Firenze

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE

Dispense del corso di:

MECCANICA COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Prof. Ing. C. Borri & W. B. Krätzig (Univ. di Firenze)

(Ruhr Univ. di Bochum)

Revisione: Dott. Ing. M. Betti A.A. 2000/2001

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

I.

Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui

Introduzione alla Meccanica delle Strutture Discrete

Delle tre discipline che congiuntamente prendono il nome di Meccanica, cioè Cinematica, Statica e Dinamica, ci occuperemo esclusivamente delle prime due e del legame che intercorre tra esse.

Si parla specificatamente di strutture discrete perché, con i metodi dell'analisi computazionale, qualsiasi struttura continua deve essere trasformata in una struttura discreta (al contrario di altri metodi in cui le strutture continue possono essere analizzate). Per esattezza bisogna ricordare che in realtà tutte le strutture sono continue e non esistono strutture discrete; quando parliamo di struttura continua o struttura discreta ci riferiamo al modello, che può essere al continuo o al discreto, di quella tal struttura.

Nei modelli al continuo (strutture continue) lo scopo finale è quello di definire le grandezze caratteristiche punto per punto, cioè di determinare il campo delle grandezze di deformazione e delle grandezze di tensione della struttura.

Nei modelli al discreto (strutture discrete) invece si cerca di approssimare al meglio la geometria della struttura reale utilizzando dei componenti, o elementi, dotati di limitata variabilità geometrica. Da tali modelli si estraggono, non le grandezze caratteristiche punto per punto, ma le grandezze globali che interessano un insieme di punti; per una trave tale insieme di punti è la sezione trasversale, per un guscio è la superficie media.

2

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui

1.

Rivista dei modelli della meccanica dei continui

1.1

Modelli ingegneristici Il compito degli ingegneri è quello di trasformare modelli in strutture effettivamente realiz-

zabili, tenendo presente che la struttura deve svolgere una funzione durante tutto il suo ciclo di vita (durabilità), assicurandosi che nello svolgimento di tale funzione essa sia garantita da danneggiamenti e che non arrechi danno a cose o persone. Si tratta quindi di fare un'analisi di previsione del futuro, una sorta di prognosi (la vita della struttura si progetta). Nell'ingegneria strutturale si devono trovare dei modelli per l'analisi di rigidezza e di resistenza: dobbiamo prevedere quanto una struttura è rigida e la sua resistenza ultima.

MODELLAZIONE

RIGIDEZZA

RESISTENZA

Rigidezza e resistenza non vanno sempre di pari passo; infatti una struttura può essere molto rigida ma andare in crisi per un carico minore di un'altra struttura meno rigida, cioè più deformabile, ma più resistente; inoltre le componenti strutturali contribuiscono alla sopportazione di un carico in modo proporzionale alla propria rigidezza; gli elementi più rigidi si accollano così una parte di carico maggiore rispetto agli elementi meno rigidi.

Concetto di struttura: La struttura può essere pensata come l'insieme di quei componenti di una costruzione atti a sopportare, con sicurezza, i carichi o le azioni esterne in genere.

Non tutte le componenti di una costruzione possono essere identificate con il termine struttura; un edificio non è composto da soli elementi strutturali.

3

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui

Il problema è quello di modellare tre componenti:

- carichi; - struttura; - risposta.

1. Carichi:

La definizione di un modello dei carichi e delle azioni esterne è spesso

molto complicata, basti pensare all'azione del vento, del sisma, oppure alle azioni lente derivanti dal fatto che strutture di grandi dimensioni sottoposte all'azioni dei carichi permanenti subiscono delle deformazioni molto lente nel tempo (es.: "creep" e "fluage").

2. Struttura: Il modello strutturale equivale a considerare adeguatamente la geometria della struttura, le proprietà di massa, di rigidezza, di smorzamento (quando la teoria ce lo consente) in modo da ottenere un modello elementare che sia equilibrato, congruente e compatibile con le leggi di legame (es.: legame elastico, se lavoriamo nel campo elastico).

3. Risposta : Bisogna modellare la risposta di una struttura perché quello che dobbiamo analizzare, non sono i carichi, non è la struttura, ma la reazione della struttura stessa alle sollecitazioni esterne.

Dai modelli di previsione ingegneristici nasce la teoria del sistema; lo schema seguente ne illustra a grandi linee il funzionamento:

La prima fase, quella di determinazione dei carichi, può essere vista come la fase di input; la seconda fase, il modello strutturale, è il nostro strumento di soluzione, mentre la terza fase, la risposta strutturale, è l'output, il risultato. Durante ogni fase di questo processo inoltre è importante controllare sempre di essere in condizioni di sicurezza. Es.:

Consideriamo il solaio di un edificio, procediamo ad identificare il modello strutturale - isoliamo il solaio da ogni sovrastruttura (es.: pavimenti, etc... ); - avendo definito la geometria, ipotizziamo massa e rigidezza del solaio; - infine consideriamo opportunamente le sue condizioni al contorno. 4

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

1.2

Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui

Modelli strutturali I modelli strutturali sono costituiti da elementi mono-, bi-, e tridimensionali che hanno as-

segnate, in modo continuo lungo linee, superfici o volumi e/o concentrate in punti, le loro proprietà meccaniche.

1- Elementi monodimensionali:

aste e travi.

Sono caratterizzati dall'avere una dimensione prevalente rispetto alle altre due; da ciò derivano alcune conseguenze importanti, come la possibilità di poter semplificare enormemente il modello strutturale (vedi teoria di De Saint-Venant). Si possono distinguere i casi di elementi monodimensionali piani (che si possono disporre solo complanarmente) e elementi monodimensionali spaziali (che si possono disporre arbitrariamente nello spazio); e, per quanto riguarda le proprietà di rigidezza, i casi di elementi monodimensionali non deformabili (infinitamente rigidi) a taglio e deformabili a taglio.

h,b 0 (occorre fare lavoro per delle deformazioni positive) • La matrice di flessibilità deve essere sintesi di equilibrio, congruenza e legame.

