Feynman Richard Fizica Moderna Vol II Electromagnetismul Structura Materiei RO

lECTURES

OJ'l

PHYSICS MAINLY ELECTROMAGNETISM AND MATTER

RICHARD P. FEYNMAN Richard Chace Tolman Professor of Theoretical Physics California Institute of Technology

ROBERT 8. LEIGHTON

Professor of Ph)!sics California Institute of Technalogy

MATTHEW SANDS Professor Stanford University

AD DIS ON' WE SL EV,

READIN G,

MASSACHUSETTS

RICHARD P. FEYNMAN

FIZICA MODERNĂ ,

),\

ELECTROMA6NETlSMUL STRUCTURA MATERIEI '4 j

Lucrarea a fost redactată de:

RICHARD P. FEYNMAN ROBERT B. LEIGHTON MATTHEW SANDS

Editura tehnică Bucureşti,

1970

Prefaţă

De aproximativ patruzeci de ani, Richard P. Feynman şi-a concentrat cuTl.ozi~ tatea asupra mecanismului misterios al lumii fizice şi şi-a indreptat intelectul spre descoperirea ordinii în acest haos. Aetlm, el şt-a dăruit doi ani din măiestria şi energia sa "LecţiitoT de fizică" pentru studenţii incepătoTf. Pentru ei şi-a distilat esenţa eunoştinţelO1' sale şi a creat, sub o formă pe care ei pot spera să o înţeleagă, un tablou al universului fizicianului. Lecţiilor, el le-a adus strălucirea şi daritatea gîndirii sale, originalitatea şi vitalitatea modului său (le abordare şi entuziasmul CDntUgW8 al p"'ezentării sale. A fost o pwc€r€ să asişti Lecţiile primului an au format baza primului volum al acestei serii de cărţi. Am înceTcat în acest volum, al doilea, să facem un tel de redare a unei părţi a Iecţiilor celui de-al doilea an ce au fost prezentate studenţilor din anul doi în timpul anului de studii 1962-1963. Restul lecţiilor anulUi doi vor constitui VOlumul III. In al doilea an al cursurilor, primele două treimi erau destinate unei tratări destul de complete a electrtcităţii şi magnetismului. Prezentarea sa intenţiona să servească unui scop dublu. Am sperat, întîi, să oferim studentului o vedere completă a unuia dintre capitolele mari ale fiZicii - de ta bîjbîielile timpurii ale lui Franklin, prin marea sinteză a lui Maxwell, la teoria electronică a proprietăţilor matCTiale dată de Lorentz, incheind cu dilema, încă nerezolvată, a auto energiei electromagnetice. Am spe~at, în al doilea rind, introducind la început calculul cimpurilor de vectori, să dăm o introducere solidă pentru matematica teoriei cimpului. Pentru a cecentua utilitatea generală a metodelor matematice, au fost uneori anaUzate - împreună cu corespondentul lor electric - subiecte înrudite din alte părţi ale fiziCii. Am încercat incontinuu să scoatem în evidenţă generalitatea matematicii. ("Aceleaşi ecuaţii au aceleaşi soluţii".) Noi am accentuat acest lucru prin genul de eXCTctţîi şî examinările pe Care le-am efectuat cu studenţii. După capitolele de electromagnetism există cite două capitole asupra elasticităţii şi curgerii fluidelor. In primul capitol al fiecărui grupaj, sînt tratate aspecte elementare şi practice. In al doilea capitol se încearcă să se dea o privire de ansamblu a întregului domeniu complex de fenomene la care poate conduce suOiectut. Aceste patf'U capitole pot ft uşor omise fără o pierdCTe serioasă, deoarece ele nu constituie deloc o pregătire necesară pentru volumul III. Ultimul sfert, aproximativ, al celui de-al doilea an a fost destinat introducerii în mecanica cuantică. Lecţiil~ dedicate acestui subiect constituie volumul al treilea. In această redare a Lecţiilor hli Feynman dorim să facem mai mult decît să dă"!l o Btmplă transcriere a ceea ce a spus el. Noi am sperat să facem din versiunea 8cnsă o expunere cit mai clară a ideilor pe care se bazau lecţiile originale. Pentru unele dintre lecţii, aceasta s-a putut face efectuînd numai îndreptări neinsemnate ~le cuvintelor in transcrierea originală. Pentru alte lecţii a fost necescra o prelucrare ~n3emnată şi o rearanjare a materialului. Uneori am simţit că ar trebui sit adăugăm material nou pentru a îmbundtăţi claritatea sau echilibrul prezentării. In tot timpul prelucrării am beneficiat de ajutof'Ul continuu şi sfatul profesorului Feynman.

10

PREFAŢĂ

Transpunerea a mai mult de 1 000 000 de cuvinte vorbite într-un text coerent, într-un program strîns, este o sarcină formidabilă, mai ales cînd este însoţită de alte Indatoriri care apar o dată cu introducerea unui nou curs - preaătirea seminariilor, programul de consultaţii, indicarea exerciţiiloT şi a examinărilor, natarea lor etc. Multe mîini - şi capete - au fost cuprinse în această muncă. In unele cazuri am fost în stare, sper, să redăm o imagine fidelă sau un portret retuşat cu delicateţe al gindiTii lui Feynman. In alte cazuri ne-am îndepărtat mult de acest ideal. Succesele noastre se datoresc tuturor celor ce ne-au ajutat. Regretăm insuccesele. Cum s-a explicat în detaliu în prefata la volumul I, aceste lecţii au fost doar un aspect al programului iniţiat şi supravegheat de Comitetul de revizie a cursului de fizică (R. B. Leighton, preşedinte, H. V. Neher şi M. Sands) la Institutul de Tehnologie din California şi suportat financiar de Fundaţia roia. In plus, următoarele persoane au colaborat, cu un aspect sau cu altul. la prepararea materialului textului pentru acest volum secund: T. K. Caughey, M. L. Clayton, J. B. Cureio, J. B. Hartle, T. W. H. Harvey, M. H. Israel, W. J. Karzas, R. W. Kavanagh, R. B. Leighton, J. Mathews, M. S. Plesset, F. L. Waren, W. Whaling, C. H wurs şi B. Zimmerman. Alţii au contribuit indirect prin munca lor asupra cursului: J. Blue, G. F. Chapline,. M. J. Clauser, R. Dolen, H. H. HiU şi A. M. Title. Profesorul Gerry Neugebauer a contribuit la toate aspectele activităţilor noastre, cu o hărnicie şi un devotament cu. mult peste sarcinile sale. Povestea fizicii pe CG1'e o găsiţi aici, însă, nu ar exista, fără extraordinara măies­ trie şi hărnicie ale lui Richard P. Feynman. Martie 1964

Matthews Sands

Tabla de materii

@Eled:romagnetism

3.6.

11

3.7. Cîmpur-i

tice 1.3. Caracteristici ale cimpurilor vectoriale 1.4. Legile electromagnetâsmului 1.5. Ce sînt cimpurile? 1.6. Blectromagnetăsrnul tn şti­ inţă şi tehnologie .

21

3.8. Rezumat

(~-.~ICUlUI '~rilor

dtferentlal al etmnude vectori

2.1. Intelegerea fizicii . / 2.2. Cimpuri scalare şi vectoriale - T şi h 2.3. Derivatele cimpurilor gradtentul . . 2.4. Operatorul \l . JlJi. Operaţij cu '\l . ' . . 2.6. Ecuaţia diferenţială a propagării căldurii. . . . . 2.7. Derivatele de ordinul doi ale cîmpurilor de vectori 2.8. Pericole ascunse 3. Calculul integral eu vectori 3.1. Integrale vectoriale: integrala curbtlfnte a lui '\l1Jl 3.2. Fluxul unui cîmp de vec;

;1) ~~xul' dinir-~n'c~b;' ~-' -

Circulaţia pe conturul unui pătrat; teorema lui Stokes fără rotor şi fără divergenţă

11

1.1. Forţe electrice 1.2. Cîmpuri electrice şi magne-

rema lui Gauss . . . . 3.4. Conducţia căldurii; ecuaţia dtfuzrei 3.5. Circulaţia unui cimp de vectori

22 25 30 32

34 34 35 39 43 44

.. 4'

50

52

52 55 58

60

"

66 69 71

( j./E1eetrostatica

72

.-7'( Statică .

72

4~2. Legea lui Coulomb: principiul suprapunerii 4.3. Potenţialul electric 4;4". E=- '\l(2)-"'(1)~

'1

I

V'I" ds

(3.8)

1'1

orice

curbă

de la [I} la (2)

3.2. Fluxul unui cîmp de vectori

~

Mai inainte de a lua în discuţie următoarea teoremă integrală - o teoremă asupra divergenţei - intenţionăm să studiem o problemă care are semnificaţie fizică uşor de înţeles In cazul scurgerii căldurii. Am definit vectorul h, ce reprezintă căldura care curge printr-o unitate de ~e în unih

Fig. 3.3. Suprafaţa închisă S defineşte volumul V. Vectorul unitate n este normala exterioară la elementul de suprafaţă da şi h este vectorul scurgere de căldură la elementul de suprafaţă.

tate de timp. Să presupunem că in interiorul unui bloc de material avem o oarecare, suprafaţă Inclusă S, oare cuprinde volumul .v (fig. 3.3). Am dori să aflăm cît de multă căldură curge afară din acest volum. Putem, evident, să o aflăm calculînd scurgerea totală de căldură prin suprafaţa S. Scriem da pentru aria unui element de suprafaţă. Simbolul rcprezintă o diferenţială bidimensională. Dacă, de exemplu, ada s-ar fi întîmplat să fie în planul xy, am fi avut da=dx dy.

CALCULUL INTEGRAL CU VECTORI

56

Mai tîrziu vom avea integrale de volum şi pentru acestea este convenabil să considerăm un volum diferential. care este un mic cub. Astfel, cînd scriem dV Intelegem dV -edrc dy uz.

Unii preferă să scrie d în loc de da pentru a-şi reaminti că este un fel de cantitate de ordinul doi. Ei vor scrie de asemenea d3V in loc de dv. Noi vom folosi notaţiile mai simple şi vom presupune că dum2a

neavoastră vă puteţi

aminti

că

o arie are

două

dimensiuni

şi

un volum

are trei. Scurgerea de căldură spre exterior prin elementul de suprafaţă da este aria înmulţită cu componenta lui h perpendiculară pe da. Am definit deja n ca un vector unitate îndreptat spre exterior, normal pe suprafaţă

(fig. 3.3). Componenta lui h pe care o căutăm este h,,=h·n.

Scurgerea de

căldură

(3.9)

spre exterior prin da .este atunci (3.10)

h.n-dc.

scurgerea totală de căldură prin orice suprafaţă sututuror elementelor de supraîată. Cu alte cuvinte, integrăm (3.10) pentru întreaga suprafaţă: Pentru a

mărn

obţine

contribuţiile

Scurgerea

totală de căldură spre exterior prin

S=

~

h-n-dc.

(3.11)

s

de suprafaţă "fluxul lui h prin supraflux a însemnat scurgere, astfel că integrala de "scurgerea" lui h prin suprafaţă. Putem să gîndim: h este "densitatea de curent" de căldură şi integrala sa de suprafaţă este curentul total de căldură îndreptat spre exteriorul suprafeţei, adică energie termică pe unitate de timp (jouli pe secundă). Am dori să generalizăm această idee la cazul in care vectorul nu înseamnă scurgerea a ceva anume; de exemplu, ar putea fi cîmpul electric. Putem, cu siguranţă, integra şi componenta normală a cimpului electric pe o arie, dacă dorim. Cu toate că aceasta nu reprezintă scurgerea a ceva, putem totuşi să o numim "Uux". Spunem: Vom numi

această integrală

faţă". Originar, cuvîntul suprafaţă înseamnă chiar

Fluxul lui E prin suprafaţa S = ~ E· n da. s Generaltzăm 'Suprafaţă

(3.12)

cuvintul "flux" dindu-i semnificaţia de "integrală de a componentei normale" a unui vector. Vom folosi de aseme-

FLUXUL UNUI C!MP DE VECTORI

nea

aceeaşi definiţie

chiar

57 şi

atunci cind

suprafaţa considerată

nu este

închisă.

Reîntorcîndu-ne la cazul special al scurgerii de căldură, să luăm o în care căldura se conservă. De exemplu, să ne imaginăm un materiel in care, după o încălzire iniţială, nu mai e generată sau absorbttă energie caloncă. Atunci, dacă există o scurgere netă de căldură spre exteriorul unei suprafeţe închise, conţinutul de căldură al volumului din interior trebuie să descrească. Astfel, în condiţiile în care căldura s-ar conserva avem situaţie

dO

nda=--

(3.13)

dt

unde Q este căldura în interiorul volumului închis de suprafaţă. Fluxul de căldură spre exteriorul lui S este egal cu minus viteza de variaţie in timp a căldurii totale Q în interiorul lui S. Această interpretare este posibilă deoarece vorbim despre curgerea de căldură şi de asemenea fiindcă am presupus că 'Căldura se conservă. Evident, nu am fi putut vorbi despre căldura totală din interiorul volumului dacă 'acolo s-ar fi generat căldură. _--- Vom accentua un fapt interesant despre fluxul oricărui vector. Puteţi să vă gîndiţi la vectorul scurgere de căldură, dacă doriţi, dar ceea ce spunem va fi adevărat pentru orice cîmp de vectori C. Să se imaginăm că avem o suprafaţă închisă S, care cuprinde volumul V. Separăm acum volumul în două părţi printr-un fel de "tăietură" ca in figura 3.4. Acum avem două suprafeţe închise şi două volume. Volumul VI este închis de suprafaţa SI, care se compune dintr-o parte a suprafeţei iniţiale Sa şi din suprafaţa tăieturii Sah. Volumul V 2 este inchis de 8 2 , compusă din restul suprafeţei iniţiale Sv şi taietura Sah' Acum să considerăm urmă­ toarele. Să presupunem că noi calculăm fluxul spre exteriorul suprafeţei Sl şi adăugăm la acesta fluxul prin suprafaţa 8 2 , Este egală suma cu fluxul prin intreaga suprafaţă de la care am plecat? Răspunsul este: da. Fluxurile prin partea de suprafaţă Sah comună la SI şi 8 2 se anulează reciproc. Pentru fluxul vectorului C spre exteriorul lui VI putem scrie: Fluxul prin 8 1 =

1

1

~C s

şi

n da+

~C s

(3.14)

"

fluxul Spre exteriorul lui V 2 : Fluxul prin 8 2 =

~C nda+~e-n2Ca.

"

'"

(3.15)

CALCULUL INTEGRAL CU VECTORI

58 Să notăm ca III a doua integrală am rioară la Sah cînd aceasta aparţine la S, şi

cum este

arătat

in figura 3.4. E dar

că OI

scris D1 pentru normala extene, cind aceasta aparţine la 8 2 , = - D2, astfel că

~c -O, da=- ~ ("D2 da. sa~

(3.16)

sab

I( v, Fig. 3.4. Un volum V cuprins in interiorul suprafeţei S este împărţit in două părţi printr-o" tăietură" de suprafaţă Sah' Avem acum volumul V închis de suprafaţa Sl=Sa+Sab şi volumul v, Închis de suprafaţa S2=Sb+Sah' Dacă adunăm acum (3.14) şi (3.15), vedem că suma fluxurilor prin SI 8 2 este tocmai suma a două integrale care, luate împreună, dau fluxul prin suprafaţa originară S=81J+Sb. Vedem că fluxul prin toată suprafaţa exterioară S poate fi considerat ea suma fluxurilor din cele două părţi in care a fost divizat volumul. Similar, putem diviza mai departe, să spunem tăind VI in alte două părţi. Observaţi că se aplică-aceleaşi argumente. Astfel, pentru orice mod de împărţire a volumului iniţial trebuie să fie in general adevărat faptul că fl.~ul pri.!1__s)1J?!eJşţa,.eJ!:terioară,. care este Integrala iniţială, e egal cu suma fluxudlcr.epre.extertor din toate .bucăţile mici interioare. şi

3.3. Fluxul dintr-un cub; teorema lui Gauss Luăm

acum cazul special al unui cub miel) şi găsim o formulă intepentru fluxul spre exteriorul său. Să considerăm un cub ale cărui muchn sint paralele cu axele de coordonate, ca în figura 3.5. S~ presupunem că coordonatele vîrfului cel mai apropiat de origine sint x, y, z. Fie âx latura cubului în direcţia x, ây în direcţia y şi dz in direcţia z. Dorim să găsim fluxul unui cimp de vectori C prin suprafaţa cubului. resantă

Jl Dezvoltarea de aici se aplică la fel de bine la orice paralelipiped dreptunghic.

FLUXUL DINTR-UN CUB; TEOREMA LUI GAUSS

59

Vom face aceasta efectuînd suma fluxurilor prin fiecare din cele sase feţe. Întîi să considerăm faţa notată cu 1 în figură. ~~PcLwre exteri~rul acestei feţe este minus integrala din componenta z a lui C luată pe aria feţei

-~C" dy

dz.

Deoarece considerăm un cub mic, putem aproxima această Integrală prin valoarea lui C" în centrul feţei - pe care îl denumim punctul (1) - inmulţită cu aria feţei, ,1,y .iz: Fluxul spre exteriorul feţcil =-C" (1) ,1,y.1.z.

5

z-

_~'j"J~: ,

~(J.'J'c'L __ //

6

Ll.r

/ /Lll

Fig. 3.5. Calculul fluxului lui C spre exteriorul unui cub mic.

J

Similar, pentru fluxul spre exteriorul feţei 2 scriem: Fluxul spre exteriorul lui 2 =C", (2) dy,1,z. Dar C,,(l) şi Cx(2) sînt, în general, puţin diferite. Dacă .1.;;-'este destul de mtc; putem scrie

C,(2)~C,(1)+ dC, Llx.

,X

Există,

evident, mai mulţi termeni, dar ei vor cuprinde (.ix)~ şi puteri superioare şi astfel vor fi neglijabili dacă considerăm numai limita vatorilor mici ale lui Âx. Deci, fluxul prin suprafaţa 2 este: Fluxul spre exteriorul lui 2= [C,,(l)+ Adunind fluxurile pentru

feţele

1

şi

2,

Fluxul spre exteriorul lui 1 şi 2=

8~,,] .lx tJ.y ,1,z.

obţinem:

ac", .:ix Ây Âz.

ax

Derivate ar trebui evaluată in realitate in centrul feţei 1, adică la [x, y+ Ây/2, a-t- ,1,z/2]. Dar in cazul unui cub infinitezimal facem o eroare neglijabilă dacă ne raportăm la virful (x, y, z).

CALC1JLUL INTEGRAL CU VECTORI

60

feţe,

Aplicînd avem:

acelaşi raţionament

la fiecare dintre celelalte perechi de

,c

Fluxul spre exteriorul lui 3 şi 4= şi

Fluxul spre exteriorul lui 5

o:.6.x dy ,iz.

şi 6= eez Dox !:J.y !:J.z. 3'

Fluxul total prin toate

feţele

este suma acestor termeni.

cJC·nda= (,O, 3C, ac,) y+a;+a;- cit şi

v· Ez sînt zero

necesar pentru echilibru.

şi V· F

Puteţi

qt şi q2 se ailă in spaţiul liber, este zero - nu negativ, cum ar fi

observa cum o extindere a argumentului

"'1

(~

l:'

Fig. 5.2. O sarcină poate fi Î! echilibru dacă există constrînger; mecanice. arată că

nici o asamblare rigidă de un număr oarecare de sarcini nu poate avea o poziţie de echilibru stabil intr-un cîmp electrostatic, in spaţiul liber.

Nu am arătat pînă acum că echilibrul este interzis dacă există pivoţi sau alte constringeri mecanice. Ca exemplu, să considerăm un tub gol in care se poate mişca o sarcină inainte şi înapoi, liber, dar nu lateral. Este foarte uşor de inventat un cîmp electric îndreptat spre interior la ambele capete ale tubului, dacă este permis ca cîmpul să poată fi îndreptat lateral spre exterior în vecinătatea centrului tubului. Aşezăm simplu sarcini pozitive la fiecare din capetele tubului, ca în figura 5.2. Acum poate exista un punct de echilibru chiar dacă divergenţa lui E este zero. Sarcina, evident, nu ar fi în echilibru pentru mişcarea laterală, dacă nu ar exista forţe "neelectrice" din partea pereţilor tubului. 5.3. Echilibru cu conduetori

Nu există o poziţie stabilă in cimpul unui sistem de sarcini fixe. Ce se întîmplă în cazul unui sistem de conductori încărcaţi? Un sistem deconductor! încărcaţi poate produce un cimp care să aibă un punct de echilibru stabil pentru o sarcină punctiformă? (Evident, într-un punct care nu este situat pe un conductor). Conductorii, după cum se ştie, au proprietatea că sarcinile se pot mişca liber in ei. Poate că atunci cînd sarcina punctiformă este uşor deplasată, celelalte sarcini de pe conductori se vor mişca Într-un mod care dă naştere unei forţe de readucere pentru sarcina puncttformă? Răspunsul este şi acum nu cu toate că demonstraţia pe care am dat-o nu arată aceasta. Demonstraţia pentru acest caz este mai dificilă şi vom indica doar cum se face.

I "~-,-

'"O""

Mai întîi

notăm că

atunci cînd sarcinile se redistribuie pe conduc-

tort, acest lucru se poate intimpla numai

dacă mişcarea

sarcinilor pro-

duce o descreştere a energiei lor potenţiale totale. (O parte din energie '\·t"'?· este consumată în căldura, deoarece sarcinile se mişcă in conductor). [::'~.~ , Am arătat deja că dacă sarcinile ce produc un cimp sint staţionare, există, in vecinătatea oricărui punct de zero P o, in cimp, o direcţie de-a lungul căreia, mtşclnd o sarcină punctrformă dinspre Pc, energia sistemului va descreşte (deoarece forta este îndreptată dinspre P o). OriCL' rearanjare a sarcinilor pe conductori poate doar coborî şi mai mult energia potenţială; astfel (pe baza principiului lucrului virtual), mişcarea lor va face doar să crească forţa dinspre P o în acea direcţie particulară şi nu îi va schimba sensul. Concluzia noastră nu înseamnă că nu-i posibil să echilibrăm o sarcină prin forţe electrice Acest lucru este posibil dacă dorim să controlăm poziţia sau dimensiunile sarcinilor cu ajutorul unor dispozitive corespunzătoare. Ştiţi că o bară ce se sprijină pe vidul său, într-un cîmp gravitational, este ncstebtlă, dar aceasta nu demonstrează că nu poate fi echilibrată pc virful unui deget. La fel, o sarcină poate fi ţinută Într-un punct prin cimpuri electrice, dacă acestea sînt variabi~e. Dar nu cu un sistem pasiv - adică static. 1-;

i~lf

!fir.

I~ I '1

~;!

.~

I

~:~I

5.4. Stabilitatea atomilor Dacă

sarcinile nu pot fi ţinute stabil Într-un punct, este cu sigune imaginăm materia ca fiind constituită din sarcini punctiforme statice (electroni şi pi-etoni), guvernate numai de legi ale electrostaticii. O astfel de configuraţie statică este imposibilă; s-ar ranţă necorespunzător să

prăbuşi.

S-a sugerat o dată că sarcinile pozitive ale unui atom ar putea fi distribuite uniform într-o sîeră şi că sarcinile negative, electronli, s-ar putea afla în repaus în interiorul sarcini] pozitive, cum e arătat in figura 5.3. .-Acesta a fost primul model de atom, propus de 'J'hompscn. Dar Ruthcrford a conchis, din experimentul lui Getger şi Marsden, că sarcina pozitivă era foarte concentrată în ceea ee el a numit nucleu. Modelul static al lui 'I'hompson a trebuit abandonat. Rutherford şi Bohr au sugerat atunci că echilibrul ar putea fi ,..dinamic cu electronit mlşctndu-se pe orbite, cum este arătat in figura 5.4. Eleetr'onii ar fi ţinuţi să nu cadă spre nucleu prin mişcarea lor orbitală. Noi cunoaştem deja cel puţin o djfic:ultate în legătură cu această imagine. Cu o astfel de mişcare, clcctronlt ar f~ aCOO;leraţi (din cauza mişcării circulare) şi, prin urmare, ar radia energ~e. El şi:-ar pierde energia cinetică necesară pentru a rămîne pe orbită ŞI s-ar mIŞca spre nucleu pe o spirală. Din nou ncstabtl! . Stabilitatea atomilor este explicată acum cu ajutorul mecanicii cuantrce. Forţele electrostatice atrag eloctronul cit mai aproape de nucleu, dar

APLICAREA LEGII LUI GAUSS

€lectronul este constrins să stea undeva, in spaţiu, la o distanţă dată de principiul de nedeterminarc. Dacă ar fi reţinut într-un spaţiu prea mic, ar avea o mare incertitudine în impuls. Dar aceasta înseamnă că ar avea o mare energie probabilă - pe care ar folosi-o pentru a scăpa de

J'(Jf'cifl{J flfl}fltivti

r:oncentmto i"WltrrJ

Electronr"l'fPllw {JerJrMeplonetIJ('f

Fig. 5.3. Modelul de atom al lui 'I'nompson.

Fig. 5.4. Modelul de atom Ruther-Iord-Bohr.

atracţia electrică.

Rezultatul net este un echilibru electric nu foarte diferit de ideea lui Thompson - numai că sarcina negativă este cea tmprăştiată (din cauză că masa electronului este cu mult mai mică decit masa protonului).

p5.5. Cîmpul unei sarcini Iintarc Legea lui Gauss poate fi folosită pentru a rezolva un număr de probleme de cîmp electrostatic unde intervine cu o simetrie specială - de obicei sferică, cilindrică sau plană. In restul acestui caPltoCvo:maplica legea lui Gauss la citeva din aceste probleme. Uşurinţa cu care pot fi rezolvate poate da impresia greşită că metoda este foarte eficientă şi că am fi in stare să mergem mai departe la multe alte probleme. Din păcate, nu este aşa. Repede se încheie lista problemelor ce pot fi rezolvate uşor eu legea lui Gauss! In capitolele următoare vom elabora metode mai eficiente de cercetare a cîmpurilor electrostatice. Ca prim exemplu, considerăm un sistem cu simetrie cilindrică. Să presupunem că avem o vergea foarte lungă, uniform încărcată. Prin aceasta înţelegem că sarcinile electrice sînt distribuite uniform de-a lungul unei linii drepte infinit de lungi, cu sarcina }.. pe unitatea de lungime. Dorim să aflăm cîmpul electric. Problema poate fi rezolvată, evident, integrind contribuţia la cimp de la fiecare parte a liniei. O vom rezolva fără integrare, utilizînd legea lui Gauss şi unele presupuneri. Mai întîi, presupunem că cimpul electric este îndreptat ra~i~ spre exterior, dinspre linie. Orice componentă axială de la sarcinile dintr-o parte va fi însoţită de o componentă axială egală. de la ~arcinile de pe cealaltă parte. Rezultatul ar putea fi numai un cimp radial. Pare rezonabil ca cîmpul să aibă aceeaşi: mărime in toate punctele echîdjstanţatc

J

,

i .,r:.

•

I

•

o FOAIE TNCARCATII.: DouA FOI

de linie. Acesta este evident, (Nu-i uşor de demonstrat, dar e adevărat dacă spaţiul c simetric - cum credem noi că estc.) Putem folosi legea lui Gauss in modul următor. Considerăm o suprafaţă imaginară de forma unui cilindru coaxial cu linia, cum este arătat in figura 5.5. COnform legii lui Gauss, fluxul total al lui E prin această suprafaţă este egal cu sarcina din interior împărţită la 'o. De-

Fig. 5.5. O

suprafaţă

coaxtată

I

I

eilfndrîcă gausstană

cu o linie' Încărcată.

oarece cimpul este presupus normal pc suprafaţă, componenta normală este mărimea cimpului. Să o notăm E. De asemenea, fie r raza cilindrului; luăm lungimea lui egală cu unitatea, din motive de simplitate. Fiuxul prin suprafaţa ctllndrtcă este egal cu de E ori aria suprafeţei, care-i âxr. Fluxul prin cele două feţe de la capete este nul, deoarece cîmpul electric este tangential la ele. Sarcina totală în interiorul suprafeţei noastre este chiar 1, din cauză că lungimea liniei din interior este o unitate. Legea lui Gauss dă atunci J!;. 2Jtr=

1

~

e

(5.2)

Cimpul electric al unei sarcini liniare este invers proporţional cu puterea distanţei de la linia axtală.

uuiia a

;G.6. O foaie

încărcată; două

foi

Drept alt exemplu vom calcula cîmpul unei foi pIane uniform în .."ir_ Să presupunem că foaia este extinsă la infinit şi că sarcina pe unitatea de arie este o. Vom fa:e o altă presupunere. Consideraţii de simetrie ne fac să credem că direcţia cimpului este pretutindeni normală la plan şi dacă nu avem cimp de la nici o altă sarcină din lume, cîmpurile trebuie să fie aceleaşi (in mărime) de ambele părti.. De data aceasta alegem pe suprafaţa gaussiană o cutie dreptunghiulară cerc taie foaia, cum

.c.illf:..

.

7 .~

FIrle. me.deml VQi.

n.

98

este arătat in figura 5.6. Cele două feţe paralele cu foaia au arii eg spunem A. Cîmpul este normal la aceste două feţe ş1:parald la cele patru. Fluxul total este de E ori aria primei feţe plus de E ori aria feţei opuse - fără contribuţie de la celelalte patru feţe. Sarcina totală inchisă în cutie este erA. Egalind fluxul cu sarcina din interior, avem

M-~M=~

(5.3)

din care

un rezultat simplu, dar important. Puteţi să vă reamintiţi că acelaşi rezultat a fost obţinut într-un capitol anterior printr-o integrare asupra intregii suprafeţe. Legea lui Gauss ne dă răspunsul, in acest exemplu, mult mai simplu (cu toate că nu este atit de general aplicabil ca metoda anterioară). Aocentuăm că acest rezultat se aplică numai la cîmpul generat de sarcinile de pe foaie. Dacă există alte sarcini în vecinătate, cîmpul total

FwÎeyni{arm

im:6rxfrj

Fig. 5.6. Cimpul electric în vecinătatea unei foi unifonn încărcate poate fi găsit aplicind legea lui Gauss In o cutie imaginară.

in

vecinătatea

foii ar fi suma lui (5.3)

şi

a cîmpului celorlalte sarcini.

Legea lui Gauss ne-ar spune atunci (5.4)

unde El şi E 2 sint cimpurile indreptate spre exterior in fiecare parte a foii.

INCARCATA;

o

pATURA SFERICA

i o

[,0

[,0

n

c +

Fig. 5.7. Cîmpul între

două

foi

încărcate

este a /"0'

suprafaţă

'

~"

O cutie ce include numai o sau alta, ca in (b) sau (c) din fig .. se poate vedea că cîmpul între cele două foi trebuie să fie de două ori.~~ mare decît este pentru o singură foaie. Rezultatul este

E (intre foi) = ~

(5.5)

e,

E (în 5.'7. O

sferă tncărcată:

o

afară) =

O.

(5.6)

pătură sferică

Am folosit deja (în capitolul 4) legea lui Gauss pentru a găsi cimpul in exteriorul unei regiuni sferice uniform Încărcate. Aceeaşi metodă ne poate da de asemenea cîmpul în interiorul. sferei. De exemplu, calculul poate fi folosit pentru a obţine o aproximaţie bună a cîmpului în inte-

.,.

APLICAREA L

CIMpUL ELECTRIC IN DIFERITE CAZURI

126

Cimpurile pretutindeni in exteriorul sferei sint date prin supercimpurilor q, q: şi q", Problema este rezolvată. putem vedea acum că va exista o forţă de atracţie intre sferă şi ·sarcina punctiforrnă q. Ea nu este zero, cu toate că nu există sarcină pe sfera neutră. De unde provine atracţia? Cind aduceţi o sarcină pozitivă pînă la o sferă conductoare, sarcina pozitivă atrage sarcini negative in partea mai apropiată de ca şi lasă sarcini pozitive pe suprafaţa opusă. Atracţia exercitată de către sarcinile negative depăşeşte respingerea exercitată de către sarcinile pozitive; există o atracţie netă. Putem găsi cit de mare este ea, calculînd forţa asupra lui q in cîmpul produs de q' şi «: Forţa totală este suma forţei atractive intre q şi o sarcină poziţia

q' = -

~ q, la distanţa

b-

;Şi forţa de respingere intre q şi o sarcină

q"= + ~ q la distanţe b. b

Cei care s-au distrat în copilărie cu cutia cu praf de copt, care are pe eticheta sa o imagine a cutiei cu praf de copt, care are pc eticheta sa..o imagine a cutiei cu praf de copt, care are ... pot fi interesaţi de următoarea problemă. Două sfere egale, una cu o sarcină totală +Q şi alta cu o sarcină totală -Q, sint aşezate la o distanţă oarecare Una de alta. Care este forţa intre ele? Problema poate fi rezolvată cu un număr infinit de imagini. Se aproximează mai întîi fiecare sferă printr-o sarcină în centrul său. Aceste sarcini vor avea drept imagini sarcini in cealaltă sfcră. Sarcinile imagine vor avea imagini etc. etc. Soluţia este ca şt desenul de pe cutia dr- praf de copt - şi converge destul de repede.

,

6."1l11 Condensatori; plăci paralele Luăm acum un alt Să considerăm două plăci

printr-o

distanţă mică

tip de problemă ce se referă la conductorî. mari de metal, paralele una cu alta şi separate in comparaţie cu întinderea lor. Să presupunem

~ ~

Fig. 6.12. Un condensator cu paralele.

plăci

plan-

că

pe plăci se află sarcini egale şi opuse. Sarcinile de pe fiecare placă fi atrase de sarcinile de pe cealaltă placă, astfel că ele se vor reparttza uniform pe feţele interioare ale plăcilor. Plăcile vor ayea densi-f tăţile superficiale de sarcină + ti' respectiv -o, ca în figura 6.12. -- Dm cap1tâlul 5 ştim ~e plăci este şt ca' cimpul. în !

v.0r

l extertorut

plăcilor

este zero.

