FIsica I
September 5, 2021 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Excelencia Académica
INDICE Presentación
3
Unidad Académica I Conceptos fundamentales Unidades de medición El sistema internacional de unidades
7 8 8
Unidad Académica II Vectores Magnitud escalar y vectorial Operaciones vectoriales Suma vectorial de fuerzas Suma de un sistema de fuerzas coplanares Vectores cartesianos Suma y resta de vectores cartesianos Vectores de posición Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea Producto punto
13 13 13 14 15 19 21 23 24 27
Unidad Académica III Equilibrio de una partícula Condición para el equilibrio de una partícula Diagrama de cuerpo libre Sistema de fuerzas coplanares Sistema de fuerzas tridimensionales
37 38 39 40 42
Unidad Académica IV Momento de una fuerza - expresión escalar Magnitud Dirección Momentos Resultantes de un Sistema de Fuerzas Coplanares Momento de una Fuerza con respecto a un Punto Transmisibilidad de una Fuerza Momento Resultante de un Sistema de Fuerzas Principios de los Momentos
51 51 52 52 52 53 54 55
5
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Unidad Académica V Centro de Gravedad y Centroide Centro de gravedad y centro de masa de un sistema de partículas Centro de gravedad, centro de masa y centroide de un cuerpo Problemas propuestos
69 69 70 72
Unidad Académica VI Cinemática Cinemática de una partícula Cinemática rectilínea: movimiento continuo Movimiento curvilíneo: componentes rectangulares Movimiento curvilíneo: componentes radial y transversal Cinética de una Partícula Aplicación en la Ingeniería
81 81 81 86 91 95 96
Unidad Académica VII Cinética de una partícula Trabajo y energía El trabajo de una fuerza Principio del trabajo y la energía cinética Principio de trabajo y la energía mecánica Unidad Académica VIII Cinética de una partícula: impulso y cantidad de movimiento Principio del impulso y el momento lineales Conservación del momento lineal de un sistema de partículas Impacto
6
101 101 101 102 103 111 111 113 114
Excelencia Académica
CONCEPTOS FUNDAMENTALES Es importante conocer algunos conceptos fundamentales Cantidades básicas. Las cuatro cantidades siguientes se utiliza en la mecánica del cuerpo rígido. Longitud.
Se
define
una
unidad
estándar
de
longitud,
puede
definirse
cuantitativamente distancias y propiedades geométricas de un cuerpo como múltiplo de esa unidad de longitud Tiempo. El tiempo se concibe como una sucesión de eventos. Masa. La masa es una propiedad de la materia por la cual podemos comparar la acción de un cuerpo con otro. Fuerza. En general, la fuerza es considerada como un “jalón o “tirón” ejercido por un cuerpo sobre otro. Idealizaciones. Los modelos o idealizaciones se utilizan en la mecánica con la finalidad de simplificar la aplicación de la teoría. Partícula. Una partícula posee masa pero de tamaño poco significativo. Las tres leyes del movimiento de Newton. Primera ley. Una partícula que originalmente se encuentra en reposo, o moviéndose en línea recta con una velocidad constante. Segunda ley. Una partícula sobre la cual actúa una fuerza desbalanceada. Tercera ley. Las fuerzas de acción y repulsión entre dos partículas son iguales en intensidad, opuestas en sentido y colineales. Ley de atracción gravitacional de Newton. Newton postuló una ley que gobierna la atracción gravitacional entre cualquier par de partículas. Expresada matemáticamente. donde
F = fuerza de gravitación entre dos partículas G = constante de gravitación universal; de acuerdo con la evidencia experimental, G = 66.73(10-2) m3 / (kg.s2) m1m2 = masa de cada una de las partículas r = distancia entre las dos partículas 7
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Peso. En consecuencia, está fuerza llamada peso será única fuerza gravitacional que se considerará en nuestro estudio de la mecánica.
W G
mm 2 r2
Dejando que g = Gm2/r2 tenemos
W mg 1.1 Unidades de Medición Nombre
Longitud
Tiempo
Masa
Sistema inglés
Pie
Segundo
(FPS)
(ft)
(s)
Slug*
lb.s 2 pie
Fuerza
Libra
(lb)
1.2 Sistema internacional de unidades. MAGNITUD FUNDAMENTAL
SIMBOLO
UNIDAD BASICA
SIMBOLO
Longitud
L
metro
m
Masa
M
kilogramos
kg
Tiempo
T
tiempo
s
Temperatura termodinámica
θ
kelvin
K
Intensidad de corriente eléctrica
I
ampere
A
Intensidad luminosa
J
candela
cd
Cantidad de sustancia
N
mol
mol
1.3 Magnitudes derivadas MAGNITUD DERIVADA
MAGNITUD DERIVADA
Area
Peso específico
Volumen
Presión
Velocidad lineal
Frecuencia
Aceleración lineal
Coeficiente de dilatación
Velocidad angular
Capacidad calorífica específica
Fuerza
Calor latente
Torque (momento de fuerza)
Carga eléctrica
8
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Trabajo o energía
Intensidad de campo electrico
Potencia
Potencial electrico
Cantidad de movimiento
Resistencia eléctrica
Impulso
Carga magnética
Densidad absoluta
Inducción magnética
PREFIJO Forma exponencial múltiplo
109 6
Tiempo
Masa
giga
G
mega
M
1 000 000 000
10
1 000 000
103
kilo
k
0.001
10-3
mili
m
0.000 001
10-6
micro
0.000 000 001
10-9
nano
n
1000 submúltiplo
Reglas de Uso. Se proporcionan las siguientes reglas pares el uso apropiado de los diferentes símbolos del sistema SI: 1. Nunca se escribe un símbolo pluralizado con “s”, puesto que se confundiría con la unidad segundo (s) 2. Los símbolos siempre se escriben con letras minúsculas, con las siguientes excepciones: los símbolos de dos prefijos más grandes mostrados en la tabla 1.2, giga y mega, se escribe en mayúscula, G y M, respectivamente; y los símbolos que corresponde a la inicial de una persona se escriben en mayúscula, por ejemplo N. 3. Las cantidades que se encuentran definidas por unidades que son múltiplos de otra están separadas por un punto par evitar confusión con la notación de prefijos, como se indica en N = kg . m . s-2. también, m . s (metro - segundo), mientras que ms (mili -segundo). 4. El exponente representado por una unidad que tiene un prefijo se refiere tanto a la unida como al prefijo. Por ejemplo,
N 2 (N ) 2 N .N de la misma forma, mm2
representa (mm2) = mm . mm. 5. Las constantes físicas o números que tiene varios dígitos en cualquier lado del punto decimal deberán escribirse con un espacio entre cada tres dígitos en lugar 9
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de hacerlo con una coma; por ejemplo, 73 569.213 472. en el caso de cuatro dígitos en cualquier lado del punto decimal, el espacio es opcional; por ejemplo, 8537 o 8 537. Además, se debe tratar siempre de usar decimales y evitar la fracciones, esto, escribir 15.25, y no 15 14 . 6. Cuando se lleva a cavo cálculos, se debe representar los números en términos de sus unidades base o derivadas convirtiendo todos los prefijos a potencias de 10. El resultado final deberá entonces ser expresado utilizando un único prefijo. También, después de realizar cálculos, en mejor conservar los valores numéricos entre 0.1 y 1000; de otra forma, se deberá escoger un prefijo apropiado. Por ejemplo,
(50 kN)(60nm) 50(103 ) N 60(109 ) m
3000(106 ) N.m 3(10-3 ) N.m 3N.m 7. No se deberá usar prefijos compuestos; es decir, ks (kilo – micro –segundo) deberá se expresado como ms (mili - segundo) puesto que 1 ks = 1(103)(10-6) s = 1 ms. 8. Con excepción de la unidad base kilogramo, se deberá evitara el uso de un prefijo en el denominador de unidades compuestas. Por ejemplo, no se deberá escribir N/mm, sino kN/m, también, m/mg se deberá escribir como Mm/kg. 9. Aunque no se expresa en múltiplos de 10, el minuto, la hora, etcétera, permanecen como múltiplos del segundo para propósitos prácticos. Además la medición de ángulos planos se realiza utilizando radianes (rad). en donde
180º = rad.
Actualmente los países en vía de desarrollo utilizan el S.I, mientras que en los países desarrollados como EE.UU. e Inglaterra se sigue utilizando el sistema Ingles
Nº 1
1. Explique el origen de la definición de la unidad de medida “metro” 2. Cual es la diferencia de la magnitud masa y peso?
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Los conceptos fundamentales son importantes de conocer al curso de física, las cuales en base de la mecánica elemental. El sistema “SI” de unidad se ha estandarizado en la mayoría de países del mundo, pero en algunos países Desarrollados se usa el sistema Ingles. El
Sistema
Internacional
de
Unidades,
considera
las
Siguientes
magnitudes
Fundamentales. Longitud (m), Masa (Ks), Tiempo (s), Temperatura (ºK), Intensidad de corriente (Amp), Intensidad luminosa (cd), Cantidad de sustancia (mol).
R.C. HIBBELER, FÍSICA. Prentice Hall , 1998 David J. McGILL, Wilton W. King , ESTATICA, Grupo editorial iberoamericana, 1991 Ferdinand p. BERR, E. Russell JOHNSTON, ESTATICA, McGrawHill, ,1997
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Nº 1
Nombre: Apellidos: Ciudad:
Fecha: Semestre:
1. Escriba al frente de cada magnitud su unidad de medida correspondiente Masa Longitud Tiempo Temperatura termodinámica Cantidad Intensidad de corriente Cantidad de sustancia. 2. Estados Unidos ¿Qué sistema de unidades utiliza? Sistema Internacional Sistema Práctico gravitacional Sistema Ingles 3. Realice la conversión de la aceleración de la gravedad: 9, 81m/s2; la masa de una persona: 50kg: la velocidad de un móvil: 800km/s y el peso de un cuerpo: 100N al Sistema Ingles.
