Fisica Centro de Massa
Short Description
Download Fisica Centro de Massa...
Description
T EM A
ESPECIAL
1
— CENTRO DE MASSA
Os Fundamentos da Física (8a edição)
RAMALHO, NICOLAU
TOLEDO
E
Tema T ema especial CENTRO DE MASSA 1. Centro de gravidade e centro de massa, 1 2. Propriedade da concentração de massas, 3 3. Propriedade de simetria, 4 4. Velocidade do do centro de massa, 7 5. Aceleração do centro de massa, massa, 7
1. CENTRO DE GRAVIDADE E CENTRO DE MASSA Considere dois pontos materiais, 1 e 2, de pesos P 1 e P 2, localizados num eixo horizontal Ox . Sejam x 1 e x 2, respectivamente, suas abscissas (figura 1). Vamos localizar um ponto C do eixo Ox , de abscissa x C , em relação ao qual é nula a soma dos momentos de P 1 e de P 2. M
o
d
e
nr
a
L
td
a
.
ra ot i d
x2 E
M P 1 ϩ M P 2 ϭ 0 ϩP 1d 1 Ϫ P 2d 2 ϭ 0 P 1d 1 ϭ P 2d 2 P 1(x C Ϫ x 1) ϭ P 2(x 2 Ϫ x C ) (P 1 ϩ P 2)x C ϭ P 1x 1 ϩ P 2x 2
xC x1
1
2
C
m1
O
P 1
m2 d 1
x P 2
d 2
ϩ
Ϫ
x C ϭ
Figura 1.
P1x 1 ϩ P2x 2 P1 ϩ P 2
O ponto C recebe o nome de centro de gravidade do sistema de pontos materiais 1 e 2. Se os pontos 1 e 2 estiverem localizados numa barra de peso desprezível, suspendendo-se a barra pelo ponto C , o sistema fica em equilíbrio (figura 2). Considerando Considerand o no local o campo gravitacional uniforme, isto é, a aceleração da gravidade g constante, e sendo m1 e m2 as massas dos pontos 1 e 2, respectivamente, temos: P 1 ϭ m1g
Substituindo-se Substitui ndo-se as expressões x C ϭ
e
e P 2 ϭ m2g
na expressão
m1gx 1 ϩ m2gx 2 m1g ϩ m2g
⇒
, temos: x C ϭ
m1x 1 ϩ m2x 2 m1 ϩ m2
massa. Neste caso, o centro de gravidade chama-se também centro de massa.
1
m 1
C
2
m 2
P 2
P 1 Figura 2.
OS FUNDAMENTOS
2
Dado um sistema de pontos materiais de massas m1, m2, ..., mi , ... , mn e de coordenadas cartesianas (x 1, y 1, z 1), (x 2, y 2, z 2), ..., (x i , y i , z i ), ..., (x n, y n, z n) que definem as posições desses pontos (figura 3), temos de modo geral que a posição do centro de massa C é definida pelas coordenadas cartesianas ( x C, y C, z C), dadas por:
m1x 1 ϩ m2x 2 ϩ ... ϩ mi x i ϩ ... ϩ m nx n ou x C ϭ m1 ϩ m2 ϩ ... ϩ mi ϩ ... ϩ mn
FÍSICA
z m1
mn mi zi
m2
0 xi
n
x C ϭ
DA
y i
∑ m x i
y
i
x
i ϭ1 n
Figura 3.
∑ mi i ϭ1
n
y C ϭ
m1y 1 ϩ m2y 2 ϩ ... ϩ mi y i ϩ ... ϩ m n y n ou y C ϭ m1 ϩ m2 ϩ ... ϩ mi ϩ ... ϩ mn
∑ m y i
i
i ϭ1 n
∑m
i
i ϭ1
n
z C
ϭ
m1z 1 ϩ m2 z 2
ϩ ... ϩ mi zi ϩ ... ϩ mn zn m1 ϩ m2 ϩ ... ϩ mi ϩ ... ϩ mn
∑ m z i
ou z C
ϭ
i
i ϭ1 n
∑m
i
i ϭ1
a
.
Observe que cada coordenada do centro de massa é uma média ponderada das correspondentes coordenadas dos pontos materiais e os pesos da média são as respectivas massas. o
d
e
nr
a
L
td
M ra ot i d E
Exercício R.1
Resolvido
Três pontos materiais, A, B e D, de massas iguais a m estão situados nas posições indicadas na figura ao lado. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema de pontos materiais.
y (cm)
3
Bm
2 1 A m 0 1
Solução: A abscissa do centro de massa C é dada por: x C ϭ
mx A ϩ mx B ϩ mx D mϩmϩm
Sendo x A ϭ 0, x B ϭ 2 cm e x D ϭ 4 cm, vem: x C ϭ
m 0ϩm 2ϩm 4 3m ⅐
⅐
⅐
⇒
x C ϭ 2 cm
Para a ordenada do centro de massa C , temos: y C ϭ
my A ϩ my B ϩ myD mϩmϩm
Sendo y A ϭ 0, y B ϭ 3 cm e y D ϭ 0, vem: y C ϭ Resposta: C (2 cm; 1 cm)
m 0ϩm 3ϩm 0 3m ⅐
⅐
⅐
⇒
y C ϭ 1 cm
2
D m 3 4 x (cm)
T EM A
Exercícios P.1
3
— CENTRO DE MASSA
ESPECIAL
Propostos
Cinco pontos materiais de massas iguais a m estão situados nas posições indicadas na figura. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema constituído pelos cinco pontos materiais. y (cm)
7 6 5 4 3 2 1 0 P.2
1
2
3
4
5
6
7
x (cm)
Determine a posição do centro de massa C do sistema formado por duas partículas de massas m A e m B, fixas nas extremidades de uma barra de peso desprezível.