• MATRICE DI RIGIDEZZA

Definiamo per ogni elemento:

o

se = k e ⋅v e + s e

o e e e s1  k11 k12 K k1 j K k1k  v1  s1  s  k  v   o   2   21   2  s2  M M      M  M :   =  ⋅v  +  o  si ki 1 j       si  M M M        M o  sk      kk 1   vk   s  k

↓ matrice di rigidezza

↓ forze prime dovute ai carichi sugli elementi

Def.: •La colonna k ej della matrice k e contiene tutte le forze prime sie dovute agli spostamenti nodali unitari v ej = 1. • Elenchiamo le proprietà che valgono per la mat. k e : - quadrata; - simmetrica: k e = k e t ;

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ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

- regolare: det k e ≠ 0 (sotto certe condizioni)

se s i , v i sono

- definita positiva: v e t ⋅k e ⋅v e > 0

variabili indipendenti

- singolare: det k e = 0

se s i , v i sono

- semidefinita positiva: v e t ⋅k e ⋅v e ≥ 0

variabili complete

• Nel caso di variabili indipendenti: o

moltiplico per ( f e ) ambo i membri e ottengo: −1

v e = f e ⋅s e + v e

o

( f e )− 1 ⋅v e = ( f e )− 1 ⋅f e ⋅se + ( f e )− 1 ⋅v e

da cui:

Id o

s = ( f e ) ⋅v e − ( f e ) ⋅v e −1

−1

↓

↓

ke

se

o

• Composizione della struttura globale:

o

v = f ⋅s + v :

v a  f a  b  v  =   M  v p     

fb O

 s a   b ⋅s +   M p  p f  s 

 oa  vo  v b    M o  p  v  

↓ matrice di flessibilità di tutti gli elementi

o

s = k ⋅v + s :

s a  k a  b  s =   M  s p     

kb O

 v a   b ⋅v +   M p p k  v 

 oa  so  s b    M o  p  s  

↓ matrice di rigidezza di tutti gli elementi

71

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

Def.: •Proprietà di f , k : - quadrate; - simmertiche; - f , k : regolari,definite positive; • Il lavoro interno per strutture elastiche è una quadratica che ha come forma la matrice k (che lavora con gli spostamenti) oppure è una quadratica con forma f (che lavora con le forze):

o

o

− W (i ) = s t ⋅v = s t ⋅f ⋅s + s t ⋅v = v t ⋅s = v t ⋅k ⋅v + v t ⋅s

2.2.5 Schema di trasformazione completo

Il "Complete Transformation Scheme" ci consente di passare dall'insieme delle relazioni scritte nel sistema di riferimento locale alla relazione di insieme scritta nel sistema globale. Noi intendiamo connettere insieme entrambe i vettori di variabili esterne usando le seguenti trasformazioni: • Se le variabili indipendenti sono i carichi, avremo V = b t ⋅v

...................................

Congruenza

o

v = f ⋅s + v

.......................

s = b ⋅P

Equazioni costitutive

............

Equilibrio

o

o

V = b t ⋅f ⋅b ⋅P + b t ⋅v = F ⋅P + b t ⋅v Congruenza: l'insieme degli spostamenti di tutti gli elementi v deve in qualche maniera essere legato a V . La matrice b ci da la congruenza dei nodi, cioè è quella matrice che ci dice che le estremità degli elementi che convergono nello stesso nodo devono assumere lo stesso spostamento.

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ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

Equilibrio: L'insieme delle sollecitazioni s che convergono in un nodo devono essere equilibrate da P. • La relazione F = b t ⋅f ⋅b è detta relazione di flessibilità globale dove F è la matrice di flessibilità globale con le seguenti proprietà:

- quadrata; - simmetrica: F = F t ; - regolare: detF ≠ 0; - definita positiva: P t ⋅F ⋅P > 0. • Se le variabili indipendenti sono gli spostamenti, avremo P = a t ⋅s

...................................

Equilibrio

o

s = k ⋅v + s

.......................

v = a ⋅V

Equazioni costitutive

............

Congruenza

o

o

P = a t ⋅k ⋅a ⋅V + a t ⋅s = K ⋅V + a t ⋅s

• Dove K = a t ⋅k ⋅a è la matrice di rigidezza globale con le seguenti proprietà:

- quadrata; - simmetrica: K = K t ; - regolare: detK ≠ 0 → K = F − 1; - definita positiva: V t ⋅K ⋅V > 0

(se la struttura è libera dai modi di corpo rigido);

- singolare: detK = 0 - semi definita positiva: V t ⋅K ⋅V ≥ 0

N.B.

(se sono possibili modi di corpo rigido).

La matrice di rigidezza è una proprietà intrinseca della struttura quindi la possiamo definire a prescindere dal metodo con cui viene calcolata.

73

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Oss:

Modelli Strutturali Discretizzati

Modi di corpo rigido sono quei modi di spostamento, quei campi cinematicamente ammis-

sibili che esistono nonostante la struttura sia ben definita, nonostante che tutti gli elementi abbiano rigidezza positiva.

• Per il singolo elemento: •f = e

se

ve

= ke •

• Schema di trasformazione completo: Nella "Upper transformation" possiamo definire la trasformazione stessa soltanto se V contiene i gradi di libertà attivi, cioè se s e v contengono solamente le variabili interne indipendenti; infatti, utilizzando qui il metodo della congruenza, non posso considerare tutte le variabili bensì solo quelle indipendenti dal punto di vista dell' equilibrio. Nella "Lower transformation", V può contenere variabili dipendenti (gradi di libertà non solo attivi), poiché siccome fra tutte le soluzioni congruenti cerco quella equilibrata, le variabili dipendenti le elimino con l'imposizione dell'equilibrio.

•F =

(m ,m) bT •a = I T

•b =

•f =

•b =

(l, m)

(l, l)

(m, l)

P

s

v

V

(m,1)

(l, 1)

(l, 1)

(m, 1)

= aT •

=k•

=a•

(m, l)

(l, l)

(l, m)

aT •b = I =K• (m, m)

74

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

2.3

Modelli Strutturali Discretizzati

Teoremi dell'energia

2.3.1 Conservazione dell'energia

Assumiamo:

P1 = a t ⋅s1 ; s1 = b ⋅P1

: vettore delle forze in equilibrio su un dato corpo (aT = b-1)

V 2 = b t ⋅v 2 ; v 2 = a ⋅V2

: vettore degli spostamenti dei punti di applicazione dei carichi nodali (bT = a-1)

scritto nel sistema di riferimento locale ↑

↑

W1,2 = W1(,2e ) − W1(,2i ) = P1t ⋅V2 − s 1t ⋅v 2 = V 2t ⋅P1 − v t2 ⋅s 1 = 0

↓

↓

scritto nel sistema di riferimento globale

Con W1(,2e ) potenziale esterno e W1(,2i ) potenziale interno. • Trasformiamo adesso tutto a livello globale: a ⋅V2

b ⋅P1

↑

↑

W1,2 = P1t ⋅V2 − s 1t ⋅v 2 = V2t ⋅P1 − v t2 ⋅s 1 = 0 ↓

↓

P1t ⋅b t

a ⋅V2

= P1t ⋅V2 − P1t ⋅b t ⋅a ⋅V2 = V2t ⋅P1 − V2t ⋅a t ⋅b ⋅P1 = 0

La conservazione dell'energia viene scritta attraverso la proprietà di controgradienza dell'equilibrio e della congruenza (per i continui avevamo fatto l'inverso).

