Fibonacci

Fibonacci, Leonardo da Pisa Biografía: Fibonacci, Leonardo da Pisa. Nació en 1170 probablemente en Pisa (ahora Italia) y murió en 1250 posiblemente también en Pisa. Leonardo Pisano es mejor conocido por su sobrenombre Fibonacci (figlio di Bonacci, es decir, hijo de Bonacci). Fue hijo de Guilielmo y miembro de la familia Bonacci. Fibonacci mismo utilizaba a veces el nombre Bigollo, que bien podría significar bueno-para-nada o un viajero. No es claro si sus paisanos querían expresar con este epíteto su desdén por un hombre que se ocupaba de cuestiones sin valor práctico, o más bien significaba la palabra en el dialecto toscano un hombre que solía viajar mucho, cosa que él, en efecto, hacía. Su aporte a la matemática: Liber Abaci (Libro del Ábaco). Fue escrito en 1202 y revisado y considerablemente aumentado en 1228. Se divide en quince capítulos. Un capítulo importante está dedicado a las fracciones graduales,6 de las que expone las propiedades. En ellas basa una teoría de los números fraccionarios y, después de haberlas introducido en los cálculos de números abstractos, las vuelve un instrumento práctico para la obtención de números concretos. Todas las fracciones se presentan a la manera egipcia, es decir, como suma de fracciones con numeradores unitarios y denominadores no repetidos. La única excepción es la fracción {\displaystyle \textstyle {\frac {2}{3}}}\textstyle

\frac{2}{3},7 que no se descompone. Incluye una tabla para descomposición en fracciones unitarias que se lee derecha a izquierda, como en las lenguas semíticas. Practica Geometriae. (Geometría práctica) Está dividido en siete capítulos en los que aborda problemas de geometría dimensional referente a figuras planas y sólidas. Es la obra más avanzada en su tipo que se encuentra en esa época en Occidente. Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometricam pertinentium. (Ramillete de soluciones de ciertas cuestiones relativas al número y a la geometría) Comprende quince problemas de análisis determinado e indeterminado de primer grado. Dos de esos problemas habían sido propuestos como desafío a Leonardo por Juan de Palermo, matemático de la corte del emperador Federico II. Carta a Teodoro. Es una simple carta que Leonardo envía a Teodoro de Antioquía, astrólogo de la corte de Federico II. En ella se resuelven dos problemas. El primero es algebraico y consiste en encontrar objetos de diferentes proporciones. Estos objetos llevan los nombres de pájaros de diversas especies. Paul ver Eecke, quien tradujo el Liber Quadratorum al francés desde el original latino de la edición de 1228, opina que pudo haber sido una cortesía hacia Federico II, que era aficionado a la caza con halcón, previendo que su carta sería llevada al príncipe. El segundo problema es geométricoalgebraico. Se trata de inscribir en un triángulo isósceles un pentágono equilátero que tenga un lado sobre la base del triángulo y otros dos lados sobre los restantes de este. Lo reduce a una ecuación de segundo grado, dando un valor muy aproximado para el lado del pentágono en el sistema sexagesimal. Liber Quadratorum. (El Libro de los Números Cuadrados) Consta de veinte proposiciones. Estas no consisten en una recopilación sistemática de las propiedades de los números cuadrados, sino una selección de las propiedades que llevan a resolver un

problema de análisis indeterminado de segundo grado que le fuera propuesto por Teodoro. Fibonacci nació en Italia pero se educó en el norte de África donde su padre, Guilielmo, ocupaba un cargo diplomático, que consistía en representar a los mercaderes de la República de Pisa que comerciaban con Bugia, ahora llamada Bejaia, un puerto mediterráneo en el nordeste de Argelia. El pueblo se encuentra en la desembocadura del Wadi Soummam cerca del Monte Gouraya y el Cabo Carbón. Fibonacci aprendió matemáticas en Bugia y viajó profusamente con su padre, reconociendo las enormes ventajas de los sistemas matemáticos utilizados en los países que visitaban. Fibonacci escribe en su famoso libro Liber abaci(1202): Cuando mi padre, quien había sido nombrado por su país notario público en Bugia para trabajar para los mercaderes pisanos que iban allí, ocupaba su cargo, me llamó aún siendo niño para ir con él, y al tener yo un buen ojo para la inutilidad y la conveniencia futura, quiso que me quedara y recibiera instrucción en la escuela de contaduría. Ahí, cuando brillantemente me enseñaron el arte de los nueve símbolos de los indios, el conocimiento de este arte muy pronto me complació más que cualquier otra cosa y logré comprenderlo para todo aquello que era estudiado por este arte en Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza, en todas sus variantes. Fibonacci dejó de viajar hacia el año 1200 cuando regresó a Pisa. Ahí escribió varios importantes textos que jugaron un papel importante para revivir antiguas habilidades matemáticas e hizo significativas contribuciones propias. Fibonacci vivió antes de que hubiera imprenta, de modo que sus libros eran manuscritos y la única forma de obtener la copia de uno era copiándolo a mano.

