Fisica I Mecanica

Física I. Mecánica Grado en Ingeniería de Energías Renovables

Dpto. Física Aplicada I E.U.I.T.I. de Eibar  Curso 2011-2012

Programa

0. Cálculo Vectorial

Definición de vector. Suma de dos vectores. Producto de un vector por un escalar. Sistema de referencia ortonormal. Componentes de un vector. Producto escalar. Producto vectorial. 1. Magnitudes Físicas

Magnitudes fundamentales y unidades. Magnitudes derivadas. Análisis dimensional. El Sistema Internacional de Unidades de medida. Errores en las medidas 2. Cinemática

Movimiento rectilíneo Movimiento curvilíneo Movimiento circular. Movimiento relativo 3. Dinámica de la partícula

Principios fundamentales de la Mecánica clásica. Dinámica del movimiento rectilíneo Dinámica del movimiento circular uniforme. Teorema del momento lineal y del momento angular. Teorema de la energía. Fuerzas conservativas. Energía potencial. Conservación de la energía mecánica. Fuerzas no conservativas. 4. Dinámica celeste

Fuerzas centrales. Movimiento de los planetas. El origen de las mareas 5. Dinámica de un sistema de partículas

Momento lineal de un sistema de partículas. Concepto de centro de masas. Momento angular de un sistema de partículas. Energía de un sistema de partículas. Descripción del movimiento interno y del movimiento del centro de masas de un sistema de partículas. Colisiones.

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6. Dinámica del sólido rígido

Momento angular. Momentos de inercia de un sólido. Teorema de Steiner. Energía cinética de rotación de un sólido rígido. Teorema de la energía. Conservación del momento angular. Ecuación de la dinámica de rotación alrededor de un eje fijo. Movimiento de precesión. Bibliografía

Tipler, Mosca. Física para las Ciencias y la Ingeniería. Edt. Reverté (2005) Serway. Física. Edt. McGraw-Hill (1993) Alonso, Finn. Física, Addison-Wesley Interamericana (1995) Direcciones de Internet

Curso Interactivo de Física en Internet www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/ Problemas resueltos:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problema http://www.sc.ehu.es /sbweb/fisica_/problemas/problemas.xhtml s/problemas.xhtml

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Sistema Internacional de unidades. S. I. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/unidad http://www.sc.ehu.es/s bweb/fisica_/unidades/unidades/unid es/unidades/unidades.xhtml ades.xhtml La observación de un fenómeno es en general, incompleta a menos que dé lugar a una información cuantitativa. Para obtener dicha información, se requiere la medición de una  propiedad física. Así, Así, la medición constituye constituye una buena parte de la rutina diaria del físico experimental. La medición es la técnica por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física, como resultado de una comparación de dicha  propiedad con otra otra similar tomada como como  patrón, la cual se ha adoptado como como unidad. Supongamos una habitación cuyo suelo está cubierto de baldosas, tal como se ve en la figura, tomando una baldosa como unidad, y contando el número de baldosas medimos la superficie de la habitación, 30 baldosas. baldosas. En la figura inferior, la medida de la misma superficie da una cantidad diferente 15 baldosas. La medida de una misma magnitud física (una superficie) da lugar a dos cantidades distintas debido a que se han empleado distintas unidades de medida. Este ejemplo, nos pone de manifiesto la necesidad de establecer una única unidad de medida para una magnitud dada, de modo que la información sea comprendida por todas las  personas. En el artículo único del REAL DECRETO 1317/1989, de 27 de octubre de 1989 por el que se establecen las Unidades Legales de Medida, publicado el 3 de noviembre, se dice que 1.-El Sistema legal de Unidades de Medida obligatorio en España es el sistema métrico decimal de siete unidades básicas, denominado Sistema Internacional de Unidades (SI), adoptado en la Conferencia General de Pesas y Medidas y vigente en la Comunidad Económica Europea. En la tabla siguiente, se recogen las distintas normativas publicadas en el Boletín Oficial del Estado (BOE) BOE nº 269 de 10 de noviembre de 1967

Ley 88/1967, de 8 de noviembre, declarando de uso legal en España el denominado Sistema Internacional de Unidades (SI) Decreto 1257/1974 de 25 de abril, sobre modificaciones del Sistema BOE nº 110 se 8 de mayo Internacional de Unidades, denominado SI, vigente en España por Ley de 1974 88/1967, de 8 de noviembre.

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BOE nº 264 de 3 de noviembre de 1989 BOE nº 21 de 24 de enero de 1990 BOE nº 289 de 3 de diciembre de 1997

Real Decreto 1317/1989, de 27 de octubre, por el que se establecen las Unidades Legales de Medida Corrección de errores del Real Decreto 1317/1989, de 27 de octubre, por el que se establecen las Unidades Legales de Medida Real Decreto 1737/1997, de 20 de noviembre, por el que se modifica Real Decreto 1317/1989, de 27 de octubre, por el que se establecen las Unidades Legales de Medida

Antecedentes. Sistema Métrico Decimal Este sistema de medidas se estableció en Francia con el fin de solventar los dos grandes inconvenientes que presentaban las antiguas medidas: 1. Unidades con el mismo nombre variaban de una provincia a otra 2. Las subdivisiones de las diferentes medidas no eran decimales, lo cual representaba grandes complicaciones complicaciones para el cálculo. Se trataba de crear un sistema simple y único de medidas que pudiese reproducirse con exactitud en cualquier momento y en cualquier lugar, con medios disponibles  para cualquier persona. persona. En 1795 se instituyó en Francia el Sistema Métrico Decimal. En España fue declarado obligatorio en 1849. El Sistema Métrico se basa en la unidad "el metro" con múltiplos y submúltiplos decimales. Del metro se deriva el metro cuadrado, el metro cúbico, y el kilogramo que era la masa de un decím etro cúbico de agua.

Unidades básicas. Magnitud

Nombre

Longitud

metro

m

Masa

kilogramo

kg

Tiempo

segundo

s

Intensidad de corriente eléctrica

ampere

A

Temperatura termodinámica termodinámica

kelvin

K 

Cantidad de sustancia

mol

Intensidad luminosa

candela

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Símbolo

mol cd

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Unidad de longitud: metro (m) Unidad de masa

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo. El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo.

Unidad de tiempo

El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

Unidad de intensidad de

El ampere (A) es la intensidad de una un a corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud.

corriente eléctrica

Unidad de temperatura termodinámica

Unidad de cantidad de sustancia

Unidad de intensidad luminosa

El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. Observación: Además de la temperatura termodinámica termodinámica (símbolo T) expresada en kelvins, se utiliza también la temperatura Celsius (símbolo t) definida por la ecuación t = T - T 0 donde T 0 = 273.15 K por  definición. El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0.012 kilogramos de carbono 12. Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas. La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540·1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt por  estereorradián.

Unidades derivadas sin dimensión. Magnitud

Nombre

Símbolo

Expresión en unidades SI básicas

Ángulo plano

Radián

rad

mm-1= 1

Ángulo sólido

Estereorradián

sr 

m2m-2= 1

Unidad de ángulo plano Unidad de ángulo sólido

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El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo que, sobre la circunferencia de dicho círculo, interceptan un arco de longitud igual a la del radio. El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera.

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Unidades SI derivadas Las unidades SI derivadas se definen de forma for ma que sean coherentes con las unidades  básicas y suplementarias, suplementarias, es decir, decir, se definen por por expresiones algebraicas algebraicas bajo la forma de productos de potencias de las unidades SI básicas y/o suplementarias con un factor  numérico igual 1. Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI básicas y suplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un símbolo  particular. Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando,  bien nombres de unidades básicas básicas y suplementarias, suplementarias, o bien nombres nombres especiales de otras unidades SI derivadas, se admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales, con el fin de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la frecuencia, fr ecuencia, con  preferencia al segundo segundo a la potencia potencia menos uno, uno, y para el momento momento de fuerza, se  prefiere el newton metro metro al joule. Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades básicas y suplementarias. Magnitud

Nombre

Símbolo

Superficie

metro cuadrado

m2

Volumen

metro cúbico

m3

Velocidad

metro por segundo

m/s

Aceleración

metro por segundo cuadrado

m/s2

 Número de ondas

metro a la potencia menos uno

m-1

Masa en volumen

kilogramo por metro cúbico

kg/m3

Velocidad angular 

radián por segundo

rad/s

Aceleración angular 

radián por segundo cuadrado

rad/s2

Un metro por segundo (m/s o m·s-1) es la velocidad de un cuerpo que, con movimiento uniforme, recorre, una longitud de un metro en 1 segundo Unidad de aceleración Un metro por segundo cuadrado (m/s2 o m·s-2) es la aceleración de un cuerpo, animado de movimiento uniformemente variado, cuya velocidad varía cada segundo, 1 m/s. Unidad de número de ondas Un metro a la potencia menos uno (m-1) es el número de ondas de una radiación monocromática cuya longitud de onda es igual a 1 metro. Unidad de velocidad angular  Un radián por segundo (rad/s o rad·s-1) es la velocidad de un cuerpo que, con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo, gira en 1 segundo, 1 radián. Unidad de aceleración Un radián por segundo cuadrado (rad/s2 o rad·s-2) es la aceleración angular angular de un cuerpo animado de una rotación uniformemente uniformemente variada alrededor de un eje fijo, cuya velocidad angular, varía 1 radián por  segundo, en 1 segundo. Unidad de velocidad

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Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales. Magnitud

Nombre

Símbo Símbolo lo Expr Expres esión ión en otr otras as Expresión en unidades unidades SI SI básicas

