Fisica Nuclear Ultrabueno

ÍNDICE UNIDAD I

MAGNITUDES FÍSICAS

Capítulo 1 Análisis dimensional

UNIDAD II

............................................................................................................................................. 6

VECTORES

Capítulo 1 Vectores

............................................................................................................................................. 19

Capítulo 2 Método de descomposición rectangular................................................................................................................... 30

UNIDAD III

CINEMÁTICA

Capítulo 1 Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) ............. 43

Capítulo 4 Movimiento de proyectiles ................................. 66

Capítulo 2 Mov. rectilíneo uniformemente acelerado ........... 51

Capítulo 5 Movimiento circunferencial ................................ 78

Capítulo 3 Caída libre

UNIDAD IV

........................................ 58

LEYES DE NEWTON

Capítulo 1 Fuerza y movimiento

....................................... 88

Capítulo 2 Equilibrio del cuerpo rígido ................................. 100

Capítulo 4 Rozamiento

........................................ 118

Capítulo 5 Dinámica circunferencial..................................... 130

Capítulo 3 Movimiento a lo largo de una línea recta ............ 110

UNIDAD V

ENERGÍA MECÁNICA

Capítulo 1 Trabajo mecánico y potencia ................................................................................................................................... 140 Capítulo 2 Energía

............................................................................................................................................ 152

Capítulo 3 Repaso

............................................................................................................................................. 164

FÍSICA UNIDAD VI

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Capítulo 1 Presión hidrostática

...................................................................................................................................... 169

Capítulo 2 Principio de Arquímides .................................................................................................................................... 175

UNIDAD VII

CALOR

Capítulo 1 Equilibrio térmico

.................................. 180

Capítulo 2 Cambio de fase

................................. 185

UNIDAD VIII

Capítulo 3 Termodinámica

.................................. 189

ELECTROSTÁTICA

Capítulo 1 Carga y fuerza eléctrica.................................................................................................................................... 196 Capítulo 2 Campo eléctrico

UNIDAD IX

...................................................................................................................................... 201

ELECTROCINÉTICA

Capítulo 1 Corriente eléctrica

...................................................................................................................................... 207

Capítulo 2 Circuitos eléctricos

...................................................................................................................................... 213

TRILCE

UNIDAD I

MAGNITUDES FÍSICAS

E

n el estudio de la Física, cuanto más querramos saber de un fenómeno, pues más mediciones debemos hacer de sus características para conocerlo profundamente. Pero realmente, ¿qué tan importantes son las unidades de medida?, ¿sinceramente nos ayudan en nuestra vida diaria?, ¿cuán presentes están en nuestras vidas?, ¿realmente influyen en el desarrollo de la vida humana y el progreso? Aquí tenemos una historia poco común, es la historia del Mars Climate, una sonda espacial enviada por la NASA para el reconocimiento de Marte, pero inesperadamente esta misión no se pudo terminar porque la sonda se estrelló al ingresar en la atmósfera marciana y la NASA perdió en este proyecto aproximadamente 125 millones de dólares. Al final, se supo que fue un problema con las unidades de medida lo que había causado el error en la navegación de la sonda y el fracaso de la misión. Es más, se sabe que no es el único caso donde debido ha errores con las unidades de medida se han producido diversos incidentes, incluso desastres. Averigua cómo sucedieron los hechos en incidentes donde ocurrió el mismo problema.

. APRENDIZAJES ESPERADOS Comprensión de la información • Identificar las principales cantidades físicas. • Relacionar las cantidades físicas derivadas con las magnitudes fundamentales. • Describir las cantidades físicas escalares y vectoriales. • Relacionar las fórmulas físicas con las ecuaciones dimensionales respectivas. • Reconocer las magnitudes fundamentales y derivadas.

Central: 619-8100

entre

son

Síntesis de la unidad

estudia los

se clasifican

poseen

se puede

de la

son

sirve para

Física Razonamiento Matemático

Unidad I

1

5

Análisis dimensional

Análisis dimensional Contenido: • Cantidad física. Unidad de medida: según su origen, según su naturaleza. • Análisis dimensional: concepto, objetivo, fórmula dimensional. • Propiedades: 1ra regla: Cantidades adimensionales; 2da regla: Criterio de homogeneidad.

Magnitudes y unidades: ¿Son importantes las unidades de medida?

L

a velocidad de los monitores de las computadoras, su ubicación en el espacio, el consumo de combustible, las condiciones del medio que la rodea, el estado fisiológico de los miembros de la tripulación o algún dato producto de los experimentos realizados por una nave espacial... ¿Cómo hacen los científicos para crear sus ecuaciones y analizar las medidas?

Colegios

6

TRILCE

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Física Razonamiento Matemático

1

Saberes previos Cantidad física

Es una característica medible de un fenómeno físico o de un objeto. Las magnitudes son numerosas y describen los fenómenos físicos y los objetos. Son ejemplos: la masa, el tiempo, la velocidad, el volumen, la presión.

Unidad de medida

Llamamos así a aquella cantidad elegida como patrón de comparación. Una misma magnitud puede tener varias unidades de medida. Las cantidades físicas pueden ordenarse: A. Según su origen B. Según su naturaleza A. Según su origen, las cantidades físicas se suelen clasificar en dos tipos: •

Cantidades físicas fundamentales: Son aquellas que convencionalmente se consideran elementales e independientes, es decir, que no pueden ser expresadas en términos de otras magnitudes ni tampoco pueden expresarse entre sí. Para medir estas magnitudes, se requiere de un patrón de medición el cual determina una unidad de medida, de tal forma que la magnitud puede ser expresada como un múltiplo o submúltiplo de dicha unidad. La unidad de medida debe estar reproducida en las escalas de los instrumentos de medición.

•

Cantidades físicas derivadas: Son aquellas cuya definición está dada en términos de otras magnitudes fundamentales o derivadas. Cabe resaltar que en algunas ocasiones, dada la relación entre las magnitudes físicas estudiadas, elegir cuál es la magnitud fundamental y cuál es la magnitud derivada es un acto puramente convencional, como sucede con la masa y la fuerza; si elegimos la masa como fundamental, entonces la fuerza es derivada, y si elegimos la fuerza como fundamental, entonces la masa es derivada.

Sabías que...? Un fallo en la carga de combustible fue la causa del accidente del Gimli Glider, apodo por el que se conoce al avión de Air Canada, un Boeing 767, que el 23 de julio de 1983 tuvo que planear durante la mitad de su trayecto entre Montreal y Edmonton sin combustible, y tras perder 12 000 metros de altitud realizar un aterrizaje de emergencia en el Gimli Parque Industrial, una antigua base militar reconvertida en parque de recreo, y donde se celebraban carreras de karts. En el momento del incidente, el sistema métrico acababa de ser introducido en Canadá, y el Gimli Glider fue uno de los primeros aviones de la flota de Air Canada en ser calibrados para utilizar litros y kilos en lugar de galones y libras. Un error de cálculo hizo que se cargaran 10'000 kg de combustible (equivalentes a 22 300 libras, y he ahí el error), en lugar de los 22'300 kg necesarios, es decir, menos de la mitad del combustible necesario.

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Unidad I

7

Análisis dimensional

Tabla 1 Cantidades físicas fundamentales 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Unidad básica

Nombre

Símbolo

Nombre

Símbolo

Longitud Masa Tiempo Temperatura termodinámica Intensidad de corriente eléctrica Intensidad luminosa Cantidad de sustancia

L M T q I J N

Metro Kilogramo Segundo Kelvin Ampere Candela Mol

m kg s k A cd mol

Tabla 2 Cantidades físicas auxiliares Nombre 1. Ángulo plano 2. Ángulo sólido

Unidad básica Nombre

Símbolo

Radián Estereoradián

rad sr

Sabías que...? Científicos japoneses de la Universidad de Osaka han desarrollado una tecnología que permite escribir con un átomo cada vez, aprovechando el hecho que los átomos de silicio se intercambian con átomos de estaño sobre la superficie de un superconductor si ambos están a una distancia cercana. Este nanolápiz fue capaz de escribir el símbolo químico del silicio que es “Si” con átomos (en la imagen), y la palabra entera mide apenas 2×2 nanómetros, lo que significa que puedes repetir la palabra “Si” unas 40 000 veces, y el ancho total de esta oración sería apenas el grosor de un cabello humano.

B. Según su naturaleza, las cantidades físicas se suelen clasificar en dos tipos:

•

Cantidad física escalar: Es aquella magnitud física que queda determinada solo con su valor y su unidad de medida, como por ejemplo: el tiempo, la masa, la temperatura.



•

Cantidad física vectorial: Es aquella magnitud física que para quedar completamente definida necesita indicarse, aparte de su valor, también su dirección y sentido, como por ejemplo: la velocidad, la fuerza, la aceleración.

Sistemas de unidades y el Sistema Internacional Para medir una magnitud física se necesita una unidad, pero existen muchas unidades y la medición de una magnitud puede arrojar diferentes valores numéricos dependiendo de la unidad que se utilice. Por ejemplo, la medición del largo de una mesa puede ser un metro (1 m) en el Sistema Internacional, mientras que es de 39,37 pulgadas en el sistema inglés. El desarrollo de la ciencia, la tecnología y la economía, obligó a pensar en la creación de un sistema único de medición con características que permitan su fácil operación y unidades acordes con los valores requeridos por las aplicaciones científicas y tecnológicas. Este sistema único, aceptado por la mayoría de países del mundo, es el Sistema Internacional de unidades (SI). El Sistema Internacional, creado en 1960, establece las unidades mostradas en las tablas 1 y 2. Colegios

8

TRILCE

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Física Razonamiento Matemático

1

Conceptos básicos Análisis dimensional Concepto: Es la parte de la Física que se encarga de las relaciones cuantitativas entre magnitudes derivadas con magnitudes fundamentales. ¿Qué objetivo se persigue con el análisis dimensional? a)

El análisis dimensional sirve para poder expresar las magnitudes derivadas con magnitudes fundamentales . b) También sirve para comprobar la veracidad de una fórmula básica, haciendo uso de ecucaciones dimensionales. c) Se emplea para deducir nuevas fórmulas físicas.

Fórmula dimensional: [ ] Es una igualdad que nos representa a una magnitud derivada en función de la magnitudes fundamentales. En general, la fórmula dimensional de una magnitud derivada en el S.I. es la siguiente: 6 A @ = La . M b . Ty . iz . Ix . J y .N z

*

Área = Largo x ancho [ Área ] = L × L [ Área ] = L2

*

Distancia

Volumen = Área x altura [Volumen] = L2 x L [Volumen] = L3 L

• Velocidad = Tiempo

[ Velocidad ] = T

No se debe dejar denominador en una fórmula dimensional y para esto recuerda:

` [ Velocidad ] = LT -1 Masa • Densidad: Volumen

M L3

[Densidad ]=ML-3

EJEMPLO

EJEMPLO

[ A ] se lee: Ecuación dimensional de “A”

Propiedades

En una aplicación del S.I. se plantean ejercicios para obtener la ecuación (fórmula) dimensional de otras magnitudes derivadas, para lo cual se deben de recordar y aplicar las siguientes propiedades: × = A.B ( [ × ] = [ A ] . [ B ] ×=

A [×] = [A] B ( [B]

× = An ( [×] =[A]n ×= n A ( [×]=n 6 A @

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Unidad I

9

Análisis dimensional

Sabías que...?

EJEMPLO

En la actualidad, donde el agua cobra un valor fundamental, existe una especie de botella que convierte el agua sucia en agua potable. Se trata del filtro salvavidas (Lifesaver filter), un invento del británico Michael Pritchard. La botella cuenta con una porosidad de 15 nanómetros. Esta medida equivale a una milmillonésima parte de un metro, la cual da origen a la nanotecnología. La botella impide así el paso de bacterias de gran tamaño como la tuberculosis, que mide 200 nanómetros y la más pequeña, la de la polio, con 25 nanómetros. El ingeniero participó en un show de la televisión inglesa que demostró en vivo y en directo los resultados. Tomó una muestra del agua más sucia y la puso en el filtro, en segundos por un pequeño orificio el líquido surgió totalmente limpio y libre de toda bacteria. Esta novedad está certificada por la Agencia de Protección Ambiental.

[ 4 ] = 1 [3]=1

[log18] = 1 [log16] = 1

[sen30º] = 1 [tgα] = 1

1a regla: Cantidades adimensionales: Toda cantidad numérica (4; 16; –8; etc.), función trigonométrica (sen×, tg×, cos×, etc.), función logarítmica (log×, lne ), tendrán por fórmula dimensional a la unidad. 2a regla: Criterio de homogeneidad: Nos dice que una ecuación es dimensionalmente correcta, si todos sus términos tienen las mismas dimensiones. Por ejemplo, si la ecuación “A + B = C – D” es dimensionalmente correcta, entonces: [A]=[B]=[C]=[D] Lo que se lee como: la dimensión de “A” es igual a la dimensión de “B” e igual a la dimensión de “C” y “D”, y se dice que la ecuación es homogénea. Cantidad física derivada

Fórmula

Fórmula dimensional

Área

A=(longitud)²

[ A ]=

Volumen (vol)

vol=(longitud)³

[ vol]=

Velocidad (V)

V=longitud tiempo

[ V ]=

Aceleración (a)

a=velocidad tiempo

[ a ]=

Fuerza

F=masa . aceleración

[ F ]=

Trabajo

W=fuerza . distancia

[ W ]=

Energía

E=masa (velocidad)²

[ E ]=

Potencia (potencia)

Pot= trabajo tiempo

[ Pot ]=

Caudal (Q)

Q= volumen tiempo

[ Q ]=

Densidad (D) Gravedad (g) Colegios

10

TRILCE

D=

masa volumen

g=aceleración

Unidades

[ D ]= [ g ]=

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Física Razonamiento Matemático

Cantidad física derivada

Fórmula

Fórmula dimensional

Presión (P)

P=Fuerza Área

[ P ]=

Torque (T)

T=Fuerza . Distancia

[ T ]=

Calor (Q)

Q=Energía

[ Q ]=

Periodo (T)

T=Tiempo

[ T ]=

Frecuencia (f) Velocidad angular (w) Aceleración angular (∝)

f= 1 Tiempo

[ f ]=

W=frecuencia

[ w ]=

∝=

w

tiempo

1

Unidades

[ ∝ ]=

Impulso (I)

( I )=Fuerza . Tiempo

[ I ]=

Carga eléctrica (q)

q= I . tiempo

[ q ]=

Intensidad de campo eléctrico

E= f q

[ E ]=

Potencial eléctrico

v=Trabajo Carga

[ V ]=

Sabías que...? Nanoceldas solares Poco a poco estamos acabando con los diferentes combustibles que se encuentran en nuestro planeta. Una de las pocas fuentes que aún puede ser rescatable es el Sol. Sin embargo, se necesitan sistemas muy complejos para poder atrapar la energía solar y convertirla en algún sustituto para los combustibles que conocemos actualmente; aparte de que los costos de hacer esto son hasta diez veces más elevados. La nanotecnología ha permitido que se tenga en prueba un material fotovoltaico que se aplica como una especie de pintura plástica. Aparentemente tendrá el mismo uso que las celdas fotovoltaicas, pero todavía está en prueba. Si el material funciona, en poco tiempo lo podremos ver integrado a los materiales de construcción ofreciendo una posibilidad de convertir al Sol en una fuente de combustible factible y económica.

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Unidad I

11

Análisis dimensional

Síntesis de la unidad

se clasifican

debe poseer

son

Unidad de medida Cantidad elegida como patrón de comparación entre dos magnitudes de la misma especie.

Sistema Internacional de unidades (S.I.)

• No se expresan en función de otras magnitudes ni entre sí.

• Están dadas en función de otras, tales como las fundamentales.

• Son solo siete.

• Son ilimitadas.

Único sistema de medición con características de fácil operación y unidades acordes. Es el de mayor aceptación en el mundo.

Magnitud Dimensión Unidad Longitud L Metro Masa M kilogramo Tiempo T segundo Temperatura Kelvin q Intensidad de I Ampere corriente Intensidad J candela luminosa Cantidad de N mol sustancia

Colegios

12

TRILCE

Magnitud

F.D

Unidad

Área Volumen

L2 L3

m2 m3

Velocidad

LT–1

m/s

Aceleración

LT–2

m/s2

Fuerza

MLT–2

N

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Física Razonamiento Matemático

Una característica o propiedad medible de un fenómeno u objeto.

es

1

H

Altura

T

Q

Temperatura

Calor Luz

son

Queda determinada solo por su valor y su unidad de medida. Por ejemplo: la masa, el tiempo, la temperatura.

Queda completamente definida cuando se da su valor y además su dirección y sentido. Por ejemplo: la fuerza, la aceleración, la velocidad.

Fórmula dimensional Representación de una magnitud derivada en función de las fundamentales. [x]=L∝, MB, T, i X, Iy, Jz, Nw

PROPIEDADES 1. Se cumple lo siguiente: • ×=A.B ⇒ [×]=[A] [B] • ×=

A ⇒[×]= 6 A @ B 6B@

• ×=An • ×=

N

⇒

[×]=[A]n

A ⇒[×]= N 6 A @

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2. Todo adimensional posee [ ]=1 3. Principio de homogeneidad: [número]=1 [1]=1 [π]=1

A ± B=C ⇒[A]=[B]=[C]

[e]=1 [sen]=1 [ log ]=1 [ exponente ]=1

Unidad I

13

Análisis dimensional

Aprende más...

Análisis de la información

6. Dada la expresión: M2=

1. Determinar la fórmula dimensional de “x” x=Y . Z Y=masa Z=volumen b) ML2 e) ML–3

a) ML d) ML–1

ϒ = tensión superficial (N/m); Q = caudal n=viscosidad (Pa . s)

c) ML3

hallar la unidad “M” en el S.I.

2. Determinar la fórmula dimensional de “R”



2

R= A .B C

a) LT d) LT

b) LT e) LT

–2 –5



3 . d . A . h . cosφ

P = presión

d = densidad

a) LT d) MLT –1

b) LT –1 e) MLT –2

h = altura

Pv=n.R.T P=presión n=número de moles a) ML2T –2N –1Q –1 c) MNLQ e) NQMLT

sen30°

.V. tan Q c.log b

a) d) L4 T–3

L6 T

b) e) L3T

c)

L 3 T4

5. En la siguiente expresión dimensionalmente correcta, determina [x]: V=π.

b) ML2N –1Q –1 d) ML2 Q– 1N2



P=presión ; ϒ=densidad ; g=gravedad b) L2 T –2 e) LT –2

c) L3 T –4

V = velocidad; a = gravedad t = tiempo; m = masa a) MLT d) ML2T–2 Colegios

14

v=volumen T=temperatura

9. Halle las dimensiones de “×” para que la expresión sea dimensionalmente correcta : 2p +× = k ϒ 2g

a) LT –1 d) L4 T – 4

a . x . t2 3m

c) T–1

b) T e) T–2

8. En la ecuación universal de los gases ideales, determine la [ R ]

c) LT –2

P = área; V = volumen; c = velocidad LT6

w=trabajo; v=velocidad; e = número real t = tiempo; m = masa a) T0 d) T2

4. En la expresión dimensionalmente correcta, determine [y]: y=P

c) segundo

2 w = x . p . e mv x t

c) LT

P . logm = 5

4

b) newton e) pascal

7. Siendo la expresión homogénea, calcular [p]

3. En la siguiente expresión, determinar las dimensiones de “A”.



a) joule d) watt

A=aceleración B=impulso C=trabajo –1 –3

3 2 .ϒ .Q h

TRILCE

b) MLT–1 e) ML2T

c) MLT–2

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Física Razonamiento Matemático

10. Halle la fórmula dimensional de “B”, si la ecuación mostrada es homogénea: B seni +c =A2 Además: A=distancia a) L d) L1/2

L2

b) e) L 6

c)



P=D x . a y t z es dimensionalmente correcta. Hallar “x+y+z”, siendo: P=presión D=densidad a=aceleración t=tiempo

a) 1 d) 2

12. La ecuación: x=Ae– bt. sen(b t 1 - a2 + ... + d) es dimensionalmente correcta.

Siendo: A=longitud; t=tiempo; e=2,72; determine las dimensiones de: xa bd a) L d) L–1



14. La ecuación:

c) LT –1

b) T e) LT2



x= 2009C 2010A+B

C=fuerza A=velocidad a) MT –1 b) L c) LT d) M e) ML

L4

11. La ecuación: V= K (B - C) + Ba seni es dimensionalmente correcta. Si: V=velocidad; a=aceleración; determine: [c] a) L d) LT –2

13. Hallar [x] en la ecuación homogénea:

b) LT e) LT –1

1

b) 4 e) 5

c) 6

15. Sabiendo que la velocidad de propagación (V) de una onda en una cuerda tensa depende de la fuerza de tensión “f” y de la masa por unidad de longitud (n), calcular la fórmula que las relacione. (K = constante numérica). a) Kfn d) K fn

c) T

–1

b) K fn e) K f–1h

c) Kf2n

18:10:45

Practica en casa 1. Hallar la fórmula dimensional del peso, si: peso=m . g m=masa (kg) g=aceleración de la gravedad a) MLT -1 d) MLT

b) MLT -2 e) ML2T

c)

MLT2

2. Hallar la fórmula dimensional de “X”: x= P W P=potencia W=trabajo a) M d) T -1

b) M -1 e) MT

c) T

3. Encontrar la fórmula dimensional de “X”: V= X.C V=rapidez C=aceleración a) T d) L

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b) LT e) LT-2

c)

4 . Determinar la fórmula dimensional de “R”. R=A2. B/C A=velocidad B=densidad C=energía

LT-1

a) L -2 d) LT -1

b) LT e) L-3

c) L3

5. Hallar qué representa “X”: X=(log18) a .V2/R a=masa V=rapidez R=radio

a) Velocidad d) Potencia

b) Trabajo e) Presión

c) Fuerza

6. Hallar la fórmula de “x”, si la siguiente expresión es homogénea: Ax+B=E Además: E=energía, A=aceleración. a) ML d) L-2M-2

b) M2L e) M3L

c) LM2

Unidad I

15

1

Análisis dimensional

7. Hallar la fórmula de “A . B”, si la siguiente expresión es homogénea: A+BC=E Además: E=energía, C=fuerza ML2T -2

a) d) ML3T -2

MLT -1

b) e) MLT

c)

b) T -1 e) T -2

a) LT d) MLT

ML3T -3

8. Hallar la fórmula de “xy/Z”, si la siguiente expresión es homogénea: xF/D+yM/h=ZR - P Además: R=radio M=masa P=potencia h=altura F=fuerza D=densidad a) T d) T3

12. Dada la expresión correcta, calcular [Z]. Z=2π(A2 - B)/C . (F+senα) A=área C =caudal

c) T2

a) d) LT

b) e)

LT -1 L-2T2

c)

L-1T -1

10. Halle las dimensiones de “b” para que la ecuación sea homogénea. w/e=ba+b2c w=calor a=velocidad e=tiempo a) MT -2 d) ML2 T -2

b) MLT e) ML3T -1

c) MLT -2

c) L2T -2

13. Si la ecuación es homogénea, halle [k]. W=E/B(1 - ek/pv) W=potencia E=energía e=adimensional P=peso V=velocidad a) MLT -2 d) ML2T -2

b) ML2T2 e) MLT -1

c) ML2T -3

14. Calcular “[x . y / z]”, si la expresión: A=(z - xm) . x . m . a . d/y (x+cos45º) es dimensionalmente correcta.

9. Si la ecuación: (B/V+M)2= M2+K es dimensionalmente correcta, calcular las dimensiones de “B”, siendo: V=velocidad; K=6m2/s2 L2T -2

b) LT -1 e) ML-1T -2

A=fuerza a=aceleración a) L d) L2

m=masa d=longitud b) ML e) N.A.

c) LT-1

15. Sabiendo que la fuerza de sustentación del ala de un avión (F) depende de la densidad del aire (D), de la velocidad del avión (V) y del área del ala (A), hallar la fórmula que las relaciona. (K=constante numérica) a) KDV2A-1 d) KAV -2A

b) KDVA e) KAV2A2

c) KDV2A

11. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de “A” para que la ecuación sea dimensionalmente correcta? A=wsenα / m(B2+S) w=fuerza ; m=tiempo ; S=volumen a) MT -1 d) ML2T -3

Colegios

16

TRILCE

b) ML -2T -3 e) MLT -2

c) T -2

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UNIDAD II

VECTORES

D

os montañistas usan un GPS receptor el cual les indica que su hogar está a 15 km en dirección norte a 40º este, pero solo pueden dirigirse hacia el norte. Si estuvieras con ellos y debieras elegir, ¿cuán lejos y qué dirección tomarías luego para retornar al hogar?

. APRENDIZAJES ESPERADOS Comprensión de la información • Reconocer los elementos de un vector. • Realizar operaciones con vectores. • Describir las cantidades vectoriales.

Colegios

18

TRILCE

CANTIDADES FÍSICAS VECTORIALES

se clasifican

representan

Síntesis de la unidad

pueden realizar

posee

por

Vectores

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Física Razonamiento Matemático

Vectores

1

Contenido: • Introducción. • Vector. Elementos de un vector. • Igualdad de vectores. • Multiplicación de un vector por un escalar. • Adición de vectores: método del paralelogramo, casos particulares; método del polígono, caso especial: polígono cerrado. • Diferencia de vectores.

C

uando las personas realizan deportes de aventura como el montañismo, o hacen turismo de aventura practicando el trekking, en ambos casos se termina yendo a lugares desconocidos o inhóspitos, y es en estas situaciones en que resulta muy útil llevar consigo un receptor GPS que permita saber que el lugar de donde se partió, estaba, por ejemplo, a 15 km en dirección norte, 40º oeste, pero el único camino que conducía directamente hacia el norte es a través de la montaña. Si usted busca ese camino y se acercó 10 kilometros, ¿hasta qué punto y en qué dirección, entonces, tiene que caminar en línea recta hasta llegar a su casa? Diga usted, cómo este problema se resuelve para dar con las direcciones y caminos a seguir.

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Unidad II

19

Vectores

Conceptos básicos Introducción Para describir los fenómenos físicos en la naturaleza utilizamos las magnitudes físicas; algunas de ellas solo necesitan nombrarse su valor y unidad de medida, pero otras necesitan de algo más para quedar completamente definidos. Por ejemplo, si queremos indicar la velocidad de un avión en el cine, además del valor de la velocidad debemos indicar también hacia donde se dirige el avión, por ejemplo, 600 km/h hacia el norte. ¿Cuál sería la velocidad en este avión si se mueve a razón de 600 km/h hacia el norte, pero el viento sopla a razón de 450 km/h hacia el este?

Sabías que...? xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx El futuro de la NASA se llama programa Constellation y xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx tiene un triple objetivo: desarrollar la próxima generación de xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx lanzaderas, cápsulas y trajes espaciales, colonizar en el 2020 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx la Luna para hacer ciencia, explotar sus recursos y aprender xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx a sobrevivir en otro planeta; y el broche de oro: enviar xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx tripulaciones a Marte. xxxxx

Para dejar definidas completamente estas magnitudes, se les denominan cantidades físicas vectoriales y utilizan una herramienta llamada vector.

Vector

Es un instrumento matemático que sirve para representar a las cantidades físicas vectoriales. Geométricamente es un segmento de recta orientado, que posee dos elementos:

•

Módulo y Dirección.

y











lA

l x



A



Notación: se denota todo vector por una letra con una flecha sobre ella. A, B , C, ...

q

x

a, b , c, ...

Elementos de un vector Módulo Representa la “cantidad” de la magnitud que se está representando. Se puede identificar gracias al “tamaño” del vector. Se representa así: l A l ⇒ “Módulo del vector A”, también: A además, siempre será un número positivo lĀl ≥ 0 Colegios

20

TRILCE

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Física Razonamiento Matemático

Dirección Representa en forma implícita el sentido de un vector. El sentido es el lugar a donde apunta el vector y está determinado por la “cabeza flecha”.

1

En realidad, está representada por un “ángulo” formado entre la recta que contiene al vector y al eje +x medido en forma antihorario. q = representado en grados sexagesimales Colineales

Paralelos

Perpendiculares

Concurrentes

Coplanares

Clasificación de vectores

Están contenidos en una misma línea recta.

Sus direcciones son paralelas.

Sus direcciones son perpendiculares.

Sus direcciones se cortan en un punto.

Están contenidas en un mismo plano.

Igualdad de vectores Decimos que dos vectores son iguales si y solo si tienen la misma dirección y el mismo módulo.

