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Filosofia della matematica

Filosofia della matematica « Solo con lo zaino colmo di filosofia posso scalare l'enorme montagna della matematica. » (Ludwig Wittgenstein)

La filosofia della matematica è la branca della filosofia che cerca di dare risposta a domande quali: "perché la matematica è utile nella descrizione della natura?", "in quale senso, se se ne trova uno, le entità matematiche (in particolare i numeri) esistono?" "perché e in che modo gli enunciati matematici sono veri?". In questo articolo sono presentati i vari approcci che vengono seguiti per rispondere a questioni come le precedenti.

Relazione con la filosofia in generale Alcuni filosofi della matematica considerano come loro compito quello di rendere conto della matematica e della pratica della matematica così come si presentano, fornendo una loro interpretazione piuttosto che una loro critica. D'altra parte le critiche possono avere ramificazioni importanti per la pratica della matematica e quindi la filosofia della matematica può presentare un interesse diretto per il lavoro del matematico. Questo vale in particolare per i nuovi settori nei quali il processo della revisione paritaria delle dimostrazioni matematiche non ha ancora carattere consolidato rendendo rilevante la probabilità che sfugga qualche errore. Si possono contenere questi errori capendo in quali situazioni risulta più probabile incorrano. Questa è considerata una delle principali preoccupazioni della filosofia della matematica. Più recentemente alcuni suoi studiosi hanno anche cercato di collegare la matematica agli interessi generali della filosofia, in particolare all'epistemologia e all'etica. Queste tendenze sono trattate alla fine di questo articolo.

Perché la matematica funziona? Nella filosofia della matematica si individuano parecchie scuole o tendenze, che primariamente si impegnano su questioni di metafisica come quelle relative ai due seguenti interrogativi collegati ma logicamente distinti: "Perché la matematica funziona?" e "Per quale ragione la matematica spiega così bene il mondo fisico come noi lo vediamo?" All'inizio del XX secolo sono sorte tre scuole, intuizionismo, logicismo e formalismo, per rispondere alla crescente e diffusa consapevolezza che la matematica (come era allora configurata), e in particolare l'analisi, non era all'altezza degli standard di certezza e rigore che erano stati proclamati poco giustificatamente. Ciascuna delle tre scuole si rivolge ai temi che vengono alla ribalta in quel periodo, o per cercare di risolverli, o per dichiarare che la matematica non merita lo status di conoscenza più degna di fede. Con lo svanire della fiducia nella certezza, l'originario problema dei fondamenti nella matematica ("quale branca della matematica è quella dalla quale derivano tutte le altre?") viene modificandosi in una esplorazione aperta dei fondamenti della matematica e della dipendenza condivisa con certi concetti centrali come l'ordine, per giungere alla fine al sottocampo della metamatematica che si presenta semplicemente come "matematica utile per costruire una metafisica di carattere aperto riguardante la matematica". Nelle tre sezioni che seguono vengono presentate separatamente le tre scuole e i loro presupposti.

