Fisica General

FÍSICA GENERAL

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ Vicerrectorado de Investigación

FÍSICA GENERAL

TINS Básicos INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA, INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA AERONÁUTICA, INGENIERÍA MARÍTIMA, INGENIERÍA NAVAL, INGENIERÍA DE SOFTWARE, INGENIERÍA ECONÓMICA, INGENIERÍA MECÁNICA

TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP

Lima - Perú

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FÍSICA GENERAL

© FÍSICA GENERAL Desarrollo y Edición

:

Vicerrectorado de Investigación

Elaboración del TINS

:

• Mg. Elías Catalán Sánchez • Ing. Agustín Gutiérrez Páucar • Ing. Miguel Orellana Ambrosio

Diseño y Diagramación

:

• Julia Saldaña Balandra • Fiorella Espinoza Villafuerte

Soporte académico

:

Instituto de Investigación

Producción

:

Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.

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FÍSICA GENERAL

“El presente material contiene una compilación de obras de Física para Ingeniería publicadas lícitamente, resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución. Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Artículo 43 inc. A, del Decreto Legislativo 882, Ley sobre Derechos de Autor”.

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FÍSICA GENERAL

PRESENTACION

El presente texto elaborado en el marco de desarrollo de la Ingeniería, es un material de ayuda instruccional, en las carreras de Ingeniería de: Sistemas, Industrial, Electrónica, Mecatrónica y Telecomunicaciones; para la Asignatura de Física General, en el primer ciclo de estudios. Plasma la preocupación institucional de innovación de la enseñanza – aprendizaje, educativo universitario, que en acelerada continuidad promueve la producción de materiales educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos. Esta edición apropiadamente recopilada, de diversas fuentes bibliográficas, de uso más frecuente en la enseñanza de la Física, está ordenada en función del sillabus de la Asignatura arriba mencionada, ha sido posible gracias al esfuerzo y dedicación académica de los Profesores: Mg. Elías Catalán S., Ing. Agustín Gutiérrez P., Ing. Miguel Orellana A. La recopilación aludida, de temas pertinentes, consistentes y actualizados, para estudiantes de Ingeniería, comprende un ordenamiento orientado al abordaje de la Física de manera progresiva, y presenta los siguientes temas: El Análisis Dimensional, tiene como objetivo familiarizar al estudiante con las Magnitudes Fundamentales y Magnitudes Derivadas. El Análisis Vectorial, tiene como objetivo que el estudiante logre conocer apropiadamente las operaciones vectoriales, sus propiedades y su representación en el plano y en el espacio. En Cinemática, se describe el movimiento en una dimensión: Definición de variables (velocidad, desplazamiento, aceleración), Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV). El Movimiento Parabólico, comprende el movimiento en dos dimensiones, conocido también como movimiento de proyectiles. El Movimiento Circular, presenta la definición de variables, fuerza para el movimiento circular, relación entre variables que definen los movimientos rectilíneo y circular.

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En Fuerza y Movimiento, se hace: una descripción de tipos de fuerza tanto en el campo de la Estática y la Dinámica. En las Leyes de Newton, se desarrolla las aplicaciones de las Leyes de Newton y problemas de Estática y Dinámica. El Trabajo – Energía – Potencia, trata de las condiciones que deben existir para que exista Trabajo. Manifestaciones de la Energía (Cinética, Potencial, Elástica, Mecánica, etc.). Se define la Potencia. En Fuerza Eléctrica – Campo Eléctrico – Potencial Eléctrico, el tema se inicia con la descripción de Carga Eléctrica, Conductor y Aislante. Se continua con la Ley de Coulomb, el Principio de Superposición, el Campo a partir del concepto de Michael Faraday, y el Generador de Van de Graaff. En Condensadores, (capacitores) se analizan diversos tipos y sus propiedades. En Electrodinámica, se trata de la Corriente Eléctrica y la Resistencia Eléctrica; así mismo las Leyes de Kirchhoff, la Ley de Ohm y la Ley de Paullet. El Magnetismo, la Ley de Gauss para el magnetismo, la Ley de Biot – Savart, la Ley de Ampere, etc. El Electromagnetismo, trata de las diferentes manifestaciones de la energía electromagnética en la Transmisión de la Energía Eléctrica, las Transmisiones Electromagnéticas, La Ley de Faraday, la Ley de Lenz, etc. En Introducción a la Física Moderna, el estudiante podrá comprender algunos temas como la Óptica Ondulatoria, la Mecánica Cuántica, la Física de partículas Elementales, etc. Cerrando estas líneas de presentación, el agradecimiento institucional a los ingenieros Agustín Gutiérrez P. y Miguel Orellana A. y al Mg. Elías Catalán S.; así mismop a los profesores que han contribuido al acopio de los temas y al comentario del presente texto.

LUCIO HERACLIO HUAMÁN URETA Vicerrectorado de Investigación

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ÍNDICE Magnitudes Físicas ........................................................................ Análisis Dimensional...................................................................... Magnitudes Vectoriales .................................................................. Cinemática ..................................................................................... Problemas Resueltos....................................................................... Problemas Propuestos .................................................................... Fuerza y Movimiento ..................................................................... Problemas Propuestos de Equilibrio de Partícula ............................ Trabajo, Energía y Potencia ............................................................ Problemas Resueltos....................................................................... Problemas Propuestos .................................................................... Electricidad y Magnetismo.............................................................. Problemas Resueltos....................................................................... Problemas Resueltos....................................................................... Potencial Eléctrico .......................................................................... Problemas Resueltos....................................................................... Condensadores............................................................................... Corriente Eléctrica .......................................................................... Problemas Resueltos....................................................................... Problemas de Electricidad .............................................................. Magnetismo.................................................................................... Electromagnetismo ......................................................................... Problemas Propuestos .................................................................... Introducción a la Física Moderna....................................................

11 17 29 73 101 115 119 136 139 147 160 163 169 176 181 188 193 205 213 216 241 261 267 271

Bibliografía.....................................................................................

299

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FÍSICA GENERAL

8

FÍSICA GENERAL

DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA CLASE N°

1 2 3 4

5

6

7

8 9 10

11

TEMA

Magnitudes físicas. Análisis Dimensional. Conversión de Unidades. Problemas Resueltos y Propuestos. Vectores en el plano. Tipos. Notación Vectorial. Componentes Rectangulares. Análisis Vectorial Bidimensional. Vectores en el espacio. Producto Escalar. Producto Vectorial. Propiedades. Vector Unitario. Aplicaciones Cinemática. Movimiento en una Dimensión. Sistema de Coordenadas y Desplazamiento. Movimiento con Aceleración Constante. Movimiento de Caída Libre. Movimiento en dos Dimensiones. Movimiento Parabólico. Tiempo de Vuelo. Altura Máxima. Alcance Horizontal. Alcance Horizontal Máximo. Ecuación de la Trayectoria. Aplicaciones. Movimiento Circular. Rapidez Tangencial. Rapidez Angular. Movimiento Circular Uniforme. Transmisión del Movimiento de Rotación. Problemas Resueltos y Propuestos. Fuerza y Movimiento. Tipos de Fuerza. Fuerza de movimiento. Fuerza de Campo. Fuerza de Gravitación universal. Fuerza Eléctrica. Fuerza Magnética. Fuerza Elástica. Leyes de Newton. Leyes de Newton del Movimiento. Fricción. Equilibrio Elástico. Aplicación de las Leyes de Newton. Trabajo, Energía y Potencia EXAMEN PARCIAL Carga Eléctrica y Ley de Coulomb Electromagnetismo Carga Eléctrica Cuantización de la Carga Eléctrica Ley de Coulomb Principio de Superposición

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SEMANA

1 2 3 4

5

6

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11

FÍSICA GENERAL

CLASE N°

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13

14

15 16 17 18 19

TEMA

Campo Eléctrico Campo Eléctrico de Cargas Puntuales Cascarón Esférico con Carga Uniforme Potencial Eléctrico: • El acelerador • El generador de Van de Graff • Funcionamiento del Generador de Van de Graff • Potencial Eléctrico • Definición de Potencial Eléctrico • Potencial Generado por una Serie de Cargas Puntuales • Energía Potencial Electrostática Condensadores: Capacitancia Arreglos de Condensadores Asociación en Serie Asociación en Paralelo Dieléctricos Efecto Dieléctrico en un Condensador Corriente Eléctrica: Definición Intensidad de la Corriente Eléctrica Fuerza Electromotriz Pilas o Baterías Cantidades Eléctricas Ley de OHM Resistencia Códigos de los Colores de las Resistencias Magnetismo Electromagnetismo Introducción a la Física Moderna EXAMEN FINAL

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SEMANA

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15 16 17 18 19

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MAGNITUDES FÍSICAS Y ANÁLISIS DIMENSIONAL

FÍSICA.- Es una ciencia experimental que estudia las interacciones de la naturaleza usando el método científico.

FENÓMENO FÍSICO.- Es todo cambio y/o transformación que experimentan ciertos cuerpos sin alterar su estructura atómica. Ejemplo: 1. El movimiento de un auto 2. La deformación parcial de un resorte 3. Los cambios de estado del agua

i)

Ciencia Experimental Teórico

ii)

Experimental

* Isaac Newton

* Cavendish

* J.C. Maxwell

* T. Hertz

* Albert Einstein (1879-1955)

* E. Fermi (teórico-experimental)

Ley de Gravitación Universal o Planetas

o Galaxias

o Sistemas Solares

o Grupos

o Constelaciones

o Cúmulos

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F

G

= G

Mm r2

Aristóteles Galileo T. Brahe

J. Kepler

Isaac Newton

iii)

1ra. Ley de las Orbitas 2da. Ley del barrido de áreas 3ra. Ley de los Periodos

Ley de Gravitación Universal

Teoría Electromagnética o

Maxwell (1865) } formuló 4 Ecuaciones llamadas ecuaciones de Maxwell (ondas electromagnéticas OEM)

o

Hertz (1888)

} Produce en el Laboratorio las O.E.M.

O.E.M.

+

iv)

Teoría de la Relatividad o

1905

(Teoría de la relatividad especial o restringida) Efecto Browniano Efecto fotoeléctrico (Premio Nobel) entregado a Albert Einstein.

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FÍSICA GENERAL

c=

Rapidez de la luz Contracción de las longitudes Dilatación del tiempo

o

1916

(Teoría General de la Relatividad)

o

1928

Experimento Astronómico Física Moderna Nano Física Cosmología Origen del Universo.

v)

Interacciones Tipos de interacciones: 1° Interacción Gravitacional

(I.G.)

2° Interacción Electromagnética

(I.E.M.)

3° Interacción Nuclear Fuerte

(I.N.F.)

4° Interacción Nuclear Débil

(I.N.D.)

I.E.M. (Maxwell 1865)

• Interacción Eléctrica

(I.E.)

• Interacción Magnética

(I.M.)

I.E.D.

• I.E.M.

En 1965 se descubrió la

(Interacción Electrodébil)

• I.N.D.

interacción electrodébil

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Método Científico I.

Observación: Consiste en ver, mirar u observar la ocurrencia del fenómeno

II.

Hipótesis: Consiste en dar una explicación preliminar o previa de la ocurrencia del fenómeno

III. Experimentación: Consiste en la medición de las variables observadas, valiéndonos para ello de instrumentos de medida y de las matemáticas. IV. Ley Física: Es la expresión clara y concisa y general del fenómeno físico analizado dando para ello una expresión matemática o enunciado, indicando además sus limitaciones. *

Permite predecir resultados

Magnitudes físicas Son todas aquellas que se pueden medir con cierto grado de precisión utilizando para ello un instrumento y una unidad de medida patrón convencionalmente establecido. Ejemplo: 1.

Las dimensiones del aula pueden ser medidas con una regla milimetrica usando como unidad el metro patrón.

2.

La masa de los cuerpos se miden con una balanza usando como unidad de medida el kilogramo patrón.

3.

El tiempo transcurrido con un cronómetro usando como unidad de medida el segundo, etc.

Las magnitudes físicas, se dividen en: A)

Según la Procedencia i.

Magnitudes físicas fundamentales: son el conjunto selecto de magnitudes físicas que definen el sistema de unidades, y en el caso del sistema internacional (S.I.) son 7:

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FÍSICA GENERAL

Tabla N° 1: Magnitudes fundamentales según S.I. Símbolo dimensional

Unidad de medida

Física General Símbolo de unidad de medida

Longitud

(L)

Metro

(m)

Masa

(M)

Kilogramo

(kg)

Tiempo

(T)

Segundo

(s)

Temperatura Termodinámica

(θ)

Kelvin

(ºK)

Intensidad de Corriente Eléctrica

(I)

Ampere

(A)

Intensidad Luminosa

(J)

Candela

(cd)

Cantidad de Sustancia

(N)

Mol

(mol)

Magnitud física

Las magnitudes físicas fundamentales nos permiten definir las magnitudes físicas restantes. ii.

Magnitudes físicas Derivadas: Son las magnitudes físicas que proceden de las magnitudes físicas fundamentales. Ejm.: • Velocidad (m/s) • Área (m2) • Densidad (kg/m3)

B)

Según sus Características i.

Magnitudes Físicas Escalares: Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente definidas por un número real y su correspondiente unidad de medida. Ejm.:

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FÍSICA GENERAL

ii.

• Masa

:

60 kg

• Volumen

:

1000 m3

• Tiempo

:

90 s

Magnitudes Físicas Vectoriales: Son aquellas magnitudes físicas que para ser definidas requieren: • Módulo • Dirección y • Sentido

EJEMPLO: Las magnitudes vectoriales, son representadas por flechas: •

V : Valor o módulo de la magnitud física vectorial.

•

θ: ángulo con la horizontal (dirección)

•

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Sentido

FÍSICA GENERAL

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Estudia las relaciones entre las magnitudes físicas fundamentales y las magnitudes

físicas

derivadas;

para

esto,

se

usan

las

ecuaciones

dimensionales que nos describen la forma dimensional de las magnitudes físicas.

ECUACIÓN DIMENSIONAL: Son expresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades fundamentales y se usan para probar fórmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta. También, es una igualdad de tipo algebraico que expresan las relaciones existentes entre las magnitudes fundamentales y las derivadas.

Notación:

G G [ A ] ………… se lee: ecuación dimensional de A

Las ecuaciones dimensionales cumplen las leyes del álgebra a excepciones de la suma y la resta, en la determinación de las dimensiones de una ecuación dimensional se utiliza el principio de Homogeneidad que dice “Todos los términos de una ecuación deben tener las mismas unidades. Ejemplo: Determinar la ecuación dimensional de la aceleración. Aceleración: a = v / t [a ] = LT-1 / T => [a ] = LT − 2

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES 1.

Las ecuaciones dimensionales cumplen las leyes del Álgebra a excepción de la suma y la resta.

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FÍSICA GENERAL

Ejemplo: Sean A y B magnitudes físicas: a) [A . B] = [A]. [B]

[A ] ⎡A⎤ b) ⎢ ⎥ = [B] ⎣B⎦ c) [An] = [A]n m d) ⎡ A n ⎤ = ⎢⎣ ⎥⎦

2.

m

[A ]n

= [A ]n / m

Las ecuaciones dimensionales de los números, ángulos y funciones trigonométricas, logaritmos de los números son iguales a la unidad. Estas son magnitudes adimensionales. Ejemplo: [2π × 10–6] = 1 ⎡ 3π ⎤ ⎢ 4 rad⎥ = 1 ⎣ ⎦ [sen 45° + cos 25° – π2 ] = 1

3.

Principios de homogeneidad de la suma o resta, para sumar o restar 2 o más magnitudes físicas, estas deben ser homogéneas (de la misma especie). El principio dice que: “En toda suma o resta correcta de magnitudes físicas, cada uno de los términos debe tener la misma ecuación dimensional al igual a la suma total o la diferencia”. Ejemplo: 5N kg + 6 kg N M

M

11 kg N M

15 kg + 6 m = ?? N N M

4.

(Correcto ) (Incorrecto )

L

Las constantes numéricas son adimensionales, pero las constantes físicas si tienen dimensiones ya que tienen unidades físicas.