75

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

2.3.2 Teorema di Betti.

Consideriamo due sistemi diversi di forze e spostamenti:

Sistema 1 :

{P1 , s 1 }→ {V1 , v 1 = f ⋅s1 }

Sistema 1 :

{P2 , s 2 }→ {V2 , v 2 = f ⋅s 2 }

Si ipotizza un sistema 1 (2) in equilibrio dove ho che gli spostamenti v 1 ( v 2 ) nel sistema di riferimento locale e le caratteristiche di sollecitazione s 1 (s 2 ) sono legati dalla matrice di flessibilità. I due sistemi di riferimento hanno ovviamente la stessa matrice perché il corpo è lo stesso.

Calcoliamo adesso il lavoro mutuo dei due sistemi: W1,2 = P1t ⋅V2 − s1t ⋅v 2 = 0 :P1t ⋅V2 = s1t ⋅v 2 = s1t ⋅f ⋅s 2 W2 ,1 = P2t ⋅V1 − s t2 ⋅v 1 = 0 :P2t ⋅V1 = s t2 ⋅v 1 = s t2 ⋅f ⋅s1

da cui, essendo f = f t , si ha:

P1t ⋅V2 = P2t ⋅V1

W1(,2e) = W2(,e1)

Oss:

La matrice di flessibilità è simmetrica , questo non è dovuto alla discretizzazione del si-

stema bensì all'origine della matrice stessa; infatti i coefficienti di flessibilità sono quelli dell' equazione di Müller-Breslaw dove ηi k = η k i (scambiare i con k significa solo scambiare il momento con la curvatura: si sposta EJ).

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ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

2.3.3 Principio dei lavori virtuali

W = P t ⋅V − s t ⋅v = V t ⋅P − v t ⋅s = 0

1.

Principio dei lavori virtuali nella forma degli spostamenti: δ W =δ V t ⋅P − δ v t ⋅s = 0

con la condizione di congruenza

δ v = a ⋅δ V

si ottiene:

δ V t ⋅P − δ V t ⋅a t ⋅s = δ V t (P − a t ⋅s) = 0 da cui: P = a t ⋅s

eq.ne di equilibrio della struttura nella forma di Eulero Lagrange.

2.

Principio dei lavori virtuali nella forma delle forze: δ W∗ = δ P t ⋅V − δ s t ⋅v = 0

con la condizione di equilibrio

δ s = b ⋅δ P

si ottiene:

δ P t ⋅V − δ P t ⋅b t ⋅v = δ P t ⋅(V − b t ⋅v) = 0 da cui: V = b t ⋅v

eq.ne di congruenza della struttura nella forma di Eulero Lagrange.

77

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

2.3.4 Condizioni di estremo per i discontinui

1.

Minimo del potenziale elastico:

Definiamo:

Π e = − V t ⋅P

Π i = 1 2 v t ⋅s = 1 2 v t ⋅k ⋅v (forma quadratica) ↓

s = k ⋅v

(struttura elastica)

Supponiamo che si deformi la struttura e quindi che i carichi esterni perdano potenziale perciò abbiamo Π e ≤0 e non Π i . Tutto dipende solo dal fatto che è la struttura a far lavoro sul sistema o il sistema sulla struttura, infine tanto la somma è comunque uguale a zero.

Π = Π i + Π e = 1 2 v t ⋅k ⋅v − V t ⋅P

Condizione di stazionarietà: δ Π=δ v t ⋅k ⋅v − δ V t ⋅P = 0

(P.L.V. nella forma degli spostamenti per una struttura elastica)

Condizione di minimo: δ2 Π = δ v t ⋅k ⋅δ v≥0

(k matrice semi-definita positiva)

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ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

2.

Modelli Strutturali Discretizzati

Minimo del potenziale elastico coniugato:

Definiamo:

Π ∗e = − P t ⋅V

Π ∗i = 1 2 s t ⋅v = 1 2 s t ⋅f ⋅s ↓

v = f ⋅s

Π ∗ = Π ∗i + Π ∗e = 1 2 s t ⋅f ⋅s − P t ⋅V

Condizione di stazionarietà: δ Π∗ = δ s t ⋅f ⋅s − δ P t ⋅V = 0

(P.L.V. nella forma delle forze per una struttura elastica)

Condizione di minimo: δ2 Π ∗ = δ s t ⋅f ⋅δ s> 0

(f è sempre definita positiva).

79

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

2.4

Modelli Strutturali Discretizzati

Analisi strutturale

2.4.1 Strategie di approssimazione

Molti problemi nella meccanica strutturale ammettono soltanto delle soluzioni approssimate, nel senso che il problema meccanico formulato nella sua maniera più completa non è risolvibile in forma chiusa: le travi sono un eccezione perché i problemi sono derivabili e simulabili quasi senza approssimazione. Le strategie di approssimazione seguono dei criteri di convergenza energetica, cioè il bilancio energetico che si scrive per il modello deve risultare il più possibile vicino a quello che si ottiene nella struttura effettiva.

Passi fondamentali:

a) scelta di un funzionale adatto all'energia; b) adeguata approssimazione delle variabili (statiche e cinematiche) nei rispettivi funzionali in termini di variabili discrete nodali; c) tener conto delle condizioni al contorno; d) scrivere la condizione di minimo e di stazionarietà rispetto alle variabili nodali.

Per fare questo è necessario conoscere i funzionali dell'energia in forma discretizzata.

2.4.2 Metodo degli spostamenti • Potenziale elastico totale:

Π = Πi + Π

Π = Πi + Πa =

o

dove P indicano i carichi nodali, s forze sui fixed joints

80

o 1 T v ⋅k ⋅v + v T ⋅s − V T ⋅P 2

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

• Trasformazione di congruenza: v → V v = a ⋅V

Π=

o 1 T T V ⋅a ⋅k ⋅a ⋅V + V T ⋅a T ⋅s − V T ⋅P 2

• Pongo la condizione di stazionarietà di Π facendo riferimento ad una delle variabili di spostamento nel sistema di riferimento globale. o o ∂Π = a T ⋅k ⋅a ⋅V + a T ⋅s − P = K ⋅V + a T ⋅s − P = 0 ∂V

o

posto poi

o

a T ⋅s = S

si ottiene:

o

K ⋅V + S − P = 0

Relazione fondamentale per l'analisi strutturale statica (sintesi di equilibrio congruenza e legame)

2.4.3 Metodo delle forze • Potenziale elastico coniugato:

Π ∗ = Π ∗i + Π ∗a =

• Trasformazione di equilibrio:

o 1 T s ⋅f ⋅s + s T ⋅v − P T ⋅V = 0 2

s → P

s = b ⋅P

Π∗ =

o 1 T T P ⋅b ⋅f ⋅b ⋅P + P T ⋅b T ⋅v − P T ⋅V 2

81

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

• Condizione di stazionarietà: o o ∂Π ∗ = b T ⋅f ⋅b ⋅P + b T ⋅v − V = F ⋅P + b T ⋅v − V = 0 ∂P

Oss:

Lo svantaggio di entrambe i metodi (degli spostamenti e delle forze) è che non tutte le va-

riabili di interesse appaiono nelle equazioni governanti il problema, cosa che invece non accade nel metodo misto.

