Feynman Richard Fizica Moderna Vol I Mecanica Radiatia Caldura RO

•

LECTURES

o

N

PHYSICS MAINLY MECHANICS, RADIATION, AND HEAT

RICHARD P. fEYNMAN RichardChace Tolmon Professar of Theoretical Physics California Institute of Technology

ROBERT B. LEIGHTON Professor of Physics California Institute of Technofogy

MATTHEW SANDS Profeslar Stanford UniversUy

... nnu.ON. WESLEY.

READING. MASSACHUSETTS

RICHARD P. FEYNMAN

FIZICA MODERNĂ MECANICA, RADIATIA, CALDURA

Lucrarea a fost redactată de:

RICHARD P. FEYNMAN ROBERT B. LEIGHTON MATTHEW SANDS

Editura tehnică Bucure,ti - 1969

TraduCl'rea

şi

r-evizia

ştiinţifică

Prof. dr-. .'I,lihai

a versiunii româncsfi:

Gavrilă

Redactor: .I\'atalia Fiuciue

Prefaţă

la

ediţia română

A scrie o prefaţă potrivită pentru o carte a cărei valoare este ieşită din comun, este o sarcină la fel de dificilă ca! aceea de a găsi o ramă adecvată pentru un tablou genial. Lecţiile de fizică ale profesorului Richard P. Feunman, pe care Editura tehnică le pune la indemina cititorului din ţara noastră in versiune romdnească, şi-au dştigat deja un bine meritat renume mondial, datorita unor calităţi care, nemaoielni:lca modernă voI. r.

.

CONCEPŢIILE

DE BAZA !\LE F1ZICn

plicată în spaţiu-timp. Nu ştim cum s-a pus în mişcare universul. Nu am făcut niciodată experienţe care să controleze cu precizie ideile noastre despre spaţiu şi timp sub o anumită distanţă foarte mică, aşa că ştim

doar cum funcţionează ideile noastre peste această distanţă. Trebuie să mai adăugăm că regulile jocului sînt principiile cuantice şi că aceste principii se aplică, pe cît putem spune, noilor particule ca şi celor vechi. Originea forţelor nucleare ne conduce la noi particule, dar din nefericire ele apar in mare abundenţă şi ne lipseşte o înţelegere completă a Interdependenţei lor, deşi ştim deja că există nişte raporturi surprtzătoare între ele. S-ar părea că, bîjbîind, ne îndreptăm treptat către o înţelegere a lumii particulelor subatornice, dar nu ştim cît de mult mai avem de mers in

această direcţie.

3.

Legătura fizicii

cu alte ştiinţe

3.1. Introducere

Fizica este cea mai fundamentală şi atotcuprinzătoare dintre ştiinţe a avut un efect profund asupra întregii dezvoltări ştiinţifice. De fapt, fizica este eifhivalentul de astăzi a ceea ce altădată se obişnuia să se numească filfzofie naturală, din care au provenit cele mai multe dintre ştiinţele noastre moderne. Studenţii din multe domenii învaţă fizică datorită rolului de bază pe care ea il joacă în toate fenomenele. In acest capitol vom incerca să desluşirn care sînt problemele fundamentale ale celorlalte ştiinţe, dar desigur că nu este posibil ca Intr-un spaţiu atît de mic să tratezi în detaliu complexele, subtilele şi frumoasele chestiuni din aceste alte domenii. Lipsa de spaţiu ne împiedică de asemenea să discutăm legătura fizicii cu tehnica, industria, societatea şi războiul, sau chiar remarcabila legătură dintre matematică şi fizică. (Matematica nu este o ştiinţă ntlturală, deoarece testul direct al validităţii sale nu este experienţa). în legătură cu aceasta, trebuie să fie clar de la început faptul că, dacă ceva nu este o ştiinţă naturală, aceasta nu înseamnă că ar fi ceva rău. Dacă se afirmă despre ceva că nu este o ştiinţă naturală, nu înseamnă că ar fi ceva în neregulă, înseamnă doar că nu e o astfel de ştiinţă şi atît. şi

3.2. Chimia Ştiinţa care e, poate, cel mai profund afectată de către fizică este chimla. Din punct de vedere istoric, la începuturile sale chirnia s-a ocupat aproape în întregime cu ceea ce numim astăzi chimie anorganlcă, chimia substantelor care nu sînt asociate cu fiinţe vii. A fost nevoie de o analiză considerabilă pentru a se descoperi existenţa numeroaselor elemente chimice şi raporturile lor - cum formează ele diverşi compuşi relativ simpli găsiţi în roci, pămînt etc. Această chimie timpurie a fost foarte importantă pentru fizică. Legătura dintre cele două ştiinţe a fost foarte mare, fiindcă teoria atomistică s-a verificat într-o mare măsură

"

..

:

,,/~'1:tik;\:\7":: "

S~i .

LEGĂTURA

'52

FIZICII CU ALTE

STIINŢE

de chimie. Teoria chimiei, adică a reacţiilor înseşi, a fost într-o mare măsură în tabloul periodic al lui Mendeleev, . care scoate în evidenţă multe raporturi stranii intre diversele elemente. Colecţia de reguli referitoare la ce substanţă se combină cu care şi în cel fel, reprezintă chimia anorganică. Toate aceste reguli au fost pînă în cele din urmă explicate în principiu de către mecanica cuantică, astfel că chimie teoretică este de fapt fizică. Pe de altă parte, trebuie accentuat că această explicaţie este realizată doar în principiu. Am discutat deja diferenţa dintre a şti regulile jocului de şah şi a fi în stare să joci. Aşa se face că putem cunoaşte regulile, dar nu putem juca prea bine. Se dovedeşte foarte dificil de prezis corect ce se va petrece într-o reacţie chimică dată; totuşi partea cea mai profundă a chimiei teoretice se termină cu prin

experienţe

rezumată

mecanică cuantică.

Există o ramură a fizicii şi chimiei care a fost dezvoltată de ambele ştiinţe împreună şi care este extrem de importantă. Aceasta este metoda statisticii, aplicată în situaţia în care există legi mecanice, ceea ce se numeşte în limbaj adecvat mecanică statistică. In orice situaţie chimică sînt implicaţi un mare număr de atomi şi am văzut că atomii se mişcă toţi într-un mod foarte dezordonat şi complicat. Dacă am putea .analiza fiecare ciocnire şi am fi în stare să urmărim în detaliu mişcarea fiecărei molecule, am putea spera să prezicem ce se va petrece. Mulţimea numerelor necesare pentru a urmări toate aceste molecule depăşeşte însă .atît de enorm de mult capacitatea oricărui calculator, cu atît mai mult capacitatea minţii, încît a fost important să se dezvolte o metodă pentru tratarea unor atari situaţii complicate. Mecanica statistică, deci, este ştiinţa fenomenelor căldurii sau a termodinamicii. In esenţă, chimie anorganică este astfel redusă la ceea ce se numeşte chimie fizică şi chimie cuantică. Chimia fizică studiază vitezele cu care decurg reacţiile şi cum se petrec lucrurile în detaliu (cum lovesc moleculele? etc), iar -chimia cuantică ne ajută să înţelegem ceea ce Se petrece pe baza legilor fizice fundamentale. Cealaltă ramură a chimiei este chimia organică, chimie substanţelor care sînt asociate cu fiinţele vii. Un timp s-a crezut că substantele asodate cu fiinţele vii sînt atît de minunate încît ele nu pot fi fabricate -cu mina, din materiale anorganice. Aceasta nu este deloc adevărat - ele sînt exact la fel cu substentele produse in chimia anorganică, doar dispunerea atomilor este cu mult mai complicată. Chimia organică are in mod evident o strînsă legătură cu biologie, care îi furnizează substantele şi cu industria; în afară de aceasta. se poate aplica multă chimic fizică şi mecanică cuantică la studiul compuşilor organici ca şi al celor anorganici. Totuşi, problemele principale ale chimiei organice nu constau în aceste aspecte, ci mai curînd in analiza şi sinteza substantelor care se formează in sistemele biologice, in fiinţele vii. Aceasta conduce în mod imperceptibil, treptat, către biochimie, iar apoi către biologic, de fapt către biologie moleculară.

-BIOLOGIA

53

3.3. Biologia

,.

Ajungem astfel la ştiinţa biologiei, care este studiul fiinţelor vii. In zilele de început ale acestei ştiinţe, biologii aveau de tratat problema pur dcscriptivă de a afla ce fiinţe vii există, aşa că aveau doar de numă­ rat lucruri cum ar fi firele de păr de pe picioarele puricilor. După ce .aceste chestiuni au fost lămurite cu mult interes, biologii au intrat în mecanismul din interiorul corpurilor vii, la început doar în linii mari, pentru că se cerc un efort ca să intri in detaliile mai fine. A existat de timpuriu o interesantă legătură intre fizică şi biologic, legătură prin care biologie a ajutat fizica la descoperirea ccnseruiirii enerqiei, pentru prima dată demonstrată de Mayer în legătură cu cantitatea de căldură primită şi cedată de o fiinţă vie. Dacă privim mai de aproape procesele biologiei animalelor vii, vedem multe fenomene fizice: circulaţia singelui, pompe presiune etc. Există nervi: ştim ce se întîmplă cînd călcăm pe o piatră ascuţită şi că într-un fel sau altul informaţia merge de la picior în sus. E interesant cum se întîmplă aceasta. în studiul nervilor, biologii au ajuns la concluzia că aceştia sî~ tuburi foarte fine eu un perete complex, care e foarte subţire. Prin/acest perete celula pompează ioni, astfel încît există ioni pozitivi în afară şi negativi înăuntru, ca într-un condensator. ar, această membrană are o proprietate interesantă: dacă "se descercă" într-un anumit loc, adică dacă unii dintre ioni au fost in stare să o traverseze de-a curmezişul, astfel ca tensiunea electrică să fie redusă acolo, această influenţă elecerlcă se face simţită asupra ionilor din vecinătate şi ea afectează membrana, astfel încît lasă să treacă ionii de-a curmezişul şi în punctele învecinate. Aceasta, la rîndul său, o afectează mai departe etc. 'Şi astfel există o undă de "penetrabilitate" a mcmbranet care se propagă atunci cînd ea este "excitată" la un capăt, de exemplu prin călcare pe piatră ascuţită. Această undă este oarecum analogă cu ceea ce se întîmplă cu un lung şir de pietre de domino aşezate vertical atunci cînd este răsturnată piatra de la capăt: aceasta răstoarnă pe următoarea etc. Desigur că astfel se va transmite doar un singur mesaj dacă dominourile nu sînt ridicate din nou în picioare. în mod similar, în celula nervoasă există procese care pompcază încet ionii din nou afară, spre a pregăti nervul pentru impulsul următor. Aşa se face că ştim ceea ce facem (sau cel puţin Unde ne aflăm). Desigur că efectele electrice asociate cu acest impuls nervos pot fi culese cu instrumente electrice şi, din cauză că există efecte electrice, în mod evident fizica proceselor electrice a avut o mare importanţă pentru înţelegerea fenomenului. Fenomenul opus este că, de undeva din creier, se transmite spre exterior un mesaj de-a lungul unui nerv. Ce se petrece la capătul nervul\1i? Acolo ncrvul are ramifacatii fine, conectate cu o structură de

LEGATURA FIZICII

54

eu

ALTE

ŞTIlNŢI!;.

lîngă un muşchi, o placă termtnală. Pentru motive care nu sînt înţelese­ exact, cînd impulsul ajunge la capătul nervului sînt expulzate mici cantităţi

dintr-o

substanţă chimică numită acetllcoltnă

(cinci

pînă

la zece

molecule o dată) şi aceasta afectează fibra musculară, făcîndu-o să se contracte - ce simplu! Ce cauză face un muşchi să Se contracte? Muş­ chiul este format dintr-un mare număr de fibre aşezate diferit, myosina şi ectomyostna, dar mecanismul prin care reacţia chimică indusă de acetllcolină poate modifica dimensiunile moleculei nu este încă cunoscut. Astfel, procesele fundamentale din muşchi, care produc mişcările mecanice, nu sînt cunoscute. Biologia este un domeniu atît de vast încît există multe alte probleme pe care nu le putem menţiona deloc ~ cum funcţionează vederea (ce produce lumina în ochi), cum funcţionează auzul etc. (Modul în care funcţionează gindirea îl vom discuta mai tîrziu la psihologie.) Dar aceste lucruri privind biologia, pe care le-am menţionat, nu sînt, de fapt, din punct de vedere biologic fundamentale, la temelia vieţii, in sensul următor: chiar dacă le-am inţelege încă tot nu am înţelege viaţa însăşi. Pentru exemplificare: cei care studiază nervii simt că munca lor e foarte importantă, fiindcă în definitiv nu poţi avea animale fără nervi. Dar poţi avea viaţă fără nervi. Plantele nu au nici nervi nici muşchi, dar totuşi ele există, trăiesc. Aşa că pentru problemele fundamentale ale biologiei trebuie să privim mai în profunzime; cînd facem asta, descoperim că toate fiinţele vii au o mulţime de caracteristici comune. Astfel, in primul rind ele sînt făcute din celule, în interiorul cărora există un mecanism complex capabil de a efectua procese chimice. In celulele plantelor, de exemplu, există un mecanism pentru captarea lumini şi generarea zaharozei, care e consumată apoi în întuneric spre a menţine planta in viaţă. Cînd planta este mîncată, aceeaşi zaharoză generează în animal o serie de reacţii chimice foarte strins legate de fotosinteza din plante (şi efectul său opus din întuneric). In celulele sistemelor vii există multe reacţii chimice complicate în care un compus este schimbat în mulţi alţii. Pentru a da o idee despre enormele eforturi făcute în studiul biochimiei, diagrama din figura 3.1 rezumă cunoştinţele noastre de pînă acum despre o mică parte din multele serii de reacţii care se produc în celule, poate unu la sută sau cam aşa ceva. Vedem aici o întreagă serie de molecule care se transformă una in alta Într-un şir sau ciclu de etape destul de mici. El se numeşte ciclu Krebs, ciclul respirator. Fiecare dintre substanţele chimice şi fiecare dintre etape este destul de simplă în ceea ce priveşte schimbarea făcută în moleculă, dar - şi aceasta constituie o descoperire de importanţă centrală in biochimie - aceste schimbări sînt relativ dificil de efectuat intr-un laborator. Dacă avem o anume substanţă şi o alta foarte asemănătoare, prima nu trece pur şi simplu în cealaltă, pentru că cele două forme sînt de obicei separate printr-o barieră de energie, un "deal". Să facem ur-

EIOLOGlA

55

rnătoarea analogie: dacă am vrea să ducem un obiect dintr-un loc Întraltul, la acelaşi nivel, dar de cealaltă parte a unui deal, l-am putea împinge pe deasupra vîrfului, dar pentru a face aceasta e nevoie de energie. Astfel, multe reacţii chimice nu se produc, pentru că există pe drum ceea ce se numeşte energia de activare. Pentru a adăuga un atom suplimentar la substanţa noastră chimică e necesar să îl aducem destul de aproape pen-

AcdtlccmzÎm •

Fig. 3.1. Ciclul Krebs.

tru a se produce o rearanjare: atunci el se va alipi.

Dacă nu îi putem da energie pentru a-l aduce suficient de aproape, el nu va putea .ajunge la ţintă, ci va urca doar o parte din "deal", iar apoi va cobori inapoi. Totuşi, dacă am putea literalmente lua moleculele în mină, impingind şi trăgînd atomii astfel încît să practicăm o gaură pentru a introduce noul atom, iar apoi am lăsa-o să se închidă la loc, am avea la dispoziţie o altă cale, în jurul dealului, care nu ar reclama energie supltmeetară, iar reacţia ar merge uşor. Există intr-adevăr in celule molecule

destulă

LEGĂTURA

FIZICU CU ALTE

ŞTUNŢE,

foarte mari, mult mai mari decît cele ale căror schimbări le-am descris; care într-un mod complicat ţin moleculele mai mici exact aşa cum trebuie pentru ca reacţia să se poată produce cu uşurinţă. Aceste structuri foarte mari şi complicate se numesc enztme. (Ele au fost numite iniţial îermenti, fiindcă au fost descoperite în fcrrnentaţia zahărului. De fapt, cîteva dintre primele reacţii ale ciclului Krebs au fost descoperite acolo.). In prezenţa unei enzlmc reacţia va avea loc. a enzimă este făcută dintr-o substanţă numită proteină. Enzimele sint foarte mari şi complicate, diferite între ele, iar fiecare este COnstruită pentru a controla o anumită reacţie specială. Numele enzimelor sînt scrise în figura 3.1 la fiecare reacţie. (Cîteodată aceeaşi enzimă poate controla două reacţii.) Accentuăm că enzlmele, ele înşile, nu sînt direct implicate în reacţie. Ele nu se modifică, ci au pur şi simplu rolul de a permite unui atom să treacă dintr-o parte într-alta. După ce a făcut acest lucru cu o moleculă, enzima e gata să îl repete cu cea următoare, ca o maşină într-o fabrică. Desigur, trebuie să existe un stoc de anumiţi atomi şi un mod de a dispune de atomii inutili. Să luăm de exemplu htdrogenul: există enzime care au în ele unităţi speciale ce transporta hidrogenul pentru toate reacţiile chimice. De exemplu, sînt trei sau patru enzime reducătoare de hidrogen care sînt folosite de-a lungul întregului nostru ciclu in diferite locuri. E interesant că mecanismul care eliberează hidrogen într-un anumit loc il va prelua pentru a-l folosi în altă parte. Cea mai importantă trăsătură a ciclului din fig. 3.1 este transformarea de la GDP la GTP (guanadin-2-fosfat în guanadin-3-fosfat) pentru că una dintre substanţe are mult mai multă energie în ea decît cealaltă. Exact aşa cum există in anumite enzfme o "cutie" pentru a transporta atomi de hidrogen, există "cutii" speciale care transportă energie, punînd În joc grupul trifosfat. Astfel, GTP are mai multă energie decît GDP şi dacă ciclul merge numai într-un sens producem molecule care au energie suplimentară. Acestea pot pune în mişcare un alt ciclu care cere energie, de exemplu contractia unui muşchi. Muşchiul nu se va contraeta decît dacă există GTP. Putem lua o fibră musculară, să o punem în apă. şi să adăugăm GTP, şi fibra se va contracte, transformînd GTP în GDP, dacă sînt prezente enzimelc necesare. Astfel, esenţa problemei stă în transformarea GDP-GTP. In întuneric, GTP care a fost tnmegazlnat 'in timpul zilei este folosit pentru a face să meargă întregul ciclu in sem; opus. Vedeţi că unei eneime nu îi pasă în ce sens merge reacţia, căci dacă i-ar păsa ar viola una din legile fizicii. Fizica este de mare importanţă în biologic şi în alte ştiinţe pentru încă un motiv, legat de tehnica experimentală, De fapt, fără marea dezvoltare a fizicii experimentale, toate aceste scheme biochimice nu ar fi cunoscute astăzi. Motivul este că cea mai utilă metodă pentru a analiza acest sistem fantastic de complex este să se marcheze atomii care sînt folosiţi in reacţii. Astfel, dacă am putea introduce în ciclu nişte bioxid

BlOLOG1A

57

sînt la fel, dar ci diferă in greutate şi au proprietăţi nucleare diferite, astfel Incit pot fi distinşi. Folosind aceşti izotopi de diferite greutăţi, sau chiar izotopi radioactiv! 'Ca Cu, care furnizează un mijloc mai sensibil pentru a trasa cantităţi foarte mici, este posibil să se urmărească reacţiile. Ne întoarcem acum la descrierea enzimclor şi proteinelor. Nu t.oate proteinele sint enzime, dar toate enzlmclc sînt proteine. Există multe proteine, ca proteinele din muşchi, proteinele structurale care există, de exemplu, în cartilegfi, păr, piele etc., care nu sînt ele insele cnztme. 'Totuşi, proteinele sînt o substanţă caracteristică vieţii: mai întîi, din ele 'sînt constituite toate enzimclo şi, în al doilea rînd, din ele este constituită o mare parte din restul mater-iei vii. Proteinele au o structură foarte interesantă şi simplă. Ele sint un şir, sau lanţ, de diferiţi aminoacizi. Există douăzeci de aminoacizi diferiţi şi toţi se pot combina unul cu altul spre a forma lanturi in care coloana vertebrală este CO--NH etc. Proteinele nu sînt altc~va decît lanţuri de diverşi aminoacizi dintre cei douăzeci. Fiecare dintre aminoacizi probabil că serveşte unui scop special. Unii, de exemplu, au un atom de sulf intr-un anumit loc; cînd în această proteină sint doi atomi de sulf, ci formează o legătură, adică ci leagă lanţul laolaltă în două puncte formînd o buclă. Altul are atomi de oxigen supltanentart care îl fac să fie o substanţă acidă, iar altul are o caracteristică bazfcă. Unii dintre ei au grupuri mari atîrnînd intr-o parte, astfel încît ,lJnde sînt aşezaţi atomii. Pentru a inţelege chimia trebuie să ştim exact ·~ce atomi sint prezenţi, căci altfel nu putem analiza situaţia. Aceasta este illUD1ai una dintre limitări, desigur.

i părţi. Putem aplica aceleaşi principii pentru a împărţi secunda în intervale din ce in ce mai mici. Evident nu este practic să se facă pendule mecanice care să meargă arbitrar de repede, dar astăzi putem face pendule electrice, numite oscilatori, care pot furniza un eveniment periodic cu o foarte scurtă perioadă de oscilaţie. In aceşti oscilatori electronici un curent electric e cel care oscilează încoace şi incolo, într-un mod analog cu oscilaţia greutăţii pendulului. Se pot face o serie de astfel de oscilatori electrcnici, fiecare cu o perioadă de 10 ori mai scurtă decît precedenta. Putem "calibra" fiecare oscăetor astfel ca faţă- de următorul să fie mai lent, socotind numărul de oscilaţii pe care le efectuează el cît durează o oscilaţie a oscilatorului mai lent. Cînd Perioada de oscilaţie a ceasului nostru este mai scurtă decit ţibilităţii

6-

Fizic.. modernli voI. I.

:tIMPUL ŞI DISTANŢA

82

I

O fracţiune dintr-o secundă putem număra osctlatiile /fără ajutorul unui dispozitiv care extinde puterile noastre de Observ~ţi . Un astfel de dis-

pozitiv este oscilosc?pu~ cu ra.ze catodic~, ca~e. aer neaz~ ca un fel de microscop pentru ttmpt scurti. Acest dIspOZItIV seeza pe un ecran

fluorescent un grafic al curentului electric (sau

tensiunii) ca funcţie

de timp. Conectînd pe rind osci1oscopul la doi , intre osci1atorii

,noştri,

-1

I

r

\ .. /4'\ // ····0 \-Fig. 5.2. Două aspecte ale ecranului. unui osciloscop: a) OSCil08COpul este conectat la un oscilator; b) el e conectat la un oscnator cu o perioadă de o zecime din precedenta.

.astîel încît el

să

traseze intii un grafic al curentului pentru unul dintre

oscilatort şi apoi pentru celălalt, obţinem două imagini ca cele din figura 5.2. Putem determina imediat numărul de perioade ale oscilatorulut mai rapid pc durata unei perioade a oscilatorului mai lent. Cu tehnicile electronice moderne au fost construiţi oscllatort cu perioade scurte, de circa 10-12 secunde, şi au fost calibraţi (prin metode de 'comparaţie ca aceea pe care am descris-o) faţă de unitatea noastră stan-dard de timp, secunda. O dată cu inventarea şi perfecţionarea .Jascrului'' (amplificatorul de lumină), în ultimii ani a devenit posibil să se facă -osctlatorl cu perioade şi mai scurte decît 10-12 secunde, dar aceştia încă nu au putut fi calibraţi prin metodele pe care le-am descris, deşi, fără 'îndoială, va fi în curînd posibil. Au fost măsuraţi timpi mai scurţi decît 10-12 secunde, dar printr-o tehnică diferită. De fapt, s-a folosit o altă definiţie a "timpului". O cale a fost să se observe distanţa dintre două întîmplări petrecute cu un obiect in mişcare. Dacă, de exemplu, sînt aprinse şi apoi stinse farurile unui .automobfj in mişcare, putem calcula cît timp au fost aprinse luminile dacă ştim unde au fost ele aprinse şi stinse şi cît de repede se mişca maşina. Timpul reprezintă distanţa pe care luminile au fost aprinse, împărţită la viteză. In ultimii cîţiva ani, tocmai o astfel de tehnică a fost folosită pentru a se măsura timpul de viaţă al mezonului Jto. Observînd la un microscop urmele fine lăsate de mezorui Jto generaţi într-o emulsie fotografică, s-a văzut că un mczon nQ (cunoscut că se deplasează cu o viteză apropiată

ss

TIMPI LUNGI

de a luminii) parcurgea o distanţă de aproximativ 10-7 metri, în medio, înainte de a se deălntegra. El trăieşte deci cam 10~16 secunde. Trebuie accentuat că aici a~ti1izat o definiţie oarecum diferită a "timpului" decît inainte. Atit ti P cît nu există Inconslstenţe in înţelegerea noastră, ne simţim destul de s uri că definiţiile noastre sînt suficient de echivalente. Extinzind tehnictlevnoastre - şi, dacă e necesar, definiţiile noastre - încă mai departe, putem deduce duratele şi mai scurte ale unor evenimente fizice. Putem vorbi despre perioada unei vibraţii nucleare. Putem vorbi despre timpul de viaţă al rezonantelor particulelor stranii nou descoperite, menţionate în capitolul 2. Intreaga lor viaţă ocupă un răstimp de numai 1O~24 secunde, aproximativ timpul care i-ar trebui luminii (care se mişcă cu cea mai mare viteză cunoscută) să traverseze nucleul hidrogenului (cel mai mic obiect cunoscut). Dar despre timpii şi mai scurţi? Există "timpul" la o scară mai mică incă? Are vreun sens să vorbim despre timpii mai mici dacă nu putem măsura sau poate că nici măcar imagina mintal - ceva care se petrece intr-un timp mai scurt? Poate că nu. Acestea sint citeva din întrebările deschise pe care vi le veţi pune şi la care, poate, veţi răspunde în următortî douăzeci sau treizeci de ani. 5.4. Timpi Iungt Să considerăm acum timpi mai lungi decit o zi. Măsurarea timpilor lungi este uşoară; doar numărăm zilele - atîta vreme cît se află cineva prin jur care să facă numărătoarea. Mai întîi găsim că există o altă periodocitate naturală: anul, cam 365 zile. Am descoperit de asemenea

1/2

Fig. 5.3. Descresterea cu timpul t,I, il radioacttvttăţtt. Activitatea des- 1/4 ~----r----t-~--, creşte cu jumătate în decursul {l T 2T JT fiecărui "timp de înjumătăţire'' T.

Timp

că natura a furnizat uneori un numărător pentru ani, în fOrrD.8. Inelelor copacilor sau sedimentelor din fundul rîurilor. In unele cazuri putem folosi aceste înregistrări naturale ale timpului pentru a determina cît a trecut de la un eveniment anterior oarecare. Cînd nu putem număra anii pentru măsurarea timpilor lungi, trebuie să căutăm alte căi de a măsura. Una din cele mai reuşite este folosirea

"

::"~:~1'::"

6'"

"I"IMPUL

ŞI

DISTANTA

materialului radioactiv drept "ceas". In acest caz nu avem un eveniment periodic, ca in cazul zilei sau pendulului, ci un nou fel de "regularitate.« Mlăm că radioacttvftatea unei anumite probe de material descreşte cu o .aceeaşl fracţiune pentru creşteri succesive egale ,ale virstei sale. Dacă trasăm un grafic al radioactdvltăţil observate ca îuncţie de timp (să zicem in zile), obţinem o curbă ca cea arătată în figura 5.3. Observăm că dacă radlcectivitatea descreşte la jumătate in T zile (numit "timp de îmjumă­ tăţire", atunci ea descreşte la un sfert în alte T zile şi aşa mai departe. Intr-un interval arbitrar de timp t sînt tiT "timpi de injumătăţire" ş1 lractiunea

+r'T.

rămasă după acest timp t este(

Tabela 5.1 Timpi

-=l 10'

I

Socundo

10'"

10"

10" 10' 10' 10' 10' 1 10-' 10- 6

iaţa medIe a

? ? ? Vîrsta universului Virsta Pământului Primii oameni Vîrsta p.iramidelor Vimta Statelor Unite Viaţa unui om

Ori Lumina se propagă de la Soare la O bătaie a inimii Perioada undelor sonore Perioada undelor radio

Pâmănt

10-" 10- 12

10-'5

Lumina se propafţă pe distanţa 0,3 m Perioada unei rotaţii moleculare Perioada unei vfbraţii atomice

rc-«

Lumina

10~'

v

I

Neutron Miuon

I

Mezon nI:

I

Mezcn n'O traversează

un atom

Perioada unei vihraţii nucleare Lumina traversează un nucleu ?

? ?

Particulă

StI'anle

Dacă am şti că o bucată de material, să zicem o bucată de lemn, continuse o cantitate A de substanţă radioactivă cînd s-a format şi con-statăm printr-o măsurare directă că acum conţine cantitatea B, am putea calcula virsta obiectului, t, rezolvînd ecuaţia.

TIMPI LUNGI

85

Există,

din fericire, cazun In care putem şti cantitatea de substanţă care era intr-un obiect cind s-a format el. Ştim, de exemplu, de carbon din aer conţine o anumită fracţiune mică din iza-topul radioctiv al carbonulut Ci4 (reîmprospătat continuu de acţiunea razelor cosmice). Dacă măsurăm conţinutul total de carbon al unui obiect, ştim că o anumită fracţiune din aceea cantitate era iniţial carbonul radioactiv 0 4 ; ştim deci cantitatea iniţială A pe care o vom introduce in formula de mai sus. Carbonul-14 are un timp de injumătăţire de S 000 de ani. Prin măsurători ingrijite putem măsura cantitatea rămasă după o durată egală cu de 20 de ori timpul de injumătăţire şi putem deci "data" obiecte organice care au crescut cu pînă la 100000 de ani in radioactivă că bioxidul

urmă.

