Fisica Moderna
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fisica moderna...
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EFECTOS CUÁNTICOS
3.1
INTRODUCCIÓN
3.2
EFECTO FOTOELÉCTRICO
3.3
EFECTO COMPTON
3.4
RAYOS X
3.4.1
OBTENCIÓN DE RAYOS X
3.4.2
TUBO DE RAYOS X
3.4.3
PROPIEDADES DE LOS RAYOS X
3.4.4
ESPECTRO DE RADIACIONES EMITIDO POR EL TUBO DE RAYOS X
3.4.5
ESPECTRO CONTINÚO DE RADIACIONES
3.4.6
DIFRACCIÓN DE RAYOS X
3.5
ONDAS DE DE BROGLIE
3.5.1
DUALIDAD ONDA-PARTÍCULA DE LA RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
3.5.2
DUALIDAD ONDA-PARTÍCULA DE LA MATERIA
3.6
PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG
3.7
PROBLEMAS
PASOS ESENCIALES PARA EL ESTUDIO DE LOS EFECTOS CUÁNTICOS
DEFINIR EL EFECTO EFECTO DESCRIPTIVAMENTE DESCRIPTIVAMENTE
DEFINIR EL EFECTO ANALÍTICAMENTE
DESCRIBIR GRÁFICAMENTE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA
MECANIZAR SU APLICACIÓN MEDIANTE LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
DEFINIR EL EFECTO EFECTO DESCRIPTIVAMENTE DESCRIPTIVAMENTE
DEFINIR EL EFECTO ANALÍTICAMENTE
DESCRIBIR GRÁFICAMENTE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA
MECANIZAR SU APLICACIÓN MEDIANTE LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
RESUMEN ANALÍTICO
EFECTO FOTOELECTRICO
á =ℎ−ℎ
EFECTO COMPTON
Δ= − = ℎ (1−cos) ONDAS DE DEBROGLIE (Ondas de materia)
= ℎ = ℎ
PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG
RELACIÓN DE INCERTIDUMBRE PARA POSICIÓN Y MOMENTUM
∆ ∆ ≥ 4ℎ
DIVISIONES DE LA FÍSICA MODERNA
RELACIÓN DE INCERTIDUMBRE PARA ENERGÍA Y TIEMPO
∆ ∆∆ ≥ 4ℎ
FÍSICA MODERNA
NO RELATIVISTA
ESPECIA
RELATIVIDAD
MECANICA CUANTICA GENERA
Desarrollada por Schrodinger. Su formulación matricial se debe a Heisenberg. RELATIVISTA Desarrollado en sus comienzos por Dirac.
Basada en el principio de Incertidumbre Teoría con éxito sobresaliente, en la que se basa casi toda la ciencia y tecnología moderna.
Gobierna el comportamiento de los transistors y de los circuitos c ircuitos integrados. Teoría desarrollada en gran parte por Schrodinger, Heisenberg y Dirac. Einstein recibió el premio Nobel por su contribución a la teoría cuántica, no obstante, nunca aceptó que el universo estuviera gobernado al azar, como lo demuestra su frase famosa: “Dios no juega a los dados”
RESUMEN ESQUEMATICO DE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY (base experimental fundamental) TRANSFORMACIONES DE LORENTZ (compatibles con el experimento de Michelson-Morley)
b) Dilatación del tiempo
a) Contracción de la longitud
= 1 −( )
= 1 −() POSTULADOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
Invariancia de las leyes físicas para observadores inerciales. La velocidad de la luz en el espacio libre tiene el mismo valor para todos los observadores, independientemente de su CONSERVACION DE LA CANTIDAD LINEAL DE MOVIMIENTO (la ley más general de la física) FORMULA DE LA MASA RELATIVISTA
= 1 −( ENERGIA TOTAL
= += = 22 +204 PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA MASA-ENERGIA
Σ(í
FUERZA
= () ENERGIA DE LA MASA EN REPOSO
= =
ENERGIA CINETICA
CARACTERISTICAS IMPORTANTES DEL EFECTO FOTOELÉCTRICO QUE NO PUEDEN SER EXPLICADAS POR LA TEORÍA CLÁSICA
La emisión de una superficie dada no ocurre a menos que la frecuencia de la luz sea mayor que una cierta frecuencia crítica denotada por , que es independiente de la intensidad de la luz incidente.
La energía cinética máxima incidente.
á
La energía cinética máxima frecuencia de la luz.
no depende de la intensidad de la luz
á
aumenta con el aumento de la
El número de fotoelectrones emitidos por segundo es proporcional a la intensidad de la luz.
La emisión de fotoelectrones puede ocurrir inmediatamente, sin tener en cuenta la intensidad de la luz.
3. EFECTOS CUÁNTICOS 3.1
INTRODUCCIÓN
Para comprender la física moderna se requieren tanto de la relatividad especial como del concepto de la dualidad onda-partícula. La física clásica trata a las partículas y a las ondas como componentes separados, pero la realidad física que percibimos proviene de fenómenos que suceden en el mundo de los átomos y de las moléculas, en el que un electrón puede ser considerado como una onda o como una partícula. De Broglie sugirió, que partículas tales como los electrones, podían exhibir características ondulatorias, como pudieron comprobarlo los experimentos de Davisson-Germer, quienes observaron que los electrones dispersados por cristales se comportaban como si fueran difractados. Las ondas electromagnéticas son consideradas como ondas porque, bajo circunstancias adecuadas, dan lugar a los fenómenos de difracción, interferencia y polarización. Los fotones de luz no solamente tienen un carácter ondulatorio sino que se comportan como partículas cuando colisionan con electrones, como se demuestra en el experimento de Compton.
3.2
EFECTO FOTOELÉCTRICO
Consiste en la emisión de partículas cargadas negativamente (fotoelectrones o simplemente electrones), cuando luz de frecuencia suficientemente elevada incide sobre la superficie de un metal, como se indica en la figura (3.2-1). La luz incide sobre la superficie metálica que se encuentra dentro del tubo vacío y los electrones son emitidos por esta superficie. La frecuencia , la intensidad de la luz, el voltaje de retardo y el material del emisor pueden variar. Si los electrones son lo suficientemente energéticos, pueden sobrepasar el potencial de retardo y llegar al colector para ser medidos como corriente en el amperímetro . Para que los electrones puedan llegar al colector, la energía cinética de éstos debe ser mayor o igual que la energía potencial eléctrica que deben sobrepasar cuando van del emisor al c olector, es decir:
12 ≥
Fotones
Tubo de cuarzo
+
Electrones Voltímetro V
-
i p
Amperímetr o
A
i p
+
-
Bateria Figura (2-1) Montaje experimental del Efecto Fotoeléctrico.
donde es la masa del electrón en reposo. Si su energía es menor que este valor, regresarán antes de llegar al colector y, por lo tanto, no podrán ser medidos como corriente. De acuerdo al modelo cuántico, la energía transportada por un fotón es absorbida por un solo electrón. Si el electrón es expelido del material, la diferencia entre la energía absorbida y la energía con la cual el electrón estaba ligado a la superficie, aparece como energía cinética del electrón. Los electrones están ligados a la superficie con energías variables, pero la energía de enlace de los electrones menos estrechamente ligados depende del material del emisor. La energía necesaria para extraer estos electrones menos estrechamente ligados, se llama función de trabajo del material. Por lo tanto, los electrones serán expelidos con energías cinéticas que varían desde cero hasta un valor máximo dado por:
á =ℎ− á =í é á ó ( ó) ℎ=í ó ó é =ℎ =ó ó í í ó á ó = ℎ ó.