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Realismo matematico, ovvero platonismo Il realismo matematico sostiene che le entità matematiche esistono indipendentemente dalla mente umana. Quindi gli umani non inventano la matematica, ma piuttosto la scoprono, e ogni altro essere intelligente dell'universo presumibilmente farebbe lo stesso. Per questa posizione spesso si usa il termine platonismo in quanto essa si avvicina molto al credere di Platone in un "mondo delle idee", una realtà superiore immutabile che il mondo che ci si presenta quotidianamente può approssimare solo imperfettamente. Probabilmente la concezione di Platone deriva da Pitagora e dai suoi seguaci, i pitagorici, che pensavano che il mondo fosse, letteralmente, fatto di numeri. Questa idea può avere origini ancor più antiche che ci sono sostanzialmente sconosciute. Molti matematici militanti sono realisti per quanto riguarda la matematica e si Un busto di Platone vedono come degli scopritori. Due esempi famosi sono Paul Erdös e Kurt Gödel. Sono state suggerite motivazioni psicologiche per questa preferenza: sembra molto duro impegnarsi per lunghi periodi in investigazioni sopra entità nella cui esistenza non si crede con una certa fermezza. Gödel credeva in una realtà matematica obiettiva che potrebbe essere percepita in un modo analogo alla percezione dei sensi. Certi principi (ad es., per ogni due oggetti matematici, esiste una collezione di oggetti costituita precisamente da quei due oggetti) potrebbero essere direttamente considerati come veri, ma alcune congetture, come l'ipotesi del continuo, potrebbero dimostrarsi indecidibili proprio sulla base di tali principi. Gödel suggerisce che si potrebbe usare una metodologia quasi empirica per fornire una evidenza sufficiente a renderci capaci di assumere ragionevolmente una tale congettura. Il maggiore problema che incontra il realismo matematico può formularsi con le seguenti richieste: "Dove e come precisamente esistono le entità matematiche? Esiste un mondo completamente separato dal nostro mondo fisico che è occupato dalle entità matematiche? Come si può accedere a questo mondo separato e scoprire le verità relative alle entità matematiche?" Le risposte di Gödel e di Platone a ciascuna di queste questioni sono oggetto di molte critiche. Una importante argomentazione a favore del realismo matematico, formulata da W. V. Quine e Hilary Putnam, è detto Argomento di indispensabilità: la matematica è indispensabile per tutte le scienze empiriche, e se vogliamo credere nella realtà dei fenomeni descritti dalle scienze, dobbiamo credere anche nella realtà delle entità richieste per la loro descrizione. Secondo le posizioni filosofiche generali di Quine e Putnam, questo è un argomento naturalistico. Esso sostiene l'esistenza delle entità matematiche come la migliore spiegazione per l'esperienza, spogliando in tal modo la matematica di parte del suo status epistemico. Gran parte delle forme di logicismo (v. qui di seguito) sono forme di realismo matematico. Per una filosofia della matematica che cerca di colmare alcune delle insufficienze degli approcci di Quine e Gödel mantenendo alcuni aspetti di ciascuno dei due si veda l'opera di Maddy dal titolo Realismo in matematica. L'intuizionismo è il classico esempio di filosofia antirealista della matematica. Putnam ha aspramente rifiutato il termine "platonista" in quanto implica una ontologia di copertura specifica che non risulta necessaria per la pratica della matematica in alcun senso reale. Egli ha sostenuto una forma di "realismo puro" che respinge nozioni mistiche di verità e accetta molto quasi empirismo in matematica. Putnam ha contribuito a coniare il termine "realismo puro" (vedi oltre). Un esempio di teoria che abbraccia il realismo e respinge il platonismo è la teoria della mente incorporata (vedi oltre).

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Formalismo Il formalismo sostiene che gli enunciati matematici possono essere pensati come affermazioni intorno alle conseguenze di certe regole di manipolazione di stringhe. Per esempio la geometria euclidea viene considerata come un "gioco" che si basa sopra alcune stringhe chiamate "assiomi" e alcune "regole di inferenza" e consiste nel generare nuove stringhe dalle stringhe date mediante le regole; in tale gioco si può dimostrare il teorema di Pitagora, cioè si riesce a generare una stringa che corrisponde al suo enunciato. Secondo alcune versioni del formalismo, la materia soggetto della matematica è data, letteralmente, dagli stessi simboli scritti. Dunque ogni gioco del genere precedente è ugualmente accettabile e in matematica si possono solo giocare questi giochi, non dimostrare loro proprietà. Sfortunatamente, questo atteggiamento non risolve i problemi epistemici (Cosa sono i simboli? Esistono in qualche mondo eterno e immutabile?), non spiega la utilità della matematica e rende la matematica un'attività marcatamente spuria. Questa versione del formalismo non è ampiamente accettata. Una seconda versione del formalismo viene spesso chiamata deduttivismo. Nel deduttivismo il teorema di Pitagora non è una verità assoluta, ma una relativa: se si assegna un significato alle stringhe tale che le regole del gioco diventano vere (cioè si assegnano agli assiomi affermazioni vere e se le regole di inferenza conservano la verità), allora si deve accettare il teorema, o piuttosto, la interpretazione che gli si è data deve essere un'affermazione vera. Lo stesso si sostiene essere vero per tutti gli altri enunciati matematici. Quindi questo formalismo non deve significare che la matematica è niente di più di un gioco simbolico senza significato. In genere si spera che esista qualche interpretazione nella quale le regole del gioco abbiano valore. Ma questo consente al matematico al lavoro di continuare nella sua opera e di demandare questi problemi al filosofo o allo scienziato che di essi si vuole occupare. Molti formalisti direbbero che in pratica i sistemi di assiomi da studiare saranno suggeriti dalle richieste della scienza o da altre aree della stessa matematica.

