[Figueroa,Juan] Ejercicios Resueltos de Fundaciones (2000_)

Universidad Católica del maule

EJERCICIOS FUNDACIONES Dr. Ing. Juan Figueroa Meriño

Un edificio permite un asentamiento máx. De 5 cm. ¿Cuál será el número de pisos permitidos de manera que en una vida de 50 año, no sobrepase la deformación máx. permitida suponiendo que el peso por m2 de edificación es de 1200 Kg. y que la planta es cuadrada.

Solución:

ΔH máx = Cc x Ho

x Log. (σν′ Vo + Δσν′ Vo) σ′Vo

Peso = 20 x 20 x 1200 ⇒ 480000 Kg. Kg. o 480 T

σν′ Vo = 1.8 x 16 ⇒ ♣ Vo = 28.8 σν′ Vo = 12.8 T/m2

T/

m2

480 x 5 = 0.07 T x 3200 x Log. 12.8 +

900 12.8

X = 2.569 = 2 Pisos

Dibujo

Solución Estrato arena ( 0- 1.52 m)

δ

d 

= 1.52 T/ T/ m2

δ

SAT

=

δ

d  +

δ δ δ ) xδ δ GS =

(1 -

d 

⇒

S

δ

S

= 2.72 T/m3

W

W

S

δ

SAT

= 1.96 T/m3

Estrato arcilla W = 40%

δ

S = 2.85 CC = 0.35

⇒

S=1

ex s =

W x GS

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e=

δ

SAT

=

δ δ

S

W

+

1

1

ΔH

2

δ

SAT

e = 1.14

⇒

= 1.86 T/m3

δS

ΔH máx. = ΔH ΔH

⇒

(1 + W)

0.4 x 2.85

= Ho x Ce 1 +e

+

ΔH

2

Δσν′V)

x Log. ( σν′V1 + σν1′

= Ho x Cc x Log ( σν′V2 + Δσν′ V) σν′ V2 1+e

Terraplén

δ

d =

1.84 T/m3

⇒ δSAT

=

δ

d  (

1 + W) ⇒

δ

SAT

= 2.10 T/m3

W = 14%

Δσν′ = 2.10 x 6.10

⇒ Δσν′ = 12.81 T/ m2

Cálculo de σν′1 en punto 1 ( 0- 457 m)

σν1 = 1.52 X 1.96 + 3.05 X 1.36 σV

1

μ1

= 8.65 T/m2 = 4.57 T/m2

⇒ σV

1

σV

1

= 8.65 - 4.57

= 4.08 T/m2 12.20

ΔH

=

ΔH

= 0.615 m

1

1

2 x 0.35 x Log ( 4.03 + 12.81 ) (1 x 1.14) 4.03

Cálculo de σV2 en punto 2 (0 - 10.67m)

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e=

δ

SAT

=

δ δ

S

W

+

1

1

ΔH

2

δ

SAT

e = 1.14

⇒

= 1.86 T/m3

δS

ΔH máx. = ΔH ΔH

⇒

(1 + W)

0.4 x 2.85

= Ho x Ce 1 +e

+

ΔH

2

Δσν′V)

x Log. ( σν′V1 + σν1′

= Ho x Cc x Log ( σν′V2 + Δσν′ V) σν′ V2 1+e

Terraplén

δ

d =

1.84 T/m3

⇒ δSAT

=

δ

d  (

1 + W) ⇒

δ

SAT

= 2.10 T/m3

W = 14%

Δσν′ = 2.10 x 6.10

⇒ Δσν′ = 12.81 T/ m2

Cálculo de σν′1 en punto 1 ( 0- 457 m)

σν1 = 1.52 X 1.96 + 3.05 X 1.36 σV

1

μ1

= 8.65 T/m2 = 4.57 T/m2

⇒ σV

1

σV

1

= 8.65 - 4.57

= 4.08 T/m2 12.20

ΔH

=

ΔH

= 0.615 m

1

1

2 x 0.35 x Log ( 4.03 + 12.81 ) (1 x 1.14) 4.03

Cálculo de σV2 en punto 2 (0 - 10.67m)

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σν2= 8.65 + 1.86 1.86 x 6.10 σν2= 20 T/m2 μ2 = 10.67 T/m2 σν2′= 20 - 10.67 σν2′= 9.33 T/m2

12.20

ΔH

2=

ΔH

2=

2

x 0.35 ( 1 + 1.14)

x Log (9.33 + 12.81) 9.33

0.375 m

ΔH máx = 0.615m

⇒

+ 0.375 m

ΔH máx

= 0.99m

Ahora para todo el estrato

σν = 1.52 x 1.96 + 6.10 x 1.36 σν = 14.33 T/m2 μ = 7.62 T/m2 ⇒ σν′ = 6.71 T/m2

σν′ = 14.33 - 7.62

ΔH máx = 12.20

x 0.35 x Log ( 6.71 + 12.81) 1 + 1.14 6.71

ΔH máx = 0.925 m. Calcular el empuje por el método de Rankine para los diferente casos:

ωxG =SxC → ω= S x C = 0.8 x 0.5 S

GS

x 100

2.7

ω = 14.8 % δ=δ δ=

S

GS =

δ

S

= 2 + K, Y / m3

x1+W 1+C

2 + KN x 1 + 0.148 m3

1 + 0.5

Ea= 1 x 0.27 x 20.67 x ( 10 )2 2

δ = 20.67 KN/ m

3

Ea = 278.99 KN/m

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c) La arena está completamente saturada con la napa freática al nivel de superficie y sin drenaje. VT = 1 ⇒ VS 1 - n VS =

δ

S =

δ

WS WS VS

S

a VV = n = GS x

⇒

δ

W

x

δ

S

= 27 KN / m3

WS = 27 ( 1 - n )

27 n =27 (1- n ) ⇒ n = 0.5

e=

n

x

0.5

1- n

δ

e=1

=

δS + e δ

0.5

W

1 +e Ea = Ea1 + EW ⇒ Ea1 = 1 x 0.27 x 10 x (10)2 Ea1 = 114.75 KN/m 2 ⇒ EW = 500 KN/m EW = 1 x 10 x (10) (1 0)2 2 Ea = 614.75 KN/m

Calcular por el método de Rankine la fuerza de empuje sobre un muro con paramento vertical en los casos siguientes: Solución

a) Ka = 1 - sen 34º

si Ka = 0.282

1 + sen 34º Ea = 1 x 0.283 x 18 x 62 2

⇒

Ea = 91 T/m

 b) Ea = Ea1 + Ea2 + EW

Ea1 = 1 x 0.282 x 18 x 22 2 Ea1 = 10.15 T/m Ea2 = 1 x 0.282 x ( 21-10 ) x ( 4 )2 + ( 2 x 18) 18) x 4 x 0.282 2 Ea2 = 65.42 T/m EW = 1 2

x 10 x ( 4 )2

→

EW = 80 T/m Ea = 10.15 T/m + 65.42 T/m + 80 T/m Ea = 155 T/m

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Para la siguiente situación, se pide calcular bajo el centro de la zapata circular la profundidad a ala cual el esfuerzo horizontal total vale 8 T/m2. Considerar la aplicación de la fórmula de Bousinesq 

Solución

ΔσVz

= p

1-

σH = 8 T/m2

δ δ

δ

=

T

= 1.744 T/m3

GS =

δ

δ δ

=

. 1.5

σH = σH′ + u

T

d 

1 ( 1 + ( x )2 z

σΗ′=Κο∗σν′

(1+W) (0 - Tm )

⇒ GS =

S

δ

S

W

δ

d 

+ ( 1+

δ δ

d 

)x

δ

W

S

δ = 1.6 + (1 + σVT =

δ

T

1.6 ) x 1 ⇒ 2.65

δ = 2 T /m

3

( 5 - Zm )

δ

x 5T x  b x ZT T’V carga

σVT = 1.744 x 5 + (2- 1 ) Z + 2

(

1-

)

1 2

( 1+ ( 4 ) ) 1.5 Z+5 ---------------------B

σVT = 8.72 +Z + 2 x B σH = TH’ + υ = Z

σH’ = 0.35 x σH’

σH’ = 0.35 x [ 8.72 + Z + 2 x B ] σH = 0.35 x [ 8.72 + Z + 2 x B ]+ Z

σH 2 8 T/m2

Tanteando se encuentra que Z = 3.63 ⇒ H = 8.63 mts.

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Tres zapatas cuadradas de 3.25 mts. de lado, se alinean a 6.25 de distancia entre centros. La carga unitaria sobre el suelo es de 10 T/m2 . Calcular el esfuerzo normal bajo el centro de la zapata central a 3 y 10 mts. de  profundidad.

