Análisis de Filtros Laplaciano, Gradiente Sobel, Gradiente Roberts y Suavización de Imágenes para Imágenes en escala de Grises. Ing. Oswaldo Ulises Juárez Sandoval1, Student Member, IEEE. Sección de Estudios de Postgrado e Investigación. E.S.I.M.E. “Unidad Culhuacán” (I.P.N.), Av. Santa Ana No. 1000 Edif. 2 tercer piso Col. San Francisco Culhuacán C.P. 04430
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Donde
L
as imágenes digitales hoy en día son más comunes que hace 10 años; hoy en día podemos capturar imágenes desde diferentes dispositivos móviles-digitales, sin embargo la calidad de esta imagen sufre diferentes variaciones dependiendo de la tecnología usada, condiciones ambientales, resolución, compresión etc. Una de las formas más comunes para poder obtener una mejor calidad de imagen es la edición, mediante diferentes softwares y/o aplicaciones dentro del dispositivo usado para la captura; pero esto no garantiza una correcta eliminación de ruido, ajuste de contraste, bordes y visualización de los detalles de la misma. La implementación de algoritmos matemáticos implantados a las imágenes dentro de una aplicación para dispositivos de captura digital de imágenes nos permitirá obtener grandes características, un mejor detalle y calidad de la imagen; o simplemente resaltar características de importancia para el usuario.
y
la función definidas por:
son la segunda derivada parcial del o imagen con respecto a X y Y
...(2) ...(3) De acuerdo a lo anterior y sustituyendo (2), (3) en (1)
...(4)
Por lo que se tiene una función con base en Laplaciano de la imagen definida como: (5)
De acuerdo con lo anterior tenemos una máscara:
II.-Filtros Un filtro se basa en la eliminación de impurezas, ruido etc. de un sistema y obtener la mejor calidad del mismo. Algunos de los filtros usados son Laplaciano, Gradiente Sobel, Gradiente Roberts y Suavización de Imágenes todos como filtro pasa alta para la obtención de un aclaramiento de imagen. III.-Filtro Laplaciano. Dicho esto un Filtro Laplaciano crea una máscara que realza los pixeles con respecto a su vecindad atreves del aumento de su nivel de grises. Se encuentra definido primera mente por un Operador Laplaciano:
Fig.1. Mascara del Filtro Laplaciano. La incorporación de la variación de los pixeles diagonales con respecto al central se tendría que incorporar dos nuevo términos dentro de la ecuación (5) que origina una variable a sustraer de ; que genera una máscara alternativa de la forma:
(1) Fig.2. Mascara del Filtro Laplaciano incorporando la variación de los pixeles diagonales.
De una forma más general se tiene:
El gradiente muestra un vector que apunta a una dirección que tenga mayor cambio; dicho esto tenemos que la magnitud del vector es: (7) (8)
Fig.3. Mascara del Filtro en forma general. Junto con sus inversos de cada mascara.
(*)
De lo mencionado anteriormente obtenemos como resultado:
(**)
De una forma más general se tiene: ( , +1)
(9)
Con operadores:
y
(***)
En el caso del Gradiente Sobel se tiene: (10) De forma general:
Fig.4. Ulises.jpg de 561x960. A la imagen Ulises.jpg se le aplico el Filtro Laplaciano obteniendo la Fig.5. Con mayor nitidez y mejor realce de los detalles y un aclaramiento parcial de toda la imagen.
...(11)
Se tiene como resultado de la implementación de lo anterior para Gradiente Robert la Fig.6. y para el Gradiente Sobel la Fig.7. Cuya imagen original es la Fig.4.
Fig.5. Filtrado Laplaciano de la imagen Ulises.jpg. IV.- Gradiente Sobel y Robert. Para el Gradiente Robert la función gradiente de en la coordenada como:
; el
se define
(6)
Fig.6. Imagen Ulises.jpg filtrada con Gradiente Robert
Fig.7. Imagen Ulises.jpg filtrada con Gradiente Sobel V.- Enmascaramiento y Suavizado.
Fig.8. Imagen Ulises.jpg con Filtro Promedio tomando como imagen original la imagen de la Fig.4.
Para el proceso de enmascaramiento y suavizado de imágenes de imágenes borrosas simplemente es necesario seguir los siguientes puntos. 1.-Obtener una imagen borrosa (se puede utilizar el Filtro Geométrico para la obtención de la imagen). Imagen original
(*#)
Imagen Suavizada
(#) Fig.9.Mascara
2.-Se sustrae de la imagen original la imagen suavizada. (#*) 3.- Se adiciona a la imagen original el resultado de la sustracción multiplicada por una constante K. (#*)
Fig.10. Imagen Mascarada con K=10 Conclusiones. Cada uno de los filtros presentados tiene importantes aplicaciones desde el Laplaciano para poder detallar más la imagen hasta el Suavizado de imágenes el cual se observa que el enmascaramiento también es un filtro basado en una lógica simple de sema y restas; En el Filtrado Laplaciano cuando la imagen es plana (todos sus colores son iguales) el resultado es cero como en el caso del suéter que presenta el modelo de la imagen; para el caso de los
filtros Gradiente Sobel y Robert es más complejo ya que detalla la imagen en sus bordes y los demás lo descarta así mismo e importante señalar que el operador Robert es una Diferencia Cruzada y cada uno de estos Filtros son de forma espacial. Para una posible aplicación dentro de un dispositivo de captura de imágenes se puede recomendar el uso del Filtro Laplaciano y el enmascaramiento y Suavizado; ya que son los que mejor resaltan los detalles de la imagen aun cuando eta sea una imagen totalmente borrosa como el caso del enmascaramiento. Bibliografía. [1] Dra. Mariko Nakano Miyatake. [2] Zhou Wang,Alan Conrad Bovik, Hamid Rahim Sheikh, Eero P. Simooncelli,"Image Quality Assessment:From Error Visibility to Structural Similarity", IEEE Transactions on Image Processing, Vol.3, No.4, April 2004. [3] Mask building for perceptually hiding frecuency embedded watermarks; F. Bertoni, M. Barni, V. Cappellini. A. Piva. 1 Ing. Oswaldo Ulises Juárez Sandoval. Egresado como Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica 2009 de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica "Unidad Culhuacan", Actualmente realizando estudios de maestría en la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación -ESIME "Culhuacan" Student Member, IEEE.
