Fisica Medica

Fisica Medica

Michele Visciano

Introduzione La massa è una misura della resistenza di un corpo a variare il suo stato di moto. Nel SI, la sua unità di misura è il chilogrammo (kg), definito come la massa di un cilindro di lega platino-iridio conservato all’Ufficio Internazionale di Pesi e Misure di Sèvres, in Francia. La lunghezza è una grandezza fondamentale, misurata nel SI in metri (m), unità di misura definita nel 1983 come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto durante il tempo di 1/299792458 secondi. Il tempo è un’altra grandezza fondamentale, misurata nel SI in secondi (s), definito nel 1967 come 9192631770 volte il periodo di oscillazione della radiazione dell’atomo di cesio (Cs). Ogni unità di misura possiede multipli e sottomultipli ed è inoltre convertibile in altre unità di misura, purché l’analisi dimensionale lo consenta. Es. 1 miglio = 1609 m = 1.609 km.

Metodo usato dal testo Jewett & Serway:

15.0∈¿ ¿ 1∈¿ 2.54 cm ¿ ¿ 15.0∈¿ ¿

N.B. Il rapporto fra parentesi è uguale ad 1! Le unità di misura sono poste in modo da elidersi e dare l’unità di misura desiderata.

Sistemi di coordinate La collocazione spaziale degli eventi è rappresentata in fisica tramite coordinate geometriche: un punto su di una linea retta è rappresentabile da una sola coordinata, un punto in un piano è individuato da due coordinate, un punto nello spazio da tre coordinate. Il sistema di coordinate usato consiste di un’origine (fissa), detta O, un insieme di assi o direzioni, ciascuno con scala di misura e nome appropriati ed istruzioni che ci dicano come etichettare un punto dello spazio rispetto all’origine ed agli assi. Il sistema di coordinate y generalmente adoperato è quello cartesiano: (x, y)

O 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

x

Vettori e Scalari Le grandezze fisiche possono essere suddivise in due categorie: scalari e vettori. Gli scalari sono completamente specificati da un numero (positivo o negativo) seguito da un’unità di misura. Un vettore, invece, necessita di informazioni diverse per essere completamente specificato: intensità (o modulo), direzione e verso. Esempi di grandezze scalari sono il tempo o la massa, esempi di vettori sono gli spostamenti, la forza, la velocità.

Proprietà dei Vettori

⃗ A

Uguaglianza di due vettori: due vettori

⃗ B

e

sono per definizione uguali se hanno le

stesse unità di misura, lo stesso modulo e puntano nella stessa direzione e verso. Cioè,

⃗ A=⃗ B

solo se

A=B

ed

⃗ A

e

⃗ B

sono concordi. Questa proprietà permette di traslare

un vettore parallelamente a se stesso, senza alterarlo. Addizione: due o più vettori possono essere sommati solo se hanno tutti la stessa unità di misura (come per gli scalari); inoltre, si disegnano i vettori l’uno adiacente all’altro (cioè il secondo a partire dalla punta del primo, e così via) ed il vettore somma risultante sarà un vettore che congiunge l’inizio della freccia del primo vettore con la punta della freccia dell’ultimo. La somma di vettori gode della proprietà commutativa ( associativa [

⃗ A +( ⃗ B +⃗ C )=( ⃗ A +⃗ B ) +⃗ C ].

Opposto di un vettore: l’opposto del vettore modulo e direzione di

⃗ A

è definito come il vettore che ha stesso

⃗ A + (− ⃗ A )=0 .

Sottrazione di vettori: la sottrazione l’opposto del vettore

⃗ A

ma verso opposto. La somma di un vettore con il suo opposto dà

zero come vettore somma. Cioè,

⃗ A−⃗ B

equivale alla somma del vettore

quantità scalare positiva s, il prodotto

vettore

⃗ A

con

⃗ B . Cioè, ⃗ A−⃗ B =⃗ A +(−⃗ B) .

Moltiplicazione di un vettore per uno scalare:se un vettore

verso di

⃗ A +⃗ B= ⃗ B+⃗ A ) e di quella

s⃗ A

⃗ A

viene moltiplicato per una

è un vettore che ha la stessa direzione e lo stesso

⃗ A , ma modulo uguale al prodotto sA. Se s è, invece, una grandezza negativa,il s⃗ A

sarà diretto nel verso opposto ad

1 Dispensa di Fisica Medica

⃗ A .

MV

⃗ A

Moltiplicazione di due vettori: due vettori

e

⃗ B

possono essere moltiplicati in due

diversi modi: tramite il prodotto scalare (che origina una grandezza scalare) e tramite il prodotto vettoriale (che origina una grandezza vettoriale). Nel primo caso, il prodotto scalare

⃗ A ∙⃗ B= AB cos ϑ , dove

ϑ

è l’angolo compreso fra i due vettori

⃗ A ×⃗ B

caso, invece, il prodotto vettoriale

⃗ A

e

⃗ B . Nel secondo

è uguale ad un vettore che ha modulo uguale ad

AB sin ϑ .

Moto in una dimensione Dall’esperienza quotidiana sappiamo che il moto rappresenta il cambiamento continuo della posizione di un oggetto. Il moto di un oggetto attraverso lo spazio (traslazione) può essere accompagnato dalla rotazione e dalla vibrazione dell’oggetto; è spesso possibile, tuttavia, semplificare le cose, trascurando rotazione e moti interni dell’oggetto in movimento, almeno inizialmente. Il risultato è un modello semplificato che chiamiamo modello del punto materiale, in cui qualsiasi oggetto è approssimato ad un punto materiale che si muove in uno spazio delimitato da assi cartesiani. La velocità scalare media è una grandezza che trascura le variazioni di velocità che può avere un punto in movimento ed approssima la velocità sempre costante durante lo

v med ≡

spostamento. Essa si calcola come di tempo

∆t

∆t

e

d ∆ t , dove d è la distanza percorsa in un intervallo

è l’intervallo di tempo stesso. È, appunto, uno scalare e non necessita,

pertanto, di alcuna direzione o verso. La velocità media è, invece, un vettore, definito come il rapporto fra lo spostamento

l’intervallo di tempo

∆t

in cui avviene questo spostamento (

v x ,med ≡

∆x

e

∆ x x1 −x0 = ∆ t t 1 −t 0 ). N.B. Il

pedice x indica lo spostamento lungo l’asse x. ATTENZIONE: il modulo della velocità media NON è uguale alla velocità scalare media! Es. una particella si muove dall’origine fino a tempo complessivo

x0 v med =

coincide

x=10 m

per poi tornare indietro in un intervallo di

∆ t=4.0 s . Il modulo della velocità media sarà 0 (perché il punto di inizio

con

il

punto

di

fine

x 1 ), ma la velocità scalare media sarà

20 m =5.0 m/ s . 4.0 s

La velocità media, essendo il rapporto fra lo spostamento e l’intervallo di tempo, non ci fornisce alcuna informazione sul moto, ma solo sul risultato del moto: essa è, infatti,

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MV

indipendente dal cammino seguito dal punto materiale e dipende soltanto dalle sue coordinate iniziali e finali. Infine, è da notare che la velocità media può avere segno positivo o negativo, a seconda del

x 1> x 0 , la velocità

segno dello spostamento (l’intervallo di tempo è sempre positivo). Se media è positiva, cioè è nella direzione delle x positive. Se, invece,

x 1< x 0 , la velocità media

è negativa, cioè è nella direzione delle x negative. La velocità istantanea è, invece, la velocità (vettoriale) di una particella ad un qualsiasi istante di tempo ed è uguale al valore limite del rapporto

∆ x /∆ t

quando

∆t

tende a

zero1. Con la terminologia dell’analisi matematica, questo limite si chiama derivata di x rispetto a t. Quindi

v x ≡ lim

∆t →0

∆ x dx = ∆ t dt . Il termine generico Velocità è adoperato per riferirsi alla

Velocità Istantanea. Esiste anche una velocità scalare istantanea, che non è altro che il modulo del vettore Velocità Istantanea e non necessita di ulteriori chiarimenti. Quando la velocità varia nel tempo, si dice che la particella è accelerata. Se una particella in moto lungo l’asse x ha velocità

Quindi,

∆ v x /∆ t a x ,med ≡

all’istante

ti

in cui

∆ v x =v x 1−v x 0

v xf

e velocità

a x ,med nell’intervallo di tempo

l’accelerazione media rapporto

v xi

∆ t=t f −t i

all’istante

tf ,

è definita come il

è la variazione di velocità nell’intervallo di tempo.

v x 1−v x 0 ∆ v x = t 1−t 0 ∆ t . L’accelerazione è una misura della velocità scalare di

variazione della velocità, ma è una grandezza vettoriale. Se il valore dell’accelerazione media è diverso in diversi intervalli di tempo, è utile definire l’accelerazione istantanea come il limite dell’accelerazione media quando

zero,

analogamente

alla

velocità

istantanea.

Quindi,

a x ≡ lim

∆t→0

∆t

tende a

∆ v x dv x = ∆t dt .

Cioè,

l’accelerazione istantanea è uguale alla derivata della velocità rispetto al tempo, che per definizione è la pendenza del grafico velocità-tempo. Quando l’accelerazione e la velocità sono nello stesso verso, l’oggetto sta aumentando il modulo della velocità in quel verso; se, invece, l’accelerazione e la velocità hanno verso discorde, la velocità scalare dell’oggetto sta diminuendo nel tempo.

1 Lo spostamento

∆x

tende a zero quando

∆t

tende a zero, ma il rapporto

∆ x /∆ t

tende al valore della vera pendenza della retta tangente alla curva x in funzione di t. 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

Se l’accelerazione di una particella varia nel tempo, descrivere il moto di tale particella può essere complicato. Se, invece, l’accelerazione è costante, possiamo utilizzare un modello molto pratico, appunto quello della particella sottoposta ad accelerazione costante. In questo caso, l’accelerazione media relativa a qualsiasi intervallo di tempo è uguale all’accelerazione istantanea in ogni istante di tempo contenuto nell’intervallo. Se consideriamo, per convenienza,

t 0=0

e

t 1 =t , possiamo esprimere la velocità

v x =v x 0+ a x t . Questa

espressione ci permette di prevedere la velocità ad ogni istante t se la velocità iniziale e l’accelerazione (costante) sono note. Per conoscere, invece, la posizione della particella, sapendo velocità (iniziale e finale) ed istante di tempo, utilizziamo l’equazione

1 x=x 0+ ( v x0 + v x ) t . 2

Possiamo

inoltre

arrivare

alla

posizione

anche

conoscendo

1 x=x 0+ v x0 t+ ax t 2 . Infine, esiste 2

l’accelerazione (costante) invece della velocità finale:

anche una formula per la velocità in funzione della posizione:

2

2

v x =v x0 +2 a x (x−x 0) .

Queste equazioni sono utilizzabili anche per un corpo in caduta libera: l’accelerazione diventerà però l’accelerazione di gravità vettore

⃗a

⃗g=9.80 m/ s2=980 cm/ s 2=32 ft /s 2 . La direzione del

⃗g è diretta in basso verso il centro della Terra.

Moto in due dimensioni Il moto di una particella lungo una retta è completamente determinato se è nota la sua posizione in funzione del tempo. Nel piano xy, invece, la posizione della particella sarà espressa da un vettore posizione

⃗r , tracciato a partire dall’origine del sistema di riferimento

alla posizione della particella. Quindi,

La velocità media

⃗v med

∆ r⃗ ≡ r⃗1 −⃗ r0 .

della particella nell’intervallo di tempo

spostamento e l’intervallo di tempo stesso. Cioè,

⃗v med ≡

∆t

è il rapporto fra lo

∆ ⃗r ∆t . Poiché lo spostamento è una

grandezza vettoriale, anche la velocità media è un vettore, diretto lungo

∆ r⃗ . Come quella

unidimensionale, anche questa velocità media è indipendente dal percorso e dipende soltanto dalle coordinate iniziali e da quelle finali. La velocità istantanea

∆t

⃗v

è, invece, il limite della velocità media

tende a 0. Ovvero, in simboli,

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⃗v ≡ lim

∆ t →0

∆ r⃗ / ∆ t

allorquando

∆ r⃗ d r⃗ = ∆ t dt . La direzione del vettore velocità MV

istantanea in ogni punto della traiettoria è quella della retta tangente alla traiettoria in quel punto e nel verso del moto. Il modulo della velocità istantanea è la velocità scalare.

⃗v 0

Se la velocità cambia (anche solo in direzione), il vettore velocità istantanea cambia da al tempo

t0

⃗v 1

a

t 1 . L’accelerazione media

al tempo

rapporto della variazione della velocità istantanea

⃗amed ≡

l’intervallo di tempo stesso. In simboli,

∆ ⃗v

⃗amed

è definita come il

in un intervallo di tempo

⃗a

∆t

e

v⃗ 1−⃗v 0 ∆ ⃗v = t 1−t 0 ∆ t . L’accelerazione media è una

grandezza vettoriale (poiché la velocità istantanea è un vettore) diretta lungo L’accelerazione istantanea

∆t

è, infine, il valore limite del rapporto

tende a zero, cioè la derivata del vettore velocità rispetto al tempo:

∆ ⃗v .

∆ ⃗v /∆ t , allorché ⃗a ≡ lim

∆ t →0

∆ ⃗v dv = ∆ t dt .

Consideriamo ora il moto in due dimensioni in cui modulo e direzione dell’accelerazione rimangono costanti; esso può essere descritto conoscendo il suo vettore posizione istante. Nel piano xy, il vettore posizione si può scrivere come

⃗r

in ogni

^ y ^j ⃗r =x i+ , dove x, y ed

⃗r

variano nel tempo al muoversi della particella. Anche il vettore velocità può essere espresso in

^ v y ^j ⃗v =v x i+ . Assumendo il vettore accelerazione

termini simili: componenti

ax

ed

ay

⃗a

costante, anche le sue

lo sono. Pertanto, possiamo applicare le equazioni della cinematica

unidimensionale anche in questo caso, modificandole opportunamente. Otteniamo, così, le seguenti equazioni:

⃗v =⃗v 0 + a⃗ t

ed

1 2 ⃗r =⃗r 0+ v⃗ 0 t+ a⃗ t . In altre parole, il moto di due 2

dimensioni con accelerazione costante è equivalente a due moti indipendenti nelle direzioni x ed y aventi accelerazioni

ax

ed

ay

costanti, giacché il moto nella direzione x non

influenza quello nella direzione y e viceversa. Il moto di un proiettile, sparato su un suolo piano dall’origine a

vy

t=0

con una componente

positiva è un moto in due dimensioni. Vi sono due punti nel moto interessanti da

analizzare: il picco massimo, di coordinate cartesiane (R/2, h) ed il punto di atterraggio, di coordinate (R,0). La distanza R è detta gittata del proiettile ed h è la sua altezza massima. A causa della simmetria della traiettoria, il proiettile raggiunge la sua massima altezza h quando la sua posizione x è la metà della gittata R. Si possono determinare R ed h in funzione di

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MV

v0 ,

ϑ0

2

e g. L’altezza massima sarà determinata dall’equazione

h=

v 0 sin ϑ 0 , da cui si evince 2g

che per aumentare l’altezza massima si può agire in due modi: imprimere una maggiore velocità iniziale

v0

oppure spararlo ad un angolo

ϑ0

maggiore (oppure andare in un posto

con una minore accelerazione di gravità, come sulla Luna!). La gittata R, cioè la distanza orizzontale percorsa in un tempo doppio di quello necessario a raggiungere il punto più alto, è, invece, calcolabile con l’equazione

v02 sin 2ϑ 0 cos ϑ 0 v 02 sin 2ϑ 0 R= = , da cui si evince che per g g

aumentare la gittata si può agire in due modi: imprimere una velocità iniziale maggiore oppure andare in un posto con una minore accelerazione di gravità (come sulla Luna!). Se il percorso è circolare e la velocità è (di modulo) costante, si parla di moto circolare uniforme; la particella che si muove con questo moto ha comunque un’accelerazione, anche se la velocità non cambia di modulo, dal momento che la velocità cambia in ogni istante, per rimanere tangente alla traiettoria. Questo tipo di accelerazione si chiama accelerazione centripeta ed il suo modulo è dato da

v2 ac = r , dove r è il raggio della circonferenza.

L’accelerazione centripeta è diretta verso il centro della circonferenza. In molte situazioni, è conveniente descrivere il moto di una particella che si muove con velocità costante di modulo lungo una circonferenza di raggio r in funzione del periodo T, definito come il tempo necessario per una rivoluzione completa: nel tempo T, la particella si muove su un percorso di

2 πr ,

uguale alla lunghezza della traiettoria circolare. Quindi, poiché il modulo della velocità è uguale alla lunghezza della circonferenza diviso per il periodo, ossia

sarà definito dall’equazione

T=

v =2 πr /T , segue che il periodo

2 πr v .

Nel caso in cui, invece, la velocità di una particella, lungo un percorso curvo, vari di modulo e di direzione, la velocità della particella sarà sempre tangente al percorso e l’accelerazione sarà individuata dalla somma vettoriale

⃗a =⃗ar + ⃗at , dove

⃗ar

è la cosiddetta accelerazione

radiale (dovuta alla variazione della direzione del vettore velocità ed il cui modulo è uguale a

−ac ), mentre a

⃗at

è l’accelerazione tangenziale (dovuta alla variazione del modulo del

⃗a

r vettore velocità ed il cui modulo è uguale a

d|⃗v| dt ).

at

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MV

Le Leggi del Moto Ciascuno di noi ha una comprensione elementare del concetto di forza, tratta dall’esperienza quotidiana; dal punto di vista fisico, si distingue fra forze di contatto, che rappresentano il risultato di un contatto fisico fra due oggetti, e campi di forze, che non necessitano di contatto e possono agire attraverso lo spazio vuoto. La distinzione fra i due non è così netta come sembrerebbe, dal momento che le forze di contatto sembrano in realtà dovute a campi di forze a livello atomico. Sperimentalmente, le forze si comportano come vettori, per cui è conveniente adoperare la regola della somma fra vettori per ottenere la forza risultante su un corpo. La prima legge di Newton, talvolta detta principio di inerzia, definisce un insieme speciale di sistemi di riferimento chiamati riferimenti inerziali. La legge può essere espressa come: “Se un corpo non interagisce con altri corpi, è possibile individuare un sistema di riferimento nel quale esso abbia accelerazione nulla.” Un tale sistema di riferimento è chiamato sistema di riferimento inerziale. Un qualsiasi sistema di riferimento che si muova con velocità costante relativa ad un sistema di riferimento inerziale è esso stesso un sistema di riferimento inerziale (es. una nave che si muove con velocità costante rispetto alla Terra è inerziale per i suoi occupanti; la Terra stessa, che si muove con velocità costante rispetto al Sole, è inerziale per i suoi abitanti). La Terra, che si muove, oltre che intorno al Sole, anche intorno al proprio asse, è approssimabile ad un sistema inerziale perché le velocità dei suoi due moti sono del tutto trascurabili se confrontate con l’accelerazione di gravità g. Consideriamo, quindi, inerziale qualsiasi sistema in moto solidale a quello della Terra. Un enunciato più pratico della legge di Newton è il seguente: in assenza di forze esterne, quando visto da un sistema inerziale, un oggetto in quiete rimarrà in quiete ed un oggetto in moto persevererà nel suo stato di moto rettilineo uniforme. In termini ulteriormente semplificati, quando su un corpo non agisce alcuna forza, la sua accelerazione è zero. La tendenza di un corpo a resistere alle variazioni della sua velocità è detta inerzia; una misura di questa tendenza è la massa (detta per l’appunto massa inerziale), proprietà intrinseca ai corpi la cui unità di misura nel SI è il kilogrammo (è una grandezza scalare). Maggiore è la massa di un oggetto, minore sarà l’accelerazione che assumerà se è sottoposto ad una determinata forza. Poiché sperimentalmente la forza (risultante) agente su di un oggetto è proporzionale all’accelerazione prodotta ( F ∝a ), chiamiamo il fattore di proporzionalità massa. Attenzione: questa massa è concettualmente differente dalla massa inerziale, tuttavia esse si identificano a livello numerico, per cui possiamo ritenerle una stessa grandezza. La massa non deve essere confusa con il peso, che è il modulo della forza gravitazionale

⃗ Fg

(la forza esercitata sull’oggetto dal pianeta su cui risiede), proporzionale sì alla massa del corpo, ma anche all’accelerazione di gravità (

⃗ F g=⃗p =m ⃗g ). Pertanto, il peso è una

grandezza vettoriale, mentre la massa è uno scalare. La seconda legge di Newton afferma che l’accelerazione di un oggetto è direttamente proporzionale alla forza risultante agente su di esso ed inversamente proporzionale alla sua massa:

⃗a ∝

∑ ⃗F m

, dove

1 Dispensa di Fisica Medica

∑ ⃗F

è la forza risultante, ovvero la somma vettoriale di tutte le

MV

forze agenti sull’oggetto di massa m. In forma matematica, equivalente alle tre equazioni componenti

∑ F x =ma x

,

∑ ⃗F =m ⃗a

∑ F y =m a y

ed

, espressione

∑ F z =m az

.

L’unità di misura della forza nel SI è il Newton (N), definito come la forza che agendo su una massa di 1 kg produce un’accelerazione di

2

1 m/ s

.

La terza legge di Newton (detta anche Principio di Azione e Reazione), infine, afferma che se due corpi interagiscono, la forza

⃗ F12 esercitata dal corpo 1 sul corpo 2 è uguale in modulo, ⃗ F21

ma di verso opposto, alla forza

esercitata dal corpo 2 sul corpo 1. Ovvero, le forze si

presentano sempre in coppia. Es. la Terra esercita su un oggetto, come un monitor di computer fermo su di un tavolo, una forza forza di reazione sulla Terra

⃗ FTm

diretta verso il basso, mentre il monitor esercita una

⃗ FmT =−⃗ FTm . Il monitor non accelera perché esso è sostenuto dal

tavolo, che esercita sul monitor una forza verso l’alto

⃗n =⃗ F tm , chiamata forza normale.

