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Trigonometría
1 Sistemas de medición angular ÁNGULO TRIGONO TRIGONOMÉTRICO MÉTRICO Es la rotación de un rayo alrededor de su origen, desde una posición inicial a una posición final.
Observación: Si se cambia el sentido de la rotación de un ángulo su medida cambiará de signo.
A���������� ���:
Para convertir convertir un ángulo en un sistema distinto, se tiene que multiplicar a dicho ángulo por un factor de la forma: x y 3
→ →
Sistema que quiero Sistema que no quiero quiero TRIGONOMETRÍA
1
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
5.o año
T��������� �� ����� 1. Halla el valor de “x”. “x”.
≠
7
= 180º = 25° 42’ 51’’ 7
a = 25 b = 42 c = 51 Piden: a + b + c = 25 + 42 + 51 = 118 ⇒
2. Halla el valor de “x”. “x”.
9. Si: ≠ rad = a° 3b’ 1c’’ 21 Calcula: R = b a-c
3. Halla el valor de “x”, si: 63° = (4x – 6)g
10. Si un ángulo se expresa como ab° y también como (a+1)0g, halla: “a + b”.
4. Halla el valor de “x” si se cumple: 20g = x≠ rad 20 Resolución: 20 g = x≠ = ≠ rad 20 0 g 10
11. Halla un ángulo en radianes, tal que: 2C – S = 55
≠
10
rad
=
x≠ 20
12. Señala la medida radia de un ángulo que verifica: 3S – C + 20R = 20,1416 Resolución: 3S – C + 20R = 20,1416 3(9k) – (10k) + 20 ≠k = 20,1416
rad
144424443
5. Halla el valor de “x” si: 40g =
x≠ 40
17k + pk = 20,1416 Reemplazando: p = 3,1416 17 k + 3,1416k = 20,1416
rad
144424443
6. En un triángulo rectángulo sus ángulos agudos miden 20mg y 12m°. Expresa en el sistema radial el siguiente ángulo: 2 3 g a = (1 + m + m + m )
20,141 ,1416 k = 20,141 ,1416
k=1 Piden: R = ≠k = 20
7. En un triángulo ABC, sus ángulos internos mi-
den: 10xg, 21x° y
≠x
6
7
1
rad #
180º ≠rad
tes miden:
=
TRIGONOMETRÍA
20
rad
14. En un triángulo isósceles, los ángulos congruen-
7
Resolución:
≠
13. Señala la medida radial de un ángulo que verifica: S + C + R = 383,1416
rad. Señala el valor de “x”.
8. Halla el valor de: a + b + c, si se cumple: ≠ rad = a° b’ c’’
≠
f p 20
x=2
d
x 2 + 18x + 1 x
medida es mínima (x
180º 7
∈
n
cada uno. Si dicha
+ R ),
radial del ángulo desigual?
4
g
¿cuál es la medida
o
SECTOR CIRCULAR
5. año
Sector circular
L: longitud de arco q: ángulos en radianes R= radio de la circunferencia Tener en cuenta:
Z ]] θ = a - b c Se cumple [ ]] S = (a + b) c 2 \
T��������� �� ����� Integral 1. En un sector circular el ángulo central mide 3rad y el radio 5cm. Calcula el perímetro del sector circular.
3. Halla el área de la región sombreada.
2. Si OA =AB=8m, halla el área del sector AOB.
Resolución:
PUCP 4. Halla la medida del radio de la circunferencia mostrada. 5
TRIGONOMETRÍA
1
o
5. año
SECTOR CIRCULAR
Piden:
L = q R 2≠
=
≠ 2
R
S1 S2
R=4 5. Halla la medida del radio de la circunferencia mostrada.
=
1 ≠ (4) 2 2 12 1 ≠ (6) 2 2 6
1
4
16≠ S1 S2
=
12
=
36≠ 6
S1 S2
6. Calcula: E =
Resolución:
36 ≠ .12 6 3
3 =
2 9
9. Calcula: S1 + S 4
1
16 ≠ .6
S1 S2
S 2 + S3
S= S= S=
7. Halla el área sombreada
10. En la figura AOB y COD son sectores circulares. Si el área de COD es 9cm 2 y la longitud del arco AB es 10 cm, halle el área de la región sombreada.