Frecuencia

hertz

Hz

s-1

Fuerza

newton

 N

m·kg·s-2

Presión

 pascal

Pa

 N·m-2

m-1·kg·s-2

Energía, trabajo, cantidad de calor 

 joule

J

 N·m

m2·kg·s-2

Potencia

watt

W

J·s-1

m2·kg·s-3

Cantidad de electricidad carga eléctrica

coulomb

C

Potencial eléctrico fuerza electromotriz

volt

V

W·A-1

m2·kg·s-3·A-1

Resistencia eléctrica

ohm



V·A-1

m2·kg·s-3·A-2

Capacidad eléctrica

farad

F

C·V-1

m-2·kg-1·s4·A2

Flujo magnético

weber 

Wb

V·s

m2·kg·s-2·A-1

Inducción magnética

tesla

T

Wb·m-2

kg·s-2·A-1

Inductancia

henry

H

Wb·A-1

m2·kg s-2·A-2

s·A

Unidad de frecuencia

Un hertz (Hz) es la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo periodo es 1 segundo. Unidad de fuerza Un newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por  segundo cuadrado. Unidad de presión Un pascal (Pa) es la presión uniforme que, actuando sobre una superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficie una fuerza total de 1 newton. Unidad de energía, trabajo, Un joule (J) es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton, cuyo cantidad de calor  punto de aplicación se desplaza desplaza 1 metro en la dirección dirección de la fuerza. Unidad de potencia, flujo Un watt (W) es la potencia que da lugar a una producción de energía igual a 1 joule por segundo. radiante Unidad de cantidad de Un coulomb (C) es la cantidad de electricidad transportada en 1 electricidad, carga eléctrica segundo por una corriente de intensidad 1 ampere. Unidad de potencial eléctrico, Un volt (V) es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre dos  puntos de un hilo conductor que transporta transporta una corriente de intensidad fuerza electromotriz constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre estos puntos es igual a 1 watt. Unidad de resistencia Un ohm () es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de eléctrica un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor. Unidad de capacidad eléctrica Un farad (F) es la capacidad de un condensador eléctrico que entre sus armaduras aparece una diferencia de potencial eléctrico de 1 volt, cuando está cargado con una cantidad de electricidad igual a 1 coulomb. Unidad de flujo magnético Un weber (Wb) es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en un segundo por decaimiento uniforme.

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Unidad de inducción magnética

Unidad de inductancia

Una tesla (T) es la inducción magnética uniforme que, repartida normalmente sobre una superficie de 1 metro cuadrado, produce a través de esta superficie un flujo magnético total de 1 weber. Un henry (H) es la inductancia eléctrica de un circuito cerrado en el que se produce una fuerza electromotriz de 1 volt, cuando la corriente eléctrica que recorre el circuito varía uniformemente a razón de un ampere por segundo.

Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen nombres especiales Magnitud

Nombre

Símbolo

Expresión en unidades SI básicas

Viscosidad dinámica

 pascal segundo

Pa·s

m-1·kg·s-1

Entropía

 joule por kelvin

J/K 

m2·kg·s-2·K -1

Capacidad térmica másica

 joule por kilogramo kelvin

J/(kg·K)

m2·s-2·K -1

Conductividad térmica

watt por metro kelvin

W/(m·K)

m·kg·s-3·K -1

Intensidad del campo eléctrico

volt por metro

V/m

m·kg·s-3·A-1

Unidad de viscosidad dinámica

Un pascal segundo (Pa·s) es la viscosidad dinámica de un fluido homogéneo, en el cual, el movimiento rectilíneo y uniforme de una superficie plana de 1 metro cuadrado, da lugar a una fuerza retardatriz de 1 newton, cuando hay una un a diferencia de velocidad de 1 metro por segundo entre dos planos paralelos separados por 1 metro de distancia. Unidad de entropía Un joule por kelvin (J/K) es el aumento de entropía de un sistema que recibe una cantidad de calor de 1 joule, a la temperatura termodinámica termodinámica constante de 1 kelvin, siempre que en el sistema no tenga lugar ninguna transformación irreversible. Unidad de capacidad térmica másica Un joule por kilogramo kelvin (J/(kg·K) es la capacidad térmica másica de un cuerpo homogéneo de una masa de 1 kilogramo, en el que el aporte de una cantidad de calor de un  joule, produce una elevación de temperatura temperatura termodinámica termodinámica de 1 kelvin. Unidad de conductividad térmica Un watt por metro kelvin W/(m·K) es la conductividad térmica de un cuerpo homogéneo isótropo, en la que una diferencia de temperatura de 1 kelvin entre dos planos paralelos, de área 1 metro cuadrado y distantes 1 metro, produce entre estos planos un flujo térmico de 1 watt. Unidad de intensidad del campo Un volt por metro (V/m) es la intensidad de un campo eléctrico, que ejerce una fuerza de 1 newton sobre un cuerpo cargado con eléctrico una cantidad de electricidad de 1 coulomb.

 Nombres y símbolos símbolos especiales de múltiplos y submúltiplos submúltiplos decimales de unidades SI autorizados Magnitud

Nombre

Símbolo

Relación

Volumen

litro

loL

1 dm3=10-3 m3

Masa

tonelada

t

103 kg

Presión y tensión

 bar 

 bar 

105 Pa

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Unidades definidas a partir de las unidades SI, pero que no son múltiplos o submúltiplos decimales de dichas unidades. Magnitud

Nombre

Ángulo plano

vuelta

Tiempo

Símbolo

Relación

1 vuelta= 2 rad

grado

º

(/180) rad

minuto de ángulo

'

( /10800) rad

segundo de ángulo

"

( /648000) rad

minuto

min

60 s

hora

h

3600 s

día

d

86400 s

Unidades en uso con el Sistema Internacional cuyo valor en unidades SI se ha obtenido experimentalmente. Magnitud

Nombre

Símbolo

Valor en unidades SI

Masa

unidad de masa atómica

u

1.6605402 10-27 kg

Energía

electronvolt

eV

1.60217733 10-19 J

Múltiplos y submúltiplos decimales Factor

Prefijo

Símbolo

Factor

Prefijo

Símbolo

1024

yotta

Y

10-1

deci

d

1021

zeta

Z

10-2

centi

c

1018

exa

E

10-3

mili

m

1015

 peta

P

10-6

micro

μ

1012

tera

T

10-9

nano

n

109

giga

G

10-12

 pico

 p

106

mega

M

10-15

femto

f 

103

kilo

k 

10-18

atto

a

102

hecto

h

10-21

zepto

z

101

deca

da

10-24

yocto

y

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Escritura de los símbolos Los símbolos de las Unidades SI, con raras excepciones como el caso del ohm ( Ω), se expresan en caracteres romanos, en general, con minúsculas; sin embargo, si dichos símbolos corresponden a unidades derivadas de nombres propios, su letra inicial es mayúscula. Ejemplo, A de ampere, J de joule. Los símbolos no van seguidos de punto, ni toman la s para el plural. Por ejemplo, se escribe 5 kg, no 5 kgs Cuando el símbolo de un múltiplo o de un submúltiplo de una unidad lleva exponente, ésta afecta no solamente a la parte del símbolo que designa la unidad, sino al conjunto del símbolo. Por ejemplo, km 2 significa (km)2, área de un cuadrado que tiene un km de lado, o sea 10 6 metros cuadrados y nunca k(m 2), lo que correspondería a 1000 metros cuadrados. El símbolo de la unidad sigue al símbolo del prefijo, sin espacio. Por ejemplo, cm, mm, etc. El producto de los símbolos de de dos o más unidades se indica con preferencia por  medio de un punto, como símbolo de multiplicación. Por ejemplo, newton-metro se  puede escribir N·m Nm, nunca mN, que que significa milinewton. Cuando una unidad derivada sea el cociente de otras dos, se puede utilizar la barra oblicua (/), la barra horizontal o bien potencias negativas, para evitar el denominador.

 No se debe introducir introducir en una misma misma línea más de una una barra oblicua, a menos menos que se añadan paréntesis, a fin de evitar toda ambigüedad. En los casos complejos pueden utilizarse paréntesis o potencias negativas. m/s2 o bien m·s -2 pero no m/s/s. (Pa·s)/(kg/m 3) pero no Pa·s/kg/m3 Los nombres de las unidades debidos a nombres propios de científicos eminentes deben de escribirse con idéntica ortografía que el nombre de éstos, pero con minúscula inicial.  No obstante, serán serán igualmente aceptables aceptables sus denominaciones denominaciones castellanizadas de de uso habitual, siempre que estén reconocidas por la Real Academia de la Lengua. Por  ejemplo, amperio, voltio, faradio, culombio, julio, ohmio, voltio, watio, weberio. Los nombres de las unidades toman una s en el plural (ejemplo 10 newtons) excepto las que terminan en s, x ó z. En los números, la coma se utiliza solamente para separar la parte entera de la parte decimal. Para facilitar la lectura, los números pueden estar divididos en grupos de tres cifras (a partir de la coma, si hay alguna) estos grupos no se separan por puntos ni comas. La separación en grupos no se utiliza util iza para los números de cuatro cifras que designan un año. Por ejemplo: T 0

= 273,15 K 

El segundo es la duración de 9 192 631 770 periodos. Descubrimiento de América, año 1492. Física I. Mecánica

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Símbolos matemáticos utilizados en el curso. Símbolo =

Significado

es igual a se define como no es igual a es proporcional a es mayor que es menor que es aproximadamente igual a incremento en x módulo o magnitud de x (siempre positivo)

   > <



x

| x| x 0

x tiende a 0

 N

 xi

suma de todas las cantidades x i desde i=1 hasta i=N

dx dt

derivada de x con respecto a t

i=1

 x  t   ...dx

derivada parcial de x con respecto a t integral con respecto a x

Constantes fundamentales. Cantidad

Masa del electrón Carga elemental Constante de gravitación Velocidad de la luz en el vacío Permitividad en el vacío Constante de los gases ideales

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Símbolo

me e G c

o R

Valor

9.109·10-31 kg 1.602·10-19 C 6.67·10-11 N·m2/kg2 2.997·108 m/s 8.84·10-12 C2/N·m2 8.314 J/mol·K = = 0.082 atm·l/mol·K 

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Datos más utilizados

Aceleración debida a la gravedad Distancia promedio Tierra-Luna Distancia promedio Tierra-Sol Radio promedio de la Tierra Densidad del agua (20 ºC y 1 atm) Masa de la Tierra Masa de la Luna Masa del Sol Presión atmosférica estándar 

