Ficha Reforço Nº2 Funções

Escola Básica e Secundária de Vila Cova ANO LETIVO 2014/2015 FICHA DE REFORÇO Nº2 – Funções

outubro 2014

3º CICLO DO ENSINO BÁSICO – 9º ANO DE ESCOLARIDADE Prof.ª Laurinda Barros

Nome: _______________________________________________________________________N.°____Turma:____

Resumo Teórico

FUNÇÃO AFIM A função definida por uma expressão analítica do tipo y  ax  b (ou f x   ax  b ) é uma função afim. O gráfico da função y  ax  b é constituído por pontos que estão sobre uma reta que interseta o eixo das ordenadas no ponto (0, b). 𝒚 −𝒚 Nota: 𝒂 = 𝒙𝟐 −𝒙𝟏 𝟐 𝟏 A 𝒂 chama-se o declive da reta e a b a ordenada na origem. Conforme o valor de 𝒂, a função pode ser crescente (se a  0 ), decrescente (se a  0 ) ou constante (se a  0 ). Função crescente Função decrescente Função constante

FUNÇÃO LINEAR A função linear ou de proporcionalidade direta, y  ax (ou f x   ax ), com a  0 , é um caso particular da função afim, y  ax  b , em que b  0 .

Nota: 𝒂 =

Neste caso, 𝒂 é a constante de proporcionalidade.

𝒚 𝒙

No gráfico de uma função linear ou de proporcionalidade direta, todos os pontos estão sobre uma reta que contém a origem do referencial. FUNÇÃO DE PROPROCIONALIDADE INVERSA Duas variáveis, x e y, dizem-se inversamente proporcionais se é constante (e diferente de zero) o produto dos valores correspondentes.

x  y  k k  0

k é a constante de proporcionalidade inversa. Considerando x  y  2 , temos que y  A função x 

2 . x

2 2 ou f  x   é uma função de proporcionalidade inversa. x x

O produto das coordenadas de cada ponto do gráfico de f é constante. A constante de proporcionalidade inversa é 2. Uma função do tipo y 

k x

k  0

É uma função de proporcionalidade inversa, em que o número k é a constante de proporcionalidade. De um modo geral, todas as situações de proporcionalidade inversa têm como gráfico pontos sobre uma hipérbole. Professora Laurinda Barros | Matemática 9º Ano – Funções

FUNÇÃO QUADRÁTICA As funções do tipo y  ax 2 , com a  0 , são exemplos de funções quadráticas ou do 2.º grau. Á curva que representa a função chamamos parábola e ao ponto (0, 0) vértice da parábola. Temos que:  Os gráficos das funções do tipo y  ax 2 , com a  0 , são parábolas com eixo de simetria coincidente com o eixo dos yy.  O vértice de cada uma destas parábolas (ponto de interseção dela com o eixo de simetria) é a origem.  Os pontos (1, a) e (– 1, a) pertencem ao gráfico de y  ax 2 .  Se a  0 , a concavidade da parábola está voltada para cima e se a  0 , a concavidade da parábola está voltada para baixo.  Quanto maior for o valor absoluto de a, menor é a abertura da parábola. Assim, o parâmetro a influencia a abertura e o sentido da concavidade da parábola.

PARA TREINAR 1. Observa o seguinte gráfico onde estão representadas várias funções. a) Qual das seguintes retas poderá representar a função definida por

I

II

𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1? b) Determina 𝑓 (−1), 𝑓(0)𝑒 𝑓 (2). c) Qual o objeto de f que tem por imagem -9? d) Indica as expressões analíticas que correspondem às outras retas.

