FISICA I

DARWIN N. ARAPA QUISPE

GABY R. CCAHUANIHANCCO A. C. Magnitudes Suplementarias (Son dos), realmente no son ni magnitudes fundamentales ni derivadas. Sin embargo se les considera como magnitudes fundamentales. Magnitud Suplementaria Ángulo plano (ϕ) Ángulo sólido (Ω)

MAGNITUDES FÍSICAS Es todo aquello que se puede expresar cuantitativamente, dicho en otras palabras es susceptible a ser medido.

Unidad radian estereorradián

Símbolo rad sr

POR SU NATURALEZA A. Magnitudes Escalares Son aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas con solo conocer su valor numérico y su respectiva unidad. Ejemplos: Volumen, temperatura, tiempo, etc.

¿Para qué sirven las magnitudes físicas? Sirven para traducir en números los resultados de las observaciones; así el lenguaje que se utiliza en la Física será claro, preciso y terminante.

B. Magnitudes Vectoriales Son aquellas magnitudes que además de conocerse su valor numérico y su unidad, se necesitan su dirección y su sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada. Ejemplos: Velocidad, aceleración, fuerza, peso, impulso, campo eléctrico, etc.

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS Por su origen

ANÁLISIS DIMENSIONAL

A. Magnitudes Fundamentales Son aquellas que sirven de base para escribir las demás magnitudes, en mecánica tres magnitudes fundamentales son suficientes: Longitud (L), masa (M) y tiempo (T). Las magnitudes fundamentales son:

Es la parte de la Física que estudia la forma cómo se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales.

FINALIDADES DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL: 1. Sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales

N° 1 2 3 4 5 6 7

MAGNITUD NOMBRE SIMBOLO LONGITUD L MASA M TIEMPO T θ TEMPERATURA INTENSIDAD DE I CORRIENTE INTENSIDAD J LUMINOSA CANTIDAD DE N SUSTANCIA

UNIDAD NOMBRE SIMBOLO metro m kilogramo kg segundo s kelvin K ampere

A

candela

cd

mol

mol

2. Sirven para comprobar la veracidad de las fórmulas físicas haciendo uso del Principio del Homogeneidad Dimensional.

3. Sirven para deducir fórmulas a partir de datos experimentales. ECUACIONES DIMENSIONALES: Son expresiones matemáticas que relacionan las magnitudes fundamentales, utilizando para ello las reglas básicas del álgebra, excepto las de suma y resta. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque sólo operan en las magnitudes. Una ecuación dimensional se denota por: [ ] Ejemplo: [ A ] : se lee ecuación dimensional de A.

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD Si una expresión es correcta en una fórmula, se debe cumplir que todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogéneos. Así:

B. Magnitudes Derivadas Son aquellas magnitudes que están expresadas en función de las magnitudes fundamentales. Ejemplos: Velocidad Fuerza Superficie(Área) Presión Aceleración Trabajo Densidad Potencia, etc.

Academia SERUNA

1

A + B − C = E ⇒ [ A ] = [B] = [C] = [E]

Propiedades: 1. En el análisis dimensional se cumplen las leyes del álgebra a excepción de la adición y diferencia. 2. La ecuación dimensional de todo número es la unidad, llamadas también magnitudes adimensionales. 3. En toda ecuación dimensionalmente correcta, los términos de su ecuación deberán de ser iguales (principio de homogeneidad).

2

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DARWIN N. ARAPA QUISPE

ECUACIONES ALGEBRAICAS 4M + 3M = 7M

ECUACIONES DIMENSIONALES 4M + 3M = M

3L − 3L = 0

3L − 3L = L

LT −1 + 5LT −1 = 6LT −1

LT −1 + 5LT −1 = LT −1

sen30º =

1 2

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

PERIODO FRECUENCIA

[ sen30º ] = 1

COEFICIENTE DE DILATACIÓN

log 2 = 0, 301030

[ log 2 ] = 1

3e + π + ln b 2

 3e + π + ln b 2  = 1

CAPACIDAD CALORÍFICA CAPACIDAD CALORÍFICA ESPECÍFICA

FÓRMULAS DIMENSIONALES BÁSICAS MAGNITUD DERIVADA

FÓRMULA

ÁREA

A = (longitud)

calor ∆ temperatura

L2MT −2θ −1

calor masa × ∆T

L2 T − 2 θ − 1

Ce =

trabajo carga

L2MT −3I −1

CAPACIDAD ELÉCTRICA

C=

C arg a Voltaje

L 2 M − 1T 4 I 2

T −1

ω f − ωo tiempo

−2

LT LT

T

−1

−2

FUERZA

F = masa × aceleración

LMT −2

TORQUE

M = fuerza × distancia

L2MT −2

TRABAJO, ENERGÍA Y CALOR

W = fuerza × distancia

L2MT −2 2

L MT LMT

Q = I× t

TI

RESISTENCIA ELÉCTRICA

L2MT −3I −2

INDUCCIÓN MAGNÉTICA

MT −2I −1

FLUJO MAGNÉTICO

L2MT −2I −1

ILUMINACIÓN

L−2 J

FÓRMULAS EMPÍRICAS: Si la magnitud “P” depende de las magnitudes a, b y c, entonces se deberá verificar la siguiente relación: P = k a x by c z

−3

Siendo “k” la constante numérica de proporcionalidad, y los valores de los exponentes x, y, z deberán satisfacer el principio de homogeneidad.

−1

LMT −1

DENSIDAD

ρ=

masa volumen

L− 3 M

PESO ESPECÍFICO

γ=

peso volumen

L−2 MT −2

Academia SERUNA

C=

V=

VELOCIDAD ANGULAR

I = fuerza × tiempo

θ −1

POTENCIAL ELÉCTRICO

L3

ángulo ω= tiempo

IMPULSO

1 temperatura

LMT −3I −1

ACELERACIÓN LINEAL

P = masa × velocidad

α=

fuerza carga

∆ velocidad a= tiempo

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

T −1

E=

VELOCIDAD LINEAL

POTENCIA

1 periodo

f=

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO

3

trabajo tiempo

T

L2

2

longitud V= tiempo

P=

tiempo # de vueltas

T=

CARGA ELÉCTRICA

Vol . = (longitud)

α=

L−1MT −2

FÓRMULA DIMENSIONAL

VOLUMEN

ACELERACIÓN ANGULAR

fuerza área

P=

PRESIÓN

3

4

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ANÁLISIS DIMENSIONAL

Problemas Resueltos La velocidad será:

PROBLEMA 01

a b

LT

T = KL g

En donde: K: constante numérica L: longitud; g: aceleración de la gravedad a y b: exponentes Hallar el valor de “ a + b ”

x

) (L

M)

−1

[ g ]b

T = ( 1 ) .La . ( LT −2 )

1

V = F 2µ

−

1 2

⇒

Si la ecuación es homogénea y contiene volúmenes ( V1, V2 ), masa (M), trabajos

La ley de Ohm establece que: V = IR Encontrar la ecuación dimensional de la resistencia eléctrica “R” si se sabe que: I: intensidad de corriente V: diferencia de potencial; equivale al trabajo por unidad de carga.

( W1 − W2 ) a =

y log x

Resolución:

[ V1 − V2 ] = [ Volumen ] = [ V ] La ecuación se reduce a: [ V ]M VM Wa = ⇒ [ W ][ a ] = y log x [ y ][ log x ]

F µ

( L2MT −2 ) ( LT −2 ) =

b

T = La + b T −2b Dando forma y comparando exponentes: a + b = 0 L0 T = La + b T −2b ⇒   −2b = 1

1 1 y b=− De las ecuaciones: a = 2 2 a b 0 + = ∴

PROBLEMA 03 Si en la ecuación, las dimensiones correctamente expresadas, hallar “ α ” 3

∴ [y] = T

están

La velocidad de una onda transversal en una cuerda elástica se establece con: x y

V=F µ F: Tensión en la cuerda (fuerza) µ : Densidad lineal de la cuerda (kg/m) Hallar la fórmula física.

A 2 − B 3 = A 3B 3 cos α tan 3 α Por el principio de homogeneidad:

Resolución: La densidad lineal ( µ ) es el cociente entre la masa y la longitud m µ= L [m] [ µ ] = [ ] = L−1M L Academia SERUNA

3 2

[B] = [B] [B]

cos α

⇒ [B] = [B]

W Q

[ ] [ V ] = W … (1)

⇒

[Q]

La carga se deduce de: Q ⇒ [ Q ] = IT … (2) t Reemplazando (2) en (1): I=

2 −2 2 3 1 [ V ] = L MT ⇒ [ V ] = L MT − I − … (3)

IT En la Ley de Ohm:

V = IR

( V1 − V2 ) M y log x

Resolución:

… (1)

Por la ley de homogeneidad:

[ W1 − W2 ] = [ Trabajo ] = [ W ] … (2)

[ V1 − V2 ] = [ Volumen ] = [ V ]

Reemplazando (1) en (2): 3 2

V=

[ V ] = [ I ][ R ]

( W1 − W2 ) a =

[ B ] 3 = [ tan α ] 3 [ A ] 3 [ B ] 3 cos α [ B ] = [ A ][ B ]

La diferencia de potencial es entonces:

… (4)

Reemplazando (3) en (4)

[ R ] = L2MT −3I −2

I [ R ] = L2MT −3I −1 ⇒

( W1, W2 ) y aceleración (a) encuentre [ y ] .

Elevando al cubo:

cos α

4

Si la ecuación es homogénea y contiene volúmenes ( V1, V2 ), masa (M), trabajos

Resolución:

[ A ] 2 = [ B ]3 ⇒ [ A ] = [ B ]

L3M [ y ](1)

PROBLEMA 05

A 2 − B 3 = AB cos α tan α

[ A ] 2 = [ B ] 3 = [ tan α ] 3 [ A ] 3 [ B ] 3 cos α

PROBLEMA 02

Resolución:

[ W1 − W2 ] = [ Trabajo ] = [ W ]

x=

V=

( V1 − V2 ) M

Por la ley de homogeneidad:

1 2 1 x+y=0 ⇒ y=− 2 La fórmula de la velocidad será:

−2x = −1 ⇒

PROBLEMA 06

y

Igualando exponentes:

Usando las ecuaciones dimensionales: [ T ] =  KLa g b  a

= ( LMT

−2

LM 0 T −1 = Lx − y M x + y T −2x

Resolución:

T = [ K ][ L ]

−1

PROBLEMA 04

( W1, W2 ) y aceleración (a) encuentre [ y ] .

[ V ] = [ F ]x [ µ ] y

El período de un péndulo simple está dado por la siguiente ecuación:

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

La ecuación se reduce a: [ V ]M VM Wa = ⇒ [ W ][ a ] = y log x [ y ][ log x ]

3 + cos α 2

Igualando exponentes: 3 1 = + cos α 2 1 α = 120º cos α = − ⇒ 2

( L2MT −2 ) ( LT −2 ) = 4 ∴ [y] = T

5

6

3

L M

[ y ](1)

PROBLEMA 07 El efecto Joule establece que si por una resistencia eléctrica “R” circula una corriente “I” durante un tiempo “t”, el calor desprendido de la resistencia se puede expresar como energía. Hallar la fórmula que nos permite confirmar dicha afirmación.