9.8 m/s2 3.84 ·108 m 1.496 · 1011 m 6.37 · 106 m 1.00 · 103 kg/m3 5.98 ·1024 kg 7.36 · 1022 kg 1.99 · 1030 kg 1.013 · 105 Pa

Alfabeto griego y magnitud física que representa c ada letra Nombre

Alfa Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Teta Iota Kappa Lambda Mu  Nu Xi Omicron Pi Ro Sigma Tau Upsilon Fi Ji Psi Omega

Magnitud física

                       

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aceleración angular  coeficiente de amortiguamiento / incremento de una variable (ej: x) constante dieléctrica / campo eléctrico viscosidad ángulo densidad lineal, longitud de onda coeficiente de rozamiento frecuencia 3.14159..... densidad volúmica densidad superficial torque (momento de una fuerza) fase (movimiento ondulatorio) / flujo de un campo función de onda (movimiento ondulatorio) velocidad angular / resistencia eléctrica

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Alfabeto y magnitud física que representa cada letra Letra

a B c/C d E f/F g/G h I J k l/L m/M n  p / P q/Q r/R s/S t/T U V W x,y,z

Magnitud física

aceleración campo magnético capacidad calorífica molar / capacidad calorífica momento dipolar eléctrico energía Ec = energía cinética, E p = energía potencial, campo eléctrico fuerza aceleración de la gravedad / constante de la gravitación universal altura momento de inercia, intensidad de corriente densidad de corriente eléctrica constante elástica de los muelles, número de onda longitud / momento angular  masa / masa, momento de una fuerza índice de refracción momento lineal / presión, presión, potencia carga eléctrica vector posición / radio de una esfera espacio / entropía tiempo / período energía interna potencial eléctrico o gravitatorio trabajo coordenadas espaciales

Física I. Mecánica

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VECTORES 1. Dados los dos vectores de la figura, efectuar gráficamente las siguientes operaciones. 

u



v, u 





v, v 





u, u 





2v





2. Dados los vectores de la figura, hallar: La suma geométrica Las componentes de cada vector  El vector suma El ángulo que forma el vector suma con el vector mayor.    

3. Un móvil se desplaza 100 m hacia el Este, 300 m hacia el Sur, 150 m en la dirección S 60º O, y 200 m en la dirección N 30º O. Representar el camino seguido por el móvil. Hallar el vector desplazamiento.  

4. Dados los vectores

ˆ  A  iˆ  3 jˆ  4 k  

ˆ  B  3iˆ   jˆ  7 k  

ˆ C  4 iˆ  7 jˆ  6k  



























Hallar  A   B, C  A,  A  B,  A   B,  A  ( B  C ) Hállese el ángulo entre el primer y segundo vector. 



Complementarios 5. Encontrar el ángulo entre dos vectores de 10 y 15 unidades de longitud sabiendo que su resultante tiene 20 unidades de longitud. 6. Encontrar el ángulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud, cuando su resultante forma un ángulo de 50º con el vector mayor.

Vectores

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CINEMÁTICA 

Movimiento rectilíneo

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/rectilineo/rectilineo/rectilineo.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/rectilineo/rectilineo/rectilineo_1.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/rectilineo/graves/graves.xhtml 

Movimiento curvilíneo

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/curvilineo/curvilineo/curvilineo.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/curvilineo/curvilineo/curvilineo1.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/curvilineo/parabolico/parabolico.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/curvilineo/parabolico/parabolico1.xhtml 

Movimiento circular

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/circular/circular/circular.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/circular/circular/circular1.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/circular/circular1/circular1.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/circular/circular3/circular3.xhtml

1. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t 2

         

está dada por x=5·t +1, donde x se expresa en metros y t en segundos. Calcular su velocidad   promedio en el intervalo de tiempo entre: 2 y 3 s. 2 y 2.1 s. 2 y 2.01 s. 2 y 2.001 s. 2 y 2.0001 s. Calcular la velocidad en el instante t=2 s. Hallar el desplazamiento del móvil entre el instante t y el instante t+t. Hallar la velocidad media del móvil entre dichos instantes. Hallar la velocidad en el instante t en el límite cuando t tiende a cero. Hallar la derivada x con respecto del tiempo.

2. Un automóvil parte del reposo y se mueve con una aceleración de 4 m/s 2, y viaja durante 4 s.   

Durante los próximos 10 s, se mueve con movimiento uniforme. Se aplican los frenos y el automóvil desacelera a razón de 8 m/s2 hasta que se detiene. Calcular el desplazamiento del móvil en cada intervalo y el desplazamiento total. Hacer un gráfico de la velocidad en función del tiempo. Mostrar que el área comprendida entre la curva y el eje del tiempo mide el desplazamiento total del automóvil.

3. Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con la ley x=2t 3-4t2+5 m. Hallar la velocidad y la aceleración del móvil en función del tiempo.

4. Un objeto se lanza verticalmente con una velocidad de 60 m/s. (tomar g=10 m/s 2)   

Calcular su altura y velocidad en los instantes t = 2, 4, 6, 8, 10, 12 s después del lanzamiento. ¿Qué altura máxima alcanza? ¿Cuánto tiempo tarda en regresar al suelo?

Cinemática

16

5. Se lanza un cuerpo hacia arriba, en dirección vertical, con velocidad inicial de 98 m/s desde el   

techo de un edificio de 100 m de altura. Tomar g=9.8 m/s 2. Hallar: La máxima altura que alcanza el cuerpo medida desde el suelo El tiempo que transcurre hasta que llega al suelo. La velocidad al llegar al suelo

6. Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del 3

  

2

2

tiempo están dadas por las expresiones: x=2t -3t , y=t -2t+1 m. Calcular: Las componentes de la velocidad en cualquier instante. Las componentes de la aceleración en cualquier instante. Los valores de la posición, velocidad y aceleración en el instante t=2s.

7. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de  

un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un 2 movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s . Calcular: La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima

8. Un proyectil es disparado con una velocidad de 600 m/s, haciendo un ángulo de 60º con la horizontal. Calcular:  

30



La ecuación de la trayectoria, ¿Qué representa?. El alcance horizontal. La altura máxima.

9. Una pelota resbala sobre un tejado que forma un 60m   

ángulo de 30º con la horizontal. Al llegar al borde queda en libertad con una velocidad de 10 m/s. La altura del edificio es de 60 m. Calcular: ¿Cuánto tiempo tardará la pelota en llegar al suelo? ¿A qué distancia de la base del edificio caerá? ¿Con qué qué velocidad llegar al suelo?

10. Una rueda de radio 10 cm está girando con una velocidad angular de 120 r.p.m., se aplican los     

frenos y se detiene en 4 s. Calcular: La aceleración angular (supuesta constante la fuerza de frenado). El ángulo girado a los 4 s. Calcular 1 s. después de aplicar los frenos: La velocidad angular, la velocidad (lineal) de un punto de la periferia de la rueda. La aceleración tangencial, la aceleración normal, la aceleración resultante y el ángulo que forma con la dirección radial.

11.-El plato de una bicicleta tiene 35 cm de radio y está unido mediante una cadena a un piñón de 7 cm de radio, que mueve una rueda de 75 cm de radio. Si la velocidad angular constante del plato es de 2 rad/s. Calcular: La velocidad angular del piñón y la velocidad (lineal) de un diente del piñón. La velocidad de un punto de la periferia de la rueda. 



Cinemática

17

12.-Dos móviles describen una trayectoria circular en el mismo sentido. El primer móvil parte del 2

origen, inicialmente en reposo, con aceleración angular constante de 2 rad/s ; el segundo móvil  parte de la l a posición /2 rad, y está animado de un movimiento uniforme con velocidad constante de 120 r.p.m. Determinar el instante y la posición de encuentro por primera vez de ambos móviles.

13.-Dos trenes A y B se desplazan en vías rectilíneas paralelas a 70 y 90 km/h respectivamente.  

Calcular la velocidad relativa de B respecto de A: Cuando se mueven en el mismo sentido. Cuando se mueven en sentido contrario.

14.-Un río fluye hacia el norte con velocidad de 3 km/h. Un bote se dirige al Este con velocidad    

relativa al agua de 4 km/h. Calcular la velocidad del bote respecto de tierra. Si el río tiene 1 km de anchura, calcular el tiempo necesario para cruzarlo. ¿Cuál es la desviación hacia el norte del bote cuando llega a la otra orilla del río?

Problemas complementarios 15.-Un hombre situado en el techo de un edificio tira una bola verticalmente hacia arriba con velocidad de 12.2 m/s. La bola llega al suelo 4.25 s más tarde ¿Qué altura tiene el edificio? ¿Con qué velocidad llegará la bola al suelo? ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por la bola?   

blanco

16.-Calcular el ángulo de tiro con que se ha de apuntar un cañón para que dé en el  blanco situado a 200 m de distancia horizontal y 100 m de altitud sobre el cañón, sabiendo que la velocidad de dispa ro es de 60 m/s. Justifíquese la respuesta.

100m 60m/ 60m/ s

100m

17.-Dos ruedas, en un cierto instante, giran a razón de 120 r.p.m. y 240 r.p.m., siendo sus radios de  



20 cm y 40 cm respectivamente. A cada una se le aplica un freno y se detiene la menor en 16 s y la mayor en 8 s, ambas con movimiento uniformemente acelerado. ¿En qué instante tienen ambas ruedas la misma velocidad angular? ¿En qué instante, un punto de la periferia, tiene la misma velocidad lineal?. Calcula la aceleración tangencial y la aceleración normal en dichos instantes. ¿Cuál es el ángulo girado por cada una de las ruedas?