Dalla seconda legge di Newton si evince che, poiché il monitor ha accelerazione nulla, ma massa non nulla, la risultante delle forze deve essere nulla:

∑ ⃗F =⃗n −m ⃗g =0

, da cui

n=mg . La forza normale bilancia la forza gravitazionale sul monitor, quindi la forza risultante è zero.

Le Forze Quando un corpo è in movimento su una superficie scabra o attraverso un mezzo viscoso (come l’acqua, ma anche l’aria), c’è una resistenza al moto, dovuta all’interazione del corpo con ciò che lo circonda. Chiamiamo tale resistenza forza di attrito. Se applichiamo ad un oggetto una forza piccola, esso rimane fermo finché non si raggiunge una certa soglia: questa soglia è rappresentata dalla forza che bilancia la forza d’attrito statico

⃗f s , che impedisce

all’oggetto di muoversi. Quando l’oggetto comincia a muoversi, la forza esercitata superato la forza d’attrito statico massima di attrito diventa minore di

⃗f s ,max

⃗ F

ha

⃗f s ,max . Quando l’oggetto è in movimento, la forza

e prende il nome di forza d’attrito dinamico

L’accelerazione è prodotta ora non dalla forza riduciamo l’intensità di

⃗ F

⃗ F , bensì dalla forza netta

fino ad eguagliarla in modulo ad

⃗f d .

⃗ F −⃗f d . Se

⃗f d , l’accelerazione diventa

zero e l’oggetto si muoverà con velocità costante. Se la forza applicata viene rimossa, la forza di attrito fornirà un’accelerazione nel verso opposto (cioè una decelerazione), fermando il corpo. 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

Il modulo della forza di attrito statico fra due qualsiasi superfici a contatto può assumere

f s ≤ μs n , dove

valori dati da

μs

è una costante adimensionale che rappresenta il

coefficiente di attrito statico ed n è il modulo della forza normale. La disuguaglianza ha valore fino al momento in cui il corpo è sul punto di iniziare a scivolare (in cui

f s=f s , max ≡ μs n ),

situazione detta di moto imminente. Il modulo della forza di attrito dinamico agente fra due superfici è, invece, uguale ad

f d=μ d n , dove

μd

è il coefficiente di attrito dinamico, indipendente (almeno per i nostri

scopi) dalla velocità relativa delle superfici. In generale, comunque,

μd

è minore di

μs .

La direzione della forza d’attrito è opposta al moto reale (attrito cinetico) o al moto imminente (moto statico) dell’oggetto, relativamente alla superficie con la quale è a contatto. La forza gravitazionale è la forza di attrazione reciproca fra due corpi qualsiasi nell’Universo. Sebbene essa sia estremamente intensa fra corpi macroscopici, è la più debole di tutte le forze fondamentali. La legge di gravitazione universale di Newton afferma che ogni particella nell’Universo attrae ogni altra particella con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle due masse ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza. In simboli,

F g=G

m1 m2 r2

,

dove

G

è

la

costante

di

gravitazione

universale,

corrispondente

a

6.67 ×10−11 N ∙ m2 /kg 2 . La forza elettromagnetica è la forza che lega atomi e molecole in composti che formano la materia ordinaria ed è molto più intensa della forza gravitazionale. In realtà, tutte le forze che agiscono a livello macroscopico (eccetto quella gravitazionale) sono manifestazioni della forza elettromagnetica (forze di contatto, forze di tensione, forze di attrito, ecc.). La forza elettromagnetica prevede l’interazione fra due tipi di particelle, quelle con carica positiva e quelle con carica negative: cariche di segno opposto si attraggono, cariche dello stesso segno di respingono (diversamente dalla forza gravitazionale, che è sempre di tipo attrattivo). Il modulo della forza elettrostatica (cioè della forza elettromagnetica fra due particelle cariche a riposo) è direttamente proporzionale alle cariche ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra le cariche. In simboli, la cosiddetta legge di Coulomb si scrive come

Fe =k e

q1 q 2 r

2

, dove

ke

è detta costante di Coulomb ed è uguale a

8.99 ×109 N ∙ m2 /C2 .

Esistono, inoltre, altre due forze fondamentali: una è la cosiddetta forza forte, forza di attrazione fra quark (particelle che compongono elettroni e protoni), che supera la forza elettrostatica, per esempio nel tenere insieme protoni e neutroni all’interno dei nuclei degli atomi; l’altra è detta forza debole, una forza a corto raggio che tende a produrre instabilità in certi nuclei. Nel tentativo di unificare i tipi di forze, nel 1967 è stato proposto (e poi confermato sperimentalmente nel 1984) che la forza elettromagnetica e la forza debole siano un’unicum, denominato oggi forza elettrodebole. L’obiettivo è unificare tutte e quattro le forze in una singola superforza, con leggi uniche valide per tutti i fenomeni fisici. 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

Energia e Trasferimento di Energia L’energia è presente nell’Universo in molteplici forme. Ogni processo fisico nell’Universo coinvolge l’energia e trasferimenti o trasformazioni di energia. Essa, pur essendo concettualmente così importante, è ben difficile da definire, poiché non rappresenta una variabile “concreta” quale può essere la massa o la forza. Utilizziamo, quindi, due concetti strettamente legati fra loro, quello di lavoro e quello di energia. Innanzitutto, è bene definire il concetto di sistema come modello di semplificazione in cui concentriamo la nostra attenzione su una piccola regione dell’Universo, ignorando i dettagli al di fuori di esso. Il contorno del sistema è un’immaginaria superficie (spesso ma non necessariamente coincidente con una superficie fisica), che divide l’Universo fra il sistema e l’ambiente circostante al sistema. Se un sistema compie uno spostamento sotto l’azione di una forza costante, quella forza ha compiuto un lavoro sul sistema. Questo lavoro si calcola come

L≡ F ∆ r cos ϑ , che non è

altro che il prodotto scalare del modulo della forza per il modulo dello spostamento. Si noti che per trovare il lavoro svolto non abbiamo bisogno di conoscere la durata dello spostamento o la sua velocità o accelerazione. Il lavoro è, quindi, una grandezza scalare, misurata nel SI in

N∙m

o J (Joule). Dalla formula si nota che il lavoro è zero se sono nulli: la forza, lo

spostamento oppure il coseno dell’angolo compreso, il che accade quando l’angolo è di 90°, cioè quando la forza è perpendicolare allo spostamento. Se, invece, la forza è parallela alla

ϑ =0

direzione (e ha lo stesso verso) dello spostamento (e quindi diventa uguale a

e

cos ϑ =1 ), il lavoro

F∆r .

Nel caso di una forza variabile, quindi non costante, basta applicare la formula di cui sopra per spostamenti infinitesimali (tendenti a zero) in cui la forza può ritenersi costante e sommare tutti questi piccoli lavori (di numero tendente ad infinito): il valore totale tenderà ad un valore x

finito, ovvero l’area sottesa dalla curva forza-spostamento. In formula,

lavoro svolto da (da

x0

ad

Fx

x ) di

durante lo spostamento da

Fx

in

x 0 ad

x

L=∫ F x dx , cioè il x0

è uguale all’integrale definito

dx . Se sul sistema agiscono più forze, il lavoro totale svolto

sul sistema sarà il lavoro compiuto dalla forza risultante. Un sistema fisico costituito da un blocco, su una superficie orizzontale liscia, collegato ad una molla. Se la molla è allungata o compressa di un tratto equilibrio

∆x

(a partire dalla sua posizione di

x 0=0 ), essa eserciterà sul blocco una forza data da

f m=−kx , dove

k

è una

costante propria di ogni specifica molla, detta costante elastica della molla. Questa legge è nota come legge di Hooke e risulta accurata purché lo spostamento non sia molto grande. E

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

x

dunque il lavoro compiuto dalla molla sarà uguale a

1 2 1 2 Lm=∫ (−kx ) dx= k x 0− k x , da cui si 2 2 x 0

nota che il lavoro sarà nullo per qualsiasi moto i cui punti estremi coincidono (

x 0=x ).

Un oggetto su cui è applicata una forza (che quindi compie un lavoro), che provoca uno spostamento, e quindi modifica la sua velocità in modulo, avrà una certa energia cinetica. Il teorema delle forze vive (o teorema dell’energia cinetica) dice, appunto, che: “quando è svolto lavoro su un sistema e la sola variazione nel sistema è il modulo della sua velocità, il lavoro compiuto dalla forza risultante è uguale alla variazione dell’energia cinetica del sistema”. In formula,

1 L=E k = m v 2 . 2

Va fatta una precisazione sui tipi di sistema: se un sistema è sottoposto a varie forze esterne, che ne causano una variazione dell’energia cinetica, esso è un sistema non isolato. In tale sistema, il lavoro è inquadrato come un mezzo di trasferimento di energia fra il sistema e l’ambiente. Tuttavia, esso non è l’unico: altri mezzi di trasferimento di energia sono le onde meccaniche (propagazione in aria o in un altro mezzo), il calore (per mezzo di urti microscopici), la trasmissione elettrica (per mezzo della corrente elettrica), la radiazione elettromagnetica, il trasferimento di materia. Una nozione basilare è il principio di conservazione dell’energia: l’energia non si crea né si distrugge. Quando, infatti, un sistema “perde” energia, vuol dire che essa ha attraversato il contorno ed è stata trasferita all’ambiente; ugualmente, quando un sistema “acquista” energia, vuol dire che l’ambiente ne ha ceduto una quantità equivalente. Oltre alla quantità di energia trasferita al sistema, è interessante conoscere anche la rapidità con cui essa viene trasmessa. Si usa quindi il concetto di potenza. La potenza media è uguale al rapporto fra il lavoro svolto da una forza esterna in un intervallo di tempo e l’intervallo di tempo stesso. In simboli,

W med ≡

L ∆ t . La potenza istantanea, a un particolare

istante di tempo t, è il valore limite della potenza media quando

W ≡ lim

∆ t →0

∆t

tende a zero:

L dL = ∆ t dt . In generale, però, la potenza è definita non solo per il lavoro, ma per ogni

tipo di trasferimento di energia, come

W=

dE dt , ovvero la rapidità con cui l’energia

attraversa il contorno del sistema. L’unità di misura della potenza nel SI è il

W

(Watt) o

J /s . Un’altra unità, in uso nel sistema convenzionale USA, è il cavallo vapore (hp), corrispondente a 746 W. In funzione del Watt si definisce una nuova unità di energia, il chilowatt-ora (kWh), corrispondente all’energia trasferita in un’ora al tasso costante di 1 kW. ATTENZIONE: il kWh è un’unità di energia, NON di potenza!

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

Energia Potenziale Immaginiamo un sistema costituito da un libro e dalla Terra, che interagiscono tramite la forza gravitazionale. Sollevando (lentamente) il libro di una quota

∆ y= y b− y a , faremo

certamente un certo lavoro sul sistema. Tuttavia, poiché il libro era fermo all’inizio e resta fermo anche dopo lo spostamento, la sua energia cinetica non cambia. Ma ci deve essere un’altra forma di energia immagazzinata, dal momento che rilasciando il libro, esso cade al suolo, acquisendo una certa velocità. Mentre il libro era sollevato, esso possedeva la potenziale capacità di acquisire energia cinetica, donatagli dal sollevamento iniziale. Questo meccanismo di immagazzinamento è, quindi, chiamato energia potenziale (nello specifico, energia potenziale gravitazionale). Matematicamente, l’energia potenziale gravitazionale si esprime con la relazione

U g ≡ mgh , dove m è la massa dell’oggetto, g è l’accelerazione di gravità ed

h è lo spostamento in senso verticale. Ebbene, il lavoro compiuto dalla forza che ha sollevato l’oggetto è uguale alla variazione dell’energia potenziale: libro era inizialmente a terra,

Ug0

L=∆U g=U g−U g 0 , dove, poiché il

era uguale a zero, per cui

L=U g . L’energia potenziale

gravitazionale dipende solamente dall’altezza che raggiunge l’oggetto e non cambia se esso viene sollevato verticalmente o trascinato su di un piano inclinato. Possiamo definire anche l’energia potenziale elastica come l’energia immagazzinata nella molla deformata (che sia compressa o allungata):

1 2 U m ≡ k x . Poiché 2

x2

è sempre una

quantità positiva, l’energia potenziale elastica, per una molla deformata, è sempre una quantità positiva. La somma dell’energia meccanica totale del afferma, appunto, che l’energia cinetica,

potenziale e dell’energia cinetica di un sistema si chiama energia sistema. La legge della conservazione dell’energia meccanica l’energia meccanica di un sistema isolato non cambia: se aumenta diminuirà quella potenziale e viceversa. In simboli,

Em =Ek +U= Em 0=E k 0+ U 0 . Quest’equazione è vera soltanto se non c’è attrito fra le parti del sistema. La forza di gravità è un esempio di una categoria di forze per le quali l’energia meccanica di un sistema si conserva. Queste sono chiamate forze conservative. L’altra possibilità di immagazzinare energia in un sistema oltre quella cinetica e potenziale è l’energia interna; quindi, una forza conservativa è una forza tra i membri di un sistema che non causa trasformazioni di energia meccanica in energia interna dentro il sistema. Il lavoro svolto da una forza conservativa ha una particolare proprietà: è indipendente dalla traiettoria seguita dai componenti del sistema e dipende soltanto dalla configurazione iniziale e finale del sistema. Da questo segue che, quando un componente del sistema si muove lungo un percorso chiuso, il lavoro svolto dalla forza conservativa è zero. Una forza non-conservativa, invece, è una forza fra i componenti di un sistema che causa dentro il sistema trasformazioni di energia meccanica in energia interna. Un comune esempio è la forza d’attrito, che causa il riscaldamento dell’oggetto e della superficie su cui scorre. Per

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

forze non conservative, inoltre, il lavoro dipende dalla traiettoria seguita e non è nulla su un percorso chiuso. Indipendentemente dal fatto che le forze agenti siano conservative o non-conservative, l’energia totale di un sistema isolato (cinetica, potenziale ed interna) si conserva. Mai alcuna violazione di questo principio di conservazione critico è stata osservata: se consideriamo, infatti, l’Universo come un sistema isolato, questa affermazione dichiara che nel nostro Universo esiste una quantità fissa di energia e che tutti i processi all’interno dell’Universo rappresentano trasformazioni di energia da un tipo ad un altro.

U g =mgh

La formula per l’energia potenziale gravitazionale

è valida per oggetti posti in

prossimità della superficie terrestre; tuttavia, esiste una formula più generale indipendente dalla distanza di separazione fra l’oggetto e la Terra. Tale formula è la seguente:

U g =−G

m1 m2 , dove r è la distanza fra i centri dei due oggetti. Anche la forza elettrostatica r

fra due particelle, che ha un’espressione simile alla legge di gravitazione universale di Newton, consente di ricavare una formula che esprima l’energia potenziale elettrica:

U e =k e

q1 q2 r

. La differenza maggiore, oltre alla presenza delle cariche al posto delle masse e la differente costante in uso, è la mancanza del segno negativo. Questo è dovuto al fatto che il segno è automaticamente fornito dai segni delle cariche: se sono concordi, l’energia potenziale elettrica sarà positiva (poiché la forza è repulsiva), se invece sono discordi, l’energia potenziale sarà negativa (e la forza attrattiva).

Urti e Quantità di Moto Per descrivere un oggetto in moto, si può far ricorso al concetto di quantità di moto (o momento lineare), la cui somma per le particelle in un sistema isolato si conserva. Essa è il prodotto della massa della particella per la velocità a cui si muove. In simboli,

⃗p≡ m ⃗v . La

quantità di moto è, dunque, un vettore, dal momento che è il prodotto di un vettore per uno scalare. La sua direzione e verso sono gli stessi della velocità. Nel SI si misura in

kg ∙ m/s .

Per un corpo che si muova nello spazio tridimensionale, l’equazione può essere scomposta in

px =m v x ,

p y =m v y

e

pz =m v z .

Applicando la Seconda Legge di Newton alla quantità di moto, otteniamo che la forza risultante agente su una particella avente quantità di moto

detta quantità di moto. In formula,

⃗p

∑ ⃗F = ddt⃗p =

è uguale alla variazione nel tempo di

d ( m ⃗v ) d ⃗v =m =m ⃗a dt dt

particella è costante).

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

(se la massa della

In un sistema isolato, le componenti del moto nelle direzioni x, y e z si conservano indipendentemente. Questo risultato, noto come principio di conservazione della quantità di moto, può essere riassunto come “la quantità di moto totale di un sistema isolato è costante”; questo principio è valido indipendentemente dalla natura delle forze considerate, anche, cioè, se le forze non sono conservative. Come detto prima, se la forza risultante è uguale alla variazione della quantità di moto nell’unità di tempo, allora la quantità di moto sarà uguale al prodotto della forza (risultante) per l’intervallo di tempo entro cui essa agisce. L’integrazione di questa espressione ci porta alla t

formula

∆ ⃗p=⃗p −⃗ p0=∫ ∑ ⃗ F dt . L’integrale della forza rispetto all’intervallo di tempo t0

durante il quale essa agisce si chiama impulso della forza ed è un vettore avente stessa direzione e verso della quantità di moto (e stesse dimensioni). Il cosiddetto teorema dell’impulso afferma che l’impulso totale di una forza risultante

∑ ⃗F simboli,

su una particella eguaglia la variazione della quantità di moto della particella. In

⃗I =∆ ⃗p . Useremo spesso un’approssimazione sull’impulso: assumeremo che

l’intervallo di tempo sia breve e che una delle forze che contribuiscono alla forza risultante superi di molto le altre per intensità; con questa approssimazione, possiamo trascurare gli effetti delle altre forze senza problemi. La legge di conservazione della quantità di moto può essere utilizzata per descrivere ciò che avviene negli urti fra due oggetti. Useremo l’approssimazione dell’impulso, assumendo che le forze dovute all’urto siano molto più intense di tutte le forze esterne presenti. L’urto può essere macroscopicamente inteso come il risultato di un contatto fra due oggetti, ma questa definizione mal si applica agli urti microscopici, dal momento che due particelle con la stessa carica (per esempio, un protone ed una particella alfa, entrambi carichi positivamente) si respingono senza che avvenga alcun contatto: l’urto, tuttavia, è avvenuto. L’urto si definisce urto anelastico quando l’energia cinetica non si conserva (anche se la quantità di moto si conserva). Per esempio, l’urto di una palla di gomma contro un tavolo è anelastico, poiché parte dell’energia cinetica della palla si trasforma in energia interna con la deformazione. Gli urti anelastici sono utilizzati in medicina per la rilevazione della pressione intraoculare: una macchina detta tonometro invia uno sbuffo di aria contro la superficie esterna dell’occhio e misura la velocità con cui essa viene riflessa. A pressione normale, molta energia cinetica viene dissipata (poiché l’occhio è morbido) e la velocità è bassa. A pressioni più alte (patologiche), l’occhio è rigido e dissipa poca energia cinetica, con il risultato di riflettere l’aria a velocità maggiore. Quando due oggetti che si urtano rimangono uniti l’uno all’altro (quindi viene dissipata TUTTA l’energia cinetica), l’urto è detto perfettamente anelastico. È quanto accade quando, per esempio, un meteorite cade sulla Terra e vi rimane sepolto. Un urto elastico, invece, è un urto in cui l’energia cinetica si conserva (così come la quantità di moto): nel mondo macroscopico, gli urti sono elastici solo approssimativamente, poiché parte dell’energia cinetica è sempre dispersa sotto forma di calore o suono (come in una partita a biliardo). A livello atomico e subatomico, invece, si possono avere delle vere e proprie collisioni elastiche. Ad ogni modo, è bene convenire che elasticità ed anelasticità degli urti sono condizioni limite: nella realtà avvengono sempre casi intermedi. 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

Moto Rotazionale Quando un corpo esteso, come una ruota, ruota intorno al proprio asse, il moto non può essere analizzato considerando il corpo come una particella, in quanto ad ogni istante le differenti parti del corpo si muovono con velocità differenti ed in direzioni differenti. Possiamo, comunque, analizzare il moto considerando il corpo esteso come composto da un insieme di particelle in moto. Per indicare la posizione di un corpo rotante (posizione rotazionale o posizione angolare), possiamo utilizzare la sua orientazione (cioè l’angolo) relativa a una qualche direzione fissa di riferimento. Quando un corpo ruota, una sua particella situata sul punto P descriverà un arco di lunghezza s sul percorso circolare di raggio r; la sua posizione angolare sarà uguale a ATTENZIONE: l’angolo

ϑ

ϑ=

s r .

è il rapporto fra un arco ed un raggio, pertanto è un numero puro.

Gli attribuiamo, tuttavia, l’unità di misura artificiale di radiante (rad), definito come “l’angolo sotteso da un arco di lunghezza uguale al raggio”. Poiché la lunghezza della circonferenza è

2 πr , 360° corrispondono ad un angolo di

2π

rad. Per convertire, quindi, un angolo

espresso in gradi in un angolo in radianti, usiamo la formula

60 °=

ϑ (rad)=

π ϑ 180° (deg )

(es.

π π π 45 °= 30 °= ; ; 3 4 6 ).

La velocità angolare media si definisce come il rapporto dello spostamento angolare del corpo

rigido

ω med ≡

e

l’intervallo

di

tempo

∆t

entro

cui

avviene

lo

spostamento:

ϑ−ϑ 0 ∆ ϑ = t−t 0 ∆ t .

Analogamente alla velocità lineare, la velocità angolare istantanea è definita come il limite, per

∆t

rad /s

tendente a zero, del rapporto

oppure il

∆ ϑ /∆ t :

ω ≡ lim

∆t→0

∆ ϑ dϑ = ∆t dt . L’unità di misura è il

s−1 (essendo il radiante una grandezza adimensionale).

Se la velocità angolare istantanea di una particella varia dal valore

ω0

ad

ω

nell’intervallo di tempo

∆ t , la particella ha un’accelerazione angolare. L’accelerazione

α med

di una particella in moto lungo una traiettoria circolare è definita dal

angolare media

rapporto fra la variazione di velocità angolare e l’intervallo di tempo:

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

α med ≡

ω−ω0 ∆ ω = t−t 0 ∆t .

In analogia con l’accelerazione lineare, l’accelerazione angolare istantanea è definita come il limite, per

∆t

∆ ω /∆ t :

tendente a zero, del rapporto

α ≡ lim

∆t→0

∆ ω dω = ∆ t dt .

rad /s 2 oppure in s−2 .