Sabías que...? A

B

B

B

A = B A = B  B A =B B

MISA es la guitarra sin cuerdas, con pantalla táctil y basada en el sistema operativo de código abierto Linux. La nueva guitarra geek de la empresa australiana Misa Digital promete revolucionar el concepto de la música electrónica. Tiene un diseño minimalista y utiliza 24 trastes (144 botones en total). La pantalla táctil es un LCD de 8,4 pulgadas con una resolución de 800x600. Tiene salidas MIDI y Ethernet. Asimismo, utiliza un sistema de código abierto basado en Linux (Gentoo), por lo que los usuarios podrán modificar la interfaz a su gusto y contribuir a mejorar el instrumento.

Multiplicación de un vector por un escalar

Si un vector A se multiplica por una cantidad escalar positiva “m” el producto “ m A “ es un vector que posee la misma dirección A pero su módulo es “ m A ”.

• Nota: si “m” es negativo ⇒ “m” es negativo “m A ” es opuesto a A . A

mA

* m A  = m A

Adición de vectores

La adición de dos vectores o más, consiste en representar por un solo vector llamado resultante. Este vector produce el mismo efecto que todos los vectores que reemplaza.

Central: 619-8100

Unidad II

21

Vectores

Método del paralelogramo R A

φ B vector resultante El módulo de la resultante : R =

R = A + B A 2 + B 2 + 2 A B cos φ

Recuerda que... • El módulo de la resultante cumple la siguiente relación: R|mín ≤ |R| ≤ |R|máx

Casos particulares resultante A

φ=0º

R = A + B

B

Módulo Rmáx = A + B

R = A + B φ=90º

A

R =

A2 + B2

B

A

φ=180º

R = A + B

Rmín = A – B

B

Colegios

22

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Física Razonamiento Matemático

Método del polígono

1

M A

N

B

P

Ñ M A

B P

R

R R =M +N+P

R = A +B

Caso especial Polígono cerrado N

B

P M A

C

q R = M + N + P +q

R = A + B +C R =0

R =0

Diferencia de vectores

D = A - B ⇒ D= A + (-B ) -B

B

D= A + (-B )

φ A

A

A

D = A - B = B - A ∀ φ entre “A” y “B”

• Módulo del vector diferencia:

|D| =

2

2

A  -  B  - 2 A  B cos φ

Observación A

A

B

B

A

+

–

B

A

A

B

Central: 619-8100

• Se cumple:

A + B  = A - B 

B

Unidad II

23

Vectores

Síntesis de la unidad

c

Vectores Colineales

si: m > I

Si: m < 0

A

A

mA

Vectores Paralelos

Método del paralelogramo A R

mA

φ

φ mA

A

A

mA

B R = A+B

m A = m . A 

φ=0º

φ=90º

φ=180º Colegios

24

TRILCE

A

R =

A 2+ B 2+2 A B cos φ

R B |R|max= A +B A

casos particulares

R B

A

R B |R|mín =A-B www.trilce.edu.pe

Física Razonamiento Matemático

1

posee

es y

Módulo

Una herramienta matemática que sirve para representar cantidades físicas vectoriales.

A≥0

A

φ

Dirección φ

x

se clasifican Vectores Concurrentes

Vectores Coplanares

Vectores Perpendiculares

A

B

Método del triángulo

C

–B

B A

B

A

A D=A -B

C R

D

φ

D =

|A|2+|B|2 – 2|A||B|cosφ

R = A +B + C

B

A

Si: A

B

A

C R= A +B + C  R = 0

B D = A – B = B – A 

Polígono cerrado Central: 619-8100

Unidad II

25

Vectores

Aprende más... Análisis de la información

6. En el siguiente sistema vectorial, determine el módulo de la resultante.

1. Hallar el módulo de la resultante.

A

A

10u

B

120º

B

R = A + 2B ; A = 5u; B = 3u

a) 11u d) 13

b) –1 e) 1

2. Determine el módulo de la resultante.

b) 0 e) 10

7. Determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

b) 48 e) 10 2

5u

5u

c) 36

3. Si la “Rmax” de dos vectores es 14 y la “Rmin” de ellos es 2, ¿cuál es el módulo de la resultante de dichos vectores cuando son perpendiculares? a) 14 u d) 2

c) 0

4u

6u



b) 10 e) 5

12 u

10 u

a) 12 u d) 6 2

a) 20 u d) 15

c) 10

60º

a) 5 u d) 20

b) 10 e) 0

c) 15

8. En la figura, determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados. 1u

c) 10

A

1u

B

4. Según la figura, hallar: p +q ; si: p = 6; q = 3

37º

a) 1 u d) 3

23º b) 6 3 e) 3 7

a) 6 2 d) 6 7

C

p

q

c) 12 7

5. Determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

b) 2 e) 5

c) 4

9. Determine el módulo de la resultante de los vectores que se indican en el hexágono regular de lado “a”. A

B

6u 10 u

x x

C x 6u

a) 12 u d) 4

Colegios

26

TRILCE

b) 22 e) 16

E c) 2

a) a d) 6 a

D b) 2 a e) 8 a

c) 4 a

www.trilce.edu.pe

Física Razonamiento Matemático

10. Si “M” y “N” son puntos medios en cada lado del triángulo, determine el módulo de la resultante de los vectores.

M

13. Determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados, si el lado del cuadrado es 10 m.

N

10 u a) 10 u d) 0

b) 5 e) 30

a) 10 m d) 30

c) 20

11. Determine la resultante de los vectores. C A

b) B e) O

a) 60º

b) 90º

d) 180º

e) 53º

c) 0º

c) C 3u

12. Determine la resultante. F C

c) 0

15. En la figura, el módulo de la resultante es:

B

D

b) 20 e) 40

14. ¿Qué ángulo deben formar dos vectores tales que el módulo de la resultante de estos sea igual al módulo del vector diferencia de estos vectores?

a) A d) D

1

5u

53º

D G

B

a) 4 u d) 16

E

b) 6 e) 0

c) 8



A a) E d) – F

b) 2 E e) F

c) – E 18:10:45

Practica en casa 1. Si: | A |=7; | B |=15; | A + B |=20; calcule el 3. ángulo que forman A y B . a) 30º d) 60º

b) 37º e) 45º

Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. ( A = 2 u ; B = 3 u).

c) 53º

2. Se tienen dos vectores cuyos módulos son iguales a “k”. ¿Qué ángulo forman entre ellos si su resultante es de módulo “k” también? a) 45º d) 60º

Central: 619-8100

b) 30º e) 90º

c) 120º

A

60º B

a) d)

19 u 11

b) 17 e) 7

c)

13

Unidad II

27

Vectores

4. Dos vectores A y B forman 120º y su resultante con el vector A forman 30º. Calcule el módulo de la resultante (A =8 u).

a) 4 u d) 4 3

b) 8 e) 16

10. En la figura, se muestra un hexágono regular. Halle el vector resultante en términos del vector C.

c) 8 3

5. Dos vectores A y B forman 60º y su resultante forma 30º con el vector A . Calcular el módulo de B si: | A |=5m. a) 5 3 m d) 2,5

b) 5 e) 10

B D

c) 10

C

3

6. Si: A =3 ; B =5, ¿cuál es el máximo valor que toma: R =2 A +3 B ? a) 6 d) 9

E

A

b) 25 e) 24

c) 21

7. Si: B = C =2,5; calcula: A + B + C  A B

b) 2 2 C e) C

a) 2 C d) 3 C

c) 3 C

11. Determine el coseno del ángulo que forman dos vectores de igual módulo, si su resultante es la mitad de uno de ellos. a) – 1 8 d) – 1 4

b) – 5 8 e) – 7 8

c) – 5 4

12. Calcule  A – 2B para los vectores mostrados. C a) 2,5 d) 15

b) 5 e) 25

c) 7,5

40º

8. Calcular: | A +B +C +D |, siendo la figura un rectángulo de lados 8 y 3. Además, “M” y “N” son puntos medios. M

C

B

b) 7 e) 30 7

50 63

=

a) 3m d) 9

A c)

37

13. Calcule el módulo del vector resultante.

D

=



B  = 30 10º

a) d)

A

A  = 90

B

N b) 6 e) 16

10 c) 8

8º

5 2

9. Calcular: |A + B +C + D|, siendo el radio: R=5 m. 5 2 A

B 0 C

a) 5 d) 20 Colegios

28

TRILCE

b) 10 e) 25

a) 8 5 d) 10 7

D

b) 10 5 e) 5 7

c) 4 6

c) 15

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Física Razonamiento Matemático

14. Si el rombo tiene lado 8 u, determine el módulo de la resultante.

15. Determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

1

2 2

105º 15º



a) 8 u d) 16

Central: 619-8100

b) 4 e) 20

c) 16

a) 2 2 d) 7

b) 2 5 e) 10

2

c) 4 3

Unidad II

29

2

Método de descomposición rectangular

Método de descomposición rectangular Contenido: • Método de descomposición poligonal. • Características de los componentes. • Método de descomposición rectangular. • Vectores unitarios. Vectores unitarios cartesianos. Representación cartesiana de un vector.

Unidad II

Velocidad - Desplazamiento - Posición

P

ara lanzar flechas en campo abierto se necesita mucho pulso y también conocimiento del viento y peso de la flecha. ¿Cómo influye el viento, la gravedad y el peso de la flecha en el movimiento de la flecha?

Colegios

30

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Física

Conceptos básicos Método de descomposición poligonal Cuando teníamos varios vectores y los sumábamos, podíamos expresar a todos ellos por uno solo llamado “resultante”. Pero si ahora tenemos un solo vector original A este lo podemos expresar como la suma de dos o muchos más vectores. Bajo la condición de que estos vectores sean consecutivos y coincidan con el vector original del origen hasta donde se ubica su cabeza de flecha. A este proceso se le llama “descomposición”.

A A

A1

2

A2 A

A

1

3

A donde: A

= A 1 + A 2 ó

A

= A 1 + A 2 + A 3

Vector original

Componentes de vector

Sabías que...? Un pequeño gran telescopio. Desde siempre, los astrónomos han observado el Universo y tratado de observar los planetas y los objetos más brillosos y extraños que se observan en él. Desde ahora, ellos tienen una nueva herramienta: un nuevo telescopio lanzado por la NASA. Gracias a su gran potencia, este telescopio de rayos infrarrojos permitirá ver aquello que antes no se había visto. Este telescopio costó unos 350 millones de dólares y posee una cámara que toma fotos cada 11 minutos. En seis meses, aproximadamente, este tomará fotos de casi todo el Universo.

Central: 619-8100

31

Método de descomposición rectangular

Características de los componentes

• • • •

Siempre deben ser dos o más Pueden tomar cualquier dirección Deben ser siempre vectores consecutivos Pueden tomar cualquier módulo

Sabías que...? Gran tecnología viene en paquetes pequeños. Nuevos teléfonos celulares, reproductores de música y las computadoras personales se hacen más pequeños cada año, lo que significa que estos requieren componentes electrónicos aún más pequeños en el interior. Los ingenieros están buscando formas creativas para construir estos componentes, y han vuelto sus ojos al grafito, un material superdelgado que podría cambiar el futuro de la electrónica. Además de ser casi invisible, el grafito es también superfuerte. En julio, los ingenieros de la Universidad de Columbia en Nueva York demostraron que el grafeno es 200 veces más fuerte que el acero, por lo que es la sustancia más fuerte conocida en el planeta. ¡Muévete, Superman! El grafito, que se muestra aquí, también está hecho de átomos de carbono. Es uno de los más suaves minerales en el mundo y se utiliza para fabricar raquetas de tenis, las baterías y el “líder” en su lápiz.

Método de descomposición rectangular y

y

A

φ

Ay

x

x Ax A  =

Ax + Ay componentes rectangulares

A x= A cosφ

Colegios

32

TRILCE

A y= A senφ

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Física Razonamiento Matemático

2

1. Deben ser perpendiculares entre sí. Características de los componentes rectangulares

2. Sus módulos siempre serán menores que el vector original.

Recuerda que... Si se conocen los componentes rectangulares de un vector, entonces se puede conocer su dirección. Tgφ =

Ay Ax

donde “φ” es la dirección del vector

* “A x”, “A y” son los componentes rectangulares.

Vectores unitarios Es usado para indicar la dirección de un vector, su módulo es la unidad.

m

m: Vector unitario

EJEMPLO

1

A

m = 1

A = 4m

Módulo del vector “A”

•

La fórmula general será:

“

Central: 619-8100

A =A . m

A

” vector unitario paralelo al vector

mA =

A | |

EJEMPLO

Vector unitario

o vector unitario de

Unidad II

33

Método de descomposición rectangular

Propiedad ⇒ mA = mB

// B

Si: A

A

A = B A  B 

B

Vectores unitarios cartesianos Ubican la dirección en cada eje cartesiano.

–

x

EJEMPLO

–

y

A

•



indica dirección “x” positivo

•

–

indica dirección “x” negativo

Escribir como función de vectores unitarios los vectores mostrados: A =4

D

B

B =5j

C

C = -2 Î

x

D = -3 jÎ

EJEMPLO

y

Representación cartesiana de un vector y y2 y1

M(x2; y2) φ N (x1; y1) x1 x2

A φ

x

y2 – y1

x2 – x1

A = NM punto final punto inicio entonces: A = NM Colegios

34

TRILCE

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Física Razonamiento Matemático

A =NM = ( x2; y2) – ( x1; y1)

2

Expresión cartesiana

A = (x2 – x1), (y2 – y1)

Usando los vectores unitarios:

A = ( x2 – x1) + (y2 – y1)j

A  = (x2 - x1)2 + (y2 – y1)2

Para conocer el módulo

tg φ =

y2 - y1 x2 - x1

y 12

x = (8; 12) - (2; 4)

x

x = (6; 8)

4 x = 62 + 82 2

8

En función de vectores unitarios

Central: 619-8100

x

x = 10

EJEMPLO

EJEMPLO

Para conocer la dirección

x = 6 i + 8 j

Unidad II

35

Colegios

36

TRILCE

x1

a

p

x2

b

x

b( x2; y2 )

a( x1; y1 )

p = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

p = [(x2 – x1); (y2 – y1)]

p =(x2; y2) – (x1; y1)

p = ab

y1

y2

y

Forma cartesiana

usando

Síntesis de la unidad

a

c x

c =a i+b j

b

y

 = j =1

j

Vectores unitarios

A

y

Ax

A y = A . senφ

A x = A . cosφ

x

Ay

A = A x + A y

Componente

y

Descomposición rectangular

se pueden

x

usando

A1

A1

A = A 1+ A 2

A1 y A2: componentes

A2

A

usando Descomposición poligonal

A

A2

Método de descomposición rectangular

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Física Razonamiento Matemático

2

Aprende más... Análisis de la información 1. Determine el módulo de las componentes rectangulares del vector: B=10 u.



a) 9 u d) 9 2

b) 0 e) 2

c) 18

5. Determine la dirección de la resultante.

B

5u 127º

a) |B x|=3u |B y|=4u

b) |B x|=6u |B y|=8u

d) |B x|=-3u |B y|=-4u

e) |B x|=6u |B y|=8u

C  = 18 u 60°

a) 18 u d) 6

b) 9 e) 18 3

a) 45º d) 16º

b) 37º e) 53º

6. Dados los vectores: A = 4i + 6j y B = 3i - 2j, la dirección del vector (A +3B ) es:

a) 0º d) 180º

b) 90º e) 45º

30 u 100 u a) 10 u d) 40

10 u 37º 8 2u

c) 6

A 53º

Central: 619-8100

37º C

5u

53º 9 2 u

c) 30

B

4. Determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados. 5u

b) 20 e) 50

8. El módulo de la resultante es 2 2 u. Calcular el vector C . ( A =B =10 u).

45º

b) 4 e) 10

c) 270º

F

c) 9 3

3. Determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

a) 2 u d) 8

c) 225º

7. Calcule “F” sabiendo que la resultante del sistema es 60 verticalmente hacia abajo.

C

6 2u

2. Determine el módulo de la componente horizontal del vector C.

1

45

c) |B x|=-6u |B y|=-8u

12 u



a) 6 j d) -12 j

b) -6 j e) 2 j

c) 12 j

45

Unidad II

37

Método de descomposición rectangular

9. Determine el módulo de la resultante.

13. Determine el módulo de la resultante.

40 u 30º

1

37º

20 u

1

37º

30º 40 u a) 100 u d) 60

5 2u

5u

5u

b) 0 e) 50

c) 40

10. Determine los módulos de

A y

B , si la

resultante de los vectores es nula y  C =35u. B

a) 2 d) 4 5

b) 2 5 e) 2 7

14. Determine el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados. 1u

A 45º

c) 4

1u

37º

C

a) 25; 20 2 u d) 50; 40 2

b) 30;30 2 e) 50;30 2

c) 50; 20 2

11. Si la resultante es nula, hallar el valor de “q”.

a) 2 u d) 1

b) e)

5 2

c) 3

15. Determine el módulo de la resultante.

30

q q

6 60º

10

60

a) 10º d) 40º

b) 20º e) 30º

c) 25º

a) 7 d) 16

b) 14 e) 24

c) 21

12. Hallar: A + B - C 10 u B

C a) 10 u d) -20

Colegios

38

TRILCE

A

60º

10 u

30º 10 u

b) -10 e) 0

c) 20

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Física Razonamiento Matemático 18:10:45

2

Practica en casa 1. Determine la componente vertical del vector A . 15 u A

6. Determine la resultante de los vectores. x B

8

A

(1,4) u

53º 12

a) 9 u d) -12

b) 12 e) 10

c) -9

53º 15 u

a) -12 i d) 6

2. Determinar el módulo de la resultante. 4 2u

c) -20 i

b) 15 e) 19 i

7. Determine el vector A si la resultante es cero.

45º

A

37º 37º

5u

a) 7 d) 5

b) 0 e) 12

c) 8



3. Determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados. 15 u

10 u



a) 7 i - 11 u d) -8 i +11

5u

b) -7 i +11 c) 8 i - 11 e) 8 i + 11

8. Calcule el módulo de la resultante. 37º

45º

1u

25 u

10 2 u a) 10 u d) 20 2

1u

b) 15 e) 20

c) 10 2 a) 1 u d) 3

4. Dados los vectores: A =4 i – 5 ; B = – i+2 determine la resultante. a) 3 i + d) 3 i - 3

b) 3 i +3 e) -3 i +3

c) -3 i -3

-5

Central: 619-8100

5

4u

15 u 53º -14 u

a) 4 i d) 6 i

c)

9. Determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

5. Determine la resultante de los vectores. 2

b) 2 e) 7

b) -4 i e) 7 i

c) 2 i

a) 4 u d) 12

b) 6 e) 16

c) 8

Unidad II

39

2

Método de descomposición rectangular

10. Determine el módulo de la resultante, si es mínima.

13. Si la resultante es horizontal, determine | A |.

5u

αº

37º

45º

αº

12u

αº

5u a) 5 2 u d) 5 2 -5

A

6 2u

5u

b) 5 e) 10 2 -5

c) 5 2 +5

11. Determine el módulo de la resultante.

a) 6 u d) 12

b) 8 e) 18

14. Determine el módulo de la resultante de los vectores: A =( 2; 7 ) ∧ B = – (6 i +3 ) a) 5 d) 5 2

1u 1u

c) 10

b) 3 2 e) 4 2

c) 4

15. Determine el módulo de la resultante, si: |A B |=12; |CD |=18 a) 4 u d) 23

b) 7 e) 2 5

c)

A

11

12. Determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

C

D a) 15 d) 60

B

b) 30 e) 75

c) 45

6u



a) 6 u d) 15

Colegios

40

TRILCE

6u b) 9 e) 18

c) 12

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UNIDAD III

CINEMÁTICA

M

oviéndonos a una gran velocidad. Este medio de transporte masivo logra mantener el Récord Guiness de velocidad de trenes con 681 km/h desde diciembre de 2003 en Japón. Su performance se debe a su tecnología maglev que posee y le permite alcanzar esa gran velocidad. Si dos trenes maglev se cruzan en direcciones opuestas a sus máximas velocidades, ¿cómo verá un pasajero de un tren pasar al otro tren?, ¿cuál sería la velocidad de uno de ellos con respecto del otro y cuánto tiempo demoran en cruzarse ambos trenes?

. APRENDIZAJES ESPERADOS Comprensión de la información • Explicar el concepto de movimiento, posición, sistema de referencia y velocidad. • Analizar las fórmulas del MRU, MRUV, MVCL. • Evaluar situaciones donde se da el MRU, MRUV, MVCL. • Reconocer las ecuaciones de los movimientos en dos dimensiones: Movimiento compuesto y Movimiento circular.

Colegios

42

TRILCE

se clasifica según su estudia al

Síntesis de la unidad

pueden ser

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

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Física Razonamiento Matemático

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

1

Contenido: • Cinemática: Movimiento mecánico, elementos del movimiento. Velocidad. • MRU: Tipos de rapidez comunes en la naturaleza. Unidades de medida.

Moviéndonos a una gran velocidad

E

ste medio de transporte masivo logra mantener el Récord Guiness de velocidad de trenes con 681km/h desde diciembre de 2003 en Japón. Su performance se debe a su tecnología Maglev que posee y le permite alcanzar esa gran velocidad. Si dos trenes maglev se cruzan en direcciones opuestas a sus máximas velocidades, ¿cómo verá un pasajero de un tren pasar al otro tren?, ¿cuál sería la velocidad de uno de ellos con respecto del otro y cuánto tiempo demoran en cruzarse ambos trenes?

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Unidad III

43

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

Conceptos básicos Cinemática Es la parte de la Física que se encarga de estudiar al movimiento, sin importar sus causas.

Movimiento mecánico Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo con respecto de otro.

Elementos del movimiento

A

• Sistema de referencia • Móvil • Trayectoria • Vector posición

z

• Desplazamiento

B x

•Distancia recorrida

y

Velocidad Es la rapidez con la cual un móvil cambia de posición en un intervalo de tiempo. 15 12 m/s 12 m

MRU El movimiento rectilíneo uniforme como su propio nombre lo indica es el movimiento más sencillo de todos, pues en este, el móvil u objeto en movimiento describe en su trayectoria una línea recta (dirección constante) y mantiene siempre una misma rapidez. A esto lo denominamos movimiento a velocidad constante, en este caso tanto la velocidad media y velocidad instantánea vienen a ser la misma, por esta razón en este capítulo hablaremos de velocidad simplemente, sin especificar. Lo mismo ocurre entre el módulo del desplazamiento y la distancia recorrida que también coinciden. En el caso del M.R.U. (movimiento rectilíneo uniforme) se da una proporcionalidad entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido, cumpliéndose que para tiempos iguales las distancias recorridas deben ser iguales. En el M.R.U. la velocidad viene a ser lo que el móvil avanza por cada segundo, por cada hora, etc. Normalmente, la unidad para la velocidad es m/s (metros recorridos por cada segundo). Velocidad= 4 m s

Colegios

44

TRILCE

1s

1s

2s

4m

4m

8m

4s

16m

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Física Razonamiento Matemático

1

Sabías que...? Usain Bolt, nuevo récord del mundo. Usain Bolt se convirtió en leyenda viva con solo 22 años y rompió los límites de la velocidad humana al proclamarse campeón mundial de 100 metros en 9,58 segundos, once centésimas por debajo de su plusmarca anterior. Destaca de los demás atletas por su físico, pues posee una altura de 1,96'm y un peso de 86 kg. Ostenta actualmente las plusmarcas mundiales de los 100 m lisos, con una marca de 9,58 s conseguida el 16 de agosto de 2009.

En general:

t

v

v v= d t

d v : rapidez



d : distancia recorrida



t : tiempo transcurrido

Unidades: d

m

km

cm

t

s

h

s

v

m/s

km/h

cm/s

Equivalencias: 1km = 1000 cm

1h

= 60 minutos

1m = 100 cm

1 min= 60 segundos

1cm = 10 mm

1h

= 3600 segundos

Conversión de velocidades: a) De : km a m s h •

18 km × 5 = 5 m s 18 h

•

36 km × 5 = 10 m s 18 h

a km b) De : m s h •

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× 18 = 72 km 20 m s h 5

km • 30 m × 18 = 108 h 5 s Unidad III

45

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

Sabías que...? El transporte de levitación magnética o Maglev, es un sistema de transporte que suspende, guía y propulsa vehículos, principalmente trenes, utilizando un gran número de imanes para la sustentación y la propulsión, usando levitación magnética. Este método tiene el potencial de ser más rápido, silencioso y suave que los sistemas de transporte colectivo sobre ruedas. La tecnología tiene el potencial de superar 6400 km/h (4000 mph) si se despliega en un túnel al vacío.

Tipos de rapidez comunes en la naturaleza

Móvil

Móvil

m/s

m/s

Caracol

0,0014

Auto turístico

30

Tortuga

0,02

Avión turbohélice

200

Peces

1

Sonido en el aire

340

Transeúnte

1,5

Avión a reacción

550

Velocista olímpico

10,2

Bala de fusil

715

Caballo de carrera

16

Luna alrededor de la Tierra

1000

Liebre

18

Molécula de hidrógeno

1700

Tren (media)

20

Satélite artificial de la Tierra

8000

Avestruz

22

Tierra alrededor del Sol

30 000

Águila

24

Luz y ondas electromagnéticas

3×108

Observaciones importantes 1. Las unidades de la velocidad lineal son : cm / s ; m / s ; pies / s; km/ h ;....etc. 2. Cuando necesites hacer cambios de unidades : de km/h a m/s o viceversa, te recomiendo hacer lo siguiente : × 18 = km • m s 5 h

• km × 5 = m s h 18

Cuando quieras recordar las ecuaciones puedes usar d v

d=v.t

Colegios

46

TRILCE

t v=d t

t=d v

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Física Razonamiento Matemático

1

Sabías que...? Este avión no tripulado desarrollado por la NASA es el avión más veloz que existe en el mundo. Este avión supera la velocidad de 8000 km/h (Mach 9.8) cuando alcanza su altitud de 110.000 pies. La aeronave experimental como lo indica su “x”, es no tripulada, lo que significa que no es piloteado por personas en su interior.

Unidades de medida

Cantidad física

Unidad

d

Distancia recorrida

m

metro

v

Rapidez

m/s

metro por segundo

t

Tiempo

s

segundo

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Unidad III

47

Colegios

48

TRILCE

3. Recorre distancias iguales en tiempos iguales.

2. Su velocidad es constante en módulo y dirección.

1. Su trayectoria es una línea recta.

Características

Aquel movimiento que tiene como trayectoria una línea recta, sobre el cual el móvil se caracteriza por mantener su velocidad constante.

Síntesis de la unidad

posee

es

sus ecuaciones

se representa

d

v d

t v d

t v d

t

xI

t

x x f = x + v . t

t = dv

v

v

d

v (–) ⇒ movimiento hacia la izquierda.

v (+) ⇒ movimiento hacia la derecha.