2.4.4 Metodo misto

Si chiama "metodo misto" perchè, al posto di un potenziale libero da ogni condizione particolare, si associa un potenziale in cui la condizione di equilibrio è esplicitata come equazione di limite per le variabili di sollecitazione; dando un limite a queste e si ottiene quello che si chiama la forma discretizzata del principio variazionale. In questo modo si costruisce un metodo in cui la condizione di minimo è una condizione in cui senz'altro si esclude tutte quelle soluzioni che non sono di equilibrio. • Potenziale coniugato:

Π ∗ = Π ∗i + Π ∗a =

con equilibrio:

o 1 T s ⋅f ⋅s + s T ⋅v − P T ⋅V 2

P − a T ⋅s = 0

• Potenziale coniugato “vincolato”:

Π ∗∗ =

o 1 T s ⋅f ⋅s + s T ⋅v + λT ⋅( P − a T ⋅s) − P T ⋅V 2

dove λ è il moltiplicatore Lagrangiano. E’la forma discretizzata del principio di HU.

82

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

• Condizioni di stazionarietà:

a-

∂Π ∗∗ = λT − V T = 0 ∂P

b-

o ∂Π ∗∗ = f ⋅ s + v − a ⋅V = 0 ∂s T

c-

∂Π ∗∗ = P − a T ⋅s = 0 ∂λT

λ= V

usando

Dalla b e c otteniamo: congruenza o

− f ⋅s + a ⋅V = v

flessibilità (legame)

a T ⋅s = P

equilibrio

A ⋅Z = R

-f a T 

:

o a   s  v  ⋅ =   0  V   P  

→

Z = A − 1 ⋅R

quadratica; simmetrica: A=AT; singolare: detA=0; indefinita. • Principio: Le condizioni di stazionarietà della forma discretizzata del princio di HU sono le equazioni di equilibrio, le equazioni di flessibilità di tutti gli elementi e le condizioni di con→

gruenza:

Oss:

metodo misto.

Se anzichè le sollecitazioni ci mettessi gli spostamenti otterrei il potenziale duale.

• Analoga formulazione si ottiene usando il principio di HU-WASHIZU:

A ⋅Z = R *

*

*

:

-k b T 

o b  v   s  ⋅ =   0  P   V  

83

→

Z * = A *− 1 ⋅R *

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

2.4.5 Calcolo delle matrici di rigidezza dell'elemento

Nella trattazione seguente consideriamo solo il metodo degli spostamenti nella speciale forma del metodo diretto della rigidezza , metodo in cui si cerca direttamente la matrice di rigidezza. • Elemento arbitrario: o

p

1 o

t z

4

y

2

x

base locale

Ste Ve 3

• Potenziale dell'elemento:

Πe = vincoli:

1 T ε ⋅E ⋅ε dV e − ∫ 2 Ve

ε = D k ⋅u o

r=r

∫u

Ve

T

o

⋅p dV e −

∫r

T

o

⋅t dSte

S te

∈Ve ∈Ve

• Procedimento: Per ogni elemento costruiamo l'approssimazione del campo degli spostamenti che chiamiamo u e . E' opportuno definire un vettore di coordinate generalizzate incognite (ad esempio gli spostamenti nodali) u$ e . Fra l'approssimazione del campo degli spostamenti e il vettore di coordinate incognite c'è la matrice di approssimazione, matrice che mi definisce la bontà della approssimazione fatta in base al grado delle funzioni usato. Vediamo come possiamo definire le quantità che ci necessitano.

84

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

•

Modelli Strutturali Discretizzati

Approssimazione del campo degli spostamenti all'interno di V e (sono gli spostamenti dei

nodi scritti per il sistema di riferimento globale ):

ue = φe ⋅u$ e Sostituendo nella φe le coordinate dei nodi devo ottenere il campo di spostamenti dei nodi stessi. • Definizione dei gradi di libertà nodali di v e da u e attraverso la sostituzione delle coordinate nodali in φe :

$ e ⋅u$ e ve = φ $ e è la matrice che imprime le condizioni nodali al contorno , cioè le coordinate nodali dei dove φ gradi di libertà dell'elemento. • Inversione: voglio esprimere il vettore generalizzato u$ e in funzione degli spostamenti nodali $ e )− 1 ⋅v e → u e = φe ⋅( φ $ e )− 1 ⋅v e = Ω e ⋅v e u$ e = ( φ

dove Ω e è la matrice delle funzioni di forma (lega le coordinate globali agli spostamenti nodali). • Determinazione delle deformazioni dell'elemento ε e e degli spostamenti al contorno dell' elemento r e corrispondenti a u e : ε e = D k ⋅u e = D k ⋅Ω e ⋅v e = H e ⋅v e r e = R r ⋅u e = R r ⋅Ω e ⋅v e

dove H e è l'operatore cinematico discretizzato.

85

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

Operare con D k , che è un operatore differenziale, su una matrice di funzioni ( Ω e ), significa sostanzialmente fare delle derivate di funzioni, quindi H e è la derivata della funzione di forma. Quindi per avere definite delle deformazioni occorre avere una espressione, sufficientemente approssimata, degli spostamenti attraverso la relazione ε e = D k ⋅Ω e ⋅v e , cioè devo avere una funzione di forma adeguata: H deve essere ben posto.