L’accelerazione angolare si misura in

Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso, ogni particella del corpo ruota attorno a quest’asse dello stesso angolo, in un dato intervallo di tempo, ed ha la stessa velocità angolare e la stessa accelerazione angolare. Le leggi del moto traslazionale unidimensionale possono essere applicate anche al moto rotazionale, sostituendo l’accelerazione angolare all’accelerazione, la velocità angolare alla velocità

e

la

posizione

angolare

alla

posizione:

ω=ω 0+ αt ,

1 ϑ =ϑ 0 +ω 0 t + α t 2 , 2

1 ω2 =ω02 +2 α ( ϑ −ϑ 0 ) e ϑ =ϑ 0 + ( ω 0+ ω ) t . 2 Poiché, quando un corpo rigido ruota intorno ad un asse fisso, ogni sua particella percorre una circonferenza, esiste anche una velocità traslazionale sempre tangente alla traiettoria, detta velocità tangenziale, il cui modulo è dato, per definizione, da percorso dalla particella lungo la circonferenza, ovvero

v=

ds /dt , dove s è lo spazio

s=rϑ ; poiché r è costante, si ha:

ds dϑ =r =rω , cioè il modulo delle velocità tangenziale della particella è uguale al dt dt

prodotto della distanza della particella dall’asse di rotazione per la velocità angolare della particella stessa. Possiamo calcolare anche un’accelerazione tangenziale, uguale alla variazione della velocità tangenziale

nel

tempo,

come

at =

dv dω =r =rα , cioè la componente tangenziale dt dt

dell’accelerazione traslazionale della particella sottoposta al moto circolare è uguale al prodotto della distanza della particella dall’asse di rotazione per l’accelerazione angolare. Come abbiamo visto in precedenza, una particella in moto in una traiettoria circolare è sottoposta ad un’accelerazione centripeta, o radiale, di modulo di rotazione. Poiché

v 2 /r , diretta verso il centro

v =rω , possiamo esprimere l’accelerazione centripeta della particella in

funzione della velocità angolare, come

1 Dispensa di Fisica Medica

ac =

v2 =r ω 2 . L’accelerazione traslazionale totale r

MV

della

particella

⃗a =⃗at + ⃗ar ,

è

quindi

il

suo

modulo

sarà

a=√ at2 +a r2=√ r 2 α 2 +r 2 ω2 =r √α 2+ ω 4 . Assimilando un corpo rigido ad un insieme di particelle ed assumendo che esso ruoti attorno ad un asse fisso con velocità angolare

ω , possiamo dire che ciascuna particella è in moto,

cosicché ha una certa energia cinetica, determinata dalla massa e dalla velocità tangenziale. Sia

mi

la massa dell’i-esima particella e

corpo

come

la

Ek (TOT )=∑ Eki =∑ i

ω2

i

la sua velocità, l’energia cinetica di questa

1 Eki = mi v i2 . Possiamo, quindi, esprimere l’energia cinetica totale 2

particella sarà uguale a del

vi

somma

delle

energie

1 1 1 m v 2= mi r i2 ω2= 2 i i 2∑ 2 i

cinetiche 2

i

singole

particelle.

Cioè,

2

(∑ m r ) ω i i

delle

, dove abbiamo messo in evidenza

perché è uguale per tutte le particelle. La grandezza in parentesi è chiamata momento

d’inerzia del corpo rigido:

I =∑ mi r i2 i

. Possiamo, quindi, esprimere l’energia cinetica del

corpo rigido che ruota attorno all’asse, cioè l’energia cinetica rotazionale, come

1 2 Ek (TOT )= I ω . 2 Quando su un corpo rigido imperniato su un certo asse si esercita una forza risultante e la retta d’azione (cioè la linea immaginaria co-lineare al vettore forza ed estesa all’infinito nei due versi) della forza non passa attraverso il perno, il corpo tende a ruotare attorno a quest’asse. La tendenza di una forza a far ruotare un corpo attorno a un certo asse si misura con una grandezza (vettoriale) chiamata momento della forza (o momento meccanico). Esso è l’analogo nel moto rotazionale della forza che causa le variazioni nel moto traslazionale, poiché è la causa delle variazioni nel moto rotatorio. La forza applicata angolo

φ

rispetto al vettore posizione

ha un momento di modulo

⃗r

⃗ F

che agisce formando un

che localizza il punto di applicazione della forza,

τ ≡rF sin φ . La grandezza

r sin φ , indicata con d, è chiamata

braccio del momento (o braccio della forza) e rappresenta la distanza fra l’asse di rotazione e la retta d’azione di

τ =F ( r sin φ )=Fd ,

oppure

⃗ F . Quindi, possiamo definire il momento della forza come come

prodotto

vettoriale

di

⃗r

ed

⃗ F ,

cioè

⃗τ ≡ r⃗ × ⃗ F ≡rF sin φ . Il momento di una forza non deve essere confuso con la forza: esso dipende dalla forza, ma anche da dove essa è applicata. Inoltre, esso ha le dimensioni di una forza per una lunghezza e si misura in 1 Dispensa di Fisica Medica

N∙m . MV

Alla luce del moto rotazionale, perché un corpo sia in equilibrio sono necessarie due condizioni: la risultante delle forze esterne agenti sul corpo deve essere uguale a zero: in simboli,

∑ ⃗F =0

(condizione di equilibrio traslazionale); inoltre, anche la risultante dei

momenti delle forze esterne deve essere uguale a zero (rispetto a qualsiasi asse): in simboli,

∑ ⃗τ =0

(condizione di equilibrio rotazionale). Le due equazioni vettoriali sono

equivalenti a sei equazioni scalari: tre derivanti dalla prima e tre dalla seconda. Limitando, però, il campo di interesse (ovvero considerando le forze tutte giacenti nel piano xy), bastano tre equazioni per definire l’equilibrio statico:

∑ F x=0

,

∑ F y=0

e

∑ τ z =0 .

Possiamo ricavare un analogo rotazionale della Seconda Legge di Newton, ovvero:

∑ τ=Iα

, cioè il momento risultante delle forze agenti su un corpo rigido è proporzionale

alla sua accelerazione angolare, e la costante di proporzionalità è il momento d’inerzia. Il momento della quantità di moto è chiamato momento angolare ed è uguale al prodotto vettoriale del vettore posizione

⃗L ≡ ⃗r × ⃗p . Poiché

⃗r

e del vettore quantità di moto

⃗p=m ⃗v , il modulo di ⃗r

l’angolo compreso fra D’altra parte, quando

⃗r

e

⃗L

è dato da

L=mvr sin φ , dove

⃗p . Ne segue che L è zero quando

è perpendicolare a

⃗p . In simboli,

⃗r

φ

⃗p .

è parallelo a

⃗p , L assumerà il suo valore massimo

è

mvr .

Sulla base del momento angolare, possiamo affermare che il momento di una forza non è altro che la variazione nel tempo del momento angolare della particella: in simboli,

(analogo rotazionale della formula

⃗τ =

d ⃗L dt

d ⃗p ⃗ F= dt ). Come, inoltre, la quantità di moto totale di un

sistema di particelle rimane costante quando la risultante delle forze esterne agenti sul sistema è nulla, così il momento angolare totale di un sistema resta costante se il momento risultante delle forze esterne agenti sul sistema è nullo.

Moto Oscillatorio Nel caso del moto oscillatorio, il modello sperimentale di uso corrente è quello di un oggetto di massa m attaccato ad una molla orizzontale. Se la molla non è deformata, l’oggetto rimane fermo (su una superficie priva di attrito) nella sua posizione di equilibrio, definita come . Se l’oggetto è tirato di lato nella posizione indietro fra le posizioni

x

e

x=0

x , e poi rilasciato, esso oscillerà avanti e

– x . Per eliminare gli effetti della dimensione dell’oggetto, si

usa il modello del punto materiale. Quando una particella è soggetta ad una forza di richiamo

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

lineare (data dalla legge di Hooke

F=−kx ), il moto che essa segue è un particolare tipo di

moto oscillatorio detto moto armonico semplice. Un sistema sottoposto a tale moto si chiama oscillatore armonico semplice. Se

a=

F=−kx , allora

– kx=ma , da cui segue che

−k x , ovvero l’accelerazione di una particella in moto armonico semplice è m

proporzionale allo spostamento della particella dalla sua posizione di equilibrio ed è in verso opposto. La particella completa un intero ciclo del suo moto quando ritorna alla sua posizione iniziale, passando ancora per

x=0

con la sua velocità massima.

Il periodo T del moto è definito come il tempo necessario alla particella per compiere un ciclo completo; matematicamente,

radianti/s):

ω=2 π

√

T=

2π ω , dove

ω

è la frequenza angolare (misurata in

m k , dove m è la massa della particella e k la costante elastica della

molla. In funzione del periodo, la frequenza angolare può anche essere calcolata come

ω=

2π T .

Il reciproco del periodo di chiama frequenza f del moto e rappresenta il numero di oscillazioni che la particella compie nell’unità di tempo. L’unità di misura della frequenza è l’Hertz (Hz), equivalente al

−1

s

. In formula,

angolare può essere espressa come

1 ω f= = T 2 π . In funzione della frequenza, la frequenza ω=2 πf .

Se un oggetto attaccato ad una molla scivola su una superficie priva di attrito, possiamo considerare la combinazione molla-oggetto come un sistema isolato ed applicarvi le relative leggi. Pertanto, l’energia meccanica del sistema è pari ad

1 Em = k A 2 , dove k è la 2

costante elastica della molla ed A è l’ampiezza del moto (ovvero lo spostamento massimo). Il pendolo semplice è un altro sistema meccanico che si muove di moto periodico. Esso consiste di un punto materiale di massa m sospeso ad un filo (di massa trascurabile) di lunghezza L, la cui estremità superiore è fissata. Un pendolo reale, purché la dimensione dell’oggetto sia piccola rispetto alla lunghezza del filo, può essere assimilato ad un pendolo semplice. Quando il pendolo è tirato lateralmente e poi rilasciato, esso oscilla intorno al punto più basso, la posizione di equilibrio. Poiché il moto è dovuto alla forza di gravità

m ⃗g ,

possiamo calcolare delle formule valide per piccoli angoli (minori di 10°). In particolare, la

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

frequenza angolare è uguale a

ω=

√

g L

(dove g è il modulo dell’accelerazione di gravità

ed L la lunghezza del filo). Il periodo, di conseguenza, è pari a

T=

√

2π L =2 π ω g . Si dimostra,

quindi, che per piccole oscillazioni il periodo e la frequenza angolare di un pendolo semplice dipendono soltanto dalla lunghezza del filo e non dalla massa dell’oggetto, per cui sperimentalmente si troverà che tutti i pendoli semplici di uguale lunghezza oscillano con lo stesso periodo (purché g sia costante).

Onde Meccaniche Le onde meccaniche (ad es. le onde acustiche o l’ondulazione dell’acqua dovuta ad un sasso gettatovi) sono onde la cui perturbazione si propaga attraverso un mezzo, come l’aria o l’acqua. Esse si distinguono dalle onde elettromagnetiche (ad es. le onde luminose o le onde radio) che, invece, non necessitano di un mezzo per propagarsi. La propagazione di una perturbazione è un trasferimento di energia senza trasferimento di materia; tutte le onde trasportano energia, ma la quantità di energia trasmessa differisce da caso a caso, così come il meccanismo responsabile del trasferimento. Tutte le onde meccaniche richiedono una sorgente di perturbazione, un mezzo che possa essere perturbato e un meccanismo fisico per cui le particelle del mezzo possano influenzarsi (cioè che consenta la propagazione della perturbazione). Le onde possono essere trasversali o longitudinali: nel primo caso, le particelle del mezzo perturbato si muovono perpendicolarmente alla velocità dell’onda; nel secondo, invece, esse subiscono uno spostamento parallelo alla direzione del moto dell’onda (è questo il caso delle onde sonore). Partendo da un esempio di una corda con un’estremità fissata, cui diamo un impulso all’altra estremità, possiamo verificare come lo scuotimento continuo generi un’onda continua, detta onda sinusoidale, per la forma che essa assume. Il punto di massimo spostamento positivo della corda si chiama cresta, mentre il punto più basso è detto avvallamento. La cresta e l’avvallamento si muovono con l’onda, per cui un particolare punto della corda alternerà la sua posizione fra una cresta ed un avvallamento. Per descrivere un’onda sinusoidale, si fa riferimento a tre caratteristiche fisiche: la lunghezza d’onda, la frequenza e la velocità. La lunghezza d’onda è la distanza minima fra due punti che si comportano identicamente (ad es. due creste o due avvallamenti adiacenti) e si indica con il simbolo λ. La frequenza f delle onde sinusoidali è identica alla frequenza del moto armonico semplice ed è, quindi, l’inverso del periodo T, definito come il tempo necessario affinché un elementino del mezzo effettui un’oscillazione completa. La velocità d’onda v è la velocità con cui le onde si propagano in uno specifico mezzo e dipende, pertanto, dalle sue caratteristiche. Un altro parametro importante è l’ampiezza dell’onda A, che corrisponde al massimo spostamento della particella del mezzo dalla sua posizione d’equilibrio. Velocità,

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

lunghezza d’onda, frequenza e periodo sono legati dalla relazione

angolare è identica a quella del moto armonico semplice, cioè:

ω≡

λ v = =λ f . La frequenza T 2π =2 πf . T

Quando un impulso che si propaga raggiunge una discontinuità, una parte o tutto l’impulso verrà riflesso. La parte non riflessa si dice che viene trasmessa attraverso la discontinuità. Nell’esempio della corda fissata ad un’estremità al muro, quando l’impulso raggiunge l’estremità fissa, poiché la superficie è rigida, nessuna parte dell’impulso è trasmessa ed esso è totalmente riflesso. Si noti che l’impulso riflesso ha esattamente la stessa ampiezza dell’impulso in arrivo, ma è invertito. Se due o più onde che si propagano si muovono in un mezzo e si combinano in un dato punto, lo spostamento risultante del mezzo in quel punto è la somma degli spostamenti delle singole onde (principio di sovrapposizione). Non tutte le onde obbediscono, però, a questo principio: quelle che lo fanno sono dette onde lineari ed hanno un’ampiezza piccola rispetto alla lunghezza d’onda. La combinazione di onde diverse nella stessa regione di spazio è detta interferenza (ma essa non è un effetto permanente, esiste soltanto fintanto che le onde condividono la stessa regione di spazio). Se le onde sono “in fase”, cioè i picchi e gli zeri delle singole onde si presentano sempre nella stessa posizione, esse interferiscono “costruttivamente”, generando, cioè, un’onda risultante che ha un’ampiezza pari alla somma delle singole ampiezze. Se, invece, le onde sono “fuori fase”, ovvero ad un picco dell’una corrisponde una valle dell’altra, i loro spostamenti si annullano in ogni punto e l’onda risultante ha ampiezza zero ovunque: esse interferiscono “distruttivamente”. Esistono, infine, casi intermedi.

Statica dei Fluidi La materia viene abitualmente considerata in uno dei tre stati: solido, liquido o gassoso. Un solido ha forma e volume definiti, un liquido ha un volume definito, ma assume la forma del recipiente che lo contiene ed un gas non ha né forma né volume definiti. Un insieme di molecole sistemate in modo casuale e tenute insieme da deboli forze di coesione e da forze esercitate dalle pareti del contenitore si chiama fluido. Questa definizione risulta comprendere sia i liquidi sia i gas. Se applichiamo una forza non perpendicolare sulla superficie di un oggetto solido, esso subirà una distorsione. Nel nostro modello semplificato, i fluidi non sono viscosi (non hanno, cioè, attrito fra strati adiacenti) e non sostengono, pertanto, questo tipo do forze (dette forze di taglio): l’unico tipo di forza applicabile è, quindi, quella perpendicolare alla superficie. La forza che un fluido esercita su una superficie trae origine dall’urto delle molecole del fluido con la superficie: ciascuna collisione produce una forza sulla superficie. Ogni secondo, avviene un numero enorme di queste forze, che danno luogo ad una forza macroscopica che si distribuisce uniformemente su tutta l’area della superficie. Questa forza è in relazione con una grandezza chiamata pressione. La pressione (che è uno scalare!) è misurata come la forza esercitata dal fluido sulla superficie dello strumento di misura. In simboli,

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

p≡

F A . La sua unità di misura è

il

N /m

2

, anche detto Pascal (Pa). Attenzione a non confondere forza e pressione: oltre al

fatto che la prima è un vettore, mentre la seconda è uno scalare, esse possono anche avere valori molto diversi fra loro. Es. un ago ipodermico esercita una grandissima pressione (tale da perforare la cute) in virtù di una piccola forza, ma applicata in un’ancor più piccola superficie. All’opposto, le racchette usate per camminare sulla neve distribuiscono una grande forza (la forza-peso) su una grande superficie, generando una pressione minore, tale da non far sprofondare la persona. L’atmosfera esercita una pressione sulla superficie della Terra e su tutti gli oggetti sulla superficie. Tale pressione, detta pressione atmosferica, è uguale a 5

p0=1.00 atm ≈ 1.013 ×10 Pa . Come ben sanno i subacquei, la pressione nel mare o in un lago aumenta quando il sub nuota verso il fondo. Analogamente, la pressione atmosferica decresce con l’altitudine. Questo fenomeno è descritto dalla seguente equazione, che indica come la pressione esercitata su un immaginario cilindro di liquido vari linearmente con la profondità: la pressione atmosferica,

ρ

p= p0 + ρgh , dove

p0

è

è la densità del fluido, g è l’accelerazione di gravità ed h è la

profondità (o l’altitudine). La pressione è, perciò, la stessa in tutti i punti che hanno la stessa profondità, indipendentemente dalla forma del recipiente. Sulla base dell’equazione di cui sopra, ogni aumento della pressione alla superficie deve essere trasmesso in tutti i punti del liquido. Questa legge, scoperta dal francese Blaise Pascal e perciò detta legge di Pascal, enuncia quanto segue: una variazione di pressione applicata ad un fluido chiuso è trasmessa integralmente in ogni punto del fluido ed alle pareti del contenitore. La legge di Pascal è il principio della pressa idraulica, ma anche del tubetto di dentifricio. La forza di galleggiamento è una forza (o spinta) verso l’alto che si esercita su un oggetto circondato da un fluido, relativa al sostegno parziale offerto dall’acqua a qualsiasi oggetto che vi si trovi immerso. Secondo il principio di Archimede, “ogni oggetto immerso parzialmente o totalmente in un fluido subisce una spinta verso l’alto la cui intensità è uguale al peso del fluido spostato dall’oggetto”. In simboli,

B=ρ f gV , dove

ρf

è la densità del fluido, NON

del corpo. Perciò, la spinta che agisce su un cubo d’acciaio è la stessa che agisce su di un cubo di fluido delle stesse dimensioni. Nel caso di un oggetto completamente immerso, il volume del liquido spostato è lo stesso dell’oggetto (

V =V 0 ). Se la densità dell’oggetto è minore di quella del fluido, la forza

risultante è positiva e l’oggetto accelera verso l’alto. Al contrario, se il corpo ha densità maggiore di quella del liquido, la forza risultante è negativa e l’oggetto affonda. Nel caso di un oggetto in equilibrio statico, che galleggi sulla superficie di un fluido (cioè che sia solo parzialmente immerso), il volume del fluido spostato è solo una frazione del volume totale dell’oggetto, giacché il volume del fluido spostato è uguale al volume al di sotto della superficie del fluido. Poiché l’oggetto è in equilibrio, la spinta di Archimede è equilibrata dalla

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

forza di gravità. In simboli,

B=Mg → ρf gV = ρ0 g V 0 →

ρ0 V = ρf V 0 , cioè la frazione di volume

dell’oggetto al di sotto della superficie del fluido è uguale al rapporto fra la densità dell’oggetto e quella del fluido.

Dinamica dei Fluidi La dinamica dei fluidi è lo studio dei fluidi in movimento; invece di affrontare lo studio del moto di ciascuna particella del fluido in funzione del tempo, si descrivono le proprietà del fluido nel suo insieme. In un fluido in moto, si possono caratterizzare due tipi di flusso: il flusso è detto stazionario o laminare quando i cammini seguiti da ciascuna particella del fluido non si intersecano fra di loro. In queste condizioni, la velocità del flusso in ogni punto rimane costante nel tempo. Per velocità superiori ad un valore critico, il flusso del fluido diventa turbolento. Il flusso turbolento è un flusso irregolare caratterizzato da alcune regioni simili a piccoli vortici. La viscosità è il grado di attrito interno nel flusso di un fluido, associato alla resistenza tra due strati adiacenti di liquido in moto relativo. Nel nostro modello semplificato di fluidi ideali, il fluido è considerato non viscoso, oltre che incomprimibile e dotato di flusso stazionario ed irrotazionale (cioè il momento angolare del fluido è nullo in ogni punto). Il cammino seguito da una particella di fluido in un flusso stazionario è chiamato linea di corrente. La velocità di una particella del fluido risulta sempre tangente in ogni punto alla linea di corrente. Due linee di corrente non possono mai intersecarsi, altrimenti non sarebbe un flusso stazionario. Considerando un fluido che si muova in una conduttura di sezione variabile, l’equazione di continuità dei fluidi indica che il prodotto dell’area del tubo per la velocità del fluido (chiamato anche portata Q) in tutti i punti del tubo è costante. In simboli,

A 1 v 1= A2 v 2

(o

Q=cost ). Perciò, la velocità del fluido è maggiore dove il tubo è più stretto e minore dove è più ampio. Quando un fluido si muove in una regione in cui la sua altezza al di sopra della superficie terrestre o la sua velocità cambia, la pressione del fluido varia con questo cambiamento. Questa relazione è stata scoperta dal fisico svizzero Daniel Bernoulli nel 1738. L’equazione di Bernoulli, applicata al caso di un fluido ideale, recita:

1 p+ ρ v 2 + ρgh=cost , ovvero che la 2

somma di pressione, energia cinetica per unità di volume ed energia potenziale gravitazionale per unità di volume del fluido è costante in tutti i punti di una linea di corrente. Applicazioni del teorema di Bernoulli sono restringimenti (stenosi, aterosclerosi) e dilatazioni (aneurismi, ectasie) dei vasi sanguigni.

