Figuras de Lissajous Martines-1
December 11, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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FIGURAS DE LISSAJOUS 1. OBJETIVO GENERAL. Utilizar el formato XY del osciloscopio. 1.1. OBJETIVOS ESPECIFICOS. Medir el modulo del ángulo de fase y verificar la frecuencia de una señal senoidal por el método de figuras de Lissajous. Dibujar las figuras de Lissajous. Determinar diferencias porcentuales para variable a determinar. 2. FUNDAMENTO TEORICO.
Las figuras de Lissajous son el resultado de la composición de dos movimientos armónicos simples (MAS) según dos direcciones perpendiculares. Si denominamos a estas direcciones X e Y podemos describir sus trayectorias individuales como:
donde X 0 e Y 0 son las amplitudes de los MAS, f X y f Y son las frecuencias los MAS y δ es el desfase entre ambas MAS. Eliminando la variable tiempo en las expresiones anteriores se obtiene una ecuación de la trayectoria del tipo:
que corresponde a las figuras de Lissajous. En la figura se muestran las figuras de correspondientes a relaciones de frecuencias f X: fY sencillas (en distintas filas), para algunos desfases (en distintas columnas). En nuestra experiencia es la proyección del haz láser sobre la pantalla la que realiza esta composición de más en direcciones perpendiculares, siendo f X y f Y las frecuencias con las que vibran los espejos acoplados a los osciladores y δ el desfase entre ambos osciladores
Una figura de Lissajous es la trayectoria de un punto móvil cuyas coordenadas rectangulares son movimientos armónicos simples. Se dice que un punto sigue un movimiento vibratorio M.A.S cuando su posición en función del tiempo es una sinusoide. Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y enintervalos iguales de tiempo. Una partícula sometida a este tipo de movimiento tendrá un punto central, alrededor del cual oscilara Las curvas de Lissajous, es la gráfica del sistema de ecuaciones paramétricas correspondientes a la súper posición de movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares:
La trayectoria resultante dependerá de la relación de las frecuencias y de la diferencia de fase. Las curvas de Lissajous fueron investigadas por Nathaniel Browdictch en 1815 y después, con mayores detalles, por Jules Antoine Lissajous
La realización del experimento requiere de varios procesos en el cual, es necesario entender: Figura de Lissajous, es la representación gráfica en el plano X-Y de ecuaciones paramétricas que tienen la forma. X Y
X m sen x t
Y m sen y t
(1)
( 2)
En el osciloscop io se obtiene de la si siguie guiente nte manera : V x
V y
V xm sen x t
(3)
V ym sen y t
(4)
Se introduce al canal 1 V x y se traza en el eje horizontal de la pantalla (eje x) y V y se
introduce en el canal 2 y se traza en el eje vertical (eje y), la comb combinación inación
de los trazos de una representación de la figurade Lissajous. Caso I. Si en (3 ) y ( 4) V x
V y V y
V xm sen t V ym sen t V ym V x V xm
x
y
y
0 (5)
(6)
( 7)
La figura de Lissajous es una es una recta recta que pasa por el ori origen gen y tiene pendiente
V ym V xm
.
Caso II. Si en (3 ) y (4) V xm V x
V ym
V m
x
y
y
2
V m sen t (8)
V m sen t V m cos t (9) Elevando al cuadrado y sumando se tiene : V y V x
2
V y
2
V m
2
(10)
La figura de Liss Lissajous ajous es un circulo de radio V m .
Caso III Si en (3 ) y (4) x V x
V y
V m sen t
y
V ym sen t
(11)
La figura de Lis Lissajous sajous es una elipse como la la figura1.
(12)
B
A
Figura 1
El mod ulo del angulo , que es angulo de fase con la que la señal V y esta retrazada de respecto de la señal V x . 1 B sen (13) A t 360 0 (14)
Teorico
Exp
T
n n m m
2
1
3
1
1 1 2 3
f y
Figura 3
m
y
n m
n
2
Figura 2
x
x
(15) (16)
Donde Don de : m n
r Exp
Número de bucles verticales.