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VECTORES Algunas magnitudes fundamentales y derivadas se comportan como “vectores”, por lo cual empezaremos nuestro estudio definiendo los conceptos de cantidad o magnitud escalar y magnitud vectorial. Un poco más adelante definiremos algunas reglas del álgebra vectorial. 2.1 Magnitud Escalar y Vectorial Magnitud Escalar.- Son cantidades que quedan expresadas por un número y especie, ejemplo: La masa, el tiempo, la longitud. Es importante señalar que la magnitud escalar también es denominada como: “módulo”, intensidad” o “magnitud”. Magnitud Vectorial.- También se le denomina “vector” y es una cantidad que posee magnitud, dirección y sentido, ejemplo: desplazamiento, velocidad, fuerza y peso. 2.2 Operaciones Vectoriales. a. Suma de vectores b. Resta de vectores c. Multiplicación de un vector por un escalar. (Gráfico 2.1) A
A (3x)
3u
9u
Gráfico 2.1.
d. Descomposición de un vector. (Gráfico 2.2)zz
A Ax Ay
A A1 A2 Gráfico 2.2
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2.3 Suma Vectorial de Fuerzas F1 + F2 FR Gráfico 2.3
F2 F1
o
F3
FR ( F1 F2 ) F3 Utilizando el método de ley de senos
y cosenos puede determinarse aquellos
problemas que no contienen un ángulo de 90° . Del Gráfico 2.3 a c B
A
Gráfico 2.3a
a
b C
Ley de senos
A B C sen.a sen.b sen.c
Ley de cosenos
C
A2 B 2 2 AB cos c
Ejemplo 1
6
Una fuerza vertical F = 60 lb. Actúa hacia abajo en el punto A de una estructura de 2 partes. Determinar el ángulo (0 90 ) , del miembro AB de tal forma que la
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componente de F que actúa a lo largo del eje AB de 80 lb. ¿Cuál es la magnitud de la componente de la fuerza que actúa a lo largo del miembro AC?.
l 80
F
F AB
AC
0
60
b
6 F
600 F = 60 lb
AC
F = 60 lb 600 C
1. por ley de senos
80 60 sen60 sen sen
60 sen60 0.6495 80
180 100 ,5
40 .5
79.5
Fac 80 80 sen79.5 Fac sen sen60 sen60 Fac 90,83lb.
2. Segundo método: por ley de cosenos
FAC 802 602 2(80)(60) cos 79,5 FAC 6400 3600 1749,46 FAC 8250,54
FAC 90,8lb Suma de un Sistema de Fuerzas Coplanares Cuando se va a determinar la fuerza resultante de más de dos fuerzas, es más fácil determinar las componentes de las fuerzas a lo largo de los ejes específicos, sumar estos componentes algebraicamente y después obtener la resultante. (Gráfico 2.4)
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Y F2 F1 X F3 Gráfico 2.4
FR F1 F2 F3 F1x i F1 y j F2 x i F2 y j F3 x i F3 y j ( F1x F2 x F3 x )i ( F1 y F2 y F3 y ) j ( FRx )i ( FRy ) j
FRx Fx FRy F y Modulo de la fuerza resultante FR 2 FR FRX FRY2
Orientación de la fuerza (Dirección de la Fuerza Resultante)
tan 1
16
FRY FRX
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Ejemplo 1. Tres fuerza actúan en la ménsula (Según el grafico mostrado arriba). Determine la magnitud y dirección de de F1 de tal forma que la fuerza resultante se dirija a lo largo del eje positivo de la x’ y tenga una magnitud de 800N
FR 800 N a lo largo de x *) FRx Fx
800 cos 30 F1 cos(30 ) 180
12 13
F1 cos( 30 ) 858 .974
(1)
*) FR y F y
800 sen30 F1 sen(30 ) 200 180 F1 sen (30 ) 130 .77
5 13 (2)
Dividiendo 2
1 F1 sen(30 ) 130,77 F1 cos(30 ) 898,974
tan( 30 ) 8.656
30 8.656
21,34
Rpta
en (1)
F1 cos 8,656 858,974 F1 869
Rpta
Ejemplo 2
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Exprese cada una de las tres fuerzas que actúan en la ménsula en la forma vectorial cartesiana con respecto a los ejes X y Y. Determine la magnitud y dirección de de F1 de tal forma que la Fuerza Resultante este dirigida a lo largo del eje positivo de la X’ y tenga una magnitud de FR = 600N.
a) F1 F1 cos x i F1 sen x j
F2 350i
F3 100 j b) FRx Fx
600 cos 30 350 F1 cos x 169.615 F1 cos x
(1
FRx Fy
600sen30 F1 sen x 100 400 F1 sen x Dividiendo 2
1 F sen x 400 1 tan x 2.358 169.615 F1 cos x
x 67 En (1) 18
Rpta.
(2
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169 .615 F1 cos 67 F1 434 N
Rpta.
Vectores Cartesianos Componentes Rectangulares de un vector( Gráfico 2.5a)
Az
A
Ay
Ax y
Ax
Gráfico 2.5a
A Ax Ay Az
(1)
Vector Unitario (u ; e ) Es aquel vector cuyo módulo es la unidad, se utiliza para determinar la dirección y sentido de un vector. (Gráfico 2.5b)
A A A A A
A
u
A
A
Gráfico 2.5b
A A A
1
Vectores unitarios rectangulares (cartesiano) (Gráfico 2.5c) z Uz = k
Uy = j
y
Ux = i x Gráfico 2.5c
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Representación vectorial cartesiana De la ecuación
A Ax i Ay j Az k
(2)
Módulo del vector cartesiana.
A
2 AXY AZ2
2 AXY AX2 AY2
A
(*) En (*)
AX2 AY2 AZ2
(3)
Dirección de un vector cartesiano La orientación de un vector A se define por los ángulos directores coordenadas
( x )
Ángulos
( y ) ( z ) Cosenos directores
Cos
Az A
Cos
Ay Ax (4) Cos A A
El vector unitario de A es:
A uA A
A Ax i A y j A z k
A cos i A cos j A cos j uA A A A
u A cosi cos j cosk por método del vector unitario 20
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u cos 2 cos 2 cos 2 1
cos2 cos2 cos2 1
(5)
La suma y Resta de Vectores Cartesianos La operaciones de una suma y resta se dos o más vectores son simplificadas en forma significativa si se expresan en formas de sus componentes cartesianos. Consideramos de esta maneta los vectores A y B. (Gráfico 2.6) z
R A
B y x Gráfico 2.6
A Ax i A y j A z k B Bx i B y j Bz k
R A B ( Ax B x )i ( Ay B y ) j ( Az B z )k D R B A ( B x Ax )i ( B y Ay ) j ( B z Az )k Sistema de Fuerzas Concurrentes El concepto de suma de vectores descrito anteriormente puede generalizarse y aplicarse a un sistema de varias fuerzas concurrentes. En este caso, la fuerza resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas en el sistema y puede escribirse como
FR F Fx i Fy j Fz k donde:
21
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Fx ' , Fy y Fz , representan la suma algebraica de las componentes x,y,z o i , j , k de cada fuerza en el sistema. Ejemplo 1 Expresa cada fuerza como vector Cartesiano. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante.
5
3 4
30º
a) F1 350 cos 60i 350 cos 60 j 350 cos 45k
F1 175 i 175 j 247 .49 k
4 5
b) F1 250 cos 30 i 250
4 3 sen30 j 250 k 5 5
F1 173i 100 j 150 k FR F1 F2
*) FR 348 .21i 75 j 97 .49 k
FR 369 .30lb
Rpta.
Cálculo de los ángulos directores
cos1
22
FR FR cos
348.21 0.94 cos 1 0.94 19.2 369.30
cos
75 0.20 cos 1 0.20 78.3 369.30
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cos
97.49 0.26 cos 1 ( 0.26) 105.3 369.30
Vectores de Posición: El vector de posición es de gran importancia cuando se desea expresa un vector fuerza cartesiano dirigido entre cualquier par de puntos del espacio. Coordenadas X, Y, Z. Gráfico 2.7a A(0,3,0) z
F 5
x'
E
B(4,3,0)
C(4,3,-5)
6 D 2
y’
E(-6,-2,0)
F(-6,-2,5) 5
x
y
4
B
Vector de posición (r )
D(0,-2,0)
3 A
C
z'
Gráfico 2.7a
Se define como un vector fijo que ubica un punto en el espacio en relación con otro punto.( Gráficos 2.7b, 2.7c) z
r xi
(0,0,0)
(x,y,z) zk
y
yj x Gráfico 2.7b
r ( x 0)i ( y 0) j ( z 0)k r x i yj z k
23
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z B(XB,YB,ZB)
r
A(XA,YA,ZA)
rB
rA
y
x Gráfico 2.7c
r rB rA
r ( xB i y B j z B k ) ( x Ai y A j z A k ) r ( xB x A )i ( y B y A ) j ( z B z A )k
Vector Fuerza Dirigido a lo Largo de una Línea (Gráfico 2.8) F r B
DA
u
Gráfico 2.8
Procedimientos: 1° Vector de posición Determinar el vector de posición dirigido de A hasta BA Y calcule su módulo. 2° Vector unitario
r r
calcule el vector unitario u que define la dirección y sentido de r y F 3° Vector Fuerza
F F Ejemplo 1 24
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si F = 200 N, A(0,0,0), B(2,-3,5) F =?
1° Hallando el vector de Posición ( r )
r
2i 3 j 5k
r
2 2 (3) 2 5 2 4 9 25
r
38 6,16
2° Hallando vector Unitario ( u )
r 2 i 3 j 5k u r 6,16 2i 3j 5k u 6,16 6,16 6,16 u 0,32i 0,48 j 0,81k
3° Hallando vector Fuerza F = F u
F
200(0,32i 0,48 j 0,81k )
Ejemplo 2 En un instante dado, las posiciones de un avión en A y un tren en B se miden en relación con la antena radar en O. Determine la distancia entre A y B en ese instante. Para resolver ese problema, exprese un vector de posición dirigido de A hasta B, después determine su magnitud
25
Excelencia Académica
A(6 cos 60 o cos 35 o i 6 cos 60 o sen35 o j 6 sen60 o k ) A(2.46i 1.72 j 5.20k ) B(7 cos 25 o sen40 o i 7 cos 25 o cos 40 o j 7 sen25 o k B(4.08i 4.86 j 2.96k ) rAB 6.54i 6.58 j 8.1554k ) Módulo o distancia
D 6.54 2 6.58 2 (8.2) 2 D 12.35.
Rpta
Ejemplo 3 Determine la magnitud y los ángulos directores coordenadas de la fuerza resultante que actúa en el punto A. Z
C 4 p ie s ie 5 p
s
B
8 p ie s
Y
1 2 p ie s X
A (4,8,-12) 26
F
4
F 2 = 1 8 lb 8 p ie s
B(0,8,0)
=
1
12
lb
s p ie
A
C(-5,-8,4)
Excelencia Académica
1° Expresando Cartesianamente F1 yF2
F1 F1u1
4i 0 j 12k F1 12 160 F1 3,79i 0 j 11.38k F2 F2 u 2
9i 16 j 16k F2 18 593 F2 6,65i 11,83 j 11.38k
2° Hallando FR
FR F1 F2 10,44i 11,83 j 23,12k 3° Hallando FR
FR (10,44) 2 (11,83) 2 (23,21) 2 FR 28,06 28 4° Hallando los ángulos directores
10,44 112 o 28 11,83 cos 115 o 28 23,21 cos 34,2 o 28
cos
Producto Punto. Es utilizado para poder hallar el ángulo entre dos líneas los componentes de una fuerza paralela o perpendicular a una línea. En un caso de dos dimensiones se utiliza la trigonometría pero en el caso de tres dimensiones se utilizan métodos vectoriales para encontrar su solución, y para esto el producto punto. (Gráfico 2.9a)
27
Excelencia Académica
El producto punto de los vectores A y B se expresa como A . B Sean los vectores
A Ax i A y j Az k B Bx i B y j Bz k L2 B
A
Gráfico 2.9a
se lee A.B A punto B A.B ( A)( B ) cos ( A)( B ) cos Es un escalar (valor numérico)
Ley de operación en producto punto 1. Ley conmutativa
A.B B. A 2. Multiplicación por un escalar
a ( A.B ) A( aB ) a ( A) B 3. Ley distributiva
A.( B C ) A.B A.C Forma de expresar un vector cartesiano
* i .i (1)(1) cos (1)(1) cos 90 0
28
i .i 1
i.j 0
j. j 1
j .k 0
L1
Excelencia Académica
k .k 1
j .k 0
A.B ( Ax i Ay j Az k ).( B x i B y j B z k ) A.B Ax .B x Ay .B y Az .B z Aplicaciones: El producto escalar de vectores presenta 2 aplicaciones importantes en la mecánica.
