Fichas de trigonometria 12ºano

Ficha de revisão 3 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data

Professor

-

1. Considere a função f , de domínio

 x , definida por f  x   3  6 cos   . 3

1.1.

Prove que a função f é periódica e indique o período positivo mínimo.

1.2.

Determine o contradomínio da função f .

1.3.

Determine uma expressão geral dos zeros da função f .

1.4.

Mostre que a função f é par.

2. Seja g a função de domínio

- 20

definida por g  x   1 

sin  2 x  . 2

2.1.

Determine o contradomínio da função g .

2.2.

Prove que o período positivo mínimo da função g é π .

2.3.

 Determine os minimizantes da função g pertencentes ao intervalo   π , 

π . 2 

x π 3. Considere a função h , real de variável real, definida por h  x   3 tan     3 . 2 4 3.1.

Determine o domínio de h .

3.2.

 π 11π  Determine o(s) zero(s) de h pertencentes ao intervalo   , .  6 6 

3.3.

Prove que a função h tem período mínimo positivo igual a 2π .

4. Considere a função j , real de variável real, definida por j  x  

4.1.

Determine o domínio da função j e em seguida prove que:

x  D j , j  x   4.2.

1  2cos   π  x  . π  1  cos   x  2 

1  2 cos  x  1  sin  x 

Determine uma expressão geral dos zeros da função j .

Ficha de revisão 3 – Domínio 3 – Página 7

Ficha de revisão 3

5.

Resolva, em

, as equações seguintes.

5.1.

 x 2sin    1  0 2

5.3.

2cos  x   2  0

5.4. cos2  x   cos  x   0

5.5.

2cos x  sin x cos x  0

5.6. 3  4sin 2  2x  5.8. cos  π  x    sin x

5.7. sin x  cos  2x  5.9.

2  2sin  π  x   0

5.2.

π  5.10. tan  2 x   tan   3x  4 

tan 2  2 x   3

5.11. 2 cos 2 x  3  5cos x  0

5.12. 2sin 2 x  1  3sin x

5.13. sin 2 x  2 cos 2 x  2  0

5.14. 2 tan x cos x  1

6.

 π  Resolva, em   , π  , a equação 2sin 2 x  cos x  1 .  2 

7.

Mostre que: 7.1. x  , sin 4 x  sin 2 x  cos4 x  cos2 x

1   sin x  cos x  π  \   kπ, k   , 1   1  2sin x cos x 2  2

7.2. x 

8.

Na figura estão representados, num plano munido de um referencial ortonormado xOy , a circunferência trigonométrica e o triângulo OPC  . Sabe-se que: ▪ O é a origem do referencial; ▪ A 1, 0 , B  0 ,1 e C  0 , 1 ; ▪ o ponto P desloca-se ao longo do arco AB , nunca coincidindo com o ponto B . Para cada posição do ponto P , seja x a amplitude do ângulo AOP e seja f  x  a função que representa a área do triângulo OPC  , em função de x . 8.1. Prove que f  x  

 8.2. Seja    0 , 

cos x   π  x  0 ,   .  2   2 

3 π π  , tal que cos       . Determine o valor de f   .  5 2 2 

Apresente o resultado na forma de fração irredutível. Ficha de revisão 3. – Domínio 3 – Página 1

Miniteste 3.1. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

1.

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data -

- 20

Determine o valor exato de tan  a  b  sabendo que:

1 π ▪ sin a   a   , 3 2 ▪ cos b 

 π 

2  π  b   , 5  2

 0 

Apresente o valor pedido na forma de fração irredutível com denominador racional.

2.

Calcule o valor exato de

π π cos    sin   .  12   12 

Miniteste 3.1. – Domínio 3 – Página 1

Questão-aula 3.1. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Professor

Matemática A | 12.º ano Data -

- 20

Item de seleção Relativamente a um ângulo x sabe-se que tan x 

a , com a, b  b

\ 0 .

Qual é o valor exato de a sin  2 x   b cos  2 x  ? (A) a (B) b (C) ab (D)

b a

Item de construção Determine o valor exato de cos x sabendo que:

2 π x  3π  sin       x   π ,  3 2 2 2 

Questão-aula 3.1. – Domínio 3 – Página 1

Miniteste 3.2. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Professor

1.

2.

- 20

, cada uma das equações.

2 sin x  2 cos x  3

1.2. sin x  cos x   1.3.

Data -

Resolva, em 1.1.

Matemática A | 12.º ano

6 2

cos  2 x   2  3cos x

Mostre que x  , cos  2 x   cos  4x   1  2cos2 x  2cos2  2 x  1 .

Miniteste 3.2. – Domínio 3 – Página 1

Questão-aula 3.2. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Professor

Matemática A | 12.º ano Data -

- 20

Item de seleção Relativamente a um ângulo  sabe-se que

2 tan  24 .  2 1  tan  25

Qual é o valor de cos2  2  ? (A)

24 25

(B)

1 625

(C)

49 625

(D)

576 625

Item de construção

1 π π Resolva em π , π a equação sin  2 x  cos    cos  2 x  sin     . 2 5 5

Questãu-aula 3.2. – Domínio 3 – Página 1

Miniteste 3.3. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

1.

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data -

Mostre que, em

- 20

, se tem:

1.1. sin  a  b   sin  a  b   2sin  b  cos  a  1.2.

2.

4  cos 2 a  cos 4 a   sin 2  2a 

Calcule cada um dos seguintes limites.

2.1.

2.2.

π  cos   x  2  lim x 0 1  cos x

2  2 tan  x  π cos  2 x  x  lim

4

Miniteste 3.3. – Domínio 3 – Página 1

Questão-aula 3.3. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Professor

Matemática A | 12.º ano Data -

- 20

Item de seleção De entre as opções seguintes, qual é o limite que não é igual a

1 ? 4

sin  x  2  x 2 x2  4

(A) lim

sin  4 x  x 0 tan  2 x 

(B) lim

 1  sin x  (C) lim   2 π x   cos x  2 (D) lim x 0

2

sin x 8 x  2 tan  2 x 

Item de construção

 π π Considere a função g , de domínio   ,  , definida por:  2 2 g  x 

cos  x   2 cos  x 

Estude a função g quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico. Na sua resposta, apresente uma equação para cada assíntota ao gráfico de g .

Questão-aula 3.3. – Domínio 3 – Página 1

Miniteste 3.4. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Professor

1.

2.

Matemática A | 12.º ano Data -

- 20

Calcule, nos pontos em que existe, uma expressão da derivada da função definida por: 1.1.

f  x   5sin x cos  2 x 

1.2.

f  x   1  tan x 

1.3.

f  x 

2

2sin x 1  cos x

Determine, utilizando a definição, a derivada da função g , de domínio

, definida por:

g  x   cos  2 x  no ponto de abcissa x  π .

Miniteste 3.4. – Domínio 3 – Página 1

Questão-aula 3.4. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data

Professor

-

- 20

Item de seleção Seja f a função, de domínio

, definida por:

f  x   4sin 2  x  Qual das expressões seguintes define a função f  , segunda derivada de f ? (A) 8sin  2 x  cos x (B) 8sin  x  cos  2 x  (C) 8cos  2x  (D) 8sin  2x 

Item de construção

 3π  Considere a função g , de domínio  0 ,  , definida por: 2 

g  x   cos2 x  sin 2 x  2 1.

O gráfico da função g interseta a reta de equação y  1 num só ponto. Determine, recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, as coordenadas desse ponto.

2.

Estude a função g quanto à monotonia e à existência de extremos relativos. Na sua resposta, apresente: •

o(s) intervalo(s) onde a função g é estritamente decrescente;

•

o(s) intervalo(s) onde a função g é estritamente crescente;

•

o(s) extremo(s) relativo(s) da função g .

Questão-aula 3.4. – Domínio 3 – Página 1

Miniteste 3.5. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data

Professor

1.

-

Considere a função f , de domínio

- 20

, definida por:

 x  sin x se x  0  x f  x   2  x 1 se x  0  x  1 1.1. Estude a função f quanto à continuidade no ponto de abcissa x  0 . 1.2. Estude a função f quanto à existência de assíntotas não verticais ao seu gráfico, escrevendo as suas equações, caso existam. 1.3. Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x

2.

3π . 2

De uma função h , de domínio 0 , π , sabe-se que a sua derivada h está definida igualmente no intervalo 0 , π e é dada por: h  x  

1  sin x sin x

Estude a função h quanto às concavidades do seu gráfico e à existência de pontos de inflexão. Na sua resposta, apresente: • o(s) intervalo(s) em que o gráfico de h tem concavidade voltada para baixo; • o(s) intervalo(s) em que o gráfico de h tem concavidade voltada para cima; • a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de h .

Miniteste 3.5. – Domínio 3 – Página 1

Questão-aula 3.5. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data -

- 20

Item de seleção Na figura está representado o triângulo isósceles  ABC  . Sabe-se que: ▪

AC  BC  3 e AB  2

▪  designa a amplitude do ângulo BAC . Qual dos seguintes pode ser o valor de AC  CB , em função de  ? (A) 9cos  2  (B) 9 18sin 2   (C) 9cos2  2  (D) 9cos  

Item de construção π Considere a função g , de domínio 0 , π \   , definida por: 2 g  x 

1 tan x

Estude a função g quanto à: 1.

existência de assíntotas verticais ao seu gráfico;

2.

à monotonia do seu gráfico. Na sua resposta, apresente os intervalos de monotonia.

Questão-aula 3.5. – Domínio 3 – Página 1

Miniteste 3.6. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data

Professor

1.

