Fisica Problemas Resueltos - Vectores

Semana 01

Darwin Nestor Arapa Quispe

VECTORES PROBLEMA : 02

PROBLEMA : 01 Empleando los ejes mostrados, halle el vector unitario del vector A . 5

A 2

O

10

1

b)(4/5;3/5) e)(5;10)

c)(2/5;1/5)

Resolución: Recordando la definición de vector unitario, diremos que: A UA  …….(1) A Q(10;5) 5

45

e) 5

P

Resolución: Expresando cada vector en función de los vectores unitarios i y j .

P  3i , Q  5 j R  10 cos 45 i  10 sen45 j Según el enunciado tenemos:

10 cos 45 i  10 sen45 j  m(3i)  n(5 j)

A O

c) 5/3 d) 1/5

a)(4/3;5/3) d)(1;5)

1

Dado los vectores P , Q y R  mP  nQ tal como se indica en la figura: si P=3, Q=5 y m R=10. Hallar la relación . n a) 1/2 Q b) 3/5 R

5 2 i  5 2 j  3mi  5n j

2 10

Igualando tenemos: 5 2  3m ; 5 2  5n

P(2; 1)

m

 Cálculo de A  PQ .

PQ  Q  P  PQ  (10;5)  (2; 1)  (8;6) …….(2)

 Cálculo de PQ . Recordemos que:

PQ  82  62

 PQ  10 …….(3)

Reemplazamos (2) y (3) en (1)

5 2 ; n 2 3

Piden:

m  n

5 2 3 2

m 5  Rpta. n 3

 4 3 UA   ;  Rpta.  5 5

Colección “G y D”

1

Semana 01

Darwin Nestor Arapa Quispe

PROBLEMA : 04

PROBLEMA : 03 Si en los vectores que se hallan contenidos en el rectángulo se cumple que: x  na  mb . Halle m+n.

La suma de dos vectores mide 4 y su diferencia 3. Halle el módulo de los vectores sabiendo que son iguales.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Resolución: Graficando según el enunciado: x

a

b A

Resolución: Sea c un vector auxiliar:

R

D

 B

Además se sabe que:

A  B  x ; R=4 y D=3.

x

a

b

c

c

c

c

Usando el método del triángulo se tiene: x  ac

c  x  a …….(1) b  a  4c ……….(2)

Usamos la ley de cosenos: R  A 2  B2  2ABCos 4  x 2  2Cos ……..(1)

D  A 2  B2  2ABCos 3  x 2  2Cos ……..(2)

Dividiendo (1) entre (2) se tiene:

Reemplazando (1) en (2):

cos  

b  a  4(x  a) b  a  4x  4a

x

3 1 a  b  na  mb 4 4

Reemplazando en (1)

 7  4  x 2  2   25 

De donde:

n

3 1 y m 4 4

 m  n  1 Rpta.

Colección “G y D”

7 25

4x

64 25

 x  2,5

 A  B  2,5 Rpta.

2

Semana 01

Darwin Nestor Arapa Quispe

PROBLEMA : 07

PROBLEMA : 05 Indicar x en función de los vectores A , B y C.

En la figura determinar el módulo del vector resultante. z 1

x A

C

B

y

3

b) A  B  C

a) A  B  C

x

d) A  B  C

c) A  B  2C e) A  B  C

Resolución: Usamos el método del polígono. B  CxA  x  BCA

 x  A  B  C Rpta. PROBLEMA : 06 En una circunferencia de radio “r” y de centro en O contiene tres vectores, el modulo del vector resultante es: a) 4r b) 2r c) r d) 3r e) 5r

2

a)

13

b) 2 3

d)

15

e)

c) 2 5

5

Resolución: Cálculo de coordenadas: z P(0;0;1)

A(2;0;1)

y B(0; 3;0)

x Q(2;0;0)

Piden: R  AB  PQ

O

AB  B  A  (2; 3; 1)

Resolución: Método del paralelogramo

PQ  Q  P  (2;0; 1)  R  (0; 3; 2) Además: R  R x 2  R y 2  R z 2

r r

O

 R  4r  R  4r Rpta.

