PEARSON
J. D. Wilson *A. J. Buffo * B. Lou
A
FÍSICA 11 Jerry D. Wilson Lander University Greenwood, SC
Anthony J. Buffa California Polytechnic State University San Luis Obispo, CA
Bo Lou Ferris State University Big Rapids, M l TRADUCCIÓN M a. de Lourdes Amador A raujo Traductora profesional REVISIÓN TÉCNICA A lberto Lim a Sánchez Preparatoria de la Universidad La Salle
Agradecimiento especial por la adaptación de esta obra a
Abel Pérez Rodríguez Profesor Tutor de Física Olimpiadas Nacionales e Iberoamericanas Panamá
P ren tice H all M é x ic o • A rg en tin a • Brasil • C o lo m b ia • C o sta R ic a • C h ile • E cu a d o r España • G u atem ala • Panam á • P erú • P u e rto R i c o • U ru g u ay • V enezuela
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Datos de catalogación bibliográfica
WILSON, JERRY; ANTHONY J. BUFFA, BO LOU Física 11.
Primera edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2011 ISBN: 978-607-32-0399-9 Área: Ciencias Formato: 21 X 27 cm
Páginas: 448
Authorized of the adaptation translation from the English language edition entitled College Physics, 6th Edition, by Jerry D. Wilson, Anthony J. Buffa and Bo Lou, published by Pearson Education, Inc. publishing as PRENTICE HALL, Copyright © 2007. Original ISBN 978-013-149-579-1 Translation ISBN 978-970-261-694-8 All rights reserved Este libro es una adaptación autorizada de la edición original titulado: College Physics, 6a Edición, por Jerry D. Wilson, Anthony J. Buffa y Bo Lou, publicado por Pearson Education, Inc., publicado como PRENTICE HALL, Copyright © 2007. ISBN Original 978-013-149-579-1 ISBN Traducción 978-970-261-694-8 Todos los derechos reservados Editor: Editor de desarrollo: Supervisor de producción:
Ma. Elena Zahar Arellano
[email protected] Araceli Calderón Salas Enrique Trejo Hernández
PRIMERA EDICIÓN, 2011 D.R. © 2011 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5° Piso Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 1031. Prentice Hall es marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnéti co o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 978-607-32-0399-9 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 14 13 12 11
Prentice Hall es u na m arca de
PEARSON www.pearsoneducacion.net
ISBN 978-607-32-0399-9
PREFACIO La organización del presente texto se realizó tomando en consideración los conte nidos y program as vigentes de física, d e los cursos regulares correspondientes al 11 grado impartido en los cursos de bachillerato de secundaria. Los capítulos: Mo vimiento en dos dim ensiones, Fuerza y movimiento, Trabajo y energía, Cantidad de m ovim iento lineal y choques, Movimiento circular y gravitadonal, Movimien to rotacional y equilibrio, así como los de Sólidos y fluidos, Termodinámica y Ca lor, mantienen en sus temas la coherenda y continuidad indispensables para un mejor entendimiento de los mismos. También se consideraron, en todo m om ento, las múltiples ventajas y recursos que presenta la actual edidón como son: Hechos de física, que motivan al estu diante en el in id o de cada capítulo con datos e inform adón histórica de relevand a para los tem as; ejem plos conceptuales, trabajados e integrados; resúmenes visuales, que apoyan el aprendizaje m ediante dibujos y los procedimientos suge ridos en la resoludón de problemas; estos últimos constituyen una parte impresdndible al m omento de verificar si se han comprendido los conceptos y prindpios de la física. Esta organizadón es de gran ayuda para el docente y también facilita el estudio por parte del estudiante debido a la exposidón didáctica y pedagógica del texto. Es im portante destacar el uso indistinto de la coma o el punto para separar la parte entera del decim al, establecido por el Sistem a Internacional de Unidades, aunque en nuestros países se usa m ás la coma. Por últim o, querem os expresar que este libro tiene com o finalidad prim ordial servir de texto al curso básico de ciencias físicas que se im parte en el 11 grado del bachillerato en ciencias, por lo que podrá ser utilizado por profesores y estu diantes en todos los colegios e institutos donde se dicta esta disciplina. Abel Pérez R.
y
CONTENIDO Prefacio
A FONDO:
v
PARTE 1: MECÁNICA, DINÁMICA
1
1 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES 3 1.1 Com ponentes del m ovim iento 4 1.2 Suma y resta de vectores 9 APRENDER DIBUJANDO: Diagram e y sume 1.3 M ovimiento de proyectiles 15 1.4 Velocidad relativa 24
Repaso del capítulo
28
Ejercicios
2 FUERZA Y MOVIMIENTO
Repaso del capítulo 14
4 29
37
2.1 Los conceptos de fuerza y fuerza neta 38 2.2 Inercia y la prim era ley d e Newton del movimiento 39 2.3 Segunda ley de N ewton del m ovim iento 40 A FONDO: 2.1 Gravedades (g) de fuerza y efectos sobre el cuerpo humano 42 2.4 Tercera ley de N ewton del m ovim iento 46 A FONDO: 2.2 Navegando contra el viento: virada 49 2.5 M ás acerca d e las leyes de Newton: diagramas de cuerpo libre y equilibrio trasladonal 50 APRENDER DIBUJANDO: Fuerzas sobre un objeto en un plano inclinado y diagramas de cuerpo libre 50 2.6 Fricdón 55
Repaso del capítulo
64
Ejercicios
3.1 La potencia de la gente: el uso de la energía del cuerpo 90 APRENDER DIBUJANDO: Intercambio de energía: una pelota que cae 95 3.6 Potencia 98 AFONDO: 3.2 Conversión de energía híbrida 98
65
3 TRABAJO Y ENERGÍA 74 3.1 Trabajo efectuado por una fuerza constante 75 APRENDER DIBUJANDO: Trabajo: área bajo la curva de F contra x 76 APRENDER DIBUJANDO: Cómo determ inar el signo del trabajo 77 3.2 Trabajo efectuado por una fuerza variable 79 3.3 E l teorema trabajo-energía: energía dnética 82 3.4 Energía potendal 86 3.5 C onservadón d e la energía 89
102
Ejercicios
103
CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y CHOQUES 111
4.1 Cantidad d e movimiento lineal 112 4.2 Im pulso 116 4.3 Conservación de la cantidad de movim iento lineal 119 A FONDO: 4.1 Las bolsas de aire del automóvil y las bolsas de aire en M arte 120 4.4 Choques elásticos ein elástico s 125 4.5 Centro de m asa 132 4.6 Propulsión a chorro y cohetes 138