m A
m B
A
B
60 cm
Analise os casos: a) m A ϭ m B b) m A ϭ 2m B c) m A ϭ 5m B . td
a
2. PROPRIEDADE DA CONCENTRAÇÃO DE MASSAS e
nr
a
L
ra
M
o
d
Seja um sistema de pontos materiais de massas m1, m2, ..., mi , mi 1, ..., mn e com centro de massa C . Vamos separar este sistema em dois outros sistemas: • Um de massas m1, m2, ..., mi , de centro de massa C ’ e de massa total m’ ϭ m1 ϩ m2 ϩ ... ϩ mi . • E outro de massas mi 1, ..., mn, de centro de massa C ” e de massa total m” ϭ mi 1 ϩ ... ϩ mn. O centro de massa C do sistema todo é obtido a partir dos centros de massa C ’ e C ”, considerando concentradas nesses pontos as massas m’ e m”, respectivamente. De fato: ϩ
E
d
i
ot
ϩ
ϩ
i n
x C
i
∑
mi x i
i ϭ1
ϭ
ϭ
n
∑
n
x C
⅐
m’
ϭ
m’
i
ϩ m”
⅐
ϩ m”
i
i ϩ1
1
i
∑ m x
∑ m x m’
m’
⇒
i
i
Mas:
mi x i
∑ m x
i
1
∑m ϩ ∑m
i ϭ1
1
i
i ϩ1
i
i
i
∑
ϩ
1
∑m
∑ m x
n
mi x i
n
i
i ϭ
x C ’
e
i
i ϩ1
m”
Logo, substituindo-se as expressões
ϭ
x C ”
e x C ϭ
na expressão
, temos:
m’ x C ’ ϩ m” x C ” m ’ ϩ m” ⅐
⅐
Analogamente, demonstra-se para as coordenadas y C e z C que: y C ϭ
m’ y C ’ ϩ m” y C ” m’ ϩ m ” ⅐
⅐
e
z C
ϭ
m’
⅐
ϩ m” m’ ϩ m”
zC’
⅐
z C ”
i ϩ1
m”
i
OS FUNDAMENTOS
4
DA
FÍSICA
3. PROPRIEDADE DE SIMETRIA Se um sistema de pontos materiais admite um elemento de simetria, então o centro de massa do sistema pertence a esse elemento. O elemento de simetria pode ser um ponto (centro de simetria), um eixo ou um plano. Vamos supor que um ponto O seja um centro de simetria. Provemos que O coincide com o centro de massa. Considere o sistema de pontos materiais situados num plano e seja Oxy um sistema cartesiano com origem no ponto O (figura 4). Se existe mi x i , existe também mi (Ϫx i ). Logo:
∑ m x ∑m i
∑ mi x i ϭ 0 ⇒
i
ϭ
0
i
De modo análogo, temos:
∑ m y ∑m i
i
ϭ
0, indicando que o ponto O coincide com o centro de massa C .
i
y mi
y i xi
Ϫ xi
x
O
Ϫy i
mi
Figura 4. . a td
Na figura 5, com base na propriedade de simetria, apresentamos o centro de massa C de alguns corpos homogêneos. Observe que ele coincide com o centro geométrico desses corpos. ra
M
o
d
e
nr
a
L
ot i
C C
d E
C
C
C
Figura 5.
Por meio das propriedades dos itens 2 e 3, podemos determinar o centro de massa de uma placa homogênea, de espessura constante e de massa m, como por exemplo a indicada na figura 6a. Para tanto, dividimos a placa em duas partes, e , de massas m’ e m” , e pela propriedade de simetria localizamos os centros de massa C ’ e C ” destas partes (figura 6b). Pela propriedade da concentração de massas, concluímos que o centro de massa C da placa toda coincide com o centro de massa dos pontos C ’ e C ”, cujas massas m’ e m” estão concentradas neles (figura 6c). y
y
y
1 C'
y C
2
m
m'' C''
m' O
x
O
(a)
Figura 6. O centro de massa C da placa de massa pelos pontos
C ’
(de massa
m ’)
C'' (m'' ) x
(b)
e C ”(de massa
C' (m') C
O
xC
x (c)
m pertence ao segmento de reta que passa
m ”).
T EM A
ESPECIAL
Exercício R.2
5
— CENTRO DE MASSA
Resolvido
Determine as coordenadas do centro de massa da placa homogênea de espessura constante, cujas dimensões estão indicadas na figura. y (cm)
2a
a
2a a 0
3a
x (cm)
Solução: Vamos dividir a placa em dois quadrados. O primeiro, de lado 2 a e cujo centro de massa é o ponto A de coordenadas ( a, a ), e o segundo, de lado a e de centro de massa B cujas coordenadas são (2,5 a, 0,5 a ).
y (cm)
2a
a
A
2a
B
a
. a td L
0 a nr e
a
2a
x (cm)
d o
E
d
i
ot
ra
M
A abscissa do centro de massa da placa toda é dada por:
m A x A ϩ mB x B m A ϩ mB
x C ϭ
Como a placa é homogênea e de espessura constante, t emos que as massas são proporcionais às respectivas áreas, ou seja: e
m A ϭ K A A
m B ϭ K A B
em que K é a constante de proporcionalidade. Assim, substituindo-se as expressões e na expressão
x C ϭ
K A A x A ϩ K A Bx B K A A ϩ K AB
⇒
, temos: x C ϭ
A A x A ϩ AB x B A A ϩ AB
Sendo A A ϭ (2 a )2 ϭ 4 a2, A B ϭ a2, x A ϭ a e x B ϭ 2,5 a, vem: x C ϭ
4a
2
⅐
a ϩ a2 2,5 a 2 2 4a ϩ a ⅐
⇒
x C ϭ 1,3 a
Para a ordenada do centro de massa, temos:
y C ϭ
A A y A ϩ AB y B A A ϩ AB
Sendo y A ϭ a e y B ϭ 0,5a, resulta: y C ϭ Resposta: C (1,3a; 0,9a )
4a2 a ϩ a2 0,5 a ⅐
⅐
4a
2
ϩ
a2
⇒
y C ϭ 0,9 a
OS FUNDAMENTOS
6
Exercícios P.3
DA
FÍSICA
Propostos
Determine as coordenadas do centro de massa da placa homogênea e de espessura constante, cujas dimensões estão indicadas na figura.
