Física. Optica Geométrica

Unidad Temática XV Óptica Geométrica

Contenidos Reflexión y refracción. Leyes. Ley de Snell. Principio de Huygens. Angulo crítico. Formación de imágenes por reflexión: en un espejo plano y en un espejo esférico. Rayos principales. Trazado de imágenes. Ecuación de los espejos. Aumento. Imágenes reales y virtuales. Formación de imágenes por refracción: en una lente gruesa y en una lente delgada. Ecuación del constructor. Ecuación de las lentes. Trazado de imágenes. Aumento. Aberraciones.. Dispositivos ópticos. El ojo humano. Microscopio y Telescopio.

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Introducción • La luz es una radiación electromagnética de longitud de onda

comprendida entre 400 y 700 nm. se estudia la  propagación de ondas • Cuando electromagnéticas, se encuentra que esta se rige por simples leyes geométricas que, en general, no dependen de la longitud de onda y de la intensidad de la radiación. • Esto permite estudiar la propagación de la radiación luminosa mediante el concepto de rayos que se propagan en línea recta en medios uniformes. • Para que esta consideración básica sea válida, las dimensiones de los objetos involucrados deben ser mucho mayores que la longitud de onda de la luz, lo cual se cumple generalmente para la mayoría de los objetos que usamos.

La Óptica Geométrica es la rama de la Óptica que estudia la la propagación  propagación de la luz y  su trayectoria en los diferentes medios materiales.

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Rayo luminoso • La radiación luminosa al propagarse sigue determinadas

trayectorias que se denominan rayos de luz. • El  rayo luminoso es una abstracción geométrica de una situación física que se daría cuando de la radiación total emitida por un emisor sólo consideramos aquella parte que atraviesa un pequeño orificio situado en una pantalla opaca. • Si la velocidad de propagación es la misma en todas direcciones el rayo es siempre perpendicular al frente de onda. • La aproximación del rayo es muy exitosa para el estudio de espejos, lentes, prismas y instrumentos ópticos que los emplean como ser telescopios, cámaras fotográficas y microscopios.

Frentes de onda y aproximación del rayo Se denomina superficie o frente de onda al lugar geométrico determinado por los puntos del medio que son alcanzados simultáneamente por la onda y que en consecuencia en cualquier instante dado están en el mismo estado o fase de la perturbación.

La dirección de propagación de la perturbación es perpendicular al frente de onda. Las líneas  perpendiculares a los  frentes de onda, que indican la dirección y sentido de propagación de la perturbación, se denominan rayos.

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Para representar las ondas se eligen los frentes en donde la amplitud es máxima (arbitrario) En este caso la distancia entre dos frentes sucesivos es una longitud de onda.

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REFLEXIÓN Es el cambio de dirección que experimenta un rayo luminoso al chocar con la superficie de un objeto opaco. Ej.: Ruta seca y mojada en conducción nocturna

REFLEXIÓN El fenómeno más evidente de la reflexión sucede cuando la superficie es plana y pulimentada (espejo), en el que se refleja la mayor parte del rayo incidente Ángulo de incidencia y de reflexión El ángulo de incidencia “ i ” es el formado por el rayo incidente y la normal. La normal  es una recta imaginaria perpendicular a la superficie de separación de los dos medios en el punto de contacto del rayo. El ángulo de reflexión “ r ” es el formado por el rayo reflejado y la normal.

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REFLEXIÓN: LEYES Frente de onda incidente

Rayo incidente

normal

i r

Frente de onda reflejado

Rayo reflejado

Medio 1 Medio 2

El rayo marcha perpendicular al frente de las ondas Cuando un rayo incide sobre una superficie plana y pulida y rebota hacia el mismo medio decimos que se refleja y cumple las llamadas : "leyes de la reflexión“.

REFLEXIÓN: LEYES 1.‐ El rayo incidente forma con la normal un ángulo de incidencia que es igual al ángulo de reflexión que forma el rayo reflejado con la normal.

i   r  2.‐ El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal están en un mismo plano. El rayo incidente define con la normal en el punto de contacto, un plano. El rayo reflejado estará en ese plano.