2. Considere as funções definidas por:

a) Calcula 𝑓(3) + 𝑔(−5) + ℎ(0). b) De entre as quatro funções consideradas apenas duas são funções lineares. Quais? c) No referencial seguinte apresentam-se as representações gráficas das quatro funções. c1) Faz a correspondência entre cada função e a respetiva representação gráfica. C2) Determina as coordenadas dos pontos A, B e C e calcula a área do triângulo ABC. Explica o teu raciocínio. Professora Laurinda Barros | Matemática 9º Ano – Funções

III IV

3. O declive da reta representada no gráfico ao lado é: a) [A] 2 [B] -2 [C] 0,5

[D] - 0,5

b) Escreve a expressão algébrica da função.

4. De acordo com os dados da figura, determina a expressão analítica da função afim cuja representação é a reta: a) CB, sabendo que o triângulo [OBC] é isósceles; 3

b) CA, sabendo que a área do triângulo [OAC] é 2; c) Marca no referencial a reta y = 3. Como a caracterizas?

5. Sabe-se que 𝑓 é uma função afim cujo gráfico passa pelos pontos de coordenadas 𝐴(−5,1) e 𝐵(−3,7). a) Determina a expressão analítica da função 𝑓. b) Determina as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de 𝑓 com os eixos coordenados. c) Comenta a afirmação: “As representações gráficas das funções 𝑓 e 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 5 são retas paralelas”. d) Escreve a expressão analítica da função ℎ cuja representação gráfica é uma reta que é paralela à representação da 𝑓 e passa pelo ponto de coordenadas (−1,2).

6. A função 𝑓 tem por expressão algébrica 𝑦 = 3𝑥 − 1. Determina a expressão algébrica da função cujo gráfico é uma reta: a) Paralela ao gráfico de 𝑓 e que passa pelo ponto de coordenadas (0,5). b) Horizontal e que interseta o gráfico de 𝑓 no eixo das ordenadas. c) Com a mesma inclinação de 𝑓 e que passa na origem do referencial.

7. Na figura encontra-se representada uma função afim que passa pelos pontos 𝐴(−2,2) e 𝐵(1,8). a) Mostra que a expressão analítica da função é 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 6. b) Determina o objeto cuja imagem é 10. c) Determina a imagem do objeto −4. d) Determina as coordenadas dos pontos de intersecção da reta com os eixos coordenados. e) Calcula a área do triângulo [COD].

8. Na figura encontra-se representadas as funções 𝑓 e 𝑔. Sabe-se que: 

3 3

𝐴(0,2), 𝐵 (4 , 2)

𝑒

𝐶(3,0).

 𝐵 é o ponto de interseção das duas funções. Qual das opções pode correspondente às expressões algébricas das funções 𝑓 e 𝑔? Assinala a letra da opção correta. 2

(A) 𝑓(𝑥) = −2𝑥; 𝑔(𝑥) = 3 𝑥 + 2 2

(C) 𝑓(𝑥) = − 3 𝑥 + 2; 𝑔(𝑥) = 2𝑥

2

(B) 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 + 2; 𝑔(𝑥) = −2𝑥 (D) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 2; 𝑔(𝑥) = 2𝑥

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9. No referencial estão representadas as funções 𝑓, 𝑔 e ℎ. Sabe-se que: 

𝑓 (𝑥) = −3𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2;



A representação gráfica II é paralela à III.



𝐸 (2 , 2 )

3 1

a) Estabelece a correspondência entre as expressões 𝑓 e 𝑔 e as respetivas representações gráficas. b) Define, através de uma expressão analítica, a função ℎ. c) Determina as coordenadas dos pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷 assinalados na figura.

10. Considera a função 𝑓 uma função linear sendo (3, −5) um ponto do seu gráfico. Escreve uma expressão analítica que a defina.