Siendo:
(3.2.1)
ℎ=6, 6 3∗10 −= ℎ =á + La ecuación (3.2-1) puede escribirse como:
(3.2-2)
que corresponde a la expresión anal ítica del efecto fotoeléctrico propuesta por Einstein. Los resultados experimentales son:
La corriente empieza casi instantáneamente, en intensidad.
υ≥υ
aun para la luz de muy baja
La demora desde cuando la luz incidente llega a la superficie, hasta cuando los electrones son observados, es de unos y es independientemente de la intensidad.
10 s
Cuando la frecuencia y el potencial de retardo permanecen fijos, la corriente es directamente proporcional a la intensidad de la luz incidente. Cuando la frecuencia y la intensidad de la luz permanecen fijas, la corriente decrece cuando el potencial de retardo aumenta y se aproxima a cero para cierto voltaje de frenado . Este potencial de frenado o voltaje de corte, es independiente de la intensidad. El potencial de frenado depende de la función de trabajo .
Cuando el material del emisor es el mismo, el voltaje de frenado varía linealmente con la frecuencia, de acuerdo a la relación:
á = =ℎ−ℎ =ℎ− =ℎ ≥10
El valor del término constante, , varía de un material a otro, pero la pendiente permanece igual para todos los materiales y corresponde a la constante de Planck. Para cada material existe una frecuencia umbral, de electrones.
ℎ
, por debajo de la cual no hay emisión
Cuando la luz de frecuencia incide sobre una placa metálica , partículas cargadas negativamente son emitidas por el metal y viajan hacia el electrodo negativo . Esta emisión ocurre cuando se ha hecho vacío en el tubo, de manera que los portadores de carga no son iones gaseosos. Un campo magnético aplicado en la región entre como si fueran negativos. La carga específica
⁄
y desvía los portadores cargados
para los portadores cargados fue:
1,9,160∗10 0∗10 =1,76∗10
que coincide con el valor encontrado por Millikan y Thompson para el electrón, evidencia experimental que permitió identificar a los portadores como fotoelectrones.
La energía cinética máxima de los fotoelectrones varía linealmente con , según la ecuación (3.2-1), es decir, depende de la frecuencia y no de la intensidad de la luz incidente. El número de electrones liberados es proporcional a la intensidad de las radiaciones incidentes. Los fotones pueden desaparecer, cediendo toda su energía para expulsar los electrones. La figura (3.2-2) muestra la forma en la cual la fotocorriente retardado se altera.
varía cuando el voltaje
Figura (3.2-2) Fotocorriente contra voltaje. La figura (3.2-3) indica que la fotocorriente (intensidad) incidente .
Figura (3.2-3) Fotocorriente contra irradiancia.
es directamente proporcional a la irradiancia
En 1902 Philipp Eduard Anton Von Lenard, descubrió que para un metal dado, el potencial de Frenado, y por consiguiente la máxima energía cinética, era independiente de la densidad de flujo radiante que llegaba a la placa, como se muestra esquemáticamente en la fi gura (3.2-4).
i p
- V 0
o
V
Figura (3.2-4) El potencial de frenado es independiente de la irradiancia.
Lenard encontró que aunque la irradiancia incidente había variado setenta veces, no alteraba a ni siquiera en uno por ciento. La tabla 3.1 muestra las frecuencias umbrales fotoeléctricas y las funciones de trabajo para algunos metales Tabla 3.1
Frecuencias umbrales fotoeléctricas y funciones de trabajo para algunos
metales. METAL Cesio Cs Berilio Be Titanio Ti Mercurio Hg Niquel Ni Platino Pt
460 940 990 1100 1210 1530
()
1,9 3,9 4,1 4,5 5,0 6,3
( )
~
El efecto fotoeléctrico fue descubierto accidentalmente por Heinrich Hertz, en 1887, cuando se encontraba efectuando sus famosos experimentos con ondas electromagnéticas. El notó que la chispa inducida en un circuito receptor, eran más fuerte cuando los terminales de la abertura se iluminaban con la luz que venía de la chispa primaria, pudiendo establecer que el efecto era más pronunciado cuando la luz ultravioleta incidía en el terminal negativo de la abertura.
Más tarde numerosos investigadores empezaron a investigar dicho efecto en el que sobresalen: Wilhelm Hallwachs, Philipp Lenard, Einstein, Elster y Geitel. En 1914 Millikan probó experimentalmente la ecuación (3.2-1) propuesta por Einstein.
3.3
EFECTO COMPTON
Consiste en la variación de la longitud de onda que experimenta un fotón de rayos X, cuando colisiona elásticamente con un electrón. El cambio de la longitud de onda, depende únicamente el ángulo de dispersión , y es independiente de la energía del fotón incidente.
La figura (3.3-1) muestra el fotón de rayos X dispersado elásticamente por un electrón libre estacionario.
y
y
E ¢ = hn ¢ p¢ = hn ¢ / c
Fotón de rayos X
E = hn p = hn / c
q Elect rón
p = 0 E = m0 c
x
2 4
2 2
E = m c + p c
2
Antes de la colisión
x
f
Electrón dispersado
p = p
Después de la colisión
La figura (3.3-1) Dispersión Compton de un fotón por un electrón en reposo. En la colisión elástica se aplican los principios de conservación de la energía y del momentum. Puede considerarse que la energía perdida por el fotón, es ganada por el electrón en forma de energía cinética . Si es la frecuencia del fotón incidente, y la frecuencia de fotón dispersado, se tiene:
′
Energía perdida por el fotón = Energía ganada por el electrón
ℎ−ℎ = = +
(3.3-1)
La energía relativista de una partícula está dada por:
Para el caso del fotón, su masa en reposo es
(3.3-2)
=0,
por lo tanto su energía total es:
= =ℎ = = ,
(3.3-3)
pero la energía de un fotón también p uede expresarse mediante:
(3.3-4)
Por consiguiente, de (3.3-3) y (6.3-4), se sigue que:
(3.3-5)
ℎ
Teniendo en cuenta que la cantidad de movimiento inicial del fotón es ; la cantidad de movimiento final del fotón ; la cantidad de movimiento inicial del electrón cero y l a cantidad de movimiento final de electrón , la conservación de la cantidad de movimiento en la dirección de incidencia del fotón (dirección ) es:
+0= cos+cos
ℎ′
(3.3-6)
La conservación de la cantidad de movimiento en dirección perpendicular (dirección ) es:
0= − cos= − cos= ℎ −ℎ sen= sen = ℎ cos = (ℎ −ℎ ) cos =(ℎ ) −2(ℎ )(ℎ )+(ℎ ) sen =(ℎ ) (cos +)=[(ℎ ) −2(ℎ )(ℎ )+(ℎ ) ( + ) cos+=1
(3.3-7)
De (3.3-6) se sigue que:
(3.3-8)
(3.3-9)
De (3.3-7) se sigue que:
(3.3-10)
(3.3-11)
Elevando al cuadrado la ecuación (3.3-9) se obtiene:
(3.3-12)
(3.3-13)
Elevando al cuadrado la ecuación (3.3-11) se obtiene:
(3.3-14)
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (3.3-13) y (3.3-14) se si gue que:
(6.3-15)
Teniendo en cuenta la identidad trigonométrica puede volverse a escribir mediante:
, la ecuación (3.3-15)
=(ℎ ) −2(ℎ )(ℎ )+(ℎ )
(3.3-16)
Igualando las siguientes dos expresiones correspondientes a la energía total de una partícula,
=+ = + + = + (+) = + + 2 + = + + 2 = (ℎ ) −2(ℎ )(ℎ )+(ℎ ) = + 2 (ℎ ) −2(ℎ )(ℎ )+(ℎ ) =(ℎ−ℎ) +2(ℎ−ℎ) (ℎ ) −2(ℎ )(ℎ )+(ℎ ) =(ℎ ) −2 ℎℎ +(ℎ ) +2(ℎ−ℎ) 2(ℎ ) (ℎ )(1−cos)=2(ℎ−ℎ ) − = (1−cos) − = (1−cos)
(3.3-17)
(3.3-18)
Se obtiene:
(3.3-19)
Elevando (3.3-19) al cuadrado se tiene:
(3.3-20)
(3.3-21)
(3.3-22)
Igualando (3.3-16) y (3.3-22) se obtiene:
(3.3-23)
Introduciendo (3.3-1) en (3.3-23) se sigue que:
(3.3-24) 3.3-25)
(3.3-26)
(3.3-27)
(3.3-29)
La ecuación (3.3-29) describe el efecto Compton y fue deducida por Arthur H. Compton a comienzos de 1920. La cantidad
es denominada longitud de onda de Compton de la partícula dispersada, que para el caso
de un electrón su valor es
0,024 Å (2,4 ∗10 m)
.