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Refracción. Índice de refracción. •   Refracción es el cambio en la dirección de propagación del rayo (la

onda) al pasar de un medio a otro. • El ángulo que forma el rayo refractado con la normal se denomina ángulo de refracción. • Al dividir la velocidad de la luz en el vacío (c) por la velocidad de la luz en otro medio (v) obtenemos el índice de refracción en ese medio (n). n

c v

•   n(aire) = 1 , n(agua) = 1.33 • Si la luz pasa de un medio más rápido a otro más lento el ángulo de

refracción es menor que el de incidencia. • Si pasa de un medio de mayor índice de refracción a otro con menor índice de refracción el ángulo de refracción es mayor que el de incidencia. refracción

REFRACCIÓN: LEYES Frente de onda incidente

Rayo incidente

normal

1 1´

Frente de onda reflejado

Rayo reflejado

Medio 1

n1

v1

Medio 2

n2

v2

2

Frente de onda refractado

n1 < n2

Rayo refractado

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En la foto de la derecha un haz laser incide sobre un bloque de acrílico transparente. (1) rayo incidente, (2) rayo reflejado en la interfase aire-acrílico, (3) rayo r efractado en la interfase aire-acrílico, (4) rayo reflejado en l a interfase acrílico-aire, (5) rayo refractado en la interfase acrílico-aire.

Ley de Snell • El fenómeno de la refracción se rige por la llamada ley de la

refracción o ley de Snell: n1 sin(1 )  n2 sin( 2 ) n1 

• •

c v1

y

n2 

c v2

= ángulo de incidencia 2 = ángulo de refracción 1

• Si n1 < n2 el rayo se acerca a la normal. • Si n1 > n2 en rayo se aleja de la normal.

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Reflexión total interna Ocurre cuando el 1º medio tiene índice de refracción mayor que el 2º medio

4% a

6% b

Өi=Өc

c

Өr =Өc

>Өc

Өi

Өr =Өc

38% d

25%

100%

100%

e

f

Reflexión total interna •   Cuando la luz incide en una interfase donde n1 > n2 , el ángulo de

refracción es mayor que el de incidencia, y ocurre lo siguiente: • A medida que el ángulo de incidencia se hace cada vez más grande, el rayo transmitido se inclina cada vez más lejos de la normal y más cerca de la interfase. • El rayo transmitido se hace cada vez más débil y el rayo reflejado (el que viaja de regreso al medio de mayor índice) se hace más intenso. •   Cuando se alcanza un ángulo particular llamado ángulo crítico (c), el ángulo de refracción es de 90º, y toda la luz que incide en la interfase es reflejada tangente a la superficie. No se refractará o transmitirá nada de luz. Esta reflexión total interna continuará para todos los ángulos de incidencia mayores al ángulo crítico. n1 sin( c )  n2 sin(90º )  n2 

sin( c ) 

n2 n1

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Fibra Óptica

Cuando la luz pasa de un medio a otro de diferente índice de refracción, la longitud de onda cambia, no así su frecuencia.   vT  v / f v1  1 f

y

 v    f   v2   2 f  

n1  c / v1

y

n2  c / v 2

n2 n1

2 n2   1 n1



c / v2 c / v1

Si n1=1 (aire o vacio)



v1 v2



 1  2

n   /  n

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Ejemplo: Luz laser en un CD. La longitud de onda del laser es de 780 nm en aire, y el índice de refracción del plástico del Cd es n = 1,55. a) ¿Cuál es la velocidad de la luz dentro del CD? b) ¿Cuál es la  dentro del CD? n2 n1 a)

v1



v2

v p 

b)   p 

c n p

  n p



 1



2

 

n p

1

3108 m / s 1,55 780 nm 1,55



c v p



   p

 1,94108 m / s

 503 nm

Principio de Huygens El Principio de Huygens es una construcción geométrica en la que se utiliza el conocimiento previo del frente de una onda para determinar la posición de dicho frente en un instante posterior. En la construcción de Huygens:

Construcción de Huygens para un frente de onda plano y un frente de onda esférico.

“Cada punto de un frente de onda primario sirve como foco de ondas elementales secundarias que avanzan con una velocidad y frecuencia iguales a la de la onda primaria. El frente de onda primario al cabo de un cierto tiempo es la envolvente de estas ondas secundarias.“

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Deducción de la ley de Snell a partir del principio de Huygens

t0  CB / v1  AN  v2 t 0    CAB  1   EAD   ABN    2  FAN

sin( 1 )   BC / BA sin( 2 )   AN / BA

Dividiendo m.a.m. sin( 1 )  BC  v1 t 0 v1 c / n1 n2       n1 sin(1 )  n2 sin( 2 ) sin( 2 )  AN  v2 t0 v2 c / n2 n1

Formación de imágenes por reflexión. Espejo plano

s: distancia objeto Imagen real: se puede formar sobre una s’: distancia imagen pantalla. V: vértice Imagen virtual: no se puede formar sobre una pantalla. En los espejos planos la imagen es siempre virtual.

