FISICA ATOMICA.docx

FISICA ATOMICA Los láseres fueron desarrollados hace menos de 50 años, pero se han vuelto comunes en muchas áreas de la vida cotidiana. Se ven en reproductores de blu-ray, DVD y CD, en lectores de códigos de barra en tiendas, incluso i ncluso en espectáculos de luz en conciertos de rock y otros eventos. También tienen aplicaciones importantes en las ciencias, como en la astronomía. Observatorios disparan rayos láser al cielo y ven cómo la luz es distorsionada por perturbaciones atmosféricas. Luego, las computadoras pueden retroalimentar estas informaciones a espejos adaptativos que tienen secciones móviles que compensan el movimiento atmosférico, produciendo imágenes estables y nítidas. Los láseres funcionan mediante la producción de fotones de luz conforme se mueven electrones entre niveles de energía en átomos, tema que estudiaremos en este capítulo. El concepto de niveles de energía atómica fue parte del modelo de Bohr del átomo, que fue uno de los intentos más tempranos de aplicar ideas cuánticas a la estructura atómica. Sin embargo, a pesar de su éxito extraordinario, el modelo de Bohr no explicó por completo cómo partículas funcionan juntas dentro de átomos; esta explicación requiere la aplicación de la mecánica cuántica del capítulo 37. Presentaremos un resumen general de esta aplicación, dejando a un lado gran parte de los detalles matemáticos, y luego mostraremos cómo los resultados subyacen bajo la operación de láseres y otros dispositivos modernos. Usando un prisma, se puede construir un espectrómetro. Este instrumento visualiza los componentes espectrales de la luz emitida por todo tipo de objetos. La figura 38.3 muestra un tipo de espectrómetro que a menudo se utiliza en laboratorios de física introductoria. Un brazo del espectrómetro apunta hacia una fuente de luz y proporciona un delgado rayo de luz estrechamente enfocado, que da al prisma central y luego es descompuesto en forma espectral. El otro brazo del espectrómetro contiene las lentes oculares y se usa para observaciones. Éste gira alrededor de un eje de pivote central ubicado debajo del centro del prisma. La idea principal para el uso del espectrómetro es que podamos medir el ángulo entre los dos brazos y determinar de este modo el ángulo de deflexión de cada color. Al conocer el índice de refracción del prisma y usar la ley de Snell, un espectrómetro permite una determinación muy precisa de las longitudes de onda de la luz. A finales del siglo xix se utilizaban espectrómetros en muchos laboratorios para estudiar gases. La retención de gases en tubos de descarga eléctrica permitía a los investigadores enviar una corriente a través del tubo, causando que el gas emita luz. (La caja negra en la parte derecha de la figura 38.3 contiene el tubo de descarga eléctrica que brilla en color púrpura con su fuente de alimentación.) Por cierto, esta manera de generar luz es la base para la luz de neón.

Un espectrómetro apuntando hacia el Sol descompondrá la luz en forma espectral e n un espectro como el que aparece en la figura 38.2, es decir, una matriz de diferentes colores. La medición de la intensidad o emisividad espectral de los diferentes colores de la luz del Sol hace posible medir la temperatura de su superficie, bajo la suposición de que emite un espectro de cuerpo opaco. No se necesita un espectrómetro caro para ver que el Sol emite un espectro amplio de todos los colores, un prisma de juguete infantil puede hacer esto. Sin embargo, si usted apunta el espectrómetro a un tubo de descarga lleno de hidrógeno puro y mira el espectro emitido por este gas, le espera una enorme sorpresa. En lugar de un amplio espectro continuo, usted encontrará unas cuantas líneas delgadas de colores particulares. Cuando mucho se pueden ver cuatro líneas: rojo (longitud de onda 656 nm, lo que históricamente también se llama H-alfa), verde azulado (longitud de onda 486 nm, Hbeta), azul oscuro (434 nm, H-gamma) y finalmente violeta (410 nm, H-delta). Otras líneas discretas aparecen en el espectro del hidrógeno, pero se encuentran fuera del rango de longitudes de onda accesibles por el ojo humano no asistido. Aun así es posible determinar las longitudes de onda de estas otras líneas espectrales, y esto se hizo con bastante buena precisión en el siglo xix. La parte inferior de la figura 38.4 ilustra dónde se ubican las líneas de hidrógeno como función de su longitud de onda . Se muestran las cuatro líneas visibles en sus propios colores. Además, las líneas invisibles están indicadas por líneas blancas delgadas. Estas líneas caen en distintos grupos, llamados por sus descubridores: las series Lyman, Balmer, Paschen y Brackett. Basado puramente en el estudio de los patrones en los números para las longitudes de onda, el matemático y físico por afición Johann Balmer (1825-1898) encontró, en 1885, una fórmula empírica que pronosticaba las longitudes de onda en el grupo Balmer del espectro de hidrógeno:  = (364.56 nm)