Plăcile

vor avea

" potenţiale

diferite, t1>t

şi

COND~NSATORI;

PLACI PARALELE

127

1 2' ~en~ comoditate vom nota "terllSlune :

diferenţa

(f>1- să fie o constantă convenabilă pc anumite frontiere suprafeţele conductonjor. Problemele in care se cerc rezolvarea unei ecua-

cu

condiţia

METODE PENTRU GASIREA C1MPULUI ELECTROSTATIC

135

ţii diferenţiale ~ cîmpulyi?I an~~i~e condiţii pe fro~tieră sînt. numite pro- '1. bleme cu valon pe irontiera (la hmtta). Ele au fost obteccol umu studiu ma- '

tematic considerabil. în cazul conductorilor de forme complicate, nu există metode analitice generale. Chiar o problemă atît de simplă ca aceea a unui cilindru metalic închis la ambele capete, încărcat cu sarcini, prezintă dificultăţi matematice formidabile. Ea poate fi rezolvată numai aproximativ, folosind metode numerice. Singurele metode generale de rezolvare sint cele numerice. Există puţine probleme pentru care ecuaţia (7.1) poate fi rezolvată direct. De exemplu, problema unui conductor încărcat de forma unui elipsoid de revoluţie poate fi rezolvată exact cu ajutorul unor funcţii speciale cunoscute. Soluţia pentru un disc subţire poate fi obţinută făcînd elipsoidul să devină infinit de turtit. Similar, soluţia în cazul unui ac poate fi obţinută făcînd elipsoidul să devină infinit de ascuţit. Trebuie însă accentuat că singurele metode directe de aplicabilitate generală sînt tehnicile numerice. Probleme cu valori la limită pot fi rezolvate .prln studierea unui analog fizic. Ecuaţia lui Laplace intervine in mai multe situaţii fizice diferite: în scurgerea staţionară de căldură, în scurgerea irctatională a fluidelor, în flux de curent într-un mediu extins şi În deflecţia unei membrane elastice. Este adesea posibil să construim un model fizic analog cu o problemă de electricitate pe care vrem să o rezolvăm. Prin măsurarea unei cantităţi analoge corespunzătoare pe model, poate fi determinată soluţia problemei ce ne interesează. Un exemplu de tehnică analogică este folosirea unei cuve electrolitice pentru rezolvarea problemelor bidimensionale ale electrostaticii. Această metodă se poate aplica, intrucit ecuaţia diferenţială pentru potenţial într-un mediu conductor uniform este aceeaşi ca şi pentru vid. Există mai multe situaţii fizice in care variaţiile cimpurilor fizice intr-o direcţie sînt zero sau pot fi neglijate în comparaţie cu variaţiile in celelalte două direcţii. Astfel de probleme sînt numite bidimensionale: cimpul depinde numai de două coordonate. De exemplu, dacă orientăm un conductor lung încărcat de-a lungul axei, atunci pentru puncte nu prea depărtate de conductor cîmpul electric depinde de x şi y, dar nu şi de z; problema este bidimensională. Întrucît într-o problemă

bidimensională

t

=0,

ecuaţia

pentru c.

Forţa rezultă, evident, din atracţia sarcinilor să ne preocupăm în detaliu de modul în care

(8.15) de pe plăci, dar nu trebuie sînt ele perturbate; tot ceea

ce ne trebuie este inclus în capacitatea C. Este uşor de văzut cum se extinde ideea la conductori de orice formă, şi pentru alte componente ale forţei. In relaţia (8.14) înlocuim F prin

Ftg, 8.3. Care este momentul unghiular al unui condensator variabil?

componenta pe care o căutăm şi înlocuim pe ~z printr-o mică deplasare în direcţia corespunzătoare. Sau, dacă avem un elcctrod cu un ax şi dorim să 'aflăm cuplul T, scriem lucrul virtual ca AW=·r.~e,

unde Ae este o deplasare unghiulară mică. Evident, d(l/C) trebuie să fie variaţia lui l/C care corespunde lui AEI. In acest mod am putea să găsim cuplul plăcilor mobile dintr-un condensator variabil de tipul arătat in figura 8.3. lntorcîndu-ne la cazul special al unui condensetor cu plăci paralele, putem folosi formula dedusă în cap. 6 pentru capacitate 1 C

unde A este aria

d ,,A

fiecărei plăci. Dacă mărim distanţa

.(8.16)

dintre

plăci

cu Âz.

",(~)~~. C

Din (8.14)

rezultă forţa

dintre

~A

plăci

F ~ -2'.-... 2~~

(8.17)

ENERGIA UNUI COND"ENSATOR

Să privim ceva mai forţa. Dacă sarcina

15'7

atent (8.17) şi să vedem pe o placă este

dacă

putem spune cum apare

Q=O"A,

(8.17) poate fi scrisă sub forma

F= ..!..Q2.. 2

sau, deoarece cîmpul electric între

'.

plăci

este

avem (B.IB}

Se înţelege imediat că forţa care acţionează asupra unei plăci este eu produsul dintre sarcina de pe placă şi cîmpul ce acţionează I asupra sarcinii. Dar avem factorul surprinzător de unu pe doi. Aceasta' pentru că Eo nu este cîmpul chiar la sarcini. Dacă ne imaginăm că sarcina la suprafaţa plăcii ocupă un strat subţire, cum este indicat în figura 8.4, cîmpul va vaz-ta de la zero pc frontiera interioară a stratului pînă la En în spaţiul din afara plăcii. Cimpul ~ ce acţionează asupra sarcinilor de suprafaţă este E o/2. De aici apare factorul unu pe doi în egală

ecuaţia că

,' 1:

(8.18). Ar trebui să observaţi că la calcularea lucrului virtual am presupus. sarcina pc condcnsetor este constantă - că nu este pusă În legătură

Placă

conductoore

rrJtrlF Ja=,n~ .wperf/ciată

J!..

Fig. 8.4. Cîmpul la suprafata unui conductel" variază de la zero la ElI=O'/EO cînd se trece prin foaia de sarcină superficială.

electrică Cu alte obiecte, şi astfel sarcina totală nu poate să se schimbe. ţial Să presupunem că condcnsatorul a fost ţinut la o diferenţă de potenSll~:tantă atunci cînd am făcut deplasarea virtuală. Atunci ar trebui

u= 1- CV 2

2

ENERGIA ELECTROSTATICA

156 şi

in locul

relaţiei

(8.15) am avea

FAz=

.!.. V2AC 2

ceea ce dă o forţă egală în mărime cu cea din (8.15) (din cauză că V =Q/C). dar de semn opus: Cu siguranţă, forţa între plăcile condcnsatorulut nu-şi schimbă semnul cînd îl deconectăm de la sursa de încărcare. De asemenea, ştim că două plăci cu sarcini electrice opuse trebuie să se atragă. Principiul lucrului virtual a fost aplicat incorect în al doilea caz - nu am luat in considerare lucrul virtual efectuat asupra sursei ce Încarcă. Cu alte cuvinte, pentru a ţine potenţialul constant la V atunci cind se schimbă capacitatea, trebuie furnizată o sarcină V ÂC de către o sursă de sarcini. Dar această sarcină este furnizată la un potenţial V, astfel că lucrul efectuat de sistemul electric care menţine potenţialul constant este V 2 ÂC. Lucrul mecanic F Âz plus acest lucru electric V 2 ÂC produc împreună schimbarea in energia totală 1.. V2 JiC a condensatorului. Prin urmare, 2

F Âz este

_!..- V 2 ÂC, 2

ca mai înainte.

ţ/3. Energia electrostatică a unui cristal ionic Considerăm

acum o

aplicaţie

a energiei elcctrostatice in fizica atointre atomi, dar ne interesează adearanjament atomic şi altul, ca, de , exemplu, energia unui schimb chimic. Deoarece forţele atomice sint, în ;\ esenţă, el.:ctris:.c, energiile chimice sint in mare parte tocmai energii \ electrostatice. Să considerăm, de exemplu, energia electrostatică a unei reţele iontce. Un cristal tonle ca NaeI constă din ioni pozitivi şi negativi, care pot fi imaginaţi ca sfere rigide. Ei se atrag electric pînă ce incep să se atingă; atunci apare o forţă de respingere, care creşte foarte repede dacă încercăm să-i împingem mai aproape. Pentru prima noastră aproximaţie, prin urmare, ne imaginăm un sistem de sfere rigide ce reprezintă atomii dintr-un cristal de sare. Structura reţelei a fost determinată prin difracţie de raze X. Ea este o reţea cubică ca o tablă de şah tridimensională. Figura 8.5 arată o vedere a sa in secţiune. Distanţa dintre ioni este de 2,81 A (2,81·10-il cm). Dacă desenul nostru este corect, ar trebui să fim în stare să-I verificăm punînd următoarea întrebare: cît de multă energie va fi necesară pentru a scoate toţi aceşti ioni de o parte, adică pentru a desface cristalul complet in ioni? Această energie ar trebui să fie egală cu căldura de vaporizare a NaeI plus energia necesară pentru a disocia moleculele in ioni. S-a determinat experimental că energia totală necesară pentru a mică. Nu putem măsura uşor forţele sea diferenţele de energii dintre un

ENERGIA ELECTROSTATIC'" A UNUI C"=.ITIScTCAc'"c'eOeNc'cC

_

separa NaCI în ioni este 7,92 electronvoltl, pe formarea

moleculă.

157

Folosind trans-

1 eV= 1,602· 10-19 joul i şi numărul

lui Avogadro care

dă numărul

de molecule dintr-un mal

No=6,02·1Q2:l energia de vaporizare poate fi

dată

de

W=7,64·10,j jouIi/mol.

Fig. 8.5.

Secţiune

printr-un cristal de sare,

la scară atomică. Aranjamentul şah al tonnor de Na şi CI

este

tablă acelaşi

in

de

în

cele două secţiuni transversate perpendiculare pe cea arătată (vezi voI. 1, fig. 1.7).

-

2,8/A

Chimiştii preferă ca unitate de energie kilocaloria, care este de 4 190 jculi ; astfel că 1 eV pe moleculă este egal cu 23 kilocalor-ii pe mal. Un chimist ar spune atunci că energia de disociere a lui NaCl este

W = 183 kcal/mal. Putem obţine această energie chimică teoretic, calculînd cît lucru va fi necesar pentru a desface cristalul? Conform teoriei noastre, acest lucru este suma energiilor potenţiale a tuturor perechilor- de ioni. Modul cel mai simplu de a a calcula este de a lua un anumit ion şi de a-i evalua energia sa potenţială pentru fiecare dintre ceilalţi ioni. Aceasta ne va da de âouă ori energia per ion, din cauză că avem perechi de sarcini. Dacă dorim ca energia să fie asociată la un anumit ion, ar trebui să luăm semisuma. Dar pe noi ne interesează de fapt energia pe moleculă, care conţine doi ioni, astfel că suma pe care o calculăm va da direct energia pe moleculă. Energia unui ion împreună cu unul dintre vecinii săi cei mai apro. ţi" q'e., şi a este distanţa dintre centrele ionilor. pia . este - , unde e 2 = __ a

4nf o

~Onsi?erăm icni monovalenţi.) Această energie este 5,12 cV, ceea ce n: d

de;ra Un rezultat de un ordin de mărime corect. Dar el este, totuşi, eparţe. de Suma infinită efe termeni care ne este necesară.

r ENERGIA ELECTROSTATICA

'58

Să începem prin a însuma toţi termenii de la ionii situaţi pe o linie dreaptă. Considerind că ionul notat Na în figura 8.5 este ionul particular de care ne ocupăm, vom considera mai întîi ionii aflaţi pe aceeaşi orizontală cu el. Există doi ioni de CI, cei mai apropiaţi, cu sarcini negative,

fiecare la distanţa a. Apoi doi ioni pozitivi la distanţa 2a etc. Notind energia Insumată cu Vi avem

ul= a~(_!+~-~+~_ ... )~ 1234 =

_2e'(1_~+~_-.!..+ a

2

3

4

(8.19)

.. . ).

Seria convergc lent, astfel că este greu de calculat numeric, dar se că este egală cu In 2. Astfel U1 = ~ln2. -1,386~' a

ştie

(8.20)

a

Să considerăm acum următoarea linie, adtaccntă la linia ionilor de mai sus. Cel mai apropiat ion este negativ şi se află la distanţa a. Apoi există doi ioni pozitivi la distanţa -{2a. Perechea următoare este la distanţa J5Ci, următoarea la IOa şi aşa mai departe. Astfel, pentru întreaga linie obţinem seria

V

~(-++ v;-- y~+ Y~o···)· Există

patru asemenea linii: deasupra, dedesubt, in faţă -şi în spate. Apoi

există cele patru aşa mai departe. Dacă lucraţi că

(8.21)

linii care sînt liniile cele mai apropiate pe diagonale cu

răbdare,

pentru toate liniile

şi

apoi

luaţi

suma,

şi

găsiţi

totalul este e

U=1,747-, a

ceva mai mult decît am e 2/a=5,12 eV, obţinem

obţinut

in (8.20) pentru prima linie. Folosind

U=8,94eV. Valoarea de aici este aproximativ cu 10°;'0 mai mare decît energia observată experimental. Aceasta arată că ideea noastră conform căreia intreaga reţea este ţinută laolaltă prin forţe electrice de tip coulombian este fun~ental corectă. E prima dată cind am obţinut o proprietate specifică unei substanţe macroscoplc« din cunoaşterea fizicii atomice. Vom obţine mult mai mult mai tirziu. Disciplina care încearcă să redea comportarea ~a.teriei in an.samblu în functie de legile comportării atomice este numită

Jlzlca corpului solid.

Ce ştim în legătură cu eroarea din calculele noastre? De ce nu sint ele exact corecte? Eroarea apare- datorită respingerii dintre ioni la distanţe

ENERGIA ELECTROSTATICA IN NUCLEE

159

mici. Ionii nu sint sfere ~rfect rigide, aşa încît atunci cînd se apropie la mid sint parţial striviţi. Nefiind foarte moi, se strivesc nUIIlBÎ puţin. Ceva energie este însă folosită pentru a-i deforma şi, cind sint îndepărtaţi, această energie se eliberează. De fapt, energia necesară pentru a indepârta ionii este ceva mai mică decit cea pe care am calculat-o; respingerea ajută la depăşirea atracţiei electrostatice. există vreun mod in care am putea face evaluarea acestei contribuţii? Am putea, dacă am cunoaşte legea de care ascultă forţa de respingere. Nu sintem pregătiţi să analizăm detaliile acestui mecanism de respingere, dar putem obţine unele informaţii asupra caracteristicilor sale, din unele măsurători la scară mare. Din măsurarea compresibilităţii intregului cristal. este posibil să ne facem o Idee cantitativă asupra legii de respingere dintre ioni şi, prin urmare, asupra contribuţiei sale la energic. Pe această cale s-a găsit că contribuţia trebuie să fie 1/9,4 din contribuţia atracţiei electrostatice şi de semn opus. Dacă o scădem din energia puielectrostetică obţinem pentru energia de disociere pe moleculă 7,99 eV. Este o cifră mult mai apropiată de rezultatul observat (7,92 eV), dar încă nu in concordanţă perfectă. Există ceva ce nu am luat in considerare: nu am evaluat energia cinetică a vibraţiilor cristalului. Dacă Se face o corecţie pentru acest efect, se obţine o concordanţă foarte bună cu datele experimentale. Atunci ideile sînt corecte; contribuţia esenţială la energia unui cristal ca NaeI este de natură elcctrostatică. distanţe

8.4. Energia

electrostatică in

nuclee

Vom lua acum un alt exemplu de energic electrostatică in fizica atcmici, energia electrică a nucleelor atomice. Inainte de a face aceasta va trebui să discutăm unele proprietăţi ale forţelor (numite forţe nucleare) care ţin protonii şi neutronit împreună in nucleu. La început, cînd s-au descoperit nucleele - şi protonii, şi neutronii ce le constituie - s-a sperat că legea forţei tari, neelectrice, dintre constituienti , să spunem dintre ~ pro~n ~i alt proton, va fi simplă, ceva ca legea lnversulut pătratului dfstantei din electricitate. O dată determinată această forţă (şi cele coresp.unzătoar~ între Un proton şi un neutron, un neutron şi un neutron), ar fi f?St posibil ~ă se descrie teoretic complet comportarea acestor particule ~l nuclee. Pr-in urmare, a inceput să se desfăşoare un mare program n;fentor. la studiul _imprăştierii protcnilor, în scopul de a găsi legea forţei tre el; dar, dupa treizeci de ani de eforturi, nu s-a ivit nimic simplu. -ea acumulat cunoştinţe considerabile asupra forţei dintre un prcton şi alt .proton, dar s-a găsit că aceasta este atit de complicată cît este cu putinţă să fie.

:n

c1f~"at~t de complicată cît este cu putinţă să fic'' înţelegem faptul Mai"""~\4•. depmde de atîtea lucruri, de cite este cu putinţă să depindă. . mth, forţa nu este o funcţie simplă de distanţa dintre protont. La

ENERGIA

160

r l

ELECTROSTATICă

distanţe mari e atractivă, dar la distanţe mai mici devine repulsivă. Dependenţa de distanţă este o funcţie complicată, încă imperfect cunoscută. In al doilea rînd, forţa depinde de orientarea spinului protonilor. Protonii au spin, şi oricare doi protont ce interacţionează pot să aibă

e

ClJ f

Fig. 8.6.

Forţa toţi

de

dintre doi protoni depinde parametrii posibili.

spinii paraleli sau antiparalcli. Iar forţa este diferită cind spinii sint paraleli de cea din cazul spinilor antiparaleli (fig. 8.6, a şi b). Diferenţa este mare; nu-l un efect mic. In al treilea rînd, forţa în cazul cînd separarea celor doi protoni se face in direcţie paralelă cu spinii lor, ca în figura 8.6, c şi d este considerabil diferită, faţă de cazul cînd separarea decurge într-o direcţie perpendiculară pe spini, ca in a şi b. In al patrulea rînd, forţa depinde, ca şi in magnetism, de viteza protonilor, numai că mult mai putemic decît in magnettsm. Efectul nu este relativist; el este puternic şi la viteze mult mai mici decît viteza luminii. Mai departe, această parte a forţei depinde de alte lucruri, În afară de mărimea vitezei. De exemplu, cînd un proton se mişcă În apropierea altuia, forţa din cazul in care miscarea arbitrară are acelaşi sens de rotaţie ca şi spinul (fig. 8.6, e) diferă' de aceea din cazul scnsului de rotaţie opus spinului (fig. 8.6, f). Aceasta este numită partea de "spinorbită" a forţei. Forţele dintre Un proton şi un neutron, un neutron şi un neutron sînt la fel de complicate. In prezent nu cunoaştem mecanismul care se ascunde În spatele acestor forţe _ adică, orice mod simplu de a le Înţelege.

Există, însă, un caz important în care forţele dintre nucleo-u sînt mai simple decît ne-am aştepta să fie: astfel, forţa nucleară dint:e doi neutronl este aceeaşi cu forţa dintre proton şi neutron, care este aceeaşi cu forţa Între doi protoni! Dacă, in orice situaţie nucleară, înlocuim un

ENERGIA ELECTROSTATrCA IN NUCLEE

161

proton prin~r-un neutron (sau_ viceversa),. inte~a:ţ~ile nucleare nu se modifică. "RaţIUnea fundamentală" a acestei egalttătt nu ne este cunoscută, dar ea r-eprezîn tă un principiu important ce poate fi extins şi la legile de interacţiune a altor particule ce interacţionează tare - cum sînt mezonii :It şi particulele "stranii". Acest fapt este simpatic ilustrat de dispunerea nivelelor de energie la nuclee asemănătoare. Să considerăm un nucleu ca llB (bor -11), care este compus din cinci protoni şi şase neutronî. în nucleu cele unsprezece particule interacţionează una cu alta în dansul cel mai complicat. Există o configuraţie a tuturor interacţiunilor posibile, care arc cea mai coborită energie posibilă: aceasta este starea normală a nucleului, numită stare fundamentală. Dacă însă nucleul este per-turbat (de exemplu, fiind lovit de un proton de mare energie sau de alte particule), el poate fi adus in orice altă configuraţie, numită stare excitată; fiecare asemenea stare va avea o energie caracteristică mai mare decît cea a stării fundamentale. 1O.8g

~1O..'f?-

Ta

lPJ4'f1t=

9~~

~B .

fZ2L7:;0

750 ~

.§76 681

i3k~

51JJ

-4~!_-

'"

'"

li'

FJ,g.8.7. Nivelele de energie ale lui fiE şi llC aii MeV). starea fundamentală a lui l1C este eu 1,982 MeV mai înaltă decît cea a lui lIE.

21X!

"8

7,982

fie

In cercetarea de fizică nucleară, ca de exemplu cea efectuată cu generator! Van de Graaff, se determină experimental energiile şi alte proprietăţi ale aţestor stări excitate. Energiile a cincisprezece dintre aceste stări excitate, aeIe mai coborîte, ale lui llB sînt arătate intr-un grafic monodtmenstonal ~2~tatea stîngă a figurii 8.7. Cea mai joasă 'linie orizontală reprezintă 8_"tl8 fundamentală. Prima stare excttată are o energie cu 2,14 MeV mai 11--l'b:Icll. Dlod"rllli. vol.

II.

ENERGLA ELECTROSTATICA

162

mare decit starea fundamentală, Următoarea o energie cu 4,46 MeV mai înaltă decît starea fundamentală şi aşa mai departe. Studiul fizicii nucleare încearcă să găsească o explicaţie pentru această dispunere destul de complicată a energiilor; nu e~istă, însă, pînă acum n~~i o teorie generală completă a unor astfel de nivele nucleare de encrgn. Dacă înlocuim unul din neutroni in 11B cu un proton, avem nucleul unui izotop al carbonului, ne. Energiile celor mai coborite şaisprezece stări excitate ale lui llC au fost de asemenea măsurate; ele sint arătate in jumătatea dreaptă a figurii 8.7. (Liniile punctate arată nivele pentru care informaţia experimentală este îndoielnicâ.)

Privind figura 8.7, vedem o

asemănare

izbitoare intre dispunerea

nivelelor de energie în cele două nuclee. Primele stări excitate sînt la aproximativ 2 MeV deasupra stărilor fundamentale. Există un mare gol, de aproximativ 2,3 MeV, pînă la a doua stare excîtatâ, apoi un mic salt de numai 0,5 MeV pînă la al treilea nivel. Din nou intre al patrulea şi al cincilea nivel, un salt mare, dar intre al cincilea şi al şaselea, doar o separare fină de ordinul a 0,1 MeV şi aşa mai departe. După aproximativ al zecelea nivel, corespondenţa pare să dispară, dar poate fi totuşi constatată dacă ne referim la alte caracteristici ce definesc nivelele de exemplu, momentul lor unghiular, şi ceea ce fac ele pentru a-şi pierde energia suplimentară. Asemănarea izbitoare intre dispunerea nivelelor energetice ale lui 1IB şi "C, cu siguranţă, nu este numai o coincidenţă. Ea trebuie să exprime o lege fizică. Şi, de fapt, arată că chiar in situaţia complicată dintr-un nucleu, înlocuirea unui neutron printr-un proton produce o modificare foarte mică. ACeasta poate insemna numai că forţele neutronneutron şi proton-proton trebuie să fie aproape identice. Doar atunci am putea găsi că configuraţii1e nucleare cu cinci protom şi şase neutront sint aceleaşi ca şi cele cu şase protom şi cinci neutroni, Observaţi că proprietăţile celor două nuclee discutate nu ne spun nimic despre forţele proton-neutron; există acelaşi număr de combinaţii neutron-protan in ambele nuclee. Dar dacă comparăm alte două nuclee, de exemplu "C, sare arc şase protoru şi opt neutroni, cu 14N, care are şapte din fiecare, găsim o corespondenţă asemănătoare a nivelelor enerI getice. Putem conchide astfel că forţele p-p, n-n şi p-n sînt Idcnuce, cu i:' toată complexitatea lor. Iată deci un principiu neaşteptat în'"'leglie fortelor nucleare; chiar dacă forţa dintre fiecare pereche de particule nucleare este foarte complicată, forţa dintre cele trei perechi diferite posibile este aceeaşi. Dar există unele mici diferenţe. Nivelele nu corespund exact; de asemenea, starea fundamentală a lui llC are o energic absolută mai mare decit starea fundamentală a lui HB, cu 1,982 MeV. Toate celelalte, nivele au de asemenea energia absolută mai mare cu aceeaşi cantitate. Astfel, forţele nu sint exact egale. Dar noi ştim foarte bine că forţele complete nu sînt egale; există o forţă electrică 'intre cei doi protoni , din cauză că fiecare are o sarcină pozitivă, in timp ce intre doi neutront nu există o

\

I

ENERGIA ELECTRQSTATICA IN NUCLEE

163

astfel de forţă electrică. Poate putem explica diferenţele între uB şt ne prin faptul că Interacţta electrică a protonilor este diferită în cele două cazuri. Poate chiar diferenţele minore rămase Între nivele sint cauzate de efectele electrice? Deoarece forţele nucleare sînt atît de mult mai puternice decît forţa electrică, efectele electrice ar aduce doar o mică perturba ţie a energiilor nivelelor. Pentru a verifica această idee, sau mai degrabă pentru a găsi care sint consecinţele ei, să ne ocupăm mai întîi de diferenţa in energiile stă­ r-ilor fundamentale ale celor două nuclee. Pentru a lucra cu un model foarte simplu, presupunem că nucleele sînt sfere de rază r (ce trebuie determinată), conţinînd Z protonl. Dacă considerăm că un nucleu este o sferă cu densitatea de sarcină uniformă, ne-am aştepta ca energia clectrostatică să fie [conform cu (8.7)], U=

1..

(Zqe)' 5 4J1fof

(8.22)

unde q" este sarcina elementară a protonului. Deoarece Z = 5 pentru 11 B şi 2=6 pentru uC, energiile lor electrostatlce ar fi diferite. Însă, la un număr aşa de mic de prctoni relaţia (8.22) nu este chiar corectă. Dacă calculăm energia electrică intre toate perechile de protoni, consideraţi punctrforrm şi, presupunem, aproape uniform distribuiţi in sfere (nuclee), găsim că in (8.22) cantitatea Z2 ar trebui înlocuită cu 2(2-1); astfel energia devine

u= !! Z(Z-l)q~ 5

(8.23)

4m: of

Dacă am cunoaşte

raza nucleară r, am putea folosi (8.23) pentru a găsi de energie eleetrostatică Între llB şi llC. Dar să procedăm infolosim diferenţa de energii observată pentru a calcula raza, presupunind că intreaga diferenţă este de energie clectrostatică. Aceasta, însă, nu este chiar adevărat. Diferenţa de energie de 1,982 MeV intre stările fundamentale ale lui "B şi nc include energiile de repaus - adică m,c2 _ ale tuturor particulelor. Trecînd de la uB la l1C, Inlocuim Un neutron printr-un proton, care are masă mai mică. Astfel, o parte a diferenţei de energie este diferenţa dintre energia de repaus a unui n:utron şi cea a unui proton, care este 0,784 MeV. Diferenţa de care raspunde energia electrostatică este astfel mai mult de 1,982 MeV diferenţa vers; să

1,982+0,784=2,786 MeV. Folosind această energie În (8.23) găsim pentru rază, atît a lui l1B sau t'C, T=3,12'10- 13 efi.

(8.24)

b . ~e acest număr vreo semnificaţie? Pentru a vedea dacă arc, ar treDUi s8-1 comparăm cu cîteva .alte determinâri ale razelor acestor nuclee. ~ exemplu, putem face o altă măsurare a razei unui nucleu văzînd cum

u·

'

ENERGIA ELECTROSTATICA

164 împrăştie

de fapt, că volumele lor sint proporţionale cu numărul particulelor pe care le conţin. Dacă notăm cu A numărul de pi-etoni şi neutroni dintr-un nucleu (un număr foarte aproape proporţional cu masa lor), se găseşte că raza este dată de particule rapide. Din astfel de

măsurări

s-a

densitatea materiei în toate nucleele este aproximativ

găsit,

aceeaşi, adică

(8.25)

unde Din 'aceste

T o=

1,2 · 10-

măsurări găsim că

l3

cro.

(8.26)

raza nucleului 11B (sau a 11C) ar fi

r=(1,2·10-13)(11)1'3= 2,7.10--13 crn. Comparind acest rezultat cu (8.24) se confirmă destul de bine faptul de energie intre 11B şi ne este de natură clcctrostatică, dezacordul este de numai 15% (nu e rău pentru primele noastre calcule nuclearel). Motivul dezacordulut este probabil următorul. Conform cunoştinţelor noastre asupra nucleelor, un număr par de particule nucleare (in cazul lui HE, cinci neutroni împreună cu cinci protoni) alcătuiesc un fel de sîmbure; cînd se adaugă o particulă în plus la acest nucleu, ca se roteşte pe dinafara celorlalte pentru a forma un nou nucleu sferic şi nu este> absorbită în simbure. Dacă aşa se întîmplă, ar fi trebuit luată o energic electrostattcă diferită pentru protonul suplimentar. Ar fi trebuit ca excesul de energic a lui llC faţă de llE să fie tocmai că diferenţia

care este energia necesară pentru a adăuga încă un proton in exteriorul sîmbure-lui. Acest număr este exact 5/6 din ceea ce prezice relaţia (8.23), astfel că noua prezicere pentru rază este 5/6 din (8.24), care este într-o concordanţă mult mai bună eu ceea ce s-a măsurat direct. Putem trage două concluzii din acest raţionament. Una, că legile clectricitătii par să fie valabile la distanţe de ordinul de mărime 10-13 cm. Cealaltă, că am verificat egalitatea părţilor neelectrice ale forţelor protonproton, neutron-neutron şi proton-neutron.

8~?" Energia În cimpul electrostatic Să considerăm acum alte metode de a calcula energia ejectrostattcă. Ele pot fi deduse toate din relaţia de bază (8.3), care dă suma, extinsă asupra tuturor perechilor de sarcini, energiilor mutuale ale fiecărei perechi de sarcini. Mai intii am vrea să scriem o expresie pentru energia

ENERGIA IN CIMPUL ELECTROSTATIC

165

unei distribuţii de sarcini. Ca de obicei, considerăm că fiecare element de volum dV conţine elementul de sarcină ~dV. Atunci (8.3) ar trebui scrisă

u = !.. (" p(1)p(2) dV 1dV2 • 2 J "neo' l~ tot

(8.27)

spaţiul

Observaţi factorul 1,'2, care apare şi dV2 am luat toate perechile de

din cauză că în integrala dublă pe dV I elemente de sarcină de două ori. (Nu există un mod convenabil de a scrie o integrală astfel inert să ia în considerare perechile numai o dată.) Observăm că integrala extinsă la dV 2 in (8.27) este tocmai potenţialul de la (1), adică

r ~dV,~(l)

J 4ne.rJ~ astfel

că

(8.27) poate fi

scrisă

ca

U~

~

1

p(l)(l)dV,

sau, deoarece punctul (2) nu mai apare, putem scrie simplu U=

~~ pcI>dV.

(8.28)

Această ecuaţie poate fi interpretată În modul următor. Energia po-' tenţielă a sarcinii qdV este produsul dintre această sarcină şi potenţialul,': in acela.şipunct. Energia totală este, prin urmare, integrala din cI>pdV. Dar apare din nou factorul .!:.- El este totuşi necesar, deoarece calculăm

2

energia de două ori. Energiile mutuale ale celor două sarcini reprezintă produsul sarcini! uneia cu potenţialul st poziţia sa, datorat celeilalte. Sau, e tot una cu produsul celei de-a doua sarcini cu potenţialul, in poziţia sa, datorat primei. Astfel, pentru două sarcini punctiforme scriem

U =ql'7\7 menţinută prin generatorul de căldură din cilindru. (Acesta ar putea fi, de exemplu, un fir prin care trece un curent, sau un tub în care condensează vapori.) Cilindrul este acoperit cu un înveliş concentric de material izolator oare are o conducttvttate K. Să spunem că ram exterioară a izolantului este b şi exteriorul este ţinut la

CURGEREA CALDURII; O SL'RSA PUNCTIFORMA LINGA O FRONTIERA PLANA INFINIT A

temperatura T 2 (fig. 12.1, a). Dorim să găsim cu ce viteză va fi Pierdută căldura de către fir, sau tubul de vapori, sau de ceea ce este in centru. Fie G cantitatea totală de căldură pierdută de o lungime L a tubului. Aceasta este ce Încercăm să găsim. Cum putem rezolva această problemă? Avem ecuaţii diferenţiale, dar deoarece ele sint aceleaşi ca şi cele ale electrostattcit, am rezolvat deja,

(8of"

' 0,' , K Fig. 12.1. (a) Curgerea căldurii in cazul geometriei cilindrice. (b) Problema

•

r,

a

electrică corespunzătoare.

ti

.,

b

de fapt, problema matematică. Problema analogă este aceea a unui conductor de rază a la potenţialul ct>h despărţit de un alt conductor, de rază b la potenţialul ct>2' de un strat concentric de dîelcctrtc între ele, aşa cum este desenat in figura 12.1, b. Deoarece curgerea de căldură h corespunde cimpului electric E, cantitatea G pe care dorim să o găsim corespunde la fluxul cimpului electric dintr-o lungime unitate (cu alte cuvinte, la sarcina electrică pe unitatea de lungime înmulţită cu Eo). Am rezolvat problema electrostatică folosind legea lui Gauss. Urmăm acelaşi procedeu pentru problema noastră de curgere a căldurii. Din simetria situaţiei, ştim că h depinde numai de distanţa de la centru. Inchidem astfel tubul într-un cilindru gaussien de lungime L şi de rază T. Din legea lui Gauss ştim că curgerea de căldură h înmulţită cu aria 2JtrL a suprafeţei trebuie să fie egală cu cantitatea totală de căldură generată în interior, pe care o notăm prin G (12.9)

2JtrLh=G sau h=_S2·. 23tTL

Curgerea de

căldură este proporţională cu gradr~ntul de temperatură h~-K'VT

sau, in acest caz,

mărimea

lui h este h=~KdT. dr

Aeeasta, împreună cu (12.9), dă dT de

'5'

G 2rtKLr

(12.10)

ANAI.OGI ELECTROSTATICI

228

Integrind de la T=a la r=b,

obţinem

T2-Tl=-~ln!.