30 cm
y
10 cm
30 cm 5cm
0 10 cm
P.4
x
y
Três placas circulares idênticas, homogêneas, de espessura uniforme e de raio R estão dispostas conforme a figura. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema constituído pelas três placas.
R R x
R
. a td L a
P.5
P.6
A ordenada do centro de massa de uma placa triangular, homogênea e de espessura constante é igual a um terço da altura (figura 1). Determine a ordenada do centro de massa de uma placa trapezoidal, homogênea e de espessura constante, em função da altura h do trapézio e de suas bases a e b (figura 2).
y
nr e
y
d o
a M ra ot i d E
C h
h
h
3 0
0
x
b
Figura 1.
x
Figura 2.
A placa circular, homogênea e de espessura constante, tem raio R e possui um furo circular de raio r . Determine, em função de r e R, as coordenadas do centro de massa da placa.
y
R r x
R 2
P.7
A massa da Terra é aproximadamente 80 vezes a massa da Lua. A distância entre os centros da Terra e da Lua é 60 R, em que R é o raio da Terra. Determine a distância do centro da Terra ao centro de massa do sistema Terra-Lua.
60 R
R
Lua Terra
T EM A
ESPECIAL
7
— CENTRO DE MASSA
4. VELOCIDADE DO CENTRO DE MASSA Considere um sistema de pontos materiais cujas massas são m1, m2, ..., mn, e sejam v 1, v 2, ..., v n, respectivamente, suas velocidades num certo instante. Neste instante, o centro de massa possui velocidade v C dada por uma média ponderada das velocidades dos pontos materiais do sistema, sendo os pesos dessa média as respectivas massas, ou seja: v C ϭ
m1v 1 ϩ m2 v 2
ϩ ... ϩ mn v n m1 ϩ m2 ϩ ... ϩ mn
Chamemos de m a massa total do sistema, isto é: m ϭ m1 ϩ m2 ϩ ... ϩ mn Substituindo-se a expressão na expressão , resulta: mv C ϭ m1v 1 ϩ m2v 2 ϩ ... ϩ mnv n Mas m1v 1 ϩ m2v 2 ϩ ... ϩ mnv n representa a quantidade de movimento total do sistema de pontos materiais (Qsistema ). Logo:
Qsistema ϭ mv C Portanto: A quantidade de movimento de um sistema de pontos materiais é igual à quantidade de movimento do centro de massa, considerando que toda a massa do sistema está concentrada nele. . L
td
a
5. ACELERAÇÃO DO CENTRO DE MASSA d
e
nr
a
E
d
i
ot
ra
M
o
Considere um sistema de pontos materiais m1, m2, ..., mn, e sejam a 1, a 2, ..., a n, respectivamente, suas acelerações num certo instante. Neste instante, o centro de massa possui aceleração a C dada por uma média ponderada das acelerações dos pontos materiais do sistema, sendo os pesos dessa média as respectivas massas, ou seja: a C ϭ
m1a1 ϩ m2 a 2
ϩ ... ϩ mn a n m1 ϩ m2 ϩ ... ϩ mn
Seja m a massa total do sistema, isto é: m ϭ m1 ϩ m2 ϩ ... ϩ mn Substituindo-se a expressão na expressão , resulta: ma C ϭ m1a 1 ϩ m2a 2 ϩ ... ϩ mna n Mas m1a 1, m2 a 2, ..., mna n representam, respectivamente, as forças resultantes F 1, F 2, ..., F n, que agem nos pontos materiais. Portanto: ma C ϭ F 1 ϩ F 2 ϩ ... ϩ F n Entretanto, F 1 ϩ F 2 ϩ ... ϩ F n representa a resultante de todas as forças externas que agem no sistema de pontos materiais ( F ext.), uma vez que a resultante das forças que uma partícula do sistema exerce sobre as outras (forças internas) é nula, devido ao princípio da ação e reação. Assim, temos:
F ext. ϭ ma C Portanto: O centro de massa se move como se fosse uma partícula de massa igual à massa total do sistema e sob ação da resultante das forças externas que atuam no sistema.
OS FUNDAMENTOS
8
DA
FÍSICA
Por exemplo, considere um corpo lançado obliquamente nas proximidades da superfície terrestre (figura 7). Embora seus pontos descrevam um movimento complexo, o centro de massa (ponto marcado em vermelho) desloca-se como se fosse um ponto material de massa igual à massa do corpo e sob ação do peso do corpo. Nestas condições, o centro de massa descreve uma trajetória parabólica em relação à Terra.
Figura 7.
Como conseqüência das considerações anteriores, concluímos que: As forças internas não alteram o movimento do centro de massa. Quando um atleta pula de um trampolim, realizando um salto ornamental, ele movimenta seus braços, pernas e cabeça, alterando a posição do centro de massa de seu corpo. As forças responsáveis por estas alterações são internas e não alteram o movimento do centro de massa, que descreve uma trajetória parabólica em relação à Terra (figura 8). . a td L a nr e d o M ra ot i d E
Figura 8.