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FÍSICA GENERAL

Ejemplo: Constantes numéricas: e=2,7182… π=3,14159 Constante física: Constante de gravitación universal 

G=6,67x10-11

Aceleración de la gravedad 

g=9,8

N.m 2 kg 2

m S2

ALGUNAS ECUACIONES DIMENSIONALES BÁSICAS i)

[A] = L2

A=área ó superficie

ii)

[V] = L3

V=volumen

iii)

[v] =

iv)

[a] =

v) vi)

vii)

[e] [t]

[Δv ] [t]

[ρ] = [m] [v ] [ω] = [α ] [t]

L = LT −1 T

=

= = =

[α ] = [Δω] (T )

LT −1 = LT − 2 T M 3

L

≡ ML− 3

1 = T −1 T

=

T −1 = T −2 T

viii) [F]=[m][a]=MLT-2 ix)

[W]=[F][d]=ML2T-2

v=velocidad lineal

a=aceleración lineal ρ=densidad ω=velocidad angular

α=aceleración angular F=fuerza W=trabajo ó calor ó energía

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FÍSICA GENERAL

PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA N°1.- La presión atmosférica es de 14,7 lb/pulg2 (PSI) en el sistema inglés. Convertir a unidades métricas de kg/cm2. Solución: P = 14,7

lb pu lg 2

×

0,4536 kg (1 pu lg) 2 × = 1,033 kg / cm 2 2 1 lb ( 2,54 cm)

D

PROBLEMA N°2.- ¿Cuántos Angstrom ( A ) hay en 2,01 cm? Solución: D

1 A =10-8cm D

2,01cm ×

1A 10 − 8 cm

8

D

= 2,01 × 10 A

PROBLEMA N°3.- La densidad del agua es 62,4 lb/pie3 en el sistema inglés, convertirla a unidades métricas (gr/cm3 ó gr/ml) Solución: d = 62,4 lb / pies ×

4,54 g 1pie 3 1pu lg3 × × 1lb (12 pu lg) 3 ( 2,54cm) 3

d=1 g/cm3

PROBLEMA N°4.- Convertir 900

km a m/s? h

Solución: 900

km ⎛ 1000m ⎞ ⎛ 1h ⎞ ⎛ km ⎞ ⎛ 5 ⎞ ×⎜ ⎟ = 900⎜ ⎟×⎜ ⎟ ≡ 250m / s ⎟×⎜ hr ⎝ 1km ⎠ ⎝ 3600s ⎠ ⎝ h ⎠ ⎝ 18 ⎠

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FÍSICA GENERAL

PROBLEMA N°5.- Hallar “α” para que la ecuación sea dimensionalmente correcta:

3

A 2 − B 3 = tgα.AB cos α

Solución: Dentro de la raíz, se debe cumplir [A2]=[B3] (por principio de homogeneidad) 3

B 3 = tgα.AB cos α

B = tgαAB cos α

[B] = [ tgα ][ A ][B]

cos α

= B3 + 2 cos α / 2

2=3+2cosα −

1 = cos α 2

α=120° PROBLEMA N°6.- La fórmula para hallar la rigidez de una cuerda es: ⎛ aQ ⎞ S = ⎜ + b ⎟ d 2 , donde: ⎝ R ⎠ Q=Peso (Newtons), R=radio, d=diámetro, S=(Newtons); hallar las ecuaciones dimensionales de las cantidades “a” y “b”; si dicha ecuación es dimensionalmente correcta. Solución: S = ad 2

Q + bd 2 R

⎡ d2Q ⎤ 2 [S ] = [a ] ⎢ ⎥ + [d ][b] ⎢⎣ R ⎥⎦ LMT-2=[a]L2MT-2=[b]L2 ∴

[a]=L-1 [b]=L-1MT-2

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FÍSICA GENERAL

PROBLEMA N°7.- Determinar las dimensiones de “A” e “Y” para que la expresión Y=APe(4mA/V) sea dimensionalmente correcta, siendo: P=presión, m=masa, v=rapidez y e=base de los logaritmos neperianos. Solución: De la expresión Y=APe(4mA/v), el exponente de “e” tiene como ecuación dimensional la unidad porque es un número: ⎡ 4mA ⎤ ⎢ v ⎥ =1 , ⎣ ⎦

M[ A ] LT

= 1 luego [A]=LT-1M-1

−1

[Y]=(LM-1T-1)(L-1MT-2)(1)

∴ [Y]=T-3

PROBLEMA N°8.- La siguiente expresión es dimensionalmente correcta: Bx sec 60° W − PC − mv α = 1− Agh Agh

hallar la fórmula dimensional de Q = A α α B ⎛⎜ c α ⎞⎟ ⎝ ⎠

−1

donde:

W=trabajo, m=masa, v=rapidez, g=aceleración de la gravedad, h=altura, x=distancia, P=potencia Solución: L2MT-2=M(LT-1)α=[A]LT-2L-[B]L2=L2MT-3[C] LαMT-α=L2MT-2, α=2, [A]=M, [B]=MT-2 [C]=T ∴Q=M5/2T-2 PROBLEMA N°9.- Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta r-yv-zF=nx, donde n =

masa ( longitud )( tiempo )

F=fuerza, r=radio, v=rapidez. Hallar: (x+y+z)

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FÍSICA GENERAL

Solución: [F]=[n]x[r]y[v]z LMT-2=(ML-1T-1)x(L)y(LT-1)z=L-x+y+z MxT-x-z L = L-x + Ly L2 → -x + y + z = 1 M = Mx → x = 1 T-2 = T-x T –z → -x –z = z Luego:

(x+y+z)=3

PROBLEMA N°10.- De acuerdo con la Ley de Coulomb para la interacción de dos cargas eléctricas en el vacío, se verifica lo siguiente: F=

1 4 πε

qq

1 2 2

d

0

, donde F=Fuerza

q1 y q2=cargas eléctricas, y d=distancia. Se pide encontrar las dimensiones de la permitividad eléctrica en el vacío (ε0) Solución: ⎡ 1 ⎤⎡ 1 [F] = ⎢ ⎥⎢ ⎣ 4 π ⎦ ⎢⎣ ε 0 LMT − 2 =

[ε ] = L

−3

0

[ ][ ]

⎤ q q 2 ⎥ 1 2 ⎥⎦ [d]

(1)(IT ) 2 [ε ] L2 0

M −1T 4I2

PROBLEMA N°11.- El período de un planeta que gira en la órbita circular depende del radio de la órbita [R], de la masa de la estrella [M] y la constante de gravitación universal [G]. Dato: G=M-1L3T-2

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FÍSICA GENERAL

Solución: De acuerdo al enunciado tenemos: T=KRxMyGz [T]=[K][R]x[M]y[G]z T=LxMyM-zL3zT-2z T=My-zLx+3zT-2z M°L°T1=My-zLx+3zT-2z A igual base, exponentes iguales: M°=My-z → 0=y-z → y=z T1=T-2z → 1=-–2z →z=

−1 2

L°=Lx+3z → 0=x+3z → x=–3z

x=

3 2

Luego: T=KR3/2M-1/2G-1/2

T =

KR 3 / 2 M1 / 2G1 / 2

T=KR

R MG

PROBLEMA N°12.- Determinar la fórmula que nos permite expresar el volumen de H2O por unidad de tiempo [Q] que sale por un agujero, sabiendo que depende de la densidad (d), del diámetro (D), presión (p) y K constante adimensional. Solución: De acuerdo al enunciado tenemos: Q=KdxDyPz [Q]=[K][d]x[D]y[P]z L3T-1=(1)(ML-3)x(L)y[ML-1T-2)z

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FÍSICA GENERAL

M°L3T-1=Mx+z. Ly-3x-zT-2z Igualando exponentes de base igual: M°=Mx+z → x+z=0→ x = -1/2 L3=Ly-3x-z → 3=y-3x-z → y = 2 T-1=T-2z → -1=-2z → z = 1/2 En (I): Q=Kd-1/2D2P1/2 Q=KD2

P d

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA N°1.- Encontrar [K]y[C] si la ecuación es dimensionalmente correcta C =

Msenθ m(K 2 + H2 )

; donde: M=momento de fuerza, m=masa y

H=altura. Respuesta: [K]=L, [C]=T-2 PROBLEMA N°2.- Determinar las dimensiones que debe tener “Q” para que

la

expresión

W=0,5mvα+Agh+BP,

“W” donde

sea

dimensionalmente

W=trabajo,

m=masa,

correcta v=rapidez,

g=aceleración de la gravedad, h=altura, P=potencia, α=potencia desconocida. Hallar: Q = A α α B Respuesta: Q=M2 T

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FÍSICA GENERAL

PROBLEMA N°3.- Halle la ecuación dimensional de “C” en la expresión:

⎡ − mv 2 ⎤ ⎢ 2cθE ⎥ − 1⎥ , P = P0 ⎢e ⎢⎣ ⎥⎦

donde:

v=rapidez,

m=masa,

E=energía,

θ=temperatura, P≡P0=potencia Respuesta: [C]= θ-1 PROBLEMA N°4.- En la ecuación dimensionalmente correcta hallar [B]. Donde: P=potencia y W=peso específico

48 π PW − = ln N Nseny yB

Respuesta: [B]=M2T-5 PROBLEMA N°5.- En la ecuación homogénea, halle [x], siendo “e”, base de los

logaritmos

neperianos

x(P1 − P2) = z.e xyz .y.F ; 4 πsenα

donde:

P1

y

P2=presiones, F=fuerza Respuesta: [x]=L

PROBLEMAS PROPUESTOS DE ECUACIONES DIMENSIONALES Ejercicio 1: En la figura se tiene un cuerpo sumergido en un líquido. La expresión dimensional de su densidad está definida por la siguiente ecuación: D = X.m + Y.A + Z.h Donde D = densidad, m = masa del cuerpo, A=área, h=altura del cuerpo con respecto a la base del recipiente. Determinar las dimensiones de X, Y, Z.

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FÍSICA GENERAL

Ejercicio 2: Se tiene un ventilador (ver figura), la potencia de su hélice esta determinada por la siguiente ecuación dimensional. Donde P=potencia, w=velocidad angular. Determinar las dimensiones de K y las unidades en el SI. P = K.ω2.Tg θ Ejercicio 3: En la figura se fisiona el núcleo de un átomo y se liberan las partículas subatómicas. La energía que llevan está determinada por la siguiente expresión dimensional. Donde: E=energía, F=fuerza,

V=velocidad,

a=aceleración.

Determine

las

dimensiones de A, B, C. E = A.F + B.v2 + C.a Ejercicio 4: La velocidad del cuerpo de la figura sobre el eje X está dada por la ecuación dimensional. Donde t = tiempo. Determinar las dimensiones de K2

Ejercicio 5: En la figura, la fuerza necesaria para subir el cuerpo está definida por la siguiente ecuación dimensional. Determinar las dimensiones de B y sus unidades en el SI. F = fuerza, V=velocidad.

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FÍSICA GENERAL

Ejercicio 6: En un tubo de rayos catódicos se liberan electrones. (Ver figura) La distancia recorrida por dichos electrones en un tiempo (t) está dada por la siguiente ecuación dimensional. Identifica las dimensiones de X, Y, Z.

d = X + Y .t +

1 2 Z .t 2

Ejercicio 7: En la figura la presión que ejerce el cuerpo sobre el líquido está definida por la ecuación dimensional. Donde P = presión, W = peso, g = aceleración, h = altura del objeto con respecto a la base. Determine las dimensiones de A y B.

Ejercicio 8: En la figura se deja caer un cuerpo del globo. Un investigador asocia al evento la siguiente ecuación dimensional. Donde P = peso del objeto que cae, t=tiempo y m=masa. A través del análisis dimensional identifica que magnitud física representa K.

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FÍSICA GENERAL

MAGNITUDES VECTORIALES

Una magnitud vectorial es aquella que tiene módulo, dirección y sentido y puede representarse por un vector. Ejemplo: Velocidad, desplazamiento, aceleración.

VECTOR EN EL PLANO Definición de vector Es una magnitud que para ser determinada se requiere conocer su módulo, su dirección y su sentido. Por ejemplo la velocidad, aceleración, fuerza, etc. Cada vector posee unas características que son: Sentido

G A

Origen

o

Módulo

θ

G | A |= MóduloGdel Vector A . θ = ángulo respecto al eje X, determina la G dirección de A .

Origen O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. Módulo (o Norma) Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

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FÍSICA GENERAL

Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Esta determinado por el ángulo que hace el vector con el eje X positivo. Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

TIPOS DE VECTORES Vectores Paralelos: Tienen la misma dirección y sentido, pero no necesariamente el mismo módulo. B

A

θ

θ

Vectores Antiparalelos: Tienen la misma dirección y sentidos opuestos, y no necesariamente el mismo módulo.

B

A

θ

θ

Negativo de un Vector: Es un Vector que tiene sentidos opuestos al vector original, conserva su mismo módulo y la misma dirección.

30

FÍSICA GENERAL

B

A

θ

B=–A

θ

Vectores Iguales: Son Vectores que tienen igual módulo, la misma dirección y el mismo sentido. B

A

θ

A=B

θ

Leyes del álgebra vectorial G G G G (1) A+ B = B+ A G G G G G G (2) A + ( B + C ) = ( A + B) + C

(4)

G G mA = Am G G m(nA) = (mn) A

(5)

G G G (m + n) A = mA + nA

(6)

G G G G m( A + B ) = mA + nB

(3)

Vector Unitario G Es todo vector de módulo unidad. Si A es un vector de módulo distinto de G G A cero, | A | ≠ 0, El vector μˆ A = es un vector unitario de la misma A G dirección y sentido que A .

Como ejemplo de vectores unitarios, tenemos:

31

FÍSICA GENERAL

G Ay A ⎤ A ⎡ Ax ˆj + z kˆ ⎥ = (Cosαiˆ + Cosβˆj + Cosγkˆ ) μˆ A = = ⎢ iˆ + A ⎦ A A ⎣ A

Multiplicación de un Vector por un Escalar Sea A el Vector, y r = 2 el Escalar, luego: C = r A , donde C es un Vector.

2A

A

El escalar r puede ser positivo o negativo. En éste último caso el vector resultante tiene sentido opuesto al vector original.

Sistema de Referencia El sistema de referencia espacial de los vectores, estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas. Vectores unitarios elementales

iˆ : vector unitario paralelo al eje x ˆj : vector unitario paralelo al eje y kˆ : vector unitario paralelo al eje z

Componentes de un vector

32

FÍSICA GENERAL

Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados. Sea

G r el vector.

G JG G r = rx + r y + r2 También puede representarse en función de los vectores unitarios z elementales: r

G r = ( x, y, z ) G G G G r = xi + yj + zk

y x

OPERACIONES CON VECTORES A)

Suma de Vectores

(A.1) Métodos gráficos: (A.1.1) Método del Paralelogramo.- Este método es válido para dos

vectores

concurrentes y coplanares. Para hallar la resultante se une

a los vectores por el origen y se forma el paralelogramo. (A.1.2) Método del Triángulo.- Es válido para dos vectores. Se une

el extremo de uno de los vectores con el extremo del otro y se forma el triángulo. (A.1.3) Método del Polígono Se usa para más de dos vectores. Se

dibujan los vectores uno a continuación de otro y la resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.

33

FÍSICA GENERAL

(A.2) Método Analítico.

Para hallar la resultante por este método, sigue los siguientes pasos: a)

Se

descomponen

los

vectores

en

sus

componentes

rectangulares. b)

Se halla la resultante de las componentes en las direcciones x, y ez

Ejemplo: Sumar y Restar los vectores P y Q Q

Q R=P+Q R=P–Q

P

P (A.3) Método Algebraico para la Suma de vectores G Dados tres vectores A = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ G B = B x iˆ + B y ˆj + B z kˆ G C = C x iˆ + C y ˆj + C z kˆ

G G G G La expresión correspondiente al vector suma es: S = A + B + C O también:

G S = S x iˆ + S y ˆj + S z kˆ

Siendo por tanto:

S x = Ax + Bx + C x

34

FÍSICA GENERAL

PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de dos vectores

y B , llamado también producto

A

punto, representado por el símbolo A . B

(se lee A multiplicado

escalarmente por B ), se define como la cantidad escalar obtenida hallando el producto de la magnitudes de A y B con el coseno del ángulo entre los vectores: A . B = AB cos θ =⏐ A ⏐⏐ B ⏐ cos θ

00 ≥ θ ≥ 1800

A B

θ

PROPIEDADES:

1.

A .B = B . A

(Ley conmutativa para el producto escalar)

2.

A . (B + C ) = A . B + A . C

3.

P ( A . B ) = (p A ). B = A . ( p B = ( A . B )p

4.

iˆ . iˆ = ˆj . ˆj = kˆ . kˆ = 1; iˆ . ˆj = ˆj . kˆ = kˆ . iˆ = 0

5.

Si A

. B = 0. Si

A

(ley distributiva)

y B no son nulos, entonces A

y B son

perpendiculares.