Recordar:

Ecuación de movimiento

d=v.t

v= d t

t

Para tiempos iguales, el móvil recorre distancias iguales.

v

t v

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

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Física Razonamiento Matemático

1

Aprende más... Análisis de la información

9. Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimiento en: x=12 m y luego de 8 s está en: 1. Un avión supersónico tiene una rapidez de x=+28 m. Calcula su rapidez. 420 m/s. Si logra desplazarse durante 5 s, ¿qué a) 2 m/s b) 4 c) 5 distancia logra recorrer? d) 6 e) 7 a) 800 m b) 900 c) 1200 10. Dos móviles parten de un punto “A” en direcd) 1000 e) 2100 ciones perpendiculares con rapidez constante 2. Un auto recorre 200 m en 25 s. Determine la de 6 m/s y 8 m/s, respectivamente. Determinar rapidez del auto. al cabo de qué tiempo se encontrarán separados 100 m. a) 8 m/s b) 10 c) 12 a) 5 s b) 6 c) 8 d) 6 e) 9 d) 10 e) 12 3. Un móvil recorre cierta distancia a una rapidez constante “V” durante 8 s. ¿Qué tiempo utilizará 11. ¿Cuánto tiempo demora un tren de 80 m de longitud, que viaja a una rapidez de 72 km/h, en si la rapidez se duplica para recorrer la misma pasar por un túnel de 400 m de largo? distancia? a) 3 s d) 4

b) 2 e) 16

c) 1



a) 36 s d) 24

b) 42 c) 18 e) 50

4. Dos móviles “A” y “B” parten de un mismo 12. Un auto viaja con rapidez constante de 36 km/h alejándose de un muro. En un instante punto con rapidez de 4 m/s y 7 m/s en la misma determinado el conductor hace sonar la bocina dirección. Determine la distancia que los separa y escucha el eco luego de 10 s. ¿A qué distancia luego de un minuto. del muro se encontraba el auto cuando hizo a) 120 m b) 160 c) 140 sonar la bocina? d) 180 e) 240 (Vsonido del aire = 340 m/s). 5. Una persona emite un grito desde cierto lugar. a) 300 m b) 120 c) 80 Otra persona lo escucha a los 2 s de emitido el d) 20 e) 1650 grito. Determine la distancia que separa a las 13. Dos trenes, cuyas longitudes son 120 m y 90'm, dos personas. (Vsonido=340 m/s) viajan por vías paralelas en direcciones contraa) 340 m b) 170 c) 510 rias, con una rapidez de 72 km/h y 54'km/h, d) 680 e) 85 respectivamente. ¿Cuánto tiempo emplearán en cruzarse totalmente? 6. Un hombre emite un sonido frente a un muro. Si logra escuchar el eco al cabo de 3 s, determine a qué distancia se encuentra el muro.



a) 3 s d) 6

b) 4 e) 8

c) 5

14. Una persona que se encuentra delante de una pared, hace un disparo y luego de 2 s escucha el impacto. Pero si hubiera estado 102 m más 7. Un cazador se encuentra a 170 m de un cerca en la pared, ¿después de qué tiempo escu“blanco” y efectúa un disparo saliendo la bala charía el impacto? Rapidez del sonido=340'm/s. con 85 m/s (velocidad constante). ¿Después de Rapidez de la bala=85 m/s qué tiempo escuchará el impacto de la bala? a) 0,2 s b) 0,4 c) 0,5 a) 2,5 s b) 3 c) 4 d) 0,8 e) 0,9 d) 5,5 e) 1,5 15. Una persona de 1,7 m de estatura va corriendo 8. Un tren de pasajeros viaja a razón de 72 km/h con una rapidez constante de 3 m/s y pasa junto y tiene una longitud de 100 m. ¿Qué tiempo a un poste de 3,2 m. Hallar la rapidez de su demorará el tren en cruzar un túnel de 200 m? sombra en el piso (m/s).

a) 170 m d) 510

b) 340 e) 680

c) 85

a) 10 s d) 25

b) 15 e) 30

c) 20

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a) 3,2 d) 6,4

b) 3,6 e) 7,2

c) 4,8

Unidad III

49

1

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) 18:10:45

Practica en casa 1. Un avión supersónico tiene una rapidez de 240 m/s. Si logra desplazarse durante 5 s, ¿qué distancia logra recorrer?

a) 3 m/s d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

10. Dos móviles parten simultáneamente de un punto “A” en la misma dirección y se desplazan rectilíneamente. A los 40 s de la partida equidistan de un punto “B”. Hallar la distancia AB, 2. Un auto recorre 150 m en 15 s. Determine la si los dos móviles se desplazan con una rapidez rapidez del auto. constante que suma 50 m/s.



a) 800 m d) 1000

b) 900 e) 2100

c) 1200



a) 8 m/s d) 6

b) 10 e) 9

c) 12

a) 1000 m d) 2500

b) 1500 e) 4000

c) 2000

3. Un móvil recorre cierta distancia a una rapidez 11. ¿Cuánto tiempo demora un tren de 180 m de constante “V” durante 18 s. ¿Qué tiempo utililongitud que viaja a una rapidez de 72 km/h en zará si la rapidez se triplica para recorrer la pasar por un túnel de 300 m de largo? misma distancia? a) 36 s b) 42 c) 18 a) 3 s b) 2 c) 1 d) 24 e) 50 d) 4 e) 6 12. Un tren que se desplaza con velocidad constante 4. Dos móviles “A” y “B” parten de un mismo cruza un túnel de 120 m en 8 s. Si una persona punto con una rapidez de 5 m/s y 9 m/s en la sentada al lado de una de las ventanas del misma dirección. Determine la distancia que tren nota que permanece 4 s dentro del túnel, los separa luego de 2 minutos. determine la longitud del tren.

a) 120 m d) 480

b) 460 e) 240

c) 140



a) 120 m d) 110

b) 180 e) 240

c) 200

5. Una persona emite un grito desde cierto lugar. 13. Una persona al encontrarse a orillas del mar, Otra persona lo escucha a los 3 s de emitido el se percata de que mar adentro se produjo una grito. Determine la distancia que separa a las explosión y reconoce que la diferencia de los dos personas (Vsonido = 340 m/s). tiempos de llegada de los sonidos por el aire y por el agua es de 11 s. ¿A qué distancia de la a) 340 m b) 170 c) 510 persona se produjo la explosión, si la rapidez d) 680 e) 1020 del sonido en el aire y el agua es de 340 m/s y 1440 m/s, respectivamente? 6. Un hombre emite un sonido frente a un muro. Si logra escuchar el eco al cabo de 4 s, determine a) 3935 m b) 3824 c) 4920 a qué distancia se encuentra el muro. d) 5100 e) 4896

a) 170 m d) 510

b) 340 e) 680

c) 85

14. Un automóvil se va alejando en línea recta y perpendicular a un muro con rapidez de 20'm/s. Si a cierta distancia de este, el conductor toca 7. Un cazador se encuentra a 340 m de un la bocina y escucha el eco después de 4's, “blanco” y efectúa un disparo saliendo la bala ¿a qué distancia del muro se encontrará el con 85 m/s (velocidad constante). ¿Después de conductor cuando escuche el eco? Considere: qué tiempo escuchará el impacto de la bala? Vsonido = 340 m/s. (Vsonido=340 m/s) a) 640 m b) 320 c) 720 a) 2,5 s b) 3 c) 4 d) 600 e) 520 d) 5 e) 1,5 15. Un estudiante se encuentra a 3 m del centro 8. Un tren de pasajeros viaja a razón de 36 km/h de una ventana de 1 m de ancho y un bus que y tiene una longitud de 100 m. ¿Qué tiempo experimenta M.R.U. se mueve por una pista demorará el tren en cruzar un túnel de 200 m? paralela a la ventana con una distancia de 87'm. Si el bus de 10 m de longitud fue observado a) 10 s b) 15 c) 20 por el estudiante durante 8 s, ¿qué valor tiene la d) 25 e) 30 rapidez del bus (en km/h)? 9. Un móvil que va con M.R.U. inicia su movi- miento en x=2m y luego de 9 s está en x=+38'm. Hallar la rapidez. Colegios

50

TRILCE

a) 10 d) 15

b) 12 e) 20

c) 18

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Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

2

Contenido: • Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. • Movimiento desacelerado o retardado. • Ecuaciones para movimiento en una línea recta bajo aceleración constante.

L

a aceleración es una magnitud presente en la partida de una carrera donde los atletas tienen que acelerar cada segundo para hacer variar su rapidez en una competencia por determinar quién es más veloz, o sea, los 100 metros planos. ¿De qué manera los zapatos de un atleta influyen en la aceleración que este experimenta?

Dragters... una emocionante diversión... pero a veces peligrosa

La aceleración que recibe el piloto se aproxima a los 8G para alcanzar los 320 km/h a los 200 m. Sumado a la brutal desaceleración en cuanto se cruza la línea de llegada, mediante dos y hasta tres paracaídas; todas estas fuerzas muchas veces causan daños físicos a los pilotos. Se ha sabido de algunos que tuvieron que retirarse de las competencias por desprendimientos de retina. ¿Cuáles son los daños físicos que sufren los pilotos cuando experimentan grandes aceleraciones?

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Unidad III

51

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Conceptos básicos Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

El movimiento de una partícula es rectilíneo, cuando su trayectoria es una recta. Si el movimiento rectilíneo tiene una aceleración constante o uniforme se dice que el movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado. Es importante tener en cuenta que si la aceleración de una partícula permanece constante, su magnitud y dirección permanecen invariables durante el movimiento. En el movimiento unidimensional, con aceleración constante, la aceleración media es igual a la aceleración instantánea, en consecuencia la velocidad aumenta o disminuye a la misma tasa durante todo el movimiento. Si la velocidad y aceleración tienen direcciones iguales, se dice que el movimiento es “acelerado”. a v

a v

Movimiento acelerado

Si la velocidad y aceleración tienen direcciones opuestas, el movimiento se denomina “retardado”. a v

a v

Movimiento desacelerado o retardado

Sabías que...? Autos partiendo: estos autos de la Fórmula 1 están partiendo acelerando todos en el comienzo de la carrera.

Sabías que...? Galileo Galilei fue un personaje que influyó en el estudio de los movimientos, siendo el primero en hablar del M.R.U.V experimentando con bolitas descendiendo en planos inclinados.

Colegios

52

TRILCE

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Física Razonamiento Matemático

Movimiento desacelerado o retardado

2

a = 4,0 i m/s2

v1 = 24 m/s i

v0 = 28 m/s i

v2 = 20 m/s i

t 2= 2 s

t 1= 1 s

t 0= 0 s

v3 = 16 m/s i

t 3= 3 s

Ecuaciones para movimiento en una línea recta bajo aceleración constante Cuando la aceleración es constante, la posición “xf” y la velocidad “v” en cualquier instante “tf=t” se relacionan con la aceleración “a”, la posición inicial “xi” y la velocidad inicial “vi” ( ambas en: ti= 0 ). a vi

ti

xi 0 Por las ecuaciones :

vf

tf

xf

origen

vf = vi + a t ( solo con aceleración constante ) xf - xi = vit + 1 at 2 ( solo con aceleración constante ) 2 xf - xi = 1 ( vf + vi ) t ( solo con aceleración constante ) 2 vf2 = vi2 + 2a ( xf - xi ) ( solo con aceleración constante ) Nota : El movimiento es a lo largo del eje “x”. * Otra forma muy conocida de escribir las ecuaciones es “ecuaciones escalares”.

Sabías que...? El despegue de un trasbordador espacial alcanza una aceleración de 8G en el lanzamiento.

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Unidad III

53

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Sabías que...? Acelerador lineal de Stanford. Este acelerador de partículas alcanza a acelerar protones de tal manera que alcanzan la velocidad de la luz.

a ti

vi

tf

vf

d d = vit ! 1 a t2 2 vf= vi ! a t vf2= vi2 ! 2 a d d = vi ! v f t 2

Donde : (+) Movimiento acelerado ( - ) Movimiento retardado



Para utilizar estas ecuaciones, se necesitan como mínimo “tres datos”. a 1s

1s

1s

1s

vi

d1˚

d2˚

d3˚

dn˚

dnº = vi ! 1 a ( 2n - 1) 2 Cuidado:

•

El hecho de que un objeto esté en la posición correspondiente a: x=0, no implica que su velocidad o su aceleración sea cero.



•

En determinado instante, la partícula puede tener una velocidad nula y, sin embargo, puede experimentar una aceleración diferente de cero o igual a cero.

Colegios

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TRILCE

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2

Síntesis teórica

Características

Aceleración

1. En este movimiento, su trayectoria es rectilínea.

Es una cantidad física vectorial que mide la rapidez del cambio de velocidad de un cuerpo en un intervalo de tiempo.

2. Posee una aceleración “a” constante en módulo y dirección.

vi

a t

d1

t

vi

v -v a= f i = Dv Dt Dt

Movimiento acelerado t

d2

vf

a

v

Movimiento desacelerado

a

v

vf > vi

d3

a

vf < vi

Ecuación de posición vi

a

vf

x

x = x i + v it + 1at2 2

x

a

v1=0

1º

2º

3º

1s

1s

1s

k

3k

5k

d= vi . t ! 1 .a.t2 2

dn= k , 3k , 5k , 7k , 9k

( vi +vf ) . t 2

k= a 2

d=

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Unidad III

55

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Aprende más... Análisis de la información 1. Un móvil con MRUV parte con cierta rapidez y acelera a razón de 5 m/s2. Si al cabo de 6 s su rapidez es 40 m/s, hallar con qué rapidez partió. a) 5 m/s d) 20

b) 10 e) 25

c) 15

2. Un coche con MRUV incrementa su rapidez desde 50 m/s hasta 80 m/s durante 15 s. ¿Cuál es el valor de su aceleración en m/s2? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

3. Un móvil parte con rapidez de 6 m/s recorriendo una distancia de 20 m y con una aceleración de 4'm/s². Calcular el tiempo transcurrido. a) 1 s d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

4. Calcular la distancia que recorre un móvil con MRUV, si parte con una rapidez de 10 m/s logrando cuadruplicar esta rapidez en 12 s. a) 150 m d) 400

b) 200 e) 500



b) 0,035 e) Ninguna

c) 0,075

6. Un móvil que tiene MRUV se mueve en el eje “x” con la siguiente ley: x = 8+3t +5t2, donde “t” se mide en segundos y “x” en metros. Determinar la posición del móvil en el instante t = 10 s.

a) x=500 m d) x=538 m

b) x=38 m e) x=438 m

c) x=350 m

a) 162 m d) 232

b) 192 e) 300

c) 200

8. Un móvil MRUV parte con una rapidez de 2'm/s, variando su rapidez en 16 m/s cada Colegios

56

TRILCE

a) 5 m d) 22

b) 8 e) 30

c) 20

9. Un móvil MRUV parte desde el reposo variando su velocidad en 20 m/s cada 4 s. Calcular la distancia recorrida en el octavo segundo de su movimiento.

a) 45 m d) 37,5

b) 8 e) 30

c) 20

11. Un auto parte del reposo con MRUV y recorre en el séptimo segundo 39 m. ¿Qué distancia recorrerá en el décimo segundo?

a) 45 m d) 57

b) 38 e) 50

c) 29

12. Dos móviles “A” y “B” separados 16 m como muestra la figura parten en el mismo instante y en el mismo sentido. “A” con una rapidez constante de 8 m/s y “B” desde el reposo con aceleración constante. Hallar la máxima aceleración de este, para que el móvil “A” pueda alcanzarlo. A

V=0

B

16 m

a) 1 m/s2 d) 8

b) 2 e) Ninguna

c) 4

13. Un cuerpo parte del reposo con MRUV y avanza 54 m en los 6 primeros segundos. ¿Cuánto avanza en los 4 s siguientes?

a) 82 m d) 54

b) 96 e) 150

c) 100

14. Un automóvil lleva una rapidez de 25 m/s y frena uniformemente deteniéndose luego de recorrer 50 m. ¿Qué rapidez tenía 18 m antes de llegar al reposo?

7. Una partícula con MRUV en el instante: t = 2 s, tiene una rapidez de 14 m/s y en el instante t=5 s su rapidez es de 29 m/s. Determinar la distancia recorrida por la partícula desde el instante: t = 0, hasta el instante: t = 8 s.



c) 300

5. Los extremos de un tren de 300 m de longitud pasan por el costado de un poste de luz con rapideces de 6 m/s y 9 m/s, respectivamente. Determinar la aceleración del tren. a) 0,025 m/s2 d) 0,098

4's. Calcular la distancia recorrida en el quinto segundo de su movimiento.

a) 18 m/s d) 15

b) 17 e) 11

c) 21

15. Un automóvil que inicialmente se encuentra en reposo sale con aceleración constante a = 1 m/s2 en línea recta alejándose de una montaña. En el instante que sale, el chofer toca la bocina y cuando ha recorrido 18 m percibe el eco. Hallar la distancia de separación inicial entre el auto y la montaña. (Rapidez del sonido en el aire: 340 m/s. a) 1011 m d) 1044

b) 1022 e) Ninguna

c) 1033

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Física Razonamiento Matemático 18:10:45

2

Practica en casa 1. Un móvil con MRUV parte con cierta rapidez y acelera a razón de 3,5 m/s2. Si al cabo de 6 s su rapidez es 40 m/s, hallar con qué rapidez partió.

a ) 5 m/s d) 20

b) 10 e) 19

c) 15

2. Un coche con MRUV incrementa su rapidez desde 20 m/s hasta 80 m/s durante 15 s. ¿Cuál es el valor de su aceleración en m/s²? a) 1 m/s2 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

3. Un bus con MRUV parte con una rapidez de 13'm/s y acelera durante 4 s con una aceleración de 6 m/s2. ¿Qué distancia recorre en ese tiempo?

a) 80 m d) 66

b) 60 e) 100

c) 88

4. Un auto parte con rapidez de 108 km/h y aceleración de 5 m/s2. ¿Qué rapidez en m/s tendrá luego de 6 s?

a) 60 m/s d) 50

b) 30 e) 18

c) 20

5. Un auto parte del reposo y se mueve con MRUV cambiando la velocidad a razón de 40 m/s cada 5 segundos. Calcular la distancia que recorre después de 10 s. a) 100 m d) 300

b) 200 e) 400

c) 150

6. Una partícula con MRUV en el instante: t=1's tiene una rapidez de 14 m/s y en ese instante t=6's su rapidez es de 39 m/s. Determinar la distancia recorrida por la partícula desde el instante: t = 0, hasta el instante: t=8 s. a) 160 m d) 232

b) 192 e) Ninguna

c) 200

8. Un móvil que tiene MRUV partiendo del reposo alcanza en 5 segundos la rapidez de 20 m/s. ¿Qué distancia recorre en el quinto segundo de su movimiento?

a) 5 m d) 18

b) 10 e) 20

c) 16

9. Un móvil que tiene MRUV sale del reposo con aceleración de 2 m/s². ¿Cuántos metros recorre en el enésimo segundo de su movimiento?

Central: 619-8100



a) 2n+1 d) 2n –1

b) 2n+3 e) n2+1

c) 4n – 1

10. Un auto que tiene MRUV sale del reposo. En el noveno segundo recorre 51 m de distancia. ¿Qué distancia recorre en el doceavo segundo de su movimiento?

a) 59 m d) 89

b) 69 e) 99

c) 79

11. Un auto que tiene MRUV recorre 34 m en el noveno segundo de su movimiento. Calcular el módulo de su aceleración, si partió del reposo. a) 1 m/s2 d) 4

b) 20 e) 5

c) 3

12. Un auto que describe un MRUV, para triplicar su rapidez, recorre una distancia de 80 m y demora para esto 5 s. Determinar el módulo de la aceleración del auto?

a) 6,4 m/s² d) 1,6

b) 12,8 e) 0,8

c) 3,2

13. Un esquiador inicia su movimiento realizando MRUV. Si recorre la segunda mitad de su trayecto empleado 10 s, determine el tiempo empleado en la primera mitad de su recorrido. a) 10 s d) 5

b) 10( 2 -1) e) 5(1+ 2 )

c) 10(1+ 2 )

14. Un automóvil inicia su movimiento con aceleración constante de módulo 2,5 m/s2. Si luego de cierto tiempo empieza a disminuir su rapidez a razón de 5 m/s2 hasta que se detiene y el tiempo total empleado del automóvil fue de un minuto, determine su recorrido y el tiempo durante el cual estuvo aumentando su rapidez.

a) 2000 m; 40 s c) 1000 m; 40 s e) 3000 m; 40 s

b) 3000 m; 20 s d) 1000 m; 20 s

15. Dos partículas “P” y “Q” se mueven sobre el eje “x” con velocidades constante de +30'm/s y –12'm/s, respectivamente. Cuando dichas partículas pasan por las posiciones: xP=–120 m y xQ=+180 m, la partícula “P” adquiere una aceleración constante de –3 m/s2. ¿Qué distancia separará las partículas cuando tengan la misma velocidad?

a) 3 m d) 11

b) 6 e) 12

c) 9

Unidad III

57

3

Caída libre

Caída libre Contenido: • Antecedentes. Características. Caída libre vertical. Tiempo de vuelo. Altura máxima. • Ecuaciones escalares. Ecuaciones vectoriales. • Desplazamiento vertical. • Números de Galileo.

ACELERACIÓN en caída libre… para detener el corazón

P

ara detener el corazón, es experimentar una caída libre en el Demon Droop del parque de diversiones de Cedar Point en USA, donde los más entusiastas dicen que es un grandioso poder experimentar esos cambios de velocidad durante la caída de más de 30 metros de altura. Las caídas duran apenas unos 4 segundos hasta que alcanzan la base de la atracción.

Existen otras atracciones en USA, como el Supreme Scream donde no es propiamente una caída libre, pero los pasajeros experimentan una aceleración cercana al doble de la aceleración de la gravedad, realizándose una caída de 77 m y alcanzando una velocidad de 88 km/h, aproximadamente. •

Colegios

58

En una caída libre se experimenta mucha adrenalina. Busca qué otras diversiones el hombre utiliza para experimentar dichas sensaciones.

TRILCE

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Física

Conceptos básicos El ejemplo más conocido de movimiento con aceleración (casi) constante, es la caída de un cuerpo bajo la influencia de la atracción gravitacional de la Tierra. Esto ha interesado a filósofos y científicos desde la antig edad. En el siglo IV a.C., Aristóteles pensaba (erróneamente) que los objetos pesados caían con mayor rapidez que los ligeros en proporción a su peso. Diecinueve siglos después, Galileo aseguró que un cuerpo caía con una aceleración constante e independiente de su peso. Es bastante conocido que todos los objetos, cuando se sueltan, caen hacia tierra con aceleración casi constante. Hay una leyenda según la cual, fue Galileo quien descubrió este hecho al observar que dos diferentes pesas, dejadas caer, simultáneamente, desde la inclinada Torre de Pisa, golpeaban el suelo casi al mismo tiempo. Si bien hay cierta duda de que este particular experimento se llevó a cabo, está perfectamente establecido que Galileo efectuó muchos experimentos sistemáticos con objetos que se movían sobre planos inclinados. Tal vez el lector desee intentar el siguiente experimento: deje caer una moneda y un pedazo de papel apretado con la mano, simultáneamente, desde la misma altura. Como no hay resistencia del aire, ambos experimentarán el mismo movimiento y llegarán al suelo al mismo tiempo. En un experimento real (no ideal), la resistencia del aire no puede ignorarse. En el caso idealizado, donde se desprecia la resistencia del aire, dicho movimiento se conoce como caída libre. Si este mismo experimento se llevara a cabo en un buen vacío, donde la fricción del aire es despreciable, el papel y la moneda caerían con la misma aceleración, sin que importe la forma del papel. El 2 de agosto de 1971, el astronauta David Scott realizó un experimento de estas características en la Luna (donde la resistencia del aire es despreciable). Simultáneamente, soltó un martillo de geólogo y la pluma de un halcón, que hicieron contacto con la superficie lunar al mismo tiempo. ¡Esta demostración hubiera complacido a Galileo! Los logros de Galileo en la ciencia de la mecánica prepararon el camino para que Newton desarrollara sus leyes del movimiento.

Características

La caída de los cuerpos se ha estudiado con gran precisión.

* Si puede ignorarse el efecto del aire, Galileo está en lo cierto, todos los cuerpos en un lugar específico caen con la misma aceleración, sea cual sea su tamaño o peso.



* Si la distancia de caída es pequeña, en comparación con el radio terrestre, la aceleración es constante.

Caída libre vertical

v4

g v3 tsubir

v5

tbajar

* tsubir = tbajar (tiempo) * v1 ≠ v7 ; v2 ≠ v6 ; v3 ≠ v5 (velocidad) * v1 = v7 ; v2 = v6 ; v3 = v5 (rapidez)

v2

v1

Central: 619-8100

v6

* v4 = 0 (altura máxima)

v7

Unidad III

59

Caída libre

Sabías que...? El 16 de agosto de 1960, Kittinger realizó el último salto desde el Excelsior'III a 31 330 m utilizando un pequeño parafrenos para estabilizarse. Cayó durante 4 minutos y 36 segundos, alcanzando una velocidad máxima de 988 km/h antes de abrir su paracaídas a 4270 m.

Tiempo de vuelo

Altura máxima V=0

g

2

tmáx = Vi 2g

2v tvuelo = i g

Hmáx

tsubir = vi g

vi

vi

Sabías que...? El Perú posee una agencia espacial denominada CONIDA, la cual el 26 de diciembre del 2006 a las 15:13 horas y desde su base de lanzamiento en Punta Lobos, Pucusana (60 kilómetros al sur de Lima) lanzó el cohete sonda Paulet I, el cual se constituye en el primero desarrollado y construido por personal peruano y que ha significado para el Perú incorporarse al ámbito espacial regional y a la era de la conquista espacial.

Sabías que...? La estación espacial internacional ISS proporciona un ambiente ideal para experimentar debido a su microgravedad.

Ecuaciones escalares vf

vi h t

g g

h

t vi

Colegios

60

TRILCE

Vf = V i ± g t Vf2 = Vi2 ± 2 g t h = Vi + Vf t 2

vf Baja (+)

h = V it ± 1 g t 2 2

Sube ( - )

hn = Vi + 1 (2n - 1) ˚ 2

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Física Razonamiento Matemático

Ecuaciones vectoriales g

3

1 ∆y = vit + g t2 2

vf

vf = vi + g t ∆y vi

yf yi

Desplazamiento vertical g

g

Ay (+j )

vi

Ay ( - j )

Aceleración

Velocidad V (+j )

vi

V( - j )

g (+j )

g (-j)

Números de Galileo Lo que es notable en el caso de Galileo, es que avanzó mucho más que las observaciones cualitativas o semicuantitativas de sus predecesores, y pudo describir el movimiento de los cuerpos con bastante detalle matemático. Para un cuerpo que cae desde el reposo, las distancias recorridas durante intervalos iguales de tiempo se relacionan entre sí de la misma forma que los números impares comenzando por la unidad. V= 0 m/s 1s 1s 1s 1s 1s

V= 10 m/s V= 20 m/s V= 30 m/s V= 40 m/s V= 50 m/s

5 m=5(1) m 15 m=5(3) m 25 m=5(5) m 35 m=5(7) m 45 m=5(9) m

Esta relación es válida para g = 10 m/s2

Central: 619-8100

Unidad III

61

Caída libre

Síntesis de la unidad

Características 1. Todos los cuerpos caen exactamente iguales no importando el peso ni forma. 2. Posee aceleración y se considera constante. Es llamada gravedad terrestre. 3. Toda caída libre es un M.R.U.V

Ecuaciones Vf = Vi ± g.t Vf2 = Vi ± 2gh H = V it ± 1 . g t 2 2 V + yf t H= i 2

Bajada ⇒ (+) aceleración Subida ⇒ (-) desaceleración

Ecuaciones vectoriales vf = vi + g .t g . t2 Dy = vi t + 2 v (+) v (-)

Colegios

62

TRILCE

H (+) H( - )

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Física Razonamiento Matemático

Lanzamiento

Lanzamiento

vertical hacia arriba

3

Se suelta :

vertical hacia abajo Vi=0

Vi

Vi

Números de Galileo

Tiempo de subida g

Vi

ts =

Vi g

Vi=0

g 1s

5m

Tiempo de vuelo

20m 1s

g H

15m

t s =Tb t v =2Ts

Vi

5m

45m

80m 1s

25m

Altura máxima H=

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V2 2g

1s

35m

Unidad III

63

Caída libre

Aprende más... Análisis de la información 1. Se suelta un cuerpo en caída libre desde cierta altura. Entonces, luego de tres segundos ha recorrido: (g =10 m/s2) a) 25 m d) 55

b) 35 e) 12

c) 45

2. Un cuerpo se deja caer desde una altura de 45 m. ¿Con qué velocidad llega a chocar con el piso? (g=10 m/s2).

a) –15 j (m/s) d) –10

b) –20 e ) –25

c) –30

3. Un cuerpo se suelta desde cierta altura. Si demora en llegar a tierra 6 segundos, ¿desde qué altura se soltó dicho cuerpo?

a) 125 m d) 55

b) 90 e) 120

c) 180

4. Se lanza un cuerpo con 10 m/s verticalmente hacia abajo, luego de 3 segundos se encuentra a 30 m del piso. ¿Desde qué altura se lanzó el cuerpo? (g=10 m/s2). a) 25 m d) 105

b) 35 e) 120

c) 45

5. Desde cierta altura, se lanza verticalmente hacia abajo un objeto con 10 m/s. Si llega al suelo con 30 m/s, ¿cuál es la rapidez del objeto cuando se encuentra a la mitad de su trayectoria? (g=10 m/s2). a) 10 m/s d) 20

b) 10 5 e) 30

c) 10 2

6. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 40 m/s, entonces, su velocidad (módulo y sentido) al cabo de 6'segundos es: (g = 10m/s2).

a) 20 j (m/s) d) –20 j (m /s

b) -30 (m/s) c) 30j (m/s) e) 40 j (m /s)

7. Desde el piso, un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una rapidez de 50 m/s. Calcular el tiempo de vuelo.

a) 4 s d) 10

b) 8 e) 7

c) 5

8. Si el tiempo de vuelo de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba fue de 12 segundos. Calcular su rapidez inicial de lanzamiento. (g=10 m/s2). a) 120 m/s d) 40 Colegios

64

TRILCE

b) 100 e) 50

9. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una rapidez de 60 m/s. Determina la altura máxima que alcanza. (g=10 m/s2)

c) 60

a) 120 m d) 180

b) 100 e) 150

c) 160

10. Si la altura máxima que alcanza una piedra lanzada verticalmente hacia arriba es de 80 m, calcular la rapidez con que se lanzó. (g=10 m/s²) a) 10 m/s d) 40

b) 20 e) 50

c) 30

11. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba y el tiempo que permanece en el aire es de 8 segundos. Calcular la altura máxima que alcanza. (g=10 m/s²).