Número de bucles horizontal es.
m
r Teorico
(17)
n
f y
(18)
f x
Diferencia porcentual. K Teorico K Experim ent al
% diferencia
por centual
K Teorico
100%
(19)
regresion lineal El coeficiente de correlación. r
b
a
n x i y i xi y i
n x
2 i
x n y 2
i
n x i y i x i y i n x x i
2
2 i
y i b xi n
2 i
y
2
i
. (20)
(21)
(22)
3. EQUIPOS Y MATERIALES. Ítem Nombre Característica 1 Generador de funciones 2 Osciloscopio
Cantidad 1 1
3 4 5 6 7 8 9
8 1 1 1 2 1 1
Conectores Resistores Inductores Capacitores Entradas de canales Hoja de datos Calculadora
Colores
4. CIRCUITO DEL EXPERIMENTO. El sistema del experimento debe consistir de la siguiente manera; montar el circuito mostrado en la figura 4 y 5, el voltaje sobre la conexión RLC, debe ser senoidal con V 6.00V , el nivel DC nulo y frecuencia aproximada de 4.00 KHz La señal de disparo debe establecer en un 50%, para mayor comprensión es necesario guiarse de la figura 4. PP
5. DESARROLLO. a) Es muy necesario tener un conocimiento del experimento antes de realizarlo para que logremos lo buscado. b) Montar el circuito mostrado en la figura 3, guiándose con la parte del circuito experimental. Parte I (Ángulo de fase) c) Llenar la tabla 1 de la hoja de datos para las frecuencias aproximadas indicadas ( f es la frecuencia de resonancia de la conexión RLC que Figura 5. debe ser encontrada experimentalmente) d) Las magnitudes f , T y t se deben medir con el osciloscopio como se hizo en el experimento de corriente alterna. e) Para ajustar A y medir B presionar Pantalla y con formato seleccionar XY. Para la frecuencia debe hacerse que la elipse ocupe un cuadro de 6 divisiones de lado en la pantalla del osciloscopio. 0
Parte II (Frecuencia) f) Montar el circuito de la figura 5 con el oscil osciloscopio oscopio en el formato Y (t) y reponiendo la ganancia gruesa en ambos canales. Del generador 1 obtener una señal con f x f 300 Hz , V pp 6.00V y novel DC nulo.
Del
generador
f y
f 100 Hz , V pp
2
obtener una señal 6.00V y nivel DC nulo.
senoidal
con
g) Pasar a all formato XY para observar la figura de L Lissajous issajous correspondiente. Debido a que se usan dos generadores independientes es un tanto difícil obtener una frecuencia estable. h) De manera similar, obtener y dibujar llas as figuras de Lissajous para las frecuencias de la señal del generador 2, f indicadas en la hoja de y
Datos. i) Realizar el procedimiento de manera cuidadosa.
6. DATOS. (Hoja adjunta)
7. CALCULOS. Parte I (Ángulo de fase )
Utilizando las ecuaciones sig siguientes uientes llenar la tabla1. 1 B sen A t 0 ..C . A. 360 T
de
F . L.
13.
de
Por el criterio de corriente alterna
∗ 1. .. = ∆ ∆ 360 = .∗ ∗ 360 = 52.77
∗ 2. .. = ∆ ∆ 360 = .∗ ∗ 360 = 21.58
∗ ∗ 360 = 23.11 3. .. = ∆ ∆ 360 = .∗ ∗ ∗ 360 = 43.29 4. .. = ∆ ∆ 360 = .∗
Por el criterio de figuras de lissajous 1. .. = sin− () = sin− (. ) = 53.1 2. .. = sin− () = sin− (. ) = 21.51 ) = 23.58 3. .. = sin− () = sin− (.
4. .. = sin− () =
sin− (. ) = 43.10 ..C . A.
0
.. F .L.
52.77
53.10
21.58
21.51
23.11
23.58
43.29
43.10
0
14.
REALIZANDO LA REGRESION LINEAL
= K
n xi yi xi yi 2
n xi
2
(21)
x i
KEXPERIMENTAL=1.0002 KTEORICO=1
K teorico K Experim ent al
% diferencia
porcent ual
1 % diferencia
K Teorico
porcentua por centual l
100%
(19)
1.0002
100%
0.02%
1
Parte II (Frecuencia) Donde m: bucles verticales
Para f x m
r Exp
n
1
r Teorico
f x
m
n Para f x m 1
100 Hz
300 Hz
100 Hz
1
de
0.33
de
0.33
3
f y
300 Hz
18
17.
150 Hz
n2
r Teorico
Para
3
f y
r Exp
f y
300 Hz
n: bucles horizontales
m n f x
f y f x
1 2
150 Hz 300 Hz
0.50
0.50
300 Hz
de de
f y
18.
17.