Exercícios R.3
Resolvidos
As partículas A e B, de massas m e 2 m, deslocam-se ao longo do eixo Ox , com velocidades escalares v A ϭ 5,0 m/s e v B ϭ 8,0 m/s. Qual é a velocidade escalar do centro de massa?
v A
v B A
Solução: A velocidade do centro de massa C é dada por:
v C ϭ
B
Eixo adotado
ϩ
m A v A ϩ mB v B m A ϩ mB
Como as velocidades v A e v B têm a mesma direção, a igualdade vetorial anterior t ransforma-se numa igualdade escalar. Assim, vem:
vC ϭ
Resposta: 7,0 m/s
m Av A ϩ m Bv B m 5,0 ϩ 2m 8,0 ⇒ vC ϭ m A ϩ m B m ϩ 2m ⅐
⅐
⇒
vC ϭ 7,0 m/s
T EM A
ESPECIAL
R.4
As partículas A e B, de massas 1,5 kg e 1,0 kg, deslocam-se com velocidades v A e v B perpendiculares entre si e de módulos v A ϭ 2,0 m/s e v B ϭ 4,0 m/s. Calcule o módulo da velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas partículas.
9
— CENTRO DE MASSA A
Solução: A quantidade de movimento de um sistema de pontos materiais é a quantidade de moviment o do centro de massa, considerando que toda massa do sistema está concentrada nele, ou seja:
Qsistema ϭ m v C
v A
m A
v B m B B
Vamos, inicialmente, determinar o módulo da quant idade de movimento do sistema em que:
Qsistema ϭ Q A ϩ Q B Cálculo de Q A: Q A ϭ m Av A ⇒ Q A ϭ 1,5 2,0 ⇒ Q A ϭ 3,0 kg m/s Cálculo de Q B: Q B ϭ m Bv B ⇒ Q B ϭ 1,0 4,0 ⇒ Q B ϭ 4,0 kg m/s No triângulo destacado na figura ao lado, temos: Q 2sistema ϭ Q A2 ϩ Q B2 ⇒ Q 2sistema ϭ (3,0)2 ϩ (4,0)2 ⇒ Qsistema ϭ 5,0 kg m/s Mas Qsistema ϭ mvC , em que m ϭ 1,5 kg ϩ 1,0 kg ϭ 2,5 kg ⅐
⅐
⅐
⅐
Q B ϭ 4,0 Kg m/s ⅐
a m t e i s s
Q
⅐
Portanto: 5,0 ϭ 2,5 vC ⅐
⇒
Q A ϭ 3,0 Kg m/s ⅐
vC ϭ 2,0 m/s
Resposta: 2,0 m/s
a
.
R.5
As esferas A e B possuem massas m e 3m, respectivamente. A esfera A é abandonada de uma altura h ϭ 0,45 m do solo e B está em repouso. Seja g ϭ 10 m/s2 a aceleração da gravidade. Determine: a) o módulo da aceleração do centro de massa do sistema constituído pelas esferas A e B, enquanto A estiver em queda livre. b) o módulo da velocidade do centro de massa do sistema, no instante em que a esfera A atinge o solo.
td L
A v 0 ϭ 0 a nr e d o M
g
ra ot i
h d E
B
Solução: a) A aceleração do centro de massa é dada por:
a C ϭ
m A a A ϩ mB a B m A ϩ mB
Sendo m A ϭ m, m B ϭ 3m, a A ϭ g e a B ϭ 0 , vem:
a C ϭ Em módulo, temos: aC ϭ
g 4
⇒ aC ϭ
m g m g g ⇒ a C ϭ ⇒ a C ϭ 4m 4 m ϩ 3m
10 4
⇒
aC ϭ 2,5 m/s2
b) A velocidade da esfera A no instante em que atinge o solo é:
v A ϭ 2gh ⇒ vA ϭ 2 10 0,45 ⅐
⅐
⇒ v A ϭ 3,0 m/s
A velocidade do centro de massa é dada por:
v C ϭ
m A v A ϩ m B v B m A ϩ m B
Sendo v B ϭ 0 , temos, em módulo: vC Respostas: a) 2,5 m/s2; b) 0,75 m/s
ϭ
3,0 m m 3,0 ⇒ vC ϭ 4m m ϩ 3m ⅐
⇒
vC ϭ 0,75 m/s
OS FUNDAMENTOS
10
R.6
Duas partículas, A e B, de massas m A ϭ 0,1 kg e m B ϭ 0,4 kg, são abandonadas no instante t ϭ 0, na posição indicada na figura. a) Localize a posição do centro de massa das partículas no instante t ϭ 0. b) Sabendo-se que as partículas se atraem, pois foram eletrizadas com cargas elétricas de sinais opostos, a que distância da posição inicial da partícula A ocorrerá a colisão? Considere o sistema isolado de forças externas. Solução: a) Sendo x A ϭ 0 e x B ϭ 3 m, temos para o centro de massa C : x C ϭ
0,1 0 ϩ 0,4 3 m A x A ϩ mB x B ⇒ x C ϭ 0,1 ϩ 0,4 m A ϩ mB ⅐
⅐
⇒
x C ϭ 2,4 m
A
DA
FÍSICA
t ϭ 0
B
d ϭ 3 m
A
B
0
3
x (m)
b) O sistema de partículas está isolado de forças externas. Como o centro de massa estava inicialmente em repouso, pois as partículas foram abandonadas, ele permanece em repouso. Logo, a colisão ocorre exatamente na posição do centro de massa, isto é, a 2,4 m da posição inicial da partícula A: A
B C
t ϭ 0
A
B C
t
A B Instante da colisão
C
. a td L
Respostas: a) 2,4 m; b) 2,4 m a nr e d o M ra ot i d
Exercícios P.8
E
Propostos
As partículas A e B, de massas m e 3 m, deslocam-se na direção do eixo Ox , com velocidades de módulos v A ϭ 10 m/s e v B ϭ 2,0 m/s. Determine o módulo da velocidade do centro de massa para cada um dos casos abaixo: a) b) v A v B v v A
B
A
A
B
B x
x P.9
(UFC-CE) Um conjunto de três partículas, todas de igual massa m, está situado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas xy . Em dado instante, uma delas é atirada na direção x , com velocidade constante de módulo V X ϭ 9,0 m/s e outra é atirada na direção y , com velocidade constante de módulo V y ϭ 12,0 m/s, ficando a terceira em repouso na origem. Determine o módulo da velocidade do centro de massa do conjunto.