David Hilbert nel 1886

‎Il maggiore dei primi proponenti del formalismo fu David Hilbert, il cui progetto (programma di Hilbert) era una completa e consistente assiomatizzazione di tutta la matematica. ("Consistente" qui significa che dal sistema non si può derivare alcuna contraddizione.) Hilbert intendeva mostrare la consistenza dei sistemi matematici a partire dall'assunzione che fosse consistente la cosiddetta "aritmetica finitaria", un sottosistema della usuale aritmetica degli interi naturali, scelta in quanto non soggetta a controversie filosofiche. Il programma di Hilbert ha ricevuto un colpo mortale dal secondo teorema di incompletezza di Gödel, il quale stabilisce che ogni sistema di assiomi sufficientemente espressivo non può mai dimostrare la propria consistenza. Dato che ciascuno di questi assiomi conterrebbe l'aritmetica finitaria, il teorema di Gödel implica che sarebbe impossibile dimostrare la consistenza del sistema a partire da quella dell'aritmetica finitaria (in quanto di conseguenza riuscirebbe a dimostrare la propria consistenza, cosa che Gödel ha dimostrato essere

impossibile). Hilbert inizialmente fu un deduttivista, ma, come può essere chiaro da quanto sopra, egli riteneva che certi metodi metamatematici conducono a risultati intrinsecamente significativi ed era realista nei confronti della aritmetica finitaria. Più tardi si convinse che non ci fosse alcuna altra matematica significativa, quale che fosse l'interpretazione. I formalisti più moderni, come Rudolf Carnap, Alfred Tarski e Haskell Curry, hanno considerato la matematica la investigazione dei sistemi formali di assiomi. I cultori della logica matematica studiano i sistemi formali ma sono in ugual numero platonisti e formalisti. I formalisti in genere sono molto tolleranti e invitanti verso nuovi approcci alla logica, i sistemi numerici non-standard, le nuove teorie degli insiemi ecc. Tanti più giochi di deduzione studiamo, tanto meglio. Tuttavia per tutti i tre esempi citati la motivazione è tratta dalla matematica esistente o da preoccupazioni filosofiche. I "giochi"

Filosofia della matematica che si studiano approfonditamente non sono mai scelti ad arbitrio. Il maggiore problema che incontra il formalismo sta nel fatto che le idee matematiche delle quali si occupano effettivamente i matematici (ad esclusione di alcuni specialisti), sono ben distanti dai dettagli dei giochi di manipolazioni di stringhe invocati all'inizio di questa posizione filosofica. Anche se le dimostrazioni pubblicate (quando sono corrette) in linea di principio potrebbero essere formulate in termini di successioni di stringhe via via inferite, le regole di inferenza certamente non hanno un ruolo sostanziale nella creazione iniziale di queste dimostrazioni. Il formalismo inoltre non si pronuncia sulla questione di quali sistemi di assiomi si dovrebbero studiare.

Logicismo Il logicismo sostiene che la logica sia il giusto fondamento della matematica e che tutti gli enunciati matematici siano verità logiche. Ad esempio l'affermazione "Se Socrate è umano e ogni umano è mortale, allora Socrate è mortale" è una verità necessariamente logica. Per un logicista tutti gli enunciati matematici sono precisamente di questo genere; essi sono verità analitiche o tautologie. Il logicismo è stato fondato da Gottlob Frege. Nella sua opera seminale Die Grundgesetze der Arithmetik (Le leggi fondamentali dell'aritmetica) costruisce l'aritmetica da un sistema logico che comprendeva la cosiddetta V legge di base: "Dati i concetti F e G, l'estensione di F coincide con l'estensione di G se e solo se per tutti gli oggetti a, Fa se e solo se Ga". Frege assunse che questo principio fosse accettabile come parte della logica. Ma la costruzione di Frege presentava delle pecche. Bertrand Russell ha scoperto, in relazione al paradosso di Russell, che la V legge di base è inconsistente. Frege dopo questo rilievo ha abbandonato il suo programma logicista; questo però è stato proseguito da Russell e Alfred North Whitehead. Essi hanno attribuito al paradosso una "circolarità viziosa" e per trattare situazioni di questo genere hanno costruito una elaborata teoria dei tipi ramificati. In questo sistema essi sono riusciti a costruire gran parte della matematica del loro tempo ma in una forma lontana dalla usuale ed eccessivamente complessa; ad esempio i numeri sono entità diverse per ogni tipo e quindi esistono numeri di infiniti tipi. Inoltre Russel e Whitehead per riuscire a sistemare una parte estesa della matematica hanno dovuto raggiungere vari compromessi, come l'adozione di un "assioma di riducibilità", quando anche Russell riconosceva che tale assioma non appartiene realmente alla logica. Gli odierni sostenitori del logicismo sono tornati a un programma più vicino a quello di Frege. Hanno abbandonato la V legge di base in favore di principi di astrazione come il principio di Hume: "Il numero di oggetti che cadono sotto il dominio di F uguaglia il numero di quelli che cadono sotto il dominio di G se e solo se l'estensione di F e quella di G possono essere poste in corrispondenza biunivoca". La V legge di base era stata necessaria a Frege per riuscire a dare una definizione esplicita dei numeri, ma tutte le loro proprietà si possono derivare dal principio di Hume. Questo non sarebbe stato sufficiente per Frege in quanto (per parafrasarlo) esso non esclude la possibilità che sia Giulio Cesare = 2.