 2



 2



−4

, n= 3, 4, 5…

PROBLEMAS LINEAS ESPECTRALES La figura muestra las longitudes de onda de la línea a la extrema izquierda en cada una de las primeras cuatro series en el espectro de hidrógeno. ¿Cuáles son los valores correspondientes para las líneas de la extrema derecha en cada serie?

SOLUCIÓN Las longitudes de onda de las líneas en el espectro de hidrógeno se describen mediante la fórmu- la de Rydberg.

1 

= 

1  2

1



1  2

 2

Puesto que n1 < n2, el término 1/n1 2 siempre es mayor que 1/n2 2. Para un valor fijo dado de n1, un valor creciente de n2 significa la resta de un número más pequeño 1/n2 2 de 1/n1 2 y, por lo tanto, un incremento de 1/. Por ende, la longitud de onda aumenta en forma monotónica con n2 incrementando. Ahora que entendemos esta dependencia, podemos ver que la longitud de onda de la extrema izquierda y, por ende, más pequeña en cada serie debe corresponder al valor más grande de n2, que es n2 ~ ∞. Ésta es también la razón por la que las líneas se vuelven tan densamente espaciadas en este extremo de la serie. Hay un número infinito de valores de n2 con casi exactamente la misma longitud de onda. Por el contrario, el valor de la extrema derecha y, por ende, más grande de la longitud de onda en cada serie debe corresponder al valor más pequeño posible de n2 en cada serie. Puesto que tenemos la condición n1 < n2, este valor más pequeño posible es n2,mín = n1 + 1. Si insertamos esta condición, encontramos para la longitud de onda máxima en cada serie.

EL MODELO DEL ÁTOMO DE BOHR: Los átomos consisten en núcleos, que a su vez consisten en protones de carga positiva y neutrones sin carga, rodeados por electrones de carga negativa girando alrededor del núcleo y ligados a él mediante la interacción de Coulomb. En un átomo eléctricamente neutro, el número de protones es igual al número de electrones. La ionización de un átomo —es decir, la eliminación de uno o más electrones— causa que el ion restante se cargue positivamente.

El tamaño normal de un átomo es del orden de d ≈ 10–10 m, y el tamaño normal del núcleo atómico es de un factor de 10 000 más chico. El hidrógeno —el elemento más abundante del universo— es también el átomo más simple en el universo que consiste únicamente en un protón en el núcleo central con un electrón que gira a su alrededor. Después de los experimentos de Rutherford, los físicos creyeron que los electrones giran alrededor del núcleo, parecido a la forma en la que la Tierra y otros planetas giran alrededor del Sol. Analicemos lo que esto significa para el átomo más sencillo: hidrógeno. El capítulo 9 mostró que el movimiento en una órbita circular requiere una aceleración centrípeta constante. Debido a que la fuerza gravitacional que actúa sobre el electrón debido al núcleo es tan débil, la fuerza centrípeta es proporcionada por la fuerza de Coulomb. Esto nos lleva:  2





 2



 2

 – 



 2



Cuantización de la cantidad de movimiento angular orbital En 1913, el físico danés Niels Bohr (1885-1962) hizo una suposición ad hoc de que la cantidad de movimiento angular del electrón en su órbita alrededor del núcleo sólo puede asumir valores discretos. El capítulo 10 introdujo el vector de cantidad de movimiento angular de una partícula puntual como L= r x p. La idea de Bohr era la de requerir que las únicas órbitas del electrón estables posibles fueran aquellas con una cantidad de movimiento angular en múltiplos enteros de ħ (la constante de Planck dividida entre 2 ).