a) 40 m d) 70

b) 50 e) 80

c) 60

12. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba desde la parte superior de un rascacielos con una rapidez inicial de 40 m/s. Calcular la altura del rascacielos sabiendo que el cuerpo impactó con el suelo a una rapidez de 80 m/s. (g=10 m/s²).

a) 340 m d) 180

b) 280 e) 200

c) 240

13. Un cuerpo que ha sido soltado, recorre en sus tres primeros segundos igual distancia que en el último segundo. Determine la altura de la caída. (g=10 m/s²).

a) 125 m d) 145

b) 128 e) 148

c) 130

14. Un globo aerostático asciende con una rapidez de 50 m/s. Si se deja caer un cuerpo que tarda 20 s en llegar a tierra, ¿de qué altura se soltó el objeto? a) 500 m d) 1200

b) 700 e) 1500

c) 1000

15. Dos cuerpos “A” y “B” se encuentran a una misma altura de 320 m. Se deja caer el cuerpo “A”, 3's después se lanza el cuerpo “B” verticalmente hacia abajo. ¿Con qué rapidez se lanzó “B” para que ambos cuerpos lleguen al mismo instante a tierra? (g=10 m/s2)

a) 38 m/s d) 39

b) 28 e) 22

c) 30

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Física Razonamiento Matemático 18:10:45

3

Practica en casa 1. Se suelta un cuerpo desde cierta altura. Entonces, luego de dos segundos ha recorrido: (g=10 m/s2). a) 25 m d) 55

b) 35 e) 20

c) 45

2. Un cuerpo se deja caer desde una altura de 80 m. ¿Con qué velocidad llega a chocar con el piso? (g = 10 m/s2)

a) –15 j (m/s) d) – 40 j (m/s)

b) –20 j (m/s) c) –30j (m/s) e) –25 j (m/s)

3. Un cuerpo se suelta desde cierta altura. Si demora en llegar a tierra 5 segundos, ¿desde qué altura se soltó dicho cuerpo?

a) 125 m d) 55

b) 90 e) 120

c) 180

4. Se lanza un cuerpo con 20 m/s verticalmente hacia abajo y luego de 3 segundos se encuentra a 60 m del piso. Desde qué altura se lanzó el cuerpo. (g = 10 m/s2) a) 25 m d) 165

b) 35 e) 120

c) 45

5. Walter lanza una pelota con una velocidad de 15 j (m/s). ¿Cuánto tiempo tarda en regresar a su nivel de lanzamiento? (g = –10 j m/s2) a) 3 s d) 1

b) 4 e) 0,5

c) 2

9. Tres segundos después de lanzar un cuerpo verticalmente hacia arriba, se observa que su rapidez se reduce a la cuarta parte. ¿Cuál será la altura máxima que alcanzará? (g = 10m/s2)

a) 120 m d) 160

b) 60 e) 180

c) 80

10. Desde el suelo se lanza un objeto verticalmente hacia arriba. Si alcanza una altura máxima de 80 m, entonces el tiempo que emplea en la bajada es: (g=10 m/s2) a) 1 s d) 3

b) 4 e) 5

c) 2

11. Una partícula lanzada verticalmente hacia arriba con rapidez “V”, alcanza una altura máxima “H”. Si la rapidez de lanzamiento se duplica, la altura máxima: a) Se duplica c) Se cuadruplica e) Aumenta 4 h

b) Es la misma d) Aumenta 2 h

12. Desde la base de un edificio se lanza un objeto verticalmente hacia arriba a 60 m/s. Si luego de 2's se encuentra a la mitad del edificio (por primera vez), ¿cuál es la altura del edificio? (g = 10 m/s2).

a) 100 m d) 400

b) 200 e) 280

c) 300

6. Un objeto es lanzado con una velocidad de 80 j(m/s). ¿Cuál es su velocidad después de 10'segundos? (g=–10 j m/s²)

13. Un piloto suelta una bomba desde un helicóptero estático en el aire y después de 120 s escucha la detonación. Si la rapidez del sonido la suponemos en 300 m/s, ¿con qué rapidez impactó la bomba en tierra? (g=10 m/s2).





a) –20 j (m/s) d) –15 j (m/s)

b) 20 j (m/s) c) –18j(m/s) e) –12 j (m/s)

7. Un cuerpo que ha sido soltado recorre en sus tres primeros segundos igual distancia que en el último segundo. Halle la altura de la caída. (g = 10 m/s2).

a) 125 m d) 145

b) 128 e) 148

c) 130

8. Una pelota de béisbol es lanzada en forma vertical, alcanzando una altura máxima de 20'm, sin considerar la resistencia del aire. ¿Cuál es el módulo de la velocidad vertical de la pelota cuando golpea el suelo? (g = 10 m/s2). a) 10 m/s d) 40

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b) 20 e) 50

c) 30

a) 1200 m/s d) 300

b) 900 e) 120

c) 600

14. Una esfera fue soltada desde cierta altura y en el séptimo segundo de su caída, recorre 1/13 de su recorrido total. ¿Qué rapidez presenta en el instante que golpea el piso? (g = 10 m/s2) a) 100 m/s d) 150

b) 110 e) 160

c) 130

15. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde el borde de un acantilado de 60 m de altura con una rapidez inicial de “V0”. ¿Después de qué tiempo tras haber sido lanzado, el cuerpo estará a una altura de 35 m, acercándose a tierra con una rapidez de 1,5 V0? (g=10 m/s2) a) 5 s d) 12,5

b) 10 e) 15

c) 7,5

Unidad III

65

4

Movimientos de proyectiles

Movimientos de proyectiles Contenido: • Movimientos de proyectiles. • Independencia del movimiento horizontal y vertical. • Ecuaciones. • Propiedades básicas.

E

l movimiento compuesto está presente en muchas cosas. Por ejemplo, en la naturaleza, en las erupciones volcánicas; en el deporte, en disciplinas como el lanzamiento de jabalina; en la milicia, en armas como la catapulta o el mortero lanzagranadas; incluso en la arquitectura ornamental empleada en el diseño y construcción de las piletas del Circuito Mágico del Agua en nuestra ciudad. Solo en nuestro planeta se mueven los cuerpos de esta forma al ser lanzados en la superficie de la Tierra.

Colegios

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Física

Conceptos básicos Movimientos de proyectiles

Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue una trayectoria determinada totalmente por los efectos de la aceleración gravitacional y la resistencia del aire. Una bola golpeada, un balón lanzado, un paquete soltado de un avión y una bala disparada por un rifle son proyectiles. El camino que sigue un proyectil es su trayectoria. Para analizar este tipo de movimiento, partiremos de un modelo idealizado que representa al proyectil como una partícula y realizamos las siguientes suposiciones: • •

•

Sabías que...? Las erupciones volcánicas producen ciertas partículas que se expulsan en la erupción como proyectiles según se muestra en la foto.

El alcance es suficientemente pequeño como para despreciar la curvatura de la Tierra. La altura es suficientemente pequeña como para despreciar la variación de la gravedad con la altura. La partícula tiene una aceleración de la gravedad constante en magnitud y dirección. La velocidad inicial para despreciar la resistencia del aire.

Cuidado: Para un proyectil de largo alcance, tal como el mostrado en la figura, donde todos los vectores “y” señalan hacia el centro de la Tierra y varían con la altura. La trayectoria es, en este caso, un arco de eclipse, como se estudiará más adelante. La trayectoria de un proyectil de largo alcance no es una parábola, sino un arco de eclipse. V V

g

g

V0 tierra

g

g

V

Cuidado: Si tenemos en cuenta la resistencia del aire, la trayectoria deja de ser parabólica, como se muestra en la figura y el alcance disminuye. y(m) 100

Efecto de la resistencia del aire en el movimiento de un proyectil

Trayectoria parabólica en el vacío

50 Trayectoria real en el aire

1

100

200

300

x(m)

La figura es una simulación por computador de la trayectoria de una pelota con: V0 = 50 m/s; α0 = 53,1º sin resistencia del aire y con una resistencia proporcional al cuadrado de la rapidez de la pelota.

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Unidad III

67

Movimientos de proyectiles

1. Esta aproximación es razonable siempre que el intervalo de movimiento sea pequeño comparado con el radio de la Tierra (6,4×106 m). En efecto, esta aproximación es equivalente a suponer que la Tierra es plana a lo largo del intervalo del movimiento considerado. 2. Por lo general, esta aproximación no se justifica, en especial a altas velocidades. Además, cualquier giro dado a un proyectil, lo que ocurre cuando un lanzador envía una bola curva, puede dar lugar a ciertos efectos muy interesantes asociados con fuerzas aerodinámicas. Con estas suposiciones, encontramos que la curva que describe un proyectil (partícula), que llamaremos su trayectoria, siempre es una parábola.

Independencia del movimiento horizontal y vertical La bola azul se deja caer desde el reposo y la negra se proyecta horizontalmente al mismo tiempo. El esquema es tomado de las imágenes sucesivas de una fotografía estroboscópica, donde muestran estar separadas por intervalos de tiempos iguales. En un instante dado, ambas bolas tienen la misma posición “y”, velocidad “y”, y aceleración “y”, a pesar de tener diferente posición “x” y velocidad “x”. Estroboscopio: Dispositivo óptico que permite observar un movimiento lento, mediante la iluminación con cortos destellos de frecuencia regulable. Azul

Negra

Vy1 g Vy2

Vx Vx

Vy1

g Vy2

Vy3

Vy3

Vx Vx

Trayectoria de un cuerpo lanzado con una velocidad inicial “V0” y un ángulo “α0” sobre la horizontal con resistencia del aire insignificante. La distancia “R” es el alcance horizontal y “H” es la altura máxima con respecto al eje “x”.

Sabías que...? Las fuentes de agua del Circuito Mágico del Agua en Lima son chorros de agua que son proyectados formando curvas parabólicas.

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y

a=g

V2 y V2 Vx

Vx a

Vo

Vx

a

V4y

V4

H Vx

V0x = VX a

4

a R

x

V6 y V6 Vx

V7y

V7

Del gráfico: • Trayectoria parabólica de un proyectil que parte del origen con una velocidad: Vo = ( 40i+30 j ) m/s y una rapidez: V = 50 m/s y una aceleración de la gravedad: g = -9,8 m/s2 0

• •



•



•

El vector velocidad V cambia con el tiempo tanto en magnitud como en dirección. El cambio en el vector velocidad es el resultado de la aceleración de la gravedad en dirección “y” negativa, que siempre está actuando en todo instante de tiempo. La componente en el eje “x” de la velocidad permanece constante en el tiempo debido a que no hay aceleración a lo largo de la dirección horizontal. La velocidad en el punto más alto no es cero; pero la componente en el eje “y” de la velocidad es cero en el punto más alto de su trayectoria.

Ecuaciones

En el eje “x”

En el eje “y”

x = V xt

1 y = V1yt + gt2 2 1 Vfy = Viy + gt 2

Ecuación de trayectoria Podemos deducir una ecuación para la forma de la trayectoria en términos de “x”, y eliminando “t”: y=(tanα0)x– (

g 2V 20 cos2α0

)x2

No se preocupe por los detalles de esta ecuación, lo importante es su forma general. Esta es ecuación de una parábola, que se le conoce como ecuación de la trayectoria.

Sabías que...? En muchos deportes se presenta el lanzamiento de proyectiles tales como el lanzamiento de jabalina.

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Unidad III

69

Movimientos de proyectiles

Propiedades básicas

1. La componente horizontal de la velocidad permanece constante durante todo el movimiento. 2. La componente vertical de la velocidad varía por acción de la aceleración de la gravedad.



3. El movimiento horizontal del proyectil se desarrolla como si no existiese movimiento vertical y viceversa. Vf VH r Vi

VH

g Hmáx

h α VH

dH R

•

Para el movimiento horizontal:

•

Para el movimiento vertical:

dH= VH .t

Vf =Vi ± gt

Fórmulas auxiliares:

Vf2 =Vi2 ± 2gh h=ViT ± 1 gT2 2

ts =

Vi g

Hmáx. =

h V + Vi = f t 2

Vi 2g

considerar:

V sen(2α) R= 0 g

(+) baja (–) sube



• Para una rapidez fija de lanzamiento, se logra máximo alcance horizontal cuando el ángulo de

lanzamiento es de 45º.

V

V q

Colegios

70

TRILCE

q=45º

V Rmáx

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Física Razonamiento Matemático

•

Al disparar un proyectil dos veces con la misma rapidez, pero con ángulos de elevación complementarios, se logra igual alcance horizontal.

V β α



4

α+β=90º

V R

• Podemos determinar “q” si conocemos la relación entre “h”, “a” y “b”.

V q a

Central: 619-8100

tanq = 1 + 1 b a h

h b

Unidad III

71

Movimientos de proyectiles

Síntesis de la unidad

Tiro horizontal

y y

V1 x

g

H

x Movimiento horizontal

Movimiento vertical

Eje “x”

Eje “y”

Vx = V1= constante

Vy = g . t H=

x = Vx . t

gt2 2

Vx 2 2 V= Vx + Vy

Vy

Colegios

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TRILCE

V www.trilce.edu.pe

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4

Está formado por dos movimientos. Cada movimiento se realiza simultáneamente. Cada movimiento se realiza de forma independiente.

Movimiento parabólico

g Hmáx

V0 α

R Altura máxima

Alcance máximo

V02 sen2α 2g

2 R= 2Vo sen α . cos α g

H=

V

V 45

α Rmáx

q=45º

V2 Rmáx= g

V0 V0 β α

H

R

R tanα= 4H R

α + β = 90°

vy

v α

vx

V= Vx2 + Vy2

Vx = Vcos α Vy = Vsen α

Central: 619-8100

Unidad III

73

Movimientos de proyectiles

Aprende más... Análisis de la información 1. Desde una altura de 80 m se lanzó un objeto horizontalmente con una rapidez de 30 m/s. Determinar con qué rapidez impactó en el piso. (g = 10 m/s2). a) 30 m/s d) 45

b) 35 e) 50

c) 40

2. Un proyectil es lanzado con una rapidez inicial de 20 m/s formando con la horizontal un ángulo de 53°. ¿Cuánto tardará en alcanzar la componente vertical de su velocidad un módulo de 9 m/s por segunda vez? (g = 10 m/s2). a) 0,7 s d) 2,5

b) 1,4 e) 5,0

6. Una pelota de tenis es golpeada y sale horizontalmente. Si se observa que logró avanzar horizontalmente 20 m e inicialmente se hallaba a una altura de 2,5 m, ¿con qué rapidez sale?

a) 28 m/s d) 18

c) 2,1 A

Vo O a) b) c) d) e)

a

a

C

a

a

D x

Igual al tiempo entre “O” y “A”. La mitad del tiempo entre “O” y “A”. Igual al tiempo entre “B” y “D”. La mitad del tiempo entre “B” y “D”. 2V0 senα/g

4. Un proyectil es lanzado formando cierto ángulo con la horizontal, siendo su alcance horizontal de 100 m. Si se aumenta su rapidez en 20%, su nuevo alcance horizontal será:

a) 44 m d) 144

b) 54 e) 288

c) 120

5. Se sabe que el alcance horizontal conseguido por un proyectil es 4 veces su altura máxima. ¿Qué ángulo de inclinación se le dio al inicio? a) 15° d) 45° Colegios

74

V

TRILCE

b) 30° e) Ninguna

c) 37°

4m

53º 18 m

y B

c) 20

7. Desde el punto “O” se apunta al aro “A” y se lanza una pelota. Hallar con qué rapidez se debe lanzar la pelota para que pase por el centro del aro. (g = 10 m/s2).

3. Una pelota es lanzada con rapidez inicial “V0”, haciendo un ángulo “α” con la horizontal como se indica en la figura. Sin considerar la fricción del aire, el tiempo que tarda la pelota en ir de “A” al punto “C” es:

A

b) 24 e) 16

a) 10 m/s d) 20

b) 12 e) 15

c) 18

8. Un objeto fue lanzado con una rapidez de 15 m/s y formando 37° con la horizontal. Determina la rapidez del objeto 1,4 s después del lanzamiento. (g=10 m/s2).

a) 12 m/s d) 15

b) 13 e) 18

c) 14

9. Un objeto fue lanzado con una rapidez de 40 m/s y formando 30° con la horizontal. Determinar la separación entre dos puntos de su trayectoria que se encuentran a 15 m de altura. (g = 10 m/s2).

a) 40 m d) 80

b) 40(2)1/2 e) 80(3)1/2

c) 40(3)1/2

10. Un jugador de básquet impulsa un balón con una rapidez de 10 m/s, formando 37° con la horizontal y desde una altura de 2,25 m. ¿A qué distancia del jugador dará el primer rebote? (g = 10 m/s2).

a) 16 m d) 10

b) 8 e) 18

c) 12

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Física Razonamiento Matemático

11. En la figura, determinar la distancia PQ, si: V0 = 3(10)1/2 m/s (g=10 m/s2). Vo

14. Si el proyectil se impulsa a 25 m/s y con un ángulo de elevación de 37°, ¿qué valor tiene “x”? (g=10 m/s2). V

Q

30º 30º

x

P

a) 4 m d) 10

4

b) 6 e) 12

c) 8

12. Una bazuca situada a orillas del mar lanza una granada que cruza un cerro justamente en su altura máxima y cae en una loma en la cual hay un refugio a 45°, al cual ingresa exactamente. Si la rapidez del lanzamiento es 50 m/s y forma 53° con la horizontal, calcula la altura de la loma sobre el nivel del mar. (g=10 m/s2).

x

a) 280 m d) 140

b) 35 e) Ninguna

c) 70

15. Una pequeña esfera es lanzada desde “A” con una rapidez de 30 m/s. Si esta debe ingresar al tubo justo por el extremo “B” y después de 6's del lanzamiento, calcula “α”. (g=10 m/s2). 30 m/s A

45º

46º αº

B

16º

a) 20 m d) 35

b) 25 e) 40

c) 30

a) 15° d) 60°

b) 30° e) 14°

c) 44°

13. La trayectoria mostrada pertenece a un movimiento parabólico. Determinar “h” si la rapidez en “A” es de 10 m/s. (g=10 m/s2). A

37º VA

h B



a) 1 m d) 1,6

Central: 619-8100

b) 1,2 e) 1,8

45º VB c) 1,4

Unidad III

75

Movimientos de proyectiles 18:10:45

Practica en casa 1. Un proyectil al ser lanzado con cierta inclinación, permaneció en el aire 20 s. Hallar la altura máxima que logró en metros. (g = 10 m/s2)

a) 196 d) 500

b) 98 e) 245

c) 980

6. ¿Con qué ángulo de elevación se debe disparar un proyectil para que su alcance horizontal sea cuatro veces la altura máxima que subió? a) arc tg(2) d) arc tg(1/4)

b) arc tg(4) e) 45°

c) arc tg(1/2)

2. Un cuerpo se lanza con una rapidez de 7. Un cañón dispara un proyectil con una rapidez de 50 m/s. Cuando el ángulo de elevación es 20 m/s formando 30° con el horizonte. Hallar 45°, el alcance resulta ser de: la altura máxima a la cual se elevó este cuerpo en metros.(g=10 m/s2). a) 35 m b) 250 c) 15 d) 30 e) 0 a) 3 b) 14,9 c) 5 d) 39 e) 49 8. Desde una torre de 20 m de altura se lanza horizontalmente una piedra con una rapidez de 3. Para las partículas de la figura, es correcto 15 m/s. ¿Cuál es su velocidad al llegar al suelo? afirmar: (g = 10 m/s2). Vo a) 22 m/s b) 18 c) 15 Vo d) 20 e) 25 60° 30° 9. Un objeto fue lanzado horizontalmente desde una altura “h” con una rapidez de 30 m/s, I. Logran igual alcance horizontal. siendo su alcance horizontal de 90 m hasta II. Las alturas máximas que alcanzan son llegar al suelo. Hallar “h”. (g=10 m/s2). iguales. III. Emplean el mismo tiempo para retornar al a) 30 m b) 45 c) 60 suelo. d) 90 e) 120 a) Todas d) Solo I

b) Ninguna e) Solo III

c) Solo II

4. Dos proyectiles “A” y “B” lanzados con inclinaciones de 53° y 37°, respectivamente, alcanzan iguales alturas máximas. Determinar la relación entre sus alcances horizontales (eA / eB).

a) 1/2 d) 5/12

b) 3/4 e) 3/5

c) 9/16

10. Determinar la rapidez ”V0” necesaria con que debe lanzarse el proyectil para que llegue exactamente al punto “A”. (g=10 m/s2). Vo

100 m A

20 m

200 m 5. Un proyectil se dispara dos veces con la misma rapidez inicial pero con ángulos de tiro “a” a) 20 m/s b) 80 c) 10 y “2a”, respectivamente. Si logra el mismo d) 30 e) 50 alcance horizontal en ambos casos, ¿hasta qué altura subirá en el segundo disparo, sabiendo que en el primer caso logró subir hasta 20 m de 11. Desde un mismo punto a 80 m de altura se lanzan simultáneamente en una misma dirección, altura? horizontalmente, dos proyectiles con rapidez de 20 m/s y 30 m/s respectivamente. Determinar la a) 30 m b) 40 c) 50 separación entre los puntos de impacto con el d) 60 e) 70 suelo en metros. (g=10 m/s2). Colegios

76

TRILCE

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Física Razonamiento Matemático



a) 20 d) 80

b) 40 e) 100

c) 60

12. De lo alto de una torre de 16 m de altura se lanza un “hueso” con una rapidez de 20 m/s formando un ángulo de 53° por encima de la horizontal. Determinar la aceleración constante con que debe correr un perro a partir del reposo y que se encuentra al pie de la torre para que pueda alcanzar el “hueso” cuando esté a punto de tocar el suelo. (g=10 m/s2). a) 2 m/s2 d) 5

b) 3 e) 6

14. Un proyectil se lanza desde el suelo con una rapidez de 10(3)1/2 m/s y un ángulo de elevación de 60°. ¿A qué altura se encuentra luego de 2 s? (g=10 m/s2). a) 1 m d) 5

c) 4

a) 10 m/s d) 25

Central: 619-8100

b) 15 e) 30

45° 10 m

c) 3

15. Si el cuerpo “A” fue lanzado con una rapidez “V”, ¿con qué rapidez se debe lanzar el cuerpo “B” para que tenga el mismo avance horizontal que “A” al llegar a tierra? B h

13. Calcular la mínima rapidez con que debe de salir despedido el motociclista para que pueda cruzar la zanja. (g = 10 m/s2).

30 m

b) 2 e) 10

4

A

V

h

a) V d) 2V

b) V(2)1/2 e) V(2)-1/2

c) V(3)1/2

c) 20

Unidad III

77

5

Movimiento circunferencial

Movimiento circunferencial Contenido: • Movimiento circunferencial, Movimiento circunferencial uniforme. • Velocidad tangencial. • Velocidad angular. • Periodo y frecuencia. • Aceleración centrípeta.

U

na expresión maravillosa de ingeniería... es esta Rueda de Beijing, construida desde 2007 hasta el 2010 constará con el récord de ser la más alta Rueda de Chicago, inclusive más grande que el Gran London Eye. Esta posee una altura de 208 m y el periodo de esta rueda será de 30 minutos por cada viaje donde albergará a más de 1900 personas en sus 48 compartimientos. •

Colegios

78

¿Es esta una muestra del fenómeno del movimiento? ¿Qué tipo de movimiento realiza? ¿Qué características adicionales posee dicho movimiento?

TRILCE

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Física

Conceptos básicos Movimiento circunferencial

Es aquel movimiento en el cual la trayectoria es una circunferencia, denominándose al arco recorrido (S) desplazamiento lineal y al ángulo central generado (q) desplazamiento angular. La rapidez con la cual se recorre el arco se denomina velocidad tangencial o lineal ( Vt ), y se representa por medio de un vector tangente a la trayectoria; la rapidez con la que se describe el ángulo central se llama velocidad angular ( w ), se representa por un vector ubicado en el eje giro y orientado de acuerdo con la regla de la mano derecha. ω s=qR Vt= ωR

v R

q s

Movimiento circunferencial uniforme (M.C.U)

En este movimiento, la velocidad angular permanece constante en magnitud y dirección, de tal forma que en tiempos iguales se generan ángulos iguales y se recorren arcos iguales, ya que la magnitud de la velocidad tangencial es también constante.

Sabías que...? El primer satélite artificial lanzado al espacio fue hecho en Rusia el 4 de octubre de 1957, marcando con esto un hito en la carrera espacial adelantándose a los Estados Unidos y fue llamado Sputnik.

Velocidad tangencial ( Vt)

Llamaremos velocidad tangencial o lineal a aquella que posee una partícula cuando desarrolla un movimiento curvilíneo. La dirección de esta velocidad es tangente a la curva, y su módulo nos da la rapidez con que recorre un arco. Esta rapidez se determina así:

Vt = s t

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m , cm s s

Unidad III

79

Movimiento circunferencial

Velocidad angular ( ω )

Se define como velocidad angular constante a aquella cuyo valor nos indica el desplazamiento angular que experimenta un móvil en cada unidad de tiempo.

rad s

ω= q t

rev = RPM min

ó

En el S.I. esta velocidad se expresará en radianes por segundos: rad/s. También puede expresarse en rev/s; o, rev/min = rpm; donde: ω = constante

1RPM= π rad/s 30

q Vt

q

t s

t s

“Movimiento circular uniforme”

Propiedad:

Vt= ω . R

Periodo y frecuencia ( “T” y “f” )

Llamaremos período (T) al tiempo que emplea un móvil con M.C.U. para dar una vuelta completa, y frecuencia (f) al número de vueltas que dicho móvil da en cada unidad de tiempo, verificándose que: f= Nº de vueltas tiempo

rev s

⇒

f= 1 T

T=

2π ω

(s)

Sabías que...? Una máquina centrifugadora sirve para fines médicos en análisis de sangre, para separar muestras de plasma del suero en análisis de laboratorio.

Colegios

80

TRILCE

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Física Razonamiento Matemático

Aceleración centrípeta (ac)

5

Como ya sabemos, la única razón que justifica los cambios de velocidad es la existencia de una aceleración. Sin embargo, si solo cambia la dirección de la velocidad sin que se altere su módulo, ello solo puede deberse a un tipo especial de aceleración llamada centrípeta o central, la cual se manifiesta en el grado de “brusquedad” con que un cuerpo toma una curva. Así pues, comprobaremos que en una curva muy cerrada el cambio de dirección es brusco, porque la aceleración centrípeta es grande. El vector “ a c” es perpendicular a “ v ”, y se dirige siempre al centro de la curva. VT ac O

O: centro ac

ac

VT ; ac

ω

V2 a c = r T = ω2 . r

VT

Sabías que...? Las secadoras usan el movimiento circular de su cilindro tambor para hacer que la ropa expulse el agua en su movimiento de rotación.

Central: 619-8100

Unidad III

81

Movimiento circunferencial

Síntesis de la unidad

se expresa

Colegios

82

TRILCE

f

RPS

f

RPM

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Física Razonamiento Matemático

t

5

t s V=

q

ω=

ω=

2π .f T

q t

s t

Rad s

ω = 2πT

V=

ω=

s t

m s

π .f 30

acp

acp =

Central: 619-8100

V2 R

ω2 R

Unidad III

83

Movimiento circunferencial

Aprende más... Análisis de la información 1. ¿Cuál será la rapidez angular en rad/s del segundero de un reloj de aguja?

9. Las cuchillas de una licuadora giran con 90 RPM. Hallar la rapidez tangencial de los puntos periféricos que se encuentran a 5 cm del eje de rotación en cm/s.





a) π/12 d) π/40

b) π/20 e) π/50

c) π/30

b) 15π e) 45

c) 30

2. Se sabe que un ciclista está dando vueltas alrededor de una pista circular, dando cuatro vueltas cada minuto. ¿Cuál será la rapidez angular en rad/s de dicho ciclista mientras realiza su movimiento circunferencial?