Repaso del capítulo
141
Ejercicios
141
5 MOVIMIENTO CIRCULAR Y GRAVITACIONAL 150 5.1 M edidón angular 151 5.2 Rapidez y velocidad angulares 153 APRENDER DIBUJANDO: La aproximación de ángulo pequeño 153 5.3 Movimiento circular uniform e y aceleradón centrípeta 157 AFONDO: 5.1 La centrífuga: separadón de com ponentes de la sangre 159 5.4 Aceleración angular 162 5.5 Ley de la gravitación de Newton 165 AFONDO: 5.2 Exploradón espacial: ayuda de la gravedad 172 5.6 Leyes de Kepler y satélites terrestres 172 A FONDO: 5.3 "Ingravidez": efectos sobre el cuerpo humano 179
Repaso del capítulo
181
Ejercicios
182
6 MOVIMIENTO ROTACIONAL Y EQUILIBRIO 190 6.1 Cuerpos rígidos, trasladones y rotadones 191 6.2 Momento de fuerza, equilibrio y estabilidad 193 6.3 Dinámica rotadonal 204 AFONDO: 6.1 Estabilidad en acción 205 6.4 Trabajo rotadonal y energía cinética 211 6.5 Cantidad d e movimiento angular 214 A FONDO: 6.2 ¿Resbalar o rodar hasta parar? Frenos antibloqueo 215
Repaso del capítulo
221
E jercicios
222
V II
V III
Contenido AFONDO: AFONDO: AFONDO:
9.1 Regulación fisiológica de la temperatura corporal 316 9.2 Física, la industria de la construcción y la conservación de la energía 320 9.3 El efecto invernadero 324
Repaso del capítulo
326
E jercicios
327
7 SÓLIDOS Y FLUIDOS 231 7.1 Sólidos y m ódulos de elasticidad 232 7.2 Ruidos: presión y el principio de Pascal 236 A FONDO: 7.1 La osteoporosis y la densidad m ineral ósea (DMO) 238 A FONDO: 7.2 Un efecto atmosférico: posible dolor de oído 245 AFONDO: 7.3 M edición de la presión arterial 246 7.3 Flotabilidad y el principio de Arquímedes 247 7.4 Dinámica de fluidos y ecuación de Bernoulli 253 *7.5 Tensión superficial, viscosidad y ley de Poiseuille 258 AFONDO: 7.4 Los pulm ones y el prim er aliento del bebé 259
Repaso del capítulo
263
Ejercicios
264
PARTE 2: TERMODINÁMICA 273 8 TEMPERATURA Y TEORÍA CINÉTICA 274 8.1 Temperatura y calor 275 8.2 Las escalas de temperatura C elsius y Fahrenheit 276 A FONDO: 8.1 Temperatura del cuerpo humano 279 8.3 Leyes de los gases, temperatura absoluta y la escala de temperatura Kelvin 279 AFONDO: 8.2 Sangre caliente contra sangre fría 280 8.4 Expansión térmica 286 APRENDER DIBUJANDO: Expansión térmica de área 287 8.5 La teoría cinética d e los gases 290 A FONDO: 8.3 Difusión fisiológica en procesos vitales 293 *8.6 Teoría cinética, gases diatómicos y teorema de equipartición 293
Repaso del capítulo
296
Ejercicios
9 CALOR 303 9.1 Definición y unidades d e calor 304 9.2 Calor específico y calorimetría 306 9.3 Cam bios de fase y calor latente 310 APRENDER DIBUJANDO: De hielo frío a vapor caliente 313 9.4 Transferencia de calor 315
297
10 TERMODINAMICA 333 10.1 Sistem as, estados y procesos termodinám icos 334 10.2 Primera ley de la termodinámica 335 10.3 Procesos term odinámicos para un gas ideal 339 APRENDER DIBUJANDO: Apoyarse en isoterm as 345 10.4 Segunda ley de la termodinámica y entropía 346 AFONDO: 10.1 Vid a, orden y la segunda ley 350 10.5 M áquinas de calor y bom bas térmicas 350 APRENDER DIBUJANDO: Representación del trabajo en dclos térmicos 351 A FONDO: 10.2 La termodinámica y el cuerpo humano 356 10.6 C ido de Carnot y m áquinas de calor ideales 358 Repaso d e l c a p ítu lo
361
E je rcicio s
362
PARTE 3: VIBRACIONES Y ONDAS 369 11 VIBRACIONES Y ONDAS 371 11.1 M ovimiento armónico sim ple 372 APRENDER DIBUJANDO: O sdlación en un pozo parabólico de potenda 11.2 Ecuaciones de m ovim iento 377 11.3 M ovimiento ondulatorio 384 11.4 Propiedades de las ondas 387 AFONDO: 11.1 Terremotos, ondas sísm icas y sismología 388 11.5 O ndas estadonarias y resonanda 392 A FONDO: 11.2 Resonandas deseables e indeseables 396 R epaso d e l c a p ítu lo
397
E je rcicio s
398
Ápendices A-1 Respuestas a los ejercidos de refuerzo R -1 0 Respuestas a los ejerados con número impar R -1 4
375
PARTE 1 MECÁNICA, DINÁMICA
CAPITULO
1 1.1
Com ponentes del m ovim iento
1.2
Suma y resta de vectores
1.3
M ovim iento de proyectiles
1.4
Velocidad relativa
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
CARR
C H A lA O H
F A IR R G E
|
ROAD
K ILLIMER i CAR FERRY (A IR
NA T ÍA
D Ú IN
\
BH EA RN A
JQONVARNA 19 yOAST ROAD /
HGCHOS DG HSICA
CEANN BOIBNE ^ / t k l O S DÚIN BHEARNA
£9|uSD00NYARNJ
• Origen de las palabras: - cinemática:del griego kinema; quesignifica “movimiento'. - velocidad: del latín w/oc/tes; que signifi ca "rapidez". - aceleración, del latín accelerare, quesigni fica “apresurar’ . • Proyectiles: - "Big Bertha’ , una pieza de artillería que utilizaron los alemanes durante la Primera Guerra Mundial; su cañón medía 6.7 m (22 ft) y era capaz de lanzar proyectiles de 820 kg (1800 Ib) a 15 km (9.3 millas). - El “París Gun’ , otra pieza de artillería que utilizaron los alemanes durante la Primera Guerra Mundial, con un cañón de 34 m (112 ft) de largo, era capaz de lanzar pro yectiles de 120 kg (264 Ib) a 131 km (81 millas). Este obús se diseñó para bombar dear París, Francia, y sus proyectiles al canzaban una altura máxima de 40 km (25 millas) durante su trayectoria de 170 s. - Rira alcanzar la distancia máxima a nivel detierra, un proyectil, de manera ideal, de bería lanzarse con un ángulo de 45°. Con la resistencia del aire, la rapidez del pro yectil se reduce, al igual que el alcance. El ángulo de proyección para el alcance má ximo en estecaso es menor de 45°, lo que da un mayor componente horizontal de la velocidad inicial, paraayudar acompensar la resistencia del aire. - El disco que se utiliza en las competencias deportivas es aerodinámico y, al lanzarlo, se le da cierta elevación. Por lo tanto, para lograr el alcance máximo, se requiere un mayor componente horizontal de veloci dad inicial; de esta manera, el disco reco rrerá una mayor distancia horizontalmente, mientras se eleva verticalmente. • fécords de lanzamiento de disco: - Mujeres: 76.80 m (252 ft). - Hombres: 74.08 m (243 ft). - El disco que lanzan los hombres tiene una masade2 kg (4.4 Ib), en tantoque el de las mujeres tiene una masa de 1 kg (2.2 Ib).