→

EJERCICIO: Encontrar el ángulo entre los vectores: A = 2i + 2 j − k y →

B = 6i − 3 j + 2k →

→

Solución.- Aplicando el producto escalar a los vectores A y B tendremos: →

→

A .B A .B = ABCosθ → Cosθ = = AB →

→

35

A xBx + A yBy + A zBz A 2x + A 2y + A 2z

B2X + B2Y + B2Z

FÍSICA GENERAL

Reemplazando datos tendremos: (2)(6) + (2)( −3) + ( −1)(2)

Cosθ =

=

22 + 22 + ( −1)2 62 + ( −3)2 + 22

4 = 0,1905 → θ ≅ 79 o (3)(7)

.

1.1.1 Producto Vectorial El producto vectorial de dos vectores A y B , representado por el símbolo A x B

se lee A multiplicado vectorialmente por B), se

define como el vector perpendicular al plano determinado por A y B en la dirección de avance de un tornillo de rosca derecha que ha

sido rotado de A hacia B .

La magnitud del producto vectorial

AxB

está dada por:

⏐ A x B ⏐=AB sen θ

Otra regla sencilla útil para establecer la dirección de A x B es la siguiente: Colocar el pulgar, índice y el dedo mayor de la mano derecha en la posición mostrada en la figura.

36

FÍSICA GENERAL

Propiedades:

1.

Ax B

= - B x A

(ley conmutativa para el producto

vectorial no se cumple) 2.

A x ( B +C ) = Ax B + Ax C

3.

p ( A x B ) = (p A )x B = A x ( p B ) =( A x B )p , donde p es

Ley distributiva

un escalar 4.

iˆ x iˆ = ˆj x ˆj = kˆ x kˆ = 0, iˆ x ˆj = kˆ , ˆj x kˆ = iˆ , kˆ x iˆ

= ˆj 5.

Si A = Ax iˆ + Ay ˆj +Az kˆ

y B = Bx iˆ + B

y

ˆj + Bz kˆ ,

entonces ⎡ iˆ ⎢ A x B = ⎢ Ax ⎢B ⎣ x

kˆ ⎤ ⎥ Az ⎥ Bz ⎥ ⎦

ˆj Ay By

6.

⏐ A x B ⏐ = área del paralelogramo con lados A y B.

7.

G G G G G G G Si AxB = 0 , siendo A y B vectores no nulos, entonces A y B son paralelos.

OPERACIONES CON VECTORES •

ADICIÓN DE VECTORES

(

Dado dos vectores a = a1 , a 2

(1

a+b = a +b , a +b 1

2

2

)

y

) 37

( 1 2)

b = b , b ; se define la suma

FÍSICA GENERAL

a = (3,4)

Ejemplo:

b = (1,2) c =

(

2, 3

)

a + b = ( 4,6 )

(

a+b+c = 4+

( a + c = (3 +

b + c = 1+

2 ,6 +

2 ,2 +

2 ,4 +

3

) 3)

)

3

Gráficamente:

•

SUSTRACCIÓN DE VECTORES

(

Dado dos vectores a = a1, a 2

(1

a − b = a − b ,a − b 1

2

2

)

)

Ejemplo: a = (3,4) b = (1,2) c =

(

2, 3

) 38

(

)

y b = b1 , b 2 , se define la resta

FÍSICA GENERAL

a − b = ( 2,2)

(

a − c = 3 − 2 ,4 − 3

)

CALCULO DE LA RESULTANTE DE VECTORES REGLA DEL PARALELOGRAMO

Nota: Para

la suma o composición de vectores, se debe colocar

secuencialmente el conjunto de vectores uno tras de otro (no importando el vector inicio), de tal forma, que el vector suma ó resultante se obtiene uniendo el punto inicial con el punto final de la secuencia.

EJEMPLO: Hallar gráficamente la suma de los siguientes vectores: B C

C A

B A D R

D

R= A+ B+ C+D

(b) Arreglo final

(a) Disposición original

39

FÍSICA GENERAL

CASO ESPECIAL: S = A + B ⎧S ⎪ S⎨ ⎪⎩δ ⎧ S = ⎨ A ⎩

tgδ =

•

2

+ B

2

1/ 2

⎫ + 2 A B cos θ⎬ ⎭

B senθ A + B cos θ

MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR a POR UN ESCALAR

r:

(

)

Dado un vector a = a1 , a 2 , se define la multiplicación

r a , al

vector r a =r(a1,a2)=(ra1,ra2) 1) Si r>0

2) Si r Vb

+ a

Sentido convencional Va > Vb

Intensidad (I) de la corriente eléctrica: Mide la carga que fluye a través de la sección de un conductor en cada unidad de tiempo.

I=

q t

Amperios( A) =

Coulomb(C ) tiempo(t )

Cargas en movimiento a través de un área A. Al flujo de cargas por unidad de tiempo se le denomina corriente I.

A I

205

– b

FÍSICA GENERAL

Fuerza electromotriz Fuerza Electromotriz (FEM) es la energía proveniente de cualquier fuente, medio o dispositivo que suministre corriente eléctrica. Para ello se necesita la existencia de una diferencia de potencial entre dos puntos o polos (uno negativo y el otro positivo) de dicha fuente, que sea capaz de bombear o impulsar las cargas eléctricas a través de un circuito cerrado. A. Circuito eléctrico abierto (sin carga o

resistencia). Por tanto, no se establece la circulación de la corriente eléctrica desde la fuente de FEM (la batería en este caso). B. Circuito eléctrico cerrado, con una carga

o resistencia acoplada, a través de la cual se establece la circulación de un flujo de corriente eléctrica desde el polo negativo hacia el polo positivo de la fuente de FEM o batería. Existen diferentes dispositivos capaces de suministrar energía eléctrica, entre los que podemos citar:

Pilas o baterías: Son las fuentes de FEM más conocidas del gran

público. Generan energía eléctrica por medios químicos. Las más comunes y corrientes son las de carbón-zinc y las alcalinas, que cuando se agotan no admiten recarga. Las hay también de níquelcadmio (NiCd), de níquel e hidruro metálico (Ni-MH) y de ión de litio (Li-ion), recargables. En los automóviles se utilizan baterías de plomo-ácido, que emplean como electrodos placas de plomo y como electrolito ácido sulfúrico mezclado con agua destilada.

206

FÍSICA GENERAL

En resumen, se puede definir a la fuerza electromotriz (FEM) como toda causa capaz de mantener una diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito abierto o de producir una corriente eléctrica en un circuito cerrado. Es una característica de cada generador eléctrico. La FEM. se mide en voltios, al igual que el potencial eléctrico. Un circuito eléctrico es el camino a través del cual los electrones se trasladan, buscando le neutralidad eléctrica de los materiales conectados por medio de un conductor.

Cantidades Eléctricas: (1) Diferencia de Potencial: ( dpp ) Se le conoce también como Tensión Eléctrica o Voltaje. Es el desnivel eléctrico que existe entre dos puntos determinados de un circuito. Ejemplo: La tensión eléctrica de una toma en una vivienda es de 220

voltios. (2) Cantidad de electricidad: ( Q ) Es la cantidad total de electrones que recorren un conductor en un circuito eléctrico. Dado que el electrón es un elemento del átomo, de tamaño muy reducido, en la práctica se tiene que la carga de un electrón es de 1,6021 x 10-19 Coulombs. Por tanto: 1 Coulomb = 6,24 x 1018 eAsí, por los conductores eléctricos circula un número de electrones igual a 6,24 x 1018 e-

207

FÍSICA GENERAL

Si el número de electrones es de 12,48 x 1018 e-, implica que esta cantidad corresponde a dos (2) Coulombs. (3) Intensidad de Corriente Eléctrica: ( I ) Es la cantidad de electricidad que atraviesa un conductor en un tiempo igual a 1 segundo. Q 1C ⇒ 1A = t 1s

I=

(4) Densidad de corriente eléctrica: ( J ) J=

Amperio I ⇒ [J ] = A mm 2

(5) Resistencia Eléctrica: ( R ) R=ρ

L A

ρ: resistividad eléctrica L: longitud del conductor (m) A: sección del conductor (mm2)

Ejemplo: Tabla de la resistividad de algunos materiales

Material ρ (Ω x m2/m)

Cobre

Plata

0,017

0,015

Aluminio

Estaño

Mercurio

0,027

0,130

0,940

(6) POTENCIA ELÉCTRICA: ( P ) Se define como la cantidad de trabajo desarrollado en una unidad de tiempo.

208

FÍSICA GENERAL

Se puede expresar en cualquiera de las tres formas:

P = VxI P = I 2 xR P=

V2 R

(7) ENERGÍA ELÉCTRICA: ( U ) La Energía Eléctrica se define como el trabajo desarrollado en un circuito eléctrico durante un tiempo determinado.

U = Pxt ⇒ 1J = 1Wx1s Dado que el Joule ( J ) es una unidad demasiado pequeña, otra unidad más usada es el kilovatio por hora (KW-h). 1 KW-h = 1000W x 3600s = 3,6 x 106 Joules. Los medidores de luz miden en KW-h.

LEY DE OHM: Lleva el nombre de Georg Simon Ohm (1787 – 1854). Físico alemán.

La Ley de Ohm fue publicada en 1827 en su gran obra “La Cadena Galvánica”, tratada matemáticamente. Establece que: En un circuito eléctrico, la intensidad de corriente que lo recorre es directamente proporcional a la tensión aplicada e inversamente proporcional a la resistencia que éste presenta. I =

V 1Voltio ⇒ 1A = R 1Ω

209

FÍSICA GENERAL

Resistencia: Se llama resistencia eléctrica a la dificultad que presenta un conductor al paso de la corriente. Depende de varios factores: •

Naturaleza del material con el que está hecho el conductor.

•

Su geometría.

Todos los conductores no dejan pasar la corriente eléctrica con igual facilidad. Resistencia puede definirse como: la dificultad que ofrece un cuerpo conductor al paso de la corriente eléctrica a través de su masa. Podría decirse que se somete a la corriente que quiere atravesarla a una fricción, frenándola, dejando pasar una parte de ésta. R

Unidades: Ohmio (Ω )

Símbolo

Ley de Pouillet:

R = ρ.

L A

R : Resistencia (Ω )

ρ : Resistividad del material ( Ω . m)

L : Longitud del conductor

A : Área transversal del conductor (m2 )

De la ecuación de Poulliet deducimos:

•

A mayor longitud de conductor, hay mayor resistencia.

•

Cuando la sección o área de un conductor en mayor (más gruesa), entonces la resistencia disminuye).

210

FÍSICA GENERAL

Valor de las Resistencias:

Normalmente se especifican tres valores fundamentales: (a) El Valor Resistivo, (b) La Tolerancia y (c) La Potencia.

El Valor Resistivo: cantidad de resistencia que tiene. Ejemplo: 2.7 ohmios La Tolerancia: Esta determinado en porcentaje y significa el valor óhmico

máximo y mínimo que puede tener una resistencia a partir del valor dado por el fabricante. Ejemplo: color dorado, color plateado, sin color. La Potencia: Este valor determina el valor máximo de corriente que podrá

atravesar la resistencia sin que se destruya. Ejemplo: 1/8W, 1/4W, 1/2W, 1W, 5W, 10W, 20W, 30W, etc.

Ejemplo N°01: Si sometemos a una resistencia de 470Ω a una ddp de

220V, tendremos una corriente de:

I=

V 220V = = 0, 468 A R 470Ω

Asimismo:

V 2 2202 = = 102,96W P= 470 R Podemos escoger una resistencia de 150W, siempre mayor que el valor requerido. Ejemplo N°02: Tenemos una resistencia con un valor óhmico de 1200Ω y

una tolerancia de 10%. El fabricante nos dice que la resistencia podrá tener un valor que estará comprendido entre 1200Ω + 10% y 1200Ω – 10%.

211

FÍSICA GENERAL

Esto es:

1200Ω + 10% = 1320Ω 1200Ω – 10% = 1080Ω CÓDIGOS DE COLORES DE LAS RESISTENCIAS

Color

1ra. Banda

2da. Banda

3ra. Banda

0

0

x1Ω

1

x10Ω

2

2

x100Ω

3

3

x1KΩ

4

4

x10KΩ

5

5

x100KΩ

6

6

x1MΩ

7

7

8

8

x0,01Ω

9

9

x0,1Ω

Negro Marrón Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta Gris Blanco Oro

1

x0,1Ω

Plata

x0,01Ω

Sin Color

4ta. Banda ± 20%

± 1% ± 2%

± 5% ± 10% ± 20%

Tolerancia 3ra. Banda 2da. Banda 1ra. Banda

Ejemplo N°03: Identificar el valor de la resistencia con los siguientes

colores en sus bandas: Rojo, Violeta, Anaranjado, Oro ( ver figura de resistencia, arriba)

212

FÍSICA GENERAL

Solución:

270000Ω ± 5% = 270KΩ ± 5%

La teoría de los Circuitos Eléctricos se inició el 20 de marzo de 1800 cuando el físico italiano Alessandro Volta anunció su invento de la Batería Eléctrica. A través de éste invento Volta produciría corriente eléctrica, un flujo de electricidad continuo y estable, en oposición a la electricidad estática.

PROBLEMAS RESUELTOS 1)

Calcule la resistencia por unidad de longitud de un alambre de nicromo de calibre 22, que tiene un radio de 0,321 mm. Solución: Planteamos el problema, usamos la ecuación de Poulliet R = ρ.

L A

R 1 = (1,50 x10−6 Ω.m). 2 L π . ( 3, 21x10−4 m ) R = 4, 6Ω / m L

2)

En la figura se muestra un arreglo de dos focos eléctricos. Se les aplica la misma diferencia de potencial. ¿Cuál de las afirmaciones es correcta? (a) El foco de 30 W conduce la corriente más grande y tiene la mayor resistencia.

213

FÍSICA GENERAL

(b) El foco de 30 W conduce la mayor corriente, pero el foco de 60 W tiene la mayor resistencia. (c) El foco de 30 W tiene la mayor resistencia, pero el de 60 W conduce la corriente más elevada. (d) El foco de 60 W conduce la mayor corriente y tiene la resistencia más elevada.

60 W

I1 = 60 / V I1

I2 = 30 / V

30 W I2

Deducimos que: I1 > I2 Por tanto, el foco de 60 W conduce

+ V –

la mayor corriente. Además tiene menor resistencia.

El foco de 30 W conduce la menor corriente y tiene la mayor resistencia. Por tanto: la opción C es la respuesta correcta.

Si se conectan en serie R1, R2 y una batería de FEM E, demuestren que la razón de potencia de la batería para la conexión en serie a la conexión en paralelo es: R1 . R2 / (R1 + R2)2 Para una conexión en Serie:

R1

R2

P = E2 / (R1 + R2 ) E +

3)

214

FÍSICA GENERAL

Para una conexión en Paralelo:

R1

P = E2 / [(R1 . R2 )/ (R1 + R2 )] R2

Luego igualando ambas ecuaciones: E +

(R1 + R2 ) = [(R1 . R2 )/ (R1 + R2 )] Así: 4)

(R1 + R2 )2 = (R1 . R2 )

Un alambre conduce una corriente constante de 10 mA. ¿Cuántos coulombs pasan por la sección transversal del alambre en 20 s? Solución: I = q / t ………….

q = I . t = (10mA) . (20 s) q = 0,2 Coulombs

5)

La tecnología ha desarrollado baterías alcalinas pequeñas de 1,5 V con una energía nominal almacenada de 150 Joules. ¿Para cuántos días podrá servir la carga si con ella se alimenta una calculadora que consumirá una corriente de 2 mA? Solución:

P=W/t Pero:

t=W/P

P = V . I = (1,5 V ) . ( 2 x 10-3 A) = 3 x 10-3 Watts

Luego: t = W / P = (15 Joules ) / (3 x 10-3 Watts)

t = 5 x 10+3 s = 1 h 23 min 20 s

215

FÍSICA GENERAL

6)

Encuentre la Resistencia Equivalente entre a-b y la corriente si Vab=40 V en el circuito que se muestra a continuación. Solución:

Rab = [(((6 + 2) //(3 + 5)) + 20) //(12)] Rab = 8Ω La fuente de 40 V está en

6

a

paralelo con la resistencia de

2

3

5

I

12 Ω y con el conjunto de las otras resistencias.

12 20

b La corriente que circula por la resistencia de 20Ω es: I2 = Vab / 24 Ω = (40 /24) A = 5/3 A luego:

I = -(5/3) / 2 = - 5/6 A

PROBLEMAS DE ELECTRICIDAD 1.

En la figura se muestran tres cargas puntuales idénticas, cada una de masa m y carga q que cuelgan de tres cuerdas. Determine el valor de q en términos de m, L y θ. Solución 4 2 q = .L .m. g .Sen 2 θ.Tgθ 5

θ θ

L

+q

+q

m

m

216

g

L

+q

m

FÍSICA GENERAL

2.