(12.11)

G= 23tKL(Tt-T.) ~

(12.12)

2nKL

Rezolvind pentru G,

a

găsim

ill(b;a)

Acest rezultat corespunde exact la rezultatul pentru sarcina de pe un condensator cilindric Q= 2:(I'"L( ce ar fi produs de o densitate de sarcină p egală cu jJc 2 - şi ~ ,fel pentru -componentele y şi z, (Acest principiu operează numai cu ~ente în direcţii fixe. Componenta "radiaIă" a lui A nu rezultă în ~i mod din componenta "radiaIă" a lui j, de excmplu.) Astfel, din

.:t

ciMPUL MAGNETIC IN DIFERITE

'70

SITUAŢII

vectorul densitate de curent j, putem găsi vectorul A folosind ecuaţia (14.19) - adică, găsim fiecare componentă a lui A rezolvînd tre,i probleme electrostatice Imaginare pentru distribuţiile de sarcină ~l = Ia , Pa = 1:;o'

şi Ps=

is . Apoi o

e-

obţinem cîmpul B luînd diferite derivate ale vectorului A

v XA. Metoda este puţin mai complicată decit cea din dar se bazează pe aceeaşi idee. Vom ilustra acum teoria, rezolvind ecuaţiile pentru potenţialul vector in cîteva cazuri speciale. pentru a

obţine

electrostatică,

14.3. Un conductor drept

Ca prim exemplu, vom determina din nou cîmpul unui conductor drept - pe care l-am rezolvat în capitolul anterior, folosind ecuaţia (14.2) şi unele argumente de simetrie. Luăm un conductor lung, drept, de rază a, care transportă un curent staţionar l, Spre deosebire de sarcina de pe un conductor în cazul electrostatic, un curent staţionar într-un conductor este uniform distribuit pe toată aria secţiunii transversale a conductor-ului. Dacă alegem coordonatele aşa cum este arătat în figura 14.3, vectorul densitate de curent j are numai componenta z. Mărimea sa este .

]z= -

în interiorul firului,

şi

zero în

afară.

1

'"'

(14.20)

A

p

Fig. 14.3. Un fir ctlindrjc lung de-a lungul axei e cu o densitate uniformă de curent j.

Deoarece

i,.

şi

jy sint ambii zero, avem imediat A,.=O, A!I=O.

Pen.tru a obţine A z putem folosi soluţia noastră pentru potenţialul elcctrostatic 4> al unui conductor cu o densitate de sarcină uniformă p=i.k 2 •

UN SOLENOID LU:'>G

271

Pentru puncte din exteriorul unui cilindru electrostatic este

încărcat

infinit,

potenţialul

unde r'= Vx 2 + y? şi f, este sarcina pe unitatea de lungime, :l'ta2 f). Astfel, A" trebuie să fie

Az=

na"i2 In r'

-

2n~'p'

pentru puncte în exteriorul unui conductor lung prin care trece un curent uniform. Deoarece na 2jz= I , putem scrie de asemenea (14.21)

Putem găsi B din (14.4). Numai nule. Obţinem

două

din cele

şase

derivate nu sint (14.22)

B!J=_l- 1.1nr,=_1_ ~ 2A~Id' 2nEoC' ,"

ax

(14.23)

B,,=O. Obţinem acelaşi

toruluî

şi

are

rezultat ca mai înainte: B se

roteşte

in jurul conduc-

mărimea

(14.24)

14.4. Un solenoid lung Considerăm

apoi, din nou, solenoidul infinit de lung cu un curent intensitatea nI pe unitatea de lungime. (Ne imaginăm că există n spire pe unitatea de lungime, transportînd curentul 1 şi neglijăm micul pas al spiralei.) ~"". Exact cum am definit o "densitate de sarcină superficială" o, definim WlCl ? "densitate de CUrent superficial" J egală cu curentul pe unitatea de ~e a, suprafeţei solenoidului (care este, evident, tocmai j mediu ln-_ , ~.:..~t cu grosimea spiralei subţiri). Mărimea lui J este, aici, nI. Acest ~'tmt de suprafaţă (vezi figura 14.4) are componentele clrcumferenţial pe suprafaţă, avind

Jz=-Jsin 4>, Jy=Jcos 4l, J,,=O.

CIMPUL MAGNETIC IN DIFERITE SITUArII

Trebuie să determinăm potenţialul vector A pentru o astfel de distride curent. Mai întîi dorim să determinăm componenta Ax pentru puncte exterioare solencidului. Rezultatul este acelaşi ea şi cel pentru potenţialul electrostatic din exteriorul unui cilindru cu o sarcină superficială

buţie

0'= 0'0

sin cIl

Fig. 14.4. Un solenotd lung cu o densitate superficială de curent J. distribuţie, dar am făcut ceva de sarcină este echivalentă cu doi cilindri plini încărcaţi, unul pozitiv şi unul negativ, avînd o uşoară deplasare relativă a axelor lor în direcţia y. Potenţialul unei asemenea perechi de cilindri este proporţional cu dcrivata în raport cu y a potenţialului unui singur cilindru uniform încărcat. Am putea calcula constanta de proporţionalitate, dar să nu ne ocupăm de ea pentru moment. Potenţialul unui cilindru încărcat este proporţional cu In r' j potenţialul perechii este atunci

cu ·fjo=J/c 2 • Nu am rezolvat o astfel de asemănător. Această distribuţie

Astfel,

ştim că

Ax=-K..'L i'

(14.23)

unde K este o constantă oarecare. Urmind acelaşi raţionament, am găsi

A,~K

!. "1..

(14.26)

UN SOLENOID LUNG

273

Deşi am spus mai înainte că nu există cîmp magnetic in exteriorul unui solenoid, găsim acum că există un cîmp A care circulă in jurul axei z, oa in figura 14.4. Intrebarea este: Este rotorul său zero? Evident, B% şi B y sint zero, şi

-=-)_.1..(_ K.'1-) ~ K(-'-- ,.' + -'-- 'y') ~ o. eY e" ,'.

B,~ .1..(K 3x

r'

,'~

r"

r"

Astfel, cîmpul magnetic in exteriorul unui solenoid foarte lung este tntr-adevăr zero, cu toate că potenţialul vector nu este nul. Putem verifica rezultatul comparindu-l cu un alt lucru pe care il cunoaştem deja: circulaţia potenţialului vector În jurul solenoidulut ar trebui să fie egală cu fluxul cîmpului B in interiorul boblnet [ecuaţia (14.11)]. Circulaţia este A·2Jtr' sau, deoarece A=K/r', circulaţia este 2'tK. Observaţi că ea este independentă de r', Aceasta este exact atit cit ar trebui să fie in condiţiile În care nu ar exista În exterior un clmp B. deoarece fluxul este tocmai mărimea lui B În interiorul solenOidului înmulţită cu xce. Fluxul este deci acelaşi pentru toate cercurile' de rază r'>a. Am găsit în capitolul anterior că în interior cîmpul este nI/Soc2. Putem determina astfel constanta K 21tK=1ta2!-...!~~\ (~ i e c" ......... ~ /

J

sau

Astfel,

potenţialul

I

I i.

mărimea

vector În exterior are

A=

fila"

..!.

2f O{)2

"

(14.27)

este întotdeauna perpendicular pe vectorul r". Ne-am referit la o bobină solenoidală de conductori, dar am proaceleaşi cîmpuri dacă am roti o foaie cilindricâ lungă cu o sarcină tatică pe suprafaţă. Dacă avem o foaie cilindrică subţire de rază ', L1i o sarcină superficială a, rotind cilindrul se produce un curent de &faţă J=f:'JV, unde v=uoo este viteza sarcinii de pe suprafaţă. Va atunci un cimp magnetic B='oarojsoc2 în interiorul cilindrului, utem pune acum o întrebare interesantă. Să presupunem un conscurt W, perpendicular pe axa cilindrului, care se întinde de la ;: ptnă la suprafaţă, legat de cilindru astfel incit să se rotească cu el, figura 14.5. Conductorul se mişcă într-un cîmp magnetic, astfel că VXB va face ca extremităţile conductoru1ui să se încarce (ele se vorpînă cîmpul E al sarcinilor va echilibra tocmai forţa v XB). cilindrul are o sarcină pozitivă, capătul conductoru1ui de la ax va o sarcină negativă. Măsurînd sarcina de la capătul conductorulut,

ee

aaderal YOl. U.

cIMpUL MAGNETIC IN DIFERITE SITUATn

274

am putea

măsura

viteza de .

unghiulară-metru~'!.

Dar acum va

întrebaţi:

rotaţie

"Ce se

a sistemului. Am avea un "viteză." _ _ ~ . întîmplă

daca ma

aşez

în sistemul

de referinţă al. ci1indrului ce se roteşte? Atunci el este tocmai un cilindru încărcat in repaus, şi eu ştiu că ecuaţiile electrostatice spun că nu va exista cimp electrostatic în interior, astfel că nu va exista forţă care I ,W

I I

'+' /

.--

Il, sau b)

Distribuţia lui jx in bucla de curent din fi-

Fig. 14.6. O

gura 14.6.

de dipol (paragraful 6.5). In punctul P, în figura 14.6, potenţialul ar fi

W~

_'_p.R"

(14.28}

eR

4ltf O

unde p este momentul dipolar al distribuţiei de sarcină. Momentul dipolar, in acest caz, este sarcina totală pe o vergea înmulţită cu distanţa dintre vergele p~ Aab.

(14.29)

Momentul dipolar este îndreptat în sensul lui y negativ; astfel cosinusul ,,,unghiului dintre R şi peste -yjR (unde y este coordonata lui P). Avem "'!!'lfel lP= __'_~~JL. 4Jtf, R" R

pe A", simplu înlccuindu-I pe

Î..

prin Ijc 2

Ax=----;-"~X. 4nenc2 R8

(14.30)

(14.31)

-",nu,

Ay este proporţional cu x şi Ar este proporţional cu -y; esttfalul vector (la distanţe mari) 'este indreptat pe cercuri in jurul

CIMPUL MAGNETIC IN DIFERITE

"6

SITUAŢII

axei z, circulind în acelaşi sens ca' 1 în spiră, aşa cum este arătat in figura 14.8. Intensitatea lui A este proporţională cu [ab, care este curentul înmulţit eu aria spirei. Acest produs este numit moment dipolar magnetic (sau, adesea, numai "momentul magnetic") al buclei. Il notăm cu Il

EJ

z

(14.32)

A

Potenţialul vector al unei spfre plene mici de orice formă (cerc, triunghi etc..) este dat de asemenea de ecuaţiile (14.30) şi (14.31), dacă inlocuim Iab prin J.l=I· (aria spirei). (14.33) Vă lăsăm

dv.

demonstraţia

acestei formule.

Putem pune ecuaţiile noastre in formă vectorială dacă definim direcţia vectorului u ca fiind normala la planul splrei, cu un sens pozitiv dat de regula miinii drepte (fig. 14.8). Putem scrie atunci A __ l_""XR=_I_I-lXeR~ 4llt gc' R'

Trebuie să-I mai cu (14.4), obţinem

aflăm încă

B.=-1.(_" '\~ ... az ~

înţelegem

B

(14.34)

R'

pe B. Folosind (14.33)

4n:tac'

(unde prin ...

4rttac'

3" R"

şi

(14.34),

împreună

(14.35)

!l/4n:1oC2),

=1.(_ ...JL)~ .• .'"R" R'

Y;;Iz

(14.36)

l

pOTENŢIALUL

VECTOR AL UNUI CIRCUIT

277

Componentele cîmpului B se comportă exact ca acelea ale cîmpului E pentru un dipol orientat de-a lungul axei z. (Vezi ecuaţiile (6.14) Şi (6.15); de asemenea figura 6.5.) Din acest motiv numim sph-a un dipol magnetic. Cuvîntul "dipol" este puţin înşelător cînd este aplicat unui cimp magnetic, deoarece nu există "poli" magnetici care să corespundă la sarcini electrice. "Cîmpul de dipol'' magnetic nu este produs de două "sarcini", ci de o spiră elementară de curent. Este curios totuşi, că pornind cu legi complet diferite, v· E = p!EO şi \l XB=;!toC2, putem ajunge la acelaşi tip de cîmp. De ce trebuie să se intimple aceasta? Aceasta se întîmplă deoarece cimpurile dipolare apar numai cînd sintem foarte departe de toate sarcinile sau curenţii. Astfel, in cea mai mare parte a spaţiului interesant, ecuaţiile pentru E şi B sînt identice: ambele au divergenţa zero şi rotorul zero. Deci ele dau aceleaşi soluţii. Insă, sursele, a căror configuraţie o rezumăm prin momentele dipolare, sint fizic cu totul diferite. Intr-un caz, sursa este un curent ce circulă; in altul, o pereche de sarcini, una deasupra şi una dedesubtul buclei pentru cîmpul corespunzător.

~ Potenţialul vector ~l unui circuit

}4 1I1/\~i/ \

Adesea sintem interesaţi de cîmpurile magnetice produse de circuite de conductori in care dlametrul conductorilor este foarte mic în comparaţie cu dimensiunile intregului sistem. In asemenea cazuri putem simplifica ecuaţiile pentru cîmpul magnetic.

Fig.

14.9. Pentru un fir subţire jdV este acelaşi ca şi Jds.

Fig. 14.10. Cimpul magnetic al unui Hr poate fi obţinut dintr-o integrală de-a lungul circuitului.

Pentru un conductor subţire putem scrie elementul de volum ca dV~Sds

S. este aria transversalâ a conductcrului şi ds elementul de distanţă lungul conductorului. De fapt, deoarece vectorul ds este in aceeaşi

CIMPUL MAGNETIC IN DIFERITE

278

SITUAŢII

ca şi i, aşa cum e arătat În figura 14.9 (şi noi putem presupune i este constant în întreaga secţiune transversală), putem scrie o ecua-

direcţie că

ţie vectorieâă

(14.37)

Dar jS este tocmai ceea ce numim noi curentul 1 intr-un conductor. Astfel, integrala pentru potenţialul vector (14.19) devine (14.38)

(vezi fig. 14.10). (presupunem că 1 este acelaşi în intregul circuit. Dacă citeva ramuri cu curenţi diferiţi, ar trebui, evident, să folosim 1 oorespunzător pentru fiecare ramură.) Din nou, putem găsi cîmpurile din (14.38) fie integrind direct, fie rezolvind problemele electrostaticc corespunzătoare. există

") @~ unei

Legea Biot-Savart

Studiind electrostatâca am găsit că intensitatea cimpului electric al distribuţii de sarcini cunoscute ar putea fi obţinută direct cu o

integrală [ecuaţia

(4.16)]

După CUm am văzut, este de obicei mai mult de lucru la evaluarea acestei integrale - sînt de fapt trei integrale, una pentru fiecare cornponentă decît de a calcula integrala pentru potenţial şi a-i calcula apoi gradientuL Există o integrală asemănătoare care leagă cîmpul magnetic de curenţi. Avem deja o integrală pentru A, ecuaţia (14.19); putem obţine o integrală pentru B luînd rotorul ambelor părţi

(14.39) Acwn trebuie să fim atenţi: operatorul rotor înseamnă să luăm derivatele lui A(l), adică el operează numai asupra coordonatelor (x lo Ylo Zi)' putem introduce operatorul v X sub semnul de integrare, dacă reamintim că el operează numai asupra variabilelor cu indicele 1, care, evident, apar numai în (14.40)

LEGEA LUI mOT

ŞI

SAVART

279

Cantitatea din paranteze este tocmai componenta x a expresiei jXr,t

JXe

j 2 --~--.

r;.

rit

Rezultate corespunzătoare vor fi Avem astfel

găsite şi

B(l}=_l_z 4!te,c

r J

pentru celelalte componente.

j(2):eu dV z"

(14.42)

'"II

Integrala ne furnizează expresia lui B direct in funcţie de curenţii cunosGeometria implicată este aceeaşi ca şi cea arătată in figura 14.2. Dacă curenţii există numai in circuite cu conductori subţiri, putem, ca in secţiunea anterioară, să eîectuăm imediat integrala de-a curmezişul conductorului, inlocuind jdV prin Jds, unde ds este un element de lungime al conductorului. Atunci, folosind simbolurile din figura 14.10, cuţi.

B(l)~ _ _ l_r le"xd.. . 4115ucz

J

(14.43)

rf.

(Semnul minus apare deoarece am inversat ordinea produsului vectortal.) pentru B este numită legea Biot-Savart, după descoperitorii săi. Ea dă o formulă pentru a obţine direct cîmpul magnetic produs de ccnductori ce transportă curenţi. V-aţi putea întreba: "Care este avantajul potenţialului vector, dacă putem găsi cîmpul B direct cu o integrală vectcrtală? Ptnă la urmă, A implică de asemenea trei integrale!". Din cauza produsului vectorial, integralele pentru B. sint de obicei mai complicate, aşa cum este evident din ecuaţia (14.41). De asemenea, deoarece integralele pentru A sint asemănătoare cu cele din electrostatlcă, le putem deja cunoaşte. In sfîrşit, vom vedea că in chestiuni teoretice mai avansate (in r-elativltate, în formulările avansate ale legilor mecanicii, ca principiul minimei acţiuni pe care îl vom discuta mai tîrziu, şi în mecanica cuantică) potenţialul vector joacă un rol important Această ecuaţie

I

15.

Potenţialul vector

15.1.

Forţele

asupra unei spire prin care

circulă

curent;

',1)energia..!!P:!!Lw.~ol In capitolul anterior am studiat cimpul magnetic produs de o nuca curent. Am găsit că este un cîmp de dipol, cu momentul dipolar dat de spiră dreptunghlulară de

o-IA

(15.1)

unde 1 este curentul şi A este aria spiret. Direcţia momentului este normală la planul spirei, astfel că putem scrie de asemenea o~IAn

v

Fig. 15.1. o buclă dreptunghîulară, prin care trece curentul 1, se află intr-un cîmp uniform B (în direcţia z). Cuplul asupra buclei este ' t = p.XB unde momentul magnetic e IA=Iab.

unde n este normala unitate la aria A. O spiră prin care circulă un curent - sau un dipol magnetic - nu numai că produce cîmpuri magnetice, ci va suferi de asemenea acţiunea unor forţe atunci cînd este aşezată în cimpul magnetic al altor curenţi

:ro:RTELE ASUPRA UNEI SPIRE PRIN CARE CIRCULA CURENT; ENERGIA UNUI DIPOL

281

Vom studia mai intii forţele asupra spirei dreptunghtulare într-un cîmp magnetic uniform. Fie axa z de-a lungul direcţiei cimpului, iar planul splreî să conţină axa y şi să facă unghiul e cu planul xy, ca în figura 15.1. Atunci momentul magnetic al spirei - care este normal la planul spirei - va face unghiul e cu cimpul magnetic. Deoarece curenţii sînt opuşi pe părţile opuse ale splrei, forţele sînt de asemenea opuse, aşa că nu există forţă netă asupra splret (atunci cind cimpul este uniform). Din cauza forţelor pe cele două părţi, notate în figură cu 1 şi 2, există însă un cuplu care tinde să rotească spira in jurul axei y. Mărimea acestor forţe FI şi F 2 este

F1=F2=IBb. Braţul

momentului lor este a sin e

astfel

că

cuplul este

T=IabB sin 8 sau, deoarece Iab este momentul magnetic al spirei , Ţ=

Cuplul poate fi scris cu

IAB sin 8.

notaţie vcctorială.

T~"X

B.

(15.2)

Deşi

am arătat că cuplul rezultă din ecuaţia (15.2) intr-un caz cu totul special, rezultatul este adevărat pentru oricare spiră mică, de orice formă, aşa cum vom vedea. Vă veţi reaminti că am găsit acelaşi tip de relaţie pentru cuplul asupra unui dipol electric 'C=pXE.

Ne întrebăm acum care este energia mecanică a spirei de curent. Deoarece există un cuplu, energia depinde evident de orientare. Principiul lucrului virtual spune că intensitatea cuplului este egală cu variaţia energiei în raport cu unghiul, astfel că putem scrie dU=-Td8.

Punînd 'C=-IlB sin

e

şi integrînd, putem scrie pentru energie

U=-.uB cos 0+0 constantă.

(153)

(Semnul este negativ deoarece cuplul tinde să aducă momentul paralel cu cimpul: energia este cea mai coborîtă cind J.t şi B sint paraleli.) Pentru motive ce le vom discuta mai tirziu această energie nu este~a totală a unei bucle de curent. (Nu am l~at, de exemplu, în con~ e energia -necesară pentru a menţine curentul în buclă). Vom numi; prin urmare, această energie U m ee, pentru a ne reaminti că ea eate numai o parte a energiei. De asemenea, deoarece noi neglijăm ori-

POTENŢIALUL VECTOR

282

cum o parte a energiei, putem lua constanta de integrare în ecuaţia (15.3). Astfel, transcriem ecuatia obţinut

U~-p·E.

cu zero (15.4)

Umec=-p.·B. Din nOU, aceasta corespunde la rezultatul

egală

pentru un dlpol electric (15.5)

Dar energia electrostatică U fn ecuaţia (15.5) este energia adevărată, in timp ce U mac în (15.4) nu este energia reală. Ea poate fi, însă, folosită pentru a calcula forţe, pe baza principiului lucrului virtual, presupunînd că intensitatea curentului in buclă sau cel puţin IJ. - este menţinută constantă.

Putem arăta pentru spira dreptunghtulară că U me c corespunde de asemenea la lucrul mecanic efectuat pentru a aduce spit-a in cimp. Forţa totală asupra spirei este zero numai intr-un cîmp uniform; intr-un CÎmp neuniform

există forţe

nete asupra spirci de curent. Aducînd spira într-o

regiune cu cîmp, trebuie să fi trecut prin locuri in care cîmpul nu a fost uniform şi astfel a fost efectuat lucru. Pentru a simplifica puţin calculele, ne vom imagina că spira este adusă in cimp cu momentul său îndreptat de-a lungul cimpului. (Ea poate fi rotită la poziţia sa finală, după ce a fost adusă.) Imaginaţi-vă că intenţionăm să mişcăm spira în direcţia x către o regiune cu W1 cîmp mai intens - şi că sptra este orientată aşa cum este arătat în figura 15.2. începem operaţia undeva unde cimpul este

a:

x,

Fig. 15.2. O buclă deplasată de-a lungul direcţiei x prin cimpul B, perpendicular pe x.

zero şi integrăm forţa înmulţită cu distanţa pe măsură ce aducem sptra în cimp. Mai. întîi, să calculăm lucrul efectuat asupra fiecărei laturi separat 'Şi apoi să luăm suma (mal bine decît să adunăm forţele inainte d.e. a integra). Forţele pe laturile' şi 1 sint perpendiculare pe direcţia de miş­ care, astfel că asupra acestor laturi "" se efectuează lucru. Forţa asu-

UCfflil!x~

r~~>,

)J,::,

unde B este cimpul în centrul buclei. Energia mecanică totală pe care

am cedat-o este

U m ec= W =-labB=-IlB.

(15.9)

~ultatul concordă cu energia ce am luat-o in ecuaţia (15.4). Am fi obţinut, evident, acelaşi rezultat dacă am fi adunat forţele asupra splret inainte de a integra pentru a găsi lucrul. Dacă facem ca B l ,~< fie cimpul pe latura 1 şi B 2 să fie cimpul pe latura 2, atunci forţa ~ in direcţia x este •

(1

.~. spfra

F~=lb(B2-BI)·

este

"mică", adică dacă B 2 şi

B I nu sint prea

diferiţi,

putem

\iiC' ,'.

"

•._~ forţa este

;,It,,}Zl,

:':_'}~~,{;:,'-..

(15.10)

PO=..,'ŢIALVL

284

Lucru! total efectuat asupra spirei, de

forţe

VECTOR

exterioare este

x " - J""ftdx = -lab ~ ~ dx=-IabB

care este din nou tocmai - flB. Numai acum vedem de ce forţa asupra unei mici spire de curent este proporţională cu derivate cimpului magnetic, cum ne-am aştepta din(15.11)

Rezultatul nostru este deci că, chiar dacă Ume(x, v, z).

de v olum ce trebuie luată pc întregul spaţiu. este minimă pentru o distnbuţre corectă de potenţial

PRTNClI'IUL

378

"Putem

arăta că,

intr-adevăr,

cele doua

afirmaţii

ACŢIUNII

MrNIME

despre electro-

statică sint echivalente. Să presupunem că luăm orice funcţie . v1 prin 1\72$_-\7-(1\1$), care este integrat pe volum. Termenul divergenţă inte'grat pe volum-poate fi inlocuit printr-o integrală de suprafaţă

Iv' (fv~)dV~lfv.'!:.nda. Deoarece integrăm asupra intregului spaţiu, suprafaţa asupra căreia integrăm este la infinit. Acolo, f este zero şi obţinem acelaşi răspuns ca mai inainte. "Numai că acum vedem cum să rezolvăm problema cînd ruz ştim unde sint toate sarcinile. Să presupunem că avem conductort cu sarcini împrăştiate pe ei într-un mod oarecare. Putem totuşi folosi principiul nostru de minim dacă potenţialele tuturor conductorilor sint fixate. Efcctuăm integrala pentru U* numai în spaţiul din afara tuturor conductortlor. Atunci, deoarece nu îl putem varia pe $ pc conductor, f este zero pe toate acele suprafeţe şi integrala de suprafaţă

~fv.!'nda este

şi

ea

egală

cu zero. Integrala de volum

rămasă

6U*= ~(-to\72'p-p~)fdV

trebuie efectuată numai in din nou ecuaţia lui Polsson

spaţiul

dintre conductori. Evident,

obţinem

Am arătat astfel că integrala noastră iniţială U* este de asemenea minimă dacă o evaluăm în spaţiul din afara conductorilor, ce sînt toţi la potenţiale fixate (adică, astfel că orice funcţie de încercare cD(x, y, z) trebuie să fie egală cu potenţialul dat al conductordor cînd x, y, z, este un punct de pe suprafaţa unui conductor). "Există un caz interesant cînd sarcinile sint toate aşezate pe conductori. Atunci

PRINCIPIUL

380

ACŢIUNII

MINIME

Principiul nostru de minim spune ca in cazul cind există conductor! puşi la unele potenţiale date, potenţialele intre aceştia se ajustează de la sine, astfel că integrala U* este minimă. Ce este această integrală? Termenul "V este cîmpul electric, deci integrala este tocmai energia electrostatkă. Cîmpul adevărat este acela dintre toate cele ce provin din gradtentul unui potenţial care are energia totală minimă. "Aş dori să folosesc acest rezultat pentru a calcula ceva particular, pentru a vă arăta că aceste lucruri sînt de fapt foarte practice. Să presupunem că iau doi conductori în forma unui condensator cilindric. Conductorul din interior are potenţialul V şi cel din exterior este la ----+ potenţialul

zero. Fie a raza conductorului interior şi b a celui exterior. Putem presupune acum orice distribuţie de potenţial Între cei doi conductori. Dacă îl folosim pe ~ cel corect şi calculăm (€o/2) ~ (v~)2dV, aceasta ar trebui să fie egală energia sistemului, ~ CV

2

.

C11

Putem calcula astfel capacitatea C şi cu aju-

torul principiului nostru. Dar dacă folosim o distribuţie greşită de potenţial şi încercăm să calculăm capacitatea C prin această metodă, vom obţine o capacitate care este prea mare, deoarece Veste specificat. Orice potenţial presupus 4>, care nu este exact cel corect, va da un C fals, oare este mai mare decît valoarea corectă. Dar dacă funcţia cP falsă este orice aproximaţie grosieră, C va fi o aproximaţie bună, deoarece eroarea in C este de ordinul doi în raport cu eroarea lui CP. "Să presupunem că nu cunosc capacitatea unui condensator cilindric. Putem folosi acest principiu pentru a o găsi. Tot ghicesc la funcţia potenţial cP pînă ce obţin cea mai coborîtă valoare C. Să presupunem, de exemplu, că iau un potenţial ce corespunde la un cîmp constant. (Ştiţi, evident, că de fapt cimpul nu este constant aici; el variază ca l/r.) Un cimp constant este echivalent cu un potenţial ce depinde liniar de distanţă. Pentru a satisface condiţiile pe cei doi conductori, trebuie ca

~ V (,Această funcţie

'-0).

b-o

este V la r = a, zero la r = b şi intre cele două are o cu - V,/(b-a). Astfel, pentru a obţine integrala U* se înmulţeşte pătratul acestui gradtent prin 6.0/2 şi se integrează pe intregul volum. Să facem acest calcul pentru un cilindru de pantă constantă egală

el LECŢIE SPECIALĂ -

APROAPE CUV1NT CU CUvINT

381

lungime unitate. Un element de volum cu raza r este 2Jtr dr. Efectuînd integrala, găsesc că prima mea încercare dă capacitatea

!.- CV 2 2

Integrala este

uşoară;

(prima incercarej

formulă

2

Ja (b-a)"

ea este tocmai rr V'

Am 'astfel o

~ r ~ 2Jtr dr. b

e-

(b+') . b-,

pentru capacitate, care nu este

adevărată,

dar este

aproximativă

~= b--"-a. 21lE. 2(b-a)

Ea este, natural, diferită de răspunsul corect C=2Jtioiln(b/a), dar nu este prea rea. Să o comparăm cu răspunsul corect pentru cîteva valori ale lui b]a. Am calculat răspunsul in acest tablou:

"-

, 4

10 100 1,5 1,1

C (adevirBt)

C (prima BPrD".)

21"1:',

2'1"~ t..!!L ,

MAXWELL CU

CURENŢI ŞI

atîta vreme cît f este o

(r

~ O).

SARCINI

funcţie

(21.10)

Astfel '" este exact ca un cimp coulombian pentru o sarcina In ongme, care variază in timp. Adică, dacă am avea o cantitate de sarcină mică, aşezată într-o regiune foarte mică in vecinătatea originii, cu o densitate P. ştim că

unde Q=

S pdV.

Ştim acum că un astfel de

satisface

ecuaţia

'\72(ţ)=_.f...

'.

Urmînd aceeaşi metodă matematică, am spune că (21.10) satisface 'V',!>~-s

unde s este legat de

f

prin

(r-. O)

'*

din ecuaţia (21.11)

f~ 24.

cu

Singura diferenţă este că în cazul general, s, şi prin urmare S, poate fi o funcţie de timp. Lucrul important acum este că dacă satisface ecuaţia (21.11) pentru. r mic, el satisface de asemenea ecuaţia (21.7). Atunci cind ne apropiem foarte mult de origine, dependenţa 1/r a lui face ca derivatele

+

+

spaţiale să devină foarte mari. Dar derivatele în raport cu timpul îşi păs­ trează aceleaşi valori. [Ele sint tocmai derivatele în raport cu timpul ale lui f(t).] Astfel, pe măsură ce r tinde spre zero, termenul iJ2\jt/ât2 în ecua-

ţia

(21.7) poate fi neglijat în comparaţie cu v~, şi ecuaţia (21.7) devine (21.11). Pentru a rezuma, deci, dacă funcţia Sursă 8(t) a ecuaţiei (21.7) este localizată in origine şi are intensitatea totală S(t)~ \S(t)dV (21.12) echivalentă cu ecuaţia

soluţia ecuaţiei

(21.7) este ."(x y z t)=-.!.S(t-1/0). 'i"

,

'.

4JI'

r

(21.13)

Singurul efect al termenului â2~jât2 din ecuaţia (21.7) este de a introduce retardaree (t-rjc) în potenţialul de tip coulombian.

SOLUŢIA

GENERALA A

ECUAŢIILOR

."

LUI MAXWELL

"1

~ŞJ Solutia genemlă a ecuettuor lui Maxwell Am găsit soluţia ecuetiet (21.7) pentru o sursă "punctiformă". Intrebarea următoare este: Care este soluţia pentru o sursă distribuită spaţial? Răspunsul la această intrebare este uşor; putem să ne inchipuim o sursă s(x, y, z, t) ca fiind constituită din suma mai multor surse .jrunctiforme", cite una pentru fiecare element de volum dV şi fiecare avind intensitatea de sursă s(x, y, z, t)dV. Deoarece ecuaţia (21.7) este liniară. cimpul rezultant este suprapunerea cîmpurilor produse de toate elementele de sursă de acest fel. Folosind rezultatele paragrafului precedent (ecuaţia (21.13)) ştim că expresia cîmpului d"+ in punctul (Xl' Yi> Z1) - sau pe scurt (1) - la momentul t, al unui element de sursă sdV din punctul (x 2, Y2, 22) - sau pe scurt (2) - este dat de d'\(J(l \ s (2,t - 'uM dV , t, 4~'1I 2' unde Tu este distanţa de la (2) la (1). Adunînd contribuţiile de la toate părţile sursei înseamnă, evident, că integrăm pe toate regiunile unde ~; avem astfel '\(a(1, t)=P(2,t-,.. ;C) dV

J

adică,

4a,u

• 2

(21.14)

cîmpul in (1) la momentul t este suma tuturor undelor sferice ce Aceasta este

părăsesc elementele de sursă din (2) la momente (t-Tldc). soluţia ecuaţiet undelor pentru orice sistem de surse.

