FIGURAS DE LISSAJOUS.docx

CONTENIDO

1. DEFINICIÓN DE CURVAS DE LISSAJOUS. En matemáticas, una curva de Lissajous, también conocido como figura de Lissajous o curva de Bowditch, es la gráfica de un sistema de ecuaciones paramétricas que describen movimiento armónico complejo. Esta familia de curvas se investigó por Nathaniel Bowditch en 1815, y más tarde con más detalle por Jules Antoine Lissajous en 1857. La aparición de la figura es muy sensible a la relación a/b. Para una relación de 1, la figura es una elipse, con casos especiales, incluyendo los círculos y las líneas. Otra figura de Lissajous simple es la parábola. Otras relaciones producen curvas más complicadas, que se cierran si a/b es racional. La forma visual de estas curvas es a menudo sugerente de un nudo en tres dimensiones, y de hecho muchos tipos de nudos, incluyendo los conocidos como nudos de Lissajous, proyecto al plano como figuras de Lissajous. 2. RESEÑA HISTORICA DE LAS FIGURAS DE LISSAJOUS. Las figuras de Lissajous fueron descubiertas por el astrónomo y matemático americano Nathaniel Bowditch in 1815 cuando estudiaba el movimiento del péndulo compuesto. Bowditch (1773-1838) fue un científico autodidacta, capitán de un navío mercante, presidente de una compañía de seguros, actuario de la Compañía de Seguros del Hospital de Boston, y presidente de la Academia Americana de las Artes y las Ciencias. Autor de numerosos trabajos científicos, es recordado principalmente por su libro “The New American Practical Navigator”, que fue adoptado por el Departamento Americano de la Marina de Estados Unidos. Jules Antoine Lissajous (18221880) fue un físico francés que, independientemente de Bowditch, estudió ampliamente las curvas que llevan su nombre en sus investigaciones sobre Óptica.

3. DEFINICIÓN DE FIGURAS DE LISSAJOUS. Una figura de Lissajous es la trayectoria de un punto móvil cuyas coordenadas

rectangulares son movimientos armónicos simples. La

ecuación de un movimiento armónico simple es x = a·cos(ω t + j) donde t es el tiempo y las constantes a, ω, y j son la amplitud, la frecuencia, y la fase respectivamente. Las ecuaciones paramétricas de las figuras de Lissajous son por tanto: x = a · sen (ω t + d) y = b · sen ( t ) Las constantes a y b determinan el tamaño de la curva mientras que su forma depende de la razón de sus frecuencias. Si las frecuencias son iguales, la curva es o una elipse o un segmento, ocurriendo este caso si la diferencia de fases es un múltiplo de π. Esta propiedad puede usarse para estudiar una señal desconocida. Si aplicamos la señal desconocida al eje vertical de un osciloscopio y entonces variamos la frecuencia horizontal, cuando el osciloscopio muestre una elipse hemos determinado la señal de la frecuencia.

4. MEDICIÓN DE FRECUENCIAS CON LAS FIGURAS DE LISSAJOUS. Componemos dos señales de direcciones perpendiculares y de distinta frecuencia angular x, y y .Supondremos que ambas señales tiene la misma amplitud A y el desfase d puede ser cualquier valor

x=A·sen(x ·t) y=A·sen(y ·t+d)

La relación de frecuencias angulares se puede obtener a partir del número de tangentes de la trayectoria en el lado vertical y en el lado horizontal.