BLACK HEAD [IO N A D ¡A S C A IR E A C H T A k m 1
G R EG A N S CASTLE H O T E L
*HORE ANGLING ,A _ CENTRE IQ ,
í puede llegar desde aquí! Sólo es cuestión de saber qué camino tomar en el cruce. Pero, ¿alguna vez se ha preguntado el lector por qué tantos ca^ s minos se cruzan en ángulo recto? Hay un buen motivo. Puesto que vivi mos en la superficie terrestre, estamos acostumbrados a describir los lugares en dos dimensiones, y una de las formas más sencillas de hacerlo es tomando co mo referencia dos ejes perpendiculares. Cuando queremos explicar a alguien cómo llegar a cierto lugar en la ciudad, le decimos, por ejemplo: "Camina cuatro cua dras hacia el centro y luego tres a la derecha". En el campo podríamos decir: "Camina cinco kilómetros al sur y luego uno al este". En ambos casos, necesi tamos saber qué tan lejos ir en dos direcciones que están a 90° una de la otra. Podríamos utilizar el mismo enfoque para describir el movimiento, y éste no tiene que ser en línea recta. Como veremos a continuación, también podemos usar vectores, en el capítulo 5 de Física 10 para describir movimiento en trayectorias curvas. El análisis de un movimiento curvilíneo nos permitirá estudiar el comportamiento de pelotas bateadas, planetas en órbita alrededor del Sol e incluso electrones en átomos. El movimiento curvilíneo puede analizarse empleando los componentes rec tangulares del movimiento. En esencia, descomponemos el movimiento curvo en componentes rectangulares (x y y), y examinamos el movimiento en ambas di mensiones simultáneamente. Podemos aplicar a esos componentes las ecuaciones de cinemática que examinamos en el capítulo 5 de Física 10. Por ejemplo, para un objeto que se mueve en una trayectoria curva, las coordenadas x y y del movi miento en cualquier momento dan la posición del objeto en cualquier punto. /
3
4
CAPÍTULO 1 Movimiento en dos dimensiones
1.1 Componentes del movimiento OBJETEVC
a) A nalizar el m ovim iento en té rm in o s de sus c o m p o n e n te s, y b ) a p li car las ecua cio ne s de cine m á tica a co m p o n e n te s d e m ovim ie nto.
En el capítulo 1 de Física 10 consideramos que un objeto que se mueve en línea recta se mueve a lo largo de uno de los ejes cartesianos (x o y). Sin embargo, ¿qué pasa si el mo vimiento no se da a lo largo de un eje? Por ejemplo, consideremos la situación que se ilustra en la ▼figura 1.1, donde tres pelotas se mueven de manera uniforme sobre una mesa. La pelota que rueda en línea recta a lo largo de un costado de la tabla, designa do como dirección x, se mueve en una dimensión. Es decir, su movimiento se puede
▼ FIGURA 1.1 Componentes del movimiento a) La velocidad (y el desplazamiento) de un movimiento rectilíneo uniforme —el de la pelota azul oscuro— podría tener componentes x y y (vx y vy, como indica el dibujo a lápiz) debido a la orientación que se eligió para los ejes de coordenadas. Observe que la velocidad y el desplazamiento de la pelota en la dirección x son exactamente los que tendría una pelota que rueda a lo largo del eje x con una velocidad uniforme vx. Se cumple una relación similar para el movimiento de la pelota en la dirección y. Puesto que el movimiento es uniforme, el cociente vy/v x (y por lo tanto 0) es constante, b) Podemos calcular las coordenadas (x, y) de la posición de la pelota y la distancia d que ha recorrido desde el origen, para cualquier tiempo t.
1.1 Componentes del movimiento describir con una sola coordenada, x. De forma similar, el movimiento de la pelota que se desplaza en la dirección y se puede describir con una sola coordenada y. En cambio, necesitamos ambas coordenadas, x y y, para describir el movimiento de la pelota que rueda diagonalmente por la mesa. Decimos entonces que este movimiento se describe en dos dimensiones. Podríamos observar que, si la pelota que se mueve en diagonal fuera el único ob jeto a considerar, se podría elegir el eje x en la dirección del movimiento de esa pelo ta, y así el movimiento quedaría reducido a una sola dimensión. Esta observación es cierta, pero una vez que se fijan los ejes de coordenadas, los movimientos que no se realicen sobre ellos se deberán describir con dos coordenadas (x, y), es decir, en dos dimensiones. También hay que tener en cuenta que no todos los movimientos en un plano (dos dimensiones) son en línea recta. Pensemos en la trayectoria de una pelota que lanzamos a otro individuo. La trayectoria de semejante movimiento del proyectil es curva. (Estudiaremos tal movimiento en la sección 1.3.) Por lo general, se requieren ambas coordenadas. Al considerar el movimiento de la pelota que se mueve diagonalmente por la mesa en la figura 1.1a, podemos pensar que la pelota se mueve simultáneamente en las direcciones x y y. Es dedr, tiene una veloddad en la direcdón x (u*) y una en la direcdón y (Vy) al mismo tiempo. Los componentes de veloddad combinados describen el movimiento real de la pelota. Si la pelota tiene una veloddad constante v en una direc dón que forma un ángulo 0 con el eje x, las veloddades en las direcdones x y y se ob tendrán descomponiendo el vector de veloddad en componentes de movimiento en esas direcdones, como muestra el dibujo a lápiz de la figura 1.1a. Ahí vemos que los componentes vx y Vy tienen las magnitudes
v x = v eos 6
(l ia)
Vy = v sen 0
(1 1 b)
respectivamente. (Observe que v — + v\, de manera que v es una combinadón de las veloddades en las direcdones x y y ) El lector ya está familiarizado con el uso de componentes de longitud bidimensionales para encontrar las coordenadas x y y en un sistema cartesiano. En el caso de la pelota que rueda sobre la mesa, su posidón (x, y), es dedr, la distanda recorrida desde el origen en cada una de las direcdones componentes en el tiempo t, está dada con a = 0
x = x0 + vxt y = y + v t
Magnitud de componentes de desplazamiento (en condiciones de velocidad constante y cero aceleración)
(l-2a) (1 2 b)
respectivamente. (Aquí, xQy y0 son las coordenadas de la pelota en a = 0, que po drían ser distintas de cero.) La distanda en línea recta desde el origen es entonces d = V x 2 + y2 (figura 1.1b). Cabe señalar que tan 6 = vy/ v x, así que la direcdón del movimiento relativa al eje x está dada por 6 = tan~\vv/v x). (Véase el dibujo a mano de la figura 1.1a.) Tam bién, 0 = tan-1 (y/*). ¿Por qué? En esta introduedón a los componentes del movimiento, hemos colocado el vector de veloddad en el primer cuadrante (0 < 0 < 90°), donde ambos componentes, x y y, son positivos. No obstante, como veremos con mayor detalle en la secdón siguiente, los vectores pueden estar en cualquier cuadrante, y sus componentes pue den ser negativos. ¿Sabe usted en qué cuadrantes serían negativos los componen tes VX O V y ?