Colección “G y D”

 R  02  32  22

 R  13 Rpta. 3

Semana 01

Darwin Nestor Arapa Quispe

PROBLEMA : 08 Halle el ángulo  conociéndose que la resultante debe tener valor mínimo.

Resolución: Para que la resultante sea cero, la resultante de dos de ellos debe ser el opuesto del tercer vector.

y

a) 37°

A

b) 45° c) 60° d) 53°

y

10

4



x

3

e) 15°

8 c6

53

 75

15

Resolución: Para que la resultante sea mínima, el vector A deberá ser contrario a la suma de los otros dos. y

x

 10

A



3

4



Según el grafico es fácil notar que: c=6 Además: 15  53    90 De donde:

x 3

4 Notamos un triángulo notable:

  22 Rpta.

   37 Rpta. PROBLEMA : 10 PROBLEMA : 09 Dados 3 vectores en el plano, halle el ángulo “  ” de manera que la suma de estos sea cero.

y

a) 37° b) 45°

c

c) 33°

15

d) 25° e) 22°

a) 37°; 22

8

Colección “G y D”

b) 10°; 25

y 24

x 10

20

d) 15°; 24 e) 17°; 22

40

20

c) 33°; 33

75



Calcular el ángulo “  ” y el módulo de la fuerza resultante sabiendo que tiene la misma dirección que el vector de 40 unidades.

x



30

4

Semana 01

Darwin Nestor Arapa Quispe Resolución: Haciendo rotar los ejes convenientemente, y descomponiendo rectangularmente.

y 40

Resolución: Descomponiendo vector

x

poligonalmente

2

1

2

M

24

120

30 sen(  20)   20

30 cos(  20)

cada

60

2

Reduciendo se tiene:

30

R

Como la resultante tiene la misma dirección que el vector de 40 unidades, la resultante en y debe ser nula. 24  30 cos(  20) 4 cos(  20)  5

60

4

Ley de cosenos:

R  4 2  12  2(4)(1)cos 60 R  21 Rpta.

  20  37    17

Cálculo de la resultante: R  40  30sen(37)  R  22

   17 y R  22 Rpta.

1

PROBLEMA : 12 Tres vectores han sido colocados sobre un triángulo, como se puede ver en la figura, determine el módulo de la suma de vectores.

PROBLEMA : 11 En un rombo cuyo lado mide 2 unidades se ha colocado dos vectores. Hale el módulo del vector resultante, M es punto medio.

1 120

a) 2 5 b)

23

c)

21

d)

15

e)

5

1

M 120

Colección “G y D”

2

a) 2 15

b)

17

d)

e)

13

21

c)

19

Resolución: Descomponiendo los vectores poligonalmente. 5

Semana 01

Darwin Nestor Arapa Quispe

Resolución: Comparando los gráficos. El vector X es colineal con el vector suma (A  B) .

1

L 120

1

AB

2 A R

3

60

1

Ley de cosenos: 2

L

L 2

B PROPIEDAD: AB

tamaño(A  B)

2

R  3  1  2(3)(1)cos 60

AB

R  13 Rpta.

L 2

X tamaño(X) X

L(2  2)

 X  ( 2  1)(A  B) Rpta.

PROBLEMA : 13 La figura mostrada es un cuadrado. Determinar el vector X , expresado en función de los vectores A y B .





