/cm3 y d2 = 7,9 g/cm3; respectivamente. b. Cual es la presión manométrica de un punto situado a una profundidad de 1.2 m en benceno. benceno. c. Cu Cual al es la ppre resi sión ón aabs bsol olut utaa de un punto situado a una profundidad de 1.2 m en benceno.
8. En la figu figura ra se mu mues estr traa un cue cuerpo rpo cilíndrico cuya área de sección recta es 10 m2 sume sumerg rgid idoo en los los líquid líquidos os no miscibles de densidades 0,6 g/cm 3, 0,8 g/ cm3 y 1,2 g/cm3 respectivamente. Si la altura del cuerpo es h = 5m, calcular la presión manométrica en el e l punto “1” y la densidad del cuerpo.
4m
A
2m
B
y h hierro
benceno
11. En la fig figur uraa se mu mues estr traa un tan tanqu quee conectado a un tubo en “U”. Cuando la superficie del agua está en el nivel A, el valor de “h” es 1 m. Se agrega agua al tanque elevando el nivel en 3,4 m sobre A. En estas condiciones, halle halle el nu nuev evoo valo valorr de “h” “h”.. ( ρHg = 3 13,6 g/cm )
1m 1
madera
A
C
H2O
Hg h
9. En la figura, calcular el valor de la fuerza F necesaria para levantar el peso W = 14400 N. Los radios de los pistones son: R 1= 5 cm. y R 2= 20 cm.
F
M W 60 cm
5 cm
12. El pistón de un elevador hidráulico de automóviles tiene 30 cm de diámetro. R a) ¿Cuál es la presión que se requiere para elevar un auto cuya masa es de 1500 que kg? el pistón b) Considerando pequeño del elevador hidráulico
P R
114
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es de 10 cm de diámetro, ¿cuál es la fuerza necesaria para elevar el auto? 13. Eva Evalua luar, r, par paraa los sig siguie uiente ntess cas casos os,, la presión hidrostática a una profundidad “h “h”” en el in inte terrio iorr de un líqu líquid idoo de densidad “ρ”. a. Sí el recipiente sube con aceleración g/2 ⇒ P = 3ρgH/2
b. Sí el recipiente cae libremente, ⇒ P =0 c. Sí el recipiente sube con aceleración “g” ⇒ P = 2ρgH
17. En un tubo en "U" se vierten tres líquidos A,B y C quedando en equilibrio en la forma mostrada en la figura. Sabiendo que las densidades 3
3
de A y C son 0,5calcule g/cm yle 0,3 g/cm respectivamente, densidad del liquido B.
14. Un líquido de densidad 1,25 g/cm3 llena parcialmente el vaso de la figura. ¿Cuál será la presión en el punto D, ubicado 0,20 m debajo de la superficie del vaso ( Patm = 1x105 Pa )
25cm
A
B
18. Un prisma de un metro de altura cuya
B 0,50 m
C 0,20 m
D
ρr= 13,6
15. En un tubo en “U” se vierten tres líquidos A, B y C quedando en equilibrio en la forma mostrada en la figura. Sabiendo que las densidades de A y C son de 0,5 g/ cm3y 0,3 g/cm3 respe respectiva ctivamente, mente, la 3 densidad, en kg/m , del líquido B es:
25 cm
A
H 15 cm
15cm 5cm
aire
ρr= 1,25
C
densidad es 750 kg/m3 está sumergido en agua, en la posición mostrada en la figura. Al soltar el prisma. ¿Sobre resa sale le el pr pris isma ma so sobr bree la a. ¿Sob superficie o se va al fondo? b. Sí sobresale, calcular la altura “x” que sob sobres resale ale cua cuando ndo el pri prisma sma adquiere el equilibrio.
C
19. Se tien tienee un gas gas ence encerr rrad adoo a alta alta
5 cm
presión, conectado a un tubo en U que contiene mercurio, como se muestra, además con una segunda conexión al agua. Determine, La presión absoluta del gas. (ρHg=13,6 g/cc y ρagua =1 g/cc)
B
16. Deter Determine mine la ppresió resiónn abso absoluta luta del gas gas..
ρHg = 13 600 kg/m 3. Presión atmosférica
1,013x105 Pa.
Gas
aire Gas 0.2m mercurio
24 cm
agua
1.2m
H 115
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20. Un Unaa cone conejita jita es esta ta ubi ubicad cadaa en un tazón semiesférico de radio 6 cm flota con el ta tazó zónn just justoo a ras ras del del nive nivell del del agua agua 3 impu impura ra de dens densid idad ad 1, 1,20 20 g/cm g/cm . Si despreciamos la masa del tazón, halle la
del agua Calcular a) El volumen y b) La densidad de la piedra 24. Halle la densidad de los líquidos. ρA + ρB = 1600 kg/m3.
masa agua. de la conejita. El tazón no contiene
0.2m A 0.3m B
21. Se tiene un cilindro de madera de altura 2
3m, área de su base 1.2 m y densidad 0,6 g/cm3 sumergido parcialmente entre dos líquidos no miscibles de densidades 0,8 g/cm3 y 1 g/cm3, y con una masa m encima, como muestra la figura. Determine la máxima masa “m” que se le puede agregar para que el cilindro quede en la posición mostrada.
25. La fi figu gura ra mu mues estr traa un tu tubbo “U “U”” cont conten enid idoo do doss líqu líquid idos os A y B no miscibles. Hallar la densidad de los líquidos sabiendo que la densidad de A + densidad de B =1600 kg/m3 .
A
0.2m
x
m
ρ2
2m
ρ1 22. Determine la densidad del cilindro, de 1 m de altura y 1 m 2 de área de sección circ circul ular ar,, que que flot flotaa en agua agua,, como como se muestra en la figura.
60 cm
y
26. Determinar la densidad de una esfera que que fl floota entr entree dos líqu líquid idos os de 3 dens densid idad ades es 0,8 0,8 g/cm g/cm y 1 g/cm3, sabiendo que la línea de separación de los dos líquidos pasa por el diámetro de la esfera.
27. El bloque A de 120 N cuelga de una cuerda y bordea la polea fija, sin peso, para sostener el bloque B de forma cúbica y arista 0,2 m completamente sumergido en agua y en contacto con una una pare paredd del del depó depósi sito to.. Calcu Calcule le la densidad del bloque B para que se mantenga en equilibrio. CB//MN
C
23. Una piedra que pesa 600 N en el aire,
B
0.3m
A
M
pesa 350 N. cuando se encuentra debajo
B 116
37 º N
A ua
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28. ¿Cual es la superficie del menor bloque de hielo ielo de 30 cm cm,, de espe espessor que soport sop ortará ará,, exa exacta ctamen mente, te, el pes pesoo de un hombre de 90 kg? La densidad del hielo
33. Una tubería horizontal tiene sectores de dife difere rent ntee anch ancho: o: las las ár área eass de sección transversal en el primero y en
3
es 0.917 g/cm y esta flotando sobre agua dulce?
29. Se de deja ja ca caer er una una esfer esferaa comp compac acta ta de densidad d desde una altura h sobre el nivel de un líquido de densidad igual a 0,4 g/cm3. Hallar la densidad de la esfera con la condición de que ella recorra en el líquido una distancia igual a 2h.
30. En un punto de una tubería vertical, que contiene agua, la velocidad es de 1 m/s y la pres presió iónn man manom omét étric ricaa de 3x10 3x105 Pa. Hall Ha llee la pres presió iónn ma mano nomé métr trica ica en un punto situado 20 m por debajo del primero, si su sección transversal es la mitad que la del primero.
31. Calcular la densidad de la esfera A si se sabe que al ser suspendida en el aire de un resorte, este se estira x 1 = 15 cm. Pero al ser ser sume sumerg rgida ida tota totalme lment ntee en agua agua,, dicho resorte se comprime x 2 = 5 cm.
el 2 2 cmsegundo y 5, 5,44son cmrespectivamente: . La dens densid idad ad 12,6 del del líquido que atraviesa la tubería es 0,18 g/cm3; la velocidad en la parte más ancha es 4,7 m/s y la presión en la parte más estrecha es 13 864 Pa. ¿Qué veloci lociddad hay en la parte má máss estrecha?.