5. APLICACIONES PRÁCTICA DE LA FIGURAS DE LISSAJOUS. Las Curvas de Lissajous también se pueden generar utilizando un osciloscopio. Un circuito de pulpo se puede utilizar para demostrar las imágenes de forma de onda en un osciloscopio. Dos desfasadas entradas sinusoidales se aplican al osciloscopio en el modo XY y la relación de fase entre las señales se presentan como una figura de Lissajous. En un osciloscopio, suponemos que x es CH1 y Y es CH2, A es la amplitud de CH1 y B es la amplitud de CH2, a es una frecuencia de CH1 y b es la frecuencia de CH2, por lo que a/b es una relación de frecuencia de dos canales, finalmente, d es el desplazamiento de fase de CH1. Una aplicación puramente mecánica de una curva de Lissajous con a = 1, b = 2 se encuentra en el mecanismo de accionamiento del tipo de luz de Marte oscila Luces de populares con los ferrocarriles a mediados de la década de 1900. El haz en algunas versiones traza una figura-8 desequilibrado patrón con el "8" acostado de lado. ¿Qué sucede cuando a es igual a b? Cuando la entrada a un sistema LTI es sinusoidal, la salida es sinusoidal con la misma frecuencia, pero puede tener una amplitud diferente y algo de cambio de fase. El uso de un osciloscopio que puede trazar una señal contra otro para trazar la salida de un sistema LTI contra la entrada al sistema LTI produce una elipse que es una figura de Lissajous para el caso especial de a = b. La relación de aspecto de la elipse resultante es una función del desplazamiento de fase entre la entrada y la salida, con una relación de aspecto de 1 que corresponde a un desplazamiento de fase y de una relación de aspecto de la correspondiente a un desplazamiento de fase de 0 o 180 grados. La siguiente figura resume cómo cambia la figura de Lissajous más diferentes cambios de fase. Los desplazamientos de fase son todos negativos por lo que la semántica de retardo se puede utilizar con un

sistema LTI causal. Las flechas muestran la dirección de rotación de la figura de Lissajous.

6. APLICACIONES REALES DE LAS FIGURAS DE LISSAJOUS. Figuras de Lissajous se utilizan a veces en el diseño gráfico como logos. Algunos ejemplos son: 

Secuencia del título The Alfred Hitchcock película Vértigo está basada en las figuras de Lissajous



La Australian Broadcasting Corporation



El Laboratorio Lincoln del MIT



La Universidad de Electro-Comunicaciones, Japón.

En informática, las figuras de Lissajous son algunos protectores de pantalla.

7. ALGUNAS REPRESENTACIONES GRAFICAS DE LAS FIGURAS DE LISSAJOUS.

8. PROCEDIMIENTO PRÁCTICO EN EL LABORATORIO. CALCULO DE LA FRECUENCIA DE UNA SEÑAL DESCONOCIDAD CON LAS FIGURAS DE LISSAJOUS EN CORRIENTE ALTERNA Y EL OSCILOSCOPIO CON FRECUENCIA CONOCIDA (60 MHZ).

1. Generamos una señal Sinusoidal con el generador de Frecuencias. 2. Ajustamos la Amplitud de la Señal. 3. Conectamos el osciloscopio al generador y visualizamos los puntos de tangencia de las curvas mostradas haciendo variar la perilla del generador de frecuencias, teniendo en cuenta que el osciloscopio debe estar en modo dual para poder ver las dos señales. 4. Una contados los puntos de tangencia usar la siguiente ecuación:

Y luego Multiplicar el valor de fracción obtenido por el valor de la frecuencia conocido. Leyéndose esta relación fraccionaria como x

a

y, es decir, si x = 2 y y =1se lee “2 a 1”. Y su representación gráfica seria la siguiente:

INTRODUCCIÓN

El hombre en la búsqueda siempre en el ¿Por qué de las cosas? para poderle darle las soluciones matemáticas y las explicaciones científicas a los hechos o fenómenos que ocurren en este planeta, a lo largo de toda la historia de la humanidad en esa búsqueda encontramos al Astrónomo, Matemático Nathaniel Bowditch que en 1815 descubrió las Hoy Llamadas Figuras de Lissajous que llevan el nombre el físico Francés Jules Antoine Lissajous (1822-1880), ya que fue el que independientemente de Bowditch las estudio a fondo y las analizo a profundidad en sus estudios de óptica por ese motivo llevan su nombre. Siguiendo en esa búsqueda de ese ¿Por qué? se presentó una interrogante luego del descubrimiento de la electricidad y con ello todo lo relacionado a esta, ¿Cómo podemos medir el ángulo y la frecuencia de dos señales alternas? ¿Qué aparato usar? ¿Cuál es el procedimiento?, a raíz de todas estas interrogantes Lissajous observo que el osciloscopio instrumento grafico que nos sirve para medir frecuencia y amplitud de señales en corriente alterna, también nos permitiría hacer esta medición con una simple relación “X es a Y”, y luego multiplicarla por la frecuencia estándar conocida para así obtener los valores de las frecuencias desconocidas por tales motivos este presente trabajo tiene como principal objetivo el aprender el uso del osciloscopio para medir la frecuencia de una señal no conocida comparándola con la frecuencia generada en el transformador interno del mismo, para poder lograrlo se definirán que son las