Termologia e Termodinamica La termodinamica si occupa dei concetti relativi al trasferimento di energia fra un sistema e l’ambiente circostante e le conseguenti variazioni di temperatura o variazioni di stato. Il 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

concetto di temperatura è connesso alla percezione di caldo o freddo che un oggetto produce al tatto; tuttavia, la nostra pelle è sensibile alla rapidità di energia trasferita (cioè la potenza), non alla quantità dell’energia o alla temperatura. Immaginando due oggetti posti in un contenitore isolato in modo da formare un sistema isolato, se gli oggetti sono a temperature diverse, dell’energia può essere scambiata fra di essi per mezzo di calore (o di radiazione elettromagnetica). Oggetti che possono scambiare energia fra di loro in questo modo si dicono in contatto termico. Alla fine, le temperature dei due oggetti diventeranno uguali, raggiungendo, cioè, l’equilibrio termico, ovvero la situazione in cui due oggetti in contatto termico cessano di avere qualunque scambio di energia mediante calore. Sulla base di queste definizioni basilari, possiamo enunciare il principio zero della termodinamica come segue: se gli oggetti A e B sono separatamente in equilibrio termico con un terzo oggetto C, allora A e B sono in equilibrio termico fra loro. Possiamo riferirci alla temperatura come alla proprietà che determina se un oggetto è in equilibrio termico con altri oggetti oppure no: due oggetti in equilibrio termico fra di loro sono alla stessa temperatura. I termometri sono dispositivi usati per misurare la temperatura, in base ad una qualche proprietà che varia al variare della temperatura: il volume di un liquido, la pressione di un gas (mantenuto a volume costante), il colore di un oggetto caldo, la resistenza elettrica di un conduttore, la lunghezza di un solido. Il termometro di uso comune consiste di una massa liquida (mercurio o alcool) che si dilata in un capillare di vetro quando la sua temperatura aumenta. Poiché la sezione del capillare è uniforme, la variazione varia linearmente con la sua lunghezza nel tubo. Il termometro può essere tarato ponendolo in contatto con una temperatura costante ed associandovi una scala. Una delle scale in uso è la scala centigrada o scala Celsius, che pone ai due estremi il punto di congelamento dell’acqua (chiamato 0°C) ed il punto di ebollizione dell’acqua (chiamato 100°C). La distanza fra di essi viene divisa in 100 segmenti uguali, ciascuno dei quali indica una variazione di temperatura di un grado Celsius. Un’altra scala, più accurata e con il vantaggio di presentare solo temperature positive, è la scala Kelvin o della temperatura assoluta. Il limite inferiore di questa scala (0 K) corrisponde a -273,15°C, chiamato zero assoluto, la temperatura più bassa raggiungibile in natura. L’ampiezza di un grado nella scala Kelvin è identica all’ampiezza di un grado nella scala Celsius, per cui la conversione dall’una all’altra scala è facile:

T C =T −273.15 .

Un’altra scala, in uso nei paesi di lingua e cultura anglosassone, è la scala Fahrenheit, la cui unità (il grado Fahrenhait) è uguale a

5 9

di un kelvin (e di un Celsius). In questa scala, lo

zero centigrado corrisponde a 32°F e il punto di ebollizione dell’acqua è a 212°F. La conversione fra le due scale si effettua tramite la relazione

9 T F = T C +32 ° F . 5

Nei termometri a liquido si utilizza una delle proprietà dell’energia termica: quella di dilatare oggetti solidi e liquidi. La dilatazione termica complessiva di un oggetto è la conseguenza della variazione della distanza media di separazione tra gli atomi o le molecole che lo costituiscono. Se la dilatazione termica di un oggetto è sufficientemente piccola confrontata 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

con le sue dimensioni iniziali, allora la variazione di ogni dimensione è approssimativamente dipendente dalla prima potenza della variazione di temperatura. Per un oggetto di lunghezza iniziale

∆ T , la variazione della lunghezza è uguale a

variazione di temperatura dove

α

Li , che aumenta di una quantità

∆L

per una

∆ L=α Li ∆T ,

è una costante di proporzionalità propria di un determinato materiale, chiamata

coefficiente medio di dilatazione lineare (espressa in

(℃ )−1 ).

L’aumento di superficie di un oggetto dovuto alla variazione di temperatura è, invece, uguale a

∆ A=γ A i ∆ T , dove superficiale), dato da

γ

è il coefficiente medio di dilatazione quadratica (o

γ =2 α .

Infine, la variazione di volume di un oggetto dovuto alla variazione di temperatura è uguale a

∆ V = β V i ∆ T , dove dato da

β

è il coefficiente medio di dilatazione cubica (o volumica),

β=3 α .

Introduciamo un modello semplificato per descrivere i gas: il modello dei gas perfetti. Un gas perfetto (o ideale) è un insieme di atomi o molecole che si muovono di moto caotico (anche detto “browninao”), che hanno dimensioni così piccole da occupare una frazione trascurabile del volume del loro contenitore e che interagiscono, fra di loro e con le superfici del contenitore, per mezzo di urti elastici; inoltre, tra essi non si esercitano forze (di attrazione o repulsione) a lunga distanza. Un gas reale è assimilabile ad un gas perfetto a temperature lontane dalla temperatura di liquefazione e/o a bassa pressione. La maggior parte dei gas, a temperatura ambiente ed a pressione atmosferica, si comporta approssimativamente come un gas perfetto. La quantità di gas in un dato volume viene espressa comunemente in termini di numero di moli. Una mole di una qualunque sostanza è quella massa di sostanza che contiene un numero di Avogadro (

N A =6.022× 1023 ) di molecole. Il numero di moli n presente in un campione è

legato alla sua massa dalla relazione espressa in

n=

m M , dove M è la massa molare della sostanza,

g/mol .

Si supponga che un gas sia contenuto in un recipiente cilindrico il cui volume possa essere variato per mezzo di un pistone mobile. Assumeremo che il cilindro non abbia perdite e che il numero di moli del gas rimanga costante. Per un sistema di questo tipo, gli esperimenti forniscono le seguenti informazioni:

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

-

Legge di Boyle-Mariotte: quando il gas viene tenuto a temperatura costante, la sua pressione è inversamente proporzionale al volume. In formula,

p× V =cost

(per

T =cost ); -

Legge di Charles (o prima legge di Gay-Lussac): quando la pressione del gas è tenuta costante, il volume è direttamente proporzionale alla temperatura. In formula,

V =cost T -

(per

p=cost );

Legge di Gay-Lussac (o seconda legge di Gay-Lussac): quando il volume del gas è tenuto costante, la pressione è direttamente proporzionale alla temperatura. In formula,

p =cost T

(per

V =cost ).

Le tre leggi possono essere riassunte nell’equazione di stato dei gas perfetti:

pV =nRT ,

dove p è la pressione, V è il volume, n è il numero di moli, T è la temperatura assoluta ed R è una costante di proporzionalità chiamata costante universale dei gas e uguale ad

8.314 J /mol ∙ K

(oppure a

0.082 L ∙ atm/ K ∙mol ). La legge può essere riscritta utilizzando il

numero di molecole N invece del numero di moli n; in questo caso, prende la forma di

pV =

N RT =N k B T , NA

dove

kB

è

la

costante

di

Boltzmann,

uguale

ad

R =1.38 ×10−23 J /K . NA Il modello strutturale del gas perfetto costituisce la teoria cinetica dei gas, basata sui seguenti assunti: 1) Il numero di molecole del gas è grande e la distanza media di separazione fra di esse è grande se confrontata con le loro dimensioni; 2) Le molecole obbediscono alle leggi del moto di Newton, ma nell’insieme il loto moto è isotropico (ovvero, ogni molecola si può muovere in qualsiasi direzione a qualsiasi velocità); 3) Le molecole interagiscono con urti elastici esclusivamente mediante forze che hanno effetto a breve distanza; 4) Le molecole interagiscono con urti elastici con le pareti; 5) Il gas considerato è una sostanza pura (ovvero, tutte le molecole sono identiche). È necessario fornire una distinzione fra energia interna e calore, prima di procedere con le leggi della termodinamica. L’energia interna è l’energia associata con le componenti microscopiche (atomi e molecole) di un sistema, viste da un sistema di riferimento a riposo rispetto al sistema. Essa è associata al moto traslazionale degli atomi di un gas perfetto: più alta è la temperatura del gas, più è alta la sua energia cinetica e più è alta la sua energia interna. Il calore, invece, è un meccanismo col quale l’energia è trasferita fra un sistema ed il suo ambiente circostante a causa di una differenza di temperatura fra essi. Esso è anche la quantità di calore Q trasferita in questo modo. Non ha senso, quindi, usare il termine calore in condizioni di equilibrio: si parlerà, più propriamente, della temperatura del sistema. Unità di misura del calore sono la caloria ed il joule: una caloria (cal) è la quantità di calore necessaria 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

per innalzare di un grado la temperatura di 1g di acqua (precisamente da

14.5 ℃ a 15.5 ℃);

un suo multiplo è la chilocaloria (kcal o Cal). Poiché, però, il calore è un sistema di trasferimento di energia come il lavoro, si è pensato di utilizzare l’unità di misura del lavoro, il Joule (J), anche per il calore. La conversione è effettuata per mezzo della corrispondenza esatta

1 cal≡ 4.186 J

(da cui consegue che

1Cal ≡ 4186 J ).

Dalla definizione originaria di caloria, abbiamo visto che per aumentare la temperatura di un chilogrammo di acqua di un grado occorrono 4186 joule; ma la quantità di calore necessaria per aumentare di un grado la temperatura di un chilogrammo di una sostanza qualsiasi dipende dalla sostanza. Introduciamo, quindi, il concetto di calore specifico, inteso come la quantità di calore necessaria per aumentare la temperatura di un kg di sostanza di un grado Celsius (o Kelvin, è equivalente). In simboli,

c≡

Q J /kg ∙ ℃. m∆ t ; la sua unità di misura è

Da questa definizione, possiamo calcolare la quantità di calore come

Q=mc ∆ t . La quantità

mc , data dal prodotto del calore specifico della sostanza (per unità di massa) per la sua massa è chiamata capacità termica ed è, in ultima analisi, il rapporto fra la quantità di calore fornita ad una sostanza e l’aumento di temperatura derivatone. In formula,

mc=

Q ∆t .

Quando dell’energia viene trasferita tra una sostanza ed il suo ambiente circostante, generalmente la sostanza subisce un aumento di temperatura. Vi sono, tuttavia, situazioni in cui un trasferimento di energia non corrisponde ad un aumento di temperatura: ciò accade ogni volta che le caratteristiche fisiche della sostanza mutano: ogni volta, cioè, che avviene un passaggio di stato. L’energia trasferita necessaria per il cambiamento di fase di una data massa m di una sostanza pura è uguale a

Q=± mL , dove L è chiamato calore latente della

sostanza e dipende sia dalle proprietà della sostanza sia dalla natura del cambiamento di fase. Il segno appropriato è scelto in base alle convenzioni sui segni ed in base alla direzione del flusso di energia. Il calore latente di fusione, in particolare, è l’energia necessaria per rompere tutti i legami intermolecolari in un chilogrammo di una sostanza, in modo da convertire la fase solida in fase liquida. Il calore latente di vaporizzazione, invece, è l’energia che si deve fornire ad un chilogrammo di una sostanza per rompere tutti i legami del liquido per formare un gas. Il secondo è generalmente maggiore del primo, in virtù della differente forza dei legami in fase solida e liquida. Nell’approccio macroscopico alla termodinamica, si descrive lo stato di un sistema con grandezze quali pressione, volume, temperatura ed energia interna, dette appunto variabili di stato. Per ogni condizione del sistema, possiamo identificare dei particolari valori delle variabili di stato che la identificano univocamente. L’identificazione delle variabili di stato richiede, ovviamente, che il sistema sia in equilibrio termico interno (per esempio, che un determinato gas abbia la stessa pressione e temperatura in tutte le sue parti). Il calore, invece, è una variabile di trasferimento, ovvero è possibile assegnargli un valore soltanto se si realizza un processo in cui energia viene trasferita attraverso le superfici che delimitano il sistema.

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

Nei sistemi termodinamici esiste anche un’altra importante variabile di trasferimento: il lavoro termodinamico. Si consideri un gas contenuto in un cilindro chiuso da un pistone mobile privo di attrito ed in equilibrio termico. Il gas occupa il volume V ed esercita una pressione p uniforme sulle pareti del cilindro e sul pistone. Se il gas è compresso quasi - staticamente, ovvero così lentamente da permettere al sistema di essere in equilibrio termico in ogni istante (modello semplificativo), il lavoro compiuto dal pistone sul sistema (se il gas è compresso) o dal sistema sul pistone (se il gas si espande) sarà uguale a

dL=± p dV . Se il volume rimane

costante, il lavoro è, ovviamente, zero. Il lavoro totale, quando il suo volume varia da

V0

a

V

V

sarà uguale a

L=±∫ p dV . V0

In generale, in una trasformazione che porti il gas da uno stato iniziale ad uno finale, la pressione non è costante, ma dipende dalla temperatura e dal volume. Se la pressione ed il volume sono noti in ogni istante della trasformazione, gli stati del gas possono essere rappresentati in un diagramma PV, un tipo di grafico molto importante in termodinamica per visualizzare una trasformazione. In tale rappresentazione, la curva (detta cammino fra lo stato iniziale e finale) sottende un’area pari al lavoro svolto nella trasformazione. Il primo principio della termodinamica non è che un caso particolare dell’equazione di continuità dell’energia in cui i soli meccanismi di trasferimento sono il calore ed il lavoro. In simboli,

∫ ¿=Q−L ∆ E¿

, ovvero la variazione dell’energia interna di un sistema è uguale alla

somma dell’energia trasferita attraverso il contorno del sistema tramite il calore e dell’energia trasferita tramite il lavoro (compiuto SUL gas, da cui il segno negativo). Una trasformazione adiabatica è una trasformazione in cui l’energia non entra né esce dal sistema attraverso il calore (cioè

Q=0 ). Possiamo immaginare, nella situazione del pistone,

che le pareti del recipiente e del pistone siano perfettamente isolanti. Applicando in questo caso il primo principio, otteniamo che

∫ ¿=−L ∆ E¿

. Un particolare caso di trasformazione

adiabatica è l’espansione libera, in cui non viene compiuto alcun lavoro sul gas. Poiché in questo caso

Q=0

e

L=0 , anche

∫ ¿=0 ∆ E¿

. L’energia interna iniziale e finale di un gas in

un’espansione libera sono uguali. Pertanto, non ci aspettiamo alcuna differenza di temperatura dallo stato iniziale a quello finale (in realtà si riscontra sperimentalmente un leggero aumento o una leggera diminuzione della temperatura dovuta alle interazioni fra le molecole). Una trasformazione che avviene a pressione costante è detta trasformazione isobara (nell’esempio del pistone, immaginiamo che esso sia libero di muoversi, ma in equilibrio). In questo caso, il lavoro compiuto sul gas è semplicemente il prodotto della pressione (costante)

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

per la variazione di volume

L= p(V −V 0) . Su un diagramma PV, un’isobara appare come

una linea orizzontale. Una trasformazione che avviene a volume costante è detta trasformazione isocora (immaginiamo di fermare con un morsetto il pistone, affinché esso non sia libero di muoversi). In una tale trasformazione, il lavoro è nullo, poiché la variazione di volume è nulla. Il primo principio è, quindi, espresso da

∫ ¿=Q ∆ E¿

. Questo ci dice che se si fornisce calore ad un

sistema mantenuto a volume costante, tutta l’energia va ad aumentare l’energia interna e non esce dal sistema sotto forma di lavoro. Su un diagramma PV, l’isocora appare come una linea verticale. Una trasformazione che avviene a temperatura costante è detta trasformazione isoterma. Poiché l’energia interna di un gas perfetto è solo funzione della temperatura, una variazione di temperatura pari a zero rende nulla anche l’energia interna. Il primo principio diventa, di conseguenza,

Q=L . Quindi, se nel sistema entra dell’energia sotto forma di calore, ne

uscirà una quantità equivalente sotto forma di lavoro, in modo tale che l’energia interna del sistema non cambi. Sul diagramma PV, un’isoterma appare come una linea curva. Il lavoro compiuto è stato calcolato come

L=nRT ln

V V0

( )

.

Nel caso di una trasformazione ciclica, ovvero una trasformazione che inizia e finisce nello stesso stato, l’energia cinetica interna deve essere zero (poiché è una variabile di stato e gli stati iniziale e finale coincidono), per cui il primo principio diventa

Q=L . Il lavoro compiuto,

per ogni ciclo, coincide con l’area racchiusa dal cammino che rappresenta la trasformazione nel diagramma PV. Il processo di trasferimento di energia tramite il calore si chiama conduzione termica. Questo processo, su scala atomica, non è che uno scambio di energia cinetica fra le molecole, in cui le particelle meno energetiche guadagnano energia urtando con le particelle più energetiche. La velocità della conduzione dipende dalle proprietà della sostanza che viene riscaldata: in generale, i metalli sono buoni conduttori termici, poiché contengono un grande numero di elettroni relativamente liberi di muoversi attraverso il metallo, che possono, quindi, trasportare energia da una regione all’altra. Materiali come amianto, sughero, carta e lana di vetro sono, invece, cattivi conduttori, così come i gas, a causa della distanza molto grande fra le molecole. La conduzione avviene solo se c’è una differenza di temperatura fra due parti del mezzo conduttore, che guida il flusso di energia. Considerando una lastra di materiale di spessore

∆x

T c , dove

e sezione

A , con le sue facce opposte a temperature differenti

Tf

e

T c >T f , la lastra permette all’energia di trasferirsi dalla regione ad alta

temperatura a quella a bassa temperatura per conduzione termica con velocità (potenza) proporzionale alla sezione della lastra ed alla differenza di temperatura ed inversamente proporzionale allo spessore. In simboli, la legge della conduzione si esprime come

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

W=

| |

Q ∆T dT ∝A =kA ∆t ∆x dx

materiale e

|dTdx |

, dove k è una costante chiamata conducibilità termica del

è noto come gradiente di temperatura (la variazione della temperatura

con la posizione). I buoni conduttori hanno, naturalmente, valori elevati di conducibilità termica, mentre i buoni isolanti hanno valori bassi. L’energia trasferita dal moto di un fluido è un processo detto convezione. Quando il moto è dovuto a differenze di densità, come avviene per l’aria vicino ad una fiamma, si tratta di convezione naturale. Se la sostanza calda è messa in moto da un ventilatore o una pompa, il processo è detto convezione forzata. Un altro meccanismo di trasferimento di energia che può essere correlato con una variazione di temperatura è la radiazione elettromagnetica. Tutti gli oggetti irradiano continuamente energia sotto forma di onde elettromagnetiche. La radiazione elettromagnetica è prodotta accelerando cariche elettriche: poiché la temperatura corrisponde al moto casuale delle molecole, che cambiano costantemente direzione, e quindi accelerano, e le molecole contengono cariche elettriche, qualsiasi oggetto emette radiazione elettromagnetica dovuta al moto termico delle sue molecole. Questa radiazione si chiama radiazione termica. La rapidità alla quale un oggetto emette energia per mezzo della radiazione termica dalla sua superficie è proporzionale alla quarta potenza delle temperatura assoluta della sua superficie. Questo principio, noto come legge di Stefan, è espresso in forma di equazione come dove

σ

è la costante di Stefan-Boltzmann (uguale a

l’area della superficie dell’oggetto (in

m

2

),

e

P=σAe T 4 ,

5.669× 10−8 W /m2 ∙ K 4 ),

è una costante detta emittanza e

A T

è è la

temperatura assoluta del corpo in kelvin. L’emittanza è uguale alla sua assorbanza, ovvero alla frazione di radiazione incidente che la sostanza assorbe. Infatti, un oggetto, mentre irradia, assorbe allo stesso tempo radiazione elettromagnetica dall’ambiente circostante: se ciò non avvenisse, un oggetto potrebbe continuare ad irradiare la sua energia e la sua temperatura decrescerebbe spontaneamente fino allo zero assoluto. Quando un oggetto è in equilibrio con l’ambiente, esso irradia ed assorbe energia alla stessa velocità, per cui la sua temperatura resta costante. Quando, invece, un oggetto è più caldo dell’ambiente, irradia più energia di quanta ne assorba e quindi si raffredda. Un dispositivo che risulta utile per capire il secondo principio della termodinamica è la macchina termica. Una macchina termica è un dispositivo che incamera energia sotto forma di calore e, operando in modo ciclico, espelle una frazione di quell’energia sotto forma di lavoro. Per esempio, in una centrale elettrica viene bruciato carbone (o qualche altro combustibile) e l’energia interna risultante viene usata per trasformare l’acqua in vapore. Questo vapore viene convogliato alle pale di una turbina, ponendola in rotazione. Infine, l’energia meccanica associata a questa rotazione viene utilizzata per far funzionare un generatore elettrico. In generale, una macchina termica fa compiere ad una qualche sostanza una trasformazione ciclica durante la quale: (1) la sostanza assorbe energia sotto forma di calore da un termostato ad alta temperatura, (2) viene compiuto lavoro dalla macchina e (3) viene ceduta energia dalla macchina ad un termostato a più bassa temperatura; questa energia in uscita è spesso indicata come energia persa, energia di scarico o inquinamento

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

termico. La macchina, rappresentata schematicamente, assorbe una quantità di calore dal termostato caldo. Poi compie il lavoro

Lmac

e cede l’energia

Qf

al termostato freddo.

Poiché la sostanza compie un ciclo, la sua energia iniziale e finale è la stessa, per cui

. Quindi, dal primo principio,

∫ ¿=Q−L →Qtot =Lmac ∆ E¿

Qc

∫ ¿=0 ∆ E¿

e vediamo che il lavoro compiuto dalla

macchina è uguale all’energia totale assorbita dalla macchina. Come possiamo vedere dalla figura,

Qnet =|Qc|−|Qf|→ Lmac=|Qc|−|Q f| . Se la sostanza impiegata è un gas, il lavoro totale

svolto in una trasformazione ciclica è l’area racchiusa dalla curva che rappresenta la trasformazione in un diagramma PV. Il rendimento

Termostato caldo

η

di una macchina termica è

definito come il rapporto fra il lavoro svolto dalla macchina e l’energia assorbita alla temperatura più alta durante un ciclo:

Lmac Macchina

η=

Lmac |Qc|−|Qf| = =¿ |Qc| |Q c|

|Qf| |Qc|

.