Tres cargas puntuales se colocan sobre el eje X. Una carga de 12 μC en X=–15,7 m, la segunda carga de 38 μC en X=5,2 m y una tercera carga de -3,0 μC en el origen. Calcule la fuerza neta sobre la carga de –3,0 μC.

3.

Tres cargas puntuales, q1=–4 μC, q2=10 μC y q3=9μC, se colocan como se muestra en la figura. Determine la fuerza resultante sobre la carga q1. Y

q1

q3

q2

(0, 12) cm

(0, 0) cm

–X (– 12, 0) cm

4.

Tres cargas idénticas puntuales, cada una de cantidad q, se encuentran en cada uno de los vértices de un triángulo isósceles con su altura orientada verticalmente. La altura del triángulo es de 9,0 cm y su base es de 24,0 cm. (a) Si la fuerza eléctrica resultante ejercida sobre la carga localizada en el vértice superior del triángulo tiene una cantidad de 0,5 N con una dirección vertical con sentido hacia arriba; determine q. (b) Si la carga del vértice inferior izquierdo se reemplaza con una carga –q, determine la cantidad y dirección de la fuerza resultante ejercida sobre la carga localizada en el vértice superior del triángulo.

217

FÍSICA GENERAL

5.

¿Cuál es la fuerza eléctrica neta que actúa sobre la carga ubicada en el vértice inferior izquierdo del rectángulo mostrado en la figura? Si q=5,0 μC, L=26,0 cm y H=11,0 cm. Y

L

q

q H

q

q

6.

X

Tres cargas puntuales están alineadas sobre el eje X. La carga q1=–6,0

μC está en X=2,5 m, q2=–4,0 μC está en X=–2,6 m. ¿Dónde debe colocarse la tercera carga q para que la fuerza neta sobre ésta sea cero? 7.

La fuerza eléctrica que actúa sobre una carga puntual de –1,6 μC en algún punto es 6,9 x 10-4 N en la dirección del eje Y positivo. ¿Cuál es el valor del campo eléctrico en ese punto?

8.

Un cuerpo que tiene una carga neta de 52 μC se coloca en un campo eléctrico uniforme de 980 N/C, el campo está dirigido verticalmente hacia arriba. ¿Cuál es la masa del cuerpo si consideramos que está flotando en el campo eléctrico?

9.

Una carga puntual de – 1,5 μC se localiza en el eje Y en Y = 3,0 m. Determine el campo eléctrico. (a) sobre el eje de las abscisas en X=2,4 m. (b) sobre el eje de las ordenadas en Y=– 1,5 m. (c)

10.

en un punto con coordenadas X=2,0 m, Y=2,0 m.

(a) Calcule el campo eléctrico en el punto X=1,0 m, debido a dos cargas puntuales de igual cantidad 8,3 μC que están localizadas en el eje Y en Y=0,2 m y en Y=– 0,2 m.

218

FÍSICA GENERAL

(b) Determine la fuerza sobre otra tercera carga de –5,4μC, colocada sobre el eje X en X=1,0 m. 11.

¿Cuál es la cantidad y dirección del campo eléctrico en el centro del

Y

L

q

q

rectángulo mostrado en la figura? Suponga que q=7,8μC, L=27 cm y

H

q

q

X

H=19 cm. 12.

Dos cargas puntuales q están en las esquinas de P

la base de un triángulo equilátero de lado a como se muestra en la figura. ¿Cuál es la

a

a

cantidad y la dirección del campo eléctrico en el

a

punto P debido a las dos cargas de la base del triángulo? 13.

Cuatro cargas eléctricas se ubican en las esquinas de un cuadrado como se muestra

–q

–q

en la figura. (a) Determine la cantidad y la dirección

a

+q

del campo eléctrico en la posición de

–q a

la carga + q. (b) ¿Cuál es la fuerza eléctrica sobre ésta carga? 14.

Dos cargas de 3,9 μC y – 1,5 μC están separadas por una distancia de 4,0m. Encuentre el punto (a lo largo de la línea que atraviesa las cargas) donde el campo eléctrico es nulo.

219

FÍSICA GENERAL

15.

En la figura se muestran tres cargas puntuales idénticas, cada una de masa

45°

45°

m=0,100 kg y carga q, colgadas de tres cuerdas. Si las longitudes de las cuerdas izquierda y derecha son L=30,0 cm y el ángulo θ=45º, determine el valor de q. 16.

Se tienen dos cargas eléctricas q1 y q2 de acuerdo al esquema mostrado. Calcule la fuerza electrostática que produce la carga q1 sobre la otra carga. Datos: q1 = 4μC

, q2 = – 2μC

q2 5 cm

q1 8,66 cm

17.

En un nubarrón es posible que haya una carga eléctrica de +40 C cerca de la parte superior y – 40 C cerca de la parte inferior. Estas cargas están separadas por aproximadamente 2 km. ¿Cuál es la fuerza eléctrica entre ellas? Sol. 7,2 x 109 N

18.

Un avión vuela a través de un nubarrón a una altura de 2000 m. Si hay una concentración de carga de + 40 C a una altura de 3000 m dentro de la nube y – 40 C a una altura de 1,000 m ¿Cuál es el campo eléctrico en la aeronave? Sol. 90.000 N/C

220

FÍSICA GENERAL

19.

Un objeto que tiene una carga neta de 24 μC se coloca en un campo eléctrico uniforme de 610 N/C dirigido verticalmente. ¿Cuál es la masa de este objeto si "flota" en el campo? Sol. 1,49 g

20.

Tres cargas puntuales, q, 2q, y 3q, están colgadas sobre los vértices de un triángulo equilátero. Determine la cantidad del campo eléctrico en el centro geométrico del triángulo. Sol. 4,676 x 1010 q/d2 (d: distancia entre las cargas)

21.

Una barra de 14 cm de largo está cargada uniformemente y tiene una carga total de –22 μC. Determine la cantidad y dirección del campo eléctrico a lo largo del eje de la barra en un punto a 36 cm de su centro. Sol. 1.586.367,28 N/C hacia la izquierda

22.

Una barra aislante cargada de manera uniforme de 14 cm de largo se dobla en forma de semicírculo. Si la barra tiene una carga de –7.5 μC, encuentre la cantidad y dirección del campo eléctrico en O, el centro del semicírculo.

23.

Sol. 6.891.428,57 N/C del centro del arco hacia adentro Un electrón y un protón se ponen en reposo en un campo eléctrico

de 520 N/C. Calcule la rapidez de cada partícula 48 ns (nanosegundo) después de liberarlas. Sol. Vp = 2.391,5 m/s, Ve = 4.389.715,67 m/s

24.

Una carga –q1 se localiza en el origen y una carga –q2 se ubica a lo largo del eje y. ¿En qué punto a lo largo del eje y el campo eléctrico es cero? Sol. A la mitad de la distancia entre las cargas

25.

Dos pequeñas esferas están cargadas positivamente y la carga combinada es 5 x 10-5 C. ¿Cómo está distribuida la carga total entre

221

FÍSICA GENERAL

las esferas, si la fuerza repulsiva entre ellas es de 1 N cuando las esferas están separadas 2 m? Sol. 1,2 x10-5 C y 3,8 x 10-5 C

26.

Un electrón, cuya rapidez inicial es de 3,24 x 105 m/s, se lanza en dirección a un protón que está esencialmente en reposo. Si al principio el electrón se encontraba a una gran distancia del protón, ¿a qué distancia de éste su rapidez instantánea es igual al doble de su valor inicial? Sol. 1,6 x 10-9 m

27.

En cada vértice de un cubo de lado a hay una carga q. Demostrar que la cantidad de la fuerza resultante sobre cualquiera de las cargas es: F=0.262 . q2 / (εo a2)

28.

¿Cuál es la cantidad de una carga puntual que se escoge de tal forma que el campo eléctrico a 5 cm de ella tenga una cantidad de 2 N/C? Sol. 5,6 x 10-11 C

29.

Un cuerpo que tiene una carga neta de 52 μC se coloca en un campo eléctrico uniforme de 980 N/C, el campo está dirigido verticalmente hacia arriba. ¿Cuál es la masa del cuerpo si consideramos que está flotando en el campo eléctrico?

30.

Una carga puntual de – 1.5 μC se localiza en el eje Y en Y = 3,0 m. Determine el campo eléctrico. (a) sobre el eje de las abscisas en X = 2,4 m. (b) sobre el eje de las ordenadas en Y = - 1,5 m. (c)

31.

en un punto con coordenadas X = 2,0 m, Y = 2,0 m.

(a) Calcule el campo eléctrico en el punto X = 1,0 m, debido a dos cargas puntuales de igual cantidad 8,3 μC que están localizadas en el eje Y en Y = 0,2 m y en Y = -0,2 m.

222

FÍSICA GENERAL

(b) Determine la fuerza sobre otra tercera carga de – 5,4 μC, colocada sobre el eje X en X = 1,0 m. 32.

¿Cuál es la cantidad y dirección del campo eléctrico en el centro del rectángulo mostrado en la figura? Suponga que q = 7,8 μC, L = 27 cm y H = 19 cm.

33.

Dos cargas de 3,9 μC y – 1,5 μC están separadas por una distancia de 4,0 m. Encuentre el punto (a lo largo de la línea que atraviesa las cargas) donde el campo eléctrico es nulo.

34.

Calcular la cantidad y la dirección de E en el punto P de la figura adjunta.

Sol.: E = q / (εo a2)

35.

A una distancia r de una carga puntual q, el potencial eléctrico es V=400 V y la cantidad del campo eléctrico es E=150 N/C.

Determine los valores de q y r? Sol. r = 2,7 m, q = 0,12 x 10-6 C

36.

¿A que distancia desde una carga puntual de 8 μC el potencial eléctrico es igual a 3,6 x 104 V? Sol. 2 m

37.

Un conductor esférico tiene un radio de 14 cm y una carga de 26 μC. Calcule el campo eléctrico y el potencial eléctrico a 20 cm del centro. Sol. E = 5.844.673,05 N/C ; V = 1.168.934,61 V

223

FÍSICA GENERAL

38.

En

cierta

región,

el

campo

eléctrico

E

está

dado

por

E=5000 î – 300 μ N/C. Encuentre la diferencia de potencial VB – VA, si A = (0,0,0) y B = (0,0,5) m. 39.

Un campo eléctrico uniforme de cantidad 603 V/m está dirigido en la dirección positiva del eje X, como se ve en la figura. Las

Y

E

C

coordenadas de los puntos son:

B

A (– 0.2, – 0.3) m, B (0.4, 0.5) m Calcule

la

diferencia

X

de

potencial VB – VA utilizando la

A

trayectoria AC y CB. 40.

En el problema anterior, calcule el cambio en potencial eléctrico al ir del

B

punto A al B a lo largo de la trayectoria remarcada AB. ¿Cuál de los puntos se

A

encuentra a mayor potencial?

41.

Un pequeño objeto esférico porta una carga de 16nC. ¿A qué distancia de su centro el potencial es igual a: (a) 150Voltios, 100 Voltios y 50 Voltios? (b) La separación entre superficies equipotenciales, ¿es proporcional al cambio en V?

q

V1

V2

V3

r1

r2

r3 Líneas equipotenciales

224

FÍSICA GENERAL

42.

Dos cargas q1 = 3,0 μC y q2 = 5 μC se colocan sobre el eje X, q1 en X=– 1,0 m y q2 en X = 3,0m. Calcule el potencial eléctrico en el

punto (–1, 4) m. 43.

Dos cargas puntuales se colocan

Y

como se muestra en la figura,

P1

donde q1=+7,0 μC, q2=–4,0μC,

b

a=0,40 m y b=1,00 m. Calcule

el valor del potencial eléctrico en

a

b

q2

X

P2

los puntos P1 y P2. ¿Cuál está a

q1

mayor potencial? 44.

Obtenga una expresión para

a

VA–VB de la configuración de cargas mostrado en la figura

+q

d A

a –q

B

adjunta. 45.

+ 2q

Tres cargas puntuales se colocan en los vértices de un triángulo isósceles, como

5 cm

se muestra en la figura. Calcule el

5 cm

potencial eléctrico en el punto medio – 3q

de la base, tomando q=13,0 μC.

46.

2 cm

Considere la configuración de

q1

cargas puntuales que se indica

a

en la figura. Calcule el potencial

–q

P

q1

P

q2 a

eléctrico neto en el punto P, use q1=– 9,0 μC,

b

q2=18,0 μC,

a=0,38 m y b=1,09 m.

225

b

q2

FÍSICA GENERAL

47.

Dos cargas puntuales, q1=11,0 μC, q2=– 21,0 μC están separadas 28cm. (a) ¿Cuál es la energía potencial del par? ¿Cuál es el significado del signo algebraico del resultado? (b) ¿Cuál es el potencial eléctrico en el punto medio entre las dos cargas?

48.

Calcular el trabajo requerido para colocar cuatro cargas puntuales (– q) en los vértices del cuadrado de lado “a”.

49.

Describir una expresión para el trabajo

q

realizado para formar la configuración

a

de cargas mostrada en la figura. 50.

2q

Considere la configuración de 4 cargas puntuales

mostrada

en

la

–q

figura.

3q

b

11 μC

¿Cuánta energía debe utilizarse para

3 cm

enviar las dos cargas de 5 μC hasta el

5 μC

5 μC

9 μC

5 cm

infinito? 51.

q

Encontrar la expresión para el trabajo realizado para formar la configuración

q q

q

mostrada. (Cubo de lado “a ”) q

52.

q

q q

Un capacitor de placas paralelas tiene un área de placa de 12cm2 y una capacitancia de 7pF. ¿Cuál es la separación entre las placas? Sol. 1,517 x 10-3 m

226

FÍSICA GENERAL

53.

Un capacitor esférico esta compuesto por una bola conductora de 10cm de radio que esta centrada en el interior de un cascarón esférico conductor de 12cm de radio interior. ¿Qué carga de capacitor se requiere para alcanzar un potencial de 1000 V en la bola? Sol. 6,67 x 10-8 C

54.

Un grupo de capacitores idénticos se conecta en serie y después en paralelo. La capacitancia combinada en paralelo es 100 veces mayor que la correspondiente a la conexión en serie. ¿Cuántos capacitores están en el grupo? Sol. 10

55.

Calcular la capacidad equivalente del sistema de la figura. Calcular la carga y la diferencia de potencial entre las placas de cada condensador. La energía electrostática del sistema. Dato: la diferencia de potencial entre el extremo A y el extremo B es de 3000V. A

1uF

2uF

1/3uF 1uF

1uF

1uF

2uF

B

56.

Se carga un capacitor de 100pF hasta una diferencia de potencial de 50V, y después se desconecta la batería. A continuación se le conecta en paralelo otro capacitor (que inicialmente estaba descargado). Si la diferencia de potencial disminuye hasta 35, ¿Cuál es la capacitancia del segundo capacitor? Sol. 43 pF

227

FÍSICA GENERAL

57.

Calcular la capacitancia de la Tierra, considerándola como un conductor esférico de 6.400 Km de radio. Sol. 710 μF

58.

Demostrar que las placas de un capacitor de placas paralelas se atraen con una fuerza dada por la expresión:

59.

Un material específico tiene una constante dieléctrica de 2,8 y una intensidad dieléctrica de 18 x 106 V/m. Si este material se usa como dieléctrico en un capacitor de placas paralelas, ¿Cuál debe ser el área mínima de las placas del capacitor para tener una capacitancia de 7 x 10-2 μF de modo que el capacitor pueda soportar una diferencia de potencial de 4.000 V? Sol. 0,63 m2.

60.

Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dieléctricos, tal como se muestra en la figura adjunta. Demostrar que la capacitancia equivalente está dada por:

61.

Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dieléctricos, tal como se muestra en la figura adjunta. Demostrar que la capacitancia equivalente está dada por:

228

FÍSICA GENERAL

62.

Una esfera metálica aislada de 10 cm de diámetro tiene un potencial de 8.000 V. ¿Cuál es la densidad de energía en la superficie de las Sol.: 0,11 J/m3

esfera? 63.

Un capacitor esférico consta de dos esferas huecas concéntricas de radios a y b, en donde a > b. Demostrar que su capacitancia es:

64.

Supongamos ahora, dos condensadores idénticos que se conectan en paralelo, cargándose a una diferencia de potencial de 100 V, después de lo cual se aíslan de la batería. A continuación, se introduce en uno de los condensadores un dieléctrico (k=3) que llena completamente el espacio entre las placas. Calcular: •

La carga de cada condensador antes y después de introducir el dieléctrico.

•

La diferencia de potencial después de introducir el dieléctrico

La energía de cada condensador antes y después de introducir el dieléctrico. 65.