Cinemática

18

18.-Dos vehículos describen la misma trayectoria circular de radio 0.75 m. El primero está animado de un movimiento uniforme cuya velocidad angular es 60 r.p.m., el segundo está animado de un movimiento uniformemente acelerado cuya aceleración angular  2 vale -/6 rad/s . Sabiendo que en el instante inicial el primer móvil  pasa por A, y dos segundos segundos más tarde el segundo móvil pasa po r B, llevando una velocidad angular de 120 r.p.m. Calcular: El instante en el que los móviles se encuentran por primera vez y el ángulo que habrán descrito La velocidad lineal, la velocidad angular, las componentes tangencial y normal de la aceleración de cada uno de los móviles en el instante de encuentro. Dibujar un esquema en el que se especifique los vectores velocidad, aceleración, y las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante de encuentro. 





19.-Un avión vuela desde un punto A a otro B que se encuentra a 3000 km de distancia en la dirección Este. El viento sopla en la dirección S 30º E con velocidad de 80 km/h, y la velocidad del avión es de 600 km/h. Determinar el tiempo de vuelo del avión entre las dos localidades.

Problemas interactivos Caída de los cuerpos http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/rectilineo/graves/graves.xhtml Movimiento Curvilíneo. Tiro parabólico http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/curvilineo/composicion/composicion.xht ml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/curvilineo/canon/canon.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/curvilineo/bombardeo/bombardeo.xhtml Encuentro de dos vehículos en movimiento circular. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problemas/cinematica/circular/problema/circular_pro  blemas.xhtml Relación entre magnitudes lineales y angulares. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/circular/circular1/circular1_1.xhtml Movimiento relativo http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/relativo/relativo/relativo.xhtml

Problemas resueltos http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problemas/problemas.xhtml

Cinemática

19

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/rozamiento/general/rozamiento.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/rozamiento/general/rozamiento1.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/circular/circular1/circular1.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/trabajo/energia/energia.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/trabajo/energia/energia1.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/trabajo/energia/energia2.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/trabajo/energia/energia3.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/solido/estatica/palanca/palanca.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/solido/estatica/palanca/palanca_1.xhtml

1. Un automóvil tiene una masa de 1500 kg y su velocidad inicial es de 60 km/h. Cuando se 

aplican los frenos se produce una desaceleración constante y el automóvil se detiene en 1.2 minutos. Determinar la fuerza aplicada al automóvil y el desplazamiento del mismo.

2. Sobre una cinta transportadora cae trigo a razón de 600 kg/min desde una tolva en reposo. La cinta se mueve con velocidad de 0.5 m/s. Calcular la fuerza F sobre la cinta que hace que la velocidad del sistema permanezca constante. Razonar la respuesta.

3. Una bola de 2 kg cuelga de una cuerda (de masa despreciable) del techo de un ascensor. 2

   

Calcular la tensión de cuerda en cada uno de los casos siguientes: (tomar g=10 m/s ) Cuando acelera hacia arriba a razón de 3 m/s 2. Cuando se mueve con velocidad constante. 2 Cuando frena disminuyendo su velocidad a razón de 3 m/s . Cuando se rompe el cable que sostiene al ascensor y este cae libremente.

4. Dos pesas de 3 y 2 kg están unidas por una cuerda que pasa a través de  

una polea (ambas de masa despreciable). Calcular: La aceleración de los pesos La tensión de la cuerda.

5. Los vagones A, B, C de la figura tienen



masas de 10, 15, y 20 kg respectivamente. Se aplica en C una fuerza F de 50 N. Calcular: La aceleración del sistema.



Las tensiones en cada cable.

A

B

C

F

6.-Hallar, en el problema de la figura: La aceleración del sistema La tensión de la cuerda.  Nota: Suponer que los cuerpos deslizan sin fricción  

Dinámica de la partícula

20

7. Un bloque de 750 kg es empujado hacia arriba  por una pista inclinada 15º respecto de la horizontal. Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico son 0.4 y 0.3 respectivamente. Determinar la fuerza necesaria,  para iniciar la subida del bloque por la pista.  para mantener el bloque en movimiento con velocidad constante, una vez que este se ha iniciado. 



8.-Una camioneta transporta un cajón de 20 kg. El cajón no está sujeto a la plataforma de carga, pero el coeficiente de rozamiento estático entre el cajón y la  plataforma es de 0.7, y el coeficiente dinámico 0.65. Estudiar la dinámica del cajón sobre la plataforma, determinando la fuerza de rozamiento entre el cajón y la  plataforma y la aceleración del cajón, cuando la aceleración del camión tiene los 2 siguientes valores. (Tomar g=10 m/s ) Está parado Lleva una aceleración de 3 m/s 2. 2 Lleva una aceleración de 7 m/s . 2 Lleva una aceleración de 8 m/s . ¿Cuál es la máxima aceleración con que puede arrancar la camioneta en un semáforo sobre una calle horizontal, de forma que el cajón no deslice hacia atrás en la  plataforma? Indíquese en los distintos casos la aceleración del cajón respecto del conductor del camión.     



9. Un bloque de 4 kg asciende, a lo largo de un plano inclinado 30º, cuando se le aplica una fuerza F que forma 60º con la horizontal. Sabiendo que el bloque se desplaza 12 metros a lo largo del plano inclinado en 4 s (partiendo del reposo), calcular la magnitud de la fuerza F. Dato: el coeficiente dinámico de rozamiento entre el bloque y el plano inclinado es 0.2

10.- Dos cuerpos A y B de masas 20 y 5 kg respectivamente, que están unidos mediante una cuerda de 1 m de longitud, deslizan a lo largo de un plano inclinado 30º respecto de la horizontal. Ambos cuerpos parten inicialmente del reposo, encontrándose el cuerpo B 5 m por  encima de la horizontal. Sabiendo que los coeficientes de rozamiento dinámico entre los cuerpos A y B y el plano son 0.2 y 0.4 respectivamente, calcular: La aceleración de ambos cuerpos. La tensión de la cuerda. El tiempo empleado por cada uno de los cuerpos en   



llegar a la base del plano inclinado. La velocidad con que cada cuerpo llega a la base del plano inclinado.

Dinámica de la partícula

21

11.-Un pequeño bloque de 1 kg de masa está atado a una cuerda de 0.6 m, y gira a 60 r.p.m. describiendo una circunferencia vertical. Calcular la tensión de la cuerda cuando el bloque se encuentra: En el punto más alto de su trayectoria. En el más bajo de su trayectoria.  

12.-Un bloque de 8 kg está sujeto a una barra vertical mediante 2.6 m

dos cuerdas. Cuando el sistema gira alrededor del eje de la barra las cuerdas están tensadas, según se muestra en la figur a. a. ¿Cuántas revoluciones por minuto ha de dar el sistema para 8 kg que la tensión de la cuerda superior sea de 250 N? ¿Cuál es entonces la tensión de la cuerda inferior? 

2.4 m



13.-Una partícula atada a una cuerda de 50 cm de longitud gira como un  péndulo cónico, como muestra la figura. Calcular  La velocidad angular de rotación de la masa puntual para que el ángulo que forma la cuerda con la vertical sea de 60º 2.6 m



14.-Un coche circula por la curva de una autopista de 500 m de radio. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre las ruedas del automóvil y el asfalto seco es de 0.75, calcular la máxima velocidad con que el automóvil puede describir la curva con seguridad en los casos siguientes: Si la curva no tiene peralte. Si tiene un peralte de 15º  

1. En esta gráfica está representada la fuerza aplicada a

F(N) 11



un móvil de 2 kg de masa en función del tiempo. Si la velocidad inicial del móvil (t=0) es de 2 m/s, calcular: La velocidad del móvil en los instantes t = 4, 11, 17, 21, 24 s.

21 -3

4

11

17

t(s)

2. Hallar el momento (mód ulo dirección y sentido) de la fuerza F, de módulo 6N, respecto del origen. El  punto de aplicación P de la fuerza se encuentra a 45 cm del origen.

3. En el sistema de fuerzas de la figura (izquierda),   

Dinámica de la partícula

hallar: la resultante el momento de cada fuerza respecto del origen el momento total 22

4. Se dispara una bala de 200 g mediante un dispositivo 

desde la posición x=20 cm, y=0, con velocidad de 100 m/s, haciendo un ángulo de 30º con el eje X. Hallar el momento angular de la bala respecto al origen, en el instante del lanzamiento.

5. Hallar el momento angular (módulo, dirección y sentido) de una partícula de masa m=2 kg que describe un movimiento circular en el plano XY, de 40 cm de radio, con una velocidad angular de 50 r.p.m.

6. Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12  N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.

7. Para alargar un muelle es necesario aplicar una fuerza proporcional al desplazamiento F=kx. Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000  N/m.

8. Un cuerpo de 4 kg de masa se mueve hacia arriba en un plano inclinado de 20º con respecto a la

  

horizontal. Sobre el cuerpo actúan las siguientes fuerzas: una fuerza horizontal de 80 N, una fuerza paralela al plano de 100 N favoreciendo el movimiento, una fuerza de fricción de 10 N que se opone al movimiento. El cuerpo se traslada 20 m a lo largo del plano inclinado a velocidad constante. Calcular: El valor de las fuerzas que faltan. El trabajo de cada fuerza y el trabajo total. La resultante y el trabajo de la resultante.

9. Un automóvil sube por una carretera de 3º de inclinación con una velocidad constante de 45  

km/h. La masa del automóvil es de 1600 kg. Despreciar las fuerzas de fricción. ¿Cuál es la potencia desarrollada por el motor? ¿Cuál es el trabajo que ha efectuado en 10 s?

10. Hallar la velocidad con que sale una bala después de haber atravesado una tabla de 7 cm de grosor y que opone una resistencia constante de 1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa de 15 g. (Emplear dos métodos para resolver el problema: Dinámica y Teorema de la energía). F(N)

11. En la figura se muestra la gráfica de la fuerza

11

aplicada a un móvil de 2 kg de masa en función del desplazamiento. Sabiendo que su velocidad  inicial (en x=0) es de 5 m/s, calcular su velocidad  en las posiciones x = 4, 11, 17 , 21.