34. El tubo, representado a continuación tiene una sección transversal de 36 cm2, en las partes anchas y de 9 cm 2 en el estrechamiento. Cada 5 segundos salen el tubo 27 litros de agua. a) Calcu alcule le las las veloc elocid idad adees en las las partes anchas y en la parte estrecha del tubo. b) Calcule la diferencia de presiones entre estas partes. c) Calc Calcul ulee la dif difer eren enci ciaa de alt altur uras as entre las columnas de mercurio del tubo en U. A1V1
A2V2
K
mercurio A
35. En el siguie siguiente nte diagrama diagrama.. A1=4 A 2. Si
A ua
32. ¿Cuál es la presión del gas A?. Densidade Densid ades: s: d1(ace (aceit ite) e) = 0,8 g/cm g/cm3; d2(agua) = 1 g/cm3, d3(mercurio) = 13,6 g/cm3. Alturas: h1 = 3,2 m; h2 = 1,3 m y h3 = 36 cm; p0 = 1,013 x 100 000 Pa. Gas A h1
aceite
agua
P1(mano manomé métr tric icaa) = 105 Pa, A1 =0.02m2, densidad del agua 103 kg/ m3. Determine a) la vel velocid ocidad ad de salida salida del agu aguaa b) El caudal
h2
v
h3 mercurio
P1
37º
117
8m
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36. En la figura se muestra un sifón que descarga agua del tanque. La diferencia de nivel entre la superficie libre (Punto A )0,8m y el yvértice C) m. es de entre del C ysifón B es(Punto de 2,05 El diámetro de la tubería es de 40 mm. Dete De term rmin inee el caud caudal al (en (en litr litros os/s /s)) y la presión absoluta en el vértice C. C
39. Una tubería horizontal de 300 mm de diámetro tiene un estrechamiento de 100 mm de diámetro. Teniendo estas secciones una diferencia de presiones hidrostática a 2500 Pa, el según se muestra en laigual figura. Calcule caudal de la tubería.
0,8 m A 2,05 m
B Por un tubo tubo ho hori rizo zont ntal al AB pasa pasa un 37. Por líquido. La diferencia de niveles de este líquido en los tubitos a y b es igual a 10 cm. Los diámetros de los tubitos a y b so sonn igua iguale les. s. Ha Hall llee la velo veloci cida dadd de la corriente de líquido en el tubo AB.
40. Por la tubería inc inclina inada a 37º mostrada en al figura, circula agua. Calcule la presión manométrica en un punto P de la sección de 3 cm2, sa sabi bien endo do qu quee el agua agua sa sale le po porr la boquilla de 1 cm2.
5m
1 cm2
b a h
10 m
A
B
P 3 cm2 37º 10 m
38. La altura de agua en un depósito cerrado
41. En la figura se representa un tubo de
es h1 = 1,8 m. Una tubería horizontal parte del fondo del depósito dis ism min inuy uyen enddo su área área de sec sección ción transversal a la mitad. La tubería tiene una pro prolon longac gación ión ver vertic tical al abi abiert ertaa a la atmó tmósfera. La veloci lociddad con que descien iende el nivel de agua en el compartimiento cerrado es de 0,5 m/s, la presión del gas encerrado es dos veces la de la atmósfera. ¿Cuál es la velocidad del agua en el tubo horizontal de mayor diámetro?.
Venturi para la medida del caudal, con un típico manómetro diferencial de mercurio. El diámetro mayor es de 40 cm, y el de la garganta o estrangulamiento es de 20 cm. Si la diferencia entre las alturas alcanzadas por el mercurio en las dos ramas vale 30 cm y la densidad de mercurio es de 13,6 g/cc; encuentre el caudal en m3/s.
gas
v1
aire
h1
h3
agua
aire
Mercurio
v2
h
118
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42. El área de la sección transversal de una tubería horizontal por donde circula agua es 10 cm2 en un estrechamiento, el área de la sección transversal es de 5 cm 2. Si la dife difere renc ncia prPa. esió ión n entr entree metros amb ambas as secciones esiadede 300pres ¿Cuántos cúbicos de agua saldrán de la tubería en un minuto?
43. Un tubo de Pitot va montado en el ala de un avión para determinar su velocidad con con re relac lació iónn al aire aire.. El tubo tubo cont contien ienee mercurio e indica una diferencia de 20 cm. Si la densidad del aire es aproximadamente de 0,0013 g/cm3, ¿cuál es la velocidad del avión?. Densidad del mercurio: 13,6 g/ cm3.
mercurio
h
44. Por el tubo mostrado en la figura circula agua agua,, se le pi pide de dete determ rmin inee la pres presió iónn absoluta en el punto 1. Si sale un chorro que llega al punto C. (A1 = 5A2) 2
4,9 m C
1
10 m
45. Un ta tanq nque ue con con agua agua de secc secció iónn mu muyy gr gran ande de tien tienee un aguj agujer eroo en su part partee inferior como mu mueestra tra la figura, determine la velocidad inicial de salida del chorro.
5m
119
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TEMPERATURA La temperatura es una cantidad física escalar, medible directamente a nivel macr ma cros oscó cópi pico co,, como como la se sens nsac ació ión n de frío frío o calo calor, r, pero pero que que tien tienee su orig origen en a nive nivell microscópico. La temperatura microscópicamente esta íntimamente relacionada con la energía cinética molecular media de las partículas que integran un cuerpo.
propiedad intensiva intensiva,, es decir que no depende de la masa ni del La temperatura es una propiedad una tamaño del cuerpo o sistema estudiado.
TERMOMETRO Cualquier cuerpo o sustancia que cambie sus propiedades físicas con la temperatura, puede ser usado como termómetro, para esto es necesario llevar a cabo un proceso de calibración. Así tenemos:
•
Termómetro de vidrio: Este termómetro se basa en la dilatación del mercurio o de la sustanc sus tancia ia qu quee esta esta siendo siendo usa usada, da, tien tienee una esc escala ala gra gradua duada. da. Est Estee ter termóm mómetr etroo fue inventado por Fahrenheit en 1714.
•
La termocupla o termopar, que se basa en la variación de la resistencia eléctrica,
ESCALAS DE TEMPERATURA Los termómetros se han diseñado con las características que imponen sus creadores, estas escalas se dividen en absolutas y relativas. Las absolutas empiezan en cero y la lass re rela lati tiva vass admi admite tenn temp temper erat atur uras as ne nega gativ tivas as.. Toda Todass esta estass esca escalas las tiene tienenn puntos comunes de comparación, como son el punto de fusión del hielo y el punto de ebullición del agua. A continuación se mues mu estr traa la rela relació ciónn geom geomét étri rica ca de las las escalas de temperatura usadas.
ºC
ºF
K
100
212
373
0
32
273
-460
0
-273
Si aplicamos el teorema de Thales para segmentos proporcionales, finalmente se llega a la relación siguiente:
º C º F − 32 K − 273 = = 5 9 5
Estas relaciones permiten la conversión de lecturas de una escala a otra. Es decir, si una escala indica un cierto valor, cuanto indicara otra escala.
VARIACIONES DE TEMPERATURA
∆ º C = ∆º F = ∆ K 5
9
5
Las relaciones anteriores sirven para relacionar variaciones de en las diferentes escalas. Es decir, si ocurre un incremento de temperatura entemperaturas una escala, cuanto será este incremento en otra escala.
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DILATACIÓN TÉRMICA Si a un cuerpo se le trasfiere energía calorífica y este cambia su temperatura, entonces el cuerpo cambiará sus dimensiones. Este cambio, en el caso de longitud será:
α = 1 ∆l L ∆T L dL en el limite α = Lim 1 ∆ = 1
∆T
∆T →0 L
L dT T
∫
= Separando variables e integrando, tenemos: αdT To
Obtenemos α∆T == Ln
L
1
∫ L dL Lo
L Lo
despejando tenemos, e α ∆T =
L Lo
α∆T Finalmente L = Loe
Desarrollando e α ∆T , en series de Taylor, se tiene e α∆T ≈ 1 + α∆T Reemplazando llegamos a: L = Lo(1 + α∆T )
o
∆ L = α L∆T
De la misma manera se demuestra para el caso de dilatación superficial o volumétrica.