• Sostituzione in Π e : o 1 t o T T T T T Π e = v e ⋅ ∫H e ⋅E ⋅H e dV e ⋅v e − v e ⋅∫Ω e ⋅p dV e − v e ⋅∫( R r ⋅Ω e ) ⋅t dS te 2 Ve Ve Se

• Condizione di stazionarietà:

∂Π e eT ⋅E ⋅H e dV e ⋅v e − e = ∫H ∂v Ve

∫Ω

Ve

o

eT

o

⋅p dV e −

∫( R

⋅Ω e ) ⋅t dSte = t

r

Se

o

= k e ⋅v e + s e − s e = 0 ⇒ se = k e ⋅v e + s e

86

o

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

• CRITERI DI CONVERGENZA:

Attraverso la scelta di diverse ipotesi di funzioni si è sviluppata , nel corso del tempo, una varietà ormai non più enumerabile di elementi. Nonostante la grande libertà nella formulazione degli elementi, o meglio delle funzioni che descrivono le loro quantità cinematiche , esiste una serie di condizioni necessarie, cioè di esigenze, che gli elementi debbono soddisfare. Iniziamo con due caratteristiche di base, senza il cui rispetto ogni formulazione è completamente priva di senso. 1. Le singole funzioni di ogni riga della matrice φ devono essere tra loro linearmente indipen-

$ e risulta quadratica e invertibile (per poter ottenere Ω e ). denti, in modo che la φ

2.

Per l'eventuale definizione dei gradi di libertà delle derivate di φ, le funzioni forma devono

essere continue e differenziabili tanto quanto necessario (cioè un numero di volte almeno pari all'ordine della funzione).

Accanto a queste condizioni fondamentali ci sono inoltre tre criteri di convergenza, che debbono essere soddisfatti per garantire la sicurezza e l'aderenza della soluzione a quella analitica o per assicurare un'ottima approssimazione.

a-

Rappresentazione (modellazione) di stati a deformazione costante. Un certo stato di sollecitazione in un corpo da luogo ad uno stato di deformazione asso-

ciato e può portare a delle leggi variazionali molto complesse. Lo stato di sollecitazione più semplice che si può avere è quello costante (se si opera in elasticità lineare si avrà anche una deformazione direttamente proporzionale); bisogna quindi come minimo poter descrivere questo stato di sollecitazione.

b-

Invarianza nei confronti dei movimenti di corpo rigido(*). La funzione spostamento è da scegliere in modo che non compaiano deformazioni per

spostamenti di corpo rigido. Il trattare componenti di spostamento che abbiano fortissime differenze in funzione della geometria può dare degli squilibri all'elemento.

87

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

• Queste prime due condizioni vengono dette condizioni di completezza.

c-

Conformità (o compatibilità: condizioni di raccordo della linea elasticaal contorno). La funzione spostamento è da scegliere in modo tale che le deformazioni nel passaggio da

un elemento all'altro siano si indeterminate, ma pure finite. Dal punto di vista matematico ciò significa che, nel caso siano presenti (nel funzionale) derivate di ordine "n", le funzioni spostamento lungo i bordi devono essere continue fino alla "n-1"-esima derivata. Se cioè compaiono nel funzionale derivate prime, la funzione stessa deve essere continua (continuità C0). Se compaiono derivate seconde devono essere continue la funzione e le sue derivate prime (continuità C1), e così via. In pratica si ammette che solo la derivata n-esima può avere discontinuità finita.

Gli elementi che soddisfano questa condizione di continuità vengono detti conformi, altrimenti non conformi. Quando gli elementi sono non conformi può succedere che questi siano non compatibili, ed allora la conformità impedisce l'incompatibilità tra gli elementi.

Infine si deve esigere quest’ultima ma non meno importante condizione

d-

Isotropia geometrica: invarianza nei confronti del cambiamento del sistema di coordinate. Le funzioni forma non devono annullarsi per alcuna trasformazione del sistema di coordi-

nate, poiché altrimenti l'elemento mostrerebbe una direzione "degenere" peculiare ed i risultati dipenderebbero dal tipo di orientamento dell'elemento, ad esempio dalla numerazione dei nodi. Questa condizione viene soddisfatta automaticamente con l'impiego di funzioni polinomiali complete.

Si deve sottolineare che, sebbene da un punto di vista matematico sia necessaria la soddisfazione delle quattro condizioni sopra viste, si è provata una certa serie di elementi che, in pratica, non rispettano una o più delle condizioni di cui sopra (ad esempio elementi non conformi).

88

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

• Soltanto la condizione a deve essere incondizionatamente soddisfatta.

Tutto questo ha condotto allo sviluppo del cosiddetto "Patch test", che rappresenta uno strumento numerico per il collaudo del criterio di convergenza. Esso è molto semplice da condurre: si sceglie una maglia di elementi con una disposizione formale tale che almeno un nodo sia completamente circondato da elementi; i nodi di bordo vengono poi sollecitati (cioè caricati) con forze o spostamenti impressi tali da generare (o corrispondere) ad uno stato di deformazione costante.

(*) ESEMPIO

Supponiamo di avere un sistema non isodefinito: corpo per il quale è consentita la rotazione (per tutta la struttura) attorno all'asse verticale. Quando andiamo a risolvere l'equazioni del problema statico, se abbiamo una componente di carico che da luogo ad un atto di moto rigido che non è impedito in quel senso, non otteniamo la soluzione. C'è una possibilità di mettere in evidenza questo moto ed è quella di fare un'analisi agli autovalori in modo da cercare quegli autovalori che sono nulli (perché lungo quella direzione troviamo autovalori nulli). Allora se, dato un certo carico, la nostra trattazione è in grado di descrivere questi atti di moto rigido senza che il corpo si deformi possiamo dire che l'elemento funziona. Ci deve esssere la possibilità di descrivere tutti i moti rigidi senza deformazione perchè se avessi in una direzione una qualsiasi componente di sforzo (e quindi di deformazione) vorrebbe dire che la descrizione non è adeguata.

89

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

• ESEMPIO: Elemento piano in stato di deformazione costante y,uy

uy3 ux3

3

uy1 uy2

ux1

ux2

1 y1

2 x,ux x1

• Approssimazione lineare in x e y degli spostamenti:

α 1  α   2 u x ( x, y) 1 x y 0 0 0 α  3 =  ⋅ = φ⋅u$ u=    0 0 0 1 x y  α 4  u y ( x, y) α 5   α 6   • Definizione dei gradi di libertà nodali: u x1  1 x1 u   1 x2  x2   u x 3  1 x3 v =  =  u y1 0 0    u y 2  0 0  0 0 u y 3   

$ 2 ⋅A p Det φ=

y1 y2 y3 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 x1 1 x2 1 x3

0  α 1  0  α 2    0  α 3  ϕ$ 0  $ ⋅u$ ⋅ = ⋅u$ = φ y1  α 4   0 ϕ$    y2  α 5  y3   α 6  

dove A p è l' area del triangolo.