200 Hz
m2
n3 f y
r Teorico r Exp
Para m
r Exp
Para m
r Exp
f x
m
f y
n
f y
de
1.33
de
17
450 Hz
300 Hz
450 Hz
1.50
1.50
2
18
2
3
f x
17
400 Hz
1.33
300 Hz
f y
18
m
de
1.00
300 Hz
4
f y Para f x 300 Hz m 2 n 1
r Exp
400 Hz
f y
r Teorico
3
n
17
3
de
de
f x
18
300 Hz
1.00
300 Hz
n
1
300 Hz
f y
f y
de
1
n
3
300 Hz
n f x
0.67
1
f x
m
r Teorico
300 Hz
f y
n Para f x m
300 Hz 0.67
3
n
4
r Teorico r Exp
f x
m
2
n
1
r Teorico
f x
m
200 Hz
2 1
600 Hz 300 Hz 2.00
de
18
de
17
de
18
de
17
600 Hz
2.00
Para m
f x
n
3
r Teorico
300 Hz
f y
f y
900 Hz
1
300 Hz 900 Hz
f x
de
3.00
18
3
r Exp
m n
1
3.00
=
=
0.33
0.33
0.5
0.5
0.67
0.67
1 1.33
1 1.33
1.5
1.5
2
2
3
3
17
de
= M=1
M teorico M Experiment al
%diferencia
porcentua l
M Teorico
100%
ENTONCES 1 %diferencia
porcentual porcent ual
1
1
100%
0.000000001%
8. OBSERVACIONES. El desarrollo del experimento requirió de varias precauciones especialmente al momento de armar el sistema, tales son: Se debe tener mucho cuidado en el momento momento de armar el sistema del experimento precautelando siempre seguir las instrucciones de la guía para no cometer errores si es posible pedir ayuda del ayudante o docente. Es muy recomendable mencionar que se debe seguir los pasos que se indican en la guía ello ayudara bastante a entender mejor el proceso experimental. Es muy necesario que se respete la conexión de colores es decir colores oscuros para polos negativos en nuestro caso negro y colores claros para polos positivos en nuestro caso rojo, ello ayudara a entender mejor en armado
del circuito.
(19)
El circuito a armar esta en serie ello implica que las conexiones debe deben n realizarlas de forma adecuada, ya que una mala conexión dará resultado a datos incoherentes para el análisis y no permitirá lograr el objetivo planteado. Medir la variación de tiempo entre las funciones entregadas en el osciloscopio para ello pedir ayuda del docente o auxiliar de tal manera que sea explicito el entendimiento y el proceso a seguir el correcto.
Las medi medidas das a simple vista de los valores de B son variados ello implica repetir la necesaria precisión de los datos tomados.
9. CONCLUSION. Aprendimos a m manejar anejar y ver la representación de la gráfica en formato XY, siguiendo proceso los cuales se encuentran en el sector de procedimiento. Medimos el ángulo de fase por el método de las figuras de Lissajous apreciando las diferentes divisiones que tiene la gráfica generada en el osciloscopio. Dibujamos las diferentes señales obtenidas por cambios de frecuencia en el generador de funciones dando como resultado diferentes tipos de comportamiento mostrados en el osciloscopio. Determinamos diferencias porcentuales para caso presente en el experimento, llegando a obtener diferencias bajas el cual demuestra el trabajo adecuado en el laboratorio 10. CUESTIONARIO.
1) Demostrar V xm
V ym
analíticamente V m
x
y
que,
2
si
2
en
las
ecuaciones
//
V y V ym sen y t V m sen 2 t
2
2
V m sen2 t cos cos 2 tsen 2 2 2 V y V m cos 2 t V m cos 2 t sen 2 V m 1 2 sen 2
V y V m sen 2 t
V x V y V m sen t V m 1 2 sen 2 2
2
2
2
V x V y V m sen t V m V m 2 sen 2 2
V V V sen 2 V 2 V es una ecuacion prabolica prabol ica. x
y
m
m
m
y
4
, la figura de Lissajous de una
parábola. V x V xm sen x t V m sen t
3
2) Dibujar la figura de Lissajous para Entonces debe cumplirse que
m
5
n
y
4
5 x y 4
0
.
3) ¿Por qué la figura de Lissajous tiene más bucles verticales que horizontales si ? y
x
Porque la velocidad angular esta netamente ligado con le frecuencia y por ello se sabe que si la es mayor que entonces la frecuencias angular f y es también
x
y
mayor que la frecuencia angular f x , sabiendo que a mayor frecuencia en y mayor número de bucles verticales ello lo nuestra la relación existente. 4) Intentar dibujar un “Figura de Lissajous” para
y
2
x
.
La grafica generada por esa relación es muy complicada ya que debería cumplirse que 3.14 2 . Pero m y n solo aceptan números enteros entonces la gráfica será muy distinta y con mucha dispersión. m
n
5) ¿En qué dispositivo mecánico se describe una figura de Lissajous? En aquellos aparatos en el cual se requiere la utilidad de frecuencias y un gran ejemplo seria las emisiones de radio producidos por ondas electromagnéticas emitiendo una determinada frecuencia para obtener una señal a una distancia determinada
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