Ne-ar

plăcea să cunoaştem, şi

avem

credinţa că cunoaştem

de fapt,

viaţa unor lucruri şi mai vechi decît atit. Mare parte din cunoaşterea noastră este bazată pe măsurări ale altor izotopi radioactivi, care au timpii de înjumătăţire diferiţi. Dacă facem măsurători cu un izotop cu

o viaţă mai lungă, atunci sintem in stare să măsurăm timpi mai lungi. Urantul, de exemplu, are un izotop al cărui timp de injumătăţire este de circa 109 ani, aşa că dacă un material s-a format cu uraniu in el acum 109 ani, numai jumătate din uraniu va fi rămas astăzi. Cind uraniu! se dezintegrează, el se transformă in plumb. Să considerăm o bucată de rocă ce s-a format acum mult timp, într-un proces chimic oarecare. Plumbul, fiind de o natură chimică diferită de uraniu va apărea într-o parte a rocii, iar uraniul în altă parte. Ur-aniul şi plumbul vor fi separate. Dacă privim la această bucată de rocă astăzi, acolo unde ar trebui să fie numai uraniu vom găsi acum a anumită fracţiune de uraniu şi o anumită fracţiune de plumb. Comparînd aceste fractiuni, putem spune ce procent de uraniu a dispărut şi s-a schimbat în plumb. Prin această metodă s-a determinat că vîrsta anumitor roci este de mai multe miliarde de ani. O extensie a acestei metode, folosind nu roci, ci analizînd conţi­ nutul de uraniu şi plumb din oceane şi făcînd o medie pe intreg Pămîntul, a fost folosită pentru a determina (in decursul ultimilor ani) că vîrsta Pămîntului însuşi este de aproximativ 5,5 miliarde de ani. E încurajator faptul că vîrsta Pămîntului se găseşte de acelaşi ordin de mărime cu aceea a mctcoritilor care ating Pămîntul, ultima vîrstă fiind determinată prin metoda uraniului. Se parc că Pămîntul s-a format din roci plutind în spaţiu şi că mctcoritft sînt, foarte probabil, ceva rămas din acel material primar. La un anumit timp, cu mai mult de cinci miliarde de ani în urmă, universul a început. Se crede astăzi că cel puţin partea noastră din univers şi-a avut începutul cam acum zece sau două­ eprezece miliarde de ani. Nu ştim ce s-a întîmplat înainte de asta. De fapt, ne putem întreba din nou: are sens întrebarea? Are vreo semnificaţie un timp mai îndepărtat?

TIMPUL

ee 5.5.

Unităţi şi

ŞI DISTANŢA

etaloane de timp

Am dat a înţelege că e convenabil să pornim cu o unitate etalon de timp, să zicem o zi sau o secundă şi să raportăm toţi ceilalţi timpi la un multiplu sau o fracţiune a acestei unităţi. Ce vom lua drept etalon de bază al timpului? Vom lua pulsul omenesc? Dacă comparăm diverse pulsuri, găsim că ele par să difere foarte mult. Comparind două ceasuri, se găseşte că ele nu diferă atit de mult. Am putea spune atunci, bine, să luăm un ceas. Dar al cui? Există o poveste cu un băiat elveţian care voia ca toate ceasurile din oraşul său să bată amiaza in acelaşi timp. Aşa că a mers ici, colo incercind să convingă pe fiecare de valoarea acestei idei. Fiecare zicea că e o idee minunată atîta vreme cit toate celelalte ceasuri ar fi bătut amiaza după al său! Este destul de greu de hotărît al cui ceas trebuie să-I luăm ea etalon. Din fericire, cu toţii avem în comun un ceas - Pămîntul. Multă vreme perioada de rotaţie a Pămîntului a fost luată drept etalonul de bază al timpului. Pe măsură însă ce măsură­ torile au fost făcute tot mai precis, s-a găsit că rotaţia Pămîntului nu este exact periodică, cînd e măsurată în raport cu cele mai bune ceasuri. Aceste "cele mai bune" ceasuri sînt cele pe eare avem motive să le credem precise pentru că se potrivesc unul cu altul. Acum credem, că din diverse motive, unele zile sint mai lungi decit altele, unele zile sint mai scurte şi, in medie, perioada rotaţiei Pămîntului devine puţin mai lungă pe măsură ce trec secolele. Pînă foarte de curînd nu am găsit nimic eu mult mai bun.decît perioada rotaţiei Pămîntului, aşa că toate ceasurile au fost corelate cu lungimea zilei, iar secunda a fost definită ca 1/86400 dintr-o zi medie. De curind am cîştigat experienţă cu unii oscllatcrl naturali care credem că ar furniza un reper mai constant pentru timp decît Pămîntul şi care, în afară de aceasta, sînt bazaţi pe un fenomen natural la îndemîna oricui. Acestea sînt aşa ~ numitele "ceasuri atomice". Perioada lor proprie fundamentală este aceea a vibratiei atomice. care e insensibilă la temperatură sau la orice alte efecte externe. Aceste ceasuri menţin timpul eu o precizie de 1/10 9 sau chiar mai bine. In ultimii doi ani un ceas atomic îmbunătăţit, care funcţionează pe baza vibraţiei atomului de hidrogen, a fost proiectat şi construit de profesorul N. Ramsey la Universitatea Harvard. Profesorul crede că acest ceas ar putea fi de 100 de ori mai precis. Măsurători aflate in curs de desfăşurare vor arăta dacă este adevărat sau nu. Ne putem aştepta că, întrucît a fost posibil să se contruiască ceasuri mult mai precise decît timpul astronomic, in curînd o să existe un acord intre oamenii de ştiinţă pentru a defini unitatea de timp în raport cu unul din etaloanele de ceasuri atomice.

,~

DISTANŢE

5.6.

MARI

Distanţe

mari

Să ne intoarcem acum la problema distanţei. Cit de departe sau cit de mari sînt lucrurile? Fiecare ştie că modul cel mai simplu in care se măsoară distanţa este de a porni cu un băţ şi de a număra. Se începe cu o cantitate şi se numără. Cum se măsoară lucrurile mai mici? Cum se subdivide distanţa? In acelaşi mod în care am subdivizat timpul: luăm o unitate mai mică şi socotim numărul de astfel de unităţi care se cuprind intr-o unitate mai mare. Astfel putem măsura lungimi din ce in ce mai mici.

Tabela 52 Distanţe

Ani-lumină I

Metri

? ? ? 10'

Marginea universului

10'

Plnă

10'

10" 10'

10' 10' 1 10-"

10-0

la cea mai

apropiată

Pînă

la centrul galaxiei

Pjnă

la cea mai

galaxie

învecinată.

noastre.

apropiată

stea,

Raza orbited lui Pluto. Pînă

la Soare

PÎ.Ilă

la

Lună

Inălţimoa

unui Sptrtnik

Înălţimea

unui tum de Înălţimea unui copil.

Un

grăunte

antenă

TV.

de sare,

10-"

Un virus.

10-11

Raza unui atom. Raza unui nucleu.

Dar nu intotdeauna Intelegem prin distanţă ceea ce obţinem numărînd eu o vergea de un metru. Ar fi greu să măsori distanţa orizontală dintre două vîrfuri de munte folosind numai o vergea de un metru. Am găsit prin experienţă că distanţa poate fi măsurată şi în altă manieră: prin

TIMPUL

88

ŞI DISTANŢA

trlangulaţle. Deşi aceasta înseamnă că, in realitate, folosim o definiţie diferită a distanţei, cînd pot fi folosite ambele definiţii; ele se potrivesc

una cu alta. Spaţiul este mai mult sau mai puţin ceea ce Euclid credea că este, aşa că cele două moduri de definire a distanţei se potrivesc. Intrucit ele se potrivesc pe Pămînt, asta ne dă oarecare siguranţă în folosirea triangulatiei pentru distanţe şi mai mari. De exemplu, am fost

Fig. 5.4.

Inălţimea

determinată

unui Bputnlk este prin triangulaţie.

in stare să folosim triangulaţia pentru a măsura înălţimea primului Sputnik. Am găsit că el efa la aproximativ 5.10 5 metri altitudine. Prin mă­ surători mai atente, distanţa pînă la Lună poate fi determinată în acelaşi mod. Două telescoape situate În locuri diferite pe Pămînt ne pot da cele două unghiuri de care avem nevoie. S-a găsit în acest mod că Luna este la o depărtare de 4-10 8 metri. Nu putem face acest lucru eu Soarele, sau cel puţin nimeni nu a fost încă în stare. Precizia cu care se poate focaliza un punct dat de pe Soare şi cu care se pot măsura unghiuri nu e destul de bună ca să ne permită să măsurăm distanţa pînă la Soare. Atunci cum putem totuşi măsura distanţa pînă la Soare? Trebuie să inventăm o extensie a ideii

Fig. 5.5. Distanţa stelelor apropiate poate fi măsurată prin tr-iangulaţie, folosind drept bază diametrul orbitei Pămîntului. triangulaţie. Măsurăm distanţele relative observaţii astronomice ale locurilor unde par gine a sistemului solar cu distanţele relative

de

ale tuturor plantelor prin a fi ele şi obţinem o Imaale tuturor constttuenţtlor săi, dar fără nici-o distanţă absolută. Este apoi necesară o măsurătoare absolută şi ea a fost obţinută pe mai multe căi. Una dintre căi, care se credea pînă de curînd a fi cea mai precisă, era de a măsura distanţa de

1 e

DISTANŢE

:MAR!

- _.. _ . - - - -

la Pămînt la Eros, unul din micii asteroizi care trec din cînd in cînd pe Ungă Pămînt. Aplicînd metoda triangulaţici la acest mic obiect se poate obţine acea măsurătoare necesară pentru a determina scara mă­ rfmilor. Cunoscînd distanţele relative ale restului, putem atunci Spune care este distanţa, de exemplu, de la Pămînt la Soare sau de la Pămînt la Plute. In cursul ultimilor ani s-a obţinut o mare îmbunătăţire in cunoaşte­ rea dimensiunilor sistemului solar. La "Jet Propulsion Laboratory" al Institutului de Tehnologie din California a fost măsurată foarte precis distanţa de la Pămînt la Venus prin observaţii directe cu radar. Considerăm că ştim viteza cu care se propagă lumina (deci cu care se propagă undele de radar) şi presupunem că ea este constantă peste tot între Pămînt şi Venus. Trimitem unda de radio şi socotim timpul pînă cind unda reflectată vine înapoi. Avînd timpul deducem o distanţă, presupunînd că ştim viteza. Apare, in realitate, aici o altă definiţie a distanţei. Cum măsurăm distanţa pînă la o stea, care e mult mai departe? Din fericire, ne putem intoarce la metoda triangulaţiei pentru că Pămîntul, mişcîndu-se in jurul Soarelui, ne dă o bază mare pentru măsurători ale obiectelor dinafara sistemului solar. Dacă îndreptăm telescopul spre o

Fig. 5.6. o Ingrămădîre de stele din 8propierea centrului galaxiei noastre. :Distanţa lOr de la Pămînt este de 3000 ani lumină sau aproximativ 3.1020 metri.

stea, vara şi iarna, am putea spera să determinăm cele două unghiuri necesare, destul de precis ca să fim in stare să măsurăm distanţa pînă

la ea. _~\

'_ Dar dacă stelele sînt prea departe pentru a putea folosi triangulaţia? -: ,Astronomii inventează mereu noi căi de a măsura distanţa. Ei găsesc, .ele.. exemplu, că pot estima mărimea şi strălucirea unei stele după culca-

TIMPUL

ŞI DISTANŢA

rea sa. Culoarea şi strălucirea multor stele apropiate - ale căror distanţe sint cunoscute prin triangulatie - au fost măsurate şi se găseşte că există (in cele mai multe cazuri) o corelaţie directă între culoarea şi strălucirea proprie a stelelor. Dacă se determină culoarea unei stele depărtate, se poate folosi relaţia culoare-strălucire pentru a determina strălucirea proprie a stelei. Măsurînd cit de strălucitoare ne apare steaua pe Pămînt

Fig. 5.7. O galexle spirală asemănătoare cu a noastră. Presupunînd că diametru! său e similar cu acela al propriei noastre galaxfl, putem calcula distanţa ei din mărimea

sa

aparentă.

Ea

este de 30 milioane de anilumină (3.10 23 metri) de la Pămînt.

(sau poate chiar că ar trebui să spunem cît de întunecoasă apare), putem calcula cît de departe este ea. (Pentru o strălucire proprie dată, strălucirea aparentă descreşte cu pătratul distanţei.) O frumoasă confirmare a corectitudinii acestei metode de măsurare a distanţelor stelare este dată de rezultatele obţinute pentru grupurile de stele cunoscute sub denumirea de tngrămădtri globulare. Fotografia unui astfel de grup este arătată in figura 5.6. Privind fotografia Se poate conchide că aceste stele sînt grupate toate la un loc. Acelaşi rezultat se obţine din măsurători de distanţă prin metoda culoare-strălucire. Un studiu al multor îngrămădirl globulare dă un alt important element de informaţie. Se găseşte că există o înaltă concentraţie de asemenea aglomerări într-o anumită zonă a cerului şi că multe dintre ele sînt cam la aceeaşi distanţă de noi. Cuplind această informaţie cu alte dovezi, conchidem că această concentrare de aglomerări marchează centrul galaxiei noastre. Astfel aflăm distanţa pînă la centrul galaxiei _. cam 1020 metri. Cunoscînd mărimea propriei noastre galaxii, avem o cheie pentru măsurarea unor distanţe şi mai mari distanţele pînă la alte galaxii. Figura 5.7 e o fotografie a unei galaxii de aproape aceeaşi Iormă ca a noastră. Probabil că are şi aceeaşi mărime. (Există şi alte dovezi care

DISTANŢE

susţin

SCURTE

91

galaxiile sînt toate cam de aceeaşi mărtme.) Dacă este cu a noastră, putem determina distanţa pînă la ea. Măsurăm unghiul pe care îl subîntinde pe cer; îi cunoaştem diametrul şi îi calculăm distanţa - iarăşi triangulaţie! Fotografii ale galaxiilor extrem de îndepărtate au fost obţinute recent cu telescopul gigantic de la Palomar. Una este arătată în figura 5.8. ideea

intr-adevăr

că

de

aceeaşi mărime

Fig. 5.8. Cel mai îndepărtat obiect măsurat de tetescopul de 500 cm pînă în 1960: 3C295 diIi'- Bootes (indicat de săgeată).

Se crede acum că unele dintre aceste galaxll sint cam la jumătatea drumului pînă la limita universului - 1020 fier-ti depărtare --- cea mai mare distanţă pe care o putem imagina! 5.7.

Distanţe

scurte

Acum să ne gîndim la distanţele mici. A subdivizia metrul este uşor. dificultate putem marca o mie de intervale egale care totalizează un metru. Cu ceva mai multă dificultate, dar într-Un moi similar (Iolo'slnd un bun microscop), putem marca o mie de subdiviziuni ale mtlimctrului pentru a face o gradaţie de microni (milionimi dintr-un metru). E greu să Se continue astfel la gradaţii mai mici, fiindcă nu putem "vedea" obiecte mai mici decît lungimea de undă a lungimii vizibile (cam 5'10-7 metri). Nu e necesar să ne oprim, însă, la ceea ce putem vedea. Cu un mim'Oscop electronic putem continua procesul făcînd fotografii la o scară ~ mai mică, să zicem ptnă la 10----c'>'''"",--,,,,,10punctul ' tit- jJlecore)

,

..'

-5

~

-!O

e

/0 AI(fUt; i'ocu.tt} 20

.:

JO

Fig. 6.5. Inaintarea intr-un mers la intimplare. Coordonata orizontală N este numărul total de paşi făcuţi; coordonata verticală D(N) este distanţa netă străbătută de la poziţia de plecare.

Valoarea medie a lui D~ pentru N>l poate fi obţinută din DN _ 1• Dacă, după (N-l), avem DN-l' atunci după N paşi avem DN=D,v__ l+l sau l>N=DN_I-L Pentru pătrate,

D~=

+ 2D 1+ 1 sa D~·_t -2~_1 + 1. D~'_l

j

N_

(6.7)

Intr-un număr de secvenţe independente, ne aşteptăm să obţinem fiecar~ valoare în jumătate din numărul de cazuri, astfel că valoarea mijlOCIe de aşteptat este chiar media celor două valori posibile. Valoarea aşteptată a lui D~ este atunci egală cu D;'_I + 1. Prin definiţie, trebuie să ne aşteptăm pentru DK:_ t la "valoarea sa medie"(D~_l>' Astfel

(D~>

Am arătat deja că

=

(D~_l>

+ 1.

(Di> =1; rezultă atunci (D~r"V

un rezultat deosebit de simplu!

(G.8) că

(6.9)

PROBABILITATEA

104

Dacă dorim un număr de dimensiunea unei distanţe, mai curînd decît o distanţă la pătrat, pentru a reprezenta "inaintarea făcută de la origine" într-un mers la întîmplare, putem folosi "rădăcina mediei pă­ tratice" a distanţei definită ca

(6.10)

Am semnalat că mersul la întîmplare este riguros asemănător din punct de vedere matematic cu jocul de aruncare a monedei pe care l-am considerat la începutul capitolului. Dacă ne imaginăm direcţia fiecărui pas a fi în corespondenţă cu apariţia stemci sau banului în aruncarea unei monedc, atunci DN este tocmai Ns-N B , diferenţa dintre numărul de capete şi steme. Intrucit Ns+NB=N, numărul total de paşi (şi aruncărf), avem DN=2N s-N. Am dedus mai Înainte o expresie pentru distribuţia aşteptată a lui N s (caracterizată prin k) şi am obţinut rezultatul din relaţia (6.5). Intrucit N e doar o constantă, avem distribuţie corespunzătoare pentru DN. (Fiindcă pentru fiecare stemă mai mult decît N/2 există un ban "lipsă", avem un factor 2 între N ş şi DN ) . Graficele din fig. 6.2 reprezintă distribuţia distanţelor pe care le-am putea obţine în 30 de paşi la întîmplare (unde k=15 trebuie citit DN=O; k=16, DN=2 etc.). Variaţia lui N s de la valoarea sa medie Nit este (6.11) Rădăcina

mediei

pătratice

a

mărimii

este (6.12)

In conformitate cu rezultatul nostru pentru D...." ne aşteptăm ca valoarea sa pentru N=30 de paşi să fie V30=5,5, ceea ce corespunde unui k îndepărtat, cam cu 5,5/2=2,8 unităţi de 15. Vedem că "lăţimea:' curbei din fig. 6.2, măsurată de la centru, este cam 3 unităţi, în acord eu acest rezultat. Sintem acum în situaţia de a considera o chestiune pe care am evitat-o pînă aici. Cum vom spune dacă o monedă e "onestă" sau neuniform "încărcată" în scopuri necinstite? Putem da acum cel puţin un răspuns parţial. Pentru o monedă onestă ne aşteptăm ca fracttunca de ori în care apare stema să fie 0,5, adică (Ns) =0,5. N

(6.13)

MERSUL LA INTIMPLARE

105

De asemenea ne aşteptăm ca în mijlociu N s cu VN/2, sau fracţiunea să devieze cu 1

iN

să

devieze de la N /2 cam

1

-;;;-2-= 21{N'

Cu cît N este mai mare, cu atît mai aproape ne aşteptăm să fie de jumă­ tate fracţiunea Ns/N. In fig. 6.6 am reprezentat fracţiunea Ns/N pentru aruncările de monedă relatate mai înainte în acest capitol. Vedem tendinţa fracţiunii de steme de a se apropia de 0,5 pentru N mare. Din nefericire, pentru orice secvenţă dată (sau combinaţie de secvenţe) nu există nici o garanţie că deviaţia observată va fi măcar apropiată de deviaţia aşteptată. Există totdeauna şansa finită ca o fluctuaţie mare un lung şir de stema sau bani - să dea o deviaţie arbitrar de mare. Tot ce putem spune este că dacă deviaţia e aproape de aşteptate valoare 1/2 VN (să zicem pînă la un factor 2 sau 3) nu avem nici un motiv de a suspecta onestitatea monedei. Dacă ea este mult mai mare, putem fi bănuitori, dar nu putem dovedi că moneda este "încărcată" (sau că aruncarea nu se face "la intimplare"!). De asemenea, nu am considerat cum trebuie să tratăm cazul unei .anonede'' sau unui obiect similar pentru care avem bune motive să credem că trebuie să aibă probabilităţi diferite pentru stemă şi ban. Am definit P{S)=(Ns)/N. Cum vom şti la ce să ne aşteptăm pentru N s? In unele cazuri, cel mai bun lucru pe care îl putem face este să observăm

Fracţiunea de aruncărt care anumită secvenţă de N aruncări

Fig. 6.6.

au dat stema într-o ale unei monede,

~UD1ărul de steme obţinute într-un număr mare de aruncări. In lipsă """'f alteeva mai bun, vom pune (N s =N s (observat). (Cum ne-am putea .~ la altceva?) Trebuie să înţelegem, totuşi, că într-un asemenea ~ o experienţă diferită, sau un observator diferit, ar putea conchide .. P(S) este diferit. Ne vom aştepta, totuşi, ca diversele răspunsuri să

>

~X'1J(>trivească pînă la deviaţii de 1/2 yN [dacă P(S) e apropiat de [u-

106

PROBABILITATEA

mătate]. Un fizician cxperbncntator spune de terminată experimental" are o "eroare" şi

P(S)~ &

±

_,_o 2VN

N

obicei

că

probabilitatea "de-

scrie (6.14)

Scriind o astîel de expresie se face implicit presupunerea că există o probabilitate "adevărată" sau "corectă" care ar putea fi calculată dacă am Nu

şti

destul

şi că observaţia poate

există, totuşi,

fi în "eroare" datorită unei fluctuatii. nici o cale de a face o astfel de concepţie, logic con-

sistentă. Este poate mai bine să ne litate este Într-un sens subiectivă, noaştere nesigură şi că măsură

ce

obţinem

seama că noţiunea de probabiea etotdeauna bazată pe o cuevaluarea sa cantitativă e supusă schimbării, pe

mai multe

dăm

că

informaţii.

6.4. O distribuţie de probalilitate Să ne întoarcem acum la mersul la întîmplare şi să considerăm o modificare a sa. Inchipuiri-vă că în plus faţă de alegerea la intimplare a direcţiei (+ sau -) fiecărui pas, lungimea fiecărui pas este de asemenea variată intr-un mod imprecizabil, singura condiţie fiind ca în medie lungimea pasului să fie o unitate. Acest caz e mai reprezentativ pentru ceva ca mişcarea termică a unei molecule Într-un gaz. Dacă numim lungimea unui pas S, atunci S poate avea absolut orice valoare, dar foarte adesea va fi "aproape" de 1. Pentru a specifica, vom pune =0,10 s. Aceasta se poate face dacă procedăm la o îmbunătăţire subtilă în tehnica analizei. Observaţi că noua poziţie este vechea poziţie plus produsul dintre intervalul de timp &: şi viteză. Dar, viteza la ce moment? Viteza la începutul intervalului de timp este una, iar viteza la sfîrşitul intervalului de timp este alta. Imbunătătirea anunţată este să folosim viteza la jumătatea intervalului. Dacă lucrăm cu viteza de la începutul intervalului nu vom obţine un rezultat corect căci viteza se schimbă în decursul intervalului. Trebuie să folosim o viteză cuprinsă intre viteza de la inceputul şi sfîrşitul intervalului. Aceleaşi consideraţii se aplică de asemenea la calculul vitezei: spre a calcula schimbările vitezei, trebuie să folosim acceleraţiile de la jumătatea dintre cei doi timpi la care trebuie găsită viteza. Astfel că ecuaţiile pe care le vom folosi de fapt vor arăta cam aşa: poziţia mai tîrziu e egală cu poziţia inainte plus de e ori viteza la timpul de la mijlocul intervalului. In mod similar, viteza in acest punct de la Totuşi,

REZOLVAREA NUMERICA. A

ECUAŢ!ILOR

155

jumătate

este viteza la un timp ~ inainte (care e in mijlocul unui interval precedent) plus de ~ ori acceleraţia la timpul t. Adică, folosim ecuaţiile x(t+ .)_(t)+.v(t+ ./2) v(t+ ./2)~v(t-./2)+ .a(t)

(9.16)

a(t)~_(t).

Mai rămîne o mică problemă: care este v(~/2)? La început ni se dă v(O), un v(-~/2). Pentru a porni calculul nostru, vom folosi o ecuaţie suplimentară, anume v(-E/2)=v(O)+ Tabela 9.1 + (,/2)a(0). Acum sîntem gata de a efecl$Oluţla lui dvx/dt=-x tua calculul. Pentru comoditate ne Intervalul a =0.10 secunde putem aranja lucrul în forma unei tabele, cu coloane pentru timp, poziţie, viteză şi acceleraţie (tabela 9.1). 0,0 0,000 -1,000 1,000 O astfel de tabelă este, desi-0,050 gur, doar un mod convenabil de 0,1 -0,995 0,995 -0,150 a reprezenta valorile numerice ob0,2 -0,980 0,980 ţinute din sistemul de ecuaţii (9.16) -0,248 şi de fapt nu e necesar să fie scrise 0,3 -0,955 0,955 -0,343 niciodată ecuaţiile înseşi. CompleO,, -0,921 0,921 rom doar diferitele spaţii din ta-0,435 belă, unul cîte unul. Această ta-0,877 0,5 0,877 belă ne dă acum o foarte bună 0,523 __ idee despre mişcare: resortul por0,6 -0,825 0,825 neşte din repaus, cîştigă intii ceva -0,605 viteză in sus (negativă) şi pierde 0,7 -0,764 0,764 -0,632 ceva din distanţa sa pînă la punc-0,695 0,8 0,696 tul de echilibru. Acceleraţia e -0,751 atunci puţin mai mlcă.. dar resor_0,621 0,0 0,621 -0,814 tul continuă să cîştige viteză. Pe -0,540 1,0 0,540 măsură ce înaintează cîştigă viteză 0,868 __ din ce în ce mai incet, pînă atunci -0,453 1,1 0,453 cînd trece prin x=O la aproxima-0,913 tiv t-l,50 s. Resortul depăşeşte 1,2 _0,562 0,362 poziţia de echilibru continuind să -0,949 _0,267 1,3 0,'Z67 meargă: poziţia sa devine negativă, -0,976 deci acceleraţia e pozitivă. Aşadar -0,159 0,169 1,' -0,993 viteza descreşte. E interesant să se -0,070 1,5 0,070 compare aceste numere cu funcţia 1,000_ X-eos t, ceea ce este făcut in fig. 9.4. Acordul cu calculul nostru 1,6 -0,030 +0,030

I

LBGILE LUI NEWTON IN DINAMICA

"" este

in limita de precizie a trei cifre semnificative! Vom vedea mai tirziu X=COS t este soluţia matematică exactă a ecuaţiei noastre de mişcare, dar faptul că un calcul atît de simplu dă rezultate atit de precise e o impresionantă ilustrare a puterii analizei numerice.

că

1,0

o,s

J'ig. 9.4.. Graficul rrrîşcăr-ll unei greutăţi pe un arc.

9.6.

Mişcări

planetare

Analiza de mai sus e foarte potrivită pentru un resort oscilant, dar putem analiza astfel mişcarea unei planete în jurul Soarelui? Să vedem dacă putem ajunge la o aproximaţie a unei elipse pentru orbită. Vom presupune că Soarele e infinit de greu, aşa încît nu vom considera miş­ carea sa. Să presupunem că planeta porneşte dintr-un anumit loc şi se deplasează

cu o

mişcării şi

legea

anumită curbă şi

gravitaţiei,

IX

,P/onetu

VOm

încerca

să analizăm

eu legile

(x,!1/

SQQI'e/t'!

un moment dat planeta se

noi

date de Newton, care este curba. Cum? La

.. află

Fig. 9.~. Forţa gravitaţiei acţionind asupra unei planete.

într-o

anumită poziţie

în

spaţiu. Dacă

distanţa radtală de la Soare pînă la această poziţie este r atunci ştim că există o forţă orientată spre înăuntru care, conform legii gravitaţiei, este ega.ă

cu o constantă înmulţită cu produsul dintre masa Soarelui şi masa planetei împărţit la pătratul distanţei. Pentru a duce analiza mai departe trebuie să aflăm ce acceleraţie va fi produsă de această forţă. Vom avea

1.5'7

e

nevoie de componentele acceleraţiei in lungul a două direcţii, pe care le numim x şi y. Astfel, dacă specificăm poziţia planetei la un moment dat dind pe x şi y (vom presupune că z este totdeauna zero pentru că nu există forţă in direcţia z şi dacă nu există nici o viteză iniţială v z, nu va exista nimic care să modifice valoarea nulă a lui z), forţa este dirijată de-a lungul dreptei care uneşte planeta cu Soarele, cum e arătat în fig. 9.5. Din această figură vedem că componenta orizontală a forţei este legată de forţa totală in acelaşi mod cu distanţa orizontală x de ipotenuza r, fiindcă cele două trtunghiuri sînt asemenea. De asemenea, dacă x este pozitiv, F" este negativ, adică FJIFI =-x/r sau Fs=-IFlxJr=-GMmx/rS. Acum folosim legea dinamică pentru a găsi că această componentă a forţei este egală cu masa planetei înmulţită cu variaţia în unitatea de timp a vitezei sale in direcţia x. Astfel, găsim următoarele legi m(dvJdt) __GMmx/r' m(dv,ldt) __GMmy/r'

(9.17)

rc:=Vx ! + y2. Acesta este deci sistemul de ecuaţii pe care trebuie să-I rezolvăm. Iarăşi, pentru a simplifica calculul numeric, vom presupune că unitatea de timp, iau masa Soarelui, a fost ajustată astfel încît GM -1. Pentru exemplul nostru particular vom presupune că poziţia iniţială a planetei are coordonatele x-O,500 şi y==- - - -

-0,792

-0,607

-2,62

-0,0-19

-0,882

-0,700

6,873 5,824

-0,190 +0,7[6

-0,">59

0,526 0,556

0,115

-1,048

-0,647

-2,15 -2,57

0,306

-- - - - --0,968- - - -

',.

0,622

----

-1,119

...

7,675

l,C33

-1,175

-0,462

8,000

0,771

-1,209 -0,245

0,5eO 0,507

1,290

-1,166 0,115 _ _ _ _1,211_

0,00 -1,25 1,505

-1,055 0,232

0,3

--

0,163

-0,"59

-0,127

1,1

0,000

tr

1,630 -3,68

-0,568

O,,

1,9

-4,00

i

'u

-0,200 0,480

.,1

u

-0,773

...

LEGILE LUI NEWTON tM DINAMICA

Tabela 92 oontinnaJ'e

'z -0,113 2,0

II ,

'z

-1,018

e

II

"

-0,778

-i 0,96

0,081

0,039

-~08

1,021

0,00

1,022

0,936

+0,07

1,019

0,."

- - --- --0,037- - - - - - - --0,796- - - 1,'

-1.022

O" O" Tlde axa

+0,95

0,001

+0,96

-0,079

+0,058

-1,016

-0,796 -0,789

%

la 2,101 secunde; perioada .... 4,20

5

VS-O la 2,086 secunde

T~ x la

1,022; sem1axa mare =

1,022

+ 0,500 e

""" 0,761

V",-O,796. Timpul prezis

1t

(O, 761}1!t _ x (0,663)

= 2,082.

poziţiile datorită

tuturor planetelor. Forţa care acţionează asupra unei planete este tuturor celorlalte corpuri, situate, să zicem, in poziţiile Xi. yl, 4 Deci ecuaţiile sint Gmlmi IYI - VI)

,ff

Mai departe, definim aceasta e egală cu

Tii

ca fiind distanţa dintre două planete

ru> V(Xr-Xj)t + (y, -Yi?+

:r

(ZI

Zi)2.

