Colección Colecc ión de Finales (Versión 1.1) Análisis I - Análisis Matemático I Matemática 1 - Análisis II (C) –
Matemática - Química - Física - Ciencias de la Atmósfe Atmósfera ra - Oceanografía - Computación Escrito y editado por: Gabriel R. (Estudiante de Lic. en Ciencias Matemáticas – FCEN UBA)
Introducción En este documento te ofrezco algunos finales tomados en cuatrimestres anteriores en la materia de: Análisis I, Análisis Matemático I, Matemática 1 ó Análisis II (C), para las carreras de: Matemática, Química, Física, Ciencias de la Atmósfera, Oceanografía y Computación. Esta materia se dicta en la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Buenos Aires. También te doy doy las respuestas, respuestas, alguna sugerencia sugerencia y la resolución de los mismos. También te muestro los temas que entran entran para el final y la bibliografía recomendada recomendada por los docentes. Si buscas más info de la materia visitá la página oficial desde: http://cms.dm.uba.ar/academico/materias/ Sin embargo, hay 2 libros que te recomiendo personalmente: personalmente:
Spinadel Vera W.: Cálculo 2. Editorial Nueva Librería (Está en la biblioteca del Pabellón II) Spinadel Vera W.: Suplemento al Cálculo 2. Editorial Nueva Librería. (No está en ninguna biblioteca, pero lo podés conseguir en alguna sucursal de la editorial, te paso el link: www.nuevalibreria.com.ar/site/home/index.php )
En el primero, se desarrolla toda la teoría que necesitas saber sobre el cálculo vectorial con sus respectivas demostraciones y un montón de ejemplos ejemplos maravillosa maravillosamente mente explicados explicados con aplicaciones aplicaciones en ingeniería, ingeniería, medicina, medicina, física, física, etc además, al final de cada capítulo te ofrece un completo banquete de problemas (bon appetit!). En el segundo, tiene absolutamente TODOS los problemas que te propuso en el Cálculo 2 resueltos y explicados paso a paso. Estos 2 libros también te van a servir para Análisis II, Análisis Matemático II o Matemática 3. Además la autora, es docente de la FCEN UBA! …
Podés encontrar más parciales en la fotocopiadora del Pabellón I (de ahí los saqué).
Para descargar más apuntes o la última actualización de este documento, visitá FDX Maths. Si tenés alguna sugerencia, o encontrás errores en cualquiera de los lo s apuntes publicados, mandame un e-mail. También T ambién podés colaborar enviando algún otro parcial, final o examen libre de la materia. Blog: www.fdxmaths.blogspot.com.ar
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Copyright Este material, como todos los publicados en FDX Maths, es utilizado con fines exclusivamente educativos. Se permite su reproducción total y parcial citando la fuente.
Programa de la Materia http://cms.dm.uba.ar/academico/lic/programas/Analisis_I_M 1)
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TOPOLOGÍA EN R y R y en Rn. Completitud de R. Existencia del supremo s upremo y equivalencias. Distancia, discos abiertos y discos cerrados. Puntos interiores. Interior de un conjunto. Conjuntos abiertos. Puntos adherentes. Clausura Clausura de un conjunto. Conjuntos cerrados. Conjuntos acotados. Límite de sucesiones de números reales. Límite de sucesiones en R n y límite en cada coordenada. FUNCIONES DE Rn en Rk ( n, k = 1, 2, ... ) Representación gráfica. Dominio de definición. Curvas y superficies de nivel. Límite de funciones de R n en Rk. Límite a lo largo de rectas y de curvas. Funciones continuas. Composición de funciones continuas. Propiedades de las funciones continuas. CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Derivadas parciales. Aproximación lineal. Diferencial de una función. Matriz jacobiana. Plano tangente al gráfico de una función. Regla de la cadena. Teoremas generales de la función fu nción inversa y de la función implícita. Producto escalar en R n. Ecuación del plano ortogonal a un vector. Derivadas direccionales. Gradiente. Relación con las superficies de nivel y la direcci ón de máximo crecimiento. Plano tangente a una superficie de nivel. Teorema del valor medio en varias variables. Derivadas de orden superi or. Aproximación polinomial de orden 2. Matriz Hessiana (o Hessiano) de una función. EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Puntos críticos y extremos de una función. Formas cuadráticas, matriz asociada. Análisis de los puntos críticos en varias variables a partir del Hessiano: máximos, mínimos, puntos de ensilladura. Extremos ligados: extremos de una función sobre un conj unto dado por una ecuación G = 0. Condición para que un punto sea punto crítico. Multiplicadores de Lagrange. INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES Repaso: integral definida, sumas de Riemann, Teorema fundamental del cálculo, regla de Barrow. Integrales impropias: definiciones, propiedades, criterios de convergencia, convergencia absoluta. Aplicación: convergencia de series. La integral doble sobre rectángulos. La integral doble sobre regiones más generales. Cambio del orden de integración: Teorema de Fubini. La integral triple. El Teorema de Cambio de variables. Aplicaciones de las integrales dobles y triples.