P.10
Num certo instante, duas partículas A e B possuem velocidades indicadas na figura. As partículas possuem mesma massa e suas velocidades são iguais, em módulo, a 10 m/s. Determine, no instante considerado, o módulo da velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas partículas. B
60°
m
v B
v A 60°
A m
60°
T EM A
ESPECIAL
P.11
(FEI-SP) Duas esferas, A e B, de massas M A ϭ 0,10 kg e M B ϭ 0,20 kg constituem um sistema físico e não interagem entre si. Na esfera B atua uma força externa F constante e de intensidade 30 N. Calcule: a) Os módulos das acelerações das esferas A e B. b) O módulo da aceleração do centro de massa do sistema ( AB ).
P.12
11
— CENTRO DE MASSA A
B
F
(PUC-RJ) Duas partículas carregadas A e B estão inicialmente em repouso. A partícula B está à distância d ϭ 6,0 cm da partícula A, que está na origem do sistema de coordenadas, como mostra a figura. A
B
0
6,0
d (cm)
A partícula A tem carga q e massa m. A partícula B tem carga Ϫq e massa 2 m. Considere as partículas constituindo um sistema físico isolado de forças externas. A que distância da origem elas colidirão?
Exercícios P.13
Propostos de recapitulação
M , estão presas por uma haste de comprimento L ϭ 48 cm 2 e massa desprezível, conforme a figura. Qual a distância, em centímetros, do centro de massa do sistema em relação à posição da partícula de massa M 1?
(UFPE) Duas partículas, de massa M 1 ϭ M e M 2 ϭ
M 1
M 2
. a td L
L a nr e d o ot
ra
M
P.14 d
i E
(UFPE) A figura mostra uma estrutura vertical formada por três barras iguais, homogêneas e de espessuras desprezíveis. Se o comprimento de cada barra é 90 cm, determine a altura, em centímetros, do centro de massa do sistema, em relação ao solo.
m c 0 9
P.15
(UnB) Na figura abaixo, que representa uma placa homogênea, admita que cada quadrado tenha lado igual a 10 cm. Determine, em centímetros, a soma das coordenadas do ponto correspondente ao centro de massa da placa, caso exista. y
0
x
OS FUNDAMENTOS
12
P.16
DA
FÍSICA
(UnB) Admitindo-se, no sistema de coordenadas da figura abaixo, que cada quadradinho tenha 10 cm de lado, determine as coordenadas do centro de massa do sistema constituído de duas placas homogêneas, uma circular e outra tr iangular, cujas massas são iguais. Calcule, em centímetros, o valor da soma das coordenadas obtidas e despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista. y
60
30
30
P.17
60
x
(UFC-CE) Dois discos, de densidades uniformes e espessuras desprezíveis, são colocados no plano xy , conforme mostra a figura. Se R ϭ 10 2 cm, calcule, em centímetros, a distância entre o centro de massa do conjunto e a origem, do sistema cartesiano xy . y . a td L a nr
4m e d o M ra ot i d E
2R
ϪR
0
x
2R
ϪR
m
P.18
(UFC-CE) Três discos de raios R1 ϭ 21 cm, R2 ϭ 2 R1 e R3 ϭ 4 R1 são feitos de um mesmo material, todos eles com densidade uniforme e com mesma espessura. Os discos são empilhados sobre o plano xy conforme se mostra na figura. Note que o centro de cada disco tem projeção sobre o eixo x . Determine a coordenada x do centro de massa do conjunto. y
0
x
T EM A
P.19
ESPECIAL
13
— CENTRO DE MASSA
(UFC-CE) A figura ao lado mostra uma peça metálica plana, de espessura e densidade uniformes. A parte horizontal tem comprimento L e largura D e os ramos verticais têm comprimento C e largura D, cada um deles. Se L ϭ 98 cm e D ϭ 16 cm, determine o valor do comprimento C , em centímetros, sabendo que o centro de massa da peça está sobre a linha MN . Veja a figura. D
D
C
C
M
N D L
P.20
(Fuvest-SP) Uma placa retangular de comprimento L é constituída pela união de duas partes 1 e 2, como mostra a figura abaixo. A parte 1 é feita de material de massa específica ρ1 e a parte 2 de material de massa específica ρ2. Suspendendo-se a placa pelo ponto P , de acordo com a figura ( AB horizontal), ela permanece em equilí2L brio. Sabe-se que AP ϭ . 9
P
A
B
1
2
L
2L 3
. a td L
D a nr e d o
C
3 M ra ot i d E
a) A que distância do lado AD encontra-se o centro de massa da placa? b) Determine a razão
P.21
P.22
ρ1 . ρ2
Duas pequenas esferas, A e B, de mesma massa, deslocam-se ao A B 3,0 m/s 5,0 m/s m m longo do eixo Ox , com velocidades indicadas na figura. Entre as esferas ocorre uma colisão frontal, cujo coeficiente de restituição vale 0,5. Determine: a) a velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas esferas, antes de ocorrer a colisão; b) as velocidades das esferas após a colisão; c) a velocidade do centro de massa do sistema, após a colisão.
x
(UFC-CE) Dois pequenos blocos, um de massa m1 e outro de massa m2 ϭ 2 m1, são abandonados simultaneamente no instante t ϭ 0 na parte superior de dois planos inclinados, conjugados, como mostra a figura abaixo. m 1 m 2
30°
60°
Determine, em m/s, o módulo da componente horizontal da velocidade do centro de massa, no instante t ϭ 12 3 s . Considere os planos sem atrito e suficientemente longos de modo a garantir que os blocos ainda estarão sobre eles no instante considerado.