10. Los puntos periféricos de un disco que gira con velocidad angular constante poseen una velocidad de módulo 20 cm/s y los puntos que se encuentran a 5'cm del borde 16 cm/s. Hallar el diámetro del disco.





a) π/15 d) 4π/3

b) 2π/15 e) 3π/7

c) π/3

3. Una partícula que está girando con M.C.U. tiene una rapidez angular de 4 rad/s. ¿Qué ángulo habrá girado en un minuto? a) 200 rad d) 260

b) 240 e) 320

c) 300

4. Se sabe que una partícula gira 40 rad en 5 segundos. ¿Qué ángulo giraría dicha partícula en 10 segundos?

a) 40 rad d) 70

b) 50 e) 80

c) 60

5. Una partícula con M.C.U. está girando a 2'r.p.s. ¿Qué ángulo giraría dicha partícula en un minuto?

a) 200π rad d) 300π

b) 250π e) 320π

c) 240π

6. Una partícula está girando con 30 r.p.m. ¿Qué ángulo giraría dicha partícula en 4 segundos?

a) π rad b) 2π d) 4π e) 5π

a) 0,5 s d) 2

b) 0,25 e) 4

c) 1

Colegios

TRILCE

c) 40



a) 25,12 d) 31/07

b) 27/36 e) 34/59

c) 29,48

12. Dos cuerpos se mueven en la misma circunferencia con una rapidez constante de 8π cm/s y 2π cm/s, en sentidos opuestos. Si para: t = 0 están en dos puntos diametralmente opuestos, ¿en qué instante se encuentra, si el radio de la circunferencia es 20 cm? a) 1 s d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

13. El disco mostrado gira a razón de 3 rad/s. Halla la rapidez tangencial del punto “P”. w P



a) 15 m/s d) 6

R=3m

b) 12 e) 3

c) 9

14. Un objeto recorre una trayectoria circular de 5 m de radio con una rapidez constante de 10 m/s. Su aceleración centrípeta es de módulo: a) 10 m/s² d) 40

b) 20 e) 50

c) 30

15. Determinar el valor de la aceleración centrípeta de una partícula que describe un movimiento circular uniforme con una rapidez de 4 m/s y una rapidez angular de 5 rad/s.

5m

b) 20 e) 50

b) 25 e) 80

11. Con un instrumento de observación cuyo ángulo de visión es 8º, se observa el paso de un satélite artificial que se encuentra a 720 km de altura. Si el instrumento lo “vio” durante 4 s, halle la rapidez del satélite en km/s.

8. La partícula mostrada se encuentra girando con 10'rad/s. Calcule su rapidez tangencial en m/s.

a) 10 d) 40

a) 20 cm d) 50

c) 3π

7. Si el periodo de una partícula con movimiento circular uniforme es 6 s, ¿qué tiempo necesita para barrer un ángulo de 30º?

84

a) 15 d) 30π

c) 30



a) 2 m/s² d) 1,25

b) 0,8 e) 10

c) 20

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Física Razonamiento Matemático 18:10:45

5

Practica en casa 1. Una partícula gira con una frecuencia correspondiente a 120 R.P.M. Calcular su rapidez angular en rad/s. 2. Una partícula describe un arco de 20 cm, en 10's. Calcular su rapidez angular, si el radio es de 10 cm. 3. Una partícula gira con una frecuencia correspondiente a 900 R.P.M. Calcular su rapidez angular en (rad/s).

11. ¿Qué ángulo giraría una hélice en 2 minutos si su rapidez angular es 3 rad/s? 12. La partícula mostrada se encuentra girando a 8'rad/s. Calcule su rapidez tangencial en m/s. o

R=4m

4. Una partícula en M.C.U. describe un arco de 13. Determine la rapidez del bloque, si: R=5 cm, además: ω=4rad/s. 10 m en un tiempo de 2 segundos. Calcular su rapidez tangencial. w 5. Dos insectos se encuentran sobre un disco que gira a 120 R.P.M. Uno está a 20 cm del centro y el otro a 30 cm. ¿Cuánto es la rapidez tangencial de cada uno? (cm/s).

R

V 6. La rapidez de una rueda que gira con movimiento uniformemente retardado disminuyó al ser frenada durante 1 minuto desde 300 R.P.M. hasta 14. Si una partícula gira con 12 cm/s² de aceleración 180 R.P.M. Hallar el módulo de la aceleración centrípeta y el radio es 3 cm, calcular su rapidez angular de la rueda. angular.

30º

7. Con un instrumento de observación cuyo ángulo 15. La esfera gira a razón de 120 R.P.M. Si el hilo de visión es 3º, se observa el paso de un satélite que la sostiene es de 100 cm, ¿qué rapidez artificial que se encuentra a 260 km de altura. Si tangencial tiene la esfera? el tiempo en cubrir dicho ángulo es 4 s, calcular la rapidez del satélite en km/s. L 8. ¿Cuál será la rapidez angular en rad/s de una partícula que gira a 180 R.P.M.? 9. ¿Cuál será la rapidez angular en rad/s de una partícula que gira a 200 R.P.M.? 10. Un ventilador gira dando 60 vueltas cada tres segundos. ¿Cuál será la rapidez angular en rad/s de dicho ventilador asumiendo que esta es constante?

Central: 619-8100

Unidad III

85

UNIDAD IV

LEYES DE NEWTON

E

scena de La guerra de las galaxias, episodio I: La amenaza fantasma, donde Anakin Skywalker compite en una carrera de podracers, aeronaves de alta velocidad. Si la aceleración de esta máquina puede alcanzar 50 m/s2, ¿cuál es la máxima tensión en los dos largos cables que conectan la cabina del piloto con los motores? Para encontrarla, ¿qué cantidades necesitarías conocer?

. AprENDiZAjES ESpErADOS Comprensión de la información • • • • • •

Conocer los elementos que definen una fuerza en situaciones cotidianas. Definir las fuerzas comunes cotidianas. Describir el principio de acción y reacción. Explicar la segunda condición del equilibrio. Explicar el principio fundamental de la dinámica. Explicar y comparar las fuerzas de rozamiento.

Física Razonamiento Matemático

1

Síntesis de la unidad

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Unidad IV

87

Fuerza y movimiento

Fuerza y movimiento Contenido: • Estática. • Concepto de fuerza. • Las cuatro fuerzas. • Fuerzas usuales. • Diagrama de cuerpo libre. • Primera ley de Newton. • Tercera ley de Newton.

E

ste drag racer puede cubrir un cuarto de milla desde la partida en menos de cinco segundos, ¡no es malo! Nosotros podríamos usar la cinemática para describir el movimiento del carro con gráficos, tablas y ecuaciones. En un lenguaje claro diciéndonos "cómo" se mueve ese carro, pero no puede decirnos nada acerca del "por qué" el carro acelera tan rápidamente. Para comprender la causa del movimiento, nosotros pondremos atención a esta situación física y trataremos de aplicar las leyes de Newton para comprender el movimiento. • ¿Qué velocidades puede adquirir el drag racer? • ¿Qué efectos provocará la aceleración en los pilotos?

Colegios

88

TRILCE

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Física razonamiento Matemático

1

Conceptos básicos Estática

Los antiguos filósofos se sentían desconcertados ante el movimiento de los objetos. Luchaban con preguntas como las siguientes: ¿tienen una causa todos los movimientos?, de ser así, ¿cuál es su naturaleza? La confusión que rodeaba a estas preguntas persistió hasta el siglo XVII, cuando Galileo (1564– 1642) e Isaac Newton (1642–1727) propusieron una teoría que explica estos movimientos y que hoy conocemos con el nombre de "mecánica clásica". En 1687, Newton expuso sus tres leyes del movimiento en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, generalmente llamados Principia.En el siglo XX, revelaron sus limitaciones los descubrimientos de la física cuántica (que gobiernan el comportamiento de las partículas microscópicas como los electrones y los átomos) y la relatividad especial (que rige el comportamiento de objetos que se mueven con gran rapidez); las leyes de la mecánica clásica de Newton constituían hasta entonces la base para el movimiento y sus causas.

Concepto de fuerza

El concepto de fuerza nos da una descripción cualitativa de la interacción entre dos cuerpos o entre un cuerpo y su entorno. Cuando empujamos un auto atascado en la nieve, ejercemos una fuerza sobre él. Cuando dos partículas interactúan podemos asegurar que se provoca un par de fuerzas de igual magnitud y dirección opuesta. La fuerza es un vector, para descubrir una fuerza debemos indicar: • El punto de aplicación, es decir, el punto en que la fuerza actúa sobre el cuerpo. • La dirección, es decir, la recta a lo largo de la cual actúa la fuerza. • Su magnitud, la cantidad que describe "cuánto" o "qué tan fuerte" la fuerza empuja o tira. Debido a que las fuerzas son vectores, se deben utilizar las reglas de la adición vectorial para obtener la fuerza resultante sobre una partícula.

Las cuatro fuerzas

La materia, sea lo que sea, interactúa. La física teórica contemporánea sostiene que en el Universo, tal como existe hoy, hay cuatro interacciones básicas o fuerzas distintas: la gravitacional, la electromagnética, la fuerte y la débil. Ellas determinan todo el dominio de los aconteceres cotidianos. Cuando sucede un cambio en el estado de algo, sobreentendemos una causa y, lógicamente, suponemos que el cambio lo lleva a cabo una fuerza. Cuando cae una manzana, brinca un saltamontes, explota una supernova o decae un neutrón, esos eventos tan distintos se llevan a cabo debido a la intervención de las cuatro fuerzas. En este contexto moderno, definiremos por lo pronto a la fuerza como el agente de cambio.

Sabías que...? Una persona entrenada en karate puede romper con una sola mano un bloque de concreto de 3,8 cm de espesor. La mano se mueve a 11 m/s lo cual origina una fuerza de 3069 N. Los huesos de la mano son capaces de resistir fuerzas hasta 40 veces mayores que esa cantidad.

La fuerza gravitacional nos mantiene a nosotros, a la atmósfera y a los mares fijos sobre la superficie del Central: 619-8100

Unidad iV

89

Fuerza y movimiento

planeta. Aunque la gravedad es la más débil de todas las interacciones, también es la menos selectiva porque actúa entre todas las partículas. Debido a que su alcance es ilimitado y a que solo es de atracción, la gravedad que rige al cosmos es en gran escala. Sujeta a la Tierra en órbita alrededor del Sol, mantiene fijo al Sol en nuestra galaxia de cien mil millones de estrellas, y llega hasta miles de millones de galaxias que forman el Universo. Si fuera mucho más fuerte de lo que es, interrumpiría rápidamente la expansión actual del Universo y mandaría a todas las galaxias, aplastándolas, de regreso al olvido. La fuerza electromagnética da lugar a la atracción interatómica de corto alcance. Como tal, enlaza entre sí a las cosas más pequeñas: átomos, moléculas, árboles, edificios y personas. Como en el caso de la fuerza gravitacional, podemos percibir sus consecuencias en forma directa (tan solo sujetando dos imanes cercanos). La fuerza electromagnética que actúa a escala microscópica es la responsable de la diversidad de lo que alguna vez se pensó que eran dos fuerzas distintas. Produce las fuerzas de contacto, por ejemplo, entre un puño y un saco en el boxeo, o entre una hamburguesa y los dientes. Genera fricción y resistencia, produce adhesión y cohesión, y es responsable de la fuerza elástica. El alcance de la fuerza electromagnética es ilimitado, pero puede se de atracción o de repulsión, lo cual, por lo general, restringe su influencia solo a distancias cortas. El electromagnetismo gobierna la química y la biología, rige la vida y la muerte, y evita que la Tierra y todas las cosas sean aplastadas por la gravedad. La fuerza fuerte enlaza los quarks entre sí, formando neutrones y protones, y a su vez enlaza a estos para formar los núcleos de los átomos. Es una fuerza extremadamente poderosa y de alcance también sorprendentemente diminuto, cuya influencia se extiende solo hasta algunas veces el diámetro de un protón. Ese ámbito tan reducido explica su falta de intervención directa en nuestra experiencia normal y, en consecuencia, que no se haya descubierto sino hasta el siglo XX. Sin ella, la materia familiar, desde los planetas hasta los perros, se desintegrarían produciendo un polvo fino de quarks. La fuerza débil es un millón de veces menor que la fuerza fuerte, y su alcance es 100 veces menor. Entre otras cosas, transforma los quarks de uno a otro tipo. Puede convertir protones en neutrones y, en consecuencia, es la responsable del decaimiento de ciertos átomos radiactivos. Una estrella como el Sol obtiene su energía del horno termonuclear de su núcleo. Allí "quema" hidrógeno y lo transforma en helio, proceso que se basa en la conversión gradual de protones por medio de la fuerza débil. Sin fuerza débil no habría brillo del Sol ni vida en la Tierra. El gran propósito que tiene la Física es describir el Universo en función de una cantidad mínima de conceptos básicos. La Física contemporánea se desenvuelve bajo la hipótesis de que la naturaleza, en su nivel más fundamental, es muy concisa; que lo que parece ser una gran diversidad de existencias y actividades es la manifestación externa de una simplicidad interna. Guiados por la idea de la unificación, los físicos han establecido que a las energías excepcionalmente altas, que en la actualidad solo están disponibles en el laboratorio, las fuerzas electromagnética y débil se funden en una sola fuerza electrodébil. Llevando la lógica a su conclusión natural, se cree que las cuatro fuerzas surgieron de una sola superfuerza que alguna vez dominó la bola de fuego primordial de la creación.

Colegios

90

TRILCE

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Física Razonamiento Matemático

1

Las cuatro fuerzas Fuerza

Se acopla con

Intensidad

Alcance

Fuerte

Quarks y partículas formadas por ellos.

104

≈ 10–15 m

Electromagnética

Partículas con carga eléctrica.

102

Ilimitado

Débil

La mayor parte de partículas.

10–2

≈ 10–17 m

Gravitacional

Todas las partículas.

10–34

Ilimitado

Fuerzas usuales Peso Es también llamada fuerza de la gravedad "Fg". Es una fuerza producto de una interacción gravitatoria entre la Tierra y el cuerpo. La fuerza de la gravedad es vertical y dirigida siempre hacia el centro de la Tierra; tiene como punto de aplicación el centro de gravedad del cuerpo "Cg". En cuerpos homogéneos tiene como punto de aplicación el centro geométrico. Centro geométrico Cg

Centro de gravedad Fg





Tensión Es una fuerza de origen electromagnético que se origina en los cables, cuerdas, hilos y cadenas. Cuando estos están siendo estirados en su interior, las moléculas tienden a separarse pero surgen fuerzas para evitar esta separación. A la resultante de estas fuerzas que surgen entre las moléculas se les denomina "fuerzas de tensión". Es una fuerza interna ya que se manifiesta al interior de la cuerda y para graficarle es necesario hacer un corte imaginario. Para una cuerda ideal, el módulo de tensión es el mismo en todo cable, siempre que vaya dirigida al punto de suspensión de la cuerda. Normal (N) Es una fuerza de origen electromagnético. Aparece cuando un cuerpo está en contacto con alguna superficie (piso, pared, techo). Se grafica a la normal como una fuerza perpendicular a la superficie en contacto y siempre dirigiéndose al cuerpo analizado.

N

N F

Central: 619-8100

N

Unidad IV

91

Fuerza y movimiento

Diagrama de cuerpo libre (DCL) A continuación, presentamos una herramienta en la solución de problemas de Física: el diagrama de cuerpo libre que significa analizar a un cuerpo, aislarlo y graficar en él a las fuerzas que lo afectan producto de las interacciones con otros cuerpos.

AT Fg

N

Fg

a

Fg

a

Fg

N

Primera ley de Newton (Ley de Inercia) Un objeto en reposo permanece en reposo y un objeto en movimiento continuará en movimiento con una velocidad constante (es decir, velocidad constante en una línea recta) a menos que experimente una fuerza externa que lo obligue a cambiar dicho estado.

Sabías que...? Cada vez que una nave espacial es lanzada se aplica la tercera ley de Newton. La fuerza que impulsa la nave se obtiene al quemar combustible sólido para cohetes. Cuando la fuerza del propulsor en ignición es mayor que la fuerza de gravedad que actúa sobre la masa de la nave esta despega.

Tercera ley de Newton

•

Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, también este ejerce una fuerza sobre aquel. Estas dos fuerzas siempre tienen la misma magnitud y dirección contraria. El enunciado matemático de la tercera ley es: FAB = –FBA





• •

Esta ley es equivalente a establecer que las fuerzas ocurren siempre impares o que no puede existir una fuerza aislada individual. La fuerza que el cuerpo "B" ejerce sobre el cuerpo "A" se conoce como "acción" (FAB). La fuerza

• •

que el cuerpo "A" ejerce sobre el cuerpo "B" se conoce como "reacción" (FAB). En realidad, cualquier fuerza puede marcarse como acción y reacción. La fuerza de acción es igual en magnitud a la fuerza de reacción y opuesta en dirección. En todos los casos, las fuerzas de acción o de reacción actúan sobre objetos diferentes.

Esta es la tercera ley de movimiento de Newton, nuevamente una consecuencia de la definición de fuerza. Se le denomina algunas veces como ley de acción y reacción. Colegios

92

TRILCE

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Física Razonamiento Matemático

1

Sabías que...? La NASA está desarrollando alternativas para la propulsión de naves espaciales; la propulsión eléctrica solar es a celdas solares para generar electricidad, la cual ioniza átomos de kriptón o xenón. Una vez que esos iones se cargan eléctricamente, generan una fuerza de empuje al ser acelerados a través de un campo magnético y finalmente expulsados.

Equilibrio mecánico de una partícula

Una partícula se encuentra en equilibrio relativo si la suma de todas las fuerzas que actúan sobre ella es cero, esto es: F=0 Si el objeto se trata de una partícula, esta es la única condición que debe satisfacerse para el equilibrio. Esto significa que si la fuerza neta sobre la partícula es cero: • La partícula permanece en reposo relativo (si originalmente estaba en reposo). • Se mueve con velocidad constante (si originalmente estaba en movimiento).

Equilibrio mecánico de un cuerpo rígido

Cuando las fuerzas están actuando sobre un cuerpo rígido, es necesario considerar el equilibrio en relación tanto a la traslación como a la rotación. Por lo tanto, se requieren las condiciones siguientes:

1. La suma de todas las fuerzas debe ser cero (equilibrio de traslación): F=0



2. La suma de todos los momentos de las fuerzas con respecto a cualquier punto debe ser cero (equilibrio rotacional): M0=0

Las dos condiciones deben cumplirse simultáneamente para que el cuerpo se encuentre en equilibrio; si una falla no hay equilibrio estático.

Equilibrio y reposo

Terminaremos este capítulo con una revisión de los conceptos de reposo y equilibrio. • Una partícula se encuentra en reposo con relación a un observador inercial, cuando su velocidad medida por este observador es cero y su aceleración es cero. • Una partícula se encuentra en equilibrio con respecto a un observador inercial, cuando su aceleración es cero. Una partícula puede estar en reposo con relación a un observador inercial, pero no estar en equilibrio. Ejemplo: cuando tiramos verticalmente hacia arriba la piedra, está momentáneamente en reposo cuando alcanza su altura máxima. Sin embargo, no está en equilibrio. ¿Por qué? Igualmente, una partícula puede estar en equilibrio y no estar en reposo relativo a un observador inercial. Ejemplo: una partícula libre, como no actúan fuerzas sobre ella, no tiene aceleración y la partícula se encuentra en equilibrio. La situación más común que se encuentra es aquella de una partícula que está tanto en reposo como equilibrio al mismo tiempo. Por dicha razón, muchas personas consideran erróneamente los dos conceptos como sinónimos. Por supuesto, una partícula en equilibrio puede estar siempre en reposo en algún sistema inercial de referencia.

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Unidad IV

93

Fuerza y movimiento

Síntesis de la unidad

se explica mediante usuales Primera ley de Newton Todo cuerpo que se encuentra en un estado, tratará de conservar su estado.

P=mg T

T1 T2

forman

Tercera ley de Newton Todo cuerpo que ejerce una acción sobre otro, debe esperar recibir una respuesta de igual valor pero de sentido contrario.

Se analiza un cuerpo, se le aísla y se le grafican las fuerzas externas que le afecten producto de las interacciones.

P N

Colegios

94

TRILCE

T P

T

N P

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Física Razonamiento Matemático

es una

Cantidad física vectorial medida de una interacción entre dos cuerpos.

es un agente de cambio de estado

N

efecto

Es un estado donde el cuerpo no posee ningún tipo de aceleración.

pero también generan

N

1

N se define

Reposo V=0

MRU y=cte

Ambos casos: La resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es nula (FR=0). A esto se le llama "primera condición de equilibrio".

/F " /F ! /F - /F . Central: 619-8100

Se forma un polígono con las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

Unidad IV

95

Fuerza y movimiento

Aprende más... Análisis de la información

5. Hallar el módulo de la reacción del piso, si el sistema está en equilibrio. Además, las poleas 1. Hacer el diagrama de cuerpo libre (D.C.L) de la son ideales. (mA = 10 kg), (mB = 2 kg). barra, si las superficies son lisas.

B A

a)



b)



d)



e)



c)

2. Hacer el DCL de la esfera, si todas las superficies son lisas.



a) 10 N d) 60 N

b) 20 N e) 30 N

c) 40 N

6. Si el sistema está en equilibrio, hallar el módulo de la tensión "T". (w=25 N).

T 135º w

a)



d)



b)



c)

e)



a) 15 N d) 10 N

b) 25 N e) 5 N

c) 50 N

7. Hallar el módulo de la fuerza "F" para que el bloque suba a velocidad constante en el plano inclinado liso, si: m = 3 kg.

3. Hacer el DCL de nudo "P".

F P 30º

a)



b)



d)



e)



c)

4. Si: w=40 N, hallar el módulo de la tensión en la cuerda (1).Desprecie el peso de la cuerda.



a) 10 N d) 10 3 N

b) 30 N e) 5 3 N

c) 15 N

8. Calcular el módulo de la reacción de la pared sobre la esfera de 4 kg, si está en equilibrio. No considerar rozamiento.

(1)

37º

w

a) 20 N d) 80 N Colegios

96

TRILCE

b) 40 N e) 60 N

c) 10 N



a) 10 N d) 50 N

b) 40 N e) 60 N

c) 30 N

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Física Razonamiento Matemático

9. Sabiendo que la barra homogénea pesa 120'N 13. Calcule la magnitud de la fuerza "F" que y la tensión en la cuerda es 50 N, ¿cuál es el equilibra el sistema Q=600 N (desprecie el módulo de la reacción en el apoyo "A"? peso de las poleas).

1

A F

B Q



a) 50 N d) 120 N

b) 130 N e) 65 N

c) 170 N

10. Calcular el módulo de la tensión en el cable (2), si el sistema se encuentra en equilibrio. g

37º



a) 100 N d) 250 N

b) 150 N e) 300 N

14. La barra homogénea está en equilibrio. Determine el módulo de la reacción del piso, si la barra pesa 60 N, AB = 3'm, BC = 8 m. Liso

(2) 2,5 kg

a) 25 N d) 80 N

c) 200 N

A

3,5 kg b) 35 N e) 100 N

B

C

c) 60 N

a) 80 N b) 60 N c) 30 N d) 40 N e) 100 N 11. El peso del bloque es de 250 N. Si la fuerza vertical "F" tiene un valor de 310 N, determinar 15. Una barra homogénea de 15 kg se encuentra el módulo de la reacción del techo. en equilibrio según se muestra. Determine el módulo de la tensión en la cuerda (1), si la reacción del piso es de módulo 90 N. (g = 10 m/s2). F g



a) 20 N d) 80 N

b) 40 N e) 100 N

(1)

c) 60 N 37º

12. Hallar el módulo de la tensión en la cuerda si la esfera es de 20 N y se encuentra en equilibrio.

a) 40 N d) 90 N

b) 80 N e) 150 N

c) 60 N

º

30

60º

a) 10 N d) 5 N

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b) 20 N e) 20 3 N

c) 10 3 N

Unidad IV

97

Fuerza y movimiento 18:10:45

Practica en casa 1. Hacer el DCL de la barra; superficies lisas. g

5. Hallar el módulo de la tensión "T". Desprecie el peso de las poleas. (g = 10 m/s2).

T



a)



b)



d)



e)



12 kg

c)

2. Hacer el DCL de la esfera; superficies lisas.

a) 120 N d) 40 N

b) 60 N e) 20 N

6. Determinar el módulo de la tensión en la cuerda de longitud "L". (m = 10 kg; g = 10 m/s2).

F

a)



b)

d)



e)



c)

c) 30 N



m

a) 100 N d) 200 N

30º b) 50 N e) 250 N

c) 150 N

7. Determine el módulo de la fuerza "F", si el bloque está en equilibrio. (m = 6 kg, g = 10 m/s2)

3. Hacer el DCL del nudo "A".

m F

A 53º

a) d)



b)



c)

e)

4. Hallar el módulo de la tensión en la cuerda (1). Desprecie el peso de la polea.



a) 48 N d) 12 N

b) 60 N e) 72 N

c) 36 N

8. Hallar el módulo de la reacción en el plano "A" sobre la esfera, si está en equilibrio. Además: m = 10 kg, y las superficies son lisas.

(1)

B

30 N

a) 10 N d) 15 N

Colegios

98

TRILCE

b) 5 N e) 60 N

c) 30 N



a) 50 N d) 100 3 N

b) 60 N e) 25 N

A 60º c) 50 3 N

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Física Razonamiento Matemático

9. Determine la reacción en la articulación si su 13. Determine el módulo de la reacción en la masa es: m=4,8 kg. Además, la tensión en el articulación, si la barra es de 6 kg y se encuentra cable es 14'N; la barra está en equilibrio. en equilibrio.

1

g

g 37º 5 kg

a) 14 N d) 25 N

b) 48 N e) 50 N

c) 24 N



a) 10 N d) 50 N

b) 30 N e) 60 N

c) 40 N

10. Cada esfera pesa 12 N y se encuentran en equilibrio. Hallar la lectura del dinamómetro, 14. Determine la indicación de la balanza si el hombre de 60 kg tira de la cuerda con una fuerza (superficies lisas). de 150 N. Además, el hombre y la balanza están en equilibrio.

g 53º



a) 12 N d) 12 3 N

b) 6 N e) 15 N

c) 24 N

a) 600 N b) 450 N c) 150 N d) 300 N e) 250 N 11. La barra pesa 140 N. ¿Cuál es el valor de la tensión (1) si la barra está en equilibrio? 15. El sistema está en equilibrio, si: M=3'm. Además, H=1,2'm. La longitud de la cuerda es 1 m. 53º 45º Determine "x" (g=10 m/s2, si la barra es homogénea). 1 x

a) 70 N d) 60 N

b) 35 N e) 60 2 N

c) 100 N

áspero

12. Hallar "w1", si: w2=80 N. Además, el sistema está en equilibrio. (q=53º) q

w1

a) 30 N d) 80 N

Central: 619-8100

b) 40 N e) 100 N

H



a) 0,1 d) 0,6

b) 0,2 e) 0,8

c) 0,4

w2 c) 60 N

Unidad IV

99

Equilibrio del cuerpo rígido

Equilibrio del cuerpo rígido Contenido: • Momento de una fuerza respecto a un punto. Magnitud del momento. Dirección del momento. • Unidad. Casos. • Teorema de Varignon. • Segunda condición de equilibrio.

T

oda persona que realiza esta proeza utiliza una barra rígida para mantener su equilibrio. ¿Influirá la longitud de la barra en el equilibrio de la persona? ¿Sería más fácil ó difícil si aumenta la longitud de la barra para que el hombre se mantenga en equilibrio?

Colegios

100

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Física Razonamiento Matemático

2

Conceptos básicos Momento de una fuerza respecto a un punto: M o ¿De qué depende la efectividad de una fuerza para causar o alterar un movimiento de rotación? La magnitud y dirección de la fuerza son importantes, pero también lo es la posición del punto de aplicación. Si tratamos de abrir una puerta pesada, es mucho más efectivo empujar lejos del eje de rotación (cerca de la manija) que cerca de él (cerca de las bisagras). El momento de una fuerza es una magnitud vectorial, por lo tanto, tiene magnitud y dirección.

Magnitud del momento: Mo Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje que pasa por el punto "O", el objeto tiende a girar entorno a ese punto. La tendencia de una fuerza a hacer girar un objeto alrededor de cierto eje que pasa por el punto "O", se mide por medio de una cantidad llamada "momento de una fuerza". Definimos la magnitud del momento de una fuerza respecto a un punto "O", mediante la expresión:

Mo= F b Magnitud de la fuerza

Brazo de palanca

La magnitud del momento de una fuerza respecto a un punto "0" es el producto de la magnitud de una fuerza y el brazo de palanca de esta fuerza; este último se define solo en función del eje de rotación.

•



•



•

La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria que se extiende a partir de ambos extremos del vector que representa la fuerza. El brazo de palanca representa la distancia perpendicular desde el centro de rotación a la línea de acción de la fuerza "F". Es muy importante que podamos reconocer que el momento de una fuerza respecto a un punto se define solo cuando se especifica un punto de referencia.

Sabías que...? w Nosotros estamos en contacto con los momentos de más fuerza todos los días ya que siempre "abrimos puertas" o "cerramos ventanas"; en esos momentos aparecen los momentos de la fuerza. F

Dirección del momento El momento de una fuerza respecto a un punto "0" está representado por un vector perpendicular a r como F ; esto es, perpendicular al plano formado que forma r y F , y dirigido en el sentido de avance de un tornillo de rosca derecho rotado en el mismo sentido que la rotación producida por F alrededor de "0".

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Unidad IV

101

Equilibrio del cuerpo rígido

MO

La fuerza F tiene una mayor tendencia a rotar alrededor de "O" cuando "F" crece, y conforme el brazo de palanca "d" aumenta.