11. O pai do Ulisses, como sabe que o filho gosta muito de matemática, inventou a seguinte fórmula para calcular a sua mesada (𝑚) em euros: 𝑚(𝑡) = 16 + 2𝑡 Onde 𝑡 representa o número de testes em que o Ulisses obtém “Excelente”. a) No mês passado, o Ulisses realizou 4 testes e teve “Excelente” em 3 deles. Quanto recebeu de mesada? b) Qual é o significado do valor 16 e do valor 2 na fórmula? c) Em quantos testes o Ulisses teria de ter “Excelente” para receber 30€. Mostra como chegaste à tua resposta. 12. Completa o quadro, na situação em que x e y são duas grandezas a) Diretamente proporcionais b) Inversamente proporcionais c) Escreve uma expressão algébrica que represente 𝑦 em função de 𝑥 para cada uma das situações em a) e b).

13. No referencial da figura está representada graficamente uma função de proporcionalidade inversa, em que a variável 𝑥 toma qualquer valor diferente de 0. Sabe-se que o ponto A(-3, -6) pertence ao gráfico. Qual dos seguintes pares ordenados corresponde às coordenadas de um ponto do gráfico da função dada? (A) ( -2 , 9) (B) ( 0.25 , 72) (C) ( 6 , -3) (D) ( 75 , 0.25) 14. Para cada uma das seguintes funções, indica se se trata de uma proporcionalidade direta ou inversa e a respetiva constante de proporcionalidade. 𝑥 3 −3 5 b) 𝑓 (𝑥) = a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 c) 𝑓 (𝑥) = 4𝑥 d) 𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 4 15. Quais das funções de seguida representadas têm constante −2 ? 1 8 ℎ(𝑥) = 2𝑥 × (−1) 𝑓 (𝑥) = − 𝑥 𝑔(𝑥) = − 𝑥 2 4 a) ℎ(𝑥)

b) 𝑓 (𝑥) 𝑒 𝑖(𝑥)

c) ℎ(𝑥) , 𝑔(𝑥)𝑒 𝑖(𝑥)

𝑖 (𝑥) =

10 −5𝑥

d) todas

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𝑘

16. A seguir estão representadas graficamente funções do tipo 𝑘 = 𝑥 , 𝑘 ≠ 0. Escreve a expressão analítica de cada uma das funções: a) b)

17. Um restaurante organiza eventos para grupos e faz a distribuição dos participantes por mesas com igual número de lugares. Um grupo é constituído por 200 participantes. a) Determina o número de mesas necessárias no caso de cada mesa ter 5 lugares. b) Determina o número de lugares em cada mesa, no caso de serem utilizadas 25 mesas. c) Representa por 𝑚 o número de mesas e c o número de lugares em cada mesa. Escreve uma expressão que relacione as variáveis 𝑚 e 𝑐 . 18. Sabe-se que 12 máquinas, todas com igual capacidade de produção, empacotam 2000 Kg de farinha em 4 horas. a) Quanto tempo é necessário para que os 2000 Kg de farinha sejam empacotados por 3 dessas máquinas? b) Quantas máquinas são utilizadas no empacotamento dos 2000 Kg de farinha, se o mesmo for feito em 6 horas? c) Representa por 𝑛 o número de máquinas utilizadas e por t o tempo gasto no empacotamento dos 2000Kg de farinha. Escreve uma expressão que represente 𝑛 em função de 𝑡. 19. Numa fábrica há várias máquinas com igual capacidade de produção. A fábrica recebeu uma encomenda de 200 peças. Para produzir as 200 peças, uma só máquina necessita de funcionar durante 8 horas. a) Durante quanto tempo devem funcionar 5 máquinas para produzirem as 200 peças? Apresenta o resultado em horas e minutos. b) Sabe-se que as peças foram produzidas em 2 horas. Quantas máquinas foram utilizadas? 20. Um tratador de animais tem a seu cargo a alimentação de 80 aves e um saco com 25Kg de comida para as alimentar durante 10 dias. Para quantos dias dará o mesmo alimento se forem adquiridas mais 20 aves? 21. Uma representação gráfica de uma função 𝑓 é a parábola representada no referencial da figura. O ponto A (-2, 1) pertence ao gráfico de f. a) Representa a função f analiticamente. b) Calcula: i. 𝑓(0,5)

2

ii. 𝑓 (− 3)

c) Determina um número positivo 𝑥 tal que 𝑓 (𝑥) = 9.