Suponga que una barra uniforme de resistencia R se estira uniformemente hasta cuatro veces su longitud original. ¿Cuál será su nueva resistencia, suponiendo que su densidad y resistividad permanecen constantes? Rpta.: 16 R

229

FÍSICA GENERAL

66.

Se fabrican dos conductores de cobre con la misma longitud. El conductor A es un alambre sólido de 1,0 mm de radio. El conductor B es un tubo cilíndrico de radio interior de 1,0 mm y radio exterior 2,0 mm. ¿Cuál es la relación RA / RB entre las resistencias?

Rpta.:

67.

R A rext2 − rint2 = =3 RB rA2

La resistencia de un alambre de cierto material es 15 veces la resistencia de un alambre de cobre de las mismas dimensiones. ¿Cuál es la longitud de un alambre de éste material para que tenga la misma resistencia que un alambre de cobre de longitud 2 metros, si ambos tienen el mismo diámetro. Rpta.: 13.33 cm

68.

Se tiene un alambre de aluminio cuya longitud es de 2 m y su radio de 2 mm. (a) calcule la resistencia entre sus extremos. (b) Cuál debe ser el radio de un alambre de cobre de la misma longitud, si su resistencia debe ser igual que la del alambre de aluminio? (Considere la temperatura de 20°C). Rpta.: 4,49 mΩ; 1,55 mm.

230

FÍSICA GENERAL

69.

Calcule la corriente que circula a través de la resistencia R1.

4k

4k

4k

4k

2k

+

R1

8V

70.

Encuentre el valor de la corriente I. + 12V -

5

+ 20V -

10

15

231

FÍSICA GENERAL

71.

Encuentre la resistencia equivalente del conjunto de resistencias: 3R

3R

3R 3R

3R

3R

3R

3R

3R

3R

3R

3R

72.

Encuentre la resistencia equivalente entre los terminales de entrada.

A

R

R

R

R

∞ R

R

B

R

R

R

R

232

R

R

FÍSICA GENERAL

73.

(a) Si la capacidad de una esfera es de 88 x 10-10F. ¿Cuál es el radio de la esfera? (b) Si el potencial en la superficie de la esfera es de 91 x 104 V. ¿Cuál es la densidad de carga superficial? Rpta.: (a) 79,2 m

74.

(b) 101,59 nC/m2

Considere una esfera conductora aislada cargada de diámetro 50 cm. El campo eléctrico debido a la esfera a una distancia de 32 cm de su centro tiene una cantidad de 47,5 x 103 N/C. (a) ¿Cuál es la densidad de carga superficial? (b) ¿Cuál es su capacitancia?

75.

Rpta.:2,75 μC Rpta.: 55,56 pF

Dos conductores esféricos de radios R1 y R2 están separados por una distancia lo suficientemente grande de manera que los efectos de inducción son despreciables. Las esferas se conectan a través de un alambre conductor delgado y se encuentran al mismo potencial Vrelativo a V = 0 para r = ∞. (a) Determine la Capacitancia del sistema, donde C = (q1 + q2)/ V (b) ¿Cuál es la razón q1 / q2 Rpta.: (a) (R1 + R2)/ K

76.

(b) q1 / q2 = R1 /R2

Los conductores de un capacitor de 83 μF tienen una carga en cada conductor de 70 μC (las cargas son de signos contrarios). ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los conductores? Rpta.: 0,84 V

233

FÍSICA GENERAL

77.

Dos esferas conductoras están fijas en el vacío. Cuando la diferencia de potencial entre las esferas es de 42 volt, cada esfera tiene una carga de 49 pC. Calcule la capacitancia de las esferas. Rpta.: 1,167 pF

78.

Un capacitor cilíndrico formado por un alambre y un tubo de largo 55cm, tiene una capacitancia de 3,9 nF. Si el radio del alambre es de 39mm. ¿Cuál es el radio externo requerido para el tubo? Rpta.: 39,31mm

79.

Con un cable coaxial de 39cm de longitud se construye un capacitor cilíndrico. El alambre interior tiene un radio de 4,85mm y una carga de 4,2 μC y el conductor externo tiene un radio de 5,32mm y una carga de –4,2 μC. (a) ¿Cuál es la capacitancia de éste cable?, (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre ambos conductores? Rpta.: (a) 234,25 pF

80.

(b) 17.93KV

Un capacitor cilíndrico tiene conductores interno y externo cuyos radios tienen la razón b/a=5/3. El conductor interno se reemplaza por un alambre cuyo radio es la mitad del radio del conductor original. ¿Por qué factor debería incrementar la longitud del capacitor para que tenga la capacitancia original? Rpta.: 2,36

81.

Un capacitor esférico lleno de aire se construye con una esfera metálica y un cascarón metálico concéntricos. El radio de la esfera es de 6cm y el radio interior del cascarón es de 13cm. (a) Calcule la capacitancia del dispositivo. (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre la esfera y el cascarón como resultado de tener cargas de 11μC en la esfera y de -11μC en el cascarón? Rpta.: (a) 12,38 pF

234

(b) 888,53 KV

FÍSICA GENERAL

82.

Dos cascarones esféricos concéntricos forman un capacitor de 4 nF. Si el radio externo del cascarón menor es de 42cm, ¿cuál es el valor del radio interior del cascarón mayor? Rpta.: 42,5 cm

83.

Un capacitor esférico está formado por una esfera conductora de diámetro 4 cm que está centrada en el interior de un cascarón esférico aterrizado con un diámetro de 37 cm. ¿Qué carga se requiere en el capacitor para que la esfera se encuentre en un potencial de 4000V? Rpta.: 9,96 nC

84.

Considere dos placas paralelas verticales, separadas por una distancia de 5cm. Las placas tienen la misma carga pero de signo contrario. Un pequeño objeto de masa 18gr y carga 17 nC cuelga entre las placas. Si el hilo que sostiene el objeto forma un ángulo de 20° con la vertical. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas? Rpta.: 157,52 KV

85.

Un capacitor de placas paralelas, de área 39 cm2 y separados 2,3 mm está lleno de aire. Si se aplica una diferencia de potencial de 12 V a estas placas, calcule: (a) E; (b) σ ; (c) C ; (d) q Rpta.: (a) 5217,39 V/m (b) 46,17 nC/m2 (c)180 pC

86.

Un capacitor de placas paralelas de área A=300cm2 tiene una placa aterrizada. La placa no aterrizada tiene una carga Q. Al alejar la placa no aterrizada 3cm de la placa aterrizada se observa un incremento en la diferencia de potencial de 181 V. Determine la cantidad de la carga Q. Rpta.: 1,6 nC

235

FÍSICA GENERAL

87.

A un condensador de placas paralelas se le introduce una placa conductora de espesor S y área A, si las placas del capacitor tiene la misma área y una separación d entre ellas, ¿cuál es el valor de la capacitancia del sistema?

Rpta.: C = ε0 A / (d – S)

S

d A

88.

Las placas cuadradas de un capacitor, cada una de lado a, forman un ángulo θ entre si, como se ilustra en la figura. Demostrar que cuando

θ es pequeño, la capacitancia es:

C=

89.

ε 0a 2 ⎛

aθ ⎞ ⎜1 − ⎟ d ⎝ 2d ⎠

Por la sección transversal de un alambre pasan 5 x 1014 electrones por segundo. Calcule la intensidad de la corriente eléctrica promedio. Rpta.: 80 μA

90.

Una pequeña esfera que tiene una carga de 60nC se pone a girar atada a un extremo de un hilo aislante. La frecuencia de rotación es 120π rad/sg. ¿Cuál es la intensidad de corriente eléctrica promedio debida a la rotación de la carga? Rpta.: 3,6 μA

91.

Suponga que la corriente que circula a través de un conductor decrece

exponencialmente

con

236

el

tiempo

de

acuerdo

con:

FÍSICA GENERAL

I(t)=I0e-t/τ, donde I0 es la intensidad de corriente inicial (en t=0) y τ es una constante que tiene dimensiones de tiempo. Considere que se realiza una observación en un punto interno del mismo conductor. (a) ¿Cuánta carga pasa por ese punto entre t = 0 y t = τ? (b) ¿Cuánta carga pasa entre t = 0 y t = 10τ? (c) ¿Cuánta carga pasa entre t = 0 y t = ∞? 92.

Un alambre de cobre con calibre N° 10 puede transportar una densidad de corriente máxima de 5.65 x 106 A/m2 antes de sobrecalentarse. Su diámetro es de 0,26cm. (a) ¿Cuál es la intensidad de corriente en el alambre? (b) ¿Qué cantidad de carga pasa por una sección transversal del alambre por hora? Rpta.: (a) 30A

93.

(b) 108 KC

Calcule la densidad de corriente en un alambre de aluminio que tiene radio uniforme, cuando se le aplica un campo eléctrico de 3900 V/m y la temperatura se mantiene a 20°C. Rpta.: 138,3 x 109 A/m2

94.

Por un alambre de radio uniforme de 0,26 cm fluye una corriente de 10A producida por un campo eléctrico de cantidad 110 V/m. ¿Cuál es la resistividad del material? Rpta.: 233,61 μΩ.m

237

FÍSICA GENERAL

95.

Por un alambre de plata circula una densidad de corriente de 3.0 x 107 A/m2. Determine la cantidad de la intensidad del campo eléctrico en el alambre. Rpta.: 0,477 V/m

96.

¿Cuál es el diámetro de una alambre de aluminio que tiene una resistencia por unidad de longitud de 5,4 x 10-3 Ω/m a 20°C. Rpta.: 2,58 mm

97.

Veinticinco alambres de cobre de la misma longitud L y diámetro d, se unen en paralelo para formar un cable de resistencia R. ¿Cuál debe ser el diámetro D de un solo alambre de cobre de la misma longitud L para que tenga la misma resistencia? Rpta.:

98.

25d 2

Suponga que una barra uniforme de resistencia R se estira uniformemente hasta cuatro veces su longitud original. ¿Cuál será su nueva resistencia, suponiendo que su densidad y resistividad permanecen constantes? Rpta.: 16 R

99. Una parrilla eléctrica tiene una corriente constante de 10A que ingresa al terminal positivo de su fuente de voltaje 220 V. La parrilla opera durante dos horas. (a) Encuentre la carga en Coulombs que pasa a través de la parrilla. (b) Calcule la potencia absorbida por la parrilla.

238

FÍSICA GENERAL

(c) Si la energía cuesta 0.25 centavos por kilowat-hora, determine el costo de operación de la parrilla durante dos horas. 100. Un reproductor portátil de cassettes usa cuatro baterías AA en serie para proveerle un voltaje de 6 V al circuito del reproductor. Las cuatro celdas de las baterías alcalinas almacenan un total de 200 watts/s de energía. Si el reproductor de cassettes está demandando una corriente constante de 10 mA del paquete de baterías, ¿cuánto tiempo operará el reproductor de cassettes a la potencia normal? 101. La batería de una linterna genera 3 V y la corriente que fluye por el foco es de 200 mA. ¿Cuál es la potencia absorbida. ¿Cuál es la potencia absorbida por el foco? Determine la energía absorbida por el foco en un periodo de 5 minutos. (Recuerde que: Potencia suministrada = Potencia absorbida). 102. Una batería de automóvil de larga duración de 12 V puede entregar 2 x 106 Joules en un lapso de 10 horas. ¿Cuál será la corriente que fluye por la batería? 103. En el circuito adjunto, calcule la Req y la corriente I si el voltaje de entrada es 12 V.

a I 6

30

36

72 10

b 239

9

FÍSICA GENERAL

104. Para el circuito adjunto, dado la Req = 9 Ω, encuentre la resistencia R.

a

4

R

12

24 8

b 105.

30

5

En el circuito que se muestra, determine R cuando Rab = 20 Ω

a

R

R

R R

R

R

R R

b

240

FÍSICA GENERAL

MAGNETISMO

El magnetismo se conoce desde hace muchos siglos, pero es difícil saber cómo y cuándo se descubrió. Son muchas las leyendas que han circulado sobre la llamada "piedra de imán. Una de ellas es la del pastor Magnus, del que se dice que cuando iba con su rebaño por el monte notó una fuerza que atraía su bastón de punta de hierro. La tracción era tan fuerte que el bastón se quedó pegado a la roca y no pudo separarlo. Otra leyenda muy extendida es la de la isla de la montaña de imán que atrae con gran intensidad a todos los barcos que pasan en su proximidad, hasta que los atrapa y los destruye arrancándoles todos los elementos metálicos.

Magnetismo Desde el siglo VI a. C. ya se conocía que el óxido ferroso-férrico, al que los antiguos llamaron magnetita, poseía la propiedad de atraer partículas de hierro. Hoy en día la magnetita se conoce como imán natural y a la propiedad que tiene de atraer los metales se le denomina “magnetismo”. Los chinos fueron los primeros en descubrir que cuando se le permitía a un trozo de magnetita girar libremente, ésta señalaba siempre a una misma dirección; sin embargo, hasta mucho tiempo después esa característica no se aprovechó como medio de orientación. Los primeros que le dieron uso práctico a la magnetita en función de brújula para orientarse durante la navegación fueron los árabes.

241

FÍSICA GENERAL

Como todos sabemos, la Tierra constituye un gigantesco

imán

natural;

por

tanto,

la

magnetita o cualquier otro tipo de imán o elemento magnético que gire libremente sobre un plano paralelo a su superficie, tal como lo hace una brújula, apuntará siempre al polo norte magnético. Como aclaración hay que diferenciar el polo norte magnético de la Tierra del Polo Norte geográfico. El Polo Norte geográfico es el punto donde coinciden todos los meridianos que dividen la Tierra, al igual que ocurre con el Polo Sur. Sin embargo, el polo norte magnético se encuentra situado a 1 200 kilómetros de distancia del norte geográfico, en las coordenadas 78º 50´ N (latitud Norte) y 104º 40´ W (longitud Oeste), aproximadamente sobre la isla Amund Ringness, lugar hacia donde apunta siempre la aguja de la brújula y no hacia el norte geográfico, como algunas personas erróneamente creen.

Imanes Permanentes Cualquier tipo de imán, ya sea natural o artificial, posee dos polos perfectamente diferenciados: uno denominado polo norte y el otro denominado polo sur.

Todos los imanes tienen dos polos: uno norte (N) y otro sur (S)

242

FÍSICA GENERAL

Una de las características principales que distingue a los imanes es la fuerza de atracción o repulsión que ejercen sobre otros metales las líneas magnéticas que se forman entre sus polos. Cuando enfrentamos dos o más imanes independientes y acercamos cada uno de ellos por sus extremos, si los polos que se enfrentan tienen diferente polaridad se atraen (por ejemplo, polo norte con polo sur), pero si las polaridades son las mismas (polo norte con norte, o polo sur con sur), se rechazan. Si enfrentamos dos imanes con polos diferentes se atraen, mientras que si los polos enfrentados son iguales, se repelen.

Cuando aproximamos los polos de dos imanes, de inmediato se establecen un determinado número de líneas de fuerza magnéticas de atracción o de repulsión, que actúan

directamente

sobre

los

polos

enfrentados. Las líneas de fuerza de atracción o repulsión que se establecen entre esos polos son invisibles, pero su existencia se puede comprobar visualmente si espolvoreamos limallas de hierro sobre un papel o cartulina y la colocamos encima de uno o más imanes.

243

FÍSICA GENERAL

Inducción Magnética Si cogemos un alambre de cobre o conductor de cobre, ya sea con forro aislante o sin éste, y lo movemos de un lado a otro entre los polos diferentes de dos imanes, de forma tal que atraviese y corte sus líneas de fuerza magnéticas, en dicho alambre se generará por inducción una pequeña fuerza electromotriz (FEM), que es posible medir con un galvanómetro, instrumento semejante a un voltímetro, que se utiliza para detectar pequeñas tensiones o voltajes. Este fenómeno físico, conocido como "inducción magnética" se origina cuando el conductor corta las líneas de fuerza magnéticas del imán, lo que provoca que las cargas eléctricas contenidas en el metal del alambre de cobre (que hasta ese momento se encontraban en reposo), se pongan en movimiento creando un flujo de corriente eléctrica. Es preciso aclarar que el fenómeno de inducción magnética sólo se produce cada vez que movemos el conductor a través de las líneas de fuerza magnética. Sin embargo, si mantenemos sin mover el alambre dentro del campo magnético procedente de los polos de los dos imanes, no se inducirá corriente alguna. En esa propiedad de inducir corriente eléctrica cuando se mueve un conductor dentro de un campo magnético, se basa el principio de funcionamiento de los generadores de corriente eléctrica. Ahora bien, si en vez de moverlo colocáramos el mismo conductor de cobre dentro del campo magnético de los dos imanes y aplicamos una diferencia de potencial, tensión o voltaje en sus extremos, como una batería, por ejemplo, el campo magnético que produce la corriente eléctrica alrededor del conductor al circular a través del mismo, provocará que las líneas de fuerza o campo magnético de los imanes lo rechacen. De esa forma el conductor se moverá hacia un lado o hacia otro, en dependencia

244

FÍSICA GENERAL

del sentido de circulación que tenga la corriente, provocando que rechace el campo magnético y trate de alejarse de su influencia. Cuando aplicamos una diferencia de potencial, tensión o voltaje a un conductor y lo situamos dentro de las líneas de fuerza de un campo magnético, como el de dos imanes, por ejemplo, éste será rechazado hacia uno u otro lado, en dependencia del sentido de dirección que tenga la corriente que fluye por el conductor.