Régimen de Aprobación Para firmar los trabajos prácticos se deben aprobar dos exámenes parciales. Habrá dos fechas de recuperación. En cada fecha se puede recuperar cualquiera de los parciales. Para poder ser incluido en las Actas de Trabajos Prácticos, es necesario haberse inscripto en la materia (a través del Sistema de Inscripciones de la Facultad) y haber completado la encuesta de evaluación docente. Para firmar la materia es necesario haber aprobado los trabajos prácticos y el examen final.
Bibliografía La bibliografía oficial recomendada para la materia es:
NORIEGA, R. : Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Docencia LAGES LIMA, E. : Curso de análisis, volúmenes 1 y 2. MARSDEN, J. y TROMBA, A. : Cálculo Vectorial. Tercera edición. Addison-Wesley. SPIVAK, M.: Calculus ( Cálculo Infinitesimal ), Vol I y II. Ed. Reverte. PISKOUNOV, N. : Cálculo diferencial e integral, tomos I y II. Ed. Mir. SPIEGEL, M. R. : Cálculo superior ( Advanced Calculus ). Serie Sha um. REY PASTOR, J. , PI CALLEJA y TREJO : Análisis Matemático, Vol. I y II. Ed. Kapelusz. APOSTOL, T. : Calculus, Vol. I y II. Editorial E ditorial Reverte. COURANT, R. : Diferential and Integral Calculus. Ed. Interscience LAROTONDA, Gabriel. : Cálculo y Análisis. Bajátelo gratis: g ratis: http://glaroton.ungs.edu.ar/calculo.pdf
Herramientas informáticas Si querés graficar en 2 y 3 dimensiones, y tenés internet, podés hacerlo con: www.fooplot.com Ó mejor aún: www.wolframalpha.com
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TOPOLOGÍA EN R y R y en Rn. Completitud de R. Existencia del supremo s upremo y equivalencias. Distancia, discos abiertos y discos cerrados. Puntos interiores. Interior de un conjunto. Conjuntos abiertos. Puntos adherentes. Clausura Clausura de un conjunto. Conjuntos cerrados. Conjuntos acotados. Límite de sucesiones de números reales. Límite de sucesiones en R n y límite en cada coordenada. FUNCIONES DE Rn en Rk ( n, k = 1, 2, ... ) Representación gráfica. Dominio de definición. Curvas y superficies de nivel. Límite de funciones de R n en Rk. Límite a lo largo de rectas y de curvas. Funciones continuas. Composición de funciones continuas. Propiedades de las funciones continuas. CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Derivadas parciales. Aproximación lineal. Diferencial de una función. Matriz jacobiana. Plano tangente al gráfico de una función. Regla de la cadena. Teoremas generales de la función fu nción inversa y de la función implícita. Producto escalar en R n. Ecuación del plano ortogonal a un vector. Derivadas direccionales. Gradiente. Relación con las superficies de nivel y la direcci ón de máximo crecimiento. Plano tangente a una superficie de nivel. Teorema del valor medio en varias variables. Derivadas de orden superi or. Aproximación polinomial de orden 2. Matriz Hessiana (o Hessiano) de una función. EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Puntos críticos y extremos de una función. Formas cuadráticas, matriz asociada. Análisis de los puntos críticos en varias variables a partir del Hessiano: máximos, mínimos, puntos de ensilladura. Extremos ligados: extremos de una función sobre un conj unto dado por una ecuación G = 0. Condición para que un punto sea punto crítico. Multiplicadores de Lagrange. INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES Repaso: integral definida, sumas de Riemann, Teorema fundamental del cálculo, regla de Barrow. Integrales impropias: definiciones, propiedades, criterios de convergencia, convergencia absoluta. Aplicación: convergencia de series. La integral doble sobre rectángulos. La integral doble sobre regiones más generales. Cambio del orden de integración: Teorema de Fubini. La integral triple. El Teorema de Cambio de variables. Aplicaciones de las integrales dobles y triples.
