FINAL DE ANALISIS ESTRUCTURAL II.docx

INTRODUCCION El análisis estructural es el estudio de las estructuras como sistemas discretos. La teoría de las estructuras se basa esencialmente en los fundamentos de la mecánica con los cuales se formulan los distintos elementos estructurales. Las leyes o reglas que definen el equilibrio y la continuidad de una estructura se pueden expresar de distintas maneras, por ejemplo ecuaciones diferenciales parciales de un medio continuo tridimensional, ecuaciones diferenciales ordinarias que definen a una barra o las distintas teorías de las vigas, o llanamente ecuaciones algebraicas para una estructura discretizada. Mientras más se profundiza en la física del problema, se van desarrollando teorías que son más apropiadas para resolver ciertos tipos de estructuras y que demuestran ser más útiles para cálculos prácticos. Sin embargo, en cada nueva teoría se hacen hipótesis acerca de cómo se comporta el sistema o el elemento. Por lo tanto, debemos estar siempre conscientes de esas hipótesis cuando se evalúen resultados, fruto de las teorías que aplicamos o desarrollamos. El análisis estructural puede abordarse utilizando tres enfoques principalmente: formulaciones tensoriales, formulaciones basadas en los principios del trabajo virtual y formulaciones basadas en la mecánica clásica. Este último enfoque será principalmente el adecuado a utilizar, ya que el uso de métodos matriciales ha permitido el desarrollo de los principales programas de análisis estructural que se utilizan en todo el mundo con distintas finalidades: diseño, investigación y docencia. En el presente trabajo se desarrollará el método de las rigideces, así como una breve explicación de análisis mediante un ejemplo aplicativo de una estructura aporticada para el método de las rigideces.

1 U.N.P.R.G – F.I.C.S.A

OBJETIVOS o

El presente trabajo tiene como objetivo principal mostrar la aplicación del método de las rigideces en estructuras aporticadas.

o

Así también otro de los objetivos que se sigue es determinar los desplazamientos y rotaciones en cada uno de los nudos de dicha estructura en análisis.

2 U.N.P.R.G – F.I.C.S.A

MARCO TEÓRICO Determinación de la matriz de rigideces El caso más general de estructura reticular es el de un pórtico en el espacio cuyos nudos tienen seis grados de libertad, correspondientes a tres desplazamientos y tres rotaciones. Estos resultan, a su vez, de seis solicitaciones: fuerza axial, corte en dos direcciones, flexión biaxial y torsión, como se ve en la figura 01.b, en la cual se ha supuesto que las cargas que las originan están contenidas en los planos principales del elemento. De esta forma el desplazamiento de un punto tendrá 6 componentes, como se muestra a continuación:

Figura 01.a.- Componentes del vector de desplazamientos También las fuerzas tienen 6 componentes:

Figura 01.b.- Solicitaciones de un elemento de pórtico espacial

3 U.N.P.R.G – F.I.C.S.A

Para obtener la matriz de rigidez de tal elemento basta con aplicar el significado físico de los términos de cada columna, el resultado es la ecuación (fig. 04) que define la matriz [ ̅ ], necesaria para el cálculo de la matriz de rigidez referida a coordenadas generales, de un elemento arbitrariamente orientado en el espacio. Para construir la matriz de rigidez de una estructura es necesario asignar previamente a cada barra individual una matriz de rigidez elemental. La matriz elemental relaciona las fuerzas nodales equivalentes y las fuerzas aplicadas sobre la barra con los desplazamientos y giros sufridos por los extremos de la barra. La rigidez será la fuerza que es producida por un desplazamiento unitario. Una barra recta tridimensional tiene 6 grados de libertad por nudo (3 de traslación y 3 de rotación), como se indica a continuación:

5

11 Y,v

2 4

8 7

1

10 X,u

9 3

Z,w 12

6

(a)

(b)

En la figura (a) podemos observar las traslaciones representadas con una flecha con una sola punta (1, 2, 3, 7, 8, 9), y las rotaciones con doble punta en la flecha (4, 5, 6, 10, 11, 12), así como en la figura (b) el sistema de referencia tomado. Como la barra tiene dos nodos, la matriz de rigidez es una matriz de 12 x 12, ya que para cada nudo tendríamos 6 grados de libertad como se dijo anteriormente. Para conocer el primer elemento de la matriz, vamos a aplicar un desplazamiento unitario:

4 U.N.P.R.G – F.I.C.S.A

Y

1

P1x

P2x

Z

X

X

Figura 02.- Desplazamiento unitario horizontal, extremo 1

Para poder hacer más sencilla la determinación de la rigidez se considera el elemento doblemente empotrado. o Rigidez axial.-

Para que este en equilibrio tenemos lo siguiente: ∑

De tal manera que la barra nos quedaría de la siguiente forma: Y

1

EA L

X

-EA L Z

Figura 03.- Rigidez axial debida a un desplazamiento horizontal

5 U.N.P.R.G – F.I.C.S.A

De una manera similar, podemos aplicar un desplazamiento unitario en cada dirección, por lo que podemos obtener lo siguiente: o

Rigidez Flexional

o

Rigidez Cortante.

o

Rigidez Mixta Cortante – Flexión.

o

Rigidez Torsional.