21 -3

4

11

Dinámica de la partícula

17

x(m)

23

12. Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcula:

A





3m

La velocidad del cuerpo en A, B y C., usando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (caída de graves). La energía cinética, potencial y total en dichos puntos. ¿Se conserva la energía total?

B 1m C

13. Se deja caer sobre un 1m

muelle en posición vertical una masa d e 0.5 kg desde 1 m de altura. El muelle tiene una longitud de 0.5 m y una constante de 100 N/m. Calcular la longitud h de l muelle cuando está comprimido al máximo.

0.5 m h?

14. Una bola de 5 kg de masa se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s, alcanzando una altura de 15 m. Calcular la pérdida de energía debida a la resistencia del aire.

15. Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30º de  

inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es de 0.16, determinar: La longitud que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para. La velocidad que tendrá el bloque al regresar a la base del plano.

16. Un cuerpo de masa 2 kg y pequeñas



 

dimensiones desliza por el raíl de la figura partiendo de A en reposo. Se supone que sólo existe rozamiento e n los  planos inclinado y horizontal, con un coeficiente de rozamiento de 0.2. El radio del bucle es de 0.5 m. Sabiendo que el cuerpo se encuentra inicialmente a h=2 m de altura sobre la horizontal, calcular: Las velocidades del cuerpo cuando pasa  por B y C.

La distancia BD recorrida por el cuerpo hasta pararse La reacción del raíl en las posiciones A, B, C, D. La distancia que recorrerá la partícula a lo largo del plano inclinado hasta pararse, una vez que haya salido del bu cle. 

17. Un bloque de 4 kg de masa desliza a lo largo de un plano inclinado de 30º de inclinación. Sobre el plano inclinado y paralelamente al mismo se ha colocado un muelle de constante recuperadora 500 N/m cuya misión es parar el  bloque. Sabiendo que cuando cuando se inicia el movimiento, la distancia entre el bloque y el Dinámica de la partícula

24

muelle a lo largo del plano es de 10 m, determinar la máxima deformación del muelle. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.2

Problemas complementarios 15.-Sobre un tablero inclinado un ángulo de 30º se colocan dos cuerpos A y B, de masa 4 y 3 kg, respectivamente. El coeficiente de rozamiento entre el bloque A y el plano inclinado es 0.1, y entre el bloque B y dicho plano 0.2. ¿Cómo deslizarán los cuerpos, juntos o separados?. Hállese la aceleración de cada cuerpo y la reacción en la superficie de contacto entre ambos (si la hubiere). Hallar la velocidad común o de cada cuerpo después d e haberse desplazado 5 m a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo.  



16.-Una fuerza horizontal F=30 N se aplica a un cuerpo de 2 kg de masa durante 3 s, luego s e deja de aplicar la fuerza F. Si el cuerpo parte del reposo en la base del  plano inclinado, calcular el desplazamiento total del cuerpo desde que 

se aplica la fuerza F hasta que se para. Dato: El coefic coeficient ientee de rozam rozamient iento o entre entre el cuerp cuerpo o y el plan plano o inclina inclinado do es 0.2 0.2

17.-Un cuerpo de 5 kg de masa se encuentra sobre una superficie cónica lisa ABC, y está girando alred edor del eje EE' con una velocidad angular de 10 r.p.m. Calcular: La reacción de la superficie cónica. La tensión de la cuerda. La velocidad angular a la que h a de girar el cuerpo para anular  la reacción de la superficie cónica.   

22.-Un bloque de 600 gr se suelta cuando un muelle, de constante 500 N/m está comprimido 150 mm. Luego se traslada a lo largo del bucle de 50 cm de diámetro siguiendo la trayectoria ABCDEF. Sabiendo que la distancia entre el  bloque y la base del bucle en el momento en que se suelta el  bloque es de 60 cm, y que que so lamente existe rozamiento en las superficies planas , cuyo coeficiente dinámico vale 0.3, calcular: La reacción en las posiciones A, C, E y F. 

Dinámica de la partícula

25

Problemas interactivos Movimiento rectilíneo http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/rozamiento/dinamico/dinamico.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/rozamiento/dinamico1/dinamico1.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/rozamiento/dinamico2/dinamico2.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/rozamiento/plano_inclinado/plano_ inclinado.xhtml inclinado.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/rozamiento/estatico/estatico.xhtml Movimiento circular  http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/circular/circular/din_circular.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/circular/circular/din_circular1.xhtmll http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/circular/circular/din_circular1.xhtm http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/circular/regulador/regulador.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/estabilidad/conico/conico.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/estabilidad/conico1/sup_conica.xhtml Trabajo y energía http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/trabajo/muelle/muelle.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/trabajo/muelle/muelle_1.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/trabajo/plano_inclinado/plano_inclinado.xh tml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/trabajo/bucle/bucle.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/trabajo/cupula/cupula.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/trabajo/cupula1/cupula_1.xhtml

Problemas resueltos http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problemas/problemas.xhtml

Dinámica de la partícula

26

DINÁMICA CELESTE http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/celeste/kepler/kepler.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/celeste/kepler4/kepler4.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/celeste/fuerza/fuerza.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/celeste/trayectoria/trayectoria.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/celeste/kepler1/kepler1.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/celeste/solar/sistema_solar.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/celeste/luna/luna.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/celeste/mareas/mareas.xhtml

1.-Un meteorito de 20000 T de masa se dirige desde el espacio exterior hacia la Tierra. Su velocidad  7

a una distancia de 3.8 10 m del centro de la Tierra es de 30 km/s. Calcular: La velocidad con que llegará a la superficie de la Tierra. (Se supone que la Tierra permanece inmóvil antes del choque). 24 -11 2 2 Datos: M T = 5.98 10 kg; R T = 6370 km ,G = 6.67 10  N m /kg 

2.-Determinar: 



El módulo de la velocidad de un satélite artificial en órbita circular a una altura h, por encima de la superficie de la Tierra. El valor de h para un satélite geoestacionario (aquél cuya posición relativa respecto a la superficie de la Tierra permanece fija, es decir, su periodo es el mismo que el de la rotación de la tierra).

3.-Dos cuerpos iguales de 600 kg de masa cada una están fijas en el espacio, una tercer cuerpo de masa m equidistante de ambas se suelta en la posición A, distante 40 m de la recta que une los dos primeros. Calcular la fuerza sobre el cuerpo de masa m en la posición A y en la B. Calcular la velocidad que llevará el cuerpo de masa m al  pasar por la posición B. 



4.-Un satélite artificial se lanza desde una altura de 2400 km de la superficie de la Tierra con una velocidad de 8000 m/s, formando un ángulo de 75º con la dirección radial, tal como se indica en la figura. Hallar: El momento angular y la energía total. La máxima y mínima altura del satélite. Hallar el periodo P, o tiempo que tarda en dar una vuelta completa: 4  2 3 2   

P

a



GM 

Dinámica celeste

27

Problemas complementarios

1.-Considérese el sistema formado por el planeta Tierra y su satélite Luna. 





Determinar, el (los) punto(s) en el que la fuerza de atracción de la Luna se compensa con la de la Tierra. Calcular la velocidad mínima necesaria para que una bala disparada desde la Tierra llegue al  punto de equilibrio con velocidad nula nula y caiga en la Luna por la acción de la atracción lunar. 24 22 6 Datos: masa de la Tierra 5.98 10 kg, masa de la Luna 7.34 10 kg, radio de la Tierra 6.37·10 6 8 m, radio de la Luna 1.74 10 m, distancia Tierra-Luna (entre sus centros) 3.84·10 m. -11 2 2 G=6.67·10 Nm /kg .

2.-Un satélite artificial de 100 kg gira en torno a la Tierra a una altura máxima y mínima de 10.000 km y 1000 km respectivamente. Calcular: La velocidad del satélite en el perigeo y en el apogeo. La excentricidad de la órbita  

Problemas interactivos http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/celeste/maniobra/maniobra.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/celeste/kepler3/kepler3.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/celeste/kepler2/kepler2.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/celeste/tunel/tunel.xhtml

Problemas resueltos http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problemas/problemas.xhtml

Dinámica celeste

28

DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/sistemas/dinamica/dinamica.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/sistemas/cm/cm.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/sistemas/cm1/cm1.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/sistemas/cm2/cm2.xhtml

m1=2 kg

1. En un instante de tiempo t tenemos la siguiente distribución de masas puntuales con velocidades: v 1 = 4i-5 j, v 2 =-3i y v 3 =i+7 j. Calcular, en ese instante, con respecto al origen de

m3 = 1 kg  

m2 = 4 kg

  

coordenadas: La posición del centro de masa La velocidad del centro de masa El momento lineal total El momento angular total La energía cinética total

2. Un hombre de 85 kg de masa está montado en la popa de una barca de 12 m de larga y 200 kg  

 

de masa, que se mueve libremente en el agua. El centro de masas de la barca está situado a 6 m de cada uno de sus extremos. ¿Dónde está el centro de masa del sistema formado por la barca y el hombre?. ¿Cuánto se mueve el centro de masa del sistema cuando el hombre camina hasta la proa de la  barca? ¿Cuánto se desplaza el hombre respecto de la orilla? ¿Cuánto se desplaza la barca respecto de la orilla? 1m/ 1m/ s

3. Desde los extremos de una



 plataforma móvil de 600 kg, inicialmente en reposo, un hombre de 60 kg y un niño de 30 kg, corren con velocidad constante uno al encuentro del otro. Determinar: La velocidad de la plataforma sabiendo que la velocidad del hombre es doble que la del niño (0.5 m/s)

0.5m/ 0.5m/ s

4. Un núcleo U en reposo se divide en dos fragmentos con masas de 140 y 90 u.m.a.. La Q de la 6

reacción es de 190 MeV. (un mega M es 10 veces) Hallar las velocidades de cada uno de los dos fragmentos. -27 -19 Datos: 1 u.m.a. = 1.66 10 kg, 1eV = 1.6 10 J 

5. Una partícula de masa 0.2 kg moviéndose a 0.4 m/s choca contra otra partícula de masa 0.3 kg  

que está en reposo. Después del choque la primera partícula se mueve a 0.2 m/s en una dirección que hace un ángulo de 40º con la dirección original. Hallar la velocidad de la segunda partícula. La Q del proceso.