-

- 20

Num dia de vento são observadas oscilações no tabuleiro de uma ponte suspensa construída sobre um vale. Mediu-se a oscilação do tabuleiro da ponte durante um minuto. Admita que, durante esse minuto, a distância de um ponto P do tabuleiro a um ponto fixo do vale é dada, em metros, por: h  t   20 

1 cos  2πt   t sin  2πt  2π

t é medido em minutos e pertence a  0 ,1 . Recorrendo à calculadora, resolva a inequação h  t   19,5 . Na sua resposta, apresente: ▪ num referencial, o gráfico da função ou gráficos da função que tiver necessidade de visualizar na sua calculadora, devidamente identificados; ▪ as coordenadas dos pontos relevantes com arredondamento às milésimas; ▪ as soluções usando a notação de intervalo de números reais, com os extremos do(s) intervalo(s), arredondadas às centésimas.

2.

Considere a função f , de domínio  0 , π , definida por:

f  x   cos  x   x 

sin  2 x  2

Estude a função f quanto à monotonia e à existência de extremos relativos e indique o respetivo contradomínio.

Miniteste 3.6. – Domínio 3 – Página 1

Questão-aula 3.6. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data

Professor

-

- 20

Item de seleção De uma função f , de domínio  π , π , sabe-se que a sua derivada f  está definida igualmente no intervalo  π , π e é dada por: f   x   x  2cos  x   sin  x 

Qual é o valor de lim x 0

f  x   f  0 ? x

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

Item de construção Na figura está representado o losango  ABCD , assim como as suas diagonais  AC  e  BD , que se intersetam no ponto O . Sabe-se que a medida do comprimento de cada lado do losango é igual a 1 e que  é a amplitude do ângulo BAO . 1.

Mostre que a área do losango  ABCD é dada, em função de  , por:

 π A     sin  2  ,    0,   2 2.

π  3  π Seja    0 ,  , tal que sin      . 2  4  2 Determine o valor exato de A   .

3.

Determine  para o qual a medida da área do losango  ABCD é máxima.

Questão-aula 3.6. – Domínio 3 – Página 1

Miniteste 3.7. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Professor

1.

Matemática A | 12.º ano Data -

- 20

Um ponto P move-se no eixo das abcissas, onde a unidade é o metro, de forma que a sua abcissa no instante t (em segundos) é dada por:

1  x  t   6 cos  πt  π  2  1.1. Indique a amplitude, o período, a frequência do movimento, bem como o respetivo ângulo de fase. 1.2. Determine uma expressão analítica da velocidade do ponto P . 1.3. Determine o módulo da velocidade máxima e o módulo da aceleração máxima do ponto P .

2.

Num certo dia de verão, a temperatura, em graus Celsius, dentro de uma determinada habitação, é dada por:

3π  π f  t   a cos  t    d , a  4   12



e d

onde t designa o tempo, em horas, contado a partir das 0 horas desse dia. Sabe-se que nessa habitação e nesse dia a temperatura máxima ocorrida foi de 23 ºC e a temperatura mínima ocorrida foi de 18 ºC. 2.1. Prove que a  2, 5 e d  20,5 . 2.2. Determine o instante, desse dia, em que a temperatura, em ºC, dentro dessa habitação, foi máxima, recorrendo a processos exclusivamente analíticos.

Miniteste 3.7. – Domínio 3 – Página 1

Questão-aula 3.7. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data

Professor

-

- 20

Item de seleção Na figura está representada uma representação gráfica de um oscilador harmónico f no intervalo

0 , 6 .

Qual das seguintes pode ser uma expressão analítica f  t  da função representada?

 3π  (A) 4 cos  t  π  2 

 π 3π  (B) 4 cos  t   2 2

π  (C) 2 cos  t  π  2 

π π (D) 2 cos  t   2 2

Item de construção Um ponto P move-se no eixo das abcissas de forma que a sua abcissa no instante t (em segundos) é dada por:

π  π  x  t   sin  t   cos  t  2  2  1.

Prove que se trata de um oscilador harmónico.

2.

Indique a amplitude, o período, a frequência do movimento, bem como o respetivo ângulo de fase.

Questão-aula 3.7. – Domínio 3 – Página 1

Ficha de preparação para o teste de avaliação 3 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data

Professor

1.

-

- 20

Determine o período positivo mínimo, o contradomínio e os zeros de cada uma das funções. 1.1.

π  f  x   1  sin  2 x   em  π , π 4 

π  1.2. g  x   2 cos  x    1 em 3 

0 , 2π 1.3.

2.

 π π 5π  h  x   tan  3x   3 em  0 , π \  , ,  6 2 6 

4 Relativamente a um ângulo  sabe-se que cos         π , 0 . 5

Calcule o valor exato de sin  2  .

3.

Determine o valor exato de cos  a  b  sabendo que:

 3π  ▪ tan a  2  a   π ,  2 

4.

Resolva, em 4.1.

5.

▪ sin b  

12  π 3π  b ,  13 2 2 

, as equações seguintes.

cos  πx   3 sin  πx   1

Considere a função f , de domínio

4.2. cos 2  x   sin 2 x  

e com k 

, definida

3 2

por:

 2 cos  x  π se x   π 2  x f  x   2  π 1  k se x   2 5.1. Determine o valor de k de modo que f seja contínua em x  5.2. Prove que a reta de equação y 

6.

π . 2

8 12 x é tangente ao gráfico de f em x  π . 2 π π

Determine, utilizando a definição, a derivada da função f , de domínio

, definida por

f  x   sin  x  cos  2x  , em x  0 . Ficha de preparação para o teste de avaliação 3 – Domínio 3 – Página 1

Ficha de preparação para o teste de avaliação 3

7.

x  π 3π  Considere a função g , de domínio   ,  , definida por g  x    cos  x  . 2  2 2

7.1. Estude a função g quanto à monotonia e à existência de extremos relativos. Na sua resposta, apresente: ▪

o(s) intervalo(s) onde a função g é estritamente decrescente;

▪

o(s) intervalo(s) onde a função g é estritamente crescente;

▪

o(s) extremo(s) relativo(s) da função g .

 π 3π  7.2. Determine os valores de x , pertencentes ao intervalo   ,  , tais que:  2 2 f  x 

8.

Considere a função h , de domínio

x  sin  2 x  2

, definida por h  x   2 x  cos  x  .

h  x   2π  1 . x  π xπ

8.1. Determine o valor de lim

8.2. Estude o gráfico de h quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de inflexão no intervalo  π , π .

9.

Considere a função j , de domínio

\ 0 , definida por j  x  

sin  3x  . x

9.1. Estude a função j quanto à existência de assíntotas verticais ao seu gráfico.

1  9.2. Prove que c   1 ,   : j  c   1 . 2  9.3. Prove que x 

\ 0 , j   x  

3x cos  3x   sin  3x  . x2

9.4. Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de j no ponto de abcissa x

π . 6

10. Seja f a função, de domínio

, definida por:

f  x   0,5sin  2πx   0, 25sin  4πx 

Prove que x  , f  x   sin  2πx   cos2  πx  . Ficha de preparação para o teste de avaliação 3 – Domínio 3 – Página 2

Teste de avaliação 3 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data

Professor

1.

-

- 20

Relativamente a dois ângulos  e  sabe-se que tan   2 tan  . Qual é o valor de tan     ?

2.

(A)

3 tan  1  tan 2 

(B)

tan 3  1  2 tan 2 

(C)

3sin  cos  cos 2   2sin 2 

(D)

3sin  cos  cos  2 

2ax sin x    0, a  Sabe-se que lim  x 1 sin  4 x   x 0 1  cos x   (A) 1

3.

(B) 0,5

(C) 1

\ 0 . Qual é o valor real de a ?

(D) 4

Considere a função f , de domínio

 π kπ  \   , k   , definida por: 6 3  f  x 

2 tan  3x 

A equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x 

8π  2 3 9 86 3 (C) y  8 x  3

86 3 9 8π  6 3 (D) y  8 x  9

(A) y  8 x 

4.

(B) y  8 x 

Qual das expressões seguintes pode ser a expressão analítica de uma função de domínio (A)

1 cos 2 x

(B)

1 (C) sin    x

5.

π é: 9

(D)

?

x 1  tan 2 x

cos  2 x   1

Uma função real de variável real g é tal que g  x    g   x  , para qualquer número x . Indique qual das seguintes expressões pode definir a função g . (A) sin 2  x 

(B) x 2

(C) cos  x 

(D)

1 x2

Teste de avaliação 3 – Domínio 3 – Página 1

Teste de avaliação 3

6.

Considere a função g de domínio 0 , 2π  definida por:

1  sin x se 0  x  π g  x   1  sin x se π  x  2π 6.1. Mostre que a função g é contínua no seu domínio. 6.2. Averigue se existe g   π  e em caso afirmativo indique o seu valor.

7.

Considere a função f de domínio  π , π definida por f  x   2cos  x   cos  2 x  . Estude a função f quanto à monotonia e à existência de extremos relativos e indique o contradomínio.

8.

Na figura estão representados, num referencial ortonormado xOy : ▪ o gráfico da função f , de domínio 0 , 4π  , definida por f  x   2sin  x  ;

▪ o gráfico da função g , de domínio 0 , 4π  , definida

 x por g  x   2sin   ; 2 ▪ o ponto A pertencente ao gráfico de f e ao gráfico de g;

▪ o ponto B do eixo das abcissas; ▪ a reta t tangente ao gráfico de f no ponto A e que passa por B . Determine a abcissa do ponto B .