Il

rendimento può essere considerato il rapporto fra ciò che si ottiene e ciò che si spende. Una macchina termica, quindi, avrebbe un rendimento del 100% (

η=1 ) soltanto se

Termostato freddo

¿ 1−

Qf =0 , cioè se non venisse

trasferita energia al termostato freddo. In altre parole, una macchina termica con rendimento unitario trasformerebbe tutta l’energia assorbita in lavoro meccanico. L’enunciato di Kelvin-Planck del secondo principio della termodinamica può esprimersi come segue: “È impossibile costruire una macchina termica che, operando in un ciclo, abbia come unico risultato quello di assorbire energia da un termostato e produrre una uguale quantità di lavoro”. L’essenza di questa forma dell’enunciato è che è teoricamente impossibile costruire una macchina che lavori con il 100% di rendimento: tutte le macchine devono scaricare una parte di energia

Qf

nell’ambiente.

Una trasformazione è detta reversibile se il sistema può ritornare nelle condizioni iniziali lungo lo stesso percorso nel quale ogni punto lungo il cammino sia in uno stato di equilibrio. Una trasformazione che non soddisfi tali requisiti è detta, invece, irreversibile. La maggior 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

parte delle trasformazioni, in natura, sono irreversibili: la trasformazione reversibile è, in realtà, un’idealizzazione. Se una trasformazione reale avviene molto lentamente, di modo che il sistema sia sempre molto vicino all’equilibrio, la trasformazione può essere considerata reversibile. Nel 1824, l’ingegnere francese Sadi Carnot descrisse una macchina, nota oggi come macchina di Carnot, di grande importanza dal punto di vista sia pratico che teorico. Egli mostrò che una macchina termica che opera fra due termostati in un ciclo ideale reversibile, detto ciclo di Carnot, è la macchina con il più alto rendimento possibile. Una tale macchina determina il limite superiore per il rendimento di tutte le macchine. Cioè, il lavoro complessivo svolto da una sostanza sottoposta ad un ciclo di Carnot è la massima quantità di lavoro possibile per una data quantità di energia fornita alla sostanza dal termostato a temperatura più alta. Assumiamo che la sostanza sia un gas perfetto contenuto in un cilindro chiuso da un pistone mobile, con le pareti del cilindro ed il pistone termicamente isolati. Il ciclo consiste di due trasformazioni adiabatiche e due isoterme, tutte reversibili: 

La trasformazione

A →B

è una espansione isotermica alla temperatura

T c , nella

quale il gas è mantenuto in contatto termico con un termostato alla temperatura Durante la trasformazione, il gas assorbe l’energia lavoro 

Qc

Tc .

dal termostato e compie il

L AB sollevando il pistone.

Nella trasformazione

B → C , la base del cilindro viene isolata termicamente ed il gas

si espande adiabaticamente, cioè senza che avvenga alcuno scambio di energia sotto forma di calore. Durante la trasformazione, la temperatura si abbassa dal valore al valore 

Tf

ed il gas compie il lavoro

Nella trasformazione temperatura

Tf

LBC

sollevando il pistone.

C → D , il gas è posto in contatto termico con il termostato a

ed è compresso isotermicamente alla temperatura

Qf

questo tempo, il gas cede la quantità di energia sul gas il lavoro 

Tc

T f . Durante

al termostato e viene compiuto

LCD .

Nella trasformazione finale,

D→ A , la base del cilindro viene di nuovo isolata

termicamente ed il gas è compresso adiabaticamente. La temperatura del gas aumenta al valore

T c ed il lavoro svolto sul gas è

Carnot ha dimostrato che per questo ciclo

LDA .

|Qf | T f = |Qc| T c

, poiché c’è scambio di calore soltanto

nelle due isoterme; quindi, il rendimento di una macchina di Carnot è uguale a

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

ηCarnot =1−

Tf T c ; da questo risultato si ricava che tutte le macchine di Carnot che operano fra

le stesse temperature hanno lo stesso rendimento. Se desideriamo raffreddare una pizza ponendola su un blocco di ghiaccio, la cosa certamente funzionerà, poiché, in ogni caso, l’energia fluisce spontaneamente dal corpo caldo a quello freddo. Eppure, nulla nel primo principio della termodinamica dice che quest’energia non possa trasferirsi in senso contrario. La direzione del fenomeno è stabilita dal secondo principio. Le trasformazioni reali evolvono, infatti, lungo una direzione preferenziale. L’enunciato di Clausius del secondo principio della termodinamica, che si può dimostrare essere equivalente all’enunciato di Kelvin-Planck, recita che “il calore non fluisce spontaneamente da un oggetto freddo ad un oggetto caldo”. Si può anche dimostrare che se è falso uno dei due enunciati, lo è anche l’altro. Un’altra funzione di stato può essere usata per descrivere lo stato termodinamico di un sistema: l’entropia. L’equazione che descrive la macchina di Carnot può essere riscritta come

|Q f| |Qc| Tf

=

Tc

; quindi, il rapporto fra l’energia trasferita in un ciclo di Carnot e la temperatura

(costante) alla quale avviene il trasferimento ha lo stesso valore in entrambe le trasformazioni isoterme. Generalizzando, lasciamo cadere la nozione di valore assoluto ed esprimiamo l’equazione come

−Qf Qc = Tf Tc

(poiché

Qf

è l’energia che esce dal sistema mentre

quella che vi entra. Questa può, a sua volta, essere riscritta come

Ciò suggerisce che il rapporto

Q/T

Qc

è

Qc Qf Q + =0 → ∑ =0 . Tc Tf T

possa avere un significato particolare. Considerando una

trasformazione infinitesima fra due stati di equilibrio di un sistema, se

dQ

è l’energia

trasferita tramite il calore quando il sistema segue un cammino reversibile fra gli stati, la variazione di entropia, indipendentemente dal reale cammino seguito, è uguale a questa energia trasferita tramite il calore lungo il cammino reversibile diviso per la temperatura assoluta del sistema. In simboli,

dS=

dQ T . Da notare che questa equazione non definisce

l’entropia, bensì la sua variazione, che è la quantità significativa nella descrizione di una trasformazione. I sistemi isolati tendono al disordine e l’entropia è una misura di questo disordine. Per capire questo concetto, possiamo introdurre la distinzione fra microstati e macrostati di un sistema, attraverso un paragone con il lancio di dadi. Per due dadi, un microstato è la particolare combinazione di numeri sulle facce superiori (es. 1-3, 2-4); il macrostato, invece, è la somma dei numeri (nei due casi precedenti, 4 e 6). Il numero di microstati associati con un determinato macrostato non è lo stesso per tutti i macrostati, cosicché il macrostato che ha il maggior numero di microstati possibili è il macrostato più probabile. Macrostati altamente probabili (es. ai dadi, 7, che ha ben 6 possibili microstati) sono macrostati disordinati, mentre 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

macrostati di bassa probabilità (es. 2, che ha un solo microstato) sono macrostati ordinati. Quindi, possiamo dire che tutte le trasformazioni fisiche tendono verso stati più probabili per il sistema e per il suo ambiente circostante e che lo stato più probabile è sempre quello con un grado di disordine più alto. Tutto ciò si riflette nella formula per l’entropia a livello microscopico trovata da Boltzmann:

S=k B ln W , dove W è il numero di microstati associati ad un

macrostato la cui entropia è S (e

k B è la costante di Boltzmann).

Poiché l’entropia è una misura del disordine e i sistemi fisici tendono verso macrostati disordinati, possiamo affermare che “l’entropia dell’Universo aumenta in tutte le trasformazioni naturali”. Questo è un altro enunciato del secondo principio della termodinamica (il cosiddetto enunciato entropico), spiegabile attraverso una semplice considerazione: nel caso di trasformazioni irreversibili, l’entropia totale di un sistema isolato aumenta; nel caso di una trasformazione reversibile, l’entropia totale di un sistema isolato rimane costante: essa non può, quindi, in alcun caso, diminuire. Per calcolare la variazione di entropia per una trasformazione finita, dobbiamo tenere presente che T generalmente non è costante. Se dQ è l’energia trasferita reversibilmente tramite il calore quando il sistema si trova a temperatura T, allora la variazione di entropia in una trasformazione arbitraria reversibile fra uno stato iniziale f

ed uno finale è

f

∆ S=∫ dS=∫ i

i

dQ T . La variazione di entropia di un sistema dipende solo dalle

proprietà degli stati iniziale e finale, poiché l’entropia, come l’energia interna, è una funzione di stato. Nel caso di una trasformazione adiabatica, nessuna energia viene trasferita tramite il calore fra il sistema e l’ambiente circostante, quindi

∆ S=0 . Tale trasformazione è, per questo motivo,

detta anche trasformazione isoentropica. In una macchina di Carnot che funzioni fra le temperature

T c e T f , ∆ S=0 all’interno di un ciclo.

Forze Elettriche e Campi Elettrici Un certo numero di semplici esperimenti dimostrano l’esistenza delle cariche elettriche. Gli esperimenti dimostrano pure che esistono due differenti specie di cariche elettriche, chiamate da Benjamin Franklin positiva e negativa. Cariche dello stesso segno si respingono, mentre cariche di segno opposto si attraggono. Un’altra importante caratteristica della carica elettrica è che la carica netta in un sistema isolato si conserva sempre. Esiste anche un principio di conservazione della carica elettrica per un sistema isolato: quando due oggetti inizialmente neutri vengono caricati strofinandoli insieme, nel processo non vengono create cariche, ma gli oggetti divengono carichi in quanto elettroni vengono trasferiti da un corpo all’altro: un oggetto guadagna una certa quantità di carica negativa, mentre l’altro perde la stessa quantità di carica negativa e quindi rimane con una carica positiva. Un’altra proprietà della carica elettrica è la seguente: la carica elettrica posseduta da un oggetto è dovuta ad un eccesso di elettroni oppure ad una mancanza di elettroni, per questo motivo la carica elettrica complessiva di un oggetto è quantizzata in multipli della carica elementare dell’elettrone

e=1.60 ×10−19 C .

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

È possibile per una carica elettrica muoversi da un posto all’altro all’interno di un oggetto: tale moto delle cariche si chiama conduzione elettrica. È conveniente classificare i materiali secondo la capacità delle cariche di muoversi al loro interno: conduttori sono i materiali in cui le cariche si muovono relativamente libere ed isolanti sono i materiali in cui le cariche elettriche non si muovono liberamente. Quando un isolante (es. vetro, bachelite, leucite) è caricato per strofinio, soltanto l’area strofinata si carica e la carica non si muove verso altre zone del materiale. Quando, invece, carichiamo, anche in una zona piccolissima, un conduttore (es. rame, alluminio, argento), la carica si distribuisce rapidamente sull’intera superficie del materiale. Una terza classe di materiali sono i semiconduttori, con proprietà elettriche a metà fra quelle dei conduttori e quelle degli isolanti: le cariche possono muoversi in un semiconduttore (es. silicio, germanio) piuttosto liberamente, ma vi sono molte meno cariche in un semiconduttore che in un conduttore. Quando un conduttore è collegato alla Terra per mezzo di un filo conduttore, si dice che esso è messo a terra; la Terra può, quindi, essere considerata un serbatoio infinito per gli elettroni, nel senso che può ricevere o fornire un numero illimitato di elettroni: in elettrostatica la Terra si comporta in modo analogo a come i termostati si comportano in termodinamica. Tenendo presente ciò, possiamo comprendere come un conduttore possa essere caricato mediante il procedimento noto come carica per induzione. La carica di un oggetto per induzione non richiede alcun contatto con l’oggetto che induce la carica, diversamente dalla carica per strofinio. Un processo simile al fenomeno dell’induzione avviene negli isolanti: nella maggior parte degli atomi e delle molecole neutre, la posizione media della carica positiva coincide con la posizione media della carica negativa. Tuttavia, in presenza di un oggetto carico, queste posizioni possono spostarsi leggermente, a causa delle forze attrattive e repulsive dovute all’oggetto carico. Questo fenomeno è chiamato polarizzazione. Le forze elettriche fra oggetti carichi furono misurate quantitativamente da Charles Coulomb, che confermò che la forza elettrica fra due piccole sfere cariche è proporzionale al reciproco del quadrato della loro distanza. La legge di Coulomb, in simboli, afferma che

Fe =k e re

ke

come

|q 1||q2| r2

, dove

q1

e

q 2 indicano due cariche puntiformi separate da una distanza

è la costante di Coulomb, uguale a

1 4 π ε 0 , dove

ε0

8.99 ×109 N ∙ m2 /C2 , che si può anche scrivere

è la costante dielettrica del vuoto, che ha il valore di

8.8542× 10−12 C 2 /N ∙ m2 . Questa equazione fornisce soltanto il modulo della forza, mentre la direzione ed il verso si devono trovare considerando dove si trovano le particelle ed il loro segno. La legge di Coulomb è valida esattamente solo per cariche puntiformi o particelle (o per oggetti estesi purché si possano assimilare a punti materiali). Il campo gravitazionale gravitazionale

⃗ Fg

⃗g

in un punto dello spazio è stato definito come la forza

agente su una massa di prova

m0

diviso per la massa di prova.

Analogamente, un campo elettrico in un punto dello spazio può essere definito in funzione 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

della forza elettrica agente su una carica di prova

q0

posta in quel punto. Poiché la carica

può avere due diversi segni, dobbiamo scegliere una convenzione per la nostra particella di prova. Scegliamo per convenzione che una particella di prova trasporta sempre una carica

⃗ E

elettrica positiva. Il campo elettrico elettrica

⃗ Fe

in un punto dello spazio è definito come la forza

agente su una carica di prova posta in quel punto diviso per la carica

della particella di prova. In simboli,

⃗ E≡

q0

⃗ Fe q 0 . Quindi, un campo elettrico esiste in un punto se

una particella carica di prova posta a riposo in quel punto subisce una forza elettrica. Poiché la forza è un vettore, anche il campo elettrico lo è. Si noti che il campo elettrico è prodotto da una carica (o più) diversa dalla particella di prova, detta sorgente (così come il campo gravitazionale non è prodotto dalla carica di prova, ma da un oggetto massivo, come la Terra). Pertanto, il campo elettrico esiste indipendentemente che si introduca o no una carica di prova nel campo, che viene usata solo per misurare l’intensità e rivelare l’esistenza del campo. Dobbiamo, quindi, assumere che la carica di prova sia sufficientemente piccola da non perturbare la distribuzione di carica responsabile del campo. Il vettore newton su coulomb (

N /C ) e direzione orientata identica a quella di

⃗ E

ha le unità SI di

⃗ Fe

(poiché abbiamo

detto che, per convenzione, la carica di prova ha carica positiva). Una volta noto il campo elettrico in un punto dello spazio, la forza su qualsiasi particella con carica q posta in quel punto si può calcolare a partire dalla formula

⃗ Fe =q ⃗ E . Il campo

elettrico totale in un dato punto dello spazio, generato da un insieme di particelle cariche, è uguale alla somma vettoriale dei campi elettrici in quel punto generati da tutte le particelle. Questo principio di sovrapposizione deriva direttamente dalla proprietà di sovrapposizione delle forze elettriche. In molti casi pratici, la distanza media di separazione fra le cariche è piccola rispetto a quella dal punto in cui si vuole calcolare il campo; in questi casi, il sistema di cariche può essere considerato continuo, cioè si immagina che il sistema di cariche molto vicine sia equivalente ad una carica totale distribuita con continuità in un dato volume o su una data superficie. Per calcolare il campo elettrico in una distribuzione continua di carica si opera come segue: si divide la distribuzione di carica in piccoli elementi campo elettrico

∆⃗ E

∆ q , assunti puntiformi; poi, si calcola il

nel punto P dovuto ad uno di questi elementi; infine, si calcola il campo

elettrico totale in P, sommando vettorialmente i contributi di tutti gli elementi di carica (ossia applicando il principio di sovrapposizione). In formula, un generico campo elettrico di un elemento

∆q

è dato da

della distribuzione,

∆⃗ Ei =k e

∆ qi r i2

r^ i , dove l’indice i si riferisce all’i-esimo elemento

r i è la distanza dell’elemento dal punto P ed

r^ i

è il versore diretto

dall’elemento di carica verso P. il campo elettrico totale nel punto P è, quindi, uguale a 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

⃗ E ≈ ke ∑ i

∆ qi r i2

P, nel limite

r^ i . Considerando gli elementi di carica infinitesimi, il campo elettrico nel punto

∆ q i → 0 , diventa

⃗ E= lim k e ∑ ∆ qi →0

i

∆ qi ri

2

dq r^ i=k e ∫ 2 r^ , dove dq è una quantità r

infinitesima di carica e l’integrazione è estesa a tutta la carica che crea il campo. Più semplicemente, è conveniente utilizzare il concetto di densità di carica; se una carica Q è uniformemente distribuita in un volume V, la carica per unità di volume ρ è definita da

ρ≡

Q V ; se Q è uniformemente distribuita su una superficie di area A, la densità

superficiale di carica σ è definita come

lungo una linea di lunghezza

σ≡

Q A ; se, infine, Q è uniformemente distribuita

l , la densità lineare di carica λ è definita come

λ≡

Q l .

Una rappresentazione grafica conveniente consiste nel tracciare delle linee che hanno in ogni punto la direzione orientata del campo elettrico; queste linee, chiamate linee di campo, sono legate al campo elettrico in qualunque regione dello spazio nel seguente modo: il vettore campo elettrico

⃗ E

è tangente alle linee di forza in ogni punto ed il numero di linee di forza

per unità di area che attraversano una superficie perpendicolare alle linee stesse è proporzionale all’intensità del campo elettrico in quella regione. Quindi, E è intenso dove le linee sono fitte, è debole dove si diradano. Le linee di forza che rappresentano il campo di forza generato da una carica puntiforme positiva sono dirette dalla carica in tutte le direzioni: nella raffigurazione, si mostrano solo quelle che giacciono nel piano che contiene la carica, ma nella realtà dovrebbero essere come gli aculei di un porcospino. Nel campo elettrico generato da una carica puntiforme negativa, invece, le linee di campo hanno la stessa direzione, ma sono “entranti”, cioè rivolte verso la carica. Le linee di campo nel caso di due cariche puntiformi uguali, ma di segno opposto (dipolo elettrico) sono uscenti dalla carica positiva ed entranti in quella negativa; in questo caso, il numero di linee di forza che hanno origine dalla prima deve eguagliare il numero di quelle che terminano sulla seconda; lo spazio compreso fra le due cariche ha un’alta densità di linee di campo, il che indica una regione in cui il campo elettrico è intenso. Nel caso di due cariche puntiformi positive ed uguali, le cariche sono quasi radiali nelle vicinanze delle due cariche, tuttavia la natura repulsiva della forza elettrica fra le due particelle fa sì che le linee di forza siano tutte dirette verso l’esterno: nessuna linea di campo collega le particelle, benché il numero di linee di campo che esce dalla prima sia uguale a quello che esce dalla seconda, e nello spazio compreso fra le due cariche le linee di campo si incurvano. A grande distanza, il campo è approssimativamente uguale a quello generato da una singola carica puntiforme positiva. Quando una particella di carica q e massa m è posta in un campo elettrico elettrica che agisce sulla carica è data da

⃗ E , la forza

⃗ Fe =q ⃗ E ; se

questa è l’unica forza agente sulla particella, essa è la forza 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

risultante, che causa l’accelerazione della particella. Applicando la legge di Newton, otteniamo che

⃗ E

Se

⃗ Fe =q ⃗ E=m⃗a . L’accelerazione della particella è, quindi, data da

⃗a =

q⃗ E m .

è uniforme, l’accelerazione è costante; se la particella ha carica positiva, la sua

accelerazione sarà nel verso del campo elettrico; se la particella ha carica negativa, la sua accelerazione sarà nel verso opposto. Il campo elettrico può - - - - - - - - - dirsi uniforme nello spazio racchiuso fra due piastre metalliche cariche di segno opposto; supponiamo che un elettrone di carica –e venga sparato orizzontalmente in questo campo con una velocità iniziale

v i i^ : poiché il campo elettrico è

nel verso positivo di y, l’accelerazione dell’elettrone sarà nel verso negativo di y, ovvero, in + + + + + + + +

possiamo

applicare

le

equazioni

⃗a =

simboli,

della

−eE ^ j . Poiché l’accelerazione è costante, me

cinematica:

1 −1 eE 2 y= a y t 2= t . Sostituendo il valore 2 2 me

v y =a y t=

−eE t , me

x=v 0 t

e

t=x / v 0 , vediamo che y è proporzionale ad

x 2 , quindi la traiettoria è una parabola. Inoltre, dopo aver abbandonato il campo elettrico, l’elettrone continua a muoversi di moto rettilineo, seguendo la prima legge di Newton. È da notare che abbiamo trascurato la forza gravitazionale, poiché per un tipico campo elettrico di 4

10 N /C , il rapporto fra il modulo della forza elettrica eE ed il modulo della forza gravitazionale mg, per l’elettrone è nell’ordine di

1014 e per un protone di 1011 .

