Fisica-2 - Vectores-Teoria y Ejercicios PDF

 

  ACAD EMIA SIGMA SIGMA Y NEWTON

Ejemplo:

ANÁLISIS VECTORIAL

Sean A;B  y C    los vectores

VECTOR

 A

Este es un ente matemático que gráficamente se representa represe nta por un segmento segmento de de recta orientado. orientado.

C 

 B

 

   

La Física Física utiliza los vectores v ectores para representar las magnitudes vectoriales.

Construimos el polígono vectorial:

C 

 y

 R

Línea de acción

Módulo

Polo Sentido

 A

O Dirección

x

B.  MÉTOD MÉTODO O DEL PARALELOGRAMO Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que tienen un mismo punto de origen. Gráficamente se construye. Un paralelogramo trazando paralelas a los vectores. El vector resultante se traza uniendo el origen de los vectores con la intercepción intercepción de las paralelas.

En general un vector se representa representa de la siguiente  forma:

 = Módulo del del Vector  Vector   = Dirección del Vector

 A

 A

 A

OPERACIONES VECTORIALES I.  SUMA DE VECTORES O COMPOSICIÓN VECTORIAL

 

Es un a operación que tiene por finalidad fin alidad hallar un

 B

único valor resultante ( R ) , el cual es igual a la suma de todos los vectores. Ejemplos: * Sean

Ay B

vectores    R    A  B  

* Sean

A; B

 y C  vectores    R  A   B  C   

II.  RESTA DEaVECTORES Esta es un una operación operación que tiene tiene por finalidad, hallar un vector v ector denominado denominado diferencia ( D ) , el cual es igual a la resta r esta de vectores. Ejemplo: * Sean

Ay B

Vector resultante: R    A  B   Módulo de R: R

2 2 A    B  2ABCos α

Casos particulares: 1)  Si   =  = 0º (A    B)  B) * Se obtiene el máximo valor del módulo de la resultante

vectores    D    A  B  

METODOS METOD OS PARA SUMAR LOS VECTORES VE CTORES  A.  MÉTODO DEL POLÍGONO Se utiliza para calcular la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares. Es un método gráfico que utiliza escalas apropiadas apropia das y consiste en trazar los vectores uno a continuación del otro manteniendo sus características. El vector resultante ( R ) se traza uniendo el origen del primer primer vector con el extremo del último vector.

Análisis vecto vectorial rial

 R

 A

 A R = A + B = Rmáx

 B  2)  Si   =  = 180 (A   B)  B) * Se obtiene el menor valor posible de la resultante

 B

 

 

A

R = A - B = Rmin

 = 90º (A  B)  3)  Si   = * Se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras

FÍSICA

1

 

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C.  MÉTODO DE LAS COMPONENTES COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

 R

 B

2

    A   B

 R

Son aquellos que resultan de proyectar proyectar un vector sobre dos (o tres) tr es) ejes perpendiculares perpendiculares entre sí:

2

Y

 A Propiedad:  

Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 60°.

X  y

A

B

 A y

X 

 A  

X

 A A X

Se cumple que:

R 

  R

X 3

 Ax = ACos   60 

 Ax = ACos  

B X  

Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 120°.

X  y

A

B

  R A

Expresión vectorial vectorial de A :

X 

X

X

Ax i   A y j

A

A co s qi   Ase n qj

A 1  2   0   

X  y

A

B

X 

  R

R 

B X

A(co s q, se n q)  

X

Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 90°.

A(co s qi   se n qj)

Como par ordenado:  ordenado:  A B

 

A

X 2

El método de los componentes rectangulares  permite  permit e calcular el módulo y la dirección dirección de la resultante de un conjunto de vectores. Pasos a seguir: 1º Se halla las componentes rectangulares. 2º Se calcula la resultante en cada uno u no de los ejes coordenados coordenad os (R ( R x; R y )  3º Se calcula el módulo de la resultante resultante aplicando

A X

DIFERENCIA ( D )

Módulo del vector vector A : 

La diferencia de vectores es llamada también resultante diferencia.