3.4
RAYOS X
Los rayos x fueron descubiertos de manera fortuita en una mañana de 1895, por wilhelm konrad röentgen, cuando experimentaba con un tubo de vacío cubierto con cartulina negra; se sorprendió al ver el resplandor que producía la fluorescencia de una pequeña pantalla de platinocianuro de bario, situada en la vecindad de una mesa de trabajo. Los rayos X se producen siempre que, electrones con alta velocidad chocan con la materia, es decir, cuando un haz de rayos catódicos es detenido por un obstáculo m etálico. La naturaleza de los rayos X fue un enigma, puesto que la ionización que producían constituía un obstáculo serio en el camino de su interpretación como ondas, porque nadie podía ver entonces cómo un flujo continuo de ondas a través de la materia podía l iberar electrones al azar. Las dudas sobre la naturaleza de los rayos X se disiparon en 1912, cuando Laue enunció que los rayos X podían ser difractados por un cristal. Los fotones de rayos X son emitidos por un átomo o molécula, cuando sus electrones interiores fuertemente atados, sufren transiciones. La naturaleza de los rayos X es la misma que la de los rayos gamma, puesto que ambas radiaciones son ondas electromagnéticas de corta longitud de onda, pero sus orígenes son diferentes, por cuanto los rayos X se producen en las capas electrónicas internas, mientras que los rayos gamma proceden del núcleo de un átomo radioactivo.
γ
Los rayos X ocupan un pequeño intervalo de frecuencias comprendidas entre los rayos ultravioleta, en la zona de frecuencias bajas, y los rayos , en la zona de más altas frecuencias, aunque no es posible precisar los límites del espectro de rayos X. Los rayos X se pueden clasificar en duros y blandos, de acuerdo a la mayor o menor capacidad de la radiación para penetrar en la materia.
0,3 10 Å
En espectroscopia convencional de rayos X, se emplean ordinariamente radiaciones duras y blandas, con longitudes de onda comprendidas entre .
0,1,55418Å Å)2,5 Å
CK (λ=
En la difracción de rayos X, se utiliza por lo general, un intervalo de longitudes de onda entre unos y , que incluye la radiación típica del espectro de rayos x ordinario, la
3.4.1 OBTENCIÓN DE RAYOS X La radiación X se origina siempre que una partícula de masa muy pequeña, dotada de suficiente energía cinética, choca con la materia. Parte de dicha energía se invierte en la pr oducción de rayos X, merced a la perturbación que la colisión produce en el estado energético de los átomos del material bombardeado. Las partículas bombardeadas más eficaces, de más cómoda producción y más fácilmente controlables, son los electrones, recibiendo el nombre de tubo de rayos X el dispositivo experimental correspondiente. La producción de rayos X es un fenómeno inverso al efecto fotoeléctrico. En lugar de transformarse la energía del fotón en energía cinética del electrón, se transforma la energía del electrón en un fotón energético.
3.4.2 TUBOS DE RAYOS X
10 mm de Hg
Un tubo de rayos X está constituido básicamente por una ampolla de vidrio, en la que se ha hecho un vacío elevado del orden de , que contiene un filamento, que hace de cátodo, y un ánodo metálico enfrentado al mismo, como se muestra en la figura (3.4.2-1). Si entre el filamento y el ánodo, normalmente llamado placa o anticátodo, se aplica una diferencia de potencial de varios miles de voltios, los electrones emitidos por el filamento incandescente (emisión termoiónica), son fuertemente acelerados hacia el ánodo, produciéndose en la colisión la emisión de rayos X.
Rayos X
A n ti cáto d o
Electrones
Cátodo
V 1
V Figura (3.4.2-1) Tubo de rayos X El filamento de rayos X es una espiral de Wolframio suficientemente resistente para soportar la fuerte atracción ejercida por el ánodo, debido a la diferencia de potencial aplicado entre ambos. La considerable potencia calorífica que ha de disipar el ánodo del tubo de rayos X, requiere de una refrigeración intensa del ánodo, para que este pueda funcionar de forma continua durante cualquier intervalo de tiempo. Tal refrigeración se realiza m ediante una circulación forzada de agua.
3.4.3 PROPIEDADES DE LOS RAYOS X No pueden detectarse por ninguno de nuestros sentidos. Hacen que algunos productos, por ejemplo, platino-cianuro de Bario y sulfato de zinc, produzcan fluorescencia. Actúan sobre las placas fotográficas de un modo semejante a la luz. Se propagan en línea recta y, consecuentemente obedecen la ley de la inversa de los cuadrados. Por ello, todas las fotografías de rayos X son fotografías de sombras. No se influyen por los campos eléctricos o magnéticos. No podían ser reflejados o refractados (aunque se demostró más tarde que presentan estos efectos).
Los rayos X son transmitidos hasta cierto punto por todos los materiales. Los materiales duros como el plomo y los huesos son malos transmisores (absorben mucha radiación) mientras que los materiales ligeros como el aire y los tejidos absorben muy poca. Si se coloca un trozo de cualquier material entre una fuente de radiación y un detector, este último muestra una lectura reducida, debido a la propiedad de ABSORCIÓN, que es un fenómeno complejo que involucra la absorción fotoeléctrica, la dispersión de Compton y la producción de par. Producen ionización en todos los materiales a través de los cuales pasan, y descargan un electroscopio si se los dirige hacia él. Tienen efectos destructivos sobre los tejidos vivos. Algunos de los primeros experimentadores pagaron un alto precio, en lesiones y quemaduras, por falta de conocimiento sobre esto.
