Ficha Apoio transformações geométricas Módulo 2 - Funções polinomiais
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A2 - Funções Polinomiais 10.º ano
Transformações Transformações geométricas nos gráficos das funções
Translação vertical do gráfico de uma função
Seja f uma função definida pela expressão analítica f ( x x ) e c uma constante real não nula. Seja g a função definida por. g ( x) f ( x) c .
O gráfico da função g obtém-se do gráfico da função f deslocando este c unidades na vertical. •
Se c > 0, o gráfico desloca-se c unidades para cima.
•
Se c < 0, o gráfico desloca-se c unidades para baixo.
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Exemplo 1: Deslocação na vertical e contradomínio de uma função Considere a função f cuja representação gráfica é a seguinte:
1.1. Indique o contradomínio da função f . 1.2. Indique o contradomínio da função h, sendo: a) h( x) f ( x) 1 b) h( x) f ( x) 2 1.3. Indique os valores reais que c pode tomar de modo que a função p( x) f ( x) c não tenha zeros.
Resolução: 1.1.
D’ f =
1.2. a)
[-1, + [;
D’h
= [0, +[;
b) D’h = [-3, + [;
1.3. Qualquer valor de c pertencente ao intervalo ]1, +[.
Translação horizontal do gráfico de uma função
Seja f uma função definida pela expressão analítica f ( x ) e c uma constante real não nula. Seja g a função definida por. g ( x) f ( x c) .
O gráfico da função g obtém-se do gráfico da função f deslocando este c unidades na horizontal. •
Se c > 0, o gráfico desloca-se c unidades para a esquerda.
•
Se c < 0, o gráfico desloca-se c unidades para a direita.
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Exemplo 2: Deslocação na horizontal. Domínio de uma função Considere a função f , de domínio [-1, + [, cuja representação gráfica é a seguinte:
2.1. Indique o domínio da função h, sendo h( x) f ( x 5) . 2.2. Indique c
de modo que a função p( x) f ( x c) tenha domínio
+ 0
.
Resolução: 2.1. Dh = [4, +[; 2.2. D p = ]-1-c, +[ D p = +0 -1-c = 0
c = 1.
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Translação horizontal e vertical do gráfico de uma função generalização
Considere-se as funções f e g , sendo g ( x) f ( x a) b . O gráfico da função g obtém-se do gráfico da função f adicionando a à variável independente e b à variável dependente. O gráfico da função g obtém-se do gráfico da função f por um deslocamento horizontal seguido de um deslocamento vertical, ou seja, efectuando uma translação associada ao vector
u (a, b).
Exemplo 3: Deslocação horizontal e vertical 3.1. Descreva como pode obter uma representação gráfica da função:
A partir da função:
Confirme a sua resposta recorrendo à calculadora gráfica. 4/11
3.2. As representações gráficas de h e g têm a mesma forma de representação gráfica da função f 2
definida por f ( x) 2 x .
Escreva uma expressão analítica para as funções h e g. Resolução: 3.1. g ( x) 2 f ( x 3) Uma representação gráfica de g obtém-se fazendo um deslocamento da representação gráfica de f , na horizontal, de 3 unidades para a direita, seguido de um deslocamento na vertical, de 2 unidades para baixo. 3.2.
Expansão e contracção na vertical do gráfico de uma função
Considere-se c
+
\ {1}.
O gráfico da função g, sendo g ( x) cf ( x) , que resulta da função f multiplicando por c a variável dependente, obtém-se do gráfico de f expandindo ou contraindo na vertical, segundo o valor de c. Assim:
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Exemplo 4: Extensão e contracção na vertical do gráfico de uma função Considere os gráficos A , B , C e D:
e as funções: y1 4 f ( x) ;
x ; 2
y5 f
y2 2 f ( x) ; y6
1 2
f ( x ) ;
y3 f (3x) ; y7 f ( x) 3 ;
y4 3 f ( x) ; y8 f ( x) 1 .
Faça corresponder a cada gráfico uma das funções. Resolução: 1
(A) y6 f ( x) ;
(B)
2
y2 2 f ( x) ;
(C)
y4 3 f ( x) ,
(D)
y1 4 f ( x)
Expansão e contracção na horizontal do gráfico de uma função
Considere-se c
+
\ {1}.