Vedem acum modul in care se obţine o soluţie generală pentru ecualui Maxwell. Dacă prin 'I{t înţelegem potenţialul scalar 41, funcţia sursă S devine p/€u. Sau, putem să-I facem pe '" să reprezlnte pe oricare dintre cele trei componente ale potenţialului vector A, înlocuindu-I pe s prin componenta corespunzătoare a lui jfEijc2. Astfel, dacă cunoaştem densitatea de sarcină p(x, Y, z, t) şi densitatea de curent j(x, y,z, t) pretutindeni, putem scrie imediat soluţiile ecuaţiilor (21.4) şi (21.5). Ele sint

-ţ1i1e

41(1, t) = şi

Sp (2, t-'ulo) dV 41>&0'1'

2

A(l ,t)~~j(2.t • 'u/ G) d'T . 2'

(21.15) (21.16)

, 4:11soC 'u

Ctmpurtto E şi B pot fi obţinute atunci derivînd potenţialele, folosind ecuaţiile (21.2) şi (21.3). [Incidental, este posibil să se verifice că li! şi A

';~bţinUţi din ecuaţiile (21.15) şi (21.16) satisfac egalitatea (21.6}.J Am rezolvat ecuaţiile lui Maxwell. Fiind daţi curenţii şi sarcinile in orice situaţie, noi putem găsi potenţialele direct din aceste integrale şi apoi, prin derivare, să obţinem cimpurile. Am terminat astfel cu teoria

SOLUŢII

ALE

ECUAŢIILOR

LUI MAXWELL CU

CURENŢI ŞI

SARCINI

lui Maxwell Aceasta ne permite de asemenea să ne reintoarcem la teoria luminii, deoarece pentru a lega aceste rezultate de calculele noastre anterioare asupra luminii, trebuie doar să calculăm cîmpul electric al unor sarcini în mişcare. Tot ceea ce rămîne este să luăm o sarcină în mişcare, să calculăm potenţialele din aceste integrale şi apoi derivînd să obţinem E elin -\711I- ~. Ar trebui să obţinem ecuaţia (21.1). Se constată că

"

avem de făcut o grămadă de calcule, dar acesta este principiul. Astfel, aici este centrul universului elcctromagnettsmului - teoria completă a electricitătii şi magnetismului şi a luminii; o descriere completă a cîmpurilor produse de orice sarcini în mişcare; şi mai mult. Totul este aici. Aici este structura construită de Maxwell, completă în toată puterea şi frumuseţea sa. Este probabil una din cele mai mari realizări ale fizicii. Pentru a vă reaminti importanţa ei, o vom pune-o în întregime într-un cadru frumos. Ecuaţiile

lui MaxwelL

v·E=.t.

'o

Soluţiile

lor:

E=-'V1J-~

"

B~VXA

21.4. Cîmpurile unui dipol oscilant Nu ne-am realizat încă promisiunea noastră de a deduce ecuaţia pentru cîmpul electric al unei sarcini punctifcrme în mişcare. Chiar ŞI cu rezultatele pe care le avem deja, este complicat să o deducem. Nu am găsit ecuaţia (21.1) nicăieri în literatura publicată, exceptînd volumul 1 al acestor lectii!'. Puteţi vedea deci că nu esrc uşor să fie dcdusă. (Cîmpurile unei sarcini în mişcare au fost scrise în mai multe, alte forme, care sînt, evident, echivalente.) Va trebui să ne limităm aici numai (~1.1)

l) Formula a fost calculată de R P. Feynman, aproximativ în 1950 şi a fost prein lecţii uneori ca un mod corespunzător de a calcula radiaţia de sincrotron.

zentată.

CIMPURILE UNUI DIPOL OSCILANr

să arătăm că, în cîteva exemple, ecuatiile (21.15) şi (21.16) dau acelasi rezultat ca şi ecuaţia (21.1). Vom arăta mai intîi că ecuaţia (21.1) dă expresii corecte pentru cîmpuri numai cu restricţia că mişcarea pariiculei încărcate este nerelatlvistă. (Exact acest caz special se referea la 90 procente, sau mai mult, din ceea ce am spus despre lumină.) Considerăm o situaţie în care avem o aglomeraţie de sarcină ce se mişcă într-un mod oarecare, într-o regiune mică şi vom afla cîmpul la

r

Fig. 21.2. Potenţialele în (1) sint date de integrale asupra densităţii de sarcină p.

mare depărtare. Pentru a pune problema într-un alt mod, aflăm cimpul la orice distanţă produs de o sarcină punctlformă, care se mişcă încoace şi încolo cu o deplasare foarte mică. Deoarece lumina este emisă, în mod obişnuit, de obiecte neutre, ca atomii, vom considera că sarcina noastră oscilantă q este situată lîngă o sarcină egală şi de semn opus, în repaus. Dacă distanţa între centrele sarcinilor este d, sarcinile vor avea un moment dipolar p=qd, pe care îl luăm ca o funcţie de timp. Ar trebui să ne aşteptăm că dacă observăm cimpurile în vecinătatea sarcinilor, să nu trebuie să ne preocupăm de întîrziere; cîmpul electric va fi exact acelaşi ca şi cel ce l-am calculat anterior pentru un dipol electrostatic - folosind, evident, momentul dipolar instantaneu p(t). Dar dacă ne îndepărtăm foarte mult, ar trebui să găsim un termen în expresia cîmpului care să se comporte ca l/r şi să depindă de acceleraţia sarcinii perpendiculară pe linia de observaţie. Să vedem dacă obţinem un astfel de rezultat. Incepem prin a calcula potenţialul vector A, folosind ecuaţia (21.16). Să presupunem că sarcina în mişcare este aşezată Într-o aglomerare mică, a cărei densitate de sarcină este dată de p(x, y, z) şi întregul ansamblu de sarcini se mişcă, in orice moment, cu viteza v. Atunci densitatea de curent j(x, y, z) va fi egală cu vp(x, y, z). Va fi convenabil să luăm sistemul nostru de coordonate astfel încît axa z să fie în direcţia lui v; atunci geometria problemei noastre este cea arătată în figura 21.2. Dorim să calculăm integrala ](2, t - rl~/c) dV • (21.17)

r )

'12

2

SOLUŢII

Dacă

ALE

ECUAŢIILOR LUI

aglomerărti

dimensiunea

de

MAXWELL CU

sarcină

CURENŢI ŞI

SARCINI

este de fapt foarte

mică

comparaţie cu T12, putem lua termenul T12 de la numitor egal cu T, distanţa la centruf eglomerării, şi să-I scoatem pe p in afara Integrelet. Apoi, vom pune de asemenea T 12=T la numără tor, deşi de fapt nu e chiar corect. Nu e corect, deoarece ar trebui să-I luăm pe j la vîrful aglomerării, de exemplu, la un timp puţin diferit decit cel ce l-am folosit pentru j la baza aglomerării. Cind punem T12=r in j(t-r 12jc), luăm densi-

in

tatea de curent pentru întreaga aglomerare la acelaşi moment (t.-rjc). Aceasta este o aproximaţie ce va fi bună numai dacă viteza v a sarcinii este mult mai mică decit c. Facem deci un calcul nerelativist. lnlocutndu-l pe j prin pv, integrala (21.17) devine

~(' " 'dV 2· r J v(l,'2 ,t-r;c, Deoarece toate sarcinile au aceeaşi viteză, această integrală este tocmai de -o]r ori sarcina totală q. Dar qv, este tocmai 8pj8t, viteza de variaţie a momentului dipolar - care trebuie, evident, să fie evaluată la timpul retardat (t-r/c). Vom scrie aceasta ca p(t-rJc). Obţinem astfel pentru potenţialul vector A(l, t) = _ , _ p(t - f/D) • (21.18) 4nE o('

r

Rezultatul nostru spune că curentul intr-un dipol variabil produce un potenţial vector in formă de unde sferice, a căror intensitate a sursei este pj4:JtEoC2. Putem obţine acum cîmpul magnetic din B=vXA. Deoarece peste in Întregime pe direcţia z, A are numai componenta z; există numai două derivate nenule în rotor. Astfel B x = ~~ şi B'I~~- dA". dY

Să

ne

uităm

B = x

deci

dX

mai Întîi la B,

dA"=~'_1.P{t-fIO). dY

4:J[EoC!

dY

(21.19)

r

Pentru a efectua derivarea, trebuie să reamintim că

r=Vx2-i y2 : Z2

B,,= - ' - p(t-r/c)1.(~)+ _l_~ ~ p(t-.r/c}. dY

4nEoC'

Reamintind

că

r

4rlE oC"

8r/8y=y/r, primul termen .s

care

descreşte

ca

l!r,

la fel ca

y/r este constant pentru Q

şi

(21.20)

dă

__,_ 'ni(, -:- rlo) 411EnC.

dy

şi

(21.21)

cîmpurile unui dipol static (deoarece

direcţie dată).

CIMPURILE UNUI DIPOL OSCILANT

Al doilea termen în varea, obţinem

415

ecuaţia

dă

efecte noi. Efectuînd deri-

1 li·· ---~p(t-r7c)

(21.22)

(21.20) ne

4nE"c2 er

unde p înseamnă a doua derivată a lui p în raport cu t. Acest termen ce provine din derivarea numărătorulut, este răspunzător de radiaţie. Mai întîi, el descrie un cimp ce descreşte cu distanţa numai ca l/r. In al doilea rind, el depinde de acceleraţia ecrcinii. Puteţi incepe să vedeţi

Fig. 21.3. Mărimea lui A ca o funcţie de T, la momentul t, pentru unda sferîcă a unui dipol osci1ant.

,

,,

cum procedăm pentru a obţine un rezultat ca cel din ecuaţia (21.1'), ce descrie radiaţia luminii. Să examinăm ceva mai detaliat cum apare acest termen de radiaţie, deoarece el este un rezultat atît de important şi interesant. Incepem Cu expresia (21.18), care are o dependenţă de tipul L'r şi este, prin urmare, asemănătoare cu un potenţial coulcmbian, exceptînd termenul de întîrziere din numărător. De Ce atunci, cînd derlvăm in raport cu coordonatele spaţiale pentru a obţine cimpurile, nu obţinem doar un cîmp 1/r2 - evident, cu intirzierea corespunzătoare in timp? Putem vedea motivul în modul următor. Să presupunem că lăsăm dipolul nostru să oscilcze in sus şi în jos într-o mişcare sinusoidală. Am avea atunci şi A.~

_'_w 4ne,c'

P. cos 00 (t-,/c) • ,

Dacă reprezentăm grafic A, în funcţie de r,la un msmcnt dat, obtinem curba arătată în figura 21.3. Amplitudinea maximă scade ca L'r, dar există, în plus, o oscilaţie in spaţiu mărginită de înfăşurătoarea Lr. Cind luăm derivatele spaţiale, ele VOI" fi proporţionale cu panta curbei. Din figură vedem că există pante mult mai abrupte decît panta curbei 1/r. De fapt, este evident că, pentru o frecvenţă dată, pantele vîrfurilor sînt

~~

SOLUŢII

416

ALE

ECUAŢIILOR LUI

MAXWELL

ca

CURENŢI ŞI

SARCrN1

proporţionale cu amplitudinea undei, ce variază ca l/r. Aceasta explică atenuarea cu distanţa a termenului de radiaţie. Totul se petrece astfel deoarece variaţiile cu timpul ale sursei sint traduse in variaţii in spaţiu, atunci cind undele se propagă spre exterior şi cimpurile magnetice depind de derivatele spaţiale ale potenţialului. Să mergem înapoi şi să terminăm calculul cimpului magnetic. Avem pentru B", cei doi termeni (21.21) şi (21.22), astfel

Cu

aceleaşi

metode matematice,

obţinem

B ~_l_[~v(t-r/C) y

Sau, putem

să

4ne gc l

r

împreună

le punem

+ XV·(i-r/e)]. eT"

într-o

formulă vectorială frumoasă

B ~ _1_ [p+

81

I

I

I

j-,

o

b Fig. 23.12. Un mod de

frecvenţă

mai

ridicată.

ca de fapt cutia să aibă o rezonanţă la un astfel de mod. Dar observaţi, cel de-al doilea zero al funcţiei Bessel apare la x= 5,52, care este de peste două ori mai mare decît valoarea corespunzătoare la primul zero. Frecvenţa rezonantă a acestui mod ar trebui, prin urmare, să fie mai mare decît 6000 megacicli. Fără îndoială, am găsi-o acolo, dar ea nu explică rezonanta pe care o observăm la 3300. Necazul este că in analiza comportării unei cavltăti rezonante am considerat numai un aranjament geometric posibil al cimpurilor electrice şi magnetice. Am presupus că cîmpurile electrice sînt verticale si că cimpurile magnetice se află pe cercuri orizontale. Dar sint posibile şi alte cîmpuri. Singurele cerinţe sint că, in interiorul cutiei, cimpurile trebuie să satisfacă ecuaţiile lui Maxwell şi cîmpul electric trebuie să fie perpendicular pe pereţi. Am considerat cazul în care vîrful şi baza cutiei sint plane, dar lucrurile nu ar fi complet diferite dacă virful şi baza ar fi curbete. De fapt, cum s-ar putea presupune că cutia "ştie" care este virful şi baza şi care sint laturile sale? Este posibil, de fapt, să arătăm că există un mod de oscilare a cimpurilor in interiorul cutiei, in care cîmpurile electrice merg mai mult sau mai puţin de-a curmezişul diametrului ei, aşa cum e arătat în figura 23.13. Nu este prea greu de înţeles de ce frecvenţa naturală a acestui modnu. ar trebui să fie foarte diferită de frecvenţa naturală a primului mod ce l-am considerat. Să presupunem că în loc de cavitatea noastră cilindrică am fi luat o cavitate care era un cub cu latura de 7,5 cm. Este

REZONATORI:

că această cavitate ar avea trei moduri diferite, dar toate cu aceeaşi frecvenţă. Un mod cu cimpul electric mergînd mai mult sau mai puţin în

clar

sus şi în jos ar avea cu siguranţă aceeaşi frecvenţă ca un mod în care cîmpul electric ar fi îndreptat de la stînga la dreapta. Dacă distorsionăm acum eubul Într-un cilindru, vom schimba cumva aceste frecvente. Ne-am

-n-ff

~gJ-)-g-lt Fig. 23.13. Un mod transversal al cavităţii cilindri-

t

Fig. 23.14. Un alt mod al unei cavităţt cilindrice.

ce, aştepta ca ele să nu fie prea mult modificate, atîta vreme cît păstrăm dimensiunile cavităţii mai mult sau mai puţin aceleaşi. Astfel, frecvenţa modului din figura 23.13 nu ar trebui să fie prea diferită de aceea a modului din figura 23.8. Am putea face un calcul detaliat al frecvenţei naturale a modului arătat în figura 23.13, dar nu o vom fac>. o acum. Cind sint efectuate calculele, se găseşte că, pentru dimensiunile ce le-am presupus, frecvenţa rezonantă rezultă foarte apropiată de rezonanta observată de la 3 300 megacicli. Prin calcule asemănătoare este posibil să se arate că ar trebui să mai existe încă un alt mod, la cealaltă frecvenţă rezonantă ce am găsit-o lîngă 3800 megaclcli. Pentru acest mod, cîmpurile electrice şi magnetice sînt aşa cum e arătat în figura 23.14. Cîmpul electric nu se sinchiseşte să străbată intregul drum de-a curmezişul cavităţii. El merge de la margini la capete, aşa cum este arătat. Aşa cum probabil veţi bănui acum, dacă mergem la frecvenţe din ce în ce mai mari ar trebui să ne aşteptăm să găsim din ce in ce mai multe rezonanţe. Există multe moduri diferite, fiecare dintre care va avea o frecvenţă rczonantă diferită ce corespunde la o oarecare dispunere complicată a cîmpurilor electrice şi magnetice. Fiecare din aceste dispunen ale cîmpurilor este numită un mod rezonant. Frecvenţa de rezonanţă a fiecărui mod in parte poate fi calculată rezolvînd ecuaţiile lui Maxwell pentru cîmpurile electrice şi magnetice din cavitate. ...~ Cînd avem o rezonanţă la o oarecare frecvenţă particulară, cum putem şti care mod este excitat? Un mijloc este de a vîrî un mic fir în

>CAVITAŢI ŞI

CIRCUITE REZONANTE

'"

cavitate printr-un mic orificiu. Dacă cîmpul electric este de-a lungul firului, ca 'in figura 23.15, a, vor exista curenţi relativ mari în fir, escaVÎnd energia cimpurilor, şi rezonanta va fi supnmată. Dacă cimpul electric este aşa cum e arătat în figura 23.15, b, firul va avea un efect mult mai mic. Am putea găsi în ce sens este îndreptat cimpul în acest

o

b

Fig. 23.15. Un fir scurt de metal introdus intr-o cavitate va perturba rezonanta mult mai mult ctnd este paralel la E, decît atunci cind este perpendicular pe E.

mod, îndoind capătul firului. aşa cum e arătat în figura 23.15, c. Atunci. dacă rotim firul, va exista un efect mare cînd capătul firului este paralel cu E şi un efect mic cînd este rotit astfel încît să fie perpendicular pe E. 23.5.

Cavltătl şi. circuite

rezonante

Deşi cavitatea rezonantă descrisă pare a fi cu totul diferită de circuitul rezonant obişnuit, constind dintr-o Inductentă şi un condensator, cele două sisteme rezonante sînt, evident, foarte înrudite. Ele sînt ambele membre ale aceleiaşi familii; ele sînt tocmai două cazuri extreme . ale rezonatortlor electromagnetici _ şi există multe cazuri intermediare Între aceste două extreme. Să presupunem că Începem prin a considera circuitul rezonant al unui condensator în paralel cu o inductantă, aşa cum este arătat în figura 23.16, a. Acest circuit va fi rezonant la frecvenţa mo-1/ VLC.Dacă dorim să ridicăm frecvenţa rezonantă a acestui circuit, putem să o facem micşorînd inductanţa L, Un mod este de a descreşte numărul de spăre 1n bobină. Putem, însă, să mergem doar limitat în această direcţie. Eventual, vom ajunge pînă la ultima tură şi vom avea la o budă de fir ce leagă plăcile de sus şi de jos ale condensatorulul. Am putea ridica frecvenţa rezonantă mai departe făcînd capacitatea mai mică; însă, putem scădea mai departe Inductanta punînd cîteva Inductanţe paralel. Două inductente cu o singură sptră în paralel vor avea numai jumătate din Inductanta fiecărei sptre. Astfel, atunci cînd tnductanta noastră a fost redusă la o singură spiră, putem continua să ridicăm jrec-

REZONATORI

venţa rezcnantă adăugînd alte spire de la placa de sus la cea de jos a condensatorului. De exemplu, figura 23.16, b arată plăcile condensatorului legate prin şase astfel de .Jnductante monospire''. Dacă continuăm să adăugăm multe astfel de bucăţi de fir, putem face tranziţia la sisteme rezonante complet închise din partea (c) a figurii, care este un desen al

t-

{,

I

0

h 0

0

0

0

I ~

'C'

ii

Î \1.furE lI1JII!~

I

c Fig. 23.16. Rezonatori de ţime

secţiunii

frecvenţe

" "

e

"

e

e

rezonante, de

înăl­

progresivă.

transversale a unui obiect cu simetrie cilindrică. Inductanţa este acum o cutie cilindrică, scobită, ataşată la marginile plăcilor condensatorului. Cîmpurile electrice şi magnetice vor fi aşa cum e arătat în figură. Un astfel de obiect este, evident, o cavitate rezonantă. El est" numit cavitate "încărcată". Dar putem totuşi să ne-o inchipuim ca un circuit L-C, în care secţiunea capacităţii este regiunea unde găsim cea mai mare parte a cimpului electric, iar secţiunea lnductanţet este acea regiune unde gasim cea mai mare parte a cimpului magnetic. Dacă dorim să facem frecvenţa rezonatorului din figura 23.16, c încă şi mai mare, putem să o facem descrescînd în continuare Inductanta L. Pentru aceasta, trebuie să descreştem dimensiunile geometrice ale secţiu­ nii inductantei, de exemplu descrescrnd dimensiunea h. Pe măsura ce descreşte ti, frecvenţa rezonantă creşte. Eventual, fireşte, vom ajunge la situaţia în care înălţimea h este egală cu distanţa dintre plăcile condensatorului. Avem atunci tocmai o cutie cilindrică; circuitul nostru rezonant a devenit cavitatea rczonatoare din figura 23.7. noastră

CAvrrAŢI ŞI

CIRCUITE REZONANTE

479

Veţi observa că în circuitul original L-C al figurii 23.16 cîmpurile electrice şi magnetice sînt foarte separate. Pe măsură ce am modificat treptat sistemul rezonant, pentru a produce frecvenţe din ce în ce mai înalte, cîmpul magnetic a fost adus din ce în ce mai aproape de cîmpul electric pînă ce în rezonator cele două sînt foarte amestecate.

Fig. 23.17. O

altă

cavitate

reaonantă.

Deşi rezonatorii despre care am vorbit în acest capitol au fost cutii cilindrice, nu există nimic magic în legătură cu forma cilindrică. O cutie de orice formă va avea frecvenţe rezonante ce corespund la diferite moduri posibile de oscilaţie a cîmpurilor electrice şi magnetice. De exemplu .eevttatea- arătată în figura 23.17 va avea şirul său particular de frecvenţe rezonante deşi ele vor fi destul de greu de calculat.

24.

Ghiduri de unde

24.1. Linia de transmisie

In ultimul capitol am studiat ce li se întîmplă elementelor concentrate de circuite atunci cînd funcţionează la frecvenţe foarte inalte şi am fost conduşi la concluzia că un circuit rezonant ar putea fi inlocuit printr-o cavitate cu cimpurile rezonînd în Interior, O altă problemă tehnică interesantă este legarea unui obiect de altul, astfel incit energia electromagnetică să poată fi transmisă intre ele. In circuite de frecvenţă joasă, legă­ tura este efectuată cu fire, dar această metodă nu funcţionează foarte bine la frecvenţe inalte, deoarece circuitele ar radia energie in intregul spaţiu elin jurul lor şi este greu de controlat unde va merge energia. Cîmpurile se împrăştie in jurul firelor; curenţii şi tensiunile nu sînt ,,ghida te'; foarte bine de către fire. In acest capitol dorim să analizăm căile pe oare obiectele pot fi interconectate la frecvenţe Înalte. Cel puţin, acesta este un mod de a prezenta subiectul nostru. Un alt mod este de a spune că am discutat comportarea: undelor în vid. Este momentul acum să vedem ce se întîmplă atunci cînd cîmpurile oscilante sînt limitate la una sau mai multe dimensiuni. Vom descoperi noul fenomen interesant cînd cîmpurile sînt limitate numai în două dimensiuni şi lăsate să meargă liber în a treia dimensiune, şi anume că ele se propagă sub formă de unde. Acestea sînt "unde ghidate'' ~ subiectul acestui capitol. Incepem prin elaborarea teoriei generale a liniei de transmisie. Linia obişnuită de transmitere a puterii, care trece de la un stîlp la altul deasupra ogoarelor, radiază o parte a puterii sale, dar frecvenţele puterii (50-60 ciclijs) sint atit de coborite incit această pierdere nu este prea importantă. Radiaţia ar putea fi oprită învelind linia cu un tub de metal, dar această metodă nu ar fi practică pentru liniile de putere, deoarece tensiunile şi curenţii folosiţi ar rere un tub foarte mare, scump şi greu. Astfel, sint folosite simple "linii dcschtse''. Pentru frecvenţe oarecum mai înalte - să spunem pentru cîţiva kilocicli - radiaţia poate fi deja importantă. Insă, ea poate fi diminuată folosind linii de transmisie "pereche răsucită-, aşa cum se procedează la

LINIA DE TRANSMISIE

legăturile

48'

telefonice de

distanţă scurtă.

La

frecvenţe

mai inalte,

însă

radiaţia devine curînd intolerabilă, fie din cauza pierderilor de putere' fie din cauză că energia apare în alte circuite unde nu este dorită. Pen-

tru frecvenţe de la cîţiva kilocicli pînă la cîteva sute de megacicli, semnalele electromagnetice şi puterea sînt transmise de obicei pe calca liniilor coaxiale constînd dintr-un fir în interiorul unui "conductor exterior"

Fig. 24.1. O linie de transmisie

coaxlală.

cilindric, sau "blindaj". Deşi tratarea următoare se va aplica la o linie de transmisie de doi conductori paraleli de orice formă, o vom efectua referindu-ne la o linie coaxtală. Luăm cea mai simplă linie coaxială, care are un conductor central (presupunem că este un cilindru gol subţire) şi un conductor exterior, ce este un alt cilindru subţire pe aceeaşi axă ca şi conductorul interior, ca în figura 24.1. Incepem prin a ne imagina aproximativ cum se comportă linia la frecvenţe relativ joase. Am descris deja o parte din comportarea la frecvenţă joasă cînd am spus anterior că doi astfel de conductor! au o oarecare cantitate de Inductantă pe unitatea de lungime sau o oarecare capacitate pe unitatea de lungime. Putem, de fapt, să descriem comportarea la frecvenţă joasă a oricărei linii de transmisie dîndu-i irrductenta pe unitatea de lungime, Lo şi capacitatea pe unitatea de lungime, Co. Atunci putem analiza linia ca un caz limită al unui filtru L-C, aşa cum e discutat în paragraful 22.6. Putem face un filtru ce imită linia luînd mici elemente în' serie Loâx şi mici capacităţi în paralel, C(}1.x, unde 4x este un element de lungime al liniei. Folosind rezultatele noastre pentru filtrul infinit, vedem că ar exista o propagare a semnalelor clcctrice de-a lungul liniei. Decît să urmăm această metodă de abordare. însă, am prefera să analizăm linia din punctul de vedere al unei ecuaţii diferenţiale.

Să presupunem că privim ce se întîmplă în două puncte vecine de-a lungul liniei de transmisie, să spunem la distanţele. x şi x+ Llx de la capătul liniei. Să notăm diferenţa de potenţial dintre cei doi conductor! V(x), şi curentul de-a lungul conductorulut "fierbinte" I(x) (vezi fig. 24.2). Dacă curentul în linie variază, inductanţa ne va da o cădere de potenţial pe mica secţiune a liniei de la x la x+.1x avind mărimea

.1V = 31 -

fiâca modernii voI.

n.

Vt~+1.x)-V(x)=-Loj,x

dI

dt'"

GHIDURI DE UNDE

482

Sau, luînd limita cînd âx -e- 0, obţinem

cV =-Lo~' d~

Curentul variabil Firol!

f/rul2

I(;zJ

dă

un gradient al

(?4 1)

CIt

potenţialului.

1(.z:-;-Ar)

rk)t

Il

i\ I

\!

:1

V,(r1"M)

Fig. 24.2.

şi tensiunile unei linii de transmisie.

Curenţii

Referindu-ne din nou la figură, dacă potenţialul în x este variabil, trebuie să existe o oarecare sarcină furnizată capacităţii în acea regiune Dacă luăm mica bucată de linie dintre x şi x+ dx, sarcina pc ea este

q=Co&cV. Viteza de

variaţie

dV

în timp a acestei sarcini este Co.1xd't, dar

sarcina variază numai dacă intensitatea curentului l{x) înspre element este diferită de intensitatea curentului I(x+ âx) dinspre element. Notînd diferenţa prin 11, avem

Luînd limita cînd dx -+ 0, obţinem

~ =-Co~·

ax

CIt

(24.2)

Astfel, conservarea sarclntt implică faptul că gradientul curentului este proporţional cu viteza de variaţie în timp a tensiunii. Ecuaţiile (24.1) şi (24.2) sint ecuaţiile' de bază ale unei linii de transmisie. Dacă dorim, am putea să le modificăm pentru a include efectele rezistenţei conductortlor sau ale scurgerii de sarcină prin Izolatia dintre conductort, dar pentru discuţia noastră prezentă vom rămîne la exemplul simplu. Cele două ecuaţii ale liniei de transmisie pot fi combinate, diferentiind-o pe una in raport cu t şi pe cealaltă in raport cu x, şi eliminînd fie V, fie 1. Avem atunci fie 3'V

3~V

--eL 3x'- o °atJ

(24.3)

fie (24.4)

LINIA DE TRANSMISIE

483

încă o dată recunoaştem ecuaţia undelor În x. Pentru o linie de transmisie uniformă, tensiunea (şi curentul) se propagă de-a lungul liniei ca o undă. Tensiunea de-a lungul liniei trebuie să fie de forma V(x, t)=f(x-vt) sau V(x, t)=g(x+vt), sau o sumă a ambelor. Cît este

acum viteza v?

Ştim

că

coeficientul termenului

"

clt 2

este tocmai l/v 2 ;

astfel 1

(24.5)

v~--·

VL"Go Vă vom lăsa dv. să arătaţi că tensiunea pentru fiecare undă Într-o linie este proporţională cu curentul corespunzător acelei unde şi că constanta de proporţionalitate este tocmai lmpedanta caracteristică 20' Notînd V_şi l + tensiunea şi curentul pentru o undă ce se propagă în sensul plus x, ar trebui să obţineţi

V+=-

La fel, pentru unda ce se

(24.6)

2 0l +.

spre minus x,

propagă

relaţia

este

V_=-zoI_. Impedanta caracteristică de filtru -- este dată de

după

cum am

găsit

din

ecuaţiile

noastre (24.7)

şi

este, prin urmare, o rezistenţă pură. Pentru a găsi viteza de propagare v şi Impcdanţa caracteristică Zo a unei linii de transmisie, trebuie să cunoaştem Inductanţa şi capacitatea pe unitatea de lungime. Putem să le calculăm uşor pentru un cablu coaxial; astfel vom vedea cum se procedează. Pentru inductantă noi utilizăm rezultatele paragrafului 17.8 şi punem -..!.. LJ2 egal cu energia magnetică 2

ce o obţinem prin integrarea lui ~oc2B2/2 pe volum. Să presupunem că conductorul central transportă curentul J: atunci ştim că B = l.i2JtSoc2r, unde r este distanţa de la axă. Luînd ca element de volum un strat cilindrîc de grosime dr şi de lungime l, avem pentru energia magnetică

",\b(- -1-)' 1·2lTrdr

U~-"-

2

a

2nE"C'T

';lnrle a şi b sînt razele conductor-ilor intern şi extern, respectiv. Efectuînd

Integrala,

obţinem

31'

1'Z

h

41'1E"C·

a

U=-~-ln-'

(24.8)

GHIDURI DE UNDE

Punînd energia egală cu

..!. LJ2, găsim 2

L ~ _1-In l'..

Aceasta este, aşa cum ar trebui să fie, proporţională cu lungimea niei; astfel inductanţa pe unitatea de lungime, Lo, este L -

(24.9)

a

2":E oO"

In (ble:).

0- 2rE~c'

ra

li-

(24:10)

Am calculat sarcina pe un condensator ciltndrtc (vezi § 12.2). lmpăr­ ţind,

acum, sarcina prin

diferenţa

c=

de

potenţial obţinem

2T1E.l

•

in(?la \

Capacitatea pc unitatea de lungime, Co, este c.: Combinînd acest rezultat cu ecuaţia (24.10), vedem că produsul LoCo este egal cu 1/c2 , deci v= 1/ VLoCo este egal cu c. Undele se propagă pe linie cu viteza luminii. A~entuăm că acest rezultat depinde de presupunerile noastre: (a) că nu există dielectric sau materiale magnetice în spaţiul dintre conductort şi (b) că toţi curenţii sint pe suprafeţele conductorllor (ca şi cum ar fi Conductori perfecţi). Vom vedea mai tirziu că pentru conduetori buni, la frecvenţe mari, toţi curenţii se distribuie de la sine pe suprafeţe, ca şi cum aceştia ar fi conductori perfecţi, astfel această presupunere este valabilă.

Este interesant acum că atîta vreme cît presupunerile (a) şi (b) sint corecte, produsul LoCn este egal cu l/c 2 pentru orice pereche paralelă de conductori - chiar, să spunem, pentru un conductor interior hexagonal aşezat oriunde în interiorul unui conductor exterior eliptic. Atîta vreme cît secţiunea transversală este constantă şi spaţiul dintre ei este vid. undele se propagă cu viteza luminii. Nu poate fi făcută o astfel de afirmaţie generală despre Impedanţa caracteristică. Pentru linia coaxială, ea este in (bla) Zo=--'

(24.11)

2ltEGC

Factorul l/1.oc are dimensiunile unei rezistenţe Şi este egal cu 120rr ohmi. Factorul geometric In (b/a) depinde numai logaritmic de dimensiuni, deci pentru linia coaxială - şi, cele mai multe linii sînt coaxiale - impeclanta caracteristică are valori tipice de la 50 de ohmi, sau cam atît, pînă la cîteva sute de ohmi.