De sus libros aún hay copias de Liber

abaci(1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225) y Liber quadratorum. Dado que relativamente pocas copias manuscritas pudieron ser producidas, somos hoy afortunados

de poder tener acceso a lo que escribió. Sabemos, sin embargo, que escribió algunos otros textos, que desafortunadamente están perdidos. Su libro sobre aritmética comercial Di minor guisa se perdió, así como también su comentario sobre el Libro X,Elementos, de Euclides, que contenía un tratamiento de los números irracionales que Euclides había enfocado desde un punto de vista geométrico. Podría pensarse que en una época en la que en Europa había poco interés en cuestiones intelectuales, Fibonacci habría sido totalmente ignorado. Éste no era, sin embargo, el caso, y un amplio interés en su trabajo sin duda alguna contribuyó fuertemente a su importancia. Fibonacci fue contemporáneo de Jordanus, aunque aquél era un matemático mucho más sofisticado y sus logros eran claramente reconocidos, aunque eran las aplicaciones prácticas más que los teoremas abstractos las que lo hicieron famoso entre sus contemporáneos. El emperador del Sacro Imperio Romano era Federico II. Había sido coronado Rey de Alemania en 1212 y después coronado Sacro Emperador Romano por el Papa en la Basílica de San Pedro en Roma en noviembre de 1220. Federico II apoyaba a Pisa en sus conflictos con Génova en el mar y con Lucca y Florencia en tierra, y pasó los años hasta 1227 consolidando su poderío en Italia. El control de estado fue introducido en el comercio y la manufactura, y se formaron servidores públicos en la Universidad de Nápoles para supervisar estas actividades. Ésta fue fundada por Federico en 1224 precisamente para este fin. Federico pronto supo de la obra de Fibonacci gracias a eruditos de su corte que mantenían correspondencia con Fibonacci desde su regreso a Pisa alrededor de 1200. Entre estos sabios se hallaba Michael Scotus, quien era astrólogo, Theodorus, el filósofo de la corte, y Dominicus Hispanus, quien fue el que le sugirió a Federico que conociese a Fibonacci, en ocasión de la reunión de la corte de Federico en Pisa hacia 1225.

Johannes de Palermo, otro miembro de la corte de Federico II presentó varios problemas y desafíos al gran matemático Fibonacci. Tres de estos problemas fueron resueltos por Fibonacci y dio soluciones en Flos que envió a Federico II. Más adelante daremos algunos detalles de estos problemas. De después de 1228 sólo se conoce un documento que hace referencia a Fibonacci. Se trata de un decreto de la República de Pisa en 1240 en el cual se otorga un salario a: ... el serio y erudito Maestro Leonardo Bigollo .... El salario se le dio a Fibonacci en reconocimiento por los servicios prestados a la ciudad, como consejero sobre asuntos de contabilidad y por sus enseñanzas a los ciudadanos. Liber abaci, publicado en 1202 después del retorno de Fibonacci a Italia, fue dedicado a Scotus. El libro se basaba en los conocimientos sobre la aritmética y el álgebra que Fibonacci había acumulado durante sus viajes. El libro, que fue ampliamente copiado e imitado, presentaba el sistema decimal posicional indo arábigo y el uso de los numerales árabes en Europa. De hecho, aunque se trataba de un libro principalmente destinado al uso de los numerales árabes, conocido como algoritmia, también se estudiaron en esta obra ecuaciones lineales simultáneas. Ciertamente, muchos de los problemas que Fibonacci considera en Liber abaci eran semejantes a los que aparecían en fuentes árabes. La segunda sección de Liber abaci contiene una gran colección de problemas destinados a comerciantes. Relacionan el precio de mercancías, cómo calcular las ganancias en las transacciones, cómo convertirlas a las varias monedas en uso en las tierras mediterráneas, así como problemas que se habían originado en China.

