FG_skripta

SARAJEVO

Miran Kuhar Medžida Mulić

FIZIKALNA GEODEZIJA - skripta -

2009

Predgovor

Zbog nedostatka literature na bosanskom jeziku s područja fizikalne geodezije, su autori pokušali predstaviti dio gradiva koji se predaje u okviru predmeta Fizikalna geodezija na diplomskom studiju (I godina) Geodetskog odsjeka Grañevinskog fakulteta Univerziteta u Sarajevu. Ova skripta nije recenzirana tako da se ne može smatrati udžbenikom. Skripta neka služe studentima kao pomoć pri studiranju i pripremanju izpita, zajedno sa bilješkama, koje student sačini na predavanjima i vježbama. Za potpuniji pregled i studiranje, neka se student posluži literaturom, navedenom na kraju.

Ljubljana, Sarajevo, novembar 2009

Autori

1

2

Sadržaj

1 2

3

4

5

Predgovor ......................................................................................................................... 1 Sadržaj............................................................................................................................... 3 Uvod................................................................................................................................... 5 1.1 Kratak historijski prikaz ......................................................................................... 5 Teorija Zemljinog polja sile teže .................................................................................... 7 2.1 Značaj proučavanja Zemljinog polja sile teže....................................................... 7 2.1.1 Sila gravitacije i potencijal.................................................................................. 7 2.1.2 Gravitacijski potencijal kugle ........................................................................... 11 2.1.3 Osobine gravitacijskog potencijala .................................................................. 14 2.1.4 Centrifugalni potencijal..................................................................................... 15 2.1.5 Sila teže, potencijal ubrzanja sile teže ............................................................. 16 2.2 Geometrija polja sile teže...................................................................................... 19 2.2.1 Nivo plohe i težišnica ......................................................................................... 19 2.2.2 Zakrivljenost nivo ploha i težišnice .................................................................. 21 2.2.3 Analitički prikaz nivo ploha............................................................................... 22 2.2.3 Gradijent ubrzanja sile teže.............................................................................. 22 2.2.4 Sistem prirodnih koordinata............................................................................. 23 2.3 Razvoj gravitacijskog potencijala u red po sfernim funkcijama..................... 25 2.4 Oblik Zemlje ........................................................................................................... 30 2.4.1 Normalno polje sile teže .................................................................................... 31 2.5 Vremenske promjene polja sile teže .................................................................... 33 2.6 Anomalijsko polje sile teže Zemlje....................................................................... 34 2.6.1 Otklon vertikale.................................................................................................. 37 2.6.2 Anomalije sile teže ............................................................................................. 41 Sistemi visina.................................................................................................................. 44 3.1 Morski nivo ............................................................................................................. 54 3.1.1 Srednji nivo morske površine ........................................................................... 54 3.2 Topografija morskog nivoa ............................................................................... 56 3.3 Nivelmanske mreže u BiH ................................................................................ 57 Odreñivanje geoida (kvazigeoida) ................................................................................ 60 4.1 Vrste podataka za odreñivanje geoida (kvazigeoida)......................................... 61 4.2 Metode računanja geoida ...................................................................................... 62 4.2.1 Dinamičke satelitske metode – globalni geopotencijalni modeli ................ 63 4.2.2 Gravimetrijska metoda...................................................................................... 64 4.2.3 Astrogeodetska metoda..................................................................................... 66 4.2.4 Geometrijska satelitska metoda ....................................................................... 71 4.2.5 Satelitska altimetrija ......................................................................................... 73 4.3 Prikaz izračunate plohe geoida (kvazigeoida)..................................................... 74 4.3.1 Interpolacija geoidnih visina iz "grida"............................................................ 78 Gravimetrija.................................................................................................................... 79 5.1 Metode mjerenja ubrzanja sile teže........................................................................... 79 5.2 Apsolutna mjerenja ubrzanja sile teže ................................................................ 79 5.3 Relativna mjerenja ubrzanje sile teže ................................................................. 82

3

5.3.1 Izvori pogrešaka pri relativnim gravimetrijskim mjerenjima...................... 87 5.4 Gravimetrijski premjer ......................................................................................... 89 5.4.1 Dosadašnji gravimetrijski radovi u BiH.......................................................... 90 5.4.2 Gravimetrijske karte ......................................................................................... 93 6 Literatura........................................................................................................................ 95