Costruttivismo e intuizionismo Queste scuole asseriscono che solo le entità matematiche che possono essere costruite esplicitamente hanno diritto di essere considerate esistenti e solo esse dovrebbero essere oggetto del discorso matematico. Una tipica citazione in questo senso viene da Leopold Kronecker: "I numeri naturali provengono da Dio, tutto il resto è opera dell'uomo". Il maggiore sostenitore dell'intuizionismo fu L.E.J. Brouwer, che ha proposto una nuova logica differente dalla classica logica aristotelica; questa logica intuizionistica non contiene il principio del terzo escluso e quindi rifiuta la dimostrazione per assurdo. Anche l'assioma della scelta viene rifiutato. Per questa posizione filosofica è stato importante il lavoro svolto dagli anni 1960 fino al 1985 da Errett Bishop finalizzato alla stesura delle versioni dei più importanti teoremi dell'analisi reale ammissibili nel quadro dell'intuizionismo.

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Filosofia della matematica Una critica rivolta all'intuizionismo riguarda il fatto che il termine "costruzione esplicita" non viene definito in modo del tutto chiaro. Sono stati fatti tentativi di eliminazione di questa mancanza utilizzando i concetti di macchina di Turing o di funzione ricorsiva, giungendo a sostenere che per la matematica sono significative e degne di investigazione solo le questioni riguardanti il comportamento degli algoritmi finiti. Questo ha condotto allo studio dei numeri computabili, entità introdotte da Alan Turing.

Teorie della mente incorporata Queste teorie sostengono che il pensiero matematico è un prodotto naturale dell'apparato cognitivo umano che si trova nel nostro universo fisico. Per esempio il concetto astratto di numero deriva dall'esperienza del contare oggetti discreti. Si sostiene anche che la matematica non è universale e non possiede una sua esistenza in senso reale, al di fuori del cervello umano. Gli umani costruiscono la matematica, non la scoprono. L'universo fisico viene quindi visto come il fondamento ultimo della matematica; esso ha guidato l'evoluzione del cervello e successivamente ha determinato quali questioni questo cervello considera degne di investigazione. Tuttavia la mente umana non avanza pretese sulla "realtà" o sugli approcci alla realtà costruita mediante la matematica. Se un costrutto come l'identità di Eulero, è "vero", è tale in quanto mappa della mente umana e della cognizione, non in quanto mappa di qualcosa che la mente è in grado di "vedere". Si spiega quindi facilmente l'efficacia della matematica: questa disciplina è stata costruita dal cervello al fine di costituire uno strumento efficace in questo nostro universo. La trattazione più accessibile, famosa e infamata di questa prospettiva è Where Mathematics Comes From (Da dove proviene la matematica) di George Lakoff e Rafael E. Núñez. Questo libro è stato pubblicato per la prima volta nel 2000 e dovrebbe essere tuttora una delle sole trattazioni di questa prospettiva. Per saperne di più sulla scienza che ha ispirato questa prospettiva, vedi Scienza cognitiva della matematica.