GHIDUL DE UNDE RECTANGULAR

24.2. Ghidul de unde reetangular Lucrul următor despre care dorim să vorbim pare, la prima vedere, a fi un fenomen uimitor: dacă, din linia coaxială este îndepărtat conductorul central, aceasta poate totuşi să transporte putere electromagnetică. Cu alte cuvinte, la frecvenţe destul de ridicate, un tub găurit va funcţiona exact la fel de bine ca unul cu fire. Acesta este legat de modul misterios în care un circuit rezonant compus dintr-un condensator şi o mductanţă este înlocuit, la frecvenţe înalte, printr-o cutie. Deşi acesta poate părea să fie un lucru remarcabil, atîta vreme cît s-a conceput o linie de transmisie ca funcţie de inductanţă şi capacitate distribuită, ştim cu toţii că undele electromagnetice pot să călătorească de-a lungul intericrului unui tub gol de metal. Dacă tubul este drept, putem vedea prin el! Astfel cu certitudine undele electromagnetice trec printr-un tub. Dar noi ştim de asemenea că nu este posibil să transmitem unde de frecvenţă coborîtă (putere sau telefon) prin interiorul unui. singur tub de metal. Deci, trebuie să ajungem la concluzia că undele electromagnetice vor trece prin tub dacă lungimea lor de undă este destul de scurtă. Prin urmare, dorim să discutăm cazul limită al celei mai mari lungimi de undă (sau al celei mai mici frecvenţe) care poate trece

Fig. 24.3. Coordonate alese pentru ghidul de unde rectangujar.

printr-un tub de dimensiune dată. Deoarece tubul este folosit atunci pentru a transporta unde, el este numit ghid de unde. Vom incepe cu un tub rect-angular, deoarece este cel mai simplu caz de rezolvat. Vom da mai întîi o tratare matematică şi vom reveni mai tirziu pentru a analiza problema intr-un mod mult mai elementar. Abordarea mai elementară, însă, 'poate fi aplicată uşor numai la un ghid rec-

486

GInDURI DE UNDE

tangular. Fenomenele de bază sint aceleaşi pentru un ghid general, de formă arbitrară, deci raţionamentul matematic este esenţial mai profund. Problema noastră, este atunci să găsim ce fel de unde pot exista în interiorul unui tub rectangular. Să alegem la inceput unele coordonate convenabile; luăm axa z de-a lungul lungimii tubului, şi axele x şi y paralele cu cele două laturi, aşa cum este arătat in figura 24.3.

o

E

'b

-e,

o

b

o

Fig. 24.4. Cîmpul electric in ghidul de unde pentru o valoare z oare-

care. ştim că atunci cînd undele luminoase Întră in tub, ele au un cîmp electric ~sversal; să presupunem astfel că căutăm mai întîi soluţii pentru carQ)este perpendicular pe axa z; să spunem că are numai o componentă y, Ey " Acest cîmp electric va avea o oarecare variaţie in secţiunea tubului; de fapt, el trebuie să tindă spre zero la laturile paralele cu axa y, deoarece cu:r.enţii şi sarcinile intr-un coIld.uCţQLse ajustează .fntotdeauna de la --Sine§lştfel ca·riir~istă o componentă tang~nMală a.-cinJ.pului electric la suprafaţa unui conductor. Astfel, E'I va depin e de x după o curbă in formă de arc, aşa cum este arătat În figura 24.4. Poate aceasta

'1 I

~-

~ --, O Fig. 24.5.

este

funcţia

Dependenţa

, ve 'p b

de z a cîmpului în ghidul de unde.

lui Bessel pe care am

găsit-o

pentru o cavitate? Nu, deoarece

funcţia Bessel are de-a face cu geometrii cilindrice. Pentru o geometrie

rectangulară, undele sînt de obicei funcţii armonice simple, astfel că ar trebui să încercăm ceva ca sin kxX. Deoarece dorim să obţinem unde ce se propagă în interiorul ghid ului. ~e aşteptăm ca atunci cînd mergem de-a lungul axei z, cîmpul să alterneze Intre valori pozitive şi negative, ca in figura 24.5, şi aceste oscilatii se

GHIDUL DE VNnF. RECTANGVLAR

487

vor propaga de-a lungul ghidului cu o viteză oarecare v. Daca avem eseitaţii la o oarecare frecvenţă definită ro, am intui că unda ar putea varia cu z sub forma cos (wt-kzz) sau, pentru a folosi forma matematică mai convertabilă, ca ei(OII-ki") ~.. __ Această dependenţă de z reprezintă o undă ce se propagă cu vitezaV=AJ/'f4 (vezi capitolul 29, volumul 1). Am putea intui astfel că unda in ghid ar avea următoarea formă matematică

(24.12) Să

vedem dacă această ghiceală satisface ecuaţiile corecte ale cimpului. Mai întîi, cîmpul electric n-ar trebui să aibă componente tangcnţtajc pe conductori. Cîmpul nostru satisface această cerinţă; el este pcrpendicular pe laturile de vîrf şi de la bază şi este zero pe cele două feţe Isterale. Aceasta se întîmplă dacă alegem k x astfel incit un semiciclu al lui sin krr să coincidă cu lărgimea ghtdului ~ adică, dacă (24.13)

kxa= il. Există

alte

posibilităţi:

k x a = 2Jt, 3)(, ... sau, în general, (24.14)

unde n este orice număr intreg. Acestea reprezintă diferite aranjamente complicate ale cîmpului, dar pentru moment să îl luăm pe cel mai simplu, unde kx=Jt/a (a este lărgimea interiorulul ghidului). Apoi, divergenţa lui E trebuie să fie nulă în vidul din ghid, deoarece acolo nu există sarcini. Cimpul nostru E arc numai o componentă y şî ea nu variază cu y, astfel că avem V ·E=O. în sfîrşit, cîmpul nostru trebuie să concorde cu restul ecuatulor lui Maxwell în vidul din interiorul ghidului. Este acelaşi lucru cu a spune că acesta trebuie să satisfacă ecuaţia undelor a'E y + 'a'Ey + 'a'Ey _ ~ 'a'EII = O. iJx'

iJ /

e-

8z;"

(24.15)

at'

Trebuie să vedem dacă este corespunzător cimpul ghicit de noi, (24.12). Cea de-a doua derivată a lui E" În raport cu x este tocmai - k; E". Cea de-a doua denvată în raport cu y este zero, deoarece nimic nu depinde de y. Cea de-a doua derivată in raport cu z este - k~E!I. şi cea de-a doua derivată în raport cu teste -IJ)2E y. Ecuaţia (24.15) spune atunci

m

.

k 2E

~Y

+k2E

zy

-~E =0 c'Y

In afara cazului cînd Eli este zero pretutindeni (ceea ce nu este foarte interesant), această ecuaţie este corectă dacă

k; + k;-~ = O. "

(24.16)

GHlDURl DE UNDE

488

L-am fixat deja pe k", deci această ecuaţie ne spune că pot exista unde de tipul ce l-am presupus dacă k z este legat de frecvenţa w astfel încît ecuaţia (24..16) este satisfăcută cu alte cuvinte, dacă k z=

V(u}l/c~)

(n2ia2).

(24.17)

Undele ce le-am descris se propagă în direcţia z cu această valoare a lui u; Numărul de unde k z ce-l obţinem din ecuaţia (24.17) ne spune, pentru o frecvenţă {J) dată, viteza cu care nodurile undei se propagă în ghid. Viteza de fază este ro k,

v=-·

(24.18)

reaminti că lungimea de undă ).. a unei unde progresive este ).=2:n:v!(i); astfel kz este de asemenea egal cu 21tj'A.r., unde AI? este lungimea de undă a oscilaţiilor de-a lungul axei z - "lungimea de undă dată

Vă veţi

y

Fig. 24.6. Cîmpul magnetic în ghidul de unde.

a ghtdulut«. Lungimea de undă în ghid este diferită, evident, de lungimea de undă in vid a undelor electromagnetice de aceeaşi frecvenţă. Dacă notăm cu Ao lungimea de undă in vid, care este egală cu 2rrc(ro, putem scrie ecuaţia (24.17) ca

'.

(Ă.l2u)'

(24.19)

FRECVENŢA

I

\'

LIMITA

489·

In afară de cîmpurile electrice, există cîmpuri magnetice care se vor propaga cu unda, dar nu ne vom ocupa acum să calculăm o expresie pentru ele. Deoarece c2.1XB=âE/ât, liniile lui B vor circula în jurul regiunilor in care âE/at este maxim, adică la mijlocul distanţei dintre rnaximuj şi. minimullui E. Buclele lui B se vor afla, paralele cu planul Iz, între virfu-rile şi adînciturile lui E, aşa cum e arătat in figura 24.6. 24.3.

Frecvenţa limită

La rezolvarea ecuatiei (24.16) pentru k z , ar trebui să existe de fapt - una plus şi alta minus. Ar trebui să scriem

două rădăcini

(24.20)

Cele două semne înseamnă simplu că pot exista unde ce se propagă cu o viteză de fază negativă (către - z), precum şi unde care se propagă in sensul pozitiv în ghid. Natural, ar trebui să fie posibil ca undele să se propage in ambele sensuri. Deoarece ambele tipuri de unde pot fi prezente in 'acelaşi timp, va exista posibilitatea a;Q2rlli~orstaţiOnare. Ecuaţia pentru kz ne spune, de asemenea, că frecvenţe mai înalte dau valori mai mari ale lui k z şi, prin urmare, lungimi de undă mai mici, pînă ce la limita valorilor mari ale lui ro, k devine egal cu »ţc, care este valoarea ce am aşteptat-o pentru unde în vid. Lumina pe care o "vedem" printr-un tub se propagă totuşi cu viteza c. Dar observaţi acum că dacă mergem spre frecvenţe joase, se întîmplă ceva straniu. La început lungimea de undă devine din ce in ce mai lungă, dar dacă ro devine prea mic, cantitatea de sub radicalul din ecuaţia (24.20) devine brusc negativă. Aceasta se va intimpla de îndată ce ru devine mai mic decît xcţa sau cind 1 0 devine mai mare decît zc. Cu alte cuvinte, atunci cind frec":"; venta devine mai mică decit o oarecare frecvenţă critică wc=1fCla~ numărul de unde tc« (şi de asemenea Ag) devine imaginar şi nu mai avem O soluţie. Sau, bare avem? Cine a spus că k z trebuie să fie real? Ce se întîmplă dacă rezultă imaginar? Ecuaţiile cimpului sint totuşi satisfăcute. Poate, un kz imaginar reprezintă de asemenea o undă. Să presupunem că ru este mai mic decît ro,,; atunci putem scrie k.~+ik'

unde k' este un

număr

k' = V'C(n'"'''ja''')C"_-(C"w-o'I'''c';;-). 'Dacă

avem

(24.21)

pozitiv real (24.22)

ne reintoarcem la expresia noastră, (ecuaţia (24.12», pentru E'J' (24.23) îl putem scrie ca (24.24)

GHIDURI DE UNDE

490

Această expresie dă un cimp E care oscilează in timp ca el"'t, dar oare variază cu z ca e H'z El descreşte sau creşte cu z lin, ca o exponenţială reală. In deductia noastră nu ne-am preocupat de sursele care au generat undele, dar trebuie, evident, să existe o sursă undeva în ghid. Semnul oare se asociază lui k' trebuie să fie cel ce face cîmpul să descrească o dată cu creşterea distanţei de la sursa undelor. Astfel, pentru frecvenţe sub W c = JOC/a, undele nu se propagă in ghid; cimpurile osctlante pătrund în ghid numai pe o distanţă de ordinul u«. Din această cauză, frecvenţa (J)c este numită ,,frecvenţă Iurută'' a ghidului. Privind la ecuaţia (24.22), vedem că pentru frecvenţe puţin sub (Oe' numărul k' este mic şi cîmpurile pat pătrunde pe o fiare distanţă in ghid. Dar dacă lil este mult mai mic decit roe, coeficientul exponenţial k,' este egal cu xţa şi cîmpul descreşte extrem de repede, aşa cum e arătat în figura 24.7. Cîmpul descreşte de l/e ori pe distanţa a/J(, sau in numai aproximativ o treime a lărgimii ghidului. Cîmpurile pătrund pe o distanţă foarte mică de la sursă. Dorim să accentuăm o trăsătură interesantă a analizei făcute de noi pentru undele ghidate - apariţia numărului de unde k z imaginar. Nor-

c,

ol-~-+-=::J-::="---a z

Fig, 24.7.

Variaţia

lui E y cu z pentru

OI distanţa dintre noduri creşte, arătînd că Iungimile de undă ale ghidului cresc aşa cum este prezis de ecuaţia (24.19). Să presupunem acum că generetorul de semnal este pus la o frecvenţă numai puţin mai mică decît WC ' Ceea ce iese în detector va descreşte treptat atunci cind proba de extragere este mişcată de-a lungul ghidului. Dacă frecvenţa este luată nitel mai coborîtă, intensitatea cîmpului va descreşte repede, urmînd curba din figura 24.7 şi arătînd că undele nu se propagă.

24.6. Imbinarea gbidurilor de unde

o utilizare practică importantă a ghidurilor de unde este la transmiterea puterii la înaltă frecvenţă, ca, de exemplu, la cuplarea osctlatorulut de înaltă frecvenţă sau a ampliffcatorului de ieşire al unui sistem de radar la o antenă. De fapt, antena însăşi constă de obicei dintr-un reflector paraboltc alimentat în focarul său de un ghid de unde, lărgit la capăt pentru a face un "hOTI1" care radiază undele ce vin de-a lungul ghidului. Deşi frecventele înalte pot fi transmise de-a lungul unui cablu coaxial, un ghid de unde este mai bun pentru a transmite mari cantităţi de putere. Mai, intii, puterea maximă ce poate fi transmisă de-a lungul unei linii este limitată prin străpungerea izolaţiei (solid sau gaz) dintre conductori. Pentru o cantitate dată de putere, intensităţile cîmpului într-un ghid sint de obicei mai mici decit într-un cablu coaxial, astfel că pot fi transmise puteri mai mari înainte de a apare străpungerea. In al doilea rind, pierderile de putere în cablul coaxial sînt de obicei mai mari decit în ghidul de unde. într-un cablu coaxial trebuie să existe material izolant pentru a suporta conductorul central şi există o pierdere de energic în acest material - în speciz.I la frecvenţe mari. De asemenea, densitătile de curent în conductcrul central sînt foarte inalte şi deoarece pierderile

,,.

GHIDURI DE UNDE

depind de pătratul densităţii de curent, curenţii mai mici ce apar pe ghidului produc pierderi mai mici de energie. Pentru a menţine aceste pierderi la un minimum, suprafeţele interne ale ghidului sint

pereţii

adesea

căptuşite

cu un material de mare conductivitate, cum este argintul.

Problema conectării unui "circuit" cu ghiduri de undă este diferită de problema circuitului corespunzătoare la frecvenţe joase şi este numită de obicei "îmbinarea:' mlcroundclor. Au fost dezvoltate multe dispozl-

Fig. 24.9, dul.ui de

Secţiuni

unde

ale ghtlegat cu

flanşe.

tive speciale pentru acest scop. De exemplu, două secţiuni ale ghidului de unde sint legate de obicei împreună cu ajutorul flanşelor, aşa cum se poate vedea in figura 24.9. AsHel de legături, însă, pot produce pierderi serioase de energie, din cauză că curenţii de suprafaţă trebuie să se scurgă prin legătură, core poate avea o rezistenţă relativ ridicată. Un mod de a evita astfel de pierderi este de a construi flanşelc aşa cum e arătat in secţiunea transvcrsală desenată în figura 24.10. Este lăsat un spaţiu mic intre secţiunile adiacente ale ghidului şi este tăiată o canelură in faţa uneia dintre flanşe, pentru a construi o mică cavitate de tipul arătat În

Fig. 24.10. O intre două

legătură secţiuni

unde.

cu pierdere mică ale ghidului de

!MBINAREA GHillUR.ILOH. DE UNDE

495

figura 23.16, c. Dimensiunile sint alese astfel încît această cavitate este rezonantă la frecvenţa folosită. Această cavitate rezonantă are o mare .Jmpedantă' la curenţi, astfel că prin jonctiunile metalice curge un curent relativ mic (în a, in fig. 24.10). Marii curenţi din ghid încarcă şi descarca "capacitatea" deschizăturii (in b, in figură), unde există o mică dtsipare de energie. Să presupunem că doriţi să inchideti un ghid de unde astfel încît să nu apară unde reflectate. Atunci puteţi pune la capăt ceva ce imită o

Fig. 24.11. Un

ghid

în

.,T".

(Flanşele au capace la capete din plastic pentru a menţine Interiorul curat CÎnd "T" nu e , folosit.)

lungime infinită a ghidului. Vă trebuie o "terminaţie", care acţionează pentru ghid la fel ca Impedanţa caracteristică pentru o linie de transmisie - ceva ce absoarbe undele ce ajung, fără a produce r-cflexii. Atunci ghidul va acţiona ca şi cum s-ar continua la nesfîrşit. Astfel de tenninaţii sint construite punind in interiorul ghidului unele pene de material cu rezistenţă, proiectate cu grijă pentru a absorbi energia undei, fără a genera aproape nici o undă reflectată. Dacă doriţi să legaţi trei lucruri Împreună de exemplu o sursă la două antene diferite atunci puteţi folosi un "T" cum este cel arătat în figura 24.11. Puterea alimentată la secţiunea centrală a lui "T" va fi împărţită şi va ieşi prin cele două braţe laterale, şi din nou pot exista unele unde reflectate. Puteţi vedea calitativ din desenele din figura 24.12 că cimpurile se vor împrăştia cînd vor ajunge la capătul secţiunii de intrare şi vor produce cîmpuri electrice, care vor produce unde ce vor ieşi prin cele două braţe. După cum cimpurile electrice în ghid sînt para1ele sau perpendiculare pe "virful/( lui "T", cîmpurile la joncţiune vor il. in mare aşa cum e arătat în (a) sau (b) din figura 24.12. In sfîrşit, am dori să descriem un dispozitiv numit "cuplaj unldirecţional", care este foarte util pentru a spune ce se petrece după ce aţi legat Un aranjament complicat de- ghiduri de undă. Să presupunem că doriţi

GHIDURI DE UNDE

să cunoaşteţi în ce mod se propagă undele într-o secţiune particulară a v-aţi putea întreba, de exemplu, dacă există sau nu o undă reflectată intensă. Cuplajul unidirecţional extrage o mică fracţiune din

ghidului -

puterea unui ghid, dacă există o undă ce se propagă într-un sens şi nu extrage nimic, dacă unda se propagă in sens opus. Legind ieşirea cuplajului la un detector, puteţi măsura puterea "într-un sens" in ghid. Figura 24.13 este o achitare a unui cuplaj unidirecţional; o bucată de ghid de unde AB are lipită de ca o altă bucată de ghid de unde CD, pe

Fig. 24.12. Cîmpurile electrice intr-un ghid de unde "T", pentru orientări posibile ale cîmpului.

două

Ghidul CD este curbat spre exterior, astfel că există spaţiu pentru de legătură. Inainte ca ghidurile să fie lipite împreună, au fost brăzdate două (sau mai multe) găuri în fiecare ghid (imperecheate una cu alta), astfel încît unele din cîmpurile din ghidul principal AB pot fi cuplate în ghidul secundar CD. Fiecare din orificii acţionează ca o mică antenă care produce o undă în ghidul secundar. Dacă ar exista numai un orificiu, undele ar fi trimise în ambele sensuri şi ar fi aceleaşi, indiferent o

faţă.

flanşele

Fig. 24.13. Un cuplaj

unidirecţional.

cum s-ar propaga undele în ghidul primar. Dar cînd există două orificii cu un spaţiu de separaţie egal cu un sfert din lungimea de undă a ghidului, ele vor genera două surse defezate cu 90°. Vă reamintiţi că în capitolul 29 al volumului 1 am considerat interferenţa undelor de la două antene depărtate cu ),,/4 şi excitate defazat la 90° în timp? Am găsit că undele se scad într-un sens şi se adaugă in sens opus. Acelaşi lucru se va

..,

MODURI ALE GHIDURILOR

întîmpla aici. Unda produsă în ghidul CD se va propaga în acelaşi sens ca unda în AB. Dacă unda în ghidul primar circulă de la A la B, va exista o undă la ieşirea D a ghidului secundar. Dacă unda în ghidul primar merge de la B la A, va exista o undă ce se propagă spre capătul C al ghidului secundar. Acest capăt este echipat cu o terminaţie, astfel că această undă este absorbttă şi nu există undă la ieşirea cuplajului. 24.7. Moduri ale ghidurilor Unda pe care ne-am ales-o să o analizăm este o soluţie specială a ecuatiilor cîmpului. Există mult mai multe soluţii. Fiecare soluţie este numită un "mod" al ghidului de unde. De exemplu, dependenţa de x a cîmpului a fast tocmai o jumătate de ciclu al unet unde sinus. Există o soluţie la fel de bună cu un ciclu complet; atunci variaţia lui Eli cu x este aşa cum e arătat în figura 24.14. Mărimea k", pentru un astfel de mod este de două ori atît de mare, astfel că frecvenţa limită este mult mai mare. La fel, în unda studiată, E are numai o componentă y, dar există alte moduri cu cîmpuri electrice mai complicate. Dacă intensitatea cîmpului eleotric are componente numai în direcţiile x şi y -astfel Încît cîmpul electric total este întotdeauna perpendicular pe direcţia z - modul este numit un mod "transversal electric" (sau TE). Cimpul magnetic al unor

I'-------'l,-----r--;-

o Fig. 24.14. O alta

variaţie

posibila a lui E y în

funcţie

de x.

astfel de moduri va avea întotdeauna o componentă z, Rezultă că dacă E are o componentă iri direcţia z (de-a lungul direcţiei de propagare), atunci cîmpul magnetic va avea numai componente transversale. Astfel de cîmpuri sînt numite moduri transversal magnetice (TM). Pentru un ghid rectangular, toate celelalte moduri au o frecvenţă limită mai înaltă decît modul simplu TE ce l-am descris. Este, prin urmare, posibil - şi obişnuit a folosi un ghid cu o frecvenţă exact deasupra limitei pentru 32 -

Fizlca modernli voI.

II.

...

GHIDURI DE UNDE

acest mod cel mai coborit, dar dedesubtul frecvenţei pentru toate celelalte, astfel încît să se propage tocmai un mod. Astfel, comportarea devine complicată şi dificil de a fi controlată. 24.8. Un alt mod de a privi undele ghldate Dorim să vă arătăm acum un alt mod de a inţelege de ce un ghid de unde atenuează repede cîmpurile pentru frecvenţe sub frecvenţa limită ooc. Atunci veţi avea o idee mai "fizică" de ce comportarea se modifică atit de drastic intre frecvenţele joase şi Înalte. Putem face aceasta pentru ghidul rectangular, analizînd cîmpurile in funcţie de reflexti ~ -sau imagini - pe pereţii ghidului. Abordarea este posibilă numai pentru ghiduri rectangulare, însă din această cauză am inceput cu analiza mai matematică a problemei, care este aplicabilă, in principiu, pentru ghiduri de orice formă. Pentru modul descris, dimensiunile verticale (in y) nu aveau nici un efect, astfel că putem neglija virful şi baza ghidului şi să ne imaginăm că ghidul este extins infinit în direcţia verticală. Ne imaginăm atunci că ghidul constă tocmai din două plăci verticale, la distanţa a. Să spunem că sursa cimpurilor este un fir vertical aşezat în mijlocul ghidului, firul transportând un curent ce oscilează cu frecvente ro. In absenţa pereţilor ghidului un astfel de fir ar radia unde cilindrice. Considerăm acum că pereţii ghidului sînt ccnductori perfecţi. Atunci, exact ca în electrostetică, condiţiile la suprafaţă vor fi corecte dacă adău­ găm la cîmpul firului cîmpul unuia sau mai multor fire imagine corespunzătoare. Ideea de imagine se aplică exact la fel de bine pentru electrodinamică ca şi pentru electrostatîcă, dacă, evident, includem şi întîrzierile. Ştim că este adevărată, deoarece am văzut adesea o oglindă producînd o imagine a unei surse de lumină. Şi, o oglindă este tocmai un conductor "perfect" pentru unde electromagnetice cu frecvenţe optice. Să luăm acum o secţiune transversală orizontală, aşa cum e arătat în figura 24.15, unde W1 şi W t sint cei doi pereţi ai ghidului şi 8.J este firul sursă. Notăm ca pozitiv sensul curentului în fir. Dacă ar exista acum un singur perete, să spunem W1 , am putea să-I îndepărtăm dacă am plasa e sursă imagine (cu polaritate opusă) în poziţia marcată cu SI. Dar cu ambii pereţi la locurile lor va exista de asemenea o imagine a lui S(} pe peretele W2, pe care o luăm ca imaginea S2. Această sursă va avea, de asemenea, o imagine pe w., pe care o notăm S3. Acum, atit SI şi S3 vor avea imagini in W2 în poziţiile marcate S4 şi S6 şi aşa mai departe. Pentru conductorii noştri compuşi din două plane, cu sursa la jumătatea drumului dintre ei, cimpurile sînt aceleaşi ca şi cele produse de o linie infinită de surse separate de distanţa a. (Este de fapt exact ceea ce aţi vedea dacă v-aţi uita la un fir aşezat in mijlocul drumului dintre două oglinzi paralele.) Pentru ca pe pereţi cîmpurile să fie nule, polaritatea curenţilor in imagini trebuie să altemeze de la o imagine la cealaltă. Cu alte cu-

UN ALT MOD DE A PRIVI UNDELE GHIDATE

4"

vinte, ei oscilează defazaţi eu 180°. Cîmpul ghidului de unde este, atunci. exact suprapunerea cîmpurilor unui astfel de şir infinit de surse Inuare. Ştim că dacă sîntem aproape de surse, cîmpul este foarte asemănător cu cimpurile statice. Am considerat, în paragraful 7.5, cimpul static al unei grile de surse liniare şi am găsit că este asemănător cu cîmpul unei plăci încărcate exceptînd termenii ce descresc exponenţial cu distanţa de la grile. Aici intensitatea medie a sursei este zero, deoarece semnul alternează de la o sursă la următoarea. Orice cîmp ce există ar trebui să

Fte.

24.15. Sursa liniară Sa intre pereţii p1ani conductori Wt şi W 2• Pereţii pot li Inloculţl prin şirul infinit de surse imagini. descrească exponenţial

cu

distanţa.

In

vecinătatea sursei, distanţe mari,

vedem cîmpul contribuie mai multe surse şi efectul lor mediu este zero. Astfel, vedem aoum de ce ghidul de unde dă sub frecvenţa limită un cimp ce descreşte exponenţial. La frecvenţe joase, în particular, aproximaţia statică e bună şi prezice o atenuare rapidă a cîmpurilor cu distanţa. Avem acum în faţă intrebarea opusă: de ce se propagă, de fapt, undele? Aceasta este partea misterioasă! Motivul este că la frecvenţe Jrialte retardarea cîmpurilor poate produce variaţii suplimentare de fază, cere-pot face ca intensităţile cîmpurilor surselor defazate să se adune, în ~~ să se anihileze. De fapt, În capitolul 29 aI volumului I am studiat ueja, exact pentru această problemă, cîmpurile generate de un şir de -an,tene sau de o reţea optică. Am găsit acolo că atunci cînd cîteva antene de radio sint aranjate corespunzător, ele pot da. o figură de interferenţă it care are un maximum puternic într-o directie şi minim nul în alta. .) Să presupunem că ne reintoarcem la figura 24.15 şi ne apucăm de "i;-\:' .clmpurile ce ajung la o distanţă mare de şirul de surse-imagini. Cîmpu:ti .rtle VOr fi intense numai în unele direcţii ce depind de frecvenţa -numai în acele directii pentru care cimpur-ile tuturor surselor se adună La mai ales al sursei celei mai apropiate; la

<

,;:' l

'32'

• ' 4'

,

GHIDURI DE UNDE

500

o dtstantă rezonabilă de la surse cîmpurile ce se propagă in aceste direcţii speciale sint unde plane. Am schiţat o astfel de undă în figura 24.16, unde liniile neîntrerupte reprezintă crestele undelor, iar liniile punctate reprezintă văile. Direcţia undei va fi cea pentru care diferenţa de fază in timp pentru două surse vecine cu creasta unei unde, corespunde la o jumătate de perioadă de oscilaţie. Cu alte cuvinte, diferenţa între T2 şi ro in figură este o jumătate din lungimea de undă in vid T2- TO=

Unghiul

e este

'.

2'

dat de stn

a

e-

~.

'"

(24.33)

Există, evident, un alt sistem de unde propagîndu-se in jos, la unghiul simetric faţă de şirul de surse. Cîmpul complet al ghidului de unde (nu prea aproape de sursă) este suprapunerea acestor două sisteme de undă, aşa cum e arătat în figura 24.17. Cîmpurile efective arată de fapt ca acesta, evident, numai intre cei doi pereţi ai ghidului.

v~·+

Fig. 24.16. Un sistem de unde coerente de la un şir de surse liniare.

Fig. 24.17. Cîmpul ghidului de unde poate fi privit ca suprapunerea a două trenuri de unde plane.

UN ALT MOD DE A PRIVI UNDELE GHIDATE

501

In puncte ca A şi C, crestele celor două unde coincid şi cimpul va avea un maximum; în puncte ca B, ambele unde au valoarea lor negativă cea mai pronunţată şi cimpul îşi are valoarea Sa minimă (cea mai mare valoare negativă). Pe măsură ce timpul trece, cimpul în ghid se propagă de-a lungul ghidului cu o lungime de undă ').1(, care este distanţa de la A la C. Acea distanţă este legată de e prin cos e=~·

(24.34)

Âg

Folosind

ecuaţia

a, obţinem

(24.33) pentru 1 ~ g

)"

că

Â.

cos O

VI

(24.35)

(Â. o/2a)'

ceea ce este exact ce-am găsit În ecuaţia (24.19). Vedem acum de ce există propagare de unde numai deasupra frecvenţei limită %' Dacă lungimea de undă În vid este mai mare decît 2a, nu există unghi pentru care undele arătate În figura 24.16 să poată apă­ rea. Interferenţa constructivă necesară apare brusc cînd)"o scade sub 2a, sau CÎnd ro creşte peste 0)0 = '10 ! a

Dacă frecvenţa este destul multe direcţii posibile în care

de Înaltă, pot să existe două sau mai vor apare undele. Pentru cazul nostru, aceasta se va petrece dacă 1..0 < .! a. In general, însă, s-ar putea de ase3

,. ,

menea petrece cînd :)"o schimbă semnul. Acesta este un caz special - el este un tensor antisimetric. Spunem astfel: cîmpurile electrice şi magnetice sînt ambele, părţi ale unui tensor antisimctnc de rangul doi în patru dimensiuni. Am străbătut un drum lung. Vă reamintiţi vremea cînd am definit ce a insemnat viteza? Vorbim acum despre "Un tensor antisimetnc de rangul doi în patru dimensiuni". Trebuie să găsim acum legea de transformare a lui F llv • Nu este dificil deloc să o facem, este doar laborioasă - inteligenţa implicată este nulă, dar nu şi calculele. Ceea ce dorim este transformarea Lorentz a lui v IIAv - V vAII. Deoarece 'VIl este tocmai un caz special al unui vector, vom lucra cu combinarea generală antisimetrtcă a vectorilor pe care o putem numi G IlV (26.20)

(Pentru scopurile noastre, aII va fi înlocuit prin v II şi bll va fi Înlocuit prin potenţialul AII') Componentele lui aII şi bll se transformă prin formulele lui Lorentz, care sînt al-va" a;~.I_' VI-ti'

(26.21)

1/1_1;2

Să transformăm

G;,~

, ~b "

a~=ay

b'

a~=az

b~= bz.

acum componentele lui

0IlV'

Incepem cu

o.,

a;b; _«»; ~ (::- "".)(:; -'b,) _(";-,",) i;::- 'b?) ~ VI-o'

VI-v'

\1-0'

\:Vl-o,

=a,bx-axb!. Dar aceasta este exact G t ,, ; avem astfel rezultatul simplu

G;,,=G/ x'

TRANSFORMAREA RELATIVISTA A C!MPURILOR

Vom calcula

încă

una

al-va.c

bl-vb",

VI-v'

VI-v"

G1U=---by-ay Obţinem

astfel

(Otb/l- G/lbt> -

~f-

ti

(a",b/l- aub",)

VI-1I

2

că

,

Gt/l-vG",y

G,,~ ./

VI-v'

Şi,

evident, in

acelaşi

mod, Glz-vG xz

Yl_1.:

2

Este clar cum se va proceda în continuare. Să facem un tablou cu cei şase termeni, doar că acum ii putem scrie la fel de bine ca F 1m'

(27.18)

Deoarece undele luminoase se propagă cu viteza c, ar trebui să credem că energia care trece printr-un metru pătrat într-o secundă este de c ori cantitatea de energie dintr-un metru cub. Am spune astfel că (5)m ~ 'oc(E'>m, Şi

aceasta e

•

corectă;

este

lJirtefioplTl(JG!i'infun:*'·

aceeaşi

cu

ecuaţia

(27.17).

Fig. 27.2. Vectorii E, B şi S pentru o undă de lumină.

Luăm acum un alt exemplu. Acesta este unul ciudat. Ne uităm la curgerea de energic intr-un condensator pc care îl încărcăm încet. (Nu ne ocupăm de frecvenţe atît de înalte încît condensatorul să înceapă să arate ca o cavitate rczonantă. dar nu dorim nici curent continuu.) Să pre-

EXEMPLE DE CURGF.RE; A- F;;"1ERGrEl

549

supunem că folosim un condensator cu plăci plane circulare, paralele, de tipul nostru obişnuit, aşa cum e arătat în figura 27.3. Există un cimp electric in interior, aproape uniform, care variază in timp. În orice moment energia electromagnetică totală din interior este u ori volumul. Dacă plăcile au o rază a şi o distanţă Între ele h, energia totală dintre plăci este (27.19) Această încărcat,

energie variază atunci cînd variază E. Cind condensatorul este volumul dintre plăci primeşte energia cu viteza dU =toJOO!hEE. d.

(27.20)

Astfel, trebuie să existe o curgere de energie în acel volum de undeva. Evident, dv. ştiţi că ea trebuie să provină prin firele de încărcare. Deloc! Ea nu poate intra în spaţiul dintre plăci din acea direcţie, deoarece E este perpendicular pe plăci; EXB trebuie să fie paralel cu plăcile. Vă reamintiţi, evident, că există~1p cimp magnetic care fuco&oară ~ atunci cînd condematorui se lllearcă. Am discutat aceasta in capitolul 23. Folosind ultima din ecuaţiile lui Maxwell, am găsit că cîmpul magnetic la marginea condensatorului este dat de 2JtQ.c!8=E·JUl!

'au lJ=~-E. 2.'

Fig. 27.3. Lîngă un conaensator ce se încarcă, vectorul lui Povnttng S este indreptat spre interior, spre axă.

. j

Direcţia

sa este arătată în figura 27.3. Există astfel o curgere de energie EXB, care pătrunde pe lîngă margini, aşa cum e arătat in figură. Energia nu coboară, de fapt, prin fire, ci din spaţiul ce înconjoară condensatorul. Proporţională cu

~

\

ENERGIA

550

ŞI

MOMENTUL CîMPULUI

Să verificăm dacă

cantitatea totală de curgere prin întreaga supradintre capetele plăcilor concordă cu viteza de variaţie a energiei din interior. Am urmat întregul drum pentru demonstrarea ecuaţie! (21.15), pentru a fi siguri, dar să vedem! Aria suprafeţei este 2Jrah şi S=~oc2EXB este ca valoare faţă

astfel intregul flux de energie este Jta2h€oEE.

Aceasta concordă cu ecuaţia (27.20). Dar acesta ne spune un lucru special: că atunci cînd încărcăm un condensator, energia nu intră prin fire, ea intră prin marginile spaţiului dintre plăci. Acest lucru îl spune teoria! Cum se poate aceasta? Aceasta nu este o Întrebare uşoară, dar iată un mod de a ne imagina. Să presupunem că am avut oarecare sarcini deasupra şi dedesubtul condensatorului, şi departe. Cînd sarcinile sînt departe, există un cîmp slab, dar foarte extins care înconjoară condensatorul (fig. 27.4). Apoi, pe măsură ce sarcinile se apropie, cîmpul devine mai intens, mai aproape de condensator. Astfel, energia cimpului, care este iniţial departe, se mişcă spre condensator şi, eventual, sfîrşeşte intre plăci.

Fig. 27.4. Cîmpul în exteriorul unui condensator cînd este încăr­ cat prin aducerea a două sarcini, de la o distanţă mare.