6. Una partícula de 5 kg de masa, moviéndose a 2 m/s, choca contra otra partícula de 8 kg de masa inicialmente en reposo. Si el choque es frontal y elástico, hallar la velocidad de cada partícula después del choque.

Dinámica de un Sistema de Partículas

29

10. Una bala de 20 g cuya velocidad es de 600 m/s, choca contra O 

1m 20 g



un bloque de 1kg, que pende de un hilo sin peso de 1m de longitud, empotrándose en el bloque. Calcular: La velocidad inmediatamente después del choque, del conjunto bloque – bala. La tensión del hilo cuando el conjunto pasa por la parte más alta de su trayectoria (si es que pasa).

1 kg

11. Una bala de masa 0.2 kg y

1000 N/m

10 kg

0.2 kg





velocidad 50 m/s choca contra un bloque de masa 10 kg, empotrándose en el mismo. El  bloque está unido a un resorte de constante 1000 N/m, y el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano horizontal es de 0.1. Calcular: La velocidad del conjunto bala bloque inmediatamente

después del choque. La máxima deformación del muelle.

Problemas complementarios 8. Un cuerpo de 5 kg de masa se mueve sobre una mesa lisa con velocidad de 10 m/s y choca

  

contra otro cuerpo de 10 kg de masa, que se desplaza en dirección perpendicular al anterior con velocidad de 5 m/s. Ambos bloques después del choque quedan unidos y se desplazan juntos. Calcular: La velocidad de ambos después del choque. La dirección de su velocidad. La pérdida de energía cinética en el choque.

9. Tres partículas, A, B y C, de masas m A =m B =m y m C =2m

 

respectivamente, se están moviendo con velocidades cuyo sentido se indica en la figura, de valor v A =v B =v y v C =2v. Se dirigen hacia el origen del sistema de coordenadas al que llegan en el mismo instante. Al chocar A y B quedan adheridas y salen en la dirección indicada con velocidad v/2. ¿Con qué velocidad y dirección sale la partícula C?. Determinar la energía cinética del sistema, antes y después del choq ue.

12. Una bala de 50 g de masa atraviesa un bloque de madera de 1 kg de masa, que está suspendido 

de una cuerda de 2 m de larga. Se observa que el centro de masa del bloque se eleva 50 mm. Encontrar el módulo de la velocidad de la bala cuando sale del bloque, sabiendo que el módulo de su velocidad antes de impactar fue de 500 m/s. Despreciar la pérdida de masa del bloque debido al orificio producido por la bala.

Dinámica de un Sistema de Partículas

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Problemas interactivos http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/sistemas/aislados/aislados.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/sistemas/cuna/cuna.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/choques/choques/choques.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/choques/carro/carro.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/choques/carro1/carro1.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/choques/restitucion/restitucion.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/choques/esferas/esferas.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/choques/cuna/cuna.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/choques/balistico/balistico.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/choques/bala_bloque/bala_bloque.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/choques/bala_bloque2/bala_bloque2.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/choques/choques2/choques2.xhtml

Problemas resueltos http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problemas/problemas.xhtml

Dinámica de un Sistema de Partículas

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DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/solido/rotacion/teoria/teoria.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/solido/rotacion/inercia/inercia.xhtml

1. Una varilla delgada de 1 m de largo tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg

   

cada una, situadas a 0, 25cm, 50 cm, 75 cm, y 100 cm de uno de sus extremos. Calcular el momento de inercia del sistema con respecto a un eje perpendicular a la varilla que pasa a través: De un extremo. De la segunda masa. Del centro de masa. Comprobar el teorema de Steiner.

2.-Calcular el momento de inercia de los siguientes cuerpos de masa M y de dimensiones que se Barra delgada

L

R

3. Un disco homogéneo gira alrededor de un eje vertical a 90 r.p.m. Su =0  

masa es de 25 kg y el diámetro, 1 m. Se acopla otro disco coaxial de 50 kg de masa y 50 cm de diámetro. Calcular la velocidad angular del conjunto. La energía perdida en el acoplamiento.



4.-Una bala de 0.2 kg y velocidad horizontal de 120 m/s, choca contra un pequeño diente situado en la  periferia de un volante de masa 1.5 kg y 12 cm de radio, empotrándose en el mismo. Suponiendo que la  bala es una masa puntual, que el volante es un disco macizo y homogéneo (no se tiene en cuenta el  pequeño diente), calcular: La velocidad angular adquirida por el sistema disco - bala después del choque La pérdida de energía resultante 



Dinámica del sólido rígido

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5.-Una puerta de masa M, se encuentra en reposo y es golpeada por una bola de masilla de masa m, tal como se muestra en la figura. La velocidad de la bola de masilla es v, y su dirección inicial es horizontal, formando un ángulo  con la normal a la cara de la  puerta, impactando a una distancia D del eje de la misma. Después de la colisión la bola se queda peg ada a la puerta. Obtener: La expresión de la velocidad de la puerta después de la colisión. La variación de energía cinética del sistema (puerta 





- bola de masilla). Datos: m=1.1 kg, M=35 kg, a=73 cm, b=190 cm, D=62 cm, =22º, v=27 m/s.

6.-Un disco que gira está sometido a un momento de 10 Nm, debido a la fricción en su eje. El radio del disco es de 0.6 m y su masa de 100 kg, y estaba girando inicialmente a 175 rad/s. Hallar: ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse? ¿Cuántas vueltas dará hasta que se pare? Hallar el trabajo efectuado por la fuerza y la variación de energía cinética.   

7. La rueda de la figura, de radio 0.5 m y masa 25 kg, puede girar en    

torno a un eje horizontal. De la cuerda enrollada en la periferia pende una masa de 10 kg. Calcula: La aceleración angular de la rueda. La aceleración del cuerpo. La tensión de la cuerda. La velocidad de la masa una vez ha descendido dos metros partiendo del reposo (emplea dos métodos de cálculo para este apartado).

8. Dos cuerpos de 3 y 5 kg respectivamente deslizan sobre planos inclinados de 30º y 45º respectivamente, unidos mediante una cuerda que pasa a través de una polea en forma de disco de 2 kg de masa y 20 cm de radio. Los coeficientes de rozamiento entre los cuerpos y los planos son 0.1 y 0.3 re spectivamente. Calcular: La aceleración del sistema. La(s) tensión(es) de la cuerda. Utilizar dos procedimientos para obtener la velocidad de los cuerpos despu és de haberse desplazado 5 m a lo largo de los planos inclina dos, suponiendo que parten del reposo .   

9.-Sobre un plano inclinado 30º y de coeficiente d e rozamiento, =0.2, desliza un bloque de 3 kg de masa unido a una cuerda. Esta cuerda está enrollada en la  periferia de una polea formada por dos discos acoplados de 1 kg y 0.5 kg y de radios 0.3 m y 0.1 m respectivamente. Del otro extremo de la cuerda pende u n  bloque de 10 kg de peso. peso. Calcular: Dinámica del sólido rígido

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  

Las tensiones de las cuerdas. La aceleración de cada cuerpo. La velocidad de cada cuerpo si el bloque de 10 kg desciende 2 m partiendo del reposo (emplear  dos procedimientos distintos para este apartado).

10.-Un péndulo compuesto está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas de 500 g y 5 cm de radio, situadas a 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se halla suspendido de un eje perpendicular a la varilla que  pasa por el centro de una de las esferas, y es desviado 65º de la posición de equilibrio estable. Determinar la velocidad angular del péndulo cuando, una vez soltado, r etorna a la posición de equilibrio estable.

O





11. El péndulo de un reloj está formado por una varilla de 500 g y 40 cm de longitud y una lenteja en forma cilíndrica de 200 g de masa y 5 cm de radio, tal como se indica en la figura. El péndulo puede oscilar en torno a un eje perpendicular que pasa por su ex tremo O. Si se desvía 10º de la posición de equilibrio, y se suelta, determinar: El periodo de las oscilaciones pequeñas del péndulo compuesto.

Problemas complementarios

11.-Un disco de 10 kg de masa y 0.5 m de radio está en reposo y puede girar en torno a un eje perpendicular  que pasa por su centro. En la periferia del disco hay un dispositivo de masa despreciable que permite lanzar un objeto de 200 g a una velocidad de 20 m/s, en la dirección y sentido indicados en la figura. Calcular: La velocidad angular del disco después del disparo. El sentido en el que gira  

12.-Dos esferas iguales de masas 6 kg y 20 cm de radio está n montadas como se indica en la figura, y pueden deslizar a lo largo de una varilla delgada de 2 kg de masa y 2 m de longitud. Inicialmente los centros de las esferas se encuentran fijos a 0.5 m del eje y el conjunto gira con velocidad angular de 120 r.p.m. Se sueltan las esf eras y éstas deslizan por la barra hasta  que salen de los extremos. Calcular: La velocidad angular de rotación cuando los centro s de las esferas se encuentran en los extremos de la varilla. La energía cinética del sistema en los dos casos.

120 r.p.m.





Dinámica del sólido rígido

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13.-Una bala de masa 0.3 kg y velocidad  desconocida choca contra ra un saco de 4 kg suspendido de una cuerda de 0.5 m de larga y en reposo. Después del choque, el saco se eleva hasta que la cuerda hace un ángulo de 30º con la vertical, mientras que la bala describe una parábola, estando el punto de impacto a 20 m de distancia horizontal y 1.5 m por debajo. Calcular: La velocidad del saco y la de la bala inmediatamente después del choque. La velocidad de la bala antes del choque y la energía perdida en el mismo. La tensión de la cuerda cuando esta forma un ángulo de 10º con la vertical. 