El ángulo que forma 2 vectores ó 2 líneas en referencia:
A.B A.B cos A.B A B cos cos . A B ( A)( B)
0 90
A.B A B , cos . u A .u B ar cos A B ( A)( B)
Los componentes de un vector paralelo y perpendicular a una línea. Se realiza mediante dos métodos.
1er método (Gráfico 2.9b) L2
B B
L1 B
A
u
Gráfico 2.9b
B = B cos = componente de B paralelo a L1 B = B sen = componente de B perpendicular a L1
A.B AB cos B.u A = B cos = B 29
Excelencia Académica
B = B 2 B 2 || B|| ( B cos )(u A ) 2do método (Gráfico 2.9c)
A A = sen
A = cos
L1
Gráfico 2.9c
A.u A cos A || A || ( A cos )(u ) A || ( A.u )(u )
A A || A A A - A || Ejemplo 1 Determine el ángulo entre los segmentos de la tubería BA y BC. Hallando coordenadas
rA (6,7,2) rB (0,4,0) rC (0,0,0) rD (0,0,12) Hallando de BA y BC
rBA (6i 3 j 2k )rBC (4 j )
rBA .rBC rBA .rBC cos (6i 3 j 2k ) (4 j ) 3j . 0.429 7 49 42 30
Excelencia Académica
cos 0.429
115 Hallando UAD
6i 7 j 10k 80 35.29i 41.172 j 58.817k 185 F’’=FADUBA
(35.29i 41.172 j 58.817k ).(0.857i 0.429 j 0.286k ) F " 30.244 17.663 16.822 F " 30.085 N F
Rpta
F 2 F"2 F " 80 2 (-30.085)2
F =73.714N
Rpta
Un vector (magnitud vectorial), indica con claridad hacia donde se “Desplaza” un móvil determinar la velocidad, aceleración y cantidad de movimiento. Nº 2
Problema 1 Si F = 300N y = 20°. Determine la magnitud y la dirección medido en sentido contrario a las manecillas del reloj con respecto al eje x’ de la fuerza resultante de las tres que actúan en la ménsula.
31
Excelencia Académica
Problema 2 Determine la dirección del cable y la tensión que se requiere de F1 de tal forma que la fuerza resultante esté dirigida verticalmente hacia arriba y tenga una magnitud de 800N.
Los vectores se definen como expresiones matemáticas que poseen magnitud y dirección, las cuales se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Los vectores se representan por medio de flechas en las ilustraciones y, en este, folleto serán distinguido de las cantidades escalares a través del uso de letras en negrillo (P). en la escritura a mano, un vector puede ser denotado dibujando una pequeña flecha arriba de la letra utilizada para
representarlo (P ) o subrayado a dicha letra ( P ). El último método puede ser el preferido puesto que también se puede utilizar en una maquina de escribir o en la computadora. La magnitud de un vector define la longitud de la flecha utilizada para representarlo. En este folleto, se utilizan letras cursivas P será denotado por P
R.C. HIBBELER, FÍSICA. Prentice Hall , 1998 David J. McGILL, Wilton W. King , ESTATICA, Grupo editorial iberoamericana, 1991 Ferdinand p. BERR, E. Russell JOHNSTON, ESTATICA, McGrawHill, ,1997
32
Excelencia Académica
Nº 2
Nombre: Apellidos:
Fecha:
Ciudad:
Semestre:
1. Resolver los problemas indicados. Problema 1. En una ménsula están actuando tres fuerzas. Determine la magnitud y la dirección de F1 de tal forma que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje positivo x’ y tenga una magnitud de 1KN Rpta. 37.0o. 88 N Problema 2 La fuerza que actúa sobre el diente de un engranaje es F = 20 libras. Descomponga esta fuerza en dos componentes que actúen a lo largo de la líneas aa y bb.
Rpta.
1.03kN ,6.08 o
Problema 3. Se requiere que la componente de la fuerza F que actúa a lo largo de la línea aa tenga una magnitud de 30 libras. Determine la magnitud de F y sus componentes a lo largo de la línea bb.
33
Excelencia Académica
Rpta
Fa 19.6lb, Fb 026.4lb
Problema 4. Exprese el vector de poción r en forma vectorial cartesiana, después, determine su magnitud y sus ángulos directores coordenados.
Rpta.
2.35i 3.93 j 3.71k pies,5.89 pies, 113o , 51.0 o
Problema 5. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa en el punto A. Rpta.
316N , 60.1o , 74.6 o , 146o
Problema 6.
34
48.2 o ,
Excelencia Académica
Exprese la fuerza F en forma vectorial cartesiana si esta actúa en el punto de B de la varilla delgada.
Problema 7 Determinar los ángulos directores coordenados de la fuerza F1 e indíquelos en la figura.
Rpta.
124o , 71.3o , 140o
35
Excelencia Académica
Problema 8 Determine la magnitud de la componente proyectada de la fuerza de 100 libras que actúe a lo largo del eje BC de la tubería.
Rpta.146o
36
Excelencia Académica
EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA En esta parte utilizaremos todos los métodos de descomposición de fuerzas en todos sus componentes, y expresar una fuerza en sus componentes y expresar una fuerza como un vector cartesiano para resolver problemas que involucren el equilibrio de una partícula. Fuerza – equilibrio a = 0
Fuerza F Es una magnitud vectorial cuyo módulo determina la interacción entre los cuerpos que puedan actuar a distancia microscópica o microscópica mediante el contacto. Fuerzas especiales
1. Peso ( P,W ) P m.g
2. Normal (N )
3. Tensión o tracción (T ) hilos, cables, cuerdas.
4. Compresión (C ) viga, puntal, tubos, columnas. 5. Fuerzas Elástica 6. Fuerza de Fricción 7. Fuerzas Concentradas 8. Fuerzas Distributivas
Gráfico 3.1a
37
Excelencia Académica
Por la ley de Hooke F = Fuerza deformadora N , lb T = Fuerza elástica de tensión N , lb C = Fuerza elástica de compresión N , lb K = Constante de elasticidad
lb N N lb , ; , m m pu lg pie S = Deformación del resorte
m, cm, mm , pu lg, pie 3.1 Condiciones para el equilibrio de una partícula Una
partícula
se
encuentra
en
equilibrio
siempre y cuando permanezca en reposo si así se encontraba, el termino “equilibrio” o mas especificado “equilibrio estático”, sin embargo para mantener en equilibrio debe de cumplir la primera ley de newton la cual se refiere que si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es igual a cero.
F 0 F m.a 0 3.2 Equilibrio de una Partícula Condiciones para el equilibrio de una partícula
F 0 1° Ley de Newton
38
- Reposo
v=0
a=0
- M.R.U.
v = cte
a=0
Excelencia Académica
2° Ley de Newton
F ma 0
F 0
4.3 Diagrama del cuerpo libre (D.C.L) Es aislada o presentada libremente a una partícula o cuerpo para luego indicar las fuerzas que actúa en la partícula. Ejemplo: Realizar el diagrama de cuerpo libre
del siguiente sistema. a) D. C. L de 1
b) D.C.L. de argolla B
39
Excelencia Académica
c) D. C. L. del punto D.
Cable y polea
4.4 Sistema de fuerzas coplanares (Gráfico 4.4 a) Gráfico 4.4ª
F1 F2 F3 F4 0 F 0
Fx 0 Ejemplo 1.
40
Fy 0
Excelencia Académica
La cuerda AB tiene una longitud de 5 pies y esta unidad al extremo B del resorte cuyo valor de rigidez K = 10 libras/pie, el otro extremo del resorte esta unida a la rueda en C de tal forma que el resorte permanece en posición horizontal conforme se estira. Si un peso de 10 libras se suspende en el punto B. Determine la longitud indeformable del resorte para el ángulo = 40° a fin de lograr el equilibrio.
Ecuaciones de equilibrio
Fx 0 FBC FAB cos 40 0 FBC FBA cos 40
(1
Fy 0 FAB sen 40 10 FAB
10 15.557 sen 40
yFBC 15.557x cos 40 11.18
La fuerza FBC, es la fuerza en el resorte, entonces el estiramiento del resorte B es por lo tanto:
FBC K BC S BC S BC
FBC 11.918 1.1918 K BC 10
Rpta.
41
Excelencia Académica
Cálculo de la longitud indeformable
LAD LAB cos 40 LBC LAD 5´cos 40 ( L´BC 5´
10 5sen40 L´BC 1.1418 L´BC 4.977 pies.
Rpta.
Sistema de fuerzas Tridimensionales (Gráfico 4.4b)
Gráfico 4.4b
F1 F2 F3 0 F 0 F 0
F 0
F 0
Problema 1. Determine la tensión que se requiere en los tres cables para soportar el semáforo, el cual tiene una masa de 15 Kg. Tome el valor de h = 4m.
42
Excelencia Académica
Problema 2. Determinar la tensión que se requiere en los tres cables para soportar el semáforo, el cual tiene una masa de 20 Kg. Tome el valor de h 3.5m.
A(0,0,4) B(3,4,4) C (6,3,6) B(4,3,4) u AB (3i 4 j 0k ) (0.8i 0.6 j )T AB u AB ( 4i 3 j 0k ) (0.8i 0.6 j )T AD u AC ( 6i 3 j 2k ) (0.857i 0.429 j 0.286 k )T AC
F F F
x
0.8T AD 0.6T AB 0.857TAC 0
y
0.6TAD 0.8T AB 0.429TAC 0
z
0.286T AD 147.15 0
TAC 514.51 TAC 515N Para
F
x
0
43
Excelencia Académica
0.8T AD 0.6T AB 0.837 (0.515 ) 0 0.6T AB 735 .532 1.33T AD Para
F
0
Y
0.6T AD 0.8T AB 0.429 (0.515) 0
(2)
Resolviendo (1) y (2)
TAD 221N TAD 441N Para el ejemplo 2 A(0,0,3.5)
u AB (3i 4 j 0.5k ) / 25.20
B(3,4,4)
u AC (6i 3 j 2.5k ) / 51.25
C(-6,-3,6)
u AD (4i 4 j 0.5k ) / 25.20
W 20 (9.81) 196 .2 z Para
F
0
x
0.597TAB 0.838TAC 0.796TAD 0 Para
F
0
y
0.796TAB 0.419TAC 0.597TAD 0 Para
F
z
(2)
0
0.1TAB 0.349TDC 0.1AD 196.2 0 Resolviendo (1), (2) y (3)
TAB 48N TAC 431.7 N TAD 173.7 N
44
(1)
(3)
(1)
Excelencia Académica
Una partícula no posee equilibrio a la rotación ( M 0 0 ) porque sobre ella no se puede determinar momento de fuerza.