∆S = S O 2α ∆T ∆V = V O 3α ∆T β = 2α con
= S O (1 + 2α ∆T ) V F = V O (1 + 3α ∆T ) γ = 3α
ó
S F
ó y
CALORIMETRÍA CAPACIDAD CALORÍFICA. la cantidad de calor necesario para que un cuerpo cambie de temperatura, es una propiedad extensiva, es decir, depende de la cantidad de masa. Por ejemplo 2 litros de agua tendrá el doble de capacidad calorífica que un litro de agua. a gua. C =
∆Q ∆T
CALOR ESPE CALOR ESPECÍFIC CÍFICO O. Es el calo calorr neces necesar ario io para para que que la un unid idad ad de ma masa sa camb cambie ie de temperatura en un grado, en la escala elegida.. Es un propiedad intensiva, es decir, no depende de la cantidad de masa, es propia de cada material y puede variar seg{un la fase en que se encuentre. Ejemplo el calor especifico del agua en fase líquida es 1 cal/g ºC y en fase vapor es 0,48 cal/g ºC. ce
= C = ∆Q
m∆T
m
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CANTI DAD DE CALOR (c CANTIDAD (cambi ambioo de estad estadoo). Es el calor que se le trasfiere a un cuerpo para que cambie de temperatura.
∆Q = mce ∆T CANTIDAD DE CALOR (cambio de fase). Es el calor que se le trasfiere a un cuerpo para que cambie de fase.
∆Q X = mL X EQUILIBRIO TÉRMICO. Es el mecanismo de transferencia de energía por el contacto térmico de dos o más cuerpos a diferente te temperatura. mperatura. En forma natural el calor fluye de de mayor a menor temperatura, el proceso inverso se puede realizar con ayuda de un motor. La siguiente expresión matemática es una aplicación más del principio de la conservación de la energía. n
∑ ∆Q = 0 i
i =1
EQUIVALENTE EQUIVAL ENTE MECÁ MECÁNICO NICO DEL CAL CALOR OR . Es el tr trab abajo ajo me mecá cáni nico co nece necesa sari rioo para para producir una cantidad de calor. Joule encontró que con 4,18 joule se puede producir una caloría de calor. Es necesario acotar que el proceso inverso no es correcto, es decir, con una caloría de calor no se puede producir 4,18 joule d e trabajo mecánico, la segunda ley de la termodinámica lo limita, esto lo veremos mas adelante. J = 4,18
joule caloría
TERMODINÁMICA ECUACIÓN DE LOS GASES IDEALES Es un gas idealizado con ciertas características, estas son:
• Se desprecia su interacción entre las partículas del gas. • Los choques se consideran perfectamente elásticos, de tal manera que se conserva la energía.
• No se considera energía potencial potencial de las partículas. La ecuación para gases con estas características, es: PV = nRT Los gases reales que se aproximan a un gas ideal, son los gases monoatómicos a baja presión y alta temperatura.
TRABAJO EN UN GAS Si sobre un gas se aplica una presión o el gas ejerce presión, el gas puede expandirse o contraerse, el trabajo se calcula con la expresión: V F
W = V PdV
∫ El trabajo puede ser positivo o negativo, dependiendo si el gas se expande o se contrae, O
respectivamente.
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PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA Esta es una extensión del principio de conservación de energía, se establece que: “el calor que se le trasfiere a un cuerpo se distribuye en trabajo mecánico y cambio de energía interna.
∆Q = ∆ U + W PROCESOS TERMODINÁ TERMODINÁMICOS MICOS Proceso Isotérmico. T = constante En este proceso la ley de gases ideales se reduce a: PV= nRT,, don nRT donde de nRT es con consta stante nte,, mat matemá emática ticamen mente, te, si despejamos P en función de V, tenemos: P = =
P
nRT V
V
Esta relación representa una hipérbola equilátera, donde dependiendo del valor de T, simplemente se traslada la grafica hacia la derecha.
La variación de energía interna es nula, la energía interna es solo función de la temperatura, entonces todo el calor que se le trasfiere al cuerpo sirve para realizar trabajo sobre el gas.
∆U = 0 V F V F V F P V P V = = 1 1 2 2 V O V O V O
W = ∆Q = nRT ln
Proceso Isobárico. P = constante En este proceso la ley de gases ideales se reduce a: PV= nRT, donde nR/P es constante, matemáticamente, si despejamos V en función de T, tenemos: V
=
nR
T
P
Esta relación representa una línea recta, en una grafica V =f(T).
V
P
V
T Donde el W, Q y ∆U , se calcula con las siguientes relaciones: W = P (V F − V O )
∆Q = nc P ∆T
∆U = ∆Q − W = ncV ∆T
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Proceso Isocórico o isométrico. V = constante En este proceso la ley de gases ideales se reduce a: PV= nRT, donde nR/V es constante, matemáticamente, si despejamos P en función de T, tenemos: P = =
nR P
T
P
Esta relaci Esta relación ón rep repres resent entaa una una líne líneaa rect recta, a, en una una grafica P =f(T).
P
V
T Donde el W, Q y ∆U , se calcula con las siguientes relaciones: W = P (V F − V O )
= 0 ∆Q = nc V ∆T
Proceso Adiabático. ∆Q = 0 En este proceso no hay entrada ni salida del calor del sistema, por lo tanto ∆Q = 0, entonce entoncess el traba trabajo jo en el gas se hace a expensas de la energía interna del sistema: W = −∆U =
Además: γ =
∆U = ∆Q
P
P 1V 1 − P 2V 2
c P
γ − 1 y
cV
V c P − cV
= R
SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA Esta leysuexplica la direccionalidad de algunos procesosmientras naturales,viaja por yejemplo si soltamos piedra, energía potencial se trasforma en cinética finalmente en caloruna al impactar con el piso, el proceso inverso de este proceso es imposible en forma natural. Visto de otra otra form forma, a, se nieg niegaa la cons constr truc ucci ción ón de una una ma maqu quin inaa de calo calorr que que op oper eree al 100% 100%.. La cuantificación de esta ley se da a través de la entropía S.
∆S = ∆Q T
EFICIENCIA DE UNA MAQUINA TÉRMICA Una maquina térmica aprovecha el calor para producir trabajo mecánico, pero siempre existe un sumidero como desfogue de calor, es decir siempre existirá una perdida de calor. Por lo tanto la eficiencia viene definida por: η =
W UTIL
Q ENTREGADO
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CALOR Y TERMODINAMICA
1. Calcule la densidad del mercurio a la temperatura de 50°C, si su densidad a 0°C es 13,6 –4° –1 g/cc, γ Hg Hg= 1,8x10 C .
Solución TO = 0°C ρO=13,6 g/cc, Tf = 50°C
γ Hg= 1,8x10 –4°C –1
ρf = ?
Sabemos que: ρ
o ρ = f T 1 +γ Hg f
→ ρ = ρ o 1 +γ T f Hg f −T o
Reemplazando datos:
−1 −T o
ρf = 13,84 g/cc
2. Una wincha metálica de 5m de longitud es exacta a 15 °C. Un día que la temperatura del ambiente es 35 °C se mide un terreno, obteniéndose 100 m de longitud ¿Cuál es la verdadera longitud del terreno, sabiendo que αmetal = 4x10 –4 °C –1.