S= S=
– 1 ≠ 2 1 ≠ 2 b a 2 5 2 5 ≠
10 ≠ 10
_ i b
2
- a2
(82)
← pitágoras
64≠ 10
S = 6,4 p 13. En la figura AOB y DOC son sectores circulares. Si AC = 10, halla el área sombreada.
UNMSM 8. Calcula:
S1
11. En la figura mostrada: OA = OB = 60 cm. O y B son centros. Calcula la longitud
del arco PQ .
S2
14. Calcula el área de la región sombreada.
_
Resolución: * 15° × * 30° ×
1
≠ 180º
≠ 180º
=
≠
UNI
12
=
TRIGONOMETRÍA
≠ 6
12. En la figura AOB y DOC son sectores circulares, si AC=8, halle el área sombreada. 6
L AC = LCD = LBD !
!
!
i
2
Razones trigonométricas de ángulos agudos
OPERADOR TRIGONOMÉTRICO Son aquellos símbolos matemáticos que se aplican a los ángulos. El día de hoy se estudiaran a seis de ellos, los cuales son:
Operador
Abreviatura
Seno
Sen
Coseno
Cos
Tangente
Tan
Cotangente
Cot
Secante
Sec
Cosecante
Csc
Donde: a y c son catetos b es la hipotenusa a y b son los ángulos agudos
Cateto opuesto
Cateto Hipotenusa adyacente
Respecto al ángulo a
a
c
b
Respecto al ángulo b
c
a
b
Con respecto al ángulo agudo a se tiene:
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
La razón trigonométrica en un triángulo rectángulo, es el valor que se obtiene al comparar dos lados de dicho triángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.
Sena =
cateto opuesto hipotenusa
=
a b
Cosa =
cateto adyacente hipoteusa
=
c b
Tana =
cateto opuesto cateto adyacente
=
a c
Cota =
cateto adyacente cateto opuesto
=
c a
Seca =
hipotenusa cateto adyacente
=
b c
Csca =
hipotenusa cateto opuesto
Sea un triángulo rectángulo ABC.
=
b a
b2 = a2 + c2 (Teorema de Pitágoras)
7
TRIGONOMETRÍA
2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
5.o año
T��������� �� ����� Integral 1. Si: Tanx =
N=
a+b a+b
9. Si el perímetro de un triángu-
= 1
1
5. Del gráfico mostrado, calcula:
3
Calcula: L = (x: agudo)
10
Cscx
L = Tanf – Tany
lo rectángulo es de 210 m, la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. Halla cuánto mide el cateto menor.
10. Del gráfico calcula Cot a, si: 2. Calcula:
Cotθ
+ Cotβ
Cotf = 2,4
Cotα
6. En un triángulo ABC, recto en A, reduce la siguiente expresión:
3. Calcula:
a2 TanB . SenB . SenC
11. Si en el gráfico “I” es el incentro del triángulo ABC, calcula: R = Cota + Cotb
7. En un triángulo rectángulo
Tana . Tanb
ABC, recto en C, se cumple: 4SenA=7SenB. Calcula: 65Sen2A – 42TanB.
PUCP 4. Del gráfico mostrado, calcula: N = Tana + Tanq
UNMSM
UNI
8. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y la cosecante de uno de sus ángulo agudos es 2,6. Calcula la longitud del mayor cateto. Resolución: Csca = 2,6 =
26 10
=
13
!
H
5
!
CO
12. Si AB=BC, calcula: Q = Cota – Cscf
Resolución: Resolución:
Dato: perímetro = 150 1442443
Piden: N = Tana + Tanq N=
2
a a+b
+
b a+b
TRIGONOMETRÍA
13K + 12K + 5K = 150 30K = 150 K=5 Piden: 12K = 12(5) = 60u
8
Aplicando Pitágoras en los triángulos ABO y BCO a2 + b2 = 52 (
ABO)
a2 + 32 = b2 (
BCO)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
Resolviendo las ecuaciones: a=2
5.o año
13. Calcula: Tanb
14. Si AC es diámetro. Calcula Cotq, siendo AF = 20 ∧ ED = 16 (EB = BD)
2
Piden: Q = Cota – Cscf Q= Q=
3 2 2 -2
2 2
5
-
2 2
=-
1 2
9
TRIGONOMETRÍA
2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
5.o año
Razones trigonométricas de ángulos notables TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Son aquellos triángulos rectángulos, donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados. Destacan los siguientes triángulos:
b) De 45° y 45°
a) De 30° y 60°
c) De 37° y 53°
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES 30° 1
Seno
2
3
Coseno
2 3
Tangente
3
Cotangente
3
2 3
Secante
3
Cosecante
2
45°
60°
37°
53°
3
4
2
5
5
1
4
3
2
5
5
3
4
4
3
4
3
3
4
5
5
4
3
3
2 2 2 2
1
3
1
3 3
2
2
2
2 3
5
5
3
3
4
Advertencia pre
Por lo tanto: Tan A
=
Cot A
=
2
2
2
TRIGONOMETRÍA
10
a c+b c+b a
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
5.o año
T��������� �� ����� 6. Del gráfico, halla: SenxCscy
Integral 1. Calcula “x” en la igualdad: 2xSen30° + 2Sec 260° = 4xTan45° + 5Cos53°
2. Halla el valor de: L=(Sec53°+Cot37°)Cos60°Cot45°
7. Halla: Cot 45
3. Del gráfico, calcula Tan q
2
UNMSM 8. Calcula: M = 4Tana + 7Tanq
PUCP 4. Del gráfico, calcula Tan q si en triángulo ABC es equilátero.