São dados: g ϭ 10 m/s2; sen 30° ϭ cos 60° ϭ
1 2
e sen 60° ϭ cos 30° ϭ
3 2
OS FUNDAMENTOS
14
P.23
DA
FÍSICA
(Fundação Carlos Chagas) Na figura abaixo estão representadas as velocidades vetoriais de duas pequenas esferas idênticas que constituem um sistema isolado. Qual a intensidade da velocidade do centro de massa do sistema? A
1,0 cm/s
1,0 cm/s
B P.24
(UFC-CE) Dois homens A e B, ambos de massa M , estão nas extremidades de uma plataforma homogênea, de comprimento L ϭ 2,16 m e massa 5 M , que pode se deslocar sobre uma su perfície horizontal plana sem atrito. O M para o homem B, que a segura firmemente. Determine, em centímetros, homem A joga uma bola de massa 5
o deslocamento da plataforma com relação à posição inicial. P.25
(UFC-CE) Um homem de massa m está de pé sobre uma superfície horizont al perfeitamente lisa, separado de uma distância d de um bloco pesado de massa M . O homem tenta puxar para si o bloco por meio de uma corda inextensível de massa desprezível. Ele dá um rápido puxão na corda e ambos deslizam um para o outro até se encontrarem em certo ponto. Determine, em função da distância d e das massas m e M , a posição de encontro entre o homem e o bloco a partir da posição inicial do homem.
P.26
(UnB)
. a td L a nr e d o M ra ot i d E
Figura I.
Figura II.
Figura III.
Com base nas três figuras acima, que mostram imagens do movimento de três diferentes atletas saltando de uma prancha, nas quais os pontos indicados representam os respectivos centros de massa dos atletas, julgue os itens a seguir, considerando que a aceleração da gravidade é igual nas situações mostradas. 1) Desprezando-se as forças dissipativas, as trajetórias dos centros de massa dos atletas nos três casos são parabólicas. 2) O tempo durante o qual cada atleta permanece no ar é diretamente proporcional à aceleração da gravidade. 3) Se as massas dos três atletas forem iguais e as trajetórias dos seus centros de massas forem idênticas, então a energia mecânica total do atleta na figura I será igual à do atleta na figura II. 4) Na figura III, a trajetória da cabeça do atleta é uma parábola.
T EM A
ESPECIAL
Testes T.1
15
— CENTRO DE MASSA
Propostos
(ITA-SP) Dadas 3 partículas e suas respectivas posições, m(x; y), em que m é a massa em quilogramas, x e y as posições em metros, tais que 2 (3; 6), 4 (4; 4), 2 (1; 2).
y (cm)
80
y (cm) 60
Disco 1
Disco 2
m1
m2
Disco 4
Disco 3
m4
m3
6 40
4
A
B 20
D C
E
2
0
0
2
4
Indique qual dos pontos do gráfico representa o centro de massa do sistema. a) A b) B c) C . a
d) D td L a nr
e) E e d o ot
ra
T.4
M
T.2 d
i E
(Vunesp-SP) Duas esferas homogêneas, de raios R1 e R2 e massas m1 e m2, foram fixadas uma à outra de modo a formar um sistema rígido, indicado na figura a seguir.
40
60
80
x (cm)
A distribuição de massa em cada disco é homogênea. As coordenadas ( x , y ) do centro de massa desse conjunto de discos são dadas, em centímetros, pelo par ordenado: a) (40, 40) b) (20, 32) c) (20, 60) d) (40, 32) e) (40, 20)
x (cm)
6
20
(FCMSC-SP) Na figura a seguir, C é o centro de massa de um sistema constituído por três esferas (e1, e2 e e3 ) de mesma massa. Y (cm)
5
O1
O2 R1
m1
m2
R2
4 e2
3
C
2
m Sendo R1 ϭ 2 R2 e m1 ϭ 2 , o centro do sistema 2 assim constituído encontra-se: a) no centro da esfera maior. b) no centro da esfera menor. c) no ponto de fixação das esferas. d) a meia distância entre o centro O1 e o ponto de fixação. e) a meia distância entre o centro O2 e o ponto de fixação. T.3
(UFC-CE) Quatro discos, 1, 2, 3 e 4, todos de mesmo raio R ϭ 20 cm, e de massas m 1 ϭ 1 kg, m2 ϭ 2 kg, m3 ϭ 3 kg, e m4 ϭ 4 kg estão arrumados no plano horizontal, xy , conforme mostra a figura a seguir.