F

r d

Línea de acción

Unidad La unidad en el S.I del momento de una fuerza es el newton-metro. Cuidado: Al hablar de trabajo y energía llamamos joule a esta combinación, pero el momento de una fuerza no es trabajo ni energía. Así que debemos expresarlo en newton-metro, no joule. El momento de una fuerza no debe confundirse con la fuerza. Casos •

o

d

(+)

o



d



M 0F = + Fd

•

F (–)

o

•

M 0F = 0 N.m

F

F M 0F = – Fd

d

F

o

M 0F = + Fd d

•

(+)

F

o •

Colegios

102



TRILCE

F

M 0F = + M F0 + M F0

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Física Razonamiento Matemático

Teorema de Varignon

2

Esto es, el momento respecto a un punto de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzas respecto al mismo punto. Esta propiedad fue establecida por primera vez por el matemático francés Varignon (1654-1722), mucho antes de la introducción del álgebra vectorial y se conoce con el nombre de teorema de Varignon. F3 FR = F1 30 m 45° (M ) o Mo + Mo + Mo +.... 10 m

Segunda condición de equilibrio Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio mecánico de rotación, o sea, que no rote o lo haga con velocidad angular constante, se debe cumplir que el momento resultante debe ser nulo. MRo =0

Sabías que...? La báscula romana es un ejemplo de equilibrio con brazos desiguales; esta balanza que tiene casi 2000 años de antigüedad sirvió para pesar objetos pesados con contrapesos pequeños conocidos.

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Unidad IV

103

Equilibrio del cuerpo rígido

Síntesis de la unidad

aplicación

posee

Módulo

M

Dirección

eje

F

d 0 centro de gravedad M0F =±Fb

F

F

M

M+

M --

Antihorario

Horario

lo garantiza

Colegios

104

TRILCE

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Física Razonamiento Matemático

2

para varias fuerzas

F2 0

F1 F3

F F F F MoR = Mo1 + Mo2 + Mo3+......

El cuerpo no rota

si

entonces

El cuerpo rota a velocidad angular constante

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Unidad IV

105

Equilibrio del cuerpo rígido

Aprende más... Análisis de la información 1. Determine el momento de: F=10 N, con respecto a "0". 0

2m

2m F



6. Determine el momento resultante, respecto al punto "A" de la barra ingravida.

a) 10 Nm d) 20 Nm

b) –20 Nm e) 5 Nm

c) –10 Nm



a) 60 Nm d) 30 Nm



b) 30 Nm e) 90 Nm

c) –30 Nm

a) 10 Nm d) 25 Nm

b) 20 Nm e) 0 Nm

8. Determine la magnitud de la tensión en la cuerda, si la barra homogénea está en equilibrio. (w=40 N)



53º b) 45 Nm e) –75 Nm

c) 75 Nm

a) 10 N d) 40 N

b) 20 N e) 80 N

37º



30º



a) 10 Nm d) 20 Nm

6m b) 15 Nm e) –15 Nm

c) 12 Nm

a) 15 N d) 30 N

a) 30 Nm d) 0 Nm Colegios

106

TRILCE

b) –15 Nm e) –30 Nm

c) 15 Nm

b) 10 N e) 60 N

c) 25 N

10. La barra homogénea pesa 16 N. Calcular el módulo de la tensión en la cuerda.

5. Determine el momento de: F=10 N, con respecto a "O". 3m F 0

c) 30 N

9. La barra homogénea se encuentra en equilibrio. Hallar el "w" peso de la barra, si la tensión en la cuerda es 25 N.

4. Determine el momento de: F=5 N, con respecto a "O". F

0

c) 5 Nm

g

5m

a) 30 Nm d) –45 Nm

F2=5 2 N

B

F



45º

4 m

3. Determine el momento de: F=15 N, con respecto de "0".

o

c) 50 Nm

4 m

F1=10 N

1m

0 a) 60 Nm d) –60 Nm

b) 40 Nm e) –40 Nm

7. Determine el momento resultante, respecto al punto "B" de la placa ingravida.

3m



F=10 N

A

2. Determine el momento de: F=20 N, con respecto de "0". F

F2=5 N 4m

53º

a) 4 N d) 6 N

b) 8 N e) 24 N

c) 12 N

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Física Razonamiento Matemático

11. Determine el módulo de la tensión en la cuerda "A", si la barra homogénea está en equilibrio. Además, su peso es 160 N. A

B

2m

14. Halle la mayor masa que puede tener el bloque de tal forma que el tablón homogéneo de 10 kg y 5 m de longitud se mantenga en posición horizontal.

2

0,5 m

8 m

a) 60 N d) 120 N

b) 80 N e) 40 N

M

c) 100 N

12. Determine la lectura del dinamómetro, si la barra es homogénea y de 12 kg. Además, está en equilibrio. (g = 10 m/s2)("M" es punto medio). Dinamómetro



a) 10 kg d) 50

b) 20 e) 40

c) 30

15. Se muestra una escalera homogénea de 18 kg en reposo sobre las superficies lisas. ¿Qué valor tiene la tensión? (g = 10 m/s2).

2m

30º M

a) 20 N d) 60 N

b) 30 N e) 80 N

c) 40 N

13. Determine el módulo de la reacción de la superficie inclinada lisa sobre la barra homogénea de 2,5 kg. (g = 10 m/s2).

53º

a) 120 N d) 135 N

2m

b) 125 N e) 180 N

c) 250 N

g

37º

a) 10 2 N d) 20 2 N

82º

b) 5 2 N e) 10 N

c) 15 2 N

18:10:45

Practica en casa 1. Determine el momento de: F = 8 N, con respecto 2. Determine el momento de: F = 15 N, con resal punto "o". pecto de "A". F F 2m 4 m 1m A

o

a) 16 Nm d) 4 Nm Central: 619-8100

b) –16 Nm e) 12 Nm

c) 8 Nm



a) –36 Nm d) 56 Nm

b) –60 Nm e) –24 Nm

c) –48 Nm

Unidad IV

107

Equilibrio del cuerpo rígido

3. Determine el momento de: F=10 N, con respecto a "0".

8. Determine el momento resultante, respecto al punto "A", si la placa es ingrávida.

F1=10 N

30º

a) 15 Nm d) 10 Nm

2m

b) 20 Nm e) 25 Nm

4 m

53º F

a) 32 Nm d) 24 Nm



a) 12 Nm d) 2 Nm

b) 64 Nm e) 12 Nm

c) 48 Nm

c) 4 Nm

2m F1=5 N 1m

F

3m 0 a) 0 Nm d) 12 Nm

b) 10 Nm e) 22 Nm

F2=10 N

5. Determine el momento de: F=12 N, con respecto a "0".



F2=5 N

9. Determine el momento resultante respecto de "O", si la barra es ingrávida.

4 m

0

A

c) 30 Nm

4. Determine el momento de: F=20 N, con respecto a "0".



2m

3m

0

37

º

F

b) 36 Nm e) 24 Nm

c) 18 Nm

a) 0 Nm d) 10 Nm

4 m

b) 4 Nm e) 12 Nm

c) 6 Nm

10. Determine la tensión en la cuerda, si la barra homogénea es de 8 kg. Además, está en equilibrio.

6. Determine el momento resultante, respecto de "A", si la barra es ingrávida. 4 m

B

F2=5 N

2m

1 m

F1=10 N

a) –20 Nm d) 20 Nm

1m

A

b) –10 Nm e) 30 Nm

c) 10 Nm

7. Determine el momento resultante, respecto al punto "B", si la barra es ingrávida.

a) 20 N d) 50 N

b) 16 N e) 60 N

c) 40 N

11. La barra es homogénea y de peso: w = 40 N. Hallar el módulo de la tensión en la cuerda, si la barra está en equilibrio.

F1=10 N B



a) 18 Nm d) 42 Nm Colegios

108

TRILCE

3m

37º 53º 2 m F2=5 N b) 12 Nm e) 65 Nm

53º

c) 30 Nm



a) 20 N d) 50 N

b) 16 N e) 60 N

c) 25 N

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Física Razonamiento Matemático

12. La barra homogénea pesa 12 N. Calcular el módulo de la tensión en la cuerda.

14. Determine el módulo de la reacción de la superficie inclinada lisa sobre la barra homogénea de 2,5 kg. (g = 10 m/s2).

2

37º 61º

16º

a) 24 N d) 18 N

b) 12 N e) 8 N

c) 6 N

13. Determine la tensión en la cuerda "A", si la barra homogénea está en equilibrio. Además, su peso es 150 N. A 2m

a) 100 N d) 25 N



b) 10 2 N e) 6 2 N

c) 20 2 N

15. Se muestra una barra homogénea de 3,5 kg en reposo sobre superficies lisas. ¿Qué valor tiene la tensión? g = 10 m/s2.

B 3m

b) 50 N e) 85 N

1m c) 75 N 21º

Central: 619-8100

a) 12 2 N d) 24 2 N

a) 10 N d) 38,56 N

127º

b) 15 N e) 25 N

c) 19,53 N

Unidad IV

109

Movimiento a lo largo de una línea recta

Movimiento a lo largo de una línea recta Contenido: • Dinámica. • Segunda ley de Newton. • Unidades de fuerza y masa. • Peso. • Aplicación de la segunda ley de Newton.

U

n "skydiver" acelera hasta alcanzar una velocidad terminal aproximada a 140 mph. Para comprender su movimiento necesitamos mirar correctamente a las fuerzas ejercidas sobre él. Necesitamos saber como estas fuerzas determinan sus movimientos; nosotros descubriremos la relación fundamental entre la fuerza y el movimiento. Sin querer este "skydiver", puede no saberlo, está poniendo a prueba leyes de Newton con su lanzamiento hacia la superficie. •

¿Qué movimiento realiza el "skydiver"?, ¿será un MRU o MRUV?

•

¿Qué condiciones se cumplen para que alcancen una velocidad terminal en su movimiento?

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3

Conceptos básicos Dinámica

En el capítulo anterior se estudió el movimiento de una partícula. No preguntamos qué "causaba" el movimiento; nos limitamos a describirlo a partir de la posición de la partícula, de su velocidad y de su aceleración. En este capítulo se explican las causas del movimiento, rama de la Física que se conoce como dinámica. El enfoque de la dinámica que consideramos, llamado comúnmente mecánica clásica, fue formulado y probado con éxito en los siglos XVII y XVIII. Las teorías más recientes (la relatividad general y especial, así como la mecánica cuántica) han revelado algunos campos muy ajenos a nuestra experiencia ordinaria donde la mecánica clásica no ofrece predicciones que concuerden con los experimentos, pero en lo tocante a los objetos comunes coinciden con la mecánica clásica.

Recuerda que... La fuerza produce aceleración a un cuerpo; no produce velocidad.

Segunda ley de Newton

Al tratar de la primera ley de Newton, vimos cuando ninguna fuerza, o una fuerza neta cero, actúa sobre un cuerpo, este se mueve con velocidad constante y aceleración cero. La segunda ley de Newton responde la pregunta de lo que sucede a un objeto que tiene una fuerza resultante diferente de cero actuando sobre él. Si una fuerza externa neta actúa sobre un cuerpo, este se acelera. La dirección de la aceleración es la misma que la de la fuerza neta. La aceleración del cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa, si la masa es constante. De este modo, es posible relacionar la fuerza y la masa con el siguiente enunciado matemático de la segunda ley de Newton: FR a=b m

......... I

El símbolo de proporcionalidad "b" puede reemplazarse por la unidad siempre que estemos en el S.I. Hay al menos cuatro aspectos de la segunda ley de Newton que merecen una atención especial: •

Primero, la ecuación "I" es vectorial y se puede escribir: / F = ma

......... II

Cada componente de la fuerza total es igual a la masa multiplicada por la componente correspondiente de la aceleración: / Fx=max ; / Fy=ma y ; / Fz=maz • • •

Segundo, el enunciado de la segunda ley se refiere a fuerzas externas, es decir, fuerzas ejercidas sobre el cuerpo por otros cuerpos de su entorno. FR Tercero, las ecuaciones: a= m y FR =ma son equivalentes y solo son válidas si la masa "m" es constante. Cuarto, la segunda ley de Newton solo es válida en un sistema inercial de referencia. Ten en cuenta

La segunda ley de Newton es la base de todas las teorías dinámicas (debemos señalar que parafraseamos a Newton). Como la enunció, la segunda ley es más general, pero no se puede explicar fácilmente. En un capítulo posterior se volverá a mencionar la fórmula de forma más general y correcta de la segunda ley:

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Unidad iV

111

Movimiento a lo largo de una línea recta

F=

dp dt

Unidades de fuerza y masa Sistema de unidades

Masa

Aceleración

S.I

kg

m/s2

Fuerza 1N=kg . m/s2

Sabías que...? Una ardilla voladora aumenta su área extendiéndose. Esto incrementa la resistencia del aire y disminuye la rapidez de la caída.

Peso "W"

Sabemos que todos los objetos son atraídos hacia la Tierra. La fuerza ejercida por la Tierra sobre un objeto se denomina el peso del objeto "w". Esta fuerza está dirigida hacia el centro de la Tierra y su punto de aplicación se ubica en el centro de gravedad del objeto. El peso de un objeto es una fuerza, una cantidad vectorial y podemos escribirla como una ecuación vectorial.

W=m g Donde "m" es la masa del objeto y "g" es la aceleración de la gravedad.

• •



• •

Puesto que depende de "g", el peso varía con la ubicación geográfica. Los cuerpos pesan menos a altitudes mayores que al nivel del mar, esto es porque g disminuye con las distancias crecientes desde el centro de la Tierra. El peso, a diferencia de la masa, no es una propiedad inherente de un cuerpo. Es importante entender que el peso de un cuerpo actúa sobre el mismo todo el tiempo, esté en caída libre o no.

Un astronauta de 80,0 kg pesa (80,0)(9,8 m/s2)=784 N en la superficie de la Tierra, pero en la Luna solo pesaría (80,0 kg) (1,62m/s2)=129,6N

Aplicación de la segunda ley de Newton

(Para sistema inercial de referencia). Ahora podemos analizar problemas de dinámica, donde aplicamos la segunda ley de Newton a cuerpos en aceleración (no en equilibrio). En este caso, la fuerza neta sobre el cuerpo no es cero; es igual a la masa del cuerpo multiplicada por su aceleración. El siguiente procedimiento se recomienda para abordar problemas que requieren la aplicación de las leyes de Newton.

•

Aísle al objeto cuyo movimiento se analiza. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para este objeto. No incluya en el diagrama de cuerpo libre las fuerzas que el objeto ejerce sobre sus alrededores.

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F

mg

3

f N

•

Establezca ejes coordenadas convenientes para cada objeto y determine las componentes de las fuerzas a lo largo de estos ejes. y

Fy

mg

Fx x f N



•

Aplique la segunda ley de Newton: si la fuerza tiene la misma dirección que la velocidad, el movimiento es en línea recta. a Fx

f

podemos observar que las fuerzas perpendiculares a la aceleración se anulan entre sí.

•

Otra forma de aplicar si se conoce la dirección de la aceleración.

FR=



•

/F – /F

a favor de "a"

=ma

en contra de "a"

Con el ejemplo dado, hemos tratado el movimiento rectilíneo. Consideremos ahora el caso del movimiento curvilíneo.

Recuerda que... "ma" no es una fuerza, por lo tanto, en el DCL no se grafica por ser solo una fuerza resultante "FR".

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Unidad IV

113

Movimiento a lo largo de una línea recta

Síntesis de la unidad

F2

F1

F3

estudia las relaciones entre

provocan

/F=FR

a FRE

FR a= m

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FR

N

m

Kg

a

m/s2

se aplica

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3

Aprende más... Análisis de la información 1. Hallar el módulo de la aceleración del bloque; superficies lisas.

a) 2,5 m/s2 d) 4

b) 3 e) 4,5

2 kg

27 N

3 kg a) 5 m/s2 d) 6

3 kg

c) 3,5

2. Halla el módulo de la aceleración del bloque, si la superficie genera un oposición de 12 N.



F=70 N

7 N

2 kg

7. Hallar el módulo de la aceleración del sistema (g = 10 m/s2).

b) 4 e) 3



a) 4 m/s2 d) 6

b) 3 e) 2

c) 5

8. Hallar el módulo de la aceleración de los bloques. (g = 10 m/s2).

c) 2

3. Halle el módulo de la aceleración del bloque; superficie lisa. F=25 N. F

7 kg

37º 4 kg



a) 1 m/s2 d) 4

3 kg

3 N

b) 2 e) 5

c) 3

4. Halle el módulo de la aceleración de los bloques en superficies lisas. 7 kg

a) 2 m/s2 d) 5

3 kg b) 3 e) 6



a) 100 N d) 180

6 kg

a) 2 m/s2 d) 5

b) 140 e) 110

100 N c) 200

1 Kg

4 Kg



a) 10 m/s2 d) 7

37º

3 kg

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b) 3 e) 6

c) 8

a

F=45 N

a) 2 m/s2 d) 5

b) 9 e) 6

10. Hallar el módulo de la aceleración del bloque. (g = 10 m/s2). La masa es 4 kg.

6. Hallar el módulo de la aceleración del bloque. (g = 10 m/s2).



c) 4

9. Hallar el módulo de la aceleración de los bloques. (g = 10 m/s2).

c) 4

4 kg

b) 3 e) 1

40 N

5. Calcular el módulo de la fuerza contacto entre los bloques. 200 N



c) 4



a) 10 m/s2 d) 4

b) 8 e) 5

c) 6

Unidad IV

115

Movimiento a lo largo de una línea recta

11. Hallar el módulo de la aceleración de los bloques. (g = 10 m/s2).

m

13. Hallar el módulo de la aceleración de los bloques (g = 10 m/s2).

m

m

37º



a) 10 m/s2 d) 7

b) 9 e) 6

5 Kg 5 Kg

b) 4 e) 10



c) 6

a) 0 m/s2 d) 3

b) 1 e) 5

c) 2

14. Un tren que consta de cuatro vagones idénticos acelera con 6 m/s2. ¿Cuál será el módulo de la aceleración en el instante que se desprende uno de los vagones?

53º a) 2 m/s2 d) 8

53º

37º c) 2

12. Hallar el módulo de la aceleración de los bloques. (g = 10 m/s2).



m

a) 8 m/s2 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

15. Una persona de 750 N de peso está parado sobre una balanza dentro de un ascensor. Si empieza a subir aceleradamente a 4 m/s2, ¿cuál será la lectura de la balanza?

a) 850 N d) 1150

b) 950 e) 1200

c) 1050

Practica en casa 1. Hallar el módulo de la aceleración del bloque; superficie lisa. 3 kg 15 N

18:10:45

4. Halle el módulo de la aceleración de los bloques; superficie lisa. 4 kg 1 kg

42 N

1 m/s2

a) d) 1,5

b) 2 e) 5

c) 2,5

2. Hallar el módulo de la aceleración del bloque; superficie lisa. 3 kg 3 N 12 N



1 m/s2

a) d) 4

b) 2 e) 5

8 N

a) 2 m/s2 d) 8 Colegios

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b) 4 e) 12



a) 2 m/s2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

5. Halle el módulo de la aceleración de los bloques; superficie lisa. 5 N

c) 3

3. Hallar el módulo de la aceleración del bloque; superficie lisa. 2 kg

12 N



a) 8 m/s2 d) 2

3 kg

2 kg

b) 6 e) 10

35 N

c) 4

25 N 37º c) 6

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6. Hallar el módulo de la aceleración del bloque. (g=10 m/s2).

11. Hallar el módulo de la aceleración de los bloques. (g=10 m/s2). m

F=50 N 2 kg

a) 5 m/s2 d) 7,5

30º

b) 10 e) 25

c) 15

7. Hallar el módulo de la aceleración de los bloques. (g = 10 m/s2).

m



a) 5 m/s2 d) 2,5

1 kg

b) 10 e) 30

c) 7,5

m

2 kg a) 5 m/s2 d) 20

b) 3 e) 1,5

12. Hallar el módulo de la aceleración de los bloques. (g=10 m/s2).

F=60 N



3

m c) 15

8. Hallar el módulo de la aceleración de los bloques. (g=10 m/s2).

53º

30º b) 1 e) 2,5

a) 0,5 d) 2

c) 1,5

13. Hallar el módulo de la aceleración de los bloques (g = 10 m/s2). 2 kg

a

3 kg



a) 0 m/s2 d) 5

b) 2 e) 10

c) 4

9. Hallar el módulo de la aceleración de los bloques. (g = 10 m/s2). 4 kg

a) 0 m/s2 d) 3

c) 2

10. Hallar el módulo de la aceleración del bloque. (g=10 m/s2). La masa es de 4 kg. a

53º



b) 1 e) 4

1 kg

a) 2 m/s2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

14. Del problema anterior, hallar el módulo de la fuerza de contacto entre los bloques.

1 Kg



4 kg

m

a) 0 N d) 3

b) 1 e) 5

c) 2

15. Una persona va en un ascensor que baja aceleradamente con 6 m/s2. Determine la lectura de la balanza, si el hombre está parado sobre ella dentro del ascensor. (mhombre = 80 kg) (g=10 m/s2)

a) 800 u d) 220

b) 600 e) 320

c) 680

53º



a) 4 m/s2 d) 10

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b) 6 e) 5

c) 8

Unidad IV

117

rozamiento

rozamiento Contenido: • Rozamiento. • Fuerza de fricción. Fricción estática y cinética. • Fuerza de fricción estática. • Fuerza de fricción cinética. • Análisis de fricción.

P

or muchas centurias, los zapatos estuvieron hechos frecuentemente de cuero, tela o madera. Estos ayudaban a proteger el pie, pero proveían mucha tracción en superficies resbalosas; en las últimas centurias, las industrias comenzaron a colocar goma en la base de las zapatillas (zapatos de lona) creando así las primeras zapatillas. Las zapatillas proporcionaron buena tracción, pero en la planta de los pies esto debía ser muy pesado especialmente para los atletas. Una mañana de 1970, un entrenador de atletismo fue a desayunar sus wafles y tuvo una idea: un fondo en la planta de los pies que pudiera ser más ligera y proveer mayor tracción. Luego, la plantilla de wafles pronto comenzó a ser un stándar en las zapatillas de carreras. ¿Hoy en día se trata de utilizar otros materiales para mejorar y aumentar la tracción para las carreras de atletismo?

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4

Conceptos básicos Rozamiento Es el fundamento microscópico de la fricción. En la escala atómica, hasta la superficie más pulida dista mucho de ser plana. Por ejemplo, si tenemos un perfil muy ampliado de una superficie de acero que podía considerarse muy bien pulida. Es fácil deducir lo siguiente: cuando ponemos en contacto dos cuerpos, el área microscópica de contacto es mucho menor que la real de la superficie; en un caso particular las superficies pueden hallarse fácilmente en la razón de 1:104. La superficie (microscópica) de contacto es proporcional a la fuerza normal, porque los puntos de contacto se deforman plásticamente bajo los grandes esfuerzos que aparecen en ellos. Muchos de los puntos de contacto se "sueldan frío". Este fenómeno denominado adhesión de superficie, se debe a que en los puntos de contacto las moléculas de la superficie opuestos están tan cercanas, que ejercen una gran fuerza intermolecular entre sí. Cuando se tira de un cuerpo (un metal por ejemplo) a través de otro, la resistencia de fricción se relaciona con la ruptura de estos millares de soldaduras diminutas, que continuamente se reconfiguran a medida que se efectúan más contactos aleatorios. Los experimentos con trazadores radiactivos han demostrado que, en el proceso de rompimiento de los fragmentos pequeños de una superficie metálica, pueden desprenderse y adherirse a otras superficies. Si la rapidez relativa de dos superficies es bastante grande, puede producirse una fusión local en algunas áreas de contacto aunque la superficie en su conjunto se sienta solo un poco caliente. Los fenómenos de "adhesión y deslizamiento" son la causa de los ruidos que las superficies secas producen cuando resbalan una sobre otra como, por ejemplo, el chillido del gis en el pizarrón. La resistencia en una fricción seca deslizante puede reducirse de manera importante por medio de la lubricación. Es una técnica que se utilizaba en el antiguo Egipto para mover los bloques con que se construyeron las pirámides. Un método todavía más eficaz, es introducir una capa de gas entre las superficies deslizantes; dos ejemplos de ello son la vía de aire de laboratorio, y el cojinete soportado por gas. Podemos disminuir aun más la fricción, colgando un objeto por medio de fuerzas magnéticas.Los trenes levantados por medios magnéticos, actualmente en vías de desarrollo, pueden viajar en alta velocidad casi sin fricción. Dos superficies ásperas en contacto

Muy pocos puntos están actualmente en contacto

Fuerza de fricción

Cuando hay dos cuerpos en "contacto", tal como en el caso de un libro que reposa sobre una mesa, hay una resistencia que se opone al movimiento relativo entre los dos cuerpos. Dicha resistencia recibe el nombre de "fuerza de fricción" por deslizamiento. Esta fuerza es muy importante en nuestra vida cotidiana. Nos permite caminar o correr y es necesaria para el movimiento de vehículos rodantes (fricción por rodamiento). El arrastre del aire (la fricción ejercida por el aire sobre un cuerpo que se mueve a través de él) reduce el rendimiento del combustible en los autos pero hace que funcionen los paracaídas. Sin fricción, los clavos se saldrían, las bombillas se desatornillarían sin esfuerzo y jamás podríamos andar en bicicleta. Existen dos tipos de rozamiento: rozamiento seco, a veces llamado rozamiento de coulomb, y rozamiento fluido. Este último se verifica entre capas de fluidos que se mueven a diferentes velocidades. El rozamiento fluido tiene gran importancia en los problemas que tratan de flujo del fluido a través de tuberías u orificios o que se refieren a cuerpos inmersos en fluidos móviles. Es también básico en el análisis del movimiento de los mecanismos lubricados. Estos problemas se consideran en los textos de mecánica de fluidos. Limitaremos Central: 619-8100

Unidad iV

119

Rozamiento

el estudio presente al rozamiento seco, es decir, problemas que se ocupan de cuerpos rígidos que están en contacto a lo largo de superficies no lubricadas.

Enlaces moleculares formados entre dos materiales. Estos enlaces tienden a romperse cuando los obstáculos resbalan.

Fricción estática y cinética

La fuerza de fricción puede ser estática o cinética dependiendo de la situación que se presente, pero limitaremos el estudio presente al rozamiento seco, es decir, a problemas que se ocupan de cuerpos rígidos que están en contacto a lo largo de superficies no lubricadas. Pero no debemos olvidar que la única fuerza que la superficie le aplica al cuerpo en estudio es la reacción. Analizaremos que la reacción tiene dos componentes en una superficie en contacto: la normal y la fricción.

Recuerda que...

f φ

R

R=N+f

Para medir la rugosidad de las superficies existe un instrumento electrónico llamado rugosímetro.

N R= N2 + f2

Tanφ= f N

Fuerza de fricción estática

Si aplicamos una fuerza horizontal externa "F" a un bloque sobre una mesa horizontal, como se muestra en la figura, hacia la derecha, el bloque permanece estacionario si "F" no es suficientemente grande. La fuerza que se contrapone a "F" y evita que el bloque se deslice, actúa en contra de la tendencia a deslizar y recibe el nombre de fuerza friccionante "F".

•

Mientras el bloque no está deslizando, f=F. Puesto que el bloque está estacionario, llamamos a esta fuerza friccionante la fuerza de fricción estática, "F"s. mg F fs N 0 # fs # fs,máx

Experimentalmente se encuentra que hasta una buena aproximación, "fsmáx" es proporcional a la fuerza normal que actúa sobre el bloque. Esto es verificable cuando el cuerpo se encuentra a punto de deslizar Colegios

120

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Física Razonamiento Matemático

(movimiento inminente).

4

Movimiento Inminente fsmáx = msN Donde "mS" es una constante llamada coeficiente de fricción estática, "ms" es número puro sin unidades (constante adimensional). Si el bloque se encuentra en movimiento inminente se cumple: N Fext

mg

φs

R

mS=Tan φs Esto se demuestra experimentalmente en un plano inclinado, cambiando el ángulo del plano inclinado para que el bloque se encuentre en movimiento inminente. • Si incrementamos la magnitud "F", en algún momento el bloque se deslizará. Cuando el bloque está a punto de deslizarse, "fs" es un máximo y se llama fuerza de fricción estática. • Cuando "F" supera a " fsmáx", el bloque se desliza. Fuerza de fricción cinética Supongamos, por ejemplo, que empujamos un libro a lo largo de una mesa, dándole cierta velocidad. Después, es soltado y disminuye su velocidad hasta que se detiene. Esta pérdida de la velocidad es una indicación de la existencia de una fuerza opuesta al deslizamiento. Esta fuerza se denomina fricción por deslizamiento y se debe a la interacción entre las moléculas de los dos cuerpos, algunas veces llamada cohesión y adhesión dependiendo de si los cuerpos son del mismo o diferente material. El fenómeno es algo complejo y depende de muchos factores tales como la condición y la naturaleza de las superficies, la velocidad relativa, etc. El tipo de fricción que actúa cuando un cuerpo se desliza sobre una superficie es la fuerza de fricción cinética "fk". Coeficientes de fricción ms mk

•

Acero con acero

0,74

0,57

Aluminio con acero

0,61

0,47

Cobre con acero

0,53

0,36

Caucho con concreto

1,0

0,8

Vidrio con vidrio

0,94

0,4

Hido con hido

0,1

0,03

Tehon con tehon

0,04

0,04

Articulaciones sinoviales en seres humanos

0,04

0,003

Podemos verificar experimentalmente que la "fk" tiene una magnitud que para muchos propósitos prácticos puede considerarse como proporcional a la fuerza normal "N".