Resolución:
Resolución:
Piden: M = 4Tana + 7Tanq 2
M= Tanq =
3
4 8
+73
3 7
3 6
M=4
5. Del gráfico, calcula Tan a (ABC: equilátero)
3
9. Del gráfico, calcula: N = 27Tana – 29Tanq
11
TRIGONOMETRÍA
2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
5.o año
10. Si Senq = Tan37°
Resolución
Calcula: E=
7 Tanθ + 1
11. Del cubo mostrado, halla Cos 2a + Tan230°
Del gráfico: Tanq =
1 2
13. Del gráfico mostrado calcular “Tan q + Tan60°” (ABCD: cuadrado)
UNI 12. Del gráfico, calcula Tan q (ABCD es un cuadrado)
14. De la figura mostrada, calcula el perímetro del triángulo.
2
TRIGONOMETRÍA
12
3
Propiedades de las Razones Trigonométricas
Si tomamos el triángulo ABC, recto en C, como referencia:
RAZONES COMPLEMENTARIAS Llamadas también co–razones, se caracterizan por tener igual valor numérico solo si sus ángulos suman 90°, por ejemplo: SenA =
a c
y CosB =
a c
→ SenA = CosB
Generalizando: SenA = CosB
RAZONES RECÍPROCAS Son aquellas parejas de R. T. cuyos valores son inversos, por ejemplo: SenA =
a c
⇒ CscA =
c
TanA = CotB
a c
.
c a
También se puede escribir:
a
R.T.(q) = Co-R.T. (90º – q)
=1
En conclusión: SenA . CscA = 1 CosA . SecA = 1 TanA . CotA = 1
A + B = 90º
SecA = CscB
Ahora, si multiplicamos estas R.T. tendríamos: SenA . CscA =
⇒
Tener en cuenta: ⇒
Ángulos iguales
Para que estas propiedades se cumplan los ángulos tienen que ser agudos.
T��������� �� ����� Integral
3. Sabiendo que: Tan3x.Cot(48°-x)=1
1. Indica V o F según corresponda: I. Sen25° = Cos65° ..................................... ( )
Calcula:
E = Sec25x - 4Tan(3x + 1°)
II. Tan20°.Cot70°=1 .................................... ( ) III. Cos50°.Sec40°=1 .................................... ( )
UNMSM
IV. Tan(15°+x)=Cot(75°-x) ......................... ( )
4. Si: (Cos17°+5Sen73°).Sec17=4Tana (0°< a Ordenada Cateto adyacente < > Abscisa a ∈ IC
b ∈ IIC
g ∈ IIIC
IVC q ∈ IVC
Hipotenusa Hipotenusa < > Radio vector
ÁNGULOS COTERMINALES én se mal tambi también normal Nota: Nota: Los án ángulos en posición nor
Son aquellos, ángulos trigonométricos en posición normal cuyos lados finales coinciden, siendo la diferencia de sus medidas un múltiplo de 360°, es decir, un número positivo de vueltas. Si a y b son coterminales tal que a > b, entonces se cumple:
stándard.. canónicos o stándard ánguloss canónico denomi denominan ángulo
S DE DE UN ÉTRICA RICAS NOMÉT S TRIGO TRIGONOM RAZONES RAZONE AL N NORM NORMAL POSICIÓ ICIÓN LO EN EN POS ÁNGULO ÁNGU nométricas zones trigo trigonométricas sus razones canónico; susra Si q esun es un ángulo can el lado fina final como o un punto d punto del conociend onociendo se obtienen se obtienen c entes: iones sigui siguientes: las definic definiciones y se aplican aplic an las P(x;y) P(x;y) y y
