Intr oducción al filtr ado digital Emilia Gómez Gutiérr ez ez Síntesi i Pr oce oce ssament del So I De pa r tament de Sonologia Escola Superior de Musica de Ca ta lunya Curso 2009-2010 emili a
[email protected] t 2 de noviembre de 2009
Índic e 1. I ntr o du cció n
2
2. Los fil tr o s 2.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. R es pu esta impulsional, frecuencial y de fase de un filtr o 2.3. Teoría de filtr os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Tipos de filtr os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Ancho de banda y f actor de calidad . . . . . . . . . . . . 3. I ntr o du cció n a los fil tr o s digi tal es 3.1. Fun cio na miento de base . . . . . 3.2. Los filtr os en ecuaciones . . . . . 3.2.1. Filtr os FIR . . . . . . . . 3.2.2. Filtr os IIR . . . . . . . .
2 . . . . .
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2 2 3 3 5
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4. Ejemplos de fil tr o s FIR primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Filtr o paso ba jo de primer 4.2. Filtr o paso a lto FIR de primer or den . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Filtr o paso de banda FIR de segundo orden . . . . . . . . . . . .
7
3.2.3. 3.2.4.
. . . . FIR vs IIR . . . . . . . . . El orden de un filtr o . . . .
5. Ejemplos de fil tr os IIR II R
. . . . . .
5.1. Filtr o paso ba jo IIR de primer or d en 5.2. Filtr o paso a lto IIR de primer or d en
6. Los comb filter s
o
fil tr o s en p ei ne
7. Fil tr os pasa-to do (allpass
filters )
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8. Bi b bliogr af ía
14
1
1.
Intr o ducción
Veremos una breve intr o du cción al filtr ad o y a los filtr os digi tales, que ser án esenciales para la s íntesis s ub str a ctiva y para muchos ef ectos y tr an sf or ma cio n es sonor as.
2. 2.1.
Los filtr os
Gener ali dades
En su definición más general, un filtr o se puede definir como to do p r ocesad o que a lter a la na tur alez a de una señal sonora de una forma o de otra. Un filtr o es un proceso co m pu ta cio na l o algo r itmo mediante el cual una señal digi tal (secuencia de muestr as) es tr an sf or mada en una segunda secuencia de muestr as o señal digi tal de salida. Los filtr os se utilizan mucho en to dos los á m b itos del procesado de s eña l, más o menos musicales, y son una co m p onente esencial en to da cadena de comunicación. Constitu yen la base del procesado de señal, que puede aplicarse a señales de to do ti p o (sonidos, imágenes, vídeo, vibraciones sísmicas, etc). En el dominio de las señales de audio, definiremos un filtr o es p ecí fica mente como un o b jeto que alter a el es p ectr o o el contenido frecuencial de una s eña l. De ahí su im p or tan ci a f undamental en la música electr oa cústic a. Los filtr os se utilizan de forma pr áctic a en to do t ip o de situa ciones musicales, ya sea pa r a la modificación radical de una señal s intétic a o para situa r es p ectr almente una grabación de música instr umental.
2.2.
R es pues ta impulsional, frecuencial y de fase de un filtr o
La r es pu esta impulsional es la reacción de un filtr o a un impulso que se envía a su entrada. La r es pu esta impulsional car a cter iza a un filtr o en el dominio tem p or al. Podemos pensar, por ejemplo, en la r es pu esta impulsional de una sala de co ncie r tos que podemos generar si damos un golpe seco en la sala. A l tr aba jar en el dominio digi tal, dicha r es pu esta impulsional estar á discr etiz ada en el tie m p o y por tanto definida por una serie de muestr as:
h[n] La tr an sf or mada de Fourier de una r es pu esta impulsional de un filtr o corresponde a su función de tr ansf er enci a o r e p r esenta ció n frecuencial, que ca r acter iz a al filtr o en el dominio frecuencial. Dicha ca r acter iz a ció n se realiza a tr avés de su es p ectr o de a m plitud y de su es p ectr o de f ase.