( =207)
Los metales son los que presentan mayor poder absorbente, que es tanto mayor cuanto mayor es la masa atómica del metal; una pantalla del plomo de 2 cm de espesor puede detener casi todos los rayos X. Los rayos X pueden atravesar espesores considerables de materia como el cuerpo humano ó una pared. Una sustancia cualquiera emite electrones al recibir rayos X, electrones que están, por lo general, animados de grandes velocidades. Este fenómeno está en relación con el efecto fotoeléctrico. Cuando la substancia es un gas, los electrones emitidos provocan su ionización, y la medida de ésta última sirve para conocer la intensidad del haz de rayos Roentgen.
3.4.4 ESPECTRO DE RADIACIONES EMITIDO POR EL TUBO DE RAYOS X Por debajo de un determinado valor de la tensión, el espectro de radiaciones emitido por un tubo de rayos X, está constituido por radiaciones de distintas longitudes de onda que se extienden en un amplio intervalo espectral, sin ninguna discontinuidad. Este espectro se denomina continuo, heterocromático o blanco. A medida que se eleva la tensión, aumenta la intensidad global del espectro continuo y la curva espectral se desplaza a la zona de longitudes de onda más cortas. El valor de la longitud de onda más corta, alcanzado a una determinada tensión, se denomina longitud de onda límite o mínima. La longitud de onda mínima es independiente del material anódico y solamente depende de la tensión aplicada al tubo de rayos X. A partir de cierto valor de la tensión aplicada, aparecen superpuestos al espectro continuo, unos máximos de intensidad, característico del anticátodo. Para el caso del Molibdeno las líneas características aparecen cuando se sobrepasa el potencial de , como se ilustra en la figura (3.4.4-1).
20
()
1,45 Å 1,39 Å
Las líneas características del Molibdeno son y . Para el caso del cobre ( ), las longitudes de onda correspondientes a las líneas y son respectivamente, como se observa en la figura (3.4.4-2). El espectro característico de líneas agudas depende del material blanco (placa o anticátodo), aunque su intensidad depende del potencial acelerador. Los electrones más fuertemente ligados al núcleo se encuentran en la capa K. Después le siguen los que están situados en la capa L, después los de la capa M, luego los de la capa N y así sucesivamente.
Intensidad relativa
K b Blan co M o l ib d e n o , M o
K a
3 5 k V 2 5 k V
20 kV 15 kV
0 , 2 0 , 4 0 ,6 0 ,8 1, 0
0
0
Lo ng itu d de onda , l ( A )
Figura (3.4.4-1) Líneas características que aparecen a partir de cierto vcalor fijo de la tensión.
Intensidad relativa
Blanco C u
Tensión
3 5 k V
K a
K b
0
0,35
0,6
1, 0
1, 4
1, 6
0
Lon git ud de onda , l ( A)
35
Figura (3.4.4-2) Espectro de emisión del cobre, cuando es bombardeado por electrones que han sido acelerados por una tensión de
Cuando un electrón de bastante energía, desaloja a un electrón de la capa K de un átomo, un electrón de la capa L pasa a llenar la vacante dejada por el electrón expedido, emitiendo energía en la forma de un rayo X. Está radiación, característica del material del blanco (placa o anticátodo), se denomina línea . Cuando un electrón de la capa M llena la vacante de la capa K, cede energía en forma de otro rayo X, llamado línea . Las transiciones de las capas L, M, N, etc., a la capa K, dan cargas a la serie de líneas , , y , etc., llamadas serie K.
Cuando los electrones incidentes desalojan los electrones de la capa L y las vacancias son llenadas por electrones de las capas resultantes M, N, O, …, estas transiciones dan lugar a la serie L. La nomenclatura para estas transiciones se il ustra en la figura (3.4.4-3).
O N
M g
M b M a L
L L a
K e K d
L g
647 4 8 d
n=4 n =3
S e r i e M
b
6474 8 Serie L
n=2
K g K b
K a
K
6474 8 seri e K
n =1
Figura (3.4.4-3). Transiciones electrónicas de las capas cercanas al núcleo, que dan lugar a los espectros característicos de los rayos X. Los rayos X asociados en la serie K (la más energética) son llamados “Rayos X duros”, y los asociados a las series L, M, N,…, (menos energéticos), son llamados “Rayos X blandos”.
3.4.5 ESPECTRO CONTINUO DE RADIACIONES ERROR ! BOOKMARK NOT DEFINED.
La longitud de onda límite en el espectro continuo, presupone la existencia de una fracción de electrones que pierden la totalidad de sus energías en la producción de energía radiante. La expresión correspondiente a un electrón que trasfiera toda su energía a un fotón, viene dada por la ley de Duane-Hunt: E=eV= (3.4.5-1)
á = í ) , ( í = = (,) ) , ( í =
(3.4.5-2)
/3.4.5-3)
La ecuación (3.4.5-3) expresa que el valor de tubo de rayos X.
í
sólo depende del potencial aplicado al
3.4.6 DIFRACCIÓN DE RAYOS X En 1914 Von Laue recibió el premio Nobel por establecer el carácter ondulatorio de los rayos X al difractarlos por, medio de cristales. Al año siguiente W. H. Bragg y su hijo Lawrence Bragg recibieron el premio Nobel por perfeccionar los conceptos de Von Laue sobre difracción de rayos X por cristales.
Consideremos un haz de rayos X de longitud de onda que incide sobre un cristal, formando un ángulo con la superficie del cristal. El cristal posee una familia de planos de Bragg (planos paralelos conformados por los átomos de un cristal) con un espaciado igual a .
Cuando el haz de rayos X, como se muestra en la figura (3.4.6-1), incide sobre los átomos del primero y segundo plano de Bragg, se dispersan en todas las direcciones del espacio. Solamente aquellos rayos que sean paralelos y cuya diferencia de recorrido sea un múltiplo entero de , podrán interferir constructivamente, como sucede con los rayos y de la figura (3.4.6-1). Las condiciones para que los rayos y interfieran constructivamente, conocidas como leyes de Bragg, son:
I Diferencia de recorrido
I I
q
=
q
q
q
}
d
B dsenq
Figura (3.4.6-1) Dispersión de rayos X por un cristal cubico.
2dsenq
El ángulo de incidencia deber ser igual al ángulo de reflexión.
=2 = =1, 2 , 3 , … , para
donde es el orden de reflexión.
La longitud de onda de los rayos X puede ser calculada si se conoce la distancia entre los planos adyacentes de Bragg.
Para determinar el valor de , por ejemplo, en un cristal de cloruro de sodio átomos están distribuidos en un cristal cubico, se procede de la siguiente manera:
, cuyos
La masa molecular (a veces denominada, de forma imprecisa, peso molecular) del es igual a la suma de las masas de sus átomos constituyentes en unidades de masa atómica, es decir:
( )=( )+( ) ( )=22,99 +35,46 ( )=58,45 1 =1,660∗10
Habiéndose comprobado que
.
Un mol de una sustancia es una cantidad de la misma cuya masa es numéricamente igual a la masa molecular expresada en gramos.
1 =58,45
El número de moléculas de un mol (o molécula gramo), se denomina número de Avogadro , donde:
=6,02∗10 é =
Luego, la masa de una molécula de
está dada por:
donde es una cantidad sin dimensiones, que expresa el número de gramos por mol de una sustancia, denominada Peso molecular.