PROBLEMA : 14 Determinar X en función de A y B , sabiendo que PM = 5MQ y G es el baricentro del triángulo PQR. R

A

X B

A G

X

B P

a) (2 2  1)(A  B) b) ( 2  2)(A  B) c) ( 2  1)(A  B)

a)

BA 3

b)

B  2A 6

d)

BA 6

e)

A  2B 6

d) ( 2  1)(A  B) e) ( 2  3)(A  B) Colección “G y D”

W

Q

M

c)

3B  A 6

6

Semana 01

Darwin Nestor Arapa Quispe Resolución: De la figura notamos que W es punto medio de PQ. R

2n

A

Resolución: Se descomponen los vectores convenientemente. En la cara superior del cubo los vectores componentes se cancelan par a par, por ser de igual módulo y sentidos opuestos.

B

G

X

n

P

3m

W

2m

M

m

Q

Del método del polígono. 

B  6m  A  m 



3n 

a

a

BA ….(1) 6

AB AB n ……(2) 2 6

Además

El problema se reduce a sumar cuatro vectores verticales.

 R  4a Rpta.

X  2m  n ………..(3) Reemplazando (1) y (2) en (3)

BA AB X  2    6  6 

 X

3B  A Rpta. 6

PROBLEMA : 15 Si la arista del cubo mide “a”, determinar el módulo de la resultante. a) 2a b) 3a c) 4a

a

a

MRU PROBLEMA : 01 Dos móviles están separados por 1200 m y se dirigen en sentido contrario con velocidades de 40 m/s y 20 m/s. Dentro de cuánto tiempo estarán separados 30 m. a) 19;5 s d) 3;5 s

b) 20 s e) 4 s

Resolución: t

c) 10 s

t 20 m s

40 m s

40t

30m

20t

1200 m

d) 5a e) a

Colección “G y D”

1200  60t  30 117 t 6



t  19,5 s Rpta.

7

Semana 01

Darwin Nestor Arapa Quispe

PROBLEMA : 04

PROBLEMA : 02 En cuanto tiempo, un tren que marcha a 36Km/h atravesara un túnel de 100 m, si el largo del tren es de 90m. a) 18 s d) 15 s

b) 19 s e) 10 s

c) 20 s

Resolución: Expresamos la velocidad  5  multiplicar por:    18   5  V  36    10 m s  18 

en

(m/s);

Carlos con velocidad de 6 m/s y Martha con 4 m/s parten simultáneamente de sus casas distantes 500m, Carlos lleva una paloma que va de él a ella sucesivamente con velocidad de 35 m/s. ¿Cuál es el espacio total recorrido por la paloma hasta que se produce el encuentro? a) 1750 m d) 1005 m

b) 1800 m e) 1000 m

c) 2000 m

Resolución: El tiempo que emplea la paloma, es el tiempo de encuentro entre Carlos y Martha, y su espacio recorrido será:

10 m s

e  VP t E  35t E ………(I) 100 m

90 m

VM

VC

e  vt t  19 s Rpta.

190  10t 

Un bus, cuya longitud es de 20 m tiene una velocidad de 72 km/h. ¿En cuánto tiempo pasara por delante de un semáforo? a) 3 s d) 4 s

b) 2 s e) 5 s

Resolución:  5  V  72    20 m s  18  20 m s

E

x

PROBLEMA : 03

c) 1 s

500  x

500 m

Siendo “E” el punto de encuentro: Para Martha:

x  VM t E …….(II) Para Carlos:

500  x  VC t E ……….(III) Sumando (II)+(III):

500  (VM  VC )t E

500  (4  6)t E 20 m

e  vt t  1s Rpta. 20  20t  Colección “G y D”

t E  50 s Reemplazando en (I): e  35(50) e  1750 m Rpta.

8

Semana 01

Darwin Nestor Arapa Quispe a) 1 m

PROBLEMA : 05

X(m)

Un tren para atravesar un túnel de 800 m de longitud demora 25s a la velocidad de 55m/s. Calcular la longitud del tren

b) +2 m

a) 575 m d) 525 m

d) +6 m

b) 500 m e) 400 m

c) 450 m

c) +4 m

O

t(s)

4

e) -8 m

Resolución: Grafiando se tiene:

2

Resolución: Recordando las ecuaciones del MRU:

55 m s

X 800 m

L

x

x  x 0  Vt

e  vt L  800  55(25)  L  575 m Rpta.