Zapata Central: Z=3

M Z

2

= 1.62 T ⇒

= 0.54

M 

T1= 0.095

Z = 10

N Z

= 1.625 ⇒

M Z

= 1.625 ⇒

2

N 

= 0.54

M  = 0.1625

T2 = 0.0125 N Z

= 1.625 ⇒

N = 0.1625

σVZ( 3 ) 2 10 x 0.095 x 4 ⇒

♣VZ( 3 ) 2 = 3.8 T/m2

σVZ( 10 ) 2 = 10 x 0.0125 x 4 ⇒ ♣VZ( 10 ) 2 = 0.5 T/m2

Influencias de zapatas laterales

σz = Δq [ - IABCD ----------I1

Z=3M

M  Z

IAEFD ] ------------F2

= 7.37 T ⇒

M =

2.62 T I1 = 0.143

N Z

= 1.62 T ⇒

N 

M  Z

= 4.62 T ⇒

M  =

1.542

N  Z

= 1.62 T

N 

= 0.54

= 0.54

I2 = 0.141

⇒

σVZ (3) = 4 x 10 x [ 0.143 - 0.141 ] σV ( 3 ) = 0.08 T/m2 Z = 10 m M Z

= 7.87 T ⇒

N Z

= 1.62 T ⇒ N  = 0.1625

M Z

= 4.62 T ⇒ M  = 0.462

N Z

= 1.62 T ⇒

M  =

0.787 I1 = 0.040

I2 = 0.030

δ

VZ

(10)

= 4 x 10 x [ 0.04 - 0.03 ]

N =

0.162 T

δ

VZ

(10)

= 0.4 T/m2

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δ δ

(3) VZ T

= 3.8 + 0.08 ⇒

(10) VZ T

= 0.5 + 0.4 ⇒

δ δ

VZT

(3)

= 3.88 T/m2

(10) = VZ T

0.9 T/m2

Una cimentación de losa rectangular tiene una anchura de 9 m y una longitud de 25 m y se desplanta a una  profundidad de 3.2 m. El nivel freático está situado a una profundidad de 2.5m por debajo de la superficie. El suelo consiste en una capa profunda de arcilla cuyas pruebas de laboratorio arrojan los siguientes resultados : Cu = 25 kN/m2

ϕu = 0

γ = 17.4 kN/m3

C’ = 5 kN/m2

ϕ’ = 23º E’0= 36 MN/m2

Determínese la capacidad permisible de carga con respecto a las siguientes condiciones:

A) Inmediatamente después de la construcción, suponiendo condiciones saturadas sin drenar. B) Después de un largo período, suponiendo que el ritmo de aplicación de la carga es lo suficientemente lento como para que no se desarrolle exceso de presión de poro. La capacidad permisible de carga, se tomará como la menor de las obtenidas a partir de la inclusión de un factor de seguridad para falla al corte de 3.0 y un asentamiento tolerable promedio de 75 mm. Primero, es necesario evaluar algunas propiedades geométricas básicas y elásticas. B/L = 9/25 = 0.360

D/B = 3.2/9.0 = 0.356

v’≅ K 0 = 1 - sen 23º = 0.38  ⎯⎯⎯   ⎯⎯⎯⎯⎯  1 + K 0 2 - sen 23º Con la ecuación ( 6.12 ),

E’ = E’0 ( 1-

2V2

)  ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 

1 - v’ = 36.0 ( 1 - 2 + 0.382 ) = 19.2 MN /m2 1 - 0.38 Con la ecuación ( 6.14 ), EU = E’ x 1.5 = 20.9 MN /m2 1 + v’ Condición A:

i) Falla al corte: ϕu = 0, se usa el método de Skempton.  NC = 5.14 ( 1 + 0.2 x 0.360 ) [ 1 + (0.053 x 0.356)1/2 ] = 6.26 Entonces, q u ( neta) = cu Nc = 25 X 6.26 = 157 kN/m2 Por lo que q s = 157 + 17.2 x 3.2 = 108 kN/m2 3

ii) Asentamiento: con la tabla 6.8 para L/B = 2.778, I p (prom) = 1.477 Para condiciones saturadas sin drenar, v = 0.5

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Universidad Católica del maule Entonces, q a = si Eu = 75 x 10 -3 x 20.9 x 103 = 157 kN/m2 B (1 - v2)I  p 9 ( 1 - 0.52) 1.477 Por lo que en la condición A, la resistencia al corte del suelo es el factor que predomina y la capacidad   permisible de carga es de 108 kN/m2 . Condición B

i) Para condiciones de largo plazo o drenadas, se usan los parámetros de esfuerzo efectivo (c’, ϕ’, v’, etc.)  junto con la ecuación de Terzaghi. Con la tabla 11.2, para Con la tabla 11.3 :

ϕ’ = 23º : Nc = 18.1, Nq = 8.66, Nγ = 5.85 sc = 1 + 0.360 x 8.66/18.05 = 1.17 sq  = 1 + 0.360 tan 23º = 1.15 sγ = 1 - 0.40 x 0.360 = 0.856

σ’0 = 17.4 x 2.5 + (17.4 - 9.81) (3.2 - 2.5) = 48.8 kN/m2 Entonces,

q’u (neta) = c’Nc sc + σ’0 Nq  sq  + ½ γ’BNγsγ - σ’0 = 5x18.1 x 1.17 + 48.8 x 8.66 x 1.15 + ½(17.4 - 9.81)9.0 x5.85 x 0.856 - 48.8 = 714 kN/m2

Por lo que

q s =

714

+ 48.8 = 287 kN/m2

3

ii) Asentamiento: puesto que no se conoce el esfuerzo de preconsolidación, se usará la deformación elástica en condiciones drenadas para obtener un valor estimado de q a: q a=

siE’ B(1 - v2)I p

= 75x 10-3 x 19.2 x 103 = 129 kN/m2 9(1 - 0.382) 1.447

Entonces, a lo largo plazo, se llegará al límite de asentamiento tolerable antes que a la condición de seguridad  de resistencia al corte. Por consiguiente, la capacidad permisible de carga es de 129 kN/m2. Sin embargo, es  posible que el límite tolerable de asentameinto de 75 mm pueda modificarse al considerar el ritmo con el que ocurre dicho asentamiento. Por ejemplo, cuando se toma el valor de 50% como un criterio más realista a largo plazo (suponiendo un ritmo más bien bajo) la capacidad permisible de carga estaría más cercana al valor  de q s. La Figura muestra un muro de gravedad de 12 m de altura que tiene un espaldón vertical y retiene 8 m de gravas densas que subyacen bajo 4 m de arenas sueltas. La superficie de la arena está a nivel del extremo superior del muro y soporta una sobrecarga de 40 kN/m2. Las capas de arena y grava están drenadas, ya que el nivel freático está por debajo de la base del muro. Calcular:

a) la componente horizontal de la fuerza activa que actúa sobre el muro,  b) la fuerza cortante vertical que actúa sobre el muro, y c) el momento de volcamiento con respecto al talón del muro. Las propiedades de la arena son ρ = 1.60 Mg/m3 , ∅ = 32º y δ’ = 24º Las propiedades de la grava son ρ = 1.80 Mg/m3 , ∅ = 40º y δ’ = 30º Solución Entonces para una arena suelta con ∅ = 32º y δ’ = 24º se obtiene K’a = 0.251, y para una grava densa con 0’ = 40º y δ’ = 30º se obtiene K’a = 0.174. u = 0 en toda la masa y, por tanto, σ’v= σV en todos los puntos, entonces

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σ’v σ’v σ’ha σ’ha

En la parte superior del muro A una profundidad de 4 m Por tanto, para la arena y para la grava En base del muro

= 40 kN/m2 ⇒ σha = 40 x 0.251 = 10.04 kN/m2 = 40 + 1.6 x 9.81 x 4 = 102.78 kN/m2 = 102.78 x 0.251 = 25.80 kN/m2 = 102.78 x 0.174 = 17.88 kN/m2 σ’v = 102.78 + 1.8 x 9.81 x 8 = 244.05 kN/m2 σ’ha = 244.05 x 0.174 = 42.46 kN/m2

La distribución de σ’ha sobre el espaldón del muro es entonces como se muestra en la figura 6.13. Esta es también la distribución de σha , puesto que u= 0 en toda la masa del suedo retenido. Se obtiene entonces: Para la arena suelta Pha = P’ha = 1 ( 10.04 + 25.80 )4 =71.68 kN/m 2

Xa = 71.68 x tan 24º = 31.91 kN/m Ma = 10.04 x 4 x 10 + 1 (25.80 - 10.04 ) x 4 x 9.3 = 695.79 kN m/m 2

y para la grava densa Pha = P’ha = 1 ( 17.88 + 42.46 )8 = 241.36 kN/m 2

Xa = 241.36 tan 30º = 139.35 kN/m Ma = 17.88 x 8 x 4 +

1

(42.46 - 17.88 ) x 8 x 2.6 = 834.35 kN m/m

2

Por consiguiente, la componente horizontal total de la fuerza activa que actúa sobre el muro = 71.68 + 241.36 = 313.04 kN/m , la fuerza vertical total que actúa sobre el espaldón del muro = 31.91 + 139.35 = 171.26 kN/m, y el momento total de volcamiento con respecto al talón = 695.79 + 834.35 = 1,530.14 kN/ m/m. El brazo de palanca,

ι  para P a

ha

está dado por 

ι

a = Ma = 1530.14 = 4.89 m Pha 313.04

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Un muro de gravedad de 10 m de altura con el espaldón vertical, retiene una arcilla preconsolidada saturada que llega hasta el tope del muro, como se muestra en la figura 6.15ª. Calcular las componentes horizontal y vertical del empuje activo sobre el espaldón del muro inmediatamente después de la construcción y un largo tiempo después, dado que las propiedades de la arcilla son ρs = 2.0 Mg/m3, cu = 56 kN/m2, cw = 42 kN/m2, ∅’ = 24º, c’ = 12 kN/m2, δ’ = 18º y c’w = 9 kN/m2. Suponer, para la situación a largo plazo, que el efecto del flujo de filtración estacionario hacia el drenaje vertical es equivalente a un nivel freático estático en el  plano medio del muro. Solución Si se supone que al final de la construcción no se ha producido disipación del exceso de presión intersticial, entonces la arcilla está en estado no drenado y es posible determinar el empuje activo inmediato sobre el muro con un análisis en esfuerzos totales. A partir de la ecuación ( 6.35 b) la distribución de σha está dada entonces por:

σha = σv - 2cu En el extremo superior del muro: σv = 0 ⇒ σha = - 148.2 kN/m2 En la base del muro: σv = 2 x 9.81 x 10 = 196.2 kN/m2 ⇒ σha = 196.2 - 148.2 = 48 kN/m2 . La distribución de σha sobre el muro es entonces la que se muestra en figura 6.15b. La profundidad de la fisura de tensión h0 puede calcularse directamente con la geometría del diagrama de presión, de donde se obtiene h0 = 7.55m Entonces: Pha = ½ x 48 x 2.45 = 58.8 kN/m Xa = cw (H - h0 ) 42 x 2.45 = 102.9 kN/m  Nótese que si no existe un drenaje y la superficie del terreno no está pavimentado, la fisura de tensión detrás del muro fácilmente puede llenarse con aguas lluvias y producir un empuje hidroestático adicional sobre el muro, que en este caso sería igual a ½ x 1 x 9.81 x 7.552 = 279.6 kN/m, el cual es sustancialmente superior al empuje de la arcilla a corto plazo. Esto indica de nuevo la importancia de porporcinar un sistema de drenaje adecuado en todo tipo de muros de contención. Con el paso del tiempo, la presión intersticial en la arcilla retenida se ajusta con lentitud hasta llegar en todos los puntos al equilibrio con el flujo estacionario a largo plazo hacia el drenaje vertical del muro. La arcilla está entonces completamente drenada ( en el sentido de que no existe exceso de presión intersticial) y , en consecuencia, el establecimiento del empuje activo a largo plazo sobre el muro debe basarse en un análisis en esfuerzos efectivos. Para este propósito el efecto del flujo de filtración se aproxima a un nivel freático estático en el plano medio del muro (Figura 6.15c). Esto simplifica el análisis de manera considerable, puesto que la distribución de h0 = a todo lo largo del espaldón del muro está entonces definida por la ecuación (6.36). Es decir.