El campo magnético que se crea alrededor del alambre de cobre o conductor cuando fluye la corriente eléctrica, hace que éste se comporte también como si fuera un imán y en esa propiedad se basa el principio de funcionamiento de los motores eléctricos. En la actualidad la magnetita no se emplea como imán, pues se pueden fabricar imanes permanentes artificiales de forma industrial a menor costo. En la actualidad se fabrican imanes permanentes artificiales, para su empleo, por ejemplo, en la fabricación de altavoces para equipos de audio, dinamos para el alumbrado en las bicicletas, pequeños motores para uso en juguetes o en equipos electrónicos, en la junta hermética de la puerta de los frigoríficos y, por supuesto, en la fabricación de brújulas.

245

FÍSICA GENERAL

Los parlantes de los equipos de sonido emplean comúnmente un imán permanente.

Fuerza magnética sobre una carga en movimiento Puesto que observamos interacciones entre cuerpos magnetizados, podemos decir, por analogía con los casos gravitacional y eléctrico, que un cuerpo magnetizado produce un campo magnético en el espacio que lo rodea. Cuando colocamos una carga eléctrica en reposo en este campo magnético, no experimenta fuerza alguna; pero cuando una carga eléctrica se mueve en el campo magnético se observa experimentalmente los siguientes resultados: 1. El módulo de la fuerza es proporcional al valor de la carga y al módulo de la velocidad con la que se mueve. 2. La dirección de la fuerza depende de la dirección de dicha velocidad y de la magnitud y dirección del campo magnético 3. Si la carga tiene una velocidad a lo largo de una determinada línea del campo, la fuerza es nula. 4. Si no estamos en el caso (3), la fuerza es perpendicular a la velocidad y a las direcciones definidas en (3) 5. Si la

velocidad forma un ángulo con dichas líneas, la fuerza

depende del seno de dicho ángulo. 6. La fuerza depende del signo de la carga

246

FÍSICA GENERAL

Estas observaciones experimentales lo podemos escribir, usando el producto vectorial, como:

G G G F = qV × B La fuerza es perpendicular al plano determinado por la velocidad y el campo magnético. Podemos considerarlo a esta ecuación como la definición del campo magnético en algún punto del espacio.El vector B puede variar de punto a punto en un campo magnético, pero en cada punto se encuentra experimentalmente que es el mimo para todas las cargas y velocidades. . Por lo tanto describimos una propiedad del campo magnético que es característica del campo magnético y podemos llamarla Intensidad del campo magnético; otro nombre, impuesto por el uso, es inducción magnética. Movimiento de una carga en un campo magnético

Consideremos

primeramente

el

movimiento de una carga en un campo magnético uniforme, es decir, un campo magnético que tiene la misma intensidad y dirección en todos sus puntos.

Cuando la partícula cargada positivamente ingresa al campo magnético perpendicularmente, la partícula describe una trayectoria circular cuyo plano es perpendicular al campo. La partícula describe esta trayectoria por que la fuerza F forma ángulos rectos con v y B y tiene una magnitud igual a

247

FÍSICA GENERAL

qvB. A medida que la fuerza desvía la partícula, las direcciones de v y F cambian continuamente. Por lo consiguiente, F actúa como una fuerza central, la cual cambia la dirección de v y no su magnitud. De acuerdo a la dirección que se muestra en la figura, el campo magnético, una carga positiva describe una trayectoria circular en el sentido antihorario y si la carga es negativa el sentido es el horario.positiva.

Una partícula cargada que llega con una velocidad haciendo un ángulo con el campo magnético uniforme se mueve en una trayectoria helicoidal.

Selector de velocidades. Cuando una carga está ante la presencia tanto de un campo magnético hacia adentro y de un campo eléctrico hacia abajo, experimenta una fuerza eléctrica qE hacia abajo y una fuerza magnética q vxB hacia arriba. Cuando estas

fuerzas se equilibran entre sí, la partícula se mueve en una línea horizontal a través del campo.

248

FÍSICA GENERAL

El espectrómetro de masa Dempter. Los iones después de ser acelerados entra a una región donde hay un campo magnético B donde los iones describen una trayectoria semi-circular

Botella magnética. El movimiento de una partícula en un campo magnético no uniforme es muy complicado. Por ejemplo, en el campo magnético que es intenso en los extremos y débil en la parte media como en lo que se conoce como la botella magnética. En este caso, un a partícula cargada.

249

FÍSICA GENERAL

Cuando una carga se mueve en campo magnético uniforme, es decir, un campo magnético que tiene la misma intensidad y dirección en todos sus puntos. Cuando la carga se mueve perpendicular al campo magnético, y como la fuerza es perpendicular a la rapidez, su efecto es cambiar la dirección de la rapidez sin cambiar su módulo. La aceleración es por lo tanto centrípeta y usando la definición de la fuerza, tenemos:

mv 2 = qvB r O sea el radio de la trayectoria descrita por la partícula, es:

r=

mv qB

Escribiendo v=ω r, la frecuencia angular de la partícula, es:

ω=

q B m

Si la partícula entra en el campo magnético haciendo un ángulo θ, la partícula describe una trayectoria helicoidal.

La corriente eléctrica produce magnetismo En el siglo XVIII, se buscaba una conexión entre la electricidad y el magnetismo. Se demostró que una carga eléctrica estacionaria y un imán no tienen influencia alguna. En 1820

Hans Chistian

Oersted (1777-1851)

encontró que cuando una brújula se coloca cerca de un alambre que transporta una corriente eléctrica. Lo que encontró Oersted fue que una corriente eléctrica produce un campo magnético.

250

FÍSICA GENERAL

Una brújula cuando se coloca cerca de una parte recta de un alambre portador de corriente se alinea de tal manera que queda tangente a un círculo trazado alrededor del conductor. Es decir que las línea de campos magnético que producen una corriente en un alambre recto tienen la forma de círculos, con centro en el alambre.

Figura. La desviación de la brújula cerca de un conductor con corriente indica la presencia y la dirección del campo magnético

Fuerza magnética sobre un conductor que lleva una corriente eléctrica La intensidad de la corriente eléctrica se ha definido como la carga que pasa por unidad de tiempo a través de una sección del conductor. Consideremos una sección transversal de un conductor a través de la cual se están moviéndose partículas con carga q y rapidez v. Si consideramos que hay n partículas por unidad de volumen, el número total de partículas que pasan por unidad de área en la unidad de tiempo es nv, y la densidad de corriente es:

J = nq v

251

FÍSICA GENERAL

Figura. a) Fuerza sobre un alambre portador de corriente colocado en un campo magnético B, b) La fuerza sobre el alambre pero con corriente en sentido contrario. Si S es el área de la sección del conductor perpendicular a J, la corriente es el escalar:

I = jS = nqvS. Llevamos el conductor a un campo magnético. La fuerza sobre cada carga esta dada por la ecuación de la fuerza magnética y como hay n cargas por unidad de volumen, la fuerza f por unidad de volumen es:

G f = nqv x B = j x B

252

FÍSICA GENERAL

Y la fuerza total sobre un pequeño volumen dV del medio es:

d F = f dV = j x B dv Y la fuerza total sobre un volumen finito será. F = ∫ jxB dV vol

Consideremos ahora el caso de un alambre delgado de sección uniforme S. El volumen elemental es Sdl, entonces la fuerza sobre un segmento de alambre la fuerza será:

F = jxB(sdl )

Si, consideramos que J = j uˆ t ,donde ut es el vector tangente al eje del filamentoentonces la ecuación anterior lo podemos escribir:

F = ∫ ( juˆT ) xBSdl = ∫ ( jS )uˆT xBdl Entonces la fuerza será:

F = ILuˆ x B T El conductor esta sujeto a una fuerza perpendicular a él y al campo magnético. Si θ es el ángulo entre el conductor y el campo magnético, el módulo de la fuerza F es

F = ILBsenθ La fuerza es cero si el conductor es paralelo al campo ( θ = 0 ) y máxima si es perpendicular a él ( θ = π/2) . El sentido de la fuerza se encuentra aplicando la regla de la mano derecha.

253

FÍSICA GENERAL

Campo magnético debido a un cable recto El campo magnético de un cable recto muy grande esta dado por

μo I  e 2π r θ

B= Donde μo = 4πx10 -7 Tm/A

Fuerza entre dos conductores paralelos Si por dos conductores rectilíneos paralelos de longitud l, separados una distancia r, y por los cuales circulan las corriente I1 ye I2, respectivamente. El modulo de la inducción magnética

creada a una distancia r, por la

corriente I1, es:

μ I  B = o 1e 2π r θ Y la fuerza ejercida sobre la corriente I2, situada en este campo, es:

F=

μ o I1 I 2 L 2π r

EJERCICIOS PROBLEMA N°1

Un electrón con una rapidez de 10

6

m/s entra a una región donde hay un

campo magnético. Encontrar la intensidad del campo magnético si el electrón describe una trayectoria circular de radio r = 0,1m. También encontrar la rapidez angular del electrón.

254

FÍSICA GENERAL

Solución

Si la

m e = 9,11x1031 kg, q =1,6 x 10 19 C. r = 0,1 m y v = 106 m/s

A partir de la ecuación de la fuerza magnética, tenemos: B=

mv qr

Remplazando en la ecuación anterior, obtenemos

B=

(9,11x1031 kg )(106 m / s ) = 5, 68 x10−5 T (1, 6 x1019 C )(0,1m)

Ahora, de la ecuación de la frecuencia angular, tenemos:

ω=

1, 6 x1019 C (5 x10−5 T ) = 0,878 × 10−17 Hz 31 9,11x10 kg

PROBLEMA N°2

Por un conductor pasa una corriente de 30 A que tiene una longitud de 12cm entre las caras polares de un imán, y hace un ángulo de 60 º con la dirección del campo magnético. La intensidad del campo magnético es 0,90T y es uniforme. ¿Cuál es la fuerza sobre el conductor? Solución

A partir de la ecuación de la fuerza magnética, vemos que: F = IlB senθ = (30 A ) (0,12 m) (0,90T) (0,866) = 2,8N PROBLEMA N°3

Un alambre de 60cm de longitud y 10g de masa se suspende mediante un par de hilos flexibles dentro de un campo magnético de 0,40 T. ¿Cuáles son

255

FÍSICA GENERAL

la cantidad y la dirección de la corriente necesaria para eliminar la tensión en los hilos que soportan al alambre Solución

Establecemos el sistema coordenado

y

x z

Si la corriente esta dirigida en la dirección negativa del eje x, entonces   ut = - i y el campo magnético esta en la dirección del eje z, tenemos  B = Bk . De la relación de la fuerza para una corriente en un campo magnético:

 F = IL ut × B Remplazando los el vector ut y el campo magnético, tenemos    F = ILB ( i x k) = ILB j La fuerza magnética esta en dirección del eje y, y la fuerza debido a la gravedad esta dirigida en dirección del eje y negativa, para que la tensión en los soportes sea cero se tiene: Fm = F g ILB = mg

I=

mg 10x10−3 kgx9,8m / s2 = = 0, 4 A 0,6mx.40T LB

256

FÍSICA GENERAL

PROBLEMA N°4

Un cable conductor vertical por el que transporta hacia arriba una corriente de 25 A. ¿Cuál es el campo magnético en un punto situado a 10cm de la corriente? Solución

Usando la formula, del campo magnético de un alambre, tenemos: B=

4π x10−7 Tm / Ax 25 A = 5, 0 x10−5 T 2π x0,1m

PROBLEMA N°5

Dos conductores largos paralelos, separados por una distancia a=10 cm, llevan corrientes en la misma dirección. Si I1 = 5A e I2 = 8A, ¿Cuál es la fuerza por unidad de longitud sobre cada alambre debido al otro? Solución

Usando la formula para la fuerza entre dos conductores tenemos, dividiendo lo por l, tenemos: F/L=

(4π x10−7 T .m / A)(5 A) x(8 A) = 80, 0 μ N / m 2π x(0.1m)

PROBLEMA N°6

Dos conductores largos paralelos llevan corrientes I1= 3 A e I2 = 3A, ambas dirigidas hacia el interior de la pagina, ver figura. Los conductores están separados por una distancia de 13 cm. Determine la cantidad y la dirección del campo magnético resultante en el punto P, localizado a 5 cm desde I1 y a 12cm desde I2

257

FÍSICA GENERAL

Solución

Como el triángulo es un triangulo notable tenemos el ángulo entre ellos es 90º. Los campos magnéticos de cada una de la corriente es: B1 =

4π x10−7 Tm / Ax3 A 4π Tm7 Ax3 A = 12 x10−6 T y B2 = = 50 x10−6 T 2π x0, 05m 2π X .12 M

Y los campos son perpendiculares aplicamos Pitágoras 2

B 2 = B1 + B 2

(12 x10 − 6 T ) 2 + (50 x10 − 6 T ) = 13x10 − 6 T

B=

PROBLEMAS 1.

Un

campo

uniforme

B

Z

magnético esta

en

la

dirección 0y, como se muestra en la figura. Encontrar el módulo y la dirección de la fuerza que experimenta carga

q,

cuya

una

Y

rapidez

instantánea es v, para cada una de las direcciones que se muestra en la figura.

258

X

FÍSICA GENERAL

2.

La fuerza sobre un conductor que lleva 25,0 A es de 4,14N como máximo cuando se coloca entre las caras polares de un imán. Si estas caras tienen 22,0 cm de diámetro, ¿cuál es la intensidad aproximada del campo magnético. Rpta.: 0.753T

3.

Calcule la cantidad y la dirección de la fuerza sobre un electrón que viaja a 5,36x10

6

m/s en dirección horizontal hacia el este, cuando

hay un campo magnético uniforme con dirección vertical hacia arriba y de 1,430 T de intensidad. Rta.: 1,11x10 -12 N hacia el sur

4.

Determine la dirección de B para cada uno de los casos de la figura, donde F es la fuerza sobre una partícula de carga positiva que se mueve con una rapidez v

5.

Un protón se mueve en una trayectoria circular, en dirección perpendicular a un campo magnético de 1,15T. El radio de su trayectoria es de 9,30 mm. Calcular la energía del protón en eV. Rpta.: 5,48eV

6.

Una partícula de carga q se mueve en una trayectoria circular de radio r en un campo magnético uniforme B. Demuestre que su cantidad de movimiento es p= q B r.

7.

¿Cuáles son la cantidad y la dirección de la fuerza entre dos alambres paralelos de 80cm de largo, y cada uno de los cuales lleva una corriente de 35 A en la misma dirección. Rpta.: 0,25 N fuerza de atracción.

259

FÍSICA GENERAL

8.

Una brújula colocada horizontalmente se encuentra a 20 cm al sur de un alambre recto vertical que lleva una corriente de 30 A hacia abajo. ¿En que dirección apunta la aguja de la brújula? Suponga que la componente horizontal del campo magnético terrestre en este punto es de 0,45 x10 -4 T y que la inclinación magnética es de 0º. Rpta.: 34º, de atracción.

9.

Un corriente de protones pasa por un punto dado del espacio a razón de 10 9 protones por segundo. ¿Qué campo magnético producen estos protones a una distancia de 2,0m del haz?. Rpta.: 1,6x10-10T

10.

Tres alambres largos paralelos están separados entre si 38,0 cm (si se les miran de frente, sus secciones transversales se encuentran en los tres vértices de un triángulo equilátero)

La corriente que fluye por

cada alambre es de 8,0 A, pero la del alambre A fluye en dirección opuesta a la de los alambres B y C(ver figura) Determine la fuerza magnética por unidad de longitud ejercida en cada alambre. Rpta.: 5,8x10-5 N;3,4x10-5; 3,4x10-5 N

11.