figuras de Lissajous, se esbozara una breve reseña histórica de las mismas, sus aplicaciones prácticas y reales, algunas de sus representaciones gráficas y por ultimo un procedimiento de laboratorio para poner en practica todo lo aprendido. Teniendo como objetivos segundarios el aprendizaje para futuras mediciones de frecuencia de señales alternas desconocidas y por ultimo afianzar los conocimientos en la práctica de la Ingeniería eléctrica e electrónica dentro de nuestro campo profesional.

INDICE PRESENTACIÓN. INDICE. INTRODUCCÓN. CONTENIDO. 1. DEFINICIÓN DE CURVAS DE LISSAJOUS. 2. RESEÑA HISTORICA DE LAS FIGURAS DE LISSAJOUS. 3. DEFINICIÓN DE FIGURAS DE LISSAJOUS. 4. MEDICIÓN

DE

FRECUENCIAS

CON

LAS

FIGURAS

DE

LISSAJOUS. 5. APLICACIONES PRÁCTICA DE LA FIGURAS DE LISSAJOUS. 6. APLICACIONES REALES DE LAS FIGURAS DE LISSAJOUS. 7. ALGUNAS REPRESENTACIONES GRAFICAS DE LAS FIGURAS DE LISSAJOUS. 8. PROCEDIMIENTO PRÁCTICO EN EL LABORATORIO. CONCLUSIÓN BIBLIOGRAFÍA.

CONCLUSIÓN Al finalizar dicha investigación podemos afirmar que este trabajo nos sirvió para afianzar nuestros conocimientos en el uso del osciloscopio como herramienta que nos permite hacer mediciones exactas de la frecuencia de señales sinusoidales desconocidas generadas por un generador de frecuencia, dichas mediciones se realizaron con el procedimiento practico escrito en el último punto del contenido. Igualmente profundizamos en conocer más acerca de estas curvas o figuras de Lissajous tales como su definición, aplicación y como se usan en el la vida popular o real, siendo su algo muy interesante y útil para todos nosotros los estudiantes de ingeniería eléctrica e electrónica ya por ultimo nos preparó más para afrontar el mercado laboral con conocimientos solidos acerca de las materias primordiales y fundamentales de nuestra carrera.

BIBLIOGRAFÍA Web: 

www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/lissajous/lissajous.htm.

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fisica.udea.edu.co/~mpaez/lissajous/Fig2p.html.

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www.euclides.dia.uned.es/.../lissajous_es_Figuras_de_Lissajous.html.

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centrodeartigos.com/articulos-noticias.../article_145720.html.

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cef.uca.edu.sv/labsfisica/Figuras%20de%20Lissajous.pdf.

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es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Lissajous.

Textos: 

GUÍA PARA MEDICIONES ELECTRÓNICAS Y PRÁCTICAS DE LABORATORIO. Stanley Wolf, Richard F.M. Smith. 1992. Pag. 192.



CÁLCULO. Edwin Joseph Purcell, Steven E. Rigdon, Dale E. Varberg. 2007. Pág. 536.

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN MARACIBO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE ELECTRÓNICA LABORATORIO CIRCUITOS ELECTRICOS I

TRABAJO PRÁCTICO DE INVESTIGACIÓN “FIGURAS DE LISSAJOUS”

AUTORES: RUBIO, Robert. HUERTA, José. Profesor: Ing. José Moran.

MARACAIBO, ENERO 2.014

Sección: “A” Nocturno