σ’ha = σ’v K’a1 - c’ K a2 Donde K’a1 y K a2 están dadas por las ecuaciones (6.37) y (6.38), respectivamente. Por tanto, para ϕ’ = 24º, δ’ = 18º, c’ =12 kN/m2 y c’w = 9 kN/m2 se obtiene K’a1 = 0.354 y K’a2 = 1.460. Entonces:

σ’ha = 0.354 σ’v - 12 x 1.460 = 0.354 σ’v - 17.52 En el extremo superior del muro : σv = 0, u = 0 ⇒ σ’v = 0

σ’ha = - 17.52 kn/m2 y

σha = 17.52 kn/m2

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A una profundidad de 5 m:

σv = 2 x 9.81 x 5 = 98.1 kn/m2 , u = 0 ⇒ σ’v = 98.1 kn/m2 σ’ha = 0.354 x 98.1 - 17.52 = 17.21 kn/m2 y σha = 17.21 kn/m2 En la base del muro:

σv = 2 x 9.81 x 10 = 196.2 kn/m2 , u = 1 x 9.81 x 5 = 49.05 kn/m2 ,

⇒ σ’v = 196.2 - 49.05 = 147.15 kn/m2 , σ’ha = 0.354 x 147.15 - 17.52 = 34.57 kn/m2 2

y σha = 34.57 + 49.05 = 83.62 kn/m

La distribución de σ’ha , y σha es como se muestra en la Figura 6.15c, a partir de la cual se obtiene: h0 = 2.522 m P’ha = ½ x 17.21 x 2.478 + ½ (17.21 + 34.57 ) = 150.77 kN/m Phw = ½ (83.62 - 34.57 )5 = 122.63 kN/m Pha = P’ha + Phw = 150.77 + 122.63 = 273.40 kN/m y Xa = c’w (H - h0 ) + P’ha tan δ’ = 9 x 7.478 + 150.77 tan 18º = 116.29 kN/m

Una laguna de sedimentación de desechos tiene una profundidad de agua de 4 m por encima de la base de arcilla. La capa de arcilla es de 3 m de profundidad y está sobre un a capa de 4m de arena media que a su vez está apoyada sobre roca impermeable. Calcúlense los esfuerzos efectivos en la  parte superior de la arcilla y en las partes superior e inferior de la capa de arena en las siguientes condiciones: (a) inicialmente, antes que se deposite cualquier sedimento;(b) después de depositar una capa de 2m de sedimento de arena limosa fina; y (c) después de drenar la laguna hasta su nivel básico con el mismo espesor  (2 m) de sedimento depositado.

Pesos unitarios: arcilla = 18 kN/m3; arena = 20 kN/m3; sedimento 16 kN/m3.

a) Inicialmente, antes de que se deposite el sedimento: Parte superior de la arcilla

Parte superior de la arena

Parte inferior de la arena

σz = 9.81 x 4 = 39.2 kN/m2 uz = 9.81 x 4 = 39.2 kN/m2 σ’z= σz - uz = 0 σz = 39.2 + 18 x 3 = 93.2 kN/m2 uz = 9.81 x 7 = 68.7 kN/m2 σ’z= 24.5 kN/m2 σz = 93.2 + 20 x 4 = 173.2 kN/m2 uz = 9.81 x 4 = 107.9 kN/m2 2 σ’z= 65.3 kN/m

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 b) Al depositarse una capa de 2 m de sedimento se reemplaza una capa de 2 m de agua y se produce un aumento del esfuerzo efectivo:

Δσ’2 = ( 16.0 - 9.81 ) 2 = 12.4 kN/m2 Parte superior de la arcilla σ’z = 12.4 kN/m2 σ’z = 24.5 + 12.4 = 36.9 kN/m2 Parte superior de la arena Parte inferior de la arena σ’z = 65.3 + 12.4 = 77.7 kN/m2

c) Cuando el nivel de agua se reduce en 4 m, se presenta el correspondiente aumento de esfuerzo efectivo: Δσ’2 = Δuz = 9.81 x 4 = 39.2 kN/m2 Parte superior de la arcilla σ’z = 12.4 + 4 x 9.81 = 51.6 kN/m2 Parte superior de la arena σ’z = 36.9 + 4 x 9.81 = 76.1 kN/m2 Parte inferior de la arena σ’z = 77.7 + 4 x 9.81 = 116.9 kN/m2

Un acuífero confinado constituido por una capa de 4 m de espesor de arena está apoyado en roca impermeable y cubierto por una capa de 3 m de espesor de arcilla. Los pesos unitarios de la arena y de la arcilla son 19.8 kN/m3 y 18.2 kN/m3, respectivamente. Determínense los esfuerzos efectivos en la parte superior e inferior de la capa de arena, cuando los niveles del agua en un piezómetro de tubo abierto instalado a través de la arcilla y que llega hasta la capa de arena son: (a) 2m por debajo de la superficie exterior; y (b) 2m por encima de la superficie exterior.

a) El agua en el piezómetro indica la posición de superficie freática; por consiguiente las presiones de poro son: Parte superior de la arena Parte inferior de la arena

uz = 9.81(3 - 2 ) = 9.8 kN/m2 uz = 9.81(3 + 4 - 2 ) = 49.1

kN/m2

σ’z = σz - u = 3 x 18.2 - 9.8

= 44.8 kN/m2

σ’z = ( 3 x 18.2 + 4 x 19.8 )

= 84.7 kN/m2

Los esfuerzos efectivos son: Parte superior de la arena

Parte inferior de la arena  b) Parte superior de la arena

uz = 9.81 (3 + 2 ) = 49.1 kN/m2

σ’z = 3 x 18.2 - 49.1 = 5.5 kN/m2 Parte inferior de la arena

uz = 9.81 (3 + 4 + 2 )

=88.3 kN/m2

σ’z = (3 x 18.2 + 4 x 19.8) - 88.3 = 45.5 kN/m2

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El estado de tensiones en el momento de rotura en 3 muestras ensayadas en un triaxial se indican en la tabla adjunta. Dibuje los datos en un diagrama de MOHR y calc ule la pendiente de la envolvente de rotura:

a) Usando tensiones totales.  b) Usando tensiones efectivas. Las tres muestras corresponden a una arena limpia.

σ3 (kg/cm2)

Ensayo Nº 1 2 3

(σ1 - σ3) (kg/cm2)

1,0 3,0 6,0

Urot (kg/cm2)

0,73 2,27 4,42

0,58 1,70 3,25

Solución Graficanco los resultados. Para el ensayo Nº 1 :

σ3 = 1,0 kg/cm2 y σ1 - σ3 = 0,73 kg/cm2 luego σ1 = σ3 + Δσ = 1 + 0,73 = 1,73 kg/cm2 como Urot = 0,58

⇒ σ’3 = 1,00 - 0,58 = 0,42 kg/cm2

y σ1 = 1,73 - 0,58 = 1,15 kg/cm2

- Calculo de la pendiente para el caso a) Tensiones totales. sen ∅ o u = σ1 - σ3 = 1,73 - 0,73 = 1,0 σ1 + σ3 1,73 - 0,73 2,46 luego ∅ o u = ar

(

1

) = 24º 2,46

- Calculo de la pendiente para el caso b) Tensiones efectivas. sen ∅ o u = σ1’ - σ3’ = 1,15 - 0,42 = 0,73 σ1’ + σ3’ 1,15 + 0,42 1,57 luego ∅d = aro ( 0,73 / 1,57 ) = 28º

Para el ensayo Nº 2 :

σ3 = 3,0 kg/cm2

σ1 - σ3 = 2,27 kg/cm2 = Δσ

Urot = 1,70 kg/cm2

luego σ1 = σ3 + Δσ = 3 + 2,27 = 5,27 kg/cm2 y como Urot = 1,70 se tiene que:

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σ1’ = 5,27 - 1,70 = 3,57 kg/cm2 σ3’ = 3 - 1,70 = 1,30 kg/cm2 - Cálculo ∅cu en presiones totales. sen ∅d = σ1 - σ3 = 5.27 - 3,0 = 2,27 σ1 + σ3 = 5.27 + 3,0 = 8,27 luego ∅cu = arosen (2,27 / 8,27) ⇒ ∅cu = 16º - Calculo ∅d en presiones efectivas. sen ∅d = σ1’ - σ3’ σ1’+ σ3’