Resolución: Del enunciado se deduce que el calor tiene la siguiente fórmula: x

y z

Q=I R t

Recuerde del problema 6:

[ R ] = L2MT −3I −2 Aplicando ecuaciones dimensionales:

[ Q ] = [ Energía ] = [ I ] x [ R ] y [ t ] z Academia SERUNA

DARWIN N. ARAPA QUISPE y

L2MT −2 = I x ( L2MT −3I −2 ) T z 2

−2 0

2y

y

L MT I = L .M .T

2y = 2

z − 3y x − 2y

I

⇒ y =1

z − 3y = −2 ⇒ z = 1

de la velocidad (v) del émbolo al expulsar el líquido y el tiempo de aplicación de la inyección (t). Un ingeniero de la UNA le ha conseguido una formula con datos que ella le ha proporcionado. Si d=0,8g/cm3, v=5cm/s y t=2s, entonces P=0,9watts. ¿Cuál será la formula descubierta?

P = f ( d, v, t )

∴

En un proceso termodinámico isotérmico, le trabajo de expansión de un gas ideal se calcula con la fórmula: V  W = nRT ln  1   V2  En donde: n: número de moles T: temperatura ln: logaritmo neperiano V1 y V1 : volúmenes

Resolución: Aplicando ecuaciones dimensionales:

n: cantidad de sustancia

[P ] = k [ d] [ v ] [ t ] x

= [ k ]  ML−3  LT −1     

… (1)

⇒ [n] = N

  V2    ln   = 1   V1   Reemplazando en (1): 2

L MT

−2

= N [ R ] θ(1)

2 − 2 − 1 −1 ∴ [ R ] = L MT θ N

PROBLEMA 09 Roció, una enfermera, ha observado que la potencia (P) con que aplica una inyección depende de la densidad (d) del líquido encerrado, Academia SERUNA

y

z

[ T]

z

)

0,9W = ( k ) 0, 8 g cm 3 ( 5 cm s )

5

( 2s )2

La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dada por: a

P = 900dv t

PROBLEMA 10 Hallar la ecuación dimensional de A, si se cumple la relación.

ML T

= (L )

a

( T ) ( ML ) b

−1

−3

c

ML2 T −3 = M c La − 3c T − b Comparando se tiene: a =5; b= 3 y c =1

∴

ab = 15 c

PROBLEMA 13 La ecuación V = Asen ( Bt ) + Ct sen30º es dimensionalmente homogénea, en donde V=velocidad y t=tiempo. Determine la expresión AB dimensional de . C

Resolución: Aplicando el principio de Homogeneidad se tiene:

[ V ] = [ A ]  sen ( Bt ) = [Ct ]sen30º 1

LT

−1

12

= [ A ] = [C]

[ A ] = LT−1

T1 2

y [ C ] = LT − 3 2

Además:

b c

P = kR W D donde k es un número, R el radio de la hélice, W es la velocidad angular, y D es la densidad del aire. Determine el valor de ab c suponiendo que

Reemplazando en lo pedido:

[ A ][B ] = ( LT )( T [ C] LT − 3 2 [ A ][ B ] = T −1 2 ∴ [C] −1

−1

)

la ecuación es dimensionalmente correcta.

Resolución:

A2 × D

F × V2 Donde: C=velocidad, D=densidad, F=fuerza y V=volumen.

Resolución: Despejando A

2 −3

[B ][ t ] = 1 ⇒ [B ] = T−1

PROBLEMA 12

5 2

2

[ A ] = L6 T −2

[ Ay ] = [B ] ⇒ ML2 T−2 [ y ] = ML−1T −2 ∴ [ y ] = L−3 [B ] = ML−1T−2 ⇒ [ B ] = ML2 T −2 Piden: [y] [y] L−3

Homogenizando unidades (SI) tenemos: k=900 Finalmente se tiene:

C=

=L T

Resolución:

∴ P = kdv 5 t 2 Calculo de “k” según los datos numéricos:

(

12 −4

Por el principio de Homogeneidad se tiene: A [P ] =   = [B ] ⇒ [B ] = ML−1T −2 x

L2MT −3 = Ly − 3x M x T z − y De donde: x=1; y=5; z=2

⇒ [T] = θ

T: Temperatura

y

L2MT −3 = (1)M x .L−3x .Ly T − y . T z

Hallar la ecuación dimensional de la constante universal de los gases [ R ] .



x

L MT

1 2

Considere P = presión ; A=trabajo.

Remplazando en la ecuación anterior:

−3

3

Si las siguientes expresiones son dimensionalA mente homogéneas P = + B ; Q = Ay + B , x determine las dimensiones de [ B ] [ y ]

[Potencia ] = [P ] = L2MT −3 [Densidad] = [ d] = ML−3 [ Velocidad] = [ v ] = LT−1

2

−2

PROBLEMA 11

Cálculo de los exponentes:

PROBLEMA 08

2

[P ] = [ k ] [R ]a [ W ]b [D]c

ML−3

[A ]

⇒ P = kd v t ………. (Fórmula empírica)

Q = I Rt

 V2     V1  

( LT ) ( MLT )( L ) −1

2

x y z

2



[ A ]2 =

De acuerdo al problema:

La fórmula para expresar el efecto Joule es:

Remplazando datos:

C 2 FV 2 D Aplicando ecuaciones dimensionales: A2 =

Resolución:

x = 2y ⇒ x = 2

[ W ] = [ n ][ R ][ T ]  ln 

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

de la ecuación:

7

Cálculo de los exponentes:

[Potencia ] = [P ] = ML2 T−3 [Radio] = L [ Velocida angular ] = [ W ] = T −1 [Densidad] = [D] = ML−3 8

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DARWIN N. ARAPA QUISPE

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Problemas Propuestos

01. En la siguiente fórmula física, encontrar las dimensiones de “P” C 2 Tan ( ω t ) P= A B log π Donde: A = aceleración B = densidad C = velocidad B) MLT −

3

D) ML−

3

E) LT −

4

1

4

Siendo: F=fuerza, K=número, A=densidad, B=velocidad y C=área. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 03. Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea, determine la ecuación dimensional de “E” 2

KX −Y 2

KY −X Siendo: X = velocidad B) L E) LT

C) 1

04. Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea, halle la ecuación dimensional de “P”. Siendo: m=masa, V=velocidad 1 3 5 2 P = kx 2 + Tgθyz + mv 2 4 4 A) MLT 2

−1

D) M LT

2

−1

2

−2

B) ML T E) ML T

C) MLT

05. En la siguiente fórmula física, calcular [ Q ] C P−Q = H+B Donde: B = fuerza; C=aceleración. Academia SERUNA

3

−2

2 −2

B) L T

−2

D) L T

E) LT

sen37º

−2

−1

es

−2

2 2 −4

A) M L T

B) MLT

D) M 2L4 T −4

E) M 2L2 T −4

C) M L T

08. Determine la medida de " θ " para que la expresión mostrada sea dimensionalmente correcta, − senθ

senθ  L    π g f=frecuencia, L=longitud y g=gravedad f=

A) 37º D) 45º

B) 53º E) 30º

C) 60º

(

π sen

π 2

) K + PS = (

ρ A+B

2

−3 8

D) L T

C) L−

−2 6

B) L−3T −5

A) ML T

B) ML T

D) ML−3T 4

E) MLT −5

2 −2 2

C) M L T

12. Hallar la ecuación dimensional de [ DARK ] . Si la siguiente expresión es homogénea

A 2

+

D K = B B 2 + aR

D Donde: a=aceleración, D=masa, R=longitud. A) M 3LT −1

B) M 6L2 T −2

D) M 4 L6 T −3

E) MLT −4

C) M 6L2 T −1

13. En el efecto Joule se establece que si por una resistencia eléctrica “R” circula una corriente “I” durante un tiempo “T” el calor desprendido está dado por:

)

 C2  2 2 3mv − 2A = 4g Tan    A  Donde: m : masa; v : velocidad. Establecer la fórmula dimensional de “C” en el sistema internacional.

P log x

E) L

11. En la siguiente expresión: 3Rβ + 2Fα Tg θ = 2 MT Donde: R=radio; T=tiempo; F=fuerza y M=masa. Hallar las dimensiones de [ α . β ]

E) L

C) L T − 3

−3/2 −5/2

T

A) LM 1/2 T −1

B) L−1/2 M −1/2 T

C) LMT −2

D) L−1M −1T 2

1/2

E) L

9

10

MT

( 4m / s − A )1/2 N

1/2 2

1/2 3/2

T ;L

3/2T

−3/2

T

1/2 3/2

;L

T;L

T

3/2

( 5m / s 2 − Q 2 )

+

R 1/2

B) L

D) L−

T;T

3/2

T ; LT

T

16. En la ecuación dimensionalmente correcta, halle [ B ] : 2g(p1 − p 2 ) w  =  1 − 6 2 aπ Sen θ Bt 4π x a, a1, a 2 = aceleraciones vt 2 (a 2 − a 1 )

−

3kB C

 

p1 , p 2 = presiones v = velocidad w = trabajo t = tiempo g : aceleración de la gravedad A) MLT −2

B) L3 T −1

D) MLT

E) T 3L−1

C) ML

17. Hallar: “ x + y + z ”, si:

( 0, 25 ) 10

7

ergios =

x −1

A . By . Cz

Donde se conoce que: A: aceleración, B: masa, C: velocidad. A) 2 B) –1 C) –2 D) 0 E) 4 18. Hallar las dimensiones de “x” en la ecuación dada, si ésta es correcta dimensionalmente.

kx + y + 5 3cm = 2πA Sen ( 2πky )

14. En la siguiente ecuación física:

Donde: ρ = densidad; P = potencia A) L−5 T 3

3

PQ = A) L−

x y z Q = I .R .T Hallar: " x + y + z " A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

09. Halle [ K ] en la ecuación homogénea

C+A

C) M L T

−5

2 −3 2

4 5

dimensionalmente correcta, además P=potencia, V=velocidad, m=masa y g=aceleración de la gravedad. Hallar:  2n k 1.k 3    2 2 −2

B) M L T

−1

3 4

15. Determinar las dimensiones de P y N para que la siguiente expresión sea dimensionalmente correcta R = radio .

E) M L T

D) MLT

C) LT

2 4 −6

A) ML T

P=k 1v 2+0,2 mg v n+k 3

07. La ecuación:

[ E ] si la ecuación es 10. Determinar dimensionalmente correcta: Si C=potencia. N 2 A+E = + (P + D) D+C 2 −3

Hallar [ F ] , si B=altura, C=masa, E=fuerza. A) LT

y

−1

E) M

C) M

 BK − CK  W=   D ( EK − F ) 

F = K Ax B C z

A) LT D) T

2

−1

2

02. En la expresión mostrada, determine el valor de: “ x + y + z ”

E=

D) M

B) M

06. En la ecuación homogénea:

C) L M −

2

A) L M

A) M

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

B) L2

A) L D) L

−1

C) L3

E) ABSURDO

19. La fuerza F de repulsión, entre dos cargas eléctricas del mismo signo, es directamente proporcional al producto de las cargas ( q1 y q2 ) e inversamente proporcional al cuadrado

−1

Academia SERUNA

DARWIN N. ARAPA QUISPE de las distancia “d”, como indica la siguiente fórmula: q .q F = K 1 2 2 . Determine la dimensión de K d (constante de Coulomb) 3 −4 −2

3 −4 −2

A) L T I

B) ML T I

4 −4 −2

3 −4 −1

C) ML T I

D) ML T I

E) I−2 20. Si la siguiente es dimensionalmente homogénea, determine la dimensión de “x” x = w.A cos(w.t + δ) Donde: A=longitud; t=tiempo. A) LT −2

B) L3 T −1

−1

3 −1

D) LT

C) ML

E) T L

21. En la siguiente fórmula física, determinar la unidad de “B”: 0,5

sen30°

A .h = B.cos 60° Donde: A=aceleración; h=altura A) m B) m/s C) s D) Hz E) m/s2 22. En la siguiente formula física, indicar las dimensiones “a.b”: a = A.ebw .sen(wt) Donde: A=longitud; t=tiempo; e=constante numérica.