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Unidad IV

121

Rozamiento

fk=mk N mg

movimiento

fk N donde "mk" es una constante llamada coeficiente de fricción cinética, "mk" es número puro sin unidades (constante adimensional). • •

La fuerza de fricción por deslizamiento se opone al deslizamiento del cuerpo. Si el bloque se encuentra moviéndose con velocidad constante se cumple: N Fext

mk=Tan φk

mg

φk

R

Esto se demuestra experimentalmente en un plano inclinado, cambiando el ángulo del plano inclinado para que el bloque se desplace con velocidad constante. CUIDADO: Cuando dos cuerpos "A" y "B" están en contacto, son de igual magnitud y dirección opuestas las fuerzas de fricción ejercidas, respectivamente, por "A" sobre "B" y por "B" sobre "A" (tercera ley de Newton). Para la dirección de la fuerza de fricción es importante indicar la dirección correcta. Entonces deberá observar la siguiente regla: la dirección de la fuerza de fricción que actúa sobre un cuerpo "A" es opuesto al de deslizamiento (o movimiento inminente) de "A" cuando se observa de "B". De un modo semejante se determina la dirección de la fuerza de rozamiento que actúa sobre "B". Obsérvese que se determina por un movimiento relativo. Se cumple para el mismo objeto en estudio y la misma superficie "φk< φs".

Análisis de fricción movimiento

mg

F

mg

fk

fs N (a)

Colegios

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F

N (b)

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f

4

fsmáx=ms N fs=F fk=mkN F

0 Región estática

Región cinética

(c) De las figuras: (a) La magnitud de la fuerza de fricción estática es igual a la fuerza aplicada. (b) Cuando la magnitud de la fuerza aplicada supera a la de la fuerza de fricción cinética, el bloque acelera a la derecha. (c) Una gráfica de la fuerza de fricción contra la fuerza aplicada. Advierta que: fsmáx> fk .



Las observaciones experimentales indican una buena aproximación:

•



• •

Los valores "mk" y "ms" dependen de la naturaleza de las superficies, aunque "mk" es, por lo general,menor que "ms ". Los coeficientes de fricción son casi independientes del área de contacto entre las superficies. La fuerza de fricción también depende de la rapidez del cuerpo relativa a la superficie. Ignoramos este efecto y supondremos que "mk" y "mf " son independientes de la rapidez para concentrarnos en los casos más simples.

Sabías que...? La fuerza de rozamiento no depende de la velocidad ni del área en contacto.

La naturaleza aproximada de las ecuaciones "fsmáx" y "fk" se demuestra fácilmente tratando de lograr que el bloque se deslice hacia abajo por un plano inclinado a velocidad constante. En especial a bajas velocidades, es probable que el movimiento se caracterice por episodios de adherencia y de deslizamiento. A partir de la descripción anterior, parece que pueden presentarse cuatro situaciones diferentes cuando un cuerpo rígido se pone en contacto con una superficie horizontal: 0 # F0 La fuerza de fricción efectúa: Wf T2

Calor

Equilibrio térmico

Es aquel estado de los cuerpos en el cual todos poseen la misma temperatura, la que se denomina temperatura de equilibrio (TE). En dicho estado no hay transferencia de calor entre los cuerpos.

Unidades de calor

Siendo el calor, energía; su unidad natural es el Joule (J), pero todavía se utilizan unidades prácticas como la caloría (cal) y la kilocaloría (kcal).

Equivalente mecánico del calor 1 kilocaloría=1000 calorías

Calor específico (CE)

Esta magnitud es una característica de cada sustancia, que nos indica la cantidad de calor que se debe dar o quitar a cada unidad de masa para que su temperatura cambie en una unidad. Q m ∆T

Fórmula del calor sensible:



Calor ganado Q (+) Calor perdido Q (-) Algunos valores típicos son: CE(agua)=1 cal/g.ºC CE(hielo)=CE(vapor de agua)=0,5 cal/g.ºC Central: 619-8100

Unidad Vii

181

Equilibrio térmico

Conservación de la energía

Al colocar en contacto cuerpos a diferentes temperaturas, ellos intercambian calor hasta alcanzar el equilibrio térmico, para esto todo el calor ganado por los cuerpos fríos en valor debe ser igual al calor perdido por los cuerpos calientes. Qganado= - Qperdido →

Calorímetro de mezclas

Se denomina así a un recipiente térmicamente aislado del medio ambiente.

Equivalente en agua de un calorímetro (mEquiv)

Es la masa de agua hipotética capaz de ganar o ceder igual cantidad de calor que el calorímetro al experimentar igual variación de temperatura. mEquiv= mc = Masa del calorímetro = Calor específico del calorímetro CE(C) CE(agua) = Calor específico del agua

Síntesis de la unidad

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1

Aprende más... 1. Hallar la masa de un cuerpo de: CE=0,2 cal/g.ºC 6. En un recipiente se mezclan 40 g de agua a 10 ºC que al ganar 100 cal aumentó su temperatura de con 100 g de una pieza a 80 ºC. Hallar su calor 10 ºC a 50 ºC. específico, si la temperatura de equilibrio es de 50 ºC. a) 10,5 g b) 12 c) 12,5 d) 13 e) 14,5 a) 0,7 cal/g.ºC b) 0,53 c) 0,24 d) 0,42 e) 0,62 2. En un recipiente se mezclan 40 g de agua a 10 ºC y 60 g de agua a 50 ºC. Hallar la temperatura de 7. Se mezclan 20 g de agua a 10 ºC, 30 g de equilibrio. agua a 30 ºC y 50 g de agua a 20 ºC. Hallar la temperatura de equilibrio. a) 14 ºC b) 24 ºC c) 34 ºC d) 44 ºC e) 46 ºC a) 17 ºC b) 19 ºC c) 21 ºC d) 35 ºC e) 42 ºC 3. Si 30 g de agua a 30 ºC se mezclan con 70 g de agua a 70 ºC, calcular la temperatura de 8. Hallar la temperatura final de un cuerpo de equilibrio. masa 4 g (CE=0,1 cal/g.°C) que se encuentra a 10 ºC, al ganar 40 cal. a) 49 ºC b) 40 ºC c) 58 ºC d) 61 ºC e) 63 ºC a) 100 ºC b) 90 °C c) 110 °C d) 120 ºC e) 80 °C 4. A 100 kg de un líquido “x” cuya temperatura es 50 ºC se le agrega 1 kg de hielo a -50 ºC. Si la 9. Hallar el incremento de temperatura que sufre mezcla líquida que resulta tiene una temperatura un cuerpo (CE=0,5 cal/g.ºC) al ganar 500 cal (m=5 g). de 30 °C, ¿cuál es el calor específico de “x”, en kcal/g.°C? a) 100 ºC b) 120 ºC c) 150 ºC d) 170 ºC e) 200 ºC a) 0,575 b) 0,675 c) 0,775 d) 0,975 e) 0,0675 10. En un recipiente se mezclan 20 g de agua a 40 ºC con 50 g de un cuerpo (CE=0,4 cal/g.ºC) a 5. Un recipiente contiene 100 g de agua a 20 ºC. Se le vierte un líquido “x” de 400 g a 80 ºC 100 ºC. Hallar la temperatura de equilibrio. y se obtiene una temperatura de equilibrio del sistema de 60 ºC. Determinar el equivalente en a) 45 ºC b) 50 ºC c) 55 ºC agua del recipiente. d) 65 ºC e) 70 ºC

a) 100 g d) 50

b) 120 e) 200

c) 80 18:10:45

Practica en casa 1. Hallar la cantidad de calor que se le debe entregar a un cuerpo de 5 g (CE=0,2 cal/g.ºC) para aumentar la temperatura de 10 ºC a 50 ºC. 3. a) 20 cal b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 2. Calcular la capacidad calorífica de un bloque de cierto material, si al entregarse 1000 cal su temperatura se incrementa en 10 ºC.

Central: 619-8100

a) 50 cal/ºC d) 90

b) 100 e) 150

c) 70

En un recipiente que contiene 100 g de agua a 20 ºC, se introduce un cuerpo de masa 200 g a 80 ºC (CE=0,2 cal/g.ºC). Hallar la temperatura de equilibrio. a) 27,2 ºC d) 24 ºC

b) 32 ºC e) 42,2 ºC

c) 37,14 ºC

Unidad Vii

183

1

Equilibrio térmico

4. Una masa de 500 g se encuentra a la temperatura 8. Un cuerpo de masa 4 g (CE=0,5 cal/gºC) eleva su temperatura de 15 ºC a 45 ºC. Hallar el calor de 10 ºC. Si absorbe 800 cal de calor, hallar suministrado. su temperatura final, sabiendo que su calor específico es 0,04 cal/gºC. a) 40 cal b) 45 c) 50 d) 55 e) 60 a) 30 ºC b) 40 ºC c) 50 ºC d) 60 ºC e) 80 ºC 9. Hallar el calor específico de un cuerpo que al ganar 200 cal incrementa su temperatura en 5. Hallar el calor que liberan 2 g de vapor de agua 50 ºC. (masa del cuerpo: 4 g) que se encuentran a 120 ºC, de manera que se logre obtener agua a 90 ºC. a) 1 cal/gºC b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 800 cal b) 880 c) 1100 d) 1120 e) 1200 10. Si se observa que para elevar de 30 ºC a 40 ºC la temperatura de un cuerpo de 200 g de masa, 6. El equivalente en agua de un calorímetro de se necesitan 500 cal, ¿cuál es el calor específico 300 g de masa y calor específico 0,12 cal/gºC del cuerpo? es:

a) 12 g d) 400

b) 24 e) 50

c) 36



a) 0,25 cal/gºC b) 0,5 d) 2,5 e) 5

c) 1

7. En un recipiente se mezclan 20 g de un cuerpo “A” a 20 ºC y otro cuerpo “B” a 50 ºC de masa 80 g, ambos del mismo material. Hallar la temperatura de equilibrio.

a) 24 ºC d) 44 ºC

Colegios

184

TRILCE

b) 34 ºC e) 27 ºC

c) 30 ºC

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Física Razonamiento Matemático

2

Cambio de fase Contenido: • Cambio de fase • Calor latente de fusión • Calor latente de vaporización

E

xisten temperaturas específicas en las cuales, los materiales cambian de estado, pero esto no es lo mismo que la cantidad de calor que necesitan para hacer los cambios. La fusión es cuando un elemento sólido pasa al estado líquido, y vaporización es cuando el líquido cambia a gas; en cada una de estas etapas existe un cambio de fase, en la que interviene el calor latente de fusión y vaporización.

Central: 619-8100

Unidad VII

185

Cambio de fase

Conceptos básicos Cambio de fase

Es aquel proceso por el cual cambia el ordenamiento molecular dentro de un material, lo que se presenta cuando la sustancia pasa de sólido a líquido, de líquido a vapor o viceversa. Características: 1. Las temperaturas de cambio de fase dependen de la presión externa que soporte el material. 2. Si la presión externa se mantiene constante, el cambio de fase sucede isotérmicamente.

Sublimación directa Fusión Sólido

Vaporización

Solidificación

Líquido

Condensación

Vapor

Sublimación inversa

Calor latente (L)

Esta magnitud es característica de cada material, nos indica la cantidad de calor que se debe dar o quitar a cada unidad de masa para producirle cambio de fase, bajo condiciones adecuadas de presión y temperatura. Algunos valores típicos son: LFusión (hielo)=80 cal/g

14243

P= 1 atm

T= 0 ºC LSolidificación (agua)=-80 cal/g LVaporización (agua)=540 cal/g

14243

P= 1 atm

T= 100 ºC LCondensación (vapor de agua)=-540 cal/g

En todo cambio de fase: Q = Calor de transformación o de cambio de fase m = Masa que cambia de fase L = Calor latente correspondiente

Colegios

186

TRILCE

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Física razonamiento Matemático

2

Aprende más... 1. Se tienen 3 g de vapor de agua a 100 ºC. 6. ¿Qué cantidad de calor se debe suministrar a 5 g de hielo que se encuentra a -10 ºC, de ¿Cuántas calorías se le deben extraer para condensarlas totalmente? modo que se derrita?

a) 240 cal d) 1620

b) 340 e) 3000

c) 1080



a) 25 cal d) 425

b) 125 e) 600

c) 300

2. ¿Cuántas calorías se le deben proporcionar 7. ¿Qué cantidad de calor deben liberar 360 g de agua a 20 ºC, para que se convierta en hielo a a 5 g de agua a 70 ºC para que la mezcla 0 ºC? resultante contenga 2 g de agua en fase líquida y 3 g de vapor de agua? a) 6 kcal b) 10 c) 16 d) 20 e) 36 a) 1240 cal b) 1620 c) 1770 d) 1890 e) 2120 8. ¿Cuántos gramos de vapor de agua a 120 ºC se necesitan para derretir 130 g de hielo a -20 ºC? 3. ¿Cuánto calor a nivel del mar deben perder 10 g de vapor de agua a 130 ºC para que solamente a) 8 g b) 10 c) 18 se condensen 4 g? d) 20 e) 36

a) 2150 cal d) 2310

b) 2240 e) 2340

c) 2280

9. Se mezclan 5 g de hielo a 0 ºC con 55 g de agua a 10 ºC. Determinar la temperatura final cuando el sistema se estabilice.

4. ¿A qué temperatura llegarán 10 g de vapor de agua a 130 ºC al extraerle 5950 calorías?

a) 40 ºC d) 80 ºC

b) 60 ºC e) 110 ºC

c) 70 ºC

a) 1 ºC d) 4 ºC

b) 2 ºC e) 5 ºC

c) 2,5 ºC

10. Se tienen 100 g de agua en un recipiente de capacidad calorífica 40 cal/g a 0 ºC. Se hacen 5. ¿Qué masa de hielo a 0 ºC se puede convertir ingresar 20 g de vapor de agua a 100 ºC. en agua a 100 ºC por una masa “m” de vapor de Determinar la temperatura de equilibrio. agua a 100 ºC? a) 20 ºC b) 40 ºC c) 50 ºC d) 60 ºC e) 80 ºC a) 1 m b) 6 c) 9 d) 3 e) 5 18:10:45

Practica en casa 1. Se tienen 8 g de agua a 100 ºC. Determinar 3. ¿Cuánto calor debe suministrarse a 2 g de hielo cuántas kilocalorías se necesitan para a -10 ºC para convertirlo en agua a 20 ºC a nivel vaporizarlos totalmente. del mar?

a) 3,61 d) 6,36

b) 4,32 e) 7,12

c) 5,18



a) 150 cal d) 210

b) 170 e) 230

c) 190

2. ¿Cuántas calorías se deben proporcionar a 4 g 4. ¿Cuántas calorías se necesitan para convertir 2 g de hielo a -20 ºC para fusionarlo completamente de hielo a -20 ºC en agua a 50 ºC? a 0 ºC? a) 100 cal b) 120 c) 140 a) 40 cal b) 80 c) 160 d) 160 e) 180 d) 320 e) 360

Central: 619-8100

Unidad Vii

187

2

Cambio de fase

5. En un recipiente de capacidad calorífica despreciable se tiene un bloque de 10 g de hielo a -20 ºC. Si se le agregan 20 g de agua a 90 ºC, determinar la temperatura de equilibrio.

8. En un calorímetro de capacidad calorífica despreciable se mezclan 3 g de hielo a 0 ºC con 22 g de agua a 20 ºC. Hallar la temperatura de equilibrio.





6. Se tienen 6 g de hielo a 0 ºC. ¿Qué cantidad de calor se requiere para que se derritan 5 g?

a) 1 ºC b) 2 ºC c) 4 ºC d) 8 ºC e) 16 ºC 9. ¿Cuántas calorías se deben disipar para que 5 g de vapor de agua a 100 ºC se transformen en agua a 10 ºC?





a) 10 ºC d) 40 ºC

a) 480 cal d) 160

b) 20 ºC e) 50 ºC

b) 80 e) 200

c) 30 ºC

c) 400

7. Se tienen 5 g de agua a 100 ºC. Determinar cuántas kilocalorías se necesitan para vaporizarla.

a) 2 d) 5,4

Colegios

188

TRILCE

b) 2,4 e) 5

c) 2,7

a) 2700 d) 2250

b) 450 e) 5400

c) 3150

10. Si 3 kg de hielo a -20 ºC se vierten sobre un depósito de capacidad calorífica despreciable que contiene 12 kg de agua a 80 ºC, ¿cuál es la energía calorífica intercambiada entre el hielo y el agua?

a) 408 kcal d) 513

b) 436 e) 548

c) 481

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Física Razonamiento Matemático

Termodinámica

3

Contenido:

http://blogs.que.es/zenda-caballero/2010/10/17/la-termodinamica-nuestra-vida

• Primera ley de la termodinámica • Procesos termodinámicos • Máquinas térmicas • Máquina de Carnot

T

ermodinámica viene del griego “termo” que significa “calor” y “dinámico” que significa “fuerza”, y describe cómo los sistemas macroscópicos responden a los cambios en su entorno. Históricamente, la termodinámica se desarrolló a partir de la necesidad de aumentar la eficiencia de las primeras máquinas de vapor. En esencia, estudia la circulación de la energía y cómo esta infunde movimiento a partir de la temperatura, presión y volumen e incluye una magnitud llamada entropía, que mide el orden y el estado dinámico de los sistemas.

Central: 619-8100

Unidad VII

189

Termodinámica

Conceptos básicos Primera ley de la termodinámica

En un sistema termodinámico, donde la energía interna es el único tipo de energía que puede haber, la ley de conservación de la energía puede expresarse así:

En esta ecuación:

•



•



•

"Q" es la energía transferida (como calor) entre el sistema y su ambiente, debido a una diferencia de temperatura entre ellos. Una transferencia que se efectúe enteramente dentro de la frontera del sistema no queda incluida en "Q". "W" es el trabajo hecho en el sistema o por él mediante fuerzas que actúan en su frontera. No se incluye el que realizan fuerzas que operan enteramente dentro de su frontera. ∆Uint es el cambio de energía interna que ocurre cuando se transfiere energía hacia el sistema o se extrae de él, en forma de calor o de trabajo.

En todo proceso termodinámico entre los estados de equilibrio "i" y "f", la magnitud "Q – W" tiene el mismo valor para cualquier trayectoria entre "i" y "f". Esta cantidad es igual al cambio de valor de una función de estado llamada energía interna: Uint . Por convención, se considera: Q(+) Cuando el sistema absorbe calor. Q(–) Cuando el sistema libera calor. W(+) Cuando el sistema realiza trabajo (expansión). W(–) Cuando se realiza trabajo sobre el sistema (compresión).

Trabajo desarrollado por un sistema termodinámico

En un proceso termodinámico, el área achurada bajo la curva en la gráfica "P – V", es numéricamente igual al trabajo desarrollado por el sistema. P f

PF PO

i

Wi→f=A A VF

VO

V

Procesos termodinámicos: a)

Proceso isobárico (P=cte) P

* W=A=P0 (VF – V0)

PO

* W=P∆V=nR∆T

W=A VO Colegios

190

TRILCE

VF

V

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Física Razonamiento Matemático

b) Proceso isométrico (V=cte) En una transformación isométrica, la cantidad de calor recibido por el gas se dirige por completo a la variación de su energía interna. P

3

* W=A=0 * Q= ∆U

PF PO V

VO c)

Proceso isotérmico (T=cte) Durante la transformación isotérmica, hay que transmitir al gas una cantidad de calor exactamente igual al trabajo que el gas realiza. P Isoterma

PO

* ∆U=0 * Q=W

T=cte PF

W=A VO

V

VF

d) Proceso adiabático (Q=0) En una expansión adiabática, el trabajo realizado por el gas se hace a expensas de su energía interna. P PO

* ∆U= -W * Q=0 W=A

PF

VO

V

VF

La máquina de Carnot TA QA W QL TL

Central: 619-8100

Elementos de la máquina de Carnot: Las dos puntas de flechas de color negro en la parte central indican la sustancia que opera en un ciclo. A la sustancia se le transfiere el calor "QH" desde el depósito de alta temperatura "TH". El calor "QL" se transfiere de la sustancia de trabajo al depósito de baja temperatura a una temperatura "TL". La máquina (en realidad, la sustancia) realiza el trabajo "W" en algún objeto de ambiente.

Unidad VII

191

Termodinámica

Durante cada ciclo de la máquina en la figura, la sustancia de trabajo absorbe calor QH de un depósito a temperatura "TH" y libera calor QL a un segundo depósito, también a temperatura "TL". P PA

A QA El ciclo de Carnot se realiza entre dos isotermas y dos adiabáticas

B

PB

PD

TH

D QL

PC VA

VD

C

VB

TL

VC

V

El ciclo de Carnot graficado en un diagrama PV para un gas ideal como sustancia de trabajo

Eficiencia de una máquina de Carnot (ε) ε=

Energía que se obtiene |W| = Energía que se paga |QA|

Apliquemos la primera ley de la termodinámica (∆Uint=Q - W) a la sustancia de trabajo, mientras pasa por el ciclo de operación, "Q" es la transferencia de calor por ciclo, "W" es el trabajo neto y ∆Uint=0. Entonces, esa ley se convierte en: |W|=|QA|-|QL| Al combinar las ecuaciones, queda:

ε=

|QA|-|QL| |QA|

=1 -

|QL| |QA|

Eficiencia de la máquina de Carnot:

ε =1 -

TL TA

(eficiencia de Carnot)

La ecuación indica la eficiencia de todas las máquinas de Carnot que funcionan entre las mismas dos temperaturas fijas, sin que importe la naturaleza de su sustancia de trabajo.

Colegios

192

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Física Razonamiento Matemático

3

Aprende más... 1. Un gas monoatómico se calienta isobáricamente. 6. Hallar el cambio de energía interna que sufre 1 mol de gas monoatómico al pasar del estado Hallar el porcentaje de calor que se transforma "A" al estado "B", siendo su temperatura inicial en trabajo. 100 K. a) 25 % b) 40 % c) 50 % P(atm) d) 60 % e) 75 % 2Po

2. Un sistema absorbe 500 cal y realiza 40 J de trabajo. Hallar la variación de energía interna del sistema termodinámico.

a) 2050 J d) 2430

b) 2160 e) 2650

Po

c) 2320

P(atm)

2 1 a) 100 J d) 450

3

b) 150 e) 600

V(l) c) 300



a) 10 R d) 50 R

b) 100 R e) 200 R

c) 20 R

P(atm)

2

1

Central: 619-8100

b) 150 R e) 600 R

V(l) c) 300 R

a) 10,5 d) 17,5

b) 12,5 e) 18

c) 15

a) 25 % d) 60 %

b) 40 % e) 75 %

c) 50 %

a) 20 % d) 36 %

b) 25 % e) 40 %

c) 30 %

10. Una máquina térmica cuyo rendimiento es 20% se acopla a otra máquina de rendimiento 25%, de manera que el calor liberado por la primera es absorbido por la segunda. Hallar el rendimiento del sistema de máquinas.

5

a) 400 J d) -1600

2Vo

9. Una máquina térmica opera entre dos fuentes de calor de 27 ºC y 127 ºC. Hallar la eficiencia real de la máquina térmica.

5. Hallar el trabajo desarrollado por el gas en el proceso politrópico mostrado.



A

8. Una máquina térmica que sigue el ciclo de Carnot opera entre dos fuentes de calor de temperaturas -73 ºC y 127 ºC. Hallar el rendimiento de dicha máquina.

4. Un mol de un gas perfecto se calienta isobáricamente de modo que su temperatura varía en 100 K. Hallar el trabajo efectuado por el gas.

a) 50 R d) 450 R

B

7. Un gas ocupa un volumen de 5 m3 y soporta una presión de 8310 Pa. Si en tales condiciones su temperatura es de 400 K, ¿cuántas moles contiene el gas del recipiente?

5



To

Vo

3. Hallar el trabajo neto en el ciclo termodinámico mostrado.

4To

2To

5 b) -1400 e) 800

V(l)



a) 20 % d) 45 %

b) 25 % e) 50 %

c) 40 %

c) 1600

Unidad VII

193

3

Termodinámica 18:10:45

Practica en casa 1. ¿En cuánto varía la energía interna de un gas que recibe 800 J de calor y realiza un trabajo de 450 J?

a) 350 J d) 800

b) 1250 e) 0

c) 450

a) 10,5 d) 17,5

b) 12,5 e) 18

2 1

3. Hallar la variación de energía interna que sufre el gas diatómico al pasar del estado 1 al estado 2. 1

Po

2

Vo

Isoterma

V

3Vo

b) 3R2 e) 0

a) R d) 5R2

c) 300

P(atm) 5

c) 15

P

b) 150 e) 600

6. Determinar el trabajo, en el ciclo termodinámico que se muestra.

2. Un gas ocupa un volumen de 5 m3 y soporta una presión de 8310 Pa. Si en tales condiciones su temperatura es de 400 ºK, ¿cuántas moles contiene el gas del recipiente?

a) 100 J d) 450

a) 300 J d) -600

3

b) -300 e) 900

V(l) c) 600

7. A un sistema termodinámico se le suministran 100 cal de calor. Hallar la variación de su energía interna, si se sabe que desarrolló 118 J de trabajo.

a) 100 J d) 228

b) 200 e) 18

c) 300

c) 2R

8. A un gas perfecto se le suministran 200 J de calor isotérmicamente. Hallar el trabajo que desarrolla el gas. 4. Determinar el volumen en el estado 2 si el 3 volumen en el estado 1 es 6 m . a) 100 J b) 10 c) 200 P(Pa) d) 180 e) 0 1 500 2

400

600 800

9. Hallar el rendimiento de una máquina térmica, sabiendo que desarrolla un trabajo de 100 J y el calor que absorbe del foco caliente es 500 J.

a) 4 m3 d) 10

b) 6 e) 12

T(K)



c) 8

a) 16% d) 25%

b) 20% e) 40%

c) 24%

10. Una máquina térmica absorbe de la fuente caliente 98 cal y libera hacia la fuente fría 5. Hallar el trabajo desarrollado en el ciclo 50 cal. ¿Qué cantidad de trabajo desarrolla termodinámico. la máquina por ciclo? P(Atm) 5



a) 24 cal d) 40

b) 20 e) 64

c) 48

2

1 Colegios

194

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3

V(l)

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UNIDAD VIII

ELECTrOSTáTiCA

L

a electrostática es la rama de la Física que estudia los fenómenos resultantes de la distribución de cargas eléctricas en reposo, esto es, del campo electrostático. Los fenómenos electrostáticos son conocidos desde la Antigüedad. Los griegos del siglo V a. C. ya sabían que al frotar ciertos objetos, estos adquirían la propiedad de atraer cuerpos livianos. En 1785, el físico francés Charles Coulomb publicó un tratado donde cuantificaba las fuerzas de atracción y repulsión de cargas eléctricas estáticas y describía, por primera vez, cómo medirlas usando una balanza de torsión. Esta ley se conoce en su honor, con el nombre de Ley de Coulomb.

. AprENDiZAjES ESpErADOS Comprensión de la información • Comprender las propiedades eléctricas de las partículas. • Describir las interacciones eléctricas entre las partículas. • Explicar la presencia de los cambios eléctricos.

1

Carga y fuerza eléctrica

Carga y fuerza eléctrica Contenido: • Carga eléctrica • Ley cualitativa • Ley cuantitativa • Fuerza eléctrica

S

e dice que existe un campo eléctrico en la región del espacio que rodea un campo con carga. Cuando otro objeto cargado entra en este campo, surgen fuerzas de naturaleza eléctrica.