= 3.57 - 1,30 = 2,27 = 3.57 + 1,30 = 4,87

luego ∅d = arc sen ( 2,27 / 4,87) ⇒ ∅d = 28º Para el ensayo Nº3

σ3

= 6,0 kg/cm2

σ1 - σ3 = 4,42 kg/cm2

Urot = 3,25 kg/cm2

Luego σ1 = σ3 - σ = 6 - 4,42 = 10,42 kg/cm2 y como Urot = 3,25 kg/cm2

σ1’ = σ1 - Urot = 10,42 - 3,25 = 7,17 kg/cm2 σ3’ = σ3 - Urot = 8 - 3,25 = 2, 75 kg/cm2 - Calculo de ∅cu en presiones totales. sen ∅d = σ1 - σ3 = 10,42 - 6 = 4.42 , luego σ1+ σ3 ∅cu = arc sen ( 4,42 / 16,42 ) ⇒ ∅cu = 16º 10,42 + 6 16,42 - Calculo ∅d en presiones efectivas. sen ∅d = σ1’ - σ3’ σ1’+ σ3’

= 7,17 - 2,75 = 4,42 7,17 + 2,75 9,92 luego ∅d = arc sen (4,42 / 9,92) ⇒ ∅d = 26º

Una capa de arcilla de 5 m de espesor está drenada por sus dos caras. Su módulo edométrico es de 100 Kg/cm2 y su coeficiente de permeabilidad es k = 10-8 cm/ seg. Sobre ésta capa de arcilla se aplica una carga de 1 Kg/cm2 . Se pide :

a) Determinar el tiempo t preciso para alcanzarse un asentamiento de 4 cm. Se observa que colocada la

carga de 1 Kg/cm2, los asientos obtenidos hasta t, son una 50 % inferiores a los previstos, tomando como  base las características antes mencionadas. Se pide ahora:

a.1.- Suponiendo que el error es debido a la apreciación del módulo edométrico, calcular la carga adicional que sería preciso aplicar en el momento t/2, para alcanzarse el asentamiento de 4 cm en el tiempo t calculado en a). a.2.- Lo mismo que en a.1, pero suponiendo que el error es debido a la estimación del coeficiente de  permeabilidad.

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Solución : a) CV = (Em ºk) / IW = (100 x 103 x 10-8) / 1 = 10-3 cm2/seg. ΔHmáx = E º H = ( σ / Em ) x H = 1/100 x 5x 102= 5 cm. Ahora: ΔH = 4 cm ⇒ U = ΔH / ΔHmáx = 4/5 x 100 = 80% Sacando de tablas o gráficos ; para U = 80% ⇒ TV = 0,567 Pero TV = (CV x t ) / H2 ⇒ TV = (CV x t ) / (H/2)2 finalmente, t = (4 x CV x t) / H2 = (0.567 x (5 x 102)2 / 4 x 10 -3 luego t = 3,5437 x 107 seg. = 410.15 días. a.1.- Ahora resulta que se observa, que al cabo de t = 3,5437 x 107 seg. el asentamiento que se produce es de 2 cm. y no de 4 cm. como se había  previsto. Esto es debido, según se dice, a que el Em que nos dan al principio, no es correcto, con lo que hay hallar el Em verdadero. Se procede por tanteos. Se supone : Em = 200 kg/cm2. Cv = Em x k/Γw = 200 x 10-8 / 1 = 2x 10-3 cm2/seg., con lo que Tv = (Cv x t) / (H/2)2 = ( 2 x 10-3 x 3,5437 x 107 ) /2502 = 1,134 en tablas Tv = 1,134 ⇒ U = 95% luego ΔHmáx = 1/200 x 500 = 2,5 cm, entonces: ΔH = 2,5 x 0,95 = 2,375 ≠ 2 , luego Em no vale. Probamos: Em = 243 kg/cm2 Cv = Em x k/Γw = 200 x 10-8 / 1 = 2 x 10-3 cm2/seg., Tv = ( 2,43 x 10-3 x 3,5437 x 107 ) / 2502 = 1,378 ⇒ U = 97 % ΔHmáx = 1/243 x 500 = 2,058 cm, entonces : ΔH = 2,058 x 0,97 = 1,996 = 2cm, luego el verdadero valor de Em es: Em = 243 kg/cm2 Entonces ahora:

Δσ , nos tiene que lar el tiempo de : t = 3,5437 x 107 / 2 = 1,7719 x 107 seg., un asentamiento de 2 cm, entonces; Tv = (2,43 x 10-3 x 1,7719 x 107 ) / 2502 = 0,689 ⇒ U = 85% luego: ΔH = ΔHmáx x U = ( Δσ / Em) x H x U ⇒ 2 = Δσ / 243 x 500 x 0.85 finalmente

Δσ = 1,144 Kg / cm2

a.2.- Ahora resulta que el Em que nos dan al principio ( Em = 100 Kg/cm2 ), es correcto, y lo que está mal es la permeabilidad k. Entonces, tenemos que hallar la permeabilidad verdadera. Sabemos : Cv = Em x k/Γw = 100 x 103 x k/1 = k x 105 cm2/seg. Sabemos que la sobrecarga σ = 1 kg/cm2 , en el tiempo : t = 3,5437 x 107 seg., nos produce un asentamiento de ΔH = 2 cm. ΔHmáx = E x H = σ / Em x H = 1/100 x 500 = 5 cm., entonces ΔH = ΔHmáx x U ⇒ 2 = 5 x U ⇒ U = 2/5 = 0,4 (40%) viendo la tabla corresponde a : Tv = 0,126 Por otra parte: Tv = Cv x t/H2 ⇒ Cv = Tv x H2 / t = 0,126 x 2502 / 3,5437 x 107 Cv = 2,22 x 10 -4 cm2 / seg luego k x 105 = 2,22 x 10-4 ⇒ k = 2,22 x 10 cm /seg. Entonces ahora igual que antes, la sobrecarga Δσ, nos tiene que dar en el tiempo t = 1,7719 x 107 seg., con un asentamiento de ΔH = 2 cm.

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Universidad Católica del maule Tv = Cv x t / (H/2)2

= k x 105 x t / (H/2 )2 = 2,22 x 10-9 x 105 x 1,7719 x 107 / 2502 = 0,063 ⇒ U = 27% , luego ΔH = ( Δσ / Em) x H x U 2 = Δσ / 100 x 500 x 0,27 2 ⇒ Δσ = 1,481 kg/cm Las especificaciones que se proponen para un terraplén de tierra requieren que el suelo se compacte al 95% del peso volumétrico seco de la prueba Proctor estándar. Las pruebas hechas en un material de préstamo de morrena glacial indican Γdmax = 1,986 T/m3 a la humedad óptima de 12%.

El material de préstamo en su estado natural tiene una relación de vacíos de 0,60. Si Gs = 2,65. ¿ Cuál es el volumen mínimo del préstamo necesario para hacer 1 m3 de terraplén compactado en forma aceptable?.

Solución: Se desea obtener en terreno Γd  = 0,95 x 1,1986 ⇒ Γd  = 1,8867 T/m3 En 1 m3 compactado se debe tener 1,8867 Ton. secas con 226,4 Lt. de agua. En terreno natural : e = 0,6 y Gs = 2,65 luego

Γd  = ΓS / ( 1 + e ) = 2,65 / ( 1 + 0,6 ) = 1,6583 T/m3

Finalmente como : Ws = 1,8867 Ton. y Γdnat = 1,6563 T/m3 3

Volumen necesario = Ws / Γd  = 1,8867 / 1,6563 = 1,14 m

Para el muro de figura, indique; a) Presión máxima estática sobre el terreno con un F.S. = 3.  b) Factores de seguridad al deslizamiento y volcamiento estático. c) Factores de seguridad al volcamiento y deslizamiento sísmico, así como su capacidad de carga máxima sísmica frente al hundimiento, si k h = 0,17 y k v = 0 , utilizando las fórmulas de Mononobe y Okabe.

1) Peso del muro : W = ½ x 0,7 x 4 x 2,2 + 0,5 x 4 x 2,2 = 7,48 T/m 2) Empuje Activo : Ka = (1 - sen 38º ) / (1 + sen 38º) = 0,238 3) Empuje Pasivo : No se considera por ser muy pequeño. Luego Ea = ½ x Γt x H2 x Ka = 0,5 x 1,6 x 16 x 0,238 = 3,05 T/m Eav = Ea x seno = 3,05 x sen 30º = 1,53 T/m Eah = Ea x coso = 3,05 x cos 30º = 2,64 T/m  Normal sobre la base del muro

= W + Eav = 7,48 + 1,53 = 9,01 T/m

Fuerza de roce en la base del muro ; Fr = N x tgo = 9,01 x tg30ª = 5,20 T/m

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Momentos resistentes:

Σ Mr = 3,08 x ( 1/3 ) x 0,7 + 4,4 x 0,95 + 1,53 x 1,20 = 6,735 T x m/m Momentos volcantes:

Σ Mv = 2,64 x ( 1/3 ) x 4 = 3,52 T x m/m Momentos resultante: ΔM = 6,735 - 3,52 = 3,215 T x m/m luego la excentricidad de la resultante es : e = ΔM / N e = 3,215 / 9,01 = 0,36 > B/6 = 1,2 / 6 = 0,20 ,  por lo tanto la resultante cae fuera del núcleo central, luego la tensión máxima que puede trabajar el muro es: q max = 4 x N / (3 x (B - 2 x e ) ) = 4 x 9,01 / ( 3 x (1,2 - 2 x 0,36 ) = 25,03 T/m2 Por otro lado la capacidad de carga última de la zapata del muro es: q ult = ½ x B’ x Γt x NΓ + q x Nq  , donde :  para ∅ = 38º : NΓ = 78,03 y Nq  = 48,93 y B’ = B - 2 x e , reducción que resulta por inclinación de la resultante. Luego :

y

q ult = 0,5 x ( 1,2 - 2x 0,36 ) x 1,6 x 78,03 + ( 1,6 x 0,4 ) x 48,93 = 61,28 T/m2 q = 61,28 /3 + 1,6 x 4,6 = 26,18 T/m2

se puede ver que q max < q

, queda asegurada contra el hundimiento estático.