A) LT −2

B) L3 T −1

D) LT −1

E) T 3L−1

C) LT

y

z

P = D .Q .h .g Donde: P=potencia; D=densidad; h=altura; Q=caudal (m3/s); g=aceleración de la gravedad. Hallar “x+y+z”. A) 1 B) 2 C) 4 D) 3 E) 3

24. En la siguiente fórmula física:

K=

3

B) área E) velocidad

C) masa

25. Dimensionalmente, la siguiente expresión es correcta y su respectiva ecuación dimensional es la unidad:  UNA UNI  = 1   Donde: U=m.c2; m=masa de un fotón; c=velocidad de la luz; I=radio de la Tierra. Hallar la dimensión de “N” A) M −1 L−3 T 2

B) M L−3 T 2

D) M L3 T 2

E) NA

C) M −2 L−3 T

26. Determinar las unidades de h en el sistema internacional: h.f = m.c 2 donde: m=masa; f=frecuencia; c=velocidad de la luz. A) kg.m2 .s −1

B) kg.m.s −1

D) kg.m 4 .s −1

E) kg.m.s

C) kg 4 .m.s −1

27. La frecuencia de oscilación (f) en s −1 de un péndulo simple depende de su longitud “l” y de la aceleración de la gravedad “g”. Determinar una fórmula empírica para la frecuencia. l 1 l B) C) k lg A) g k g

l D) k g

γ.Q m

Donde: γ=tensión superficial(N/m) Q=caudal (m3/s) ¿Qué magnitud representa K? Academia SERUNA

tiene asociada una onda electromagnética cuya longitud de onda ( λ ) depende de la constante de Planck (h:) y su cantidad de movimiento (P), donde h se mide en

m2 .kg ; s

tal que: λ = h x P y . hallar “x+y” A) 0 B) 1 C) −1 D) 2 E) 4

E = (x − p)(z − y) , Si: x y 3  ( R n .cos θn ) − ( R n −1.cos θn −1 )  I= .m   π  ( R .cos θ ) z − ( R .cos θ ) p  n n −1 n −1  n  Siendo: I=momento de inercia (kg.m2), m=masa; R n ,R n −1 =radios; θn , θn −1 =ángulos

B) 1 3

D) 1 4

E) 1 16

C) 1 8

31. De las siguientes proposiciones, verdadero (V) o falso (F);

indicar

I. [ densidad] = L−3M II. [ presión ] = L−1MT −3 A) VVF D) VVV

la relación: pF = (FAV)UNA es dimensionalmente correcta, siendo p=presión, F=fuerza, A=área, V=volumen y U=energía ¿Cuáles son las dimensiones de N? A) L−4 .M −1.T −2

B) L−4 .M −1.T 2

C) L−4 .M.T −2 E) L .M.T

D) L .M −1.T −2

29. La relación de Louis de Broglie para la interpretación física de la dualidad ondapartícula establece que cualquier masa o partícula que se mueve a cierta velocidad

11

B) FVV E) VFV

3 4

D) ML T

B) M −1L−1T

C) M 2LT

E) NA

m es masa y v es el módulo de la velocidad. ¿Cuál de los siguientes grupos de unidades equivale al Joule? A) kg.m2 s −1

B) kg.m s

D) kg.m2 s −2

E) kg m 3s −2

C) kg.m2 s

35. El número de Reynolds es un valor adimensional el cual nos indica si un flujo es turbulento o laminar, dentro de un tubo. El número de Reynolds “R”, se calcula mediante la siguiente ecuación: R = ρVd η Donde “ρ” es la densidad, “V” la rapidez promedio y “d” el diámetro del tubo. Determinar las dimensiones de la viscosidad “η”. A) M 2L−1T −1

B) M 3L−1T −1

C) ML−1T −1

D) ML−2 T −1

−1 −2

C) VFF

32. De las siguientes proposiciones, indicar verdadero (V) o falso (F); La cantidad de calor y el trabajo tienen la misma fórmula dimensional. La velocidad de la luz y la velocidad del sonido tienen diferente fórmula dimensional. La dimensión de un número es igual a cero. A) VVF B) FVV C) VFF D) VVV E) VFV 33. En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta. Halle la ecuación dimensional de “x”.

12

A) MLT

definida mediante: E C = 0,5m × v 2 . Donde

30. De la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, hallar:

A) 1 2

E = Mvx + Mvx + Mvx + ......∞ Donde; M: masa; v: velocidad

34. La energía en el S.I., se mide en Joules (J). Si la energía cinética (Ec) de un cuerpo está

III. [ caudal ] = L3T −1

g E) k l

28. En un experimento de física se comprobó que

23. En la siguiente fórmula física: x

A) tiempo D) caudal

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

E) M L T

36. La frecuencia de un péndulo está dado por: 1 2mgh 2π A Donde: m=masa; h=altura; g=aceleración. Determinar las dimensiones de “A” F=

A) ML

B) ML−4

D) MLT −2

E) ML−3

C) ML2

37. Si se cumple que: K = 2x.P.V.cos α Donde: P: presión; V: volumen y α = x 3 Determinar las dimensiones de “K” A) ML2 T −2

B) ML2 T −3

D) M LT −2

E) ML−1T −2

C) M 2LT −3

Academia SERUNA

DARWIN N. ARAPA QUISPE C) 0 y 0 B) −1 y 1 E) − 1 2 y − 1 2

38. Para determinar la energía cinética de una molécula de gas monoatómico ideal se usa: 3 Ec = KT 2 Donde: T=temperatura; K=constante de Boltzan. Hallar [K]

43. Cuál debe ser las dimensiones de “A” para que la expresión sea dimensionalmente correcta

A) 1

B) MLT −2θ−1

D) MLT 2θ

E) L2MT −2θ−1

I = A v o2 + 2gx + 2, 5Ft

C) MLT −2θ

39. En la ecuación correcta, ¿Qué magnitud representa “x”? m.v 2 x.P.C x

W= W=trabajo; P=periodo; m=masa; C=frecuencia A) Presión B) Trabajo D) Aceleración E) NA

v=velocidad; C) Densidad

40. La velocidad crítica V a la cual el flujo de un liquido a través de un tubo se convierte en turbulento, depende de la viscosidad η, de la densidad del fluido δ , del diámetro D del tubo y de la contante adimensional R. halle la formula empírica para calcular la velocidad en función de η, δ,D y R . Rηδ D Rη D) δD

A)

B)

R ηδD

C)

(

)

Dimensionalmente correcta, Donde: x=longitud; m=masa; F=fuerza; c=velocidad y t=tiempo. Hallar las dimensiones del producto [ b.R.z ] 2 −2

D) ML T

B) M 2LT −1

B) M 2

A) MT D) MT

−1

47. La presión “P” que ejerce el flujo de agua sobre una pared vertical viene dada por la siguiente formula empírica:

t=tiempo; C) M

E) N.A

44. Dada la expresión: sen60

o

Xva  F  (tan 30o ) + Ln  = 2 3   PA  A W Dimensionalmente correcta, donde: F=fuerza; A=superficie; a=aceleración; W=velocidad angular; p=presión y V=velocidad. Hallar la dimensión de “X” B) LT −3

A) L2 D) T

−3

E) LT

C) L2 T −3

−2

45. En la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea :  2πt 2πx  y = A sen  + K   J

C) ML3T −2

3 −1

E) ML T

42. Si la ecuación es dimensionalmente correcta, hallar los valores de “x” e “y”. Tg A ( h1 − h2 ) = Log ( P1 – P2 ) h y3 x

Donde: h1, h2, h3, =alturas y p1, p2 =presiones Academia SERUNA

Determine la dimension de A) T0

B) L2 T −2

D) ML

E) T

y JK C) T 2

−1

46. Experimentalmente se ha determinado que la fuerza de sustentación que actúa sobre el ala del avión depende del área S del ala, de la densidad D del aire y de la velocidad del avión. Determine el exponente de la velocidad en la fórmula empírica. A) 1 2 B) 2 C) 1 D) 3

C) 1

Halle la dimensión de “C” siendo: g=aceleración de la gravedad Q=caudal (litros/segundos) A=área h=altura B) L

D) L3 T

E) 1

E) −1

13

A) L−2 T 2

B) LT −1

D) L2 T −1

E) L3T −2

14

la

ecuación

3 7

B) M

−

3 7 3 4 L8 T 2

2 3

5

3

D) M 3 L4 T 2

3

51. En una feria de Física un estudiante hace rotar un disco sobre un eje horizontal con velocidad angular ω (rad/s) y lo suelta en la base de un plano inclinado como se muestra en la figura. El centro del disco sube una altura “h”, la cual puede ser expresada por: 2  1  Iω h=  , donde “m” es la masa del  2  mg disco, “g” es la aceleración de la gravedad e “I” es una propiedad del disco llamada momento de inercia. Entonces la expresión dimensional para el momento de inercia es:

A) M 2L3 B) ML2 T −1 3 −1

C) L T

C) LT −2

C) ML T

B2

−x

h

D) ML2 T −2 E) ML2

52. La magnitud del torque ( τ ) de un acoplamiento hidráulico varia con las revoluciones por minuto (H) del eje de entrada, la densidad ( ρ ) del fluido hidráulico y del diámetro (D) del acoplamiento, si k es una constante adimensional. Determine una fórmula para el torque ( τ ). A) kρHD 3

B) kρH 2D 3

D) kρ2HD 4

E) kρ2H 2D 5

53. La

p=A−

ω

2

e es h dimensionalmente correcta, si p es presión y h B es longitud, halle la dimensión de Ap

50. Si

3 7 3 − 4L 8T2

E) M 3 L4 T 8

48. La ecuación que permite calcular el gasto o caudal que circula por un orificio de un deposito es: Q = C.A 2.g.h

A) L

−

2 3

Donde: Q=caudal (m3/s) d=densidad del agua A=área de la placa λ =constante adimensional. Halle: x + y + z 1 A) B) 2 2 E) −1 D) 3

−1

A) M

C) M 2 L8 T 4

P = λ.Q x .d y .A z

49. En un experimento de física, un cachimbo desea encontrar la velocidad del aire “V” que genera un ventilador mecánico, la cual depende de la fuerza “F” del aire, la potencia “P” desarrollada por la persona que acciona el ventilador y la fuerza de rozamiento “K”, encontrando la siguiente ecuación: V = αFP + BK ¿qué dimensiones tiene la α expresión 2 ? B

Donde: A es la amplitud (en metros) t es el tiempo (en segundos) x es la posición (en metros)

Fx + 2mb = Tg30o Rt −2 + wLn ( cZ )

A) M 2L3 T −1

Si: I=impulso; F=fuerza; g=aceleración; Vo=velocidad.