Régimen de Aprobación Para firmar los trabajos prácticos se deben aprobar dos exámenes parciales. Habrá dos fechas de recuperación. En cada fecha se puede recuperar cualquiera de los parciales. Para poder ser incluido en las Actas de Trabajos Prácticos, es necesario haberse inscripto en la materia (a través del Sistema de Inscripciones de la Facultad) y haber completado la encuesta de evaluación docente. Para firmar la materia es necesario haber aprobado los trabajos prácticos y el examen final.
Bibliografía La bibliografía oficial recomendada para la materia es:
NORIEGA, R. : Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Docencia LAGES LIMA, E. : Curso de análisis, volúmenes 1 y 2. MARSDEN, J. y TROMBA, A. : Cálculo Vectorial. Tercera edición. Addison-Wesley. SPIVAK, M.: Calculus ( Cálculo Infinitesimal ), Vol I y II. Ed. Reverte. PISKOUNOV, N. : Cálculo diferencial e integral, tomos I y II. Ed. Mir. SPIEGEL, M. R. : Cálculo superior ( Advanced Calculus ). Serie Sha um. REY PASTOR, J. , PI CALLEJA y TREJO : Análisis Matemático, Vol. I y II. Ed. Kapelusz. APOSTOL, T. : Calculus, Vol. I y II. Editorial E ditorial Reverte. COURANT, R. : Diferential and Integral Calculus. Ed. Interscience LAROTONDA, Gabriel. : Cálculo y Análisis. Bajátelo gratis: g ratis: http://glaroton.ungs.edu.ar/calculo.pdf
Herramientas informáticas Si querés graficar en 2 y 3 dimensiones, y tenés internet, podés hacerlo con: www.fooplot.com Ó mejor aún: www.wolframalpha.com
∫ donde (Sugerencia: derivar / ln 2 / ) Probar que si :ℝ → ℝ es diferenciable en ℝ Entonces existen las derivadas direccionales ,ℝ y vale: < ∇, >
1. Estudiar la convergencia de
2.
3. Demostrar que si
4.
+
∑ = converge ∀ℝ y es una función par ( ). Entonces 0 ⋯ 0,0 3 con 1,1. Encontrar :ℝ → ℝ tal que 0,0 0,0 0 ; Probar entonces que no es diferenciable en el punto 0,0.
, ℕ sucesiones de números reales tales que > 0 , > 0 ∀ ℕ. Si lim 0. →
1. Sean
a) Probar
+
+
∑ converge ⟹ ∑ converge
b)
= Dar un ejemplo en el que +
= +
=
=
∑ converge y ∑ ∞
,:ℝ → ℝ ;,ℝ tales que , 0 a) Existe , y b) es continua en , Probar que ℎ, ,., son derivables parcialmente respecto de en el punto ,. Sea ,, sen 2 a) Mostrar que ,, 0 define implícitamente una función , en el punto 0,1,2. b) Sea :Dom → ℝ definida por , ,. Hallar la ecuación del plano tangente al gráfico de en el punto 0,1. Hallar el volumen del sólido que está por debajo de la superficie cilíndrica 4 , arriba del plano 2 y limitado por los planos 0 , 3 .
2. Sean
3.
4.
1. Enunciar y probar el Teorema del Valor Medio para funciones de varias variables. 2. Demostrar el 3. Sea
Criterio de D’Alembert o del cociente.
:ℝ → ℝ continua y estrictamente positiva. Hallar y clasificar los puntos críticos de: , .
, , ∈ , donde: :ℝ → ℝ , ∈ , tal que ∀ , ∈ ℝ , ∶ 1. Mostrar que ∀ , ∈ ℝ , , 0, donde , es el Jacobiano de en ,.
4. Sea
1. Sea
:ℝ → ℝ una función continua tal que →± lim 0 y 0 1. Probar que alcanza su
máximo valor.
:ℝ → ℝ
2. Sea una función acotada y es diferenciable en . 3.
4.