Un protón moviéndose con una rapidez de 4 x106 m/s a través de un campo magnético de 1,7T experimenta una fuerza magnética de 8,2x10-13 N. ¿Cuál es el ángulo entre la rapidez del protón y el campo magnético? Rpta.: 48.8º o 131º.

260

FÍSICA GENERAL

12.

Se acelera protones a través de una diferencia de potencial de 106 V partiendo del reposo. Luego se los inyecta en una región donde hay un campo magnético uniforme de 2 T, con la trayectoria perpendicular al campo. Cual será el radio de la trayectoria y la rapidez angular de los protones?

261

FÍSICA GENERAL

262

FÍSICA GENERAL

ELECTROMAGNETISMO Electromagnetismo En 1820 el físico danés Hans Christian Oerted descubrió que entre el magnetismo y las cargas de la corriente eléctrica que fluye por un conductor existía una estrecha relación. Cuando eso ocurre, las cargas eléctricas o electrones que se encuentran en movimiento en esos momentos, originan la aparición de un campo magnético tal a su alrededor, que puede desviar la aguja de una brújula. Si cogemos un trozo de alambre de cobre desnudo, recubierto con barniz aislante y lo enrollamos en forma de espiral, habremos creado un solenoide con núcleo de aire. Si a ese solenoide le aplicamos una tensión

o

voltaje,

desde

el

mismo

momento que la corriente comienza a fluir por las espiras del alambre de cobre, creará un campo magnético más intenso que el que se origina en el conductor normal de un circuito eléctrico cualquiera cuando se encuentra extendido, sin formar espiras.

263

FÍSICA GENERAL

Bobina solenoide con núcleo de aire construida con alambre desnudo de cobre enrollado en forma de espiral y protegido con barniz aislante. Si a esta bobina le suministramos corriente eléctrica empleando cualquier fuente de fuerza electromotriz, como una batería, por ejemplo, el flujo de la corriente que circulará a través de la bobina propiciará la aparición de un campo magnético de cierta intensidad a su alrededor.

Después, si a esa misma bobina con núcleo de aire le introducimos un trozo de metal como el hierro, ese núcleo, ahora

metálico,

provocará

que

se

intensifique el campo magnético y actuará como un imán eléctrico (o electroimán), con el que se podrán atraer diferentes objetos metálicos durante todo el tiempo que la corriente eléctrica se mantenga circulando por las espiras del enrollado de alambre de cobre. Bobina solenoide a la que se le ha introducido un núcleo metálico como el hierro (Fe). Si comparamos la bobina anterior con núcleo de aire con la bobina de esta ilustración, veremos que ahora las líneas de fuerza magnética se encuentran mucho más intensificadas al haberse convertido en un electroimán.

Cuando el flujo de corriente eléctrica que circula a través del enrollado de cobre cesa, el magnetismo deberá desaparecer de inmediato, así como el efecto de atracción magnética que ejerce el núcleo de hierro sobre otros metales. Esto no siempre sucede así, porque depende en gran medida de las características del metal de hierro que se haya empleado como núcleo del electroimán, pues en algunos casos queda lo que se denomina "magnetismo

264

FÍSICA GENERAL

remanente" por un tiempo más o menos prolongado después de haberse interrumpido totalmente el suministro de corriente eléctrica.

Ley de Faraday de la inducción electromagnética Faraday en su intento por producir una corriente eléctrica utilizo el equipo mostrado en la figura. conecto una bobina X a una batería. La corriente qué fluye por la bobina es intensificado por el núcleo de hierro. Faraday espera que si utiliza una batería lo suficientemente potente, una corriente estacionaria

en X produciría un campo magnético lo suficientemente

grande como para originar una corriente en una segunda bobina Y, incluía un galvanómetro que detectaría la corriente, pero el efecto esperado no sucedió, pero vio que la aguja del galvanómetro respondía de manera notable en el momento de cerrar y al abrir dicho conector.

Faraday concluyó que, si bien un campo magnético estacionario no produce una corriente eléctrica, un campo magnético variable era capaz de de producir una corriente eléctrica. A tal corriente se le llama corriente inducida.

265

FÍSICA GENERAL

También investigó de manera cuantitativa los factores que influyen en la cantidad de la fem inducida. En primer lugar, descubrió que depende del tiempo, mientras más rápido cambia el campo magnético, mayor es la fem inducida. Más bien es proporcional a la tasa de cambio del flujo magnetico, B,

que pasa a través de la espira de área A, y que se define como.

ΦB = B⊥ A = BA cos θ Donde θ es el ángulo entre el vector unitario perpendicular a la superficie y el campo magnético

Figura que aclara la definición del flujo magnético.

La ley de Faraday se expresa por: Si el flujo por N espiras de cable varía en una cantidad ΔΦm durante un tiempo Δt , la fem inducida prodio durante este tiempo es:

ε = −N

ΔΦ m (volts) Δt

A este resultado fundamental se le conoce como Ley de Inducción de Faraday, y es una de las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo.

266

FÍSICA GENERAL

La fem inducida en un circuito cerrado colocado en un campo magnético variable es igual al negativo del cambio por unidad de tiempo, del lujo magnético a través del circuito.

Cuando el circuito es de forma arbitraria se puede expresar en la forma mostrada por la ecuación:

( )

d G G ∫ E.dl = − dt B.ds

El signo menos en la ecuación anterior tiene el propósito de recordadnos la dirección en la fem inducida. Los experimentos demuestran que una fem inducida produce siempre una corriente cuyo campo magnético es opuesto al cambio original del flujo. A esto se le conoce como ley de Lenz.

EJERCICIOS PROBLEMA N°1

El flujo magnético por una bobina que contiene dos circuitos cambia de – 30 Wb a+ 25 Wb en 35 s. ¿Cuál es la fem que se induce en la bobina? Solución

Usando la formula

ε=N

Δφ 25Wb − (−30Wb) =2 = 314,3vots Δt 0,35s

PROBLEMA N° 2

Una bobina circular de 30 vueltas de 4,00 cm de radio y 1,00Ω de resistencia se pone un campo magnético dirigido perpendicular al plano de la bobina. La cantidad del campo magnético varía en el tiempo de acuerdo

267

FÍSICA GENERAL

con la expresión B =0,010t +0,040t

2

, donde t está en segundos y B está

en teslas. Calcule la fem inducida en la bobina en t = 5,00s Solución ε = −N

dΦ d ( BA) = −N dt dt

Como el área A es constante, tenemos que:

ε = AN

dB d (0, 4t 2 + 0, 01t ) = −π r 2 N = −(30)(3,14)(0, 04m) 2 (0,8 x5 + 0, 01) dt dt

ε = −604, 710−3 volts PROBLEMA N°3

Una espira plana de alambre que consta de una sola vuelta de área se sección transversal igual a 8,00cm2 es perpendicular a un campo magnético cuya cantidad aumenta uniformemente de 0,500T a 2,50T en 1,00s ¿Cuál es la corriente inducida resultante si la espira tiene una resistencia de 2.00Ω Solución

ε=N

ΔΦ Δt

Para t = 0s Φ = (0,5T)(8x10 -4m2) y t= 1s : Φ = (2,5T)(8x10-4 m2) Remplazando en la fórmula anterior, tenemos

⎛ 20 x10 −4 Tm 2 − 4 x10 −4 Tm 2 ε = 1× ⎜ ⎜ 1s ⎝

⎞ ⎟ = 16 x10 − 4 Volts ⎟ ⎠

Entonces la corriente es:

ε=

I R

y I = ε R = 16x10-4 Volts x2 Ω = 3,2 Amp

268

FÍSICA GENERAL

PROBLEMA N°4

Considere el arreglo mostrado em la figura. Suponga que R=6,00 Ω, l=1,2m y un campo magnético uniforme de 2,50T apunta hacia adentro de la pagina.¿ A qué rapidez debe moverse la barra para producir una corriente de 0,500 A en el resistor?

ε=

ΔΦ BΔA BlvΔt = = = Blv . Como ε = IR = Blv , entonces, tenemos: Δt Δt Δt

v=

IR (0,500 A) x(6, 0Ω) = = 1m / s 2,5Tx1, 2m Bl

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Una espira con 16 cm de diámetro se encuentran en un campo magnético de 0,10T. Si se saca del campo en 0,15s. ¿cuál será la fem promedio inducida? Rpta.: 0,15volts

2.

Un campo magnético que cambia con el tiempo, pero que es uniforme en el espacio, tiene la dirección del eje x. Se coloca una espira conductora de 7cm de diámetro, y 1,5 x10

269

-3

Ω de resistencia,

FÍSICA GENERAL

en el plano yz. Si la corriente en la espira es 2 A, ¿Con que rapidez cambia el campo magnético? Rpta.: 0,78 T/s i

3.

Un circuito rectangular que se muestra en la figura, se empuja hacia la izquierda, fuera del campo magnético que apunta hacia la página. ¿En que dirección señala la corriente inducida? Rpta sentido opuesto a las manecillas del reloj.

4.

Una bobina de 6cm de diámetro consta de 100 espiras con una resistencia total de 5Ω. Colocada entre los polos de un electroimán, perpendicularmente al flujo, y retirada bruscamente del campo, un galvanómetro de 595Ω comentado a la bobina acusa el paso de una carga eléctrica de 10-4 C. Calcular el campo magnético B entre los polos del electroimán. Rpta.: 0,212 T

5.

Una espira pequeña de área A se encuentra dentro de un solenoide largo de n vueltas por unidad de longitud y en el circula una corriente I; el eje de la espira está en la misma dirección que el eje del solenoide. Si I = Io sen wt, determine la fem inducida en la espira Rpta.: μnAIowcoswt.

6.

Un disco de cobre de 10 cm de radio gira alrededor de su eje con una rapidez de 20rps y está situado en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme de inducción 0,6 T. Hallar la fem inducida entre un punto de la periféria y el centro del disco.

270

FÍSICA GENERAL

7.

Una espira vertical

gira con rapidez

angular w, como se ve en la figura. Cuando el tiempo t=0, esta alineada perpendicularmente

a

un

campo

magnético constante en la dirección x. Use la ley de Lenz para determinar la dirección de la fuerza electromotriz en la espira, cuando t=0, t=T/4, t=T/2, siendo T el periodo de rotación de la espira. 8.

Una bobina de 125 vueltas, de 2,0cm de radio, y cuya resistencia es 3,0 Ω, gira cobre un diámetro, dentro de un campo magnético uniforme de 0,50 T. ¿A qué rapidez debe girar para producir una corriente máxima de 6,0 A en la bobina? Rpta.: 37Hz (2,3 x 10 2 rad/s ).

271

FÍSICA GENERAL

272

FÍSICA GENERAL

INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA

A finales del siglo XIX, la Mecánica Clásica era capaz de explicar todos los fenómenos físicos conocidos, de manera que nadie dudaba de la veracidad de sus postulados. Así, por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell habían mostrado con gran éxito la naturaleza electromagnética de la luz y parecía que también cerraban el último capitulo del electromagnetismo. La satisfacción científica era total pues bien las ecuaciones de Newton, y las de Maxwell, explicaban todos los fenómenos conocidos. Sin embargo existían algunas excepciones. En primer lugar, las predicciones de la teoría clásica no podrían explicar los resultados experimentales sobre un fenómeno concreto: la radiación del cuerpo negro. Más adelante, la teoría clásica falló también para

explicar el efecto fotoeléctrico, que

consiste en la emisión espontánea de electrones por un metal al ser iluminado con “luz” ultravioleta. Otros experimentos posteriores pusieron también en entredicho la naturaleza ondulatoria “clásica” de la radiación electromagnética. Poco a poco se hizo más evidente la necesidad de una revisión de los conceptos en los que se apoyaba la Física Clásica, principalmente a escala atómica. A lo largo de este capitulo explicaremos algunos de los fenómenos mencionados, dónde fallaba la teoría clásica y cuál fue la solución que se encontró. Todo ello nos llevara por caminos independientes a la existencia de una constante (de Planck) de importancia capital en la Física Cuántica o moderna. Trataremos, cada uno de los fenómenos, que no pudo explicar la física clásica, comenzamos por:

273

FÍSICA GENERAL

Radiación del cuerpo negro Radiación térmica: La radiación que emite cualquier cuerpo debido a su

temperatura se denomina radiación térmica. El mecanismo de emisión es el siguiente: imaginemos una sustancia cualquiera a una cierta temperatura. Si la temperatura fuera de T=0K las partículas (átomos, moléculas, iones o electrones) que lo componen estarían completamente quietas. A una temperatura distinta de cero, sin embargo, el movimiento térmico de esas partículas es proporcional a su temperatura. Como consecuencia, las partículas cargadas sufren continuas aceleraciones y deceleraciones bruscas de manera que emitirán mayor cantidad de energía. Suponiendo que la temperatura del cuerpo es inicialmente mayor que la de su entorno, la radiación que emite es mayor que la que absorbe y por tanto sufre una pérdida de energía. A medida que irradia su temperatura disminuirá, hasta llegar a una temperatura que es exactamente igual a la que tiene su entorno. En esta situación, denominada de equilibrio térmico, la radiación que el cuerpo continúa emitiendo es igual a la radiación que absorbe del entorno, de modo que el cuerpo no gana ni pierde energía. La materia en estado condensado (sólido o líquido) emite un espectro de radiación continuo que, en términos generales, depende ligeramente de su composición, y en gran medida de su temperatura. Sin embargo, se encuentra experimentalmente que hay una clase de objetos que, independientemente de su composición, emiten espectros térmicos de características universales: son los llamados “cuerpos negros”. Se denominan así porque son objetos que absorben toda la radiación que incide sobre ellos, en particular la radiación visible, y por

eso se ven de color negro. De hecho, cualquier material recubierto de una capa negra, como negro humo, se comporta casi como un cuerpo negro. La figura

muestra el espectro de emisión del cuerpo negro para distintas

temperaturas. En el eje de ordenadas se representa la cantidad denominada

274

FÍSICA GENERAL

radiancia espectral RT (ν), definida de modo que la cantidad RT (ν) dν sea igual al flujo de energía emitida por el cuerpo negro en el intervalo de frecuencias comprendido entre ν y ν +dν

(recuérdese que el flujo de

energía es energía por unidad de superficie y por unidad de tiempo, o sea, tiene dimensiones de potencia por unidad de área). Como se puede observar, para cada temperatura existe una frecuencia para la cual la radiancia espectral es máxima (correspondiente al máximo de la curva mostrada en la figura, es decir, una frecuencia a la que se emite una mayor cantidad de energía. Este máximo se desplaza, de una forma lineal, hacia zonas de mayores frecuencias al aumentar la temperatura. La frecuencia para la cual la radiancia espectral es máxima verifica la denominada ley de desplazamiento de Wien:

Dado que v max =

c

λmáx

T = cte v máx

, siendo c la rapidez de la luz, que también es

constante, la anterior ecuación puede escribirse como:

λ máx .T = K w Donde Kw, se llamada constante de Wien, tiene el valor de 2,898x10-8 m K.

Figura 1. radiancia espectral del cuerpo negro para varias temperaturas

275

FÍSICA GENERAL

PROBLEMAS 1.

Suponiendo que los siguientes objetos se comportan como un cuerpo negro, es decir, se comportan como en la figura 1, calcular:

(a)

La temperatura superficial del sol, sabiendo que la longitud de onda para la cual la radiación solar es máxima es λmáx = 5100 Å. La ley de Wien nos permite estimar que el valor promedio de la temperatura en la superficie del sol es:

T= (b)

KW

λmáx

=

2,898 x10 −8 mK = 5682 K ≈ 5700 K 5100 x10 −10 m

La longitud de onda del máximo de la radiación emitida por un cuerpo humano, cuya temperatura es de unos 37º C o 308K. De nuevo utilizamos la ley de Wien para obtener que:

λmáx =

0 2,898 x10 −3 mK = 9,4 x10 6 m = 94000 A 308K

Longitud de onda que se encuentra en el infrarrojo lejano.

Figura.2. El cuerpo negro como una cavidad

Para estimar la energía total que el cuerpo emite por unidad de tiempo y de área, se debe evaluar el flujo de energía radiada por

276

FÍSICA GENERAL

unidad de área. Esta cantidad, denominada radiancia RT y cuya unidad en el S. I. es el W/m2, se define como: ∞

RT = ∫ RT (v)dv 0

La radiancia coincide con el área encerrada bajo las curvas de la figura 1, y su valor depende fuertemente de la temperatura. El ritmo de emisión H de energía por radiación es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta T, lo que constituye la ley de Stefan-Boltzman. Teniendo en cuenta que RT y H están relacionadas, siendo RT = H/A, donde A es el área de la superficie de emisión (en este caso A es la sección transversal del orificio de la cavidad), se puede escribir la ley de Stefan para la radiancia como:

RT = σ T 4 es decir, la radiancia RT o flujo de energía total que emite el cuerpo negro es también

proporcional a la cuarta potencia de la

temperatura absoluta (medida en K). Recuérdese que la constante σ es

la

denominada

constante

de

Stefan,

cuyo

valor

es

σ=5,67×10−8W /m2 K4. 2.