RηD δ

E) RηδD

41. Dada la expresión:

A) 0 y 1 D) −2 y 2

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

energía

potencial

C) kρH 2D 5

elástica

Ep e

almacenada por un resorte depende de la rigidez del resorte “k” (N/m) y la deformación del resorte “x”. ¿Cuál de las expresiones sería la formula empírica que la define: α : constante numérica A) Ep e = αkx

B) Ep e = αk 2 x Academia SERUNA

DARWIN N. ARAPA QUISPE C) Ep e = αkx 2

D) Ep e = αk 2 x 2

−1 2

E) Ep e = αk x

54. La fuerza con que un chorro de agua presiona una pared depende del diámetro del tubo “D”, de la velocidad “V” del chorro y la densidad (ρ) del líquido. Si cuando D, V y ρ tienen un valor unitario en el S.I. la fuerza aplicada es π 4 . Determine la fórmula que relaciona dicha fuerza (F). π π D B) F = ρ 2 A) F = ρV 3 4 4 V π V2 C) F = 4 ρD 2

E) F =

π D) F = ρDV 2 4

π ρD 2 V 2 4

55. La potencia utilizada por una bomba centrífuga para elevar una cantidad de líquido hasta cierta altura; depende del peso específico del liquido (γ) ; del caudal efectivo (Q: en m3 s ) y de la altura efectiva (H) a la cual se eleva el líquido. ¿Cuál sería la fórmula empírica de la potencia? k : constante numérica A) kγQ 2H D) kγQH

B) kγQH

2

C) kγ 2QH

E) kγQ H

56. La velocidad cuadrática media de las moléculas depende de la temperatura absoluta (T), de la masa molar (M: kg/mol) y de la constante universal de los gases ( R : J mol × K ). La fórmula empírica para dicha velocidad será: k : constante numérica A) V = k C) V = k

RT M

2

M RT

RT 2 E) V = k M Academia SERUNA

B) V = k

RT M

D) V = k

R 2T M

57. Cuando un electrón ingresa a un campo magnético uniforme, describe una circunferencia de radio “R”. La ecuación que calcula el radio de giro depende de la masa del electrón (m); de su carga eléctrica (q); de la velocidad (V) y de la inducción magnética (B). La fórmula empírica que describe dicha ecuación es: k : constante numérica 2

A) R = k

mV qB

B) R = k

C) R = k

mV B

D) R = k

mV qB 2

mV qB

E) F.D. 58. La inducción magnética creada por una carga eléctrica (q) en movimiento cuando tienen velocidad (V), a una distancia (r) se expresa como: µ B = o × qa × V b × r c × senθ 4π Luego: a + b + c será: A) 1 B) 2 C) –1 D) –2 E) 0 59. La energía (E) disipada por una lámpara eléctrica depende directamente de la intensidad de corriente (I) y de la resistencia eléctrica (R). Según esto la fórmula empírica tendrá la forma: k : constante numérica A) E = kIR 2 2

D) E = kI R

B) E = kI 2R E) E = kI

2

R

C) E = kIR 2 2

GABY R. CCAHUANIHANCCO A. 61. En ensayos experimentales en un túnel de viento, se ha encontrado que la fuerza sustentadora (F) sobre el ala de un avión depende de la densidad ( ρ ) del aire, de la superficie (A) del ala, de la velocidad (V) del viento y del coeficiente k (adimensional) de sustentación. Una expresión adecuada para F es: A) F = kρAV 2

B) F = kρ2 AV 2

C) F = kρA 2 V 2 E) F = kρAV

D) F = kρ2 A 2 V 2

62. La fuerza resistiva sobre un glóbulo rojo (esférico) en la sangre depende del radio R, de la velocidad V y de la viscosidad η . Experimentalmente se ha obtenido que si: R = 2µm

V = 7 × 10 −7 m s −3

dimensiones de a b2 ? A) ML−1T −2 −2 2

D) M L T

B) M −1LT 2

C) M 2L−2 T −1

E) MLT

15

R2 GM

E) T = k

R3 GM

A) 6 πR 2 Vη D) 6 πRVη

D) k

B) 6 πRV 2η E) 4 πRVη

C) 3πRVη2

63. Se ha encontrado que el periodo de revolución (T) de un satélite alrededor de la Tierra depende del radio de su trayectoria circular, de la constante de gravitación universal (G) y de la masa M de la tierra; encuentre una expresión para T si se sabe que:

B) T = k G D) T = k

R M

R GM

64. Desde la parte superior de un tobogán sin fricción se suelta una esfera. Deducir la formula empírica para calcular la velocidad en la parte inferior del tobogán, si depende de la altura donde se dejó caer y la influencia de la gravedad. k : constante numérica g B) kgh C) k A) k gh h

−1 −1

La fuerza resistiva es 252π × 10−16 N. Luego la expresión para denotar la fuerza resistiva es:

M R

C) T = k

η = 3 × 10 kgm s

h g

E) k g + h

65. Rolando, un obrero de construcción civil ha observado que la potencia (P) de su carretilla depende de su fuerza (F) aplicada sobre ella y la velocidad (V) que le comunica. Además de ser obrero tiene nociones de física y ha observado que: F=400N; P=64watts y V = 0,8 m s . Con estos datos ¿Cuál fue la formula deducida? A) P = 5FV B) P = 2FV D) P = 8FV E) P = 10FV

C) P=0,2FV

[G] = L3M −1T−2

60. Una de las formas de escribir la ecuación de Van der Waals para los gases ideales es:  a Rt  ab V3 −  b +  V2 +   V − =0 p p  p Donde (V) es el volumen/mol, (p) la presión del gas. (t) la temperatura absoluta y (R) la constante de los gases ideales. ¿Cuáles son las

A) T = k G

01. A 13. 25. 37. 49. 61.

16

02. B 14. 26. 38. 50. 62.

03. C 15. 27. 39. 51. 63.

04. C 16. 28. 40. 52. 64.

05. C 17. 29. 41. 53. 65

06. C 18. 30. 42. 54.

07. C 19. 31. 43. 55.

08. C 20. 32. 44. 56.

09. C 21. 33. 45. 57.

10. C 22. 34. 46. 58.

11. C 23. 35. 47. 59.

12. C 24. 36. 48. 60.

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DARWIN N. ARAPA QUISPE

GABY R. CCAHUANIHANCCO A. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS Son aquellos vectores que tienen como módulo la unidad de medida y las direcciones coinciden con los ejes cartesianos.

CASOS PARTICULARES 1. Cuando α = 0° y los vectores A y B son paralelos y del mismo sentido. A

y

CAPÍTULO II VECTOR

CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES

Es un ente matemático que sirve para representar a las magnitudes de carácter vectorial.

1. VECTORES COLINEALES Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción.

Ejemplos: Desplazamiento, velocidad, fuerza, aceleración, campo eléctrico, etc.

impulso,

ELEMENTOS DE UN VECTOR

módulo

final

2. VECTORES IGUALES Dos vectores serán iguales cuando tienen la misma dirección, módulo y sentido. L 1 // L 2 . A

origen

//

B

L1

//

3. VECTORES PARALELOS Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas entre sí. L1

L2

−ɵi : tiene dirección del eje X negativo. ɵj : tiene dirección del eje Y positivo

• SENTIDO: Representado por la flecha del vector. • LÍNEA DE ACCIÓN: Es aquella línea donde se encuentra contenido el vector a través de la cual puede deslizarse. Academia SERUNA

B

B

R = A−B R mín = A − B

B

α

R

1. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

A

C

A

R

θ

β

Pasos a seguir:

4. VECTOR UNITARIO Es aquel cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. ⇒

B

L3

En la figura: θ = α = β

A= A u

A

u=

//

• DIRECCIÓN: Es el ángulo que forma el vector con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas (por lo general se toma la orientación con respecto al semieje positivo de las abscisas).

θ

A

3. Cuando α = 90 ° , los vectores A y B son perpendiculares.

ADICIÓN Al vector “suma” también se le llama resultante. La resultante produce el mismo efecto que los sumandos.

vector no aparece con flecha encima se sobreentiende que se refiere al módulo, es decir: A = A

2. Cuando α = 180° y los vectores A y B son paralelos y de sentidos opuestos.

Los vectores cartesianos son: ɵi : tiene dirección del eje X positivo.

//

A

−ɵj

OPERACIONES CON VECTORES

L2

θ = Direción

notación: A : se lee “Módulo de A ”; si un

R máx = A + B

x

−ɵi

B

R = A+B

−ɵj : tiene dirección del eje Y negativo

sentido

• MÓDULO: Llamado también NORMA o TAMAÑO, es la medida de la longitud del vector, el módulo se representará mediante la

ɵi

A

B

C

B

ɵj

•

A

R=

4. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 60°.

B

A =m y B =m

1. La suma ( S ) o resultante ( R ) es la diagonal del paralelogramo formado. 2. La suma o resultante se denota: A+B = R

A =m

R R =m 3

Analíticamente:

A

R=

A

A2 + B2

A 2 + B 2 + 2AB cos θ

60°

B =m

Ley del paralelogramo

17

18

Academia SERUNA

DARWIN N. ARAPA QUISPE 5. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 120°. A = m y B = m

R =m A =m

manteniendo constante su VALOR, DIRECCIÓN y SENTIDO. La resultante es el vector que parte del origen del primero y llega al extremo del último. Ejemplo: 2

d

B =m

3

2

a

c

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR EN EL PLANO Las componentes rectangulares están dadas por:

4

R

NOTA: En un sistema de vectores ordenados que forman un polígono cerrado se cumple que la resultante es cero A B

Pasos a seguir: • Se forma el triángulo, cuando son “SÓLO” 2 vectores •

Para hallar el valor de R se aplica la Ley de Lamy o de senos:

R a b = = sen β sen γ sen α 3. MÉTODO DEL POLÍGONO Se usa generalmente para sumar más de dos vectores. Se colocan uno a continuación del otro,

D

Academia SERUNA

DIFERENCIA ( D ) La diferencia de vectores es llamada también resultante diferencia.