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22. Considera as funções 𝑓, 𝑔 e ℎ, tais que: 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 2 ; 𝑔(𝑥) = −3𝑥 2 e ℎ(𝑥) = 0,5𝑥 2 A seguir estão representadas graficamente três funções do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥 2 , 𝑎 ≠ 0 entre elas as funções f, g e h, mencionadas anteriormente. Faz corresponder cada uma das funções dadas a um dos gráficos. Justificando devidamente.

I

II

III

23. A função quadrática que contem os pontos 𝐴(0,0) e 𝐵(2,8) é: a) 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 + 8 b) 𝑓 (𝑥) = −2𝑥 2 c) 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 2

d) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 2

24. Na figura seguinte, estão representadas, num referencial, uma reta e uma parábola. A reta r, que representa graficamente a função 𝑓, intersecta o eixo 𝑂𝑥 no ponto de abcissa 2 e o eixo 𝑂𝑦 no ponto de ordenada −2. A parábola representa graficamente a função g definida por 𝑔(𝑥) = −𝑥 2 . a) Mostre que a reta r é representada pela equação 𝑦 = 𝑥 − 2. b) Determine as coordenadas dos pontos A e B, pontos de intersecção dos gráficos das funções 𝑓 e 𝑔.

25. Na figura seguinte, estão representados, num referencial cartesiano parte do gráfico da função 𝑓 e o triângulo retângulo [OAB]. Sabe-se que:  A função é uma função quadrática definida por 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 2 , sendo a um número positivo;  O ponto 𝐴 pertence ao gráfico da função 𝑓 e tem coordenadas (3,4);  O ponto B pertence ao eixo das abcissas a) Determina a expressão analítica da função f. b) Determina a área do triângulo [OAB]. 26. Uma fábrica produz tapetes para a indústria automóvel. Uma das máquinas dessa fábrica (a máquina A) produz 6 tapetes por hora e leva 12 horas a fabricar todos os tapetes encomendados por uma certa empresa. Seja 𝑥 o número de tapetes produzidos, por hora, por uma outra máquina (a máquina B). O 72 que representa a expressão 𝑥 , no contexto da situação descrita?

(Adaptado da Prova Final 3º - Ciclo - 2013, 1ª chamada)

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27. Na figura seguinte, estão representadas, num referencial cartesiano de origem O, partes dos gráficos de duas funções, 𝑓 e 𝑔, bem como o trapézio retângulo [ABCD]. Sabe-se que:  os pontos A e D pertencem ao eixo das ordenadas 1  a função f é definida por 𝑓 (𝑥) = 2 𝑥.  a função g é definida por 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 .  o ponto B pertence ao gráfico da função g e tem abcissa 2  o ponto C pertence ao gráfico da função f e tem abcissa 4 a) Identifica, usando letras da figura, dois pontos com a mesma ordenada. b) Determina a área do trapézio [ABCD]. Mostra como chegaste à tua resposta.

(Adaptado do Exame nacional 2014)

28. Na Figura, estão representadas, num referencial cartesiano, partes dos gráficos de duas funções, f e g Sabe-se que:  a função 𝑓 é uma função quadrática definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 , sendo a um número positivo  a função g é uma função de proporcionalidade inversa  o ponto B pertence ao gráfico da função f e ao gráfico da função g e tem coordenadas (3,5)  o ponto C pertence ao gráfico da função g e tem coordenadas (c; 1,5), sendo c um número positivo a) Determina as expressões algébricas de 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥). b) Qual é o valor de 𝑓 (− 3) ? (A) - 9 (B) 9

(C) - 5

(D) 5

c) Qual é o valor de 𝑐 ? Mostra como chegaste à tua resposta.