5
6
CAPÍTULO 1 Movimiento en dos dimensiones
E jem plo 1.1
A rodar: uso de los com ponentes de m ovim iento
Si la pelota que se mueve en diagonal en la figura 1.1a tiene una velocidad constante de 0.50 m/s en un ángulo de 37° relativo al eje x, calcule qué distancia recorrerá en 3.0 s usan do los componentes x y y de su movimiento. Razonamiento. Dadas la magnitud y la dirección (ángulo) de la velocidad de la pelota, obtenemos los componentes x y y de la velocidad. Luego calculamos la distancia en cada dirección. Puesto que los ejes x y y son perpendiculares, el teorema de Pitágoras ofrece la distancia de la trayectoria rectilínea de la pelota, como se muestra en la figura 1.1b. (Tome nota del procedimiento: separar el movimiento en componentes, calcular lo necesario en cada dirección y recombinar si es necesario.) Solución. Después de organizar los datos, tenemos
Dado:
v —0.50 m/s 0 = 37° t = 3.0 s
Encuentre: d (distancia recorrida)
La distancia recorrida por la pelota en términos de sus componentes x y y está dada por d = V * 2 + y2. Para obtener x y y con la ecuación 12, primero necesitamos calcular los componentes de velocidad vx y vy (ecuación 1.1): vx - r e o s 37° - (050 m/s)(0.80) - 0.40 m/s vy - v sen 37° - (0.50 m/s)(0.60) - 030 m/s Así pues, con Xq = 0 y yG= 0, las distancias componentes son X = vxt = (040 m/s)(3.0 s) - 1.2 m
y
y = Vyt = (030 m/s)(3.0 s) = 0.90 m
y la distancia real de la trayectoria es d — V * 2 + y2 — \ /(L2 m )2 + (0.90 m)2 — 1.5 m Ejercicio de refuerzo. Suponga que una pelota rueda diagonalmente por una mesa con la misma rapidez que en este ejemplo, pero desde la esquina inferior derecha, que se toma como origen del sistema de coordenadas, hacia la esquina superior izquierda, con un án gulo 37° relativo al eje —x. Calcule los componentes de velocidad en este caso. (¿Cambiaría la distancia?) (Las respuestas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan al final del libro.)
Sugerencia para resolver problemas________________________________ Observe que, en este sencillo caso, la distancia también puede obtenerse directamen te d = vt = (0.50 m/s)(3.0 s) = 1.5 m. Sin embargo, hemos resuelto este ejemplo de manera más general para ilustrar el uso de los componentes de movimiento. La solución directa sería evidente si las ecuaciones se combinaran algebraicamente antes de realizar los cálculos, como sigue: x = vxt = (v eos d)t
y y = Vyt = (v sen 0)t de lo que se sigue que d = V * 2 + y2 = \ / (v eo s O)2? + (vsenO )2? = \/Vf2(cos20 + sen20 ) = vt Antes de adoptar la primera estrategia de resolución que se le ocurra, piense un mo mento si habría una forma más fácil o directa de enfrentar el problema.
Ecuaciones de cinem ática para com ponentes de m ovim iento El ejemplo 1.1 se refirió a un movimiento bidimensional en un plano. Si la veloci dad es constante (componentes constantes vx y vy), el movimiento será en línea recta. El movimiento también puede acelerarse. Para un movimiento en un plano con acele ración constante, cuyos componentes son ax y ay, las componentes de desplazamiento
1.1 Componentes del movimiento
7
y veloddad están dadas por las ecuadones de dnemática para las direcdones x y y, respectivamente: x = X o + V i't + \axt2
y = y» +
V +tv 2
' (1.3a) (sólo acderadón constante)
(1.3b)
vx = vXn + axt
(1.3c)
V» = V»o + V
(l-3d)
Ecuaciones de cinemática para componentes de desplazamiento y velocidad
Si un objeto se mueve inicialmente con velocidad constante y de repente experimenta una aceleración en la dirección de la velocidad o en la dirección opuesta, seguirá su ca mino rectilíneo acelerando o frenando, respectivamente. No obstante, si la aceleración tiene un ángulo distinto de 0° o 180° respecto al vec tor de velocidad, el movimiento seguirá una trayectoria curva. Para que el movimien to de un objeto sea curvilíneo —es dedr, que se desvíe de una trayectoria recta— se necesita una aceleradón. En una trayectoria curva, el codente de los componentes de veloddad varía con el tiempo. Es dedr, la direcdón del movimiento, 0 = tan- (vy/v¿), varía con el tiempo, ya que uno de los componentes de veloddad, o ambos, lo hacen. Considere una pelota que inicialmente se mueve sobre el eje x, como se ilustra en la ▼figura 1.2. Suponga que, a partir del tiempo tQ= 0, la pelota redbe una acderadón
■4 FIGURA 1.2 Movimiento curvilíneo Una aceleración no paralela a la velocidad instantánea produce una trayectoria curva. Aquí se aplica una aceleración aye n t0 = 0 a una pelota que inicialinente se movía con velocidad constante vx. El resultado es una trayectoria curva con los componentes de velocidad que se muestran. Observe cómo vy aumenta con el tiempo, en tanto que vx permanece constante.
rectilíneo
* en tQ= 0
curvilíneo
8
CAPÍTULO 1 Movimiento en dos dimensiones constante ay en la dirección y. La magnitud del componente x del desplazamiento de la pelota está dada por x = vxt; donde el término \axt de la ecuación 1.3a se elimina por que no hay aceleración en la dirección x. Antes de tQ, el movimiento es en línea recta sobre el eje x; pero en cualquier momento después de t0, la coordenada y no es cero y está dada por y = \ayt2 (ecuación 1.3b con yc = 0 y vyo = 0). El resultado es una trayec toria curva para la pelota. Observemos que la longitud (magnitud) del componente de velocidad vy cambia con el tiempo, en tanto que la del componente vx permanece constante. El vector de velocidad total en cualquier momento es tangente a la trayectoria curva de la pelota. Forma un ángulo 6 con el eje x positivo, dado por 6 = tan~\vy/ vx), que ahora cambia con el tiempo, como vemos en la figura 1.2 y en el ejemplo 1.2.