- F.S. al deslizamiento = F.Sd = Σ Fr / Σ Fd  = 5,20 / 2,64 = 1.97 ok. CASO SISMICO: En este caso el sismo adiciona un diagrama como muestra la figura al muro:

Donde el empuje activo debido al sismo se calcula ; Eae = ½ x Γt x H2 x [ Kae x ( 1 - Kv ) ] , pero Kv = 0 y

Kae =

cos2 (∅ - θ - β ) cosθ x cos (δ + θ ) x

.

donde: ∅ = 38º , β = 90º , i = 0º , δ = 30º

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y

θ = arctg Kh / (1 - Kv ) = arctg 0,17 = 9,65º

resulta Kae = 0,107 Luego Eae =0,5 x 1,6 x 16 x 0,107 = 1,37 T/m

y

Eaev = Eae x sen30º = 0,685 T/m Eaeh = Eae x cos30º = 1,18 T/m Entonces N’ = N + Eaev = 9,01 + 0,685 = 9,7 T/m Fr = 9,7 x tg30º = 5,6 T/m - F.S. al volcamiento sísmico: F.Sv (sísmico) = ( 6,735 + 0,685 x 1,2 ) / (3,52 + 1.18 x (2/3) x 4 ) = 1.13 ok.

- F.S al deslizamiento sísmico: F.Sd (sísmico) = 5,6 / (2,64 + 1,18 ) = 1.5 ok  - Capacidad portante : La carga admisible para el caso sísmico se suele estimar en: q adm (sísmico) = 1,3 x q adm (estático ) = 1,3 x 26,18 = 34.03 T/m2 - Capacidad máxima de trabajo:

ΔM = 7,557 - 6,666 = 0,891 Tx m/m luego la resultante tiene una excentricidad : e=0.891/9,7 = 0,092 < B/6 = 0,20 , luego la resultante cae dentro del tercio central : q máx = N / ( B x L) + 6 x M / (B2 x L) = 9,7 / 1,2 + 6x 0,891 / 1,22 = 11,79 t/m2

Finalmente como q máx < q adm , el muro queda asegurado por el lado sísmico. Conclusión final: El muro es estable.

El terreno de la figura está constituído por un estrato supeficial de relleno hetereogéneo, muy poco resistente, de 2 m de espesor y densidad aparente Γ = 1,7 T/m3, que descansa en un manto arcilloso indefinido sobre el que se decide cimentar un muro de una instalación industrial. Las especificaciones del estrato arcilloso, fijadas después de interpretar los correspondientes ensayos de varias muestras en el laboratorio, son las siguientes :

• • • •

Peso específico de las partículas : ΓS = 2,7 T/m3 Indice de huecos : e = 0,50 Resistencia media a la compresión simple : q u = 2 Kg/cm2 Resultados de un ensayo triaxial consolidado con drenaje : ∅’ = 25º ; o’ = 1 T/m2 .

La cimentación se resuelve de la siguiente manera : Se excava una zanja de 1,20 m de ancho y 2 m de profundidad, rellenándola de hormigón de baja dosificación de cemento, de 2,2 T/m3 de densidad.

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Suponiendo que las paredes de la excavación se mantienen verticales en el corto tiempo que dura abierta la zanja mientras se rellena de hormigón. El nivel freático se ve que coincide con la cota de aparición de arcilla. Se pide :

a) Determinar la máxima carga por metro lineal de muro que puede disponer en la cara superior del cimiento  para tener un coeficiente de seguridad de 3 al comprobar la estabilidad a corto plazo por la fórmula de Terzaghi.

 b) Repetir la comprobación anterior, considerando la estabilidad del cimiento a largo plazo con un coeficiente de seguridad de 3, también por la fórmula de Terzaghi, considerando falla total.

Solución :

a) Corto plazo según Terzaghi : q ult = Cu x Nc + Γ x Df  , para condiciones de ∅ = 0º . resulta de tablas Nc = 5,14, y donde Cu = q u / 2 = 20/2 = 10 T/m2 Luego : q ult = 10 x 5,14 + 1,7 x 2 = 54,8 T/m2 , y cn F.S = 3

⇒ q adm = 54,8/3 = 18,27 T/m2

, empero

q adm = Pmax / (B x L) + (ΓHG x L) x Df  , para L = 1 m = Pmax / 1,2 + (2,2 x 1 ) x 2 = Pmax / 1,2 + 4,4 igualando estas expresiones se tiene : 18,27 = Pmax / 1,2 + 4,4 ⇒

Pmax = 16.64 T/m

 b) Largo plazo según Terzaghi : q ult = ½ x B x Γ b x NΓ + C x Nc + q x Nq  donde para ∅ = 25º (de tabla ) : NΓ = 10,88 , Nc = 20,72 y Nq = 10,66.

Γ b = [ ( ΓS + e x ΓW ) / ( 1 + e ) - ΓW ] = 1,13 T/m3 Luego q ult = ½ x 1,2 x 1,13 x 10,88 + 1 x 20,72 + (1,7 x 2) x 10,66

= 64,34 T/m2

donde q adm = 64,34/3 = 21,45 T/m2 , igualando a la expresión de trabajo sacada anteriormente: 21,45 = Pmáx / 1,2 + 4,4 ⇒

Pmáx = 20,46 T/m

Se debe sostener una zanja de 6.5 m de profundidad apuntalando la cimbra horizontalmente a 1 m, 3 m y 5 m  bajo el nivel de terreno, espaciando los puntales a 2 m. Si el suelo tiene un peso unitario de 19.8 kN/m3 y un ángulo de fricción igual a 35º, calcular la carga que soporta cada puntual. K a = tan2 (45º - 35º/2 ) = 0.271 Suponiendo una distribución uniforme de presión lateral (Fig. 8.31b),

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σ’h = 0.65 K aγH = 0.65 x 0271 x 19.8 x 6.5 = 22.67 kN/m2 En la figura 8.32 se muestra la distribución de presión para cada puntal, dando los siguientes componentes de fuerza: P1 = 22.67 x 3.0 x 1.5/2 = 51.0 kN/m P3 = P4 = 22.67 x 2.0 x ½ = 22.7 kN/m Superficie de falla sugerida

P2 = 22.67 x 3.0 x 0.5/2 = 17.0 kN/m P5 = P6 = 22.67 x 1.5 x ½ = 17.0 kN/m

Por lo tanto, las fuerzas en los puntales serán :

FT = P1 X 2 = 102 kN FM = (P2 + P3 ) X 2 = 79 kN FB = (P4 + P5 ) X 2 = 79 kN La reacción P6 la da el suelo.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ESFUERZOS EN UNA MASA 1.- El perfil estratigrafico de un suelo indica lo siguiente 0-12m. , arena , jd=1,8T/m ³ , Gs=2,65 , S=100 % 12-18m , limo , W=35% , S=100% , Gs=2,8. a) Calcular la tensión total , neutro y efectivo en el techo y piso del estrato de limo.  b) ¿ Cuanto varia la tensión efectiva en el estrato de limo si la napa sube 6m. sobre la superficie de terreno ?

 _________________________ 0,0 arena j d = 1,8 t/m ³ Gs = 2,65 S = 100%  _________________________ 12m limo W = 35% S = 100% Gs = 2,8  _________________________ 18m

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a) Techo Gs = j s / 1

⇒

j s = 2,65 T/m ³

 j s - j d 2,65 - 1,8 e = ------------- = -------------- = 0,47  j d 1,8  j s + e * j w 2,65 + 0,47 * 1  j t = ------------------- = -------------------- = 2,12 T/m ³ 1+e 1 + 0,4

Comentario [MBV1]:

Γ = j * z = 2,12 * 12 = 25,44 T/m ² µ = j w * z = 1 * 1,2 = 12 T/m ²

Γ`= Γ - µ = 25,44 - 12 = 13,44 T/m ²

Piso  j s = 2,8 W = 35%  j s * ( 1 + W ) 2,65 + 0,47 * 1  j t = ------------------ = -------------------- = 1,91 T/m ³  j w + j s * 1 1 + 2,8 * 0,35

Γ = j * z + 25,44 = 1,91 * 6 + 25,44 = 36,9 T/m ² µ = 18 T/m ²

Γ`= 36,9 - 18 = 18,9 T/m ²  b) Sobre la superficie

Γ = j * z = 1 * 6 = 6 T/m ² µ = 6 T/m²

Techo limo

Γ = j * z + 6 = 2,12 * 12 + 6 = 31,44 T/m² µ = 18 T/m

Γ`= 31,44 - 18 = 13,44 T/m ² Piso limo

Γ = j * z + 31,44 = 1,91 * 6 + 31,44 = 42,9 T/m ³ µ = 24 T/m²

Γ` = 42,9 - 24 = 18,9 T/m ²

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2.- En un suelo de densidad 18KN/m ³ sobre la napa freatica y 20KN/m ³ bajo ella, determinar en función de la profundidad z, los valores de las tensiones totales y esfectivas, verticales y horizontales, así como tambien la presión neutra, sabiendo que el nivel freatico esta a 2 metros de profundidad y que Ko = 0,5.  j = 18KN/m³  _______________________ NF  j = 20KN/m³ 0-2m

Γv = j * z = 18 * z µ = 0 no hay agua

⇒

Γh` = K * Γ`v = 0,5 *18 z

Como z = 2

Γv = 36 Kpa = Γv`

Γv

= 18 z

⇒ Γh` = 9 z = Γh

Γh` = Γh = 18 Kpa

2 - zm

Γv = j*z + 36 =36 +20 ( z - 2 ) Kpa µ=j*z

⇒ 10 ( z - 2 )

Γv` = 36 +20 ( z - 2 ) - 10 ( z- 2 ) = 36 + 10 (z - 2 ) Kpa Γh` = 0,5 * Γv`= 0,5 ( 36 + 10 ( z - 2 ) ) = 18 + 5 ( z - 2 ) Kpa Γ = 18 +5 ( z - 2 ) +10 ( z - 2 ) = 18 + 15 ( z - 2 ) Kpa.