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Formación de Imágenes. Espejos Planos

•La imagen es: •Virtual (La imágenes virtuales son formadas por rayos divergentes. La luz parece originarse de ella). •Tiene el mismo tamaño que el objeto. •Se localiza detrás del espejo a la misma distancia que el objeto al espejo. •Es lateralmente invertida (Derecha por izquierda, etc.). •Como de alto debe ser un espejo para que uno pueda verse de cuerpo entero?

Formación de imágenes por reflexión. Espejos esféricos OO’: eje óptico. C: Centro de curvatura del espejo. Aproximación paraxial: todos los rayos son próximos al eje óptico. Se reflejan todos en P’ dando la imagen de P. Los rayos no paraxiales difuminan la imagen (aberración esférica).

Convexo: rayos paralelos reflejados divergen. Cóncavo: rayos paralelos reflejados convergen.

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V: vértice. Intersección del eje óptico con el espejo. Las distancias s, s’ y R se miden desde V. Un rayo pasa por C, incide verticalmente sobre el espejo y se refleja sobre si mismo. El segundo incide en V y se refleja según las leyes de la reflexión. tan( ) 

 y s



 y´ s´

tan( ) 



 M  

 y sR



y´ y



s´ Magnificación

s

y´ R  s´  y´   R  s´ y s R

donde hemos utilizado la ecuación de la Magnificación

Igualando con la ecuación de la magnificación s´ s



2

R  s´

 R s

sR



R s´

 

s R s

1 s



 1 s´

R  s´ s´



2 R

 1 o

1 s



R s

1 s´





R s´

1

1

 

R/2

Ecuación de los Espejos

Si el objeto esta muy lejos (en el infinito), los rayos llegan paralelos al eje principal y luego de reflejarse se interceptan en un punto sobre el eje denominado FOCO. Si s   es s’ = R/2 = f. La imagen esta en el punto focal  F del espejo.

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Rayos paralelos al eje principal, luego de reflejarse pasan por el foco.  f  

 R  

2

Distancia focal

1 s



1 s'



1  f 

Ecuación de los Espejos

Convenio de los signos para los espejos • • • • • • • • • • •

La luz incide desde la izquierda. s positivo a la izquierda del vértice V (objeto real) s negativo si el objeto esta a la derecha de V (objeto virtual) s´ positivo a la izquierda del vértice V (imagen real) s´ negativo a la derecha del vértice V (imagen virtual) f y R positivos si el centro de curvatura esta a la izquierda del vértice V (espejo cóncavo) f y R negativos si el centro de curvatura esta a la derecha del vértice V (espejo convexo) y tamaño del objeto. Positivo por encima del eje principal. y ’ tamaño de la imagen. Positivo por encima del eje principal Si M es positiva la imagen es derecha Si M es negativa la imagen es invertida

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Formación de imágenes. Diagramas de rayos.

Rayos principales

• El rayo 1 incide paralelo al eje principal y se refleja pasando por el punto focal F. • El rayo 2 incide pasando por F y se refleja paralelo al eje principal. • El rayo 3 pasa por el centro de curvatura C y se refleja sobre si mismo.

Imágenes formadas por refracción Definiciones: •  Se dice en óptica que el medio es HOMOGÉNEO e ISÓTROPO cuando la velocidad de la luz es la misma en todos sus puntos y direcciones,  por tanto su índice de refracción es constante. Si la velocidad de la luz varía con la dirección se denomina ANISÓTROPO y si varía de un  punto a otro, pero en cada uno de ellos es independiente de la dirección, se llama HETEROGÉNEO. •  DIOPTRIO (DIOPTRA) es la superficie de separación de dos medios de distinta refringencia (distinto n) •  SISTEMA ÓPTICO es un conjunto de superficies que separan medios de distintos índices de refracción; si está formado por superficies esféricas con los centros alineados se denomina SISTEMA ÓPTICO CENTRADO; la recta que une los centros es el E JE DEL SISTEMA. •  Se llama CAMINO ÓPTICO (C) para un camino geométrico (s) de la luz, dentro de un medio homogéneo de índice de refracción (n) al   producto de n por s: C = n s

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Imágenes formadas por refracción. Dioptra esférica. n1 sin(1 )  n2 sin( 2 ) En la aproximación paraxial  1 y  2 son pequeños y sin(  )    (en radianes), y podemos escribir: n1 1  n2  2 En la figura de abajo tenemos:

1          2    Combinando estas tres expresiones y eliminando  1 y  2 tenemos:

n1      n2        n1   n2   (n2  n1 )   En la aproximación paraxial son  ,    y   pequeños y podemos expresar (ángulos en radianes):

tan( )   

d

tan(  )   

s

d R

d  tan( )      s´

Remplazando en la ecuación anterior y dividiendo por d:

n1 s



n2 s´



(n2  n1 ) R

Ecuación de la dioptra

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s s s’  s’  R R y  y' 

Convenio de los signos para superficies refractoras El objeto esta siempre a la izquierda de V Positivo a la izquierda de V (objeto real) Negativo a la derecha de V (objeto virtual) Positivo a la derecha de V (imagen real) Negativo a la izquierda de V (imagen virtual) Positivo si el centro de curvatura C esta a la derecha de la superficie convexa Negativo si en centro de curvatura C esta a la izquierda de la superficie cóncava. Positivo por encima del eje óptico Positivo por encima del eje óptico

Refracción en una superficie plana

n1 s



n2



(n2  n1 )

s´  R  

s´ 

n2 n1

R

s

La imagen es virtual.

¿Dónde se forma la imagen si n1 < n2? ¿Es virtual?

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Lentes delgadas

Si t es pequeño (despreciable frente a s’1

 1 n (n  1)  s  s´  R 1 1  1  s2   s´1  n 1 (1  n)    R2  s´1 s´2

Sumando la 1º y 3º ecuación

 1 1   ( n  1)     s1 s´2  1 1  1 1  R1 R2       ( 1) n     ´ s s  s s 1  R1 R2   llamando    s´2  s´  1

1 s





1

Relaciona la distancia objeto s con la distancia s’ a la que se forma la imagen, en función del índice de refracción de la lente y de los radios de curvatura de sus superficies.

 1 1   (n  1)    s´  R1 R2  1

Si s   s´= f distancia focal, y la ecuación anterior queda Ecuación del Constructor de lentes

1 1   (n  1)     f  R1 R2  1

Combinando esta dos ecuaciones

1 s



1 s´



1 f 

Ecuación de las lentes delgadas

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a) lente biconvexa convergente, b) lente bicóncava divergente. F1: punto focal objeto, F2: punto focal imagen. Rayos incidentes paralelos al eje principal pasan por el foco imagen Rayos que pasan por el foco objeto se refractan paralelos a eje principal La lente divergente tiene los focos invertidos.

Tipos de lentes delgadas

a) bi‐convexa b) convexa‐cóncava c) convexa‐plana

 M  

 y´  y



d) bi‐cóncava e) convexa‐cóncava f) cóncava‐plana

s´ s

Magnificación

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Diagrama de rayos a) Lente convergente. Objeto a la izquierda del foco F1 => imagen real e invertida a la derecha del foco imagen

b) Lente convergente. Objeto entre el foco F1 y la lente => imagen virtual y derecha, a la izquierda del foco objeto.

b) Lente divergente. Objeto a la izquierda del foco F1 => imagen virtual y derecha, a la izquierda de la lente.

Ejemplo de sistema de lentes

El diagrama de rayos muestra la localización de la imagen final de la combinación de lentes. Los puntos negros son los puntos focales de la primera lente y los rojos los de la segunda.

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Aberraciones  Aber rac ión esférica causada por una lente convergente.

 Aber rac ión cromática causada por una lente convergente. Rayos de diferentes longitudes de onda enfocan en diferentes puntos

Diagrama de una camara sencil la. En la realidad p >> q.

Partes importantes del ojo

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a) Cuando un ojo hipermétrope mira un objeto situado entre el punto cercano y el ojo, el punto de la imagen está detrás de la retina, dando como resultado una visión borrosa. El músculo del ojo se contrae para tratar de poner el objeto en foco. (b) La hipermetropía se corrige con una lente convergente.

(a) Cuando un ojo miope mira un objeto que se encuentra más allá del punto lejano del ojo, la imagen se forma delante de la retina, dando como resultado una visión borrosa. (b) La miopía se corrige con una lente divergente.

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Figura Acti va 36.44 (a) Diagrama de componentes de un microscopio, consistente en una lente denominada objetivo y una lente ocular

Figura

Acti va 36.44 (b) Microscopio compuesto. La torreta de tres objetivos permite al usuario elegir entre varios niveles de aumento. Combinaciones de oculares con diferentes longitudes focales y objetivos diferentes pueden producir un amplio rango de aumentos.

Figura Acti va 36.45 (a) Disposición de las lentes en un telescopio refractor, con el objeto en el “infinito”.

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