Ejemplo 1.2
Una tra y e c to ria cu rva : c o m p o n e n te s ve cto ria le s
Supongamos que la pelota de la figura 1.2 tiene una velocidad inicial de 1.50 m/s sobre el eje x y que, a partir de tQ= 0, recibe una aceleración de 2.80 m/s2 en la dirección y. a) ¿Dónde estará la pelota 3.00 s después de ta? b) ¿Qué velocidad tiene la pelota en ese momento? Razonamiento. Tenga en cuenta que los movimientos en las direcciones x y y se pue den analizar de forma independiente. Para a), simplemente calculamos las posiciones x y y en el tiempo dado, tomando en cuenta la aceleración en la dirección y. Para b), obte nemos las velocidades componentes y las combinamos vectorialmente para determinar a la velocidad total. Solución. Remitiéndonos a la figura 1.2, tenemos lo siguiente:
D ado:
vXo = vyo = ax = ay = t =
vx = L50 m/s Encuentre: a) (x ,y ) (coordenadas de posición) 0 b) v (velocidad, magnitud y dirección) 0 280 m/s2 3.00 s
a) 3.00 s después de tQlas ecuaciones 1.3a y 1.3b nos dicen que la pelota recorrió las si guientes distancias desde el origen (xQ= yc = 0) en las direcciones * y y, respectivamente: x = vXot + \axf - (150 m/s)(3.00 s) + 0 = 450 m
y = V + \af = 0 + 2 (2-80 m/s2) (3.00 s)2 = 12.6 m Nota: no confunda la dirección de la velocidad con la dirección del desplazamiento respecto al origen. La dirección de la velocidad siempre es tangente a la trayectoria.
Así pues, la posición de la pelota es (x, y) = (4.50 m, 12.6 m). Si hubiéramos calculado la distancia d = V * 2 + y2, ¿qué habríamos obtenido? (Note que esta cantidad no es la dis tancia real que la pelota recorrió en 3.00 s, sino más bien la magnitud del desplazamiento, es decir, la distancia en línea recta, desde el origen hasta t = 3.00 s.) b) El componente x de la velocidad está dado por la ecuación 1.3c: vx = vXo + axt = 1.50 m/s + 0 = L50 m/s (Este componente es constante, pues no hay aceleración en la dirección x.) Asimismo, el componente y de la velocidad está dado por la ecuación 1.3d: vy - vyo + ayt = 0 + (280 m/s2)(3.00 s) = 8.40 m/s Por lo tanto, la magnitud de la velocidad es v - V p 2 + vy - \/(1.50 m/s)2 + (8i40 m/s)2 - 8i53 m/s y su dirección relativa al eje +x es Jv A V ^O m /sX 0 = tan 1 — = tan 1 , cn . = 79.9° \vxJ \1.50 m/s/ Ejercicio de refuerzo. Suponga que la pelota de este ejemplo también recibió una acele
ración de 1.00 m/s2 en la dirección +x a partir de fQ. ¿En qué posición estaría la pelota 3.00 s después de tQen este caso?
1.2 Suma y resta de vectores
9
Sugerencia para resolver problemas____________________________ Al usar las ecuaciones de cinemática, es importante recordar que el movimiento en las direcciones x y y se puede analizar de forma independiente; el factor que las vincula es el tiempo t. Es decir, obtenemos (x, y) y/o (vx, vy) en un tiempo t dado. También hay que tener en cuenta que a menudo tomamos xQ = 0 y yQ = 0, lo que significa que ubicamos al objeto en el origen en fG = 0. Si el objeto en realidad está en otro lugar en tQ= 0, será necesario usar los valores de Xo y /o yQen las ecuaciones adecuadas. (Véase ecuaciones 1.3a y b.)
1.2 Suma y resta de vectores OBJETIl
a) A p ren de r la n ota ción vectorial, b) ser ca pa z de sum ar y restar vectores g rá fic a y analíticam ente, y c) usar ve ctores para d e s c rib ir un m ovim iento en d o s d im en sion es.
Muchas cantidades físicas, incluidas aquellas que describen el movimiento, están aso ciadas a una dirección; es dedr, son vectoriales. Ya trabajamos con algunas de esas can tidades reladonadas con el movimiento (desplazamiento, veloddad y aceleradón), y encontraremos más durante el curso. Una técnica muy importante para analizar mu chas situadones físicas es la suma (y la resta) de vectores. Sumando o combinando tales cantidades (suma vectorial) podemos obtener el efecto total o neto: la resultante, que es como se llama a la suma de vectores. Ya sumamos algunos vectores. En este capítulo sumaremos componentes de vectores de movimiento, para calcular efectos netos. Recordemos que, en el ejem plo 1.2, combinamos los componentes de veloddad vx y vy para obtener la velocidad resultante. En esta secdón, examinaremos la suma y resta de vectores en general, junto con una notadón vectorial común. Como veremos, estas operadones no son iguales a la suma y resta de escalares o numéricas, que ya conocemos. Los vectores tienen tanto magnitud como direcdón, por lo que aplicamos reglas distintas. En general, hay métodos geométricos (gráficos) y analíticos (computadonales) pa ra sumar vectores. Los métodos geométricos son útiles para visualizar los conceptos de la suma vectorial, sobre todo con un dibujo rápido. Sin embargo, los métodos analí ticos se usan con mayor frecuenda porque son más rápidos y más predsos. En la secdón 1.1 nos enfocamos sobre todo en componentes de vectores. La no tadón para las magnitudes de los componentes era, por ejemplo, vx y vy. Para repre sentar vectores se utilizará la notadón A y B (un símbolo en negritas testado con una flecha).
Nota: en notación vectorial, los vectores representan con símbolos en negritas^/ con flecha arriba, como Á y B, y sus magnitudes con símbolos en cursivas, como A y B. En la mayoría de las cifras, los vectores se representan con flechas (para dirección), cuya magnitud se indica a continuación.
Suma de vectores: m étodos geom étricos Método del triángulo Para sumar dos vectores, digamos B y A (es dedr, para obte ner A + B) con el método del triángulo, primero dibujamos A en una hoja de papel milimétrico usando derta escala (▼figura 1.3a). Por ejemplo, si A es un desplazamien to en metros, una escala conveniente sería 1 cm : 1 m, de modo que un vector de 1 cm de longitud en el diagrama corresponda a 1 m d e desplazamiento. Como se indica en la figura 1.3b, la direcdón del vector A se espedfica con un ángulo 0A relativo a un eje de coordenadas, por lo regular el eje x. Luego, dibujamos B con su cola en la punta de A . (Por esto, el método también se conoce como método de punta a cola.) El vector que va desde la cola de A hasta la punta de B será entonces el vector suma R , o la resultante de los dos vectores: R = Á + B. S los vectores se dibujaron a escala, se podrá obtener la magnitud de R midiendo su longitud y aplicando la conversión de escala. Con un enfoque gráfico así, la direcdón del ángulo dRsejnide con un transportador. Si conocemos las magnitudes y direcdones (ángulos 0) de A y de B, también podremos calcular analíticamente la magnitud y la direcdón de R utilizando métodos trigonométricos. En el caso del triángulo no rectán gulo de la figura 1.3b, utilizaríamos las leyes de los senos y cosenos. (Véase el apéndice I).