9.

Um ponto P move-se no eixo das abcissas de forma que a sua abcissa no instante t (em segundos) é dada por: x  t   a sin  kt   b cos  kt  , onde a, b e k 

\ 0

Mostre que a aceleração do movimento desse ponto é diretamente proporcional a x  t  e indique a constante de proporcionalidade.

Teste de avaliação 3 – Domínio 3 – Página 2

Proposta de resoluções

 x  , 

Ficha de revisão 3 Págs. 8 e 9 1.1. Seja P o período positivo mínimo da função f . Se x  D f , então x  P  D f , porque D f  .

 xP  x  x  , cos    cos     3   3  x P  x  x  , cos     cos   3 3   3

2 2  x  , sin  2 x  2 P   sin  2 x 

sin  2 x  1 sin  2 x  1 1  1    1  2 2 2 2 2 sin  2 x  1     sin  2 x   1  2 x   k 2, k  2 2 2   x   k , k  4   Como x   ,  : 2          k       k     4 4 2 4 2 5    k   4 4 5 1    k   k  1  k  0 , pois k  4 4  3 Para k  1: x    1    4 4  Para k  0 : x  4 Portanto, os minimizantes da função g pertencentes ao

P é o menor valor positivo para o qual a proposição é P  2 , pelo que P  6 . 3 Portanto, a função f é periódica de período positivo mínimo P0  6 .

verdadeira,

 x x  D f ,  1  cos    1  3  x  x  D f , 6  6cos    6  3  x  x  D f , 9  3  6cos    3  3  x  D f , 9  f  x   3 Portanto, Df   3, 9 .

 x  x 1 f  x   0  3  6cos    0  cos     3 3 2 x  x     k 2, k      k 2, k   3 3 3 3  x    k 6, k   x    k 6, k   x   x f   x   3  6cos    3  6cos    f  x   3  3 Como x  D f ,  x  D f e f   x   f  x  , podemos

3    e . intervalo  ,  são  4 4 2  x     3.1. Dh   x  :    k , k    2 4 2   x     Dh   x  :   k , k    2 4  

    Dh   x  : x   2k , k    2      Dh  \   2k , k   2 

concluir que a função f é par. 2.1.

x  Dg ,  1  sin  2 x   1 

sin  2 x  1 1    2 2 2 sin 2 x   1 1  x  Dg , 1   1  1  2 2 2 sin  x  1 3  x  Dg ,  1    2 2 2 3 1  x  Dg ,  g  x   2 2 1 3  Portanto, Dg   ,  . 2 2 2.2. Seja P o período positivo mínimo da função g . Se x  Dg , então x  P  Dg porque Dg  .  x  Dg ,

x  , g  x  P   g  x 

 x  , 1 

sin  2  x  P   2



g  x 

Como 2 é o período positivo mínimo da função cosseno e

1.4.

sin  2 x 

é o menor valor positivo para o qual a proposição é verdadeira, 2P  2 , isto é, P   . Logo, a função g tem período positivo mínimo  . 1 2.3. O mínimo de g é , pelo que os minimizantes são as 2 1 soluções da equação g  x   . Assim: 2

 xP  x  x  , 3  6cos    3  6cos     3  3  xP  x  x  ,  6cos    6cos     3  3

1.3.



Como 2 é o período positivo mínimo da função seno e P

x  , f  x  P   f  x  

1.2.

sin  2 x  2P 

1

sin  2 x  2



3.2.

 x  h  x   0  3tan     3  0  2 4 3  x   tan      2 4 3  x     tan     tan    2 4   6 x       k , k   2 4 6 x       k , k   2 6 4 x      k , k   2 12   x    2k , k  6

Resoluções – Domínio 3 – Página 1

Proposta de resoluções   11  Como x    ,  :  6 6    11    11     2k          2k   6 6 6 6 6 6 6  0  2k   2  0  k  1  k  1 , pois k   11 Para k  1: x    2  6 6   11  11 O zero de h pertencente ao intervalo   ,  é 6 .  6 6 

5.2.

 2  2sin  x   0  sin  x   

5.3.

5.4.

menor valor positivo para o qual a proposição é verdadeira, P terá de ser   , isto é, P  2 . 2 Logo, a função h tem período positivo mínimo igual a 2 . 4.1. x  , cos    x    cos x

  x  , cos   x    sin x 2  1  2cos    x  1  2   cos x  x  D j , j  x     1    sin x    1  cos   x  2 



1  2cos  x 

5.5.

4.2.

: sin x  1 

  : x    k 2, k    2     \   k 2, k    2 

j  x  0 

1  2cos  x  1  sin  x 

0

 1  2cos  x   0  1  sin  x   0 

1  cos  x     x  D j  2    x     k 2, k   x     k 2, k  3 3 2 2 x  k 2, k   x    k 2, k  3 3

5.1.

  cos  x   cos    cos  x   1  2   x   k , k   cos  x   cos  0   2   x   k , k   x  k 2, k  2 2cos x  sin x cos x  0  cos x  2  sin x   0 

3 3  sin  2 x    2 2     sin  2 x   sin     sin  2 x   sin    3   3  4  2 x    k 2, k   2 x   k 2, k   3 3  2 2 x   k 2, k   2 x   k 2, k   3 3  2  x    k , k   x   k , k   6 3    x   k , k   x   k , k  6 3   sin x  cos  2 x   sin x  sin   2 x   2   sin  2 x   

  Dj  x    Dj 

cos2  x   cos  x   0  cos  x   cos  x   1  0 

  cos  x   0  2  sin x  0  cos  x   cos    sin x  2 2  x   k , k   x  2 (a equação sin x  2 é impossível, pois x  ,  1  sin x  1 )   x   k , k  2 3 5.6. 3  4sin 2  2 x   sin 2  2 x    4

1  sin  x 

Por outro lado: D j   x  : 1  sin x  0  D j   x 

2  3   cos  x   cos   2  4  3 3 x  k 2, k   x    k 2, k  4 4 2cos  x   2  0  cos  x   

 cos  x   0  cos  x   1  0 

 x P   x   x  Dh , 3tan     3  3tan     3  2 4   2 4  x P   x   x  Dh , 3tan      3tan     2 2 4 2 4  x P   x   x  Dh , tan      tan    2 2 4 2 4 Como  é o período mínimo da função tangente e P é o

2  2

   sin  x   sin      4  5  x    k 2, k   x   k 2, k  4 4

3.3. Seja P o período positivo mínimo da função h . Se x  Dh , então, x  P  Dh , porque se k  , então

k  1 . x  Dh , h  x  P   h  x  

2  2sin    x   0  2  2   sin  x   0 

5.7.

1  x  x  x   2sin    1  0  sin      sin    sin    2 2 2 2        6 x  x      k 2, k       k 2, k   2 6 2 6  7  x    k 4, k   x   k 4, k  3 3

    2 x  k 2, k   x      2 x   k 2, k  2 2     3x   k 2, k    x   k 2, k   2 2  k 2  x  , k   x    k 2, k  6 3 2 cos    x    sin x   cos x   sin x  cos x  sin x  x



5.8.

x

5.9.

  k , k  4

tan 2  2x   3  tan  2x    3  tan  2 x   3  Resoluções – Domínio 1 – Página 2

Proposta de resoluções 1  3 1  3        cos x   cos x    x   ,     4  4 2     1        cos x    cos x  1  x   ,    2    2 

     tan  2 x   tan     tan  2 x   tan    3   3    2 x    k , k   2 x   k , k   3 3  k  k x  , k  x  , k 6 2 6 2    5.10. tan  2 x   tan   3x   2 x   3x  k , k   4 4     k  5 x   k , k   x   , k 4 20 5 5.11. 2cos 2 x  3  5cos x  0  2cos 2 x  5cos x  3  0 

 cos x 

5  25  4  2   3 2 2

   2       cos x  cos    cos x  cos  0    x   ,    3    2    2 2  x   k 2, k   x    k 2, k   3 3   x  k 2, k 

7.1.

 cos x 

5  7 5  7  cos x   4 4

 cos x 

1   cos x  3  cos x  cos    x  2 3

(a equação cos x  3 é impossível, pois x  ,  1  cos x  1 )    x   2k , k   x    2k , k  3 3 5.12. 2sin 2 x  1  3sin x  2sin 2 x  3sin x  1  0 

2 x0 3 x  : sin 4 x  sin 2 x  cos 4 x  cos 2 x 

 x  , sin 2 x  sin 2 x  1  cos4 x  cos2 x 

 x  , sin 2 x 1  cos 2 x  1  cos 4 x  cos 2 x   x  , 1  cos 2 x   cos 2 x   cos 4 x  cos 2 x 

 x  ,  cos2 x  cos4 x  cos4 x  cos2 x   x  , cos4 x  cos2 x  cos4 x  cos2 x 7.2.