= 6,02∗1058,45/é =9,705∗10 é 1 2,165 =2 á é
Teniendo en cuenta que la densidad del tiene dos átomos, el número de átomos en
es del
es:
y que cada molécula del
2, 1 65 á =2 é9,705∗10 é =4, 4 8∗10 á/ á/ á/ 1 = = 1 = 4,48∗101 =2, 8 2∗10 =2,82 Å
Si es la distancia entre átomos próximos en un cristal, entonces en cualquiera de las aristas del cubo hay , y en todo el cristal , por lo tanto:
El cálculo simple de la distancia media entre átomos de una simple estructura cúbica de sal se resume por medio de la fórmula:
Siendo M el peso molecular de Avogadro.
3.5
= 2 ,
la densidad del
y
el número de
ONDAS DE DE BROGLIE
De Broglie propuso la siguiente idea: si las ondas de luz pueden tener una naturaleza corpuscular, las partículas, tales como los electrones, pueden poseer características ondulatorias. Clásicamente, una partícula es algo que ocupa una posición en el espacio, tiene cantidad de movimiento, energía cinética, masa y carga eléctrica. Una onda clásica tiene características, tales como: longitud de onda, frecuencia, velocidad, amplitud de la perturbación, intensidad, energía y momentum. La diferencia más sobresaliente entre ambas consiste en que la partícula puede ser localizada, mientras que la onda, se esparce y ocupa una posición relativamente amplia en el espacio,
=ℎ
La ecuación propuesta por Planck:
(3.5-1)
relaciona la energía de los corpúsculos de luz (fotones) y la frecuencia de la luz. Esta expresión es equivalente a la encontrada en la relatividad especial:
= + = =0
(3.5-2)
donde es la energía de la partícula en reposo y la energía cinética de la partícula. Para el caso del fotón , puesto que la masa del electrón en reposo, es cero. Por lo tanto,
= = = +. =0
la energía total es igual a la energía cinética, es decir, fotón también puede escribirse mediante:
= ℎ = = = = =
. La expresión de la energía de un Como , entonces:
(3.5-3)
Igualando (3.5-1) y (3.5-3), se sigue que:
(3.5-4)
(3.5-5)
(3.5-6)
es decir, la longitud de onda de De Broglie, asociada a una partícula en movimiento, puede escribirse en términos de la cantidad lineal de movimiento , siendo , en donde es la masa relativista,
=
= .
Como puede apreciarse de la ecuación (3.5-6), cuanto mayor es la cantidad lineal de movimiento de la partícula, la longitud d e onda es menor. VELOCIDAD DE ONDA DE DE BROGLIE Una partícula se puede representar mediante una combinación de muchas ondas individuales. Tal sistema de ondas formará una en volvente llamada paquete de ondas (o grupo de ondas), que representa un punto material (una partícula). Consideremos un paquete compuesto por dos ondas:
=cos(−) =cos(−) ≈ ≈ = + =cos(−)+ cos(−) =2 − − = − =2 − Donde por:
y
(3.5-7)
(3.5-8)
. De acuerdo al principio de superposición, la onda resultante , viene dad
(3.5-9)
en donde
(3.5-10)
(3.5-11) (3.5-12)
es la amplitud resultante, dada por:
(3.5-13)
Las velocidades de fase de cada onda, son aproximadamente iguales y vienen dadas por:
== = =
(3.5-14)
La ecuación (3.5-14) indica que la velocidad de onda (velocidad de fase) de De Broglie es mayor que la velocidad de la luz , puesto que la velocidad v de una partícula no puede ser igual o mayor que la velocidad de la luz. La velocidad de fase de las ondas de De Broglie, también se puede escribir mediante:
== = = = () = +
(3.5-15)
De acuerdo a la teoría ondulatoria, l a velocidad de grupo
se obtiene a partir de:
(3.5-16)
(3.5-17)
Además:
= =
(3.5-18)
Pero:
=2 =2 =2 =
(3.5-19) (3.5-20)
Además:
= =
(3.5-21)
Dividiendo (3.5-20) sobre (3.5-21), se obtiene la velocidad de la onda (o velocidad de fase) cualquiera de las ondas componentes:
= = =
(3.5-22)
(3.5-23)
Nuevamente, como se vio en la ecuación (3.5-14), la velocidad de la onda o velocidad de fase es mayor que la velocidad del cuerpo y mayor que la velocidad de la luz .
Derivando (3.5-20) respecto de , se sigue que:
, de
,
= = 1 − = − 1 − − =
(3.5-24)
(3.5-25) (3.5-26) (3.5-27)
Derivando (3.5-21) respecto de la velocidad del cuerpo (o partícula), se sigue que:
= (3.5-28) = (3.5-29) = (3.5-30) = + (3.5-31) = (3.5-32) = (3.5-33) Luego, la velocidad de grupo , se obtiene, insertando (3.5-27) y (3.5-33) en (3.5-18), así: = = = (3.5-34)
Por lo tanto la velocidad del grupo es igual a la velocidad de la partícula , es decir, la velocidad de la envolvente del paquete de ondas (o grupo de ondas) se mueve con velocidad igual a la de la partícula, o sea que las ondas de De Broglie se mueven junto con la partícula, pero su significación física no es sencilla.
3.5.1 DUALIDAD ONDA-PARTÍCULA DE LA RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
La partícula electromagnética muestra una dualidad onda- partícula: en ciertas circunstancias se comporta como una onda, como lo demuestran los experimentos de interferencia y difracción, mientras que en otras situaciones actúa como una partícula, como se observa en los experimentos sobre el efecto fotoeléctrico y la dispersión d e Compton. Una onda tiene características tales como: Longitud de onda, frecuencia, velocidad, amplitud de la perturbación, intensidad, energía y momentum. Una partícula se caracteriza por: Ocupar una posición, tener momentum, energía cinética, masa y carga eléctrica. La diferencia fundamental estriba en que la onda ocupa una posición relativamente amplia en el espacio, m ientras que la partícula puede ser localizada.
3.5.2 DUALIDAD ONDA-PARTÍCULA DE LA MATERIA En 1924, Luis De Broglie, propuso que los objetos materiales, tales como los electrones, podrían comportarse en ciertas ocasiones como ondas. Es decir, si por ejemplo, se hacen pasar electrones a través de una ranura, cuyo ancho sea comparable a una longitud de onda asociada a ellos, entonces se producirá el fenómeno de difracción, el cual es un fenómeno eminentemente ondulatorio. De Broglie postuló que un cuerpo material tendría una longitud de onda dada por:
= ℎ = ℎ
Esta expresión permite expresar, la longitud de onda de cualquier partícula material en términos de su cantidad de movimiento.
= ℎ = ℎ
Para un fotón, la frecuencia y longitud de onda , se obtienen a partir de:
donde los miembros de la izquierda corresponden a aspectos ondulatorios de los fotones, mientras que los miembros de la derecha involucran características corpusculares, como son: la energía y el momentum. Para determinar la longitud de onda de un fotón a partir de sus propiedades de partícula, energía y momentum, solamente se requiere de una ecuación .
= = =
En cambio, para determinar la longitud de onda y la frecuencia de un objeto con masa en reposo, es necesario utilizar dos ecuaciones: y , en donde las características de partícula (mometum y energía) se encuentran conectadas con las características de onda (longitud de onda y frecuencia) a través de la constante de Planck.