Ca un alt exemplu, ne întrebăm ce se întîmplă într-o bucată de conductor cu rezistenţă cînd transportă un curent. Deoarece firul are rezistenţă, există un cîmp electric de-a lungul său, ce împinge curentul. Deoerece există o cădere de tensiune de-a lungul firului, există de asemenea un cîmp electric chiar în exteriorul firului, paralel cu suprafaţa (vezi

EXEMPLE DE CURGERE A ENERGIEI

551

Există, în plus, un cîmp magnetic care merge in jurul firului, curentului. Vectorii E şi B sînt perpendtculart; prin urmare, există un vector Poynting indreptat radial spre interior, aşa cum e arătat in figură. Există o curgere de energie inspre fir de jur împrejur. Ea este, evident, egală cu energia care se pierde in fir sub formă de căldură. Astfel,

fig. 27.5). datorită

'l t E

1\

~

II IIEI ~I

Fig. 27.5. Vectorul lui Poynting S lîngă un fir ce transportă un curent.

o

teoria noastră "şubredă(( spune că electroni! îşi primesc energia pentru a genera căldură de la energia ce curge inspre fir din cîmpul exterior. Intuiţia ar părea să ne spună că electroni; îşi primesc energia lor, datorită faptului că sînt împinşi de-a lungul firului, astfel că energia ar trebui să curgă in sus sau in jos de-a lungul firului. Dar teoria spune că clcctronii sînt de fapt împinşi de un cîmp electric, care a provenit de la unele sarcini foarte îndepărtate şi că electronu îşi obţin energia pentru a genera căldură de la aceste cîmpuri. Energia curge oarecum de la sarcinile îndepărtate într-o mare porţiune a spaţiului şi apoi in interiorul firului.

f

Fig. 27.6. O sarcină şi un magnet produc un vector Poyntâng ce circulă in bucle închise.

În sfîrşit, pentru a vă convinge de fapt că această teorie este evident un exemplu în care o sarcină .electrtcă şi un magnet sînt în repaus în vecinătate, - ambele stînd pe loc. Să presupunem că luăm exemplul unei sarcini punctiformc ce stă lîngă centrul unei baro magnetice, aşa cum c arătat în figura 27.6. Totul este interesantă, vom mai lua un exemplu -

ENERGIA

'"

ŞI

MOMENTUL CIMPULUI

în repaus, astfel că energia nu se modifică cu timpul. De asemenea, Eşi B sînt statiei. Dar vectorul Poynting spune că există o curgere de energie, deoarece există un E X B care nu este zero. Dacă vă uitaţi la curgerea energiei, găsiţi că ea circulă mereu, mereu. Nu există nici o modificare a energiei niciunde -- tot ce curge în interiorul unui volum iese din nou. Este ca şi cum ar curge în jur apă Incompresibilă. Există astfel o circulaţie de energie in această aşa-numită condiţie statică. Ce absurd devine! Poate că nu este atit de teribil de ciudat, totuşi, dacă vă reamintiţi că

ceea ce am numit magnet "static" este, de fapt, un curent ce

circulă

permanent. Intr-un magnet permanent clectronii se învîrt în interior in permanenţă. Astfel, probabil, o circulaţie a energiei în exterior nu este pînă la urmă atît de stranie. Fără îndoială, aţi început să aveţi impresia că teoria lui Poynting, cel puţin parţial, violează intuiţia voastră despre locul unde este dispusă energia într-un cîmp electromagnetic. Aţi putea crede că trebuie să vă revedeti toate Intuitiile şi, prin urmare să aveţi de studiat aici o gră­ madă de lucruri. Dar pare a nu fi necesar de fapt. Nu trebuie să simţiţi că veţi fi Într-o mare încurcătură dacă uitaţi la un moment dat că energia intr-un fir curge în fir din exterior, şi nu de-a lungul firului. Pare a fi numai arareori important, cînd se foloseşte ideea conservărtt de energie, să se observe în detaliu ce drum ia energia. Circulaţia de energie în jurul unui magnet şi a unei sarcini pare a fi, în cele mai multe ocazii, cu totul neesenţială. Acesta nu este un detaliu vital, dar este clar că Intuitiile noastre obişnuite sînt cu totul incorecte. 27.6. Momentul cimpului

Am dori acum să vorbim despre moment în cimpul electromagnetic. Exact la fel cum cimpul arc energie, el va avea un oarecare moment pe unitatea de volum. Să notăm acea densitate de moment prin g. Evident, momentul are diferite direcţii posibile, astfel că g trebuie să fie un vector. Să vorbim deocamdată despre o componentă; Intti, luăm componenta :2-". Deoarece fiecare componentă a momentului se conservă, ar trebui să fim în stare să scriem o lege care arată cam aşa

_1, (mOmen\UI) 3t

materiei;t

=qg! + (curgerea dt

de) .

moment

~

Partea stîngă este simplă. Viteza de variaţie a momentului materiei este tocmai forţa asupra ei. Pentru o particulă, ea este F=q(E+vXB); pentru o distribuţie de sarcini, forţa pe unitatea de volum este (pE+iXB). Termenul de "curgere a momentului", însă, este straniu. El nu poate fi dl-

-

MOMENTL'L CIlIiPVLUI

2~··

unui vector, deoarece nu este scalar; este o componentă x a unui vector. Oricum, ar trebui probabil să arate ca ceva în genul

vergenţa

~+~+~

cot

31/

2:

deoarece momentul x ar putea să curga In oricare din cele trei direcţii. In orice caz, indiferent ce sint a, b şi e, combinaţia se presupune că este egală cu curgerea componentei x a momentului. Frumos ar fi acum să se sene pE+jXB numai în funcţie de Eşi B - eliminînd pe p şi j prin folosirea ecuaţiilor lui Maxwell - şi apoi să jonglăm termenii şi să facem substituţii pentru a o obţine într-o formă care arată astfel âgr+~+ 3b +~.

_t

?%

;Jy

3z

Apoi, identificînd termenii, am avea expresii pentru gx, a, b şi c, Este o grămadă de lucru şi nu-l vom face. în loc, vom găsi doar o expresie pentru g, densitatea de moment - şi pe o cale diferită. Există o teoremă importantă in mecanică, care spune: de cite ori există o curgere de energie în orice condiţii (energie a cimpului sau oricealt tip de energie), energia ce curge prin unitatea de arie în unitatea de timp, înmulţită cu lJc 2 , este egală cu momentul pe unitatea de volum din spaţiu. în cazul special al electrodinamicii, această teoremă dă rezultatul că 9 este 1/c2 ori vectorul lui Poynting

g~ ~S.

(27.21)

t:

Astfel, vectorul lui Poynting ne dă nu numai curgerea de energie, ci, dacă împărţiţi prin e 2 , şi densitatea de moment. Acelaşi rezultat ar fi refeştt din cealaltă analiză ce am sugerat-o, dar este mai interesant de observat acest rezultat mai general. Vom da acum un număr de exemple interesante şi argumente pentru a vă convinge că teorema generală este adevărată. • Primul exemplu: Să presupunem că avem o mulţime de particule mtr-o cutie - să spunem N pe metru cub - şi că ele se mişcă cu o viteză oarecare v. Să considerăm acum o suprafaţă plană imaginară perpendiculară pe v. Curgerea de energie printr-o arie unitate a acestei Suprafeţe pe secundă este egală cu Nv, numărul particulelor ce trec prin SUprafaţă, pe secundă, tnmujţjt cu energia transportată de fiecare. Energia în fiecare particulă este 'fftuc 2 j Y l - v 2/e2 • Astfel, curgerea de energie pe secundă este

ENERGIA

554

ŞI

MOMENTUL CIMPULUI

Dar momentul fiecărei particule este 'fnQvIV1-v2/c2, astfel că densitatea .de moment este N mov Vl-v'/li

care este tocmai de 1/c 2 ori curgerea de energic -- aşa cum spune teorema. Astfel, teorema este adevărată pentru un grup de particule. Ea .este adevărată de asemenea pentru lumină. Cînd am studiat lumina in volumul I, am văzut că atunci cind energia este absorbită dintr-un fascicul de lumină, absorbantului îi este cedată o oarecare cantitate de moment. Am arătat, de fapt, in capitolul 36 al volumului I, că momentul este de vţc ori energia absorbită [ecuaţia (36.24) a volumului Il. Dacă L

v

I I

I

I I I

I I

I

I I I

I

vi I I

~~=::::::::;;~rl ....-=--Fig. 27.7. Energia U in mişcare cu viteza c transportă momentul trtc.

facem ca U o să fie energia ce soseşte pe secundă, pc unitatea de ade', atunci momentul Ce soseşte, pe secundă, pc unitatea de arie este u.i« Dacă momentul este perpendicular pe viteza c, atunci densitatea sa în frontul absorbantului trebuie să fie U o/e2 . Astfel, din nou teorema este

corectă.

In sfîrşit, vom da un raţionament dator-it lui Einstein, care demonlucru încă o dată. Să presupunem că avem un vagon de

strează acelaşi

MOMENTUL CIMPULUI

555

cale ferată pe roţi (presupuse fără frecare), avînd o masă mare M. La un capăt există un dispozitiv care va expulza unele particule de lumină (sau orice altceva, nu are importanţă ce este), care sînt oprite la celălalt capăt al vagonului. A existat o oarecare energie iniţial la un capăt -- să spunem energia U indicată in figura 27.7, a - şi apoi mai tîrziu ea este la capătul opus, aşa cum e arătat în figura 27.7, c, Energia U s-a deplasat cu distanţa L, lungimea vagonului. Dar energia U corespunde masei U/c 2 , astfel că dacă vagonul ar sta fix, centrul de greutate al vagonului s-ar fi mişcat. Lui Einstein nu-i plăcea ideea că centrul de greutate al unui obiect ar putea fi mişcat manipulînd numai in interior, astfel că a presupus că este imposibil a mişca centrul de greutate efectuînd orice în interior. Dar dacă aşa stau lucrurile, cînd am mişcat energia U dintr-un capăt într-altul, întregul vagon trebuie să fi avut un recul pe o distanţă x, aşa cum este arătat in partea (c) a figurii. Puteţi vedea, de fapt, că masa totală a vagonului înmulţită cu x, trebuie să fie egală cu masa energiei mişcate, U/c 2 ori L (presupunînd că U,"c 2 este mult mai mic decît 1\1)

~ L. "

Mx= Să

(27.22)

acum la cazul special cînd energia este transportată de o de lumină. (Raţionamentul va funcţiona la fel de bine pentru particule, dar îl vom urma pe Einstein care a fost interesat de problema Iuminti.) Ce cauzează mişcarea vagonului? Einstein a r-aţionat astfel: cînd lumina este emisă, trebuie să existe un recul, un rerul oarecare necunoscut, cu momentul p. Acest recul determină vagonul să se deplaseze înapoi. Viteza de rccul v a vagonului va fi acest moment împărţit prin masa vagonului ne

uităm

străfulgerare

v=

e.

M

Vagonul se mişcă cu această viteză pînă ce energia U a luminii ajunge la capătul opus. Atunci, cînd ea loveşte, îşi cedează momentul şi opreşte vagonul. Dacă x este mic, atunci timpul cît vagonul se mişcă este aproape egal cu L]c; avem astfel

x=vt=v !:.=L!:... o

M,

Inlocuind acest x în ecuaţia (27.22), obţinem că

n

p~-.

o

Din nou avem relaţia dintre energia şi momentul luminii. împărţind prin o, pentru a obţine densitatea de moment g=p/c, obţinem încă o dată că

u g=-;.'

(27.23)

ENERGIA ŞI MOMENTUL ClMPULUI

Vă puteţi întreba: de ce este atît de importantă teorema centrului de greutate? Poate aceasta este greşită. Poate, dar atunci am pierde ~l conservarea momentului unghiular. Să presupunem că vagonul nostru se mişcă de-a lungul unui drum cu o viteză oarecare v şi că expulzăm o oarecare energie luminoasă din vîrf spre baza vagonului - să spunem,

A

~: B p

---.-

Fig. 27.8. Energia U trebuie să transporte momentul Uţc, dacă momentul unghtular în raport cu P se conservă.

de la A la B în figura 27.8. Urmărim acum momentul unghiular al sistemului în raport cu punctul P. Inainte ca energia V să părăsească A, ea are masa m=Ujc2 şi viteza v, deci are momentul unghiular mvrA· Cînd ajunge în B, ea are aceeaşi masă şi, dacă momentul liniar al întregului vagon nu trebuie să se modifice, ea trebuie să aibă Iarăşi viteza v. Momentul său unghiular 'in raport cu P este atunci more. Momentul unghiular se va modifica în afara cazului că vagonului i-a fost cedat momentul de recul corect atunci cind lumina a fost emisă - adică. in afara cazului că lumina transportă momentul VIe. Rezultă că conservarea momentului unghiular şi teorema centrului de greutate sint strîns legate in teoria relativităţii. Astfel, conservarea momentului unghiular ar fi de asemenea nerespectată dacă teorema noastră nu ar fi adevărată. în orice caz, rezultă că teorema centrului de greutate este o lege general adevărată şi in cazul electrodinamicii o putem folosi pentru a obţine momentul în cîmp. Vom menţiona încă două exemple de moment in cimpul electromagnetic. Am accentuat în paragraful 26.2 faptul că legea acţiunii şi reactiunii nu se verifică atunci cind două particule încărcate se mişcă pe traiectorii ortogonale. Forţele asupra celor două particule nu se echilibrează, astfel că acţiunea şi reactiunea nu sînt egale; prin urmare, momentul net al materiei trebuie să se schimbe. Acesta nu e conservat. Dar şi momentul în cimp se schimbă într-o astfel de situaţie. Dacă calculaţi cantitatea de moment dată de vectorul lui Poynting, ea nu este constantă. Insă, variaţia momentului particulef este exact compensată de momentul cimpului; astfel, momentul total al particulelor plus a cimpului se conservă. In sfîrşit, un alt exemplu este situaţia cu magnetul şi cu sarcina ară­ tată în figura 27.6. Am fost nefer-iciti să găsim că energia curgea in jur

MOMENTUL CIMPULUi

557

pe cercuri, dar acum, deoarece ştim că curgerea de energie şi de moment sînt proporţionale, ştim de asemenea că există circulaţie de moment în spaţiu. Dar un moment ce circulă este echivalent cu un moment unghiuIar, Există, astfel, moment unghiular in cîmp. Vă reamintiţi paradoxul ce l-am descris in paragraful 17.4 in legătură cu un solenoid şi unele sarcini aşezate pe un disc? Se părea că atunci cînd curentul S-a intrerupt, intregul disc ar fi trebuit să înceapă să se rotească. întrebarea era: de unde a provenit momentul unghiular? Răspunsul este că dacă aveţi Un cimp magnetic şi unele sarcini, va exista un oarecare moment unghiuIar in cimp. A trebuit să fie adus acolo cind a fost constituit cimpul. Cînd CÎmpul a fost înlăturat, momentul unghiular este restant. Astfel, discul, În paradox, ar începe să se rotească. Curgerea .amsncă'' de energie, care la început a părut atit de ridicolă, este absolut necesară. Există in realitate lU1 flux de moment. Aceasta este necesară pentru a menţine conservarea momentului unghiular în intreaga lume.

28.

Masa electrodinamică

28.1. Energia cimpului unei sarcini punctiforme Combinînd relativitatea şi ecuaţiile lui Maxwell, ne-am Încheiat activitatea esenţială asupra teoriei electromagnettsmului. Există, evident, unele detalii peste care am trecut şi o mare arie la care ne vom referi în viitor - interacţiunea cîmpurilor electromagnetice cu materia. Dar dorim să ne oprim pentru moment, pentru a vă arăta că acest edificiu imens, care este un succes atit de frumos in explicarea atit de multor fenomene, pînă la urmă se răstoarnă. Cind urmaţi oricare din capitolele noastre de fizică prea departe, găsiţi că întotdeauna se ajunge Într-un fel de încurcătură. Dorim acum să discutăm o încurcătură serioasă - eşecul teoriei electromagnetice clasice. Puteţi aprecia că există un eşec al fizicii clasice din cauza efectelor cuantice. Mecanica clasică este o teorie matematic consistentă; ea, însă, nu concordă cu experienţa Este interesant, totuşi, că teoria clasică a elcctromagncttsmulul este o teorie nesatisfăcă­ toare in mod intrinsec. Există dificultăţi asociate cu ideile teoriei lui Maxwell, care nu sint rezolvate şi nu sînt asociate direct cu mecanica cuantică. Puteţi spune: "Poate nu este cazul să ne îngrijorăm in legă~ tură cu aceste dificultăţi. Deoarece mecanica cuantică oricum urmează să modifice legile clectrodtnarmctt, ar trebui să aşteptăm să vedem ce dificultăţi există după modificare". Insă, atunci cînd electromagnetismul este unit cu mecanica cuantică, dificultăţile rămîn. Astfel că nu va fi o pierdere de timp să analizăm acum aceste dificultăţi. De asemenea, ele sint de o mare importanţă istorică. Mai mult, puteţi dobindi o oarecare scnzaţie de implinire fiind in stare să mergeţi destul de departe cu teoria. pentru a vedea totul - incluzînd toate dificultăţile ei. Dificultatea despre care vorbim este asociată cu conceptele de moment electromagnetic şi de energie, cînd sint aplicate la electron sau la orice particulă încărcată. Conceptele de particule simple încărcate şi de cîmp electromagnetic sint intr-un anumit sens inconslstcnte. Pentru a descrie dificultatea incepem cu efectuarea unor exerciţii cu conceptele noastre de energic şi moment. Mai întîi, calculăm energia unei particule încărcate. Să presupunem că luăm modelul simplu al unui elcctron, in care intreaga sarcină q este

MOMENTUL CtMPULU( UN),';I SARCINI 1N

MIŞCARE

uniform distribuită pe suprafaţa unei sfere de raza a, pe care o putem lua egală cu zero pentru cazul special al unei sarcini punctiforme. Să calculăm acum energia în cîmpul electromagnetic. Dacă sarcina stă în repaus, nu există cimp magnetic şi energia pe unitatea de volum este' proporţională cu pătratul cîmpului electric. Mărimea cimpului electric este qj41t'lOT2, şl densitatea de energie este

u=~ E,-=--q-'--3Z1I cor'

2

Pentru a obţine energia totală, trebuie să integrăm această densitate pe' întregul spaţiu. Folosind elementul de volum 4Jtr2dr, energia totală, P:" care o vom nota Ue!e{;, este U d ec' =

Aceasta se integrează este co, deci

uşor.

q'

\

---.-dl'. 8nE~"

Limita

inferioară

este a

şi

cea

superioară

(28.1) Dacă

folosim sarcina qe2j4JlEo, atunci

electronică

tl» pentru q

Uelec~ ~ 2

şi

simbolul e 2

pentru (28.2)

e q

Totul e minunat pînă il punem pe a egal cu zero, pentru o sarcină punetiAici este marea dificultate. Deoarece energia cimpului variază cu inversul puterii a patra a distanţei de la centru, integrala sa de volum este infinită. Există. o cantitate infinită de energie în cimpul ce Înconjoară o sarcină punctiformă. Ce este greşit cu o energie infinită? Dacă energia nu poate pleca, ci trebuie să stea acolo la nesfîrşit, există vreo dificultate reală cu O' energie infinită? Evident, o cantitate ce rezultă infinită poate fi supă­ rătoare, dar ceea ce contează în realitate este numai dacă există vreun :fect observabil fizic. Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să ne rntoarcem la altceva, diferit de energie. Să presupunem că ne întrebăm cum variază energia atunci cînd mişcăm sarcina Atunci, dacă variaţiile sînt infinite, vom avea dificultăţi. formă.

28.2. Momentul cîmpului unei sarcini in Să

mişcare

presupunem că un clectron se mişcă cu o viteză uniformă prin pentru moment că viteza este mică În comparaţie cu viteza luminii. Există un moment asociat cu acest electron in mişcare

spaţiu, admiţînd

MASA ELECTJ-tOMAGNETICA

~ chiar dacă electronul nu a avut masă înainte de a fi fost încărcat din cauza momentului in cîmpul electromagnetic. Putem arăta că momentul cimpului este in direcţia vkezei va. sarcinti şi e, pentru viteze mici, proporţional cu e. Pentru un punct P la distanţa r de centrul sarcinii şi la unghiul e în raport cu linia de mişcare (vezi fig. 28.1), cimpul electric este radial şi, aşa cum am văzut, cimpul magnetic este vXElc 2 • Densitatea de moment (ecuaţia (27.21)) este g~.,EXB.

Ea este figură şi

îndreptată

are

oblic

către

linia de

mişcare, aşa

cum este

arătat

în

mărimea

g=~Etsine. c

Cîmpurile sînt simetrice în jurul liniei de mişcare, astfel atunci cînd integrăm pentru întregul spaţiu componentele transversale se vor anihila reciproc, dind un moment rezultant paralel cu v. Componenta lui g în această direcţie este 9 sin e şi trebuie să integrăm pc întregul spaţiu. Luăm ca element de volum un inel perpendicular pe v, aşa cum c arătat in figura 28.2. Volumul său este 2nr 2 sin adadr. Momentul total este atunci p=

r c'

J

toV E2

sin2 e2Jrr2 sin ededT.

,

fledrut"'enc

(+)

Fig. 28.1. Cimpurile E şi B şi densitatea de moment g pentru un erectron pozitiv. Pentru un electron negativ, Eşi B sint jnversatt. dar g nu.

Fig.

28.2. Elementul de volum ede dr folosit pentru calcularea momentului cîmpului.

21tr 2 sin

Deoarece E este independent de 8 (pentru v -acc), putem integra imediat în raport cu e; integrala este

~ sin" ede=- ~ (t-e-cos" 8)d(cos e) =-cos 8 + cos: fi

•

Limitele lui 8 sînt O şi Jt; astfel, integrala in {) dă numai un factor 4/3, şi p

8lt e V r 9 = 3~;J E2r-dr.

MASA ELECTROMAGNETICA

56'

Integrala (pentru v«c) este cea pe care am evaluat-o pentru a gia Ea este q2/16Jt2co2a şi

găsi

ener-

sau 2 e SacI

p=--v.

(28.3)

Momentul în cîmp - momentul electromagnetic - este proporţional cu v. Este exact ceea ce ar trebui să avem pentru o particulă cu masa egală cu coeficientul lui v. Putem, prin urmare, să numim acest coeficient masă electromagnetică, melec şi să-I scriem ca

tnelec= 28.3. Masa

2 e

"3 acI'

(28.4)

electromagnetică

De unde provine masa? în legile mecanicii am presupus că fiecare obiect "transportă" un lucru pe care fi numim masă - ceea ce înseamnă de asemenea că el "transportă" un moment proporţional cu viteza sa. Descoperim acum că este de înţeles că o particulă încărcată transportă un moment proporţional cu viteza sa. S-ar putea, de fapt, ca masa să fie tocmai efectul electrodinamlctl. Originea masei nu a fost explicată pînă acum. Avem, cel puţin, în teoria electrodinamtcii o mare şansă de a inţelege ceva ce nu am înţeles niciodată inainte. Ne vine din cer - sau mai precis, de la Maxwell şi Poynting - şansa că orice particulă Încăr­ cată arc un moment proporţional cu viteza sa, chiar din proprietăţi electromagnetice. Să fim conservatori şi să spunem, pentru moment, că există două tipuri de masă - că momentul total al unui obiect ar putea fi suma unui moment mecanic şi a momentului electromagnetic. Momentul mecanic este masa "mecanică" mmec, înmulţită cu v. în experimente în care măsurăm masa unei particule, prin observarea cantităţii de moment ce o posedă, sau a modului în care se mişcă pe o orbită, măsurăm masa totală. Spunem În general că momentul este masa. totală (mmec +melec), tnrnultttă cu viteza. Astfel, masa observată poate consta din două părţi (sau, probabil, mai multe, dacă includem alte cîmpuri): o parte mecanică plus o parte electromagnetică. Ştim că există' cu certitudine o parte electromagnetică şi avem o formulă pentru ea. Şi, există posibilitatea palpitantă ca partea mecanică să nu existe deloc, ca masa să fie complet electromagnetică. Să vedem ce dimensiuni trebuie să aibă clectronul dacă ar trebui să nu existe masă mecanică. Putem să le aflăm egalînd masa elcctro36 -

FizIc;;. modern! voI.

II.

MASA ELECTROMAGNETICA

SIl2 magnetică

din

ecuaţia

(28.4)

cu masa

observată ffl 8

a unui electron.

Găsim

2

e

a=---' 3 meo'

(28.5)

Mărimea

(28.0)

este numită "rază clasică a electronulu!'': ea are valoarea numerică 2,82 .10-13 cm, aproximativa suta-mia-parte a diametrului unui atom. De ce este numit ro raza electronulul şi nu a? Din cauză că am putea la fel de bine să facem aceleaşi calcule presupunînd o altă distribuţie de sarcini sarcina ar putea fi tmprăştiată uniform în volumul unei sfere, sau ar putea fi tmprăşttată ca o minge scămoasă. Pentru orice presupunere particulară, factorul 2/3 s-ar modifica într-o altă fracţie. De exemplu, pentru o sarcină distribuită uniform în interiorul volumului unei sfere, 2/3 este inlocuit prin 4/5. In loc de a discuta care distribuţie este corectă, s-a decis să se definească ro ca rază "nominală". Atunci diferitele teorii îşi pot furniza cocflcienţii lor favoriţi. Să continuăm teoria noastră electromagnetică a masei. Calculul nostru era efectuat pentru v "> a. Atunci ecuaţia (28.16) spune că sarcinile contribuie la integrala ecuatlet (28.15) numai cind t1"..~t2 este în domeniul mic C(t l -

t2)=

Yr12 ± a 2 ~ "ra'\ / 1± a: .

V

Ti.

Deoarece aZ/rf. «1, rădăcina pătrată poate fi aproximată prin 1 ±az/2rî2, astfel că

Care este semnificaţia? Acest rezultat spune că singurele timpuri t o care sînt importante în integrala lui AII sînt acelea ce diferă de timpul la care dorim potenţialul, prin întîrzierea Tizlc - cu o corecţie neglijabilă atîta vreme cît T12» a. Cu alte cuvinte, această teorie a lui Bopp tinde spre teoria lui Maxwell - atîta vreme cît sintem departe de orice sarcină în sensul că ea dă efectele de undă retardată. Putem, de fapt, să vedem aproximativ cît urmează să dea integrala ecuaţiei (28.15). Dacă integrăm întîi În raport cu t z de la -co la + OJ, mentinîndu-l pe rre fixat - atunci S~2 variază de asemenea de la -ce la +co. Intreaga contributie a integralei provine din t 2 într-un interval mic de lărgime dt z= 2 X a.2f2r 1tc, centrat în tt-TJt/C. Să Spunem că funcţia F(S2) are valoarea K in S2=0; atunci integrala asupra lui t 2 dă aproximativ Kj dt2 , sau

t;,

Ar trebui, evident, să luăm valoarea lui j (28.15) devine

la t2=tt-Tt'l/c, astfel că ecua-

ţia

r

Ka" i ll (2,f, - T,. /C} A Il (I,t 1 ) = D J ',2 "dV2 • Dacă alegem K=q2c/41tioa2, ne-am reintors inapoi la solutia potenţialului retardat a ecuaţiilor lui Maxwell - incluzind automat dependenţa de l/r! Şi totul a rezultat din afirmaţia simplă că potenţialul într-un pune; in spaţiu-timp depinde de densitatea de curent in toate celelalte puncte din spaţiu-timp, dar cu un factor de pondere care este o oarecare funcţie îngustă de cuadridistanţa dintre cele două puncte. Această teorie prezi~ de asemenea o masă electromagnetică finită pentru electron, iar energia şi masa au relaţia corectă pentru teoria relativităţii. Ele trebuie să aibă relaţia corectă, deoarece teoria este relativlst invariantă de la început şi totul pare să fie corect. Există, însă, o obiecţie fundamentală la această teorie şi la toate celelalte teorii pe care le-am descris. Toate particulele ce le cunoaştem ascultă de legile mecanicii cuantice, deci trebuie făcută o modificare a

'12

MASA ELECTROMAGNETICA

electrodinamicii. Lumina se comportă ca fotonii. Ea nu ascultă 100% de teoria lui Maxwell. Astfel teoria electrodinamică trebuie să fie modificată. Am menţionat deja că ar putea fi o pierdere de timp să lucrăm atit de greu pentru a îndrepta teoria clasică, deoarece s-ar putea întîmpla ca în electrodinamica cuantică dificultăţile să dispară sau să poată fi rezolvate in vreun alt mod. Dar dificultăţile nu dispar in electrodfnamtca cuantică. Acesta este unul dintre motivele pentru care oamenii au cheltuit atit de mult efort incercind să îndrepte dificultăţile clasice, sperind că dacă ar putea să indrepte dificultatea clasică şi apoi să facă modifică­ rile cuantice totul ar fi indreptat. Teoria lui Maxwell îşi menţine dificultăţile sale şi după ce sînt efectuate modificările cuantice. Efectele cuantice produc unele modificări - formula pentru masă este modificată şi apare constanta lui Planck fi - dar răspunsul rezultă totuşi infinit, dacă nu tăiaţi integrarea de la o anumită valoare în sus exact cum trebuie să oprim integralele clasice la r=a. Iar răspunsul depinde de cum opriţi Integralele. Nu putem, din păcate, să vă demonstrăm Bici că dificultăţile sint de fapt aceleaşi, in esenţă, deoarece am dezvoltat atît de puţin mecanica cuantică şi chiar mai puţin clcctrodinamlca cuantică. Trebuie să ne credeţi pe cuvint că teoria cuantică a electrodinamtcil lui Maxwell dă o masă infinită pentru un clectron punctiform. Se constată, însă, că nimeni nu a reuşit vreodată să elaboreze o teorie cuantică consistentă pornind de la oricare din teoriile modificate. Ideile lui Born şi Infeld nu au fost elaborate niciodată satisfăcător într-o teorie cuantică. Nici teoriile cu undele retardate şi în avans ale lui Dtrac, sau Wheeler şi Feynman, nu au fost niciodată elaborate satisfăcător într-o teorie cuantică. Teoria lui Bopp nu a fost nici ea elaborată într-o teorie cuantică satisfăcătoare. Astfel, azi nu există soluţia cunoscută a acestei probleme. Nu ştim cum să elaborăm o teorie consistentă - incluzînd mecanica cuantică - care să nu producă o valoare infinită pentru energia proprie a unui clectron sau a oricărei sarcini punctiforme. Şi, în acelaşi timp, nu există o teorie satisfăcătoare care să descrie o sarcină nepunctiformă. Aceasta este o problemă nerezolvată. Dacă vă decideţi să vă grăbiţi să elaboraţi o teorie în care acţiunea unui eleetron asupra sa însuşi este complet eliminată, astfel încît masa electromagnetică nu mai are sens, şi apoi să elaboraţi din ea o teorie cuantică, ar trebui să fiţi preveniţi că este sigur că sînteţi în încurcătură. Există dovadă experimentală clară a existenţei Inerţiei electromagnetice - există dovadă că o parte a masei particulelor încărcate este de origine electromagnetică.

Se Spune de obicei, în cărţile mai vechi, că deoarece Natura nu ne va da cadou două particule - una neutră şi una încărcată, dar în rest identice - nu vom fi niciodată în stare să spunem cît din masă este electromagnetică şi cît este mecanică. Dar se constată că Natura a fost destul de generoasă să ne dea cadou exact astfel de obiecte, astfel că comparind masa observată a celei încărcate cu masa observată a celei neutre, putem spune dacă există vreo masă electromagnetică. De excm-

INCERCARI DE A MODIFICA TEORIA LUI MAXWELL

573

plu, există neutroni şi protoni. Aceştia interacţionează cu forţe imense - forţele nucleare - a căror origine este necunoscută. Insă, după cum am descris deja, forţele nucleare au o proprietate remarcabilă. Atîta vreme cît ne referim la ele, neutronul şi protonul sint exact identici. Forţele nucleare intre neutron şi neutron, neutron şi proton şi proton şi proton sint toate identice atît cît putem spune. Numai micile forţe electromagnetice sint diferite; electric, protonul şi neutronul sînt tot atit de diferite ca noaptea şi ziua. Aceasta este exact ce am dorit. Există două particule, identice din punctul de vedere al interacţiilor tari, dar diferite electric. Iar ele au o diferenţă mică a maselor. Diferenţa de masă dintre proton şi neutron exprimată ca diferenţă intre energii de repaus mc 2, in unităţi de MeV, este aproximativ 1,3 Mev, care este aproximativ de 2,6 ori masa electronului. Teoria clasică ar prezice atunci o rază de aproximativ intre şi din raza clasică a electronului, deci

i- i

aproximativ 10-13 cm. Evident, ar trebui să se folosească de fapt teoria cuantică, dar printr-un accident straniu, toate constantele 2 :n: şi Îi etc., se combină astfel că teoria cuantică dă aproximativ aceeaşi rază ca teoria clasică. Singura dificultate este că semnul e greşit! Neutronul este mai greu decît protonul. Natura ne-a dat de asemenea cîteva alte perechi - sau triplet! de particule ce apar a fi exact aceleaşi, exceptînd sarcina lor electrică. Ele interacţionează cu protoni şi neutroni, prin aşa-numitele interactu "tari" ale forţelor nucleare. In astfel de Interactu. particulele de un tip dat - să spunem mezonti n; - se comportă in toate privinţele ca un singur obiect, exceptind. influenţa sarcinii lor electrice. în tabela 28.1

Tabela 28.1 Masele particulelor Particula

1) (!>leVi

939,5 938.2-

-1,3

(n-mezon]

O ±1

15'>,0 W9,6

+01,6

K (Kcrnezon]

O

±I

497,8 493,9

-3,9

O +1 - 1

1191,5 1189,4 1196,0

-2,1 +4,5

"

~ (sigma)

1) Am _

ii

Masa (MeV)

O +1

n (neutron) p (prcton)

I~

Sarcina (Qe)

(masa particulci

încărcatej-c-Irnasa

celei neutre).