Nota: un vector (flecha) se puede desplazar en los métodos de suma de vectores: siempre y cuando no alteremos su longitud (magnitud) ni su dirección, no modificaremos el vector.
CAPITULO 1 Movimiento en dos dimensiones
y
Dibuje el primer vector (A) desde el origen.
y
Dibuje el segundo vector (B) desde la punta del primer vector. a)
R =A +B
Escala: 1 cm = 1 m
Escala: 1 cm = 1 m
b) A FIGURA 1.3 Método del triángulo para suma de vectores a) Los vectores Á y B se colocan punta a cola. El vector que se extiende desde la cola de A hasta la punta de B, formando el tercer lado del triángulo, es la resultante o suma R = A + B . b) Cuando los vectores se dibujan a escala, se puede obtener la magnitud de R midiendo la longitud R y aplicando la conversión de escala, y entonces el ángulo de dirección 0Rse mide con un transportador. También pueden usarse métodos analíticos. En el caso de un triángulo no rectángulo, como en el inciso b, se pueden usar las leyes de los senos y los cosenos para determinar la magnitud de R y de 0R (apéndice I). c) Si el triángulo vectorial es rectángulo, R es fácil de obtener usando el teorema de Pitágoras, de manera que el ángulo de dirección está dado por una función trigonométrica inversa.
El método de punta a cola puede aplicarse a cualquier número de vectores. El vector que forma la cola del primer vector a la punta del segundo es la resultante o suma de vectores. Para más de dos vectores, se denomina método del polígono. La resultante del triángulo rectángulo de vectores de la figura 1.3c sería mucho más fácil de calcular, utilizando el teorema de Pitágoras para obtener la magnitud, y una función trigonométrica inversa para obtener el ángulo de dirección. Observe que R está constituido por los componentes x y y de A y B. Tales componentes x y y son la base del método analítico de componentes que estudiaremos brevemente. Resta de vectores
La resta de vectores es un caso especial de la suma: Á - B = Á + ( —B)
Es decir, para restar B de A , sumamos un B negativo a A. Un signo menos simple mente significa que el sentido del vector es opuesto al de aquel que lleva el signo más (por ejemplo, + x y —x). Lo mismo es válido para los vectores con notación de negritas. El vector —B tiene la misma magnitud que el vector B, pero está en sentido opuesto (►figura 1.4). El diagrama vectorial de la figura 1.4 muestra una representación gráfica de A - B.
1.2 Suma y resta de vectores
11
Com ponentes de vectores y m étodo analítico de com ponentes Probablemente el método analítico más utilizado para sumar varios vectores sea el método de componentes. En este libro lo usaremos de forma continua, por lo que es indispensable entender bien sus fundamentos. Se recomienda estudiar bien esta sección. Suma de componentes rectangulares de vectores Componentes rectangulares se refie re a componentes de vectores que forman un ángulo recto (90°) entre sí; por lo regular se toman en las direcciones de las coordenadas rectangulares x y y. Ya presentamos la suma de tales componentes, al explicar los componentes de velocidad de un mo vimiento en la sección 1.1. Para el caso general, suponga que se suman A y B, dos vectores perpendiculares, como en la rfigura 1.5a. El ángulo recto facilita la tarea. La magnitud de C está dada por el teorema de Pitágoras: C = V
+ B2
(1.4a)
La orientación de C relativa al eje x está dada por el ángulo 0 = tan 1
(!)
(1.4b)
Esta notación es como se expresa una resultante en forma de magnitud-ángulo. Descomposición de un vector en componentes rectangulares; vectores unitarios La descomposición de un vector en componentes rectangulares es en esencia el inver so de la suma de los componentes rectangulares del vector. Dado un vector C, la fi gura 1.5b ilustra cómo puede descomponerse en componentes vectoriales Cx y C y en las direcciones x y y. Basta completar el triángulo de vectores con componentes x y y. Como muestra el diagrama, las magnitudes, o longitudes vectoriales, de estos compo nentes están dadas por Cx = C eos 0
(1.5a)
(componentes de vectores)
Cy = C sen 0
(1.5b)
respectivamente (lo cualjes similar a vx = v oos 0 y vy = v sen 0 en el ejemplo 1.1).* El ángulo de dirección de C también puede expresarse en términos de los componentes, dado que tan 0 = C J C X, o
0 = tan" 1 - r
(dirección del vector a partir de las magnitudes de los componentes)
( 1.6 )
Q = C eos 6 Cy= C sen 6
c= V eX2+ C y 6 = tan - 1 (Cy/Cx)
* La figura 1.5b ilustra únicamente un vector en el primer cuadrante, pero las ecuaciones son váli das para todos los cuadrantes cuando los vectores se toman con referencia al eje x positivo o negativo. Las direcciones de los componentes se indican con signos + y —como veremos a continuación.
▲ FIGURA 1.4 Resta de vectores La resta de vectores es un caso especial de la suma; es decir, A — B = A 4* ( - B ) , donde - B tiene la misma magnitud que B, pero dirección opuesta. (Véase el dibujo.) Así, A + B no es lo mismo que B — A, ni en longitud ni en dirección. ¿Puede usted demostrar geométricamente que B — À = - ( A - B)?
Forma magnitud-ángulo de un vector
< FIGURA 1.5 Componentes de vectores a) Los vectores A y B sobre los ejes x y y , respectivamente, se suman para dar C. b) Un vector C puede descomponerse^ com ponentes rectangulares Cx y Cy.
12
CAPÍTULO 1 Movimiento en dos dimensiones
A FIGURA 1.9 Suma de vectores por el método analítico de componentes
a) Descomponga los vectores en sus componentes x y y .b ) Sume vectorialmente todos los componentes x y todos los componentes y para obtener los componentes x y y de la resultante, es decir, Cr y C y. Exprese la resultante en la forma de componentes, o bien, en la forma de magnitud-ángulo. Todos ángulos se dan respecto al eje +x o al eje —X, para que sean menores de 90°.
Procedim ientos para sum ar vectores con el m étodo de com ponentes 1. Descomponga los vectores que se van a sumar en sus componentes x y y . Use los ángulos agudos (menores que 90°) entre los vectores y el eje x, e indique los sen tidos de los componentes con signos más y menos ( a figura 1.9). 2. Sume vectorialmente todos los componentes x y todos los componentes y para ob tener los componentes x y y de la resultante, es decir, de la suma de los vectores. 3. Exprese el vector resultante con: a) la forma de componentes de vectores unitarios; por ejemplo, C = Cxx + Cyy, o bien, b) la forma de magnitud-ángulo. Para usar la segunda notación, obtenemos la magnitud de la resultante a partir de los componentes x y y sumados, y empleando el teorema de Pitágoras:
c =
V c2 x+
Calculamos el ángulo de dirección (relativo al eje x) obteniendo la tangente inversa (tan-1) del valor absoluto (es decir, el valor positivo, sin considerar cualesquier signos menos) del cociente de las magnitudes de los componentes x y y : G = tan 1 Nota: el valor absoluto indica que se ignoran los signos menos (por ejemplo, |- 3 | = 3). Esto se hace para evitar valores negativos y ángulos mayores que 90°.