P(x;y)
y
r
y
5.°
AÑO
a
es: Observacion bservaciones:
q
x
a – b = k(360°); k ∈ Z a = 360°k + b
x
ada y: orden ordenada x: abscisa ector r: radio v radio v ector 2 r = x + y 2
x
b a y b: canónicos y coterminales
95
TRIGONOMETRÍA
1
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Trabajando en clase 5. Calcula: Tana + Senq
Integral
y
1. El punto P(1;–3) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal “a”, calcula el valor de: E = 10 Seca + Tana
2. El punto Q(–2;3) pertenece al lado final de un ángulo estándar q, calcula: Q = 13 Csc Cscq – Cotq
a
↓
x
y
Del dato: (4;–3)
(5;13)
y
9. Calcula el valor de “a” si Tan a = 4
53º
y
b x
y x
(a+1;a–2)
M = 3Tana - 2Senq - Seca Tanq Sena Secq
PUCP
y
4. Calcula: Csc q – Sena
10. Calcula: Sena + Senb
R=
y
a
(4;3)
a
x
a 7. Calcula:
(–12;5)
Cotq = –3 m - 2 = -3 m-3
m – 2 = –3m + 9 4m = 11 → m = 11/4
6. Obtén el valor de Tan b
2 y
↓ x
q
3. Calcula K = 1 Seny – 2Cosy (–15;8)
Resolución: P(m–2; m–3)
Sena
Tana + Tanb Tana
y
x
q
x
+
a
q
x
b Resolución: (–12;5) y x y
UNMSM (4;3)
a
r=13
x y r=5
8. Si Cotq = –3 11. Obten el valor de “Tan q”
Calcula el valor de m. x
y
y
q q Piden: Cscq – Sena 13 - 3 5 5 10 = 2 5
1
TRIGONOMETRÍA
P(m–2;m–3)
96
q
x 53º
x
5.°
AÑO
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Piden: 3Tan 3Tana + 1
UNI 12. Calcula: E = 3Tan a + 1 y
3
5 3 º
x
3 5 O
q B
x
13. Calcula 2Cotq – 1, si CB = 2BA 3
y
y C
B 4 5 º º
A
4
a
AÑO
C
A
5 3 º º
5.°
y
4 + 1 -6
–1
Resolución:
(–6;4) x y
d n
–2 + 1
a 3
14. Calcula: Tanq – Cotq
x
q
97
x
TRIGONOMETRÍA
1
2
Ángulos cuadrantales y tabla de signos de las razones trigonométricas
SIGNOS DE LAS R.T. EN LOS CUADRANTES 90º
IIC
IC
Sen Csc (+)
Todas (+)
180º
0º; 360º
IIIC
VIC
Tan Cot (+)
Cos Sec (+)
Obs.: Las que no aparecen en los cuadrantes, son consideradas negativas
270º
ÁNGULO CUADRANTAL Es aquel en posición normal cuyo lado final coincide con alguno de los semiejes del sistema coordenado, coordenado, los ángulos cuadrantales son de la forma: Ang. Cuadrantal Cuadrantal = 90° . k
(k ∈ Z)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS T RIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES CUADRANTALES Grados Sexagesimales
0º
360º
90º
180º
270º
Radianes
0
2p
p
p
3p 2
Seno
0
0
1
0
–1
Coseno
1
1
0
–1
0
Tangente
0
0
N.D.
0
N.D.
Cotangente
N.D.
N.D.
0
N.D.
0
Secante
1
1
N.D.
–1
N.D.
Cosecante
N.D.
N.D.
1
N.D.