Solución 1 nuevo metro = Lo (1 + α∆t) 1 nuevo metro = 1(1 + 4.10 –4(35–15)) 1 nuevo metro = 1,008 m La longitud verdadera del terreno será Lv = 100 nuevos metros = 100x1,008=100,8 m
3. Se tienen dos escalas termométricas A y B, de tal modo que el agua hierve a 240 °A y 180 °B. Si aumen aumenta ta la tempera temperatura tura en 1°A equi equivale vale a aumen aumentar tar esta en 1,5 ºB, calcu calcule le a que temperatura coinciden las escalas A y B. Solución El grafico que se muestra a la derecha, es la interpretacion de los n datos del problema Aplicamos la proporción, teorema de Thales ºB ºA X X x − 240 = x − 180 241 − 240 181 ,5 − 180 1,5 x –360 = x – 180
(x–240)
(x-180) 241
181 5
240
180
De donde finalmente, obtenemos x: x = 360
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4. Se tiene “m” gramos de hielo a 0°C, y se sumergen en “m” gramos de agua a 100°C ¿Cuál será la temperatura final del sistema?. Desprecie toda ganancia o pérdida de calor con el exterior. Solución Analizando tenemos que la temperatura estará entre 0°C y 100°C queda en fase liquida. Q1 = mL = 80 m
Para el hielo
Q2 = m.1.(T–T1)
Para la mezcla
Q3 = m.1.(T2 –T) –T)
Para el agua T (ºC)
Q1 + Q2 = Q3
100
mL + m.1.(T–T1) = m.1.(T2 –T) 80m + m(T–0) = m(100 –T) T = 10 ºC
T Q(cal)
0
5. Ha Hall llee el tra traba bajo jo rea realiz lizad adoo por por un gas gas P ideal, en un ciclo de Carnot.
1
Q1
2 T1
4
Q2
3
T2
V
SOLUCIÓN Para un gas ideal, el trabajo total W es igual a la suma algebraica del calor absorbido Q 1 de la fuente de mayor temperatura y el Q 2 entregado a la fuente de temperatura menor.
W = Q + Q ..... 1 1 2 V 1ln 2 .... (2) Q = nRT PERO 1 V 1 V Q = −nRT ln 4 ..... (3) 2 2 V 3
Pero los puntos 2 y 3 pertenecen a la misma adiabática lo mismo que 4 y 1 luego, V γ − 1 ..... ( 4) T V γ − 1 = T 1 2 2 3 V γ − 1 ..... ( 5) T V γ − 1 = T 1 1 2 4
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Dividendo (4) y (5) se obtiene V 2 V 1
=
V 3 ..... (6) V 4
Considerando finalmente (1), (1), (2), (3) y (6) tenemos V V 2 W = nRT ln − nRT 2 ln 2 1 V V 1 1
V W = nR T − T ln 2 2 V 1 1
6. Halle el incremento de energía interna de un gramo de agua cuando este se convierte es 1200 cc de vapor, cuando hierve a la presión de 1 atmósfera. El calor de vaporización es 540 cal/g. SOLUCIÓN Por la primera Ley sabemos que ∆U = ∆ Q − ∆W Como P es constante ∆W = P ∆V = P (V 2 −V 1)
∆W = 1,01 x105 x1200 x10− 6 = 121,2 J Convirtiendo 121,2 J = 29 cal El proceso de cambio de agua a vapor se realiza a la temperatura de ebullición, tal que el calor ganado por el sistema es debido solamente al cambio de fase. Luego ∆Q = mL =1 g x 540 ca / g = 540 cal
∆U = (540 − 29 ) cal = 511
cal
7. Una bola de Cobre (Ce = 0,39 kJ/kg,K) de 200 g, cae a partir del reposo, y su rapidez es 15 m/s después de haber caído una distancia de 20 m. Suponiendo que toda la energía perdida como trabajo contra la fricción del aire se transforma íntegramente en calor absorbido por la bola; ¿Cuál será el aumento de temperatura experimentado experimentado por este cuerpo?. g = 9.8 m/s2 Vo=0 m/s
H=20 m
SOLUCIÓN Wfric = 1mv 2
2
− mgh
Wfric = − 16,7 J Vo=15 m/s Q = W fric
= 16,7 J
J → ∆t = 0,21 °C Q = mC mCee∆t =16, 7
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8. Un gas experimenta una expansión isobárica desde la temperatura T1= 27 °C. Calcular la temperatura final del proceso proceso en °C, si la masa equivalente a 0,4 mo mol.l. P(Pa)
1
Isobara
2
277 T1 V (m3) 1,2 m3 SOLUCIÓN W = nR ∆T = área bajo la curva (0,4) (8,31) =277 x1,2 T − T 2
1
T 2 − T 1 = 100 K
Recordando que ∆ 1 °K ≅ ∆ 1°C T − T = 100° C → T 2 = 127°C 1 2
9. Determine el trabajo que debe efectuar
P (Pa) 1
un gas ide ideal al par paraa log lograr rar exp expand andirs irsee isot isotér érmi mica came ment ntee a 27 °C desd desdee el estado 1 hasta el estado 2, si además se sabe que su masa equivale a 0,1 mol.
Isoterma
2 1,2 m3 V
10 V
SOLUCIÓN W = nRT ln
V f V o
W =(0,1) (8,31) (300 ) ln
T = 27 + 273 = 300 K 10V
o = 574,03 J V o
V = 10V o f
V (m3)
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CALOR
1. Se tiene un recipiente de vidrio de 1000 3
3
cm de ca capa paci cida dadd con con 98 9800 cm de mercurio a 20 ºC. Hasta que temperatur tempe raturaa se pueden calent calentar ar sin que se der derram ramee mer mercur curio. io. Si αv=2*10 –5ºC –1 y αHg=12*10 –5ºC –1
2. Calcule la densidad del mercurio a la temperatura de 50°C, si su densidad a –4° –1 20°C es 13,6 g/cm3 γ Hg Hg= 1,8x10 C .
3. Se tiene “ m “ gramos de hielo a 0 °C, y se sumergen en “ m ” gramos de agua a 100 °C ¿Cuál será la temperatura final del sistema?. Desprecie toda ganancia o pérdida de calor con el exterior. 4. Se ti tien enen en do doss esc escal alas as te termo rmomé métr tric icas as A y B, de tal modo que el agua hierve a 2te40° 40 180en°B °B..1°ASi eaume au m°pA eratyura180 qument ivanta lea laa aumentar esta en 1,5B, calcule a que temperatura coinciden las escalas A y B.
5. Una bola de Cobre (Ce = 0,39 kJ/kg,K) de 200 g, cae a partir del reposo, y su rapidez es 15 m/s después de haber caído una distancia de 20 m. Suponiendo que toda la energía perdida como trabajo contra la fricción del aire se transf transform ormaa íntegr íntegrame amente nte en calo calorr absorbido por la bola; ¿Cuál será el aumento de temperatura experimentado por este cuerpo?. g = 9.8m/s2
6. Us Usan ando do los los dato datoss mo most stra rado doss en el diag diagra rama ma de pres presió ión– n–vo volu lumen men de n moles de un gas ideal monoatómico, determine: a. El calor absorbido (ó cedido) por el sistema en el tramo AB. b. El cambio de energía interna del gas en el tramo DE.
7. El aula E invento su termómetro considerando las siguientes especificaciones. El punto de fusión del hielo es 20 ºE y el punto de ebullición del agua es de 160 ºE. En este termómetro el es: punto de ebullición del alcohol, 76 ºC, 8. Un an anil illo lo de co cobr bree de 21, 21,6g 6g ti tien enee un diámetro de 2,54000 cm a la temp temper eratu atura ra de 0 ºC ºC.. Un Unaa es esfe fera ra de aluminio tiene un diámetro de 2,54533 cm a la temperatura de 100 ºC. La esfera se sitúa sobre el anillo y se deja que que am ambbos lleg llegue uenn a l equi equili libbri rioo térmico, sin que se disipe calor alguno al entorno. La esfera pasa justamente a través del anillo a la temperatura de equilibrio. Halle la masa de la esfera. Coef Co efic icie ient ntee de dila dilatac tació iónn line lineal al del del aluminio: 24x10 –6 ºC –1. Coef Co efic icie ient ntee de dila dilatac tació iónn line lineal al del del –6 –1 cobre: 17x10 ºC . Calor Cal or esp especi ecifico fico del alu alumin minio: io: 0,2 0,212 12 cal/g ºC. Calor especifico del cobre: 0,094 cal/g ºC. Al 100 ºC Cu
0 ºC
9. Un kg de agua agua hier hierve ve a la pr pres esió iónn atmosférica normal (p = 1,01 x 10 5 Pa), y se convierte en 1500 L de vapor. Calcule el cambio de energía interna.
10. Se tien tienee una una re regl glaa de acer aceroo cuya cuya longitud exacta es de 1 m a 0°C. Otra regla también hecha de acero tiene una longitud exacta de 1 m a 25°C. ¿Cuál será la diferencia entre las longitudes de estas estas regla reglass a 20° 20°C?. C?. α(acero) = 11 x –6 10 /°C.