3.- Un murro de 12,20 m. de altura , retiene arena que cuando esta suelta tiene una relación de vacios de 0,67 y un φ=34º , cuando esta compactada la relación de vacios es 0=42 º ¿ Cual de los 2 estados producira el Empuje activo resultante menor ? .

 ___________________ arena suelta e = 0,67 φ = 34°

__________________  arena compactada e = 0,41 φ = 42°

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c=0 qs = 0 ⇒ Ea = ½ * jh² * Ka 1 - sen φ 1 - sen 34 Ka = ------------- ⇒ Ka1 = ------------- = 0,28 1 + sen φ 1 + sen 34

1 -sen 42 Ka2 = ------------ = 0,20 1 - sen 42

Es sabido que ha mayor indice de vacios , hay una menor compactación lo que indica que se tiene una mayor densidad que con un pequeño indice de vacio.  j1 > j2 ⇒ j1 = ∝ j2

con ∝ > 0

Ea1 = ½ * ∝ j2 * 12,2 ² * 0,28 ⇒ 20,84 ∝ j2 Ea2 = ½ * j2 * 12,2 ²* 0.20 ⇒ Ea1

Ea2

 j2 = ----------- = 20,84 ∝

14,88 j2

-----------14,88

Ea2 * 20,84 * ∝ Ea1 = ---------------------- = 1,4 * ∝ * Ea2 14,88

∴ Ea1 = 1,4 ∝ * Ea2

con ∝ > 0

se cumple que en el caso de e = 0,41 el empuje activo es menor 

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Un muro gravitacional de 5m. de altura cuyo parametro interior es vertical y liso , sostiene un terraplen sin cohesion , cuyo de angulo de rozamiento interno es de 32 º y su superficie superior horizontal. Los datos del suelo son e=0,53 js=2,7 T/m ³ Humedad de saturación W=19,6% Calcular la magnitud de Empuje activo aplicado en los siguientes casos. a) El terraplen esta seco.  b) El muro y el terraplen estancompletamente sumergidos. c) Solo el terraplen se encuentra sumergido. d) La arena del terraplen se encuentra saturada.

5m

 ____________________  c=0 φ = 32° e = 0,53  j s = 2,7 T/m³ W = 19,6%

Ea = ½ * j * H ² * Ka

, ya que c = 0 y qs = 0

a) 1 - sen φ 1 - sen 32 ° Ka = ----------- = -------------- = 0,31 1 + sen φ 1 + sen 32 °  j s - j d e = ------------ j d

⇒

js j d = ----------- = 1,76 T/m ³ (1+e)

Ea = ½ * 1,76 * 5 ² * 0,31 = 6,82 T/m  b) j sat = j d * ( 1 + W sat ) = 1,76 * ( 1 + 0,196 ) = 2,1 T/m ³  j b = j sat - j w = 2,1 - 1 = 1,1 T/m ³ Ea = ½ * 1,1 * 5 ² * 0,31 = 4,36 T/m

c) Eaw = ½ * 1 * 5² * 1 = 12,5 T/m Eas = ½ * 1,1 * 5 ² * 0,31 = 4,26 Eat = Eaw + Eas = 12,5 + 4,26 = 16,76 T/m

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d) Eas1 = ½ * 2,1 * 2 ² * 0,31 = 1,3 T/m Eas2 = ½ * 1,1 * 3 ² * 0,31 = 1,53 T/m Eaw = ½ * 1 * 3 ² * 1 = 4,5 T/m Eaqs = 2 * 2,1 * 3 * 0,31 = 3,91 T/m Eat = Eas1 + Eas2 + Eaw + Eaqs Eat = 1,3 + 1,53 + 4,5 + 3,91 = 3,91 T/m.

Se desea construir una piscina rectangular, en el patio de una casa la cual esta ubicado en un terreno con densidad seca de 1,58 T/m ³. Se ha realizado un ensayo , el cual entrego los siguientes resultados φ = 0 , cu = 3 T/m ³ . Realizado a corto plazo. a) Cual es la profundidad maxima que podria tener la piscina ,  para excavar sin que se desmorone si el suelo tiene una humedad de 5%.  b) Calcular el Empuje que se produciria, sabiendo que las grietas actuan como sobrecarga si se va a escabar a 10m. de profundidad. c) Si el dia anterior a realizar la excavación comenzo a llover, saturandose el suelo.

a) Ea = ½ * j * H ² * Ka - 2 * c * H * √ Ka

con qs = 0

Ka = 0 ya que es un suelo cohesivo.  j t = j s * ( 1 + W ) = 1,58 * ( 1 + 0,05 ) = 1,66 T/m ³ Ea = 0 ⇒ ½ * j * H ² * Ka - 2 * c * H * √ Ka = 0 4*c 4*3 Hc = -------- = --------- = 7,23 m  j 1,66  b)

Hc 7,23 Zc = ------ = ------- = 3,62 m 2 2

∴ se debe entibar 

Ea = ½ * j * H ² * Ka - 2 * c * H √ Ka + qs * H * Ka Ea = ½ * j * H ² - 2 * c * H + qs * H Ea = ½ * 1,66 + (10 - 3,62) - 2 * (10 - 3,62) * 3 + 3,62 * 1,66* (10 - 3,62) Ea = ½ * 1,66 * 6,38² - 2 * 3 * 6,38 + 3,62 * 1,66 * 6,38 = 33,84 T/m

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c) j sat = 1,66 T/m ³  j b = j sat - j w = 1,66 - 1 = 0,66 T/m ³ 4*c 4*3 Hc = -------- = ---------- = 18,18m  j 0,66 Hc 18,18 Zc = ------- = --------- = 9,09m 2 2 En este caso no es necesario entibar para escavar 10m a corto plazo, ya que la altura critica es mucho mayor.

Dada la siguiente figura: a) Calcular la profundidad a la cual se tendra una tensión efectiva de 25 T/m ² aplicada en el centro de la zapata cuadrada.  b) Calcular la dimensión de la base de la zapata.

 NF

qs = 9kg/cm³  ___________________________ 0m  ___ ___ e= 0,55 2m _________ Gs= 1,75T/m ³ ___________________________ 3m  j d = 1,55 T/m³ Wsat = 19% ΔΓv` = 3,96 T/m² a)

Γv`total = 25 T/m ²

0-3m Gs = j s / j w ⇒

como j w = 1 T/m ³

j s = Gs

 j s + e * j w 1,75 + 0,55 * 1  j t = ----------------- = -------------------- = 1,48 T/m ³ 1+e 1 + 0,55

Γv = j * z = 1,48 * 3 = 4,44 T/m ²

µ=0;

Γv` = 4,44 T/m ³

3-Zm  j sat = j d * ( 1 + W sat ) = 1,55 * ( 1 + 0,19 ) = 1,84 T/m ³

Γv = j sat * Z + 4,44 = 1,84 * Z + 4,44 (T/m ²) µ = j w * Z = Z (T/m ²)

Γv` = 1,84 * Z + 4,44 - Z = 0,84 * Z + 4,44 (T/m ²) Γv`total = Γv` + ΔΓv` = 0,84 * Z + 4,44 + 3,96 = 8,4 + 0,84 * Z

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25 - 8,4 25 = 8,4 + 0,84 * Z ⇒ Z = ----------- = 19,76m 0,84  b) ΔΓv` = 3,96 T/m² = f * qs * 4

qs = 9 kg/cm ² = 90 T/m ²

3,96 3,96 f = -------- = ----------- = 0,011 qs *4 90 * 4 como f = 0,11

⇒

a / Z = 0,166  b / Z = 0,16

a = b = 0,166 * Z = 0,166 * 19,76 = 3,28m

∴ lado del cuadrad 3,28m.

Para la situación de la figura, calcular el esfuerzo aplicado en los puntos A y B ubicados en el centro de la zapata en los siguientes casos. a) suponiendo una zapata cuadrada.  b) suponiendo una zapata circular. qu= 200T/m²  ____________________ 0m  ___ ___ arena seca  ___ ___  _____________________ 4m arena saturada  _____________________ 6m arena limosa  ______________________ 8m

j d = 1,7 gr/cm ³ Wsat = 15%

j d = 2,1 T/m ³ Wsat = 10%

. a) 0-4m  j d = 1,7 gr/cm ³ = 1,7 T/m³ Γv = j d * z = 1,7 *4 = 6,8 T/m ² µ = 0 ⇒ Γv` = 6,8 T/m ² 4 - 5,5m  j sat = j d * ( 1 + W sat ) = 1,7 * ( 1 + 0,15 ) = 1,96 T/m ³ Γv = j sat * z + 6,8 = 1,96 * 1,5 + 6,8 = 9,74 T/m ² µ = 1,5 T/m² Γv`= 9,74 - 1,5 = 8,24 T/m ²  ______  10m

a=b=5  ______ m = a / z = 5 / 3,5 = 1,43 10m n = b / z = 5 / 3,5 = 1,43

⇒ f = 0,205

ΔΓv` = 0,205 * 200 = 41 T/m ²

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Γv`A = 41 + 8,24 = 49,24 T/m ² 5,5 - 6 m

Γv = j * z + 9,74 = 1,96 * 0,5 + 9,74 = 10,72 T/m ² µ = 2 T/m²

Γv` = 10,72 - 2 = 8,72 T/m ² 6-8m  j sat = j d * ( 1 + W sat ) = 2,1 * ( 1 + 0,1 ) = 2,31 T/m ³ Γv = j * z + 10,72 = 2,31 * 2 + 10,72 = 15,34 T/m ² µ = 4 T/m² Γv` = 15,34 - 2 = 13,34 T/m ² a=b=5 m = a / z = 5 / 6 = 0,833 n = b / z = 5 / 6 = 0,833 ⇒ f = 0,15

ΔΓv`= 0,15 * 200 = 30 T/m ² Γv`B = 30 + 13,34 = 43,34 T/m ²  b) 5,5 m Γv` = 8,24 T/m ² X/R=0/5 =0 Z / R = 3,5 / 5 = 0,7

⇒ f = 0,80

ΔΓv` = ,80 * 200 = 160 T/m ² Γv`A = 160 + 8,24 = 168,24 T/m ² 8m Γv` = 13,34 T/m ² X/R=0/5=0 Z / R = 6 / 5 = 1,2

⇒ f = 0,54

ΔΓv` = 0,54 * 200 18 T/m² Γv`B = 108 + 13,34 = 121,34 T/m ²

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Dada la siguiente figura , verificar si es necesario utilizar entibaciones para escabar a cielo abierto.  ________________________ 0m arcilla j s = 2,13 T/m ³ e = 0,75 c = 1,6 T/m  ________________________ 3m arena limosa j t = 2,1 T/m ³ φ = 28°  ________________________  roca

Calculo para el estrato de arcilla  j s + e * j w 2,13 + 0,75 * 1  j t = ----------------- = ------------------- = 1,65 T/m ³ 1+e 1 + 0,75

Ea = ½ * j * H ² * ka - 2 * c * H * √ ka + qs * H * ka como en los primeros 3 metros hay arcilla, ka = 0 no hay sobrecarga, qs = 0 ½

Ea = 0

* j * H² = 2 * c * H

4*c 4 * 1,6 Hc = -------- = --------- = 3,88m  j 1,65 Hc Zc = ------ = 1,94 m 2 Para el estrato de arena limosa en este caso no se puede realizar ningun c alculo de altura critica, ya que la altura critica se presenta en terrenos con cohesión es decir terrenos con arcilla.