Por lo tanto a continuación se representan los desplazamientos que se generan en una barra recta tridimensional:

6 U.N.P.R.G – F.I.C.S.A

Ecuaciones: 1. Desplazamiento en dirección X, extremo 1. Y

1

EA L

X

-EA L Z

2. Desplazamiento en dirección Y, extremo 1. Y

12EIZ L3 -12EIZ L3 1

6EIZ L2

X

6EIZ L2

Z

3. Desplazamiento en dirección Z, extremo 1. Y

-6EIy L2 12EIy L3

-6EIy L2 X

1

-12EIy L3 Z

7 U.N.P.R.G – F.I.C.S.A

4. Giro en alrededor del eje X, extremo 1.

(

)

(

)

5. Giro en alrededor del eje Y, extremo 1. Y

4EIy L

2EIy L X

-6EIy L2

1

Z

6EIy L2

6. Giro en alrededor del eje Z, extremo 1.

8 U.N.P.R.G – F.I.C.S.A

7. Desplazamiento en dirección X, extremo 2. Y

1

X

EA L

-EA L Z

8. Desplazamiento en dirección Y, extremo 2. 12EIZ L3

Y

-12EIZ L3 -6EIZ L2

1 X

-6EIZ L2 Z

9. Desplazamiento en dirección Z, extremo 2. Y

6EIy L2

-12EIy L3 Z

6EIy L2

X

1

12EIy L3

9 U.N.P.R.G – F.I.C.S.A

10.Giro en alrededor del eje X, extremo 2.

(

)

(

)

11.Giro en alrededor del eje Y, extremo 2. Y

2EIy L

4EIy L 1

X

-6EIy L2 Z

6EIy L2

12.Giro en alrededor del eje Z, extremo 2.

10 U.N.P.R.G – F.I.C.S.A

Para determinar finalmente la ecuación fuerza desplazamiento de la barra, hacemos la sustitución de las rigideces encontradas, por lo tanto la ecuación nos queda como se muestra a continuación:

0 0

+

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

0 0

0 0

0

0

0

0

0 0

0

= 0 0 0

0

0

0

0

0

0

0 0

0 0

0

0

0

0 0

0

0

0

0

0 0

0 0

0 0

0 0

0

0

0 0

0 0

0

0 0

0

Figura 04.- Ecuación básica de un elemento de pórtico espacial.

11 U.N.P.R.G – F.I.C.S.A

PROCEDIMIENTO Para poder realizar el análisis matricial del edificio del decanato de la FIA se ha seguido el siguiente procedimiento: 1. Se procedió a elaborar el plano de distribución del edificio, teniendo en cuenta las dimensiones de las columnas, vigas principales y secundarias, ubicación de tragaluces tabiquerías, ventanas y todos los tipos de vanos.

2. Una vez elaborado el plano se procedió a realizar el metrado de cargas para las vigas, haciendo uso del método del sobre. 1

2

4

3

5

7

6

3,86

1,97

1,93

1,97

V-13

1,93

V-10

1,93

V-07

V-04

1,93

2,02

1,97

1,97

V-18

1,93

1,93

1,93

1,93

1,8

B

V-19

1,8

1,8

1,8

V-24

DISTRIBUCION DE AREAS PARA EL METRADO DE CARGAS

V-15

V-12

V-22

V-09

1,8

V-06

V-20

V-03

1,97

2,03

1,97

1,93

V-01

2,03 1,93

A

V-17

V-14

V-11

1,97

V-08

V-05

2,03

V-02

3,94

3,94

4,05

V-16

3,86

3,86

V-21

V-23

C

12 U.N.P.R.G – F.I.C.S.A

3. Una vez realizado el metrado se procedió a construir las matrices de rigidez en coordenadas globales de cada una de las barras teniendo en cuenta que las que tienen las mismas longitudes su matriz será la misma, teniendo en cuenta las siguientes ecuaciones: 

Ecuación básica de un elemento pórtico espacial, orientado en la dirección del eje X en coordenadas globales:

[

]



Ecuación básica de un elemento pórtico espacial, orientado en la dirección del eje Y en coordenadas globales:

13 U.N.P.R.G – F.I.C.S.A

[

]



Ecuación básica de un elemento pórtico espacial, orientado en la dirección del eje Z en coordenadas globales:

[

]

14 U.N.P.R.G – F.I.C.S.A

4. Luego se procedió a ensamblar las matrices obteniendo una matriz ensamblada de un orden de 306x306. 5. También se realizó el cálculo de las fijaciones en cada una de las barras en coordenadas locales y globales. Para ello se ha hecho uso de la siguiente formula:

6. Realizamos el cálculo del vector de fuerzas externas en los nudos en el cual intervino la fuerza de sismo la misma que se calculó con el peso total de la estructura y repartiéndola en todos los nudos del pórtico espacial. 7. Por último se procedió a reducir la matriz ensamblada eliminado las filas y columnas de los nudos en donde no existe desplazamiento, para luego multiplicar la inversa de dicha matriz con el vector de la diferencia de fijaciones y las fuerzas externas.

8. RESULTADOS Los resultados que se han obtenido para los desplazamientos de los nudos varían en un rango de:

Y los obtenidos para los giros en los nudos varían en un rango de:

Todos estos valores serán presentados a continuación.

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