Costruttivismo sociale o realismo sociale Questa teoria vede la matematica primariamente come un costrutto sociale, come un prodotto di una cultura, soggetto a correzioni e cambiamenti. Come le altre scienze, la matematica viene vista come sforzo empirico i cui risultati sono costantemente confrontati con la 'realtà' e possono essere scartati se non si accordano con l'osservazione o si dimostrano privi di senso. La direzione della ricerca matematica viene dettata dalle mode del gruppo sociale che la pratica o dalle necessità della società che la finanzia. Tuttavia, sebbene queste forze esterne possono cambiare la direzione di qualche ricerca matematica, vi sono forti vincoli interni (la tradizione matematica, i metodi, i problemi, i significati e i valori entro i quali i matematici sono acculturati) i quali agiscono nella direzione della conservazione della disciplina definita storicamente. Questo va contro il convincimento tradizionale dei matematici militanti che la matematica sia in qualche modo pura o obiettiva. I costruttivisti sociali sostengono che la permanenza della matematica in effetti è fondata su molta incertezza: quando la pratica della matematica si evolve, lo status della matematica precedente è posto in dubbio e viene corretto nella misura richiesta o desiderata dalla comunità matematica corrente. Questo può vedersi nello sviluppo dell'analisi dal riesame del calcolo infinitesimale di Leibniz e Newton. I costruttivisti sostengono anche che alla matematica ben formalizzata spesso venga accordata una eccessiva considerazione, mentre alla matematica popolare ne verrebbe accordata troppo poca, per via di una fede eccessiva nelle pratiche della dimostrazione assiomatica e della revisione paritaria. La natura sociale della matematica è posta in evidenza nelle sue sottoculture. Si possono avere importanti scoperte in un'area della matematica che potrebbero essere rilevanti per un'altra area ma che in questa seconda area passano inosservate per la mancanza di contatto sociale fra i due gruppi di matematici. Ogni specialità forma la propria comunità epistemica e spesso incontra grandi difficoltà nel comunicare o nel motivare la ricerca di qualche congettura unificante che possa porre in collegamento la propria con altre aree della matematica.

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Filosofia della matematica I costruttivisti sociali vedono il processo del 'fare matematica' come effettiva creazione di significato, mentre i realisti sociali vedono una deficienza o della capacità umana di compiere astrazioni, o della propensione cognitiva umana, o della intelligenza collettiva come fattore che si oppone alla comprensione di un 'reale' universo di 'oggetti matematici'. I costruttivisti talora respingono anche la ricerca di fondamenti della matematica come destinata a fallire, come senza mordente o anche come mancante di senso. Alcuni scienziati sociali sostengono anche che la matematica non sia per nulla reale o obiettiva, ma risulti influenzata da eventuali vere e proprie forme di razzismo ed etnocentrismo. Alcune di queste idee sono vicine al postmodernismo. Contributi a questa scuola sono stati da Imre Lakatos e Thomas Tymoczko, sebbene non sia chiaro se essi approvino di essere chiamati costruttivisti. Più recentemente Paul Ernest ha formulato esplicitamente una filosofia costruttivista sociale della matematica. Alcuni ritengono che l'opera di Paul Erdös nel suo complesso abbia dato forza all'atteggiamento costruttivista (sebbene egli personalmente lo rifiutasse) a causa della eccezionalmente ampia cerchia delle sue collaborazioni che ha sollecitato molti altri a vedere e studiare la "matematica come una attività sociale", in particolare con l'attenzione prestata al numero di Erdős dei ricercatori. Questa attenzione ha fortemente influenzato il lavoro sulla misurazione della reputazione, ma ha avuto poca influenza sulla matematica come disciplina.

Oltre le "scuole" Invece di focalizzarsi su dibattiti circoscritti sopra la "vera natura" della verità matematica, o anche sulle pratiche peculiari dei matematici come la dimostrazione, un movimento cresciuto dagli anni 1960 agli anni 1990 ha cominciato a discutere l'idea di cercare "fondamenti" o di trovare ogni "buona risposta" alla domanda "perché la matematica funziona". Il punto di partenza di questo movimento è stato il famoso articolo di Eugene Wigner The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences pubblicato nel 1960, nel quale si sosteneva che la felice coincidenza dell'ottimo accordo fra matematica e fisica apparisse "irragionevole" e difficile da spiegare. A questa sfida sono pervenute risposte dalla scuola della mente incorporata (o scuola cognitiva) e dalla scuola "sociale". Bisogna tuttavia segnalare che i dibattiti sollevati non si riescono a ridurre a questi due soli.