Amplitud : |H (f )| F ase :< H H (f )
(f ) Por na tur alez a, un filtr o no puede ser a la vez preciso en el dominio tem p or al y frecuencial. De hecho, un filtr o con una tr an sición rápida (por ejemplo, con una banda pa sante estr echa ) p r esenta una r es pu esta impulsional larga (el im pu lso
2
resona mucho tiem p o). Por el contr ar io, una banda pa sante ancha corr es p ond e a una r es pu esta impulsional cor ta. Sea una señal digi tal de entrada x [n] que procesamos con un filtr o pa r a generar una señal de salida y [n]. El es p ectr o de la señal de salida Y (f ) se o b tie ne multi plic and o el es p ec tr o de entrada X (f ) p or la r es pu esta frecuencial del filtr o H (f ), es deci r : Y (f ) = X (f ) · H (f )
Ésto equivale a la operación de convolución (r e pr esentada con un "*") entr e las señales en el dominio tem p or al: y[n] = x[n] ∗ h [n] Los filtr os tienen ta m b ié n un ef ecto im p or tante en la fase de las s eña les. El filtr ad o en sí mismo es una aplicación de los r etar dos (modificando la f ase de la señal), lo que explica su co m p or ta miento en el dominio tem p or al y su im plan ta ció n digi ta l.
2.3.
Teoría de filtr os
La teo r ía de filtr os tiene una co m p onent e ma temá tica compleja que ha ce que se aleje de la experiencia humana. La ecuación de un filtr o, por ejemplo, no está relacionada nece sar ia mente con sus cualidades sonoras. En los textos téc nicos, los filtr os se describen mediante una herr a mie nta ma temá tic a denominada transformada z. La transformada z relaciona los ef ectos de r etar dos de mu estr as en una imagen de dos dimensiones de la r e p r esenta ció n frecuencial (H(f )) que se demonima el plano complejo z. Los polos en dicho plano r e p r esentan los picos de resonancia o pun tos que hacen que la r es pu esta frecuencial se haga infinita. Los ceros r e p r esentan los pun tos de a m p litud nula de la r es pu esta frecuencial. Por ejemplo, un fi ltr o de 2 polos tiene 2 picos de resonancia. La tr an sf or mada z es un conce p to esencial para el diseño de filtr os, ya que proporciona una r el ació n ma temá tica entr e las car a cter ísticas del filtr o que queremos diseñar y los pa r ámetr os de im ple mentació n del mismo. Sin embargo, la complejidad matemátic a de la tr an sf or mada z sólo está ind ir ec ta mente relacionada con los pa r á metr os que tienen significación p er ce p tua l. N osotr os ad o p tar emos una forma más intuitiva de abordar el estud io de filtr os digi tales que pr esenta el libro (Roads 1996). En ella, pa r tir emos de los diagramas de bloques de los filtr os y estud iar emos casos sencillos analizando la salida de los filtr os a una serie simple de entr ada s.
2.4.
Tipos de filtr os
Los filtr os más co rr ientes son los filtr os paso ba jo (Low Pass, LP), pa so alto (High Pass, HP), paso de banda (Band Pass, BP) y los filtr os rechazo de banda (o paso no banda) (Band Reject, Band stop o Notch). En la figura 1 se r e pr esentan estos 4 t ip os de filtr os median te su respuesta en frecuencia o e s pectr o de am plitud. Cada pun to de la r es pu esta en frecuencia nos indica la a tenua ció n a la que deter minada. se so meter á una señal a una frecuencia
3
Figura 1: Tipos de filtr os
Los filtr os paso bajo (LP) dejan pasar las frecuencias que están deba jo de una deter minada f r ecuenci a.
p or
Los filtr os paso alto (HP) dejan pasar las frecuencias que están p or encima de una deter minada f r ecuenci a.