(Adaptado Teste intermédio- Março 2014)

29. No referencial cartesiano da Figura 3, estão representadas partes dos gráficos de duas funções, f e g, e um trapézio [ABCE] Sabe-se que:  a função f é definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥.  a função g é definida por 𝑔(𝑥) = 3𝑥 2 .  o quadrilátero [ABCD] é um retângulo.  os pontos A e B pertencem ao eixo das abcissas.  o ponto D pertence ao gráfico da função g.  os pontos E e C pertencem ao gráfico da função 𝑓.  os pontos A e E têm abcissa igual a 1. a) Determina a medida da área do trapézio [ABCE]. Mostra como chegaste à tua resposta. b) Qual das expressões seguintes define a função cujo gráfico é simétrico do gráfico da função g ao eixo das abcissas? 1 1 [C] 𝑓 (𝑥) = 3𝑥 2 [D] 𝑓 (𝑥) = −3𝑥 2 [A] 3 𝑥 2 [B] 𝑓 (𝑥) = − 3 𝑥 2

(Adaptado do Exame Junho 2013)

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30. Na figura seguinte, está representada, num referencial cartesiano de origem O, parte do gráfico da função 𝑓, bem como o retângulo [OBAD] Sabe-se que:  o ponto B pertence ao eixo das ordenadas  a função 𝑓 é uma função de proporcionalidade inversa  os pontos A e C pertencem ao gráfico da função 𝑓  o ponto D pertence ao eixo das abcissas e tem abcissa 5  o ponto C tem coordenadas (2, 4) a) Qual de o valor de 𝑓(2) ? b) Determina a expressão algébrica de 𝑓(𝑥). c) Determina o perímetro do retângulo [OBAD]. Apresenta a resposta na forma de dízima. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

(Adaptado da Prova Final 3º ciclo – 2014, 2ª chamada)

31. As grandezas 𝑥 e 𝑦, apresentadas na tabela ao lado, são inversamente proporcionais. a) Determina o valor de 𝑎. Apresenta todos os cálculos que efetuares. b) Escreve 𝑦 em função de 𝑥.

(Adaptado da Prova Final 3º ciclo – 2014, 1ª chamada)

32. No referencial cartesiano da figura seguinte, estão representadas partes dos gráficos de duas funções, 𝑓 e 𝑔, e um quadrado [OABC]. Sabe-se que:  o ponto O é a origem do referencial. 10  a função 𝑓 é definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 , (𝑥 > 0). 

o gráfico da função 𝑔 é uma reta que passa na origem do referencial.  o ponto A pertence ao eixo das abcissas.  o ponto C pertence ao eixo das ordenadas.  o ponto B pertence ao gráfico da função 𝑓.  o ponto P pertence ao gráfico da função 𝑓 e ao gráfico da função 𝑔 e tem abcissa 5 a) Determina a expressão algébrica de 𝑔(𝑥). b) Em qual das opções seguintes estão as coordenadas de um ponto que pertence ao gráfico da função 𝑓 ? [A] (50, 2)

[B] (20, 2)

1

[C] (50, ) 2 c) Qual é a medida exata do comprimento do lado do quadrado [OABC]?

1

[D] (20, ) 2

(Adaptado da Prova Final 3º - Ciclo - 2013, 2ª chamada)

33. Na figura ao lado, estão representados, num referencial cartesiano, os pontos A e B e partes dos gráficos de duas funções, 𝑓 e 𝑔. Sabe-se que:  o ponto O é a origem do referencial.  a função 𝑓 é uma função de proporcionalidade direta.  a função 𝑔 é uma função de proporcionalidade inversa.  o ponto A pertence ao gráfico de 𝑓 e tem coordenadas (8; 6).  o ponto B pertence ao gráfico de 𝑓 e ao gráfico de 𝑔 e tem abcissa igual a 4. Determina as expressões algébricas de 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥). “O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário.” Albert Einstein