Quasi-empirismo Una preoccupazione parallela che attualmente non si vuole contrapporre direttamente alle scuole ma critica la loro focalizzazione consiste nell'atteggiamento del quasi empirismo in matematica. Questo è derivato dalla affermazione sempre più condivisa sul finire del XX secolo che non sia possibile dimostrare l'esistenza di alcun fondamento della matematica. Questo atteggiamento talvolta viene chiamato 'postmodernismo nella matematica', anche se questo termine sia considerato da alcuni sovraccaricato e da altri come una sorta di insulto. Si tratta di una forma molto minimale di realismo/costruttivismo che ammette che i metodi quasi-empirici e anche talvolta metodi empirici possano far parte della moderna pratica della matematica. Come dimostrano gli studi etnoculturali della matematica, tali metodi hanno sempre fatto parte della matematica popolare e in molte circostanze hanno consentito di effettuare moli rilevanti di calcoli e di misurazioni. In effetti per molte culture questi metodi forniscono le sole nozioni di "dimostrazione" delle quali possono disporre. Hilary Putnam ha sostenuto che ogni teoria del realismo matematico dovrebbe includere metodi quasi empirici. Egli ha proposto che una specie aliena in grado di fare matematica potesse ragionevolmente basarsi primariamente su metodi quasi empirici, decidendo spesso di rinunciare alle "dimostrazioni" rigorose e assiomatiche, ma tuttavia riuscendo ancora a "fare della matematica", pur con qualche maggiore rischio di errori nei loro calcoli. Putnam ha sviluppato una argomentazione dettagliata in favore di questa posizione per il volume New Directions pubblicato nel 1998 e curato da Tymockzo.

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Matematica e azione Molti utenti della matematica e studiosi che non sono impegnati primariamente nelle dimostrazioni hanno fatto osservazioni interessanti e importanti sulla natura della matematica. Judea Pearl ha sostenuto che l'intera matematica come la si intende correntemente è stata basata su una algebra del vedere - e ha proposto una algebra del fare che la possa complementare - Questa è una preoccupazione centrale della filosofia dell'azione e di altri studi di come il "conoscere" si correli al "fare", o come la conoscenza si correli all'azione. La più importante conseguenza di queste considerazioni è la definizione di nuove teorie della verità, particolarmente degne di nota quelle appropriate per l'attivismo e per i fondamenti dei metodi empirici.

Unificazione con la filosofia La nozione di una filosofia della matematica separata dalla filosofia nel suo complesso disciplinare è stato criticato in quanto rischia di portare a "buoni matematici che fanno cattiva filosofia" - in quanto pochi filosofi sono sufficientemente esperti da comprendere le notazioni matematiche e la cultura matematica da riuscire a correlare le nozioni convenzionali della metafisica alle nozioni metafisiche più specializzate delle 'scuole' precedentemente presentate. Questo può condurre a una sconnessione in conseguenza della quale i matematici continuano a produrre della cattiva e screditata filosofia finalizzata a giustificare una la loro Weltanschauung capace di valorizzare il loro lavoro. Sebbene le teorie sociali, il quasiempirismo e, specialmente, la teoria della mente incorporata abbiano focalizzato maggiormente l'attenzione sulla epistemologia implicata dalle correnti pratiche della matematica, queste tendenze non riescono a collegare tali pratiche alla ordinaria percezione umana e alla comprensione quotidiana della conoscenza.

Etica L'etica del fare matematica è un argomento che ha ricevuto ben poca considerazione. In una cultura tecnologica la matematica è vista come una assoluta necessità il cui valore non può essere messo in discussione e le cui implicazioni non possono essere evitate. Occorre peraltro osservare che particolari branche della matematica non hanno finalità note o sono considerate utili primariamente per sostenere conflitti: ne sono esempi la crittografia e la steganografia che servono per conservare dei segreti e la matematica volta ad ottimizzare le reazioni di fissione nucleare nelle bombe H. Mentre molti ritengono che i fisici portano qualche responsabilità morale per attività di questo genere, pochi hanno voluto rivolgere analoghe critiche ai matematici. Alcune di queste critiche sono state esplorate nell'ambito della sociologia della conoscenza, ma in generale la matematica stessa ha evitato di essere sottoposta ai giudizi cui vengono spesso sottoposte scienze come fisica, economia, genetica e medicina. Questa assenza di critiche è interessante in sé, in quanto la matematica è necessaria per l'avanzamento di queste e di altre scienze. Ad esempio la psicologia evolutiva ha preso in considerazione l'idea "la mente è un computer", questo a sua volta schematizzabile con una macchina di Turing. Bisognerebbe chiedersi quali sono le implicazioni dell'adozione di una astrazione originata dalla necessità di spiegare formalmente il computer al fine di spiegare la mente umana. Un contributo importante è la teologia di Papa Giovanni Paolo II, la cui enciclica "Fides et ratio" ("Fede e ragione"), tenta di tracciare un confine etico tra l'applicabilità delle previsioni matematiche, e quella dell'amore umano e della fede derivata da Dio. Questa non sembra un'affermazione stravagante data la storia del campo, e in effetti potrebbe essere l'opinione maggioritaria.