90

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

• Inversione: ϕ$ − 1 $ − 1 ⋅v =  $u = φ 0

0  ⋅v ϕ$ − 1 

con ϕ$

−1

avendo usato per brevità:

x 2 y3 − x3 y2 1  y23 = p ⋅ 2 ⋅A  x32 

x1 y2 − x2 y1   y12   x21 

x 3 y1 − x1 y 3 y31 x13

xk 1 = xk − x1

,

y k1 = y k − y1

• Approssimazione dello spostamento dell' elemento:

ω 0  $ − 1 ⋅v = Ω ⋅v =  u = φ⋅u$ = φ⋅φ ⋅v 0 ω 

con x2 y3 − x3 y2 + y23 ⋅x + x 32 ⋅y  1   ωT = p ⋅ x 3 y1 − x1 y 3 + y 31 ⋅x + x13 ⋅y  2 ⋅A  x1 y 2 − x2 y1 + y12 ⋅x + x21 ⋅y  

• Approssimazione della deformazione dell' elemento: ε = D k ⋅u = D k ⋅Ω ⋅v = H ⋅v

con y23 1  H= p ⋅ 0 2 ⋅A  x32

y31

y12

0

0

0

0

x32

x13

x13

x21

y23

y31

91

0   x21  y12  

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Modelli Strutturali Discretizzati

• Approssimazione della tensione dell' elemento:

σ = D ⋅E ⋅ε = D ⋅E ⋅H ⋅v = S ⋅v con

  y23 Eh S= ⋅ ν ⋅y ( 1 − ν 2 ) ⋅2 A p 1 − ν 23  ⋅x32  2

D=

y31 ν ⋅y31 1− ν ⋅x13 2

y12 ν ⋅y12 1− ν ⋅x21 2

ν ⋅x23 x32 1− ν ⋅y23 2

ν ⋅x13 x13 1− ν ⋅y31 2

 ν ⋅x21  x21   1− ν ⋅y12   2

Eh (1 − ν 2 )

Oss.: Le matrici H ed S sono costituite con elementi costanti. Quindi deformazioni e tensioni sono approssimate in modo costante in tutto l'elemento.

• MATRICE DI RIGIDEZZA:  k11 k = ∫H T ⋅D ⋅E ⋅H dA p = DA p ⋅H T ⋅E ⋅H =  T k21 = k12 Ap

k12  k22  

con

1− ν 2  2  y23 + 2 x32  Eh 1− ν k11 = ⋅ x x y23 y31 + p 2 2 32 13 4 A (1 − ν )  1− ν y23 y12 + x x  2 32 21

1− ν x x 2 32 13 1− ν 2 2 + y31 x 2 13 1− ν y31 y12 + x x 2 13 21

y23 y31 +

1+ ν  x y  2 32 23 1 − ν Eh k12 = ⋅ x y + νx32 y31  4 A p ( 1 − ν 2 )  2 13 23 1− ν  x y + νx32 y12  2 21 23

1− ν x y + νx13 y23 2 32 31 1+ ν x y 2 13 31 1− ν x y + νx13 y12 2 21 31

92

1− ν  x32 x21  2  1− ν y31 y12 + x13 x21  2 1 − ν 2   y122 + x 2 21 

y23 y12 +

1− ν  x32 y12 + νx21 y23  2  1− ν x13 y12 + νx21 y31  2  1+ ν  x21 y12  2

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Modelli Strutturali Discretizzati

1− ν 2  2  x32 + 2 y32  1− ν Eh ⋅ k22 = y y x32 x13 + p 2 2 31 23 4 A (1 − ν )  1− ν x32 x21 + y y  2 23 12

1− ν y y 2 31 23 1− ν 2 x132 + y 2 31 1− ν x13 x21 + y y 2 31 12

1− ν  y23 y12  2  1− ν x13 x21 + y31 y12  2 1 − ν 2  2  x21 + y 2 12 

x32 x13 +

x32 x21 +

• RIEPILOGO: 1.

Determinazione della matrice della funzione forma Ω e per gli spostamenti e H e per le deformazioni.

2.

Relazione completa della rigidezza dell'elemento: °e

s = k ⋅v + s e

∫H

eT

e

e

T

Ve

ES.:

°

- ∫Ω e ⋅p dV e

⋅E ⋅H e dV e

Ve

Per un elemento trave piano con variabili complete abbiamo:  EA  l   Nl   0 Q    l  0 M l    N = − EA r     l Q  r   M r    0  0  

0

0

12 EJ l3 − 6 EJ l2

− 6 EJ l2 4 EJ l

0

0

− 12 EJ l3 − 6 EJ l2

6 EJ l2 2 EJ l

− EA l 0 0 EA l

0

z

Nl ,ul

Nr ,ur l

93

0

 0  − 6 EJ  u   l l 2  w  2 EJ  l   l ⋅ϕ l  u  0  r  w 6 EJ   r  ϕ  l2   r  4 EJ   l 

Qr , wr EJ

Ml , ϕ l

− 12 EJ l3 6 EJ l2 12 EJ l3 6 EJ l2

0

Ql , wl x

0

Mr , ϕ r

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

2.4.6 Matrici di rigidezza geometrica

La rigidezza geometrica è quella componente di rigidezza (initial stress) che è causata dalla presenza, in una configurazione qualsiasi equilibrata del sistema, di uno stato di tensione. Non è detto che essa sia positiva, cioè che il sistema sia più rigido; essa può essere anche negativa, e dunque potremmo avere complessivamente una riduzione della rigidezza globale iniziale. In caso di grandi deformazioni il tensore deformazione εe differisce da quanto visto nel paragrafo precedente per il termine non lineare D k n (dipendente dallo spostamento). εe = D k ⋅u e = ( D k l + D k n ( u e )) ⋅ue = D k l ⋅Ω e ⋅v e + D k n ( Ω e ⋅v e ) ⋅Ω e ⋅v e

Possiamo vedere ora da dove si determina la rigidezza geometrica soprattutto in termini matriciali: basta richiamare le equazioni cinematiche e riferirsi al caso non lineare che abbiamo visto (cioè nell'operatore cinematico abbiamo un'aggiunta che è direttamente funzione del campo di spostamento, è per questo che è l'operatore non lineare, perché esso dipende dalla variabile a cui è applicato). In termini di discretizzazione della struttura possiamo sostituire al vettore degli spostamenti nel sistema di riferimento locale Ω e ⋅v e dove v è il campo degli spostamenti nodali (gradi di libertà) e Ω è la matrice delle funzioni di forma. Questo ci permette di passare dal continuo al discreto.

Una volta fatta questa sostituzione otteniamo le due relazioni

D k l ⋅Ω e ⋅v e

D k n ⋅( Ω e ⋅v e ) ⋅Ω e ⋅v e

e

dove la prima mi definisce la matrice di rigidezza elastica k e e la seconda dà luogo alla matrice di rigidezza geometrica k eG : k eG =

∫[D ( Ω kn

Ve

e

⋅v e ) ⋅Ω e ] ⋅E ⋅H e dV T

• k eG , matrice di rigidezza geometrica, è funzione dello stato iniziale di tensione ottenuto con certi

carichi.

