Ficha Apoio transformações geométricas Módulo 2 - Funções polinomiais

November 25, 2018 | Author: Mónica Martins | Category: Function (Mathematics), Mathematical Concepts, Mathematical Objects, Mathematical Analysis, Mathematics
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A2 - Funções Polinomiais 10.º ano

Transformações Transformações geométricas nos gráficos das funções

Translação vertical do gráfico de uma função

Seja f uma função definida pela expressão analítica  f ( x   x ) e c uma constante real não nula. Seja g a função definida por.  g ( x)    f  ( x)  c .

O gráfico da função g obtém-se do gráfico da função  f deslocando este c unidades na vertical. •

Se c > 0, o gráfico desloca-se c unidades para cima.



Se c < 0, o gráfico desloca-se c unidades para baixo.

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Exemplo 1: Deslocação na vertical e contradomínio de uma função Considere a função f cuja representação gráfica é a seguinte:

1.1. Indique o contradomínio da função  f . 1.2. Indique o contradomínio da função h, sendo: a) h( x)    f  ( x)  1 b) h( x)    f  ( x)  2 1.3. Indique os valores reais que c pode tomar de modo que a função  p( x)    f  ( x)  c não tenha zeros.

Resolução: 1.1.

D’ f  =

1.2. a)

[-1, + [;

D’h

= [0, +[;

b) D’h = [-3, + [;

1.3. Qualquer valor de c pertencente ao intervalo ]1, +[.

Translação horizontal do gráfico de uma função

Seja f uma função definida pela expressão analítica  f ( x ) e c uma constante real não nula. Seja g a função definida por.  g ( x)    f  ( x  c) .

O gráfico da função g obtém-se do gráfico da função  f deslocando este c unidades na horizontal. •

Se c > 0, o gráfico desloca-se c unidades para a esquerda.



Se c < 0, o gráfico desloca-se c unidades para a direita.

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Exemplo 2: Deslocação na horizontal. Domínio de uma função Considere a função f , de domínio [-1, + [, cuja representação gráfica é a seguinte:

2.1. Indique o domínio da função h, sendo h( x)    f  ( x  5) . 2.2. Indique c 

de modo que a função  p( x)    f  ( x  c) tenha domínio

+ 0

.

Resolução: 2.1. Dh = [4, +[; 2.2. D p = ]-1-c, +[ D p = +0  -1-c = 0



c = 1.

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Translação horizontal e vertical do gráfico de uma função generalização

Considere-se as funções f e g , sendo  g ( x)    f  ( x  a)  b . O gráfico da função  g obtém-se do gráfico da função  f  adicionando a à variável independente e b à variável dependente. O gráfico da função  g obtém-se do gráfico da função  f  por um deslocamento horizontal seguido de um deslocamento vertical, ou seja, efectuando uma translação associada ao vector

u  (a, b).

Exemplo 3: Deslocação horizontal e vertical 3.1. Descreva como pode obter uma representação gráfica da função:

A partir da função:

Confirme a sua resposta recorrendo à calculadora gráfica. 4/11

3.2. As representações gráficas de h e  g têm a mesma forma de representação gráfica da função  f  2

definida por   f  ( x)  2 x .

Escreva uma expressão analítica para as funções h e g. Resolução: 3.1.  g ( x)  2   f  ( x  3) Uma representação gráfica de  g obtém-se fazendo um deslocamento da representação gráfica de  f , na horizontal, de 3 unidades para a direita, seguido de um deslocamento na vertical, de 2 unidades para baixo. 3.2.

Expansão e contracção na vertical do gráfico de uma função

Considere-se c 

+

 \ {1}.

O gráfico da função  g, sendo  g ( x)  cf  ( x) , que resulta da função  f  multiplicando por c a variável dependente, obtém-se do gráfico de f expandindo ou contraindo na vertical, segundo o valor de c. Assim:

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Exemplo 4: Extensão e contracção na vertical do gráfico de uma função Considere os gráficos A , B , C e D:

e as funções:  y1  4  f  ( x) ;

  x  ;   2 

 y5    f  

 y2  2  f  ( x) ;  y6 

1 2

  f  ( x ) ;

 y3    f  (3x) ;  y7    f  ( x)  3 ;

 y4  3  f  ( x) ;  y8    f  ( x)  1 .

Faça corresponder a cada gráfico uma das funções. Resolução: 1

(A)   y6    f  ( x) ;

(B)

2



 y2  2  f  ( x) ;

(C)



 y4  3  f  ( x) ,

(D)



 y1  4  f  ( x)

Expansão e contracção na horizontal do gráfico de uma função

Considere-se c 

+

 \ {1}.