Nº 3
Problema 1 Las tuberías de 200mm de diámetro representados en la figura tiene cada una, de ellas una masa de 200 Kg. Determinar las fuerzas que ejercen los apoyos sobre las tuberías en los contactos A, B y C supóngase lizas todas la superficies.
Problema 2 Un cilindro de 15 KN pende de un sistema de cables según se indica en la figura. Determinar las tensiones de los cables A, B, y C.
Equilibrio indica ausencia de aceleración en una partícula. El equilibrio de una partícula se fundamente en la primera ley de Newton: si sobre un cuerpo o partícula actúa una fuerza
45
Excelencia Académica
resultante nula la partícula permanecerá en reposo o con velocidad constante” . esto indica que la partícula posee equilibrio a la traslación donde se cumple:
Fx 0
Fy 0
Fz 0
Análisis Escalar
F 0
Análisis Vectorial.
R.C. HIBBELER, FÍSICA. Prentice Hall , 1998 David J. McGILL, Wilton W. King , ESTATICA, Grupo editorial iberoamericana, 1991 Ferdinand p. BERR, E. Russell JOHNSTON, ESTATICA, McGrawHill, ,1997
46
Excelencia Académica
Nº 3 Nombre: Apellidos: Ciudad:
Fecha: Semestre:
1. Resolver los problemas indicados. Problema 1 Un arreglo de lámpara de 10 libras esta suspendido con dos resortes, cada uno de los cuales tiene una longitud de estiramiento de 4 pies y una rigidez de K = 5 libras/pie. Determine el ángulo para el equilibrio.
Problema 2 Determine la longitud sin estirar del resorte AC si una fuerza P=80 libras causa un ángulo
= 60° para el equilibrio. La cuerda AB tiene una longitud de 2 pies. Tomar el valor de K = 50 libras/pie.
Problema 3 Tres cilindros homogéneos lisos A, B y C están apilados en un cangilon en forma de V, tal como se muestra en la figura, cada cilindro pesa 500 N y un diámetro de 125mm. Determinar el mínimo valor que puede tener para que haya equilibrio. 47
Excelencia Académica
Problema 4
Dos cuerpos que pesan 750N y 1000N, respectivamente se apoyan sobre un cilindro y están unidos por una cuerda según se indica en la figura. Hallar las reacciones del cilindro sobre los cuerpos, la tensión de la cuerda y el ángulo . Suponer ausencia de rozamiento en todas las superficies. Problema 5. Si la cubeta y su contenido tiene un peso total de 20 libras. Determine la fuerza de los cables de soporte DA, DB y DC.
48
Excelencia Académica
Problema 6. Si cada cable soporta una tensión máxima de 600 libras. Determine el peso máximo de la cubeta y su contenido que podría ser tolerado por los cables.
Problema 7 El semáforo representado en la figura pende de un sistema de cables. Determinar las tensiones de los cables A, B y C si el semáforo tiene una masa de 75 kg.
Problema 8 La fuerza F necesaria para mantener la placa de hormigón de 25 KN en el plano XY, tal como se indica en la figura es igual a su peso. Determinar las tensiones de los cables A, B, y C utilizados para soportar dicha placa. 49
Excelencia Académica
Problema 9 Tres cables sea utilizan para soportar la lámpara de 800N. Determine la fuerza desarrollada en cada una de ellos para lograr el equilibrio.
50
Excelencia Académica
MOMENTO DE UNA FUERZA – EXPRESIÓN ESCALAR El momento de una fuerza con respecto a un punto o eje da conocer a que medida existe tendencia en una fuerza a causar la rotación de un cuerpo con respecto a un punto o eje. Ver gráfico 4(a), (b) y (c).
Gráfico 4a
Gráfico 4b
Gráfico 4c
Magnitud. La magnitud de Mo es:
M0 Fd
Donde “d” hace referencia al brazo de palanca o a la distancia perpendicular desde el eje en el punto O hasta la línea de acción de la fuerza. 51
Excelencia Académica
Gráfico 4d
Dirección
La dirección de Mo se especifica utilizando la “regla de la mano derecha” ( Gráfico 4d). Para hacer esto, los dedos de la mano derecha se flexionan de acuerdo con el sentido que seguirá la fuerza si girará con respecto al punto O. El dedo pulgar entonces apuntara a lo largo del eje de momentos proporcionando la dirección y el sentido del vector momento. Momento Resultante de un Sistema de Fuerzas Coplanares Un sistema de fuerzas se encuentra contendido en el plano x-y, entonces el momento producido por cada fuerza con respecto al punto O esta dirigido a lo largo del eje .
M0(-)
M0(+)
M RO Fd Gráfico 4e
Momento de una Fuerza con Respecto a un Punto: se expresa utilizando el producto cruz y se puede representar mediante el siguiente grafico 4f
52
M O rxF
Excelencia Académica
Gráfico 4f
Magnitud.
M 0 rFsen F (rsen ) Fd Dirección
M0 es perpendicular el plano que forma r yF cumplen regla de la mano derecha.
Gráfico 4g
Transmisibilidad de una Fuerza ( Gráfico 4h) Considerando una fuerza aplicada en el punto A; eL momento que produce dicha fuerza con respeto al punto O es:
Gráfico 4h
M O rA xF
53
Excelencia Académica
Sin embargo el vector de posición r puede entenderse desde 0 a cualquier punto sobre la línea de acción de F, en consecuencia F puede aplicar al punto B, C, o cualquier otro punto sobre dicha línea y siempre se obtiene el mismo momento:
M 0 rB xF rC xF ... rn xF Donde F actúa como vector deslizante, entonces toma el nombre de fuerza transmisible. Expresión Vectorial Cartesiana
M 0 r xF i
M 0 rx
j
k
ry
rz
Fx
Fy Fz ( ryFz rzFy )i ( rxFz rzFx ) j ( rxFy ryFx ) k
Momento Resultante de un Sistema de Fuerzas
Gráfico 4I
M 0 1 r1 xF1 M 0 2 r2 xF2 M 0 3 r3 xF3
54
Excelencia Académica
M 0 rn xFn
Donde: M R 0 (M 0 )1 (M 0 )2 (M 0 )3 ... (M 0 )n n n M R 0 M 0 (rn xFn ) n 1
n 1
M RO ( r xF ) Principios de l os Momentos (Teorema de Varignon) Este teorema establece que el momento de una fuerza con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de los componentes de la fuerza con respeto al mismo punto y en ello se comprueba la ley distributiva del producto cruz entre dos sectores. (Gráfico 4J)
Z
F F1
F2 A
X
0 Y Gráfico 4J
F F1 F2 M 0 r xF1 r xF2 M 0 r x( F1 F2 )
M O r xF
Ejemplo 1. La fuerza
F (6i 8 j 10k ) N
crea una fuerza con respecto al punto O de
M 0 ( 14i 8 j 2k ) N m si la fuerza pasa por un punto que tiene x = 1 determine las coordenadas “y” y “z” del punto.
55
Excelencia Académica
También tomando en cuenta que M 0 F .d . Determine la distancia perpendicular “d” desde el
Gráfico 4k
Punto O hasta la línea de acción F grafico 4k 1. Hallando M0
M 0 (14) 2 (8) 2 22 16,25 N .m.
2. Hallando F
F 36 64 100 14,14 N .
M 0 F .d
16,25=14,14.d
d 1,15 N
56
Excelencia Académica
3. Hallando “y” y “z”
i
j
k
M 0 rxF 1 y z 6 8 10
M 0 (10 y 8 z )i (10 6 z ) j (8 6 y )k
14i 8 j 2k (10 8z)i (10 6 z) j (8 6 y)k 8 10 6 z z 3m 2 8 6 y y 1m
Problema 1. La barra curvada recae en el plano “XY” y tiene un radio de 3m. si una fuerza de F = 80 N actúa en su extremo como se muestra, determine el momento de esta fuerza con respecto al punto B. Así mismo respecto al punto O. Hallando coordenadas
57
Excelencia Académica
A(3.3,0); B (0.88;2.12;0); C (4,0,2) rAB rB rA
rBA 2,12i 0.88 j 0k
Expresando – cartesianamente - F
F Fu AC i 3 j 2k F 80 F 21.4i 64.4 j 42.76k 14 M B r xF M B i (0,88.42,76) j (2,12.42,76)
k (2,12.64,14) (0,88.21,4)
M B (37,62i 90,65 j 154,8k ) N
Rpta
Momento de una fuerza respecto a un punto específico(Gráfico 4L)
58
Excelencia Académica
Gráfico 4L
Procedimiento Vectorial 1. Determinar el momento que produce una fuerza F con respecto a un punto eje.
M 0 r xF
2. Determinar el vector unitario del eje u
eje = ua uax i uay j uaz k
3. Realizar el producto punto entre el vector momento y el vector unitario del punto eje, obteniéndose así el momento de la fuerza al eje.
M 0 yua
M a ua .M 0 ua .(rxF ) i M a (uax i uay j uaz k ). rx
j ry
Fx Fy
k uax rz rx
uay ry
uaz rz
Fz
Fy
Fz
Fx
M a M 0 .u a M M 0 M a
Vectorialmente
Para obtener el momento resultante de una serie de fuerzas con respecto a un eje se puede expresar.
M a (M 0 .ua ).ua ua .(r xF )ua
M a ua .(r xF ) 59
Excelencia Académica
Momento de un Par. ( M , C ) CUPLA (Gráfico 4LL) Un par se define como dos fuerzas paralelas que poseen la misma magnitud direcciones opuestas y están separadas por una distancia perpendicular d.
F
-F Gráfico 4LL
El momento de un par
Gráfico 4M
r rB rA Este resultado indica que el momento de un par es un vector libre, es decir que puede
actuar punto del espacio, puesto que M depende solamente del vector de posición dirigido entre dos fuerzas.
M rB xF rA x( F ) M rB xF rA xF M ( rB rA ) F ;
r rB rA ;
M r xF
Expresión Escalar: El momento de un par M se define como aquel que posee una magnitud
60
Excelencia Académica
-F
F -F Gráfico 4N
M rFsen M Frsen
M = F. d
Expresión Vectorial:
El momento de un par M puede también expresarse por el producto cruz vectorial utilizando la ecuación Pares equivalentes: Si producen el mismo momento. (Gráfico 4P)
Gráfico 4P
Resultante del momento del par (Gráfico 4Q)
61
Excelencia Académica
Gráfico 4Q
M R M1 M 2 M M R (r xF )
Cuando las fuerzas actuantes sobre una partícula son paralelas se puede determinar la resultante realizando una suma escalar de sus magnitudes, pero si las fuerzas forman ángulos agudos u obtusos, la resultante se determina con mayor facilidad utilizando la forma vectorial.