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Soluções 1. 2.

a) gráfico I b) 𝑓(−1) = 3; 𝑓(0) = 1; 𝑓(2) = −3 c) 𝑥 = 5 ; d) II: 𝑦 = 2𝑥 + 1; III: 𝑦 = 2𝑥; IV: 𝑦 = 2 a) 𝑓(3) + 𝑔(−5) + ℎ(0) = 9 − 11 + 0 = −2 b) II e IV c1) I: 𝑖(𝑥); II: ℎ(𝑥); III: 𝑔(𝑥); IV: 𝑓(𝑥) 3 c2) A(0,4) C(0,3) D(3,0) 𝐴∆ = .

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

a) (D) b) 𝑦 = − 𝑥 + 2 2 a) C(0,3) B(3,0) reta CB: 𝑦 = −𝑥 + 3; b) C(0,3) A(1,0) reta Ca: 𝑦 = −3𝑥 + 3 16 a) 𝑦 = 3𝑥 + 16 ; b) (− , 0) 𝑒 (0,16) c) Falsa, porque as retas não tem o mesmo declive. d) 𝑦 = 3𝑥 + 5. 3 a) 𝑦 = 3𝑥 + 5; b) 𝑦 = −1; c) 𝑦 = 3𝑥. b) 𝑔(𝑥) = 10 ⇔ 𝑥 = 2; c) 𝑔(−4) = −2; d) (0,6) (C) 5 a) I: 𝑔(𝑥); III: 𝑓(𝑥) b) ℎ(𝑥) = −3𝑥 + 5 c) 𝐴(−2,0); 𝐵 (3 , 0) ; 𝐶(0,2); 𝐷(0,5)

2

1

5

10. 𝑦 = − 𝑥 3 11. a) 22€ b) É o valor da mesada do Ulisses se não tirar nenhum excelente. c) 7 excelentes. 12. 1 4 a) b) c) alínea a): 𝑦 = 16 𝑥 e alínea a): 𝑦 = 𝑥 5 32 8 5 2 𝑥 6,4 8 𝑥 10 𝑦 0,4 0,5 0,3125 2 𝑦 0,4 0,5 0,8 2 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

(A) Proporcionalidade direta: b) e d) ; Proporcionalidade inversa: a) e c) (C) 0,05 1 a) 𝑦 = 𝑥 ; b) 𝑦 = − 𝑥 a) 40 mesas; b) 8 lugares c) 𝑚 × 𝑐 = 200. 48 a) 16 horas; b) 8 máquinas; c) 𝑛 = 𝑡 a) 1,6 horas ou 1h36min; b) 4 máquinas 8 dias 1 1 1 a) 𝑓(𝑥) = 4 𝑥 2; b) i) 16 ii) 9 c) 𝑥 = 6 Gráfico I: 𝑓(𝑥); Gráfico II: 𝑔(𝑥); Gráfico III: ℎ(𝑥) (C) 3

a) 𝑓(𝑥) = 16 𝑥 2 b) área=6 Representa o numero de horas necessárias para a máquina B fabricar todos os tapetes encomendados. a) A e B ou D e C. b) 𝐴[𝐴𝐵𝐶𝐷] = 18 5 15 a) 𝑓(𝑥) = 9 𝑥 2 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥 ; b)[D] c) 𝑥 = 10 de horas necessárias para a máquina B fabricar todos os tapetes encomendados. 8 a) 𝐴[𝐴𝐵𝐶𝐷] = 4 b) 𝒇(𝑥) = c) 𝑃𝐴[𝑂𝐵𝐴𝐷] = 13,2

31. a) 𝑎 = 25

b) 𝑦 = 2

32. a) 𝑓(𝑥) = 5 𝑥; 3

300 𝑥

c) 𝑥 = √10

b)[D]

33. 𝑓(𝑥) = 4 𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) =

𝑥

12 𝑥

;

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