11. Se llen llenaa un fr fras asco co de vidri idrioo a la temperatura de 20 °C, con 680 g de mercurio. io. ¿Cuántos gramos de mercurio se derramarán si el conjunto se calienta hasta 100 °C?. El coeficiente
129
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de dilatación lineal del vidrio es de 8 x 10 –6/°C; β(mercurio) = 0,18 x 10 –3/°C. 12. Una winch inchaa metálica ica de 5 m de longitud es exacta a 15°C. Un día que la temperatura del ambiente es 35°C se mide un terreno, obteniéndose 100m de longitud ¿Cuál es la verdadera longitud del terreno, sabie terreno, sabiendo ndo que αmetal=4.1 =4.100 – 4 –1 °C . 13. Hal Halle le el incre incremen mento to de energ energía ía intern internaa de un gramo de agua cuando este se convierte es 1200 cc de vapor, cuando hierve a la presión de 1 atmósfera. El calor de vaporización es 540 cal/g.
14. Dos
maquinas térmicas tienen eficiencias e1 y e2. Las maquinas operan de tal forma que el calor que libera la que tiene eficiencia e1, es el calor de entrada de la que tiene eficiencia e 2. Determine la eficiencia global.
15. Un frasco de vidrio cuyo volumen es 3
exactamente 1000 cm , a 0ºC se llena co comp mple leta tame ment ntee de me merc rcur urio io a esta esta te temp mper erat atuura ra.. Cuan uando el frasc rascoo y mer ercu curi rioo se cali calien enta ta a 100º 100ºC C se de derr rram amaa 15 15.2 .2 cm de líqu líquid ido. o. Si el coef coefic icie ient ntee de di dila lata tació ciónn cúbic cúbicaa del del mercurio es 0.000182/ºC. Calcúlese el coef coefic icie ient ntee de di dilat latac ació iónn linea lineall del del vidrio.
16. Un al alam ambr bree libr libree (a =5x1 =5x100 –5/º /ºC) C) es doblado
para
formar
una
semicircunferencia de 30cm de radio. Al calentarlo uniformemente desde 20 ºC hasta 220 ºC. Cuál será el aumento entre los extremos a y b del alambre?
17. Un trozo de metal cuyo coeficiente de
dil dilata atació ciónn lineal lineal es α se cuelga de un hilo y se sumerge en un líquido a 0°C; su sufr frie iend ndoo un em empu puje je E. Cu Cuan ando do el líqu líquid idoo es está tá a la temp temper erat atur uraa T° T°C C (T>0), el metal sufre un empuje E*. Encuentre el coeficiente de dilatación volumétrica del líquido.
18. La longitud de un alambre de plomo =0,0 ,000 0002 029º 9º/C /C es me medi dido do cuyo αPb=0 correctamente con una cinta de acero a
longitud de 0,7217 m. Halle la medida or origi igina nall del del alam alambr bre, e, sabi sabien endo do qu quee –6 αAc=12x10 /º/ºC C y qu quee la temp temper erat atur uraa inicial es de 0ºC. 19 19.. Un Unaa má máqu quin inaa de Carn Carnot ot cuyo cuyo fo foco co calo calorí rífi fico co tien tienee una una temp temper erat atur uraa de 227°C, toma 400 J a esa temperatura en cada ciclo, y cede 320 J al depósito de baja temperatura. Calcule la temperatura de ese depósito.
20. Si en interior de un recipiente se coloca un bloque de hielo de 180 g de masa a 0 ºC y luego se le agrega 400 g de plomo liquido a una temperatura de 327 ºC y a esta mezcla se le agrega 0.1 kg de agua a 100 ºC. Sabiendo que el plomo se funde a 327 ºC, calcule la temperatura de equilibrio de la mezcla total. CePb = 0,04 cal/g–ºC, Lf PPbb = 5,5 cal/g, Lf hhielo ielo = 80 cal/g. troz ozoo de alum alumin inio io se cali calien enta ta a 21. Un tr
120°C, y luego se sumerge en 100 g de agua a 20°C. Si la temperatura final de la mezcla es de 23°C; ¿Cuál es la masa de aluminio que se usó?. Ce(aluminio) = 0,90 kJ/kg,K.
22. 22. Se tie tiene ne inic inicia ialm lmen ente te 80 g de agu aguaa a 20°C. Luego se agrega a la masa de agua, 15 g de hielo a su temperatura de fusión y 10 g de vapor de agua a su temperatura de condensación. Encu Encuen entr tree la temp temper erat atur uraa fi fina nall de equilibrio.
23. Una bola hecha de cierto material de calor específico Ce, y de masa m o, esta inicia inicialme lmente nte a la temp tempera eratur turaa To. El cuerpo desciende por una colina a partir del reposo. Su rapidez es v después de haber bajado una altura h, quedando con una masa m (m < m o), y a una temperatura T (T > To). Asumiendo que toda la energía perdida como trabajo con contr traa la fr fric iccció iónn se tra rans nsfo form rmaa íntegramente en calor absorbido por la bola, ¿cuánta energía seria necesaria gastar para fundir toda la masa de la bola a la temperatura de fusión?. g = aceleración gravedad.
0ºC, mientras que a 60ºC indica una 130
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24. En un recipiente de capacidad calorífica despreciable se encuentran “m” gramos de hielo a 0°C. Se introducen 120 g. de H2O a 60 °C que permite fundir todo el hielo. ¿Qué cantidad de hielo había en el recipiente? 25. Una lámpara que consume 54 vatios fue sumergida en un calorímetro transparente que contiene 560 cm3 de agua. Durante 3 minutos el agua eleva su temperatura en 3,6 ºC. ¿Qué parte de la energía consumida por la lámpara de emite em ite po porr calo calorí ríme metr troo al exte exteri rior or en forma de energía radiante?
26. Un recipiente de aluminio de 500 g. De masa contien contienee 110 g. de agua a 20 20°C. °C. Si se introduc introducee un bloq bloque ue de fier fierro ro de 20 2000 g de ma masa sa a 75 75°C °C Calc Calcul ular ar la te temp mper erat atuura fina finall de equ equilib ilibri rioo. CeAlum=0,22 cal/g°C, CeFe=0,11cal/g °C 27. En el grá gráfico fico se m muestr uestraa un gas ide ideal, al, si al sistema se le entrega 6000J de calor de A hacia B, determine la variación de energía interna en este tramo. P(kPa) B
1,5
0,5
A
1
5
V(m3)
28. Un rec recipi ipient enteecontiene de cap capaci acidad dadcantidad calor calorífi ífica ca despreciable cierta de mercurio a 15°C, si se introduce una esfera de platino a 120°C se alcanza una temperatura de equilibrio de 40°C en un segundo caso con los mismos elementos, si el mercurio está a 20°C la temp temper erat atur uraa de equi equilib librio rio es 50°C 50°C.. Hallar la temperatura inicial del platino en este caso.
29. Un cal calor orímet ímetro, ro, cuy cuyoo equ equiva ivalen lente te en agua es de 2,5 kg contiene 22,5 kg de agua y 5 kg de hielo a 0º C. Halle la temperatura si introducen en el 2,5 kg. de vapor de agua a 100º C.
30. 30. Un Unaa licu licuad ador oraa ais aisla lada da térm térmic icam amen ente te contiene contie ne 100 g de hhielo ielo pica picado do a –30º C. Halle el tiempo mínimo en que el hiel hieloo se conv conver ertir tiráá el líqui líquido do,, si la licuadora licuad ora emplea para mover sus aspas un motorcito eléctrico de 0,133 kw. péndulo de un reloj da una vibración 31. El en 2 segundos y marca exactamente el tiempo cuando la temperatura es 25°C El péndulo es de acero cuyo coeficiente de dilatación lineal es 12x10 –6/°C. a) Ca Calc lcul ular ar la va varia riaci ción ón re rela lati tiva va de la longitud de la varilla cuando se enfría a 15°C b) ¿Cuántos segundos por día se adel adelan anta tará rá o re retr traz azar aráá el re reloj loj a 15°C?