:ℝ → ℝ definida por , ,. Probar que
0,0 Sea :ℝ → ℝ tal que , es un extremo de . Si es diferenciable en , probar que ∇ 0,0. Sea , ∈ ℝ : > 0, > 0. Se define : → ℝ, por: ; , , donde , es el triángulo de vértices 0,0, ,0 y 0,. Hallar el mínimo y el máximo valor que toma sobre {, ∈ : 1, 12 ≤ ≤ 2}
, > 0 en ℝ. Sea : → ℝ una función ∇, 0 ∀ , ∈ ∀∈ Sea un abierto de ℝ , ∈ . Sea : → ℝ con diferenciable en . Probar que es continua en . Sean :ℝ → ℝ y ℎ:ℝ → ℝ diferenciables. Llamemos ℎ ∘ a su composición y sea ∈ ℝ ⃗. tal que ∇ 0 a) Probar que es punto crítico de . b) Si además es definida positiva (Es decir: det( ) > 0 ∧ > 0 ) y no es punto crítico de ℎ. Decidir sobre la naturaleza de cómo punto crítico de . Sea :ℝ → ℝ , ∈ . Probar que: − ,sen − ,cos
1. Sea la bola abierta de centro y radio diferenciable tal que . Probar que es constante . 2.
3.
4.
1. Enunciar y demostrar el Teorema Fundamental del Cálculo. 2. Enunciar y demostrar el Teorema del Valor Medio para funciones diferenciables en
:ℝ → ℝ de clase con 0,0 ≠ 0. Consideremos la función :ℝ → ℝ definida como: , − 1 Probar que 0,0 es punto crítico de y decida su naturaleza. Sea :ℝ → ℝ una función de clase tal que ∀ ∈ ℝ se verifica (cos sen 1,sen3 ) 17,5 Probar que el determinante de la matriz jacobiana de en 0,0 es igual a 0.
3. Sea
4.
ℝ .
1. Demostrar que diferenciabilidad implica continuidad. 2. Enunciar y demostrar el Teorema del Valor Medio (Lagrange) para funciones diferenciables en .
ℝ
3. a) Hallar el Polinomio de Taylor de orden 2 centrado en b) Calcular
4.
0,0 de , cos .
cos 1 ,lim →, Sea :, → ℝ , derivable en ,, continua en , y se anula en solo un punto. Probar que no se anula en 3 puntos.
′ ∈ lim 0 → 0. 2. Sea :ℝ → ℝ una función diferenciable en ∈ ℝ . Probar que es continua en . 3. Sea :ℝ → ℝ una función de clase y ∈ ℝ un punto crítico de . Probar que si el hessiano de en es definido positivo, entonces tiene un mínimo local en . 4. Sean ,:ℝ → ℝ dos transformaciones lineales tales que los vectores ∇,, ∇, son linealmente independientes. Sea ⊆ ℝ el dominio limitado por las rectas , 3, , 7, , 2 y , 2. Si el área de es 32, calcular, ,, . 1. Sea una función definida en un intervalo cerrado para el cual y existen para cada . Supongamos que existe una sucesión de puntos mutuamente distintos de tal que continua tal que y tal que para cada . Probar que
: [,] → ℝuna función continua en [, ]. Entonces la función : [, ] → ℝ definida por ∫ , es continua en [, ], derivable en , y para todo ∈ , . Sea : → ℝ una función en el abierto ⊆ ℝ . Demostrar que es diferenciable en cada ∈ . Sea una función de clase ℝ que tiene un máximo relativo en 2,1 con 2,1 7. Sea , sen cos 3 . Probar que para infinitos puntos ∈ ℝ . Sean : → ℝ una función continua definida en , ∈ ℝ : ≤ 1. Decidir si las
1. Demostrar el Teorema Fundamental del Cálculo Integral: Sea
2.
3.
4.
siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica su respuesta:
, 0 para todo ∈ ℕ, entonces 0,0 0. b) Si , 0 para todo ∈ ℕ y es diferenciable en , entonces 0,0 0,0. c) Si es diferenciable en , 0,0 0 y ∈ : ∇ 0,0 0,0, entonces o bien ≥ 0 en , o ≤ 0 en . a) Si
:ℝ 0,0 → ℝ la función , ln . Calcular ∬ ∥ ∇ ∥ , siendo , ∈ ℝ : 2 ≤∥ , ∥≤ 3, ≤ 0, ≥ 0 . Sea 1,2 y sean ,:ℝ → ℝ tales que es diferenciable en y su plano tangente en es 0 . Si 0 ≤ , ≤ , para todo , ∈ ℝ , probar que es diferenciable en y
1. Sea
2.
calcular su plano tangente.
:ℝ → ℝ y sea ∈ ℝ. Probar que es continua en si y solo si para toda sucesión tal ⟶ , se verifica que ⟶ . Sea :ℝ → ℝ sea de clase tal que pata todo ∈ ℝ y para todo ∈ ℝ . Probar que es una transformación lineal. Sugerencia: Estudiar las derivadas direccionales de en el origen.
3. Sea que 4.