Estos dos ti p os de filtr os están definidos por su frecuencia de co r te, que es la frecuencia a la cual la am p litud de la señal se reduce a 0.707 ( 1 2 ) de su valor máximo, es decir, sufre 3 dB de a tenua ció n. Los filtr os paso banda (BP) dejan pasar las frecuencias que están s itua das en una deter minada banda de frecuencia, es decir, entr e dos deter minadas f r ecuencia s. Los filtr os rechazo de banda (BR) dejan pasar to da s las f r ec uenci as exce pto las que están situada s en una deter minada banda de f r ecuencia, es decir, entr e dos deter minadas frecuencias f 1 y f 2 . Estas frecuencias s on las frecuencias a las que la a m p litud de la señal se reduce a 0.707 ( 1 ) de 2 su valor máximo, es decir, sufre 3 dB de a tenua ció n.
Estos dos ti p os de filtr os están definidos por su frecuencia centr al y su ancho de banda, que sería la diferencia entr e las frecuencias de cor te inf er ior y sup er ior . Como se ilustr a en la figura 1, las tr an siciones entr e la banda pa sante y la banda de co r te no son ge ner almente limpias en los filtr os reales. E xiste, p or tanto, una banda de tr an sició n entr e la zona donde teór ic amente todo pasa y la zona donde teór ic a mente nada pa sa . Los filtr os pueden combinarse en serie o en paralelo para o b ten er r es pu estas frecuenciales más co m ple jas.
4
2.5.
Ancho de banda y f ac tor de cali dad
En un filtr o ideal, to da co m p on ente es p ectr a l que se sitúe más allá de la frecuencia de cor te debería, en principio, ser eliminada co m p leta ment e. En r ea lidad, no podemos im p le mentar este ti p o de filtr os con los méto dos que ver emos. Por lo tanto, tenemos que estab lecer la rigidez o rapidez del cor te, expresado en dB por oc tava. El f ac tor de calidad Q de un filtr o BP o BR p er mite regular la rapidez o la p end iente de la campana que se r e p r esenta en la figura 2.
Figura 2: Fa ctor de calidad
Q
El f actor de calidad Q corresponde a un cociente entr e la frecuencia centr al del filtr o y el ancho de banda a los pun tos con 3 dB de atenua ció n: Q=
f centr al (f C2 − f C1 )
(1)
La figura 2 r e pr esenta un filtr o BP en el que hacemos variar el f a ctor de calidad manteniend o fija la frecuencia centr al. La am pli tud máxima o ganancia de un filtr o BP o BR ta m b ién es im p or tante. El contr ol de bandas múlti ples, por ejemplo, y la ganancia de cada una de ellas, p er mitir á fabricar módulos ecualizadores o filtr os gr áfico s.
3. 3.1.
Intr o ducción a los filtr os digitales Funcio namiento de base
El f un cio na miento de base de un filtr o digi tal es r elativa mente simple. Distinguimos de hecho dos ti p os de f uncio na miento, que se ilustr an en la figura 3.
Figura 3: Diagrama de bloques de los dos ti p os de filtr os (b) IIR
digi tales: (a) FIR y
(a) r etar da mo s liger a mente una copia de la señal de entrada (de uno o varios períodos de muestr eo ) y combinamos la señal de entrada r etr asada
5
con la nueva señal de entrada. Los filtr os digi tale s basados en este f un ciona miento se dice que son de respuesta impulsional finita o FIR (Fi nite
Impulse R es p o nse). (b) r etar da mo s una copia de la señal de salida, la cuál co m b ina mos con la nueva señal de entrada. Los filtr os digi tale s basados en este f un ciona miento se dice que son de respuesta impulsional infinita o IIR (Infinite Impulse Response). También se les denomina filtr os recursivos o co n
f eedba ck . 3.2.
Los fi ltr os en ecuacio nes
Podemos describir los filtr os mediante una ecuación que relaciona una señal de entrada con una señal de salida en el dominio digi tal. De ésta man er a, la salida del filtr o se especifica como una r esultad o de sumas, r esta s y multi plicaciones de muestr a s de entrada actua les y an ter io r es. Dichas ecuaciones se denominan técnica mente ecuaciones lineales en diferencias. Lineales significa que si la entrada de un filtr o es la suma de dos funciones es caladas, la s alida del filtr o es igual a la suma escalada de las salidas del filtr o para cada una de dichas f un cion es.