32. Se tiene una esfera hueca de radio “R” y espesor despreciable, en ese interior se halla otra esfera de radio “r” ¿En qué relaci relación ón se enc encuen uentra tra sus rad radios ios R/r para que el volumen de parte intermedia no varié al incrementar la temperatura, si: αr = = 8αR . 33. 33. En el cic ciclo lo se mues muestr traa un unaa ma maqu quin inaa térm térmic icaa hipo hipoté téti tica ca,, po porr cicl cicloo se le entre entrega ga 4000 4000 J de calo calorr al si sist stema ema.. Determine a) El ccal alor or cced edid idoo al am ambi bien ente te.. b) La eficiencia de la maquina térmica. P(kPa) B
1.5 0.5
A
C V(m3)
5 1 34. Si 0,1 kg. de vapor a 130°C, se condensa en 2.5 kg. de agua a 30°C conten tenida ida en un calorímetro de aluminio que pesa 0.5 kg. ¿Calcular la temperatura final de la mezcla? (Calor es espe pecí cífic ficoo del del alum alumin inio io 0.21 0.21,, calo calorr específico del vapor 0.5)
35. Un termó termómetro metro Fah Fahrenhe renheit it indica cier cierta ta temper tem peratu atura, ra, un ter termóm mómetr etroo Cel Celsiu siuss
indi indica ca la mi mita tadd qu quee el term termóm ómet etro ro
131
CALOR Y TERMODINÁM TER MODINÁMICA ICA
anterior. Determine dicha temperatura en Fahrenheit.
36. Det Determ ermine ine el inc increm rement entoo de ene energí rgíaa interna para llevar 10 g de agua a 50 ºC a 600 cm3 de vapor a 120 ºC. Exprese el resultado en Joules ( 1cal = 4.2 Joule)
Martín Sandoval Casas.
132
PREGUNTAS PREGUNT AS DE SELECCIÓN SELECCIÓ N MULTIPLE MULTIPL E
Martín Sandoval Casas.
PROBLEMAS PARA EXAMEN DE MEDIO CURSO Y FINAL E) 120º 1. Si el módulo de la suma de dos ve vect ctor ores es es 8 los los mó módu dulo loss de cada cada 5. Un auto auto se mu muev evee sob obre re un unaa pist pistaa vector son 5 y 10, entonces el módulo circ circul ular ar de ra radi dioo 4 m. Part Partee de la de la diferencia es: posición A y un tiempo después pasa por la posición B, como se observa en A) 125 B) 5 la fi figu gura ra.. delEldesplazamiento vect vector or un unit itar ario iodelen la dirección auto, C) 128 es: D) 186 B• Y A ) 4 i + 4 j E) 195 B) – 4i + 4j → → → → C) (i + j)/ 2 2. Las fuerzas F 1 , F 2 , F 3 y F 4 de igual •A X D) (–i + j)/ 2 modulo F, actú actúan an sobr sobree un cuer cuerpo po E) – i + j colocado en el punto “o”. Las fuerzas → → → → son col colin inea eales les;; F 3 y F 1 F 2 y F 4 son 6. Do Doss vect vector ores es fo form rman an un ángu ángulo lo de perpendiculares. El módulo y dirección 120º. Uno de ellos tiene 20 unidades de de la fuerza resultante es: longitud y forma forma un án ángulo gulo de 90º con A) F 2 , a lo largo de (1 y 2) B) F, a lo la larg rgoo de (1 y 2) el vector suma es: suma. La magnitud del vector C) 2F 2F,, a lo larg largoo de (3 y 4) A) 10 D) –F, –F, a lo largo largo ddee (3 y 4) B) 30 E) 2F 2F,, a lloo la larg rgoo ddee (3→y 4) C) 5 3 F 3 → D) 10 3 F 2 E) 20 3 →
→
F 4
F 1 →
→
3. Cu Cuat atro ro fuer fuerza zas, s, F 2 y F 4 actúan sobre un cuerpo colocado en el punto “o”, tal como se muestra en la figura. De Dete term rmin ine fuer fuerza za deresu relasult ltan ante te Fen función dee lalamagnitud fuerzan 3. A) 2 F3 F 2 B) 3 F3 →
C) D) E)
17
F3 / 2 5 F3 / 2 3 F3 / 2
→
F 3
0 →
F 4
4. Se tienen dos fuerzas de magnitudes 10 y 20 N. La resultante es de 10 N. El ángulo a que forman las dos fuerzas es tal que: A) 0 V2 2 III. La disposición correcta de h es la mostrada en la figura. 1 A) Sólo I es correcta. B) Sólo II es correcta. h C) Sólo III es correcta. D) I y III son correctas. MERCURIO E) II y III son correctas 9. Comp Complete lete la oració oración: n: ..... ........... ............ .........., ...., es la transferen transferencia cia de energ energía ía térmica térmica,, de un cuerpo A a un cuerp cuerpoo B, cuando entre estos cuerpos hay una diferencia de .................................. A) Calor específico – masa B) Cap apac acid idad ad calo calorí rífi ficca – temp temper erat atur uraa
C) D) E)
Temperatur tura – energía cin inéética ica Calor – te temperatura Calor latente – fase
10. En un experimento de dilatación, con el fin de calcular α (coeficiente de dilatación lineal del aluminio), se realiza el experimento siguiente: Por una varilla hueca, de aluminio, se hace circular agua a diferentes temperatur tempe raturas, as, midien midiendo do ∆L y ∆T. Cuando el instrumento que mide ∆L se detenga, señal que se ha llegado al equilibrio térmico, la temperatura T, se toma al agua del vaso, que es la que circuló por el canal de aluminio. ¿Que garantiza que la temperatura medida en el agua del vaso es la temperatura de la barra de aluminio? A) Solo eell bajo calor eespecif specifico ico de dell alumi aluminio. nio. B) Solo el al alto to ca calor lor eespeci specifico fico del aagua. gua. C) Sol Soloo el bajo ca calor lor es espec pecifi ifico co del ai aire. re. Agua D) Todos los pparáme arámetros tros antes mencio mencionados nados.. E) El bbuen uen estado estado del termóm termómetro etro.. Manguera Medidor de ∆L Pistón
Tubo de escape
Tubo de aluminio
Fijador Soporte
Mesa soporte
Vaso
11. Relacione los conceptos dados: 1. la Estemperatura la ccant antida idadd de ca calor nnece ecesar sario para ra el eleva evarr unlor cuerpo enio unpa grado. 2. Es la ttran ransfe sferen rencia cia de de ene energí rgíaa a cau causa sa de un gradiente de temperatura. 3. Es la relaci relación ón en entre tre eell tra trabaj bajoo mec mecáni ánico co y eell calor producido. A) I–a, II–d y III–e B) I–a, II–d y III–b
a. b. c. d. e.
Calo Ca lorr es espe pecí cífi fico co.. Capacidad calorífica. Calor Temp Temper eraatu tura ra.. Equi Equiva valen lente te me mecá cáni nico co ddel el ca calo lor. r.
C) I–b, II–c y III–e D) I–b, II–a y III–c
E) I–e, II–c y III–a
12. La grafica P–V muestra dos ciclos cerrados de ciertos procesos termodinámicos de un gas. Indique la alternativa correcta, en relación al trabajo en I y II. A) WI > 0 y WII < 0 B) WI > 0 y WII > 0 C) WI < 0 y WII < 0 D) WI < 0 y WII > 0 E) WI = WII = 0
P II I V
PROBLE PROB LEMA MAS S PA PAR RA RESO SOL LVER ER.. TE TEN NGA EN CUENT NTA A QU QUE E SE EV EVA ALU LUA ARA EL PROCEDIMIENTO. (4 PUNTOS CADA PREGUNTA)
1. En la figura mostrada los bloques de masa “M” tiene una aceleración doble que el bloque de masa “2M”. El coefic coe ficien iente te de roz rozami amiento ento entre los bloqu bloques es es µK y ent entre bloq loque “2M” y el piso es µK /6. / 6. Ha Hall llee el coeficiente el valor del coeficiente µK .
µk M
µk /6
2M M
3
2. Un frasco de vidrio cuyo volumen es exactamente 1000 cm , a 0 C se llena completamente de mercurio a esta temperatura. temperatura. Cuan Cuando do el frasc frascoo y mercu mercurio rio se calienta a 100ºC se derrama 15,2 cm de líquido. Si el coeficiente de dilatación cúbica del mercurio es 0,000182/ºC. Calcúlese el coeficiente de dilatación lineal del vidrio.