14.-El sistema de la figura consta de una polea formada por dos discos coaxiales soldados de masas 550 y 300 g y radios 8 y 6 cm, respectivamente. Dos masas de 600 y 500 g cuelgan del borde de cada disco. Calcular: La tensión de cada cuerda La aceleración de cada masa La velocidad de cada cuerpo cuando uno de ellos (¿cuál?) haya descendido 3 m partiendo del reposo (emplea dos procedimientos de cálculo).   

15.- Sobre un plano horizontal está situado un cuerpo de 50 kg

50 kg 15 kg

que está unido mediante una cuerda, que pasa a través de una  polea de 15 kg, a otro cuerpo de de 200 kg. Sabiendo que que e l coeficiente de rozamiento entre el cuerpo de 50 kg y el plano horizontal vale 0.1, calcular : La aceleración del cuerpo. La(s) tensión(es) de la cuerda. La velocidad de la masa una vez que la segunda haya descendido dos metros partiendo del reposo (emplea dos métodos de cálculo para este apartado).   

200 kg

17.-Un péndulo está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas: la superior de 500 g y 5 cm de radio y la inferior de 400 g y 4 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la  barra. El péndulo se halla suspendido de un eje perpendicular a la varilla que  pasa por el centro de la esfera superior. Sobre el centro de la esfera inferior  incide una bala de 50 g que lleva una velocidad de 10 m/s y queda alojada en el centro de la esfera inferior después del choque. ¿Pasará por la posición vertical de equilibrio inestable? En caso afirmativo, ¿con qué velocidad angular? ¿Qué principio(s) físico(s) aplicas en la resolución del problema y por qué? Datos Datos: Momento de inercia: de una varilla ml 2/12, y de una esfera 2mr 2/5 



Dinámica del sólido rígido

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Problemas interactivos Dinámica de rotación http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/solido/rotacion/dinamica/dinamica.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/solido/rotacion/pendulo/pendulo.xhtml

Conservación del momento angular http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/solido/conservacion/discos/discos.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/solido/conservacion/discos1/discos1.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/solido/conservacion/m_angular/momento.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/solido/conservacion/transferencia/transferencia.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/solido/conservacion/balistico/balistico.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/solido/conservacion/caja/caja.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/solido/conservacion/columpio/columpio.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/solido/conservacion/disco_varilla/discoVarilla.xhtml

Problemas resueltos http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problemas/problemas.xhtml

Dinámica del sólido rígido

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Prácticas de Física I. Mecánica

1.-Errores en las medidas 2.- Medida de la velocidad en una experiencia de movimiento rectilíneo 3.-Coeficiente estático y cinético de rozamiento 4.- Medida de la constante elástica de un muelle 5.-Choques unidimensionales 6.- Sólido rígido. Momentos de inercia 7.-Conservación de la energía en el movimiento de rotación

Prácticas de Física I. Mecánica

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Errores en las medidas http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/unidades/medidas/medida http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/unidad es/medidas/medidas.xhtml s.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/unidad http://www.sc.ehu.es/s bweb/fisica_/unidades/medidas/medida es/medidas/medidas_2.xhtml s_2.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/unidad http://www.sc.ehu.es/s bweb/fisica_/unidades/medidas/medida es/medidas/medidas_3.xhtml s_3.xhtml Toda medida debe de ir seguida por la unidad, obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de medida. Cuando un físico mide algo debe tener gran cuidado para no producir una perturbación en el sistema que está bajo observación. Por ejemplo, cuando medimos la temperatura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con un termómetro. Pero cuando los ponemos  juntos, algo de energía o "calor" se intercambia entre el cuerpo y el termómetro, dando como resultado un pequeño cambio en la temperatura del cuerpo que deseamos medir. Así, el instrumento de medida afecta de algún modo a la cantidad que deseábamos medir  Además, todas las medidas están afectadas en algún grado por un error experimental debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida, o las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben de registrar la l a información. 1. Todo resultado experimental experimental o medida hecha en el laboratorio debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida, y a continuación las unidades empleadas.

Por ejemplo, al medir una cierta distancia hemos obtenido 297±2 mm. De este modo entendemos que la medida de dicha magnitud está en alguna parte entre 295 mm y 299 mm. En realidad, la expresión anterior no significa que se está  seguro de que el valor  verdadero esté entre los límites indicados, sino que hay cierta  probabilidad  de que esté ahí. 2. Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa.

Únicamente, en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0). 3. La última cifra significativa en el valor valor de una magnitud física y en su error, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas).

 Expresiones incorrectas por la regla 2: 24567±2928 m 23.453±0.165 cm 345.20±3.10 mm  Expresiones incorrectas por la regla 3: 24567±3000 cm 23±0.06 m 345.2±3 m  Expresiones correctas: 24000±3000 m 23.45±0.06 cm 345±3 m 21.0±0.1 mm Prácticas de Física I. Mecánica

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Medidas directas

Un experimentador que haga la misma medida varias veces, no obtendrá, en general, el mismo resultado no sólo por causas imponderables como variaciones imprevistas de las condiciones de medida: temperatura, presión, humedad, etc., sino también, por las variaciones en las condiciones de observación del experimentador. Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa realizamos varias medidas con el fin de corregir los errores aleatorios, los resultados obtenidos son  x 1 , x 2 , ... x n se adopta como mejor estimación del valor verdadero el valor medio que viene dado  por  n

 x   x  ... x  x n  x  1 2 n

 x i 

1 n

El valor medio se aproximará tanto más al valor verdadero cuanto mayor sea el número de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos con otros. Sin embargo, en la práctica, no debe pasarse de un cierto número de medidas. En general, es suficiente con 10, e incluso podría bastar 4 ó 5. Cuando la sensibilidad del método o de los aparatos utilizados es pequeña comparada con la magnitud de los errores aleatorios, pude ocurrir que la repetición de la medida nos lleve siempre al mismo resultado; en este caso, está claro que el valor medio coincidirá con el valor medido en una sola medida, y no se obtiene nada nuevo en la repetición de la medida y del cálculo del valor medio, por lo que solamente será necesario en este caso hacer una sola medida . De acuerdo con la teoría de Gauss de los errores, que implica suponer que estos se  producen por causas aleatorias, se toma como la mejor estimación del error, err or, el llamado error cuadrático definido por  n

 x i    x )2  ( x

 x 

1

n(n  1)

El resultado del experimento se expresa como  x

  x

seguido por la unidad de medida. 4. La identificación del error de un valor experimental con el error cuadrático obtenido de n medidas directas consecutivas, solamente es válido en el caso de que el error cuadrático sea mayor que el error instrumental, es decir, que aquél que viene definido por la resolución del aparato de medida.

Prácticas de Física I. Mecánica

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Es evidente, por ejemplo, tomando el caso más extremo, que si el resultado de las n medidas ha sido el mismo, el error cuadrático, de acuerdo con la formula será cero, pero eso no quiere decir que el error de la medida sea nulo. Sino, que el error instrumental es tan grande, que no permite observar diferencias entre las diferentes medidas, y por  tanto, el error instrumental será el error de la medida. Ejemplos: 1. Si al hacer una medida medida de la intensidad intensidad con un amperímetro amperímetro cuya división o cifra significativa más pequeña es 0.01 A, la lectura es 0.64 A, y esta lectura es constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes), tomaremos 0.64 como el valor de la medida y 0.01 A como su error. La medida se expresará 0.64±0.01 A Supongamos que hemos medido un determinado tiempo, t, cuatro veces, y disponemos de un cronómetro que permite conocer hasta las décimas de segundo. Los resultados han sido: 6.3, 6.2, 6.4 y 6.2 s. De acuerdo a lo dicho anteriormente, tomaremos como valor  medido el valor medio:

 t  

6.3  6.2  6.4  6.2  6.275 s 4

El error cuadrático será (6.3  6.275)2  (6.2  6.275)2  (6.4  6.275) 2  (6.2  6.275) 2  t    0.0478 4 3 Este error se expresa con una sola cifra significativa, regla 2, t=0.05 s. Pero el error  cuadrático es menor que el error instrumental, que es 0.1 s, por lo que debemos tomar  este último como el error de la medida, y redondear en consecuencia el valor medio, (regla 3) por lo que el resultado r esultado final de la medida es t=6.3±0.1 s Consideremos un ejemplo similar al anterior, pero en que los valores obtenidos para el tiempo están más dispersos: 5.5, 5.7, 6.2 y 6.5 s. Si usas la calculadora encontrarás que el valor medio es 5.975, y el error cuadrático 0.2286737. El error cuadrático es en esta caso mayor que el error instrumental, por lo que debemos tomarlo como el error de la medida. Siguiendo la regla 2, lo debemos redondear a 0.2 (una sola cifra significativa). Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el mismo número de decimales), expresamos la medida finalmente como t=6.0±0.2 s Error absoluto y error relativo

Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores absolutos. El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medio. Es decir, e

 x   x 

donde se toma en valor absoluto, de forma que e es siempre positivo. Prácticas de Física I. Mecánica

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El error relativo es un índice de la precisión de la medida. Es normal, que la medida directa o indirecta de una magnitud física con aparatos convencionales tenga un error  relativo del orden del uno por ciento o mayor. Errores relativos menores son posibles,  pero no son normales normales en un laboratorio laboratorio escolar. Medidas indirectas

En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene, de acuerdo a una determinada expresión matemática, a partir de la medida de otras magnitudes de las que depende. Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir de los errores de las magnitudes medidas directamente. Funciones de una sola variable

La magnitud cuyo valor queremos hallar   y depende solamente de otra magnitud  x, mediante la relación funcional y=f(x). El error de y cuando se conoce el error de  x viene dado por la expresión.

 y   f ' (  x )  x De nuevo es el valor medio. Un ejemplo importante y frecuente en el laboratorio sobre las medidas indirectas es el siguiente: Supongamos que queremos medir el periodo  P  de un oscilador, es decir el tiempo que tarda en efectuar una oscilación completa, y disponemos de un cronómetro que aprecia las décimas de segundo, 0.1 s. Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones,  por ejemplo 4.6 s, dividiendo este tiempo entre 10 resulta P=0.46 s, que es el periodo "medio".

 t  10 10 Obtenemos para el error  P=0.01 s. Por tanto, la medida la podemos expresar como:  P 

t 

;

 P 

P = 0.46 ± 0.01 Es evidente, que podemos aumentar indefinidamente la resolución instrumental para  P  aumentando el número de periodos que incluimos en la medida directa de t . El medir  P  límite está en nuestra paciencia y la creciente probabilidad de cometer errores cuando contamos el número de oscilaciones. Por otra parte, el oscilador no se mantiene oscilando con la misma amplitud indefinidamente, sino que se para al cabo de un cierto tiempo. Función de varias variables:

La magnitud y viene determinada por la medida de varias magnitudes  p, q, r , etc., con la que está ligada por la función  y=f(p, q, r ...). El error de la magnitud y viene dado por la siguiente expresión.