4

1

Uvod

Prema klasičnoj definiciji F.R. Helmerta iz 1880. godine geodezija je znanost o izmjeri i kartiranju Zemljine površine. Moderna definicija proširuje njen zadatak i kaže da je geodezija znanost, koja se bavi odreñivanjem oblika i vanjskog polja sile teže Zemlje, njene orientacije u prostoru, sve to u funkciji vremena. Na taj se način geodezija ubraja ponajprije, pored inženjerskih znanosti, u geoznanosti. Fizikalna geodezija ima zadatak razmatranaj metoda i istraživanja Zemlje i kao fizikalnog i kao geometrijskog tijela. Zato se često fizikalna geodezija ubraja u geofiziku. Rezultati mjerenja ubrzanja sile teže zajednički su i geofizici i geodeziji. Načelno je razlika u tome da geofiziku (primijenjenu geofiziku) zanimaju vrijednosti ubrzanja na lokalnom nivou (manja područja), gdje se prate promjene ubrzanja na površini Zemlje kao odraz različite gustoće stijena u unutrašnjosti. Geodeziju zanimaju vrijednosti ubrzanja sile teže na globalnom i regionalnom nivou, prije svega sa ciljem odreñivanja plohe geoida.

1.1

Kratak historijski prikaz

Sve do XVI. vijeka je fenomen ubrzanja sile teže bio poznat preko rada Aristotela (IV. v. p.n.e.), prema kome je brzina tijela koje pada proporcionalna njegovoj težini. U XVI. vijeku je Galieo Galiei putem eksperimenata objasnio pojave slobodnog pada i vremena periodičnog gibanja njihala, na osnovu čega je sto godina kasnije Christian Hyugens razvio teoriju matematičkog i fizikalnog njihala. On je bio i prvi koji je konstruirao sat sa njihalom. Govoreći o historiji gravimetrije ne možemo ne spomenuti Isaaca Newtona i njegovih aksioma klasične mehanike i zakona univerzalne gravitacije. Francoski astronom Richer je 1672 godine odkrio razliku u ubrzanju sile izmeñu Pariza i Francuske Gvajane. Njihalo njegovog sata, prilagoñeno za mjerenja u Francuskoj je u Južnoj Americi kasnilo dvije minute in po na dan. Bouguer je iskoristio ta otkrića za odreñivanje oblika i veličine Zemlje (1735–1743). Za mjerenja luka meridijana je upotrebio njihalo konstantne dužine i na taj način prvi put praktično izvršio relativna mjerenja ubrzanja sile teže. H. Kater je 1818. godine konstruirao reverzibilno njihalo. John Herschel je prvi predložio upotrebu gravimetra na principu opruge. Cavendish je prvi odredio gravitacijsku konstantu 1798 godine. Roland von Eötvös je 1896 usavršio djelovanje Coulombove vage i omogoćio odreñivanje vrlo malih promjena ubrzanja sile teže. Takav instrument zovemo Eötvösev variometar. Početkom XX vijeka počela su se u velikoj mjeri koristiti gravimetrijska mjerenja za nalaženje ležišta nafte.

5

Sa teorijskog gledišta moramo spomenuti rad A.C. Clairauta (XVIII vijek) u kojem autor daje dokaz Newtonovog zakona gravitacije i formulira poznati teorem, koji kasnije po njemu dobiva i ime. Razvoju teorije potencijala mnogo su doprinijeli francuski matematičari J.L. Lagrange (1736-1813), P.S. Laplace (1749-1827), A.M. Legendre (1752-1833) i S.D. Poisson (1741-1840).

6

2

Teorija Zemljinog polja sile teže

Rezultati gravimetrijskog premjera imaju velik značaj za fizikalnu geodeziju, satelitsku geodeziju itd., jer se sva geodetske mjerenja obavljaju u polju sile teže. Na primer nehorizontirani instrument znači neupoštivanje utjecaja sile teže na naša mjerenja. Bez poznavanja cjelovite teorije polja sile teže Zemlje naše je geodetsko znanje nepotpuno.

2.1

Značaj proučavanja Zemljinog polja sile teže

Značaj proučavanja polja sile teže Zemlje možemo najkraće rezimirati u sljedećem: • Vanjsko polje sile teže Zemlje predstavlja referentni sistem za veliki broj geodetskih mjerskih veličina. To polje moramo dobro poznavati, ako želimo te veličine reducirati (prevesti) u geometrijski točno odreñen sistem. • U slučaju poznatog rasporeda vrijednosti polja sile teže na površini Zemlje, možemo, u kombinaciji sa drugim geodetskim mjerenjima, odrediti oblik zemljine površine (odrediti plohu, koja u najboljoj mjeri zorno prikazuje oblik Zemlje). • Geoid je najznačajnija referentna ploha za odreñivanje visina i visinskih razlika, i ona nije ništa drugo nego nivo ploha polja sile teže Zemlje. • Proučavanje kretanja umjetnih Zemljinih satelita je osnova satelitske geodezije. Sateliti kruže oko Zemlje kao posljedica djelovanja njene privlačne sile. Opis i računanje putanja gibanja umjetnih Zemljinih satelita nije moguće bez poznavanja gravitacijskog polja Zemlje. • Proučavanje vanjskog polja sile teže Zemlje nam daje i informacije o strukturi i karakteristikama Zemljine unutrašnjosti. Odreñivanjem pojedinih parametara polja sile teže geodezija doprinosi razvoju teorijske geofizike i geologije.