3  9  4  2 1 3 1 3 1  sin x   sin x   2 2 4 4 1     sin x  1  sin x   sin x  sin    sin x  sin   2 2 6    x   k 2, k   x   k 2, k   2 6 5 x   k 2, k  6 5.13. sin 2 x  2cos 2 x  2  0  1  cos 2 x  2cos 2 x  2  0   cos 2 x  1  cos x  1  cos x  1   cos x  cos  0   cos x  cos    

x 

 x 

1  x  1

2sin x cos x  1  cos x  2sin x  1  cos x  0  1   sin x   x   k , k   2 2

 sin x 

    2cos 2 x  cos x  1  0  x   ,    2  

 cos x 

1  1  4  2   1 2  2 

    x   ,     2 

cos x

2

 1  2sin x 

  \   k , k   , 2  

1   sin 2 x  2sin x cos x  cos2 x  cos x   \   k , k   , 2   1  1  2sin x cos x  cos x

 1  2sin x 

 1  2sin x 

  \   k , k   , 2  1  1  2sin x cos x 1  1  2sin x  cos x    x  \   k , k   , 2  2sin x cos x 1+  1  2sin x  cos x    x  \   k , k   , 1  2sin x  1  2sin x 2 

5.14. 2 tan x cos x  1 

    2 1  cos 2 x   cos x  1  0  x   ,     2      2  2cos 2 x  cos x  1  0  x   ,     2 

1   sin x  cos x 

 x 



1   sin x  sin    2 6  5  x   k 2, k   x   k 2, k  6 6    2sin 2 x  cos x  1  x    ,     2 

  \   k , k   , 2  1

 sin x 

6.

   

x



 x  2k , k   x    2k , k   x  k , k 

 ,  2

  x  

8.1.

base  altura OC  abcissa de P   2 2 1  cos x cos x   2 2

AOPC  

    x  0,   .  2   3 3 3   cos         sin     sin   5 5 5 2 

Portanto, f  x   8.2.

cos x 2

Pela fórmula fundamental da trigonometria: 2

9  3 2 2     cos   1  cos   1  25 5 Resoluções – Domínio 1 – Página 3

Proposta de resoluções

 cos 2  

      cos   cos    sin   sin    3 4     3 4

16 4 4  cos     cos   25 5 5

4   Como   0,  , cos   0 , pelo que cos   . 5 2   4 cos 5 4 1 2 Logo, f        . 2 2 5 2 5

Miniteste 3.1. 1.

            sin   cos    sin   cos     3 4  4   3       

Pág. 10

tan a  tan b tan  a  b   1  tan a tan b Determinemos o valor de tan a . 1 1 1 1   1 9 tan 2 a  1 2 tan 2 a   3

2 6  6 2     4 4  4 4 



2 6 6 2 2 2 2      4 4 4 4 4 2 Pág. 11

a  a sin  2 x   b cos  2 x   b  sin  2 x   cos  2 x    b   sin x   b  tan x sin  2 x   cos  2 x    b  sin  2 x   cos  2 x   cos x  

 sin x sin  2 x   cos x cos  2 x    cos  2 x  x    b   b  cos x    cos x  cos x b b cos x

2 2  tan a  4 4

2   Como a   ,   , então tan a  0 , pelo que tan a   . 4 2  Determinemos o valor de tan b . 1 25 21 1  tan 2 b   1  tan 2 b   tan 2 b   2 4 4 2   5  tan b 



Questão-aula 3.1. Item de seleção

1 1 1 1   8  tan 2 a   tan a    tan a   2 tan a 8 8 8 1 1  tan a    tan a   2 2 2 2  tan a  

1 2 3 2  3 2 2 1         2 2 2 2  2 2 2 2 

Resposta: (B) Item de construção 2 2  x  x sin       cos     2 2 3 2 3    

 x  x Por outro lado, cos x  cos 2    sin 2   , ou seja, 2  2

21 21  tan b    4 4

 x   x  cos x  cos2    1  cos2      2   2 

21 21  tan b   2 2    Como b    , 0  , então tan b  0 , pelo que  2   tan b 

 x  x  x  cos x  cos 2    1  cos 2    cos x  2cos 2    1  2  2  2 2

tan b  

4 8 1  2 cos x  2     1  2   1   1   3 9 9 9   1 Portanto, cos x   . 9

21 . 2

2  21   2  2 21    4  2  4 tan  a  b      42 2  21  1  1        8  4  2  

Miniteste 3.2.

2 2  4 21 2 2  4 21 8  42 2 2  4 21 8     8  42 8  42 8  42 8  42 8



2.





16 2  2 84  32 21  4 882  64  42



16 2  4 21  32 21  84 2  22



100 2  36 21 50 2  18 21  22 11



      cos    sin    cos     sin     12 12 3 4       3 4







1.1.

Pág. 12 2 2 3 2 sin x  2 cos x  3  sin x  cos x   2 2 2

  3  sin sin x  cos cos x   4 4 2

 cos x cos

  3  sin x sin    4 4 2

  3   5    cos  x      cos  x    cos    4 2 4    6   5  5  x   k 2, k   x     k 2, k  4 6 4 6 7 13 x  k 2, k   x    k 2, k  12 12 1.2.

sin x  cos x  

6 2 2 2 6  sin x  cos x    2 2 2 2 2

Resoluções – Domínio 1 – Página 4

Proposta de resoluções

1.3.

  12  2 3   cos sin x  sin cos x    sin  x     4 4 4 4 4  

 cos 2  2  

  3      sin  x      sin  x    sin    4 2 4      3    4  x     k 2, k   x    k 2, k   4 3 4 3 7 13 x  k 2, k   x   k 2, k  12 12 cos  2 x   2  3cos x  cos 2 x  sin 2 x  2  3cos x  0 

Resposta: (C) Item de construção 1    sin  2 x  cos    cos  2 x  sin      2 5 5  1       sin  2 x      sin  2 x    sin     5 2 5    6    7  2 x     k 2, k   2 x    k 2, k   5 6 5 6   7   2 x     k 2, k   2 x    k 2, k   6 5 6 5 11 29  2x    k 2, k   2 x   k 2, k   30 30 11 29 x  k , k   x   k , k  60 60 Como x  ,  :

 cos2 x  1  cos 2 x   2  3cos x  0   2cos 2 x  3cos x  1  0 

3  9  4  2 1  2 2 3 1 3 1 1  cos x   cos x   cos x  1  cos x   4 4 2   cos x  cos  0   cos x  cos    3   x  2k , k   x   k 2, k   3   x    k 2, k  3 x  , cos  2 x   cos  4 x   1  2cos 2 x  2cos 2  2 x   1   cos x 

2.

 x  , cos 2 x  sin 2 x  cos  2 x  2 x   1   2cos 2 x  2cos 2  2 x   1 

 x  , cos2 x  1  cos2 x  

 cos  2x  cos  2x   sin  2x  sin  2x   1 

 2cos 2 x  2cos 2  2 x   1 

 x  , 2cos 2 x  1  cos 2  2 x   sin 2  2 x   1   2cos 2 x  2cos 2  2 x   1 

 x  , 2cos2 x  cos2  2 x   1  cos 2  2 x     2cos 2 x  2cos 2  2 x   1   x  , 2cos 2 x  2cos 2  2 x   1 

49 625

29  k    60 29 29      k      60 60 89 31     k   60 60 89 31  k  60 60  k  1  k  0 , pois k  Para k  1: 29 31 x    60 60 Para k  0 : 29 x  60 31 As soluções da equação, em ,  , são, portanto,   , 60 29 49 11   ,  e  60 60 60 11  k    60 11 11      k     60 60 49 71   k  60 60 49 71  k  60 60  k  0  k  1 , pois k  Para k  0 : 11 x  60 Para k  1: 11 49 x     60 60   

 

 2cos 2 x  2cos 2  2 x   1

Questão-aula 3.2. Item de seleção 2 tan  1  2 tan    2 tan   1  tan 2  1  tan 2 

Pág. 13

Miniteste 3.3. Pág. 14 1.1. sin  a  b   sin  a  b   sin  a  cos  b   sin  b  cos  a  

 sin  a  cos  b  sin  b cos  a  

1 , pois: 1 cos 2 

 sin  a  cos  b   sin  b  cos  a    sin  a  cos  b   sin  b  cos  a  

1 1  tan   , logo cos 2  1 2sin   cos 2  2 tan    2 tan   cos 2   1 cos  cos 2   2sin  cos   sin  2 

 sin  a  cos  b   sin  b  cos  a  

2

Logo, sin  2  

 sin  b  cos  a   sin  b  cos  a  

 2sin  b  cos  a 

1.2.

24 . 25

4  cos 2 a  cos 4 a   sin 2  2a   4 cos 2 a 1  cos 2 a     sin 2  2a  

 4 cos2 a  sin 2 a   sin 2  2a  

Pela fórmula fundamental da trigonometria, sin 2  2   cos 2  2   1 , ou seja, 2

 sin  a  cos  b   sin  b  cos  a  

2

 24   24  2 2    cos  2   1  cos  2   1      25   25 

 4cos 2 a sin 2 a  sin 2  2a  

  2cos a sin a   sin 2  2a    sin 2a   sin 2  2a   2

2

 sin 2  2a   sin 2  2a 

Resoluções – Domínio 1 – Página 5

Proposta de resoluções

2.1.

  0 cos   x     sin x 1  cos x   sin x  0  2   lim  lim  lim x 0 x 0 1  cos x x 0 1  cos x 1  cos x  1  cos x  lim

 sin x 1  cos x 

 lim

 sin x 1  cos x 

x 0 1  cos x sin 2 x  1  cos x   1  1 2  lim      x 0 sin x 0 0 2

x 0

2.2.



4

4

cos x  sin x cos x   x   cos x  sin x  cos x  sin x  4

 x  4

 2 lim x 

 4

Resposta: (B) Item de construção

   A função g é contínua no intervalo   ,  pois é definida  2 2

constante  y  2  e a outra é uma função trigonométrica

cos x  sin x  cos x  cos x  sin x  cos x  sin x  1  2 cos x  cos x  sin x 

1 1 1   1 sin  2 x  1 4 8  4  1 8  4 lim  lim 2 x 0 x  0 cos  2 x  1 2x

pelo quociente entre duas funções contínuas: uma é a diferença entre uma função trigonométrica  y  cos x  e uma função

 2 lim

 2 lim

x 0



sin x 0   1 2  2 tan  x   0  1  tan x cos x lim  2 lim  2 lim 2 2    cos  2 x  x  x  cos  2 x  x  cos x  sin x 4

sin x 1 x    tan  2 x  sin  2 x  8  2lim 8  4lim x 0 x  0 2 x cos  2 x  x lim

 y  cos x  . Assim, apenas as retas de equação

1   2 2 2    2  2 2 

  e x 2 2

são possíveis assíntotas verticais ao gráfico de g .

lim 

x 

1  2  2 1

 2

lim

 x 2

Questão-aula 3.3. Item de seleção

x

Pág. 15

0  

cos  x   2 cos  x 

cos  x   2 cos x





2   0

2   0

Portanto, as retas de equação x  

  e x  são assíntotas 2 2

sin  x  2   0  sin  x  2  sin  x  2  1  lim  lim  lim ▪ lim x 2 x  2  x  2  x  2  x 2 x 2 x  2 x2  4 x2

verticais ao gráfico de g . O gráfico de g não tem assíntotas não verticais pois o domínio de g é

Fazendo y  x  2 , tem-se x  2  y e, se x  2 , então y  0 .

um conjunto limitado.

lim x 2

sin  x  2 x2

 lim x 2

1 sin y 1 1 1  lim  lim  1  y 0 4  y x  2 y 0 y 4 4

0  

sin  4 x   0  sin  4 x  x  4lim  lim  ▪ lim x  0 tan  2 x  x 0 x  0 4x tan  2 x 

 4lim x 0

sin  4 x  4x

1 1  sin  2 x  lim 2 x 0 2x

1 1  4 1   1  2 2 1 0

2

 1  sin x 1  sin x     lim 1  sin 2 x     lim  x   cos 2 x 1  sin x    x   cos 2 x 1  sin x    2   2  2

2

2    cos 2 x 1   1  1      lim  lim    x   cos 2 x 1  sin x    x   1  sin x   1  1  4  2   2 

sin x 0   0 sin x x  lim  ▪ lim x  0 8 x  2 tan  2 x  x 0 8 x 2 tan  2 x   x x

   5   sin x  cos  2 x   sin x  cos  2 x      

   5 cos x cos  2x   2sin x sin  2x  

 5 cos x cos  2 x   sin x  2sin  2 x   

 5cos x cos  2 x   10sin x sin  2 x 

  \   k , k   , tem-se: 2  2  f   x   1  tan x   2 1  tan x 1  tan x  

1.2. Para x 



2

2  1  sin x   1  sin x   0     ▪ lim   lim  2   x   cos2 x  x   cos x  2  2  2

Pág. 16 :

f   x    5sin x cos  2 x    5  sin x cos  2 x   

sin  4 x  x cos  2 x  x  lim  4 lim  lim  x  0 sin  2 x  4 x 0 x  0 4x sin  2 x  cos  2 x 

1 2x 1  4  1  lim  lim cos  2 x   4  1  2 x  0 sin  2 x  x  0 2

Miniteste 3.4. 1.1. Para x 



 1   2 1  tan x    2  cos x  1   1  2  tan x   2 2 cos x cos x  sin x 1   1  2    2 2  cos x cos x cos x  2 2sin x   cos 2 x cos3 x 1.3. Para x 

\   k 2, k 

:

 2sin x  f  x      1  cos x 

Resoluções – Domínio 1 – Página 6

Proposta de resoluções

 2sin x  1  cos x    2sin x 1  cos x  2 1  cos x   2cos x 1  cos x    2sin x   sin x    2 1  cos x  

 

 

2.

2cos x  2cos x  2sin x 2

2

1  cos x 

2cos x  2  cos 2 x  sin 2 x 

2cos x  2 1

1  cos x 

2

2  cos x  1

1  cos x 

g    lim

2



2

 lim h 0

 lim h 0

 lim

2sin x  2 x   0  sin  2 x   0  2 x  k , k 

g    h   g  



Recorrendo a uma tabela:



h

3 2



–

0

+

0

–

n.d.

↘

Mín.

↗

Máx.

↘

n.d.

  A função g é estritamente decrescente em  0,  e em  2  3     , 2  e é estritamente crescente em  2 ,   .    



h 1 cos  2h   0  sin  2h   1 cos  2h   1

 2

0

Sinal de g  n.d. Variação de g n.d.

 h cos  2 cos  2h   sin  2 sin  2h   cos  2

h 0

k , k 2

x

h cos  2  2h   cos  2



  3  Como x   0, , g x  0  x   x   . 2 2  



2  1  cos x

h cos  2    h    cos  2 

h 0

Zeros de g  :

x

2cos x  2

h 0

 lim

2

1  cos x 

g   x    cos 2 x  sin 2 x  2    cos  2 x   2   2sin  2 x 



2

1  cos x 

 3  1.2. Para x   0, : 2  





 Tem um mínimo relativo igual a g   e um máximo 2 relativo igual a g    .

 Miniteste 3.5.

Pág. 18 02  1 1.1. lim f  x   f  0  1 x 0 0 1 x  sin x x sin x lim f  x   lim  lim  lim 11  2 x  0 x 0 x 0 x x 0 x x Como lim f  x   lim f  x  , podemos então concluir que a

cos2 h  sin 2 h  1  lim  lim  h 0 h 0 h h 2sin 2 h 1  sin 2 h  sin 2 h  1  lim  lim  h 0 h 0 h h sin h  lim  lim  2sin h   1   2  0   0 h 0 h 0 h Portanto, g      0 .

x 0

x 0

função f não é contínua no ponto de abcissa x  0 . 1.2. ▪ Em x   :

Questão-aula 3.4. Item de seleção Para x  , tem-se: f   x    4sin 2  x    4  sin 2  x   

Pág. 17

 4  2sin x sin x   8sin x  cos x    8sin x cos x  4  2sin x cos x   4sin  2x  f   x    4sin  2 x    4  sin  2 x    4   2cos  2 x    8cos  2 x  Resposta: (C) Item de construção 1.1. cos 2 x  sin 2 x  2  1  cos 2 x  sin 2 x  1   cos  2 x   1  2 x    k 2, k     x   k , k  2   3  Como x   0, , então x  , pelo que a abcissa do 2 2   ponto de interseção da reta de equação y  1 com o gráfico

de g é igual a

   e esse ponto tem coordenadas  , 1 . 2 2 

m  lim

f  x

x 

x

x2  1 x2  1 x2  lim x  1  lim 2  lim 2  1 x  x  x  x x x x

 x2  1  b  lim  f  x   mx   lim   x  x  x   x 1  2 2 x 1  x  x x 1  lim  lim 1 x  x  x  1 x 1 Portanto, a reta de equação y  x  1 é assíntota oblíqua ao gráfico de f em x   . ▪ Em x   : lim f  x   lim

x 

x 

x  sin x x sin x  lim  lim  x  x x  x x

sin x x x  ,  1  sin x  1 , pelo que 1 sin x 1 x   ,    . x x x  1  lim

x 

1  1 Como lim     0, lim  0 e x  x  x  x 1 sin x 1 x   ,    . x x x Resoluções – Domínio 1 – Página 7

Proposta de resoluções Como x  0,  , h  x   0  x 

Podemos concluir, pelo teorema das funções sin x 0. enquadradas, que lim x  x sin x  1 0  1. Logo, lim f  x   1  lim x  x  x Portanto, a reta de equação y  1 é assíntota horizontal ao gráfico de f em x   . 1.3. O declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de

Recorrendo a uma tabela: x

3  3  é f    . Determinemos uma expressão 2  2  da derivada da função f , para x  0 .

2

x x cos x  sin x  x2



x  x cos x  x  sin x  x2

3  3   3  cos    sin   2  3  2    2   0   1  1  4 f    2 9 2 9 2 9 2 2    3    4 4  2  4 A equação reduzida desta reta é do tipo: y  2 x  b 9  3  3   Como o ponto de coordenadas  , g    , pertencente a  2   2 2   3 esta reta isto é,  , 1   , pois: 3   2 3  3   3   sin   3 sin   2  3  2   2   2   1  1  1  2 g   3  3  3  3 2 3   2 2 2 2

2.

Questão-aula 3.5 Item de seleção

sin 2 x  cos x sin x  cos x  cos x sin x   sin 2 x  cos x  sin 2 x

+

n.d.

∩

P.I.

∪

n.d.

Pág. 19









 9 1  sin   sin    2

2

 9 1  2sin 2    9  18sin 2  Resposta: (B) Item de construção 1.

 A função g é contínua em 0,  \   pois é definida pelo 2 quociente entre duas funções contínuas: uma é uma função constante  y  1 e a outra é uma função trigonométrica

 y  tan x  . Assim, as possíveis assíntotas verticais são as retas de equação x  0 , x 

 e x. 2

1 1    , portanto, a reta de tan x 0 equação x  0 é uma assíntota vertical ao gráfico de g . 1 1 lim g  x   lim  0   tan x  x x lim g  x   lim

x 0

x 0

2

2

lim g  x   lim

x

 2

x

 2

1 1  0 tan x 

 não é assíntota vertical ao gráfico 2 de g , uma vez que nenhum dos dois limites anteriores é

A reta de equação x 



zeros de h :  cos x  0   cos x  0  sin 2 x  0  sin 2 x   cos x  0  x  Dh  x   k , k   x  Dh 2

0

 3  3  cos  2   9cos  2    9 cos2   sin 2 

   1  sin x  1  sin x   sin x   1  sin x  sin x  h  x      2  sin x   sin x 

 cos x  sin x   1  sin x  cos x 

–

AC  CB  AC  CB  cos AC , CB 

tem-se: 4 2 2 4 3 2 1  2  b  b  1  b  1 3 9 3 3 2 3 4 4 Portanto, y  2 x  1  é a equação reduzida da reta 9 3 3 tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x  . 2 Para x  0,  :





O gráfico de h tem concavidade voltada para baixo em      0, 2  e tem concavidade voltada para cima em  2 ,   .      Tem um único ponto de inflexão cuja abcissa é . 2

   x  sin x   x  sin x  x   x  sin x  x  f  x      x x2  

1  cos x  x   x  sin x 

 2

0

n.d. Sinal de h Sentido da concavidade n.d. do gráfico de h

abcissa x 



 . 2

infinito. 1 1    , portanto, a reta de tan x 0 equação x   é assíntota vertical ao gráfico de g . lim g  x   lim

x 

2.

x 

 Para x  0,  \   : 2

1   0 2  1  1 tan x  1   tan x  cos x   g  x      2 2 tan x tan x    tan x 

Resoluções – Domínio 1 – Página 8

Proposta de resoluções 1 2 cos x  1  2 sin x sin 2 x 2 cos x g   x   0 é impossível em

Variação de f Máx.



, e, em particular, no domínio

↗

Máx.

↘

n.d.

Tem dois máximos relativos: sin  2  0  0 f  0  cos  0   0  1 0  1 e 2 2  5  sin  2   6   5   5  5  f    cos      2  6   6  6

 Por outro lado, x  0,  \   , g   x   0 , logo a 2   função g é estritamente decrescente em  0,  e em  2   . 

Miniteste 3.6. 1.

Mín.

  A função f é estritamente decrescente em 0,  e em  6   5   5   6 ,   e é estritamente crescente em  6 , 6  .    

de g . Portanto, g  não tem zeros.

 2, 

↘

Pág. 20

   5   cos     6 6

 5  sin    3  2

   5   cos     6 6

  sin   3  2

3 3 5 3 5 3 2        2 6 2 2 6 4

 h  t   19,5  t  0,61 ; 0,88

2.

3 5   2,185 4 6

e um mínimo relativo:

Para x   0,  :  sin  2 x   f   x    cos  x   x    2  

   f    cos     6   6 6

 sin  2 x     cos  x    x     2   1   sin  x   1   sin  2 x    2 1   sin  x   1   2cos  2 x    2   sin  x   1  cos  2 x  



Questão-aula 3.6. Item de seleção f  x   f  0 f  x   f  0 lim  lim  f   0  x 0 x 0 x x0  0  2cos  0   sin  0   2  1  0  2

  sin x  1  1  sin 2 x  sin 2 x     sin x  1  1  2sin 2 x  

Zeros de f  :

AC  2  AO  2cos 

2sin 2 x  sin x  0  sin x  2sin x  1  0 

 sin x  0  2sin x  1  0  sin x  0  sin x 

sin  

1  2

 5  k 2, k   x   k 2, k  6 6

f  x  0  x  0  x 

Recorrendo a uma tabela, tem-se: x

0

Sinal de f 

0

–

 2cos  sin   sin  2 

2.

0

5 6 +

0

 –

n.d.

BO  BO  sin  , pelo que BD  2  BO  2sin  1

Área do losango  ABCD 

 5 x 6 6

 6

Pág. 21

Resposta: (C) Item de construção AO cos    AO  cos  , pelo que 1. 1

  sin x  1  1  2sin 2 x  2sin 2 x  sin x

Como x   0,  :

3  3 3       0,957 2 6 4 4 6

 3  5 3  ,  Portanto, Df   . 4 6 6 4  

  sin x  1   cos 2 x  sin 2 x  

 x  k , k   x 

  3 sin  2   3  2 6      2 2 6 2

AC  BD 2cos   2sin    2 2

  Logo, A     sin  2  ,    0,  .  2  3 3   sin       cos  4 2  4 Recorrendo à fórmula fundamental da trigonometria:

3 4

2

sin 2   cos 2   1 , ou seja, sin 2      1

Resoluções – Domínio 1 – Página 9

Proposta de resoluções     1 1   x  t    3 sin  t      3  sin  t      2     2

2

9 7 3 sin 2      1  sin 2   1   sin 2    16 16 4

 sin   

 1    1   3   t    cos  t       2  2    1 3 2 1  1   3   cos  t        cos  t    2 2 2 2     

7 7  sin   4 4

7   Como    0,  , sin   0 , pelo que sin   . 4  2 Por outro lado:  7  3  3 7 A    sin  2   2sin  cos  2      8  4  4 

3.

O módulo da aceleração máxima ocorre quando

1  cos  t     1 . Portanto: 2 

  Para    0,  : A      sin  2    2cos  2   2

3 3 3 3 1   2 cos  t      2  1   2  2 2 2 2 2 2 

Zeros de A : 2cos  2   0  cos  2   0  2 

 

  k , k  2



 k  , k 4 2

2.1.

   Como    0,  , A     0    . 4  2

 4

0

Sinal de A n.d. Variação de A n.d.

+ ↗

0 Máx.

 2 – ↘

n.d. n.d.

A área do losango  ABCD  é máxima quando  

Miniteste 3.7. 1.1. Amplitude  A  6 2 Período  T  4 1  2 1 1 Frequência  f   T 4 Ângulo da fase   1.2. A velocidade do ponto P é dada por x  t  .

3 2  . 2

3   t  0, 24 ,  1  cos  t    1  4   12 3    t  0, 24 ,  a  a cos  t    a  4   12 3    t  0, 24 ,  a  d  a cos  t    a  d 4   12 Logo, Df   a  d , a  d  .

Recorrendo a uma tabela:



Assim, o módulo da aceleração máxima do ponto P é

 . 4

Pág. 22

Assim:

    1 1   x  t    6cos  t      6  cos  t      2     2   1  1   6    t     sin  t      2   2  1 1  1   6    sin  t      3 sin  t    2 2 2     

1.3. O módulo da velocidade máxima ocorre quando 1  sin  t     1 . Portanto: 2 

1  3 sin  t     3  1  3  3 2   Assim, o módulo da velocidade máxima do ponto P é 3 m/s . Determinemos uma expressão analítica da aceleração do ponto P , ou seja, de x  t  .

Assim: a  d  18  a  d  23   d  18  a  a  18  a  23   d  18  a  2a  5   d  18  a  a  2,5   d  18  2,5  a  2,5   d  20,5  a  2,5 Portanto, a  2,5 e d  20,5 . 2.2. A temperatura máxima foi de 23 ºC, portanto, o instante pedido é a solução de equação: 3   f  t   23  2,5cos  t    20,5  23  4   12 3  23  20,5 3     cos  t     cos  t    1  12 4 2,5 12 4      3  3  t  k 2, k   t    k 2, k   12 4 12 4  t  9  k 24, k   t  9  24k , k  Como t   0, 24 , tem-se que t  15 . Portanto, o instante pedido corresponde às 15 horas desse dia. Questão-aula 3.7. Item de seleção A  2 , pelo que as opções (A) e (B) são excluídas. 2 2 2  w  w , 4 T  4 . Como T  w w 4 2  Assim, a pulsação é . 2

Pág. 23

Em ambas as opções, (C) e (D), tal acontece. Por outro lado, tem-se que, por observação direta da representação gráfica, f  0   2 . Vejamos:

Resoluções – Domínio 1 – Página 10

Proposta de resoluções   Em (C): 2cos   0     2cos     2   1  2 2       Em (D): 2cos   0    2cos    2  0  2 2 2 2

1.1. ▪ Período mínimo da função f :

  ▪ x   ,  ,  1  sin  2 x    1  4     x   ,  , 1   sin  2 x    1  4 

Portanto, a opção correta é a (C). Resposta: (C) Item de construção     1. x  t   sin  t   cos  t   2  2       x  t   sin  t   1  cos  t   2   2 

   x   ,  , 2  1  sin  2 x    0 4  Portanto, Df   0, 2 . ▪ f  x   0  x   ,  

       x  t   sin  t   tan    cos  t   2  4 2   sin      4   cos   t    x  t   sin  t      2  cos    2    4

2   2    x  t   sin  t    cos  t   2 2   2  2 2 2     sin  t   cos  t  2 2 2   2    x t   2 2

        sin   sin  t   cos   cos  t  4  2  4   2    x t   2 2         cos   cos  t   sin   sin  t  4 2    4  2    x t   2  2     cos   t  2 4 2       x t    x t    cos   t   2 2 4 2   2  x t   

2 2       cos   t   x  t    2 cos   t  2 4 2   4 2 

      5    x  t   2 cos      t    x  t   2 cos   t   4 2   4 2   Como se trata de um sistema constituído por um ponto que se desloca numa reta numérica em determinado intervalo de tempo I , de tal forma que a respetiva abcissa, como função de t  I , é dada por uma expressão da forma x  t   A cos  wt    , com A  0, w  0 e    0, 2 ,

2.

podemos afirmar, então, que é um oscilador harmónico. 2 2  2   4 Amplitude  A  2 ; período  T    2 1 1 5 Frequência  f   ; ângulo da fase  T 4 4