Determinamos el cuadrante donde está la resultante. Esta información se obtiene de los signos de los componentes sumados o de un dibujo de su suma con el método del triángulo. (Véase la figura 1.9.) El ángulo 0 es el ángulo entre la resultante y el eje x en ese cuadrante.
1.2 Suma y resta de vectores
Ejemplo 1.3
A p lic a c ió n d e l m é to d o a n a lítico de c o m p o n e n te s: s e pa ra r y c o m b in a r c o m p o n e n te s x y y
Apliquemos los pasos del método de componentes a la suma de los vectores de la figura 18b. Los vectores con unidades de metros por segundo representan velocidades. Razonamiento. Siga los pasos del procedimiento y apréndaselos. Básicamente, descom ponemos los vectores en componentes y sumamos los componentes respectivos para ob tener los componentes de la resultante, que podrían expresarse en forma de componentes o en forma de magnitud-ángulo. Solución. Los componentes rectangulares de los vectores se muestran en la figura 1.8b.
La suma de esos componentes da, V =
vxx + vyy = (vXi + vXl + vX3) X +
(V y,
+
Vyt
+ v^)
y
donde vxt + vxí + vx3 = vi cos 45° + 0 - 1%eos 30° (45 m/s)(0.707) - (9.0 m/s)(0.866) = - 4 6 m/s vAsen 45° + - 1%sen 30° (4.5 m/s)(0.707) + (5.0 m/s) - (9.0 m/s)(0.50) = 3.7 m/s En forma tabular, los componentes son: Componentes x
Componentes y
+v¡ cos 45° - +3.2 m/s = 0 m/s
+Ü! sen 45° = +3.2 m/s = +5.0 m/s
vX} -173 cos 30° = - 7 .8 m/s Sumas: vx = —4.6 m/s
—v3sen 30° = —4.5 m/s
vXi
vy - +3.7 m/s
Los sentidos de las componentes se indican con signos. (A veces se omite el signo + por sobreentenderse.) En este caso, v 2 no tiene componente X. En general, observe que para el método analítico de componentes, los componentes x son funciones coseno y los com ponentes y son funciones seno, siempre que la referencia sea el eje x más cercano. En forma de componentes, el vector resultante es v = ( —46 m/s) x + (3.7 m/s) y En forma de magnitud-ángulo, la magnitud de la velocidad resultante es v - V u * + v2y - \ / (-4 .6 m/s)2 + (3.7 m/s)2 - 5.9 m/s Puesto que el componente x es negativo y el componente y es positivo, la resultante está en el segundo cuadrante, con un ángulo de
sobre el eje x negativo (véase la figura 1.8b). Ejercicio de refuerzo. Suponga que en este ejemplo hay otro vector de velocidad v4 = (+ 4 6 m/s) x. Calcule la resultante de los cuatro vectores en este caso?
Aunque sólo hemos hablado de movimiento en dos dimensiones (en un plano), es fácil extender el método de componentes a tres dimensiones. El vector de una velocidad en tres dimensiones tiene componentes x, y y z: v = vxx + uyy + vzz y su magnitud es v = \ / v 2x +
+ v\.
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14
CAPÍTULO 1 Movimiento en dos dimensiones
APfcOIDO DIBUJANDO Diagrame y sume
Ejemplo 1.4
E ncuentre el v e c to r: sú m e lo s
Tenemos dos vectores de desplazamiento: A, con magnitud de 8.0 m y dirección de 45° por debajo del eje +x, y cuyas componentes x y y son +2.0 m y +4.0pa - vag — \/(200 km/h)2 — (50.0 km/h)2 = 194 km/h
(Es conveniente usar las unidades de kilómetros por hora, ya que en el cálculo no inter vienen otras unidades.) Ejercicio de refuerzo. ¿Qué rumbo (dirección 0) debe tomar el avión en este ejemplo para avanzar directamente hacia el norte?
Repaso del capítulo El movimiento en dos dimensiones se analiza considerando sus componentes rectilíneos. El factor que vincula a los com ponentes es el tiempo. Componentes de la velocidad inicial: vx = vQeos 0
(l ia)
vy = vQsen 0
(1.1b)
Componentes de desplazam iento (sólo aceleración constante): x = Xo + v^t + \axf2
(1.3a)
y = y« + Vyt + \aye
(1.3b)
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Ejercicios Componente de v elocidad (sólo aceleración constante): vx = vXo + axt vy = Vyo + a yt
(1.3c) (1.3d)
ces, las ecuaciones anteriores para aceleración constante tie nen una aceleración d e a = —g en vez de a.) Alcance (R) es la distancia horizontal máxima recorrida.
De los diversos métodos de suma vectorial, el método de com ponentes es el más útil. Un vector resultante se puede expresar en forma de magnitud-ángulo o en forma de componentes con vectores unitarios.
_ vj sen 20 S
Representación de vectores:
alcance del proyectil, (sólo para yinidal = y ^ i)
Rrcúx
(y in id a l
y final)
n in
(1.12)
o
c = Ve? + el (forma de magnitud-ángulo)
(1.4a)
0 = tan' C = Cxx + Cyy
(forma de componentes)
(1.7)
El movimiento de proyectiles se analiza considerando los com ponentes horizontales y verticales por separado: velocidad constante en la dirección horizontal y una aceleración debida a la gravedad, g, en la dirección vertical hacia abajo. (Enton
La velocidad relativa se expresa en relación con un marco de referencia específico.
Ejercicios Los ejercicios designados OM son preguntas de opción múltiple; los son preguntas conceptuales; y los El son ejercicios integrados. A lo largo del texto, muchas secciones de ejercicios incluirán ejercicios "apareados". Estos pares de ejercicios, que se identifican con números subrayados, pretenden ayudar al lector a resolver problemas y aprender. La respuesta a los ejercicios de número impar seda al final del libro. 1.1 C o m p o n en tes del m ovim iento 1. OM En ejes cartesianos, el componente x de un vector ge neralmente se asocia con a) un coseno, b) un seno, c) una tangente o d) ninguna de las anteriores. 2. OM La ecuación x = xQ+ vXot + \axf2 se aplica a) a to dos los problemas de cinemática, b) sólo si es cero, c) a aceleraciones constantes, d) a tiempos negativos. 3. OM Para un objeto en movimiento curvilíneo, a) los com ponentes de velocidad son constantes, b) el componente de velocidad y necesariamente es mayor que el compo nente de velocidad x, c) hay una aceleración no paralela a la trayectoria del objeto, o d) los vectores de velocidad y aceleración deben estara ángulos rectos (a 90°). 4.