2.1.1

Sila gravitacije i potencijal

Sva tijela se meñusobno privlače silom gravitacije. Ona djeluje i na daljinu i kroz vakuum. Gravitacijska sila tela zavisi od njihove mase i od njihove meñusobne udaljenosti. Što tijela imaju veću masu i što su bliža jedno drugom, to je gravitacijska sila izmeñu njih veća. Zavisnost sile gravitacije od mase tijela i njihove meñusobne udaljenosti tkz. Zakon gravitacije, je prvi izveo engleski znanstvenik Isaac Newton 1687. godine, kada je pojasnio kretanje planeta oko Sunca (ovdje je zakon napisan u skalarnom obliku i daje intenzitet gravitacijske sile): F =G

m1m2 l2

(2.1)

"dva tijela djeluju jedno na drugo silom koja je proporcionalna umnošku njihovih masa, a obrnuto proporcionalna kvadratu njihove meñusobne udaljenosti." Sila djeluje u smjeru spojnice koja povezuje težišta oba tijela. G je konstanta gravitacije i iznosi G=6,67259×10-11m3kg-1s-2, (relativna nesigurnost odreñivanja 128 ppm). Možemo je označiti kao opće svojstvo svake mase. U fizikalnom značenju G predstavlja omjer 7

izmeñu ponašanja neke mase kao izvora privlačenja (gravitacije) i ponašanja te iste mase kao odziva na privlačenje drugog tijela (mase). Prvi je konstantu gravitacije odredio 1798. godine Cavendish pomoću torzijske vage. Znanstvenici pokušavaju sadašnjim istraživanjima poboljšati relativnu točnost odreñivanja konstante, koja trenutno iznosi 10-4. Konstanta gravitacije se ubraja meñu fundamentalne fizikalne konstante. Iako se tijela privlače potpuno simetrično, običaj je da jedno telo zovemo "masa koja privlači" (attracting mass), a drugo tijelo, na koje djeluje privlačenje "privlačena masa", (attracted mass). Sva računanja su mnogo jednostavnija ako je "privlačena masa" jedinična masa, m=1. U vektorskom prikazu sila gravitacije ima smjer, koji je suprotan smjeru vektora l, koji je u smjeru narastanja koordinata (koordinatni početak je postavljen u izvor gravitacije, u tijelu koje privlači). Znak minus znači da sila djeluje u smjeru protiv tijela koje privlači. F = −G

m1m2 l l2

Newtonov zakon gravitacije važi za sva tijela, takoñer i za tijela na Zemljinoj površini. Gravitacijska sila izmeñu tijela je veoma slaba (samo neznatno utječe na gibanje tijela) i možemo je u većini primjera zanemariti u usporedbi sa drugim silama. Ta sila je bitna, samo ako je jedno tijelo astronomskih razmjera, na primjer Zemlja. Newtonov zakon možemo upotrijebiti za planete i Sunce. Njihova veličina je naime mala u odnosu na njihovu meñusobnu udaljenost i zato je potpuno svejedno, odakle mjerimo udaljenost l, koja nastupa u zakonu. Kod tijela na Zemljinoj površini je pitanje, koja je to udaljenost l. Ako tijela nisu mala u odnosu na njihovu meñusobnu udaljenost (znači da nisu točkasta tijela), gravitacijska sila izmeñu njih ovisi i od oblika, veličine i položaja tijela u prostoru. Za takva tijela gravitacijski zakon u obliku (2.1) ne vrijedi. Možemo si pomoći tako, da tijela u mislima razdijelimo na diferencijalno male dijelove, za koje onda vrijedi zakon u obliku (2.1). Izračunajmo pojedinačne gravitacijske sile izmeñu pojedinih parova točkastih dijelova oba tijela i potražimo njihovu rezultantu, koja sada predstavlja celokupnu gravitacijsku silu izmeñu oba tijela. Uzmimo sada Zemlju takvu kakva jeste, sa svom njenom nepravilnom fizičkom površinom in nehomogenom strukturom. Postavimo ishodište pravokutnog, kartezijevog koordinatnog sistema u središte (težište) Zemlje. Os Z neka bude u osi rotacije Zemlje, a osi X in Y se nalaze u ravnini ekvatora (slika 2.1). Točke A i B su dvije materijalne točke, pri čemu je točka A (a,b,c) na površini Zemlje element mase m1=m; točka B (x,y,z) je jedinične mase m2=1 i nalazi se na udaljenosti l od Zemlje. Točka A je tijelo, koje privlači, a točka B je privlačena masa (attracted mass). Uslijed privlačenja izmeñu njih djeluje gravitacijska, sila privlačenja F: F =G