Nº 4
Problema 1 Una barra curva está sometida a una fuerza de 3300N en la forma que se indica en la figura. Determinar el momento de la fuerza respecto al eje BC. Expresar el resultado en forma vectorial cartesiana.
62
Excelencia Académica
Problema 2 Determine el momento del Par, exprese el resultado como un vector cartesiano.
La determinación de la resultante de fuerzas que actúan sobre una partícula nos permite determinar hacia donde se dirigirá la partícula (sentido y dirección) y el cálculo de su magnitud respectiva.
R.C. HIBBELER, FÍSICA. Prentice Hall , 1998 David J. McGILL, Wilton W. King , ESTATICA, Grupo editorial iberoamericana, 1991 Ferdinand p. BERR, E. Russell JOHNSTON, ESTATICA, McGrawHill, ,1997 63
Excelencia Académica
Nº 4 Nombre: Apellidos: Ciudad:
Fecha: Semestre:
Resolver los siguientes problemas.
Problema 1 Determine la magnitud y la dirección del momento resultante de las fuerzas con respecto al
Problema 2 La pluma tiene longitud de 30pies, un peso de 800 libras y un centro de masa en el punto G. Determine el Momento máximo que puede desarrollar el motor en el punto A es de M = 20 (103) libras. Pie, determinar la carga máxima W que puede ser levantada teniendo un centro de masa en el punto G. el valor de 30 0
64
Excelencia Académica
Problema 3 Determine el momento de la fuerza en el punto A con respecto al punto P. Exprese el resultado como un vector cartesiano.
Problema 4
Determine la magnitud de la fuerza horizontal de F Fi que actúa en el mango de la llave para que esta fuerza produzca una componente de momento a lo largo del eje OA
(eje z) del segmento de tubería de M z 4k N .m tanto la llave como el segmento tubería OABC están en plano Y-Z.
Sugerencia utilice el análisis escalar.
65
Excelencia Académica
Problema 5
Una fuerza horizontal F ( 50 i ) N se aplica en dirección perpendicular al mango de la llave de tubería. Determine el momento que esta fuerza ejerce a lo largo del eje OA(eje z) del segmento de tubería, tanto la llave como el segmento de tubería OABC están en el plano Y- Z. Sugerencia utilice el análisis escalar
Problema 6 Determine la magnitud de la fuerza vertical F que actúa sobre el mango de la llave para que esta fuerza produzca una componente de momento a lo largo de AB (eje X) del
segmento de tubería de ( M A ) x 5i N .m , tanto el segmento de tubería ABC como la llave reencuentra en el plano X-Y
Sugerencia utilice el análisis escalar.
66
Excelencia Académica
Problema 7 Se aplica una fuerza de 534N al conjunto palanca – árbol según se indica en la figura. Determinar la componente escalar del momento en punto O respecto al eje OB.
Problema 8 Si el momento del par que actúa sobre la tubería tiene una magnitud de 400N.m. Determine la magnitud F de la fuerza vertical aplicada a cada llave.
67
Excelencia Académica
Problema 10 Determine el momento resultante de los dos pares que actúan sobre el segmento. La parte OB recae en el punto X – Z.
Problema 11 Se carga una placa con un sistema de fuerzas, según se indica en la figura. Expresar la resultante del sistema de fuerzas en forma vectorial cartesiana
68
Excelencia Académica
CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE En este capítulo se estudiara el método para determinar
la ubicación del centro de
gravedad y el centro de masa de un sistema de partículas discretas, para luego aplicar a un cuerpo de forma arbitraria el mismo método de análisis se empleará para determinar el centro geométrico o Centroide de líneas, áreas y volúmenes. Centro de gravedad y centro de masa de un sistema de partículas. (Gráfico 5a) Centro de Gravedad (G) .- Es aquel punto donde se ubica la resultante (equivalente) del
Gráfico 5a
sistema de fuerzas paralelas (pesos). Para determinar: x , y, z se recordara el teorema de Varignon: Para determinar la coordenada x de G, podemos sumar momentos, con respecto a y.
M yw R M yw
XWR ~ x1 w1 . ~ x2 w2 ...~ xn wz x
~ x1 w1 . ~ x 2 w2 ...~ xn wz wR
x
zw yw xw ~ ~ ~ ,y ,z w w w
(1)
69
Excelencia Académica
Donde :
x , y, z = Coordenadas de cada partícula en el sistema. x , y, z = Coordenadas del Centro de Gravedad (G) del sistema de partículas. W R W suma total de los pesos del S. Partículas. Centro de Masa (C. M.) Su aplicación se genera en el movimiento de las partículas teniendo en cuenta las fuerzas que los originan (cinética de la partícula).
x
~ x mg m, g
“g” se simplifica si las partículas se encuentran cercanos.
x
~ xm ~ ym ~ zm ,y ,z m m m
(2)
Centro de Gravedad, Centro de Masa y Centroide de un Cuerpo. (Gráfico 5b) Centro de Gravedad (G): Se considera un peso total W y cada partícula en ( x , y, z ) tiene un diferencial “dw”; es un diferencial de Volumen “dv” por lo tanto se requiere de una integración más que una suma discreta de los términos. Las ecuaciones son:
Gráfico 5b
x
~x dw , y ~y dw , z ~z dw dw dw dw
Donde 70
w peso especifico v
(3)
Excelencia Académica
dw dw dv dv
x
~x dv y ~ydv z ~z dv dv dv dv v
(3)
v
v
v
v
(4)
v
Si es constante para todo el cuerpo se simplifica en el numerador y denominador.
Centro de Masa (C.M.)
: densidad de material.
w m.g .g v v
En (6.4) cancelando g tanto de los numeradores y denominadores se obtiene:
x
~x .dv y ~y .dv z ~z .dv .dv .dv .dv v
v
v
v
v
(5)
v
CENTROIDE (C) El centroide constituye el centro geométrico de un objeto. Su ubicación puede determinarse. Por medio de formulas similares a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o centro de mada del cuerpo
Centroide de un Volumen: * Considerando constante para cuerpos homogéneos:
Gráfico 5c
x
~x dv y ~ydv z ~z dv dv dv dv v
v
v
v
v
v
volumen 71
Excelencia Académica
Centroide de un área. (Gráfico 5d) Gráfico 5d
~ ~ ~ x dA y dA z dA x ;y ;z dA dA dA
Centroide de una línea. (Gráfico 5e)
~ ~ ~ x dL y dL z dL x ;y ;z dL dL dL L
L
L
L
L
L
Gráfico 5e
Problema 1
Calcular el centroide del área plana correspondiente a la figura:
tan
72
24 4 53,13 0,927 rad . 18 3
Excelencia Académica
x1 0 ~ 48.32 768 A(1) 2 ~ 2 y1 3 (32) 64 / 3()
A( 2 )
x2 0 ~ 48(18) 432 1 ~ 2 y 2 3 (18) 32 38
A(3) .r 2 (0,9273)(30) 2 834,565
2r ~ y 3 50 sen 3
2(30) ~ y3 50 sen53,13 50 17,25437 3(0,9273)
~ y3 32,745
Figura
Ai
~ xi
~ yi
Ai ~ xi
Ai ~ yi
AOC
768
0,0
-64/3
0,0
-16384
ACB
432
0,0
-38
0,0
-16416
Sector
-
circular
834,565
0,0
27327,83
365,435
0,0
32,745
-5472,17
* Hallando C. G. Del arco sombreado:
x 0 y
A1 ~ y1 5472,17 14,97cm A1 365,435
y 14,97 cm Problema 2 Cuáles son las coordenadas centroidales de la superficie que se muestra en la fig.
73
Excelencia Académica
1) Hallando x1 ; y1 ; área del elemento diferencial es
1 x1 x; ~ y1 y ; y x 3 dA1 ydx y su centroide ~ 2 8 6
1 3 1 x4 ydx x dx . 0 8 8 4
*) A1 ydx A
6 0
A1
36(36) 40,5 pie 2 Rpta. 32
*)
1 3 1 x5 ~ x dA x . ydx x . x dx . A 1 1 0 8 8 5
6
~x dA 1
1
A
*) ~ y1 dA1
A
~y1dA1 A
6 0
36(36)6 194,4 pie 3 Rpta 40 6
6
y 1 x6 1 x7 ydx dx . . 0 2 2 0 64 128 7
6 0
67 312.428 pie 3 128(7)
luego: x1
My
~x dA
A1
dA
1
1
A
1
194.4 = x1 4,8 pies 40.5
A
M y1 x A1
~y dA 1
dA
1
A
74
1
A
312.428 y1 7,714 pies 40.5
Excelencia Académica
Figura
A
~ x
~ y
A~ x
A ~y
1
40,5
4,8
7,714
194,4
312,428
2
18,0
72,0
-36,00
3
-2,0
5,5
-1,0
-11.0
2,00
4
-
4,0
1,0
-4
-
53,36
242,83
275,286
Luego: x
x
4= 23 6 - 63 2
x 242 ,83 A~ x 4,55 pies A 53,36
y 275,286 A~ y 5,16 pies A 53,36
Rpta.
Problema 3 Determinar el centroide en X , Y del área sombreada de la figura
1) Determinando las constantes m y k
Y1 mx si x L Y1 H m Y2 kx 2 asi k Y1
H X; L
H L
H 2 X L Y2
H 2 X L
75
Excelencia Académica
2) Cálculo del diferencial de área (dA)
y y 2 y1 y 2 H H dA ( y1 y 2 )dx X 2 X 2 ; ~ y y2 1 Cálculo de X 2 2 L L H x3 L H H 2 H 3 X X dx xdA 0 L L 3 0 L2 L2 L X H H H x2 L H dA 2 X X dx 0 L L2 L 2 0 L2 L
HL2 3 HL 3
HL2 L 4 12 L X L HL L 2 2 3 6
2 2 1 H H 2 X X dx ~ ydA 0 2 L L2 X L H H dA 2 0 L X L2 X dx L
x4 4 x3 3
L 0 L 0
Rpta.
H 2 x3 L H 2 x5 L L2 6 0 L4 10 0 H x 2 L H x3 L L 2 0 L2 3 0
1 2 H L 2 2 15 H Y H 1 5 5 HL 6
El centro de gravedad de un cuerpo no varia cuando se le cambio de posición, pero si cuando se altera la forma del cuerpo. En algunos cuerpos el centro de gravedad puede estar fuera de ella (caso de un aro circular).
Nº 5
Problema 1 Ubique el centroide del área sombreada
76
Excelencia Académica
Problema 2 Localiza el centro de gravedad de una placa triangular delgada homogénea limitada por el eje y las líneas y = 10cm y 5x – 3y =15, donde x, y se expresan en centímetros.
Todos los cuerpos o sistemas tienen su centro e gravedad en cual se origina debido a la acción de la fuerza gravitacional de la tierra sobre todos los cuerpos, a esta fuerza gravitacional se le denomina peso del cuerpo o del sistema, el cual se sitúan en el centro de gravedad del cuerpo. El centroide se determina figuras y cuerpos de formas irregulares.
R.C. HIBBELER, FÍSICA. Prentice Hall , 1998 David J. McGILL, Wilton W. King , ESTATICA, Grupo editorial iberoamericana, 1991 Ferdinand p. BERR, E. Russell JOHNSTON, ESTATICA, McGrawHill, ,1997
77
Excelencia Académica
Nº 5 Nombre: Apellidos: Ciudad:
Fecha: Semestre:
1. Resolver los siguientes problemas. Problema 1 Ubique el centroide del área sombreada
Problema 2 Ubique el centroide del área parabólica
Problema 3 Localice el centroide del área sombreada de la fig. la ecuación de la curva es y3 = 2x, donde x, y se expresan en centímetros.
78
Excelencia Académica
Problema 4 Calcule las coordenadas y del centroide del arco de la parábola y = x2 (x y y se mide en metros)comprendido entre el origen y el punto (1.1). la longitud del arco es
0,25 2 5 ln(2 5 ) m Problema 4 Calcule con respecto al eje y el momento de primer orden del area sombreada de la figura. La ecuación de la curva es y = x2 – 2x, x y y se expresan en metros. Problema 6 Localiza el centroide del área limitada por la parábola bx=2by – y2 y el eje y.
Problema 7 En la figura se representa la línea 2y = 4a- x y la parábola 4ay = x2 localice el centroide de la región sombreada. a) I b) II c) III
79
Excelencia Académica
80
Excelencia Académica
CINEMÁTICA Cinemática de una Partícula. Estudia los aspectos geométricos del movimiento de una partícula, que se mide de acuerdo con marcos de referencia fijos y variables. Partícula Es un cuerpo que tiene masa aunque no se toma en consideración, se desprecia su tamaño y forma. Cinemática rectilínea: movimiento continuo. Es preciso recordar que una partícula tiene una masa aunque no se toma en consideración, es decir, se desprecia su tamaño y su forma. Por lo tanto, es preciso limitarse a aquellos objetos cuyas dimensiones no modifican el análisis del movimiento. Cinemática rectilínea. Una partícula puede desplazarse sobre una trayectoria recta o curva. Posición. Es posible definir la trayectoria en línea recta de una partícula utilizando un solo eje d coordenadas. Desplazamiento. El desplazamiento de una partícula se define cambio en la posición. Velocidad. La velocidad instantánea se define como v lím ( r / )0 Aceleración. Es el intervalo de tiempo t se define como:
a media
v t
v Representa la variación de velocidad Aceleración constante. a = acº Cuando la aceleración es constante, es posible integrar cada una de las tres ecuaciones cinemáticas: ac dv / dt, v ds / dt y
ac ds vdv; Para obtener formulas que relacionen ac , v, s y t. Velocidad como una función de tiempo.
Integre ac dv / dt, suponiendo que
inicialmente v = vo cuanto t = 0
81
Excelencia Académica
v
v0
s
dv a c dt 0
v v 0 a c (t 0 )
v v0 a c t Aceleración constante. Posición como una función de tiempo. Integre v ds / dt = v0 ac t , suponiendo que en un principio s = so cuando t = 0.
s
s0
ds
t
(v 0
0
a c t ) dt
s s 0 v 0 (t 0) a c ( 12 t 2 0)
s s 0 v 0 t 12 a c t 2 Aceleración constante Velocidad como una función de posición. Integre vdv ac ds, suponiendo que inicialmente v v0 en s s0 v
s
v0
s0
vdv 1 2
a c ds
v 2 12 v 02 a c ( s s 0 )
v 2 v 02 2a c ( s s 0 ) Aceleración constante Un ejemplo común del movimiento de aceleración constante ocurre cuerpo cae libremente a la tierra. Se dispara verticalmente un pequeño proyectil hacia abajo dentro de un fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. si el proyectil sufre una desaceleración equivalente a
a (0.4v 3 )m / s 2 , donde v se mide en m/s determine la velocidad y la posición del proyectil cuatro segundos después del disparo. Solución: Sistema de coordenadas es descendente. Velocidad, la aceleración se da como una función de la velocidad.
a
dv 0. 4v 3 dt
t dv dt 3 60 0.4v 0
82
s
Excelencia Académica
1 1 1 0 .4 2 v 2
v
t 0
60
1 1 1 2 t 0.8 v (60) 2 1 / 2 1 v 0 . 8 t m / s 2 (60)
v 0.559 m / s
Rpta.
Posición Considerando a la velocidad como una función de tiempo
ds 1 v 0.8t 2 dt (60)
1 / 2
t 1 ds 0 0 (60) 2 0.8t
1 / 2
s
s
2 1 0.8t 2 0.8 (60)
dt
1 / 2 t
1 1 s 0.8t 2 0.4 (60)
0 1 / 2
1 m 60
Cuando t = 4 segundos,
s 4.43m
Rpta.
Desplazamiento de la Partícula El desplazamiento es el cambio de posición de un cuerpo o medida que trascurre el tiempo, con respecto a un sistema de referencia. Posición de una Partícula Es la ubicación de un cuerpo idealizado en un determinado sistema de referencia. La posición de una partícula se puede determinar de diferentes formas, tales como:
a) Mediante sus componentes rectangulares
83
Excelencia Académica
Z
P(x,y,z) z Y x y
X
Fig. 6.1 Posición de una partícula mediante componentes rectangulares
x = x (t); y = y (t); z = z (t); b) Mediante un vector de posición Z
r = f(t)
P r Y
X Fig. 6.2 Ubicación de un partícula mediante un vector de posición
c) Mediante la ecuación horario del movimiento Z
S = f(t) P0
S
P Y
X Fig. 6.3 ubicación de un partícula mediante la ley horaria
Posición, Velocidad y Aceleración de la Partícula Mediante el Análisis Escalar Considérese el movimiento mostrado en la Fig. 1.4 supóngase que una partícula se encuentren en el punto A en el tiempo t = 0. la partícula se encuentra en la posición B en el tiempo t y en la posición C en el tiempo t + Δt. +
A
B
C
X
X t=0 x=0
(x)
t
t + t (tiempo)
Fig. 6.4 Movimiento rectilíneo de una partícula sobre el eje x.
84
Excelencia Académica
Velocidad promedio
v pro
x t
Velocidad instantánea
v lim t 0
dx x x dt t
1
Aceleración promedio
a pro
v t
Aceleración instantánea
a lim t 0
dv v v x dt t
2
En muchos problemas es conveniente eliminar el tiempo dt de las ecuaciones. Para esto, usamos la regla de la cadena,
a
dv dv dx dv v dt dx dt dx
Se obtiene v dv = a dx
3
Posición, Velocidad y Aceleración de la Partícula Mediante el Análisis Vectorial. Considérese una partícula que se encuentra en la posición P en el tiempo t y en la posición P´ en el tiempo t +Δt. Estas dos posiciones están definidas, con respecto al origen de un sistema de referencia fijo, por los vectores r y r mientras que Δs representa el desplazamiento real de la partícula a lo largo de la trayectoria de su movimiento. P'
Z r'
s = r P r
Y
X Fig. 6.5 vector posición de una partícula
Velocidad promedio
r vm t Velocidad instantánea 85
Excelencia Académica
r dr v limt 0 t dt Aceleración promedio
v am t Aceleración instantánea
v dv d 2 r a lim t 0 v 2 r dt t dt Z
a=
dv dt
V=
dr dt
r Y X
Fig. 6.6 Vector velocidad y aceleración Derivada de Vectores En todo Movimiento, excepto en el rectilíneo, las cantidades vectoriales cambian en magnitud y dirección.
d dA dB A B dt dt dt d dA dB A.B .B A. dt dt dt
d dA dB AxB xB A x dt dt dt
Movimiento curvilíneo: componentes rectangulares Coordenadas Rectangulares Estas coordenadas se utilizan cuando es posible descomponer el movimiento en componentes horizontales y verticales, además cuando se conoce la geometría del movimiento.
86
Excelencia Académica
Posición
velocidad
x x v x
aceleración
x a x
y v y
y a y
z z v z
z a z
y
Caso (1): si el movimiento es en el plano z = 0; z 0 ; z 0 Caso (2): si el movimiento es rectilíneo y = 0; y 0 ; y 0 z = 0; z 0 ; z 0 Es decir se toma al eje x como la trayectoria, donde
a
dv dv dx dv v dt dx dt dx
a dx = v dv Z P r Y X
Fig. 6.7 Vector posición
r xi yj zk v r x i y j z k a v r x i yj zk
87
Excelencia Académica
PROB. 1 (Bedford) si y = 150 mm, dy/dt = 300 mm/s y d2y/dt2 = 0 ¿cuales son las magnitudes de la velocidad y aceleración del punto P?