La energía radiada al espacio por el sol a través de su superficie proviene de la paulatina conversión de su masa (Δm) en energía (ΔE) según la celebrada ecuación de Einstein, ΔE=Δmc2, donde c es la rapidez de la luz. Suponiendo que su superficie se comporta como un cuerpo negro cuya temperatura es T ≈ 5700K y con una superficie de 6,1×1018m2, calcular la cantidad de masa perdida diariamente por el sol.

277

FÍSICA GENERAL

La energía radiada en un tiempo Δt por un cuerpo de superficie S y temperatura T es, según la ley de Stefan:

ΔE = RT S Δt = σSΔt T4 Combinando esta ecuación con ΔE=Δmc2, se encuentra la siguiente expresión para la masa perdida en un intervalo de tiempo Δt:

ΔE σ S ΔtT 4 Δm = 2 = c c2 Substituyendo los valores correspondientes al sol y a un periodo de un día, se tiene que: Δm =

= (5,67 × 10 - 8 W/m 2 K 4 )(6,1 × 1018 m 2 )(86400 s/día)(5700 4 K 4 ) = 3,5 x1014 Kg 2 (3 × 108 m/s) .

Dicho de otro modo, el sol pierde del orden de 350000 millones de toneladas al día.

Teoría clásica de la radiación del cuerpo negro

Figura 3. El modelo de Jeans y Rayleygh

278

FÍSICA GENERAL

Una manera de obtener un cuerpo negro para el estudio experimental de su radiación es teniendo una cavidad en un sólido (figura 2) que esté recubierta de pintura negra y que tenga un pequeño agujero. Cualquier radiación que llega al agujero e incide dentro de la cavidad se refleja en el interior, de tal forma que la probabilidad de que esa radiación vuelva a salir por el agujero es prácticamente nula. En estas circunstancias el agujero se puede considerar como la superficie de un cuerpo negro, pues cualquier radiación que llega a él es absorbida. Al encontrarse las paredes internas de la cavidad a una temperatura T, emiten una radiación térmica, una pequeña fracción de la cual escapa por el agujero. De esta forma el agujero actúa como un cuerpo negro emitiendo radiación térmica. Esa radiación no es sino una muestra de la existente en el interior de la cavidad, y por tanto es indiferente estudiar la radiación que emite el agujero o la que llena la cavidad. Este último punto de vista es el más adecuado, de manera que en vez de estudiar la cantidad RT (ν) o flujo de energía, se estudia la densidad espectral de energía ρT (ν) que hay dentro de la cavidad.

Teoría clásica de la radiación del cuerpo negro Durante mucho tiempo se trató de desarrollar un marco teórico clásico, que pudiera reproducir matemáticamente las curvas de la figura 1. Sin embargo, las predicciones basadas en las hipótesis clásicas fallaban totalmente. A principios del siglo XX, Jeans y Rayleigh hicieron diversos cálculos para evaluar la densidad espectral de energía ρT (ν) de la radiación en una cavidad (y por tanto, la radiación del cuerpo negro), y llegaron a resultados que estaban en franca contradicción con los experimentos (figura 3). Sus cálculos se basaban en los resultados clásicos conocidos de la radiación

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FÍSICA GENERAL

electromagnética, en la línea siguiente: supóngase una cavidad con paredes metálicas que es calentada hasta una temperatura uniforme T. En la formulación de la teoría de Jeans y Rayleigh no hace falta entrar en detalles de cómo emiten las paredes, sino sólo suponer que en el interior de la cavidad existe el equilibrio térmico, es decir, que la temperatura del interior es también T. En el equilibrio es necesario que las ondas electromagnéticas en la cavidad sean estacionarias, con nodos en las paredes de la cavidad. Es posible evaluar el número de ondas estacionarias con frecuencias comprendidas entre ν y ν+ dν utilizando argumentos geométricos sencillos6. Este número resulta ser: N (υ )dυ =

8πV 2 υ dυ c3

donde V es el volumen de la cavidad. Basándose en resultados de la teoría cinética de los gases , que es aplicable no sólo a moléculas de un gas, sino a cualquier ente físico, por ejemplo ondas electromagnéticas, que formen un sistema en equilibrio termodinámico, se puede evaluar la energía promedio de cada onda utilizando el principio de equipartición de la energía. El resultado (clásico) que se obtiene es que esta energía promedio depende solamente de T, y para nada de ν:

ε = k BT donde kB=1,381 J/K es la constante de Boltzman, Multiplicando la energía de cada onda por el número de ondas en el intervalo entre ν y ν + dν se obtiene la energía total que tienen todas las ondas cuya frecuencia está comprendida en dicho intervalo:

8πv 2 k B T ε total (ν )dv = ε N (v)dv = Vdv c3 de modo que dividendo por el volumen V se obtiene la densidad de energía en el citado intervalo de frecuencia:

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FÍSICA GENERAL

ρ T (v)dv = ε

ε N (v ) V

dv =

8πv 2 k B T dv c3

Que es la fórmula clásica de Rayleigh-Jeans para la radiación del cuerpo negro. La función ρT (ν) es la representada en la figura 3. Puede verse que sólo coincide con la curva

experimental para muy bajas frecuencias. A

medida que aumenta ν , ρT (ν) →∞ proporcionalmente a ν2. Si esto fuera cierto, el área bajo la función ρT (ν) seria infinita. La preedición de la teoría clásica seria entonces, que tanto la densidad de energía de la radiación en la cavidad, ρT, como la radiancia RT son infinitas, lo cual es imposible. La teoría clásica no puede explicar las características de la radiación del cuerpo negro y, en concreto, la forma de la función ρT (ν) mostrada en la figura 1.

Teoría de Planck de la radiación del cuerpo negro La expresión, que da el número de ondas en un intervalo entre ν y ν + dν es básicamente correcta. El único punto en el que el razonamiento clásico puede fallar es , la energía promedio. Admitir que no es valida equivale a asumir que el principio de equipartición de la energía no se cumple a altas frecuencias para la radiación electromagnética en una cavidad, lo que entra franca contradicción con las hipótesis clásicas. De la figura 3 se puede deducir que a bajas frecuencias la energía medida tiene el valor kT, pues la predicción clásica y la experiencia coinciden. Pero también se puede deducir que a altas frecuencias la energía promedio

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FÍSICA GENERAL

tiende a cero, lo que obligaría a la curva ρT (ν) a tender Saint`0oticamente a cero con ν. Todo parece indicar que no se puede admitir la ecuación clásica, donde

ε no depende de, sino que hay que admitir una

dependencia ε (ν ) , que será también por supuesto función de T.

Planck se dio cuenta de que todo se podía encajar si en vez de considerar la energía como una variable continua, era considerada como una variable discreta. Sea cual sea la dependencia de ε con ν debe verificarse que:

ε (v) → KT cuando ν→ 0 ( límite clásico ) ε → 0 cuando υ → ∞ (imposición exp erimental) Planck supuso que la energía total " de un oscilador sólo podría tomar determinados valores discretos y uniformemente distribuidos, es decir, supuso que " sólo podía tomar los valores

ε = 0, Δε, 2Δε, 3Δε, . . . A partir de consideraciones estadísticas (en las que no entraremos), Planck dedujo. Que Δε (el intervalo uniforme entre dos valores consecutivos de la energía) es función de la frecuencia, es decir:

Δε = f (v) y además supuso que la función f(ν) era lineal:

Δε = h ν

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FÍSICA GENERAL

donde h es una constante cuyo valor era, en principio, desconocido por Planck. Con el

tiempo, h ha resultado ser una de las constantes más

importantes de la Física y ha sido denominada, en su honor, constante de Planck. Su valor numérico se indicará más adelante. La ecuación anterior indica que la separación entre dos estados de energía de la radiación aumenta con la frecuencia ν de la misma. De este modo, para pequeños valores de ν se tiene que Δε→ 0, y el paso de un nivel de energía al inmediatamente superior es prácticamente continuo, es decir, no hay cuantización apreciable de la energía (limite clásico). Sin embargo, para frecuencias altas no se puede considerar que la energía varié de forma continua sino a saltos de altura hν. La figura 4 ilustra este resultado. Solo podemos tener una energía total en los niveles señalados, no entre dos niveles. Si tomamos ν más pequeño que en a) los niveles de energía se juntan más y en el límite ν→0 tienden a confundirse.

Figura 4. Dos espectros de energías discretos a) con ν pequeño, b) con ν grande

283

FÍSICA GENERAL

El postulado de Planck era revolucionario. Hay que recordar que en la cavidad y en el equilibrio térmico, la radiación está en equilibrio con la materia. Esta absorbe y emite energía en cantidades iguales. La radiación que existe en la cavidad es la que emiten las cargas eléctricas de sus paredes que, debido a la agitación térmica, se comporta como un conjunto de osciladores armónicos. Clásicamente, una carga oscilando con frecuencia ν emite energía de forma proporcional al cuadrado de la frecuencia y de la amplitud. Por tanto, clásicamente, para una frecuencia dada ν basta ajustar la amplitud de la oscilación para obtener cualquier energía. Sin embargo, el postulado de Planck prohíbe todas la energías que no cumplan las relaciones, es decir, sólo admite energías ε=0, hν, 2hν, 3hν, . . . , nhν. A partir de las hipótesis Planck dedujo cuál debería ser el valor promedio de la energía en función de ν y T, es decir, la expresión “cuántica” que remplaza es:

hv

ε (v ) = e

hυ kT

−1

Se puede verificar fácilmente que esta expresión cumple que todos los requerimientos experimentales. Siguiendo el mismo razonamiento se obtiene la expresión correcta para la densidad espectral en la forma:

ρ T (υ )dv = La forma de función ρT(ν)

8π v 2 c3

hv e

hv kT

dv

−1

coincide extraordinaria bien con los datos

experimentales y el valor de la constante de Planck es: h = 6,62606876(52) × 10−34 J · s

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FÍSICA GENERAL

El ajuste es tan bueno de la ecuación anterior con los datos experimentales es una prueba de que la hipótesis de Planck debe ser acertada. Por otro lado, integrando la ecuación para todos los valores de ν se obtiene una expresión equivalente a la ley de Stefan: ∞

RT = ∫ ρ T (ν )dv = 0

2π 5 k B4 4 T 15c 2 h 3

Donde la constante de Stefan σ viene expresada en función de un conjunto de parámetros entre los que se encuentra la constante de Planck h:

σ=

2π 5 k B4 15c 2 h 3

El hecho de que pudiera explicarse de manera tan precisa la forma del espectro del cuerpo negro parecía indicar que la hipótesis de Planck era perfectamente correcta. Sin embargo ni el propio Planck entendía el significado físico de Δε =h ν. El primer intento en este sentido fue realizado por Einstein al introducir el concepto de fotón para explicar el efecto fotoeléctrico.

Efecto fotoeléctrico

Figura 5. Arreglo experimental para el estudio del efecto fotoeléctrico

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FÍSICA GENERAL

Ya se comentó en la introducción que la teoría clásica falló también para explicar las características de la emisión de electrones cuando determinados metales son iluminados con luz ultravioleta. Este fenómeno se denomina efecto fotoeléctrico. La figura 5 muestra un sencillo esquema experimental que permite estudiar las características del efecto fotoeléctrico. En principio, al estar el circuito abierto entre A y B, no se establece paso de corriente a través del galvanómetro ni siquiera cuando se establece una diferencia de potencial (ddp) entre ambos puntos. Supóngase que se consigue, de algún modo, comunicar a los electrones la suficiente energía para que puedan vencer las fuerzas eléctricas que los retienen en el metal y escapar del mismo. Debido a la diferencia de potencial entre A y B se establecerá un flujo de carga entre ambos electrodos. El circuito quedará cerrado y el galvanómetro acusará el paso de corriente incluso cuando no exista esa ddp mientras los electrones escapen con suficiente energía como para alcanzar el punto B. Si se invierte la polaridad de A y B, los electrones que puedan escapar de A se verán frenados poco a poco, reduciendo su energía cinética. Habrá un valor Vo de la ddp para el cual ningún electrón llegue a B. En tal situación el galvanómetro volverá a indicar cero, es decir, dejará de fluir corriente. Este valor Vo se denomina potencial de frenado. Una manera de comunicar energía a los electrones es iluminando el metal. Clásicamente, la energía que transporta la radiación electromagnética es absorbida por los electrones de modo que, eventualmente, algunos pueden escapar del metal, con lo que se produciría el efecto fotoeléctrico.

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FÍSICA GENERAL

Sin embargo, la teoría clásica de la radiación electromagnética no puede explicar los siguientes hechos experimentales: 1.

La emisión de electrones sólo ocurre a partir de una frecuencia νo, denominada frecuencia de corte o umbral. Esta frecuencia es distinta para cada metal e independiente de la electricidad de la radiación. Sin embargo según la teoría clásica el efecto fotoeléctrico debería ocurrir para cualquier frecuencia de la radiación.

2.

La emisión de electrones se produce

prácticamente

de forma

instantánea, sin ningún retraso medible. Esto no tiene explicación en el marco de la teoría clásica: si se hace incidir sobre el metal un haz de luz muy débil de frecuencia mayor que Vo, la teoría clásica indica que la radiación incidente comunica su energía a los electrones de manera paulatina, con lo que debería existir un cierto retraso entre el instante en que incide la luz sobre el metal y el instante en que se emite el electrón. Pues bien, jamás se ha podido medir tal retraso. 3.

Finalmente, los experimentos muestran que la energía cinética máxima con la que escapan los electrones es independiente de la intensidad de la radiación (o en otras palabras, de la amplitud de la onda electromagnética). Sin embargo, en la teoría clásica el campo eléctrico E de la onda aumenta con la intensidad de la radiación, y dado que la fuerza aplicada al electrón es F=eE, también la energía cinética de los electrones que se emiten debería aumentar con la intensidad de la radiación.

Estos tres hechos experimentales pueden ser explicados si se supone que la radiación electromagnética está cuantizada. Es el sección anterior se ha

287

FÍSICA GENERAL

expuesto que Planck explicó la radiación del cuerpo negro suponiendo que los átomos de la cavidad se

comportan como osciladores armónicos

emisores de radiación electromagnética, cuya energía está cuantizada: E=hv. Sin embargo Planck restringió la cuantización al proceso de emisión y supuso que esta, una vez emitida, se comportaba “clásicamente”. Fue Einstein, en 1905, quien propuso que la propia radiación electromagnética está cuantizada en paquetes concentrados de energía, a los que posteriormente se denominó fotones, que viajan a la rapidez de la luz. Supongamos un átomo oscilando con frecuencia ν. Los únicos estados en los que puede estar son aquellos cuya energía es nhν, con n entero. Si ahora el átomo pasa a un estado de energía menor, por ejemplo el estado de energía (n - 1)hν, debe perder una cantidad de energía igual a hν, que es emitida en forma de radiación electromagnética: el fotón, un pulso o paquete de energía discreta, E=hν, al que Einstein supuso localizado inicialmente en un volumen de espacio pequeño y que se mantiene localizado mientras se aleja a la rapidez de la luz del oscilador que lo emitió. Einstein supuso que cuando un fotón incide sobre el metal es completamente ab-sorbido por un electrón individual del mismo. Para arrancar un electrón del metal, venciendo

las fuerzas eléctricas que lo

mantienen ligado al mismo, es necesaria una cierta energía. A la energía mínima necesaria para arrancar un electrón del metal se le denomina función trabajo ωo, y resulta ser un parámetro característico de cada metal. Un electrón que absorba un fotón de energía hν>ωo será capaz de abandonar el metal. La energía adicional se convierte en energía cinética K del electrón, y la energía cinética máxima que puede tener uno de ellos será

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FÍSICA GENERAL

K máx = hν - ωo Veamos que este modelo salva las tres objeciones que se imponían a la teoría clásica. o

La primera objeción es que se necesita una frecuencia mínima de la luz incidente para conseguir la emisión de fotoelectrones. Si la radiación incidente es de frecuencia, la energía transportada por cada fotón es hν. Mientras hν sea menor que ωo se emitirán fotoelectrones. Si se aumenta la frecuencia de la luz incidente se llegará a un valor v0 tal que hνo=ωo, para el que los electrones adquieren suficiente energía para escapar del metal. A esta frecuencia ν0 (del material, ya que depende de la naturaleza de éste a través de ωo). Si ν