94

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

Vediamo adesso il caso di trave piana rigida a taglio, la matrice dipende esclusivamente dallo sforzo normale:

0 0 0 0 36 − 3l  2 N 0 − 3l 4l e kG = 0 30l 0 0  0 − 36 3l 2  0 − 3l − l

0 0 0  0 − 36 − 3l   0 3l − l 2  0 0 0   0 36 3l  0 3l 4l 2  

2.4.7 Trasformazione in base globale

Consideriamo un elemento arbitrario con k nodi. Le forze applicate su ogni nodo possono essere trasformate da una base locale alla base globale, operazione che è sostanzialmente una rotazione. Se scriviamo in una ipermatrice (un sistema di sistemi) la relazione che lega s , che è il vettore scritto nel sistema di riferimento locale delle caratteristiche di sollecitazione o forze nodali per il nodo 1, alle s G che sono le stesse forze scritte per il sistema di riferimento globale sempre per il nodo 1, otteniamo la matrice C e (dove

e

sta per elemento):

snodo 1  C 0 L s  0 C  nodo 2    M = M  M     snodo k  

L

 sg nodo 1    s   g nodo 2  ⋅ M  M  M    C sg nodo k 

troviamo che

s e = Ce ⋅s eG

s eG = CeT ⋅s e

( Ce )− 1 = ( Ce )T v e = Ce ⋅v eG

v eG = CeT ⋅v eG

95

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

In realtà quello che a noi serve è la trasformazione locale-globale, vediamo dunque le seguenti relazioni:

s eG = CeT ⋅s e o

↑ (senso delle sostituzioni)

s e = k e ⋅v e + s e

v e = Ce ⋅v eG con k e matrice di rigidezza dell'elemento espressa nel sistema di riferimento locale. o

o

s eG = CeT ⋅k e ⋅Ce ⋅v eG + CeT ⋅s e = k eG ⋅v eG + s eG dove C eT ⋅k e ⋅C e rappresenta la matrice di rigidezza dell'elemento espressa nel sistema di rifeo

rimento globale, mentre CeT ⋅s e sono i carichi primi cioè i carichi ripartiti sui nodi.

• Trasformazioni a) Caso generale: x y

locale: ek

z

x  ( x, X ) L    y  = ( y, X )  z     M

X

Y Z

X  ( X ,x) L    Y  = ( Y , x)  Z     M

 X    ⋅Y    Z  

e k = C ⋅e g k

globale: egk

 x    ⋅y   z  

e g k = CT ⋅e k

(x,X): coseni direttori che gli assi del sistema di riferimento locale formano con gli assi del sistema di riferimento globale.

b) Caso piano (x,y) α

X

x Y

y

96

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

x  cos a    y  = sen a  z     0

Modelli Strutturali Discretizzati

− sen a 0 X    cos a 0⋅Y  0 1  Z  

X   cos a    Y  = − sen a  Z     0

sen a 0  cos a 0 0 1 

2.4.8 Assemblaggio della matrice di rigidezza

Se le rigidezze di tutti gli elementi sono trasformate nel quadro generale di riferimento: k eg , il processo di assemblaggio è abbastanza semplice

∑

K = a Tg ⋅k g ⋅a g =

k eg

e

da inserire nel processo del metodo di rigidezza diretto. k eg è scritto nel sistema di riferimento globale e la sommatoria è fatta sul numero degli elementi. • ESEMPIO: “sistema piano” 2

5 1

4

1

3

Z

8

X

7

2

6

9 11

gdl globali

3

10

5

12

r

gdl locali

2

4

x

6

l

z

3

1

• Tabella delle incidenze: Vi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3

1

2

3

4 1 1

5 2 2

6 3 3

4

5

6

97

10

11

12

4

5

6

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

98

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

2.4.9 Procedura standard del metodo diretto della matrice di rigidezza

1.

Discretizzazione della struttura in punti nodali e elementi.

2.

Definizione e numerazione di tutti i gradi di libertà nodali Vi , i = 1,...,m considerando an-

che quelli non vincolati.

3.

Scelta del tipo di elemento: determinazione della matrice di rigidezza :

ke

calcolo delle forze prime di nodo :

se

°

4.

Schema di incidenza: decidere la topologia, cioè la corrispondenza dei nodi con gli elementi.

5.

~ ~o Zero, (m,m)-matrice K , zero, (m,1)-colonna S .

6.

Assemblaggio: tutte le matrici elementari di rigidezza scritte nel sistema di riferimento globale vanno a costituire la matrice di tutta la struttura (per questo è fondamentale l'incidenza, ovvero la corrispondenza tra gradi di libertà locali e globali) ~ k eg → K   o  o e = 1,..... ~ se → S  

7.

Caricamento di tutti i vettori nodali prescritti (cioè tutti quelli assegnati) Pi     

~ K

(m,m)

   ~  ⋅V +     

i = 1... m

    ~ ° ~  S  = P         

(m,1) (m,1)

ha solo m elementi diversi da zero ~ Con K matrice singolare di rango r* = numero di gradi di libertà del corpo rigido (6 per strutture spaziali, 3 per strutture piane).

99

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

8.

Modelli Strutturali Discretizzati

Separazione dei gradi di libertà (DOFs) attivi e passivi. L'eliminazione della singolarità avviene attraverso operazioni tra matrici considerando gradi di libertà attivi e passivi. La seguente matrice: K  K C

K TC   K CC 

lega tutti i carichi ai carichi equilibrati ed elimina le reazioni incognite (si realizza attraverso operazioni tra matrici).

K  K C

K TC   V  ⋅ V + K CC    C

 o  P   So  =    S C   PC 

dove: K CC = matrice che mi annulla il determinante ed elimina le incognite.

P = carichi noti PC = reazioni vincolari incognite

V = gradi di libertà attivi VC = gradi di libertà passivi noti (impongono o annullano un certo spostamento)

9.

Determinazione di V attraverso la relazione di rigidezza globale dei gdl attivi. Una volta che abbiamo isolato il sottosistema K ⋅ V si determina il vettore degli spostamenti nodali attraverso la relazione globale di rigidezza dei gradi di libertà attivi: o [K ]⋅[V ]+ [K TC ]⋅[VC ]+ S= [P]

10.