Un problema en la tercera sección de Liber abaci condujo a la introducción de los números y de la sucesión de Fibonacci, por los cuales se le recuerda a Fibonacci hoy en día: Cierto hombre puso una pareja de conejos en un lugar rodeado por pared por todas partes. ¿Qué tantas parejas de conejos pueden producirse a partir de esa pareja en un año, si se supone que cada mes cada pareja produce una nueva pareja que a partir del segundo mes se vuelve fértil? La sucesión resultante es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... (Fibonacci omitió el primer término en Liber abaci). Esta sucesión, en la cual cada número es la suma de los dos números precedentes, ha resultado muy fructífera y aparece en muy distintas áreas de las matemáticas y la ciencia. El Fibonacci Quarterly es una revista moderna dedicada a estudiar las matemáticas relacionadas con esta sucesión. Muchos otros problemas aparecen en esta tercera sección, incluyendo éstos y muchos más: Una araña trepa tantos pies por día sobre un muro y se resbala para atrás un cierto tanto cada noche. ¿Cuántos días le toma trepar todo el muro? Un galgo cuya velocidad crece aritméticamente persigue una liebre cuya velocidad también crece aritméticamente. ¿Qué tanto recorren antes de que el galgo atrape la liebre? Calcular cuánto dinero tendrán dos personas después de que cierta cantidad cambia de manos y se da el incremento o decremento proporcional. También hay problemas que involucran números perfectos, problemas que involucran el teorema chino del residuo y problemas sobre la suma de series aritméticas o geométricas.

Fibonacci trata números tales como Ö10 en la cuarta sección, tanto con aproximaciones raciozales como con construcciones geométricas. Una segunda edición de Liber abaci fue producida por Fibonacci en 1228 con un prólogo, típico de tantas segundas ediciones de libros, que dice: ... se ha agregado material nuevo [al libro] del cual también se ha eliminado material superfluo... Otro de los libros de Fibonacci es Practica geometriae escrito en 1220 que lo dedica a Dominicus Hispanus quien ya ha sido mencionado antes. Contiene una gran colección de problemas geométricos distribuidos en ocho capítulos, con teoremas basados en los Elementos de Euclides Sobre Divisiones. Además de los teoremas geométricos con demostraciones precisas, el libro incluye información para exploradores, incluyendo cómo calcular la altura de objetos altos usando triángulos semejantes. El capítulo final presenta lo que Fibonacci llamó sutilezas geométricas: Entre las que se incluye el cálculo de los lados de un pentágono y de un decágono, a partir del diámetro de los círculos inscrito y circunscrito; también se da el cálculo inverso, así como el de los lados a partir de sus áreas. ...para completar la sección sobre triángulos equiláteros, se inscriben un rectángulo y un cuadrado en tal triángulo, y se calculan sus lados algebraicamente... En Flos da Fibonacci una aproximación precisa para la raíz de 10x + 2x2 + x3 = 20, uno de los problemas por cuya solución fue desafiado por Johannes de Palermo. Este problema no fue inventado por Johannes de Palermo, sino que éste lo obtuvo del libro de álgebra de Omar Khayyam, donde se resuelve por medio de la intersección de un círculo y una hipérbola. Fibonacci prueba que la raíz de la ecuación no es un entero, una fracción ni la raíz cuadrada de una fracción. Luego abunda:

Y ya que no fue posible resolver esta ecuación de ninguna otra manera, trabajé para reducir la solución a una aproximación. Sin explicar sus métodos, Fibonacci después da la solución aproximada en notación sexagesimal como 1.22.7.42.33.4.40 (esto está escrito en base 60, por lo que es 1 + 22/60 + 7/602 + 42/603 + ...). Esto se convierte en el número decimal 1.3688081075 que es correcto hasta nueve cifras decimales, un logro notable. Liber quadratorum, escrito en 1225, es la obra más impresionante de Fibonacci, aunque no sea la obra que lo hizo famoso. El nombre significa libro de los cuadrados y versa sobre teoría de números que, entre otras cosas, examina métodos para hallar ternas pitagóricas. Fibonacci hace notar primeramente que los números cuadrados pueden construirse como sumas de impares, esencialmente describiendo una construcción inductiva que hace uso de la fórmula n2 + (2n+1) = (n+1)2. Fibonacci escribe: Pensé sobre el origen de todos los números cuadrados y descubrí que surgen del ascenso regular de números impares. Ya que la unidad es un cuadrado, y de ella se produce el primer cuadrado, a saber, 1; sumando 3 a éste se obtiene el segundo cuadrado, a saber, 4, cuya raíz es 2; si a esta suma se le suma un tercer impar, a saber, 5, se obtiene el tercer cuadrado, a saber, 9, cuya raíz es 3; y así la sucesión y la serie de números cuadrado siempre se obtiene a través de la suma normal de números impares. Para construir las ternas pitagóricas, Fibonacci procede como sigue: Así, cuando se desea hallar dos números cuadrados cuya suma produzca un número cuadrado, tomo cualquier número cuadrado impar como uno de los dos cuadrados, y encuentro el otro número cuadrado sumando todos los números impares a partir de la unidad hasta el número cuadrado impar, excluyéndolo. Por ejemplo, tomo 9 como uno de los dos cuadrados mencionados; el cuadrado restante se obtendrá sumando todos los