m l2

Gravitacijsku silu možemo predstaviti pomoću vektora F, intenziteta F. To znači da možemo potražiti komponente vektora F u smjeru koordinatnih osi. Njih možemo dobiti, ako vektor pomnožimo sa kosinusima kutova koje vektor obuhvata sa koordinatnim osima:

8

(2.2)

Fx=F cosα

Fy=F cosβ,

Fz=F cosγ

y−b , l

cos γ =

(2.3)

Kosinusi kutova su jednaki: cos α =

x −a , l

cos β =

z−c . l

(2.4)

Z B(1) l

A(dm) O

b c

y

z

Y

a x

X

slika 2.1: Privlačna sila F izmeñu točaka A i B Putem zamjene (2.4) i (2.2) u (2.3) dobijamo (poštivajući da dužinu l izračunamo iz koordinata točaka): x −a l3 y−b Fy = Gm 3 l z −c Fz = Gm 3 l Fx = Gm

l = ( x − a )2 + ( y − b)2 + ( z − c )2

(2.5)

Pošto je gravitacijska sila vektor, znači da u okolini tijela, koje djeluje privlačnom silom na druga slična tijela, djeluje vektorsko polje sile. Polje gravitacijske, privlačne sile zovemo polje gravitacije (gravitacijsko polje). Sva računanja možemo u velikoj mjeri pojednostaviti ako sa vektorskog polja preñemo na skalarno polje. Skalarna funkcija, čije parcijalne derivacije su jednake komponentama vektora gravitacijske sile, nazivamo gravitacijski potencijal (V) odn. potencijal privlačne, gravitacijske sile (Green je tu funkciju nazvao skalarna funkcija, a Gauss samo kratko potencijal): V =G

m l

(2.6)

Fizikalno gledano je potencijal gravitacijske sile u nekoj točki P negativna radnja, koju mora učiniti gravitacijska sila na jedinicu mase, da bi privukla tijelo iz beskonačnosti, gdje je potencijal po konvenciji V = 0, u točku P. Potražimo parcijalne derivacije funkcije (2.6):

9

1

2 l = (x − a ) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2 

− 12 1 = (x − a ) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2  l

∂V ∂V ∂l m ∂l = =G 2 = ∂x ∂l ∂x l ∂x m1 = G 2 ( x − a )2 + ( y − b)2 + ( z − c )2 l 2

[

]

− 12

x −a 2( x − a ) = Gm 3 l

(2.7a)

Slično je i za ostale dvije komponente odn. koordinate:

∂V y−b = Gm 3 ∂y l ∂V z−c = Gm 3 ∂z l

(2.7b)

Očigledno je (2.5) jednako (2.7a) i (2.7b) odnosno:

∂V = FX ∂x

∂V = FY ∂y

∂V = FZ . ∂z

Vidimo da su parcijalne derivacije skalarne funkcije gravitacijskog potencijala jednake komponentama vektorske funkcije gravitacijske sile. Pomoću oznaka vektorske analize gornja veza se može prikazati kao: F (FX,FY,FZ) = grad V

(2.8)

Gravitacijska sila je gradijent gravitacijskog potencijala. Često se za gradijent upotrebljava oznaka ∇, operator nabla*. To je simbolički vektor, čije su komponente u koordinatnom sistemu (x,y,z) jednake operatorima deriviranja ∂∂x , ∂∂y , ∂∂z . Veza skalarne potencijalne funkcije i vektora gravitacijske sile je veoma značajna za geodeziju, jer omogoćava da tri komponente sile zamijenimo sa jednom funkcijom. Potencijalnu funkciju ne smijemo pomiješati sa potencijalnom energijom; potencijalna energija naime raste sa visinom, a nasuprot tome potencijal opada. Pored toga je jedinica za potencijalnu energiju [kgm2s-2], a za potencijal [m2s-2] jer je riječ o jediničnoj masi. Vektorska polja, kojima možemo prirediti potencijalnu funkciju, zovemo potencijalna polja. Takva polja su bezvrtložna, što se matematički može zapisati: rot F = ∇×F = 0 Spomenuli smo već da gravitacijska sila izmeñu tijela, koja nisu zanemarljivo mala u poreñenju sa njihovom meñusobnom udaljenošću, zavisi i od oblika, veličine i položaja tijela u prostoru. Ako podijelimo tijelo na male dijelove (točkaste mase) i potražimo utjecaj privlačenja svakog dijelića na dotičnu točku, i potom sve utjecaje zbrojimo, dobijemo konačnu vrijednost privlačne sile odn. potencijala u toj točki:

*

Često ga nazivaju i Hamiltonov operator, jer ga je u matematiku prvi uveo W.R. Hamilton.

10

V =G

n m m m1 m + G 2 + ..... + G n = G ∑ i l1 l2 ln i =1 li

(2.9)

Uz pretpostavku da su točkaste mase (elementi mase) u unutrašnjosti tijela rasporeñene neprekinuto, možemo preći sa elementa mase m na neprekinuto rasporeñene elemente u volumenu v sa gustoćom ρ: ρ=

dm dv

dm je element mase, dv je element volumena. Sumu (2.9) možemo napisati u obliku trostrukog integrala:

V = G ∫∫∫ v

dm ρ = G ∫∫∫ dv l l v

(2.10)

pri čemu je l udaljenost izmeñu elementa mase dm i točke na koju utječe privlačenje. Slično vrijedi i za Zemlju: V =G

dm ρ = G ∫∫∫ dv l l Zemlja Zemlja

∫∫∫

U gornjoj jednadžbi polazimo od toga da nam je poznata funkcija rasporeda gustoće ρ=ρ(r'), (r' je vektor položaja neke točke na površini Zemlje odn. u njenoj unutrašnjosti). U stvarnosti mi gustoću Zemlje poznajemo samo za pojedine gornje slojeve Zemljine kore. Zbog nepoznavanja stvarnog rasporeda gustoće u unutrašnnjosti Zemlje, gornja jednadžba geodetima ne pomaže mnogo u praksi. Zbog toga geodeti pokušavaju potencijal odrediti na drugačiji način.

2.1.2

Gravitacijski potencijal kugle

U prvom približenju možemo Zemlju posmatrati kao kuglu, sa centralno simetričnim rasporedom gustoće. Da bi izračunali gravitacijski potencijal uvedimo sferne koordinate r,θ,λ (slika 2.2), r je radijus vektor, θ polarni kut (kolatituda), λ je sferna dužina. z

P (r,

)

r O

y

x

slika 2.2: Veza izmeñu sfernih i kartezijevih koordinata

11

Izabrani koordinatni sistem je orientiran sukladno geocentričkim kartezijevim koordinatnim sistemom (θ os je jednaka osi Z, koja se opet poklapa s osi rotacije Zemlje; λ os je jednaka osi X i leži u ravnini meridijana Greenwicha; to znači da je sferna dužina jednaka geografskoj dužini). Pri tome vrijedi sljedeća transformacijska relacija:

x  sin θ cos λ       y  = r  sin θ sin λ  z  cos θ     

(2.11)

U sljedećim derivacijama će sferni koordinatni sistem biti orientiran tako da se θ os poklapa s spojnicom točaka O i P, u kojoj računamo gravitacijski učinak sferne ljuske (slika 2.3). Točka P ima koordinate (r,θ,λ), položaj ljuske f je odreñen položajem prostorne parcele df odn. točke P'(R,θ',λ'). P(r,θ,λ)

l

λ Rsinθ 'd ' dR

r

P'(r,θ',λ')

df

θ'

λ'

R

Rdθ' θ' d

dλ'

slika 2.3: Gravitacijski potencijal centralno simetrične kugle Potencijal homogene sferne ljuske beskonačno male debljine dR i gustoće σ, radijusa R, zadat je jednadžbom sličnoj jednadžbi (2.10)1:

V ' = G ∫∫ f

σ df l

1

Potencijal površinskog elementa S mase dm, koji djeluje sa privlačnom silom na okolinu, možemo izračunati putem izraza:

V = G ∫∫ S

dm σ = G ∫∫ dS l l S

pri tome je σ površinska gustoća mase (σ = dm/dS); to je masa na jedinicu površine.

12

(2.12)

pri tome se integracija vrši na području površine ljuske f (element df je prostorna parcela df = R2sinθ'dθ'dλ'). Razdvojimo područje integracije sa prostorne parcele df na sferne koordinate θ' in λ' (integriramo na području 0