O gráfico da função g, sendo g ( x) f (cx ) , que resulta da função f multiplicando por c a variável independente, obtém-se do gráfico de f contraindo-o ou expandindo-o na horizontal, segundo o valor de c. Assim: 6/11
Exemplo 5: Expansão e contracção do gráfico de uma função Descreva como pode obter o gráfico de g a partir de uma função f , sabendo que:
1 3
5.1. g ( x) 3 f x ; 5.2. g ( x) 0,3 f 4 x . Experimente, com uma função adequada, as suas respostas.
Resolução:
1 3
5.1. g ( x) 3 f x
1
A variável independente está multiplicada por . 3
Por tal, o gráfico de f expande (estica) na horizontal. A variável dependente está multiplicada por 3. Por tal, o gráfico de f expande (estica) na vertical. 7/11
5.2. g ( x) 0,3 f 4 x A variável independente foi multiplicada por 4, um factor superior a 1. Portanto, o gráfico contrai (encolhe) na horizontal.
A variável dependente foi multiplicada por um número do intervalo ]0,1[. Portanto, o gráfico contrai (encolhe) na vertical. 3
Sendo f definida por f ( x) y1 x 3 x , os écrans representados ao lado mostram os gráficos de f , g e h. Simetria do gráfico de uma função relativamente ao eixo O y. Função par
Sejam:
A representação gráfica da função g obtém-se da representação gráfica de f por simetria relativamente ao eixo Oy. Por vezes, quando se substitui
por x na expressão analítica que define a função, se verifica uma Oy.
x
“reflexão” relativamente ao eixo
E se a representação gráfica da função f fosse simétrica em relação ao eixo O y? Neste caso haveria sobreposição de gráficos e a função seria designada por função par. A função f é uma função par se o gráfico de f é simétrico relativamente ao eixo Oy, ou seja, f ( x) f ( x) , para todo o x do domínio de f .
Exemplo 6: Função par 4
2
Mostre analiticamente e verifique graficamente que a função f definida por f ( x) x 2 x é uma função par.
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Resolução:
Observação: Note-se que a observação dom gráfico de uma função permite concluir se uma função é ou não par.
Analiticamente 4
f ( x) x 2 x
2
O domínio de f é Seja
x
.
um número real qualquer, então vem que: 4
f ( x) ( x) 2( x)
Então f ( x) f ( x) para todo o
x
2
x 4 2 x 2 f ( x)
do domínio de f , logo, f é par.
Graficamente
Graficamente, verifica-se que o gráfico de f é simétrico relativamente ao eixo Oy, logo, f é par.
Simetria do gráfico de uma função relativamente ao eixo O x
Sejam:
O gráfico da função g é simétrico do gráfico de f relativamente ao eixo Ox. Também se diz que o gráfico de g ( x) f ( x) é a reflexão do gráfico de f relativamente ao eixo Ox.
Para qualquer função f , o ponto do gráfico x, f ( x) em relação ao eixo Ox.
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Exemplo 7: Transformação do gráfico de uma função Descreva como pode obter a representação gráfica de g a partir da representação gráfica de f , se g ( x) 4 f ( x) . Dê um exemplo, particularizando para a função f , usando a calculadora gráfica. Resolução: g ( x) 4 f ( x) (1) 4 f ( x)
A representação gráfica de g obtém-se da representação gráfica de f mediante uma expansão vertical pelo factor 4, seguida de uma simetria relativamente ao eixo dos xx. Por exemplo, sejam:
Simetria em relação à origem do referencial. Função ímpar
A função f é uma função ímpar se o gráfico de f é simétrico relativamente à origem do referencial, ou seja, f ( x) f ( x) , para todo o x do domínio de f .
Se a função f é ímpar, qualquer ponto do gráfico x, f ( x) é o simétrico relativamente à origem de outro ponto do gráfico x, f ( x) .
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Para estudar a paridade de uma função , determina-se a expressão analítica de f ( x) e compara-se com a de f ( x) . Se, para todo o x do domínio de f : f ( x) f ( x) , a função é par; f ( x) f ( x) , a função é ímpar. •
•
Se, para algum x do domínio de f : f ( x) f ( x) , a função não é par; f ( x) f ( x) , a função não é ímpar. •
•
Observação: uma função pode não ser par nem ímpar.
Exemplo 8: Será uma função par? E ímpar? Estude a paridade da função:
Verifique com a calculadora gráfica. Resolução: 3
f ( x) x x 3
f ( x) ( x) ( x) 3
f ( x) x x
f ( x ) f ( x )
é o mesmo que f ( x) f ( x )
3
f ( x) x x Logo, a função dada é uma função ímpar.
Com recurso à função Trace da calculadora verifica-se que há sobreposições dos dois gráficos.
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