(9.16)

şi

j;

(:).1\:1)

o sumă peste toate valorile lui j (toate celelalte corpuri) exceptînd, desigur, pe j=i. Astfel că tot ce avem de făcut De asemenea,

înseamnă

este să deschidem mai multe coloane, o mulţime de coloane. Avem nevoie de nouă coloane pentru mişcările lui Jupiter, nouă pentru mlscărtle lui Saturn etc. Apoi, cînd avem toate pozitiile şi vitezele iniţiale putem calcula toate accelerattile din ecuaţiile (9.18), socotind intii toate distanţele cu ajutorul relaţiei (9.19). Cît timp ne va lua aceasta? Dacă o veţi Iace acasă, vă va lua un timp foarte lung! Dar tn vremurlle moderne avem maşini care fac aritmetică foarte rapid; unei foarte bune maşini de calculat poate să îi ia o microsecundă, adică o milionime dintr-o secundă,

MIş.cARI

PLANETARE

161

ca să facă o adunare. Ca să facă o înmulţire, ii ia ceva mai mult, să zicem 10 microsecunde. Se poate ca intr-un ciclu de calcule, depinzind de problemă, să avem vreo 30 de inmulţiri astfel că un ciclu va lua 300 de microsecunde. Aceasta înseamnă că putem face 3000 de cicluri de calcule pe secundă. Pentru a obţine o precizie de, să zicem unu la un miliard, am avea nevoie de 3.10 5 cicluri de calcul pentru a urmări revoluţia planetei în jurul Soarelui. Aceasta corespunde unui timp de calcul de 130 de secunde sau cam două minute. Astfel că, prin această metodă, ne va lua numai două minute să urmărim mişcarea lui Jupiter în jurul Soarelui eu o precizie de 1/109 , ţinînd seama de toate perturbaţii1e tuturor planetelor. (Se vădeşte că eroarea variază cam cu pătratul intervalului e. Dacă facem intervalul de o mie de ori mai mic, calculul este de un milion de ori mai precis. Aşa că, pentru a ne apropia de precizia dorită, să facem intervalul de 10000 de ori mai mic). Aşa cum am spus, am început acest capitol fără a şti cum să calculăm măcar mişcarea unei mase acţionate de un resort. Acum, înarmaţi cu extraordinara putere a legilor lui Newton, putem calcula nu numai asemenea mişcări simple, ci de -asemenea, mişcările înspăimîntător de complicate ale planetelor, şi aceasta cu un grad de precizie oricît de mare dorim! Avem nevoie numai de o maşină de calcul pentru a face aritmetica.

Il -- fizica mode;IJii voi. 1

10.

Conservarea impulsului

10.1. Legea a treia a lui Newton Pe baza celei de a doua legi a lui Newton, care dă relaţia dintre corp şi forţa ce acţionează asupra acestuia, se poate rezolva în principiu orice problemă de mecanică. De exemplu, pentru a determina mişcarea a cîteva particule, se poate folosi metoda numerică dezvoltată în capitolul precedent. Dar, există bune motive pentru a studia mai departe legile lui Newton. Mai întîi, există cazuri foarte simple de mişcare ce pot fi analizate nu numai prin metode numerice, ci de asemenea prin analiză matematică directă. De exemplu, deşi ştim că acceleraţia unui corp în cădere este 9,8 m/s" şi plecînd de la acest fapt am putea calcula mişcarea prin metode numerice, e mult mai uşor şi mai elegant să se analizeze mişcarea şi să se găsească soluţia generală, s=so+Vl}t+ 16 {'l. In acelaşi mod, deşi putem calcula poziţiile unui oscilator armonie "pr-in metode numerice, este de asemenea posibil să se arate analitic că soluţia generală nu reprezintă altceva decît cunoscuta funcţie cos t. De aceea nu e nevoie să apelăm la atitea complicaţii matematice cind există un mod simplu şi mai precis de a obţine rezultatul. In aceeaşi manieră, e util să se obţină forma exactă a orbitei pe care o descrie un corp in mişcarea sa în jurul Soarelui, sub acţiunea gravitaţiei pe care analiza o dezvăluie a fi elipsă perfectă - cu toate că o asemenea mişcare determinată de gravitaţie poate fi calculată punct cu punct prin metodele numerice din capitolul 9, care dau forma generală a orbitei. Din nefericire, există în realitate foarte puţine probleme care se pot rezolva analitic exact. In cazul oscilatorului armonie, de exemplu, dacă forţa rescrtului nu e proporţională cu deplasarea, ci e ceva mai complicată, trebuie să recurgem la metoda numerică. Sau, dacă există două corpuri rotindu-se in jurul Soarelui, astfel încît numărul total de corpuri este trei, analiza nu poate da o formulă simplă pentru mişcare şi în practică problema trebuie rezolvată numeric. Aceasta e faimoasa problemă a celor trei corpuri, care a sfidat atîta vreme puterile omeneşti de analiză. E foarte interesant cit timp le-a trebuit oamenilor să-şi dea seama de faptul că puterile analizei matematice sint limitate şi că este necesar să se reacceleraţia oricărui

\.

LEGEA A TREIA A LUI NEWTON

curgă

163

la metode numerice. Astăzi un număr enorm de probleme, care nu pot fi rezolvate analitic, sînt rezolvate prin metode numerice şi vechea problemă a celor trei corpuri, considerată a fi atît de dificilă, e rezolvată în mod curent în maniera descrisă în capitolul precedent şi anume, făcînd suficientă aritmetică. Totuşi, există de asemenea situaţii unde ambde metode dau greş; problemele simple le putem rezolva prin analiză, iar problemele moderat de dificile prin metode numerice, aritmetice. dar problemele foarte complicate nu le putem rezolva prin nici una dintre metode. O problemă foarte complicată este, de exemplu, ciocnirea a două automobile sau chiar mişcarea moleculelor unui gaz. Există nenumărate particule într-un milimetru cub de gaz şi ar fi ridicol să se incerce a se face calcule cu atît de multe variabile (cam 10 17 - o sută de milioane de miliarde). Spre deosebire de cazul a două sau trei planete in mişcare de revoluţie în jurul Soarelui, probleme ca mişcarea moleculelor sau atomilor unui gaz, ar ai unui bloc de fier, sau ca mişcarea stelelor dintr-o formaţiune globulară, nu le putem rezolva direct, aşa că trebuie să căutăm alte mijloace. In situaţiile în care nu putem urmări detaliile avem nevoie de unele proprietăţi generale, adică de teoreme sau principii generale, consecinţe ale legilor lui Newton. Unul dintre acestea este principiul consecvărti energiei, care a fost discutat în capitolul 4. Altul este principiul conservăr-ii Impulsului, subiectul acestui capitol. Alt motiv pentru a studia mecanica mai departe este faptul că există anumite tipuri de mişcări care se repetă în multe împrejurări diferite, aşa că e bine să le studiem proprietăţile pe un caz particular anumit. De exemplu, vom studia ciocnirile; diferitele feluri de ciocniri au multe caracteristici În comun. In curgerea fluidelor, nu contează prea mult care este Iluidul, legile curgerii sînt similare. Alte probleme pe care le vom studia sînt vibraţiile, eseileţttle şi, în particular, proprietăţile speciale ale undelor mecanice sunetul, vibraţiile barelor şi aşa mai departe. In discuţia asupra legilor lui Newton am explicat că aceste legi sînt un fel de program care spune "fiţi atenţi la forţe" şi că Newton ne-a arătat doar două lucruri despre natura forţelor. In cazul gravitaţiei, el ne-a dat legea completă a forţei. In cazul forţelor foarte complicate dintre atomi el nu era conştient de legile adevărate care descriu forţele. Totuşi, a descoperit o regulă, o proprietate generală a forţelor, care e exprimata in legea a treia şi aceasta reprezintă întreaga cunoaştere pe care Newton a avut-o asupra naturii forţelor - legea gravitaţiei şi acest principiu; nici un alt detaliu în plus. Legea a treia a lui Newton spune că acţiunea este egală eu reactiuneaCeea ce vrea să exprime aceasta este ceva de felul următor: presupuneţi că aveţi două corpuri mici, să zicem particule şi-închipuiţi-vă că primul exercită o forţă de împingere asupra celui de al doilea. Atunci, simultan, in conformitate cu legea a treia a lui Newton, a doua particulă o împinge pe prima cu o forţă egală, Îndreptată În sens opus; aceste forţe Il'

CONSERVAREA IMPULSULUl

164 acţionează

efectiv pe aceeaşi direcţie. Aceasta este ipoteza, sau legea, pe care Newton a propus-o, şi ea pare să fie foartă apropiată de adevăr, deşi nu întrutotul exactă (vom discuta erorile mai tîrziu). Pentru moment vom considera drept adevărat faptul că acţiunea e egală cu reactiunea. Desigur, dacă există o a treia particulă, situată nu pe aceeaşi dreaptă cu celelalte două, legea nu înseamnă că forţa totală asupra primei este egală cu forţa totală asupra celei de a doua, întrucît a treia particulă, de exemplu, exercită propria sa împingere asupra fiecăreia elin celelalte două. Rezultatul este că efectul total asupra primelor două este într-o altă direcţie, iar forţele asupra primelor două particule nu sînt, în general, nici egale, nici opuse. Totuşi, forţele asupra fiecărei particule pot fi desfăcute in părţi, existind o contribuţie datorită fiecărei alte particule care interacţionează. Atunci fiecare pereche de particule acţionează asupra celeilalte şi reciproc prin forţe care sînt egale în mărimi şi opuse ca sens. 10.2. Conservarea impulsului consecinţele interesante ale faptelor descrise mai Sus? pentru simplitate, că avem doar două particule care interacţionează, eventual de mase diferite şi numerotate 1 şi 2. Forţele dintre ele sint egale şi opuse; ce rezultă de aici? In conformitate cu legea a doua a lui Newton, forţa reprezintă schimbarea in unitatea de timp a impulsului, astfel încît conchidem că schimbarea în unitatea de timp a impulsului Pr al particulei 1 este egală cu minus schimbarea in unitatea de timp a impulsului P2 al particulel 2, sau

Care sint

Închipuiţi-vă,

dp 1/dt=-dP2/d t.

(10.1)

schimbarea în unitatea de timp este totdeauna egală şi opusă. schimbarea totală in impulsul particulei 1 este egală şi opusă cu schimbarea totală în impulsul particule! 2; aceasta înseamnă că dacă adunăm impulsul particulel 1 cu impulsul particule! 2, schimbarea in unitatea de timp a acestora, datorită forţelor mutuale (numite forţe interne) dintre particule, este zero, adică

Or,

dacă

rezultă că

(l02) Să

presupunem că nu există vreo altă forţă in cazul problemei. Dacă in unitatea de timp a acestei sume este totdeauna zero, acesta e doar un alt mod de a spune că PI+P2 nu se schimbă. (Pl+P2 se scrie de asemenea mlv l +m2v 2 şi se numeşte impuls total al celor două particule). Am obţinut acum rezultatul că impulsul total al celor două particule nu se schimbă oricare ar fi interacţiunile mutuale dintre ele. Acest enunţ exprimă legea conservărtt impulsului in exemplul particular considerat. Tragem concluzia că dacă există orice fel de forţe, indiferent cit variaţia

CONSERVAREA IMPULSULUI

165

de complicate, intre două particule şi măsurăm sau calculăm m1Vl +ffl.:lV2, adică suma celor două impulsuri, atît înainte cît şi după ce acţionează forţele, rezultatele trebuie să fie egale, adică impulsul total este constant, Dacă extindem argumentul la trei sau mai multe particule în interacţiune, este evident că în măsura în care sînt implicate forţe interne. impulsul total al tuturor particulelor rămîne constant, întrucît o creş­ tere în impulsul uneia datorită alteia, este compensată exact de descreş­ terea impulsului celei de a doua, datorită celei dintîi. Cu alte cuvinte. toate forţele interne se vor echilibra şi, prin urmare, nu pot schimba impulsul total al particulelor. Atunci, dacă nu există forţe din afară (forţe externe), nu există forţe care pot schimba impulsul total; deci impulsul total rămîne constant. Merită să descriem ce se întîmplă dacă există forţe care nu provin din acţiunile mutuale ale particulelor în cauză: închipuiţi-vă că izolăm particulele care interacţionează. Dacă există numai forţe mutuale, atunci. ca şi înainte, impulsul total al particulelor nu se schimbi, indiferent cît de complicate sînt forţele. Pe de altă parte, închipuiţi-vă că există de asemenea forţe provenind de la particule diru fara grupului izolat. Oriceforţă exercitată de corpurile dinafară asupra corpurilor dinăuntru o numim forţă externă. Vom demonstra mai tirziu că suma tuturor forţelor externe este egală eu schimbarea în unitatea de timp a impulsului tuturor particulelor dinăuntru, o teoremă foarte utilă. Conservarea impulsului total al unui număr de particule în Intcracţie poate fi exprimată ca (10.3) dacă nu există forţe externe. Aici masele şi vitezele corespunzătoare ale particulelor sînt numerotate 1, 2, 3,. Enunţul general al legii a doua a lui Newton pentru fiecare particulă

f ~ -"- (mv) dl

(10.4)

este adevărat in particular pentru componentele forţei şi Impulsului pe orice direcţie dată; astfel, componenta x a forţei asupra unei particule este egală cu componenta x a schimbării în unitatea de timp a impuleului acelei particule, sau (10.5)

şi asemănător pentru direcţiile y şi z. Aşadar ecuaţia (10.5) reprezintă în realitate trei ecuaţii, cîte una pentru fiecare direcţie. . _IT.' afară de legea conservărti impulsului, mai există o altă conscetnţă mtereeantă a legii a doua a lui Newton, care va fi demonstrată mai

.

,

CONSERVAREA IMPUr.sULUl

tîrziu şi doar enunţată 'acum. Este vorba despre principiul conform căruia legile fizicii vor arăta la fel dacă stăm pe loc sau ne mişcăm cu viteză uniformă, pe o linie dreaptă. De exemplu. un copil care bate o minge Într-un avion găseşte că mingea sare la fel ca şi cum ar bate-o pe pămînt; Chiar dacă avionul se mişcă cu o viteză foarte mare, afară de cazul cind îşi schimbă viteza, legile mişcării ii apar copilului aceleaşi ca şi atunci cînd avionul stă pe loc. Acesta este aşa-numitul principiu. al relativităţii. Aşa cum il folosim aici, îl vom numi "relativitate galileeană'' pentru 8-1 distinge de analiza mai detailată făcută de Einstein, pe care o vom studia mai tirziu. Am dedus mai sus legea conservării impulsului din legile lui Newton şi vom merge mai departe pentru a găsi legile speciale care descriu percutiile şi ciocnirile. Dar, pentru varietate, şi totodată ca o ilustrare de tip .de raţionament care poate fi folosit în fizică şi în alte împrejurări, cînd de exemplu nu vrem să presupunem cunoscute legile lui Newton, putem aborda problema diferit, discutînd legile percuţiilor şi ciocnirilor din cu totul alt punct de vedere. Ne vom baza discuţia pe principiul relativităţii galileene, enunţat mai sus şi vom sfîrşi cu legea conservării impuIsului. Vom porni presupunînd că natura arată la fel, indiferent dacă o 'Observăm stînd pe loc or mfşcîndu-ne cu o anumită viteză. Inainte de a discuta mişcările în care două corpuri se ciocnesc şi se lipesc laolaltă, sau vin în atingere şi ricoşează, vom considera mai întîi cazul a două corpuri ţinute laolaltă de un resort sau ceva analog. Corpurile sînt apoi eliberate şi împinse de către resort sau, poate, de o mică explozie. Vom considera mişcarea numai într-o singură direcţie. Să presupunem că cele două obiecte sînt identice şi simetrice. După mica explozie unul dintre eorpurt se va mişca, să zicem spre dreapta, cu o viteză, v. Atunci pare rezonabil ca celălalt corp să se mişte spre stînga tot eu viteza v, pentru că dacă obiectele sint la fel nu există vreun motiv ca dreapta sau stînga să fie preferate şi, de aceea, corpurile se vor comporta simetric. Aceasta e o ilustrare a unui mod de a gindi util in multe probleme, dar care nu ar ieşi în evidenţă dacă am privi doar formulele. Primul rezultat din experienţa noastră este că obiecte egale vor avea viteză egală, dar acum să presupunem că avem două obiecte făcute din materiale diferite, să zicem cupru şi aluminiu şi că au masele egale. Vom presupune acum că, dacă facem experienţa cu două mase egale, vitezele vor fi egale, chiar dacă obiectele nu sint identice. Cineva ar putea obiecta: "Dar, ştii, ai putea proceda în sens invers, nu a nevoie să presupui asta. Ai putea defini masele egale ca însemnînd mase care capătă viteze egale în această experienţă". Urmărim această sugestie şi producem o mică explozie între cupru şi o bucată foarte mare de aluminiu, atît de grea încît cuprul zboară cît colo, iar aluminiul abia se clinteşte. E prea mult aluminiu, aşa că reducem cantitatea pînă cînd mai rămîne doar o foarte mică bucată şi atunci, cînd facem explozia,

CONSERVAREA IMPULSULUI

167

aluminiul zboară cit colo, iar cuprul abia se urneşte. Acum nu e destul aluminiu. Evident că există o situaţie intermediară cu cantităţi potrivite; deci continuăm să ajustăm cantltăţlle pînă ce vitezele rezultă egale. Foarte bine atunci - să o luăm invers şi să spunem că dacă vitezele sint egale, masele sînt egale. Aceasta pare să fie doar o definiţie şi ne apare remarcabil faptul că putem transforma legile fizicii in simple definiţii. Cu toate acestea, aici sînt implicate nişte legi, şi dacă acceptăm această definiţie a maselor egale, vom găsi imediat una dintre ele, după cum

urmează.

Să

presupunem că ştim din experienţa precedentă că două corpur-i A şi B (de cupru şi aluminiu) au mase egale şi comparăm un al treilea corp, să zicem o bucată de aur, cu cuprul in aceeaşi manieră ca mai sus, asigurîndu-ne că masa sa este egală cu masa cuprului. Dacă facem acum experienta între aluminiu şi aur, nu există în logică nimic care să spună că aceste mase trebuie să fie egale; totuşi, experienţa arată că ele sint intr-adevăr egale. Aşa că acum, prin experienţă, am găsit o nouă lege. Un enunţ al ei ar putea fi: dacă două mase sint egale cu a treia (egalitatea fiind determinată prin apariţia unor viteze egale în experienţa precedentă), ele sînt egale Între ele. (Acest enunţ nu rezultă deloc din enunţul similar folosit ca postulat privind egalitatea cantrtăţilor matematice). Din acest exemplu putem vedea cît de repede se trag concluzii greşite dacă nu sîntem atenţi. Nu este numai o definiţie a spune că masele sînt egale cînd vitezele sînt egale, pentru că a afirma egalitatea maselor înseamnă a implica legile matematice ale egalităţii, ceea ce la rindul său conduce la o prezicere experimentală. Ca un al doilea exemplu să presupunem că A şi B rezultă egale fă­ cînd experienţa menţionată cu o anumită tărie a exploziei, ceea ce dă o anumită viteză; dacă folosim apoi o explozie mai puternică, va mai fi adevărat că vitezele obţinute acum sînt egale? Din nou, în logică nu există nimic care poate decide această chestiune, dar experienţa arată că este adevărat. Astfel, iată o altă lege, care ar putea fi enunţată in felul următor: dacă două corpuri au mase egale, măsurate prin viteze egale la o valoare a vitezei, ele vor avea mase egale, măsurate la orice viteză. Din aceste exemple vedem că ceea ce părea a fi doar o definiţie implică în realitate legi fizice. In cele ce urmează vom presupune că este adevărat că mase egale capătă viteze egale şi opuse cînd are loc intre ele o explozie. Vom face altă presupunere in cazul contrar: dacă două obiecte identice, mişcîndu-se in .sensuri opuse cu viteze egale, se ciocnesc şi se lipesc laolaltă cu Un clei oarecare, în care parte se vor mişca ele după ciocnire? Aceasta e dIn nou o situaţie simetrică, fără preferinţă intre dreapta şi stinga, aşa că presupunem că obiectele vor sta pe loc. Vom presupune de asemenea că oricare două obiecte de masă egală, care se ciocnesc şi se lipesc laolaltă cînd se. mişcă cu aceeaşi viteză în sensuri opuse, vor ajunge in repaus după CIocnire, chiar dacă sînt făcute din materiale diferite.

eJONSERV AREA 1MPULSULUI

'68

10.3. Impulsul se

conservă

cu

adevărat!

Putem verifica experimental presupunerile de mai sus. Mai intii. obiecte in repaus, de mase egale, sint separate printr-o explozie ele se vor despărţi cu aceeaşi viteză şi, al doilea, dacă două obiecte de masă egală, venind unul către altul cu aceeaşi viteză, se ciocnesc şi se lipesc laolaltă, ele se vor opri. Putem verifica aceasta cu ajutorul unei invenţii minunate, ,;bancul cu pernă de aer':», prin care se elimină frecarea (fig. 10.1). Acest fenomen l-a necăjit continuu pe Galileu, fiindcă nu putea face experienţe cu corpuri ce alunecă liber unele peste altele. Astăzi, însă, cu această perfecţionare magică, avem posibilitatea să scă­ păm de frecare. Obiectele noastre vor aluneca fără nici o dificultate, continuînd să se mişte cu o viteză constantă, aşa cum a întrezărtt Galileu. Aceasta se realizează susţinînd obiectele pe o pernă de aer. Fiindcă frecarea pe aer este foarte mică, un obiect poate aluneca astfel cu viteză practic constantă, atit timp cît nu se aplică vreo forţă. Să folosim mai intii două blocuri elunecătoare, care au fost făcute cu grijă astfel ca să aibă aceeaşi greutate sau masă (s-a măsurat de fapt greutatea lor, dar noi ştim că ea este proporţională eu masa) şi aşezăm o mică capsă explozivă intr-un cilindru inchis plasat între cele două blocuri (fig. 10.2). Vom porni blocurile aflate în repaus în punctul central al bancului explodînd capse cu ajutorul unei scintei electrice; în felul acesta blocurile se vor îndepărta unul de celălalt. Ce se va întîmpla apoi? Dacă vitezele sînt egale, blocurile trebuie să ajungă la capetele bancului în acelaşi timp. dacă două

Orl;;;;II pelltru filtrot/tfCfl7'

Fig. 10.1. Vedere dinspre capăt a unui banc liniar cu pernă de aer.

Fig.

10.2. Vedere in

secţiune

a blocurilor

atunecatcare legate prin cilindrul de interaeţie explozivă.

Ajungînd acolo vor ricoşa ambele inapoi cu viteză practic opusă şi se vor ciocni oprtndu-se in centru, de unde plecaseră. Cînd experienţa este făcută intr-adevăr, rezultatul este exact aşa cum l-am descris (fig. 10.3). E o bună verificare a celor discutate mai sus. Am vrea să înţelegem acum ce se va întîmpla într-o situaţie mai complicată. Presupunem că avem două mase egale, una mtşcîndu-sc cu 1) H. V. Neher

şi

R. B. Leightcn, Amer. JourR. of. Phys., 31, 255 (1963).

U(PULSUL SE CONSERVA CU ADEVARATI

HiS

viteza e, iar cealaltă stînd pe loc şi că ele se ciocnesc şi se alipesc; ce se va întîmpla? După ciocnire avem o masă totală de 2m, mişclsdu-sc cu o viteză necunoscută. Ce viteză? Aceasta este problema. Pentru a afle -eăspunsul, facem ipoteza că dacă mergem cu maşina fenomenul va fi: din punct de vedere fizic acelaşi ca şi cind am sta pe loc. Pornim de" la faptul cunoscut că două mase egale, mişcîndu-se în direcţii opuse CLi

v-o Cd::CYV ""Jla: c---, c:::::CJ {] /;) zz> ce-:enc} -V Fig. 10.3. Vedere sche- uC!>'-_-'_ _'----;:;-;,--'=b._'-__.iJ ,;~/ c:::::CJ matică a experienţei v-o acţiune-reacţlune cu ma- n se egale. u_'_ Cd::CY __

V

-0 __

---'b.~=b.='-

viteze egale, se vor opri atunci cind se ciocnesc. Acum închipuiţi-vă că: in timp ce se petrece aceasta, noi ne mişcăm alături într-un automobil, cu o viteză .........v. Cum va arăta atunci experienţa? Intrucit mergem Impreună cu una dintre cele două mase, aceasta ne apare ca avînd viteza zero. Cealaltă masă, care se apropie din partea opusă cu viteza v, ne va apare ca venind către noi cu o viteză 2v (fig. iOA). La sfîrşit, după ciocnire. masele combinate par să treacă pe lîngă noi cu viteza v. Tragem deci concluzia că dacă un obiect cu viteza 2v, loveşte pe unul identicaflat in repaus, obiectul rezultat prin alipirea lor va avea viteza v sau, ceea ce este matematic acelaşi lucru, dacă un obiect cu viteza v loveşte Vdzv/d,n

rârotd t/lf1/r·o

sisffnJtl/cen/nJ!(I!tie /i7,Jsi

"'tI/Ind 1l7(:;C/;;o'u-Sf'C!ll'Ile,o- y

__ -y

o Fig. 10.4. Două puncte ce vedere asupra unei ciocniri neelastice intre mase egale.

V-o ~

21/~

l!1{}til/~tft:t1{}Cf1irt'

EE]

Oupu CIOCf1r/>e

unul identic în repaus şi se alipeşte de el, se va forma un nou, obiect, miŞcindu-se cu viteza E-. Observaţi că dacă înmulţim masele şi vitezele-

•

-respective dinainte de ciocnire şi le adunăm, mv+O, obţinem acelaşi rezultat ca atunci cind înmulţim masa şi viteza obiectului rezultat după, aceea, 2m înmulţit cu In felul acesta am anat ce se Întîmplă cind c..

'i-!

masă

cu viteza v loveşte una stind pe loc.

CONSERVAREA IMPULSULUI

170

Exact in acelaşi mod putem deduce ce se întîmplă cind se lovesc unul de altul obiecte identice avind orice viteze. Să presupunem că avem două corpuri egale, cu vitezele VI şi ve, care 'Se ciocnesc şi se lipesc laolaltă. Care e viteza lor v după ciocnire? Din nou ne deplasăm alături într-un automobil, să zicem cu viteza v 2 • aşa că unul din corpuri pare a fi in repaus. Atunci celălalt pare a avea o Vozuld diIF

Vazl/ta" om

!ob(ll7J/or

mO{!flQ

v,-"2--

Vz -

O ,

/f1l1irl/e dlJ cioc/lIre

v-_

rzrzi

Dupq dr;cl7ire

viteză VI-V Z şi

o

ce:J rE] Fig. 10.5. Două puncte de vedere asupra altei ciocniri neelastice intre mase egale.

avem acelaşi caz pe care l-am intilnit mai înainte. Cind totul s-a terminat ele se vor mişca cu viteza (VI-V!) faţă de maşină.

Care este atunci viteza

i

reală faţă de pămînt? Ea este

v"'"

t(VI-V2)+~

sau .!. (V1-V2) (fig. 10.5). Din nou observăm. că

z

mVI +mv~2m(Vl +v2 )12.

(10.6)

Astfel, folosind acest principiu, putem analiza orice fel de ciocnire in care două corpuri de masă egale se lovesc unul de altul şi se alipesc. De fapt, deşi am lucrat numai Într-o dimensiune, putem afla o mulţime de lucruri despre ciocniri mult mai complicate Imaginîndu-ne că ne deplasăm alături într-o maşină care se mişcă într-o direcţie oblică. Metoda este aceeaşi, dar detaliile devin ceva mai complicate. Pentru a verifica experimental dacă un obiect care se mişcă cu viteza v şi se ciocneşte cu un altul identic în repaus, formează un obiect miş­ cîndu-ee cu viteza v/2, putem efectua următoarea experienţă cu ajutorul bancului cu pernă de aer. Plasăm în aparat trei obiecte egal de masive, dintre care două sînt iniţial unite împreună prin dispozitivul nostru cu cilindru exploziv din. figura 10.2, al treilea fiind foarte aproape, dar uşor separat de acestea şi prevăzut cu un tampon lipicios, astfel încît să se lipească de orice obiect care l-ar lovi. Acum, imediat după explozie, avem două obiecte de masă m mişcîndu-se cu viteze egale şi opuse v. Un moment după aceasta, unul dintre ele se ciocneşte cu al treilea şi apare un obiect de masă 2m mtşcîndu-ee, aşa ne vine să credem, cu viteza v/2. Cum putem verifica dacă ea e într-adevăr v/2? Aranjînd poziţiile iniţiale ale maselor pe banc astfel încît distanţele pînă la capete să nu fie egale, ci să fie în raportul 2 : 1. Astfel, prima noastră masă, care continuă să se mişte cu viteza u, trebuie să parcurgă într-un timp dat de două ori dis-

1: i-i,:\"

~li: ': !

IMPULSUL SE CONSERVA CU ADEVARAT

171

,,::::;ţ:i~ ~:rc':seă ~eP~C~~fle~e~bi~~~~n~r,::: ~:O~a1:; ~~~!'::ji~ aTi~:ei1~:)_

~1~.':J'(r)=-E·ds, U=q 16 -

Fi.ies. lIloderni.i val. I.

±O", tensiunea, sau diferenţa

15.

Teoria relativităţii restrinse

15.1. Principiul

relativităţii

Timp de mai bine de 200 de ani s-a crezut că ecuaţiile mişcării enunde Newton descriu na-tura corect. Atunci cînd pentru prima dată a fost descoperită o eroare în ele a fost găsit totodată şi modul de a Il' corecta. Atît eroarea cît şi corectarea ei au fost descoperite de Einstein în 1905. Legea a doua a lui Newton, pe care am exprimat-o prin ecuatia ţate

F=d(mv)fdt

a fost enunţată 'În ipoteze tacită că m este o constantă. Acum ştim însă că aceasta nu e adevărat şi că masa unui corp creşte cu viteza. In formula corectată a lui Einstein m are valoarea m,

m= ,/I-vl/c;

(15.1)

unde .mesa de repaus" mn reprezintă masa corpului în repaus, iar c este viteza luminii, egală 'aproximativ cu 3.105 Ion. S-1. Pentru cei care vor să înveţe doar atit cît să poată rezolva probleme. aceasta e toată teoria relativităţii - ea schimbă legile lui Newton doar prin introducerea unui factor de corecţie la masă. Din formula însăşi e uşor de văzut că această creştere a masei este foarte mici în condiţiile obiş­ nulte. Ohiar dacă viteza e atit de mare ca a unui satelit, care se mişcă în jurul Pămîntului cu aproximativ 8 km/s, 'avem vle=8/300 000; introducerea acestei valori in formulă arată că corecţie la masă este de numai o parte din două sau trei miliarde, ceea ce e aproape imposibil de observat. Corectitudinea formulei a fost tnsă emplu confirmată de observarea multor tipuri de particule, mtşcându-se cu viteze ce au valori apropiate de viteza luminii. Pentru cii efectul este în mod obişnuit atit de mic, pare remarcaoil faptul că el a fost descoperit pe cale teoretică inainte de a fi fost descoperit experimental. In mod empiric, la o viteză suficient de mare, efectul e foarte mare, dar el nu a fost descoperit in acest fel. E in-

CIPIUL

RELATIVITAŢII

243

nt deci de văzut cum o lege care implică o modificare atit de netn(pentru vremea cînd a fost descoperită) a fost adusă la lumină tr-o combinare a experienţei şi a rationamentului fizic. Mai mulţi eni şi-au adus contribuţia ia această descoperire, rezultatul final al cii lor fiind descoperirea lui Einstein. "' .• r,, . Există in realitate două tcorii elnstetnteno ale relativităţii. Acest ca,::.,1,1.'lij;,:JIitol ~iveşte te?ria relati,:ităţii .restrins:,_care ~at€'ază dir: 1905. I!.1191.5, .,:ţ'",,)Jwnmem a publicat o noua teorte, numrtă teorta generala a relativităţIi. ",::,:,,(,,:~tă ultimă teorie tratează extinderea teoriei restrînse la cazul legii ',' gravitaţiei: nu vom discuta aici teoria generală. Principiul relativităţii a fost enunţat mai intii de Newton, intr-unul din corolarele sale la legile mişcării: "Mişcările corpurilor conţinute într-un spaţiu dat sînt la fel între ele, indiferent dacă 'acest spaţiu este in repaus sau se mişcă uniform inainte în linie dreaptă". Aceasta însemnează, de exemplu, că dacă o navă spatielă se deplasează cu o viteză uniformă, toate experienţele efectuate in nava spaţială şi toate fenomenele din ea vor 'apărea la fel ca şi cind nava nu s-ar mişca, cu condiţia, desigur, să nu priveşti în exterior. Acesta este sensul principiului relativităţii. Ideea este destul de simplă, rămîne însă intrebarea dacă este adevărat că în toate experientele efectuate Înăuntrul unui sistem în mişcare uniformă legile fizicii vor 'apărea la fel cum "ar- 'apărea dacă sistemul ar sta pe loc. Să cercetăm mai intii dacă legile lui Newton apar la fel in sistemul in miş­ care. Să presupunem că Moe, oare se mişcă în direcţia x cu o viteză uniformă u, măsoară poziţia unui anumit punct, arătat în figura 15.1. El notează abscisa punctului în sistemul său de coordonate cu ci". Joe este in repaus şi măsoară poziţie aceluiaşi punct notind-o în sistemul său de coorată

!/

!/.

JOC'

uf

hoe

.pr"-t:y:â

-I--~

Fig. 15.1. Două sisteme de coordonate în mişcare relativă uniformă În lungul axelor x.

(x,!I. Z }

U

x

donate eu x. Relatta dintre coordonatele celor două sisteme este clară din

figură. După timpul t cngtnea lui Moe s-a 'deplasat eu o distanţă ut, iar

dacă cele două sisteme coincideau iniţial, avem')

x'=x-ut y'~y

(15.2)

z'=z t'=t. il Aceste relaţii se numesc adesea transformare de coordonate Galileu (N.T·l·

TEORIA

RELATIVITAŢII RESTRINSE

Dacă

substituim această transformare a coordonatelor in legile lui Newton scrise pentru sistemul lui Joe, constatăm că ele îşi păstrează forma şi în sistemul lui Moe; cu alte cuvinte, legile lui Newton au aceeaşi formă intr-un sistem in mişcare ca şi într-un sistem in repaus. Este imposibil deci să se spună, făcînd experienţe de mecanică, dacă sistemul se mişcă sau

nu.

Principiul relativităţii a fost utilizat în mecanică de mai multă vreme. El a fost folosit de diverşi fizicieni, in particular de Huygens, pentru obţi­ nerea regulilor de ciocnire a bilelor de biliard, în aproape acelaşi mod pe care l-am folosit in capitolul 10 pentru a discuta conservarea impulsului. În secolul trecut interesul pentru acest principiu a crescut ca rezultat al investigatiilor făcute asupra fenomenelor elasticităţii, magnetismului şi luminii. O lungă serie de studii îngr-ljhe ale acestor fenomene datorate multor fizicieni a culminat în ecuaţiile lui Maxwell pentru cîmpul electromagnetic, care descriu electricitatea, magnetismul şi lumina, într-un singur sistem închegat. Totuşi, ecuaţiile lui Maxwell nu păreau să asculte de principiul relativităţii, adică dacă transformăm ecuaţiile lui Maxwell folosind relaţiile de transformare (15.2), forma lor nu rămîne aceeaşi; aşa­ dar într-o navă spaţială în mişcare fenomenele electrice şi optice trebuie să fie diferite de cele dintr-o navă in repaus. S-ar putea astfel utiliza aceste fenomene optice pentru a determina viteza navei-în particular, fă­ cînd măsurători optice sau electrice potrivite s-er putea determina viteza absolută a navei. Una din consecinţele ecuaţiilor lui Maxwell este că dacă există o perturbaţte a cimpului electromagnetic care generează lumină, undele electromagnetice vor pleca in mod egal in toate direcţiile, cu aceeaşi viteză e, egală cu 300000 km/s. Altă conS€cinţăa ecuatiilor e că dacă sursa generatoare este in mişcare, lumina emisă se va mişca in spaţiu cu 'aceeaşi viteză c. Acest fapt e analog cu cazul sunetului, viteza undelor sonore fiind, la fel, independentă de mişcarea sursei. Această independenţă de mişcarea sursei ridică, în cazul luminii, D problemă interesantă.

Să presupunem că ne deplesăm intr-un automobil care merge cu viteza u şi lumina venită din spate trece pc lîngă maşină cu viteza c. Derivarea primei relaţii (15.2) dă

dx' /di=dxjdt~u

ceea ce

înseamnă

ca, in conformitate cu transformarea de coordonate gaviteza aparentă a luminii, aşa cum o măsurăm din maşină, nu este c, ci trebuie să fie c-u. De exemplu, daeă maşina merge cu 100000 km/s, iar lumina cu 300000 km/s, atunci lumina trecind pe lîngă maşină ar trebui să aibă o viteză de 200 000 km/s. In orice caz (dacă transformarea galileeană este corectă), măsurînd viteza luminii care trece pe lingă maşină S-ar putea determina viteza maşinii. O scrie de experienţe bazate pe această idee generală au fost efectuate spre a de-termina viteza Pămîntului, dar ele au dat toate un rezultat negativ: s-a găsit o viteză Iileeană,

ANSFORMAREA LORENTZ

245

ieă,

Vom discuta una din aceste experienţe in detaliu, pentru a arăta făcut şi care era dificultatea; exista o dificultate desigur, trc'a să fie ceva greşit in ecuaţiile fizice. Ce putea să fie?

ct ce s-a

15.2. Transformarea Lorentz Cind a ieşit la iveală, eşecul ecuatiilor fizicii în cazul de mai sus, gînd a fost că necazul trebuie să fie cauzat de ecuaţiile clcctrodlale lui Maxwell, care pe vremea aceea da-tau doar de 20 de ani. Părea aproape evident că aceste ecuaţii trebuie să fie greşite, aşa încît ceea ce trebuia făcut era ca ele să fie modificate astfel incit să fie satisfă­ cut principiul relativităţii la transformarea galilecană. Pentru a realiza eşa ceva 'trebuia însă introduşi noi termeni in ecuaţii, care conduceau la preziceri de fenomene electrice ce erau contrazise de experienţă. De aceea, această incercare a trebuit să fie abandonată. A devenit treptat evident că legile lui Maxwell ale electrodinamicii erau de fapt corecte şi că dificul.tatea trebuia căutată in altă parte. Intre timp, H. A. Lorentz observase un fapt remarcabil şi eludat: fă­ cind substitutta următoare în ecuaţii;e lui Maxwell x-ut

x'

Vl-u"!c' y'~y

(15.3)

z'=z t'=

t-uxlc" Vl-u'lc'

îşi păstrau forma. Relaţiile (15.3) sint cunoscute ca transformarea Lorentz. Einstein, urmînd o sugestie dată iniţial de Poincarc, a propus atunci că toate legile fizice trebuie să fie astfel încît ele să rămînă ne.schimbate la o transformare Lorentz. Cu alte cuvinte, trebuie să schimbăm nu legile electrodinamicii, ci legile mecanicii. Cum să schimbăm legile lui

acestea

Newton astfel ca e.e să rămînă nemodificate la transformarea Lorentz? Dacă ne-am propus acest scop, trebuie să corectăm ecuaţiile lui Newton

~el incit să fie satisfăcute condiţiile impuse. După cum s~a constatat, singura modificare necesară este că masa m din ecuaţiile lui Newton să fie

tnlocuită -prin expresia arătată în relaţia (15.1). Dacă se face această schimbare, legile lui Newton şi legile electrodtnamictt vor fi in conccrdanţă. Atunci, folosind transformarea Lorentz la compararea măsurători­ 'lor lui Mos cu ale lui Joe nu vom fi niciodată în stare să detectăm dacă "vreunul din ei se mişcă, pentru că forma tuturor ecuaţnlor va fi aceeaşi in ambele sisteme de coordonate! E interesant de discutat ce înseamnă să înlocuim vechea transformare d.intre coordonate ş! timp cu cea nouă, fiindcă transformarea veche (ga-

TEORIA RELATfVITAŢII RESTRINSE

246

lileeană) pare să fie evidentă de la sine, cîtă vreme ciudată. Vrem să ştim dacă logic şi experimental nu vechea transformare, să fie dovedită corectă.

cea nouă (Lorentz) pare este posibil ca noua, şi Pentru afla aceasta nu e suficient să studiem legile mecanicii, aşa cum a făcut Einstein, trebuie să analizăm ideile noastre despre spaţiu şi timp, ceea ce ne va permite să înţelegem sensul noii transformări. Va trebui să discutăm destul de amă­ nunţit aceste concepte şi implicaţiile lor pentru mecanică, 'aşa că spunem dinainte că efortul va fi răsplătit, întrucît rezultatele sint in acord cu experienţa.

15.3. Experienta Michelson-Morley Aşa cum am menţionat mai înainte, s-au făcut încercări de a se determina viteza 'absolută a Pămîntului in mişcarea sa prin "eterul" ipotetic care se presupunea că umple întreg spaţiul. Cea mai celebră dintre aceste experienţe este aceea efectuată de Michelson şi Morley in 1887. Cu 18 ani mai tîrziu rezultatele negative ale experienţei erau in cele din urmă explicate de către Einstein. Experienţa Michelsoc-Morley a fost efectuată cu un aparat ca cel arătat schematic în figura 15.2. Acest aparat este compus in esenţă dintr-o

cr' r" :

I \ ,, ,,

"

,

l

\,

/ .e.: \

I

,

SurSQ

A

'

L\

,-,

----~

Li Fig. 15.2. Dlagramâ schematică a experienţei MichelsonMorley.

sursă de lumină A,

o placă de sticlă parţial argtntată B şi două oglinzi C E, toate montate pe IUn suport rigid. Oglinzile sint aşezate la distanţe egale L de B. Placa B desparte în două un fascicul incident de lumină, cele două fascicule rezultanta continuindu-şi drumul în direcţii reciproc perpendiculare pînă la oglinzi, unde sînt reflectate inapoi in B. Ajungind

şi

247

apoi in B, cele două fascicule se recombină sub forma a două fesclcuje prapuse D şi F. Dacă timpul necesar pentru ca lumina să meargă de la la E şi inapoi este 'acelaşi cu timpul de la B la C şi înapoi, fasciculele şi F vor fi in fază şi 'Se vor întări unul pe altul. Dacă însă cei doi timpi, eră puţin, fasciculele vor fi uşor defazate şi va rezulta interferenţă. ă aparatul este "in repaus" in eter, timpii trebuie să fie exact egali, dacă el se mişcă spre dreapta cu o viteză u va exista o diferenţă. Să em de ce. Mai îIltii să calculăm timpul necesar pentru ca lumina să meargă de B la E şi înapoi. Să zicem că timpul pentru ca lumina să meargă de la B la oglinda E este t" iar timpul pentru tntoarcere este t 2• Cind este pe drum de la B înspre oglindă, aparatul se mişcă cu o di~ţă ut h aşa că lumina trebuie să traverseze o distanţă L+ut 1 cu viteza ,'~. Mai putem exprima această distanţă ca et h aşa că avem

ctt=L+ut 1 sau tt=L/(e-u). (Acest rezultat e de asemenea evident dacă considerăm că viteza luminii le.ţli de aparat este c-u, aşa că timpul este lungimea L împărţită la c-c-e.) \,tntr-un mod asemănător se poate calcula timpul t 2 . In acest timp placa , dJ· înaintează cu o distanţă ut2 aşa că distanţa de rnapoire a luminii este ~Ut2' Avem atunci

"Timpul total este

Pentru comoditate în compararea

ulterioară a

timpilor, putem scrle

şi

(15.4)

Al doilea calcul pe care-l facem va fi acela 'al timpului tii necesar luminii pentru a merge de La B la oglinda C. Ca şi inainte, in timpul tii oglinda C se mişcă spre dreapta cu o distanţă ut 3, pînă in poziţia C'; in I8Celaşi timp, lumina parcurge o distanţă ce, in lungul jpotenuzei unui ,triunghi, care este Be'. Pentru arest triunghi dreptunghic avem (ct 3)2=U+'(ut3)2

TEORIA

RELATIVITAŢII RESTRINSE:

Pentru drumul de intoarcere de la C' distanţa e aceeaşt, după cum se poate vedea din simetria figurii; deci timpul de inapoiere e de 'asemenea acelaşi şi timpul total este 2t 3 • Cu o mică rearanjare a termenilor putem scrie 2(.=

2L

Vc'-u' Sintem acum în măsură să comparăm timpii necesari celor două fascjcule de lumină. In expresiile (15.4) şi (15.5) numărătorii sînt identici şi reprezintă timpul oare ar fi n~esar dacă aparatul ar fi în repaus. La numitori, termenul U 2/C 2 este mic,aiară de cazul cind u e comparabil in mărime cu c. Numitor-ii conţin modificările timpilor oauzate de mişcările aparatului. Şi iată, aceste modificări nu sînt aceleaşi - timpul pentru a merge pînă la C şi înapoi e puţin mai mic decit timpul pînă la E şi înapoi, deşi oglinzile sînt egal distanţate de B, şi tot ce avem de făcut este să măsurăm eu precizie această diferenţă. Aici intervine un amănunt tehnic - ce se întîmplă dacă cele două lungimi L nu sînt exact egale? D€ fapt, cu siguranţă că nu le putem face exact egale. in arest caz rotim pur şi simplu aparatul cu 90 de grade, astfel ca Be să fie pe direcţia mişcării Şi EE să fie perpendicular pc această direcţie. Orice mică diferenţă în lungime devine atunci neimportentă şi ceea ce va trebui să căutăm este o deplasare a Iranjelcr- de interferenţă atunci cînd rotim aparatul. Efectuînd experienţa, Michelson şi Morley au orientat aparatul astfel încît linia EE era aproape paralelă cu mişcarea Pămîntului pe orbita sa (la anumite momente din zi şi noapte). Această viteză orbitală e de aproximativ 30 kijometrj pc secundă şi orice "antrenare a etcrulul'' trebuie să fie de cel puţin tot atît la un anumit timp din zi sau noapte şi într-un anumit timp din an. Aparatul era cu prisosinţă sensibil pentru a observa un asemenea efect, dar nu s-a găsit nici o diferenţă de timp - viteza Pămîntului prin eter nu putce fi detectată. Rezultatul experienţei a fost nul. Rezultatul experienţei Michelson-Morley era deosebit de deconcertant şi supărător. Prima idee fructuoasă pentru găsirea unei ieşiri din impas a venit de la Lorentz. El a sugerat că corpurile maoertale se contractă atunci cind se mişcă, corrtractia avînd loc numai în direcţia mişcării. Dacă lungimea unui corp în repaus este L.J, cînd el se va mişca cu viteza u, paralclă cu lungimea sa, LU noua lungime va fi dată de LII =L(J

Vl_u

2/c2 •

(15.6)

Cînd se aplică această modificare aparatului Interîerometrtc MichelsonMorley, distanţa de la B la C nu se schimbă, dar distanţa de la B la E se scurtează la 1_u2/c2 • Aşadar, reletta (15.5) nu se schimbă, dar L din

LV

"TRANSFORMAREA TIMPULUI

249

relaţia (15.4) trebuie modificat în conformitate cu (15.6). Cind se face acest lucru obţinem

{2L/c)Vf=l7i(ji

t l + t2=

1"

U~/C2

2L/c

(15.7)

COmparînd acest rezultat cu (15.5) vedem că t l +t2= 2t3 • Astfel, dacă aparatul se contractă in maniera pe care am descris-o, avem un mod de a înţelege de ce experienţa Michelson-Morley nu indică nici un fel de efect. Deşi ipoteza contractiet 'explica cu succes rezultatul negativ al experienţei, ea era expusă obiectiei că a fost inventată cu scopul anume de a elimina dificultatea şi că era prea artificială. In unele alte experienţe periiru descoperirea unui "vmt etertc'' au intervenit dificultăţi similare, pînă -cînd a apărut dar faptul că natura "conspiră" împotriva omului, intreducînd de fiecare dată cite un fenomen nou spre a anula pc oricare altul, care se credea că ar fi putut permite o măsurare a lui. în cele din urmă s-a recunoscut, aşa cum a subliniat Poincare, că o dI!~dt'

(18.1 S)

. S.. .ar părea că momentul total al forţelor e un lucru complicat: t-ebule considerate toate forţele interne şi externe. Dar să nu uităm că, In conformitate cu legea lui Newton a acţiunii şi reactiunii, acţiunea şi reactiunea nu sînt numai egale, ci şi orientate în sensuri opuse în lungul aceleiaşi drepte (Newton s-ar putea să nu o fi spus în realitate, dar a Pl'C'supus-o în mod tacit). Atunci cele două momente ale forţelor datorltc Interacţttlor reciproce a două obiecte vor fi egale şi opuse, deoarece peniru orice axă braţele lor sint egale. Ca urmare, momentele forţelor interne se compensează două cite două şi avem remarcabila teoremă ca variatia in unitatea de timp a momentului cinetic total faţă de o axă oarecare este egală cu momentul total al forţelor externe faţă de aceti axă!

(18.19)

Aceasta este o teoremă foarte puternică in ceea ce priveşte mişcarea unor sisteme mari de particule, permiţîndu-ne să studiem mişcarea globală fără a trebui să considerăm detaliile mecanismului interior. Teorema este adevărată pentru orice sistem de obiecte, indiferent dacă ele for-meaza sau nu un corp rigid.

CONSERVAREA MOMENTULUI CINETIC

295

Un caz extrem de important al teoremei de mai sus este legea conmomentului cineuc: dacă momentul total al forţelor ce acţionează asupra unui sistem de particule este zero, momentul cine-tic rămîne constant. Un caz particular important este acela al unui corp rigid, adică un obiect de formă bine definită, care doar se roteşte. Să considerăm un servării

""

~ , (.. . ,..c,..

Fig.

lB.4.

"Inerţia

distanţa

la rotaţie" depinde de maselor la axă.

m

M

m

obiect ale cărui dimensjunî geometrice sînt date şi care se roteşte in jurul unei axe fixe. Diversele părţi ale obiectului păstrează tot timpul aceleaşi poziţii unele faţă de altele. Să încercăm acum să aflăm momentul cînetic total al acestui obiect. Dacă masa uneia dintre particulele sale este m; şi poziţia sa este (XI, YI), problema e să se afle momentul cinetic al acelei particule, căci momentul cinetic total este suma momentelor cinetâce ale tuturor par-ticulelor din corp. Pentru un obiect în rotaţie pe un cerc momentul cinetic este, evident, masa ori viteza ori distanţa de la axă, iar viteza e egală cu viteza unghiulară ori distanţa de la axă

L;=m;v{7'I=rn;r;'Zui. Dacă sumăm

peste toate particulele i

(18.20)

obţinem

L=Iw

(18.21)

l~ 1;m/j

(18.22)

unde

,

Acesta este analogul legii după care impulsul este egal cu masa incu viteza. Viteza e înlocuită aici prin viteza unghiulară şi masa e înlocuită prin ceva nou pe care îl numim moment de inerţie 1. Relaţiile (18.21) şi (18.22) spun că un corp are inerţie la rotaţie şi ea depinde nu numai de mase, ci şi de cît de departe sînt ele de axă. Astfel, dacă avem două obiecte de aceeaşi masă, atunci cînd le aşezăm mai departe de 'axă inerţia la rotaţie va fi mai mare. Aceasta se demonstrează uşor eu ajutorul aparatului din fig. 18.4, În care o greutate M este împiedicată să cadă liber, fiindcă trebuie să facă să se rotească o bară lungă cu greutăţi pe ea. Cînd masele m sint aproape de axă, viteza lui M creşte într-un anumit ritm. Să modificăm momentul de inerţie al bareiaşezînd cele două mase m mult mai departe de axă. Constatăm că viteza lui M creşte mult mai incet ca înainte, tocmai datorită faptului că bara are mai multă miu1ţită

ROTAŢII

19. inerţie la rotaţie. Aşadar momentul ţie şi e egal cu suma corrtnbutiilor

tele

distanţelor lor la axă. Există o diferenţă importantă

tN DOUA DIMENSIUNI

de inerţie reprezintă inerţia la rotatuturor maselor, înmulţite eu pătra­

şi spectaculoasă între masă şi momentul de inerţie. Masa unui obiect nu se modifică niciodată, dar momentul său de inerţie poate fi modificat. Să presupunem că stăm pc o măsuţă care se roteşte fără frecare, cu braţele întinse şi ţinem in mîini nişte greutăţi. In timpul rotaţiei ne putem modifica momentul de inerţie aducind braţele spre corp; prin aceasta masa noastră nu se schimbă. Atunci, datorită legii conservărit momentului cinetlc se petrec tot felul de lucruri mlntmate. Iniţial, ne roteam cu un moment de inerţie mare Il şi cu o viteză unghiulară mică rol> iar momentul cinetic era [tWt. Apoi aducind braţele spre corp, ne-am modificat momentul de inerţie la o valoare mai mică [2. Produsul [w, care trebuie să rămînă acelaşi pentru că momentul cinettc total trebuie să rămînă constant, devine 'acum 12'~. Din 11(1)1 = =12fiJ2 rezultă că dacă micşorăm momentul de inerţie se va mări viteza unghiulară.

f9.

Centrul de masă; momentul de inerţie

19.1.

Proprietăţi

ale centrului de

masă

In capitolul precedent am aflat următoarele: dacă o mulţime de forţe acţionează

asupra unui sistem complicat de particule, indiferent că particulele fac parte dintr-un corp rigid sau nerigld, dintr-un nor de stele sau orice altceva, şi găsim suma tuturor forţelor (adică a forţelor ext-erne, desigur, căci forţele interne se echilibrează), atunci, dacă se consideră corpul ca un intreg de masă totală j\I, există un anumit punct din "interiorul" corpului, numit centru de masă, astfel încît forţa externă rezultantă imprimă acestui punct o acceleraţie exact ca şi cum intreaga masă ar fi concentrată acolo. Să discutăm acum centrul de masă ceva mai detaliat. Poziţia centrului de masă (prescurtat C1I) c dată de relaţia (19.1)

Aceasta este o relaţie vectorlală care reprezintă in realitate trei recîte una pentru fiecare dintre cele trei axe. Vom considera numai axa x, căci dacă o putem inţelege pe aceasta le putem inţelege şi pe ceIelalto două. Ce insernncază XCM= L mix) Y mi? Să presupunem pentru moment că obiectul este împărţit in mic! bucăţi, toate avînd aceeaşi masă. In acest cai': masa totală e pur şi simplu numărul N de bucăţi ori masa unei bucăţi, eventual un gram sau a.tă unitate; relaţia ne spune că trebuie să adunăm toţi x-ii şi apoi să împărţim cu numărul total N de bucăţi existente: XcM=mJ:.xJmN=Tx;/N. Cu alte cuvinte, dacă masele sint egale, X CM este media tuturor coordonatelor .c. Dacă una dintre mase .ar fi de două (In mai grea decît celelalte, x corespunzător va apărea in sumă de două ori. Aceasta e uşor de înţeles, căci ne putem inchipui masa respectivă ca fiind împărţită la rindul ei in două mase egale, identice cu celelalte: cind luăm media va trebui, desigur, să socotim acel x de două ori, fiindcă există acolo două mase. Astfel, X este poziţia medic pe axa x a tuturor maselor, fiecare poziţie fiind socotită de un număr de ori proporttonaj cu masa aşezată acolo, ca şi cum masa totală ar fi împărţită in raţii,

CENTRUL DE MASA; MOMENTUL DE

298

INERŢIE

foarte mici unităţi de masă. E uşor de demonstrat că X trebuie să fie undeva intre cel mai mare şi cel mai mic x şi deci se află în interiorul unui domeniu care cuprinde întreg corpul El nu trebuie să se afle neapă­ rat in interiorul corpului însuşi; într-adevăr, dacă corpul are forma unui inel, centrul de masă se va afla în centrul inelului, care nu este in interiorul corpului. -- Evident, dacă un obiect este simetric faţă de un plan, de exemplu un dreptunghi, centrul de masă se află undeva în planul de simetrie. In cazul dreptonghiului există două plane de simetrie şi aceasta îl localizează în mod unic. Dacă avem un obiect simetric, faţă de o axă, centrul de greutate se află undeva pe axa de simetrie, fiindcă in acest caz există tot atîţia x pozitivi cit şi negativi. Altă propoziţie interesantă şi foarte curioasă este următoarea. Să presupunem că ne imaginăm un obiect ca fiind făcut din două bucăţi, A şi B(fig. 19.1). Atunci centrul de masă al inJtregului obiect poate fi calculat după cum urmează. Intît se 'află centrul de masă al bucătti A şi apoi al bucăţil B. Deasemenea, se află masa totală a fiecărei bucăţi, M_~ şi M B • Apoi se consideră o nouă problemă, în care o masă punctuală MA este în centrul de masă 'al obiectului A, iar altă masă punctuală MB este in centrul de masă al obiectului B. Centrul de masă al acestor două mase punctuale coincide cu centrul de masă al obiectului intreg. Cu alte cuvinte, dacă centrele de masă ele diverselor părţi ale unui obiect au fost calculate, nu trebuie să pornim iarăşi de la inceput pentru a afla centrul de masă al obiectului intreg; trebuie doar să punem bucăţile laolaltă tratînd-o pe fiecare ca pe o masă punctuală situată in centrul de masă respectiv. Să vedem de ce e aşa. Să presupunem că am vrea să calculăm centrul de masă al unui obiect întreg, ale cărui particule sînt considerate ca aparţinînd, unele unei părţi A, altele unei părţi B. Suma totală 1:1niX1 poate fi atunci descompusă în două - suma 1: A1niX; referitoare la partea A şi suma 1: BTntX. referitoare la partea B. Dacă am calcula cen-

... A

'.

8

Fig. 19.1. centrul de masă al unui corp compus se află pe dreapta ce uneşte centrele de masă ale celor două părţi componente.

trul de masă al părţii A singure am avea exact prima din aceste sume; ştim că 'aceasta este tocmai MAXA, masa totală a părţii A înmulţită eu poziţia centrului de masă respectiv, căci aceasta reprezintă tocmai teorema centrului de masă aplicată lui A. În mod analog suma corespunză­ toate părţii B va da MBX B. In definitiv MXCM =

L>miX.+ :~::>mjX;=MAXA + M-M{B.

(19.2)

PROPRIETAŢI

ALE CENTRULUI DE :MASA

299

întrucît M este suma lui MA şi M B, vedem că relaţia (19.2) poate fi interpretată ca un exemplu particular al formulei centrului de masă pentru două obiecte punctuale, unul de masă MA situat în X A şi celăl~lt de masă M B situat în X B • ;" Teorema privitoare la mişcarea centrului de masă este foarte tnte~:resantl\ şi a j~cat un r~l important în înyelegerea no.~tră ~ f~2icii. Să presupunem ca legea lUI Newton e corecta pentru micile părti consta~tuiente ale unul obiect mare. Această teoremă arată că legea lui Newton teste adevărată şi pentru obiectul mare, chiar dacă nu ne Interesăm de I"detaliile obiectului, ci doar de forţa totală acţionînd asupra sa şi de masa 'sa. Cu alte cuvinte, legea lui Newton are proprietatea particulară că, dacă este adevărată la scară mică, ea va fi adevărată Şi la scară mai mare. Dacă nu considerăm o minge ca pe un lucru extraordinar de complex, făcut din nenumărate particule în interacţiune, ci studiem doar miş­ carea centrului ei de masă şi forţele externe asupra ei, găsim că F=ma, unde F este forţa externă asupra mingii, m masa sa, iar a e acceleraţia centrului său de masă. Aşadar F=ma este o lege care se reproduce la o scară mai mare. (Ar trebui să se găsească vreun cuvint răsunător luat, eventual din greceşte, care să desemneze o lege ce se reproduce la o scară

mai mare.)