impares anteriores a 9, a saber 1, 3, 5, 7, cuya suma es 16, un número cuadrado que al sumarlo a 9da 25, un número cuadrado. Fibonacci también prueba muchos resultados interesantes sobre teoría de números tales como: No existen valores x, y, tales que x2 + y2 y

x2 – y2 sean ambos números cuadrados.

Y x4 - y4 no puede ser un cuadrado. Definió el concepto de congruum, un número de la forma ab(a + b)(a – b), si a + b es par, y 4 veces esto si a+ b es impar. Fibonacci probó que un congruum debe ser divisible entre 24 y también probó que para x, ctales que si x2 + c y x2 – c son ambos cuadrados, entonces c es un congruum. También probó que un cuadrado no puede ser un congruum. Como se dice en su biografía: ... el Liber quadratorum coloca a Fibonacci como el que más ha contribuido a la teoría de números entre Diofanto y Fermat. La influencia de Fibonacci fue más limitada de lo que podría haberse esperado y fuera de su papel en extender el uso de los numerales indo arábigos y de su problema de los conejos, la contribución de Fibonacci a las matemáticas ha sido muy ignorada. Como se explica en otra biografía: La influencia directa la ejercieron solamente las porciones del Liber abaci y de la Practica que sirvió para introducir los numerales y los métodos indo arábigos y contribuyó a dominar los problemas de la vida diaria. Aquí se convirtió Fibonacci en el maestro de los amos del cálculo y de los exploradores, como se lee en la “Summa” de Luca Pacioli... Fibonacci también fue el maestro de los ‘Causistas’, que tomaron su

nombre de la palabra ‘causa’, que se usó por vez primera en el occidente por Fibonacci en lugar de res o radix. Su designación alfabética para el número general o coeficiente fue mejorada hasta Viète La obra de Fibonacci en teoría de números fue casi totalmente ignorada y virtualmente desconocida durante la edad media. Trescientos años después vemos aparecer sus mismos resultados en la obra de Maurolico. Descripción exacta de la serie de Fibonacci: En matemáticas, la sucesión o serie de Fibonacci hace referencia a la secuencia ordenada de números descrita por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… A cada uno de los elementos de la serie se le conoce con el nombre de número de Fibonacci. Historia Esta sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de cría de conejos: “Cierto hombre tiene una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando, de acuerdo a su naturaleza, cada pareja necesita un mes para envejecer y cada mes posterior procrea otra pareja” (Laurence Sigler, Fibonacci’s Liber Abaci, página 404). La respuesta a esta pregunta es la que sigue: 

Partimos de una pareja de conejos el primer mes.



El segundo mes la pareja envejece pero no procrea.



El tercer mes la pareja procrea otra pareja (es decir, ya tenemos dos parejas).



El cuarto mes, la primera pareja vuelve a procrear y la pareja nueva envejece sin procrear (luego tenemos tres parejas).



El quinto mes, las dos parejas más viejas vuelven a procrear mientras que la nueva pareja no procrea (cinco parejas en total)

Esto esquemáticamente sería:

—–> La pareja de conejos envejece. —–> La pareja de conejos envejece por primera vez (es por ello por lo que no puede procrear). —–> Procreación de la pareja de conejos. ¿Cómo se calculan los números de Fibonacci? Existen diferentes formas para calcular los números de Fibonacci: 1. Partiendo de los números 0 y 1, los números de Fibonacci quedan definidos por la función

2. Función generadora: Una función generadora para una sucesión cualquiera a0, a1, a2,… es la función f(X) = a0 + a1x + a2x2+…, es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora:

3. Fórmula explícita: Esta manera de calcular los números de Fibonacci utiliza la expresión del número áureo: