Fiche Méthodique

Universit´ e de Nantes L3

Th´eorie de la mesure et probabilit´es

R´esum´e de th´eorie de la mesure Cette feuille de r´esum´e n’est qu’un document de travail. Elle ne remplace bien ´evidemment pas les notes de cours ainsi que les exercices effectu´ees en TD. Son but est uniquement de montrer une fa¸con de structurer les notions importantes ´etudi´ees. Les prochaines fiches de r´esum´es seront `a faire par. . . vous !

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Le cours

1.1 1.1.1

D´ efinitions importantes Les tribus

• D´efinition en 3 points. ´nombrables. • Attention, on parle toujours de r´eunions, d’intersections de • Les 3 points de la d´efinition ne sont pas uniques (on peut remplacer la r´eunion par l’intersection. . . ) • Les ´el´ements de la tribu s’appellent les ensembles mesurables. • Attention, les tribus sont stables par intersection mais pas par union (cf. contre-exemple) • D´efinition de la tribu engendr´e. La d´efinition du cours n’est pas tr`es utilisable en pratique. • La tribu des bor´eliens est d´efinie, sur un espace topologique, comme la tribu engendr´ee par les ouverts. → Revoir le cours de th´eorie des ensembles. 1.1.2

Les fonctions mesurables

´ciproques : l’image r´eciproque d’un ensemble mesurable est mesurable. • La d´efinition utilise les fonctions re • La mesurabilit´e d´epend des tribus de d´epart et d’arriv´ee. • Lorsque les tribus sont les tribus bor´eliennes, on appelle fonction bor´elienne toute fonction mesurable . → Revoir le cours sur les fonctions r´eciproques. → Revoir le cours sur les fonctions continues (la r´eciproque d’un ouvert est ouverte). 1.1.3 • • • •

Les mesures

D´efinition en 3 points. Attention, la σ-additivit´e est une in´egalit´e lorsque les ensembles ne sont pas disjoints. Les mesures finies sont importantes (ex. les probabilit´es) Les mesures σ-finies : existence d’une suite croissante de compacts de mesures finies (ex. mesure de Lebesgue).

1.2

R´ esultats importants

´norme ´ment manipuler Ce cours est assez particulier en ce sens qu’il contient essentiellement des d´efinitions qu’il faut e pour se les approprier. • Le th´eor`eme de Carath´eodory qui ne s’applique qu’aux mesures finies. • Le th´eor`eme de la classe monotone.

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Ce qui n’est pas dans le cours mais qu’il faut connaˆıtre

Ces r´esultats, bien que ne faisant pas l’objet d’une partie du cours sont importants. Comment les d´etecter ? Ils ont ´et´e cit´es dans le cours puis revus tr`es souvent en TD !

2.1

Les ensembles classiques

On se restreint ici `a la mesure de Lebesgue sur les bor´eliens de R. • Les ensembles d´enombrables sont mesurables de mesure nulle (ex. Q) • Il existe des ensembles de mesure nulle non d´enombrables (ex. Cantor) 1

2.2

Les bor´ eliens sur R

• D´efinie comme la tribu engendr´ee par les ouverts, elle l’est ´egalement par les intervalles (de toute forme au niveau des bornes) ! • Contre-exemple en TD d’ensemble non bor´elien. 2.2.1

Quelques mesures

Cette partie sera ´etoff´ee lors de l’´etude des int´egrales. • Les mesures de Dirac • La mesure de comptage sur N. • La mesure de Lebesgue. → Revoir le cours d’int´egration de Lebesgue.

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Les m´ ethodes

Ou comment aborder un exercice ? Cette partie permet de r´eviser les exercices effectu´es en TD. 3.0.2

Les tribus

• Utiliser la d´efinition • Pour montrer qu’un ensemble est mesurable, on peut montrer qu’il est l’image r´eciproque par une fonction mesurable d’un ensemble mesurable. 3.0.3

Les tribus engendr´ ees

• Pour montrer que σ(E) = T , utiliser la double inclusion I si E ⊂ T et T est une tribu, alors σ(E) ⊂ T . I Pour l’inclusion r´eciproque. Soit T ∈ T , montrer que T peut s’´ecrire, `a l’aide des op´erations autoris´ees sur les tribus (compl´ementaire, r´eunion d´enombrable,. . . ) en fonction des ´el´ements de E. 3.0.4

Les fonctions mesurables

Ou comment montrer qu’une fonction est mesurable • Addition, multiplication, sup, inf, limite de fonctions mesurables connues. • Si les tribus de d´epart et d’arriv´ee sont les tribus bor´eliennes, Continue (sauf en un nombre d´enombrables de points) ⇒ Mesurable • Si la tribu de d´epart et la tribu d’arriv´ee sont les bor´eliens de R Monotone ⇒ Mesurable (on a besoin de se placer sur R pour d´efinir une relation d’ordre puis la monotonie) • Revenir `a la d´efinition en prenant un ´el´ement B de la tribu d’arriv´ee et en montrant que f −1 (B) est dans la tribu de d´epart. • Variante du pr´ec´edent : lorsque la tribu d’arriv´ee est engendr´ee par une partie E, il suffit de prendre B ∈ E. • Contre-exemple dans le TD d’une fonction non mesurable de module mesurable. 3.0.5

Les mesures

• Utilisation de la sous-additivit´e pour montrer que les fonctions de r´epartitions sont continues `a gauche et ont une limite `a droite en tout point.

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