57'

MASA

ELECTROMAGNETICĂ

dăm o listă de astfel de particule, împreună cu masele lor măsurate. Mezonii :It încărcaţi - pozitiv sau negativ - au o masă de 139,6 MeV, dar mezonul :1t neutru este cu 4,6 MeV mai uşor. Credem că această diferenţă de masă este electromagnetică; ea ar corespunde la o rază a particulei de 3 la 4.10-14 efi, Veţi vedea din tabelă că diferenţele de masă ale celorlalte particule sint de obicei de acelaşi ordin de mărime. Dar dimensiunile acestor particule pot fi determinate prin alte metode, de exemplu prin diametrele ce par să le aibă in ciocniri la energie înaltă. Astfel, masa electromagnetică pare să fie, în general, in concordanţă cu teoria electromagnetică, dacă oprim integrarea energiei cîmpului la aceeaşi rază, obţinută prin aceste metode diferite. Din această cauză credem că diferenţele reprezintă masa electromagnetică. Vă îngrijorează neîndoielnic semnele diferite ale diferenţelor de masă în tabelă. Este uşor de văzut de ce particulele încărcate ar trebui să fie mai grele decît cele neutre. Dar cum stăm cu acele perechi ca protonul şi neutronul, unde masele măsurate rezultă în sens opus? Ei bine, se constată că aceste particule sint complicate şi calcularea masei electromagnetice pentru ele trebuie să fie mai îngrijită. De exemplu, deşi neutronul nu are sarcină netă, el are În interior o distribuţie de sarcină numai sarcina netă este zero, De fapt noi credem că neutronul arată cel puţin uneori - ca un proton avind un mezon 1t negativ intr-un "nor'l în jurul său, aşa cum e arătat În figura 28.5. Deşi neutrenul este "neutru", din cauză că sarcina sa totală este zero, există totuşi energii electromagnetice (de exemplu, el are un moment magnetic), astfel

1'.:

Fig. 28.5. Un neutron poate exista, din cind in cind, ca un proton înconjurat de un mezon ';Jr negativ. că nu este uşor de spus care-i semnul diferenţei de masă tică, fără o teorie detaliată a structurii interne. Dorim doar să accentuăm aici următoarele aspecte: (1)

electromagne-

teoria electroprezice existenţa unei mase electromagnetice, dar făcînd astfel ea se autodistruge, deoarece nu este consistentă - şi acelaşi lucru est~ valabil şi în modificările cuantice; (2) există o evidenţă experimentală pentru existenţa masei electromagnetice; (3) toate aceste mase sînt aproximativ aceleaşi ca masa unui electron. Ne reintoarcem astfel din nou la ideea originală a lui Lorentz - poate intreaga masă a electronului este pur electromagnetică, poate întreaga valoare de 0,511 MeV magnetică

C1MPUL

FORŢELOR

NUCLEARE

575

se datoreşte electromagnetismului. Este sau nu este? Nu am obţinut pînă acum o teorie, astfel că nu putem spune nimic cu certitudine. Trebuie să menţionăm încă o informaţie, care este foarte supără­ toare. Există o altă particulă în lume numită un miuon - sau mezon ţl - care, atit cît putem spune, nu diferă prin nimic altceva de un electron decît prin masa sa. El se comportă in toate privinţele ca un electron: interacţionează cu neutrinii şi cu cîmpul electromagnetic şi nu are forţe nucleare. El nu face nimic diferit de ceea ce face electronul _ cel puţin nimic Ce nu poate fi înţeles ca o consecinţă a masei sale mai mari (de 206,77 ori masa electronului). Prin urmare, de fiecare dată cind cineva obţine pînă la urmă explicaţia masei unui electron, el va trebui să-şi bată capul de unde-şi primeşte miuonul masa sa. De ce? Deoarece, indiferent ce face electronul, rruuonul face acelaşi lucru _ astfel că masa ar trebui să rezulte aceeaşi. Există dintre aceia care cred cu fidelitate in ideea că miuonul şi electronul sint aceeaşi particulă şi că, în teoria finală a masei, formula pentru masă va fi o ecuaţie pătra­ tică cu două rădăcini una pentru fiecare particulă. Există de asemenea unii care propun că formula va fi o ecuaţie transcedentală, cu un număr infinit de rădăcini, şi caută care trebuie să fie masele celorlalteparticule din serie şi de ce nu au fost descoperite aceste particule Încă. 28.6. Cimpul

:r,\ i:': .,", l'

1,\,/,: 1.1';,4.. ,

, ,):;, ; i1':

;: ~ :- .

I

'!ii

':,1::' ~.i :., .

'\.';" .;: ' lI, '.'....

~r.

:~W:~'

nucleare

Am dori să facem încă unele remarci despre partea de masă a particulelor nucleare care nu este electromagnetică. De unde provine această fracţiune mare? Există alte forţe in afara electrodinamicii ca forţelenucleare - care-şi au propriile lor teorii de cîmp, deşi nimeni nu ştie dacă teoriile obişnuite sînt Corecte. Aceste teorii prezic, de asemenea, o energie a cîmpului care dă particulelor nucleare un termen de masă analog cu masa electromagnetică; putem să o numim "masa cîmpului x-mezonic''. Este probabil foarte mare, din cauză că forţele sint mari şi este originea posibilă a masei particulelor grele. Dar teoriile de cîmp mezonic sînt într-un stadiu şi mai rudimentar. Chiar şi cu teoria dezvoltată a electromagnetlsmului, am găsit că e imposibil să mergem dincolo de primul început, pentru a explica masa electronulut Cu teoria mezorulor, avem un eşec. Putem folosi un moment pentru a schiţa teoria mezonilor, din cauza legăturii sale interesante cu electrodlnanuca. In electrodinamtcă, cîmpul poate fi descris în funcţie ~2~~ ~~:~~:tenţÎal care satisface ecuaţia

1-"' ,~i+_,

forţelor

Am văzut acum că pot fi radiate părţi de cîmp la distanţă, astfel încît ele există separate de surse. Acestea sînt fotonii de lumină şi ei sînt de o ecuatie " " - " " ' ; ; , :".'"

...

MASA ELECTROMAGNETICA

S-a tras concluzia că cimpul forţelor nucleare ar trebui să aibă "fotanii" săi proprii - ei vor fi probabil mezenii J( şi că aceştia ar trebui să fie descrişi printr-o ecuaţie diferenţială analogă. (Din cauza slăbiciunii mintit omeneşti, nu ne putem gîndi la ceva într-adevăr nou; rationăm prin analogie cu ceea ce ştim.) Astfel, ecuaţia mezonilor ar putea fi D2C1l=O unde 4> ar putea fi un cuadrivector diferit sau, poate, un scalar. Se constată că pianul nu are polanzare, deci ar trebui să fie un scalar. Cu ecuaţia simplă D~=O, cîmpul mezonic ar varia cu distanţa de la -sursă ca l/r t , exact cum face cîmpul electric. Dar noi ştim că forţele nucleare au raze de acţiune mult mai mici, astfel incit ecuaţia simplă nu va fi aplicabilă. Există un mod in care putem schimba lucrurile fără a distruge Invarianta relatlvistă; putem adăuga sau scădea din d'alembertian o constantă înmulţită cu

9"

""

o"

...,

'" ~

~I

înaltă.

reţelei la cele două puncte echivalente cele mai apropiate. Cei doi vectori 1 şi 2 sînt vectorii primitivi ai reţelei din figura 30.1. Cei doi vectori a şi b din figura 30.7, a sint vectorii primitivi ai reţelei de acolo. Am putea, evident, să înlocuim la fel de bine a prin -a, sau b prin -b. Deoarece a şi

b sînt egali în mărime şi perpendiculari, o rotaţie de 90° roteşte pe a în b, şi pe b in -a, dînd din nou aceeaşi reţea. Vedem că există reţele care au o simetric "cuadrilaterală::. Si am descris mai inainte o ordonare de împachetare strînsă bazată pe un hexagon care ar putea avea o simetrie hcxalaterală. O rotaţie a ordonării de cercuri în figura 30.5, a printr-un unghi de GO" în jurul centrului oricărui cerc, readuce tiparul inapoi la el însuşi. Ce alte tipuri de simetric de rotaţie există? Putem avea, de exemplu, o simetric de rotaţie cvintuplă sau octuplă? Este uşor de văzut că ele sînt imposibile. Singura simetrie cu mai multe faturi decit patru este o simetrie hexalaterală. Mal intii, să arătăm că este imposibilă o simetric mai mare decit sextuplă. Să presupunem că încercăm să ne imaginăm o reţea cu doi vectori primitivi egali, care închid Un unghi mai mic de 60°, ca în figura 30.8, a. Trebuie să presupunem că punctele B şi C sînt echivalente lui A şi că a şi b sînt cei mai scurţi doi vectori din A la vecinii săi echtvalenti. Dar este evident greşit, deoarece distanţa dintre B şi C este mai mică decit cea pînă la A, din oricare din cele două puncte. Trebuie să existe un vecin al lui D echivalent cu A, care este mai apropiat decît B sau C. Ar fi trebuit să fi ales b" ca unul din vectorii noştri primitivi. Astfel unghiul dintre cei doi vectori primitivi trebuie să fie de 60° sau mai mare. Simetrie octagonală nu este posibilii.

,sIMETRII

rrs DOUA DlMENSIVNI

603

Cum stăm CU simetria cvintuplă? Dacă presupunem că vectorii primitivi a şi b au lungimi egale şi fac un unghi de 2 Jd5=72°, ca în figura 30.8, b, atunci ar trebui să existe un punct de reţea echivalent în D, la 72° faţă de C. Dar vectorul b' de la E la D este atunci mai mic decît b, astfel că b nu este un vector primitiv. Nu poate exista simetric evi»tuplă. Singurele posibilităţi care nu ne conduc la acest tip de dificultate sint El = 60°, 90°, sau 120°. Zero sau 180° sint de asemenea clar posibile. (

I

l

------fK-fc _\

T:-

b\ I

60'

--------

A

-

_

B- - -

a c

o &'/ Fig. 30.8. (a) Simetrii de rotaţie mai mari decit sextuple nu sint posibile; (b) simetrie de rotaţie cvtntuplă nu e postbtlă.

/

--J- E

J5'

-L -'i--'--.~--, A ii B

b

Un mod de a enunţa rezultatul nostru este că tiparul poate fi lăsat nemodificat printr-o rotaţie completă (nici o modificare), o jumătate de rotaţie, o treime, un sfert, sau o şesime de rotaţie. Şi acestea sînt toate simctrulc de rotatie posibile într-un plan - în total de cinci. Dacă El = =2 JCjn, vorbim de o simetrie nn-upIă". Spunem că un tipar cu negai cu 4 sau cu (j are o "simetrie superioară" decît una cu n egal numai cu 1 sau cu 2. Intorcjndu-ne la figura 30.7, a, vedem că tiparul are o simetrie de rotaţie cuadruplă. Am desenat in figura 30.7, b un alt desen, care arc aceleaşi proprietăţi de simetrie ca partea (a). Micile figuri de forma virgulei sînt obiecte asimetrice, care servesc la a defini simetria desenului in interiorul fiecărui pătrat. Observaţi că votrgulele sint mversatc in pătratele alternante, astfel că celula unitate este mai mare decît una a micilor pătrate. Dacă nu ar fi fost virgule, tiparul ar fi avut totuşi simetrie cuadruplă, dar celula unitate ar fi fost mai mică. Tiparele figurii 30.7 au de asemenea alte proprietăţi de simetrie. De exemplu, o reflexie faţă de or-icare din liniile întrerupte R-R reproduce acelaşi tipar.

604

GEO]l,lETRIA INTERNA A CRIS'IALELOR

Tiparele din figura 30.7 au încă un alt tip de simetrie. Dacă tiparul este reflectat faţă de linia Y-Y şi deplasat cu un pătrat la dreapta (sau stînga), obţinem din nou tiparul original. Linia Y-Y este numită linie "de alunecare". Acestea sînt toate stmetrllle posibile' în două dimensiuni. Există încă o operaţie de simetrie spaţială care este echivalentă în douQ dimensiuni cu o rotaţie de 180"', dar (3)"2 în trei dimensiuni este o operaţie cu totul deosebită. Ea este inversia. Printr-o tnversic înţelegem că orice punct

,, Fig. 30.9. Simetria la inversiune. Tiparul (b) este nemodificat dacă R---+_R, "dar tiparul (a) este modificat. In trei dimensiuni tiparul (d) este simetric la o tnversie, dar (e) nu este.

caracterizat prin raza vectoare R dintr-o origine (de exemplu, punctul 11 în figura 30.9, b) este deplasat în punctul de rază vectoare - R. O inversare de tipar (a) a figurii 30.9 produce un tipar nou, dar c inversare de tipar (b) reproduce acelaşi tipar. Pentru un tipar bidimcnsional (după cum puteţi vedea din figură), o inversare de tipar (b) prin punctul A este echivalentă cu o rotaţie de 180 0 în jurul aceluiaşi punct. Să presupunem, însă că facem tiparul din figura 30.9, b tridimensional, imaginînd că virgulele figurii ,,6" şi ,,9" au fiecare o "săgcată~1 ce iese din pagină. După o invcrsic in trei dimensiuni toate săgeţile vor fi Inversate, deci tiparul nu este reprodus. Dacă indicăm vîrfurile şi cozile săgeţilor prin puncte şi cruci, respectiv, putem construi un tipar tridimensional, ca in figura 30.9, e, care nu este simetric faţă de o tnverste, sau putem construi un tipar cum este cel arătat în (d), care arc o astfel de simetrie. Observaţi că nu este posibil a imita o inversie tridimensională printr-o combinaţie de rotaţii. Dacă vom caracteriza "simetria" unui tipar sau a unei reţele prin tipurile de operaţii de simetrie ce le-am descris, se constată că pentru două dimensiuni sînt posibile 17 tipare distincte. Am desenat un

SIMETRII IN TREI DIl\IlENSIUNI

605

tipar cu simetria cea mai coborîtă posibilă in figura 30.1, şi unul cu simetrie ridicată în figura 30.7. Vă lăsăm vouă distracţia să încercaţi să 'vă imaginaţi toate cele 17 tipare posibile. Este ciudat cît de puţine din cele 17 tipare posibile sint folosite la construcţia tapetelor şi a tesăturilor. Se văd întotdeauna aceleaşi trei sau patru tipare de bază. Este aceasta din cauza lipsei de imaginaţie a proiectanţilor, sau din cauză că multe din tiparele posibile nu sint plăcute ochiului? 30.6. Simetrii in trei dimensiuni Prnă acum am vorbit numai despre tipare în două dimensiuni. In ceea ce sîntem, însă, interesaţi de fapt sînt tipare de atomi În trei dimonsiuni. Mai întîi, este clar că un cristal tridimensional va avea trei vectori primitivi. Dacă ne întrebăm apoi despre operaţiile posibile de simetrie în trei dimensiuni, găsim că există 230 simetrii posibile diferite! Pentru unele scopuri, aceste 230 tipuri pot fi grupate în şapte clase, care sînt desenate in figura 30.10. Reţeaua cu cea mai mică simetrie este> numită triclinică. Celula sa unitate este un paralelipiped. Vectorii primitivi sînt

Tric/[n/c

f1unocl,:' •

1 *

lungimlle de undă sub care un metal devine transparent

I

Metal~1 I Li Na K Rb

l. (experimental)

1550 A 2100 3150 3400

1-"---'-'-'1-'-'1550A 20~O

2870 3220

* Din: C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, John Wiley and Sons, Inc., New York, 2nd 00., 1956, p. 266.

012

INDICELE DE

REFRACŢIE

AL MATERIALELOR DENSE

doua dăm lungimea de undă critică calculată A,,=2Jtc/

CURENŢII

DE MAGNETIZARE

733

Trebuie să discutăm acum analogul tuturor acestora pentru cazul magnetismulut. Un mod simplu şi direct de a face aceasta este de a spune că M, momentul magnetic al uniţăţii de volum, este tocmai ca şi P, momentul electric dipolar pe unitatea de volum şi că, prin urmare, divergenţa lui M cu semn schimbat este echivalentă cu o "densitate de sarcină magnetică" Pm indiferent ce poate însemna aceasta. Necazul este, evident, că nu există nici un astfel de lucru cum este o "sarcină magnetică", în

Fig. 36.1. Cimpul electric într-o cavitate dintr-un dielectric depinde de forma cavităţii.

lumea fizică. După cum ştiţi, divergenţa lui B este întotdeauna zero. Dar aceasta nu ne

împiedică să

facem o analogie \7.M~-'m

artificială şi să

scriem (36.4)

unde trebuie Inteles că p". este pur matematic. Am putea face atunci o analogie completă cu cazul electrostatic şi am putea folosi toate ecuaţiile noastre vechi din electrostattcă. Oamenii au procedat adesea cam in acest fel. De fapt, istoric, oamenii au crezut chiar că analogia era corectă. Ei au crezut că mărimea pm reprezenta densitatea de "poli megnettct''. In

FEROMAGNETISMUL

734

magnetlzarea substantelor provine din curenţi fie de la spinii electronllor, fie de le mişcarea electronflor în atom. Dintr-un punct de vedere fizic este deci mai frumos să descriem lucrurile realist in funcţie de curenţi atomici , decit în funcţie de o densitate a unor "poli magnetici'' mitici. Incidental, aceşti curenţi sînt uneori numiţi curenţi .nmpertci", deoarece Ampere a fost primul care a sugerat că magnetismul materiei provine din curenţi etomici. Densitatea microscoptcă reală de curent in materia magnetizată este, evident, foarte complicată. Valoarea ci depinde de locul pe care îl anaIizaţi în atom ea este in unele locuri mare, iar În altele este mică; ea este îndreptată într-un mod Într-o parte a atomului şi În modul opus Într-altă parte (exact cum cimpul electric microscopic variază enorm in interiorul unui dielectric). In multe probleme practice, însă, sîntem interesaţi numai de cimpurile din exteriorul substanţei sau de cimpul magnetic mediu in interiorul materiei - unde noi înţelegem o medie luată pc mulţi, mulţi atomi. Numai pentru astfel de probleme macroscopice este convenabil să descriem starea magnetică a materiei in funcţie de M, momentul dipolar mediu pe unitatea de volum. Ceea ce dorim să arătăm acum este că intr-adevăr curenţii atomici ai materiei megnetizate pot da naştere la unii curenţi de scară-mare, care sint legaţi de M. Ceea ce vom face, atunci, este de a separa densitatea de curent j - care este sursa reală a cimpurilor magnetice - În diferite părţi: o parte pentru a descrie curenţii magnetilor atormci şi celelalte părţi pentru a descrie alţi curenţi ce pot exista. De obicei, cel mai convenabil este să se separe curenţii in trei părţi. In capitolul 32 am făcut o distincţie intre curenţii care curg liber in conductori şt alţii care se datorează mişcărilor oscilante ale sarcinilor legate in dielcctrici. In paragraful 32.2 am scris zilele noastre,

oare circulă

însă, ştim că

în interiorul atomtlcr -

j = jrol + j~lfi

unde jpol a reprezentat curenţii proveniţi din mişcarea sarcinilor legate în dielectrici, iar ialţi îngloba toţi ceilalţi curenţi. Dorim acum să mergem mai departe. Dorim să separăm jaltl într-o parte jmag, care descrie curenţii medii în interiorul substanţelor magnetizate şi un termen suplimentar pe care îl putem numi ic(md pentru tot ceea ce a rămas. Ultimul termen se va referi in general la curenţi in conductori, dar el poate include de asemenea alţi curenţi - de exemplu curenţii generaţi de sarcini care se mişcă liber in vid. Vom scrie deci pentru densitatea totală de curent (36.5)

Evident acest curent total apare in ecuaţia lui Maxwell pentru rotorul lui B (36.6)

CURENŢII

DE MAGNETIZARE

'i'35

Trebuie să legăm curentul jmag de vectorul de magnetizarc M. Pentru a vedea Încotro mergem, vă vom spune că rezultatul urmează să fie j_~VXM. Dacă

(36.7)

ne este dat vectorul de magnetizaro M pretutindeni într-o subrotorul lui M. Să ve-

stanţă magnetică, densitatea curentului este dată de dem dacă putem înţelege de ce stau lucrurile astfel.

Să luăm

mai întîi cazul unei vergcle cilindrice care are o magnetixarc cu axa ei. Fizic, ştim că o astfel de magnetizare uni-

uniformă paralelă

Fig. 36.2. Diagrama

schematică a cuvăzută Într-o secţiune unei vergele de fier magnetizată în direcţia z,

renţilor atomici transver-sală a

formă înseamnă de fapt o densitate uniformă de curenţi atornici pretutindeni în interiorul substanţei. Să presupunem că încercăm să ne imaginăm cum se arată curenţii reali într-o secţiune transverselă a substanţei. Ne-am aştepta să vedem curenţi de genul celor arătaţi în figura 36,2. Fiecare curent atomic se învîrteşte mereu într-un cerc mic, cu toţi curenţii circulind în acelaşi sens. Care este acum curentul efeetival unui astfel de obiect? In cea mai mare parte a barci nu există efecte deloc, deoarece in imediata vecinătate a fiecărui curent există un alt curent ce circulă în sens opus. Dacă ne imaginăm o suprafaţă mică - dar totuşi una ceva mai mare decît cea a unui singur atom - cum este indicată in figura 36.2 prin linia AS, curentul net printr-o astfel de suprafaţă este zero. Nu există curent net niciunde în interiorul substanţei. Observaţi, însă, că la suprafaţa exterioară a substanţei există curenţi atomici , ce nu sînt anihilaţi de curenţii vecini care să circule in sens opus. La suprafaţă există un curent net care merge Întotdeauna în acelaşi sens în jurul vergelci. Vedeţi acum de ce am spus mai înainte că o vergea uniform magnetizată este echivalentă cu un solenoid lung prin care trece un curent electric. Cum concordă acest punct de vedere cu ecuaţia (36.7)? Mai intii, în interiorul substanţei magnetlzarea M este constantă. Astfel, toate derivatele sale sînt nule. Aceasta concordă cu imaginea noastră geometrică. La suprafaţă, însă, M nu este de fapt constant - este constant pînă la

FEROMAGNETISMUL

736

margine şi apoi scade brusc la zero. Astfel, chiar la supretată există graoolcsall oare, conform ecuaţlei (36.7), vor da naştere la o densitate de curent mare. Să presupunem că ne uităm la ceea ce se petrece în vecinătatea punctului C în figura 36.2. Luind direcţiile x şi y ca in figură, magnettzarea M este în direcţia z, Scriind componentele ccuaţiei (36.7), clienţi

avem

aM, ().) ay-=

mag>l>

_ aM ax z

(36.8)

=(j·m""i...

.....

In punctul e, derivata fJMJay este zero, dar fJMz/ax este mare şi pozitivă. (36.7) spune că există o densitate de curent mare în direcţia y negativ. Aceasta concordă cu reprezentarea noastră a unui curent superficial care circulă in juru1 barci. Dorim să găsim acum densitatea de curent pentru un oaz mai complicat in care magnettzarea variază de la punct la punct într-o substanţă. Este uşor de văzut calitativ că dacă magnetizarea este diferită în două regiuni vecine, nu va fi o anihilare perfectă a curenţilor astfel că va exista un curent net în volumul substanţei. Acesta este efectul pe care dorim să-I calculăm cantitativ. Ecuaţia

c

p 1 I

...................... L

_

Ariasuprufete;A Fi~.

36.3. Momentul dlpoIar- ,.. al unei bucle de curent este IA.

Fig. 36.4. Un mic bloc magnetizat este echivalent cu un curent superficial.

Mai Întîi trebuie să reamintim rezultatele peragrafulut 14.5, curent cir-culant 1 are un moment magnetic Il dat de

u =IA

că

un

(36.9)

unde A este ada buclei de curent (vezi fig. 36.3). Să considerăm acum un mic bloc rectengular in interiorul unei substanţe magnettzante, aşa cum e schiţat in figura 36.4. Luăm blocul atit de mic, încît putem considera că megnettzarea este uniformă în interiorul său. Dacă acest bloc arc

.

CURENŢII

DE MAGNETIZARE

O magnettzare M z În direcţia z, efectul net va fi acelaşi ca al unui curent superficial ce merge În jur prin feţele verticale, aşa cum e arătat. Putem găsi mărimea acestor curenţi din ecuaţia (36.9). Momentul magnetic total al blocului este egal cu magnctizarea înmulţită cu volumul

Jl=Mz(abc)

de unde

obţinem

(reamintind

că

aria buclei este ac) I=M zb.

Cu alte cuvinte, curentul pe unitatea de lungime (vertical) pe fiecare dintre suprafeţele verticale este egal cu M z •

b Fig. 36.5.

Dacă

magnetizarea a

blocuri vecine nu este există un curent superficial nct între ele.

două

aceeaşi,

Să presupunem acum că ne nnagmam două astfel de mici blocuri, unul lîngă altul, aşa cum e arătat în figura 36.5. Din cauză că blocul t este puţin deplasat de la blocul 1, el va avea o componentă verticală a magnetizărh puţin diferită, pe care o numim M z + tiM z • Dar pe suprafaşa dintre cele două blocuri vor exista două contribuţii la curentul total. Blocul 1 va produce un curent superficial Il ce curge în direcţia y pozitivă, iar blocul 2 va produce un curent superficial 12 ce curge în direcţia negativă a axei y. Curentul superficial total în direcţia y pozitivă este suma

1=lt-1 2=Mzb-(Mz+ ti.l\l z)b=-Li.Mzb.

Putem scrie tiM z ca derivata lui M z în direcţia x înmulţită cu deplasarea de la blocul 1 la blocul 2, care este tocmai a Li.Mz =

cele

două

3M~a.

'x

blocuri este atunci 1=- 3Mz ab.

ax

-

Fidea

DJ.oaernă

voi.

II.

FEROMAGNETISMUL

738

Pentru a lega curentul I de o densitate de volum medie de curent j, trebuie să Intelegem că 'acest curent 1 este de fapt împrăştiat pe o oarecare arie transversală. Dacă ne imaginăm întregul volum al substanţei ca fiind umplut cu astfel de blocuri mici, o astfel de faţă laterală (perpendiculară pe axa x') poate fi asociată cu fiecare blocu. Atunci vedem că aria ce trebuie asociată cu curentul! este tocmai aria ab a uneia din feţele frontale. Obţinem rezultatul j =l.-= _ ;,wz • !J

ab

aX .

Avem cel puţin începutul rotorului lui M. Ax trebui să existe un alt termen in jl/ provenind din variaţia componentei x a magnetizării cu z. Această contribuţie la j va proveni din suprafaţa dintre cele două blocuri aşezate unul pe virful celuilalt, aşa cum e arătat în figura 36.6. Folosind aceleaşi raţionamente pe care le-am făcut deja, puteţi arăta că această suprafaţă va contribui la ;11 prin cantitatea aM,ioz. Acestea sint singurele suprafeţe care pot să contribuie la componenta y a curentului; avem astfel că densîtatea totală de curent în direcţia y este

c

I,

I

I

b

l)' II

,

)--///

,,'-

Fig. 36.6. Două blocuri, unul deasupra celuilalt, pot de asemenea să contribuie la iti"

Calculrnd curenţii pe restul feţelor unui cub - sau folosind faptul că direcţia noastră z este complet arbitrară - putem conchide că vectorul densitate de curent este într-adevăr dat prin expresia j~'VXM.

Astfel, dacă ne alegem să descriem situaţia magnetică în substanţă în funcţie de momentul magnetic mediu pe unitate de volum M, găsim că 1) Sau, dacă preferati, Jumătate Între blocurile din

curentul 1 în fiecare cele două părţi.

faţă

ar trebui

să

fie

fmpărţtt

pe

C!MPUL H

't39

curenţii atomică

sînt echivalenţi cu o densitate medie de curent in subde ecuaţia (36.7). Dacă substanţa este de asemenea un dielectric, poate exista, în plus, un curent de polarizaţie jpol=~' Iar dacă substanţă dată

"

stanta este de asemenea un conductor, putem avea de asemenea un curent de

conducţie iC01ld.

Putem scrie curentul total ca

(36.10)

36:2;

Cimpul H

Acum dorim să introducem curentul scris în ecuaţia (36.10) în ecuaţiile

lui Maxwell.

Obţinem

c2\} XB =1.+1!= 1, (icond+ VXM--:-E) + 1!. ~

~

60

Putem trece termenul în M în partea

at

al

stîngă

c'V X(B--"-;)~ IW"d+l-(E+"-)' f"e

După

f O

cum am remarcat În capitolul 32,

at

Eo

mulţi

oameni

(36.11) preferă să

scrie

(E+Plio) ca un nou cîmp vectorial D/io. Similar, este adesea convenabil a scrie (B-MliOC!) ca un singur cîmp vectorial. Noi ne alegem un nou cîmp vectortal H prin

Atunci

ecuaţia

să

definim

(36.11) devine

vX

toC2

,t

H=jco"d-;- 30.

(36.13)

Ea pare simplă, dar intreaga complexitate este de fapt ascunsă în literele D şi H. . Trebuie acum să vă atragem atenţia asupra unui lucru. Cei mai mulţi oameni care folosesc unităţile MKS şi-au ales o altă definiţie a lui H. Notînd cîmpul lor H' (evident, ei II notează de fapt H fără prim), acesta este definit prin (36.14)

(Ei scriu de asemenea de obicei i OC 2 ca un nou număr I/ ~ln; atunci ei mai au încă o constantă căreia să-i urmărească drumul.') Cu această definiţie, ecuaţia (36.13) arată chiar mai simplu V'XH' = ico'''l+ 00,

"

(36.15)

,,,

FEROMAGNETISJl4UL

Dar dificultăţile cu această definiţie a lui H' sînt, mai întîi, că ea nu concordă cu definiţia celor ce nu folosesc unităţi MKS şi, în al doilea rînd. că.ea face ca H şi B să aibă unităţi diferite. Credem că este mai convenabil pentru H să avem aceleaşi unităţi ca şi pentru B - şi nu unităţile lui M, aşa cum le are H'. Dar dacă veţi deveni un inginer şi veţi lucra la proiectarea trensîormatoarelor, a magneţilor şi a altora de acest gen, va trebui să fiţi atenţi. Veţi găsi multe cărţi care folosesc pentru H definiţia elin ecuaţia (36.14) şi nu definiţia noastră din ecuaţia (36.12), şi multe alte cărţi in special manualele despre materialele magnetice - care leag§ B şi H, aşa cum am procedat noi. Trebuie să fiţi atenţi să vă lămuriţi ce convenţie folosesc ele. Un mod de a vă lămuri este prin unităţile pe care le folosesc. Reamintiţi-vă că B în sistemul MKS şi prin urmare vectorul nostru H - este măsurat cu unitatea: un weber pe metru pătrat, egal eu 10000 gauss. în sistemul MKS, un moment magnetic (un curent înmulţit cu o arie) are unitatea: un arnper-metru". Magnetizarea M. atunci, are unitatea: un amper pe metru. Pentru H unităţile sint aceleaşi ca şi pentru M. Puteţi vedea că aceasta concordă de asemenea cu ecuaţia (36.15), deoarece V are dimensiunile inversului unei lungimi. Oamenii care lucrează cu electrornagneţi ajung la obiceiul de a numi unitatea lui H (cu definiţia H') "amper-spiră pe metru" - gîndtndu-se la învîrtirea unui fir pe o spirală. Dar o "spiră" este de fapt un număr fără dimensiuni, astfel că nu trebuie să vă încurce. Deoarece cîmpul nostru H este egal cu I-I'jfioc2, dacă folosiţi sistemul MKS, H (în weberi/metns) este egal cu 4Jl:X10-7 înmulţit cu H' (în amperi pe metru). Poate este mai convenabil să reamintim că H (în gauss)=0,0126 H' (in amperi/metru). Există un lucru oribil. Mulţi oameni care folosesc definiţia dată de noi lui H au decis să numească unităţile lui H şi B cu nume diferite. Deşi ele au aceleaşi dimensiuni, ei numesc unitatea lui B un gauss, iar unitatea lui H un oersted (după Gauss şi Oersted, evident). Astfel în multe cărţi veţi găsi grafice cu B reprezentat în gauss şi H în oersted. Acestea sînt, de fapt, aceeaşi unitate _10- 4 din unitatea MKS. Am rezumat concluzia despre unităţile magnetice în tabela 36.1. Tabela 36.1 Unităţile mărimilor

magnetice

[B]~weberJIDetru2~lQ'lgauşi

[H]-weberJmetrn2-1O"

gauşt

sau 10" oerstezi

[M] ~aIDperJIDetru

[H1-amperJmetrn Relaţii

B

(gauşi)-lO"B

H

(gauşi)~H

de transformare

(weberJmetrn2)

(oerstezi)-0,0126 H' (amperi/metrn)

C1JRBA DE

MAGNETI~ARE

741

kIroml

~~tL

Fig. 37.3. Atunci cînd magnetlzarea unei bare de fier este Inversată, bara capătă o oarecare

-

Şi

cu

viteză unghiulară.

siguranţă,

cînd

efcctuăm

experimentul,

găsim

o

uşoară

rotire a

magnetuluj. Putem măsura momentul unghiular total cedat intregului magnet şi acesta este simplu de N ori fi, variaţia momentului unghiul ar al fiecărui spin. Raportul momentului unghiular la momentul magnetic măsurat in acest mod rezultă a fi aproximativ 10 procente din ceea CE' calculăm. De fapt, calculele noastre presupun că megncttt atomiei se datorează exclusiv spinilor electronilor, dar există, in plus, şi o oarecare mişcare orbttală în majoritatea substanţelor. Mişcarea orbitală nu este complet independentă de re-ţea _şi nu contribuie de fapt cu mai mult de cîteva procente la magnetism. In mod practic, cîmpul magnetic de saturaţie, care se obţine luînd M,'at=Nu şi folosind densitatea fier-ului de 7,9 şi momentul ,u al spinului clectronului, este de aproximativ 20000 gauss. Dar conform experimentului, el este în realitate în vecinătatea lui 21500 gauss. Aceasta este o mărime tipică de eroare - 5 sau 10 procente - datorită neglijăm contnbutulor momentelor orbitale care nu au fost incluse atunci CÎnd am făcut analiza. Astfel, o discrepanţă mică cu măsurătorile giromagnetice este uşor de înţeles.

37.3. Curba de histerezis Am conchis din analiza teoretică că o substanţă feromagnetică ar trebui să se magnetizeze spontan sub o oarecare temperatură astfel că întregul magnetism ar fi îndreptat în aceeaşi direcţie. Dar ştim că acest lucru nu este adevărat pentru o bucată obişnuită de fier nemagnetizat.