Fil tr os FIR
3.2.1.
En el caso de un filtr o con r es pu esta impulsional finita (FIR), una muestr a de la salida se puede definir como una combinación linear de mu estr as de la entrada pr esentes y pasadas. Podemos expresar esta relación con una ecua ción del t ip o:
y[n] = a0
·
x[n] + a1 · x[n − 1] + a2 · x[n − 2] + ... + a N · x[n − N ]
(2)
ecuación expresa que la muestr a a ctua l de la salida y[n] es igual a la suma de las muestr as de la entrada actua l x[n] multi plic ada por el f actor a0 y de la muestr a anter ior x [n − 1] multi plic ada por el f a ctor a1 , y de to da s la s mu estr a s anter io r es hasta el instante [n − M ] multi plic ada s por su r es p ectivo f a ctor . Los f a ctor es ai son los co efici entes del filtr o. Modificando estos coe ficientes podremos variar de forma dr ástica las ca r a cter ística s del filtr o. La serie de coe ficie ntes a0 , a1 , ... constitu ye la r es pu esta impulsional del filtro. De hecho, podemos verificar que la r es pu esta del filtr o a la señal im pu lso (digi tal): x = {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...} (3 )
Esta
es la señal de s alida : y = {a0 , a1 , a2 , a3 , ..., a N , 0, 0, 0, ...} lo cual explica la denominación de filtro a respuesta impulsional fini ta .
6
(4 )
3.2.2.
Fil tr os IIR
Los filtr os con r es pu esta impulsional infinita (IIR) se distinguen de los filtr os FIR por la presencia de una recursividad: la señal de salida del filtr o se r einyec ta a la entrada del mismo, constituyend o un cir cuito recursivo o con f eedba ck . Este méto do p er mite im ple mentar filtr os con r es pu esta más compleja y con menos da tos. Como inyecta mo s constan temente energía en el cir cuito, la r es pu esta impulsional tiene una duración p ot enci al infinita, y de ahí le viene el nom b r e. La ecuación tí pica de un filtr o IIR se expresa de la s ig uiente man er a :
y[n] = a0 · x [n] + a1 · x[n − 1] + a2 · x [n − 2] + ... + a N · x [n − N ]+ − b1 · y [n − 1] − b2 · y [n − 2] − b3 · y [n − 3] − ... − bM · y [n − M ]
(5)
Esta ecuación expresa que la salida es función de N+1 muestr as de la entr ada (actua l y N anter ior es), así como de M muestr as an ter io r es de sa lida. 3.2.3. FIR vs IIR Los filtr os FIR ofrecen en general una r es pu esta de fase más lineal y no entran jamás en oscilación (es decir, no se vuelven inestab le s), ya que no p oseen r ea limentació n. Por otr o lado, requieren un gran número de tér minos en sus ecuaciones y eso les hace más costosos en cuan to a cálculo o carga co m pu tacio na l. Un filtr o FIR con un co r te muy ab r up to (es decir, que tenga una banda de tr an sición muy co r ta) puede requerir hasta ce ntena s de r eta r dos. En cuan to a los filtr os IIR, son muy eficaces y pueden proporcionar p endientes de cor te muy pronunciadas. Por otr o lado, al poseer car a cter ísticas de r ea limentació n (o feedback), tienen tend en cia a entrar en oscilación y en r esonan cia.