P
300 mm
y
Solución Análisis: El punto P describe una trayectoria circular y lineal Posición del punto P Se puede determinar a partir de la ecuación de la circunferencia x2 + y2 = r2
(1)
Para y = 150 mm => x = 259.81 mm Cálculo de la componente de la velocidad en x , derivando la ecuación (1) respecto al tiempo
2xx 2yy 0 xx yy
x
yy 150 * 300 259.81 x
x 173 .20
Por dato:
(2)
y 300
mm / s
mm / s
La magnitud de v
v x 2 y 2 (173.20) 2 (300) 2 v = 346.4 mm/s Cálculo de la aceleración en x Derivando nuevamente la ecuación (2) respecto al tiempo
xx x 2 yy y 2 ,
x 88
por dato y 0
y 2 x 2 300 2 173 .20 2 259 .81 x
Excelencia Académica
x 461.87 mm / s2 a = 461.87 mm/s2 PROB. 2 En la ecuación que se muestra se tiene que la aceleración es siempre proporcional a la distancia entre la partícula y un punto fijo situado sobre la trayectoria y dirigida siempre hacia el punto fijo. Se pide determinar el desplazamiento en función al tiempo. a = -kx Solución Se sabe
a
dv dx vdv x dt dx dx
a dx = vdv v dv = -kx dx
vdv kxdx
Integrando
v2 x2 k c 2 2 2
2
v kx c
También:
dx dx 2 c kx dt dt
v Separando variables
dx c kx 2
dt
Integrando
dx
2 c kx
dt I2
I1
* Trabajando con I1 Haciendo cambio de variable I1
dx c2
kx
2
kx d x dx Se tiene 89
Excelencia Académica
I1
k dx 2 k c
kx
2
1 k
d 2
c
2
Por tabla
1 1 1 kx x x sen 1 sen 1 sen 1 c c c k k k k I1
1 1 x sen c1 k
En (α) 1 1 x sen t c2 c1 k
x c1sen k t c 2
Interpretación del resultado: -
esta función, en la que a = -kx, resulta que x es una función senoidal de t, se define como movimiento armónico simple
-
las dos constantes c1 y c2 se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales
Movimiento curvilíneo: componentes intrínsecas. Coordenadas Intrínsecas - Está formada por las coordenadas normal, tangencial y binormal - Se utiliza para estudiar la velocidad y aceleración de una partícula que se mueve en el espacio y describe una curva que se desarrolla en tres dimensiones. Z
en eb
et S
P Y
X
Fig. 6.8 Coordenadas n-t-b Posición:
S
Velocidad
v s
aceleración a) aceleración tangencial 90
Excelencia Académica
at v v
dv s ds
b) aceleración normal
an
v2
Donde ρ = radio de curvatura En forma vectorial 2
v a set en
- el radio de curvatura se determina por:
dy 2 1 dx 2 d y dx 2
1
-
x
3/ 2
xy yx 2
y 2
3/ 2
1
v
x a
v3
Expresión importante para determinar (at)
Utilizando el producto punto
v a t a. v
a an 2 at 2
Movimiento curvilíneo: componentes radial y transversal
91
Excelencia Académica
Coordenadas Polares Estas coordenadas se utilizan cuando se conocen los datos del movimiento angular de la coordenada radial para describir el movimiento de la partícula. (+) r (+) u
ur
r
eje polar
Fig. 6.10 Posición r,
1. Posición
r ru r 2. Velocidad
V r ru r rur
V Vr ur V u
Donde: Velocidad radial
Vr r
Velocidad
transversal
V r el módulo de la velocidad 2
V Vr V
2
3. Aceleración
a r ar ur a u Donde: Aceleración radial
ar r r2 Aceleración transversal
a r 2r
Módulo de la aceleración
92
Excelencia Académica
2
a ar a
2
Coordenadas Cilíndricas Z
uz u rp
ur
Y X
Fig. 6.11 Posición r , , z Posición
rp ru r zu z Velocidad
V rur ru zuz
Aceleración
a (r r 2 )ur (r 2r )u zu z PROB. 3 La barra indicada está girando en el plano x-y de tal manera que en cualquier instante
t 2 / 3 rad al mismo tiempo el collarín B está deslizándose hacia afuera a lo largo de OA de modo que r = 100t2 mm. Si en ambos casos t se mide en segundos, determine la velocidad y la aceleración del collarín cuando t = 1s. Y
A V
B
Vr
V
X
O
X
O
Trayectoria del movimiento
Solución De los datos del problema se tiene
93
Excelencia Académica
r 100t 2
t 1
100
r 200t t 1 200
r 200 t 1 200
t 2 / 3 t 1 1rad 57.3 2 3
t 1 / 3
t 1
0.667 rad / s
2 9
t 2 / 3 1 0.222 rad / s 2 Cálculo de la velocidad del collarín
V r ru r ru V r 200u r 66.7u
V 200 2 66.7 2 210.8mm / s El ángulo que forma la velocidad con el eje X
arctan( 66 .7 / 200 ) = 55.7° Cálculo de la aceleración del collarín
a (r r 2 )u r ( r 2r)u
a 155.5u
mm / s
a 200 100(0.667) 2 u r 100( 0.222) 2( 200)(0.667)u r
244.6u
a
2
la magnitud de la aceleración
ar
a
a 155.52 244.6 2 289.74mm / s 2
Determinando el ángulo que forma
X
la aceleración con el eje X
arctan( 244 .6 / 155 .5) 57 .3
121.25o
94
O
Trayectoria del movimiento
Excelencia Académica
Cinética de una Partícula La cinética estudia los efectos de las fuerzas que tiene sobre la masa de un cuerpo. -
Ecuaciones del Movimiento: coordenadas rectangulares.
F = ma Z Fz P Fx
z
Fy Y
x y
X
Fig. 6.12 Coordenadas rectangulares.
F i F x
y
j F z k m(a x i a y j a z k ) Fx = max Fy = may Fz = maz
Ecuaciones de la cinemática
a
dv ds ; v dt dt
a ds = v dv Si la aceleración es constante v = v0 +act s = s0+v0t+
1 2 act 2
v2 =v02 +2ac (s-s0)
-Ecuaciones del Movimiento: coordenadas intrínsecas
95
Excelencia Académica
b O
Fb t
Fn
Ft
P
F = ma Fig. 6.13 Coordenadas intrínsecas
F
t ut
Fn un Fb ub m at m an
F
ma t mv ms
F
man m
t
n
v2
m
s 2
b 0 Ecuaciones de la Cinemática
an
v2
at v s dy 2 1 dx d2y dx 2
3/ 2
Aplicación a la Ingeniería El diseño preliminar de una rampa de autopista es circular con radio R =100.m. si se supone que el coeficiente de fricción estática entre los neumáticos y el camino es de μs = 0.4 ¿cuál es la velocidad máxima a la que los vehículos puedan entrar a la rampa sin perder tracción?
R
centro
Solución: 96
Excelencia Académica
Paso 1: elegir un sistema de coordenada Coordenada intrínseca (n-t) Paso 2: DCL. Movimiento (vista superior)
f en
et
Vista frontal
mg
an
(centro)
f
N
Paso 3: aplicación de la segunda ley de Newton
Fn = man f m
2
v R
S N m
v2 R
Smg m
v R
2
v s gR v 0.4 * 9.81 * 100 v 68 .25 km / h
Consideraciones del Diseño. (Bedford) Los ingenieros que diseñan carreteras y los ingenieros que estudian los accidentes de transito y su prevención deben analizar y medir los movimientos de los vehículos en diferentes condiciones. Usando los métodos estudiados anteriormente se pueden estudiar los efectos de peralte y curvatura sobre la velocidad con que se pueda guiar un vehículo sobre un camino en curva. El ejemplo anterior, indican que los vehículos perderán tracción 97
Excelencia Académica
si entran a la rampa con velocidad superior a 68.25 km/h. esto da la idea de la velocidad límite que se debe señalar para que los vehículos entren a la rampa con seguridad, o bien la rampa se podría diseñar para una velocidad mayor incrementando su radio de curvatura. Sin embargo, si se desea una mayor velocidad segura las limitaciones de espacios impiden usar un mayor radio de curvatura La rampa se podría diseñar con un peralte adecuado.
- La velocidad constante máxima en este caso esta determinada por.
sen s cos v gR cos s sen
La cantidad de movimiento de las partícula o cuerpos nos permite visualizar lo que se suscita durante y después de la colisión de estos (ejemplo lo que se origina dentro de una masa gaseosa encerrada en un recipiente, donde se observa que las moléculas del gas están en constante colisión con intercambio de cantidad de movimiento)
Nº 6
Resolver los siguientes problemas PROB. 1 Un automóvil se encuentra originalmente en el reposo en s = 0. Si después se incrementa 2
2
su rapidez a v (0.05t )pies / s , donde t se expresa en segundos, determinar las magnitudes de la velocidad y la aceleración en s = 550 pies
98
Excelencia Académica
300'
S
240'
PROB. 2 Dada la siguiente función x X cos(t ) . Trazar las curvas x contra t, v contra t y a contra t x,v,a x
a t v
El Impulso “ I ” que posee una partícula se origina debido a una fuearza resultante que actua sobre ella, considerando el tiempo en que se aplica dicha fuerza, este impulso se
convierte en cantidad de movimiento, “ G ” en el instante en que adquiere una velocidad “ v ” complementado con la masa de la partícula
R.C. HIBBELER, FÍSICA. Prentice Hall , 1998 David J. McGILL, Wilton W. King , DINAMICA, Grupo editorial iberoamericana, 1991 Ferdinand p. BERR, E. Russell JOHNSTON, DINAMICA, McGrawHill, ,1997
99
Excelencia Académica
Nº 6 Nombre: Apellidos:
Fecha:
Ciudad:
Semestre:
1. Resolver los siguientes problemas. PROB. 1 En la posición de la fig. mostrada, el bloque se desliza hacia afuera a lo largo de la varilla recta con los valores dados de velocidad y aceleración respecto a la varilla. Simultáneamente, la varilla tiene los valores dados de velocidad angular w y aceleración angular . Determinar la aceleración total del bloque. ¿Cuál es la componente de esta aceleración normal a la trayectoria descrita por el bloque? v = 22.5cm/s
B
a = 15cm/s
10 cm
2
= 1rad/s2 O
30º
w = 3rad/s
PROB. 2 La aceleración de una partícula, esta dada por:
a 2ti 3t 2 j 2k En donde a esta en m/s2, y t en segundos. Cuando t = 0, v = 0. A partir de la componente normal de la aceleración, hallar el radio de curvatura de la partícula en el instante t = 1 segundo PROB. 3 Un auto viaja a 100 km/h cuesta arriba por un camino cuyo perfil vertical se puede determinar con la ecuación mostrada. Cuando la coordenada horizontal del auto es x = 400 m ¿Cuáles son la componentes normales y tangenciales de la aceleración?
Y
y = 0.0003 x
2
X
100
Excelencia Académica
CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA Trabajo Y Energía Trabajo de una Fuerza 2
U F .dr 1
Trabajo de un Peso
U 1 2 ( z 2 z1 ) U ( ) si la partícula baja U ( ) si la partícula sube Trabajo efectuado por la fuerza de un resorte lineal sin Masa (Fig. 7.1) F = KS = K(LF .LO )
LO
Fig. 7.1
S LF
s 0 F ( ) estirado
s 0 F ( ) comprimido 2
U 1 2 ksds 1
1 2 2 k ( s 2 s1 ) 2
Si Una Partícula Se Encuentra Unido Al Resorte (Fig. 7.2), La Fuerza que sobre ella se ejerce tiene igual modulo pero de sentido contrario 1
2 Fig. 7.2
S1
FS ds 101
Excelencia Académica
1 2 2 U 1 2 K ( s 2 s1 ) 2 Observación U(+): si el sentido de la fuerza y el desplazamiento son iguales U(-) : si el sentido de la fuerza y el desplazamiento se oponen
Principio de trabajo y energía cinética * ecuación del trabajo y la energía cinética
F ma m
dv dt
el trabajo efectuado por la fuerza resultante B U A B F .dr A
U A B
1 1 2 2 mv B mv A 2 2
Fuerzas conservatorias Se llaman así porque cuando realizan trabajo solo dependen de la posición inicial y final no interesado la trayectoria, estas fuerzas en general son el peso y la fuerza elástica. * Peso
U y
Fuerza elástica.
1 2 2 U k ( s 2 s1 ) 2
102
Excelencia Académica
Fuerza no conservativa En este caso es considerado la fuerza de fricción, porque depende de
la trayectoria
cuando realiza trabajo.