∴ Pasado los tres metros es necesario utilizar entibaciones, aunque según los calculos realizados en el estrato de arcilla nos indican que puedo escavar hasta 3,88 metros de profundidad  sin tener necesidad de utilizar entibaciones . Pero es evidente que en arena limosa se debe utilizar  entibaciones.

Una columna con una carga de 216 Ton , se apoya en un cimiento cuadrado situado a 90cm de la superficie de una arcilla parcialmente saturada

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si φ` = 15º , c` = 0,5 kg/cm ² y Γ = 1,81 T/m² Hallar la dimensión del cimiento con factor de seguridad de 2,5. a largo plazo

⇒

φ` = φ = 15º los factores de capacidad de carga en tabla  Nc = 10,98  Nq = 3,94  Nj = 2,65

 para zapata cuadrada: q ult = 0,4 * j * B * Nj + j * D * Nq + 1,3 * c * Nc

⇒

c` = c = 0,5 kg/cm ² = 5 T/m² Γ = j * z ⇒ j = Γ / z = 1,81 / 0,9 = 2,01 T/m ³  j b = j sat - j w = 2,01 - 1 = 1,01 T/m ³ reemplazando en la formula q ult = 0,4 * 1,01 * B * 2,65 + 1,01 * 0,9 * 3,94 + 1,3 * 5 * 1 0,98 q ult = 1,07 * B + 74,95. q trb = carga / area carga = 216 Ton ⇒ q trab = 216 / B ² F s = q ult / q trab 2,5 = ( 1,07 * B + 74,95) / ( 2+6 / B ² ) despejando B = 2,64 m.

Calcule la capacidad de carga admisible de una zapata continua, con un factor de seguridad de 3 , la zapata tiene 2 metros de ancho, desplantada a 4 metros de profundidad, en un suelo con las siguientes propiedades. e = 0,9 , c = 3 T/m ² , φ = 35º y Gs = 2,6. Los primeros 5 metros se encoentran con un 80% de saturación. Zapata continua : q ult = ½ * j * B * Nj + j * D * Nq + c * Nc ⇒ φ = 35º los factores de capacidad de carga  Nc = 6,12  Nq = 33,3  Nj = 48,03 0-4 m e = 0,9 , s = 80% y Gs = j s = 2,6 S = Gs * W / e ⇒ W = S * e / G W = 0,80 * 0,9 / 2,6 = 0,28 ~ 28%  j d = j s / ( e + 1 ) = 2,6 / ( o,9 + 1 ) = 1,37 T/m ³  j t = j d * ( 1 + W ) = 1,37 * ( 1 + 0,28 ) = 1,75 T/m ³ reemplazando en la formula: q ult = ½ * 1,75 * 2 * 48,03 + 1,75 * 4 * 33,3 + 3 * 46,12 q ult = 455,51 T/m ² como q adm = q ult / Fs q adm = 455,51 / 3 = 151,84 T/m ².

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Sobre un estrato de 10m de arcilla compresible se ha levantado un dificio, el estrato esta confinado  por dos estratos continuos de arena. En una prueba de consolidación realizado a la arcilla, se utilizo una muestra de 2cm de altura, drenada por ambas caras y el tiempo en que la muestra llego al 50% de consolidación fue 20 minutos. La carga del edificio es de 135 T/m ². a) Calcule en años el tiempo en que el edificio hara que el estrato real alcance el mismo grado de consolidación.  b) Calcule el ancho de la zapata del edificio, dado los siguientes datos: asentamiento elastico 12,5cm, coeficiente de permeabilidad 0,62, angulo de razamiento 32º y modulo elastico 3220kg/cm/². a) laboratorio H = 2cm , t = 2omin , U = 50% y drenan ambas caras. En tabla U = 50% ⇒ T = 0,19 Cv = T * H² / t Cv = 0,19 * ( 2/2)² / ( 20 * 60 ) = 0,000158 cm ²/seg. En terreno U = 50% ya que es el mismo grado de compactación ⇒ T = 0,19 t = T * H ² / Cv t = 0,19 * ( 1000/2) ² / 0,000158 = 300632911,4 seg t en años = 300632911,4 / ( 60*60*24*365) = 9,53 ∴ t 50 = 9,53 años.  b)

Se = 12,5cm en la esquna de la zapata. K = 0,62 , φ = 32º , q = 135 T/m² y E = 3220 kg/cm ² Se = K * q * B * ( 1 - µ² ) / E despejando B B = Se * E / ( K * q * ( 1 - µ² ) ) Ko = 1 - sen φ = 1 - sen 32º = 0,47. Ko = µ / ( 1 - µ ) ⇒ µ = Ko / ( Ko + 1 ) µ = 0,47 / ( 0,47 + 1 ) = 0,32. reemplazando en la fomula de B : B = 12,5 * 3220 / ( o,62 * 1,35 * ( 1 - 0,32 ² ) B = 535,74 cm ∴ ancho de la zapata es 5 3,57m , suponiendo zapata continua.

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Dada la siguiente figura calcular: a) El tiempo que tardara en alcanzar el 90% de la consolidación, suponiendo que bajo la arcilla la roca esta sana.  b) Calcular el coeficiente de compresibilidad, dado que el indice de vacios es 0,5 y el asentamiento 1,5cm.  _____________  0m ________j = 1,75 T/m ³ _______ terraplen 3m de altura arena seca j d = 1,6 T/m ³ 4m __________________________ NF arcilla jd = 1,72 T/m ³ Wsat = 25% 6m _____________Cv = 0,2cm ²/seg_  Roca 0-4m

Γv = j * z = 1,6 * 4 = 6,4 T/m ² µ = 0 ⇒ Γv` = 6,4 T/m² 4-6m  j sat = j d * ( 1 + W sat ) = 1,72 * ( 1 * 0,25) = 2,15 T/m ³ Γv = j sat * z + 6,4 = 2,15 * 2 + 6,4 = 10,7 T/m ² µ = 2 T/m²

Γv` = 10,7 - 2 = 8,7 T/m ² ΔΓv = 1,75 * 3 = 5,25 T/m ² a) U = 90%

⇒ en tabla T = 0,85

Cv = T * H ² / t

⇒ t = T * H ² / Cv

T = 0,85 Cv = 0,2 cm ²/seg H = 2 m = 200cm , ya que se supone la roca sana, entonces drena por  una cara. t = 0,85 * 200 ² / 0,2  b)

t = 170000 seg = 47,22 horas ∼ 1,98 dias.

Cc * H ( Γv + ΔΓv ) ΔH = --------- * log ----------------1+e Γv ( Γv + ΔΓv ) ΔH * ( 1 + e ) = Cc * H * log ----------------Γv

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ΔH * ( 1 + e ) Cc = ----------------------------H * log ( Γv + ΔΓv ) --------------Γv como Γv = 8,7 T/m ² ΔΓv = 5,25 T/m ²

(Γv + ΔΓv ) ( 8,7 + 5,25 ) log --------------- = log ------------------ = 0,21 Γv 8,7

ΔH * ( 1 + e ) Cc = ------------------H * 0,21 como ΔH = 1,5cm = 0,015m e = 0,50 H = 2m 0,015 * ( 1 + 0,50 ) Cc = -------------------------- = 0,054. 2 * 0,21

Se a construido un muro con una densidad del hormigon de 2,1 T/m ³ , para contener una densisdad  seca de 1,1 T/m ³ , y una realación de vacio de un 25% . No se realizaron calculos para los casos sismicos, pero se sabe que el muro no se vuelca , con un coeficiente sismico horizontal de 0,36 y vertical nulo. Verifique si el muro se desliza o no . 0,8m  __________  3m  ________  1,8m

φ = 30° δ = 23°

En el caso sismico, se utiliza la teoria de Mononobe y Okabe cos² ( φ - o ) Kast = ---------------√ sen ( φ - δ ) sen ( φ - o ) cos o cos ( δ + o ) * ( 1 + ----------------------------- ) cos ( α + o )

tg o = Kh / ( 1 - Kv ) = 0,36 / 1 = 0,36

²

⇒ o = 19,8°

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cos² (30°- 19,8) √ sen (30°+ 23°) sen (30°-19,8°) Kast = ----------------------cos 19,8° cos (23°+19,8°) * ( 1 + ------------------------------------ ) cos ( 23° + 19,8°)

²

Kast = 0,969 / ( 0,69 * 2,071) = 0,6776 ∼ 0,68 como jd= 2,1 T/m ³

e = o,65

e = ( js - jd ) / jd  ⇒ js = e * jd + jd = 0,25 * 1,1 + 1,1 = 1,38 T/m ³  js + e * jw 1,38 + 0,25 *1  j t = -------------- = ------------------- = 1,3 T/m ³ 1+e 1 + 0,25 1 East = ---- * j t * H 2

1 ² * Kast = ----- * 1,3 * 3 ² * 0,68 = 3,98 T/m 2

como δ = 23° ⇒ Eastv = 3,98 sen 23° = 1,56 T/m Easth = 3,98 cos 23° = 3,66 T/m

W1 = 0,8 * 3 * 2,1 = 5,04 T/m W2 = ½ * 1 * 3 * 2,1 = 3,15 T/m

∑ F resistentes = ( 1,56+5,04+3,15 ) tg 30° = 4,14 T/m ∑ F deslizantes = 3,66 T/m

4,14 ∑ F resistentes F S D = ------------------ = ----------- = 1,13 3,66 ∑ F deslizantes ∴ el muro no se desliza, ya que el F S D es mayor que uno.