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Estetica Precise critiche sono rivolte all'idea, considerata ristretta, che la matematica sia essenzialmente la scienza della misurazione e una ampia raccolta di accorgimenti molto attendibili in grado di ridurre le necessità di effettuare misure dirette e di semplificare i calcoli. Alcune scuole di pensiero attribuiscono alla matematica più significato di questa "mera" utilità, cercando talora nelle astrazioni una guida morale oppure l'estetica della verità e della bellezza. Altri considerano questi atteggiamenti sintomi di scientismo. Si ritiene che la filosofia della matematica sia una sottodisciplina che chiede solo o prevalentemente "perché la matematica funziona?" presumendo che essa effettivamente funzioni in un senso sociale o biologico, in contrapposizione con il senso stretto della fisica. Questo punto di vista è considerato inappropriato, come, per fare un esempio, quello di una filosofia delle armi o della guerra separata da una filosofia di un più ampio contesto (sociale, della specie o planetario) di questi fenomeni. In genere i matematici militanti respingono questa questione come "irrilevante" va però osservato che queste sono proprio le persone la cui estetica della dimostrazione e del rigore è stata sempre accettata; quindi essi praticano una autoselezione secondo una particolare estetica, e la diffondono con pochi vincoli, specialmente nei settori della matematica non immediatamente applicata a problemi concreti.

Linguaggio Come ultimo tema, sebbene molti dei matematici e dei filosofi, forse la loro maggioranza, accetti l'enunciato "la matematica è un linguaggio", viene posta poca attenzione alle implicazioni di tale affermazione. La linguistica non viene applicata ai discorsi o ai sistemi di simboli della matematica, cioè la matematica viene studiata in un modo molto differente da come vengono esaminati gli altri linguaggi. La capacità di acquisire conoscenze matematiche e competenza nel loro utilizzo (la numeracy in inglese), viene vista come separate dalla alfabetizzazione e dalla acquisizione di un linguaggio naturale. Alcuni sostengono che questa separazione è dovuta ai fallimenti non della filosofia della matematica, ma della linguistica e dello studio della grammatica naturale. Questi campi, essi affermano, non sono abbastanza rigorosi e la linguistica avrebbe la necessità di controllare maggiormente i suoi materiali. Ma una tale posizione implica che la matematica sia inerentemente superiore a tutte le altre conoscenze, ad esempio alla saggezza ecologica maturata da una cultura di gente che vive a contatto con la terra. Gli standard di rigore variano con i diversi linguaggi, ma "maggior rigore" può non significare "meglio". Secondo altri, queste indagini più "linguistiche" dovrebbero essere collocate nell'ambito dell'informatica, la cui analisi dei linguaggi di programmazione sarebbe spesso ugualmente applicabile alla matematica o almeno ad una parte della metamatematica. Su questi argomenti vedi anche: educazione al linguaggio e filosofia del linguaggio.

Bibliografia Periodici • Philosophia Mathematica journal [1] • The Philosophy of Mathematics Education Journal homepage [2]

Articoli • Thomas Tymoczko (1998 edition) "New Directions in the Philosophy of Mathematics" [3] • Eugene Wigner (1960) The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences [4], Communications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, No. I, February, New York: John Wiley & Sons. • The Utility of Mathematics [5]

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Filosofia della matematica • Carlo Cellucci (2010) Matematica e filosofia della matematica: presente e futuro, La Matematica nella Società e nella Cultura. Serie I, Vol II, Agosto 2010, 201-234

Testi introduttivi • Shapiro, Stewart (2000). Thinking about mathematics: The philosophy of mathematics. Oxford: Oxford University Press

Altri libri • • • • • •

1830-1842 Auguste Comte: Cours de philosophie positive, Paris 1908 Henri Poincaré: Science et méthode, Flammarion 1910 Ernst Cassirer: Substanzbegriff und Funktionsbegriff, 1945 Bertrand Russel: A history of Western phylosophy, Simon & Schuster 1949 Hermann Weyl: Philosophy of Mathematics and Natural Science, Princeton University Press 1960 Eugene Wigner: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in Natural Sciences, Comm. on Pure and Appl. Math., 13 pp. 1–14 • 1962 Jean Cavaillès: Phylosophie mathématique, Hermann • 1970 Thomas Samuel Kuhn: The structure of scientific revolutions, 2nd ed., University of chicago Press • • • • • •