Desigur este de bănuit că primele legi descoperite de către oameni ar fi cele care se reproduc la o scară mai mare. De ce? Fiindcă scara reală a pîrghiilor şi rotiţelor- fundamentale ale universului este de dimensiuni atomice, care sint atît de mici încît în observaţiile curente nu ating nicidecum această scară. Aşa că primele fapte pe care le descoperim s1O' referă la obiecte de dimensiuni care nu sint specifice scării atomice. Dacă legile pentru particulele mici nu s-ar reproduce la scară mai mare am descoperi foarte greu aceste legi. Dar problema inversă? Trebuie ca legile lat. scară mică să fie la fel cu cele la scară mai mare? Desigur că in natură nu este necesar să se intimple aşa. închipuiţi-vă că Icgflc adevărate ale mişcări! atomilor ar fi date de o ecuaţie curioasă care nu are proprie-tatea că atunci cînd mergem la o scară-mai mare legea s-ar reproduce. In loc de aceasta, ea ar avea proprietatea că dacă ne ridicăm spre scara mecroscoptcă o putem aproxima printr-o anumită expresie astfel încît, pe măsură ce ne ridicăm mai sus, ea să continue să se reprcducă, la o scară din ce in ce mai mare. Nu numai că aceasta c posibil, dar de fapt se şi întîmplă. Legile lui Newton reprezintă capătul din "coadă" al atomice, extrapolate la dimensiuni foarte mari. Legile reale ale 'fttiocii,cii particulelor la o scară fină sint foarte deosebite, însă dacă le în număr mare şi le mcdtem, ele 'aproximează, aproximează doar. lui Newton. Legea lui Newton ne permite apoi să ne ridicăm la o scară din ce în ce mai mare, ea rămînînd aceeaşi. De fapt, ea devine din ce în ce mai corectă pe măsură ce scara devine din ce în ce mai mare. AMiel, această caracteristică de auto-reproductfbilttate a legilor lui Newton nu reprezintă in realitate o trăsătură fundamentală a naturii, dar

CENTRUL DE :MASA; MOMENTUL DE

INERŢIE

a avut o importanţă istorică. Nu putem descoperi niciodată legile fundamentale ale particulelor atomice la prima observaţie, fiindcă ee e mult prea grosolană. In realitate, se constată că legile atomice fundamentale, pe care le numim mecanică cuantică, sînt cu totul diferite de legile lui Newton. Ele sînt greu de înţeles, fiindcă toate experienţele noastre directe privesc obiectele macroscopice, iar atomii nu se comportă la fel eu ceea Ce vedem l'a scara mecroscopică. Aşa că nu putem spune: "Un atom este exact cu o planetă care se învîrte în jurul Soarelui'', sau ceva 'asemănător. Nu seamC1nă cu nimic cu care sintem noi obişnuiţi, pentru că nu există nimic la fel cu el în jurul nostru. Cînd aplicăm mecanica cuenttcă la obiecte din ee în 'ce mai mari, legile despre comportarea multor atomi laolaltă nu se reproduc, ci produc legi noi, legile lui Newton, care apoi continuă să se reproducă de la, să zicem, dimensiunea micro-microgramului(care încă însumează miliarde de atomi) pînă la dimensiunea Pămîntului şi mai departe. Să ne Intoarcem 'acum la centrul de masă. Centrul de masă se numeşte uneori centru de greutate pentru motivul că, în multe cazuri, gravitaţia poate fi considerată uniformă. Să presupunem că avem dimensiuni destul de miei pentru ca forţa gravitaţională să fie nu numai proporţio­ nală cu mesa, ci şi paralelă peste tot eu direcţie fixă. Să considerăm apoi un obiect în care există forţe grevftaţionalc asupra tuturor maselor sale constituente. Fie 1ni masa unei părţi. Atunci forţa gravitaţională asupI'18 acelei părţi este 17ti ori g. Acum intrebarea este: unde putem aplica o singură forţă care să echilibreze forţa gravitaţională asupra întregului obiect, astfel ca obiectul în ansamblu, dacă este un corp rigid, să nu se rotească? Răspunsul este că această forţă trebuie să treacă prin centrul de masă, lucru care se arată în modul următor. Pentru ca corpul să nu se rotească, momentul total produs de forţe trebuie să fie zero, căci dacă nu QT fi aşa ar exista o variaţie a momentului cinetic si deci o rotaţie. Aşadar trebuie să calculăm 'Suma tuturor momentelor fortelor asupra tuturor particulelor şi să vedem care este momentul total faţă de o axă oarecare; el trebuie să fie zero dacă această axă trece prin centrul de mesă. ar, măsurînd pe x pe orizontală şi pe y pe verticală, ştim că momentul forţei este forţa în direcţia y înmulţită cu braţul forţei x (adică forţa ori braţul faţă de mea in raport cu care vrem să măsurăm momentul). Atunci momentul total este suma

°

{19.8) Dacă momentul total este zero, suma E mi:ll trebuie să fie zero. Dar Efn.tXl=MX, 'masa totală ori distanţa pe 'axa x '8 centrului de masă la axă. Astfel, distanta x de le axă a centrului de masă este zero. Noi am verificat rezultatul numai pentru coordonata x, Dacă aplicăm însă forţa in centrul de masă, obiectul va fi in echilibru in orice poziţie, pentru că dacă l-am roti cu 90 de grade am avea y în loc de x. Cu

'DETERMINAREA

POZIŢIEI

CENTRULUI DE ],IASA

301

alte cuvinte, atunci cînd un obiect este susţinut in centrul său de masă, există asupra sa nici un moment a: forţelor datorat unui cimp gravitaţi-onal. In cazul cînd obiectul este atît de mare încît ncparelelismuj forţelor gravitaţionale e semnificativ, centrul în care trebuie aplicată forţa l11e echilibrare nu e uşor de descris şi el diferă puţin de centrul de masă, De aceea trebuie să facem distincţie între centrul de masă şi centrul de greutate. Faptul că un obiect sustinut exact în centrul de masă va fi în echi:ibru în orice poziţie, are şi o altă consecinţă Interesantă. Dacă, in loc de gravitaţie, am avea o pseudoforţă datorită acceleraţiei, am putea folosi exact acelaşi procedeu matematic pentru a găsi in ce loc să-I susţinem, astfel incit să nu existe momente produse de forţa Inerttală a acceleraţiei. Să presupunem că obiectul este ţinut într-un mod oarecare înăuntrul unei cutii, iar cutia, cu tot ee conţine ea, 'Se mişcă accelerat. ştim că, din punctul de vedere al cuiva în repaus faţă de această cutie accelerată, va exista o fo:rţă efectivă datorită lnerţtei. Adică, pentru a sili un obiect să se mişte împreună cu cutia, trebuie să-I împingem ca să-I eccelerăm; 'această forţă este "echilibrată" de "forţa de inerţie", care ea pseudofortă egală cu masa ori acceleraţia cutiei. Pentru omul din cu,J ;i{'- tie, situaţia este aceeaşi ca şi cind obiectul s-ar afla într-un cimp gravitaţional uniform, 8 cărui valoare "g(( este egală cu acceleraţia a. De aceea, forţa iner-ţială datorită accelerăru unui obiect are un moment nul în raport cu centrul de masă. Rezultă de aici o proprietate foarte interesantă. Intr-un sistem inertial care nu se mişcă accelerat, momentul forţelor este totdeauna egal cu variaţia în unitatea de timp a momentului cinetic. Totuşi, faţă de o axă trecînd prin centrul de masă al unui obiect care se mişcă accelerat, încă este adevărat faptul că momentul forţelor e egal cu variaţia in unitatea de timp a momentului cmenc. Chiar dacă centrul de masă se mişcă accelerat, putem totuşi alege o axă-specială, şi 'anume una trecînd prin centruj de masă, astfel incit să rămînă adevăret faptul că momentul fortei este egal cu variaţia in unitatea de timp a momentului cine-tic faţă de acea axă. Astfel, teorema momentului ctnetlc e adevărată in două cazuri generale: 1) axă fixă într-un sistem inerţial, 2) axă trecind prin centrul de masă, chiar dacă obiectul se mişcă accelerat. nu

:iJ0:

\1,, ;'Î

I

~

19.2. Determinarea poziţiei centrului de

masă

Procedeele matematice pentru determinarea poziţiei centrului de' sînt de domeniul unui curs de matematici şi problema reprezintă :r" un bun exerciţiu de calcul integral. Totuşi, dupăce ai învăţet calculul ~ integral şi vrei să ştii cum se află centrul de masă, e bine să cunoşti unele ~ antificii. Un astfel de artificiu se bazează pe ceea ce se numeşte teorema masă

1 > '

CENTRUL DE MASA; MOMENTUL DE

lNERŢIJI

lui Pappus. Aceasta afirmă următoarele. Să luăm o suprafaţă închisă oarecare într-un plan şi să generăm cu ajutorul ei un solid, deplasind-o prin spaţiu astfel incit fiecare punct al său să se mişte perpendicular pe :pJanul suprafeţei; in aceste condiţii solidul rezultat are un volum total egal cu aria suprafeţei înmulţită cu distanţa parcursă de centrul de masăt Acest lucru e cu siguranţă adevărat dacă deplasărn suprafaţa plană pe

Fig. 19.2. Un triunghi dreptunghic şi un con circular drept generat prin rotirea trfung hiu lui.

o linie dreaptă perpcndiculară pc plan; dacă o deplasăm însă in lungul unui cerc sau pe o altă curbă ea poate genera un volum destul de complicat. Pentru o traiectorie curbă partea din exterior se deplasează mai mult, iar cea din interior mai puţin, efectele compensîndu-se. Deci, dacă vrem să determinăm centrul de masă al unei foiţe planc de densitate uniformă, ne putem aminti că volumul generat prin rotirea ei in jurul unei axe este egal cu distanţa cu care s-a rotit centrul de masă înmulţită cu aria p ă turii. De exemplu, dacă vrem să aflăm centrul de masă al unui tr iungh) dreptunghic cu baza O şi înălţimea H (fig. 19.2), putem rezolva problema in modul următor. Ne imaginăm o axă în lungul lui H şi rotim triunghiul in juru; acestei axe cu 360 de grade. În felul acesta se generează un con. Distanţa cu care s-a deplasat coordonata x a centrului de masă este 2JTX. Aria deplasată e aria triunghiului, ~ HD. Deci, distanţa x a centru2

lui de

masă înmulţită

cu aria triunghiului

care este evident ItD2H/3. Astfel, (2rrx)

reprezintă

volumul

(tHD)=~nD2H,

măturat.

sau x=D/3. In

mod similar, rotind în jurul celeilalte axe, găsim y=Hj3. De fapt centrul de masă al oricărei suprafeţe trtunghlu.are uniforme se află acolo unde se întilnesc cele trei mediane. Punctul respectiv este la 1/3 din tjecare mediană. Indicaţie: tăiaţi triunghiul într-o rrnntime de bucăţi mici, fiecare paralelă cu o bază. Observaţi că mediana imparte în două fiecare bucată şi deci centrul de masă trebuie să se afle pe această dreaptă. Să încercăm acum o figură mai complicată. Să presupunem că vrem să aflăm poziţia centrului de masă al unui disc semtcircular uniform un disc tăiat în două. Unele este centrul de masă? Pentru un disc întreg ele in centru, desigur, dar pentru o jumătate de disc e mai dificil. Fie r raza şi x distanţa centrului de masă pînă la muchia dreaptă a discuhri. Il rotim in jurul acestei muchii drept axă spre a genera o sferă

DETERMINAREA MOMENTULUI DE

603

INERŢIE

Atunci centrul de masă s-a rotii cu 21tx; aria este :J(r (doar jumătate de ceva). Volumul generat este, desigur, 4:J(r/3, de unde găsim 2/2

(2Jtx)

""u

(+ atr

2)=4nr\'3

x=4r/3Jt.

Mai există o teoremă a lui Pappus, oare e un caz particular al celei de- mai sus, şi deci 'adevărată şi ea. Să presupunem că, în loc de discul semicjrculer plin, avem o bucată semicirculară de sîrmă, de densitate uniformă in lungul ei şi vrem să-i aflăm centrul de masă. In acest caz ",nu există masă în interior, ci numai in lungul sirmei. Atunci aria supra\f:~'i' feţei generate de o linie curbă plană, mtşcîndu-se ca mai înainte, este ,;'i'l~i;""egală cu distanţa cu care se deplasează centrul de masă ori lungimea li" , ,'i~:'." :. ' ,' :,' niei. (Curba poate fi imaginată ca o fîşie de arie foarte îngustă şi i se ,'1,'," ~~o Iî teorema ,t'."'''',o.... precedentă.) ! ~""- ap lC8 en a.

I.»t! ;'

,;~~'f!i:' :' 'VI'\',

19.3. Determinarea momentului de inertie Să discutăm acum problema deterrrunărit momentelor de inerţie ale diverselor obiecte. Formula pentru momentul de inerţie al unui obiect fată de axa z este

I=E m,(x~ + yD

1=

~ {x 2+y2)dm= ) (:r2J+y2)pd'V

(19.4)

adică trebuie să sumăm masele, fiecare înmulţită cu pătratul distanţei sale x~+y~ de la axă. Observati că aceasta nu e o distanţă tridimensioeală, ci o distanţă bidimensională la pătrat, chiar in caZ'U1 unui obiect trţdimensional. In cele mai multe cazuri ne vom restringe la obiecte bi~mensionale, dar formula pentru rotaţia in 'jurul axei z este exact aceeaşi .~ :in cazul a trei dimensiuni.

L

,

Il:ox

Fig. 19.3. O bară dreaptă de lungime n rotfndu-se în jurul unei axe trecînd printr-un

capăt.

Ca un exemplu simplu, să considerăm o bară rotindu-ss În jurul unei . axe perpendiculare care trece pr-intr-unul din capetele sale (fig. 19.3). Acum trebuie să sumăm toate produsele maselor cu distanţele x oores"pu.nzătoare la pătrat (toţi y fiind zero în acest caz). Prin "sumă" tntelegem, desigur, integrala lui x 2 ori elementul de masă. Dacă împărţim bara

304

CENTRUL DE MASA; MOMENTtJL DE

INERŢIE

in elemente mici de lungime dx, elementele de masă corespunzătoare sint perpendiculare la dx, iar dacă dx ar fi lungimea intregii bare, masa ar fi M. Deci dm=Mdx!L şi

astfel

1=

~

L x'l__ M dx =_ M~L (1

L

L

ML" -' x2dx= 3

(1

(19.5)

Dtmeestuei.e momentului de inerţie sint totdeauna masă ori lungime la pătrat, aşa că in realitate tot ce am avut de calculat a fost factorul 1/3. Care e acum 1, dacă axa de rotaţie este in centrul barci? Am putea pur şi simplu să facem din nou Integrala, lăsînd pe x să varieze de .a 1

- 2"

L la

1

+ 2"

L. Dar să observăm citeva lucruri despre momentul de

Inerţie.

Ne pu em imagina bara ca două bare, fiecare de masă M!2 şi lungimea Ll2; momentele de inerţie ale celor două bare mici sint egale şi se pot obţine ambele din formula (19.5). Momentul de inerţie total este I=2(M/2)(L2)'

a

=

Ma, 12

(19.6)

Aşadar, e mult mai uşor de rotit o bară in jurul centru.ul său decit în juru. unui capăt. Am putea continua să calculăm momentele de inerţie ale unor diverse alte corpuri care ne interesează. Totuşi, deşi asemenea calcule sînt exerciţii interesante de calcul integral, ele nu prezintă un Interes fundamental pentru noi. Menţionăm totuşi o teoremă foarte utilă. Să presupunem că avem un obiect şi vrem să-i aflăm momentu; de inerţie faţă de o anumită axă. Aceasta înseamnă că vrem să aflăm inerţia necesară pentru a-l roti in jurul acelei axe'. Dacă susţinem obiectul cu nişte pi-o.I in centrul de masă, astîe; incit el să nu Se învîrtă in jurul centrului de masă atunci cind îl rotim în jurul axei (momentul forţelor dator-it efectelor inerţlalc fiind zero, e: nu se Va învîrti in jurul centr-u.u i de rras3. atunci cînd începem să-I dcplasărn), fcrtc.e necesare pentru a-l de-Iasa in jurul ax-t vor fi aceleaşi ca şi cînd toată masa sa ar fi concentrată in centru; de masă. :rvIomrntul de inertie va fi atunci pur şi strr.p.u 1[= =MR~M' unde R CM este distanţa de la axă la c-ntruj de masă. Bineînţeles că aceasta nu e formula corectă {X'I1Jtru un obir-ct care, în roa.ltate, se învîrteşte in timp ce 52 deplasează pe orbită, fiindcă nu numai că centr-ul Se mişcă pe un cerc, ceea ce contribuie cu o cantitate Il la momentul de inerţie, dar mai trebuie şi să-. rotim în jurul centrului de masă. Pare deci rezonabil să trr bu.ască să adăugăm lui Il rnomen.uj de inerţie le faţă de centrul de masă; a-a că avem toate motive-le să presupunem că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare va fi

I=Ic+MI~.

(19.7)

DETERMINAREA MOMENTULUI DE

INERŢIE

30s

Aceasta se numeşte teorema axelor paralele şi poate fi Uşor demonstrată. Momentul de inerţie faţă de orice axă este masa ori Suma coordonatelor Xi şi y, La pătrat: 1= E(x~+y~ )tnt. Ne vom concentra atenţia asupra lui x, dar desigur că pentru y situaţia va fi aceeaşi. Or, x reprezintă distanţa unei 'anumite mase punctuale de la origine. Să vedem cum ar arăta lucrurile dacă am măsura pe Xl de la CM În loc să măsu­ răm pe x din origine. Mai Întîi scriem Xi=X~+XCM

apoi, ridicind la

pătrat, găsim

X7=X;2+2XCMX; +X~M. aceasta cu tnt şi se sumează pentru i? Scotind constantele în afara semnului de sumă, obţinem

Ce se petrece cind se

înmulţeşte

toţi

Ix=l::m;x;2+2XcMl::tntx; +X~Ml::1l1i· A treia sumă e simplă: este tocmai MX~M. In a doua sumă există doi factori, unul fiind !: 1niX; ceea ce reprezintă masa totală ori coordonata x' a centrului de masă. Dar ea nu contribuie cu nimic, fiindcă Xi este măsurat de la centrul de masă şi in acest sistem de axe poziţia medie a tuturor particulelor, luate. C'U ponderi proporţionale cu masele lor, este zero. Prima sumă reprezintă, evident, contribuţia axei x .a le. Ajungem astfel la formula (19.7), aşa cum ne aşteptam. Să verificăm relaţia (19.7) printr-un exemplu. Să vedem dacă se potriveşte în cazul barci. Pentru o axă trecînd printr-unul din capete am calculat că momentul de inerţie trebuie să fie mU/3. Centrul de masă al unei bare este, evident, În centrul barei, la o distanţă L/2. Deci trebuie să găsim că II-IU/3=MV/12+M(L/2)Z. Cum o pătrlme plus o doisprezc.'Cime fac o treime, totul e în ordine. In treacăt fie zis, nu era nevoie să facem o integrală pentru a găsi _momentu. de inerţie (19.5). Dacă presupunem pur şi simplu că el e egal eli MV înmulţit cu 'Un coeficient necunoscut y şi folosim apoi acelaşi rrgument pentru cele două jumătăţi, vom obţine în (19.6) coeficientul

rezultă y=..!.. 1+ ~, deci 'Y trebuie să fie 4 4 1/3. Totdeauna există şi un alt mod de rezolvare! Subliniem faptul că in aplicarea teoremei axelor paralele este important, să nu uităm că axa pentru le trebuie să fie paralelă cu axa faţă de care se cere momentul de inerţie. Vom menţiona încă o proprietate a momentului de inerţie fiindcă ea este 'adesea utilă la determinarea lui. Această proprietate este că dacă avem o figură plană şi 'Un sistem de axe de coordonate cu originea în plan şi cu-axe z perpendlculară pe plan, momentul de inerţie al aces-

-. 't- Folosind formula (19.7)

20 -

F!zl".. modemll. voI. 1.

CENTRUL DE MASA; MOMENTUL DE

INERŢIE:

tet figuri faţă de axa z este egal eu suma momentelor de inerţie faţă de axele x şi y. Ea se demonstrează 'Uşor observind că, de vreme ce z,=O. avem La fel,

dar I,~L;",,(x1 +YI)= L;-I+ L;mtY1~I,+I,.

Ca exemplu: momentul de inerţie al unei plăci drcptunghfulare de masă M, lăţime Z şi lungime L, faţă de o axă perpendiculară pe placă şi trecind prin centru, este pur şi simplu

I=M(I'+L')/12. Intr-adevăr

momentul său de inerţie, faţă de o axă din planul său, paralelă ou lungimea şi trecind prin centru, este mZ2/12, adică exact ca şi pentru o bară de lungime l, iar momentul de inerţie faţă de cealaltă axă din planul său este MU/12, exact ca pentru o bară de lungime L. Rezumînd, momentul de inerţie al unui obiect faţă de o axă dată, pe care o vom numi 'axa z,are următoarele proprietăţi: 1) Momentul de inerţie este

Iz=Bmi.x~ +y 1)=~(X3+y2)dm.

,

Dacă corpul este format din mai de inerţie sint toate CUDJOSCUite, momentul telor de inerţie ale părţilor.

2)

multe părţi ale căror momente de inerţie total e suma momen-

3) Momentul de inerţie faţă de o axă dată oarecare este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă trecind prin CM, plus masa totală ori pătratul distanţei de la axă la CM. 4) Dacă obiectul e o figură plană, momentul de inerţie faţă de o axă perpendtculară pe plan este egal cu suma momentelor de inerţie faţă. Tabela 19.1

Exemple simple de momente de

inerţie

Obiectul

Bară

subtire de lungime L

Perpendiculară

pe

bază

in

centru Inel circular concentric de raze TI şi T2 Sferă

de

rază

r

subţire

Perpendiculară

pe inel in cen-

tru Trecind prin centru

ML'/12

M('f+rll/2 2Mr",5

ENERGIA CINETIcA DE ROTAŢIE

6.7

de oricare două axe perpendiculare intre ele, situate în plan şi tntersectîndu-se în punctul unde axa înţeapă planul. In tabela 19.1 sînt date momentele de inerţie pentru mai multe corpuri avind forme simple şi densităţf uniforme, iar in tabela 19.2 sint date momentele de inerţie ale altor corpuri, care pet fi deduse din tabela 19.1 folosind proprietăţile de mai sus. Tabela 19.2

Momente de

inerţie

A~.

Oblectul Placă

dreptunghiulară,

deduse din tabela 19.1

Paralelă

d, laturi

a

cu b, prin centru

aşib Placă dreptunghiulară, Il

şi

In" r

şi

Perpendiculară

'Pe pria centru 1

de raze

Orice diametru

I I

de

Paralelă

eu c, prin centru

Cilindru circular drept, de nrză,

Paralelă

cu L, prin centru

Paraleltpiped dreptunghic laturi a, b, c şi

lungime L

Cil.indru circular drept, de şi

lungime L

19.4. Energia

I

de laturi

b

circul:rr subţire, 1'.2

I I

rază

Perpendiculară pe L, prin cen-

r

cinetică

Ma'fl2

M(a"+b")/12 M('H-r~)!4

1

Mr"/2 M(r"I4+L"112)

tru

de

rotaţie

Să discutăm mai departe dinamica rotaţiei. In analogia dintre miş­ carea liniară şi mişcarea unghiulară, pe care am menţionat-o in caplto.Jul 18, am folosit teorema lucrului mecanic, dar nu am vorbit despre energia cinetică, Care este energia cinetică Ei unui corp rigid ce se roteşte în jurul unei anumite axe cu o viteză unghiulară (i)? Putem bănui imediat răspunsul corect, folosind analogiile noastre. Momentul de inerţie corespunde masei, viteza unghiulară corespunde vitezei, aşa că energia ci-

neticăar trebui să fie

1-

f,w2 ,

într-adevăr, aşa şi este, după cum se va

demonstra acum. Să presupunem că obiectul se roteşte in jurul unei anumite axe astfel încît fiecare punct are o viteză a cărei mărime este OlT., unde T. e raza de la acel punct pînă la axă. Dacă masa acelui punct este m., energia cinetică totală a intregului obiect e pur şi simplu suma energiilor cinetice ale tuturor particulelor 1 T="21 L;m;v: = 2' Em.(rjw)2.

CENTRUL DE MASA; MO:MENTUL

'08 Dar

(02

e constant,

acelaşi

ne

INERŢIE

pentru toate punctele. Deci

T=2"W ' 2L.tTn;T/="20,)' '' ' ' l '

(19.8)

La sfîrşitul capitolului 18 am subliniat că există unele fenomene interesante legate de un obiect care nu e rigid, el trece dintr-o stare rigidă ou un 'anumit moment de inerţie în altă stare rigidă 'CU alt moment de inerţie. Anume, in cazul masei rotatlve considerate (în poziţia cu braţele întinse) avem un anumit moment de inerţie II şio 'anumită viteză unghiulară 'OiI. Cînd aducem braţele spre corp avem un moment de inerţie diferit 12 şi o viteză unghiulară diferită ~, dar eram din nou "rigizi". Momentul cinetic rămînea constant, întrucît nu exista un moment al forţelor faţă de axa verticală a masei rotative. Aceasta înseamnă că ltWl=!2Ul2. Ce se întîmplă însă cu energia? Iată o întrebare interesantă. Cu braţele aduse spre corp ne rotim mai repede, dar momentul de inerţie e mai mic şi s-ar părea că energiile pot fi egale. Nu sînt însă, fiindcă ceea ce se conservă este [ro, nu [00 2• Dacă comparăm energia cinetică înainte şi după, energia

cinetică înainte este..!.llffi!,=..!.. Lw h unde L=ltOOt=[2002 e momentul cinetic.

După,

2

OCee8, conform

2:

aceluiaşi argument,

lDi{i)h energia cinetică de rotaţie este o anumită energie cind braţele eraru

avem T= i~

şi

întrucît

mai mare decit înainte. Deci 'aveam rouose, iar cînd le trăgeam înăuntru ne roteem mai repede şi aveam mai multă energie cinetică. Ce s-a întîmplat cu teorema conservării energiei? Cineva trebuie să fi făcut un lucru mecanic. Am făcut lucru mecanic! Dar cind? Dacă deplasăm orizontal o greutate, nu efectuăm nici un lucru mecanic. Dacă ţinem un obiect in mîna întinsă şi apoi il tragem spre noi nu facem nici un lucru mecanic. Dar nu, atunci cind ne rotim! Cînd ne rotim, asupra greutăţilor acţionează forţa centrifugă. Ele încearcă să se îndepărteze, aşa că atunci cind ne invîrtim trebuie să tragem greutăţile spre interior, contra forţei centrifuge. Deci lucrul mecanic pe care il facem contra forţei centrifuge trebuie să fi.e egal cu diferenţa de energie de rotaţie şi, bineînţeles, aşa şi este. De aici provine energia cinetică suplimentară. Mai există o trăsătură interesantă legată de o chestiune de interes general, pe care nu o putem trata decit sumar. Ea e ceva mai subtilă, dar merită să fie subliniată, fiindcă este destul de curioasă şi produce multeefecte interesante. Să considerăm iarăşi experienţa cu masa rotativă. Să considerăm corpul şi braţele separat, din punctul de vedere al omului care se roteşte. După ce greutăţile sint trase înăuntru, întregul obiect se învîrteşte mai repede, dar observaţi că partea centrală a corpului nu s-a modificat, deşi se învîrteşte mai repede decit înainte. Astfel, dacă ar fi 'Să trasăm 'Un cerc în jurul părţii centrale a corpului şi să considerăm numai obiectele dtnăunc-ul cerculut, momentul lor cine tic va varia; ele se rotesc mai repede. Deci, în timp ce tragem, braţele spre interior, asupra

r

ENERGIA CINETICA DE

ROTAŢIE

309

corpului trebuie să se exercite un moment al forţelor. Forţa ccntnfugă nu poate exercita nici un moment fiindcă ea este radială. Aceasta înseamnă că printre forţele ce apar intr-un sistem în rotaţie forţa centrtfugă nu este totul, există şi altă forţă. Această altă forţă se numeşte forţă Coriolie şi are proprietatea stranie că atunci cind dep.asăm un obiect intr-un sistem În rotaţie, el pare să fie împins lateral. Ca şi forţa centr-ifugă, aceasta e o forţă aparentă. Dar dacă am trăi intr-un sistem in rotaţie şi am deplasa radial un obiect, am 'Constata că pentru a-l mişca radial trebuie să-I împingem şi lateral. Această împingere laterală pe care trebuie s-o excrcităm este aceea care ne roteşte corpul mai repede. Să stabilim acum o formulă pentru a arăta cum acţionează în realitate forţa Corio.is. Să presupunem ci Moc şade pe un carusel, oare lui i se pare că stă pe loc. Dar din punctul de vedere al lui Joe, care stă pe pămînt şi care cunoaşte legile corecte ale mecanicii, caruselul se învîrteşte. Să presupunem că am trasat o linie radtală pe carusel şi că Moe deplaseeeă o masă de-a lungul acestei linii radiale. Vrem să demonstrăm că pentru asta e necesară o forţă laterală. Ne vom îndrepta atenţia asupra momentului cinetlc al masei. Ea se învîrteşte mereu cu aceeaşi viteză unghiulară ro, 'aşa că momentul cinettc este L=mvtangr=71U.OT.T=tnWr 2• Aşadar, cind masa e aproape de centru ea are un moment cfnetic relativ mic,' dar dacă îl mărim pe r, momentul cinettc al masei m creşte, aşa că trebuie să se exercite un moment al forţei pentru a o deplasa de-a lungul razei. (Ca. 'Să mergi de-a lungul razei intr-un carusej trebuie să te apleci înainte şi să te impingi lateral. Incercati asta o detă.) Momentul forţei necesar este variaţia în unitatea de timp a lui L, masa m ~qoEID,fJM-)';şe"~,,,..,...."" lungul razei. Dacă m se mişcă numai de-a lungul razei, ramine conSliant, astfel că momentul forţei este

T=Fcr= dL= d(mw,l) =2mwr ~ d.

dt

dt

um:Ie Fc e forţa Coriolis. Ceea ce vrem de fapt să aflăm este forţa laterală care trebuie aplicată de către Moe pentru a deplasa pe m spre exterior cu viteza v.=dr/dt. Forţa este F C-Tjr-2f'fkJ)v r • După ce am. ,obţinut formula pentru forţa Corlolts, să examinăm situaţia ceva mai atent spre a vedea dacă nu putem inţelege dintr-un punct de vedere mai elementar originea acestei forţe. Observăm că forţa Coriolis e aceeaşi la orice rază şi e evident prezentă chiar şi in origine. Dar, In origine ea e deosebit de uşor de înţeles, dacă privim situaţia din sistemul inerţial al lui Joe oare stă pe pămînt. Figura 19.4 arată trei aspecte succesive ale lui m tocmai cind trece prin origine la t=O. Din cauza rotaţiei caruselului, m nu se mişcă in Iime dreaptă, el pe 'O traiectorie curbă tangentă la un diametru al caruseluluj in r=O. Pentru ca m să se mişte pe o curbă în sistemul inerţial, trebuie să existe o forţă care 5-0 accelereze; este forţa Coriolis.

CENTRUL DE MASA; MOMENTUL DE

81G

INERŢIl!l

Acesta nu e singurul caz in care apare forţa Coriolis. Putem arăta că, un obiect se mişcă cu viteză constantă pe circumfertnţa unui cerc, de pe carusel, există de asemenea o forţă Cortolis. De ce? Moe observă o viteză pe cerc VM. Pe de altă parte, Joe vede masa m învîrtindu-se pe cerc cu viteza VJ=VM+WT, fiindcă m este antrenată .şi de carusel. ştim deci care este forţa. asupra lui m,anume forţa centrfpetă totală datorită dacă

'~4j

2~i2 3

1

poziţii

Fig. 194. Trei succesive ale unui punct mişcîndu-se radial pe o placă în rotaţie.

vitezei v], adică mv 2Jlr; aceasta este forţa reală. Dar, din punctul de vedere al lui Moe, această forţă centrlpetă se compune din trei părţi. O pu~ tem scrie astfel

forţa pe care o va vedea Moe. Să încercăm să o înţelegem. Va inMee primul termen? "Da", va răspunde el, "chiar dacă nu m-aş roti, ar exista o forţă centnpetă în cazul cind m-aş mişca pe un cerc cu viteza VM". Moe se aşteaptă deci la existenţa acestei forţe centripete, care nu are nimic a face cu rotaţia. In plus, Moe e conştient de faptul că există şi o altă forţă centrtpetă, care va acţiona chiar şi asupra obiectelor ce stau pe loc pe carusel. Acesta este al treilea termen. Dar mai există şi un alt termen afară de aceştia şi anume termenul al doilea, care este din nou 2mwv. Forţ-a Coriolis Fc este tangenţlală cînd viteza este radială, dar acum ea este radtală, cînd viteza e tangenţială. De fapt cele două expresii diferă prin semn. Forţa are întotdeauna aceeaşi direcţie faţă de viteză, indiferent care e direcţia vitezei; anume ea este perpendiculară pe viteză şi are mărimea 2mwv.

F. este ţelege

20.

Rotaţii în trei dimensiuni

20.1. Momentele tridimensionale ale

forţelor

In acest capitol vom discuta una din cele mai remarcabile şi amuzante consecinţe ale mecanicii, rotaţia giroscopului. Pentru a face aceasta, va trebui mai întîi să extindem formularea matematică a mişcării de rotaţie a noţiunilor de moment ctnetic şi de moment al unei forţe la cazul 8 trei dimensiuni. Nu vom folosi aceste ecuaţii în toată generalitatea şi nu vom studia toate consecinţele lor, căci aceasta ne-ar lua mulţi ani şi în curînd va trebui să ne îndreptăm spre 'alte subiecte. Intr-un curs introductiv nu putem prezenta decît legile fundamentale, epuclndu-Ie doar la cîteva situaţii de interes deosebit. Mai intii, observăm că dacă avem o rotaţie in trei dimensiuni a unui corp rigid sau a oricărui alt sistem, ceea ce em dedus pentru două dimensiuni rămîne adevărat, adică rămîne adevărat că xFy-yF r reprezintă momentul forţelor in "raport cu planul xy" sau momentul forţelor "faţă de axa ZI'. Se constată cii acest moment este in continuare egal cu variaţia în unitatea de timp a lui xP!J-Y~' căci dacă ne întoarcem la deducerea relaţiei (18.15) din legile lui Newton constatăm că nu a fost nevoie să presupunem mişcarea intr-un plan; într-adevăr, cind derivăm xPu-YPx, obţinem xFy-yFx, aşa că această teoremă rămîne adevărată. Cantitatea XPY-YPx o numim atunci momentul clnetic în raport cu planul xy sau momentul cinetic faţă de axa e. Acestea fiind adevărate, putem folosi orice altă pereche de axe şi obţinem altă ecuaţie. De exemplu, putem folosi planul yz şi prin simetrie este clar că, dacă substituim pur şi simplu y în loc de x şi z în loc de y, vom găsi expresia yFz-zFIJ pentru momentul forţei, iar YPz-zPIJ va fi momentul cinetic asociat cu planul ~ y.z. Bin?înţeles, am putea lua alt plan, planul zx, şi în acest caz am gasi relaţia zF~xFz= ~ (zpx-XPx). d' Este absolut clar că aceste trei ecuaţii pot fi deduse prin descrierea mişcăr-ii unei particule. Mai mult, dacă am aduna laolalta expresii ca XpIJ-Ypx pentru mai multe particule şi am numi rezultatul moment cinetic total, am avea trei cantităţi pentru cele trei plane xy, yz şi zx şi

ROTAŢII

312

!N TREI DIMENSIUNI

dacă

am face acelaşi lucru cu forţele 'am vorbi de asemenea despre momentul total al forţelor din plaoele xy, yz şi zx. Am avea astfel legea după care momentul forţelor externe asociat oricărui plan este egal cu variaţia în unitatea de timp a momentului ctnetlc corespunzător. Aceasta reprezintă doar o generalizare a ceea ce am scris în două dimensiuni. S-ar putea însă spune: "Există multe plane: in definitiv.nu putem lua nu alt plan inclinat faţă de cele considerate şi să calculăm momentul fortelor in raport eu acel plan? întrucît em avea cîte un sistem de ecuaţii pentru fiecare asemenea plen.jam avea o mulţime de ecuaţii!", Este destul de interesant faptul că dacă am. calcula combinaţia x'Fy'-y'Fx', pentru un plan, măsurînd pe rr", Fy" ctc., în acel plan, rezultatul s-ar putea scrie ca o combinaţie a celor trei expresii pentru planele xy, yz şi zx, Nu apare nimic nou. Cu alte cuvinte, dacă ştim care sînt cele trei momente ale forţelor în planelc xy, yz şi zx, atunci momentele forţelor din orice alt plan, şi în mod corespunzător şi momentul cinctic, se pot scrie ca o combinaţie a acestora: şase la sută dintr-una, nouăzeci şi două la sută dintralta şi ,aşa mai departe. Să analizăm acum această proprietate. Să presupunem că in sistemul de axe xyz, Joe şi-a calculat toate momentele forţelor şi momentele ctncttce din planete sale. Dar axele .c', s', z' ale lui Moe au alte direcţii. Pentru a simplifica puţin lucrurile, vom presupune că numai axele x şi y au fost rotite. Axele ce" şi y' ale lui Mos sint altele, dar axa z: e aceeaşi cu 'axa z, adică el are alte planc yz şi zx, să zicem. El are 'alte m-omente ale forţelor şi momente cinetice de calculat. De exemplu, momentul forţelor din planul x'y' va fi egal cu x'Fy'y'F,;, şi aşa mai departe. Ceea ce trebuie să tacem acum este să găsim relaţia dintre noile şi vechile momente ale forţelor, astfel incit să fim În stare 'Să facem o legătură între un sistem de axe şi celălalt. Cineva ar putea spune: "Seamănă Întru totul cu ceea ce am făcut cu vcctoril''. Da,aşa este. Atunci s-ar putea spune: "Dar momentul forţei nu e vector? Se constată că el e un vector, dar nu ştim, asta imediat, fără a face o analiză. Vom face această analiză în mai multe etape. Nu vom discuta fiecare etapă în detaliu, întrucît vrem doar să ilustrăm procedeul. Momentele forţelor calculate de Joc sînt 'f",y=xF y-yF",

ait

Tyz=yFz-zPy 1::a=zF,,-xFz _

(20.1)

In acest punct facem o digresiune, pentr-u a observa că in cazuri cum este cel de faţă se poate obţine un semn greşit pentru o anumită expresie dacă nu se operează corect cu coordonatele. De ce să nu scriem Ty;o=zF y-

MOMENTELE TRIDIMENSIONALE ALE

FORŢELOR

313

:--yF,;? Problema este legată de faptul că un sistem de coordonate poate fi sau "drept" sau "stîng". Alegînd (in mod arbitrar) semnul pentru, să zicem t"~, expresiile corecte pentru celelalte două cantităţi pot fi găsite Întotdeauna permutînd literele xyz într-unul din modurile

• Mac

calculează

acum momentele

forţelor

in sistemul

său

t"":"I'=x'Fy'-y'Px' Ty,,,,'=y'F,,,'--z'Fy'

(20.2}

Presupunem acum că unul dintre sistemele de coordonate este rotit cu un unghi fix e, astfel incit axele z şi z-' să coincidă. (Acest unghi 8 nu arentmic de-a face cu obiectele aflate în rotaţie S'aU cu ceea ce se pe-trece' înăuntrul sistemului de coordonate. El este presupus constant şi caracterizeagă, pur şi simplu, legătura dintre axele folosite de unul din personajele noastre şi axele folosite de celălalt} Astfel coordonatele din cele două sisteme sint legate prin relaţiile x' =x cos 8 +y sin

e (20.3}

y-'=y cos a-x sin 8

z'=z. Intrucit forţa este un vector, ea se transformă in noul sistem în acelaşi mod ca şi x, Y şi z, căci o mărime este un vector dacă şi numai dacă diferitele componente se transformă an acelaşi mod cu x, y şi z F,,:,=F:r;cos 8+Fy sin

e

FIJ'=,FlJ cos 9-F" sin O

(20.4}

F",'=F".

Acum putem afla cum se transformă momentul forţelor, substituind pur şi simplu în (20.2) expresiile (20.3) pentru x', v: şi Z7, iar pentru F x ' , F v', F",' pe cele date de (20.4). Avem astfel, pentru t",,'l/' un şir destul de lung de termeni şi (destul de surprinzător la prima vedere! se constată că

."

ROTAŢll!N

TREI DIMENSIUNI

el se reduce exact la xFII-yF z , pe care îl recunoaştem ca fiind momentul forţelor din planul xy 'fz'y'=(xcos e+y sin 9)(Fycos 8-F", sin e) -(y cos a-x sin e)(F", ros e+F y sin e) =xFy (cost e+sin2 e)-yF~sin2 e-j-coss e)

+xF,,(-sin e cos a-l-sin e cos e)

(20.5)

+yFy(sin e cos a-sin e cos e) =xFII-yFo:=,xy"

Acest rezultat este clar, căci dacă rotim axele noastre numai în plan, axa z rămînînd 'aceeaşi, momentul faţă de această 'axă trebuie să rămînă nemodificat1 Mai interesantă va fi expresia lui T y',1:' , fiindcă acesta se referă la un plan diferit. Să facem aC'UIIl acelaşi lucru pentr-u '[x'v'

a-x sin 9)F" -z(Fgcos 6-F",sin e) =(yFr-zFy) cos 6 + (zF",-xFz ) sin e

'fIl'z'=(Y cos

=tlPCOS

Pentru

e+1'usine.

(20.0)

't",'",' obţinem

'f",'.:,=z(F", cos

e+F sin e) e+y sin 8)F", y

-(:reas

=(zF%-xF,,)cos 8-(yF z -zFII) sin e ="'TaCuSe--T!I~S:r:

Căutam

O

(20.7)

pentru aflarea momentelor forţelor in noul sistem de axe in funcţie de momentele din vechile axe şi am găsit-o. Cum putem ţine minte 'această regulă? Dacă privim atent relaţiile (20.5), (20.6) şi (20.7), vedem că există o strînsă legătură între ele şi relaţiile de transformare pentru x, Y şi z. Dacă am putea cumva numi pe 't"X'J drept component1a z a cuiva, să zicem componenta z a lui r, atunci totul ar fi în ordine; am înţeles pe (20.5) ca pe o transformare vectorială, întrucît componenta z ar fi neschimbată, aşa cum trebuie. La fel, dacă asociem planului yz componenta x a noului vector inventat de noi, iar planului zx componenta y, aceste expresii de transformare vor fi o

regulă

cos e+t"ysin e t"y cos 6-1"" sin 6

1""'=.,, 1"",' =

ceea ce

reprezintă

tocmai regula de transformare pentru vectori!

(208)

TRIDIMENSIONALE ALE

Am demonstrat deci că putem identifica combinaţia xFy~yF% ou ceea numim in mod obişnuit componenta z a unui anumit vector inventat mod special. Deşi momentul forţei reprezintă o răsucireasupra unui şi nu are a priori caracter vectorial, din punct de vedere matematic se comportă ca un vector. Acest Vector e perpendicular pe planul ră­ sucirii, iar lungimea sa e proporţională cu intensitatea răsucirfi. Cele tret compcnerstc ele unei astfel de cantităţi se vor transforma ca un vector adevărat.

Deci reprezentăm momentele forţelor prin vectori; fiecărui plan asupra se presupune că acţionează momentul îi asociem după o anumită regulă un segment perpendicular. Dar "perpendicular" lasă semnul nespecificat. Pentru a obţine semnul corect, trebuie să adoptăm o regulă care să stabilească o corelaţie între sensul răsucir-ii în planul x şi y şi sensul pe axa z, edtcă, presupunind că sistemul de coordonate x, y, Z este ;,drept", regula va fi următoarea: dacă ne imaginăm răsucirca ca în cazul rotirii unui tirbuşon, atunci sensul pozitiv pe care îl vom asocia acestei răsuciri este sensul În care va inainta tirbuşonul. De ce este momentul forţei un vector? E un noroc surprinzător faptul că putem asocia o singură axă unui plan şi deci putem asocia un vector unui moment. Aceasta e o proprietate a spaţiului tridimensional. in două dimensiuni, momentul este un scalar obişnuit şi nu e nevoie să i se asocieze vreo direcţie. In trei dimensiuni, el este un vector. Dacă am avea patru dimensiuni, am fi În mare Încurcătură, fiindcă (dacă, de exemplu. timpul ar fi a patra dimensiune) nu am avea numai planele xy, yz şi Z'x, ci şi tx, ty şi te. Ar exista şase plane, iar şase cantităţi nu pot fi reprezentate printr-un vector în patru dimensiuni. Vom trăi însă multă vreme În trei dimensiuni, aşa că e bine să observăm că discutia matematică precedentă era independentă de faptul că XI. era poziţie, iar F era forţă; ea se bazează numai pe legile de transformare ele vectorilor. Deci, dacă în loc de coordonate x am folosi componenta x a unui alt vector, nu ar exista nici o deosebire. Ou alte cuvinte, dacă am calcula cantitatea axb!l~ayb%, unde a şi b sînt vectori, numind-o componenta z a unei net cantităţi,această nouă cantitate va fi un vector c. Avem nevoie de o notaţie matematică pentru legătura dintre noul vector şi vectorii a şi b. Notaţia inventată pentru aceasta este c-e a Xb. Avem atunci, pe lîngă produsul scalar obişnuit din algebra vectoria1ă, un !,\"nou fel de produs, numit produs veetorial. Astfel, c=aXb este tot una cu 8 scrie căruia

c,,=ayb=~azb!l cy=a",b"~a..~b,,

'(20.9)

c",=a%by--a'lb". Dacă Inversăm ordinea lui a şi b, semnul lui c se va inversa, fiindcă c« va fi b"all~bA. Deci produsul vectortal e diferit de înmulţirea obişnuită,

ROTAŢII tN TREI DIMENSIUNI

316

unde ab=ba; pentru produsul vectorial avem bXa=-aXb. De aici putem demonstra imediat că, dacă a=b, produsul vectorial este zero. Deci aXa=O. Produsul vectorlal e foarte important pentru reprezentarea proprietă­ ţilor rotatiei şi, de aceea, c necesar să înţelegem relaţia geometrică dintre cei trei vectori a, b şi c. Relaţia dintre componente e dată in (20.9) şi de acolo se poate găsi care este relaţia geometrică. Răspunsul e, mai întîi, că vectorul c este perpendicular atit pe a cît şi pe b. (încercaţi să calculaţi e-a şi arătaţi că se reduce la zero.) Al doilea, mărimea lui c rezultă a fi mărimea lui a ori mărimea lui b ori mărimea sinusului unghiului dintre ei. în ce sens e orientat c? Imaginaţi-vă că rotim pe a cu un unghi mai mic de 1800 suprapunîndu-l peste b; un şurub cu filet pe dreapta sau un tirbuşon, rotidu-se in acest sens, vor înainta în sensul lui e. Faptul că ne referim La şurubul drept în loc de şurub stîng este o convenţie şi o permanentă reamintire a faptului că dacă a şi b sint vectori "cinstiţi" in sensul obişnuit, noul fel de "vector" pe care l-am creat prin regula aXb e artificial şi uşor diferit în caracteristicile sale de a şi b, fiindcă a fost obţinut printr-o regulă specială. Dacă a şi b sint vectori obişnuiţi, avem un nume special pentru ei, îi numim vectori polari. Exemple de astfel de vectori sînt coordonata r. forţa F. impulsul P. viteza v, cimpul electric E etc.; aceştia sînt vectori polară, obişnuiţi. Vectorii care conţin doar un singur produs vectorial în definiţia lor se numesc vectori axiali sau pse'Udovectori. Exemple de pseudovectori sînt momentul forţei T şi momentul cinetic L. Se vădeşte că şi viteza unghiulară (i) e un pseudovectorv ca şi cîmpul magnetic B. Pentru a completa proprietăţile matematice ale vectorilor, trebuie să cunoaştem toate regulile lor de înmulţire, folosind produse scalare şi vectoriale. In aplicaţiile noastre imediate vom avea nevoie de foarte puţine dintre acestea. Pentru completitudine vom scrie însă toate regulile înmulţirii vectorilor, astfel incit să putem utiliza rezultatele mai tirziu. Ele sînt (al

(()Scilator "împinge~~ atunci cînd celălalt "trage". In direcţia N semnalul .de la oscilatorul mai apropiat soseşte la un anumit moment, iar semnalul d,e la celălalt cu o jumătate de perioadă mai tîrziu. Insă ultimul era ini',i . lial cu o jumătate de perioadă în urmă şi deci el este acum exact în fază

r

&",-"","

mo',,"'

00'

,

INTERFERENŢA

434

cu primul, aşa că intensitatea in această direcţie este de 4 unităţi. Intensitatea în direcţia corespunzătoare unghiului de 30° este tot 2, aşa cum vom demonstra mai tirziu. Ajungem acum la un caz interesant care arc o caracteristică utilă. Unul dintre motivele pentru care sint interesante relaţiile Între fazele 05C1Iatorilor- este utilizarea acestui fapt la orientarea antcnelor de radioemisic. De exemplu, dacă construim un sistem de antene Si vrem să transmitem un semnal radio, să zicem, in Hawai, aranjăm antenele ca in fig. 29.5, Ci şi transmitem cu cele două antene în fază, deoarece Hawai este la vest de noi. Apoi ne decidem ca astăzi să omitem Spre Alberta, Canada. Intrucit

aceasta se

află

la nord, nu la vest, tot ce avem de

făcut

este

să inversăm

faza uneia dintre antenele noastre şi putem emite spre nord. Putem construi astfel sisteme de antene cu diverse aranjări. Al nostru este unul din cele mai simple posibile; le putem face mult mai complicate ş.\ modificind fazele din diversele antene putem emite undele în diverse direcţii şi transmite cea mai mare parte din energie în direcţia în care dorim, fără să deplasăm deloc antenele! Totuşi, în timp ce emitem înspre Alberta pierdem multă energie în direcţia Insulei Peştelui, care se află 1;:: sud de noi şi ar fi interesant să ne întrebăm dacă este posibil să o trimitem doar într-un singur sens pe o anumită direcţie. La prima vedeream putea crede că avind o pereche de antene de acest fel rezultatul va fi totdeauna simetric. Să considerăm deci un cal': asimetric, spre a arăta varietatea posibilităţilor. Ce se va petrece dacă antenele sînt separate printr-un sfert de lungime de undă şi dacă cea de la nord este dcrazată cu un sfert de perioadă

•

,-1,1'-2

IoA

Spl't' 1//1 Pline! /iJdejltl/'(tlt

O

a'=T/2 Fig. 29.6. O pereche de antene dîpol emiţînd maximum de putere într-o singură di-

Fig. 29.7. Diagrama de intensitate pentru doi dipoli separaţi prin 10 L

recţie.

în urma celei de la sud (fig. 29.6)1 In direcţia vest obţinem doi, aşa cum vom vedea mai departe. In direcţia sud obţinem zero, fiindcă semnalul de la sud soseşte la un anumit moment; cel de la nord soseşte cu 90'> mai tirziu in timp, însă faza sa este deja ajustată cu 90 a În urmă, deci semnalul ajunge defazat în total cu 180 şi În total nu există nici un 0

DOI DIPOLI

RADIANŢI

efect. Pe de altă parte, in direcţia nord semnalul nord ajunge mai devreme decit semnalul sud cu 90 in timp, fiindcă este cu un sfert de lungime de undă mai aproape. lnsă faza sa este astfel ajustată incit oscilează cu 90" în urmă în timp faţă de sud, ceea ce compensează exact diferenţa datorită distanţei şi deci cele două semnale apar în fază, producind un .cîmp de două ori mai mare şi o energie de patru ori mai mare. Astfel, cu oarecare iscusinţă în distanţarea şi defazarea antenelor noastre, putem emite aproape toată energia într-un singur sens. Dar ea este încă distribuită pe un interval de unghiuri foarte mare. Ne putem oare aranja astfel incit ca să fie focalizată în mod şi mai pronunţat într-o anumită direcţie? Să considerăm cazul emisie! către Hawai, în care trimitem energia spre est şi vest, însă tmprăştiată sub un unghi foarte mare, deoarece chiar la 30" avem jumătate din intensitatea maximă - energia se risipeşte. Putem face ceva mai bun? Să considerăm o situaţie în care separaţia este de zece lungimi de undă (fig. 29.7). In acest cai': sîntem mai aproape de situaţia considerată in capitolul precedent, in care avem separaţii de mai multe lungimi de undă, mai curind decît o mică fracţiune de lungime de undă. Atunci imaginea este cu totul diferită. Dacă oscilatoril sînt distanţaţi cu zece lungimi de undă (considerăm pentru uşurinţă cazul cînd sînt în fază), vedem că în direcţia est-vest ci sînt in fază şi obţinem o intensitate puternică, de patru ori ceea ce am obţine dacă ar exista unul singur. Pe de altă parte, la un unghi foarte puţin diferit, timpii de sosire diferă cu 180 şi intensitatea e zero. Ca să vorbim precis, dacă ducem o dreaptă de la fiecare oscilator la un punct îndepărtat şi diferenţa ..1. a celor două distanţe este 'A/2, o jumătate de oscilaţie, ei vor fi in opoziţie de fază. Cînd se întîmplă aceasta apare primul minim nul. (Figura nu e desenată la scară; e doar o schiţă aproximativă.) Aceasta însemnează că avem intr-adevăr un fascicul foarte pronunţat in direcţia dorită, fiindcă dacă ne deplasăm doar foarte puţin într-o parte pierdem toată intensitatea. Din nefericire pentru scopurile practice, dacă ne-am gîndi să construim un sistem de antene de radiocmisiune şi am dubla distanţa .6., luînd-o egală cu iA, defazajul ar fi de un ciclu întreg, ceea ce c tot una cu a avea oscilatorti din nou în fază! Obţinem astfel multe maxime şi minime succesive, cu o diferenţă de drum între 0

0

~le de 2. .!- 1.., ca în capitolul 28. 2

Cum ne putem aranja să scăpăm de aceste maxime suplimentare? Am putea scăpa de maxlmcle nedorite intr-un mod destul de interesant. Să presupunem că am aşeza alt sistem de antene între cele două pc care le avem deja, adică antenele exterioare sînt distanţate cu 10 A, însă între ele, să zicem la fiecare 2 A, am pus cîte o altă antenă şi le alimentăm pe toate în fază. Există acum sase antene si dacă am examina intensitatea în direcţia est-vest ea ar fi, bineînţeles, inult mai mare în cazul a şase antene decît in cazul uneia singure. Cimpul ar fi de şase ori, iar intensitatea de treizeci şi şase de ori mai mare (pătratul cimpului). Obţinem 28'

INTERFERENŢA

36 de unităţi de intensitate în acea direcţie. Dacă privim la punctele învecinate, găsim aproximativ un zero ca şi inainte, însă dacă mergem şi mai departe, acolo unde obţinem o "ridicătură" mare obţinem acum o "ridică tură" mult mai mică. Să încercăm să vedem de ce. Motivul este următorul. Ne-am putea aştepta să obţinem o ridicătura mare acolo unde .1. este exact egal cu lungimea de undă şi e adevărat Cii

Fig. 29.3. Un sistem de antene dipaI şi o parte din diagrama sa de intensitate.

şase

JO ~

dipolii 1 şi 6 sînt atunci în fază ':;;1 cooperează, încercînd să producă (9 Intensitate mare in acea direcţie. Insă numerele 3 şi 4 sînt derazatc cu aproximativ

t

dintr-o lungime de

undă faţă

de 1

şi

ti

şi deşi

1

şi

(J

im-

ping împreună, 3 şi 4 împing şi ele împreună, dar in opoziţie de fază Decl avem o intensitate foarte mică in această direcţie - dar totuşi nu zero; compensarea nu este exactă. Acest lucru se întîmplă şi in continuare; obţinem r-idicâturi foarte mici, însă Iasciculul puternic îl avem în direcţia dorită. Dar în acest exemplu particular se mai poate petrece şi altceva; anume, întrucît distanţa dintre dipoli i succesivi este 2 \, este posibil să se găsească un unghi pentru care distanţa a corespunzătoare dipolilor succesivi să fie exact o lungime de undă, astfel incit efectele tuturor să fie iarăşi in fază. Fiecare este în urmă faţă de următorul ru 3600, aşa că ei ajung din nou în fază, şi avem un alt fascicul puternic in direcţia aceea! Acest lucru e uşor de evitat in practică, fiindcă este posibil să se aşeze dipolil mai aproape unul de altul decit lungime de undă. Dacă adăugăm mai multe antene, mai aproape una de alta rler-i; o lungime de undă, acest fenomen nu se poate petrece. Dar faptul di el poate apărea la anumite unghiuri, dacă distanţarea este mai mare deci t o lungime de undă, este foarte interesant şi util in alte aplicaţii -- nu în emisiunile radio, ci la reţelele de difracţie.

°

29.5. Matematica

interferenţei

Am terminat acum analiza calitativă a fenomenelor produse de dipolii oscilantt şi trebuie să învăţăm să le analizăm cantitativ. Pentru a găsi efectul a doua surse într-o anumită direcţie in cazul cel mai gene-

TEMATICA INTERFERENTEI

437

, ,in care cei doi oscilatort au o diferenţă fază relativă intrinsecă a unul tă de altul, iar amplitudinile il l şi A 2 nu sînt egale, trebuie să adunăm , oi cosinuşi avînd aceeaşi frecvenţă, dar cu faze diferite. E foarte Uşor ~,~~e aflat diferenţa de fază totală: ea este constituită din retardarea datoj1~'~tă diferenţei de distanţă şi din faza intrinsecă a oscilatiei, introdusă ini':;;,~;}ţial_ Matematic, trebuie să aflăm suma R a două unde: R=A I cos «(ot+ 4l1)+~ cos (wt+4l2). Cum procedăm? , ' De fapt este foarte uşor şi bănuiesc că ştiţi deja cum trebuie proce.,>dat. Totuşi, vom descrie procedeul în oarecare dataliu. Mai întîi, dacă ":y,:,idnteţi tari la matematică şi ştiţi destule despre slnusurt şi cosinusuri, .;'", puteţi pur şi simp;u efectua calculuL Cel mai simplu caz este cel in care ;':;'i::At şi A 2 sînt egali, să zicem ambii egali cu A. în aceste condiţii de exem. pIu (am putea numi acest procedeu metoda trigonometrlcă de a rezolva problema), avem

''',x+

(29.9}

,Cindva la trigonometrie

aţi învăţat că

cos A+cos B=2 cos..!. (A+B) cos ~ 2 2

;: ,l+ A 2 e' (o>{+ ,) =(:1)e ,, + A 2 e" · ) el "' / sau

R=....-1 1e t' L +A e ,,,=il 2

R

c II{ •

(29.13) (29.14)

Această formulă ne rezolvă problema, fiindcă ea prezintă rezultatul ca un număr complex de mărime AR şi fază epR. Pentru a vedea cum funcţionează această metodă, să găsim amplitudinea Â11, care este modulul lui R. Pentru a afla modulul unei canaităţl complexe. inmulţim întotdeauna cantitatea cu complexa sa conju-

MATEMATICA INTERFERENŢEI

439

~,gată, ceea ce ne dă pătratul modulului. Complexa conjugată este aceeaşi

expresie,

însă

cu sensul lui i inversat. Avem deci

111 =

(Alei,

+A

2e'·)(A\e-

i'+A

2e-

i,)

(29.15)

Efectuînd înmulţirea, obţinem A. ~+A~ (aici e se simplifică), iar pentru termenii care se Inmultesc în cruce avem A 1A 2 (e i ( OZl l- , ) ---+-ei(c-l'). Dar e,e e-i!l=cos e+i sin a-ş-cos 8-i sin 8. Cu alte cuvinte, eiB+e-i&= =2 cos El. Rezultatul final este deci

+

(29.16) După cum se vede, aceasta e în concordanţă cu lungimea lui AR din figura 29.9, conform regulilor trigonometriei. Deci suma celor două efecte are intensitatea A~ pe care am obţine-o­ cu unul singur dintre ele, plus intensitatea pe care am obţine-o cu celălalt singur, plus un termen corectiv. Această corecţie o numim efect de interferenţă. Ea reprezintă de fapt doar diferenţa dintre ceea ce obţi­ nem adunind pur şi simplu intensităţile şi ceea ce se petrece în realitate. O numim interferenţă, indiferent dacă este pozitivă sau negativă. Dacă termenul de interferenţă e pozitiv, numim acest caz interferenţă constructivă, oricît de ciudat ar putea suna aceasta altcuiva decît unui fizician! Cazul opus se numeşte interferenţă distructivă. Să vedem acum în ce mod se aplică formula generală (29.16) pentru cazul a doi oscilatori în situaţiile speciale pe care le-am discutat calitativ. Pentru a aplica această formulă generală este necesar numai să găsim diferenţa de fază cI\-2 care există intre semnalele ce sosesc intr-un punct dat. (Rezultatul depinde doar de diferenţa de fază şi nu de fazele înseşi.) Deci să considerăm cazul în care cei doi oscilatori, de

AL

Fig. 29.10. Doi oscllatort de amplitudine egală cu o diferenţă de fază Il între ei. cga.ă, relativă intrinsecă

sînt separaţi printr-o anumită distanţă d şi au o fază c, (Luind faza unuia egală cu zero, faza celuilalt va fi c.) Apoi ne întrebăm care este intensitatea într-o anumită direcţie de azimut f3 faţă de direcţia est-vest. (Observaţi că nu este vorba de acelaşi 8 care apare în (29.1). Avem de ales între folosirea unui simbol neobişnuit şi simbolul convenţional O (fig. 29.10).] Relaţia dintre faze se află observînd că diferenţa dintre distanţele de la P la cei doi osctlatort este d sin 8, astfel încît contribuţia la diferenţa de fază a acestei distanţe

amplitudine

INTERFERENŢA

440

este numărul de lungimi de undă din d sin e, Inmultit cu 21t. (Cei mai rafinati vor vrea poate să înmulţească numărul de unde k, variaţia fazei pe unitatea de distanţă, cu d sin 8; e exact acelaşi lucru.) Diferenţa de fază datorită diferenţei de distanţă este deci 2:n:d sin e/"-, însă datorită nesincronizării oscilatorilor mai există o fază aditională Q. Deci diferenţa de fază la sosire va fi (29.)7) Această formulă înglobează

toate cazurile. Prin urmare, tot ce avem de făcut este să substituim această expresie în (29.16) pentru cazul AI =.'1 2 şi putem calcula toate diversele rezultate pentru două antene de intensitate egală. Să vedem acum ce se întîmplă in diferitele cazuri întîlnite de noi. Motivul pentru care ştim că in figura 29.5, de exemplu, intensitatea la 30" este 2, e

următorul: cei doi oscilatori sint distanţati cu ~1, deci la

30° avem d sin '8=)./4 Astfel, tP2-/2 Să analizăm

(302)

(30.3)

acum această expresie şi să studiem cîteva din consesale. In primul rind, o putem verifica pentru n .1. Obtinem ceea ce trebuie: 1=10 • O verificăm apoi pentru n=2: scriind sin lP= =2 sin II> /'2-cos lP/2, găsim că A R = 2A cos 11>,2, ceea ce coincide cu (29.12). Ideea care ne-a condus la considerarea adunării contribuţiei mai multor surse este că am putea obţine o intensitate mult mai puternică intr-o direcţie decît într-alta; că maximele apropiate care sint prezente dacă există numai două surse vor scădea în intensitate. Pentru a vedea acest efect, reprezentăm curba care rezultă din (30.3), luind pc n enorm de mare şi reprezentînd regiunea din vecinătatea lui Xoe'''t este egal tocmai Cu viteza sarciniaşa că mai putem scrie formula pentru cîmp şi astfel Cimpul total in p= -!L-[viteza sarcinilor]! I 2t.o . a t-z c

eeea ce este

puţin

cam ciudat,

fiindcă

(30.19)

intervine exact retardarea cores-

punzătoare distanţei z, care e cea mai scurtă distanţă de la P la planul sarcinilor. Dar aşa stau lucrurile; din fericire formula este destul de 'Simplă. [Adăugăm, în treacăt, că deşi deducerea noastră este valabilă numai pentru distanţe mari de la planul sarcinilor oscilante, formula (30.18)

sau (30.19) e corectă la orice distanţă e, chiar pentru z I

,

:

I

I t l..7â;Prt' f/eiltmi

4

C; E' : : I I 1I..110U trunsmisq 1 1/1 CQzU/11

formă neslmetrică

oglindă.

lumină

Pe moleculă cacto liniar polarizată în y.

vedem că cîmpul radiat de curentul din z=zl+A şi cîmpul radiat din Z=Zl ajung în Z2 separate in timp cu cantitatea A/e şi deci cu o diferenţă de fază egală cu n+wA/c. Intrucit diferenţa de fază nu e exact ]f, cele două cîmpuri nu se compensează exact; rămîne o mică componentă x a cîmpului electric generat de mişcarea electronilor din moleculă, in timp ce cîmpul electric care i-a pus în mişcare avea numai component~ y. Această componentă mică după x, adunată cu componenta mare dupa y, dă un cimp rezultant care e uşor rotit faţă de axa y, direcţia iniţială

POLARIZAŢIA

502

polarizaţie. Ca urmare, pe măsură ce lumina pătrunde în material, direcţia de polarizatie se roteşte în jurul axei fasciculului. Luînd cîteva exemple, desenînd figurile respective şi considerind ce curenţi vor fi puşi în mişcare de un cîmp electric incident, ne putem convinge că existenţa activităţii optime şi semnul rotaţiei sînt independente de orienta-

de

rea moleculclor.

