Fisica Laboratorio 5 Ondas Estacionarias en Una Cuerda Finita

31/05/2013

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA FINITA

Laboratorio N° 5 | ANDERSON URIBE POLO | LINDA BORJA ARGEL

UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA

Universidad de Córdoba,

Ingeniería de sistemas

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA FINITA

ANDERSON URIBE POLO LINDA BORJA ARGEL

PRESENTADO A: Franklin Peniche blanquicett

UNIVERSIDAD DE CORDOBA FACULTAD DE INGERNIERIAS PROGRAMA DE INGENIERIA DE SISTEMAS MONTERÍA – CÓRDOBA LABORATORIO N° 5 2013

Comprometida Con el Desarrollo regional.

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Universidad de Córdoba, Comprometida Con el Desarrollo regional.

INTRODUCCIÓN

Mediante la práctica de laboratorio, donde se lleva a cabo un montaje cuyo fin es medir las longitudes generadas por un modo o armónico, dos y tres respectivamente, en una cuerda de la cual se cuelgan diferentes masas (15g, 30g y 60g), la cual se sujeta a una equipo que genera una frecuencia de vibración de 60 Hz, se pretende estudiar las características y diferentes variables que intervienen en las ondas estacionarias en una cuerda finita.

Una vez determinadas las respetivas longitudes y luego de realizar un estudio sobre la teoría relacionada frente al tema de análisis se determinan variables como las longitudes de ondas, con su respectivo análisis, generando también los gráficos que se requieren para ampliar conclusiones acorde con la teoría .

OBJETIVOS  Comprobar que para una µ fija, la velocidad de las ondas estacionarias en una cuerda está dada por la relación:

 Mostrar experimentalmente que la velocidad de propagación de las ondas en una cuerda es directamente proporcional a la raíz de la tensión en la cuerda.  Comprobar experimentalmente que solo para ciertas longitudes de la cuerda se observa resonancia con el agente externo.

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TEORÍA RELACIONADA Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos ondas de la misma amplitud y longitud de onda: un incidente que se propaga de izquierda a derecha y la otra que resulta de reflejarse esta en el extremo y se propaga de derecha a izquierda. En otras palabras, son aquellas que se forman por una superposición de dos ondas que viajan en sentido contrario y que tienen la misma velocidad, amplitud y longitud de onda; además de que sus nodos permanecen inmóviles.

La onda estacionaria resultante es la suma de las dos:

El extremo por el que está sujeta la cuerda no vibra nunca y la función suma en ese punto valdrá cero (durante todo el tiempo). Para que la función anterior sume cero la única justificación es que las amplitudes se inviertan en el punto de rebote de la onda (el punto fijo) y que una valga +A y la otra -A. Sumando las funciones y sabiendo que:

Obtenemos: Como vemos esta no es una onda de propagación, no tiene el término , sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular w y con una amplitud . La amplitud puede alcanzar distintos valores según la posición, x, del punto. Algunos puntos tendrán amplitud cero y no vibrarán nunca (puntos estacionarios): son los llamados nodos. Los puntos que pueden alcanzar un máximo de amplitud igual a "2A" sólo pueden hacerlo cada cierto tiempo, cuando sea igual a 1. Se llaman nodos a los puntos x que tienen una amplitud mínima , por lo que kx=np siendo n =1, 2, 3,.... (Recuerda que k=2p/l), o bien, x = l/2, l, 3 l/2,... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, l/2. Supongamos ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente. La Frecuencia de una onda estacionaria, se define como el número de

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oscilaciones por unidad de tiempo para el caso de las ondas estacionarias la frecuencia tiene relación directa con la tensión que se le ejerce a la cuerda y relación inversa con la longitud de la cuerda y la densidad lineal de masa. En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. El primer modo de vibración será aquel en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L= /2. Para el segundo modo de vibración -un nodo en el centro-, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L= . Para el tercer modo, L = 3 /2, y así sucesivamente. Podemos proceder al revés y variar las longitudes de onda, manteniendo la longitud de la cuerda fija, para obtener diferentes modos de vibración. 