3.6
PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG
El principio de incertidumbre, o mejor llamado principio de indeterminación, fue expuesto por primera vez en 1927 por el físico alemán Werner Heisenberg. Este principio establece un límite a la determinación simultánea de ciertos pares de variables, llamadas variables conjugadas, tales como la posición y el momentum , y la energía y el tiempo .
(,)
(,)
Si por ejemplo, se desea determinar la posición de un electrón cuando atraviesa una ranura localizada en la posible trayectoria del cuerpo que se mueve paralelo al eje , como se ilustra en la figura (3.6-1), podemos asegurar que el cuerpo atravesó la ranura si aparece una señal hecha por la partícula sobre una pantalla colocada detrás de la ranura. En tal caso, hemos medido la posición en de la partícula en el momento de entrar a la ranura, con una incertidumbre , dada por .
Δ=
Δ
Mientras más pequeña sea la ranura, menor será la incertidumbre en la posición cuerpo y por lo tanto, mayor será la exactitud con que se conozca la posición.
del
Al pasar la partícula por la ranura, debido al comportamiento ondulatorio de la materia, esta se difracta. Aunque no es posible predecir el lugar donde incide el electrón sobre la pantalla, el haber golpeado la pantalla en algún lugar, nos indica que ha atravesado la ranura. La difracción produce un efecto en el momentum de la partícula. Antes de atravesar la ranura el momentum de electrón se conocía, tanto en magnitud (puesto que tenía energía conocida), como en su dirección (perpendicular a la ranura), mientras que su posición era completamente desconocida. Después de atravesar la ranura el electrón, con lo cual se determina su posición, se moverá hacia algún punto arbitrario en el espectro de difracción y la componente en de momentum, , ya no valdrá cero. Como no se conoce exactamente el lugar de incidencia del electrón sobre la pantalla, existirá la correspondiente incertidumbre en la componente de su momentum lineal al pasar por la ranura. La incertidumbre puede hacerse tan pequeña como queramos al aumentar el ancho de la ranura. Pero al aumentar el ancho de la ranura, aumenta también la incertidumbre en la posición de la partícula, por lo tanto, la incertidumbre en la posición y el momentum en de una partícula no
∆ ∆
x
Pantalla
d = D x Electrón Patrón de difracción
del electrón
Figura (3.6-1) Difracción de un electrón a través de una ranura. puede reducirse arbitrariamente; la exactitud de una de las variables conjugadas solo puede lograrse disminuyendo la exactitud en la otra variable conjugada.| El problema de la incertidumbre ó indeterminación es una consecuencia de la dualidad onda-partícula. La mecánica clásica de Newton y Galil eo es determinística, ya que si conocemos la fuerza que actúa sobre la partícula y las condiciones iniciales de posición y momentum, podemos predecir el movimiento subsiguiente de la partícula con precisión absoluta; en cambio, el mundo microscópico es esencialmente no determinístico.
Si consideramos una partícula que se mueve con velocidad , localizada dentro de un paquete de ondas que se mueve con la velocidad , como se observa en la figura (3.6-2).
=
Partícula situada dentro del paquete
v g = v
D x
Figura (3.6-2) Partícula en movimiento representada por un paquete de ondas que se mueve con velocidad . De acuerdo a la teoría ondulatoria la velocidad de grupo
= = () = = = =−
Pero:
viene dada por: (3.6-1) (3.6-2) (3.6-3)
= ⟶ =− ⟶ =− =− = = =ℎ = =ℎ =ℎ (Δ)(Δ)=ℎ(Δν)(Δ)
(3.6-4)
De (3.6-3) y (3.6-4) se sigue que:
(3.6-5) (3.6-6)
Por definición:
(3.6-7)
De la ecuación (3.6-6):
(3.6-8)
Luego igualando (3.6-7) y (3.6-8) se siguen qu e:
(3.6-9) (3.6-10)
Pero el menor requerido para que una longitud de onda completa pase por un punto de referencia, está relacionado con la frecuencia de la onda mediante:
Por lo tanto:
(Δν)(Δ)≥1 (Δ)(Δ)≥ℎ
Δ≥ Δν1
(3.6-11)
Reemplazando (3.6-11) en (3.6-10) se obtiene:
(3.6-12)
en donde (3.6-12) es una de las ecuaciones que expresa el principio de Heisenberg.
incertidumbre de
Métodos más realistas de aproximación, dan para el principio de indeterminación las siguientes expresiones:
(Δ)(Δ)≥ (Δ)(Δ)≥
(3.6-13)
(3.6-14)
RELACIÓN DE INCERTIDUMBRE PARA LA POSICIÓN Y EL MOMENTUM Error! Bookmark not defined. Un análisis mecánico cuántico muestra que para todo tipo de experimento, las indeterminaciones en la posición y en la cantidad de movimiento lineal estarán siempre relacionados por:
Δ
Δ Δ Δ≥ 4ℎ
Esta relación válida tanto teórica como experimentalmente indica que mientras más exactamente se localiza una partícula en su posición, mayor será la incertidumbre en la determinación de su cantidad de movimiento lineal y viceversa. RELACIÓN DE INCERTIDUMBRE PARA LA ENERGÍA Y EL TIEMPO La incertidumbre en la energía ha medido la energía, mediante:
ΔE
se relaciona con el intervalo de tiempo durante el cual se
ΔE Δt≥ 4πh
(ΔE=0) (Δt=∞).
La energía de un cuerpo puede conocerse con toda exactitud medida se efectúa durante un intervalo de ti empo infinito
3.7
solamente si la
PROBLEMAS
2,300 Å
1. El umbral de longitud de onda para la emisión fotoeléctrica en el wolframio es . ¿Qué longitud de onda debe usarse para expulsar a los electrones con una energía máxima de ?
1,5
SOLUCIÓN La función de trabajo está dada:
=ℎ = ℎ (6, 6 25∗10 ∙)∗(3∗10 = (2300∗1,6∗10 ) ⁄) =8,6413∗10 =ℎ −
Reemplazando numéricamente se obtiene:
Efectuando operaciones:
La fórmula correspondiente al efecto fotoeléctrico es:
Por tanto:
ℎ = ℎ =+ ℎ = + (6, 6 25∗10 ∙)∗(3∗10 = 1,5∗1,6∗10 +8,6413∗10⁄)
Despejando , se sigue que:
Reemplazando numéricamente:
Efectuando operaciones:
=, ∗ = Å. 2,3
2. La función de trabajo del sodio es . ¿Cuál será la energía de fotoelectrones de sodio? ¿Cuál será la energía cinética máxima de los fotoelectrones si luz de incide sobre una superficie de sodio?
2000 Å
SOLUCIÓN: La función de trabajo está dada por:
=ℎ = ℎá =2,3
Despejando
á ⁄ á = ℎℎ = 6,625∗102,3∗1, 6∙∗3∗10 ∗10 , se obtiene:
Efectuando operaciones:
á =5, 4 ∗10 =5400 Å á =ℎ−ℎ ℎá = = óí é á ó ℎ = í ó 6, 6 25∗10 ∙∗3∗10 á = 2000∗10 ⁄ −2,3 1,6∗101 De la expresión para el efecto fotoeléctrico:
Reemplazando numéricamente se obtiene:
Por tanto:
á =9,9375∗10 −3,68∗10 á =6,2575∗10 á =, 7000 Å
Efectuando operaciones:
Transformando los julios a electrón-voltios:
3. A) Hallar la energía de un fotón de
.