Ficha de preparação para o teste de avaliação 3

2  2

Págs. 24 e 25

   1  sin  2 x    0  x   ,   4     sin  2 x    1  x   ,   4     2 x    k 2, k   x   ,   4 2   2 x   k 2, k   x   ,   4   x   k , k   x   ,   8 7   x x 8 8 7  e . Os zeros de f são  8 8 2  2 1.2. ▪ Período positivo mínimo da função g : 1   ▪ x  0, 2 ,  1  cos  x    1  3     x  0, 2 ,  2  2cos  x    2  3     x  0, 2 ,  1  2cos  x    3 3  Portanto, Dg   1, 3 . ▪ g  x   0  x  0, 2 

   2cos  x    1  0  x  0, 2  3   1   cos  x      x  0, 2  3 2   2  4   x   k 2, k   x    k 2, k   3 3 3 3    x  0, 2       x   k 2, k   x    k 2, k    3    x  0, 2  x

 x 3

Os zeros de g são

 e. 3

1.3. ▪ Período positivo mínimo da função h :

 3

▪ Dh 

   5  ▪ h  x   0  x  0,  \  , ,  6 2 6 

Resoluções – Domínio 1 – Página 11

Proposta de resoluções    5   tan  3x   3  0  x  0,  \  , ,  6 2 6     5   tan  3x    3  x  0,  \  , ,  6 2 6      5   3x    k , k   x  0,  \  , ,  3 6 2 6 

2.

cos  a  b   

 4.1.

2

16 9  4 sin 2       1  sin 2   1   sin 2    25 25  5 3 3  sin    sin    5 5

Tem-se que cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b . Determinemos o valor de cos a . Recorrendo à fórmula 1  tan 2 a 

1 : cos 2 a



3 3  cos  2 x     2 2  5   cos  2 x   cos     6  5 5  2x   k 2, k   2 x    k 2, k   6 6 5 5 x  k , k   x    k , k  12 12  5.1. A função f é contínua em x  quando e apenas quando 2    lim f  x   f   . Assim, tem-se:  x 2 4.2.

cos 2 x  sin 2 x  

2

1 1 5 5 1 2   cos 2 a   cos a    cos a  cos2 a 5 5 5 2

5  3  Como a   , , cos a  0 , pelo que cos a   .  5 2  sin a Assim, tan a  , isto é: cos a  5 2 5 sin a  tan a cos a  2      5 5   Determinemos o valor de cosb .

Pela fórmula fundamental da trigonometria: 2

 12   1  13  144 25  cos 2 b  1   cos 2 b   169 169 5 5  cos b   cos b   13 13 12   3   3  Como sin b    b   , , pelo que  b   ,  13 2  2 2   5 cos b  0 , logo cos b   . Assim: 13 cos 2 b  sin 2 b  1 , isto é, cos 2 b   

cos  x   3sin  x   1 

  1  cos   x    3  2      cos   x   cos    3   3       x   k 2, k    x    k 2, k  3 3 3 3 2  x  k 2, x   x    k 2, k   3 2  x  2 k , k   x    2k , k  3

Determinemos o valor de sin  . Pela fórmula fundamental, sin 2   cos 2   1 , ou seja,

3.

5 5 24 5 29 5   65 65 65

1 3 1  cos  x   sin  x    2 2 2 1     cos   cos  x   sin   sin  x    2 3 3

 k    5   x    , k   x  0,  \  , ,  9 3 6 2 6  2 5 8 x x x 9 9 9 2  5 8 , e Os zeros de h são . 9 9 9 sin  2   2sin  cos

Por outro lado: 4   cos    0    , 0     ,   . 5 2     Como    ,   , então, sin   0 , pelo que 2  3 sin    . 5  3  4  24 Assim, sin  2   2       .  5  5  25

5  5   2 5   12          5  13   5   13 

2cos x cos x  1  k  2 lim 1 k    x x 2 x 2 2    Fazendo y  x  , x  y  e se x  , então y  0 , 2 2 2 lim x

 2

pelo que:   cos  y   cos x 2  2 lim  1  k  2lim 1 k   y 0  y x 2 x 2  sin  y  sin  y   2lim  1  k  2lim 1 k  y 0 y  0 y y

 2 1  1  k  2  1  k  k  3 Logo, k  3 . 5.2. O declive da reta tangente ao gráfico de f em x   é igual a f    . Determinemos uma expressão da derivada da função f para π x . 2       2cos x   x     2cos x   x    2cos x   2 2    f  x      2     x   x    2   2 

Resoluções – Domínio 1 – Página 12

Proposta de resoluções   2sin x  x    2cos x 2   2   x    2 

   A função g é estritamente crescente em   ,  e em  2 6  5 3    5   6 , 2  e é estritamente decrescente em  6 , 6  .    

Assim:

  3π  Tem máximos relativos iguais a g   e g   e dois 6    2     5  mínimos relativos iguais a g    e g   .  2  6 

  2sin         2cos    2  f      2      2   2  0   2   1 02 4 8 2   2  2 2  2 2        4 2

7.2.

Uma equação da reta é: y  f     f     x    .

2cos   2   1 2 4   2    :      2 2 4 8 8  4 8 y      2  x    y   2 x          8 12  y 2 x   8 12 Portanto, y  2 x  é uma equação da reta tangente ao   gráfico de f em x   . Como f   

6.

f   0   lim x 0

 lim x 0

 lim

x sin x cos  2 x   0

x 0

  3   cos  x  2sin  x   1  x   ,   2 2   3    cos  x   0  2sin  x   1  0   x    ,   2 2      x   k , k   x   k 2, k   2 6 

 lim



sin x cos  2 x 

x 0

x

x

 8.1.

sin x  lim cos  2 x   1  cos  2  0   1  1  1 x 0 x 0 x Portanto, f   0   1 .

 lim

x 

  3  7.1. Para x    , :  2 2

h  x   h    x    

, pois

h     2     cos     2  1

Por outro lado, tem-se: h  x    2 x  cos  x     2 x    cos  x    2  sin  x 

1 x   x  g   x     cos x       cos x    sin  x  2 2  2 Zeros de g  :

Assim, h     2  sin     2  0  2 .

1   3   sin  x   0  x   ,  2  2 2 1   3   sin x   x   ,  2  2 2  5     x   k 2, k   x   k 2, k    6 6     3   x   ,   2 2  5 x x 6 6

 6

  2

x 

consequentemente:

h  x    2  sin  x     2    sin  x     0  cos  x    cos  x 

Zeros de h :  cos  x   0  cos  x   0  x 

Como x   ,  , tem-se que 3 2

5 6

h  x   2  1

 2. x 8.2. Para x   ,  , tem-se que h  x   2  sin  x  e, Logo, lim

Recorrendo a uma tabela, vem:

Sinal de g  + Variação de g Mín.

5    3   k 2, k    x   ,  6   2 2  3   5 x x  x    x   x  2 2 2 6 6 h  x   2  1 h  x    2  1 lim  lim  x  x  x x     x 

 lim

x

  3   cos  x   2sin  x  cos x  x   ,   2 2   3   2sin  x  cos  x   cos  x   0  x   ,   2 2

f  x   f  0

 x0 sin x cos  2 x   sin  0  cos  2  0 

x   3   sin  2 x   x   ,  2  2 2 x x   3    cos  x    sin  2 x   x   ,  2 2  2 2   3   cos  x   sin  2 x   x   ,   2 2 f  x 

+

0

–

0

+

+

↗

Máx.

↘

Mín.

↗

Máx.

h  x   0  x  

  k , k  2

  x . 2 2

Recorrendo a uma tabela:

Resoluções – Domínio 1 – Página 13

Proposta de resoluções



x



+ Sinal de h Sentido da concavidade do gráfico de h   

 2

 2

 3x  cos 3x  x  sin 3x          x2  3cos  3x   x  sin  3x    x2



+

0

–

0

+

+



P.I.



P.I.



h  

h



O gráfico de h tem concavidade voltada para cima em      ,  2  e em  2 ,   e tem concavidade voltada para    

x2 9.4. O declive da reta tangente ao gráfico de j no ponto de abcissa x 

   baixo em   ,  .  2 2

     3   cos  3    sin  3   6 6 6    2      6       cos     sin    2 2    2   2 36    0   1 1 36  2 2  2  2    36 36 Por outro lado:  3    sin    sin    6     2   1   6 j        6 6 6 6

  e . 2 2 \ 0 pois é definida pelo

quociente entre duas funções contínuas: uma é a composta de uma função trigonométrica com uma função afim  y  sin  3x  e a outra é uma função afim  y  x  . Assim, apenas a reta de equação x  0 pode ser assíntota vertical do gráfico de j .

lim j  x   lim

sin  3x 

sin  3x 

  3 x 0 x 3x Fazendo y  3 x , se x  0  , então y  0 . Portanto: x 0

lim

x 0

x 0

sin  3x  3x

 lim

  3  3 lim y 0

sin  y  y

 3  1  3

De modo análogo, lim j  x   3 . y 0

Como nenhum dos limites é infinito, podemos concluir que a reta de equação x  0 não é assíntota vertical do gráfico de j. O gráfico de j não tem assíntotas verticais. 9.2. A função j é contínua em

1  Como  1,    2 

\ 0 .