Prácticas de Física I. Mecánica

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  f   2   f   2   f   2  y      p     q   r   ...        r      p    q   Casos más frecuentes:  z   x  y

;

 z    x 2   y2

 z   x  y

;

 z    x 2   y 2

 z   x  y

 z 

 x  y

;

;

 z   z 

 z   z 

 x 2  y 2         x     y    x 2  y 2         x     y   

Ejemplo: La medida de los lados de un rectángulo son 1.53±0.06 cm, y 10.2±0.1 cm, respectivamente. Hallar el área del rectángulo y el error de la medida indirecta. El área es z=1.53·10.2=15.606 z=1.53·10.2=15.606 cm 2 El error relativo del área  z/z  se obtiene aplicando la fórmula del producto de dos magnitudes.

0.06 2  0.1 2        0.0404422504 1.53  10.2   z   z   1.53 10.2  0.0404422504  0.63083  z 

El error absoluto con una sola cifra significativa es 0.6. De acuerdo con la regla 3 la medida del área junto con el error y la unidad se escribirá como 15.6±0.6 cm2

Prácticas de Física I. Mecánica

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1.-Medidas. Errores en las medidas Medidas directas

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/unidades/calibre/calibre_0.x http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/unidad es/calibre/calibre_0.xhtml html http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/unida http://www.sc.ehu.es /sbweb/fisica_/unidades/calibre/calibre_1.x des/calibre/calibre_1.xhtml html http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/unida http://www.sc.ehu.es /sbweb/fisica_/unidades/calibre/calibre_2.x des/calibre/calibre_2.xhtml html Medir objetos con La cinta métrica a ± Δ  Δa a .................... cm El micrómetro a ± Δ  Δa a ..................... mm ................... Calibre ..................... mm ................... a± Δ  Δa a Ejercicio Se ha efectuado las siguientes medidas con el calibre de 20 divisiones que aprecia 0.05 mm: 3.20, 3.25, 2.90, 3.35 y 3.20. 1. Calcular el valor medio y el error Δx 2. Expresar correctamente la medida y el error y la unidad  x=

±

Medidas indirectas. Densidad de un sólido

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/unidades/balanza/balan http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/unidad es/balanza/balanza.xhtml za.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/unidad http://www.sc.ehu.es /sbweb/fisica_/unidades/balanza/balan es/balanza/balanza_lab.xhtml za_lab.xhtml 1.

Con la balanza que que aprecia gramos medimos la masa:

m=

±

g.

2. Medimos el volumen con un instrumento que aprecia cm 3 . V =

±

cm3

 ρ=m/V y el error cometido 3. Calcula la densidad  ρ=m/V 

4. La densidad se expresa (medida, error y unidad)  ρ=  ρ=

±

Prácticas de Física I. Mecánica

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Regresión lineal http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinema http://www.sc.ehu.es/s bweb/fisica_/cinematica/rectilineo/regresion/regres tica/rectilineo/regresion/regresion.xhtml ion.xhtml Supongamos que estamos midiendo la posición de un móvil en función del tiempo en un movimiento rectilíneo. Si el móvil está libre de fuerzas esperamos que la relación entre la posición del móvil y el tiempo sea lineal  x = x 0 +vt . Donde x 0 es la posición del móvil en el instante t = 0. Si medimos las posiciones del móvil  x 1 y x 2 en los instantes t 1 y t 2 , obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de las que podemos determinar las cantidades desconocidas  x 0 y v. Ahora bien, esta afirmación solamente es cierta en un experimento ideal libre de errores. Si tomamos únicamente dos puntos para definir la recta el resultado tendría un error importante debido al error de los puntos usados. Si efectuamos n medidas de la posición del móvil el aspecto de la representación gráfica de nuestras medidas puede ser parecido al de la figura. La relación entre las ordenadas y las abscisas de los puntos es solamente aproximada, debido a los errores de cada una de las medidas. Una mejor estimación de la recta y por tanto, de las magnitudes  buscadas debe debe basarse en la utilización de las n medidas realizadas.

Y yi axi+b

i

Supongamos una magnitud física  y, relacionada con otra  x, mediante la función  y=ax+b. Una recta de pendiente a cuya ordenada en el origen es b. Las desviaciones de los valores de X  y serán

 b xi

 1  (ax1  b)  2   y2  (ax 2  b )  3   y3  (ax3  b) ...  n   yn  (ax n  b )  1

Sea E(a,b) la suma de los cuadrados de estas desviaciones  E (a,b)=(y 1 -ax 1 -b)2+( y  y 2 -ax 2 -b)2+( y  y 3 -ax 3 -b)2+...+( y  y n -ax n -b)2

Los valores que minimizan a  E(a,b) son aquellos para los que

 E  0 y a Prácticas de Física I. Mecánica

 E   0. b

44

Se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a y b cuya solución es n

n

n

 n  x i yi    xi   yi      1  1   1 a n  n  2 n  x i2    xi       1

n

n

1

1

 yi  a xi

b

n

1

Expresiones más elaboradas nos permiten determinar el error de a y el error de b. n

a 

  2 n n    n  x i2    x i   1   1 n

2  yi  ax i  b )  ( y

con

 



1

n2

n

 x i2

b  a  1

n

La pendiente de la recta de regresión se expresa como: a    a

y la ordenada en el origen como: b    b

Prácticas de Física I. Mecánica

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2.- Medida de la velocidad en una experiencia de movimiento rectilíneo http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinem http://www.sc.ehu.es /sbweb/fisica_/cinematica/rectilineo/uniforme/uniforme. atica/rectilineo/uniforme/uniforme.xhtml xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinema http://www.sc.ehu.es /sbweb/fisica_/cinematica/rectilineo/uniforme/uniforme_la tica/rectilineo/uniforme/uniforme_lab.xhtml b.xhtml

x

Tiempo (s)

Desplazamiento (cm)

Cálculos  La velocidad es la pendiente de la recta a=  La posición inicial es ordenada en el origen b=  Error cometido en el cálculo de la pendiente Δa= La velocidad (medida, error y unidad) es

Representar en papel milimetrado, los resultados experimentales como puntos  En el eje vertical se representan los desplazamientos  En el eje horizontal los tiempos Trazar la recta  y=ax+b que mejor ajusta a los l os datos de la tabla tiempo-desplazamiento

Prácticas de Física I. Mecánica

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3.-Coeficiente estático y cinético de rozamiento http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinam http://www.sc.ehu.es /sbweb/fisica_/dinamica/rozamiento/genera ica/rozamiento/general/rozamiento1.xhtml l/rozamiento1.xhtml http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamic http://www.sc.ehu.es /sbweb/fisica_/dinamica/rozamiento/gene a/rozamiento/general/rozamiento_lab.xhtml ral/rozamiento_lab.xhtml

 N=mg 

 μ s N 

 μ k  N 

 μ s

 μ k 

Valor medio Error  Expresar correctamente la medida y el error de los coeficientes  μ s y  μ k   μ s =  μ k  = ± ± Medida del coeficiente cinético de rozamiento

 Movimiento hacia arriba

Un cuerpo de masa m sale de A y llega a B. Se desplaza d 1 empleando un tiempo t 1 La velocidad inicial v 0 y la aceleración a 1 son de signos contrarios. 2d  d1  v0t1  12 a1t12 a1  2 1 0  v0  a1t1 t 1

Aplicando la segunda ley de Newton ma 1 = mg ·sen ·senθ + F r r  con  F r r = μ k ·N  y N=mg ·cos ·cosθ  a 1 = g ·(sen ·(senθ +  μ k ·cosθ )

 Movimiento hacia abajo El mismo cuerpo parte de A en reposo r eposo y llega a B. Se desplaza t 2 . Prácticas de Física I. Mecánica

d 2

empleando un tiempo

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d 2



1 2

a 2 t 22

a2



2d 2 t 22

Aplicando la segunda ley de Newton ma 2 = mg ·sen  F r r  ·senθ - F  con  F r r = μ k ·N  y N=mg ·cos ·cosθ  a 2 = g ·(sen ·(senθ -  μ k ·cosθ ) Prueba 1 2 3 4 5

d 1

(cm)

t 1 ( s)

a1

(cm/s2)

Valor medio

Prueba 1 2 3 4 5

d 2

(cm)

a 2 (cm/s2)

t 2 ( s)

Valor medio

Ángulo θ = Despejar en el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la aceleración de la gravedad g y el coeficiente cinético de rozamiento  μ k   g =

 μ k =

Medida del coeficiente cinético de rozamiento (simulación)

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinam http://www.sc.ehu.es /sbweb/fisica_/dinamica/rozamiento/dinamico ica/rozamiento/dinamico/dinamico.xhtml /dinamico.xhtml Se pulsa una sola vez el botón titulado Nuevo , se genera un valor del coeficiente de rozamiento Se establece un ángulo inicial grande del plano inclinado, se pulsa el botón titulado Empieza¸ el cuerpo desliza. Actuando en la barra de desplazamiento se disminuye el ángulo del plano inclinado antes de que el cuerpo entre en contacto con el primer  detector, hasta un ángulo θ 

 Si el cuerpo se acelera, es decir, t 1 >t 2 se repite la prueba, disminuyendo θ   Si el cuerpo decelera, es decir, t 1