SOLUCIÓN De acuerdo a la teoría cuántica, de Max Planck, la energía de un fotón a cuanto de energía, está dada por:
=ℎ = ℎ (6, 6 25∗10 ∙)∗(3∗10 = (7000∗10 ) ⁄) =.∗ =, ∗ 5∗10 = ℎ ℎ = (6, ⁄ ) 6 25∗10 ∙)∗(3∗10 = 5∗10 =3,978∗10 = Å. 0,1 Å í = 1,24∗10 −
Reemplazando numéricamente:
Efectuando operaciones:
B) Hallar la longitud de onda de un fotón de
.
SOLUCIÓN La energía de un fotón está dada por:
Despejando la longitud de onda , se obtiene:
Reemplazando numéricamente:
Efectuando operaciones:
Convirtiendo los metros a Angstroms se sigue que:
4. Un aparato produce rayos X de
. ¿Qué voltaje acelerador emplea?
SOLUCIÓN La expresión correspondiente a la emisión de Rayos X es:
1,24∗10 = í 1, 2 4∗10 = 0,1∗10 − =, ∗ 1, 9 8∗10 74,55 =1, 2 354∗10 é 1 =2 á 1, 9 8∗10 é 1,23∗10 é =3, 2 1∗10 á / 1 = / = 3,21∗101á =, ∗ =, Å.
Despejando el potencial eléctrico
, se sigue que:
Reemplazando numéricamente:
Efectuando operaciones:
5. Un cristal de cloruro de potasio tiene una densidad de molecular del es . Calcular la distancia entre átomos adyacentes. SOLUCIÓN La masa de una molécula de
. El peso
se obtiene así:
El número de átomos se obtiene en función de la densidad mediante:
Efectuando operaciones:
La distancia interatómica se obtiene mediante la expresión:
Reemplazando numéricamente:
Efectuando operaciones:
10 −
6. ¿Cuál es la frecuencia de un fotón de rayos X cuya cantidad de movimiento es ? SOLUCIÓN: La longitud de onda de De Broglie está dada por:
Reemplazando numéricamente:
= ℎ
1,1∗
Efectuando operaciones: Utilizando la relación: Se sigue que: Efectuando operaciones: Aproximando:
J −s λ= 1,6,1 ∗1063∗10kg−m s λ=6,027∗10 m υ= λc m/s υ= 6,03∗10 27∗10 m υ=4, 9 7∗10 s =∗ 0,022 Å
7. Un haz de rayos X es dispersado por electrones libres. A 45° de la dirección del haz, los rayos x dispersados tienen una longitud de onda de ..¿Cuál es la longitud de onda de los rayos X en el haz original? SOLUCIÓN La expresión correspondiente al efecto de Compton es :
−λ= mh c ( 1−cosϕ) λ λ λ=λ − mh c (1−cosϕ) =Longitud de onda de la radiación dispersada λλ=Longi t u d de onda de l a radi a ci ó n i n ci d ent e mc=Vel =Masa en r e poso del el e ct r ó n ocidad de la luz h=Constante de Planck λ=0,022 Å−0,024 Å (1−cos45°) λ=0,014497 Å λ=0,015 Å 3∗10 despejando , se obtiene: Téngase en cuenta que:
reemplazando numéricamente:
efectuando operaciones: Aproximando:
8. Un fotón de tatos X de frecuencia inicial es duspersado a 90°. Hallar su nueva frecuencia.
SOLUCION La expresión correspondiente al efecto Compton es:
expresando
−= ℎ (1−cos) − =0,024 (1−cos) en funcion de
, se obtiene:
entra en colision con un electron y
υ
ν = 0,024+c υc ν = (0,024∗103∗10 m+10/s )m =,∗ 0,558 Å
Despejando , se sigue que:
Reemplazando numéricamente: Efectuando operaciones:
9. Un haz monocromático de rayos X, cuya longitud de onda es 46°. Hallar la longitud de onda del haz dispersado.
, es dispersado a
SOLUCIÓN La expresión correspondiente al efecto de Compton es :
λ′
λ −λ= mhc (1−cosϕ) λ =λ+ mhc (1−cosϕ) λ =0,058 Å+0,024(1−cos46°) λ =0,565 Å 75
Despejando , se sigue que:
Reemplazando numéricamente: Efectuando operaciones:
10. En una dispersión de Compton, se detectaron el fotón y el electrón dispersados. Se encontró que la energía cinética del electrón era de y la energía del fotón de . ¿Cuál era la longitud de onda inicial del fotón?
200
SOLUCIÓN La energía cinética del electrón está dada por:
K=h ν−h ν =h ν K+h ν υ c/λ: K+h ν = h c λ λ λ= K+hh c ν (6, 6 26∗10 J . s)(3∗10 λ= 75000 eV+200000 eV J. m) (6, 6 26∗10 J . s)(3∗10 λ= 275000 eV∗1,602∗10 J. m)J λ=4, 5 1∗10 m λ=0,0451 Å
Transponiendo términos:
Sustituyendo la frecuencia por Despejando el valor de :
Reemplazando numéricamente:
Convirtiendo los electrón-voltios a Julios: Efectuando operaciones: Por tanto:
11. Calcular la variación porcentual en la longitud de onda de un fotón de sufre una dispersión de 120° con un electrón
=0,15 Å
, que
SOLUCIÓN La variación porcentual en la longitud de onda se define mediante: Efectuando operaciones: Por tanto:
Δλλ = λ λ−λ = mh c (1−cos120°) λ Δλλ = 0,0240,Å(1−0, 5 ) 15 Å Δλλ =0,24=24%
12
12. Hallar la longitud de onda final de un fotón dispersado, que sufre una dispersión de Compton de 90° con un protón libre, si su energía original es . SOLUCIÓN A partir de la fórmula del efecto de Compton:
−λ= mh c ( 1−cosϕ) λ ϕ=90° λ =λ+ h m c E=h ν= hλc =12 MeV=12∗10 eV h c 12, 4 1∗10 λ= 12∗10 eV = 12∗10 eeVVÅ λ=1,034∗10 Å λ =1,034∗10 Å +mmh c J. s 6,626∗10 λ =1, 0 34∗10 Å + (1,673∗10 Kg)(3∗10 m/s) λ =1,034∗10 Å +0,01247∗10 Å λ =1,04647∗10 Å λ =1,05∗104500 ÅÅ, 0,300075 Å.
Se obtiene reemplazando
Utilizando la fórmula correspondiente a la energía de un fotón: Se obtiene:
Haciendo operaciones: Por tanto:
Reemplazando valores y teniendo en cuenta que se sigue que:
es la masa del protón en reposo,
Haciendo operaciones: Sumando: Aproximando:
13. Cuando se ilumina una superficie con luz de frenado para los electrones emitidos es de para fotoelectrones, si la luz incidente tiene
se encuentra que el potencial de ¿Cuál será el potencial de frenado de longitud de onda?