3.2.4.
orden de un fil tr o
El
El número de muestr as anter ior es a la actua l que se utilizan en un filtr o para generar una muestr a de salida corresponde al orden del filtr o. Un filtr o de primer orden utiliza una sola muestr a pr ece dente. De esta forma, un filtr o recursivo de segundo orden se expresaría con la ecuación s ig uiente:
y[n] = a0
·
x[n] + a1 · x[n − 1] + a2 · x[n − 2] − b1 · y [n − 1] − b2 · y [n − 2] (6)
Este filtr o utiliza dos mu estr as anter ior es de entrada y dos muestr as anter iores de la salida. Es la forma que tend r ía un filtr o paso de banda que se utiliza bastante, denominado biquad (de bicuad r ático ). Mientr a s mayor sea el orden de un filtr o (cuan tas más r etar dos se utilicen en el cir cuito), el cor te del filtr o será más ab r up to.
4. 4.1.
Ejemplos de filtr os FIR Filtr o paso bajo de primer or den
Para constr uir un filtr o paso ba jo FIR simple (que atenuará las f r ecu enci as altas de una señal de entrada), sólo hace f alta ef ectua r la media de los valores de
7
la muestr a actua l y la de la figura 4.
mu estr a pr ece dente, como ilustr a el diagrama de blo ques
Figura 4: Diagrama de bloques de un filtr o LP FIR El f un cio na miento de este filtr o se puede expresar guiente:
mediante la ecuación si-
y[n] = 0,5 · x [n] + 0,5 · x[n − 1]
(7)
Se puede entend er intuitiva mente el ef ecto paso ba jo de esta operación, ya que al ef ectua r la media atenua mos las variaciones bruscas de la señal, lo que origina un suavizado de la señal de entr ada. Este filtr o es un ejemplo del filtr o de ti p o (moving average) (promedio móvil). Veamos cuál sería la r es pu esta de este filtr o a dif er entes señales de entr ada. Consideremos primero una señal co nstan te: x = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
...}
(8)
De la ecuación, deducimos que la señal de salida s er ía: y = {0,5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
...}
(9)
Por lo tanto, después de un tr an sitor io cor to (la primera muestr a que vale 0.5), la señal de salida es igual a la señal de entr ada : una señal co nstante de am plitud 1. Para una señal constante, que tiene una frecuencia nula, ver ificamos que las ba jas frecuencias no se atenúan en el filtr ad o. Consideremos ahora una señal que oscila entr e −1 y +1 a la frecuencia de Nyquist (la frecuencia má xima ): x = { +1, −1, +1, −1, +1, −1, +1, −1, +1, −1, ...}
(10 )
En este caso, la señal de salida se a tenúa muy r áp ida me nte como p o dr ía mos pr eveer : y = {0,5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...}
(11 )
Podemos observar la r es pu esta en frecuencia del filtr o en la figura 5. L a ganancia, en función de la frecuencia, viene dada p or :
8
A(f ) = cos(
Figura 5:
π ·
f
f s
)
(12)
R es pu esta en frecuencia de un filtr o LP FIR
La frecuencia de co r te vale f 4s (un cua r to de la frecuencia de muestr eo). La simplicidad del filtr o se paga con una banda de tr an sición an cha.
4.2.
Filtr o paso alto FIR de primer or den
La estr uctur a de un filtr o paso a lto FIR ele mental es muy similar a la del filtr o paso ba jo FIR que acabamos de ver, pero en vez de sumar dos muestr as consecutiva s, las r esta mos:
y[n] = 0,5 · x [n] − 0,5 · x[n − 1]
(13)
El ef ec to paso alto se explica f á cil mente: al r esta r dos muestr as sucesivas atenua mos la señal en los pun tos en los que varía lenta mente (ba jas f r ecuencias) y a centua mos allí donde la señal varía r áp ida mente (altas f r ecuenci as). La ganancia en función de la frecuencia viene dada p or : A(f )
= sin(
π ·
f
) (14) f s El diagrama de bloques de este filtr o está r e p r esentad o en la figura 6, a sí como su función de tr an sf er encia en la figura 7.
4.3.