Introduciamo ora un nuovo concetto, quello di flusso elettrico, una grandezza proporzionale al numero di linee di campo che attraversano una determinata superficie. Consideriamo un campo elettrico uniforme (in modulo ed in direzione e verso) E, le cui linee di campo attraversino una superficie rettangolare di area A, perpendicolare al campo. In questo caso, il numero di linee di campo è proporzionale al prodotto dell’intensità del campo elettrico per la superficie, chiamato appunto flusso elettrico del flusso, è, quindi,

Φ E . In simboli,

Φ E=EA . L’unità di misura

N ∙ m2 /C . Se la superficie considerata non è perpendicolare al campo, il

numero di linee che la attraversano deve essere minore di questo prodotto. La formula, infatti, diventa

Φ E=EA cos ϑ , dove ϑ è l’angolo formato dalla normale alla superficie di area A con

la direzione del campo elettrico uniforme. Da questa formula vediamo come il flusso sia massimo quando la superficie è perpendicolare al campo (per cui la normale è parallela al campo:

ϑ =0 ° → cos ϑ =1 ), mentre esso è nullo quando la superficie è parallela al campo

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

(per cui la normale è perpendicolare al campo:

ϑ =0 ° → cos ϑ =0 ). Nel caso più generale, il

campo elettrico può variare sia in modulo sia in direzione e verso sulla superficie in questione; quindi, suddividiamo la superficie in un gran numero di piccoli elementi, ciascuno di area

∆A

(se

l’elemento

è

sufficientemente

piccolo,

la

variazione

nell’elemento può essere trascurata). Definiamo, quindi, un vettore

di

campo

elettrico

∆⃗ Ai , il cui modulo

rappresenta l’area dell’i-esimo elemento e la cui direzione è, per definizione, perpendicolare alla superficie: il flusso elettrico

∆ ΦE

Ei ∆ A i cos ϑ i =⃗ Ei ∙ ∆ ⃗ Ai

è dato da

(usando la

definizione di prodotto scalare). Il flusso totale è, quindi, dato dalla somma di tutti gli elementi. Facendo tendere l’area di ciascun elemento a zero ed il numero degli elementi ad infinito, la somma è sostituita da un integrale. In formula,

Φ E ≡ lim

ci

possiamo

interessano

soltanto

superfici

Φ E=∮ ⃗ E∙d ⃗ A =∮ En dA , dove

En

chiuse,

∆ A i→ 0

∑ ⃗Ei ∙ ∆ ⃗A i= riscrivere

❑

∫

⃗ E∙d⃗ A . Poiché

la

formula

superficie

come

rappresenta la componente del campo elettrico

normale alla superficie. Il flusso elettrico totale attraverso una superficie chiusa è in relazione con la carica contenuta all’interno di questa superficie tramite il teorema di Gauss. Consideriamo una carica puntiforme positiva q posta al centro di una sfera di raggio r; le linee di campo sono radiali ed hanno verso uscente, per cui sono normali alla superficie in ogni punto. Cioè, in ogni punto

⃗ E

è parallelo al vettore

∆⃗ Ai , che rappresenta l’elemento locale di area

per tutti i punti della superficie,

⃗ E ∙ ∆ A i=En ∆ A i=E ∆ Ai

∆ Ai . Quindi,

ed il flusso totale è uguale a

Φ E=∮ E n dA=∮ EdA=E∮ dA=EA , poiché E è costante sull’intera superficie. Poiché l’intensità del campo elettrico ovunque sulla superficie della sfera è uguale ad poiché la superficie di una sfera è uguale ad

Φ E=EA=

ke q

( ) r

2

( 4 π r 2 ) =4 π k e q

questa relazione come

Φ E=

E=k e q/r

2

e

A=4 π r 2 , il flusso totale diventa:

. Ricordando, poi, che

k e=

1 4 π ε 0 , possiamo scrivere

q ε 0 . Questo risultato ci dice che il flusso totale attraverso una

superficie sferica è proporzionale alla carica all’interno della superficie, indipendentemente da r. in effetti, il flusso totale che attraversa una qualunque superficie chiusa (non per forza una sfera) che circonda una carica puntiforme q è dato da

q /ε 0 ; inoltre, poiché potremmo

scegliere anche una superficie sferica che circonda una carica che non è posta al centro della sfera, possiamo dedurre che il flusso attraverso la superficie è indipendente dalla posizione 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

della carica all’interno della superficie. Considerando, invece, una carica posta al di fuori di una superficie chiusa, poiché il numero di linee di forza che entrano nella superficie è identico al numero di quelle che ne escono, il flusso elettrico totale che attraversa una superficie chiusa che non circonda alcuna carica è nullo. Dunque, il teorema di Gauss, che è una generalizzazione della discussione precedente, afferma che il flusso totale attraverso una qualunque superficie chiusa è dato da

q Φ E=∮ ⃗ E∙d ⃗ A = ¿ , dove ε0

q¿

rappresenta la carica

totale interna alla superficie. In linea di principio, il teorema di Gauss può essere utilizzato sempre. In pratica, però, la tecnica è utile solo in un limitato numero di casi in cui vi sia un alto grado di simmetria: in particolare, le superfici per cui il teorema è valido, dette superfici Gaussiane, prevedono simmetria sferica, cilindrica o piana. Ad ogni modo, la superficie gaussiana è una superficie matematica e non è necessario che corrisponda ad una superficie fisica.

Potenziale Elettrico e Capacità Poiché la forza elettrostatica o di Coulomb è conservativa, i fenomeni elettrostatici possono essere convenientemente descritti in termini di una funzione energia potenziale elettrica, che ci permette a sua volta di definire una quantità, detta potenziale elettrico, che è una funzione scalare della posizione. In particolare, quando una carica puntiforme campo elettrico

⃗ E , la forza elettrica agente su di essa è

q0

è immersa in un

q0 ⃗ E . Questa forza è la somma

vettoriale delle singole forze esercitate dalle cariche che generano il campo. Poiché le singole forze, governate dalla legge di Coulomb, sono conservative, lo è anche la forza Quando, quindi, la carica

q0

q0 ⃗ E .

si muove all’interno del campo, sollecitata dalla forza elettrica

all’interno del campo elettrico, il campo compie lavoro sulla carica. Per un infinitesimo spostamento

d ⃗s , il lavoro compiuto dal campo elettrico sulla carica è

⃗ Fe ∙ d ⃗s=q0 ⃗ E ∙ d ⃗s . Il

lavoro svolto dal campo elettrico sulla particella carica varia l’energia potenziale del sistema isolato carica-campo di una quantità particella di prova di carica

q0

dU =−dL=−q0 ⃗ E ∙ d ⃗s . Per uno spostamento finito della

fra i punti A e B, la variazione di energia potenziale del B

sistema carica-campo è

∆ U =U B −U A =−q0∫ ⃗ E ∙d s⃗ . Questo integrale non dipende dal A

cammino seguito per andare da A a B, poiché la forza

q0 ⃗ E

è conservativa.

Poiché l’energia potenziale dipende sia dalle cariche che generano il campo sia dalla carica di prova

q 0 , è più conveniente introdurre una nuova grandezza che sia indipendente dalla

carica di prova. Questa grandezza è il potenziale elettrico, corrispondente all’energia

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

U q0 . Poiché l’energia

V≡

potenziale elettrica per unità di carica di prova. In simboli,

potenziale è uno scalare, lo è anche il potenziale. Inoltre, esso non è una proprietà del sistema carica-campo, poiché abbiamo diviso per la carica, bensì è una proprietà soltanto del campo.

∆ V =V B−V A

La differenza di potenziale (chiamata anche tensione o voltaggio)

fra i

punti A e B è definita come la variazione di energia potenziale del sistema carica-campo, quando la carica di prova

q0

si muove fra i due punti, divisa per la carica

q0

della

B

particella di prova. In simboli,

∆U ∆V= =−∫ ⃗ E ∙ d ⃗s . È da notare che questa formula q0 A

definisce soltanto la differenza di potenziale: la funzione potenziale elettrica è spesso presa uguale a zero in un punto conveniente, chiamato terra o massa. Abitualmente, fissiamo il potenziale dovuto ad una o più cariche sorgenti uguale a zero in un punto posto all’infinito. Con questa scelta, diciamo che il potenziale elettrico di un punto arbitrario è uguale al lavoro per unità di carica necessario per portare una particella di prova dall’infinito al punto, diviso per la

V A =0

carica della particella di prova. In questo modo, se prendiamo

all’infinito, il

P

potenziale in ogni punto P sarà uguale a

V P =−∫ ⃗ E ∙ d ⃗s , essendo ∞

V P , in realtà, la

differenza di potenziale fra il punto P ed un punto all’infinito. L’unità di misura del potenziale è il volt (V), equivalente ad

1 J /C ; cioè, se poniamo una particella con carica di 1C in un

campo elettrico ed essa si muove da un punto a potenziale più alto ad uno a potenziale più basso attraverso una differenza di potenziale di 1V, il campo avrà svolto 1J di lavoro su di essa ed essa raggiungerà un’energia cinetica di 1J. Inoltre, la differenza di potenziale ha anche le dimensioni del campo elettrico moltiplicato per una distanza; da questo consegue che il campo elettrico, oltre che in

N / C , si può anche esprimere come

V /m , il che suggerisce che il

campo elettrico può essere interpretato come la derivata spaziale del potenziale elettrico. Un intenso campo elettrico corrisponde ad un potenziale che varia rapidamente nello spazio, mentre un debole campo elettrico rappresenta un potenziale che varia lentamente. Un’unità

d’energia

comunemente

usata

in

1 eV =( 1 e )( 1 V )=( 1.60 ×10−19 C ) ( 1 J /C ) =1.60× 10−19 J .

fisica Un

è eV

l’elettronvolt è

l’energia

(eV). cinetica

guadagnata da una particella con carica e accelerata attraverso una differenza di potenziale di 1V. Nonostante il nome possa trarre in inganno, quindi, l’elettronvolt non è un’unità di potenziale elettrico, ma di energia potenziale. In un campo elettrico uniforme, diretto lungo l’asse y negativo, la differenza di potenziale fra due punti A e B separati da una distanza d, misurata parallelamente alle linee di campo, è B

uguale a

B

B

∆ V =−∫ ⃗ E ∙ d ⃗s =−∫ E cos 0 ° ds=−∫ Eds . Ma poiché E è costante, può essere A

1 Dispensa di Fisica Medica

A

A

MV

B

portato fuori dal segno di integrale:

∆ V =−E ∫ ds=−Ed , in cui il segno meno deriva dal A

fatto che il punto B si trova ad un potenziale minore del punto A: in generale, le linee di campo elettrico sono sempre dirette nella direzione di un potenziale elettrico decrescente. Supponiamo, ora, che una particella di prova con carica dell’energia

potenziale

elettrica

del

sistema

q 0 si muova da A a B; la variazione

carica-campo

∆ U =q0 ∆ V =−q0 Ed . Da questo risultato vediamo che se

si

q0

può

calcolare

è positivo,

come

∆U

è

negativo. Quindi, quando una carica positiva si muove nel verso del campo elettrico, l’energia potenziale elettrica del sistema carica-campo diminuisce, analogamente ad un oggetto che cade da un’altezza d in un campo gravitazionale (uniforme). Inoltre, se una particella carica positivamente

q0

forza elettrica

q0 ⃗ E

è abbandonata in un campo elettrico uniforme

⃗ E , essa subisce una

nella direzione (e verso) del campo elettrico, guadagnando energia

cinetica. Poiché la particella guadagna energia cinetica, il sistema carica-campo perde una uguale quantità di energia potenziale. Questo risultato è anch’esso analogo al caso gravitazionale ed è l’affermazione del principio di conservazione dell’energia meccanica nel caso di un sistema isolato costituito da una carica immersa in un campo elettrico. Viceversa, se

q 0 è negativa,

∆U

è positiva e, se abbandonata in quiete nel campo

⃗ E ,

essa viene accelerata nel verso opposto a quello del campo elettrico ed il sistema caricacampo perde energia potenziale elettrica (questo caso non ha un analogo nel campo gravitazionale, poiché la massa è sempre positiva). Infine, questi risultati dimostrano che tutti i punti che giacciono in un piano perpendicolare ad un campo elettrico uniforme si trovano allo stesso potenziale; una qualunque superficie costituita da un insieme di punti allo stesso potenziale elettrico è detta superficie equipotenziale. Una carica puntiforme positiva isolata q produce un campo elettrico radiale uscente dalla carica il cui potenziale elettrico a distanza r è pari a

V =k e

q r . Da ciò si deduce che V è

costante su una superficie sferica di raggio r: infatti, le superfici equipotenziali per una particella puntiforme isolata sono rappresentate da una famiglia di sfere concentriche alla carica; si noti che esse sono perpendicolari alle linee di campo, come accade per un campo elettrico uniforme. Il potenziale elettrico generato da una o più cariche puntiformi si ottiene applicando il principio di sovrapposizione: il potenziale in un punto P dovuto a più cariche puntiformi è la somma (algebrica, non vettoriale) dei potenziali dovuti alle singole cariche. In formula,

V =k e ∑

dovuto alla carica

i

qi r i , assumendo il potenziale nullo all’infinito. Se

V2

è il potenziale

q 2 in un punto P, il lavoro necessario per portare una seconda carica

dall’infinito a P senza accelerazione è dato da

q1

q1 V 2 . Questo lavoro corrisponde all’energia

immagazzinata nel sistema, ovvero all’energia potenziale elettrica di una coppia di

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

particelle cariche, data da

U=q1 V 2=k e

q1q2 r 12 . Si noti che se le cariche sono di segno

uguale, U è positiva: ciò è consistente col fatto che cariche uguali si respingono, e quindi bisogna compiere un lavoro positivo sul sistema per avvicinarle. Al contrario, se le cariche sono di segno opposto, si attrarranno e l’agente esterno deve compiere un lavoro negativo per evitare che la carica

q1

acceleri su

q2 .

Il potenziale elettrico dovuto ad una distribuzione continua di carica può essere calcolato considerando il potenziale generato da un piccolo elemento

puntiforme; il potenziale

dV

dq

in un certo punto P dovuto a dq è quindi

come una carica

dV =k e

dq r . Per

ottenere il potenziale totale integriamo l’equazione per sommare i contributi di tutti gli elementi della distribuzione di carica. In formula,

V =k e ∫

dq r .

Quando un conduttore in equilibrio elettrostatico è carico, la carica è distribuita sulla superficie esterna del conduttore. Inoltre, il campo elettrico nelle vicinanze immediate della superficie di un conduttore in equilibrio elettrostatico è perpendicolare alla superficie, mentre il campo all’interno del conduttore è nullo. Ogni punto sulla superficie di un conduttore carico, inoltre, si trova allo stesso potenziale, poiché per due punti sulla sua superficie perpendicolare allo spostamento

d ⃗s , per cui

⃗ E

è sempre

⃗ E ∙ d ⃗s=0 . Quindi, la differenza di potenziale

fra due punti sulla superficie di un conduttore carico è necessariamente zero. Una tale superficie è, quindi, equipotenziale. Inoltre, poiché il campo elettrico all’interno è nullo, possiamo concludere che il potenziale all’interno è costante dovunque ed uguale al suo valore sulla superficie. Quindi, non è necessario compiere lavoro per muovere una carica di prova dall’interno di un conduttore carico fin sulla superficie. Un circuito elettrico consiste di un certo numero di componenti elettrici (o elementi circuitali), collegati fra di loro da fili conduttori, a formare uno o più circuiti chiusi, che si possono considerare come sistemi che mostrano un particolare comportamento. Uno degli elementi di circuito più importanti è il condensatore. Un condensatore consiste di due conduttori di forma qualsiasi, con cariche opposte di segno ma uguali di modulo, tra i quali è stabilita una differenza di potenziale. Il condensatore, dunque, immagazzina cariche (collegando i due conduttori scarichi ai poli di una batteria). La differenza di potenziale

∆V

ai capi di un condensatore è il modulo della differenza di potenziale fra i due conduttori, proporzionale alla carica

Q

del condensatore, definita come la quantità di carica presente

su una delle due armature. La capacità

C

di un condensatore è definita come il rapporto

fra la carica del condensatore ed il valore assoluto della differenza di potenziale ai capi del condensatore, ovvero è una misura della quantità di carica che può essere immagazzinata in

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

un dato condensatore, per una certa differenza di potenziale. In simboli,

C≡

Q ∆ V . Per

definizione, la capacità è una grandezza sempre positiva; inoltre, per un dato condensatore, la quantità

Q/∆ V

è costante, poiché la differenza di potenziale è proporzionale alla carica.

L’unità di misura della capacità è il farad ( F ), equivalente ad

1C /V , così chiamato in

onore di Michael Faraday. Il farad è un’unità di misura molto grande: nella pratica, i condensatori hanno capacità nell’ordine del

μF

o

pF . La capacità di un condensatore

dipende dalle caratteristiche geometriche dei conduttori. Un condensatore piano, per esempio, costituito da due piastre parallele della stessa area A, separate da una distanza D, ha una capacità C che dipende appunto dall’area e dalla distanza, cosa che appare alquanto intuitiva. In simboli,

C=

ε0 A d . Un condensatore cilindrico, invece, è costituito da un

conduttore cilindrico di raggio a e carica Q contenuto in un altro conduttore cilindrico coassiale

l

C= di raggio b e carica –Q. La sua capacità è data da

2 k e ln

( ba )

, dove

l

è la lunghezza

del dispositivo. Un esempio di tale condensatore è un cavo coassiale, costituito appunto da due conduttori cilindrici separati da un isolane. Il cavo è percorso da correnti di verso opposto nei conduttori interno ed esterno. Questa geometria viene usata allo scopo di schermare il segnale elettrico da influenze esterne. Nei circuiti elettrici, due o più condensatori possono essere collegati in vari modi ed è possibile calcolare la capacità equivalente di queste combinazioni. Due condensatori possono essere collegati in parallelo secondo questo procedimento: le armature di sinistra di entrambi i condensatori sono collegate mediante un filo conduttore al polo positivo di una batteria e sono, quindi, al suo stesso potenziale. Analogamente, le armature di destra sono collegate al polo negativo della batteria e sono quindi al suo stesso potenziale. La tensione applicata ai capi della combinazione e la tensione applicata ai capi di ciascun condensatore sono, quindi, la stessa tensione dei morsetti della batteria. Le armature di sinistra diventano, quindi, cariche positivamente, mentre quelle di destra si caricano negativamente. Quando la tensione ai capi è uguale a quella ai terminali della batteria, il flusso di cariche cessa. A questo punto, i condensatori hanno raggiunto la loro carica massima, che chiamiamo totale immagazzinata nei due condensatori è, dunque, pari a equivalente che abbia una capacità equivalente

C eq

Q1 e

Q 2 . La carica

Q=Q1 +Q2 . Un condensatore

deve avere sul circuito esattamente lo

stesso effetto dei due condensatori in parallelo, cioè deve accumulare una carica Q e la sua tensione deve essere uguale a

Q1=C 1 ∆ V

e

∆ V . Per cui,

Q2=C 2 ∆V .

1 Dispensa di Fisica Medica

Sostituendo

Q=C eq ∆ V queste

MV

e, per i singoli condensatori, relazioni,

si

ottiene

che

C eq ∆ V =C 1 ∆V + C2 ∆ V , ossia, per due (o più) condensatori collegati in parallelo, la capacità equivalente è pari alla somma algebrica delle singole capacità ed è maggiore di quella di ciascuno dei singoli condensatori. In simboli,

C eq=C 1+C2 +C 3+⋯ .

Due condensatori possono anche essere collegati in serie. In questo caso, il valore assoluto della carica è lo stesso su tutte le armature. Infatti, subito dopo l’inserimento della batteria nel circuito, l’armatura di destra di

C1

e quella di sinistra di

C2

formano un conduttore

isolato, per cui qualsiasi carica negativa entri in un’armatura dal filo di collegamento deve essere uguale alla carica positiva dell’altra armatura, per mantenere la neutralità del conduttore isolato: ciò è l’equivalente del modello del sistema isolato per la carica elettrica. La capacità di un conduttore equivalente, che svolga la stessa funzione del collegamento in serie, quindi, deve consentire una carica

sinistra. In formula,

C2

∆V=

−Q

sull’armatura destra ed una

Q C eq . Poiché l’armatura di destra di

su quella

e l’armatura di sinistra di

formano un conduttore isolato, ambedue le armature si trovano allo stesso potenziale

V i . Chiamando il potenziale dell’armatura sinistra di C2

destra di

Vi

sottraiamo

∆V1

e

C1

V sinistra

e quello dell’armatura

V destra , la differenza di potenziale tra di loro, poiché esse sono collegate

direttamente alla batteria, deve essere uguale a

dove

C1

+Q

a questa equazione, otteniamo

∆V2

∆ V =V sinistra−V destra . Se sommiamo e

∆ V = ( V sinistra−V i ) + ( V i−V destra ) =∆ V i + ∆V 2 ,

sono le differenze di potenziale ai capi dei condensatori

C1

e

C2 .

In generale, la differenza di potenziale ai capi di un qualsiasi numero di condensatori in serie è uguale alla somma delle differenze di potenziale ai capi dei singoli condensatori. Poiché la relazione

Q=C ∆ V

può essere applicata a ciascun condensatore, la differenza di potenziale

ai capi di ognuno di essi è data da

∆ V 1=

Q C1

e

∆ V 2=

Q C 2 . Eliminando

∆V

e

semplificando Q, otteniamo la relazione secondo cui il reciproco della capacità equivalente è la somma algebrica delle singole capacità e, quindi, la capacità equivalente di un collegamento in serie è sempre minore delle capacità dei singoli condensatori. In simboli,

1 1 1 1 = + + +⋯ . C eq C 1 C2 C 3 In tutti i contesti in cui fluisce una carica, si dice che vi è una corrente. Supponendo che le cariche si muovano perpendicolarmente ad una superficie di area

A

(per esempio, la

sezione trasversale di un filo), la corrente elettrica è definita come la rapidità con cui la 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

carica elettrica fluisce attraverso questa superficie. In simboli, nel tempo, la corrente istantanea è il limite per

precedente. In simboli, equivalente ad

i≡ lim

∆t→ 0

∆t

i med=

∆Q ∆ t . Se la rapidità varia

tendente a zero dell’espressione

∆ Q dQ = A ), ∆t dt . L’unità di corrente nel SI è l’ampere (

1C /s , ossia 1 A di corrente equivale al passaggio della carica di 1 C

attraverso una superficie in 1 s. Per convenzione, si sceglie come verso positivo della corrente quello in cui fluisce la carica positiva, indipendentemente dal segno reale della particelle in moto. Per esempio, in un filo di rame, dove la corrente è dovuta al moto di elettroni, carichi negativamente, il verso della corrente è opposto a quello del flusso degli elettroni. Viceversa, per un fascio di protoni in un acceleratore di particelle, la corrente ha lo stesso verso del moto dei protoni. Per un campo elettrico uniforme in un conduttore di sezione uniforme, la differenza di potenziale ai capi del conduttore è proporzionale al campo elettrico; allora, quando una differenza di potenziale viene applicata agli estremi di un conduttore metallico, la corrente nel conduttore è proporzionale alla tensione applicata, cioè

i∝∆ V . Questa costante di

proporzionalità è la resistenza R del conduttore, definita appunto come il rapporto fra la tensione ai capi del conduttore e la corrente elettrica che esso trasporta. In simboli, . L’unità di misura della resistenza è il volt su ampere, chiamato ohm (

R≡

∆V i

Ω ). Ossia, se la

differenza di potenziale di 1 V ai capi di un conduttore determina una corrente di 1 A, la resistenza del conduttore è di 1 Ω. Per molti materiali, inclusi la maggior parte dei metalli, gli esperimenti dimostrano che la resistenza è costante su un grande intervallo di tensioni applicate. Questo comportamento è noto come legge di Ohm, da Georg Simon Ohm, il primo a condurre uno studio sistematico sulla resistenza elettrica. La legge di Ohm non è una legge fondamentale della natura, ma una relazione empirica valida soltanto per certi materiali e certi dispositivi e soltanto in un campo limitato di condizioni. I materiali o dispositivi che obbediscono alla legge di Ohm e presentano, quindi, una resistenza costante in un grande intervallo di tensioni, si chiamano ohmici. Un resistore è un semplice elemento circuitale che fornisce una specifica resistenza in un circuito elettrico. La tensione ai capi di un resistore è il prodotto della resistenza e della corrente nel resistore. La resistenza di un filo conduttore ohmico è proporzionale alla sua lunghezza

inversamente proporzionale alla sua sezione proporzionalità

ρ

A . Cioè,

R= ρ

l

ed

l A , dove la costante di

è chiamata resistività del materiale ed ha unità ohm per metro (

Ω ∙m

). Ogni materiale ohmico ha una specifica resistività, parametro che dipende dalle proprietà del

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

materiale e dalla temperatura. Il reciproco della resistività è definito conducibilità

σ .