–1
2
TRIGONOMETRÍA
2
98
5.°
AÑO
ÁNGULOS CUADRANTALES Y TABLA DE SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Trabajando en clase Integral
UNMSM 8. Si Sena = 9 , a ∈ IIC
1. Señala el signo de:
41 Calcular: L = Sec a + Tana Resolución y Sena = 9 41 r r2 = x2 + y 2 412 = x2 + 92 x = –40 (ya que a ∈ IIC) Piden: L = Seca + Tana L = 41 + 9 - 40 - 40
L = Sen140 - Cos200 Tan320 c
c
c
#
2. Indica el cuadrante al cual pertenece q, si se cumple:
#
Secq < 0 ∧ Tanq > 0
3. Calcula el valor de: E = (Cos270°)Sen90° – Tan360 Cos0
c
c
PUCP
L = 50 - 40
5 4 9. Si: Cosx = – 1 (x ∈ IIIC) 3 Calcula el valor de: N = 2 (Cscx – Cotx)
4. Si: Sen2x + Sen4x - Sen6x Cos2x + Cos4 x + Tanx - 4Sec4x
f(x) =
b4l
Calcula f
p
Resolución
10. Si se tiene que Tan a > 0, además: Sena = Tan230° – Cot45°, calcula el valor de Cosa
Sen2x + Sen4x - Sen6x f(x) = Cos2x + Cos4 x + Tanx - 4Sec4x
11. Si q es un ángulo en posición normal del tercer
Sen2 p + Sen4 p - Sen6 p 4 4 4 f p = p p p 4 Cos2 + Cos4 + Tan - 4Sec4 p 4 4 4 4
cuadrante positivo y menor que una vuelta, determina el signo de: E = Sen2q . Cot q . Csc q 2 3
b l
Sen p + Senp - Sen3 p 2 2 f p = p p 4 Cos + Cosp + Tan - 4Secp 2 4 (1) + (0) - (- 1) f p = 4 (0) + (- 1) + (1) - 4 (- 1)
b l
UNI 12. Si: 1 - Senq + Senq - 1 = Cosf + 1 Cuando q y f son positivos y menores que 1 vuel-
b l
b 4 l = 24
f
p
=
ta, calcular: Cscq + Cos2 f K= 1 - Senf
1 2
Resolución Dato: 1 - Senq + Senq - 1 = Cosf + 1
5. Si: f(x) = 2Sen2x – Cos4x + Csc6x – 3Tan8x
1 – Senq ≥ 0 → 1 ≥ Senq
Calcula f(45°)
Senq – 1 ≥ 0 → Senq ≥ 1
6. Indica el cuadrante al que pertenece “ q”, si se cumple: Senq . Cotq < 0
→ Senq = 1 ∧ q = 90° Reemplazando en el dato:
7. Calcula el valor de:
1 - 1 + 1 - 1 = Cosf + 1
Q = (Sec180°)Cot270° + 3Csc90 Cos360
c c
5.°
AÑO
=-
Cosf = -1 ∧ f = 180°
99
TRIGONOMETRÍA
2
ÁNGULOS CUADRANTALES Y TABLA DE SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
13. La expresión:
Piden:
E = q- 2 + 4 - q es real, halla el valor de: M = Senq + Tanq + Cosq (q: es un ángulo cuadrantal)
Cscq + Cos2 f K= 1 - Senf 2 K = Csc90 + Cos 180 1 - Sen180 1 + -1 2 K= 1- 0 K= 2 =2 1 c
_i _ i _i
2
TRIGONOMETRÍA
c
c
14. Si: Sen2a = Sena + 1 ∧ a ∈ IIIC
Calcula:
12
E = Cota – 4Cosa UNI - 2001
100
5.°
AÑO
3 Reducción al primer cuadrante En este capítulo buscaremos determinar las razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida en función de un ángulo agudo.
CASO 1: ÁNGULOS NEGATIVOS Se aplica el siguiente criterio Sen(–x) = –Senx Csc(–x) = –Cscx Tan(–x) = –Tanx Cot(–x) = –Cotx
CASO 2: ÁNGULOS MAYORES DE 1 VUELTA �360°� En este caso se procede a dividir el ángulo entre 360°, tomando el residuo en lugar del ángulo original.
CASO3: ÁNGULOS MENORES A 1 VUELTA �360°� En este caso se descompone el ángulo usando un ángulo cuadrantal sumado o restado con un ángulo agudo, luego se aplica el siguiente criterio. R.T. (180° ∨ 360° ± q) = ± R.T. (q) R.T.(90° ∨ 270° ± q) = ± Co – R.T. (q)
Cos(–x) = Cosx Sec(–x) = Sec
El signo ± depende de analizar la expresión original con la tabla de signos de las razones trigonométricas.
