Filtro de Bessel

Introducción: El filtro es un sistema diseñado para obtener una característica de trasferencia deseada.

Clasificación: Según la función se clasifican en : Filtro Pasa Alto

Filtro Pasa Banda

Filtro Pasa Bajo

Filtro Rechaza Banda

Clasificación: Según sus componentes:

 Pasivos

 Activos  De capacidades conmutadas  Digitales Los filtros activos según los diseños:

 Filtro Butterworth  Filtro Chebyshev  Filtro Bessel

Para el filtro de Bessel es preciso enfocarnos en los filtros activos por su función de transferencia.

Orden de un filtro  Describe el grado de aceptación o rechazo de frecuencias por

arriba o por debajo, de la respectiva frecuencia de corte.  Un filtro de primer orden, cuya frecuencia de corte sea igual a (F), presentará una atenuación de 6 dB en la primera octava (2F), 12 dB en la segunda octava (4F), 18 dB en la tercera octava (8F) y así sucesivamente.  Para realizar filtros de órdenes más altos se conecta en serie de filtros de 1º o 2º.  De acuerdo a los decibelios

por octava (pendiente) tenemos un retardo y un orden:

Filtros activos Orden de un filtro activo :

 Número de circuitos RC. Se lo aproxima con el número de capacitores.

Diagrama básico de orden de un filtro Atenuación

 Relacion entre el voltaje de entrada y salida. 𝐴𝑡𝑒𝑛𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝑉𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎/𝑉𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝐴𝑡𝑒𝑛𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑑𝐵 = −20 ∗ 𝑙𝑜𝑔𝐴𝑡𝑒𝑛𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

Filtros paso-bajo primer orden

𝐴𝑣 = 1 1 𝑓𝑐 = 2𝜋 ∙ 𝑅1 ∙ 𝐶1

𝑅2 +1 𝑅1 1 𝑓𝑐 = 2𝜋 ∙ 𝑅3 ∙ 𝐶1 𝐴𝑣 =

−𝑅2 𝑅1 1 𝑓𝑐 = 2𝜋 ∙ 𝑅2 ∙ 𝐶1 𝐴𝑣 =

Filtros paso-alto primer orden

𝐴𝑣 = 1 1 𝑓𝑐 = 2𝜋 ∙ 𝑅1 ∙ 𝐶1

𝑅2 +1 𝑅1 1 𝑓𝑐 = 2𝜋 ∙ 𝑅3 ∙ 𝐶1 𝐴𝑣 =

−𝐶1 𝐶2 1 𝑓𝑐 = 2𝜋 ∙ 𝑅1 ∙ 𝐶2 𝐴𝑣 =

Filtros con configuración de Sallen-Key fc 

1 2 RA RB C AC B

𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝑄= CB R A + R B

a) Configuración de filtro pasa-bajo de Sallen-Key

roll-off de -40dB/dec

fc 

1 2 RA RBC ACB

𝑄=

a) Configuración de filtro pasa-alto de Sallen-Key

𝑅𝐵 𝐶𝑋 𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝐶𝐴 𝐶𝐵

𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝐶𝑋 = 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵

Filtro Sallen –Key de mayor orden

Filtro de tercer orden

Filtro de cuarto orden

Filtro de sexto orden

Análisis de un filtro de Sallen -Key Av=1

fc=

1 2𝜋∙𝑅 𝐶1𝐶2

Butterworth: Q=0,707 Kc=1 Bessel : Q=0,577 Kc=0,786

Las dos resistencias tienen el mismo valor , pero los dos condensadores son distintos . Hay un circuito de retardo en la entrada no inversora , pero al mismo tiempo es el mismo camino de realimentación atreves del segundo condensador C2 . Par abajas frecuencias , ambos condensadores están en circuito abierto y el circuito tiene una ganancia unidad . Dado que el amplificador esta conectado como un seguidor te tensión . Según va aumentando la frecuencia , disminuye la impedancia de C1y disminuye también la tensión en la entrada no inversora . Al mismo tiempo el condensador C2 se realimenta de una señal que esta en fase con la señal de entrada. Como la señal de realimentación se suma a la fuente de señal la realimentación es positiva . Asi se obtiene una disminución de la entrada no inversora producida por C1 no será tan grande como si no estuviera la realimentación positiva. Cuanto mayor sea C2 con respecto a C1, mas positiva será la realimentación ;esto equivale a aumentar Q en el circuito . Si C2 es lo suficiente grande como par hacer Q mayor a 0,707 , aparecerá un pico en la respuesta de frecuencia

Filtro pasa banda

1 f c1  2 RA1 RB1C A1C B1 1 fc2  2 RA2 RB 2C A2C B 2 f 0  f c1 f c 2

Filtros de realimentación múltiple (Raunch)  En el circuito, las dos vías de realimentación pasan a través de C1 y R2.  R1 y C1 dan la respuesta paso-bajas, mientras R2 y C2 la paso-altas.  La máxima ganancia se presenta en la frecuencia central f0