Quindi, la resistenza di un conduttore ohmico si può anche esprimere in termini della sua

R=

conducibilità come

l σA . La resistenza di un conduttore è, quindi direttamente

proporzionale alla sua lunghezza ed inversamente proporzionale analogamente al flusso di un liquido attraverso un condotto.

alla

sua

sezione,

La resistività dipende da numerosi fattori, uno dei quali è la temperatura. Per la maggior parte dei metalli, in un intervallo limitato di temperature, la resistività varia in maniera approssimativamente lineare, secondo la legge della variazione della resistività con la temperatura

ρ= ρ0 [ 1+ α ( T −T 0 ) ] , dove

gradi Celsius),

ρ0

20 ° C ) ed

α=

α

ρ

è la resistività ad una certa temperatura T (in

è la resistività ad una temperatura di riferimento

T0

(ordinariamente

è il coefficiente termico della resistività, che può essere espresso come

1 ∆ρ ρ0 ∆ T . Poiché la resistenza è proporzionale alla resistività, la variazione della

resistenza con la temperatura può essere scritta come

R=R 0 [ 1+ α ( T −T 0 ) ] . Esiste una

classe di metalli e composti per cui la resistenza diventa zero al di sotto di una particolare temperatura critica

T c . Essi sono noti come superconduttori.

Quando una carica passa attraverso un resistore, il sistema perde energia potenziale elettrica. Ovviamente, il sistema riacquista questa energia quando la carica attraversa la batteria, a spese dell’energia chimica della batteria. La rapidità con cui il sistema perde energia potenziale quando la carica passa attraverso il resistore è uguale alla rapidità con cui il sistema guadagna energia interna nel resistore e rappresenta la potenza elettrica

W =i∆ V .

Questa equazione si può usare per determinare la potenza trasferita da una sorgente di tensione a qualsiasi dispositivo che trasporti una corrente potenziale

come

∆V

W =i2 R=

i

avente una differenza di

ai suoi capi. Possiamo esprimere la potenza fornita ad un resistore anche

( ∆ V )2 . L’unità di potenza è sempre il Watt ( W ); l’unità di energia usata R

dalle società elettriche per calcolare il trasferimento di energia è il kilowattora, che è la quantità di energia trasferita in 1 ora alla potenza costante di 1 kW. L’entità che mantiene costante la tensione si chiama sorgente di f.e.m. (abbreviazione di forza elettromotrice, termine scorretto, poiché essa non è una forza, bensì una differenza di potenziale). Le sorgenti di f.e.m. sono costituite da qualsiasi dispositivo che aumenta l’energia potenziale di un sistema circuitale mantenendo una differenza di potenziale tra punti del circuito mentre le cariche si muovono lungo il circuito stesso. Si può pensare, quindi, ad una 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

sorgente di f.e.m. come ad una “pompa di carica”. La f.e.m. di una sorgente esprime il lavoro svolto per unità di carica e, quindi, la sua unità di misura nel SI è il volt. Ma la differenza di potenziale ai capi di una batteria non è uguale alla f.e.m. della batteria, poiché una batteria reale contiene sempre una resistenza interna r. Di conseguenza, la tensione ai capi della batteria è data da

∆ V =f . e . m.−ir ; la f.e.m. è, quindi, uguale alla differenza di potenziale

a circuito aperto, cioè la tensione quando la corrente è zero. Si osserva che la tensione ai capi

∆V

deve essere uguale anche alla differenza di potenziale ai capi della resistenza esterna

R , chiamata resistenza di carico; cioè,

∆ V =iR . Mettendo a sistema questa e

l’equazione precedente, otteniamo la relazione

seguente relazione per la corrente: dalla resistenza esterna se

R

R

f . e . m. R+r . Ciò dimostra che la corrente dipende sia

alla batteria che da quella interna

è molto più grande di

trascuriamo

i=

f . e . m .=IR+ Ir , da cui si ottiene la

r . Si può notare anche che

r , possiamo adottare un modello semplificato in cui

r .

Quando due o più resistori sono collegati insieme in modo che abbiano un solo estremo in comune per ogni coppia, si dice che sono collegati in serie; è importante notare che la carica

Q

che passa nei due resistori è la stessa, poiché la carica che fluisce attraverso

essere uguale a quella che fluisce attraverso

R1 deve

R2 . Poiché la stessa quantità di carica passa

attraverso entrambi i resistori in un dato intervallo di tempo, anche la corrente è la stessa in entrambi i resistori. Quindi, la differenza di potenziale applicata è uguale a

∆ V =i R1 +i R2 =i ( R1 +R2 ) ; la differenza di potenziale è, quindi, applicata anche alla resistenza equivalente:

∆ V =i Req . Mettendo insieme queste equazioni, vediamo che

possiamo sostituire i due resistori in serie con una sola resistenza equivalente il cui valore è la somma

delle

singole

resistenze:

∆ V =i Req =i ( R 1+ R 2) → Req =R1+ R2 .

La

resistenza

equivalente di un insieme di resistori collegati in serie è uguale alla somma algebrica delle singole resistenze ed è sempre maggiore di ciascuna di esse. In simboli,

Req =R1 + R2 + R3 +⋯

. Consideriamo ora due resistori collegati in parallelo: in questo caso, la differenza di potenziale ai capi dei resistori è la stessa, poiché ciascun resistore è collegato direttamente ai capi della batteria. Invece, la corrente in ciascun resistore è generalmente diversa. Quando le cariche arrivano al primo nodo, la corrente si divide in due parti,

R1

ed

i 2 che passa attraverso

1 Dispensa di Fisica Medica

R2 . Se

R1

è maggiore di MV

i1

che passa attraverso

R2 ,

i 1 sarà minore di

i 2 . Naturalmente, per la legge della conservazione della carica, la corrente nel nodo deve essere uguale alla corrente totale che ne esce. In simboli,

i

i=i 1+i 2 . Poiché la

differenza di potenziale ai capi di ogni resistore deve essere la stessa, dalla legge

si ottiene:

i=i 1+i 2=

∆V ∆V 1 1 ∆V + =∆ V + = R1 R2 R1 R2 R eq , dove

(

)

Req

che entra

i=∆ V /R

è una singola resistenza

equivalente che ha lo stesso effetto sul circuito; cioè, essa fa sì che vi sia la stessa corrente nella batteria. Da questo risultato si ottiene che il reciproco della resistenza equivalente di due o più resistori collegati in parallelo è uguale alla somma algebrica dei reciproci delle singole resistenze e la resistenza equivalente è sempre minore della più piccola resistenza dell’insieme. In simboli,

1 1 1 1 = + + +⋯ . R eq R 1 R2 R3

Come abbiamo visto, circuiti semplici possono essere analizzati usando l’equazione

∆ V =iR

e le regole per i collegamenti in serie e in parallelo dei resistori. Tuttavia, i resistori possono essere collegati in modo tale che i circuiti non possano essere ridotti ad un singolo resistore equivalente. Il procedimento per analizzare circuiti complessi è enormemente semplificato con l’uso di due semplici regole, dette leggi di Kirchhoff: la prima, spesso chiamata legge dei nodi, afferma che la somma delle correnti che entrano in un nodo è uguale alla somma delle correnti che ne escono; in simboli,

∑ I =0 nodi

. La seconda, invece, detta legge delle maglie,

afferma che la somma delle differenze di potenziale ai capi di ogni elemento all’interno di una maglia deve essere uguale a zero; in simboli,

∑

∆ V =0

maglie

. La legge dei nodi è una

conseguenza della conservazione della carica: qualsiasi corrente entri in un dato punto di un circuito, deve poi lasciare quel punto, poiché la carica non può nascere o scomparire in un punto. La seconda legge è, invece, una conseguenza della conservazione dell’energia: supponendo che una carica si muova in un qualsiasi percorso chiuso in un circuito, il circuito deve guadagnare e perdere la stessa quantità di energia.

Forze e Campi Magnetici Il fenomeno del magnetismo era conosciuto già dai Greci nell’800 a.C. e la bussola, strumento che sfrutta questo fenomeno, pare fosse utilizzata in Cina già dal XIII secolo a.C. A differenza delle cariche elettriche, che possono essere isolate, i poli magnetici si trovano sempre a coppie: ogni pezzetto di magnete permanente, tagliato un numero grandissimo di volte, sarà sempre un dipolo magnetico. I poli sono chiamati Nord (N) e Sud (S). Hans Christian Oersted, nel 1819, scoprì poi la relazione fra elettricità e magnetismo, notando che una corrente elettrica che percorre un filo fa deflettere un ago magnetico che si trovi nelle vicinanze. È conveniente descrivere le interazioni fra oggetti carichi in termini di campi elettrici che circondano cariche elettriche stazionarie. Lo spazio che circonda una carica elettrica in moto, invece, è sede di un campo magnetico, oltre che di un campo elettrico. La direzione ed il 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

⃗ B

verso di un campo magnetico

in ogni punto è la direzione verso cui punta il polo nord

dell’ago di una bussola in quel punto. Si può tracciare il campo magnetico di una sbarretta magnetica con l’aiuto di una bussola, definendo una linea di campo magnetico, analogamente a quanto fatto per il campo elettrico. L’esistenza di un campo magnetico in un certo punto dello spazio può essere determinata misurando la forza

⃗ FB

che si esercita su una appropriata

particella di prova (elettricamente carica, per esempio un protone) posta in quel punto. Si trova sperimentalmente che la forza magnetica è proporzionale alla carica velocità

v

q

ed al modulo della

della particella. Inoltre, quando una particella carica si muove parallelamente al

vettore campo magnetico, la forza magnetica che agisce sulla carica è nulla, mentre quando il vettore velocità forma un angolo

⃗v

direzione perpendicolare sia a piano formato da

⃗v

e

ϑ con il campo magnetico, la forza magnetica agisce in che a

⃗ B : cioè, la forza magnetica è perpendicolare al

⃗ B . Inoltre, si trova sperimentalmente che la forza magnetica su

una carica negativa è diretta in verso opposto a quella che agisce su una carica positiva che si muova nello stesso verso. Questi risultati mostrano che la forza magnetica agente su una particella è più complicata della forza elettrica. Queste osservazioni si possono riassumere in una forma compatta: (T), uguale ad

1 N ∙ s /C ∙ m . Il modulo della forza magnetica è, quindi, uguale a

: è, quindi, massima (

⃗v

⃗ F B=q ⃗v × ⃗ B . L’unità di misura nel SI del campo magnetico è il tesla

|q| vB

) quando

è parallela o antiparallela a

⃗ B

⃗v

è perpendicolare a

|q| vB sin ϑ

⃗ B ; è, invece, nulla quando

( ϑ =0 ° o 180 ° ). La direzione ed il verso si ricavano

con la regola della mano destra. La forza magnetica che agisce su una particella carica in moto in un campo magnetico è perpendicolare alla velocità della particella e, di conseguenza, il lavoro svolto dalla forza magnetica sulla particella è zero. Consideriamo il caso di una particella carica positivamente che si muova in un campo magnetico uniforme quando il vettore velocità iniziale della particella è perpendicolare al campo. La particella si muove lungo una traiettoria circolare il cui piano è perpendicolare al campo magnetico. Il raggio della traiettoria può essere determinato con l’applicazione della seconda legge di Newton:

∑ F=F B =ma→ qvB=

m v2 mv → r= r qB ; il

raggio della traiettoria è, quindi, proporzionale alla quantità di moto della particella ed inversamente proporzionale alla sua carica e all’intensità del campo magnetico. Il periodo del moto è uguale alla lunghezza della circonferenza diviso per la velocità della particella. In simboli,

T=

2 πr 2 π 2 πm = = v ω qB . Questi risultati mostrano che la velocità angolare della

particella ed il periodo del moto circolare non dipendono dalla velocità traslazionale della particella o dal raggio dell’orbita di una data particella in un campo magnetico uniforme. La

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

ω

velocità angolare

è spesso indicata come frequenza di ciclotrone, poiché particelle

cariche ruotano con questa velocità angolare in un tipo di acceleratore chiamato ciclotrone. Se una particella carica si muova in un campo magnetico uniforme con la sua velocità che forma un certo angolo con

x , non c’è alcuna componente della forza nella direzione

nella direzione conseguenza, magnetica

⃗ B , la sua traiettoria è elicoidale. Per esempio, se il campo è

a x =0

q ⃗v × ⃗ B

e la componente

x

x . Di

della velocità rimane costante. Tuttavia, la forza

fa variare nel tempo le componenti

vy

e

vz

ed il moto risultante è

un’elica che ha il suo asse parallelo al campo magnetico. Poiché su una singola particella carica che si muove in un campo magnetico esterno si esercita una forza magnetica, non dovrebbe meravigliare che anche un filo percorso da corrente sia soggetto ad una forza magnetica quando venga posto in un campo magnetico esterno. Tutto ciò deriva dal fatto che la corrente non è altro che un insieme di molte particelle cariche in movimento, quindi la forza magnetica risultante sul filo è dovuta alla somma di tutte le singole forze magnetiche sulle particelle cariche. Si può osservare la forza magnetica che agisce su un filo percorso da corrente sospendendo un filo tra le facce di un magnete. Il filo si piega a sinistra o a destra quando è attraversato da corrente (a seconda del verso stesso della corrente). Per rendere questa discussione quantitativa, possiamo esprimere la forza magnetica su un conduttore percorso da corrente come verso della corrente

⃗ F B=i ⃗l × ⃗ B , dove

⃗l

è un vettore diretto nel

i , il cui modulo è uguale alla lunghezza del tratto. Questa espressione

si applica unicamente al caso di un tratto rettilineo di un filo in un campo magnetico esterno uniforme. Per un filo di forma arbitraria e sezione uniforme, l’espressione diventa b

d⃗ F B =id s⃗ × ⃗ B→ ⃗ F B=i ∫ d ⃗s × ⃗ B , dove a e b sono due punti arbitrari e

d ⃗s

è un vettore che

a

rappresenta la lunghezza del tratto, con il suo verso uguale a quello della corrente. All’inizio del XIX secolo, Jean-Baptiste Biot e Félix Savart giunsero ad un’espressione per il campo magnetico in un punto dello spazio in funzione della corrente che genera il campo. La

d⃗ B =k m

legge di Biot-Savart può essere espressa, in simboli, come segue:

ds

è l’elemento di corrente di lunghezza infinitesima del filo,

r^

dall’elemento al punto P dove si vuole calcolare il campo magnetico, l’elemento ed il punto P e

La costante

km

km

1 Dispensa di Fisica Medica

è il versore diretto

r

è la distanza fra

è una costante che, nel SI, vale esattamente

viene anche scritta comunemente come

MV

id ⃗s × r^ , dove r2

μ0 4 π , dove

−7

10 T ∙ m/ A . μ0

è un’altra

costante, nota come permeabilità magnetica nel vuoto, uguale a

Savart può, quindi, essere scritta anche nella forma

d⃗ B=

4 π k m . La legge di Biot-

μ 0 i d ⃗s × r^ . 4 π r2

Immaginiamo un filo metallico rettilineo che si trovi in un campo magnetico uniforme entrante nel foglio; all’interno del filo, vi sono elettroni liberi. Supponiamo, ora, che il filo si muova con velocità

⃗v

verso destra: una forza magnetica (diretta verso il basso) agisce sugli elettroni

del filo. Poiché questa direzione è lungo il filo, gli elettroni si muovono lungo il filo in risposta a questa forza: quindi, si produce una corrente nel filo quando esso si muove nel campo magnetico! Un altro semplice esperimento consiste nel collegare una spira di filo conduttore ad un galvanometro. Se si avvicina un magnete alla spira, l’indice del galvanometro si sposterà in un certo verso, mentre quando il magnete è tenuto fermo, l’ago non si sposterà. Se, poi, il magnete è allontanato dalla spira, l’indice si sposterà nel verso opposto. Le stesse osservazioni si ottengono se il magnete è tenuto fermo ed è la spira ad essere avvicinata o allontanata da esso. Si può, quindi, concludere che una corrente elettrica circola nel galvanometro ogni volta che vi è un moto relativo del magnete rispetto alla spira. Questa corrente, generata senza che vi sia una batteria nel circuito, è chiamata corrente indotta ed è generata da una f.e.m. indotta. Michael Faraday concluse da un esperimento effettuato con una bobina che una corrente elettrica può essere generata da un campo magnetico variabile nel tempo (e non da un campo magnetico stazionario). Per rendere questa affermazione quantitativa, è necessario definire una grandezza chiamata flusso magnetico, proporzionale al numero di linee di campo associate al campo magnetico (analogamente alla proporzionalità del flusso elettrico al numero di linee di campo associate al campo elettrico). Considerando un elemento di area

dA

su una superficie di forma arbitraria, se il campo magnetico in questo punto di questo

elemento è

⃗ B , allora il flusso magnetico attraverso l’elemento è

⃗ B∙d ⃗ A , dove

un vettore perpendicolare alla superficie, il cui modulo è uguale all’area totale

ΦB

attraverso la superficie è

d⃗ A

è

dA . Quindi, il flusso

Φ B=∫ ⃗ B∙d⃗ A . L’unità di misura del flusso nel SI è il

tesla per metro quadrato, chiamato Weber (Wb). Si ha, quindi, una forza elettromotrice indotta in un circuito quando il flusso magnetico attraverso la superficie che limita il circuito varia nel tempo. La legge di Faraday dell’induzione afferma, infatti, che la f.e.m. indotta in un circuito è uguale alla rapidità con cui varia il flusso magnetico attraverso il circuito. In simboli,

f . e . m .=

−d Φ B , dove dt

ΦB

è

il flusso magnetico attraverso la superficie che limita il circuito. Se il circuito è una bobina di N spire, tutte concentriche e di uguale superficie, e il flusso è concatenato con tutte le spire, la f.e.m. indotta sarà uguale a

f . e . m .=−N

d ΦB dt : la f.e.m. aumenta di un fattore N poiché

tutte le spire sono in serie, cosicché le f.e.m. delle singole spire si sommano a dare la f.e.m. totale. 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

Il segno negativo della legge di Faraday è espressione della legge di Lenz (una legge espressa a parole, a cui non è associata alcuna equazione): la polarità della f.e.m. indotta nell’avvolgimento tende a produrre una corrente il cui campo magnetico si oppone alla variazione del flusso concatenato con il circuito. Ovvero, la corrente indotta è in una direzione tale che il campo magnetico indotto tende a mantenere il flusso iniziale attraverso il circuito. Consideriamo un circuito formato da un interruttore, un resistore ed una sorgente di f.e.m.: quando si chiude l’interruttore, la corrente non passa istantaneamente da zero al suo valore massimo

f . e . m ./R ; la legge di Faraday predice il reale comportamento: aumentando la

corrente nel tempo, aumenta anche il flusso magnetico concatenato con il circuito, dovuto a questa corrente. Questo aumento di flusso magnetico da parte del circuito induce una f.e.m. nel circuito, che si oppone alla variazione del flusso magnetico concatenato con il circuito. Dalla legge di Lenz, il campo elettrico indotto nel filo deve essere opposto al verso della corrente e la presenza di questa f.e.m. opposta porta ad un graduale aumento della corrente. Questo effetto è detto autoinduzione, perché la variazione di flusso magnetico concatenato con il circuito ha origine dal circuito stesso. La f.e.m. che ha origine in questo caso è chiamata f.e.m. autoindotta. Dalla legge di Faraday, sappiamo che la f.e.m. indotta è data dalla rapidità con cui varia il flusso magnetico concatenato con il circuito, con il segno cambiato. Quindi, la f.e.m. autoindotta è sempre proporzionale alla rapidità con cui varia la corrente nel tempo. Per una bobina costituita da

bobina toroidale), si trova che

N

spire, addossate l’una all’altra (solenoide ideale o

f . e . m .autoindotta=−N

d ΦB di =−L dt dt , dove

L

è una costante

di proporzionalità chiamata induttanza della bobina, che dipende dalle caratteristiche geometriche e fisiche della bobina. Da questa espressione, vediamo che l’induttanza di una bobina avente

N

spire è data da:

L=

N ΦB , assumendo che il flusso attraverso ciascuna i

spira sia lo stesso. Possiamo anche scrivere l’induttanza come rapporto

L=

−f . e . m.autoindotta , di/dt

indipendentemente dalla forma o dalla grandezza del circuito. L’unità di misura dell’induttanza nel SI è l’henry (H), equivalente ad

1V ∙ s / A .