Principio de trabajo y la energía mecánica
(U A B ) E M E MB E MA
Donde
EM T V V
luego
TA VA (U AB ) FCN TB TB
Conservación de la energía mecánica
(VA B ) FCN 0 ; U 0 EM 1 EM 2 ...cte T1 + V1 = T2 + V2 Energía potencial (Vg ; EPg) (Fig 7.3)
Vg = wy w +y -y
w
(Vg = 0)
Fig. 7.3
Energía potencial elástica (V e ) (Fig 7.4) 103
Excelencia Académica
Ve = + 1 ks2 2
K Ve
Ve
Fig. 7.4
Ve
1 2 ks 2
En este caso Ve siempre es (+), tanto cuando se estire o comprime el resorte.
Función potencial Si una partícula está sujeta a las fuerzas gravitacional y elástica, es posible expresar su energía potencial como una función potencial.
V Vg Ve La medida de V despende de la ubicación de la partícula con respecto a un punto de referencia para ello es necesario la teoría de campos escalares, vectorial, rotacional de un
campo vectorial (VxF ) cuya rot F 0 , determinan campos vectoriales conservativos.
PROB. 1 (BRAJA DASS) Una fuerza F dada por sus coordenadas cartesianas
Fx 3t
y
Fy t 2 , en donde F esta en lb. y t es el parámetro tiempo en s, actúa sobre
un partícula durante el periodo de t = 2s a t = 10s. Determine el trabajo efectuado por la fuerza sobre la partícula al moverse a lo largo de una trayectoria dada por las ecuaciones paramétricas x=2t2 y y = t, en donde x y y están en pies.
Solución B
U A B F .dr A
104
Excelencia Académica
B
( Fxi Fyj Fzk ).( dxi dyj dzk ) A
B
B
Fxdx
A
B
F ydy
A
F zdz A
por dato Fx 3t ; Fy t ; x 2t 2 dx 4tdt 2
y t dy dt B t
U
A B
B t
( 3 t )( 4 t ) dt
A t0
2 t dt
A t0
12 3 t 3
10 2
t3 3
10 2
U A B 4298 .7 b pie Rpta
PROB. 2 (Hibbeler) La fuerza F, que actúa en una dirección constante sobre el bloque de 20kg., tiene una magnitud que varia de acuerdo con la posición S del bloque. Determine la rapidez del bloque después de deslizarse 3m. Cuando S = 0, el bloque se mueve hacia la derecha a 2m/s. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es Uk = 0,3
Solución
105
Excelencia Académica
W
F
= u kN N
Aplicando el principio de y energía cinética
U 1 2 Ec
1 1 2 2 mv 2 mv1 2 2
(1)
donde:
U12 F cosds fds 2 reemplazando en 1 s2
F 4 / 5 ds
s1
s2
u
k
N
ds
s2
1 1 2 2 mv 2 mv 1 2 3
(2)
Cálculo de la normal:
3 Fy 0 N F 0 5 N
3 3 F 20 x9.81 50 s 2 5 5
N 196 .2 30 s 2
(3)
reemplazando la ecuación 3 en 2 s2 3
s 3
2 4 1 1 2 2 50 s ds 0 .3(196 .2 30 s 2 ) ds 20 v 2 20 ( 2) 2 s 0 5 2 2 s2 0 1
V 2 3.77 m / s
106
®
Excelencia Académica
Cuando la fuerza actuante sobre un cuerpo, forma un ángulo de 180º, con el vector desplazamiento, el trabajo se considera negativo; pero si forma un ángulo de 90º el trabajo es nulo
Nº 7
Resolver los siguientes problemas PROB. 1 (13.80 Beer Johnston) Sobre la partícula P(x,y,z)que se mueve en el espacio actúa la fuerza
F ( yzi zxj xyk ) / xyz - Demostrar que es una fuerza conservativa
- Hallar la función potencial asociada a F
PROB. 2
Dado el campo F yz i ( xz 1) j 2( xyz 1)k 2
2
a) Demostrar que es un campo conservativo b) Hallar la función c) Hallar el trabajo al desplazar una partícula del punto (1,1,1) al punto (3,2,0)
El trabajo “ ” se realiza cuando actúa sobre una partícula una fuerza, el cual origina el desplazamiento de ella. Cuando se realiza trabajo, se desgasta energía, por lo que según el Principio de la Conservación de la Energía se cumple: E k E p La energía cinética de una partícula se origina durante su movimiento (de acuerdo al velocidad instantánea “v” que posee). 107
Excelencia Académica
La energía potencial
es una energía almacenada por la
partícula y depende de su
posición respecto a un nivel de referencia.
R.C. HIBBELER, FÍSICA. Prentice Hall , 1998 David J. McGILL, Wilton W. King DINAMICA, Grupo editorial iberoamericana, 1991 Ferdinand p. BERR, E. Russell JOHNSTON, DINAMICA, McGrawHill, ,1997
108
Excelencia Académica
Nº 7
Nombre: Apellidos:
Fecha:
Ciudad:
Semestre:
1 Resolver los siguientes problemas PROB. 1 Resolver el ejemplo 2 mediante el principio de la conservación de energía. PROB. 2 La corredora de masa m = 30kg se mueve a lo largo de una ranura lisa. En la posición A mostrada el resorte se muestra comprimiendo en 0,30m y la corredora posee una velocidad de 3m/s en la dirección de ascenso en la ranura. Después de recorrer 1,5m (posición B) la velocidad de la corredora se reduce a 2,4m/s. La fuerza de 520N se mantiene constante tanto en dirección como en sentido y magnitud. El movimiento ocurre en un plano vertical y el resorte está fijo a la corredora y al punto C. se pide:
a) Calcular la constante del resorte PROB 3 Un bloque que de 5 kg. de masa, inicialmente en reposo, se suelta en la configuración mostrada en la que los muelles que actúan sobre el mismo están horizontalmente y tiene una fuerza de tracción de 50N c/u. ¿Cual es la velocidad del bloque después de haber descendido 100mm. Si cada muelle tiene una constante K = 1N/mm? 250mm
250mm 1
5 Kg
100mm
2
109
Excelencia Académica
110
Excelencia Académica
Cinética de una Partícula: Impulso y Cantidad de Movimiento En este capítulo se integrará la ecuación del movimiento con respeto del tiempo. Obteniendo así el principio del impulso y del momento. La ecuación resultante será útil para resolver los problemas que involucran Fuerza, Velocidad y Trabajo. Principio Del Impulso Y Momento Lineales La ecuación del movimiento para una partícula de masa m esta dada por la siguiente ecuación:
F m.a dv F m dt
t2
t2
t1
t1
v2 F .dt m dv v1
F .dt mV2 mV1
impulso
(L=mv) cantidad de mov.
Impulso Lineal (I).- Llamado también ímpetu ó impulsión. Fuerza variable
I F .dt
Unidades: N,S; libras.s
111
Excelencia Académica
Graficando: Si F = cte
I FC (t 2 t1 ) I FC t
Fuerza variable
Fuerza constante.
Fig. 8.1 Fuerza variable, fuerza constante
Momento lineal o cantidad de movimiento ( LoP )
L mV
pie m Kg. ; slug. s s
Además se sabe
I m (V 2 V1 ) mv1
+
t2
t1
Diagrama momento inicial
I m V 2 I L
del
mv 2
F.dt
Diagrama del impulso
Diagrama del momento
principio del impulso y el momento lineal. t2 mV1 Fdt mV2 t1
Ecuaciones esclares t2 m(Vx )1 Fx dt m(Vx ) 2 t1
m(Vy )1 Fy dt m(V y ) 2 t2
t1
t2 m(Vz )1 Fz dt m(Vz ) 2 t1
112
Excelencia Académica
Principio del Impulso Lineal y Momento para un Sistema de Partículas El principio del impulso y el momento lineales para un sistema de partículas que se mueve en relación con una frecuencia inercial, se obtiene a partir de la ecuación de movimiento
Fi mi ai que es posible escribir como:
dv Fi mi i dt
Fig. 8.2 Fuerza variable, fuerza constante
Fi mi ai dv i Fi mi di Fi dt mi dvi
t2
t1
Fi dt m(Vi 2 Vi1 )
mi(Vi) 1
t2
t1
Fidt mi (Vi ) 2
Además: mrG mi ri en donde m mi Por medio de la derivadas temporales, se obtiene:
mVG miVi t2 m(VG )1 Fidt mi(VG ) 2 t1
Conservación De Momentos Lineales
113
Excelencia Académica
Existe conservación del momento lineales si el impulso en cero (no existe fuerzas exteriores)
Si: ( I 0) Entonces se tiene:
L
inicial
L final
m (V ) m (V ) mVG 1 mVG 2 VG 1 VG 2 i
i 1
i
i 2
; mVG
m V i
i
Choque, Colisión o Impacto Impulso ocurre cuando 2 cuerpos se colisionan durante un intervalo muy breve de tiempo provocando que se ejerza relativamente grande entre ambos cuerpos. El impacto entre un martillo y un clavo o de una raqueta y la bola de tenis o pimpón En general existen 2 tipos de impacto, que puede ser el frontal (central) y el oblicuo. Impacto Frontal
Fig. 8.3 impacto frontal
m A (v A ) 1 m B (v B ) 1 m A ( v A ) 2 m B (v B ) 2 Impacto Oblicuo:
Fig. 8.4 Impacto oblicuo
114
Excelencia Académica
COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN (e): Es un factor adimensional que nos define la relación entre la velocidad relativa de alejamiento después del choque y la velocidad relativa de acercamiento antes del choque. Este coeficiente es muy usual para los análisis de choques frontales, puesto que nos va a permitir distinguir los choques mediante una análisis cuantitativo de su valor comprendido entre cero y la unidad. Antes del choque: (V1>V2)
Definimos: Velocidad Relativa de acercamiento = V1 -V2 antes de choque
Después de choque
Definimos: Velocidad
Relativa de Alejamiento =
U 2 U 1 ó (U 2 U 1 ) después del choque. Por definición: e
Veloc . Re l . Alejamient o.D.CH Veloc . Re l . Alejamient o. A.CH
Para los casos anteriores descritos; reemplazando tenemos:
U 2 U1 e V1 V2
ó
U 2 U1 e V1 V2
Donde: 0 e 1 b) Por disipación de energía.- los choques se suelen clasificar: Choque elástico.- Es una colisión ideal entre la cual los cuerpos ó partículas no experimentan ninguna deformación permanente, ni tampoco liberan energía (calor). Las características esenciales de este choque son: Coeficiente de restitución e 1 No existe deformación permanente de los cuerpo que colisionan.
Q0
EM A.CH EM D.CH 115
Excelencia Académica
P
A.CH
PD.CH
Choque Inelástico.- Es aquella colisión durante las cuales se transmiten cantidad de movimiento
y
se
disipa
calor,
pudiendo
los
cuerpos
deformarse
permanentemente. Las características esenciales son:
e 1 ;
donde: e 0 ó (0 < e
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