¿Por qué demandar esta condición? Dimensionalmente esto funciona porque tanto la cantidad de movimiento angular como la constante de Planck tienen unidades de kg m2 s –1 = J s. Sin embargo, este factor solo no es suficiente. En la siguiente discusión, mostramos que la cuantización de la cantidad de movimiento

angular también lleva a la cuantización de la energía. Además, si se cuantiza la energía del electrón, entonces el electrón no puede radiar arbitrariamente pequeñas cantidades de energía y entrar en espiral en el núcleo. Primero resolveremos las consecuencias y predicciones del postulado de Bohr y luego regresaremos a la discusión sobre el significado del postulado y la validez del modelo. Para iniciar el cálculo para el modelo del átomo de hidrógeno de Bohr, empiece con la ecuación 38.3 para la fuerza centrípeta y multiplique ambos lados por un factor r3. Esto lleva a:  2





 2



 =

 2





 r  2  = r2r2

FUNCIÓN DE ONDA DEL ELECTRÓN DE HIDRÓGENO Para encontrar los estados ligados del electrón, tenemos que resolver la ecuación

independiente del tiempo de Schrödinger y encontrar los valores propios de energía En. Esperamos que nuestra solución se parezca a la ecuación 38.7, En = – 13.6/n2 eV, porque esta predicción del modelo de Bohr coincidía con los datos experimentales. Una advertencia antes de que empecemos esta tarea: una parte de las matemáticas que está involucrada en la resolución de este problema es tediosa y quizá tan avanzada como cualquiera que presentamos. Éstas son las malas noticias. Las buenas noticias son que este problema es muy instructivo y nos permite tener un atisbo de muchas características profundas de la mecánica cuántica y de las maneras de iluminarlas. La matemática no será resuelta en todos sus detalles, y a veces simplemente se declarará el resultado de un cálculo. No se desaliente mientras estudiamos este sistema cuántico esencial. No sólo nos ayudará a entender el átomo de hidrógeno, sino que nos dará una comprensión completa de la tabla periódica de los elementos. El potencial en la ecuación de Schrödinger es el potencial de Coulomb, U r ke r ( ) – . = / 2 Observe que este potencial depende solamente de la distancia radial al origen (donde se ubica el núcleo) y no de la dirección angular del electrón con relación al núcleo. El átomo de hidrógeno es un objeto en el mundo real y, por lo tanto, existe en el espacio tridimensional:

Definición de la coordenada esférica.

SOLUCIONES ESFÉRICAMENTE SIMÉTRICAS Motivados por el éxito del modelo de Bohr, investigamos primero si existen soluciones esféricamente simétricas. Si éstas existen, sólo pueden ser una función de la coordenada radial r. Así que trabajemos con esta suposición por ahora para ver hacia dónde nos lleva. El operador laplaciano se simplifica entonces de manera importante porque las derivadas con respecto a y desaparecen, dejándonos:

Observe que reemplazamos la derivada parcial con una derivada convencional porque la función de onda en este caso depende de una sola variable r. Por ende, para la ecuación de Schrödinger:

Las funciones de onda que corresponden a los valores más bajos del número cuántico n son:

Soluciones esféricamente simétricas para la ecuación de Schrödinger del hidrógeno para los tres valores más bajos del número cuántico radial. a) Función de onda; b) densidades de probabilidad ponderadas. Las líneas verticales en b) representan las predicciones del modelo de Bohr.

Normalización de la función de onda del hidrógeno La función de onda del electrón de hidrógeno correspondiente a n = 1 tiene la forma dada en la ecuación . Al usar la condición de que la integral del cuadrado del valor absoluto de la función de onda es 1, determine A1.