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Dada la figura, se desea calcular la altura del muro, para que no deslize ni vuelque , teniendo un factor de seguridad al desplazamiento y al volcamiento de 1,5. 0.3  ___________  xm  _______ 0.8

φ = 40° δ = 30° j t = 2,1 T/m ³ j hormigón = 2,0 T/m

³

1 - sen φ 1 - sen 40° Ka = -------------- = -------------- = 0,217 ≈ 0,22 1 + senφ 1 + sen 40°

Ea = ½ * j * H

²

* Ka = ½ * 2,1 * x

²

* 0,22 = 0,231 * x

²

como tenemos el angulo δ ⇒ existe roce

Eav = 0,231 * x  ____30°___ Eav Eah

* sen30° = 0,1155 * x

²

Eah = 0,231 * x ² * cos30° = 0,2001 * x

²

²

Fuerzas resistentes FSD = ---------------------------Fuerzas deslizantes  _____ w2 w1  __________ 

calculando el peso del muro w1 = 0,3 * x * 2,0 = 0,6 * x w2 = ½ * 0,5 * x * 2,0 = 0,5 * x

Fuerzas resistentes = w1 + w2 + Eav = 0,6 * x + 0,5 * x + 0,1155*x = 1,1 * x + 0,1155 * x ² Fuerzas deslizantes = Eah = 0,2001 * x

²

²

1,1 * x + 0,1155 * x ² 1,1 + 0,1155 * x FSD = ---------------------------- = ----------------------0,2001 * x ² 0,2001 * x como el FSD ≥ 1,5

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⇒

1,1 + 0,1155 * x ------------------------ = 1,5 0,2001 * x

⇒

x = 5,96 m

∴ x ≤ 5,96 m para que no deslize

Momentos resistentes FSV = ------------------------------Momentos deslizantes

Momentos resistentes = M w1 + M w2 + M Eav = 0,6 * x * 0,65 + 0,5 * x * 2/3 *0,5 + 0,1155*x = 0,39 * x + 0,167 * x + 0,0924 * x ² = 0,557 * x + 0,0924 * x ²

Momentos volcantes = M Eah = 0,2001 * x

²

* 1/3 * x = 0,0667 * x

²

* 0,8

³

como FSV ≥ 1,5

0,557 * x + 0,0924 * x ² 0,557 + 0,0924 * x FSV = ------------------------------ = ---------------------------0,0667 * x ³ 0,0667 * x ²

0,557 + 0,0924 * x - 0,10005 * x

²

=0

⇒ x = 5,02 m

∴ x ≤ 5,02 m para que no vuelque. Como x ≤ 5,96 m y x ≤ 5,02 m

∴ x = 5 m para que no vuelque, ni deslize.

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Se desea realizar una excavación en un terreno arcilloso con j = 1,95 T/m ³ y de resistencia al corte no drenada Cu = 3,5 T/m² . Calcular la fuerza de cada puntal puesto cada 4 metros.

 N = j *H / C = 1,95 * 8 / 3,5 = 4,46

∴4< N< 6

Γ h = j * H - 4 * c = 1,95 * 8 - 4 * 3,5 = 1,6 T/m Γ H = 0,4 * j * h = 0,4 * 1,95 * 8 = 6,24 T/m se ocupa el Γh mayor  ⇒

Γh = 6,24 T/m

H/4 = 2 m A1 = 6,24 * ½ * 2 * 4 = 24,96 T A2 = 6,24 * 0,25 * 4 = 6,24 T -------------31,2 T

∑F = P1 + P2’ = 31,2 T como

P1 = 12 T P2’ = 19,2 T

P2’’+ P3’ = 6,24 * 2 * 4 = 49,92 T como P2’’ = P3’ = 49,92 /2 P2’’= P3’ = 24,96 T también P3’’= 24,96 T

⇒ P1 = 12 T P2 = P2’ + P 2 ’’ = 19,2 T + 24,96 T = 44,16 T. P3 = P3’ + P3’’ = 24,96 + 24,96 T = 49,92 T.

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Se realizara una excavación en arcilla saturada, en la cual se utilizaran 3 puntales con las siguientes medidas: P1 ⇒ 5” × 5” P2 ⇒ 6” × 6” P3 ⇒ 6” × 6” Ya que se tenian de otra excavación. Se pide verificar si estos puntales son suficientes según la siguiente figura.

Γh = 8,2 T/m separación = 2,5 m Γadm= 300 T/m calculando las cargas que resisten los puntales: una pulgada ⇒ 2,4 cms P1 = 12 * 12 cm = 0,0144 m P2 = 14 * 14 cm = 0,0196 m P3 = 14 * 14 cm = 0,0196 m se sabe que

Γadm = P / A ⇒

P = Γadm * A

P1 = 300 * 0,0144 = 4,32 T P2 = 300 * 0,0196 = 5,88 T P3 = 300 * 0,0196 = 5,88 T

H/4 = 1,5 A1 = 8,2 * ½ * 1,5 * 2,5 = 15,375 T A2 = 8,2 * 0,1875 * 2,5 = 3,844 T --------------19,22T P1 + P2’ = 19,22 T

como P1 = 4,32 T

P2’ = 19,22 - 4,32 = 14,9 T

P2’’ + P3’ = 8,2 * 1,5 * 2,5 = 30,75 T

como son iguales P2’’ + P3’ = 30,75 /2

P2’’= P3’ = 15,38 T

P3’’= P4’ = P4’’ = 15,38 T

con P4 puntal ficticio

P1 = 4,32 T

P2 = 14,9 + 15,38 = 30,28 T

P3 = 15,38 + 15,38 = 30,76 T ∴ se deben cambiar los puntales por unos de mayor cuadria, ya que estos no soportan la fuerza que va ejercer la excavación.

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1.La empresa constructora en la que Ud. trabaja, se ha adjudicado una propuesta en cuyas bases se estipula el diseño y construcción de un camino cordillerano, en el que deben ejecutarse trabajos de entubamiento de vertientes de agua. El tubo corrugado es de acero,  posee un diámetro de 200 cm. y se ubica a una profundidad de 10 m apoyado sobre roca impermeable. Dicho colector tiene sobre su clave, una capa de grava arcillosa de 4 m de espesor de propiedades γs = 1.55 gr /cm³, e = 0.63, Ko = 0.5; en la parte superior de dicha capa, se presenta un estrato de 3 m de espesor compuesto por arena limosa de n = 0.41, w sat = 27 %, φ = 30°; Sobre ésta tenemos arcilla con Gs = 2.39, e = 0.49, Ko = 0.8, y espesor 2 m. Por último para la parte superior restante de 1 m de espesor, se colocó una capa de arena seca de características γd = 1.19 t/m³, φ = 33°. El nivel freático se encuentra en la cota –1.00 m.. Utilizando los datos anteriormente mencionados, se pide calcular: a) Las tensiones verticales y horizontales ( tanto efectivas como totales ) a las que estará sometido el colector en su parte superior y media.  b) Los incrementos de tensiones que llegarán a la clave del colector, debido al peso transmitido por una torre de fundación superficial rectangular (losa) de 15 x 10 m la que pesa 250 t. (El eje del colector atraviesa la fundación a lo ancho.) Solución estrato 0.00 m. – 1.00 m.; μ = 0 T/m² σv = γd * Z = 1.19 T/m³ * 1 m = 1.19 T/m² σv’ = σv - μ = 1.19 T/m² – 0 T/m² = 1.19 T/m² Ko = 1 – sen φ = 1 – sen 33° = 0.46 σh’ = Ko * σv’ = 0.46 * 1.19 T/m² = 0.55 T/m² σh = σh’ + μ = 0.55 T/m² + 0 T/m² = 0.55 T/m² estrato 1.00 m. – 3.00 m.; μ = 0 T/m² + γw * Z = 0 T/m² + 1 T/m³ * 2 m = 2 T/m² γ b = γsat - γw Gs = γs = 2.39, pero γw = 1 T/m³ γw Gs = γs = 2.39 γs = 2.39 T/m³ γsat = γs + e _  1+e γsat = 2.39 T/m³ + 0.49 _  1 + 0.49 γsat = 1.93 T/m³ γ b = 1.93 T/m³ – 1 T/m³ = 0.93 T/m³ σv’ = 1.19 T/m² + γ b * Z = 1.19 T/m² + 0.93 T/m³ * 2 m σv = σv’ + μ = 3.05 T/m² + 2 T/m² = 5.05 T/m² σh’ = Ko * σv’ = 0.8 * 3.05 T/m² = 2.44 T/m² σh = σh’ + μ = 2.44 T/m² + 2 T/m² = 4.44 T/m² estrato 3.00 m. – 6.00 m.; μ = 2 T/m² + γw * Z = 2 T/m² + 1 T/m³ * 3 m = 5 T/m² γ b = γsat - γw γsat = Wt/Vt

= 3.05 T/m²

n=Vv/Vt= 0.41

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