A

B))      D  A B   Vectorialmente: D  A ( B

Ax

D

 

180   q

/        /      

q B

B

2

A  B

2

2 AB co s(1 8 0 º

q)

Pero se sabe que: co s(1 8 0 º q)   D

2

A  B

2

2 AB co s q

Ay Ax

 

Vectores en el spacio Análogamente a los puntos del plano cartesiano que Análogamente están representados representad os por un par p ar ordenado, los pu ntos ntos del espacio se representan mediante ternas de números o coordenadas espaciales.

Por la Ley de cosenos: D

2

 respecto al eje X:  t  taa n q 

A

Ay

A

Dirección del vector  /        /      

2

co s q

Puntos en el espacio:  Puntos espacio:  (x, y, z)   X: eje de abscisas Y: eje de ordenadas Z: eje de cotas cota

Y

O

P(x,y,z)

ordenada

Z

abscisa

Análisis vecto vectorial rial

FÍSICA

 X 

2

 

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Cosenos direct di rectores: ores:   Las direcciones del vector con respecto a los ejes coordenados están dados por:

Y

a2 a3

Y 

A

O

A(a 1, a 2 , a 3 )

a2

a1

Z

X

Componentes de un vector en R

a3

3

R 

sus

 A  a 1i

X

vectores

unitarios

  :

ángulo de inclinació inclinación n con respecto al eje X

  :

ángulo de inclinació inclinación n con respecto al eje Y

  :

ángulo de inclinació inclinación n con respecto al eje Z

a 2 j a 3k

Dados dos puntos en el espacio, se puede hallar el vector que dichos puntos determinan, aplicando: V

a1

 

Un vector A  (a 1 , a 2 , a 3 ) , se puede escribir como de



A



Z

3

Expresión vectorial de un vector en combinación lineal canónicos, así:



O

P fin a l

Dirección con el eje X: co s  

Pin icia l

Dirección con el eje Y: cos   3

Módulo de un vector en

R 

 

El módulo de un vector A  a 1i a 2 j a 3 k ;  está dado

A a3

    Cosenos direct directores ores

2

2

2

co s  co s    co s   1 Propiedad:   co A

Del gráfico:

a1

2

a2

2

a3

2

EJERCICIOS

Y

BLOQUE-I   En los siguientes casos hallar el vector resultante.

a2 a3

A

O

1. 

F

a)

a1

Z

c)  Vector Unitario Unitario

A





A

G

3C  

D

B C

e) 3G  

vector unitario en la dirección dirección d de e A , a la expresión: A

E

d) 3F  

A  (a 1 , a 2 , a 3 ) , se define como

Dado un vector:

A

2A  

b) 3C  

X

U

A a2

Dirección con el eje Z: cos   A  

por:

U

a1

 

A

2. 

a 1i a 2 j a 3 k   2

a1   a 2

2

a3

2

Dirección de un vector en

b

e

b) a   3

R 

:

La dirección de un vector en R 3 , está dada por sus ángulos de orientación con respecto a los 3 ejes coordenados. Y a los cosenos de dichos ángulos se denominan cosenos directores directores..

Análisis vecto vectorial rial

a

a) Cero

 

c)

a

d

 

i

c

f

d) b   e) f  

g

 

h

FÍSICA

3

 

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En los siguientes casos hallar el módulo del vector resultante: AB BC 2   3.  a) 6 

9.  a) 15

C

d) B

d) 14  e) 12 

A

 

5 3 60º

2

10.  a) 2

a) 2 cm

b) 3

b) 3

c) 4

c) 5

d) 5

d) 10

e) 6

e) 14

el módulo de cada vector. a) 3 y 11 d) 12 y 2

135º 3 2

b) 8 y 6 e) 5 y 9

co cos s 37  º 

4 5

c) 10 y 4

4m

3m

e) 7

a) 4 m b) 5

37º 5

 

B

c) 1 7m

d) 2 a) 4 4 3

B

2

7.  b)

A

d) 5

12.  Hallar el módulo de la resultante en el espacio.

c) 7 d) 3

b) 3 c) 4

 

a) 3 2   b) 3 5  

11.  Hallar el mód módulo de dell vector resultante: a) 2 m

Hallar el mód módulo ulo de la resultante en los si guien guientes tes casos:

4 5

8

BLOQUE-III

Si: Rmáx = 14 y el Rmín = 2 para 2 vectores. Halle

e)

3 2

5 cm

BLOQUE-II

6. 

4 3

e) 2 3  

4. 

5. 