EXAMEN FINAL DE FÍSICA GENERAL 2005 – II INSTRUCCIONES : LAS UNIDADES DE TODAS LAS PREGUNTAS PROPUESTAS ESTAN DADAS EN EL SI DE UNIDADES Y EN LOS QUE SEA NECESARIO USAR LA GRAVEDAD, CONSIDERE EL VALOR 9,8 m/s2. (1 PUNTO POR PREGUNTA DE 1 A 12) 1. ¿Cu ¿Cual al de los gráf gráfico icoss v-t y a-t tienen la mejo mejorr desc descrip ripció ciónn del movi movimie miento nto de un proy proyect ectil il lanz lanzado ado verticalmente hacia arriba sobre la superficie terrestre? A) B) C) D) E)
Iy1 Iy2 II y 1 II y 2 III y 2
v
v
v
t
t
I
t
II
III
a
a
t
t
1
2
2. La figu figura ra mue muestr straa un coco inic inicial ialmen mente te en la palmer palmeraa (pos (posici ición ón 1) y cae ha hasta sta lleg llegar ar al suelo do donde nde permanece en reposo (posición 3). ¿En cuál(es) de las tres posiciones actúa la fuerza de la gravedad sobre el coco? A) B) C) D) E)
Solo 11.. Solo 2. Solo olo 1 y 22.. Solo Solo 1 y 3. 1, 2 y 3.
1
3. correcta, Un cue cuerpo rpo masaa “m” resb resbala ala por un pla plano no incl inclina inado do con una vel veloci ocidad dad con consta stante nte.. La afirma afirmació ciónn es:de mas A) El cuerpo se desplaza debido a un unaa fuerza resu resultante ltante que actúa sobre el cuerpo. B) Una de las compo componentes nentes de dell peso, la que esta a lo largo del plano plano,, es la fuerza resultante resultante que actú actúaa sobre el cuerpo. C) La fue fuerza rza resu resultante ltante en el eje x, eess difer diferente ente de ccero. ero. D) La fuer fuerza za resul resultante tante en el eje yy,, es difere diferente nte de cero cero.. E) La fuer fuerza za resul resultante tante a lo lar largo go del eje x es cero cero,, lo mismo qu quee a lo largo de dell eje y.
4. Considere un cuerpo sometido solo a fuerzas conservativas, c onservativas, la alternativa incorrecta es: A) El trabajo neto es igual al cambio de su energía cinética (W NETO=∆ EK )).. B) El tr trabajo abajo no ddepende epende de la trayec trayectoria. toria. C) La eenergí nergíaa mec mecánica ánica se cconser onserva. va. D) El trabajo neto es igual al cambio de su energía potencial (W NETO=∆U).
E) El cambio de su energía cinética es igual al negativo del cambio de su energía potencial (∆EK = -∆U).
5. Con rrelació elaciónn a la ppresión resión en un ddeterm eterminado inado punto punto,, diga ccual ual ex expres presión ión es verdad verdadera: era: A) La man manométr ométrica ica es siempr siempree pos positiva. itiva. B) La absoluta puede ser menor que la manométrica. C) La abs absoluta oluta,, puede to tomar mar valo valores res neg negativos ativos.. D) La mano manométrica métrica ppuede uede to tomar mar valor valores es negati negativos. vos. E) La abs absoluta oluta ssee debe ssolo olo al ppeso eso de un flu fluido. ido. 6. Con rrespec especto to a llaa Ecua Ecuación ción de Co Continu ntinuidad. idad. La pr propos oposición ición corre correcta, cta, ees: s: A) No Noss dic dicee que la vel veloci ocidad dad del flujo var varía ía en raz razón ón dire directa cta al áre áreaa de la sec secció ciónn trasve trasversa rsall de la tubería. B) Defi Define ne la conserv conservación ación de la ener energía gía para cua cualquier lquier tip tipoo de flujo. C) Expr Expresa esa la cons conservac ervación ión de la masa eenn un flujo de ffluidos luidos.. D) Define el ccaudal audal por unidad de tiempo en cualquier sección de llaa tubería. E) Es ap aplicabl licablee a flui fluidos dos co conn dens densidad idad vvariab ariable. le.
7. Sean mA y mB dos masas iguales de líquidos de diferente calor especifico (c A>cB). Si se le trasfiere una igual cantidad de calor Q a cada uno de los cuerpos y se grafica ∆T = f(t) para cada cuerpo, entonces la mejor representación gráfica es:
∆T
∆ T A
∆T B
t
A)
∆T
A
t
B)
∆T
B
B
A
B
A t
C)
t
D)
A B
E)
8. Sup Supong ongaa que en un exper experimen imento to se mide cuid cuidado adosam samente ente 10 1000 veces a una mism mismaa magni magnitud tud fís física, ica, entonces, sucede que: A) Todas las med medidas idas so sonn exac exactament tamentee iguale iguales. s. B) Sólo ddos os de las medid medidas as sean eexactam xactamente ente igu iguales. ales. C) Todas la lass medida medidass menos un unaa sean exac exactamente tamente ig iguales. uales. D) La mayor pa parte rte de las medida medidass son parec parecidas idas y alguna algunass iguales iguales.. E) Todas las me medidas didas son ddiferen iferentes tes y nnoo cerc cercanas. anas. 9. En el exp experimen erimento to de labo laboratori ratorioo sobre dilata dilatación ción tér térmica, mica, la ccausa ausa y el eefecto fecto,, respe respectivam ctivamente ente so son: n: A) La long longitud itud fina finall – El coeficie coeficiente nte de dila dilatación tación li lineal. neal. B) La varia variación ción de lon longitud gitud – La va variació riaciónn de temper temperatura atura.. C) La varia variación ción de te temperat mperatura ura – La vari variación ación de lo longitud ngitud.. D) El coefic coeficiente iente de dilata dilatación ción line lineal al – La variación de tem temperatu peratura. ra. E) La lo longitud ngitud fina finall – La longitu longitudd ini inicial cial
10. Se le trasfiere calor a un gas ideal en un proceso ISOTERMICO. Con relación a la Primera Ley de la Termodinámica, indique la proposición correcta. A) B) C) D)
El calor tr trasfer asferido, ido, aum aumenta enta la ener energía gía inte interna rna del gas gas.. Parte del calo calorr sirv sirvee para expan expandir dir el gas. Todo el calo calorr sirv sirvee para compr comprimir imir el gas. La var variación iación de ene energía rgía in interna terna es nu nula. la.
t
E) El calo calorr es mayo mayorr que el tr trabajo abajo ddee expan expansión sión ddel el gas.
11. La ENTROPÍA en un sist sistem emaa aisl aislad adoo aumen aumenta ta cuan cuando do el si siste stema ma expe experi rime ment ntaa un camb cambio io …………………………….. A) Irre Irreve vers rsib ible le.. B) Reve Revers rsib ible le.. C) Irreve Irreversi rsible ble o rev revers ersible ible.. D) Inf Infini initam tament entee len lento. to. E) Tr Tran ansi sito tori rio. o. 12 12.. En la lass figu figura rass se repr repres esen enta tann tres tres carg cargas as pu punt ntua uale less y las las fu fuer erza zass eléc eléctr tric icas as de inte intera racc cció iónn correspondientes, aproximadamente aproximadamente a escala. Ind Indique ique la configuración correcta.
1
A) B) C) D) E)
1 2 3 4 5
2
3
5
4
PROBLE PROB LEMA MAS S PA PAR RA RESO SOL LVER ER.. TE TEN NGA EN CUENT NTA A QU QUE E SE EV EVA ALU LUA ARA EL PROCEDIMIENTO. (4 PUNTOS CADA PREGUNTA) 1. In Inic icia ialme lment ntee el blo bloqu quee 2 está está en repo reposo so,, con con el resor resorte te sin deformar. Encuentre el trabajo hecho por la tensión de la cuerda, sobre el bloque 2, si el resorte se ha estirado en x = 10
m1 = 6 kg 1
cm. (Constante del resorte K = 384 N/m) 2. En el cic ciclo lo se mu muest estra ra un unaa maqu maquina ina té térmi rmica ca hip hipoté otética tica,, por ciclo se le entrega 4kJ de calor al sistema. Determine el calor cedido o recibido, si: a) El ci cicl cloo eess A ABC BCA A. b) El ciclo es ACBA
2 m2 = 4 kg
P(kPa) B
1,5 0,5
A 1
C 5
V(m3)
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DE FÍSICA GENERAL 2010-II INSTRUCCIONES : LAS UNIDAD UNIDADES ES DE TODAS LAS PREGUNTAS PROPUESTAS ESTAN DADAS EN EL SI DE UNIDADES Y EN LOS QUE SEA NECESARIO USAR LA GRAVEDAD, CONSIDERE EL VALOR 9,8 m/s2. (1 PUNTO POR PREGUNTA DE 1 A 12)
1. Un móvil describe un MCU en sentido antihorario, la dirección aproximada de la aceleración media cuando el móvil se dirige de A hacia B, es: y
a. b.
x
c. d.