O gráfico da função  g, sendo  g ( x)    f  (cx ) , que resulta da função  f  multiplicando por c a variável independente, obtém-se do gráfico de f contraindo-o ou expandindo-o na horizontal, segundo o valor de c. Assim: 6/11

Exemplo 5: Expansão e contracção do gráfico de uma função Descreva como pode obter o gráfico de  g a partir de uma função f , sabendo que:

 1    3  

5.1.  g ( x)  3  f   x  ; 5.2.  g ( x)  0,3  f  4 x  . Experimente, com uma função adequada, as suas respostas.

Resolução:

 1    3  

5.1.  g ( x)  3  f   x 

1

A variável independente está multiplicada por . 3

Por tal, o gráfico de  f expande (estica) na horizontal. A variável dependente está multiplicada por 3. Por tal, o gráfico de  f expande (estica) na vertical. 7/11

5.2.  g ( x)  0,3  f  4 x  A variável independente foi multiplicada por 4, um factor superior a 1. Portanto, o gráfico contrai (encolhe) na horizontal.

A variável dependente foi multiplicada por um número do intervalo ]0,1[. Portanto, o gráfico contrai (encolhe) na vertical. 3

Sendo  f  definida por   f  ( x)   y1   x  3 x , os écrans representados ao lado mostram os gráficos de  f , g e h. Simetria do gráfico de uma função relativamente ao eixo O y. Função par

Sejam:

A representação gráfica da função  g obtém-se da representação gráfica de  f por simetria relativamente ao eixo Oy. Por vezes, quando se substitui

por   x na expressão analítica que define a função, se verifica uma Oy.

 x

“reflexão” relativamente ao eixo

E se a representação gráfica da função  f fosse simétrica em relação ao eixo O y? Neste caso haveria sobreposição de gráficos e a função seria designada por função par. A função  f  é uma função par se o gráfico de f é simétrico relativamente ao eixo Oy, ou seja,   f  ( x)    f  (  x) , para todo o  x do domínio de f .

Exemplo 6: Função par 4

2

Mostre analiticamente e verifique graficamente que a função  f  definida por   f  ( x)   x  2 x é uma função par.

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Resolução:

Observação: Note-se que a observação dom gráfico de uma função permite concluir se uma função é ou não par.

Analiticamente 4

  f  ( x)   x  2 x

2

O domínio de  f é Seja

 x

.

um número real qualquer, então vem que: 4

  f  (  x)  (  x)  2( x)

Então   f  ( x)    f  ( x) para todo o

 x

2

  x 4  2 x 2   f  ( x)

do domínio de f , logo, f é par.

Graficamente

Graficamente, verifica-se que o gráfico de  f  é simétrico relativamente ao eixo Oy, logo, f é par.

Simetria do gráfico de uma função relativamente ao eixo O x

Sejam:

O gráfico da função g é simétrico do gráfico de  f relativamente ao eixo Ox. Também se diz que o gráfico de  g ( x)    f  ( x) é a reflexão do gráfico de  f relativamente ao eixo Ox.

Para qualquer função f , o ponto do gráfico  x,  f  ( x) em relação ao eixo Ox.

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Exemplo 7: Transformação do gráfico de uma função Descreva como pode obter a representação gráfica de  g a partir da representação gráfica de  f , se  g ( x)  4  f  ( x) . Dê um exemplo, particularizando para a função f , usando a calculadora gráfica. Resolução:  g ( x)  4  f  ( x)  (1)  4  f  ( x)

A representação gráfica de g obtém-se da representação gráfica de  f mediante uma expansão vertical pelo factor 4, seguida de uma simetria relativamente ao eixo dos xx. Por exemplo, sejam:

Simetria em relação à origem do referencial. Função ímpar

A função  f  é uma função ímpar se o gráfico de f é simétrico relativamente à origem do referencial, ou seja,   f  ( x)    f  ( x) , para todo o  x do domínio de f .

Se a função  f é ímpar, qualquer ponto do gráfico  x,  f  ( x) é o simétrico relativamente à origem de outro ponto do gráfico   x,  f  ( x)  .

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Para estudar a paridade de uma função , determina-se a expressão analítica de   f  ( x) e compara-se com a de   f  ( x) . Se, para todo o  x do domínio de f :   f  (  x)    f  ( x) , a função é par;   f  (  x)    f  ( x) , a função é ímpar. •



Se, para algum  x do domínio de f :   f  (  x)    f  ( x) , a função não é par;   f  (  x)    f  ( x) , a função não é ímpar. •



Observação: uma função pode não ser par nem ímpar.

Exemplo 8: Será uma função par? E ímpar? Estude a paridade da função:

Verifique com a calculadora gráfica. Resolução: 3

  f  ( x)   x   x 3

  f  ( x)  (  x)  (  x) 3

  f  (  x)   x   x

  f  (  x )    f  ( x )

é o mesmo que    f  (  x)    f  ( x )

3

  f  (  x)   x   x Logo, a função dada é uma função ímpar.

Com recurso à função Trace da calculadora verifica-se que há sobreposições dos dois gráficos.

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