O

substanţă

curent

întîlnită

care

posedă

activitate

optică

este mclasa.

Fenomenul se demonstrează uşor cu ajutorul unui polaroid care furnizează un fascicul liniar polarizat, un rccipient transparent conţinînd sirop de melasă, şi un al doilea polaroid pentru a detecta rotirea directiei de polarlzare la trecerea luminii prin melasă. 33.6. Intensitatea luminii reflectate Să considerăm acum din punct de vedere cantitativ coeficientul de reflexie ca funcţie de unghi. Figura 33.6, a arată un fascicul de lumină care cade pc o suprafaţă de sticlă, unde este parţial reflectat şi parţial rcfractat in interiorul sticlei. Să presupunem că fasciculul incident, avind o amplitudine egală cu unitatea, c polarizat liniar, perpendicular pe planul hirtiei. Vom nota cu b amplitudinea undei reflectate şi cu a amplitudinea undei refractate. Undele refractată şi reflectată vor fi, desigur, liniar pclanzate. iar vectorii cîmp electric ai undelor tncidentă, reflectată şi refractată sînt toţi paraleli unul cu altul. Figura 33.6, b prezintă aceeaşi situaţie, însa acum presupunem că unda incidcntă, de amplitudine unitate, este pclari-

~

r'

~-~

7

l

o)

sI/clei

,-1

8 /

,

,

Stlclti

b)

zată în planul hîrtiei. în acest reflectată şi refractată cu B şi A,

A

Fig. :~3.6. o undă incidenta dramplitudine egală CII unitatea este reflectată şi _t-efractată la supr-af:oţa sticlei. In (a) unda Incidenta e lunar polarizată, normal pe planul hîrtiei. În (b) unda tnct dr-ntă e liniar polarizată, rr, direc ţia arătată de vectorul ele.' tric- desenat punctat.

caz, să notăm amplitudini1e undelor respectiv. . Vrem să calculăm cît de puternică este reflexia în cele două situaţii llus~rate în fig. 33.6, a şi 33.0, b. Ştim deja că, atunci CÎnd unghiul dintre Iascicul uţ reflectat şi fasciculul refractat este drept, nu va exista undă refl~ctată în fig. 33.6, b: să vedem însă dacă nu putem obţine un rezultat :a~tltativ o formulă exactă pentru B şi b ca funcţie de unghiul de

Incidenţă

i.

INTENSITATEA LUMINII REFLECTATE

503

Principiul pe care trebuie să-I înţelegem este următorul. Curenţii in interiorul sticlci produc două unde. Mai întîi, ei produc unda reflectată. Apoi, ştim că dacă în sticlă nu s-ar genera curenţi, unda incidentă şi-ar continua drumul prin sticlă drept inainte. Amintiţi-vă că cimpul total este produs de toate sursele din lume. Sursa fasciculului de lumină incident produce un cîmp de amplitudine unitate care s-ar propaga prin sticlă de-a lungul liniei punctate din figură. Acest cimp nu se observă in realitate şi deci curenţii generaţi in interiorul sticlei trebuie să producă un cîmp de amplitudine -1 care se propagă de-a lungul liniei punctate. Utilizînd acest fapt, vom calcula amplitudinea undelor reflectate, a şi A. In fig. 33.6, a vedem că cimpul de amplitudine b este radiat de miş­ carea sarcinilor dinăuntrul sticlei, ca răspuns la un cîmp a în interiorul sticlei; deci b este proporţional cu a. Am putea presupune că Intrucit ambele figuri sint exact la fel, cu excepţia direcţiei de polarlzaţle, raportul BIA va fi acelaşi cu raportul bţa. Acest lucru nu e tocmai adevărat, pentrucă în fig. 33.6, b direcţiile de polarizaţie nu sînt paralele una cu alta, aşa cum sint in fig. 33.6, a. Numai componenta lui A perpendiculară pe B, şi anume A cos (i+r), contează efectiv la producerea lui B. Expresia corectă pentru proporţionalitate este atunci generaţi

B

b a

A cos (i

+ r)

(33.1)

Acum utilizăm un artificiu. Ştim că atît in (a) cit şi în (b) din fig. 33.6 cimpul electric din interiorul sticlci trebuie să producă oscflaţii ale sarcinilor, care generează un cîmp de amplitudine -1, polarizat paralel cu îasciculuj incident şi propagîndu-se in lungul liniei punctate. Dar din partea (b) a figurii vedem că numai componenta lui A normală pe linia întreruptă are polarizaţia necesară pentru a produce acest cimp, pe cind in fig. 33.6 (a) contribuie intreaga amplitudine. deoarece polarizaţla undei a e paralelă cu polartxatia undei de amplitudine -1. Putem scrie deci Aco,(i-r) a

-1 -1

(33.2)

întrucît cele două amplitudini din partea stîngă a relatiei (33.2) produc fiecare o undă de amplitudine - l . împărţind (33.1) la (33.2) obţinem B

b

cos(i +r) cos(i- r)

(3:1.3\

Un rezultat pe care îl putem verifica prin ceea ce ştim deja. Dacă punem sec (i+r)=90°, relaţia (33.3) dă B=O, aşa cum ne învaţă Brewstcr că trebuie să fie. Deci, pînă acum cel puţin rezultatele noastre nu sînt greşite in mod evident.

POLARIZAŢIA

504

Pentru undele incidente am presupus amplitudini unitate, aşa că ]B21/12 reprezintă coeficientul de reflexie pentru undele polarizate în planul de incidenţă, iar Ib 21/F este coeficientul de reflexie pentru undele polarizate normal pe planul de incidenţă. Raportul acestor doi coeficienţi de reflexie e determinat de (33.3). Acum facem o scamatorie şi calculăm fiecare coeficient separat, nu numai raportul lor. Ştim din conservarea energiei că energia din unda reflectată trebuie să fie egală cu energia incidentă minus energia din unda reflectată: l-IBI 2 intr-un caz l-lbl 2 in celălalt. Mai departe, raportul dintre energia care Întră în sticlă in fig. 33.6, b şi energia care intră in sticlă în fig. 33.6, a este raportul pătratclor arnplltudirdlor rcfractate, IAI2/ la j2. Am putea să ne întrebăm dacă ştim intr-adevăr cum să calculăm energia în interiorul sticlei, pentrucă, în definitiv, avem, in afara energiei din cimpul electric, şi energiile de mişcare ale atomilor. Este însă evident că toate contribuţiile la energia totală vor fi proporţionale cu pătratul amplitudinii cîmpului electric. Deci putem scrie

~~=~. (33.4) l-[bl' lai' Substituim acum relaţia (33.2) pentru a elimina A/a din expresia de mai sus, şi exprimăm pe B în funcţie de b cu ajutorul formulei (33.3) 1-[ b 12 COS' O C'lS'

1- ( b

+ r)

li -

r)

1"

(.13..51

cos'(i- r)

Această ecuaţie conţine doar o singură amplitudine vind in raport cu Ib1 2 , obţinem

necunoscută,

b. Rezol-

lbf= sin'{i-r). sin'{i +r) şi,

cu ajutorul lui (33.3),

1Bl'

tg"(i-r) tg' (i

+ r)

(3:-1.7)

Am găsit astfel coeficientul de reflexie Ibl2 pentru o undă polarizată perpendicular pe planul de incidenţă şi coeficientul de reflexie [B12 pentru o undă tncidentă polarizată în planul de incidenţă! Se poate merge mai departe şi demonstra că b e real folosind argumente de aceeaşi natură. Pentru a demonstra aceasta, trebuie r-onsjdr-rat un caz în care lumina soseşte din ambele feţe ale suprafeţei sticlei În acelaşi timp, o situaţie care nu e uşor de aranjat experimental, dar amuzantă de analizat teoretic. Dacă analizăm acest caz general, putem demonstra că b trebuie să fie real şi deci că, de fapt, b = ±sin (i~r)/sin (i +r). Se poate determina chiar şi semnul, considcr-înclu-sc cazul unui strat

REFRACŢIA

ANORMALA

505

subţire, în care avem reflexie pe suprafeţele frontală şi calculîndu-se cîtă lumină este reflectată. Ştim cîtă lumină trebuie să fie reflectată de un strat subţire, deoarece ştim ce curent se generează, şi chiar am calculat cîmpurile produse de asemenea curenţi. Prin aceste argumente se poate arăta că

foarte, foarte

posterioară şi

h=

sin(i-r), sin (i

+ r)

H= tg1i-r). tg(i

+ r)

Aceste expresii pentru cceficientii de reflexie in funcţie de unghiurile de incidenţă şi refractie se numesc formulele lui Fresnel pentru reflexie. Dacă considerăm cazul limită cînd unghiurile i şi r tind la zero, găsim că la incidenţă normală B2=b 2=(i-r)2,i(i+r? pentru ambele polarizaţii, intrucit sinusu,rile sînt practic egale cu unghiurile, ca şi tangentele. Dar ştim că sin i/sin r=n, iar cînd unghiurile sînt mici i/r=n. Astfel, e uşor de arătat că coeficientul de reflexie pentru incidenţă normală este B2=b2= (n-Il.:. (n+ 1)"

E interesant de văzut cîtă lumină e reflectată la incidenţă normală de suprafaţa apei, de exemplu. Pentru apă n~4/3 şi deci coeficientul de reflexie rezultă (1/7)2=2%. La incidenţă normală, numai doi la sută din lumină este reflectată de suprafaţa apei. 33.7.

Refracţia anormală

Ultimul efect de polarizaţie pe care il vom considera a fost de fapt unul dintre primele descoperite: refracţia anormală. Marinarii care au vizitat Islanda au adus in Europa cristale de spat de Islanda (CaC03 ) care avea proprietatea amuzantă de a face ca orice obiect văzut prin cristal să apară dublu, ca două imagini deosebite. Acest fapt a atras atenţia lui Huygens şi a jucat un rol important in descoperirea polarizatiei. Cum este adesea cazul, fenomenele descoperite mai întîi sint pînă la urmă cel mai greu de explicat. Numai după ce înţelegem temeinic un anume concept fizic, putem alege cu grijă acele fenomene care il ilustrează cel mai clar şi mai 'Simplu. Reft-acţia anormală e un caz particular al aceleiaşi biretringente pc care am considerat-o anterior. Refracţia anormală apare atunci cind axa 'Optică, axa mare a moleculelor noastre asimetrice, nu e paralelă cu suprafaţa crtstalului. In fig. 33.7 sînt desenate două bucăţi de material birefrin.gent, cu axa optică orientată aşa cum este indicat. In figura de sus, fasciculu1 incident care cade pe material este liniar polartzat într-o direcţie perpendtculară pe axa optică a materialului. Cînd acest fascicul întîlneşte suprafaţa materialului, fiecare punct de pe suprafaţă acţionează ca sursă

POLARIZAŢIA

506

a unei unde care se propaga rn cristal cu viteza. V.l. viteza luminii în cristal cînd planul de polarizare e normal pe axa optică. Frontul de undă este tocmai înfăşurătoarea locurilor tuturor acestor unde sferice elemen-

tare; acest front de undă se propagă prin cristal şi iese pe partea cealaltă. Aceasta e exact comportarea obişnuită la care ne aşteptăm şi faza respectivă se numeşte rază ordinară. In figura de jos lumina liniar polarizată care cade pe cristal are directia de polarlzarc

rotită

cu 90°,

aşa că

axa

optică

se

află

în planul de

~Front deuf7t/o

~/ ~

Front o't't/l7ucf

/

Fig. 33.7. Desenul de sus arată drumul razei ordinare printr-un cristal dublu refractant. Raza extraordinară e arătată in desenul de jos. Axa optică se află în planul hîrtiei.

polarizare. Dacă considerăm acum undele elementare care pleacă din fiecare punct al suprafeţei cristalulut, vedem că ele nu se mai răspîndesc in forma unor unde sferice. Lumina care se propagă in lungul axei optice are viteza V.1. deoarece polartzaţia e perpendiculară pe axa optică, pe cînd lumina care se propagă perpendicular pe axa optică are viteza vl , deoarece polarizatia e paralelă cu axa optică. Intr-un material birefringcnt v If:V.1. iar pe figură vn "L. O analiză mai completă arată că undele se răspîndesc în forma de unde elipsoidale, axa optică fiind axa mare a clipsotduluj. Infăşurătoarea tuturor acestor unde eliptice este frontul de undă, care înaintează prin cristal in direcţia arătată. La suprafaţa posterioară a cristalului fasciculul va fi deviat din nou. exact la fel ca la ~uprafaţa frontală, aşa că lumina iese din cristal paralel cu fasciculul incident, însă deplasată faţă de el. Evident, acest fascicul nu ascultă de legea lui Snellius, ci se propagă, într-o direcţie extraordinară, de aceea el e numit rază extraordinară. Cînd un fascicul nepolarizat cade pe un cristal prezentind refractfa anormală, el e separat într-o rază ordinară care se propagă în mod normal şi o rază extraordinară care este deplasată la trecerea sa prin cristal. Aceste două raze emergente sînt liniar polartzate perpendicular una faţă de alta. Putem arăta că acest lucru e adevărat cu ajutorul unui polarold, analizind pc.arizaţia razelor emergente. Putem de asemenea demonstra

<

REFRACŢIA

ANORMALA

507

că interpretarea dată de noi acestui fenomen este corectă, trimiţind pe cristal lumină liniar polarizată. Orientînd în mod adecvat direcţia de polarizatle a fascicul ului incident, putem face ca lumina să se propage normal, fără a se despica in două, sau o putem face să se propage fără despicare, dar cu o deplasare. Am reprezentat toate cazurile de polarizatie din figurile 33.1 şi 3:U cu suprapuneri a două tipuri speciale de polarizatle şi anume polarizatii liniare după x şi y, cu diverse amplitudini şi faze. Am fi putut utiliza la fel de bine şi alte perechi de axe. Nişte polarizatli in lungul oricăror două axe perpendiculare 'x', y' înclinate faţă de x şi y ar putea servi la fel de bine, de exemplu, orice polarizatic poate fi obţinută prin Suprapunerea cazurilor (a) şi (e) din fig. 33.2. E interesant însă că această idee poate fi extinsă şi la alte cazuri. De exemplu, orice polarizaţie liniară poate fi obţinută prin suprapunerea, cu amplitudini şi faze adecvate, a două polarizatli circulare, una dreaptă şi alta stingă cazurile (c) şi (g) din fig. 33.2, întrucît doi vectori rotindu-se în sensuri opuse dau prin adunare un vector oscilînd după o dreaptă (fig. 33.8). Dacă faza unuia e deplasată faţă de a celuilalt, dreapta e înclinată. Deci toate desenele din fig. 33.1, ar putea fi intitulate "suprapunerca unor vibraţii luminoase polarizata circular drept şi stîng cu amplitudini egale şi diverse faze relative". Pc măsură ce faza componentei polarizate circular sting rămîne în urma componentei polarizata circular drept, direcţia polarizatlei liniare se schimbă. Deci materialele optic active sînt, într-un Sens, birefringente. E

o x

Fig. 33.8. Doi vectori care se rotesc in sensuri opuse. de amplitudini egale, dau prin adunare un vector avind o direcţie fixă, dar de mărime osct.

Fig. 33.9. O sarcină rnişcîn­ du-se pe un cerc, sub acţiunea Iurnini i circular pcIartzate.

Jantă

Proprietăţile lor pot fi descrise spunînd că au indici de rcfracttc diferiţi 'pentru lumina polarizată circular drept şi sting. Suprapunerea luminii circular polartzate drept şi stîng, cu intensităţi diferite, produce lumină polarizată eliptic.

508

POLARIZA ŢIA

Lumina circular polarizată are o altă proprietate interesantă - ea moment clnetlc (faţă de direcţia de propagare). Pentru a ilustra aceasta, să presupunem că lumina astfel polarizată cade pc un atom reprezentat de un oscilator armonie care Se poate mişca în planul xy. Atunci deplasarea x a electronului va fi produsă de componenta E", a cîmpului, pe cînd componenta y a deplasării va fi produsă, in acelaşi mod, de componenta E g a cîmpului (egală cu E",), dar cu o intirziere de fază de 90~. Adică, drept răspuns la cîmpul electric rotitor al luminii, electronul seînvîrteşte pe un cerc (fig. 33.9). Direcţia deplasării a a electronu1ui depinde de caracteristicile de amortizare ale oscilatorului şi cu toate că nu coincide cu direcţia forţei qBE acţionînd asupra sa, ele se rotesc împreună. Cîmpul E poate avea o componentă perpendiculară pe a, aşa că asupra sistemului se efectuează un lucru mecanic şi se exercită un cuplu r. Lucrul mecanic efectuat pe secundă este rm. Intr-un interval de timp T, energia absorbită este troT, iar tT e momentul cinetic transmis materiei care absoarbe energia. Putem deci vedea că un fascicul de lumină polarizată circular drept, care conţine o energie totală t, transportă un moment cinetic (avînd vectorul dirijat în lungul direcţiei de propagare) t/ro. (intr-adevăr, atunci cînd îasciculul este absorbit, acest moment cinetic este transmis abscrbantului]. Lumina polarizată circular stîng transportă Un moment cinetic de semn opus t/m. transportă

34.

Efecte relativiste în radiaţie

34.1. Surse in

mişcare

In capitolul de faţă vom descrie o scrie de efecte de radiaţie; cu aceasta vom încheia teoria clasică a propagării luminii. In studiul făcut asupra luminii, am mers destul de departe şi am intrat în detalii considerabile. Singurele fenomene importante legate de radiaţia electromagnetică pe care nu le-am discutat se referă la ceea ce se petrece dacă avem a face cu unde radio conţinute într-o cutie cu pereţi reflectanţl (dimensiunile cutiei fiind comparabile cu lungimea de undă) sau care sînt transmise printr-un tub lung. Vom discuta mai tirziu fenomenele legate de aşa-numitele cavităţi rezonante şi ghiduri de undă; vom examina mai intii alt exemplu - sunetul - iar apoi vom reveni la acest subiect. Cu această excepţie, capitolul de faţă reprezintă ultima dată cind vom considera teoria clasică a luminii. Putem caracteriza toate efectele pe care le vom discuta acum prin aceea că ele sînt toate legate de prezenţa unor surse în mişcare. Nu vom mai presupune că sursa este localizată, mişcarea sa făcîndu-se cu viteză relativ mică în vecinătatea unui punct fix. Reamintim că legile fundamentale ale electrodinamicii spun că, la distanţe mari de o sarcină in mişcare, cîmpul electric este dat de formula (341)

Derivata a doua a vectorului unitate eR" care e orientat în direcţia aparentă a sarcinii, constituie trăsătura determinantă a cimpului electric. Acest vector unitate nu este orientat înspre poziţia prezentă a sarcinii, ci în direcţia în care s-a aflat sarcina, tinind seama că informaţiile de la sarcină la observator se propagă cu o viteză finită c. Cîmpului electric îi este asociat un cîmp magnetic, totdeauna perpendicular pe cîmpul electric şi în direcţia aparentă a sursei, dat de ", _ formula (34.2) B=---eR,XE/c

1

EFECTE RELATIVISTE IN RADIAŢIE

510

Pînă acum am considerat numai cazul in care mişcările aveau viteze nerelativiste, aşa că nu exista o mişcare apreciabilă in direcţia sursei care să trebuiască luată în considerare. VOm studia acum cazul mai general in care mişcarea se face cu o viteză arbitrară şi vom vedea ce efecte sînt de aşteptat in acest caz. Vom admite că mişcarea se face cu viteză

4 rJ T !I(r) { z(?:)

____ p

le

o

A

x

z

Fig. 34.1. Traiectoria unei sarcini In mişcare. Poziţia adevărată la timpul Ţ este T, însă poziţia retardată este A.

arbitrară, dar vom presupune in continuare că detectorul se află foarte .departe de sursă. Ştim deja din discuţia făcută în capitolul 28 că singurul lucru care contează în d 2c w/dt 2 este variaţia direcţiei lui cR" Fie (x, y, z) coordonatele sarcinii, cu Z măsurat în lungul direcţiei de observaţie (fig. 34.1) La un moment dat, să zicem r, cele trei componente ale poziţiei sint X(1). y("t) şi Z(I). Distanţa R este aproape egală cu R(1)=Ro+Z(1). Direcţia vectorului e w depinde În esenţă de x şi y, dar practic deloc de z: componentele transversale ale vectorului unitate sînt -x] R şi y/ R, iar cînd derivăm aceste componente obţinem la numitor un R2

d (xIR) = dxldt_~~. dt R dtR"

Deci cînd sîntem suficient de departe, singurii termeni de care trebuie să ne preocupăm sînt cei care conţin pe dx/dt şi dy/dt. Scotind În faţa şi factorul Ro obţinem (34.3)

unde Ro este, aproximativ, distanţa pînă la q; să o luăm egală cu distanţa OP pînă la originea axelor de coordonate (x, y, z). Deci CÎmpul electric este egal cu o constantă înmulţită cu ceva foarte simplu, derlvata a doua a coordonatei x sau y. (Mai matematic vorbind, am putea numi pc x şi y componentele traneoerscte ale vectorului de pozitie r al sarclnif, dar aceasta nu ar contribui cu nimic la claritate.) Bineinteles, ne dăm seama că coordonatele trebuie măsurate la timpul retardat 1. Aici constatăm că z(r) afectează retardarea. Care" timpul retardat? Dacă timpul observattct este t (timpul în P). timpul retardat T, căruia îi corespunde punctul .It al traiectoriei, nu coincide ClI t, ci este retardat cu o cantitate egală cu distanţa totală pe care trebuie s-o parcurgă lumina, împărţită la viteza luminii. În primă aproximatie.

511

această

retardare este Ro/c, adică o constantă (neinteresantă); însă în

aproximaţia următoare trebuie incluse efectele poziţiei în direcţia z la timpul r, deoarece, dacă q se află puţin mai departe în direcţia 2, retardarea c ceva mai mare. Acest efect l-am neglijat înainte şi el reprezintă singura modificare necesară pentru ca rezultatele noastre să devină varia-

bile la orice viteze. Ceea ce trebuie să facem acum este să alegem o anumită valoare a lui t, să calculăm din ea valoarea lui r, şi astfel să găsim care sînt x şi y la acel r. Acestea sînt valorile retardate ale lui x şi y, pe care le notăm cu x' şi y' şi ale căror derivate secunde determină cîmpul. Astfel, r e determinat de

iar (344) Ecuaţiile

acestea sînt complicate, dar e destul de uşor de obţinut soluţia lor cu ajutorul unui desen geometric. Acest desen ne va da o bună. Intelegere calitativă a modului in care merg lucrurile; totuşi, pentru deducerea rezultatelor precise ale unei probleme complicate sînt necesare o mulţime de calcule. 34.2. Determinarea

mişcării "aparente"

Ecuaţia de mai sus admite o simplificare interesantă. Dacă neglijăm Constanta nelntcresantă Ro/c, ceea ce implică doar deplasarea orlginn lui t cu o constantă, ecuaţiile devin

ct=Cl+Z{l), x' =X(T), y' =y(t).

(34.5)

Trebuie să aflăm pc x' şi y' ca funcţii de t, nu de r, ceea ce se poate face in modul următor. Ecuaţiile (34.5) spun că trebuie să luăm mişcarea reală şi să o translatăm cu viteza luminii înmulţită cu r in direcţia axei z. Sensul acestei relaţii este ilustrat in fig. 34.2. Considerăm mişcarea reală 8 sarcinii (arătată in partea stîngă a figurii) şi ne imaginăm că, în timp ce se mişcă, sarcina este silită să se îndepărteze de punctul P cu viteza c (nu apare nici un fel de contradicţie cu relativitatea; e vorba pur şi simplu de adunarea matematică a termenului ce). In felul acesta obtî",,"'. nem o nouă mişcare, in care coordonata în lungul direcţiei de observaţie ~~.0]. .· este ct, după cum se arată in partea dreaptă a-figurii. (Figura ilustrează ;w;r rezultatul pentru o mişcare plană destul de complicată, dar mişcarea ;&irpoate să nici nu aibă loc într-un plan - ea poate fi de fapt mult mai " ,\COIllplicată.) Punctul esenţial este că acum distanţa pe orizontală (adică ·;:In lungul direcţiei de observaţie) nu mai este vechiul z, ci a-l-ce, şi deci

EFECTE RELATIVISTE IN

512

RADIAŢIE

e egală cu ct. Am găsit astfel o reprezentare a curbei x' (şi y') funcţie de t! Tot ce avem de făcut pentru a afla cimpul este să găsim acceleraţia corespunzătoare acestei curbe, adică să o derivăm de două ori. Rezultatul final este deci: pentru a găsi cîmpul electric în cazul unei sarcini in mişcare se consideră că, în timp ce se mişcă, sarcina se îndepărtează de observator cu viteza c (astfel "desfăşurăm" mişcarea sarcinii); curba

".~'C7 C..e' -+-it-'t,~1 ---,-. ~ o

s,orcoo"Hvm'orI O

Fig. 34.2. o

soluţie geometrică

x

ecuaţtei

(34.5) pentru determinarea lui x'(t).

"It}

--='-----cz

Fig. 34.3. Curba

a

x'(t)

o!:::::=~

pentru o

--.::::::=~,

te

particulă

constantă

măşcîndu-se

pe un cerc cu viteza

v=O,94 c.

rezultată dă poziţiile x şi y' funcţie de t. Acceleraţia acestei curbe dă cîmpul electric ca funcţie de t. Această soluţie c exactă, ca şi formula de la care am plecat - avem pur şi simplu de-a face cu o reprezentare geometrică.

Dacă mişcarea e relativ lentă, de exemplu dacă avem un oscilator care se mişcă în sus şi în jos, atunci cînd îndepărtăm mişcarea luminii vom obţine o simplă curbă cosinusotdală, ceea ce ne dă formula pe carp o cunoaştem mai de mult pentru cîmpul produs de o sarcină osctlantă. Un exemplu mai interesant îl constituie un electron mişcîndu-se rapid. foarte aproape de viteza luminii, pc un cerc. Dacă privim in planul cercului, coordonata retardată x'(t) apare ca în fig. 34.3. Ce curbă e aceasta? Dacă ne imaginăm o rază vectoare de la centrul cercului pînă la sarcină st prelungim această dreaptă puţin dincolo de sarcină (doar foarte puţin. dacă ea se mişcă foarte repede) ajungem la un punct care se va mişca cu viteza luminii. Atunci cînd translatăm înapoi cu viteza luminii mtş-

IAŢIA

DE SINCROTRON

circulară,

ca rezultat mişcarea unei sarcini aşezate pe n inapoi (fără alunecare.) cu viteza c; traiee:tori" ;~ţfel obţinută se numeşte cictoiaă. Întrucît sarcina noastră se mişeii po 'i,"~' 'tere cu viteză ceva mai mică decit viteza luminii, traiectoria obtinut[] 'iFin ~esf~ş~rar~'~ miy~ă:ii este do?r;.apropiată de o ciclotdă şi se numeşte IUpoczclozda. Fiindcă viteza sarcmn pe cerc este foarte apropiată cii' Viteza luminii, htpociclolda are maxime foarte ascuţite, in care derlvata este foarte mare (vezi fig. 34.3); dacă s-ar mişca chiar cu viteza luminii, maximclc ar fi infinit ascuţite, avînd derivata infinită. "Infinit de ascu-. ţ}te" înseamnă ceva interesant: in vecinătatea unui maxim şt derivata a itbua este enormă. Aşadar, cu fiecare ciclu obţinem un puls al cîmpului electric. Aceasta nu seamănă de loc cu ceea ce s-ar obţine într-o mişcare nereietivistă, unde pe măsură ce sarcina se roteşte obţinem oscilaţii cu a~roximativ aceeaşi ,,,intensitate(~ tot timpul. În, loc, de aşa ceva,avem pulsuri foarte puternice de cîmp electric la' intervale str, unul de altul. unde ro e perioada de rotaţie. Aceste cimpuri electrice puternice sint emise într-un con ingust in direcţia de mişcare a sarcinii. Cind sarcina se îndepărtează de P, curbura e foarte mică şi cimpul radiat in direcţia lui P e foarte slab. tă

care se

se

obţine

rostogoleşte

°

34.3.