2

c) 5 3  

b) 10  c) 11 

5  3

b) 5

A

3m

e) 10  

4

c) 2 3   d) 8

de las abcisas.

60º 4

e) 8 3   8.  a) 5 3  

13.  Hallar los componentes del vector A  sobre el eje

5

b) 5 2  

 y a) 30N b)

30 2

 

c)

30 3

 

d) 20 e)

20 3

 

A = 60N 30º

x

c) 6 2   d) 4 3   e) 5 3  

Análisis vecto vectorial rial

5

FÍSICA

4

 

  ACAD EMIA SIGMA SIGMA Y NEWTON 14.  Determine el módulo de la resultante si M y N son

BLOQUE-IV

puntos medi medi os, adem además ás MN = 7 cm cm.. a) 7 cm

01.- Indicar corresponda:

M

verdadero

(V)

o

falso

(F)

según

b) 10 ( ) Si un polígono vectorial ect orial es cerrado, la result resultante ante es nula. ( ) Es imposible que una componente sea mayor que el vector original.

c) 12 N

d) 14 e) 16

( ) Si: 5C 0  C  0  

En los siguientes casos hallar el módulo de la resultante.

a) VVF

15. 

 y a) 2 cm b)

2

5 cm

x

53º

c) 2 2  

c) VVV

45º

e) FFF

I. Todos los vectores son iguales. II. II. Hay 8 vect ectores ores iguales. III. III. El módulo de la resultante vale

d) 3

d) VFV

02.- Según los vectores mostrados, todos de igual módulo 1 u, identifique la veracidad (v) o falsedad (f) de las proposiciones:

5 cm

 

b) VFF

89u  

3 2 cm

e) 4 2 2

 y

16. 

x

45º

a) 1

a) FFF VFV

b) 2 c) 3

10

c) VFF

d) FVV

e)

03.- Analice el siguiente gráfico de vectores y señale la alternativa correc correcta: ta:

53º

d) 4

13

e) 5  y 17. 

b) FVF

6 2

10

a) 1 b) 2

45º

x

53º

c) 3 d) 4

 y

18. 

40N

a) 20N b) 50

Si:  =   A  B  0  

II.

Si:

I.

o Si:  A  B  0     90  

a) FVV FFF

b) VVV

   0o  A  B  A  B  

c) VVF

d) FVF

e)

04.- El vector resultante del sistema es R   8i  6 j.  

10

e) 5

I.

Hallar el vector  A .

30N 37º

x

a) 3i  + 4j b) 5i   – 8j – 8j c) 3i   – 7j – 7j d) 3i   – 9j – 9j – 11j e) 4i   – 11j

16º

c) 30 d) 40 e) 10  37º

Análisis vecto vectorial rial

FÍSICA

5

 

  ACAD EMIA SIGMA SIGMA Y NEWTON 05.- Hallar el módulo de la resultante de los dos vectores mostrados, si “M” es punto medio.  

a) 7 b) 14 c) 21 d) 35 e) 16

06.- Encontrar la dirección del vector resultante del sistema mostrado. a) 30o   b) 37o   c) 45o   d) 53o   e) 60o   07.- Hallar el módulo de la resultante. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

11.- Calcular " " , para que la resultante sea vertical.  A = 6 y B = 8 a) 37o b) 53o c) 30o d) 60o e) 45o  

12.- En el sistema mostrado, hallar: sabiendo que:

 A  5 2  ,

 A  B  C

B 2 2 y C 4 .

a) 3 2  

130  

b)

c) 9 2   d) 10 13   e) 2 13   13.- Hallar x, en función de m y n . (AB = BC = CD)

a) m  n   2 08.- Calcular el módulo de la resultante. a) 8 10   b) 9 10   c) 12 10   d) 18 10  

b) c) d)

n m 2 mn 3 n m 3

e) 50 2   09.- Hallar el módulo de la resultante, sabiendo que es vertical. a) 2 b) 8

e)

2 3

     

(n  m)  

14.- Hallar x, en función de  A y B  

c) 2 2   d) 6 e) 10

a) - ( A   B) 2 ( A   B) b) 3

10.- Si la resultante tienen un módulo de 50 y es horizontal dirigiéndose hacia la izquierda. ¿Cuál es módulo del vector  A ?

c) -

a) 5 b) 5 2   c) 12

d)

( A   B) 6

2 3

e) -

( A   B) 1 6

(2A   B)

d) 15 2   e) N.A.