Trabajando en clase Integral
III C Cos240° = Cos(180° – 60°) = –Cos60° = – 1 2 IV C Sec315° = Sec(360° – 45°) = +Sec45° = 2
1. Simplificar: Q=
Sen (- a ) 2Cos (- q) 3Tan (- b) + + Sena Cosq Tanb
Reemplazando: L = Sen150º – Cos240º + Sec2315º 2 L= 1 - -1 + 2 2 2 L=3
2. Calcula: E = Sec1860° – Tan1485°
b l b l
3. Obtén el valor de: Q = 4Sen210° + 3Tan315° PUCP
_ i
5. Calcula: E = Cos210º – Tan120º + Cot330º
4. Calcula: L = Sen150° – Cos240° + Sec 2315° Resolución II C Sen150° = Sen(180° – 30°) = +Sen30° = 1 2 5.°
AÑO
6. Reduce: E = Sec(–60º) . Cos(–37º) [5Tan(–45º) + 6Sen(–30º)] –1
7. Calcula: P = Csc1110º + Cos1440º
101
TRIGONOMETRÍA
3
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
UNMSM
UNI
8. En un triángulo ABC, simplificar:
12. Si x + y = 180º
Sen (A + B) – 2Tan(A + B + 2C) . Cot(A + B) SenC Resolución A + B + C = 180º Sen (180 - C) Q= – 2Tan(180º + C) . Cot(180º – C) SenC
Q=
Sen(Cosx) + Sen(Cosy) Resolución Dato: x + y = 180º y = 180º – x Piden: Sen(Cosx) + Sen(Cosy) Sen(Cosx) + Sen(Cos(180º-x)) Sen(Cosx) + Sen(–Cosx) Sen(Cosx) + –Sen(Cosx) 0
c
Q = SenC – 2(TanC)(–CotC) SenC Q = 1 + 2TanC.CotC 1442443
Q=1
+
2(1) = 3
13. Si a + q = 360º
9. En un triángulo ABC, simplifica: L=
Cos (B + C) + Tan(A + B + C) CosA
10. De la siguiente expresión: Sen (p + x) + Sen (p - x) Calcula “x”
2x
3
/ (Cos:_- 1ik D2 = 5 7
+ x < 2
q
k=1
Sen (360 - x) + Cos (270 Sen (180 - x)
TRIGONOMETRÍA
Calcula: P = Sen(Tana) + Sen(Tanq)
14. Siendo q un ángulo agudo tal que:
11. Simplifica: E=
Calcula:
c
c
-
Calcula:
/ (Tan:_- 1ik D2 7
x)
q
c
k=1
102
5.°
AÑO
4 Circunferencia Trigonométrica I. DEFINICIÓN Se llama circunferencia trigonométrica (C.T.) a aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen del sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del sistema
N b Senb (+)
B
q
M
P
a(+) a b
A’
Senq (–)
M Sena (+)
a
Senf (–)
f Q
A
b(–)
a, b, q y f son arcos en posición normal
N
B. L.T. Coseno
B’
A: (1;0)
Origen de Arcos
MyN
Extremos de Arco
B: (0;1)
Origen de complementos de arcos
El coseno de un arco se representa por la perpendicular trazada del extremo del arco hacia el eje de ordenadas.
b
A’: (–1;0) Origen de suplementos de arcos N
B’: (0;–1) Sin denominación
a y b
Arcos en posición normal
Cosb (–) (–)
q
2. LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS �L.T.� Representan los valores numéricos de las R.T. de un arco, ángulo o número real siempre que este definido.
Cosq
P
Cosa
M
a
(+) (+) Cosf
Q
f
A. L.T. Seno El seno de un arco se representa por la perpendicular trazada del extremo del arco hacia el eje de las abscisas.
5.°
AÑO
103
a, b, q y f son arcos en posición normal
TRIGONOMETRÍA
4
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Trabajando en clase Integral
5. Calcula el área sombreada
1. Coloca el signo >, < o =
b
I. Sen110º ( ) Sen20º II. Sen200º ( ) Sen250º
9. Señala verdadero (V) o falso
2. Coloca el signo >, < o =
C.T.
I. Cos20º ( ) Cos340º II. Cos100º ( ) Cos195º
3. Halla el área sombreada
Del gráfico: I. verdadero II. verdadero III. verdadero
6. Calcula el área de la región sombreada
y
(F) según corresponda I. Cos70º > Cos21º .......... ( ) II. Cos100º > Cos170º ...... ( ) III. |Cos230º| > |Cos160º| .. ( )
10. Halla la longitud del segmento
C.T.