SOLUCIÓN

Podemos resolver esta ecuación para A1:

Se hacen evidentes algunas tendencias sistemáticas en la progresión de las energías de ionización. Lo que se vio como una curva en zigzag salvaje e irregular en la figura 38.17 empieza a mostrar estructura. Es precisamente esta estructura la que forma la base de la tabla periódica de los elementos químicos (figura 38.18). En la tabla periódica, los elementos que llenan la capa n = 1 están en la primera hilera y los que llenan la capa n = 2 están en la segunda hilera. Cuando se agrega un electrón a una nueva capa, éste corresponde a una nueva hilera en la tabla periódica. En cada hilera se agregan los electrones uno por uno, de izquierda a derecha. Los elementos con subcapas completamente llenas, de tal modo que un electrón adicional tendría que ser colocado en la siguiente capa principal más alta, termina en la columna de la extrema derecha, mientras que los que inician una nueva capa están en la columna de la extrema izquierda.

Energías de ionización para los elementos hasta Z= 104 (rutherfordio) en la tabla periódica.

 Las primeras dos hileras de la tabla periódica son idénticas a las primeras dos capas principales, pero en general una hilera dada en la tabla periódica no es idéntica a una capa principal. Ya en la tercera hilera faltan los electrones 3d. Puesto que sus niveles de energía son más altos que los de los electrones 4s, los electrones 4s se agregan antes de los 3d. Puesto que los electrones 4s empiezan una nueva hilera, los átomos de escandio hasta zinc, en los que electrones llenan la subcapa 3d, son miembros de la cuarta hilera de la tabla periódica, no de la tercera. Los elementos en una columna dada tienen una configuración de electrones similar en su capa más exterior. Las capas interiores completamente llenas tienen muy poca influencia sobre las interacciones del átomo con otros átomos o fotones. Los electrones en las capas más exteriores de los átomos, llamados electrones de valencia, determinan principalmente el comportamiento químico del átomo. Por lo tanto, elementos en una columna dada son químicamente similares de muchas maneras. Observe que la hilera inferior en la figura 38.18 consiste principalmente en átomos artificialmente producidos. Átomos con un número atómico mayor que 92 (uranio) no son estables y, por lo tanto, no se encuentran en la naturaleza. Se pueden crear en el laboratorio y existen durante algún tiempo antes de descomponerse. Como regla general se puede decir que entre más alto sea el número atómico, más corta será la existencia de un átomo artificialmente producido antes de su descomposición. Los elementos 113, 115, 116 y 118 apenas se descubrieron en la primera década del siglo xxi y cada uno de ellos sólo existe durante unos cuantos milisegundos antes de decaer.

PRODUCCIÓN DE RAYOS X En varias ocasiones se han analizado los rayos X en este libro. Es probable que el descubrimiento de los rayos X por Wilhelm Conrad Röntgen (1845-1923) en 1895 fuera uno de los eventos que diera inicio a la era moderna de la física. Los rayos X son radiación que penetra y que consiste en fotones de alta energía. Las energías de fotones normales que se emplean para rayos X de diagnóstico médico están entre 25 keV y 140 keV, con mamografías que usan normalmente una energía máxima de 25 keV y rayos X dentales cuya energía máxima normal es de 60 keV. Los rayos X para el escaneo de equipaje en aeropuertos tienen energías de hasta 160 keV. Todos estos rayos X pueden ser producidos por tubos de rayos X (figura 38.20). ¿Cómo funciona un tubo de rayos X? El principio físico es sencillo: un filamento metálico es calentado y emite electrones desde su superficie. Estos

electrones luego son acelerados a través de una diferencia de potencial electrostático ΔV. Estos electrones impactan sobre la superficie del ánodo que normalmente está hecho de metal, convencionalmente de tungsteno. Cuando los electrones impactan en la superficie del metal, pueden producir rayos X de dos diferentes maneras. Una es bremsstrahlung (palabra alemana para “radiación de frenado”). Cuando los electrones penetran la superficie del metal, experimentan una fuerte desaceleración, que a su vez causa la emisión de fotones. Este proceso genera una distribución continua de fotones que es indicada por la línea interrumpida en la figura 38.21. Observe que esta distribución continua termina en una energía máxima que es dada por la energía cinética total ganada por el electrón del proceso de aceleración mediante el potencial electrostático, solo foton de energía.

.

convertido en un