2

V = Pfinal − Pinicial MÓDULO DE UN VECTOR EN R 3 El módulo de un vector A = a 1i + a 2 j + a 3k ; está dado por: Z

a3

Ax a1 X

Z

a1 X

b Ley de cosenos:

O

A

A(a1,a 2,a 3 )

a2 Y

Componentes de un vector en R 3

2

A + B − 2AB cos α

20

O

A

a2 Y

A=

a1 2 + a 2 2 + a 3 2

DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN R 3 :

a3

19

Dados dos puntos en el espacio, se puede hallar el vector que dichos puntos determinan, aplicando:

Ay

Análogamente a los puntos del plano cartesiano que están representados por un par ordenado, los puntos del espacio se representan mediante ternas de números o coordenadas espaciales.

α

2

DONDE: ɵi , ɵj y kɵ son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes X, Y y Z respectivamente.

DIRECCIÓN DEL VECTOR A RESPECTO AL EJE X:

D=a−b

a

D=

2

Ax + Ay

VECTORES EN EL ESPACIO E

R =a+b=S

A =

C

b

γ

 A x = A cos θ A= ⇒  A y = Asenθ

tanθ =

R=0

F

α

Ax = Acos θ

A = A(cos θi + senθj) = (A cos θ; Asenθ)

c

d

a

X

Expresión vectorial de A :

b

R = a+b+c+d

β

A = a 1i + a 2 j + a 3 k

Ay = Asenθ

θ

3

R =m 2

2. MÉTODO DEL TRIÁNGULO Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes

como combinación lineal de sus vectores unitarios canónicos, así:

4

1

A =m

Un vector A = (a 1, a 2, a 3 ) , se puede escribir

Y

Construyendo el polígono:

y forman 90°. A = m y B = m

B =m

EXPRESIÓN VECTORIAL DE UN VECTOR EN R 3

A

b

120°

R

DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR

a 1

6. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

La dirección de un vector en R 3 , está dada por sus ángulos de orientación con respecto a los 3 ejes coordenados. A los cosenos de dichos ángulos se denominan cosenos directores. COSENOS DIRECTORES: Las direcciones del vector con respecto a los ejes coordenados están dados por: Academia SERUNA

DARWIN N. ARAPA QUISPE MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR ESCALAR

Y

Dado el vector: A = a 1i + a 2 j + a 3k y un escalar “r” se define como producto por escalar a la operación:

a2

a3

O

β γ

α

A

Z

Donde X

α :ángulo de inclinación con respecto al eje X

β :ángulo de inclinación con respecto al eje Y

γ : ángulo de inclinación con respecto al eje Z a Dirección con el eje X: cos α = 1 A a2 Dirección con el eje Y: cos β = A a3 Dirección con el eje Z: cos γ = A a1 cos α = A a cos β = 2 Cosenos directores A a3 cos γ = A Propiedad:

2

2

2

cos α + cos β + cos γ = 1

SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES EN R 3 Dados dos vectores:

A = a 1i + a 2 j + a 3k y B = b1i + b 2 j + b 3k

el

vector

D = (a1 − b1)i + (a 2 − b 2 )j + (a 3 − b 3 )k

es

múltiplo

A • B = AB cos θ

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ

3

Dado los vectores A y B ∈ R y los escalares r, s ∈ R , se cumple: 1. rA // A 2. (r + s)A = rA + sA 3. r(A + B) = rA + rB

Dados

dos

vectores:

Representación gráfica del producto vectorial

A×B

i

j

k

b1 b 2 b 3

A • B = a 1b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

A × B = (a 2 b 3 − a 3b 2 )i − (a 1b 3 − a 3 b1 )j + (a 1b 2 − a 2 b1)k

cumple que:

b = A Observe: A▱ = bh ; Además   h = Bsenθ Para el paralelogramo:

A ▱= A × B = ABsenθbh = ABsenθ

A△ =

1 1 A × B = ABsenθ 2 2

A × B = ABsenθ

3

En R , para un vector A = a 1i + a 2 j + a 3k ; se

A

Para el triángulo:

PROPIEDAD: El módulo del vector A × B esta dado por la siguiente relación:

A = a 12 + a 2 2 = A 2

h

θ b

A × B = a1 a 2 a 3

que:

Triángulo 1 A ×B 2

B

O

vectores a la expresión dada por:

En R 2 , para un vector A = a 1i + a 2 j ; se cumple

VECTOR

B . Su módulo es igual al área del paralelogramo formado.

θ

de

Observe que:

DEL

perpendicular, tanto al vector A como al vector

B

y

A iB

GEOMÉTRICA

vectorial A × B , a la expresión definida por el determinante:

A

Se define como producto interno

INTERPRETACIÓN A×B

B = b1i + b 2 j + b 3k

A

y

El vector A × B , está representado por un vector

PRODUCTO INTERNO O PRODUCTO PUNTO

•

A = a 1i + a 2 j + a 3k

B

B = b1i + b 2 j + b 3k ; se define como producto

A×B

4. r(sA) = s(rA) = (rs)A

A

A×B

B : módulo del vector B

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR:

A = a 1i + a 2 j + a 3k

A×B ¡Observe!

A

θ : ángulo formado por los vectores A y B

Dados dos vectores:

Regla de la mano derecha: Sirve para determinar la dirección del vector

A : módulo del vector A y

necesariamente paralelo al vector A .

Se define como vectores suma y diferencia, respectivamente:

S = (a 1 + b1)i + (a 2 + b 2 )j + (a 3 + b 3 )k

rA ,

Otra definición: Es posible también definir el producto interno mediante la relación:

Donde:

rA = r(a 1i + a 2 j + a 3k) = ra 1i + ra 2 j + ra 3k a1

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

Donde:

A : módulo del vector A •

2

2

2

A = a1 + a 2 + a 3 = A

2

B : módulo del vector B θ : ángulo formado por los vectores A y B

Academia SERUNA

21

22

Academia SERUNA

DARWIN N. ARAPA QUISPE

VECTORES I

A+B =

Problemas Resueltos

8 2 + 6 2 + 2(8)(6) Cos 90°

Sumamos ahora A y B + C con el método del paralelogramo.

A + B = 10 u

Resolución

PROBLEMA 01 Determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados. A) 15 B) 13

PROBLEMA 04 Determine el módulo de la resultante de los

27N

Cuerpo

C) 14

R = A +B+C

Graficamos según el enunciado:

3N

vectores A , B y C . Considere: ( A = 4 6 ,

θ

R=63N

60° 1N

E) N.A.

Para determinar el módulo de la resultante, emplearemos el método del paralelogramo.

1N Por ley de cosenos:

R = A 2 + B 2 + 2AB cos θ R = 12 + 32 + 2(1)(3)cos 60°

60°

E) 15 u

R=

Supongamos que sean dos vectores A y B , entonces según lo afirmado en el problema.

13

PROBLEMA 02 ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de 27N y 45N para que actúen sobre un cuerpo como solo una fuerza de 63N. A) 45° B) 30° C) 60° D) 16° E) 37° Academia SERUNA

D) 13 u

2

R =

60°

A + B+C

2

R = (4 6)2 + (4 3)2 ⇒

C

Sumamos los vectores B y C , usando el método del paralelogramo:

A

R máx = A + B = 14 ;

R mín = A − B = 2

Resolvemos y encontramos los módulos de los vectores A y B . A = 8u y B = 6u

Calculamos el módulo de los vectores A y B usando la fórmula [1], cuando los vectores son perpendiculares (θ = 90°).

23

B+C B 60°

Resolución

1 R = 1 + 3 + 2(1)(3)    2 2

1 R = 1 + 3 + 2(1)(3)   ⇒  2

Calculamos el módulo de R = A + B + C usando el teorema de Pitágoras:

B

C) 24 u

632 = 27 2 + 452 + 2(27)(45)cos θ Resolviendo se obtiene: 1 = cos θ ⇒ θ = 60° 2

PROBLEMA 03 Dos vectores tienen una resultante máxima cuyo módulo es 14u y una resultante mínima cuyo módulo es 2u. Determine el módulo de la resultante de los vectores cuando estos forman un ángulo de 90°. A) 12u B) 14u C) 20u D) 10u E) 15u

60°

2

A

R = 12u

Resolución

R

2

B) 14 u

2

R = A + B + 2AB cos θ

Resolución

3N

2

B+C

A) 12 u

Método del paralelogramo: 2

A

B = 4u y C = 4u .

45N

D) 17

2

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

60°

C

Calculamos el módulo de B + C usando la ley de cosenos: B+C =

4 2 + 4 2 + 2(4)(4)Cos60° = 4 3u

Un análisis geométrico adicional nos lleva a la conclusión de que el vector B + C biseca al ángulo de 60°, esto es porque los vectores que se han sumado tienen igual módulo. Por lo tanto el ángulo que forman entre si el vector A y B + C es 90°.

24

PROBLEMA 05 Dos vectores A y B tienen módulos de 10u y 6u respectivamente. Determinar en qué intervalo se encuentra el módulo de la resultante que se pueden obtener con estos dos vectores. A) 0u ≤ A + B ≤ 16u

B) 0u ≤ A + B ≤ 4u

C) 6u ≤ A + B ≤ 16u

D) 6u ≤ A + B ≤ 10u

E) 4u ≤ A + B ≤ 16u

Resolución Calculamos el módulo de la resultante máxima y mínima de estos dos vectores A + B = 16u ; A − B = 4u

El intervalo entre los cuales se encontrará la resultante de estos vectores de acuerdo al ángulo que formen entre si será: 4u ≤ A + B ≤ 16u

Academia SERUNA

DARWIN N. ARAPA QUISPE

VECTORES I 01. Halle el modulo del vector resultante de los vectores de 15 N y 7 N que forman entre si un ángulo de 53° A) 20N B) 10N C) 15N D) 8N E) 5N 02. Dos fuerzas coplanares dan una resultante máxima de 8N y una resultante mínima de 2N, calcular el módulo de la fuerza resultante de dichas fuerzas cuando sus orígenes coinciden y forman entre si 60°. A) 9 B) 11 C) 7 D) 8 E) 6 03. Si el módulo de la resultante máxima y mínima de dos vectores son de 14 y 2 unidades, ¿qué ángulo deben formar para que la resultante tenga un módulo de 10 unidades? A) 30° B) 37° C) 53° D) 60° E) 90° 04. Dos vectores coplanares y concurrentes tienen una resultante que mide 74 unidades y su correspondiente vector diferencia mide 37 unidades ¿Qué ángulo forman dichos vectores, si se sabe además que sus módulos son iguales? A) 30° B) 53° C) 37° D) 16° E) 60° 05. Se tiene dos vectores A y B que forman entre si un ángulo de 53°, si A=75cm y el módulo de la resultante es de 300 cm. Hallar el seno del ángulo formado entre el vector B y la resultante. A) 0,4 B) 1,0 C) 0,1 D) 0,2 E) 0,3 06. Se tiene dos vectores de módulo constante dispuestos sobre un plano, se sabe que el mayor y el menor valor de su resultante es 32u y 6u, respectivamente. ¿Qué módulo

Practicando lo aprendido A) 2 38 u

B) 3 76 u

D) 1,5 76 u

E)

C) 1,5 76 u

283 u

07. Dados dos vectores A y B que forman entre si 60°, donde A=10u y el módulo del vector diferencia tiene su menor valor. Determine el módulo del vector resultante entre A y B . A) 6u

B) 5 7u

D) 9 2u

E) 12u

B) 37º

α α

2F

B) 40 E) 15

2, 5F

E) 60º 09. Hallar el módulo del vector

3A − 2B , si

V 2 − V 1 , si V 1 = V 2 = V

A) V 2

V2

V1

30°

30°

14. Si la resultante de los tres vectores coplanarios mostrados es cero, halle el módulo del vector B

C) 4

A

α

C) 5 D) 3

37°

B E) N.A. 10. Dos vectores coplanares A y B tienen el mismo módulo y se verifica que: 1 A +B = A −B 2 Luego, el ángulo que forman dichos vectores será: A) 120° B) 127° C) 90° D) 60° E) 37°

E) 6

8cm A

C) 6cm D) 8cm E) 10cm

25

C

15. Calcular el módulo del vector A , para que la resultante del sistema sea cero. A) 2cm B) 4cm

26

6cm

4

θ

x

D) 53°

3

E) 15° 17. Si la resultante de los 3 vectores coplanares mostrados en cero, hallar el módulo del vector “Q” sabiendo que, P=7 , R=5, α=60° A) 2

Q

C) 4

P

α R

E) 6

E) N.A.

B) 4

A

C) 60°

D) 5

C) V

A) 2

A) 13

16. Halle el ángulo θ conociéndose que la resultante debe tener valor mínimo. A) 37° y A B) 45°

B) 3

b , sabiendo que A = 7; C = 5 ; α=60◦.

A = 4u , B = 5u .

B) 2 13

C) 40 3

13. De la siguiente figura mostrada, determinar:

D) 13V

tiene A − B , cuando A y B forman 60º? Academia SERUNA

12. Dos vectores forman un ángulo de 120º, el de mayor módulo mide 80 y la resultante es perpendicular al menor. Calcular el módulo de dicha resultante.

B) 2V

D) 53º

D) 7

11. Se desea extraer un clavo de una madera mediante la acción de dos fuerzas de 30N y 50N que forma entre sí un ángulo de 127°. Hallar el efecto neto que producen las 2 fuerzas actuando sobre el clavo. A) 20N B) 30N C) 40N D) 50N E) 60N

A) 20 D) 80

C) 9u

08. ¿Para qué valor del ángulo " α " , el módulo de la resultante es 5F? A) 30º 2, 5F

C) 45º

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

18. Dos vectores de igual módulo formando un ángulo de 74º entre sí, dan una resultante de módulo 8 unidades. Si los vectores forman un ángulo de 106º entre sí, ¿Cuál es el módulo de la resultante? A) 6 B) 3 C) 4 D) 2 E) 15 19. Dados dos vectores A y B de igual magnitud forman un ángulo θ . ¿En qué relación están los módulos de los vectores A +B y A −B? θ θ B) tan 2   A) cot 2   2 2 θ 2 θ D) cos   E) cos   2 2

θ C) sen   2

20. Dos vectores forman un ángulo de 113°, uno de ellos tiene 180 unidades de longitud y hace un ángulo de 53° con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector. Academia SERUNA

DARWIN N. ARAPA QUISPE A) 2 3

B) 84

C) 156

D) 96 3

E) 48 2

21. En la figura, calcular el módulo de la resultante del sistema de vectores:

25. Calcular el módulo de la diferencia A − B de los vectores mostrados si se sabe que A=16 y B=12 A) 40 B B) 24 C) 10

A 16°

D) 20 A=12u

B=16u

A) 6 2

B) 6 5

D) 6 13

E) 6 14

22. Se tiene dos vectores

C) 6 7

A) 3a 2

b = 3N ;

D) 3a

A) 4 N B) 5 N C) 6 N D) 7 N E) 8 N

E) 5a

a 10°

B) 11 cm D) 13 cm

B

E) 15 cm

P − 2Q , considere: (P=5 y Q=3)

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7

P Q 68°

15°

6

D) 74°

90sen37°

60° 16

E) 90°

Resolución

53°

* Hallamos “RX” RX = 120cos 53º – 90cos 37º  3 4 R X = 120   − 90   5 5

A B C

60 °

37°

RX = 0

D

E) 7

* Hallamos “RY” RY = 90sen 37º + 120sen 53º

 3 4 R Y = 90   + 120   5 5

01. A 05. D 09. D 13. A 17. 21. 25.

02. C 06. E 10. C 14. D 18. 22. 26. B

03. E 07. D 11. D 15. E 19. 23 27. B

RY = 150

04. B 08. B 12. D 16. D 20. 24.

10senθ

2

28

2

R=

RX + RY

R=

0 2 + 150 2

∴ R = 150

6

θ

10 cos θ 16 cos 60° 60° 16sen60°

16

Como la resultante está ubicada sobre el eje “x”, entonces en el eje vertical, la resultante debe ser igual a cero: Luego:

Ry = 0 10sen θ – 16cos 60º = 0 5senθ = 8cos60º

* Luego la resultante total se obtiene así:

27

10

90 cos 37° 120 cos 53°

E) 8 Academia SERUNA

θ

C) 37°

E) 180

67º

24. Dados los vectores mostrados, determinar

53°

37°

120sen53°

3a

A

53º

B) 53°

Descomponemos rectangularmnente cada vector:

C) 26 D) 14

90

que la

Descomponemos rectangularmnente cada vector:

B) 28

23. Calcular el módulo del vector 2A + B , siendo |A|=4cm y |B|=7 cm A) 10 cm

120

D) 160

27. Determinar el módulo del vector resultante de los vectores mostrados si: A=10 y D=6. A) 30

b 63°

PROBLEMA 02 Halle la medida del ángulo “θ” para resultante se encuentre en el eje “x” A) 45° 10

Resolución

3a

C) a 2

Calcular: a − 2b .

PROBLEMA 01

a 2

B) 2a 2 a = 5N ,

Problemas Resueltos

Hallar el módulo de la resultante. A) 100

C) 150

26. Calcular el valor de la resultante de los vectores mostrados.

60º

VECTORES II

B) 120

E) 12

C

C) 12 cm

106°

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

1 5senθ = 8   2 4 senθ = 5 ∴ θ = 53°

Academia SERUNA

DARWIN N. ARAPA QUISPE PROBLEMA 03 Los vectores A , B y C están ubicados en el sistema ortogonal, tal como se muestra en la figura. Determine el módulo y la direccion de la resultante. (A=10u, B= 8 2u y C=10u) A) 4u; ∠ 7º A

B) 1u; ∠ 8 º C) 4u; ∠ 0 º 83°

D) 1u; ∠ 0 º

60° 38°

C B

E) 1u; ∠ 10 º

ángulo anteriormente girado), la dirección y el sentido del vector resultante será: 7° con respecto al eje +x.

Los ángulos mostrados no corresponden a triángulos notables. Si los vectores son girados 7° en sentido horario, obtenemos que los vectores forman ángulos notables.

En el siguiente sistema de vectores, determine el modulo del vector resultante. A) 12 26 4 2 B) 20 64° 19° C) 15 34° D) 14 20

C

4 16

A = 10 cos 53° ɵi + 10sen53° ɵj A = 6 ɵi + 8 ɵj

45°

53°

B = 8 ɵi − 8 ɵj

Calculamos la resultante R = A+B+C ɵ R = (6 i + 8 ɵj) + (8 ɵi − 8 ɵj) + (−10 ɵi)

R = 4 ɵi

12

Hallando la resultante en cada eje:

F 53º

D) 1

9

14

B) 18 10

50º

3º

C) 54

∴ R = 10

D) 56 E) 46

vector 7° en sentido antihorario (para restituir el

29

30

10

07. Determinar el módulo del vector resultante del sistema: A) 8 B) 20 C) 13

10 2

25 52°

60° 83°

D) 21

10 u

50

06. Determinar el módulo de la resultante de los tres vectores mostrados. A) 2 10 B) 4 4 2 82º C) 6

E) NA

E) 0

04. Calcula el módulo de la resultante. A) 8 10

R = (6)2 + (−8)2 = 10

10 2

E) 45°

D) 2 2

E) 5

R = RX 2 + R Y2

45º

135º

30º

C) 2

R Y = 4ɵj − 12jɵ = −8jɵ (↓)

60º

θ

D) 30°

48º

El módulo de la resultante es: R = 4u , girando el

Academia SERUNA

6

03. Dado el conjunto de vectores, halla el módulo de la resultante. A) 2 10 u 4 2u B) 2 2

20

10 25

C) 60°

E) 20 3

26

Calculamos el módulo de la resultante

C = −10 ɵi

8

02. Si la fuerza resultante del siguiente grupo de vectores es horizontal. Halla “F”. A) 10

D) 40

R X = 26iɵ − 4iɵ − 16iɵ = +6iɵ (→)

B = 8 2 cos 45° ɵi − 8 2sen45° ɵj

30º

05. Si en el siguiente grupo de fuerzas, la resultante es vertical. Halla “θ”. A) 37° B) 53°

E) 60°

C) 30

53° 45°

4

53º

D) 53°

B) 20

4

10

C) 45°

Resolución

4 2

B

B) 37°

Como los ángulos no son notables, giramos el sistema 19° en sentido horario.

A

¡Practicando lo aprendido!

VECTORES II 01. Hallar la dirección del vector resultante. A) 30°

PROBLEMA 04

E) 10

Resolución

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

18

08. Si el radio de la semicircunferencia es 25. Hallar el modulo del vector resultante. A) 9 10 B) 2 10

11º 10º

50

C) 6 D) 4

42º 21º

E) 0 Academia SERUNA

DARWIN N. ARAPA QUISPE 09. En el siguiente sistema de vectores, el módulo de la resultante es 30 2 unidades y tiene una dirección de 45°. Calcule la medida del ángulo

α,

sabiendo

a = 70u

que

y

b = 10u. A) 45°

c

37°

B) 53°

α

E) 30° 10. Dados 3 vectores en el plano, halle el ángulo θ, de manera que la suma de estos sea cero. A) 37° y

8

x

θ

10

E) 22° 11. Se muestra tres vectores A , B y C que verifican 2 A = 2 B = C . Si la resultante de los tres vectores toma su menor valor, determine el valor del ángulo " α " y el valor de la resultante. A) 16º y 24 B) 14º y 25 C) 14º y 20

A

(24;7) B

44º

D) 16º y 25 E) 14º y 50

O

α C

12. Calcular el ángulo θ y el módulo de la fuerza resultante sabiendo que tiene la misma dirección que el vector de 40 unidades. Academia SERUNA

θ

(−5; 5)

m 45°

C) 13ɵj

(4; −1) (−6; −5)

E) 8

17. La figura muestra a tres vectores coplanares, si la resultante de estos vectores tiene un módulo de 25u y una dirección de 53°, determine tan θ. A) 3 4 a c B) 9 13 10 θ C) 3 2

−2ɵi − 5 ɵj

14. Si el vector resultante de los vectores mostrados es nulo, halle θ . A) 53° 11 B) 26,5° 10° C) 45° 27°

E) 37°

D) 13 9

37°

E) 4 3 18. En la figura mostrada a + b = (− 3; 3). Si

a =m

y

θ

b = n, determine el valor de

A) 1 + 2 A

B) 2 + 2 C) 1 + 3

15. Calcular α si la resultante del sistema se encuentra sobre la línea de acción 27N. A) 10° 15N

D) 3 + 3

a 30°

73° 73°

C) 36° D) 37°

a+b+c +d = 0 Siendo: b = 3, c = 5 3 y d = 8. Calcule el módulo del vector a y la medida del ángulo θ.

25N

31

d

E) 4, 60°

20. En el sistema mostrado, hallar el módulo del vector resultante, sabiendo que la circunferencia tiene un radio de 25 5 cm. A) 12cm B) 15cm

a

46°

C) 10cm

67°

b

D) 20cm E) 15cm

B) 5u C) 10u

20u

20u 68°

25u

22°

15°

E) 20u

E) 2 + 3

27N

α

α 30°

c

60°

19. En la figura mostrada se sabe que:

B) 20°

a

D) 6; 60°

D) 15u

b

b

B) 1; 60°

21. La siguiente figura muestra tres vectores concurrentes en el plano XY, halle el módulo del vector resultante. A) 3u

b

m + n.

D) 73,5° 5

5

A) 4; 30°

C) 2, 30° x

D) 16

B) ɵi + 3ɵj

E) 8°

(1; 9)

C) 14

30

E) 18ɵi + 3ɵj

75°

D) 25°

B) 12

20°

C) 13°; 33

D) 18ɵi + 13ɵj

C 15°

40

13. La resultante del sistema tiene un módulo igual a 10 y forma +37º con el eje +x. Determinar la expresión vectorial cartesiana de m . A) 10ɵi + 2ɵj 8 2

a

B) 45°

20°

16. Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados en la figura. A) 10 y

E) 17°; 22

53°

C) 37°

C) 33°

24

B) 13°; 25

D) 15°; 24

b

D) 16°

A) 17°; 23

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

32

01. A 05. D 09. D 13. A 17. 21.

02. C 06. E 10. C 14. D 18. 22.

03. E 07. D 11. D 15. E 19. 23

04. B 08. B 12. D 16. D 20. 24.

Academia SERUNA

DARWIN N. ARAPA QUISPE

VECTORES III

Problemas Resueltos

PROBLEMA 01

PROBLEMA 02

Sobre la cuadricula mostrada se ubican a tres vectores, ¿qué vector se debe añadir para obtener una resultante nula? A) (−6;1)

Si en los vectores que se hallan contenidos en el rectángulo se cumple que: x = na + mb . Halle m+n. A) 1

B) (1;6)

B) 2 C) 3

C) (−6;−1)

x

a

1

b

x

a

C

C = (0; 2)

c

1

A

b c

c

Nos piden determinar un cuarto vector D para que la resultante sea nula. R = A+B+C+D

Reemplazando (1) en (2): b = a + 4(x − a)

B) 10cm

b = a + 4x − 4a

ɵi: Vector unitario en la dirección del eje x

De donde:

D) 5cm

33

34

b

D) 20/49

a

05. Expresar A en función de los vectores P y Q , o sea A = mP + nQ . Dar como respuesta los valores de “m” y “n”. A) 5 y –6 A

B) 3 y –3 C) 4 y –1

Q

D) 3 y –2 P

06. En la figura mostrada: P = r A + nB Hallar los valores de r y n. Cada cuadrado es de lado 1cm de lado. 3 9 A) ; 11 11 A B) –2; 3

D) −

b

c

04. Escriba x como combinación lineal de los vectores a y b . Dar como respuesta el producto de los coeficientes.

ɵj: Vector unitario en la dirección del eje x

Academia SERUNA

a

E) 4cm

m+n =1

C) 1

C) –7; 11

C) 3cm

3 1 x = a + b = na + mb 4 4 3 1 n= y m= 4 4

∴

B

03. La figura muestra una cuadrícula formada por doce cuadrados iguales de 1cm de lado cada uno, calcule el módulo del vector resultante de los vectores a , b y −c . A) 3cm

b = a + 4c ……….(2)

x

B) 1/4

E) 5 y –6

E) − 11 120

c = x − a …….(1)

D = (−6, −1) NOTA: Los vectores también se pueden expresar como pares ordenados: A = ( a ; b) = a ɵi + b ɵj

C

C

D) − 22 15

x =a+c

A) −20/49

E) −1

C) − 14 15

c

Usando el método del triángulo se tiene:

1

(0;0) = (2; −3) + (4; 2) + (0,2) + D

B

1m

02. En la figura, los vectores dados están relacionados entre sí por: C = mA + nB. Donde m y n son números reales. Determine m + n. A) − 10 11 A B) − 8 11

Sean A, B y C los vectores que se indican:

B

A

E) 6m

Sea c un vector auxiliar:

A = (2; −3)

B) 2m

D

Resolución:

Resolución

01. Del conjunto de vectores mostrados. Halle el módulo del vector: R = 2 A − B + 4C − 2 D A) 1m 1m

D) 4m

E) 5

1

E) (−5;−2)

¡Practicando lo aprendido!

VECTORES III

C) 3m

D) 4

D) (6;1)

B = (4; 2)

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

3 22 ; 11 13

B

P

3 13 ;− E) − 11 11

07. Dado el siguiente conjunto de vectores determine el vector R = A − 2 B − 3C + D . Si cada lado del cuadrado mide “a” Academia SERUNA

DARWIN N. ARAPA QUISPE

A

B

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

11. Determine el vector resultante del conjunto de vectores mostrados y el vector F que sumado con los vectores dados resulta cero.

VECTORES IV

Problemas Resueltos Resolución

PROBLEMA 01 D

A) −aiɵ + 3aɵj D) 4aiɵ − aɵj

C

B) 6aiɵ − 3aɵj E) 4aiɵ − 2aɵj

D) 2

b

E) −2

09. Halle el vector resultante de los vectores mostrados en la figura. A) 5ɵi + 2ɵj B) −3ɵi + 2ɵj

a

10 ɵ ɵ C) ( i + j) 2

D)

E) ɵi + 2 2 ɵj Academia SERUNA

C

A+B+C A

C

C) biɵ − aɵj ; − biɵ + aɵj D) −2biɵ + 3aɵj ; 2biɵ − 3aɵj

Descomponiendo los vectores poligonalmente.

M

B

E) 4biɵ − 3aɵj ; −4biɵ + 3aɵj

F

D+E

Resolución

E

D

De la figura notamos: A+B+C = F

(α)

D+E = F

12. La figura está conformada por pequeños cuadrados de lado igual a 1cm. Calcular el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

5

5

(β)

Luego (α) y (β) en (I) R = F+F+F

C

A

De la figura es fácil darse cuenta que los vectores horizontales se anulan, y en consecuencia, la resultante del conjunto de vectores es: R=5+5.

∴ R = 3F

PROBLEMA 03 En el sistema vectorial mostrado, determinar el módulo del vector R = A + B − C − D + E . Si

∴ R = 10 c

A = 3 y B = 8.

PROBLEMA 02 A) 2 10

B) 4 10

D) 8 10

E) 10 10

C) 6 10

En el gráfico adjunto, halle la resultante de los vectores mostrados. A) F B B) 2F

A

A

C) 3F

ɵ (2iɵ + 3j) 5

A

E) 20

b

10. Si se cumple que: A + B + C = O , determine el vector unitario del vector C. ɵ 5 A) ( ɵi + 3j) B) −

B

C) 14

A) 2biɵ + 2aɵj ; −2biɵ − 2aɵj B) biɵ + aɵj ; − biɵ − aɵj

E) −3ɵi − 2ɵj

ɵ ( ɵi + 3j)

Sea: R = A + B + C + D + E + F ….. (I)

D) 15

b

C) −5ɵi + 2ɵj D) 3ɵi + 3ɵj

Agrupando los vectores convenientemente, usando el método del polígono.

B) 10

B

a

a

C

C) 3aiɵ + aɵj

08. Sobre la cuadrícula mostrada se ubican tres vectores, si se cumple que x = ma + nb. Halle m + n. A) 1 x B) 0 C) −1

Dado el siguiente conjunto de vectores, se pide encontrar el módulo de la resultante, si se sabe que: AM=MC=4 y MB=5. A) 12 B

D

A

B

01. A 05. D 09. D

02. C 06. E 10. C

03. E 07. D 11. D

04. B 08. B 12. D

F

D) −F E) −2F

35

36

C

B) 10

A

C

C) 14 D) 15

B D

E

E) 20 E

D

A) 12

Resolución Haciendo uso del método del polígono cerrado. Resultante igual a cero: Academia SERUNA

DARWIN N. ARAPA QUISPE A + C − E + D = 0 ⇒ A = −C − D + E ….(1)

PROBLEMA 05

Reemplazando (1) en lo pedido: R = A + B −C − D + E

En el grafico se muestra un hexágono regular de lado “a”. Halle el módulo de la resultante de los vectores mostrados. A) a

A

R = A + B + A ⇒ R = 2A + B

Calculo del módulo del vector R mediante el teorema de Pitágoras: R = (2A)2 + B 2 = 6 2 + 8 2

∴

B

B) 2a

D a

Resolución

A

C =3 y

D C

B

A

F

C) − FC

D

D) 20

Resolución A + B + (−C) + D + E + (−F) = 0 A + B + D + E = C + F = 0 ……(1) Nos piden: R = A+B+C+D+E+F

R = (A + B + D + E) + (C + F) ……(2) Reemplazando (1) en (2): R = 2(C + F) Cálculo de la resultante: R = 2 C2 + F 2

⇒

Academia SERUNA

S2 = C + D Luego (α) y (β) en (I)

F

C

A

B

03. Hallar el módulo del vector resultante, si:

a = 6 y b = 8.

(α)

S1 = A + B

B) 25

R = S1 + S 2

a c

E) 20

d

b

04. Si en el trapecio mostrado en la figura, M es punto medio de su respectivo lado, hallar el módulo de la resultante de los dos vectores mostrados en la figura.

R = 10

37

38

E D

D) A + B

A

G

06. Determine la resultante de los vectores que se muestran en la figura. A) E + F C A B) 2 E F C) 2 D

E

D

G

B

E) 2 E + 2G

e

D) 15

∴ R = 2a

C C) 2 D

f

C) 30

Además, S1 es paralelo a S 2 En módulo R = S1 + S2 = a + a

F

B

D) 2G

A) 10

(β)

05. Hallar la suma de todos los vectores que se muestra en la figura A) A + B + C

E) NA

E) − AF

Piden: R = A + B + C + D …..(I) Del gráfico:

8u

B) 2 E

D) − DE

S2

E) 15 De la figura, obtenemos la siguiente relación:

d

B) − FD

C

C) 14

60°

02. En el hexágono regular ABCBDEF halle el vector resultante. A) − CA E D

S1

E

f

E) 15 2

Trasladando los vectores convenientemente.

M

E) 16u

a

D) 3 8

4u

B) 6u

D) 12u

c

C) 2 3

A

A) 4u

C) 8u

b

e

D) a 3

vectores mostrados en la figura. Si

B) 12

c = 3, d = e = 5.

B) 2 21

Hallar el módulo de la resultante del conjunto de

B

01. Halle el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados en la figura, si

C

R = 10

PROBLEMA 04

A) 10

¡Practicando lo aprendido!

VECTORES IV

A) 2 19

C) a 2

E) a 5

F = 4.

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

07. Encontrar la resultante del conjunto de vectores mostrados; sabiendo que el módulo del vector A es 10u. A) 10u B) 20u C) 25u

C A

B

D) 30u E) 35u Academia SERUNA

DARWIN N. ARAPA QUISPE 08. En el siguiente gráfico se muestra un triángulo con dos vectores en su interior, si AB=2 y BC=4. Determinar el módulo del vector resultante. Además: AM=MN=NC B

A) 13u

15. Halle el módulo del vector resultante para los vectores mostrados. (ABCD: rectángulo)

B) 10u C) 28u

5u

M

C

N

A) 2 7

B) 3 7

D) 2 21

E) 4 7

C) 3 21

M

A) 1 B) 3

B

C

N

60°

D) 2

1

E) 2 3

1

D

8

A) 20 D) 23

B) 26 E) 21

AE, y AF . A) 3 D) 6

3

13. Si ABCDEF es un hexágono regular de lado 1, halle el módulo del vector resultante. A) 2 3 B C

B) 4 E) 7

B

64°

Q

P

R

A) 25° D) 20°

B) 24° E) 26°

C) 22°

10. Si el lado del triángulo mostrado está dividido en tres partes iguales y si además AB=4 y AC=3. Hallar el modulo del vector resultante. A) 9 C

A

D

A

E

F

E) 6 6

14. En la figura M y N son puntos medios, halle el módulo de los vectores mostrados. (DC=7; AB=11) C

D

B) 10 M

E) 13

A) A − B + C C) A + B − 2C E) A + B + C

A

B

11. Determinar el módulo del vector resultante de los vectores mostrados. Academia SERUNA

N

B

ABCD : Trapecio A) 18 D) 20,75

B) A − B − C D) − A + B − C

18. En un rombo cuyo lado mide 2 unidades se ha colocado dos vectores. Hale el modulo del vector resultante, M es punto medio. A) 2 5

C) 21 A

B) 25 E) 20,5

39

40

D) 21

E) 33

C) 13

20. Si PQRS es un rectángulo, calcule el módulo del vector resultante de los vectores mostrados.

P

2cm

4cm

Q

3cm

A) 5 cm D) 10 cm

R B) 12 cm E) 15 cm

C) 7 cm

V = A + B + C + D + E + F a partir del polígono vectorial mostrado, donde los módulos de los vectores A y B son iguales a 30u y 45u respectivamente. a) 60 u C b) 75 u A

e) 70 u

M 120°

B

c) 57 u d) 30 u

D) 15 E) 5

C) 23,5

B) 17

21. Determinar el módulo de vector:

B) 23

C) 11 D) 12

C

B

D) 2 7

A) 2 15

2

S

x

C) 6 θ

C) 5

17. Indicar x en función de los vectores A , B y C.

B) 3 3 A

C) 30

120°

1

C

6

16. Si ABCDEF son los vértices de un hexágono regular, de 1m de lado, halle la magnitud de la resultante de los vectores AB, AC, AD,

A

C) 2 7

09. Dado el trapecio MNPQ mostrado en la figura, determinar el valor del ángulo “θ” para que la resultante de A y B sea de 26 unidades. R es punto medio de PQ (MQ=10u; NP=24u).

B

6

12u

7u

12. De acuerdo al gráfico, determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados. | A |= 2. A

A

19. Tres vectores han sido colocados sobre un triángulo, como se puede ver en la figura, determine el módulo de la suma de vectores.

D) 15u E) 26u

30°

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

F D E

22. Para el sistema de vectores coplanares mostrado, determine la dirección del vector resultante sabiendo que el módulo del vector B es el doble del módulo del vector A . Academia SERUNA

DARWIN N. ARAPA QUISPE A) 135° B) 45°

26. Si ABCDEF es un hexágono regular de 2u de lado, halle el módulo del vector resultante para los vectores mostrados. A) 10 u B C

C

A B

C) 53°/2 D) 37°/2

F D

23. La figura muestra un triángulo isósceles cuyo lado igual mide 18cm. Calcule la medida del ángulo θ, sabiendo que el vector resultante tiene por módulo 9cm. A) 60° B) 30°

θ

C) 120°

A

D

27. Dado el trapecio MNPQ mostrado en la figura, determinar el valor del ángulo “θ” para que la resultante de A y B sea de 26 unidades. R es punto medio de PQ (MQ=10u; NP=24u). M

N

m n

D) 12 2cm E) 24 2cm

64° Q

A) 25° D) 20°

b

103 .

A) 60°

3

C) 30° D) 45° E) 37° Academia SERUNA

θ 3

1

V2

4a

C) 2 3

a

A

b

A) 2, 4a

B) 2(b + c)

D) 2, 5a

E) a 3

C) 3(a + b)

d

V 2 y V 3 . Determinar la magnitud del vector resultante. Si a=1, α=60°.

41

7u

6u

5u α

15°

A A) 15° D) 45°

C

M B) 25° E) 65°

C) 35°

c

2 2

2

f

e

A) 0 D) 10

B) 2 E) 12

C) 8

además f y d son perpendiculares. A) 15 a B) 10 b e f C) 12

29. En el conjunto de vectores mostrados V 1 ,

B

a

módulo de la resultante, si f =3, d =4 y Q

a

e

34. Se muestra un sistema de vectores. Si el módulo de la resultante es 2 3u , hallar el valor de “α” para dicha condición. M: punto medio de AC

2u

E

32. Dados los siguientes vectores, hallar el

G

D) 2c

60°

D

D) 8

d

b

E) 4d

vector resultante del sistema de vectores. A) 2 C B) 4 B

g

P

B) 75°

a

C) 22°

c

25. Calcule “ θ ”, para que la resultante sea

V3

C = E = 2 , determinar el módulo del

P

R

B) 24° E) 26°

C) 3 f

2u α

θ

D

A

C) 6u

31. Hallar el módulo de la resultante del conjunto mostrado.

B

A

28. En la figura “G” es baricentro del triángulo PQR, determine el vector resultante de los vectores mostrados. R

C) 20 2cm

1u

E) 4 3

E) 143°

B) 16 2cm

B) 3u

30. Si

E

F

E) 11 u

33. Hallar la resultante delos vectores mostrados. A) 2a f c B) b

V1

E) 4u

D) 6 u

D) 90°

24. Si “ABCD” es un cuadrado de lado 8cm, determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados. A) 8 2cm C B

A) 2u

D) 9u

C) 4 u

E

E) 15°

B) 6 u

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

01. A 05. D 09. D 13. A 17. 21. 25. 29. 33.

02. C 06. E 10. C 14. D 18. 22. 26. 30. 34.

03. E 07. D 11. D 15. E 19. 23 27. 31. 35.

04. B 08. B 12. D 16. D 20. 24. 28. 32.

d

D) 20 E) 5

42

c

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DARWIN N. ARAPA QUISPE

Problemas Resueltos

VECTORES V

SEGUNDO MÉTODO: (REGLA PRÁCTICA)

PROBLEMA 01 Expresar el vector x en función de los vectores a y b.

GABY R. CCAHUANIHANCCO A. A)

B−A 3

B)

B + 2A 6

D)

B−A 6

E)

A + 2B 6

C)

3B − A 6

Resolución Geométricamente se tiene: α

Resolución De la figura notamos que W es punto medio de PQ.

b

a

R

4k 5

10k

x a

1cm

5k

b

x

2cm a+b 3

n

m x=

B α

G

na + mb n+m

X

n

A)

2a + b 3

B)

D)

a+b 2

E) NA.

Del método del polígono.

Resolución

♣

C)

a + 2b 3

2n

A

P

Entonces para el problema se tendrá:

PRIMER MÉTODO:

b

a

Sean m y 2m vectores auxiliares.

a 2m

m

….. (1)

☺ En el triángulo sombreado:

Q

k

RECUENDA: Un vector es directamente proporcional a su módulo. x

B−A ….(1) 6

k

2x 2k

En el problema se tiene: A

3B − A B−A A+B X = 2  ⇒ X=  + 6 6  6 

R

x + 2( x − a) = b

B

4x

2a

x

En la figura, ABCD es un cuadrado, si x puede escribirse como x = m a + n b . Halle m + n. A

B

B) 2/5

B

C) 3/5

G X P

PROBLEMA 03

A) 1

A

x + 2 x − 2a = b

Academia SERUNA

m

X = 2m + n ………..(3) Reemplazando (1) y (2) en (3)

Determinar X en función de A y B , sabiendo que PM = 5MQ y G es el baricentro del triángulo PQR.

x + 2m = b ….. (2) ☺ Reemplazando (1) en (2):

2a + b ∴ x= 3

B = 6m + A ⇒ m =

M

2m

4k

PROBLEMA 02

☺ En el triángulo no sombreado: x = a +m ⇒ m= x −a

2

2(a) + 1(b) 2a + b x= ⇒x= 2+1 3

b

x

W

A+B A+B ♣ 3n = ⇒n= ……(2) 2 6 Además:

x

1

3m

2k α k 5

W

a

D) 1/5 M

D

C

b

En el triángulo sombreado se tiene: 2 1 b + 2a = 5 x ⇒ x = a + b 5 5 2 1 m= y n= 5 5 ∴ m+n = 3 5

x

Q

E) 2

43

44

D

b

C

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DARWIN N. ARAPA QUISPE PROBLEMA 04

PROBLEMA 05

En la figura se muestra un cuadrado, si se sabe qué x = k(M + N) . Determine el valor de k.

En el sistema vectorial mostrado, halle X en

A) 2 2 + 1

)

(

)

(

)

C)

1 2B − A 3

D)

1 B−A 6

E)

1 2A − B 4

D) 2 − 1 B

E) 2 − 3

(

2 A − 2B 3

1 B) 2A − B 2

X

A

C) 2 + 1

Resolución Comparando los gráficos. El vector X es colineal con el vector suma (A + B) , por lo tanto sus vectores unitarios son iguales: L A+B

VECTORES V

¡Practicando lo aprendido!

función de A y B , si B = 2 A . A)

B) 2 + 2

GABY R. CCAHUANIHANCCO A.

(

(

B

A X

) ) Resolución

Nos piden X , en función de A y B . Trasladamos de manera conveniente los vectores y completamos el triángulo vectorial. B

A

L

X

A

B 2

B

µ

(A + B)

=µ

⇒

X

A+B A+B

=

X X

X X En el triángulo sombreado:

A+B X = tamaño(A + B) tamaño(X) A+B L 2

=

X L(2 − 2)

2X +

B B = A ⇒ 2X = A − 2 2

∴ X=

(

1 2A − B 4

)

X = ( 2 − 1)(A + B) ∴ k = 2 −1

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45

46

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