Diseño de filtro Frecuencia de polo: 𝐵𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟𝑤𝑜𝑟𝑡𝑕 Q=0.707 K=1 Bessel Q= 0.577 K=0.786 𝑄 = 0.5 ∗

𝑓𝑝 =

𝑓𝑝 =

𝐶2 𝐶1

1 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝐶1 ∗ 𝐶2

1 2𝜋 ∗ 𝑅1 ∗ 𝑅2 ∗ 𝐶1 ∗ 𝐶2

Diseño de filtro Filtro Bessel:

Se nombran así en honor al astrónomo, matemático y bailarín Friedrich Bessel. Para su diseño se emplean los coeficientes de los polinomios de Bessel.

Diseño de filtro Respuestas de Butterwort y Bessel:

 Respuestas de Butterworth y Bessel .

Cuando se analiza un circuito como el que aparece en la figura se comienza por calcular Q y F . Si Q=0,707 se tiene una respuesta de Butterworth y un valor para Kc de 1 . Si q=0,577 ,se tiene una respuesta de Bessel y un valor de kc de 0,786. posteriormente , se calcula la frecuencia de corte con: Fc=Kc fc Como los filtros de Butterworth y Bessel , ña frecuencia de corte es siempre la frecuencia a la cual la atenuación es de 3dB

Filtro Bessel Características :

 El filtro de Bessel tiene:  Una banda pasante plana (región de frecuencia donde la señal en la

salida no es atenuada).  Una zona de atenuación con pendiente relativamente suave  Una banda pasante que no varia.

 Su respuesta a la fase es lineal en las bandas pasantes.  Su pendiente de transición (región comprendida entre la banda

de paso y la banda de rechazo en la cual la ganancia cae de uno a cero) es peor que la Butterworth.  Se emplean para filtrar pulsos sin distorsionarlos.  Cuando estos filtros se transforman a digital pierden su propiedad de fase lineal

Filtro Bessel Funcionamiento:  Diseñados para tener una fase lineal en las bandas pasantes, por lo que no

distorsionan las señales; por el contrario tienen una mayor zona de transición entre las bandas pasantes y no pasantes.

 La aproximación de Bessel esta optimizada para producir un desfase

lineal con la frecuencia, por tanto, estos filtros sacrifican la pendiente en la atenuación por conseguir un desfase lineal. El desfase lineal significa que la frecuencia fundamental y los armónicos de una señal no sinusoidal en la entrada del filtro se desfasarán linealmente a la salida del mismo. Por ello, la forma de la señal de salida será la misma que la de la señal de entrada, si se aplica una tensión en la entrada del filtro y se observa su salida en un osciloscopio, se comprueba que tiene la mejor respuesta al escalón de todos los filtros.

Filtro de Bessel Función de Transferencia

 La forma de comportarse de un filtro se describe por su función de

transferencia. Ésta determina la forma en que la señal aplicada cambia en amplitud y en fase al atravesar el filtro.  Los valores que hacen nulo el numerador son los ceros y los que hacen nulo el denominador son polos. 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑠 𝐻 𝑠 = 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑠  El número de polos y ceros indica el orden del filtro y su valor

determina las características del filtro, como su respuesta en frecuencia y su estabilidad.

Filtro de Bessel Polinomio de Bessel

El filtro de Bessel posee únicamente polos pretenden asegurar la fase lineal en toda la banda pasante. Su respuesta en frecuencia es: 𝐻 𝑠 =

1 𝐵𝑁 𝑠

𝐵𝑁 𝑠 =

𝑁 𝑘=0

𝑎𝑘 ∙ 𝑠 𝑘

N: orden del filtro

Donde N es el orden del filtro y el denominador es un polinomio de Bessel, cuyos coeficientes son:

𝑎𝑘 =

2𝑁−𝑘 ! 2𝑁−𝑘 ∙𝑘!∗ 𝑁−𝑘 !

,

con k=0, 1, 2, ..., N

Filtro de Bessel Y se pueden definir de forma recursiva como: 𝐵𝑁 = 2𝑁 − 1 ∙ 𝐵𝑁−1 𝑠 + 𝑠 2 ∙ 𝐵𝑁−2 𝑠

Siendo: 𝐵0 𝑠 = 1 𝐵1 𝑠 = 𝑠 + 1 𝐵2 𝑠 = 𝑠 2 + 3𝑠 + 3 𝐵3 𝑠 = 𝑠 3 + 6𝑠 2 + 15𝑠 + 15 𝐵4 𝑠 = 𝑠 4 + 10𝑠 3 + 45𝑠 2 + 105𝑠 + 105 𝐵5 𝑠 = 𝑠 5 + 15𝑠 4 + 105𝑠 3 + 420𝑠 2 + 945𝑠 + 945 ∙ ∙ 𝐵𝑁+1 𝑠 = 2𝑁 + 1 𝐵𝑁 𝑠 + 𝑠 2 𝐵𝑁−1 𝑠

Filtro de Bessel Representación de la función de transferencia

 Observándose que el que mejor atenuación produce es el de

Chebyshev, seguido de Butterworth y por último de Bessel. Aunque el primero presenta un rizado es de poca importancia con 3dB en su máximo.