Le Onde Elettromagnetiche Nella sua teoria unificata dell’elettromagnetismo, James Clerk Maxwell dimostrò che i campi elettrici e magnetici dipendenti dal tempo soddisfano un’equazione d’onda lineare. La più importante conseguenza di questa teoria è la previsione dell’esistenza delle onde elettromagnetiche. Le equazioni mi di Maxwell prevedono che un’onda elettromagnetica consista di campi elettrici e magnetici oscillanti; la variazione dei campi crea reciprocamente il mantenimento della propagazione dell’onda: il campo elettrico variabile induce un campo magnetico ed un campo magnetico variabile induce un campo elettrico. I vettori

⃗ E

e

⃗ B

sono perpendicolari fra di loro e con la direzione di propagazione, ovvero la direzione del prodotto vettoriale

⃗ E ×⃗ B . La velocità a cui si muovono le onde elettromagnetiche è data

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

dalla relazione

c=

1 8 =299792× 10 m/s . Poiché questa è esattamente uguale alla √ ε0 μ0

velocità della luce (nel vuoto), si è (correttamente) portati a credere che la luce sia un’onda elettromagnetica. Inoltre, in ogni istante, in un’onda elettromagnetica, il rapporto fra il campo

E =c . B

elettrico ed il campo magnetico è uguale alla velocità della luce. In simboli,

Le onde elettromagnetiche viaggiano nel vuoto con velocità d’onda

c , frequenza

f

e lunghezza

λ . L’intervallo di lunghezze d’onda e frequenze è molto vasto e si distinguono, al suo

interno, molti tipi diversi di onde elettromagnetiche. Le onde radio sono il prodotto di cariche accelerate, per esempio, nel filo conduttore di un’antenna radio. Le microonde sono onde radio di piccola lunghezza d’onda (tra 1mm e 30cm), utilizzate nei sistemi radar, nella navigazione aerea e per studiare le proprietà atomiche e molecolari della materia, oltre a trovare un’applicazione domestica nei forni a microonde. Le onde infrarosse hanno lunghezze d’onda che vanno da circa 1mm alla più lunga lunghezza d’onda della luce visibile, pari a

7 ×10−7 m , sono prodotte dai corpi caldi e dalle molecole e sono facilmente assorbite

dalla maggior parte dei materiali; la radiazione infrarossa ha molte applicazioni pratiche e scientifiche: la fotografia all’infrarosso, la terapia fisica, la spettroscopia vibrazionale, nonché i telecomandi per TV, DVD e videoregistratore. La luce visibile è certamente la più familiare forma di onde elettromagnetiche, definita come quella parte di spettro elettromagnetico che l’occhio umano può rivelare; è prodotta dagli oggetti incandescenti, come il filo di una lampadina, e dalla disposizione degli elettroni in atomi e molecole; le varie lunghezze d’onda sono classificate con colori che vanno dal violetto (

λ ≈ 4 × 10−7 m ) al rosso ( λ ≈ 7 ×10−7 m );

la sensibilità dell’occhio umano è una funzione della lunghezza d’onda ed è massima alla lunghezza d’onda di circa

−7

5.5 ×10 m

lunghezze d’onda che vanno da circa

(giallo-verde). La luce ultravioletta copre le

4 × 10−7 m

(400 nm) fino a

6 ×10−10 m

(0.6 nm); il

Sole è una sorgente importante di luce ultravioletta, la principale responsabile dell’abbronzatura; la maggior parte della radiazione ultravioletta proveniente dal Sole viene assorbita dagli atomi della parte superiore dell’atmosfera, chiamata stratosfera, costituita principalmente da ozono (

O3 ), che risulta dall’interazione della radiazione ultravioletta con

l’ossigeno: questo schermo di ozono converte la letale radiazione ultravioletta di alta energia in innocua radiazione infrarossa. I raggi X sono onde elettromagnetiche con lunghezze d’onda comprese in un intervallo che va da circa

−8

10 m

(10 nm) fino a

−13

10

m

(

−4

10

nm); i

raggi X vengono comunemente prodotti mediante la decelerazione di elettroni ad alta energia che bombardano un bersaglio metallico; sono usati come strumento diagnostico in medicina e per il trattamento di alcune forme di cancro, oltre che nello studio della struttura cristallina, poiché hanno lunghezze d’onda confrontabili con le distanze interatomiche nei solidi. I raggi gamma, infine, sono onde elettromagnetiche emesse da nuclei radioattivi ed in alcune

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

reazioni nucleari, hanno lunghezze d’onda comprese fra circa

−10

10

m

e meno di

−14

10

m ,

sono altamente penetranti e producono seri danni quando vengono assorbiti dai tessuti viventi.

Ottica Sebbene incontriamo la luce ogni giorno, non appena apriamo gli occhi al mattino, a questa esperienza è associato un fenomeno fisico davvero complicato. Il modello corpuscolare (capofila del quale era Isaac Newton) vedeva la luce formata da un flusso di particelle emesse da una sorgente: esso spiegava molti fenomeni, quali la riflessione e la rifrazione. Nel 1600 Christiaan Huygens propose una teoria alternativa, che vedeva la luce come un fenomeno ondulatorio, dimostrando che anche un simile modello poteva spiegare riflessione e rifrazione. Tuttavia, per la grande fama di Newton e per l’evidenza che la luce, a differenza delle onde conosciute all’epoca (onde sonore, onde nell’acqua, etc.), avrebbe dovuto propagarsi nel vuoto (per giungere dal Sole a noi), la teoria non fu accettata. Nel 1801 Thomas Young dimostrò chiaramente la natura ondulatoria della luce, mostrando che, sotto appropriate condizioni, essa dava origine a fenomeni di interferenza. In seguito, grazie agli ulteriori sviluppi della scienza e, soprattutto, al lavoro di James Clerk Maxwell, il modello ondulatorio della luce fu accettato dalla comunità scientifica. Tuttavia, alcuni esperimenti successivi, quali l’effetto fotoelettrico, non potevano essere spiegati supponendo che la luce fosse un’onda. Considerando tutto ciò, oggi si afferma unanimemente che la luce possiede una doppia natura: in alcuni casi corpuscolare, in altri ondulatoria. La natura ondulatoria della luce si basa sul modello a raggi luminosi (o approssimazione geometrica dell’ottica). Un raggio è una linea retta tracciata lungo la direzione di propagazione di una singola onda che mostra il percorso dell’onda quando essa viaggia nello spazio. Se un’onda piana incontra un ostacolo con un’apertura circolare, il cui diametro sia grande rispetto alla lunghezza d’onda, l’onda che emerge dall’apertura continua a muoversi secondo una linea retta (a meno di alcuni piccoli effetti di bordo) e l’approssimazione geometrica continua ad essere valida; se, invece, il diametro dell’apertura dell’ostacolo è dell’ordine della lunghezza d’onda, le onde (e conseguentemente i raggi che tracciamo) si diffondono dall’apertura in tutte le direzioni: l’onda entrante subisce diffrazione quando passa attraverso l’apertura. Infine, se l’apertura è piccola rispetto alla lunghezza d’onda, la diffrazione è così forte che l’apertura può essere approssimata ad una sorgente puntiforme di onde: pertanto, l’effetto della diffrazione è tanto più pronunciato quanto più il rapporto si

avvicina

a

zero.

Supponendo

che

l’apertura

l’approssimazione dei raggi luminosi assume che

sia

un

cerchio

di

diametro

d/λ d ,

λ ≪ d , cosicché non avremo a che fare

con gli effetti della diffrazione, che dipendono totalmente dalla natura ondulatoria della luce. L’approssimazione geometrica è ottima per lo studio di specchi, lenti, prismi e strumenti ottici composti, quali telescopi, macchine fotografiche ed occhiali. Consideriamo dei raggi luminosi incidenti su una superficie: a meno che la superficie sia perfettamente assorbente, una certa parte della luce è riflessa dalla superficie. Se la superficie è molto liscia, i raggi riflessi saranno paralleli: tale riflessione è chiamata riflessione speculare. D’altro canto, se la superficie riflettente è ruvida, la superficie rifletterà i raggi in varie direzioni: tale riflessione è detta riflessione diffusa. Una superficie si comporterà come una superficie liscia fintantoché le rugosità superficiali sono piccole se confrontate con la lunghezza d’onda della luce incidente. Per esempio, la luce passa attraverso i piccoli buchi 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

della porta di un forno a microonde, permettendo di guardare dentro, mentre le microonde, a causa della loro grande lunghezza d’onda, vengono riflesse dalla porta come se fosse un pezzo di metallo pieno. Considerato un raggio luminoso che viaggia in aria ed incide con un certo angolo su di una superficie piana e liscia, i raggi incidente e riflesso formano angoli '

ϑ1

ϑ1

e

rispetto ad una linea tracciata perpendicolarmente alla superficie nel punto in cui il

raggio incidente colpisce la superficie. Gli esperimenti mostrano che l’angolo di riflessione è uguale all’angolo di incidenza. In simboli,

ϑ 1=ϑ '1 , equazione nota come legge della

riflessione. Il cammino di un raggio di luce è, inoltre, reversibile. Un’applicazione pratica della legge della riflessione è la proiezione digitale delle pellicole cinematografiche, spettacoli televisivi e presentazioni al computer. Una parte dell’energia di un’onda incidente su una discontinuità viene trasmessa attraverso la discontinuità. Quando un raggio di luce che viaggia in un mezzo trasparente incide obliquamente su una superficie di separazione con un altro mezzo trasparente (per esempio, aria-qcqua), parte del raggio è riflessa, ma parte è trasmessa nel secondo mezzo. Il raggio luminoso che entra nel secondo mezzo subisce una variazione di direzione sul confine dei due mezzi e si dice che è rifratto. Il raggio incidente, il raggio riflesso ed il raggio rifratto giacciono sullo stesso piano. L’angolo di rifrazione

e dall’angolo di incidenza secondo la relazione

nel mezzo 1 e

v2

ϑ2

dipende dalle proprietà dei due mezzi

sinϑ 2 v 2 = =costante , dove v 1 sinϑ 1 v 1

è la velocità

quella nel mezzo 2. Come nel caso della riflessione, la traiettoria di un

raggio luminoso attraverso una superficie rifrangente è reversibile. La luce, passando da un mezzo ad un altro, viene rifratta poiché la sua velocità media è diversa nei due mezzi. Infatti, la luce viaggia con la sua massima velocità nel vuoto. È conveniente definire l’indice di rifrazione

n

di un mezzo come il rapporto

n≡

velocità della luce nel vuoto c = velocità media della lucenel mezzo v . Da

questa definizione vediamo che l’indice di rifrazione è una grandezza adimensionale maggiore o uguale all’unità, poiché

v

c . Inoltre,

in un mezzo è minore di

n

è uguale all’unità

per il vuoto. Quando un’onda passa da un mezzo all’altro, la sua frequenza non varia. Poiché la relazione

v =fλ

deve essere valida, e le velocità sono diverse, le due lunghezze d’onda sono

differenti. Possiamo, quindi, esprimere una relazione nota come legge della rifrazione o legge di Snell (o, in Francia, come legge di Descartes):

n1 sin ϑ 1=n 2 sin ϑ 2 .

L’indice di rifrazione quando la luce entra in un materiale dipende, effettuando misure molto accurate, dalla lunghezza d’onda della luce, poiché la velocità dell’onda dipende dalla sua lunghezza d’onda (questa dipendenza è nota come dispersione). Ciò significa che la luce viola viene rifratta più della luce rossa quando passa dall’aria ad un materiale. Ecco perché quando una luce bianca (ovvero una combinazione di tutte le lunghezze d’onda visibili) passa attraverso un prisma, i raggi che emergono dalla seconda faccia del prisma si diffondono in 1 Dispensa di Fisica Medica

MV

una serie di colori nota come spettro visibile (rosso – arancione – giallo – verde – blu – indaco – violetto). Questo è anche alla base del fenomeno dell’arcobaleno, dovuto alla rifrazione della luce solare attraverso le gocce di pioggia sospese nell’atmosfera: essa viene prima riflessa, poi rifratta ed infine riflessa una seconda volta, generando la serie dello spettro visibile. Si può generare un arcobaleno secondario, meno intenso del primario e con i colori invertiti, se la luce subisce due riflessioni all’interno della goccia. In laboratorio sono stati generati anche arcobaleni in cui la luce subisce 30 riflessioni prima di uscire dalla goccia d’acqua. Un effetto interessante è chiamato riflessione interna totale e può verificarsi quando la luce si propaga da un mezzo di un dato indice di rifrazione ad uno con un indice di rifrazione minore. Ad un certo angolo di incidenza, chiamato angolo limite, il raggio di luce si muoverà parallelo alla superficie; per angoli di incidenza maggiori, nessun raggio è rifratto ed il raggio incidente è totalmente riflesso dalla superficie di separazione. Questo raggio è riflesso dalla superficie come se avesse incontrato una superficie perfettamente riflettente e segue la legge della riflessione: l’angolo di incidenza, cioè, è uguale all’angolo di riflessione. Per trovare l’angolo

limite

possiamo

usare

n1 sin ϑ l=n 2 sin 90 °=n2 , per cui

la

ϑl=

legge

di

Snell:

se

ϑ 1=ϑ limite e

ϑ 2=90° ,

n2 n 1 . Si ricordi che questa equazione può essere usata

solo quando la luce si propaga da un mezzo di un dato indice di rifrazione ad uno di indice minore, ovvero quando quando

n1

n1 >n2 . L’angolo limite per la riflessione interna totale è piccolo

è considerevolmente maggiore di

n2 , come nel diamante ( n=2.42

e

ϑ l =24 ° ), il che (insieme con la sua sfaccettatura) fa sì che esso scintilli quando si osserva alla luce. Un’applicazione interessante della riflessione interna totale è l’uso di bacchette di vetro o di plastica trasparente per guidare la luce da un posto all’altro. Nell’industria delle comunicazioni, impulsi di luce laser si muovono lungo questi tipi di guide, portando informazioni ad alta velocità. La luce che viaggia all’interno di una bacchetta stretta e trasparente è confinata a propagarsi entro la bacchetta, anche lungo curve dolci, come risultato di successive riflessioni interne. Una tale guida di luce sarà flessibile se si usano fibre sottili, piuttosto che bacchette spesse: tali fibre sono dette fibre ottiche. Se si usa un fascio di fibre ottiche parallele per costruire una linea di trasmissione ottica, si possono trasferire immagini da un punto ad un altro. Una fibra ottica consiste di un nucleo trasparente circondato da un rivestimento di un materiale che ha un basso indice di rifrazione rispetto al nucleo; l’insieme deve essere circondato da una guaina protettiva di plastica per prevenire danni meccanici. Poiché l’indice di rifrazione del rivestimento è minore di quello del nucleo, la luce che viaggia nel nucleo subisce riflessione interna totale quando arriva all’interfaccia nucleo-rivestimento con un angolo di incidenza che supera l’angolo limite. In questo caso, la luce “rimbalza” lungo il nucleo della fibra ottica, perdendo pochissimo della sua intensità mentre si propaga. Una singola fibra ottica può portare un segnale digitale. Se si vuole trasportare un’immagine, serve un fascio di fibre ottiche: questi fasci sono utilizzati in medicina nel fibroscopio.

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

L’elemento ottico più semplice possibile è lo specchio piano. Consideriamo una sorgente puntiforme di luce posta nel punto

O

ad una distanza

p

davanti ad uno specchio piano,

indicata come distanza dell’oggetto. I raggi di luce provenienti dalla sorgente sono riflessi dallo specchio. Dopo la riflessione, i raggi continuano a divergere (cioè, si allontanano l’uno

I

dall’altro). I raggi divergenti appaiono all’osservatore come provenienti da un punto allo specchio, chiamato immagine dell’oggetto posto in

dietro

O . In tutti i sistemi ottici,

localizzeremo le immagini con i prolungamenti dei raggi divergenti, fino al punto immagine in cui tali prolungamenti si incontrano. Le immagini sono localizzate o in un punto da cui i raggi luminosi realmente divergono o in un punto da dove appaiono divergere. La distanza

q

tra

l’immagine e lo specchio è chiamata distanza dell’immagine. Le immagini sono divise in reali e virtuali: un’immagine reale è quella in cui la luce passa attraverso il punto immagine e diverge; un’immagine virtuale è quella in cui la luce non passa attraverso il punto immagine, ma appare soltanto divergere da quel punto. L’immagine formata dallo specchio appena descritto, così come ogni immagine di un oggetto reale visto in uno specchio piano, è virtuale. Le immagini reali possono essere esposte su uno schermo (come in una proiezioni), le immagini virtuali no. L’immagine che si forma al di là di uno specchio e l’oggetto che sta di fronte sono equidistanti dall’oggetto: ovvero, usando la convenzione stabilita precedentemente,

p=|q|

(usiamo il simbolo di valore assoluto perché, come vedremo fra

breve, ai valori di

p

q

e

è associata una convenzione sui segni. Inoltre, nel modello

h , è uguale all’altezza dell’immagine, che

geometrico, l’altezza dell’oggetto, che chiamiamo chiamiamo

'

h . Possiamo, quindi, definire l’ingrandimento lineare trasversale (o

semplicemente

M

ingrandimento)

di

altezza dell ' immagine h' M≡ = altezza dell ' oggetto h . Per uno specchio piano, in cui

un’immagine '

come:

M =1 . Inoltre,

h=h ,

come indica il valore positivo dell’ingrandimento, l’immagine è dritta. Tuttavia, uno specchio piano forma un’immagine che ha un’apparente inversione destra-sinistra: tuttavia, questa non è realmente un’inversione destra-sinistra, bensì un’inversione fronte-retro, giacché, per esempio, considerando l’immagine di una mano destra, è pur vero che essa appare come una mano sinistra, ma il pollice, a sinistra nella mano reale, è a sinistra anche nella mano allo specchio! Essa è un’inversione fronte-retro causata dai raggi di luce che arrivano allo specchio e poi sono riflessi indietro da esso. Consideriamo, adesso, uno specchio sferico, formato, come dice il nome, da una calotta sferica. Se la luce è riflessa dalla superficie interna, lo specchio è detto concavo. Un tale

R

specchio possiede un raggio di curvatura centro della calotta sferica è chiamato

V

ed un centro di curvatura e la linea tracciata da

C

a

C ; inoltre, il V

si chiama

asse principale dello specchio. Consideriamo una sorgente puntiforme di luce posta nel

1 Dispensa di Fisica Medica

MV

O , situato sull’asse principale, oltre il punto

punto

all’esterno. Due raggi divergenti

O , dopo essere riflessi dallo specchio, convergono e si incontrano nel punto

originati in immagine

C

I . Poi, i raggi continuano a divergere da

luce. Se gli occhi rivelano i raggi divergenti dal punto

I

come se lì vi fosse una sorgente di

I , si può affermare che una sorgente

di luce è posta in quel punto. A differenza di quanto abbiamo visto nello specchio piano, stavolta i raggi di luce passano attraverso il punto immagine e l’immagine è, quindi, reale. Adottiamo, ora, un modello semplificato, assumendo che tutti i raggi divergenti da un oggetto formino un piccolo angolo con l’asse principale. Questi raggi, detti raggi parassiali, si riflettono sempre attraverso il punto immagine; i raggi che formano grandi angoli, invece, convergono in altri punti sull’asse principale, producendo un’immagine sfocata. Possiamo

q

calcolare la distanza dell’immagine di curvatura

p

conoscendo la distanza dell’oggetto

ed il raggio

R . Consideriamo due raggi di luce provenienti dalla punta dell’oggetto,

immaginandolo come una freccia. Uno di questi raggi passa attraverso il centro di curvatura

C

dello specchio, colpisce lo specchio perpendicolarmente alla superficie speculare e si

riflette all’indietro su se stesso. Il secondo raggio, invece, colpisce lo specchio dal vertice

V

e si riflette, obbedendo alla legge di riflessione. L’immagine della punta della freccia è collocata nel punto in cui questi due raggi si intersecano. I due raggi identificano due triangoli, da cui vediamo che

ϑ =h/ p

per il triangolo formato dal secondo raggio, mentre

ϑ =−h' / q

per il

triangolo individuato dal primo raggio. Il segno meno indica che l’immagine è capovolta. Da questi risultati, troviamo che l’ingrandimento dell’immagine è uguale a '

h −q tan ϑ −q M= = = h p tanϑ p . Da questa equazione e dai due triangoli, possiamo trovare che h' −R−q = h p−R , da cui segue che

R−q q 1 1 2 = → + = p−R p p q R , chiamata equazione dello

specchio, applicabile solo al modello dei raggi parassiali. Se l’oggetto è molto lontano dallo specchio, cioè la distanza dell’oggetto

punto che si possa dire che

p

p

è abbastanza grande confrontata con

R , al

q≈

R 2 , cioè

tende all’infinito, allora

1/ p → 0

per cui

quando l’oggetto è molto lontano dallo specchio, il punto immagine è in un punto medio fra il vertice dello specchio ed il centro di curvatura. Il punto in cui i raggi (paralleli) si intersecano, dopo la riflessione dello specchio, si chiama punto focale dello specchio, a distanza

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MV

f

dallo

specchio, detta distanza focale. In simboli,

funzione della distanza focale, diventa:

f=

R 2 . L’equazione dello specchio, espressa in

1 1 1 + = p q f .

Uno specchio convesso è uno specchio che riflette la luce dalla superficie esterna, anche chiamato specchio divergente poiché i raggi che provengono da qualsiasi punto divergono dopo la riflessione, come se provenissero da un punto dietro lo specchio. L’immagine prodotta da un simile specchio è virtuale, invece che reale, poiché la posizione da cui i raggi sembrano aver origine è dietro lo specchio. In generale, l’immagine formata da uno specchio convesso sarà sempre virtuale, dritta e più piccola dell’oggetto. In conclusione, per uno specchio concavo, quando l’oggetto è collocato al di là del punto focale, l’immagine sarà reale e capovolta (e la sua grandezza varierà con la posizione). Se, invece, l’oggetto è collocato tra lo specchio ed il punto focale, l’immagine sarà virtuale, dritta ed ingrandita. Per uno specchio convesso, invece, in qualsiasi punto l’oggetto sia collocato, l’immagine ottenuta sarà virtuale, dritta e rimpicciolita.

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MV