filtracion- centrifuga ejercicio

FILTRACION CENTRIFUGA –EJERCICIO Mecánica de Fluidos II Luis Triana Torres Ingeniería Química

En primer lugar se deducirán las ecuaciones para determinar el flujo de filtrado para una filtración centrifuga. Suposiciones: 

Se desprecian los efectos de la gravedad y de las variaciones de la energía cinética, por lo que la caída de presión debida a la acción centrífuga iguala al arrastre del líquido que circula a través de la torta;



La torta está por completo llena de líquido;



El flujo de líquido es laminar;



La resistencia del medio filtrante es constante;



La torta es prácticamente incompresible de forma que se puede utilizar una resistencia específica media constante.

Se supone, en primer lugar, que el área A disponible para el flujo no varía con el radio, como sería aproximadamente cierto en una torta delgada de una centrífuga de gran diámetro. Por lo tanto, la velocidad lineal del líquido viene dada por 𝑢=

𝑑𝑉/𝑑𝑡 𝐴

𝑞

= 𝐴 (1) 𝑚𝑐  + 𝐴

𝑝 = 𝑝𝑐 + 𝑝𝑚 = µ𝑢(

𝑅𝑚 ) (2)

Donde q es la velocidad de flujo volumétrico del líquido. Sustituyendo (1) en (2) se obtiene:

𝑚 

𝑝 = 𝑞µ( 𝐴𝑐2 +

𝑅𝑚 ) (3) 𝐴

La caída de presión debida a la acción centrifuga es : 𝑑𝑝 = 𝑔𝑑𝑧 En un campo centrifugo, g se remplaza por r2 y dz por dr. Entonces 𝑑𝑝 = 𝑟2𝑑𝑟

Al integrar entre r1 y r2 ∆𝑝 =

𝜌𝜔2 (𝑟22 −𝑟12 ) 2

(4)

Donde  =velocidad angular, rad/s y = densidad del líquido.

Si combinamos las ecuaciones (3) y (4) y despejamos q: 𝑞=

2 𝜌𝜔2 (𝑟22 −𝑟1) 𝛼𝑚 𝑅 2𝜇( 2𝑐+ 𝑚 ) 𝐴 𝐴

(5)

Cuando la variación de A con el radio es demasiado grande para despreciarla, la ecuación debe escribirse como: 2 𝜌𝜔2 (𝑟22 − 𝑟1) 𝑞= (𝟔) 𝛼𝑚𝑐 𝑅𝑚 2𝜇 ( + ) 𝐴𝐿 𝐴𝑎 𝐴2

Donde A2=área del medio filtrante (área interior de la cesta centrifuga) Aa= media aritmética del área de la torta AL=media logarítmica del área de la torta Las áreas medias A2 , Aa y AL se definen por las ecuaciones 𝐴𝑎 = (𝑟𝑖+ 𝑟2 )𝜋𝑏 (𝟕) 𝐴𝐿 =

2𝜋𝑏(𝑟2 − 𝑟𝑖 ) (𝟖) 𝑟 𝑙𝑛 2 𝑟𝑖

𝐴2 = 2𝜋𝑟2 𝑏 (𝟗)

Filtración Centrifuga Ejercicio: Un filtro centrifugo por lote tiene un tazón de altura b=0.457m y r2= 0.381 m, y opera a 33.33 rev/s a 25°C. El filtrado es esencialmente agua. En un momento determinado del ciclo, la suspensión y la torta formada tienen las siguientes propiedades: Cs= 60.0 kg de solidos/m3 de filtrado,

=0.82,p=2002kg de solidos/m3 de filtrado, espesor de la torta= =0.152 m,  =6.38x1010 m/kg, Rm =8.53x1010m-1. Si la torta final se filtra en condiciones tales que el radio de la superficie interior del líquido es r1=0.2032m. a) Calcule la velocidad de flujo del fluido filtrado. B)El tiempo de filtración c) cual debe ser el espesor final de la torta si se emplea un flujo de filtrado de 3x10-4m3/s

Solución: Datos:

Agua a 25°C =997 kg/m3 ; µ=0.894x10-3 Pa.s          

b=0.457 m r2=0.381 m N= 33.33 rev/ s r1= 0.2032 Cs= 60.0 kg de solidos/ m3 filtrado = 0.82 p=2002 kg solido/m3 Espesor de la torta=0.152 m =6.38 x 1010 m/kg Rm=8.53x1010 m-1 𝜔 = 2𝜋𝑁 = 2𝜋(33.33) = 𝟐𝟎𝟗. 𝟒 𝒓𝒂𝒅/𝒔 De la figura 𝑟𝑖 = 𝑟2 − 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑜𝑟𝑎 = 0.381𝑚 − 0.152𝑚 = 𝟎. 𝟐𝟐𝟗𝒎 Para el volumen de la torta = 𝜋𝑏(𝑟22 − 𝑟𝑖2 ) 𝑉 𝑡𝑜𝑟𝑡𝑎 = 𝜋(0.457𝑚)(0.381𝑚2 − 0.229𝑚2 ) = 𝟎. 𝟏𝟑𝟑𝟐𝒎𝟑 Para la masa de solidos en la torta mc 𝑚𝑐 = (1 − 𝜖)𝑉𝑡𝑜𝑟𝑡𝑎 𝜌𝑝