Se producirán nodos para una cuerda de longitud "L" cuando onda) tenga los valores dados por la fórmula:

(longitud de la

La longitud de onda es la distancia de un punto de la onda a otro cuando ya ha pasado un período, como la distancia entre cresta y cresta o valle y valle. El patrón de onda viaja con rapidez constante, y avanza una longitud de onda cuando pasa un período T, por lo tanto, la rapidez de la onda está dada por:

Velocidad de la onda en una cuerda tensionada para un sistema conformado por una cuerda tensionada con una frecuencia f se observa que se debe tener en cuenta la masa por unidad de longitud de masa expresada por µ así que estos dos factores están relacionados, La velocidad de propagación V de la onda está relacionada con la tensión que se aplique a la cuerda y con el tipo de cuerda, por lo que la rapidez de la onda también estaría dada por:

Todos los puntos de la onda oscilan con la misma frecuencia. Ya que para que se produzca una onda estacionaria es necesaria la presencia de más de una onda con las mismas características, una como reflejo de la otra, es posible aplicar el principio de superposición para explicar la combinación de ambas.

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Todas las características concernientes a las ondas transversales que se propagan en la cuerda, tal como velocidad, frecuencia, amplitud, entre otras, están a la vez relacionadas con la densidad de la cuerda en que viajan. Esta densidad es representada con la letra griega µ y sus unidades son Kg/m. Para una onda observada en una cuerda debemos tener en cuenta la tensión de esta ya que existe una relación inversa entre la tensión ejercida y el número de segmentos de la onda

MATERIALES Los materiales utilizados para el montaje del laboratorio ondas mecánicas son: MATERIALES

CANTIDAD

Pie estativo

1

Polea

2

Varilla soporte, 250mm

1

Varilla soporte, 600mm

1

Nuez doble

2

Pesa de ranura, 10g

5

Porta pesa, 10g

1

Estroboscopio

1

Cinta métrica

1

Sedal, 2m

1

Fuente de voltaje 6V

1

Generador de marca 6V

1

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MONTAJE Y PROCEDIMIENTO

Figura 1. Montaje experimental Realiza un montaje como el mostrado en la figura 1.  Determinar con el estroboscopio la frecuencia del vibrador.  Para una masa de 15g, a partir de cambios en la longitud L de la cuerda, determine las longitudes de onda (λ) de los 3 primeros armónicos. Repita este procedimiento para masas de 30 y 60g.  Compare los valores obtenidos de λ para los 3 primeros armónicos de cada una de las masas.  Realice un gráfico de velocidad (V) vs raíz cuadrada de la tensión (T). RESULTADOS n

1

2

3

L(cm)

17

32

51

Tabla 1. Nodos de vibración y longitud de la cuerda para una masa de 15g

n

1

2

3

L(cm)

25

50

75

Tabla 2. Nodos de vibración y longitud de la cuerda para una masa de 30g

n

1

2

3

L(cm)

36

70

105

Tabla 3. Nodos de vibración y longitud de la cuerda para una masa de 60g

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 Se establece que la frecuencia del vibrador es de 60 Hz  Se determinan las longitudes de ondas de los 3 primeros armónicos para cada una de las masas (15g, 30g, 60g) respectivamente, teniendo en cuenta que , entonces: n

1

2

3

L(m)

0,17

0,32

0,51

(m)

0,34

0,32

0,34

Tabla 4. Longitudes de ondas de los 3 primeros armónicos para la masa de 15g

n

1

2

3

L(m)

0,25

0,50

0,75

(m)

0,5

0,50

0,5

Tabla 5. Longitudes de ondas de los 3 primeros armónicos para la masa de 30g

N

1

2

3

L(m)

0,36

0,70

1,05

(m)

0,72

0,70

0,70

Tabla 6. Longitudes de ondas de los 3 primeros armónicos para la masa de 60g

 Comparando los valores obtenidos de landa ( ) para los tres primeros armónicos en cada una de las masa notamos que las longitudes de onda, para cada uno de los nodos de vibración, son aproximadamente iguales de tal forma promediando el valor obtenido tenemos que la longitud de onda en cada una de las masas es: M(kg)

0,015

0,03

0,06

(m)

0,33

0,5

0,71

Tabla 7. Longitudes de ondas para cada una de las masas

 Teniendo en cuenta que las ondas estacionarias en una cuerda se determina por:

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Donde λ representa las longitudes de ondas para cada una de las masas y f representa la frecuencia del vibrador que es constante y es de 60Hz, entonces:

A continuación determinamos el valor de la tensión de la cuerda con la siguiente ecuación:

Donde m representa cada una de las masas (0.015kg, 0,03kg, 0,06kg) y g la gravedad que en este caso es de 9.8m/ , entonces:

El resultado de los datos correspondiente a cada una de las masas se muestra en la siguiente tabla: m(kg)

0,015

0,03

0,06

v(m/s)

19,8

30

42,6

0,383

0,542

0,766

(N)

Tabla 8. Raíz cuadrada de la tensión de la cuerda para cada una de las

masas Con los datos obtenidos de las velocidades y las correspondientes raíces cuadradas de la tabla 8, podemos graficar la velocidad de las ondas en función de la raíz cuadrada de la tensión cuyo resultado se muestra a continuación:

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Grafica 1. Velocidad

Desarrollo regional.

vs la raíz cuadrada de la tensión

Raíz cuadrada de la tensión de la cuerda para cada una de las masas 45

(0,766; 42,6)

40 35

v(m/s)

30

(0,542; 30)

25 20

(0,383; 19,8)

15 10 5

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

T(N)

EVALUACIÓN 1. De acuerdo con los resultados del procedimiento 1 y 2 obtenga las velocidades de propagación de las ondas estacionarias en la cuerda para cada una de las masas. Utilice la ecuación (1) para ello. Teniendo en cuenta que la velocidad de propagación de las ondas estacionarias en una cuerda finita está dada por la relación:

Donde representa las longitudes de ondas para cada nodo de vibración y representa la frecuencia del vibrador que es de 60 Hz, para cada masa tomando las tablas 4,5 y 6 respectivamente tenemos que:  Para la masa de 15gr

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n

1

2

3

v(m/s)

20,4

19,2

20,4

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Luego, al promediar los valores obtenidos de la velocidad, tenemos que la velocidad de propagación de la onda para la masa de 15g es aproximadamente de 20 m/s.  Para la masa de 30gr

n

1

2

3

v(m/s)

30

30

30

Luego, al promediar los valores obtenidos de la velocidad, tenemos que la velocidad de propagación de la onda para una masa de 30g es aproximadamente de 30 m/s.  Para la masa de 60gr

n

1

2

3

v(m)

43,2

42

42

Luego, al promediar los valores obtenidos de la velocidad, tenemos que la velocidad de propagación de la onda para una masa de 30g es aproximadamente de 42,4 m/s. 2. La grafica fue realizada en el punto 4 del procedimiento con los valores reflejados en la tabla 8 que son: m(kg)

0,015

0,03

0,06

v(m/s)

19,8

30

42,6

0,383

0,542

0,766

(N)

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La grafica que se obtiene es:

Grafica 2. Velocidad

vs la raíz cuadrada de la tensión

Raíz cuadrada de la tensión de la cuerda para cada una de las masas 45 (0,766; 42,6)

40 35

v(m/s)

30

(0,542; 30)

25 20

(0,383; 19,8)

15 10 5 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

T(N)

Como se puede apreciar en la grafica 2, al variar la tensión de la cuerda por efecto de las masas, la velocidad de propagación de la onda realiza un movimiento proporcional, por lo que podemos decir con certeza que la velocidad de propagación de la onda aumenta de manera proporcional a la raíz cuadrada de la tensión de la cuerda. Dando así una tendencia lineal en nuestra grafica, donde el valor de la pendiente esta dado por:

Entonces la pendiente de la grafica tiene un valor de:

Como la relación es directamente proporcional y la grafica entre la velocidad de propagación y la raíz cuadrada de la tensión es lineal, podemos hallar entonces la ecuación de la pendiente:

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Así podemos ver que la pendiente es el valor de 1 entre la raíz cuadrada de la densidad lineal de la cuerda. 3. Por medio del valor de la pendiente obtenida en el punto anterior. Determine el valor de de la cuerda en el laboratorio. De la ecuación de la pendiente podemos calcular el valor de en el laboratorio de la siguiente manera:

de la cuerda

4. ¿Qué errores se cometen en este experimento con respecto a la teoría de las ondas estacionarias? Se pudieron generar algunos errores en los resultados obtenidos para los cálculos de las longitudes de ondas y velocidad de propagación de las ondas, debido a las mediciones que se tomaron, ya que estas se encuentran sometidas a elementos como la visión de los participantes y las longitudes pudieron ser mayores o menores por diferencias milimétricas que afectan los resultados, también se pudieron haber generado cambios en la frecuencia ya que la energía eléctrica puede verse afectada por picos altos y bajos que se dan por la deficiente prestación del servicio, afectando en de alguna manera los resultados obtenidos. 5. ¿Qué debe cumplir una onda para que sea estacionaria? Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda (o frecuencia) que avanzan en sentido opuesto a través de un medio con una diferencia de fase de media longitud de onda; entonces para que una onda sea estacionaria debe cumplir los requisitos anteriores y que ciertos puntos de la onda llamados nodos, permanezcan inmóviles. La frecuencia y la longitud de onda, se relacionadas entre sí por la velocidad de la onda en el medio, y la amplitud de la onda estacionaria. 6. ¿Por qué si se cambia la tensión en la cuerda se pierden las resonancias con el agente externo? Esto se debe a que cuando la fuerza o tensión de la cuerda es mayor, la amplitud del movimiento resultante es mayor cuando la frecuencia aplicada por el agente externo es igual a la frecuencia de resonancia o natural de la cuerda, por esa razón al cambiar la tensión en la cuerda se pierden las resonancias.

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7. ¿Qué relación encontró entre las velocidades de las ondas obtenidas para las masas de 15 y 60g? ¿Qué relación debería existir entre estas velocidades obtenidas teóricamente? La relación entre las velocidades de las ondas para las masas de 15g y 60g es un incremento que se genera teniendo en cuenta que de la misma manera, también se incrementa la tención la cual a su vez depende de las respectivas masas que determinan dicha variación. Se puede decir entonces que al incrementarse la tención con una frecuencia constante, también se incrementa la velocidad de propagación de la onda de los cual se deduce que son directamente proporcionales. 8. Si la masa que tensiona la cuerda se multiplica por un factor α ¿por qué factor se debe multiplicar la longitud para mantener la resonancia? En este caso tendremos en cuenta el valor de α para calcular nuestra tensión con la formula: T= αm*g, donde m representa la masa inicial y g la gravedad. Luego con la siguiente ecuación:

Obtenemos la longitud:

Con esta ecuación podemos saber la longitud donde se mantiene la resonancia, donde f es la frecuencia constante del vibrador, n son los nodos de vibración, la densidad lineal de la cuerda y T la tensión en la cuerda. 9. Mencione cinco sistemas físicos en los cuales se produzcan ondas estacionarias.  Una cuerda pulsada por instrumentos como la guitarra o el piano.  Los tubos de caña.  El órgano que es un instrumento formado por muchos tubos en los que cada tubo da solo una nota.  El tubo de kundt , aparato ideado por August Kundt.  El experimento de Melde realizado por el físico alemán Franz Melde.

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CONCLUSIÓN

Luego de estudiada la teoría relacionada, los resultados obtenidos en el laboratorio y luego del análisis correspondiente de los resultados se puede decir que las ondas estacionarias son generadas, una vez establecida una determinada tensión, de una superposición de ondas transversales al reflejarse, ya que el extremo del medio donde se propagan, es fijo. Es palpable la relación existente entre la velocidad de propagación de la onda y la tención ya que al aumentar esta ultima la primera también lo hace, manteniendo una frecuencia contaste, se puede decir entonces que estas dos variables son directamente proporcionales. Las longitudes de ondas para cada uno de los nodos de vibración son iguales para cada una de las masas, sin embargo teóricamente se indica que esta puede variar en un mismo sistema siempre y cuando encuentre otro punto de resonancia. En una onda estacionaria el patrón de la onda no se mueve, pero si lo hacen los elementos de la cuerda.

BIBLIOGRAFÍA

Serway Raymont

A. y Jewett, Jhon W. Jr., Física para las ciencias o

ingenierías. 6ª. Edición. Volumen I. Pg. 190-203.

D. Hallyday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de Física. 3 ed., Vol. 1, EDITORIAL CONTINENTAL, (2004). 146-147p.