MN
O
q
a
ñala verdadero (V) o falso (F) según corresponda
4. Halla el área sombreada
Sena < Cosq ....................... ( )
q
N
11. Halla la longitud PO.
Cosa > Cosq ....................... ( )
C.T.
C.T.
7. Si 90º < q < 180º, entonces se-
PUCP
a
M
x
C.T.
|Cosa| > |Cosq| ................... ( )
O
UNMSM
C.T.
P O
q
8. Señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda
Resolución
I. Sen69º > Sen21º ........... ( ) II. Sen215º > Sen255º ....... ( ) III. |Sen310º| > |Sen320º| ... ( )
q Senq
Resolución 1
90º
C.T. (1)(Senq) 2 S = Senq 2
4
TRIGONOMETRÍA
12. Calcula el área de la región sombreada
14243
S=
UNI
180º – – 215º 255º
104
69º 21º + + – – 320º 310º
C.T.
a
5.°
AÑO
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
13. Calcula el área sombreada.
Resolución C.T.
q
C.T.
1 4 4 2 1O A 3 –Sena
a
B
3 4 1 2 4 1 C
–Cosa Ssombreada = S9AOB + S9BOC – S9AOC Ssombreada =
14. Coloca >, < o = según corresponda.
1 (- Sena ) 1 (- Cosa) 1.1 + 2 2 2
Ssombreada = - Sena - Cosa - 1 2
5.°
AÑO
105
I. Sen(Sen1)
Sen(Sen2)
II. Cos(Sen1)
Cos(Sen2)
III. Cos(Cos1)
Cos(Cos2)
TRIGONOMETRÍA
4
5 Variación de senos y cosenos VARIACIÓN DEL SENO –1 ≤ Senq ≤ 1 Senqmax = 1
Senqmin = –1
IC
IIC
IIIC
IVC
0 < Senq < 1
0 < Senq < 1
–1 < Senq < 0
–1 < Senq < 0
VARIACIÓN DEL COSENO –1 ≤ Cosq ≤ 1 Cosqmax = 1
Cosqmin = –1
IC
IIC
IIIC
IVC
0 < Cosq < 1
–1 < Cosq < 0
–1 < Cosq < 0
0 < Cosq < 1
Trabajando en clase Integral 1. Señala la variación de: Q = 7Sena – 5 2. Señala la variación de: F = 7 – 3Cos q 3. Si Senq = 2n - 1
7 ¿Cuál es la suma de los valores enteros que toma n?
5
TRIGONOMETRÍA
PUCP 4. Si q ∈ IIC, señala la variación
5. Si a ∈ IIIC, señala la variación de: R = 3Cosa – 2
de: E = 3Senq + 1 Resolución Si q ∈ IIC → 0 < Sen q < 1 0 < 3Senq < 3 1 < 3Senq + 1 < 4 1 1
〈
∴ Cosx = 1 ⇒ x = 2np; n ∈ Z Dom(f) = {x ∈ R / x = 2n p; n∈ Z}
III. La función y = f(x) = Senx es impar sabemos que: Cosx = 1 Cosx – 1 = 0 Cosx–1 = 0
3. Halla el período de: f(x) = 4Cos 62x
∴ Ran(f) = {y ∈ R / y = 0}
PUCP 4. Dada la función seno, calcula un valor de «x» si el par ordenado p + x; 1 pertenece a dicha fun3
ción.
9. Halla el dominio y rango de la función: y = f(x) = 1–Senx
2
10. Halla el período de la función: f(x) = 4 + 3Sen4x
Resolución: Como p + x; 1 ∈ f(seno) 3 2
11. Halla el dominio de: g(x) =
3Senx + 1 1 + Cosx
Sen p + x = 1 = Sen p 3 2 6
UNI 12. Calcula el rango de la función:
p + x = p 3
6
∴ x = –p 6
5. Dada la función coseno, calcula un valor de «x» si el par ordenado p +2x; 2 pertenece a dicha función.
10
2
6. Halla el dominio de:
Sabemos que: –1 ≤ Senx ≤ 1
y = f(x) = 1 + 2Senx
3 1 1 – ≤ Senx – ≤ – 2 2 2
7. Halla el rango de: y = f(x) = 4 + 3Cos2x
7
TRIGONOMETRÍA
y = f(x) = Senx (1 – Senx) Resolución: y = f(x) = Senx – Sen 2x = –(Sen2x – Senx) Completando cuadrados 1 y = f(x) = – Sen2x – Senx + 1 4 4 2 1 f(x) = – Senx – 1 4 2
144
5.°
AÑO
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO) 2 9 0 ≤ Senx – 1 ≤ 4 2 2 9 – ≤ – Senx – 1 ≤ 0 4 2 2 1 1 –2 ≤ – Senx – 1 ≤ 4 4 2
13. Calcula el rango de la función: g(x) = Cosx(Cosx – 1)
14. Halla el período de: y = f(x) = Sen x – p + Sen x + p 3 3
∴ Ran(f) ∀ y ∈ –2; 1 4
5.°
AÑO
145
TRIGONOMETRÍA
7
8 Repaso 1. Halla el rango de la función: y = f(x) = 3 + 2Csc3x a) R – [1; 5] b) R – [–1; 5〉 c) R – 〈–1; 5〉
d) e)
B
〈 1; 5〉 R – 〈–1; 1〉 R –
c) p
b) 3p 2
d) p
Sen5x + Senx = 3 Cos5x + Cosx 3 a) 5º c) 15º b) 10º d) 20º
e) 30º
c) 6 d) 7
2Cos2x + 3Cosx – 2 = 0; x ∈ 〈0; 2p〉 e indica la suma de soluciones en el intervalo dado. 3p 3p a) 3p c) e) 4 2 5p b) d) 2p 2
e) 8
5. En un triángulo ABC, C = 2A; a = 9 y c = 14. Calcula CosA 8 9 7 b) 9
2 3 5 d) 9
a)
c)
e)
10. Calcula la solución general de: Tan x + p + 3 = Tan x – p ; n ∈ R
4 9
3
a) np – b) np +
6. En un triángulo ABC reduce la expresión: P= 1 8 1 b) 4 a)
bcCosA + acCosB + abCosC a2 + b2 + c2 1 c) e) 2 2
p
c) np ±
8
p
p
12
e) np ±
6
d) 2np ±
p
p
a) n + (–1)n 2 12
d) 1
b) n + (–1) n
lo B, siendo BD bisectriz.
TRIGONOMETRÍA
3
p 3
p 6
11. Resuelve e indica un conjunto solución de la E. T. Cot2x + Tanx = 4Cos2x; n ∈ R .
7. En la figura mostrada calcula la medida del ángu-
8
e) 30º
9. Resuelve:
4. Si 0º ≤ x ≤ 360º, halla el número de soluciones de: Tg2x = 3Tgx a) 4 b) 5
e) 150º
8. Resuelve:
3. Halla la solución principal en: Tanx + Cotx = 4 c) 18º d) 20º
c) 60º d) 120º
e) 0
2
a) 10º b) 15º
C
D
a) 30º b) 45º
8
a) 2p
42
A
2 Reduce la expresión: E = ArcSen Sen 7p + ArcCos Cos 9p 8
140
60
146
c) 2np ±
p 6
d) n
p ± p
e) n
p + (–1)n p
2 4
24 24
p 24 5.°
AÑO
REPASO
12. Halla los valores de x, si 0 < x < 2 p y se cumple: Cosx > Senx p ∪ a) 0; 4 b)
〈 〈〈 〈 p p p p ∪ 〈 〈 〈 〈 p 〈 〈∪ 〈p p〉 〈 p p 〈∪ 〈 p p 〈 4
c) 0; d)
e)
4
;
2
5p ; 2p 4 ;
2
4
;
5p 4
〈
Claves
5 4
;2
;
〈p
5 ; 2 4
1.
d
5.
b
9.
d
2.
c
6.
c
10.
e
3.
b
7.
d
11.
e
4.
d
8.
b
12.
a
Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5. 6.
5.°
AÑO
ALVA CABRERA, Rubén: Trigonometría teoría y práctica. Editorial: San Marcos. AYRES, Frank: Trigonometría plana y esférica. Editorial: MacGranw-Hill. HALL; H.S.; KNIGHT, S.R.: Trigonometría elemental. Editorial Uteha. HOBSO, E.W.: Plane anda advance trigonometry. Cambridge University Press. RIBNIKOV, K.: Historia de las matemáticas. Editorial: Mir. Moscú. Trigonometría. 5º Pre RACSO editores.
147
TRIGONOMETRÍA
8
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