CURBA DE HISTEREZIS

765-

e:ste

De ce nu mag,!cti~~t.ă }ntre~ga bucată de fier? Putem explica acest lucru cu ajutorul figurii 3/.4. Sa presupunem că fierul ar fi un monocristal mare de forma arătată in figura 37.4, a magnetizat spontan in întregime intr-o direcţie. Atunci ar exista un CÎmp magnetic extern considerabil, care ar avea o mare cantitate de energie. Putem reduce acea e~ergie, a .cîmpuluj d~ac~ aranjăm. ca vO I?arţe a blocului să fie magnetizată "In sus' ŞI cealalta sa il(> magnenzată "in JOs" ca în figura 37.4, b. Atunci,

([]Q O

b 111 I I I

Fig. 37.4. Formarea de domenii intr-un monocristal de fier. (Din: C har 1 e s K i t tel, Introducere în fizica corpului solid.)

III I I' t IIl ) ) )

e

evident, cîmpurile din exteriorul fierului s-ar extinde pc un volum mai mic, astfel că ar exista mai puţină energie. Ah, dar staţi! In foaia dintre cele două regiuni avem electroni cu spinul în sus, vecini eu electroni cu spinul în jos. Dar fcromagnettsrnul apare numai in acele substanţe pentru care energia este micşorată dacă electroni! sint paraleli şi nu atunci cînd sînt anttparaleli. Am adăugat. deci, o oarecare energie suplimentară de-a lungul liniei punctate in figura 37.4, b; această energie este numită uneori energia peretelui. O regiune care are numai o direcţie de magnetizerc este numită un domeniu. La interfaţa - "peretele" - dintre două domenii, unde avem atomi pc . părţile opuse, ai căror spini sînt orientaţi diferit, există o energie pe unitatea de arie a peretelui. Am descris aceasta ca şi cum doi atomi adiacerrţi ar avea spinul exact opus: dar se constată că natura ajustează lucrurile astfel că tranziţia este mai gradată. Acum însă nu trebuie să ne ocupăm de detalii atit de fine. Acum întrebarea este: cînd este mai bine şi cînd este mai rău să producem un perete? Răspunsul este că aceasta depinde de dimensiunea domeniilor. Să presupunem că am creşte la scară un bloc astfel că intregul obiect ar fi de două ori mai mare. Volumul din spaţiul exterior umplut cu un cîmp magnetic" de o intensitate dată, ar fi de opt ori mai mare, iar energia În cîmpul magnetic, care este proporţională cu volumul, ar

SUBSTANŢE

766

MAGNETICE

fi de asemenea de opt ori mai mare. Dar aria suprafeţei dintre cele două domenii, care va da energia peretelui, ar fi doar de patru ori mai mare. Prin urmare, dacă bucata de fier este destul de mare, va merita să o împărţim in mai multe domenii. Din această cauză, doar minusculele cristale pot avea un singur domeniu. Orice obiect mare - unul cu o Întindere mai mare decît aproximativ o sutime de milimetru - va avea cel puţin un perete de domeniu; iar orice obiect obişnuit "cu o intindere de ordinul centlmetrului'' va fi împărţit in multe domenii, aşa cum e arătat

in figură. Împărţirea în domenii se continuă pînă ce energia neceun perete suplimentar este atît de mare cît este a cîmpului magnetic din exteriorul cristalului.

sară pentru a introduce descreşterea de energie

De fapt natura a mai descoperit încă un mod de a cobori energia: nu este necesar să avem de loc cimp în exterior, dacă o mică regiune triunghiul:ară este megnetizată lateral, ca in figura 37.4, d 1 ) . Atunci, cu aranjamentul din figura 37.4, d, vedem că nu există cimp extern, ci doar ceva mai mult perete de domeniu. Dar aceasta introduce un nou tip de problemă. Se constată că atunci cind este magnetizat un monocristal de fier, acesta îşi modifică lungimea in direcţia magnetizării, astfel că un cub "ideal" megnetizat, să spunem "in sus", nu mai este un cub perfect. Dimensiunea "verticală" va fi diferită de dimensiunea "orizontală". Acest efect este numit magnetostricţiune. Din cauza acestor modificări geometrice, unica bucată triunghiulară din figura 37.4, d nu se mai "potriveşte", să spunem aşa, in spaţiul disponibil - cristalul a devenit prea lung intr-o direcţie.....ii prea scurt intr-alta. Evident, ea se potriveşte, de fapt, dar numai dacă este înghemuită; iar aceasta implică unele tensiuni mecanice. Prin urmare, acest aranjament introduce de asemenea o energie suplimentară. Echilibrul tuturor acestor energii este cel care determină cum se 'aranjează domeniile de la sine în modul lor complicat Într-o bucată de fier nemagnetizat. Ce se întîmplă, acum, atunci cind aplicăm un cimp magnetic exterior? Pentru a lua un caz simplu, să considerăm un cristal ale cărui domenii sint aşa cum e arătat in figura 37.4, d. Dacă aplicăm un cimp magnetic exterior indreptat in sus, în ce mod devine magnetizat cristalul? Mai întîi, peretele domeniului din mijloc se poate muta lateral (la dreapta) şi să reducă energia. El se mută astfel că regiunea care este ..in sus" devine mai mare decit regiunea care este "in jos". Există mai mulţi magneţi elementari orientaţi paralel cu cimpul şi aceasta dă o energie mai coborîtă. Astfel, pentru o bucată de fier in cimpuri slabe - la inceputul magnetizării ~ pereţii domeniilor încep să se mişte şi să "rnă1) Vă puteţi intreba cum se poate ca spinii care trebuie să fie sau "in sus" sau "in jos" pot fi de asemenea "laterali"! Aceasta este o intrebare bună dar nu ne ocupăm de ea chiar acum. Vom adopta simplu punctul de vedere clasic, imaginîndu-ne magnetft atomtcl ca dipoli clasici care pot fi pojartzaţl lateral. Mecanica cuantică cere o indeminare considerabilă pentru a inţelege cum pot fi cuantificate lucrurile atit "tn sus şi in jos" şi "la stinga şi dreapta", la acelaşi moment.

CURBA DE HISTEREZIS

;67

nînce'' din regiunile care sînt magnetizate opus cîmpului. Pe măsură ce cîmpul continuă să crească, întregul cristal devine gradual un singur domeniu mare, pe cerc cîmpul exterior îl ajută să fie orientat în sus. Intr-un cîmp intens, cristalulut "îi place" să fie orientat integral într-un sens tocmai din cauză că energia sa în cîmp este micşorată. Acum nu mai are un rol esenţial cîmpul exterior propriu. Ce se întîmplă dacă structura geometrică nu este atît de simplă? Ce se întîmplă dacă axele crlstalulut şi magnetizarea sa spontană sînt într-o direcţie, dar aplicăm cîmpul magnetic într-o altă direcţie să Spunem la 45"? Am putea crede că domeniile se refac de la sine cu magnetizarea lor paralelă cu cîmpul şi apoi, ca mai înainte, ele ar putea să crească toate într-un domeniu. Dar aceasta nu e uşor de realizat de către fier, deoarece energia necesară pentru a magnetiza un cristal depinde de unghiul pe care îl face direcţia de magnetizare cu axa cristalului. Este relativ uşor de magnetizat fierul într-o direcţie paralelă cu axele cristalului, dar este nevoie de mai multă energie pentru a-I magnetiza într-o altă

.. ...:; r r« lfKJ/ â

!>F

6.l~T .

ELASTICITATl':

790 Forţa aF asupra capătulut unui astfel de in jurul axei barei, egal cu

pătrat dă naştere

dt=rÂF=rg.1.l.1.r.

unui cuplu â:. (38.22)

Cuplul total -r este suma unor astfel de cupluri in jurul unei clrcumferlnte complete a cîlindrului. Astfel, punînd împreună destule bucăţi, astfel incit

lungimile Âl adunate este

să

dea 2JtT, găsim

că

cuplul total, pentru un tub gol,

rg(2Jt1')Âr.

(38.23)

Sau, folosind (38.21), (38.24) Obţinem că

rigiditatea totală la rotire, T/4', a unui tub gol este proporţio­ cu eubul razei r şi cu grosimea !.Ir şi invers proporţională cu lungimea L. Ne putem imagina acum o bară solidă, constituită dintr-o serie de tuburi concentrice, fiecare răsucit cu acelaşi unghi 4' (deşi tensiunile interne sînt diferite pentru fiecare tub). Cuplul total este suma cuplurilor necesare pentru a roti fiecare pătură; pentru bara solidă

nală

-r = 2Jt)..l ~~r3dr

unde integrala se avem

efectuează

intre r=O 't

= fJ.

şi

r=a, raza vcrgelct. Integrind,

:~4_ 4',

(38.2:i)

Pentru o bara torstonată, cuplul este proporţional cu unghiul şi este proporţional cu puterea a patra a diametrului o bară de două ori mai groasă este de şaisprezece ori mai rigidă pentru torsiune. Inainte de a părăsi problema torslumt, să aplicăm ceea ce am tnvă­ tat deja la o problemă interesantă: unde de torslune. Dacă luaţi o vergea lungă şi-i răsuciţi brusc un capăt, de-a lungul vcrgelet îşi croieşte drumul o undă de răsucire, aşa cum c schiţat in figura 38.10, a. Aceasta este ceva mai interesantă decit o răsuclre staţionară. Să vedem dacă putem calcula ceea ce se tntîmplă. Fie z distanţa pînă un punct de-a lungul vergclet. Pentru o torsiune statică, cuplul este acelaşi pretutindeni de-a lungul vcrgelei şi este proporţional cu ~.:'L, unghiul total de torsiune raportat la lungimea totală. Ceea ce contează pentru substanţă este dcformatla locală de torstune, care e, după cum veţi recunoaşte a4' / az. Atunci cînd tOl'SiUnl.'il de-a lungul vergelei nu este uniformă, ar trebui să înlocuim ecuaţia (38.25) prin

la

l(Z)=ll~a;ţ-. .

2

ilz

(38.2G)

BARA DE TORSIUNE: UNDE DE FORFECARCc::E

_

791

Să analizăm

acum ce se întîmplă cu un element de lungime ~z, arătat în figura 38.10, b. Există un cuplu ,(z) la capătul 1 al micii bucăţi de vergea şi un cuplu diferit ,(z+.1z) la oapătul 2. Dacă Az este destul de mic, putem folosi o dezvoltare Taylor şi să scriem mărit

T(Z+:1z)='(Z)+(::)~Z.

(38.27)

~_~II:J:~~

,

CopiMZ z+lJz

Un element de volum al

ver-gel ei.

Cuplul net .1T ce şi

acţionează

asupra micii

bucăţi

de vergea dintre e

z+1.z este clar diferenţa dintre .(z) şi .(z+ Az), sau 1..= (8tj8z)1z.

Diferenţiind ecuaţia

(38.26),

obţinem

:rta'

l.t= iJ. 2

,,'$ rh" 1.z.

Efectul acestui cuplu net este de a da o de vergea Masa ei este

(38.28)

acceleraţie unghiulară

micii

bucăţi

1.M =(nu 2.1z)p

unde P este densitatea

substanţei.

Am calculat în capitolul 19, volumul I,

cii momentul de inerţie al unui cilindru circular este mr 2j2. Notînd prin AI momentul de inerţie al bucătii analizate, avem

dI= ~ pa4.1z.

(38.29)

2

Legea lui Newton spune că cuplul este egal eu momentul de mulţit cu acceleraţia unghiulară, sau

dt=M~'

,,'

Combinîndu-le pe toate, avem iJ.

~ ~.:lz~·~pa1,~.z~ 2 llZ2 •2 at'

inerţie

în-

(38.30)

ELASTlCITA TE

792

,au ~_J'.. ~ =0. oz' IL iJt'

(38.31)

in aceasta ecuaţia monodtmenstonală a undelor. Am găsit undele de torsjune se vor propaga de-a lungul vergelei cu viteza

Veţi recunoaşte

că

C'orfeca.re=

V~.

(38.32)

Cu cît este mai densă vergcaua - pentru aceeaşi rigiditate - cu atît sînt mai încete undele; şi cu cît este mai rigidă vergcaua, cu atît mai repede îşi croiesc undele drumul. Viteza nu depinde de diametru! vcrgeleL Undele torsionale sînt un exemplu special de unde de forfecare.

In general,

undele de forfccare sînt acelea în care deformatiile nu modiIn unde torsionalc, avem o disforfccare - anume, distribuite pe un cerc. Dar pentru orice aranjament de tensiuni de Iorfecarc, undele se vor propaga cu aceeaşi viteză - cea dată în expresia (38.32). De exemplu, seismologh află astfel de unde de Iorfccare propaglndu-se in interiorul fică volumul niciunei părţi a substanţei. tribuţie specială de astfel de tensiuni de

pămîntului.

In lumea elastfcă din interiorul unei substanţe solide putem avea un alt tip de undă. Dacă apăsaţi ceva, puteţi porni unde longitudinalc -numite, de asemenea, unde "compresive". Ele sint ca undele sonore in aer sau În apă - deplasările au loc in aceeaşi direcţie ca propagarea undei. La suprafeţele unui Corp elastic pot exista de asemenea şi alte tipuri de unde - numite "unde Raylelgh''. In ele, deformatiilc nu sint nici pur Iongitudinale nici pur transvcrsale. Nu vom avea timp să le studiem.) Deoarece discutăm problema undelor, care este viteza undelor t-ernpresive pure intr-un corp mare solid cum este pămîntul? Spunem "mare" deoarece viteza sunetului Într-un corp "grosi( este diferită de cea care există, de exemplu, de-a lungul unei vergele subţiri. Printr-un corp "gros" Înţelegem unul în care dimensiunile transversale sint mult mai mari decit lungimea de undă a sunetului. Atunci, cînd apăsăm asupra obiectului el nu se poate destinde lateral - el poate doar să se comprime într-o dimensiune. Din fericire, am calculat deja cazul special al comprtmării unei substanţe elastice constrînse. Am calculat de asemenea în capitolul 47, volumul I, viteza undelor sonore Într-un gaz. Urmînd aceleaşi r-aţiona­ mente puteţi vedea că viteza sunetului intr-un solid este egală cu VY'/p, unde Y' este "modulul longitudinal" - sau presiunea tmpărtită prin variaţia relativă de lungime pentru cazul În care solidul este constrîns. Acesta este exact raportul lui 11[/[ la F/A pe care l-am obţinut în ecuaţia (38.20). Astfel, viteza undelor longitudinale este dată de Ca

_

IO"l! -

z:..P -_

I-a (1+0)

II

Y 20-) Ilo

(38.33)

GRINDA !NCOVOIATA

'"

Atîta vreme cît fi are valori intre zero şi 1/2, modulul de forfecare I--l este mai mic decît modulul lui Young Y şi, de asemenea, y' este mai mare decît Y, deci

u;%2 şi obţinem factorul

eul,

(k 1 +2k2)a2 deci

Pentru restul termenilor, există o uşoară complicaţie. Deoarece nu putem distinge produsul a doi termeni ca en€1J~ de ell~en, coeficientul acestor termeni în expresia energiei este egal cu suma a doi termeni in ecuaţia (39.13). Coeficientul lui €""€w in expresia (39.45) este 2k..z: avem astfel (CUUy+ClI'Jxx)=

Dar din cauza simetriei cristalului nostru, C%%!!y=C yyxx =

Printr-un proces

asemănător,

putem

2~ . a

Cuyy=ClJ!JX% şi

5.. a

obţine

C:ryx1J~C1fl!iX~'

avem deci

de asemenea

k. - • a

In sfîrşit, veţi observa că orice termen care cuprinde fie x, fie y numai o dată, este zero - după cum am stabilit anterior din argumente bazate pe simetrie. Rezumind rezultatele noastre Cx==ClJ!J1JY=

J, + 2k 2 , •

CuUy=Cwu=C:ryyx=Cy%%!!=

C XY:+U 2

unde -.!.. v 2 este energia cinetică pe unitatea de masă, ct> este energia 2

potenţială pe unitatea de masă, iar U este energia internă pe unitatea de masă a

termenul aditiv ce reprezintă fluidului. Energia internă ar putea corespunde, de exemplu, energiei termice intr-un fluid comprestbtl, sau energiei chimice. Toate aceste cantităţi pot varia de la un punct la altul. Folosind această formă pentru energii în (40.16) avem rpl A,tJ,M _ p.A.v.6.t tJ.M

Dar am

AM

văzut că

=.!. v'.l +

Ll.M = pAvM; astfel

E!+.!.v P. 2 1

+U _

1:. v 2 _

-U .

22222111 obţinem

2+cIl+U=12+..!.v2

IIp.

2

2

+ ct> 2T'U2

(40.17)

care este rezultatul lui Bernoulli cu un termen aditiv pentru energia internă. Dacă fluidul este incompresibil, termenul de energie internă este acelaşi în ambele părţi şi obţinem din nou că ecuaţia (40.14) este satisfă­ cută de-a lungul oricărei linii de curent. Considerăm acum cîteva exemple simple în care integrala lui Bernoulli ne dă o descriere a curgerti. Să presupunem că avem apă ce curge

CURGEREA

STAŢIONARA -

TEOREMA LUI BERNOULLI

833

printr-un orificiu vecin de baza unui bazin, aşa cum e desenat În figura 40.7. Luăm o situaţie în care viteza de curgere Veti la orificiu este cu mult mai mare decit viteza de curgere in vecinătatea vîrfului bazrnul ui ; cu alte cuvinte, ne imaginăm că diarnetrul bazinului este atît de mare încît putem neglija scăderea nivelului lichidului. (Am putea face un calcul mai corect dacă am dort.). La VÎrful bazinului presiunea este Pa, preP,

Fig. 40.7. Curgerea dintr-un bazin.

siunea atmosferică, iar presiunea pe laturile jetului este de asemenea pe. Scriem acum ecuaţia lui Bernoulll pentru o linie de curent, Cum este rea arătată În figură. La partea superioară a bazmulul, luăm v egal eu zero şi luăm de asemenea potenţialul gravitational 40. Ară­ tăm o fotografie a unei astfel de curgeri in figura 41.7.

Fig.

41.7. Fotografie efec-

tuată

de către Luc1wig Prandtl a "drumului vn-tejurilor" in curgerea din spatele unui cilindru. Diferenţa intre cele două curgeri in figura 41,6, c şi 41.6, b sau 41.6, {l este o diferenţă aproape completă de regim. In figura 41.6, a sau b, viteza este constantă, in timp ce in figura 41.6, c viteza in orice punct variaza cu timpul. Nu există o soluţie staţionară pentru valori mai mari decît (R =40 valoare pe care am marcat-o pe figura 41.4 printr-o linie punctată. Pentru aceste numere Reynolds mai mari, curgerea variază în timp dar intr-un mod regulat, ciclic. Putem dobindi o idee fizică despre modul in care sint produse aceste vtrtejurt. Ştim că viteza fluidului trebuie să fie zero pe suprafaţa cilindrulut şi de asemenea că ea creşte repede atunci cind ne depărtăm de această suprafaţă. Turbionarea este creată prin această variaţie locală mare a vitezei fluidului. Atunci cind viteza curentului principal este destul de coborîtă, există timp destul pentru această turbionare să difuzeze afară din regiunea subţire din vecinătatea suprafeţei solldulul unde este ea produsă şi să crească într-o regiune mare de turbtonare. Această imagine fizică ar trebui să ajute să ne pregătească pentru schimbarea următoare de natură a curgertt atunci cind viteza curentului principal, sau ro , este crescută mai mult. Pe măsură ce viteza devine din ce in ce mai mare, există timp din ce in ce mai putin pentru turbionare să difuzeze într-o regiune mai mare a fluidului. Atunci cînd atingem un număr Reynolds de cîteva sute, turblonarea începe să umple o bandă subţire, aşa cum e arătat în fi-

t

i i'

LlMl'rA V!SCOZITAŢlI NULE

857

gura 41.6.. ~. In acest strat curgerea este haotică şi neregulată. Regiunea este numită stratul limită şi această curgere neregulată îşi croieşte drumul din ce în ce mai departe in amonte atunci cind Il? este crescut. In regiunea turbulentă, vitezele sînt foarte neregulate şi "turbulente"; de asemenea, curgerea nu mai este bidimensională ci se răsuceşte in toate cele trei dimensiuni. Există încă o mişcare regulată alternativă suprapusă pe cea turbulentă.

Pe măsură ce numărul lui Reynolds este crescut în continuare, regiunea turbulentă îşi croieşte drumul inainte pînă ce atinge punctul in care liniile de curgere părăsesc cilindrul - pentru curgeri corespunzătoare unor valori (Q = 105 • Curgerea este asemănătoare cu cea arătată in figura 41.6, e şi avem ceea ce se numeşte "un strat limită turbulent". De asemenea, există o schimbare drastică a forţei de antrenare; ea scade printr-un factor mare, aşa cum este arătat în figura 41.4. In această regiune a vitezei, forţa de antrenare de fapt descreşte o dată cu creşterea vitezei. Pare să existe o evidenţă mică a periodicitătii. Ce Se întîmplă pentru numere Reynolds încă şi mai mari? Atunci cind creştem viteza mai mult, dtra creşte in dimensiuni din nou şi antrenarea creşte. Ultimele experimente care merg pînă lan? =10 7 sau cam atît indică faptul că apare o nouă periodicitate în dîră, fie din cauză că intreaga dîră oscilează înainte şi inapoi într-o mişcare largă, fie din cauză că apare un nou tip de virtej împreună Cu o mişcare turbulentă neregulată. Detaliile nu sint clare in intregime pînă acum şi mai sînt încă studiate experimental. 41.5. Limita

viscozităţii

nule

Am dori să accentuăm că nici una dintre curgerile ce le-am descris nu sint asemănătoare cu soluţia curgerfi potenţiale pe care am găsit-o in capitolul precedent. La prima vedere, aceasta este cu totul surprinzător. Pînă la urma urmelor, este proporţional cu l/ri. Astfel, 1] tinzind spre zero este echivalent cu tinzind spre infinit. Iar dacă luăm limita pentru rp mare în ecuaţia (41.23), scăpăm de partea dreaptă şi obţinem exact ecuaţiile capitolului precedent. Totuşi, vă va veni greu să credeţi că curgerea puternică turbulentă de la m = 107 se apropia de curgerea lină calculată din ecuaţia apei "uscate". Cum se poate că pe măsură ce ne apropiem de (1l = ce, curgerea descrisă din ecuaţia (41.23) dă o soluţie complet diferită de cea pe care am obţinut-o pornind de la 1]=0? Răsp'!o­ sul este foarte interesant. Observaţi că termenul din partea dreaptă a ecuaţie! (41.23) il are pe 1/ (12 înmulţit cu o derivată secundă. Aceasta este o dertvată de ordin mai mare decit orice altă dertvată din ecuaţie. Ceea ce se întîmplă este că deşi coeficientul 1/ rp este mic, există variaţii foarte rapide ale lui Q în spaţiul vecin de suprafaţă. Aceste variaţii rapide compensează micimea coeficientului şi produsul nu tinde la zero atunci

m m

CURGEREA APEI UDE

858

cînd creşte m. Soluţiile nu se apropie de cazul limită atunci cînd coeficientullui 'i72 Q tinde la zero. V-aţi putea intreba: "Ce este turbulenţa de granulaţie fină şi cum se menţine ea? Cum poate turbionarea, care este produsă undeva la marginea cilindrului, să genereze atit de multă turbulenţă în masa fluidului?'! Răspunsul este din nou interesant. 'I'urbionarea are o tendinţă de a se amplifica de la sine. Dacă uităm pentru moment difuzia turbionării care produce o pierdere, legile curgeru spun (după cum am văzut) că liniile de virtej sint transportate împreună cu fluidul, cu viteza v. Ne putem imagina un oarecare număr de linii ale lui Q care sint distorsionate şi răsucite prin figura complicată de curgere a lui v. Aceasta atrage liniile mai aproape şi le amestecă. Liniile care erau înainte simple vor deveni ghemuite şi apropiate unele de altele. Ele vor fi un timp mai indelungat împreună şi vor fi mai strinse. Intensitatea turbtonărit va creşte şi nercgularitătîle sale plusurile şi minusurile - vor creşte, in general. Astfel, mărimea turbionări.i in trei dimensiuni creşte pe măsură ce răsucim fluidul. V-aţi putea intreba: "cind este curgerea potenţială o teorie satisfăcă­ toare?'' In primul rind este satisfăcătoare in afara regiunii turbulente unde turbionarea nu a pătruns apreciabil prin difuzie. Construind corpuri cu linii de curent speciale, putem menţine regiunea turbulentă cît mai mică posibil; curgerea in jurul aripilor avioanelor care sint proiectate cu grijă - este aproape integral o curgere intr-adevăr potenţială. 41.6. Curgerea Couette Este posibil să se demonstreze că de fapt caracterul complex şi schimal curgerfi pe lîngă un cilindru nu este un caz special ci că marea diversitatea posibilităţilor de curgere apare in general. Am calculat În paragraful 1 o soluţie- pentru curgerea vlscoasă intre doi cilindri şi putem compara rezultatul cu ceea ce se întîmplă de fapt. Dacă luăm doi cilindri concentrici avind În spaţiul dintre ei ulei şi punem o pudră fină de aluminiu ca o suspensie în ulei, curgerea poate fi vizualizată uşor. Dacă rotim Încet cilindrul exterior nu se întîmplă nimic neaşteptat; vezi figura 41.8, a. La fel dacă rotim încet cilindrul interior, nu apare nimic deosebit. Insă, dacă rotim repede cilindrul interior obţinem o surpriză. FIuidul se rupe in benzi orizontale, ca in figura 41.8, b. Atunci CÎnd cilindrul exterior se roteşte cu aceeaşi viteză in timp ce cilindrul interior este în repaus, nu apare un astfel de efect. Cum se poate să existe o diferenţă între rotirea clltndrulut interior şi a celui exterior? Pînă la urma urmelor. figura de curgere ce am dedus-o în paragraful 1 a depins numai de ()'b-Wa' Putem obţine răspunsul utttndu-ne la secţiunea transversală arătată în figura 41.9. Atunci cînd straturile interne ale fluidului se mişcă mai repede decît cele exterioare ele tind să se mişte spre exterior - forţa cen-

bător

CURGEREA COUETTB

859

trifugă

este mai mare decit presiunea ce le ţine pe loc. Dar nu se poate spre exterior uniform un strat întreg deoarece ii stau în drum celelalte straturi. El trebuie să se rupă in celule şi să circule aşa Cum o arătat in figura 41.9, b. Este ca şi oazul curenţilor de convcctte într-o cameră care are la bază aer cald. Atunci cînd cilindrul interior este în repaus şi cilindrul exterior are o viteză mare, forţele centrifuge determină un

.mtşca

Fig. 41.8. Figurile de curgere ale lichid ului Intre doi cilindri transparenţt ce se rotesc.

o

b

c

d

gradient de presiune care ţine totul în echilibru vezi figura 41.9, c (ca într-o cameră cu aerul cald deasupra). Să învîrtim şi mai repede cilindrul interior. La început creşte numă­ rul benzilor. Apoi vedeţi brusc că benzile devin ondulate ca in fi:" gura 41.8, c, iar undele se propagă împrejurul cilindrului. Viteza acestor unde se măsoară uşor. Pentru viteze mari de rotaţie ea se apropie de 1/3 din viteza cilindrului interior. Şi nimeni nu ştie de ce! Iată o provocare. Un număr simplu ca 1/3, fără explicaţie. De fapt intregul mecanism al formării undelor nu este înţeles foarte bine; cu toate că este curgere larninară statlonară.

Dacă începem să rotim şi cilindrul exterior dar în direcţia opusă _.figurile de curgere incep să se rupă. Obţinem regiuni ondulate alternînd cu regiuni aparent liniştite, aşa cum este desenat în figura 41.8, d, alcă­ tuind o figură spirală. In aceste regiuni "liniştite", însă, noi putem vedea că de fapt curgerea este cu totul ncregulată: ea este, de fapt, complet turbulentă. Regiunile ondulate 'incep de asemenea să manifeste curgere

CURGEREA APEI UDE

eeo turbulentă neregulată. Dacă cilindrii curgere devine haotic turbulentă.

sint rotiti

şl

mai repede, întreaga

In acest experiment simplu vedem mai multe regimuri interesante de curgere care sint foarte diferite şi totuşi ele sint conţinute in ecuaţia noastră simplă pentru diferite valori ale unui parametru (Q . Cu ajutorul cilindrilor in rotaţie, putem vedea multe dintre efectele care apar în curgerea pe lîngă un cilindru; mai intii, există o curgere staţtonară: apoi

b Fig. 41.9. De ce se rupe curgerea in

fişii.

stabileşte o curgere care variază in timp intr-un mod regulat, lin; în sfîrşit, curgerea devine complet neregulată. Aţi văzut cu toţii aceleaşi

se

efecte in coloana de fum ce se ridică de la o ţigară in aer liniştit. Există o coloană statfonară lină urmată de o serie de indoiri pe măsură ce curentul de fum incepe să se rupă, sfîrşind intr-un nor agitat de fum. Lecţia esenţială ce trebuie învăţată din toate acestea este că în sistemuI simplu de ecuaţii (41.23) este asunsă o varietate imensă de comportări. Toate soluţiile sint ale aceloraşi ecuaţii, doar cu valori diferite ale lui rp. Nu avem motiv să credem că există vreun termen care să lipsească din aceste ecuaţii. Singura dificultate este că astăzi noi nu avem puterea matematică de a le analiza, exceptînd cazul numerelor Reynolds foarte mici - adică în cazul complet viscos. Faptul că am scris o ecuaţie nu-i răpeşte curgerti fluidelor farmecul, sau misterul, sau surpriza. Dacă este posibilă o astfel de varietate într-o ecuaţie simplă cu un singur parametru, cu cit mai multă varietate este posibilă in ecuaţii mal complexe! Poate ecuaţia fundamentală care descrie nebuloasele lnvolburate şi stelele şi galaxiile care se condensează, se rotesc şi explodează este doar o ecuaţie simplă pentru comportarea hidrodinamicii a gazulu! de hidrogen aproape pur. Adesea oamenii avînd o frică nejustificată fată de fizică spun că nu se poate scrie o ecuaţie pentru viaţă. Ei bine, s-ar putea să putem. De fapt, este foarte posibil că avem deja ecuaţia tntr-o aproximaţie suficientă atunci cind scriem ecuaţia mecanicii cuantice

H-q,-= !.~. I

"

CURGEREA COUETTE

861

Tocmai am văzut că complexităttle lucrurilor pot atit de uşor şi dramatic să rămînă neobservate din cauza simplităţii ecuaţttlor care le descriu. Inconştient de sfera de acţiune a ecuaţiilor simple, omul a tras adesea concluzia că nimic, nici măcar ecuaţiile, nu poate explica toată complexitatea lumii. Am scris ecuaţiile curgerii apei. Din experiment găsim o mulţime de concepte şi aproximatii pentru a le folosi la discutarea soluţiei ~ drumuri ale virtejurilor, dire turbulente, straturi limită. Cînd avem ecuaţii intr-o situaţie mai puţin obişnuită, una pentru care nu putem încă experimenta, încercăm să rezolvăm ecuaţiile intr-un mod primitiv, bilbiit şi confuz, pentru a încerca să determinăm ce aspecte calitative noi pot rezulta, sau ce forme calitative noi sint o consecinţă a ecuaţtilor. Ecuaţiile noastre pentru comportarea soarelui, de exemplu, ca o sferă de hidrogen gazos, descriu un soare fără pete solare, fără structura de forma bobului de orez a suprafeţei, fără proeminente, fără halouri. Totuşi, toate acestea sint de fapt cuprinse în ecuaţii; doar că nu am găsit modul de a le extrage din ecuaţii. Există unii care urmează să fie dezamăgiţi atunci cind nu va fi găsită viaţă pe alte planete. Nu eu ~ eu doresc să mi se reamlntească încă o dată, să fiu încă o dată surprins şi încîntat, prin explorare Interplanetară, infinite varietate şi noutate a fenomenelor care pot fi generate din principii atit de simple. Examenul ştiinţei este abilitatea ei de a prezice. Dacă nu aţi fi vizitat niciodată pămîntul, aţi fi putut prezice fulgerele, vulcarui, valurile oceanelor, aurorele şi apusul de soare atit de colorat? O lecţie salvatoare va fi atunci cînd vom învăţa tot ceea ce se petrece pe fiecare din acele planete moarte ~ acele opt sau zece sfere, fiecare aglomerată din acelaşi nor de praf şi fiecare ascultînd exact aceleaşi legi de fizică. Următoarea eră mare de trezire a intelectului uman va putea produce o metodă de înţelegere a conţinutului calitativ al ecuatiilor. Astăzi nu putem. Astăzi nu putem vedea că ecuaţiile curgerli apei conţin astfel de lucruri ca structura de tipul spumei bărblerulul, a turbulente! care se vede intre cilindrii în rotaţie. Azi nu putem vedea dacă ecuaţia lui Schr6dinger conţine broaşte, compoatort, sau moralitate - sau dacă nu conţin aşa ceva. Nu putem spune dacă este sau nu necesar ceva dincolo de ea, ceva în genul lui Dumnezeu. Şi astfel putem cu toţii să susţinem cu tărie ambele opinii.

Index alfabetic

Absorbţia Iwninii 654 Accelerarea particulelor 325 Acţiune 368 Adîncimea peliculară 668, 669 Alegerea etalonărtl 361 Alungire relativă 782 Analizor de momente 5BO Ampermeire 30::; Amplitudinea undei de refracţie 664 Anajogl electrostaticî 224 Apa udă 844 Apa uscată 822, 827 "Apă uscată" 237 Aproximatii de frecvenţă ţeasă 668 --'- -'--- Înaltă 668 Atom de impuritate 617 Autoinductanţc 338 Autoinducţie 311, 331 Axe prmctpalc de inerţie 643

Bara de torslune 788 Barieră de frecvenţă înaltă 462 Betatronul 325, 327 Bl inda] 481 Bobine cuplate strins 342 Bucla de histerezis 743 Buclă 250 Calculul constantelor elastice 816 Cap