V  tan 



x0

Un hombre rema río abajo a 10km/h, y río arriba a 4km/h. Hallar la velocidad del bote. a) 7 km/h d) 10 km/h

b) 8 km/h e) 15 km/h

c) 9 km/h

Resolución: Río abajo: 10 km h  Vbote  Vrío ….(I) Río arriba: 4 km h  Vbote  Vrío ….(II) Sumando (I)+(II): 14 km h  2Vbote

 Vbote  7 km h Rpta. PROBLEMA : 07 La figura muestra la gráfica posición contra tiempo de una partícula que se mueve en el eje X. Halle la posición de la partícula en el instante t = 5s:

Colección “G y D”

t

t

PROBLEMA : 06

Para el problema se tiene: X(m) x

O

V  tan   2 m s 

x 0  4



2

5

t(s)

 x  4  2t

4 Para t=5 se tendrá: x  4  2(5)

 x  6 m Rpta. PROBLEMA : 08 Dos coches partieron al mismo tiempo: Uno de A en dirección a B, y el otro de B en dirección a A. Cuando se encontraron, el primero había recorrido 36 km más que el segundo. A partir de este momento (en que se encontraron) el primero tardo una hora en llegar a B, y el segundo 4h en llegar a A. Hallar la distancia entre A y B. 9

Semana 01

Darwin Nestor Arapa Quispe a) 90 km d) 100 km

b) 110 km e) 108 km

c) 105 km

Resolución: Graficando según el enunciado:  Hasta el encuentro.

A

tE

tE E

x  36

B

x

a) 1000 m d) 1500 m

D  Después del encuentro

4h

PROBLEMA : 09 Un automóvil se acerca hacia una tapia a una velocidad constante 10m/s. Si en determinado instante el chofer del automóvil hace sonar la bocina, y al cabo de 10s escucha el eco, calcular a que distancia se encontraba el móvil cuando el chofer hizo sonar la bocina (considerar la velocidad del sonido 340m/s) b) 500 m e) 1750 m

Resolución: Graficando:

1h A

B E

x  36

c) 1650 m

x

100  x

tapia

10 m s

D De los diagramas debemos calcular D, donde: D  (x  36)  x  D  2x  36 ……..(I) Ahora se requiere x y la calcularemos analizando a los coches, para ellos se cumple que: d V t x  36 x Para el coche “A”:  tE 1  xt E  x  36 ……….(II)

Para el coche “B”:

x  36 x  4 tE

 (x  36) t E  4x ……….(III) Dividimos (II) entre (III) xt E x  36  (x  36) t E 4x Resolviendo: x=36 km

En (I):

D=2(36)+36 D  108 km Rpta.

Colección “G y D”

100 m

x

Para el sonido: d  Vsonido .t 100  2x  340(10)  x  1650

Piden: D=100+x

 D  1750 m Rpta. PROBLEMA : 10 Dos móviles que se desplazan por el eje X con M.R.U. y sus graficas posición- tiempo son como se indica en el gráfico adjunto. Se pide determinar la velocidad del móvil A. a) 30m/s b) 20m/s c) 10m/s

X(m) A

48 B

d) 14m/s e) 9m/s

O

3

8

t(s) 10

Semana 01

Darwin Nestor Arapa Quispe Resolución:

Se sabe que la velocidad del móvil “A” está dado por: VA  tan  Completamos la gráfica. 30 De la figura: tan    10 3

X(m) A

48 B 30

O





3

VA  10 m s Rpta.

t(s)

8

MRUV PROBLEMA : 01 Un coche parte del reposo acelerando uniformemente con 1m/s2, a los 16 segundos. ¿A qué distancia del punto de partida se hallara? a) 118 m

b) 128 m

c) 138 m

d) 148 m

e) 100 m

Resolución: Graficamos: 1 2 at 2 1 D  (0)(16)  (1)(16)2 2 d  V0 t 

t  16 s

V0  0

a  1m s 2

D  128 m Rpta.