Determinazione delle reazioni vincolari PC dalla relazione di rigidezza globale. Considerando adesso il sottosistema K C ⋅ V si determina il vettore delle reazioni vincolari attraverso la reazione globale di rigidezza dei gradi di libertà passivi:

[K ]⋅[V]+ [K ]⋅[V ]+ S

o

C

CC

100

C

C

   = [PC ]

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

2.4.10 Teoria del secondo ordine - Problemi di stabilità

La relazione che noi troviamo in un generico passo di una analisi non lineare ha un operatore che dipende esso stesso dalla variabile a cui è applicato, quindi, il problema non lineare, deve essere trasformato in una serie di passi lineari che convergano alla soluzione e ad ogni passo si deve ricostruire ed aggiornare tale relazione. Per procedere in questo senso dobbiamo partire da un primo passo dove se non abbiamo una condizione di pretensione o se non abbiamo a che fare con tensostrutture che hanno una pretensione iniziale e quindi uno stato zero, o se non siamo in condizioni di autotensioni oppure se non siamo in presenza di strutture precompresse allora la matrice di rigidezza geometrica al primo passo è nulla in quanto è nullo lo stress iniziale. A questo punto facciamo il primo passo con la componente solo elastica, assegniamo il carico e calcoliamo uno stato di spostamento. Siccome la struttura è a comportamento non lineare si trova che risostituendo gli spostamenti e determinando la rigidezza di nuovo, il vettore delle forze in equilibrio con quello spostamento calcolato non è uguale a quello dei carichi esterni. Risulta un residuo e questo residuo deve andare a zero, cioè lo stato di spostamento della struttura non è tale da poter assorbire o equilibrare quel carico esterno. Se applichiamo la teoria non lineare ad un struttura che si comporta linearmente, il residuo è circa nullo già al primo passo. La rigidezza elastica è già praticamente la rigidezza tangente.

Equazione della rigidezza per problemi non lineari:

(K

+ K G ( σ)) ⋅V = P − S = P o

E

o

VC = 0

• Analisi lineare: K ⋅V = P∗

→

•V = K − 1 ⋅P •v e •Variabili di forze interne: o

- elementi trave:

se = k e ⋅v e + se

+ equilibrio: N (ex ) ,Q(ex ) , M(ex ) - altri elementi finiti: ε e = H e ⋅v e , σe = E ⋅ε e

101

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

• Teoria del secondo ordine: passo lineare:

K e ⋅V = P

∗

→

N e ,G e , M e

•V = ...

σep , σeb

passo non lineare:

noto

(K

e

+ K e ( σ)) ⋅V = P∗

•V =... •v e •Variabili forze interne: N e , Qe , M e σep , σeb

Attraverso la reiterazione dei passi lineari si ottiene l' analisi non lineare completa.

• Problemi di stabilità:

passi lineari:

carico unitario o •V = λK −e 1 ⋅P* , v e = λ...

o K e ⋅V = λP* →

o equilibrio stabile sotto λP*

passi di stabilità:

o o  K e + λK g  ⋅V = λP*   esisterà un certo λcr dove può esserci un differente stato di deformazione V + ∆V : o o  ⋅( V + ∆V ) = λP* K e + λcr K g    →

o o   *  • K λ K ⋅ V = λ P + g cr   e

o    λ • K + K g ⋅∆V = 0 e cr   o K e + λcr K g = 0

102

→

λcr

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103

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Modelli Strutturali Discretizzati

INDICE I.

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA DELLE STRUTTURE DISCRETE............. 2 1.

RIVISTA DEI MODELLI DELLA MECCANICA DEI CONTINUI ................................................... 3 1.1 Modelli ingegneristici ................................................................................................. 3 1.2 Modelli strutturali....................................................................................................... 5 1.2.1 Osservazioni generali......................................................................................... 11 1.2.2 Teoria della trave piana di Navier....................................................................... 17 1.2.3 Teoria della trave piana con deformazione a taglio ............................................. 20 1.2.4 Stato piano di tensione (Teoria delle lastre isotrope) .......................................... 23 1.2.5 Teoria Lineare per le Piastre rigide a taglio ( Kirchhoff - Love )........................ 27 1.2.6 Teoria dei gusci ribassati.................................................................................... 32 1.3 Teoremi dell'energia ................................................................................................. 59 1.3.1 Conservazione dell'energia meccanica ................................................................ 60 1.3.2 Principi del lavoro virtuale ................................................................................. 61 1.3.3 Potenziale elastico ............................................................................................. 64 1.3.4 Potenziale elastico coniugato ............................................................................. 65 1.3.5 Sommario.......................................................................................................... 66

2.

MODELLI STRUTTURALI DISCRETIZZATI (DISCONTINUI) ................................................... 59 2.1 Definizioni ................................................................................................................ 59 2.1.1 Strutture discretizzate........................................................................................ 59 2.1.2 Variabili esterne................................................................................................. 60 2.1.3 Variabili interne ................................................................................................. 61 2.1.4 Quadro sinottico................................................................................................ 63 2.2 Trasformazioni strutturali ......................................................................................... 64 2.2.1 Equilibrio .......................................................................................................... 64 2.2.2 Congruenza ....................................................................................................... 66 2.2.3 Proprietà di controvarianza (dualità) .................................................................. 67 2.2.4 Equazioni costitutive ......................................................................................... 69 2.2.5 Schema di trasformazione completo................................................................... 72 2.3 Teoremi dell'energia ................................................................................................. 75 2.3.1 Conservazione dell'energia................................................................................. 75 2.3.2 Teorema di Betti................................................................................................ 76 104

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

Modelli Strutturali Discretizzati

2.3.3 Principio dei lavori virtuali................................................................................. 77 2.3.4 Condizioni di estremo per i discontinui .............................................................. 78 2.4 Analisi strutturale ..................................................................................................... 80 2.4.1 Strategie di approssimazione.............................................................................. 80 2.4.2 Metodo degli spostamenti.................................................................................. 80 2.4.3 Metodo delle forze ............................................................................................ 81 2.4.4 Metodo misto .................................................................................................... 82 2.4.5 Calcolo delle matrici di rigidezza dell'elemento................................................... 84 2.4.6 Matrici di rigidezza geometrica.......................................................................... 94 2.4.7 Trasformazione in base globale .......................................................................... 95 2.4.8 Assemblaggio della matrice di rigidezza ............................................................. 97 2.4.9 Procedura standard del metodo diretto della matrice di rigidezza ....................... 99 2.4.10 Teoria del secondo ordine - Problemi di stabilità .............................................. 101

_____________________________________________________________________________ Le presenti dispense sono state redatte dagli studenti:

Angela Bevilacqua, Andrea Borsi, Giuseppe Garofalo nell'anno accademico 1993/'94

Mario Maio, Luigi Maselli, Francesco Mirto, Francesco Romagnani, Guido Saletti nell'anno accademico 1992/'93

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