}C ¿El componente x de un vector puede ser mayor que la magnitud del vector? ¿Y qué pasa con el componente y? Explique sus respuestas.
5.
}C ¿Es posible que la velocidad de un objeto sea perpen dicular a la aceleración del objeto? Si es así, describa el movimiento.
6.
Describa el movimiento de un objeto que inicialmente viaja con velocidad constante y luego recibe una acele ración de magnitud constante a) en una dirección parale la a la velocidad inicial, b) en una dirección perpendicular a la velocidad inicial y c) que siempre es perpendicular a la velocidad instantánea o dirección de movimiento.
7. El • Una pelota de golf se golpea con una rapidez inicial de 35 m/s con un ángulo menor que 45° sobre la horizon tal. á) El componente horizontal de velocidad es 1. mayor que, 2) igual a o 3) menor que el componente vertical de velocidad. ¿Por qué? b) Si la pelota se golpea con un án gulo de 37°, ¿qué componentes horizontal y vertical de velocidad inicial tendrá? 8. El • Los componentes x y y de un vector de aceleración son 3.0 y 4.0 m/s2, respectivamente, a) La magnitud del vector de aceleración es 1) menor que 3.0 m/s2, 2) entre 3.0 y 4.0 m/s2, 3) entre 4.0 y 7.0 m/s2, 4) igual a 7 m/s2. b) ¿Cuál es la magnitud y dirección de el vector acele ración? 9. • Si la magnitud de un vector de velocidad es 7.0 m/s y el componente x es 3.0 m/s, ¿cuál es el componente y? 10. •• El componente x de un vector de velocidad que for ma un ángulo de 37° con el eje +x tiene una magnitud de 48 m/s. a) ¿Qué magnitud tiene la velocidad? b) ¿Qué magnitud tiene el componente y de la velocidad? 11.
El •• Un estudiante camina 100 m al oeste y 50 m al sur. a) Para volver al punto de partida, el estudiante debe ca minar en términos generales 1) al sur del oeste, 2) al nor te del este, 3) al sur del este o 4) al norte del oeste, b) ¿Qué desplazamiento llevará al estudiante al punto de partida?
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CAPÍTULO 1 Movimiento en dos dimensiones
12. •• Una estudiante pasea diagonalmente por una plaza rectangular plana en su universidad, y cubre la distancia de 50 m en 1.0 min (▼figura 1.22). a) Si la ruta diagonal forma un ángulo de 37° con el lado largo de la plaza, ¿qué distancia habría recorrido la estudiante, si hubiera caminado dando media vuelta a la plaza en vez de tomar la ruta diagonal? b) Si la estudiante hubiera caminado la ruta exterior en 1.0 min con rapidez constante, ¿en cuán to tiempo habría caminado cada lado?
tes de la velocidad promedio de la pelota, b) Determine la magnitud y el ángulo de su velocidad promedio, c) Ex plique por qué no es posible determinar su rapidez pro medio a partir de los datos dados.
1.2 Suma y resta de vectores* 21. OM Se suman dos vectores con magnitud 3 y 4, respecti vamente. La magnitud del vector resultante es a) 1, b) 7 o c) entre 1 y 7. 22. OM La resultante de A —B es la misma que la de a) B - A, 6) - A + B, o c) - ( A + B ) ,d ) - ( B - A). 23. OM Un vector unitario tiene a) magnitud, b) dirección, c) ninguna de las anteriores, d) tanto a como b.
FIGURA 1 2 2 ¿Por dónde? Véase el ejercicio 12.
13. •• Una pelota rueda con velocidad constante de 150 m/s formando un ángulo de 45° por debajo del eje +x en el cuar to cuadrante. Si definimos que la pelota está en el origen en t = 0, ¿qué coordenadas {x, y) tendrá 1.65 s después? 14. •• Una pelota que rueda sobre una mesa tiene una ve locidad cuyos componentes rectangulares son vx = 0.60 m/s y Vy = 0.80 m/s. ¿Qué desplazamiento tiene la pe lota en un intervalo de 2.5 s? 15. •• Un avión pequeño despega con una velocidad cons tante de 150 km/h y un ángulo de 37°. A los 3.00 s, a) ¿a
qué altura sobre el suelo está el avión y b) qué distancia horizontal habrá recorrido desde el punto de despegue?
24.
En el ejercicio 21, ¿en qué condiciones la magnitud de la resultante sería igual a 1? ¿Y a 7 o a 5?
25.
5C ¿Un vector diferente de cero puede tener un compo nente x de cero? Explique su respuesta.
26.
3C ¿Es posible sumar una cantidad vectorial a una canti dad escalar?
27. PC ¿Es posible que A + B sea igual a cero, cuando A y B tienen magnitudes diferentes de cero? Explique su respuesta. 28.
^C ¿Hay vectores iguales en la ▼figura 1.23?
16. El • • Durante parte de su trayectoria (que dura exacta mente 1 min) un misil viaja con una rapidez constante de
2000 mi/h y mantiene un ángulo de orientación constan te de 20° con respecto a la vertical, a) Durante esta fase, ¿qué es verdad con respecto a sus componentes de velo cidad?: 1) Vy > vXf 2) Vy = vx o 3) Vy < vx. [Sugerencia: trace un dibujo y tenga cuidado con el ángulo.] b) Determine analíticamente los dos componentes de velocidad para confirmar su elección en el inciso a y calcule también qué tan lejos se elevará el misil durante este tiempo. 17. •• En el instante en que una pelota desciende rodando por una azotea, tiene un componente horizontal de ve locidad de + 10.0 m/s y un componente vertical (hacia abajo) de 15.0 m/s. á) Determine el ángulo del techo. b) ¿Cuál es la rapidez de la pelota al salir de la azotea? 18. •• Una partícula se mueve con rapidez de 3.0 m/s en la
dirección +x. Al llegar al origen, recibe una aceleración continua constante de 0.75 m/s2 en la dirección —y. ¿En qué posición estará la partícula 4.0 s después? 19. ••• Con rapidez constante de 60 km/h, un automóvil recorre una carretera recta de 700 m que tiene una incli nación de 4.0° respecto a la horizontal. Un observador
nota únicamente el movimiento vertical del auto. Calcu le a) la magnitud de la velocidad vertical del auto y b) la distancia vertical que recorrió. 20. ••• Un beisbolista da un home run hacia las gradas del jardín derecho. La pelota cae en una fila que se localiza 135 m horizontalmente con respecto a home y 25.0 m arriba del terreno de juego. Un aficionado curioso mide el tiempo de vuelo en 4.10 s. a) Determine los componen
/
*
7
c
A FIGURA 1.23 ¿Vectores diferentes? Véase el ejercicio 28.
29. • Empleando el método del triángulo, demuestre gráficamente^quejí) A + B = B + A y í > ) s i A - B = C, entonces A = B + C. 30. El •