D PROBLEMA : 02 Un ciclista se mueve con una rapidez de 6m/s, de pronto llega a una pendiente suave en donde acelera a razón de 0;4 m/s2 terminando de recorrer la pendiente en 10 s, halle la longitud de la pendiente. a) 60 m

b) 65 m

c) 70 m

d) 75 m

e) 80 m

Resolución: 6m s t  10s

a

D

Colección “G y D”

1 2 2 at ; a  0, 4 m s 2 1 D  (6)(10)  (0, 4)(10)2 2 d  V0 t 

D  80 m Rpta.

11

Semana 01

Darwin Nestor Arapa Quispe

PROBLEMA : 03 Un atleta corre con una velocidad constante de 7m/s y puede percatarse que a 180m detrás de él viene un coche con una velocidad de 4m/s y 2 de aceleración, ¿en cuánto tiempo más el coche estará pasando al atleta? a) 13 s

b) 12 s

c) 14 s

Resolución: Graficamos según el enunciado

d) 16 s

e) 15 s

t t

V0  4 m s

7m s

a  2 m s2

7t

180m Para el coche: d  V0 t 

1 2 1 at  180  7t  4t  (2)t 2 2 2

t 2  3t  180  0

t  15 s Rpta.

Resolviendo se obtiene:

PROBLEMA : 04 Un cuerpo viaja a una velocidad constante de 10 m/s durante 20s, luego acelera a 4m/s2, durante 8 s. Determinar la distancia total recorrida. a) 408 m

b) 428 m

c) 438 m

d) 448 m

e) 400 m

Resolución:

20 s 10 m s

MRU 10 m s

A

d

Tramo (AB): d  Vt d  10(20)  200 m

B

8s MRUV a  2 m s2

V

C

D D  10(8) 

1 (4)(8)2  208 m 2

Piden: e=d+D

Tramo (BC): d  V0 t 

Colección “G y D”

1 2 at 2

 e  408 m Rpta. 12

Semana 01

Darwin Nestor Arapa Quispe

PROBLEMA : 05 Para que un auto duplique su velocidad requiere de 10s y una distancia de 240 m. Halle la aceleración del auto en m/s2. a) 1

b) 1,2

c) 1,3

d) 1,6

e) 1,5

Resolución: Graficamos t  10 s

V

 V  V0  e f t  2 

2V

a

 2V  V   240    (10)  2  V  16 m s

240 m

 V  V0   32  16  a f   a   10  t    

 a  1,6 m s

2

Rpta.

PROBLEMA : 06 En t0 = 0 una partícula parte de la posición 2i  4j m ; con una velocidad V y aceleración a  4i  3j m / s 2 la cual permanece constante. Se sabe que en t = 1 s la partícula se

encuentra en la posición 7i  4j m , halle V en m/s. a)

3 i  3j 2

3 b) 3i+ j 2

c) 3i 

3 j 2

d) 3i  3j

e)

5 i  3j 2

Resolución: Usamos la ecuación vectorial del MRUV rf  r0  V0 t 

1 2 at 2

rf  7i  4j ; r0  2i  4j ; r0  2i  4j y a  4i  3j m / s 2

Para t=1 s. 7i  4j  2i  4j  V(1) 

1 (4i  3j)(1)2 2

De donde: V  3i 

V  3i 

Colección “G y D”

3 j 2

3 j Rpta. 2

13

Semana 01

Darwin Nestor Arapa Quispe

PROBLEMA : 07 En el instante mostrado, el auto inicia su movimiento con una aceleración constante “a”. Determine el mínimo valor de “a” para que el auto no sea adelantado por el camión que realiza MRU. 10 m s

V

V0  0

a

50 m

a) 1 m/s2

b) 2 m/s2

c) 3m/s2

d) 4 m/s2

e) 5 m/s2

Resolución: Para que el camión no adelante al auto, este deberá alcanzarlo en el instante en que el auto tenga la misma velocidad que el camión. t

t 10 m s

10 m s

V

V0  0

a

x

50 m

Para el camión (MRU) e  vt  50  x  10t ……….(I)

 V  V0  Además: a   f  t    10  0  a   10 

Para el auto: (MRUV)  V  Vf e 0  2

10 m s

  t  x  5t 

Reemplazando en (I) se tiene que: t  10

 a  1m s

2

Rpta.