2. La gráfica muestra como varia la velocidad en función del tiempo de un móvil que se mueve en línea recta. La proposición correcta, es:
v(m/s)
a. En t = 1 ss,, el m móv óvil il eest staa en rrep epos oso. o. b. En t = 3 s, el móvil se esta moviendo hacia la izquierda. c. En t = 4 ss,, el móv móvil il ti tiene ene ace aceler leraci ación ón ccero ero..
t(s) 0 2
4
6
d. La pposi osició ciónn en t = 2 s eess la m mism ismaa qu quee en t = 6 s.
3. El sistema de masas M y m se encuentra inicialmente en
M
reposo, si µE = 0,50 y µC = 0,25. Indique la mínima masa m reposo, en función de M, para que el sistema presente aceleración:
a. b. c. d.
m = 0,25 M m = 0,50 M m = 0,60 M m = 1,50 M
m
4. Una par partícu tícula la de masa m suje sujeta ta a una cu cuerd erda, a, se muev muevee en un círcul círculoo verti vertical cal de rad radio io R y con movimiento circular uniforme. Con relación a la tensión en la cuerda en las posiciones 1, 2, 3 y 4 la proposición correcta; es: a. T1 = T2 = T3 = T4
1
b. T1 = T3 y T2 > T4
4
2
c. T1 > T3 y T2 = T4 d. T1 < T3 y T2 = T4
3
5. Un bloque de masa m es soltado de A y llega a B, con altur alturaa máxima h, se sabe que en este tramo AB perdió la tercera parte de su energía mecánica inicial, la altura alt ura h en función de H, es:
a. h = 2H/3 b. h = H/3
A B
c. h = 4H/3
H h
d. h = H
6. La expr expresión esión ccorrec orrecta ta para ccalcular alcular el traba trabajo jo de un unaa fuerza conse conservativ rvativaa es:
a. b. c. d.
WFC = ∆E p WFC = – ∆E p WFC = ∆EM WFC = – ∆EC
WFC ∆E p ∆EM ∆EC
: : : :
Trabajo Trabajo de una fuerza conservativ conservativa. a. Cambio Cambio de ener energía gía poten potencia cial. l. Cambio Cambio de de energ energía ía mecán mecánica ica.. Cambio Cambio de de energ energía ía cinét cinética ica
7. Un man manóme ómetro tro mu muest estra ra tre tress líqu líquido idoss no miscibl miscibles, es, la proposición correcta es: Liquido A a. b. c. d.
La ppres resión ión eenn 2 es igu igual al que que la ppres resión ión en 55.. La presión en 1 es la presión aatmosférica. tmosférica. La ppres resión ión eenn 4 es may mayor or qque ue la pre presió siónn en 33.. La ppres resión ión eenn 4 es may mayor or qque ue la pre presió siónn en 22..
1 2 3
Liquido B
5 4 Liquido C
8. El cilindro macizo de peso W, área de la base A y altura H se encuentra en equilibrio en dos líquidos no miscibles de densidad ρ1 y ρ2. La ecuación que define el equilibrio, es:
a. W = ρ1gy1+ρ2gy2.
y0
b. W = ρ1g(y1+y2)A+ρ2g(y1+y2)A c. W = ρ1gy1A+ρ2gy2A d. WH = ρ1gy1A+ρ2gy2A
ρ1
y1 y2
ρ2
9. Por el tubo mo mostrad stradoo en la figura figura,, circul circulaa agua de izqu izquierda ierda a der derecha. echa. De las ppropo roposicion siciones: es: IV. P1 > P2 V. v1 < v2 VI. La disposición correcta de h es la mostrada en la figura. 1 2
a. Só Sólo lo I es co corr rrec ecta ta.. b. Sólo II es correcta. c. Só Sólo lo III III es es ccor orre rect cta. a.
h
d. Todas son correctas
MERCURIO
10. La grafica mues muestra tra la relación entr entree la escal escalaa arbitrar arbitraria ia A con la escala Celsi Celsius. us. Con relaci relación ón a la escala de temperatura A, la proposición correcta, es: A
a. Existe una temperatura de coincidencia con la escala ºC. b. Es una escala absoluta.
0
c. El agua hierve a – 100 A en condiciones normales. d. El ag agua ua se ccong ongela ela a 0 A en co condi ndicio ciones nes nnor ormale males. s.
200
– 200 200
11. La circunferencia metálica muestra un corte con un ángulo central θ a 50 ºC, si la temperatura disminuye a 0 ºC. Con relación al ángulo central θ, podemos afirmar que:
θ R
ºC
θ
θ
a. Disminuye. b. Aumenta.
c. Se m man anti tien enee co cons nsta tant nte. e. d. Depende del coeficiente de dilatación lineal. 12. En una expansión isotérmica de un ggas as ideal, la proposición correcta es:
a. La energía interna aumenta. b. El trabajo de expansión es debido al cambio de energía interna. c. El trab trabajo ajo de eexpan xpansión sión eess debid debidoo a que el sis sistema tema li libera bera ccalor alor al entor entorno. no. d. El trabajo de expansión es debido al calor absorbido por el sistema.
PROBL PROB LEMA MAS S PA PAR RA RESO SOL LVER ER.. TE TEN NGA EN CUENTA QU QUE E SE EV EVA ALU LUA ARA EL PROCEDIMIENTO. (4 PUNTOS CADA PREGUNTA)
1. En el gráfico se muestra un gas ideal, si al sistema se le entrega 6000 J de calor de A hacia hac ia B, det determ ermine ine la var variac iación ión de ene energí rgíaa interna en este tramo.
P(kPa)
0,5 2. El tubo, representado a continuación tiene una
B
1,5 A
5
1
V(m3)
2
sección cm , en las partes anchas ytransversal de 9 cm 2 endeel36 estrechamiento. Cada 5 segundos salen del tubo 27 litros de agua. d) Cal alcu cule le la lass veloc elocid idad ades es en las las part partes es anchas y en la parte estrecha del tubo. e) Calcu Calcule le la dife difere renc ncia ia de altu altura rass entr entree las las columnas de mercurio del tubo en U. (ρ agua = 1 g/cm3 y ρHg = 13,6 g/cm3)
h mercurio
BIBLIOGRAFÍA SEARS, Francis W. FREEDMAN, Roger A. YOUNG, Hugh D. ZEMANSKY, Mark W. FISICA UNIVERSITARIA – VOLUMEN 1.
Undécima edición. México: Pearson Educación, 2004. 864 p.
ISBN 978-970-260-511-9 SERWAY, Raymon A. y JEWETT, Jhon W., Jr. FISICA I - Texto basado en calculo. 3a edición. México: : Thomson Paraninfo S.A, 2004. 661 p. ISBN 970-686-339-7. SERW SE RWAY AY,, Ra Raym ymon on A. y JE JEWE WETT TT,, Jh Jhon on W. W.,, Jr Jr.. FISICA - VOLUMEN I - Para Ciencias e Ingeniería. 6a edición. México: Thomson Paraninfo S.A, 2005. 702 p.
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TIPLER, TIPL ER, P Paul aul y MOS MOSCA, CA, G Gene. ene. FISICA - Para la Ciencia y la Tecnología. 5a edición. España: Editorial Reverte S.A, 2006. 604 p. ISBN: 84-291-4411-0. HEWITT, Paul . FISICA CONCEPTUAL. 10a edición. México: Pearson Educación, 2007. 780 p.