1977 S. Körner: The phylosophy of Mathematics, Hutchinson University Press 1978 Imre Lakatos: Mathematics, Science, and Epistemology, Cambridge University Press 1979 Hilary Putnam: What is mathematical truth?, Philosophical Papers (2nd ed.) V. 1 pp. 60–78 1981 Morris Kline: Mathematics, the loss of certainty, Oxford University Press 1982 René Thom: L'aporia fondatrice delle matematiche, Enciclopedia Einaudi, V. 15 pp. 1133 – 1146 1983

• • • • • • •

• Karl Popper: Realism and the aim of science, Hutchinson • Benacerraf, P. and Putnam, H. (eds.), Philosophy of Mathematics: Selected Readings, 2nd edition, Cambridge: Cambridge University Press 1984 Robert Goldblatt: Topoi, A Categorial Analysis of Logic, North Holland 1985 Morris Kline: Mathematics and the search for knowledge, Oxford University Press 1986 Saunders MacLane: Mathematics: Form and Function, Springer 1989 Stewart Shapiro: Logic, Ontology, Mathematical Practice, Synthese, V. 79 1990 Charles Chihara: Constructibility and Mathematical Existence, Clarendon Press, Oxford 1991 Imre Toth: La rivoluzione non euclidea come rivoluzione etico politica Intervista [6] 1992

• George Lakoff, Rafael E. Numez: Where mathematics comes from: How the embodied mind brings mathematics into being, Basic Books • Leo Corry: Nicholas Bourbaki and the Concept of Mathematical Structure, Synthese, V. 92 • 1994 Richard Stefanik: Structuralism, Category Theory and Philosophy of Mathematics, Pagina web [7] • 1998 • Thomas Tymoczko: New Directions in the Philosophy of Mathematics: An Anthology (Revised and expanded edition), Princeton University Press • Gregory Chaitin: The limits of mathematics, Springer • Paul Ernest: Social constructivism as a philosophy of mathematics, State University of New York Press. • Alexandre George (editor), Mathematics and Mind (1994), Oxford University Press, Oxford ISBN 0-19-507929-9

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Filosofia della matematica

Collegamenti esterni • (EN) Filosofia della matematica [8] su Open Directory Project ( Segnala [9] su DMoz un collegamento pertinente all'argomento "Filosofia della matematica")

• (EN) R.B. Jones' philosophy of mathematics page [10] • (EN) Philosophy of Real Mathematics Blog [11] • Matematica come linguaggio [12]

Note [1] http:/ / philmat. oxfordjournals. org/ [2] http:/ / www. ex. ac. uk/ ~PErnest/ [3] http:/ / pup. princeton. edu/ titles/ 6172. html [4] http:/ / www. dartmouth. edu/ ~matc/ MathDrama/ reading/ Wigner. html [5] http:/ / catb. org/ ~esr/ writings/ utility-of-math/ [6] http:/ / www. emsf. rai. it/ interviste/ interviste. asp?d=335 [7] http:/ / www. mmsysgrp. com/ strctcat. htm [8] http:/ / www. dmoz. org/ Society/ Philosophy/ Philosophy_of_Science/ Philosophy_of_Mathematics/ [9] http:/ / www. dmoz. org/ cgi-bin/ add. cgi?where=Society/ Philosophy/ Philosophy_of_Science/ Philosophy_of_Mathematics/ [10] http:/ / www. rbjones. com/ rbjpub/ philos/ maths/ index. htm [11] http:/ / www. dcorfield. pwp. blueyonder. co. uk/ blog. html [12] http:/ / digilander. libero. it/ matemfilos

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Fonti e autori delle voci

Fonti e autori delle voci Filosofia della matematica  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41434231  Autori:: A.san, Airon90, Alberto da Calvairate, AttoRenato, Carlo.Ierna, Civvì, Colom, Corradinho, Domenico De Felice, Filos96, Gacio, Guidomac, Hellis, Iaia87, Jalo, Km, Laurentius, Laurusnobilis, MIX, MLWatts, Madaki, Marius, MartinoK, Nick, Pokipsy76, Pracchia-78, Qualc1, Salesvery, Snowdog, Truman Burbank, Ylebru, 34 Modifiche anonime

Fonti, licenze e autori delle immagini File:Plato Pio-Clemetino Inv305.jpg  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Plato_Pio-Clemetino_Inv305.jpg  Licenza: Public Domain  Autori:: User:Jastrow File:David Hilbert 1886.jpg  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:David_Hilbert_1886.jpg  Licenza: Public Domain  Autori:: Darapti, Magnus Manske, Matt314, Wouterhagens, Zwikki, 3 Modifiche anonime

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