SOLUCIÓN Usando la fórmula del efecto fotoeléctrico:
Ká =h ν−ϕ eV =h ν−ϕ ϕ=h ν−eV
Igualando la energía cinética máxima a la energía potencial eléctrica: Despejando el valor de la función de trabajo:
υϕ= h c −eV λ eV Å −0,75 eV ϕ= 12,41∗10 4500 Å ϕ=2 eV K=h ν−ϕ λ eV = h c −ϕ λ eV Å −2 eV eV = 12,41∗10 3000 Å V =2,13 Voltios 3500 Å 1,5∗10 18 m Vá =h ν−ϕ e Vá B = á Vá Vá = e mB r 12 m Vá ϕ=h ν− υh c Vá1 e B r ϕ= λ − 2 m m (1, ) (1, ) (0, 12, 4 1∗10 e V∗Å 1 6 ∗10 C 5 ∗10 T 1 8 m) ϕ= 3500 Å − 2 ∗ (9,1∗10 Kg) ϕ=2,9 eV 4500 Å 6000 Å Usando la definición de la frecuencia : Reemplazando numéricamente: Efectuando operaciones:
Usando nuevamente la fórmula del Efecto Fotoeléctrico:
Reemplazando la energía cinética máxima por la energía potencial eléctrica y la frecuencia en función de , se obtiene: Reemplazando numéricamente:
Simplificando la carga del electrón y efectuando operaciones:
14. Los electrones mas energéticos emitidos de una superficie por fotones de fueron obligados a describir una circunferencia d e de radio por un campo magnético de (Teslas). Calcular la función de trabajo para el material. SOLUCIÓN: De la expresión para el efecto fotoeléctrico: (1) Como el fotoelectrón se mueve en una trayectoria circular, la fuerza magnética debe ser igual a la fuerza centrípeta. (2) Despejando el cuadrado de : Despejando de la primera ecuación la función de trabajo: Sustituyendo las expresiones para y
se tiene:
Reemplazando numéricamente: Efectuando operaciones:
15. Sobre dos tubos fotoeléctricos incide luz de longitud de onda . El emisor en el primer tubo tiene una longitud de onda umbral de y el emisor de segundo tubo tiene una función de trabajo el doble de la del primer tubo. Hallar el potencial de frenado en cada uno de los tubos. SOLUCIÓN: Usando la expresión del efecto fotoeléctrico:
Ká =h ν −ϕ
Reemplazando la energía cinética máxima del fotoelectrón por la energía potencial eléctrica y la función de trabajo por su definición se obtiene:
λ
eV = hλc − hλc, eV =12,41∗10 eV∗Å45001 Å − 60001 Å V =0,6894 Volts V =0,69 Volts
donde es la longitud de onda umbral. Reemplazando numéricamente: Efectuando operaciones: Aproximando:
En el segundo tubo no hay emisión fotoeléctrica por cuanto la función de trabajo debe ser menor que la energía con que incide el fotón.
600 Å
ϕ =
13,6
16. Supóngase que el fotón de de longitud de onda es absorbido por un átomo de hidrógeno, cuya energía de ionización es de . ¿Cuál es la energía cinética del electrón expelido? SOLUCIÓN: La ecuación correspondiente al efecto fotoeléctrico es:
Ká =h ν −ϕ Ká = hλc −13,6 eV 12, 4 1∗10 Ká = 6000 Å −13,6 eV Ká =7,08 eV Ká =,
Reemplazando la función de trabajo por la energía de ionización se obtiene: Reemplazando numéricamente: Efectuando operaciones: Aproximando:
17. Si el ancho de la energía de un estado excitado de un sistema es de promedio de duración de ese estado?.
1,1
¿Cuál es el
SOLUCIÓN: La expresión del principio de incertidumbre de Heisenberg en función del tiempo de vida medio es:
τ
Despejando , se tiene: Reemplazando numéricamente: Efectuando operaciones:
ΔE= 2π τ = 4πh τ h τ= 4π (ΔE) eV∗s τ= 0,658∗10 2 (1,1 eV) τ=2, 9 9∗10 s
18. Si la incertidumbre en la energía de un estado nuclear es de tiempo de promedio de vida?
33
. ¿Cuál es su
SOLUCIÓN: La ecuación correspondiente al principio de incertidumbre de Heisenberg es:
τ
Despejando se obtiene: Reemplazando numéricamente: Efectuando operaciones: Aproximando:
ΔE= 4πh τ h τ= 4π (ΔE) 0, 6 58∗10 τ= 2 (33000 eV) eV∗s τ=9,969∗10 s τ=9,97∗ 10 s
19. Si la incertidumbre en la longitud de onda de un fotón es de una parte de un millón, hallar el mínimo valor de la incertidumbre en su posición si la longitud de onda del fotón es:
3000,5 ÅÅ 2∗10 Å
SOLUCIÓN: Usando el dato del problema la incertidumbre en la longitud de onda es de una parte en un millón, es decir:
Δλλ = 101 =10 (Δx)(Δ)= 4πh h (Δx)= 4π(Δ) = hλ ddλ = −hλ −hλ Δλ Δ= Δ Δx= h 4π λh Δλ λ Δx= Δλ λ 4π[Δλ
Usando el principio de indeterminación, se tiene:
Despejando la incertidumbre en la posición se sigue que:
λ
Recordando la definición de momentum lineal en función de , se obtiene: Diferenciando:
De la ecuación anterior se sigue que: Tomando la magnitud de
Simplificando: Reemplazando
, se sigue que:
en función de
Simplificando:
Δx= 4π[1λ0 λ Δx= 4π [1λ0 Δx= 4π[300010Å Δx=238 732 414,6 Å Δx=2,39 cm Δx= 4π[0,150Å =39 788 Å Å Δx=3, 9 ∗10 λ Δx= 4π2∗10[10 Å Δx=15,91 Å
Tomando el valor dado en a) se obtiene: Efectuando operaciones:
Convirtiendo los Angstroms en centímetros: Tomando el valor de b), se obtiene: Aproximando:
Tomando el valor de dado en la parte c), se obtiene:
APENDICE A GLOSARIO DE SIMBOLOS Y ABREVIATURAS:
TABLA A.1 Nombre de letra Alfa Beta Gamma Delta Épsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda Mi
Mayúsculas
ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΗΘ ΙΚ ΛΜ
TABLA A.2 Letra
Γ Δ Λ Σ
x
Alfabeto Griego: Minúsculas
Símbolos utilizados en el texto
Nombre de la Letra Fase inicial Coeficiente de Reflexión de voltaje Constante de amortiguamiento Diferencia de dos cantidades Factor de amortiguamiento Amplitud ó máxima elongación Elongación Diferencia de camino óptico Longitud de onda Coeficiente de amortiguamiento Potencial eléctrico, frecuencia Fase adicional Función de onda Densidad del gas perturbado Densidad del gas en equilibrio Sumatoria Esfuerzo normal Tiempo de relajación (Constante) Fase Producto vectorial Función de onda
Nombre de letra Ni Xi Ómicron Pi Ro Sigma Tau Ípsilon Fi Ji Psi Omega
Mayúsculas
ΝΞ ΟΠ ΡΣ Τ Υ ΦΧ ΨΩ
Minúsculas
Ω |≈| ≡
Angulo sólido Frecuencia angular impulsora Velocidad angular Frecuencia angular natural de oscilación Operador gradiente Valor absoluto Aproximadamente igual Equivalente a , definido por Nivel de intensidad
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