\ 0 , em particular, a função j é

1  contínua no intervalo  1,   . Por outro lado: 2  sin  3   1  sin  3 j  1    0,141 1 1

  1  3 sin  3      sin   2 1       2   1,995 j    1 1  2   2 2 1  Como a função j é contínua em  1,   e 2  1   j     1  j  1 , pelo Teorema de Bolzano podemos  2 1  garantir que c   1,   : j  c   1 . 2  9.3. Para x  \ 0 , tem-se:

 sin  3x    sin  3x   x  sin  3x  x  j  x       x x2  

  é igual a j    . 6 6

  j    6

Tem dois pontos de inflexão cujas abcissas são  9.1. A função j é contínua em

3x cos  3x   sin  3x 

10.

Uma equação da reta em causa é:       y  j    j     x    6 6 6        6  36   y    2  x    6     6 36 6 36 12  y  2 x  y 2 x      36 12 Portanto, y  2 x  é a equação reduzida da reta pedida.   x  , f  x   0,5sin  2x   0, 25sin  4x    x  , f  x   0,5sin  2x   0, 25sin  2  2x    x  , f  x   0,5sin  2x   0, 25  2sin  2x  cos  2x 

 x  , f  x   0,5sin  2x   0,5sin  2x  cos  2x  

 x  , f  x   0,5sin  2x  1  cos  2x    x  , f  x   0,5sin  2x  1  cos2  x   sin 2  x  

 x  , f  x   0,5sin  2x  1  cos 2  x   1  cos 2  x   

 x  , f  x   0,5sin  2x  2cos2  x    x  , f  x   sin  2x  cos 2  x 

Teste de avaliação 3 Pág. 26 e 27 tan   tan  1. , como tan   2 tan  : tan      1  tan  tan  tan   2 tan  tan       1  tan   2 tan    tan     

3tan   1  2 tan 2 

Resoluções – Domínio 1 – Página 14

Proposta de resoluções sin  cos    tan      sin 2  1 2 cos 2  3sin  cos   tan       cos 2   2sin 2  cos 2  3sin  cos2   tan        2 cos  cos   2sin 2  3sin  cos   tan      cos 2   2sin 2 

2 2 2 2 3  , portanto: f        9 3 3   tan  3   tan       9  3

3

2.

y

2 3  8 2 3   8  x    y  8 x    3 9 9 3  

 y  8 x 

4.

Resposta: (D) (A) D  x  : cos2 x  0  x  : cos x  0 

       x  : x   k , k    \   k , k   2   2     (B) D   x  : 1  tan 2 x  0  x   k , k    2  

Resposta: (C) 2ax sin x   lim  x 1 sin  4 x   0 x 0 1  cos x    sin  4 x  2ax sin x 1  cos x    lim   0 x 0 1  cos x 1  cos x    x

 sin  4 x  2ax sin x 1  cos x    lim  4   0 x 0 4x 1  cos 2 x    sin  4 x  2ax sin x 1  cos x    lim  4   0 x 0 4x sin 2 x  

sin  4 x  4x



Resposta: (A) 3.

 O declive desta reta é igual a f    . 9 Determinemos uma expressão da função derivada de f .     2   2  tan  3x   2  tan  3 x   f  x      2  tan  3x    tan  3x    

  3 6 0  2   2 2 cos 3 x   cos  3x   6    2 2 sin  3 x  sin 2  3 x  tan  3 x  cos 2  3 x 

: x

  x  

: x

 x 

x

   k , k    2 

   k , k    2 

: x



Repare que: x  , cos  2 x   1 (condição universal em

)

 5.

Resposta: (D) Tem-se que: ▪  sin 2 x   2sin x  sin x   2sin x  cos x    2sin x cos x  sin  2 x 

sin  2x    2x  cos  2x   2cos  2x  2cos  2 x   sin 2 x

▪

 x   2 x 2

 2 x   2 2  x 2

▪

Logo:  f    9

6 6 6    2 2    2      3 sin  3    sin     9  3  2  6 4   6   8 3 3 4 Uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de  abcissa x  é: 9      y  f    f    x   9 9  9 

  x  

   k , k    2 

(D) D  x  : cos  2x   1  0  x  : cos  2x   1

1  lim 1  cos x   2a  0  sin x x0 lim x 0 x

1  4  1   2  2a  0  4  4a  0  a  1 1

: tan 2 x  1  x 

  \   k , k   2   (C) D   x  : x  0  \ 0

 sin  4 x    x   4lim  1  cos x   2a  0    lim    lim x 0 x 0 sin x 4 x   x 0   4 x 0

  x  



 sin  4 x  2ax 1  cos x    lim  4   0 x 0 4x sin x  

 4 lim

8  6 3 9

 cos  x    sin x   sin x    cos x    cos x   cos x, x 

▪

2   2 2  1  1 x  1 x  0  2 x   3  2  2 4 2 x x x  x  3  2  3 2 6  2   2  x   2   x  0  2  3x  6 x   6  4  3   2 6 3 x x x x   x 



6 1  x4 x2

Resposta: (C)

Resoluções – Domínio 1 – Página 15

Proposta de resoluções 6.1. A função g é contínua no intervalo  0,  , pois trata-se da

Recorrendo a uma tabela, tem-se:

soma de duas funções contínuas (uma função constante  y  1 e uma função trigonométrica  y  sin x  ).

x

A função g é contínua no intervalo , 2  , pois trata-se

Sinal 0 de f  Variação Mín. de f

da diferença de duas funções contínuas (uma função constante  y  1 e uma função trigonométrica  y  sin x  ). ▪ lim g  x   lim 1  sin x   1  sin   1  0  1 x 

x 

x 

▪ lim g  x   lim 1  sin x   1  sin   1  0  1 ▪ g     1  sin   1  0  1 x 

a função g é contínua em x   . Logo, g é contínua em  0, 2 .

 

6.2. ▪ g   lim

g  x   g  

 lim

lim

x 

x 

sin  y    sin x  sin y sin y  lim  lim   lim  1 y  0 y 0 y 0 x y y y

g  x   g  

1  sin x  1  sin x  lim x  x  x  x   x x Fazendo y  x   , tem-se x  y   e, se x    , então y  0 , pelo que:

 

▪ g   lim

lim

x 

 lim

 sin  y      sin y   sin x  lim  lim  y 0 x   y 0 y y

 lim y 0

sin y 1 y

Como g      g     , não existe derivada de g no ponto de abcissa x   , isto é, não existe g     . 7.

f   x    2cos x  cos  2 x      2cos x    cos  2 x   

0

–

0

+

0

–

0

↗

Máx.

↘

Mín.

↗

Máx

↘

Mín

8.

Coordenadas do ponto A : f  x   g  x   2sin x  2sin

 sin x  sin

x  2

x  2

x x  k 2, k   x     k 2, k   2 2 x x  x   k 2, k   x     k 2, k   2 2 x 3x   k 2, k      k 2, k   2 2 2 4  x  4k , k   x  k , k 3 3 Como o ponto A tem abcissa positiva, menor que  , esta 2 será igual a . 3 x

 2  Portanto, A  , 3  .  3  Uma equação da reta t é: 2   2   2  y  f    f    x   , ou seja, 3   3   3 

 2   sin x   2sin  2 x    2sin x  2sin  2 x 

Zeros de f  : 2sin x  2sin  2 x   0  2sin  2 x   2sin x 

 sin  2 x   sin x   2 x  x  k 2, k   2 x    x  k 2, k   x  k 2, k   3x    k 2, k 





 k 2  , k 3 3

f   x   0  x    x  

+

 3  2    3  2 

 2  cos x    2sin  2 x   

Como x   ,  :



 2   2  A sua ordenada será f   ou g   . 3  3       2   2    f    2sin    2sin      2  sin   3 3  3   3   

Para x   ,  :

 x  k 2, k   x 

 3

0

  3  3 f    e f    .  3 2 3 2 3  D 'f   3,  . 2 

1  sin x  1  x

x sin x  lim x  x   Fazendo y  x   , tem-se x  y   e se x    , então, y  0 , pelo que: x 

 3

   3 ,   . Tem três mínimos relativos: f     3 ,   f  0   1 e f     3 e dois máximos relativos:

Como lim g  x   lim g  x   g   , podemos concluir que x 



  A função f é estritamente crescente em  ,   e em 3       0, 3  e é estritamente decrescente em   3 , 0  e em    

Vejamos se g é contínua em x   . x 



   x  0 x   x   3 3

2   2  y  3  f    x   3 3     2  Calculemos f    .  3 

f   x    2sin x   2 sin x   2cos x   2   2   Portanto, f     2cos    2cos      1 3  3   3  

Resoluções – Domínio 1 – Página 16

Proposta de resoluções

Logo:

2   2  y  3  f    x   3 3    2    y  3   x   3    y  x 

2  3 3

A ordenada do ponto B é nula. Assim: 2 2 0  x   3x  3 3 3 2  3. A abcissa de B é 3 9.

x  t    a sin  kt   b cos  kt      a sin  kt     b cos  kt     ak cos  kt   bk sin  kt 

x  t    ak cos  kt   bk sin  kt      ak cos  kt     bk sin  kt     ak 2 sin  kt   bk 2 cos  kt 

A aceleração do movimento do ponto é dada por x  t  . Vejamos o valor de

x  t  x t 

 

x  t  x t 

.

ak 2 sin  kt   bk 2 cos  kt  a sin  kt   b cos  kt 

k 2  a sin  kt   b cos  kt   a sin  kt   b cos  kt 

 k 2

Como t  ,

x  t  x t 

 

 k 2 (constante, pois k 

\ 0 ),

podemos de facto concluir que a aceleração do movimento deste ponto é diretamente proporcional a x  t  e a constante de proporcionalidade é igual a  k 2 .

Resoluções – Domínio 1 – Página 17