Filtr o paso de banda FIR de segundo or den
La ecuación de un de un filtr o paso de banda (BP) simple no recursivo segundo orden es la s iguiente:
y[n] = 0,5 · x [n] − 0,5 · x[n − 2]
de
(15 )
Este filtr o es de segundo orden, ya que utiliza un r eta r do de dos p er ío dos de muestr eo como máximo (para o b tener x[n − 2]). La ganancia del filtr o en función de la frecuencia viene dada por la s iguiente ecua ció n:
9
Figura 6: Diagrama de bloques de un filtr o simple HP FIR
Figura 7:
R es pu esta en frecuencia de un filtr o simple HP FIR
A(f ) = sin(
2·π ·f
f s
)
(16 )
lo cual corresponde a un filtr o paso de banda de frecuencia centr a l f 4s Si en vez de r esta r sumáramos las muestr as x [n] y x[n − 2], o b tend r ía mos filtr o rechazo de banda de frecuencia centr a l f 4s .
5. 5.1.
un
Ejemplos de filtr os IIR Filtr o paso ba jo IIR de primer or den
Un filtr o LP recursivo de primer orden simple ef ectúa la media de la muestr a actua l de entrada y de la mu estr a de salida anter io r , como ilustr a el diagr ama de la figura 8 y la fórmula s iguiente:
10
y[n] = 0,5 · x [n] + 0,5 · y [n − 1]
(17 ) La r es pu esta en frecuencia (sobre la figura 9) tiene una forma dif er ente a la del filtr o LP no recursivo. E ste filtr o se denomina ETA (Exponential Time Aver a ge).
Figura 8: Diagrama de bloques de un filtr o simple LP
Figura 9:
IIR
R es pu esta en frecuencia de un filtr o simple LP IIR
Para verificar el conce p to de r es pu esta impulsional infinita, r eem p la zemos y [n − 1] por su expresión deducida de la misma ecua ció n:
y[n] = 0,5 · x[n] + 0,5 · (0,5 · x[n − 1] + 0,5 · y [n − 2]) y[n] = 0,5 · x [n] + 0,5 · (0,5 · x[n − 1] + 0,5 · (0,5 · x[n − 2] + 0,5 · y [n − 3])) y[n] = 0,5 · x[n] + 0,5 · (0,5 · x[n − 1] + 0,5 · (0,5 · x [n − 2] + 0,5 · (0,5 · x[n − 3] + 0,5 · y [n − 4]))) etc... (18) Fina lmente podemos observar que este filtr o es una versión del filtr o FIR (no recursivo) s iguiente: y[n] = 0,5 · x [n] + 0,25 · x [n − 1] + 0,125 · x [n − 2] + 0,0625 · x[n − 3] + ... (19)
11
La ecuación comprende teór ica mente un número infinito de tér minos. La r es pu esta impulsional es, por tanto, teór icamente i nfinita, lo que explica el nom br e que se le da a este ti p o de filtr os. La forma general de un filtr o IIR de primer orden es:
y[n] = a
·
x[n] + b · y [n − 1]
(20 )
Una variación de los coe ficie ntes de reinyección (coe ficiente b en este e jem p lo) p er mitir á contr olar la frecuencia de cor te del filtr o. Cuando b crece, la f re cuencia de cor te ba ja.
5.2.
Filtr o paso alto IIR de primer or den
Como para los filtr os FIR, una r esta en vez de una suma nos genera un filtr o HP en vez de L P:
y[n] = a
6.