Filtro de Bessel Factor de calidad

 Especifica la eficacia del filtro. Es la proporción establecida

entre la frecuencia de corte y el ancho de banda: 𝑓𝑚 𝑄= 𝑓2 − 𝑓1  Fm= Frecuencia de corte  F2,F1 Frecuencia de corte superior e inferior

 Para filtros paso alto y paso bajo.

Q=

𝑏𝑖 𝑎𝑖

Filtro Bessel Constantes Esquema Pasa Alto Primer Orden

Esquema pasa bajo primer orden

Filtro Bessel Constantes

Filtro Bessel Constantes

Esquema Pasa Alto Tercer Orden

ESQUEMA PASA BAJO TERCER ORDEN

Filtro Bessel Constantes

 Para un filtro de 3er orden solo se modifican los

coeficientes de la tabla en Bessel.  Primer orden

 Segundo orden

Filtro de Bessel Respuestas paso bajo

Filtro de Bessel Respuestas paso banda

Filtro de Bessel Respuestas elimina banda

Filtro de Bessel Ejemplo 1

 ¿Cuál es la frecuencia del polo y Q del filtro de la fig.? ¿Cuál

es la frecuencia de corte?

Filtro de Bessel Simulación Ejemplo 1

Filtro de Bessel Diagrama de Bode ejemplo1

Filtro Bessel Ejemplo 2: filtros de orden superior

Diseñar un Filtro Pasa Bajo de 5º Orden con estructura: Sallen-Key y Rauch con frecuencia de Corte de 50 KHz. Solución de ejemplo 2

 Para poder resolver filtros de orden superior se necesitara de tablas

para las constantes a, b, k, que se muestran a continuación.

n: Orden del filtro i: Número del filtro parcial. ai, bi: Coeficientes del filtro Ki: Cociente entre la frecuencia de corte de cada filtro parcial con respecto a la frecuencia de calidad del filtro total.  Qi: Factor de calidad de cada filtro parcial.  Tgro: Retardo normalizado para los filtro pasa-todo    

Filtro de Bessel Solución de ejemplo 2  Se necesita de un filtro de 1º orden en serie con dos Filtros de 2º Orden:

 Se elije las coeficientes:      

a1=0,6656 b1=0; a2=1,1402 b2= 0,4128 a3=0,6216 b3=0,3245

 Y consideramos

C1=C2=C4=1nF

Filtro de Bessel Solución de ejemplo 2 R1 

a1 0.6656   2118.67 2 · fc·C1 2 ·50000·1109

4·C2·b2 4·1109·0.4128 C3    1.27nF a22 1.14022 a2·C3  (a2·C3 ) 2  4·b2·C2·C3 1.1402·1.27 109  (1.1402·1.27 109 ) 2  4·0.4128·1109·1.27 109 R2    1814.68 4 · fc·C2·C3 4 ·50000·1109·1.27 109 a2·C3  (a2·C3 ) 2  4·b2·C2·C3 1.1402·1.27 109  (1.1402·1.27 109 ) 2  4·0.4128·1109·1.27 109 R3    1814.68 4 · fc·C2·C3 4 ·50000·1109·1.27 109

4·C4·b3 4·1109·0.3245 C5    3.359nF a32 0.62162 a3·C5  (a3·C5 ) 2  4·b3·C4·C5 0.6216·3.35 109  (0.6216·3.35 109 ) 2  4·0.3245·1109·3.35 109 R4    986.30 4 · fc·C4·C5 4 ·50000·1109·3.35 109 a3·C5  (a3·C5 ) 2  4·b3·C4·C5 0.6216·3.35 109  (0.6216·3.35 109 ) 2  4·0.3245·1109·3.35 109 R5    986.30 4 · fc·C4·C5 4 ·50000·1109·3.35 109

Filtro de Bessel Simulación ejemplo 2 con estructura Sallen key

Diagrama de bode ejemplo 2 con estructura Sallen key

Simulacion ejemplo 2

Filtro de Bessel Solución del ejemplo 2 con estructura Rauch

 Ahora necesitaremos un filtro de 3º orden en serie con un filtro de 2º

orden y utilizamos las constantes K de tabla de Bessel.

 Se elije las coeficientes:     

k1=0,76 k2=0,39 k3=0,12 k4=0,64 k5=0,09

 R=1KΩ

Filtro de Bessel Ejemplo 2 con estructura Rauch

Simulación del ejemplo 2 con estructura Rauch

Diagrama de Bode ejemplo 2 con estructura Rauch