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196

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Física

Conceptos básicos Carga eléctrica

Es aquella propiedad de la materia por la cual los protones y electrones interactúan, atrayéndose o repeliéndose; en cambio, los neutrones carecen de esta propiedad: se dice que son partículas neutras. ⇒ qe- = qp+ =1,6×10-19C {Carga elemental} ⇒ Qcuerpo= ±nqe / n∈ZZ Principio de conservación de la carga eléctrica En todo sistema cerrado la carga neta del sistema permanece constante sin importar qué tipo de proceso ocurra dentro del sistema (mecánico, químico, nuclear, etc.). La carga neta viene a ser la suma algebraica de las cargas de los componentes del sistema. Qneta=/ q =q1+q2+q3+... = constante Ley cualitativa de las cargas Se verifica experimentalmente que las cargas de la misma naturaleza (igual signo) se repelen y las de distinta naturaleza (diferente signo) se atraen. Ley cuantitativa de las cargas (Ley de Coulomb) El valor de la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de los valores de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La constante de proporcionalidad depende del medio que separa a dichas cargas. q1

F

-

F

q2 +

d







F











F=

K q1 q2 d2

→ Newton

d

→ Metros

q1 y q 2

→ Coulomb

K

= Constante de Coulomb

Kaire o vacío= 9×109 Nm2/C2

Central: 619-8100

Unidad Viii

197

Carga y fuerza eléctrica

Síntesis de la unidad

Colegios

198

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Física razonamiento Matemático

1

Aprende más... 1.

Un cuerpo neutro: a) No tiene carga eléctrica. b) No tiene electrones. c) No tiene protones. d) Tiene igual número de electrones y protones. e) Hay dos respuestas correctas.

2. Se realiza la medición experimental de la carga de tres cuerpos y se obtienen los siguientes resultados: I. Q1=4,8×10-3 C II. Q2=5,1×10-18 C III. Q3=-0,8×10-18 C ¿Cuál o cuáles de los resultados son correctos?

a) Solo I d) I y III

b) Solo III e) II y III

7. Dos pequeñas esferas conductoras iguales tienen cargas: q1=30 mC y q2=20 mC. Si se acercan hasta tocarse y luego se separan, ¿cuál es el valor de la fuerza electrostática cuando están separadas 0,3 m?

a) 2 N d) 4

a) Pierde 10 e– c) Pierde 16 e– e) Pierde 6 e–

F(N)

c) Solo II

b) Gana 10 e– d) Gana 6 e–

4. Un electroscopio está cargado positivamente. Si se le acerca un cuerpo sus hojuelas disminuyen su abertura. ¿Qué carga cree que existe en el cuerpo?

a) Solo (+) b) Solo (-) c) Negativa o neutra d) Positiva o negativa e) No se puede saber

5. Indicar respecto a las proposiciones siguientes, cuáles son verdaderas: I. Las fuerzas electrostáticas obedecen a la tercera Ley de Newton. II. Solo actúan en cuerpos puntuales. III. Las fuerzas electrostáticas son independientes del medio que rodea las cargas.

a) I y II d) II y III

b) Solo II e) Todas

c) Solo I

37º



a) 5 .10 - 13 C 3

a) F d) F 2

Central: 619-8100

b) 2F e) F 4

q(C)

b) 4 .10 - 13 C c) 2 .10 - 13 C 3 5

d) 3 .10 - 13 C e) 3 .10 - 13 C 4 5 9. Calcular la magnitud de la fuerza electrostática resultante que actúa sobre la esfera (3). q1=+150 mC; q2 =+40 mC; q3= -60 mC (1)

(2) 1 m



a) 7,2 N d) 14,4

(3) 2m

b) 3,6 e) 28,5

c) 1,3

10. Encontrar el módulo de la fuerza eléctrica resultante que actúa sobre la esfera ubicada en (B) si: qA=125 mC; qB=+40 mC; qC=+75 mC (C)

6. Dos partículas cargadas se atraen entre sí con una fuerza "F". Si la carga de una de las partículas se duplica y también se duplica la distancia entre ellas, entonces, la fuerza será:

c) 2,5

8. Dos cargas puntuales "Q" y "q" están separadas 3 cm y al incrementar la carga "q" se encuentra que la fuerza eléctrica entre ellas varía su valor según la gráfica mostrada. Hallar "Q".

3. Se tienen tres esferas conductoras iguales con cargas +20e–; –10e–; +8e–; y se ponen en contacto. ¿Qué sucede con la segunda esfera?

b) 3 e) 4,5

c) 4F

3

(A)

a) 3 N d) 9

3m

30º b) 5 e) 12

60º (B)

c) 7

Unidad Viii

199

1

Carga y fuerza eléctrica 18:10:45

Practica en casa 1. Un electroscopio está cargado positivamente. Si se le acerca un cuerpo sus hojuelas disminuyen su abertura. ¿Qué carga cree que existe en el cuerpo?

a) Solo (+) b) Solo (-) c) Negativa o neutra d) Positiva o negativa e) No se puede saber

2. Indicar, respecto a las proposiciones siguientes, cuáles son verdaderas: I. Las fuerzas electrostáticas obedecen a la tercera Ley de Newton. II. Solo actúan en cuerpos puntuales. III. Las fuerzas electrostáticas son independientes del medio que rodea las cargas. 3.



7. Una pequeña carga "Q" se divide en dos partes: "q" y "Q – q". Determinar la repulsión máxima entre las partes si están separadas 1 m.

a) I y II d) II y III

b) Solo II e) Todas

c) Solo I

b) 62,5 d) 625×109

4. Una sustancia tenía una carga eléctrica de –10-4 C, y pierde por frotamiento, 5×1015 electrones. ¿Cuál es su carga final? b) 600 e) -700

Q2 16pε0

b)

2Q 8pε0

d)

Q2 12pε0

e)

Q2 8pε0



a) 500 mC d) -900

5.

Si conectamos a tierra una esfera conductora con carga eléctrica positiva:



a) La tierra cede electrones. b) La tierra recibe electrones. c) El cuerpo cede electrones a la tierra. d) El cuerpo recibe electrones de la tierra. e) Hay dos respuestas correctas.

c)

Q3 4pε0

8. En el bloque de 12 kg, se encuentra incrustada una partícula electrizada con +20 mC, tal como se muestra. Determinar la menor aproximación entre el bloque y otra partícula electrizada con +20 mC para que el bloque siga en reposo. Despreciar las masas de las partículas. (g=10 m/s2) +q

Determinar el número de electrones que se le debe extraer a una moneda inicialmente descargada, para dejarla con una carga de 0,1 mC. a) 625 c) 6,25×1011 e) 6,25×1012

a)



a) 10 cm d) 25

m=0,6 y 0,75

+q

b) 15 e) 30

c) 20

9. Tres cargas puntuales de 20 mC cada una se hallan en los vértices de un triángulo equilátero de 30 cm de lado. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza eléctrica resultante sobre una de las cargas?

c) 700

a) 20 N d) 40 3

b) 20 3 e) 40 2

c) 40

10. En los vértices de un hexágono regular se colocan cargas eléctricas iguales de valor "+q". ¿Qué carga habrá que colocar en el centro, tal que el sistema de cargas permanezca en equilibrio?

a) -6q d) -1,83q

b) -3q e) -2q

c) -1,41q

6. Dos esferas idénticas poseen cargas de 9×10-4 C y 6×10–4 C, e interactúan con una fuerza eléctrica de módulo 240 N. En cierto instante se ponen en contacto y luego se les separa a la misma distancia anterior. Calcular el valor de la fuerza con que ahora interactúan.

a) 24 N d) 240

Colegios

200

TRILCE

b) 576 e) 0

c) 10

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Física Razonamiento Matemático

2

Campo eléctrico Contenido: • Intensidad del campo eléctrico • Campo eléctrico en una carga puntual • Representación del campo eléctrico

E

l campo eléctrico es lo que rodea una carga para protegerla de otras, es decir, la interacción entre cuerpos con propiedades de naturaleza eléctrica.

Central: 619-8100

Unidad VIII

201

Campo eléctrico

Conceptos básicos Campo eléctrico

Es aquella región del espacio que rodea a una carga que, así, deja sentir su presencia sobre cualquier otra. El campo eléctrico se caracteriza por aplicar fuerza de origen eléctrico a toda carga que se coloque en su interior.

Intensidad del campo eléctrico ( E )

Esta magnitud vectorial nos indica la fuerza eléctrica que actúa sobre cada unidad de carga que se coloca en un punto determinado del campo. E = F Unidad: N/C q0

q0 = Carga de prueba colocada en un punto del campo. F = Fuerza eléctrica sobre "q0". Observación:

E + -

F1

F2

-

q0

Campo eléctrico generado por una carga puntual (Q) Q

E

+ d Orientación del vector "intensidad del campo": Q

Q

+

E

-

E

Las líneas del campo eléctrico La tangente a la línea del campo eléctrico que cruza un punto cualquiera del espacio denota la dirección del campo eléctrico allí. a)

b) E2

E E1 P

Colegios

202

TRILCE

P2

P1

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Física razonamiento Matemático

También las líneas del campo deben trazarse, de modo que:

2

Las líneas del campo eléctrico comiencen en las cargas positivas y terminen en las negativas. Una última propiedad de las líneas del campo eléctrico es la siguiente: La magnitud del campo eléctrico en un punto cualquiera es proporcional al número de líneas por unidad de superficie perpendicular a estas líneas.

Una carga puntual en un campo eléctrico

Vemos que una partícula de carga "q" en un campo eléctrico dada q E por: F = q E experimenta una fuerza F =

Aprende más... 1. Hallar el valor de la intensidad del campo eléctrico en el punto "M". (Q1 = 4 mC; Q2=–1 mC). Q1

3m 3m

Q2 3 cm



Q1

a) 107 N/C d) 4×107

3 cm b) 2×107 e) 0

c) 3×107

2. Calcular a qué distancia de la carga "Q1" la intensidad del campo eléctrico es nula. Q1=4 mC; Q2=9 mC Q1

3m

M

Q2

Q2

a) 11 N/C d) 14

b) 12 e) 15

5. En el sistema mostrado: Q1=-3×10-7C; Q2=+5×10-7C. Hallar el valor de la intensidad del campo eléctrico resultante en "P". (1)

1444442444443 20 cm

a) 4 cm d) 10

b) 5 e) 12

c) 13

c) 8

(2)

120º

3m

a) b) c) d) e)

700 N/C 500 300 200 600

3m P 3. Ocho cargas idénticas "Q" son colocadas en los vértices de un cubo de arista "a". Determinar la 6. Hallar el valor de la carga "Q" que se debe intensidad del campo eléctrico en el centro de instalar en el vértice del cuadrado mostrado para una de las caras. que la intensidad del campo eléctrico resultante en el vértice libre sea nula. (Q1=2,7×10-8 C) KQ 6 KQ 6 b) 4 c ) a) 8 Q1 + - Q2 9 a2 9 a2 5 KQ 6 9 a2 KQ 6 KQ 6 e) 8 d) 4 3 a2 3 a2 + Q3 4. Calcular la intensidad del campo eléctrico en el vértice libre. –9 –9 Q1=7×10 C y Q2=8×10 C Central: 619-8100

a) 7,6×10-8 C b) 1,6×10-8 C c) 3,2×10-8 C d) 8×10-7 C e) 2,7×10-8 C

Unidad Viii

203

Campo eléctrico

7. Si el sistema se encuentra en equilibrio, determinar el módulo de la tensión en el cable. (q=-3C) a) 10 N E b) 15 37º c) 20 d) 25 q e) 30

9. Indicar en qué dirección se mueve la carga q=+5 C (no considerar el efecto de gravedad). 3

2

q

4

a) b) c) d) e)

E

1

1 2 3 4 5

5

8. Una pequeña esfera posee 20 N de peso y 5 C de carga, y se encuentra en equilibrio como indica la figura. Hallar el valor de la intensidad del campo eléctrico. a) 2 N/C b) 3 E c) 4 30º d) 5 e) 6

10. La esfera mostrada de 80 N se encuentra en equilibrio y posee una carga 12 C. Hallar el valor de la intensidad del campo eléctrico. a) b) c) d) e)

E

37º

3 N/C 4 5 6 7

30º 18:10:45

Practica en casa 1. Calcular el módulo de la intensidad del campo 3. El sistema se encuentra en equilibrio. Hallar el valor de la intensidad del campo eléctrico en el eléctrico en el punto "A", si: Q=5 mC y el lado punto "P". (K=constante de la ley de Coulomb) del triángulo equilátero es 3 cm. P +Q 60º 60º

-Q

a) 2,5×107 N/C c) 2,5 3 ×107 e) 0

A Q

b) 5×107

d) 5 3 ×107

a) Cero d) 2Kq/3a2

-q a

a

Q

b) KQ/3a2 c) 3KQ/4a2 e) 4Kq/5a2

2. En cinco de los vértices de un hexágono regular de lado "a" se han colocado cargas puntuales 4. Calcular el módulo de la intensidad del campo igual a "Q". Hallar la intensidad del campo eléctrico en el punto medio "M". (Q1=+4 mC; KQ Q eléctrico en el otro vértice. Considerar: 2 = m 2=-7 mC) a Q1 Q2 5 5 3 a) m( - 1) b) m( ) M 4 4 3

c) m( 5 + 1) 4 e) 0

Colegios

204

TRILCE

d) m( 5 + 3 ) 4 3

6 cm

a) 3x107 N/C c) 11x107 N/C e) 7x107 N/C

b) 2x107 N/C d) 8x107 N/C

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Física Razonamiento Matemático

5. Determinar el módulo de la intensidad del campo eléctrico resultante en el punto "P". Q1=+6 mC; Q2=+8 mC P

8. Al colocar el bloque de 5 kg de masa y de -5 C de carga en el plano inclinado, ¿qué aceleración adquiere, si la intensidad del campo homogéneo es 2 N/C? (g=10 m/s2) E

2

Liso

aislante

45º

Q1



3 2 cm

a) 3x108 N/C b) 4x108 N/C c) 108 N/C d) 7x108 N/C e) 5x108 N/C

6. Una partícula que posee 3 kg de masa y 0,5 C de carga se deja en libertad en un campo eléctrico uniforme de 12 N/C de intensidad y su movimiento se produce a lo largo de las líneas de fuerza. ¿Qué distancia habrá recorrido en los primeros 5 s?

a) 20 m d) 38

b) 23 e) 42

37º

Q2

a) 2 m/s2 d) 8 m/s2

b) 4 m/s2 e) 10 m/s2

9. El ascensor sube con una aceleración de 2 m/s2 y la esfera de 16×10-4 kg de masa y carga q=64×10-6 C se mantiene en la posición indicada. Hallar "q" si la intensidad del campo eléctrico es: E=400 N/C (g=10 m/s2) q

c) 25

7. Una esferita de peso 3,2 mN y carga 16×108 C, está suspendida dentro de un campo eléctrico y en equilibrio. Calcular el módulo de la intensidad del campo eléctrico.

c) 6 m/s2

E



a) 30º d) 90º

b) 45º e) 0º

c) 60º

10. Hallar el valor de la tensión en la cuerda si la esfera de 3 kg y -5 C se encuentra en equilibrio. (g=10 m/s2)

45º

E



a) 10 N/C d) 200 N/C

b) 20 N/C e) 400 N/C

E=8 N/C

c) 100 N/C

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a) 10 N d) 40 N

b) 20 N e) 50 N

c) 30 N

Unidad VIII

205

UNIDAD IX

ELECTrOCiNÉTiCA

L

a electrocinética estudia el mecanismo del transporte de cargas eléctricas a través de los medios materiales sólidos, líquidos y gases.

. AprENDiZAjES ESpErADOS Comprensión de la información • Describir el movimiento de las partículas electrizadas. • Entender la dificultad que experimentan las partículas electrizadas durante su desplazamiento. • Identificar los acoplamientos de resistores en serie y paralelo. • Simplificar circuitos eléctricos. • Desarrollar circuitos más completos.

Física Razonamiento Matemático

Corriente eléctrica

1

Contenido: • Intensidad de corriente eléctrica • Resistencia eléctrica • Asociación de resistores

L

o que conocemos como corriente eléctrica no es otra cosa que la circulación, a través de un circuito eléctrico cerrado, de cargas o electrones que se mueven siempre del polo negativo al polo positivo de la fuente de suministro de fuerza electromotriz (FEM).

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Unidad IX

207

Corriente eléctrica

Conceptos básicos Corriente eléctrica

Es el flujo de partículas cargadas a través de un material conductor, impulsadas por la presencia de un campo eléctrico.

Intensidad de la corriente eléctrica (I)

Esta magnitud escalar nos indica la cantidad de carga que circula por la sección transversal de un conductor en cada unidad de tiempo. I

+

+

+

+ +



+

q = Carga que circula por la sección del conductor. t = Tiempo para la circulación de "q".

Unidad: Coulomb/segundo=Ampere (A)

Resistencia eléctrica (R)

Todo material se opone al paso de la corriente eléctrica ejerciendo determinada resistencia, la cual depende de las dimensiones geométricas del conductor y del material que lo constituye. Se mide en ohmios (Ω). L

A

R=ρ L Ley de Poulliet A

ρ=Resistividad del material.

Ley de OHM

Para la gran mayoría de conductores metálicos se verifica que la intensidad de corriente que circula por ellos es directamente proporcional a la diferencia de potencial que se conecta en sus extremos. La constante de proporcionalidad es la resistencia eléctrica del conductor. I

+V

V = Diferencia de potencial aplicada al conductor. I = Intensidad de corriente en el conductor. R = Resistencia eléctrica del conductor.

Colegios

208

TRILCE

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Física razonamiento Matemático

Asociación de resistores I.

1

En serie: R1

R2

R3

RE

I1

I2

I3

IE

* I1=I2=I3=IE * V=V1+V2+V3 *

V

RE=R1+R2+R3

V

II. En paralelo: R2

R3

* V1=V2=V3=V

R1

V

RE

V I3

I2

IE

I1

* IE=I1+I2+I3 *

I = I + I + I RE R1 R2 R3

Fuerza electromotriz (ε)

Esta magnitud escalar mide la energía que una fuente entrega a cada unidad de carga positiva de menor a mayor potencial que pasa por ella. terminal a mayor potencial ε



+ -

W=Energía que entrega la fuente a la carga "q". q =Carga que circula por la fuente. Unidad: Joule/Coulomb=volt

q terminal a menor potencial

Potencia eléctrica (P)

Esta magnitud nos indica la cantidad de energía que un dispositivo eléctrico entrega o recibe en cada unidad de tiempo. I Dispositivo eléctrico

V= Diferencia de potencial aplicada. I= Intensidad de corriente que pasa por el dispositivo.

V

En el caso de una resistencia eléctrica, la potencia disipada en ella se puede expresar como:

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Unidad iX

209

Corriente eléctrica

Síntesis de la unidad

Colegios

210

TRILCE

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Física Razonamiento Matemático

1

Aprende más... 1. Por un alambre conductor circula una corriente 7. La resistencia equivalente entre los puntos "A" y de 8 A en 5 s. Hallar el número de electrones. "B" es de 22 Ω. ¿Cuál es el valor de "R"? R a) 1019 b) 5.1019 c) 15.1019 d) 25.1019 e) 45.1019 R R 2. En un tubo de televisión, el haz electrónico transporta 2,5.1013 electrones en cada segundo. R Determinar la intensidad de corriente que R R representa dicho haz.

a) 1 mA d) 4 mA

b) 2 mA e) 5 mA

c) 3 mA

A a) 2 Ω d) 8

B b) 4 e) 10

c) 5

3. Un alambre de cobre tiene una resistencia de 9Ω; si se le estira mecánicamente hasta que su 8. Determinar la resistencia equivalente desde "A" longitud se quintuplique, hallar la corriente que y "B". R circula por esta última resistencia si se aplica a sus extremos una diferencia de potencial de 675 V. R R R a) 1 A b) 3 A c) 4 A A d) 10 A e) 15 A R 4. Calcular la intensidad de corriente que circula por B un alambre de cobre de 6400 m de longitud y a) 3R/2 b) 5R/2 c) 5R/8 40 mm2 de sección transversal, si la diferencia de d) 8R/5 e) 8R/3 potencial aplicada a sus extremos es de 136 V. ρcobre=1,7.10-8 Ωm 9. Si cada resistencia es de 6 Ω, determinar la resistencia equivalente entre "A" y "B". a) 20 A b) 25 A c) 40 A d) 50 A

e) 75 A

R

5. La potencia de una lámpara conectada a una batería es "P". ¿Cuál será la potencia de otra lámpara de triple resistencia conectada a la misma batería?

a) P d) P/9

b) P/3 e) 9P

c) 3P

a) 20 V d) 100

b) 40 e) 120

R

A a) 18 Ω d) 6 Ω

b) 14 Ω e) 2 Ω

R

R R

R

c) 12 Ω

R

R

c) 80 A

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B

10. Encontrar la resistencia equivalente entre "A" y "B", siendo: R=13 Ω.

6. Tres resistencias de 10; 20 y 40 Ω se asocian en serie y se conectan a una diferencia de potencial de 140 V. La caída de tensión en la resistencia menor es:

R

a) 4 Ω d) 10 Ω

B b) 5 Ω e) 13 Ω

c) 8 Ω

Unidad IX

211

1

Corriente eléctrica 18:10:45

Practica en casa 1. Si la diferencia de potencial entre "A" y "B" es 7. Hallar la resistencia equivalente respecto a los terminales "A" y "B". de 6 V, hallar la lectura del amperímetro. A

4 Ω 3Ω 2Ω

6 Ω

R

A

B

a) 1/6 A d) 6 A

7 Ω b) 3 A e) 3/2 A

a) 1 A d) 8 A

b) 3 A e) 12 A

B

c) 2/3 A

a) 1,5 Ω d) 12 Ω

a) R d) R/4

B

b) 15 Ω c) 5 Ω e) 30 Ω

A

5Ω

b) 7 Ω e) 9 Ω

c) 6 Ω

9. Determinar la resistencia equivalente, encontrándose las resistencias en ohmios.

5. Una resistencia de 10 Ω está dentro de 2 kg de agua. Una corriente de 10 A la atraviesa durante un tiempo de 418,6 s. ¿Cuál fue el aumento de temperatura del agua? b) 20 ºC e) 50 ºC

5Ω 10Ω 15Ω 15Ω

a) 8 Ω d) 5 Ω

6 6

5 4 3

a) 0,01 N/C b) 0,02 N/C c) 0,03 N/C d) 0,04 N/C e) 0,1 N/C

a) 10 ºC d) 40 ºC

c) 2R

c) 6 A

4. Se tiene un alambre conductor rectilíneo de cobre cuya sección transversal es de 0,86 mm2 que transporta una corriente de 2 A. Hallar la intensidad del campo eléctrico de su interior. ρcobre=1,72×10-8 Ωm



b) R/2 e) 4R

8. Hallar la resistencia equivalente entre los terminales "A" y "B".

3. Un alambre de cobre tiene una resistencia de 10 Ω. ¿Cuál será la resistencia de otro alambre de cobre cuya sección transversal sea doble y su longitud, triple?

R

R R

2. Por la sección recta de un conductor pasan 3×1021 electrones durante un minuto. Calcular la intensidad de la corriente que circula por él.

R

A

3 a) 1 Ω d) 4 Ω

b) 2 Ω e) 6 Ω

c) 3 Ω

c) 30 ºC

6. Sobre un motor se lee 110 V – 220 W. Calcular la resistencia que se debe conectar en serie con este motor para poder utilizarlo con una diferencia de potencial de 150 V.

a) 5 Ω d) 25 Ω

Colegios

212

TRILCE

b) 10 Ω e) 30 Ω

c) 120 Ω

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Física Razonamiento Matemático

Circuitos eléctricos

2

Contenido: • Primera ley de Kirchhoff - Ley de nodos • Segunda ley de Kirchhoff - Ley de mallas • Puente Wheatstone

C

ircuito eléctrico, trayecto o ruta de una corriente eléctrica. El término se utiliza principalmente para definir un trayecto continuo compuesto de conductores y dispositivos conductores, que incluye una fuente de fuerza electromotriz que transporta la corriente por el circuito. Un circuito de este tipo se denomina "circuito cerrado", y aquellos en los que el trayecto no es continuo se denominan "abiertos".

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Unidad IX

213

Circuitos eléctricos

Conceptos básicos Leyes de Kirchhoff:  Ley de nodos: En todo nodo la suma algebraica de corrientes es cero, considerando positivas las corrientes que llegan al nodo y negativas las que salen. I3

I2

I1 - I2 - I3=0

I1

 Ley de mallas: Al efectuar un recorrido cerrado por cualquier malla de un circuito, la suma algebraica de caídas y subidas de potencial es cero; considerando positivas las subidas de potencial y negativas las caídas. R + 1ε1

R

+ +

I

R2

+ ε 2 -

ε1 - IR1 - ε2- IR2 =0

Puente Wheatstone El circuito puente está balanceado. Si: I5=0, luego: R1

R2 I5

R5

R4

R3

Aprende más... 1. Si el amperímetro indica una lectura de 8 A, 2. Indicar la lectura del amperímetro ideal. calcular la lectura del amperímetro "A0". 4Ω

I=15A

3Ω

3Ω ε A0

A

1Ω



a) 1 A d) 4

Colegios

214

TRILCE

6Ω

20V

A

2Ω

b) 2 e) 5

c) 3



a) 5 A d) 7,5

b) 10 e) 12,5

c) 15

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Física razonamiento Matemático

3. Determinar la lectura del amperímetro ideal.

18V

2Ω

7. En el circuito mostrado, determinar la diferencia de potencial en la resistencia de 5 Ω . 3Ω

3Ω

6Ω

a) 3 A d) 18

60V

5Ω

A



b) 6 e) 1

2

4Ω

c) 9

a) 15 V d) 30 V

b) 20 V e) 35 V

c) 25 V

4. En el circuito resistivo, determinar la lectura del voltímetro ideal. 8. En el circuito mostrado, se sabe que si el interruptor “S” está abierto, la intensidad de la corriente es de 3Ω 2 A, y cuando está cerrado es de 10 A. Calcular la 6Ω 8Ω FEM de la pila y la resistencia “R”. V S

6Ω

8Ω

ε

R

16V



a) 1 V d) 4

b) 2 e) 6

c) 3



a) 20 V; 1 Ω b) 18 V; 2 c) 20 V; 2 d) 18 V; 1 e) 20 V; 3

5. Hallar la lectura del voltímetro de resistencia 9. En el circuito mostrado, calcular la lectura del interna de 3 Ω . amperímetro. V

24V

6Ω 10V

20V

A

a) 18 V d) 15

2Ω 3Ω

4Ω



14V

b) 30 e) 20

c) 10

6. Hallar la lectura del amperímetro ideal.



a) 1 A d) 4 A

b) 2 A e) 5 A

c) 3 A

10. En el circuito mostrado, determinar la lectura del voltímetro ideal. 15V

4Ω

5Ω 30V

6Ω

A

10V

a) 3 A d) 13

Central: 619-8100

b) 5 e) 1

10V

4Ω

V

35V c) 8



a) 10 V d) 25 V

b) 15 V e) 30 V

c) 20 V

Unidad iX

215

2

Circuitos eléctricos 18:10:45

Practica en casa 1. Indicar la lectura del amperímetro de resistencia 6. Hallar la lectura del amperímetro cuya interna 1Ω . resistencia es 2 Ω. 4Ω

A

a) b) c) d) e)

10A

20Ω

2. Calcular el calor liberado en la resistencia de 5 Ω durante 10 s. 8Ω 5Ω

48V

a) b) c) d) e)

30V

2 A 5 8 10 1

a) b) c) d) e)

3Ω A

5Ω

10V

7. Hallar la lectura del voltímetro ideal.

96 cal 100 105 108 110

5V

3Ω

2Ω

a) b) c) d) e)

V

3Ω 3. Determinar la tensión entre los puntos "A" y "B", sabiendo que: I=2,5 A. I A

a) 1 V d) 12

B

4Ω

12V

b) 2 e) 22

I 30V 2Ω

40 V 30 20 10 0

Colegios

216

6Ω

20 W 22 W 24 W 26 W 28 W

5Ω 9. Una batería cuya FEM es de 12 V tiene una resistencia interna de 0,03 Ω y alimenta una resistencia externa de 11,7 Ω. Determinar la diferencia de potencial entregada por la batería.

a) 12 V d) 9 V

b) 11,2 V e) 8,2 V

c) 10,2 V

3Ω A

TRILCE

a) b) c) d) e)

2Ω

6Ω

50V

4Ω

2Ω

4Ω

10. En el circuito mostrado, se pide determinar la potencia disipada en la resistencia de 2 Ω.

5. Hallar la lectura del amperímetro ideal.

30V

8. Dado el circuito resistivo, calcular la potencia eléctrica en la resistencia de 6 Ω.

30V

a) b) c) d) e)

1 V 2 4 6 3

15V

c) 10

4. Determinar el potencial en el punto "P", si por la rama circula una corriente de intensidad I=5 A. P

5 A 4 2,5 2 1

a) b) c) d) e)

1 A 2 4 5 10

6Ω 2Ω

36V

a) b) c) d) e)

36 W 18 W 72 W 48 W 24 W

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