·
x[n] − b · y [n − 1]
(21 )
Los comb filter s o filtr o s en p eine
Los filtr os en peine (comb filters) son un ti p o pa r ticular de filtr os que cr ean una serie de picos y de valles en el es p ectr o de la señal. Estos picos y valles se sitúan a una distan cia frecuencial igual. Los filtr os en peine pueden ser de ti p o FIR o IIR . La estr uctur a del filtr o en peine FIR, que se r e pr esenta en el esquema de bloques de la figura 10, es similar al filtr o BP FIR. Su ecuación es:
y[n] = x [n] + x[n − D ]
(22)
Figura 10: Diagrama de bloques de un comb filter D indica un r etar do medido en número de mu estr a s. Para valores de r etar do muy pequeños, el ef ecto del filtr o es despreciable (a 48 KHz, un r eta r do de una mu estr a corresponde a 0.0208 ms). Cuando D au menta, aparecen picos y valles en la r es pu esta frecuencia, que están cada vez más próximos a medida que el r etar do au menta. Estos picos y valles provienen de la anulación y la suma de fase de dos s eña les (original y r etr a sada ). El primer pico se sitúa en la f r ecuencia:
f 0 = 12
f s
D
(23)
donde D es el r etar do en muestr a s y f s la frecuencia de muestr eo. Los p ico s sucesivos se encuentr an en las frecuencias 2 · f 0 , 3 · f 0 , .... La figura 11 mu estr a la r es pu esta frecuencial de un filtr o comb con un r etardo de 10 muestr as, equivalente a 0,227 ms a 44100 Hz. A esta frecuencia de mu estr eo , el primer pico se encuentr a en la frecuencia 4410 H z.
Figura 11:
R es pu esta en frecuencia de un filtr o co m b
La ecuación s iguiente:
y[n] = x[n] − x [n − D ]
(24 )
describe un filtr o comb s ustr activo. Los filtr os comb IIR incluyen una recursión, que se expresa en la ecua ció n siguiente:
y[n] = a
·
x[n] + b · y [n − D ]
Con una im p lantació n de este ti p o podemos o b tener curvas de mucho más fina s.
7.
Fil tr os pasa-to do (allpass
(25 )
a tenua ción
filter s)
Un filtr o pasa to do es un procesador peculiar, ya que deja pasar to da s las frecuencias sin cambio alguno de a m p litud, tal y como su nombre indica. Por tanto, tiene una r es pu esta frecuencial de am plitud constante en to do el r an go de frecuencias aud io. R es p ec to a la r es pu esta de fase, dicho filtr o aplica un cambio de fase a la señal de entrada. Es decir, r etr asa dif er entes regiones de frecuencia con dif er entes valores de r etar do. É ste ti p o de r etar do de p end iente de la frecuencia se denomina dis pers ión. Los ef ectos audibles de un filtr o pasa to do se man ifiestan sobre to do en los períodos de tr an sición como son el ata qu e y decaimie nto, cuando la señal se colorea mediante un cambio de fase que depende de la f r ecuenci a.
13
La ecuación s iguiente describe un filtr o pasa to do simple con una r es pu esta s frecuencial constante (desde 0 a f 2 ) que r etr asa varias frecuencias con d if er ente s valores de r etar do. Cuando el r etar do en muestr as D es grande, el filtr o gen er a una serie de ecos que decaen, un ef ecto que se utiliza en los allpass r everber a tors .
y[n] = (−g · x [n]) + x [n − D ] + (g · y [n − D ])
Éste filtr o pasa to do corresponde a un filtr o comb IIR con r eali menta ción (contr olada por la constante g) en un cir cuito que ta m bién ali menta parte de la señal de entrada hacia la salida con una ganancia −g. Dicha s ustr acción cancela el ef ecto es p ec tr al del filtr o comb mie ntr as que preserva el echo y la s ca r acter ística s de r etar do. Los usos musicales de éste ti p o de filtr os son variados. El uso más ap lic ad o sería utilizar éstos filtr os para contr arr estar el ef ecto de fase de otr os filtr os. Por ejemplo, algunas empresas de audio fabricaban filtr os pasa to do que co m p ensaban la distor sión de fase inh er ente a los grabadores digi tales p r imitivos. Otr a aplicación se encuentr a en algunos s intetiz ad or es, donde un filtr o pasa to dos puede cr etar un r eta r do de fase variable en el tie m p o y en la frecuencia pa r a enriquecer sonidos está tico s. Un ejemplo sería el ef ecto çhorus", una co m b ina ción de r etar do y cambio de fase. La aplicación más im p or tante de éste ti p o de filtr os se encu entr a en los ef ectos de reverberación, como veremos en los temas siguientes.
8.
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