e1
1
0
1
2
3
4
5
6
X (cm)
A terceira esfera não aparece na figura. X e Y são eixos de um sistema de referência. Quais são as coordenadas X c e Y c do centro da esfera e3? (Os centros de massa das três esferas estão contidos no plano XY .) a) X c ϭ Ϫ5,0 e Y c ϭ Ϫ2,5 b) X c ϭ 5,0 e Y c ϭ 2,5 c) X c ϭ Ϫ2,5 e Y c ϭ 2,5 d) X c ϭ 2,5 e Y c ϭ Ϫ2,5 e) X c ϭ 2,5 e Y c ϭ 2,5
OS FUNDAMENTOS
16
T.5
(Cesgranrio) Seis peças de um jogo de dominó estão dispostas como na figura. Dos pontos indicados ( F , G , H , I , J ) o que melhor localiza o centro de massa desse conjunto é:
T.8
F
6 m
m
v
H I
Repouso
J
T.6
b) G
c) H
d) I
e) J
(Uerj) A forma de uma raquete de tênis pode ser esquematizada por um aro circular de raio R e massa m1, preso a um cabo de comprimento L e massa m2. L Quando R ϭ e m1 ϭ m2, a distância do centro de 4 massa da raquete ao centro do aro circular vale:
R 2 b) R a)
c)
T.9
a)
d 11
c)
6d 7
b)
d 9
d)
d 7
6v 7
b) v
3 R 2
e)
d 5
(UFPA) Na questão anterior a velocidade do centro de massa é: a)
c)
d)
v 7
e)
7v 6
v 6
d) 2 R T.10
T.7
FÍSICA
(UFPA) Um corpo esférico de massa 6 m rola sobre um plano horizontal sem atrito em direção a outro corpo esférico em repouso e de massa m, com velocidade v constante. Quando os dois corpos estão separados por uma distância d , o centro de massa do sistema estará situado a uma distância da esfera maior dada por:
G
a) F
DA
(ITA) Uma bola de 0,50 kg é abandonada a partir do repouso a uma altura de 25 m acima do ch ão. No mesmo instante, uma segunda bola, com massa de 0,25 kg, é lançada verticalmente para cima, a partir do chão, com uma velocidade inicial de módulo 15 m/s. As duas bolas movem-se ao longo de linhas muito próximas, mas que não se tocam. Adote g ϭ 10 m/s2 e despreze o efeito de resist ência do ar.
(ITA) Uma haste rígida e de massa desprezível possui presas em suas extremidades duas massas idênticas m. Este conjunto acha-se sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa (sem atrito). Uma terceira partícula também de massa m e velocidade v desliza sobre esta superfície numa direção perpendicular à haste e colide com uma das massas da haste, ficando colada à mesma após a colisão. m
0,5 kg
m
v m
25 m
0,25 kg Após 2,0 segundos, a velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas bolas tem módulo igual a: a) 11 m/s, e é dirigida para baixo. b) 11 m/s, e é dirigida para cima. c) 15 m/s, e é dirigida para baixo. d) 15 m/s, e é dirigida para cima. e) 20 m/s, e é dirigida para baixo.
Podemos afirmar que a velocidade do centro de massa vCM (antes e após a colisão) bem como o movimento do sistema após a colisão serão: Movimento subseqüente do sistema circular e uniforme.
vCM(antes)
vCM(após)
a)
0
0
b)
0
v 3
translacional e rotacional.
c)
0
v 3
só translacional.
d)
V 3
v 3
translacional e rotacional.
e)
V 3
0
só rotacional.
E
d
i
ot
ra
M
o
d
e
nr
a
L
td
a
.
T EM A
ESPECIAL
T.11
(ITA) Nas extremidades de uma haste homog ênea, de massa desprez ível e comprimento L , acham-se presas as massas m1 e m2. Num dado instante, as velocidades dessas massas s ão, respectivamente, v 1 e v 2, ortogonais à haste.
17
— CENTRO DE MASSA T.13
(ITA) As massas m1 ϭ 3,0 kg e m2 ϭ 1,0 kg foram fixadas nas extremidades de uma haste homog ênea, de massa desprezível e 40 cm de comprimento. m 1
v 1 m 2
L
40 cm
m 1
v 2
Seja vCM a velocidade do centro da massa, em relação ao laboratório, e seja ω o módulo da velocidade angular com que a haste se acha girando em torno de um eixo que passa pelo centro de massa. Pode-se mostrar que: ω v CM
. a
a)
m1 v 1 Ϫ m2 v 2 m1 ϩ m2
͉v1Ϫ v2͉
b)
m2 v 2 Ϫ m1v 1 m1 ϩ m2
͉v2 Ϫ v1͉
c)
m1 v 1 ϩ m2 v 2 m1 ϩ m2
͉v1Ϫ v2͉
d)
m1 v 1 ϩ m2 v 2 m1 ϩ m2
(v1 ϩ v2 ) L
e)
m1 v 1 Ϫ m2 v 2 m1 ϩ m2
(v1 ϩ v2 ) L
td L a nr e d o M ra ot
m 2 P
Este sistema foi colocado verticalmente sobre uma superfície plana, perfeitamente lisa, conforme mostra a figura, e abandonado. A massa m1 colidirá com a superfície a uma distância x do ponto P dada por: a) x ϭ 0 (no ponto P ) b) x ϭ 10 cm c) x ϭ 20 cm d) x ϭ 30 cm e) x ϭ 40 cm
L
L
L T.14
Uma pedra está em repouso sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa. Em seu interior há uma pequena bomba, que, ao explodir, estilha ça a pedra em três pedaços de massas diferentes, que passam a deslizar sobre a superf ície horizontal. Nessas condições, após a explosão, o que acontece com o centro de massa da pedra? a) Desaparece. b) Movimenta-se com velocidade do pedaço de maior massa. c) Permanece em repouso. d) Movimenta-se com velocidade igual à soma das velocidades escalares dos tr ês pedaços. e) Realiza MRU.