Análisis vecto vectorial rial

FÍSICA

6

 

  ACAD EMIA SIGMA SIGMA Y NEWTON 15.- Determinar el módulo

de la resultante del

siguiente sistema de vectores, si:  A = 10 ,

B  = 2

20.- En el siguient siguiente e gráfico de vect ectores, ores, determine la resultante de los vectores.

2  a)

3 2 

b)

6 2 

c)

5 2 

d)

8 2 

e)

7 2 

a) 5 3  

b) 5

c) 10

d) 8

e) 15

21.- Determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

16.- Hallar el módulo de la resultante si: “M”, “N”, “O” son puntos medios: a) b) c) d) e)

4cm 5 10 20 8

a) 16

a)

b)

2

2A  B 2

2A  B 2

c) 14

d) 7

e) 0

22.- En el cubo de arista “L” determine la resultante, si “0” es el centro de la base.  base.  

17.- Hallar el vector x en función de “A” y “B”  “B” 

 A  2B

b) 4

a) L 3   b) 3L c) L 2   d) 2L e) 4L

 

 

c)

 A  B 2

 

d)

 A  2B 2

 

e)

23.- Determinar el módulo de la resultante.

 

18.- Si en el sistema mostrado se cumple:

x  y  mA  nB, siendo “G” baricentro del triángulo. Hallar el valor de:

m

(n  m)n  

a) 6 b) 3 c) 1/3 d) 2/3 e) 1/6 19.- Determine la resultante de los vectores. a) 6 b) 14 c) 10 d) 16 e) 2

Análisis vecto vectorial rial

a) 50

b) 30

c) 40

d) 70

e) 10

BLOQUE-V EJERCICIOS

01.  En el e l sistema de vectores sobre sobre el hexágono de  4m de lado mostrado mostrado en la figura, determine dete rmine el módulo de la resultante.  A) 20m B)16m C) 24m D) 8m E) 32m

FÍSICA

7

 

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02.  En la figura hallar x  e  en n función función de  A  y B , si M y N son puntos medios de las diagonales.

 A) 10; 10; para q  = 0° C) 10; para q  = 90° q  = 0°

N

M

B) 10; para q  =180° D) 24; para

q 

 A) D)

B  2 A 2 2B    A 2

 

B)

 

E)

B   A 2 B   A 4

 

C)

B  A 2

 

 

03. 03.   La resultante máxima de dos vectores es 21 y la mínim mí nima a es 3. 3. Calcular Calcular el módulo de la resultante cuando formen 90º entre sí.  A) 18 B) 10 C) 20 D) 15 E) 16 04.  Dado el conjunto de vectores, se pide encontrar el módulo de la resultante. Se sabe que  AM=MC= 4, BM = 5. 5.

 A) 8 D) 13

B) 10

C) 9

E) 4 



05.  Para el caso particular de los vectores  A  y  B   mostrados en la figura, indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. La magnitud magni tud del vector suma suma es 7 u. II II.. La magnitud del vector diferencia es 1 u. III. La magnitud del vector suma es igual a la

E) Falta el ángulo   07.  En el problem problema a ante anterior rior hallar hallar la resultante resultante mínima de los dos vectores mostrados  A) 2; para q  =180°  A) 700   B) 2; para q  =0° C) 10; para q  =0° B) 700     D) 10; para q  =180° C) 800     E) Falta q   

D) 800    

3

08.  Empleando el método del paralelogramo,   hallarr la resultante de los 3 vectores halla mostrados:

 A) 10,5 10,5 B) 10 C) 15 D) 14 E) 7 09.  La resultante máxima de dos vectores es 16 y la resultante mínima es 4. Halle la resultante cuando los vectores formen 37º  A)

57  

B) 2 15  

C) 2 58  

D) 4 10   E) N.A. 10.Determinar el módulo del vector resul resultante. tante.

magnitud del vector diferencia.

   A) 8  A) VVV FVV D) FFV

B) VVF

C)

D) Cero

B) 8 2  

C) 16

E) 4 2  

E) VFV

06.  Hallar la resultante máxima de los dos vectores mostrados y el ángulo “ q  ” 

Análisis vecto vectorial rial

FÍSICA

8