2002𝐾𝑔 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑐 = (1 − 0.82)(0.1332𝑚3) ( ) = 𝟒𝟖 𝒌𝒈 𝒅𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒐𝒔 𝑚3 Seguidamente se calculan las Áreas (Aa,A2 y AL) 𝐴𝑎 = (𝑟𝑖+ 𝑟2 )𝜋𝑏 = (0.229𝑚 + 0.381𝑚)𝜋(0.457𝑚) = 𝟎. 𝟖𝟕𝟓𝒎𝟐 𝐴𝐿 =

2𝜋𝑏(𝑟2 − 𝑟𝑖 ) 2𝜋(0.457)(0.381 − 0.229) = = 𝟎. 𝟖𝟓𝟕𝟑 𝒎𝟐 𝑟 0.381 𝑙𝑛 𝑟2 ln( ) 𝑖 0.229 𝐴2 = 2𝜋𝑟2 𝑏 = 2𝜋(0.381𝑚)(0.457𝑚) = 𝟏. 𝟎𝟗𝟒 𝒎𝟐

Finalmente remplazamos en (6) 2 𝜌𝜔2 (𝑟22 − 𝑟1) 𝛼𝑚𝑐 𝑅𝑚 2𝜇 ( + ) 𝐴𝐿 𝐴𝑎 𝐴2 2 2 2 (997)(209.4 )(0.381 − 0.2032 ) 𝑞= = 𝟔. 𝟏𝟏𝒙𝟏𝟎−𝟒 𝒎𝟑/𝒔 (6.38𝑥1010 )(48) 8.53𝑥1010 −3 2(0.894𝑥10 ) ( + 1.094 ) (0.8573)(0.875)

𝑞=

𝑉

b) el tiempo de filtracion 𝑡 = 𝑞 donde V es el volumen de filtrado 𝑉=

𝑚𝑐 48𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑 = = 0.8𝑚3 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 60𝑘𝑔𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠 𝐶𝑠 𝑚3 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑡=

0.8𝑚3 = 1309.32 𝑠 6.11𝑥10−4 𝑚3/𝑠

c) se tienen los datos Agua a 25°C =997 kg/m3 ; µ=0.894x10-3 Pa.s  b=0.457 m  r2=0.381 m  N= 33.33 rev/ s  r1= 0.2032  Cs= 60.0 kg de solidos/ m3 filtrado  = 0.82  p=2002 kg solido/m3

 =6.38 x 1010 m/kg  Rm=8.53x1010 m-1  q=3x10-4 m3/s Como se necesita conocer el espesor de la torta (x) que esta dado según la grafica 𝑥 = 𝑟2 − 𝑟𝑖 (*) Como no conocemos ri (radio de la cara interior de la torta) se determinara este valor y luego de (*) despejamos X ( espesor de la torta)

para la velocidad angular : ω=2πN=2π(33.33)=209.4 rad/s

𝑉𝑡𝑜𝑟𝑡𝑎 = 𝜋(0.457𝑚)(0.3812 − 𝑟𝑖 2 ) 𝑚𝑐 = (1 − 𝜖)𝑉𝑡𝑜𝑟𝑡𝑎 𝜌𝑝 = (1 − 0.82)(2002)(0.457)𝜋(0.3812 − 𝑟𝑖 2 ) 𝑚𝑐 = 517.37(0.3812 − 𝑟𝑖 2 )

Las expresiones para las áreas quedan asi: 𝐴2 = 2𝜋𝑟2 𝑏 = 2𝜋(0.381𝑚)(0.457𝑚) = 𝟏. 𝟎𝟗𝟒 𝒎𝟐 𝐴𝑎 = (𝑟𝑖+ 𝑟2 )𝜋𝑏 = (𝑟𝑖 + 0.381𝑚)𝜋(0.457𝑚) = 1.435 (𝑟𝑖 + 0.381)

𝐴𝐿 =

2𝜋𝑏(𝑟2 − 𝑟𝑖 ) 2𝜋(0.457)(0.381 − 𝑟𝑖) (0.381 − 𝑟𝑖) = = 2.87 𝑟2 0.381 0.381 𝑙𝑛 𝑟 𝑙𝑛( ) 𝑙𝑛 𝑖 𝑟𝑖 𝑟𝑖

Por ultimo se remplaza en 𝑞=

2 𝜌𝜔2 (𝑟22 − 𝑟1) 𝛼𝑚 𝑅 2𝜇 (𝐴 𝐴𝑐 + 𝐴𝑚 ) 𝐿 𝑎 2

(997)(209.42 )(0.3812 − 0.20322 )

3𝑥10−4 =

(6.38𝑥1010 )(517.37(0.3812 − 𝑟𝑖 2 ))

2(0.894𝑥10−3 )

(2.87 (

(0.381 − 𝑟𝑖) (1.435 (𝑟𝑖 + 0.381)) 0.381 ) 𝑙𝑛 𝑟𝑖

+

8.53𝑥1010 1.094 )

Para mejor comodidad A=q=3x10-4 2 B= 𝜌𝜔2 (𝑟22 − 𝑟1)

C=2𝜇 D= 517.37𝛼 E=2.87*1.435 𝑅

F= 𝐴𝑚 2

𝐵

𝐴= 𝐶

𝐷(0.3812 − 𝑟𝑖 2 ) +𝐹 𝐸(0.381 − 𝑟𝑖)(0.381 + 𝑟𝑖) 0.381 𝑙𝑛 𝑟𝑖 ( )

Utilizando calculadora Casio fx3—570plus (solve) ri=0.133 m El espesor de la torta 𝑥 = 𝑟2 − 𝑟𝑖 =0.381 m - 0.133m=0.248m