T.15
(Fundação Carlos Chagas-SP) Um núcleo N desintegra-se em três partículas: um novo núcleo N ’, um elétron e um neutrino. Não há forças externas atuando. A velocidade do centro de massa N no instante que precedeu a desintegração era igual a v , em relação ao sistema do laboratório. Podese dizer que, em relação ao mesmo sistema: a) o centro de massa do sistema das três partículas produzidas após a desintegração continua com a mesma velocidade e mesma trajetória que o centro de massa da part ícula inicial N . b) a velocidade de N é ainda v . c) as trajetórias descritas pelas três partículas finais e pela inicial são sempre coplanares. d) não há necessariamente conservação da quantidade de movimento, antes e depois da desintegração. e) nada do que se afirmou é correto.
i d E
T.12
(Fundação Carlos Chagas-SP) A figura abaixo representa um corpo B preso a um corpo A por intermédio de uma mola M.
f A
M
B
O conjunto está preso ao teto por um fio f e o corpo B está oscilando verticalmente. Em determinado instante, o fio f arrebenta e o conjunto cai. Desprezando-se a resistência do ar, podemos afirmar corretamente que, durante a queda, a) a velocidade do centro de massa do conjunto é constante. b) a aceleração do centro de massa do conjunto é constante. c) a quantidade de movimento do corpo A é constante. d) a quantidade de movimento do corpo B é constante. e) as acelerações dos corpos A e B são constantes.
18
T.16
OS FUNDAMENTOS
(F. M. Taubaté-SP) Um objeto de massa M , inicialmente em repouso, explode em duas partes A e 1 2 e , respectivamente, da 3 3 massa do objeto inicial. Sabendo que a dist ância entre elas em um instante t é de 30 m, então a distância do corpo B ao ponto de explosão será: a) 10 m c) 15 m e) n.d.a. b) 20 m d) 18 m
DA
FÍSICA
c) Somente a afirmativa III é verdadeira. d) As afirmativas I e II são verdadeiras. e) As afirmativas II e III são verdadeiras.
B, com massas de
T.17
(U. E. Londrina-PR) Uma das armas utilizadas pela forças especiais dos Estados Unidos da Am érica e da Inglaterra contra as bases do Talibã são os mísseis Tomahawk. Esses mísseis podem ser lançados de navios ou aviões. Dirigidos por satélite, viajam a 880 km/h, podendo alcançar alvos situados a 1.600 km. Suponha que um desses mísseis seja lançado do porta-aviões USS Carl Vinson, situado no Golfo Pérsico, em direção a uma base Talibã situada em Shidand, e descreva uma trajet ória parabólica. Suponha também que esse míssil possua um sensor com o qual se pode expl odi-lo no ar, de modo que ele se fragmente em pedacinhos pequenos, para evitar, por exemplo, que atinja indevidamente a população civil. No caso de haver uma explos ão como essa, no ar, e com respeito ao movimento do centro de massa dos fragmentos ap ós a explosão, considere as seguintes afirmativas, desprezando-se o efeito do ar: I. O centro de massa dos fragmentos continua descrevendo uma trajetória parabólica, porque a explosão representa somente o efeito das forças internas. II. A energia mecânica não é conservada, pois ela sofre um aumento, devido à conversão da energia química armazenada em energia mec ânica; mas a resultante das forças externas e o movimento do centro de massa não se alteram. III. O centro de massa dos fragmentos não continua mais descrevendo uma trajetória parabólica, pois a explosão fará com que os fragmentos sigam trajetórias próprias. Aponte a alternativa correta. a) Somente a afirmativa I é verdadeira. b) Somente a afirmativa II é verdadeira.
T.18
(F. M. Itajubá-MG) Uma granada é lançada com uma velocidade inicial v 0 formando ângulo θ com a vertical, e, após descrever a trajetória da figura, ela explode. y v 0
0
x
Após a explosão, o centro de massa dos f ragmentos da granada descreverá a trajetória: a)
x b)
x td
a
. L a nr
c) e d o M ra ot i d E
x d)
x e)
x
T EM A
ESPECIAL
19
— CENTRO DE MASSA
Respostas Tema especial Centro de Massa
xC ϩ y C ϭ 27,5 ϩ 50
P.15
xC ϩ y C ϭ 77,5 cm xC ϩ y C ϭ 20 ϩ 20
P.16
Exercícios propostos P.1
C (3 cm; 3,4 cm)
P.2
P.3
a) AC ϭ 30 cm b) AC ϭ 20 cm c) AC ϭ 10 cm C (0, 25 cm)
P.4
C 0,
R 3
3 h
y C ϭ
P.6
xC ϭ Ϫ
3
⅐
L
td
a
d
e
nr
ot
ra
M
P.9
5,0 m/s
P.10
5,0 m/s
P.11
a) b)
i d E
73 cm
P.19
28 cm
P.20
a)
2L 9 a) 4,0 m/s
P.21
aϩb Rr 2
2(R 2 Ϫ r 2)
zero; 150 m/s2 100 m/s2
ρ1 ϭ 16 ρ2
c) 4,0 m/s P.22
30 m/s
P.23
2,5 cm/s
P.24
6 cm Md M ϩ d
P.25
4,0 m/s 1,0 m/s
b)
b) As velocidades das esferas A e B após a colisão s ão respectivamente 3,5 m/s e 4,5 m/s.
0,74R
a) b)
o
P.18
Ӎ
P.8
a
28 cm
2a ϩ b
y C ϭ 0
.
P.17
P.5
P.7
xC ϩ y C ϭ 40 cm
1-): correta. 2-), 3-) e 4-): erradas.
P.26
Testes propostos T.1
b
T.2
c
T.3
d
T.4
c
T.5
d
T.6
c
T.7
c
T.8
d
T.9
a
P.12
As partí culas A e B colidirão a 4,0 cm da origem.
T.10
d
T.11
d
T.12
b
P.13
16 cm
T.13
b
T.14
c
T.15
a
P.14
60 cm
T.16
a
T.17
d
T.18
c
View more...
Comments