PROBLEMA : 08 Un móvil triplica su rapidez luego de recorrer 300 m empleando 10 s. Calcular el módulo de su aceleración. a) 1 m/s2

b) 2 m/s2

c) 3m/s2

d) 4 m/s2

e) 5 m/s2

Resolución: Seguimos el mismo procedimiento que el problema 05: Colección “G y D”

14

Semana 01

Darwin Nestor Arapa Quispe

 V  V0  e f t  2 

t  10 s

V

3V

a

 3V  V   300    (10)  2  V  15 m s

300 m

 V  V0   45  15  a f   a   10  t    

 a  3m s

2

Rpta.

PROBLEMA : 09 Un móvil que tiene M.R.U.V. parte del reposo con aceleración de módulo 2m/s2. ¿Cuantos metros recorre en el n-ésimo segundo de su movimiento? a) 2n  1

b) 4n  1

c) 2n  1

Resolución: Graficamos

a  2m s

0

0

n seg

3 seg

2 seg

e) n 2  1

2

0

0

1 seg

d) 2n  3

x La distancia “X” que recorre el móvil en el enésimo segundo (n) se calcula con la siguiente 1 formula: X  V0  a(2n  1) 2 1 X  V0  ( 2)(2n  1)  X  2n  1 Rpta. 2

PROBLEMA : 10 En función del tiempo se muestra la aceleración y velocidad de una partícula. Si en el instante t = 0 se encuentra en la posición x0  39 i m . ¿En qué posición estará en el instante t = 7 s? a) 2 i m b) 2 i m

V (m s)

a (m s 2 )

2

c) 3 i m d) 3 i m e) 0 m Colección “G y D”

3

4 t (s)

3

7 t (s)

15

Semana 01

Darwin Nestor Arapa Quispe Resolución: Como la velocidad tiene signo positivo, el cuerpo se mueve hacia la derecha. y t0 V0  4 m s

x

V (m s)

a1  tan   2

10

a 2  tan  a 2  tan   5 2

A

4

39 m



 2

Para 0  t  3 : a1=2 m/s 1 e1  V0 t  at 2 2 1 e1  4(3)  (a)(3)2  21 2 Calculamos la aceleración para 3  t  7 según la gráfica.

3



t (s)

7

1 2 at 2 1 5 e2  10(4)  ( )(4)2  20 2 2 Piden: xf  x0  e1  e2  39  41 e2  V0 t 

x f  2 m Rpta.

PROBLEMA : 11 El tiempo de reacción de un conductor de un automóvil es, aproximadamente 0,7s (el tiempo de reacción es el tiempo de percepción de una señal para parar y luego aplicar los frenos). Si un automóvil puede experimentar una desaceleración de 4,8 m/s2, calcular la distancia total recorrida antes de detenerse, una vez perdida la señal cuando la velocidad es de 30Km/h. a) 10 m

b) 11 m

c) 12 m

d) 13 m

e) 14 m

PROBLEMA : 12 Dos móviles A y B separados 32m parten en el mismo instante y en el mismo sentido, A lo hace con una rapidez constante de 8m/s y B desde el reposo con aceleración constante, halle la máxima aceleración de este para que el móvil A pueda alcanzarlo. a) 1;5m/s2

b) 2m/s2

Colección “G y D”

c) 3m/s2

d) 4m/s2

e) 1m/s2

16