Radiaţia

de stncrotron

In sincrotron avem electroni foarte rapizi mişcîndu-se pe traiectorii circulare; ei se deplasează cu viteze foarte apropiate de c, iar radiaţia descrisă mai sus poate fi văzută sub formă de luinină! Să discutăm acest fenomen ceva mai detaliat. In sincrotrnn avem e.ectronl care se mişcă pc nişte cercuri, intr-un cîmp magnetic uniform. Să vedem mai întîi de ce se mişcă in cerc. Din relaţia (12.10) ştim că forţa asupra unei particule într-un cimp magnetic 1,";yiteza v, aşa că obţinem o mişcare in sens invers, intreaga imagine fiind

;'~tă in proporţia in care c-v este mai mic decit c. Astfel, dacă ,,'J'-v/c«l, in B' există o curbură foarte pronunţată şi rapidă; cind luăm ::,clerivata obţinem un cimp foarte intens in direcţia mişcării. Deci, cind

nii de foarte mare energie se mişcă prin materie, ei emit radiaţie direcţia mişcării. Aceasta se numeşte radiaţie de frinare. De fapt, sintronul se utilizează nu 'atit pentru producerea unor electroni de mare ie (dacă i-am putea extrage din accelerator mai comod, nu am spune ), cit pentru producerea unor fotoni de energie foarte mare - raze a; electronil acceleraţi sînt trecuţi printr-o "ţintă" solidă de tungşten 'ei radiază fotoni prin acest fenomen al radiaţiei de frinare. 34.6. Efectul Doppler

Acum trecem mai departe să considerăm alte exemple de efecte ale' r sarcini in mişcare. Să presupunem că sursa e un atom nemişcat, e oscilează cu una din frecvenţele sale naturale Wo. Ştim atunci că enţa luminii pe care o vom observa este (01). Dar acum să considerăm exemplu, in care avem un oscilator similar, care oscilează cu o ventă 0010 iar in acelaşi timp intregul atom, intregul oscilator, se deplaspre observator, cu viteza v. Mişcarea reală in spaţiu este arătată fig. 34.10, a. Acum aplicăm reteta cunoscută; adunăm C1", adică translainapoi întreaga curbă şi obţinem oscilaţii1e din fig. 34.10, b. Intr-un p dat 1", cînd oscilatorul ar fi parcurs o distanţă ve, pe diagrama x' ie de ce el parcurge distanţa (c-v)t. Deci, toate oscilaţiile de frecvenţă din timpul .IISTE IN

524

Aceasta este deci natura vectorului de

RADIAŢIE

undă utilizat pentru a repre- i

zenta o undă in trei dimensiuni. Cele patru cantităţi 00, k". k g , k x se transformă in rejatlvttate ca un cuadrivector, ru corespunzind timpului, iar k", k y, k z corespunzînd componentelor x, y, zale cuadrivectorului. într-o discuţie anterioară referitoare la relativitatea specială (capitolul 17) am aflat că se pot defini produse scalare rclativiste cu ajutorul cuadrlvectorilor. Cu ajutorul vectorului de poziţie x 14, unde !l indică cele

patru componente (timpul şi trei componente spaţiale) şi al vectorului de k , unde indicele ,Il iarăşi are patru valori (corespunzător ccmponenll

undă

tci temporale şi celor trei componente spaţiale), produsul scalar dintre xi< şi k ..se scrie in forma xi«vezi capitolul 17), adică

E'k..

(34.21)

L:'k..

ştim din studiul vectorilor că x.. c invariant la transformări Lorentz, intrucit », (' un cuadrivector. Dar această cantitate este exact cea care apare la argumentul coslnusului reprezentind o undă plană şi ea trebuie să fie într-adevăr invariantă la o transformare Lorentz. Nu putem avea o formulă in care argumentul cosmusului să se modifice. fiindcă ştim că faţa undei nu poate să se schimbe la schimbarea sistemului de coordonate.

34.8.

Aberaţia

Pentru deducerea relaţiilor (34.17) şi (37.18) am considerat un caz simplu în care k era orientat. in direcţia mişcării, însă ele pot fi generalizatc şi la alte cazuri. De exemplu, să presupunem că avem o sursă care emite lumină într-o anumită direcţie din punctul de vedere al unui observator in repaus, dar că în timp ce o observăm ne deplasăm, să zicem, 10 dată cu pămîntul (fig. 34.12). Din Ce direcţie parc să ne sosească lumina? )pentru a o determina trebuie să scriem cele patru componente ale lui k~ ~i să aplicăm transformarea Lorentz. Răspunsul poate fi însă găsit prin urm5:torul raţionament: pentru a vedea lumina trebuie să îndreptăm rteleseopul sub un unghi faţă de direcţia sursei. De ce? Fiindcă lumina .soseşte cu viteza e, iar noi ne deplasăm lateral cu viteza v, aşa că telesco'pul trebuie înclinat înainte, pentru ca lumina Incidcntă să intre în .telescop "paralel" cu tubul. E foarte uşor de văzut că dacă distanţa ver-ticală este ct, distanţa orizontală este vt şi deci dacă unghiul de înclinare .este e, tg O' =vfc. Foarte frumos! Foarte frumos, Însă să nu uităm ceva: -e' nu e unghiul sub care trebuie să înclinăm telcscopul faţă de pllmînt, deoarece analiza noastră am făcut-o din punctul de vedere al unui observator ."fix". Atunci cind spuneam că distanţa orizontală este vt, ob-

IMPULSUL LUMINII

525

servatorul de pe pămînt ar fi găsit că ea e diferită, întrucît el o măsoară cu un metru "scurtat". Din cauza efectului de contracţie, formula trebuie scrisă

(34.22)

peea ce e echivalent cu sin O=v/c.

(34.23)

Este instructiv pentru student să deducă acest rezultat folosind transformarea Lorentz, Acest efect, care constă în faptul că un telescop trebuie inclinat, se numeşte aberaţie, şi a fost observat intr-adevăr. Cum îl putem observa? Cum putem spune unde trebuie să fie o anumită stea'? Să presupunem că trebuie să privim într-o direcţie diferită pentru a vedea o stea; cum ştim că nu e direcţia reală? Pentrucă Pămîntul se învîrteşte în jurul Soarelui.

Fig. 34.12. O

sursă îndepărtată S nemişcat şi (b)

tr-un telescop

e pr-ivită (a) prinprintr-un telescop

deplasîndu-se .tatcrat.

Astăzi trebuie să înclinăm telescopul într-o să-I înclinăm în partea opusă. Acesta este

fi pus în

a)

b)

parte; peste şase luni trebuie modul în care efectul poate

evidenţă.

34.9. Impulsul luminii Trecem acum la o altă chestiune. în discutiile din ultimele cîteva capitole nu am spus niciodată nimic despre cfe~teJc cimpului magnetic al luminii. De obicei, efectele cimpului magnetic sînt foarte mici, însă există un efect Interesant şi important, care c o consecinţă a cîmpului magnetic. închipuiţi-vă că lumina venind de la o sursă acţionează asupra unei sarcini şi o pune în oscilaţie. Vom presupune că cîmpul electric arcdirecţia axei x. aşa că mişcarea sarcimi se face tot in direcţia .c: ea arc o coordonata x şi o viteză v, aşa cum se vede în fig. 34.13. Cîmpul magnetic e perpendicular pe cîmpul electric. in timp ce cîmpul electric actle-

EFECTE RELATIVISTE IN

RADIAŢlE

nează asupra sarcinii şi o mişcă in sus in jos, ce acţiune are cîmpul magnetic? Cimpul magnetic acţionează asupra sarcinii (să zicem un electron) numai cind ea se mişcă; dar electronul se mişcă, el e pus in mişcare de cimpul electric, aşa că cele două cimpuri acţionează împreună. In timp ce electronul oscilează, el are o viteză şi asupra sa acţionează o forţă dată de B înmulţit cu v şi cu q. Care e direcţia forţei? Tocmai, direcţia de pro-

f ' s Aşadar, atunci cind trimitem lumină asupra unei sarcini şi ca rezultat ea oscilează, există o forţă de antrenare în direcţia fluxului luminos. Fenomenul se numeşte presiunea radiaţiei sau presiunea luminii. Să determinăm cît de mare e presiunea radiatiei. Evident, forţa este F=qvB, însă, cum cimpul e oscilant, presiunea radiatiet reprezintă media temporală a acestei mărimi. Din (34.2), intensitatea cimpului magnetic rezultă a fi egală cu intensitatea cîmpului electric împărţită la c: deci trebuie să aflăm media cimpului electric înmulţit cu viteza, cu sarcina şi cu 1/c: =q/c. Dar sarcina q înmulţită cu cimpul R reprezintă forţa electrică acţionînd asupra sarcinii, iar forţa înmulţită cu viteza este dW jdt, lucrul mecanic efectuat asupra sarcinii în unitatea de timp. Deci, forţa, .Jmpulsul de împingere" furnizat de lumină pc sc-cundă, e egală cu ljc ori energia absorbită din unda luminoasă pc secundă! Această regulă este generală, întrucît nu ne-am referit la tăria oscilatorului, sau la faptul că unele din sarcini s-ar compensa. In orice situaţie în care se absoarbe lumină, apare o presiune. Impulsul furnizat de unda luminoasă e totdeauna egal cu energia absorbită, împărţită la c

pagare a luminii.

=

dW/dt! c

(34.24)

ştim deja că lumina transportă energic. Acum constatăm că l'a transportă şi impuls, şi că impulsul transportat e totdeauna lic ori energia. Cînd o sursă emite lumină există un efect de recul: efectul preccdent inversat. Dacă un atom emite o energie W intr-o anumită direcţie, există un impuls de recu1 pc-= W/c. Dacă lumina este reflectată normal pc o oglindă, obţinem o forţă de două ori mai mare. Afirmaţiile de mai sus sînt făcute in cadrul teoriei clasice a luminii Ştim, desigur, că există o teorie cuantică şi că in multe privinţe lumina

527 acţionează

-

ca o

înmulţită

particulă.

cu

Energia unei particule de

frecvenţa.

W~h'V=nro.

lumină

este o con(34.25)

cum constatăm că lumina transportă de asemenea un impuls, egal cu ergia împărţită la c, aşa că aceste particule de lumină - numite fotoni - transportă un impuls (34.26)

desigur,

direcţia

de propagare a luminii. Deci,

W=noo, p=nk.

'-':::''.1-

(34.27)

'~~i;)V ~~: ~~ ~=;~~~t~; ~~~~aaJfn~~::l~~ ~~:~o~:i~c~~e rot~~b~i~o:~:;;ă î:ko;'-:\' :00 cuadrivector. Deci e bine că în (34.27) apare aceeaşi constantă in amţf~"'t:,:': ':~~n~':':~~î;~e~t:~ază că teoria cuantică şi ~4i;,

teoria

relativităţii sînt con-

Relaţiile (34.27)

pot fi scrise mai elegant in forma relativtstă ),a\::W::',;p" = ·h~; prin ele asociem undei o particulă. Deşi le-am discutat numai \i,4 i;' ;:' -tn cazul fotonilor, pentru care k (mărimea k) e egal cu mjc, iar ".'"i~;21 2. Matematica fenomenului e exact aceeaşi ca in cazul undelor de pe suprafaţa apei! (E greu de văzut cum s-ar putea obţine un rezultat atît de simplu dintr-o miş­ care complicată a electronilor pe traiectorii bizare, trecînd încoace şi incolo prin orificii.) Tragem concluzia următoare: electronfl sosesc în forma unor "bucăţi". ca particulele, dar probabilitatea de sosire a acestor bucăţi are o distribuţie asemănătoare celei a intensităţii unei unde. Acesta este sensul în care se spune că "electronul se comportă uneori ca o particulă, alteori ca o undă". Observăm în treacăt că atunci cind aveam de-a face cu unde clasice defineam intensitatea ca medie în timp a pătratului amplitudinii undei şi utilizam numerele complexe ca un artificiu matematic pentru a simplifica analiza. In mecanica cuantică, însă, se constată că amplitudinile trebuie să fie reprezentate prin numere complexe. Numai părţile reale nu sînt suficiente. Acesta este, deocamdată, un amănunt tehnic, întrucH formulele arată exact la fel. Probabilitatea de sosire prin ambele or-ificii se obţine foarte simplu in modul indicat, deşi nu e egală cu (P i -l-Ps) şi aceasta este în realitate tot ce trebuie spus. Faptul însă că natura se comportă în acest mod, implică un mare număr de subtilităţi. Vrem să ilustrăm acum ceva din aceste subtilităţi. Mai întîi, întrucît numărul de electroni sosiţi într-un anumit punct nu e egal cu numărul celor care sosesc prin orificiul 1 plus numărul celor care sosesc prin orificiul 2, trebuie, fără îndoială, să tragem concluzia că Propoziţia A este falsă. Nu e adevărat că electromt trec sau prin orificiul 1 sau prin orificiul 2. Dar această concluzie poate fi verificată prin altă experienţă.

57'

37.6. Observind electroni! Vom incerca acum următoarea experienţă. Adăugăm aparatului nostru 'pentru electroni o sursă de lumină foarte puternică, aşezată in spatele .peretelut, intre-cele două orificii, ca in fig. 37.4. Ştim că sarcinile electrice , prăştle lumina. Deci, dacă un electron va trece spre detector, indifet in ce mod, el va împrăştia lumină inspre noi, şi vom putea vedea cotro merge electronul. Dacă, de exemplu, un electron s-ar mişca pe aiectoria ce trece prin orificiul 2 (traiectorie schitată in fig. 37.4), am ea o scinteie luminoasă venind din vecinătatea punctului notat A pe r~ură. Dacă un electron trece prin orificiul 1 ne vom aştepta să vedem :".~., scînteie venind din vecinătatea orificiului superior. Dacă s-ar întîmpla ;i$l vedem lumină în ambele locuri în acelaşi timp, deoarece clectronul i~ fi împărţit în două ... Dar mai bine să facem experienţa! :?",.,j. Iată ce vedem: de fiecare dată cind auzim un "tic" in detectorul :i;.~_,':p:ostru de electroni (situat lîngă ecranul de oprire) vedem şi o scinteie de ~;~t:'~umină, sau în vecinătatea orificiului 1, sau in vecinătatea orificiului 2, -~!~f d4r niciodată in ambele locuri simultan! Se obţine acelaşi rezultat, indi~)ferent unde aşezăm detectorul. Din această observaţie deducem că, dacă

,

,

~.

2

.,

,p' =P'I-I'..'

-li' ,j

ţ,i;,' l

12

u} Fig. 37.4.

.,

Altă

b) experienţă

I

2

c)

cu electroni.

\"

i'~·Pri~m la electroni, constatăm că ei trec sau printr-un orificiu, sau prin '"ceIălalt. Aşadar, experimental, Propoziţia A este in mod necesar ade:,;\rărată.

(- Atunci, ce e greşit în argumentarea noastră contra Propoziţiei A? De >ee nu este Fu egal tocmai cu Pt+ P2? Inapoi la experienţă! Să urmărim ,'CUm se mişcă electronii şi să aflăm ce fac ei. Pentru fiecare poziţie (pe ~a X) a detectorului vom număra electronii sosiţi şi de asemenea vom DDta şi prin ce orificiu au trecut, observînd sctntetertle. Putem urmări -

Fizl~a modernă

voI. J.

518

COMPORTAREA CUANTICA

desfăşurarea fenomenului in modul următor: Oridecîte ori auzim un "tic" facem un semn in coloana 1 dacă vedem scînteicrea in vecinătatea orificiului 1, iar dacă vedem scînteferea in vecinătatea orificiului 2 facem Un semn în coloana 2. Fiecare ejectron care soseşte c inregistrat în una din aceste două clase: cei care sosesc prin 1 şi cei care sosesc prin 2. Din numărul inregistrat in coloana 1 obţinem probabilitatea ca un electror, să ajungă la detector trecînd prin orificiul 1; din numărul inregistrat in coloana 2 obţinem probabilitatea P2 ca un electron să ajungă la detector trecînd prin orificiul 2. Dacă repetăm o astfel de măsurătoare pentru multe valori ale lui x, obţinem curbele Pi şi P; arătate in partea (b) a

P;

fig. 37.4. Dar acest rezultat nu e deloc surprinzător! Obţinem pentru Pî ceva foarte asemănător cu ceea ce am obţinut inainte pentru P lo inchizind orificiul 2; iar P2 e asemănător cu ceea ce am obţinut închizînd orificiul 1. Deci nu există nici o complicaţie de genul trecerii prin ambele orificii. Cînd îi urmărim pe parcurs, electronii se comportă aşa cum ne aşteptăm Indiferent dacă orificiile sînt închise sau deschise, cei pe care îi vedem că şosesc prin orificiul 1 sint distribuiţi în acelaşi mod, indiferent dacă orificiul 2 este deschis sau inchis. Dar staţi! Care este acum probabilitatea totală, probabilitatea ca un electron să sosească la detector pe oricare din drumuri? Această informaţie o avem deja. Ne închipuim că nu am privit deloc scînteierilc luminoase şi amestecăm laolaltă tic-urile dctectorulul, pe care le separasem în cele două coloane. Trebuie' doar să adunăm numerele. Pentru probabilitatea ca un electron să sosească la ecranul de oprire trecind prin unul (oarecare) din orificii obţinem P~2=Pl +P;. Adică, cu toate că am reuşit să observăm prin care orificiu sosesc electronii noştri, nu mai obţinem vechea curbă de interferenţă P 12, ci o alta, P;2. fără interferenţă. Dacă stingem sursa de lumină, reapare P12. Trebute să conchidem că atunci cînd observăm electronii, distribuţia lor pe ecran e diferită de distribuţia lor cînd nu îi observăm. Este oare aprinderea sursei noastre de lumină cauza care perturbă lucrurile? Trebuie că clectronii sînt foarte delicaţi, iar lumina, cind ii împrăştie, le dă o izbitură, care le modifică mişcarea. ştim că, actionind asupra unei sarcini, cîmpul electric al luminii exercită o forţă asupra ['1. Deci poate că trebuie să ne aşteptăm ca mişcarea să fie modificată. În orice caz, lumina exercită o mare influenţă asupra clectronilor. lncerctnd să "urmărim" elcctronit pc parcurs, le-am modificat mişcarea. Izbitura pc care o suferă electronul cînd Iotonul se ciocneşte cu el modifică în aşa fel mişcarea electronului încît, dacă el ar fi putut să ajungă acolo unde F,z are un maximum, de astă dată el ajunge unde P 12 era minim; acesta este motivul pentru care nu mai observăm maximale şi minimele de intcr~ ferenţă.

Poate că ginditi: "Nu utiliza o sursă aşa de intensă! Micşorează intensitatea! Undele luminoase vor fi mai slabe şi nu vor perturba electrcof aşa de tarc. Micşor-înd intensitatea luminii din ce in ce mai mult, pînă la

OBSERvIND ELECTRONII

57'

urmă unda va fi cu siguranţă insuficient de slabă pentru ca efectul ci să fie neglijabil". Bine, să incercăm. Primul lucru pe care îl observăm este că scînteierile de lumină împrăştiate de electroni! care trec nu devin mai slabe. Scînteierile sint mereu la fel de intense. Singurul lucru care se petrece cind intensitatea luminii este micşorată e că uneori auzim un "tic" in detector, dar nu vedem nici o scinieiere. Electronul a trecut fără :, să fi fost "văzut". Observăm acum că şi lumina se comportă ca elcctrontt: ştiam că ea este "ondulatorie", dar acum constatăm că e şi "corpuscu'; .Iară''. Totdeauna lumina soseşte - sau e imprăştiată - în bucăţi pe ;,/icare le numim "fotoui". Cînd micşorăm intensitatea sursei luminoase nu E2 , E3 • Dacă ataI mui se află iniţial intr-una din "stările excitate" El> E2 etc., el nu va răbilă,

Fig. 38.9.S/3.

(39.16)

Acest rezultat e în acord cu formula (39.9), deoarece impulsul este mv; e ceva mai general, atîta tot. Presiunea ori volumul este egală cu numă­ rul total de atomi, înmulţit eu media lui.!. (p·v). 3

in cazul fotonilor? Impulsul şi viteza au aceeaşi direcţie, iar viteza este viteza luminii; deci expresia precedentă este egală cu impulsul unui totcn, înmulţit cu viteza luminii, adică tocmai cu energia unui foton: E = pc. Acest termen reprezintă tocmai energia unui foton, iar noi trebuie să luăm energia medie, înmulţită cu numărul de fatoni. Obţinem deci 1j3 din energia internă a gazului Ce

înseamnă P'v

(39.17) PV=U/3 (gaz de Ictoni). Deci pentru Ictoni "{-1din ecuaţia (39.11) este 'Y~1=1., sau "f=.!;

am descoperit astfel

că radiaţia închisă

a

într-o cutie

ascultă

3

de legea (39.18)

Prin urmare, cunoaştem compresibrlttatea radiaţiei! Acest rezultat este utilizat in analiza contribuţiei presiunii radiatiei la ceea ce se întîmplă în interiorul unei stele; iată modul de a o calcula, precum şi modul în care variază ea. Ce lucruri minunate stau deja in puterea noastră! 39.4. Temperatura

şi

energia

cinetică

Pînă acum nu am vorbit despre temperatură; am evitat temperatura in mod intenţionat. ştim că, atunci cînd comprimăm un gaz, energia moleculelor creşte, şi sintem obişnuiţi să spunem că gazul devine mai cald; vrem să vedem ce legătură arc acest fapt cu temperatura. Dacă "Tem să facem experienţa nu in mod adiabatic, ci la ceea. ce se. numeşte

2

611

'\1.:,"

';0 temperatură constantă,

cum vom proceda? Ştim că dacă luăm două recipiente cu gaz şi le punem în contact un timp suficient de lung, chiar dacă la început erau la ceea ce se cheamă temperatun diferite, pînă la 'armă ele vor ajunge să aibă aceeaşi temperatură. Ce înseamnă aceasta? :Jnseamnă că ajung într-o anumită stare, atinsă dacă le lăsăm în pace .un timp suficient de lung! Tocmai asta înţelegem prin temperaturt egale

,

1

0 0 : : 0

Fig. 39.2. Atomii unor gaze monoatomice difer-ite sînt separaţi printr-un piston mobil.

1/

Z)

starea finală în care ajung obiectele atunci cînd au interacţionat unul altul un timp suficient de lung. Să vedem acum ce se petrece dacă avem două gaze, în recipiente parate printr-un plston mobil, ca in fig. 39.2 (pentru simplitate vom Idera două gaze monoatomice, să zicem heliu şi neon). In recfpientul atomii au masa mI> viteza Vi şi există nI atomi pe unitatea de volum; celălalt recipient atomii au masa m2, viteza Vi şi există n2 atomi pe tatea de volum. Care sînt condiţiile de echilibru? Evident, bombardamentul din partea stingă va deplasa plstonul spre apta, comprlmînd celălalt gaz pînă ce presiunea se va creşte; pistonul oscila într-o parte şi in cealaltă, ajungind treptat in repaus, într-o 'ţie în care presiunile dîn cele două părţi să fie egale. Ne putem deci ," ja ca presiunile să fie egale; aceasta înseamnă că energiile interne 'unitatea de volum sint egale, sau că numerele n ori energiile cinemedii sint egale de ambele părţi. Ceea ce vom incerca să demonstrăm la urmă este că numerele n înseşi sînt egale. Pînă acum, tot ceea ştim este că numerele înmulţite cu energiile ctneticc sînt egale,

n l(m iv;/2) = n2(m2v~/2) relaţiei (39.8), deoarece presiunile sint egale. Trebuie să ne dăm că aceasta nu c singura condiţie realizată la stabilirea echilibrului; măSură ce se instalează adevărata stare de echilibru, corespunzătoare

orm

or temperaturt egale, trebuie să se mai petreacă şi altceva. Pentru a sesiza ideea, să presupunem că presiunea din partea stingă realiza datorită unei densităţi foarte mari, dar unei viteze mici. '" un n mare şi un V mic putem obţine aceeaşi presiune ca şi cu un 'mic şi un v mare. Atomii pot să se mişte incet, dar să fie foarte înghcţi, dar pot şi să fie mai puţini, însă să cfocnească mai puternic. Va rslsta această situaţie necontenit? La prima vedere am putea crede că , însă gîndindu-ne mai atent vom constata că am uitat un lucru unItant. Ptstonul intermediar nu suportă O presiune constantă; el osciză, exact ca timpanul despre care am vorbit la inceput, pentru că

612

TEORIA CINETICA A GAZELOR

izbiturile nu sint absolut uniforme. Nu avem o presiune constantă tot timpul ci un tam-tam - presiunea variază, aşa că pistonul oscilează. Inchipuiri-vă că atomii din partea dreaptă nu se mişcă foarte repede, dar cei din stînga sînt mai puţini, mai depărtaţi unul de altul şi foarte energiei. Din cînd în cînd, pistonul va primi un impuls puternic din stinga şi va fi împins peste atomii lenţl din dreapta, imprlmîndu-le o viteză mai mare. (La ciocnirea cu pistonul, fiecare atom, sau cîştigă, sau pierde energie, după sensul in care se mişcă pistonul atunci cînd atomul se ciocneşte de cl.) Astfel, ca rezultat al ciocnirllor, plstonul va oscila, ceea ce va transmite energic celorlalţi atomi, care se vor mişca mai repede, pînă cînd vor echilibra şocurile primite de la ptston. Sistemul ajunge la echilibru atunci cînd pistonul se mişcă cu o asemenea viteză pătratlcă medie încît să primească energie de la atomi aproximativ în acelaşi ritm in care le-o transmite inapoi. Deci, pistonul va avea o anumită viteză medie, pe care ne punem problema s-o aflăm. După ce o vom fi aflat, problema noastră va fi mai uşor de rezolvat, deoarece gazele îşi vor ajusta vitezele pînă cînd ritmul in care îşi vor transmite reciproc energie prin intermediul pistonulul va fi acelaşi. Detaliile mişcării pistonului în aceste condiţii speciale sint destul de greu de analizat; deşi sint ideal de simplu de tnteles, ele se vădesc a fi ceva mai greu de analizat. Inainte de a face acest lucru, să examinăm altă problemă: avem un recipient cu gaz, dar acum el conţine două feluri diferite de molecule, avind mase mI şi ffl2, viteze VI şi V2 şi aşa mai departe; in cazul acesta avem o legătură mult mai directă intre cele două feluri de molecule. Dacă toate moleculele Nr. 2 stau pe loc, această situaţie nu va dura, deoarece ele sint ciocnite de moleculele Nr. 1 şi in felul acesta capătă o viteză. Dacă ele se mişcă toate mult mai repede decît moleculele Nr. 1, poate că nici această situaţie nu va dura - ele vor transmite energia înapoi moleculelor Nr. 1. Deci cînd ambele gaze se află in acelaşi rccipient problema constă în aflarea legii care determină vitezele lor relative. Şi aceasta este o problemă foarte dificilă, dar o vom rezolva în modul următor. Mai întîi considerăm subproblema următoare (iarăşi avem unul din acele cazuri in care rezultatul final e foarte simplu de reţinut, dar demonstraţia cere ingeniozitate). Să presupunem că avem două molecule de mase diferite, care se ciocnesc, iar ciocnirea este privită in sistemul centrului de masă (CM). Considerăm ciocnirea în sistcmul CM pentru a elimina complicaţii suplimentare. După cum ştim elin legile ciocnirir, datorită conscrvărtt impulsului şi energiei, singurul mod in care se pot mişca moleculele după ciocnire este să-şi menţină mări­ mea iniţială a vitezei, mcdificindu-şţ numai direcţia. Ciocnirea va arăta în general ca în fig. 39.3. Să presupunem, pentru cîteva clipe, că obscrvăm toate ciocnirile in care CM se află în repaus. Să ne imaginăm că iniţial toate moleculele se mtşcau orizontal. După prima ciocnire unele dintre ele se vor mişca pe o direcţie inclinată. Cu alte cuvinte, cladi iniţial toate se mi.şcau pc orizontală, mai tîrziu măcar unele se vor mişca

Cl3

verticală. într-o nouă ciocnire ele vor sosi din altă direcţie şi Vor fi eviate cu alte unghiuri. Deci chiar dacă la început se mişcau in mod rdonat, ele vor fi împrăştiate sub diverse unghiuri; cele împrăştiate or împrăştia alte molecule, şi aşa mai departe. In cele din urmă, care ~a fi distribuţia? Răspuns: pentru oricare pereche de molecule, va fi

' + ,

.., .• t

Fig. 39.3. O ciocnire între molecule diferite, zută

în sistemul CM.

vă­

v.

'

de probabil ca ele să Se mişte în orice direcţie a spaţiului. După sta, ciocnirile ulterioare nu mai pot modifica distribuţia. Este egal de probabil ca ele să se mişte în orice direcţie, dar cum rimăm acest fapt? Nu se poate vorbi despre probabilitatea ca ele să mişte într-o anumită direcţie bine precizată, fiindcă o direcţie bine cizată e o noţiune prea restrictivă; trebuie să vorbim despre probaltatea referitoare la o unitate de "ceva(ţ, Ideea este că prin orice arie uată pe o sferă avînd centrul în punctul în care s-a produs ciocnirea :r trece tot atîtea molecule ca şi prin altă arie egală de pe sferă. Deci, ultatul ciocnirilcr va fi o distribuţie a direcţiilor de mişcare ale moelor astfel încît unor arii egale de pe sferă să le corespundă proba'tăţi egale. Observăm, că dacă ne interesează o direcţie iniţială precum şi o direcţie făcînd un unghi e cu precedenta, ne va fi utilă următoarea statare: elementul de arie pe o sfcră de rază unitate este sin e de ultit cu 2](, ceea ce e tot una cu diferenţiale lui cos e (abstracţie . cind de un se-mn). Aceasta înseamnă că e egal de probabil ca cosinusul . iului ,e dintre oricare două direcţii să ia orice valoare cuprinsă între şi'

+1.

Mai departe, trebuie să vedem ce se întîmplă în cazul real, cînd 'rea nu are loc in sistemul CM, ci avem doi atomi care se îndreaptă U1 spre altul cu vitezele vectoriale VI şi vz. Ce se petrece în acest caz? tem analiza ciocnirea unor particule cu VI şi V 2 în modul următor. . întîi, există un CM; viteza sa este "media ponderată'' a celor două ."teze, cu ponderi proporţionale cu masele, deci viteza lui CM este M=(mIVt +m Zv 2)!(mt +1'T1.z). Dacă privim această ciocnire în sistemul CM, va arăta exact ca cea din fig. 39.3, moleculele apropiindu-se una de ta cu o anumită viteză relativă w. Viteza relativă e tocmai Vj-V2' Deci ~uaţia C' următoarea: intreg sistemul CM se mişcă, iar în sistemul CM leculele, care au o viteză relativă w, se ciocnesc şi pleacă într-o nouă

TEORIA CINETICA A GAZELOR

6'4 direcţie.

Aceasta se petrece in timp ce CM continuă să se mişte, fără nici o schimbare. Care este, atunci, distribuţia rezultantă? Din discuţia precedentă tragem următoarea concluzie: la echilibru, toate orientările lui w faţă de direcţia de mişcare a CM sint egal de probabl1e1) . In cele din urmă nu va exista nici o corelaţie între direcţia mişcării relative şi cea a miş­ cării CM. Dacă ar exista o astfel de corelaţie, in urma ciocnirilor direcţiile de mişcare s-ar împrăştia in spaţiu, dlstrugtnd-o. Deci cosinusul unghiului dintre w şi VCM este, în medie, zero; adică

(W·VCM)=O. Dar

W·VCM

poate fi exprimat

W,VCM=(Vţ -vs)'(m,v,

şi

+ _,v t )

ffl.+m,

în

funcţie

{mJvf-

(39.19)

de vr

şi V2

m.G:r+ (m,- ffl 1)(V. · v,) flI,,+m,

(39.20)

Mai întîi vedem ce e cu Vi·V2; care e media lui Vl'V2? Cu alte cuvinte, care este media componentei vitezei uneia din molecule după direcţia vitezei celeilalte? Există, cu siguranţă, aceeaşi probabilitate ca e moleculă oarecare să se mişte într-un sens ca şi în celălalt. Media COmponentei lui V2 după orice direcţie este zero. Deci media componentei lui V2 în direcţia lui VI este cu siguranţă zero; media lui V 1,V2 e zero! Din (39.19) şi (39.20) rezultă atunci că media lui ml~ trebuie să fie egală cu media lui TntV~, adică energiile cinetice medii ale cetor două molecule trebuie să fie egale 1 2 1 2 '2 mLvl = -gm2V2'

')

(39.:"'1)

Prin urmare, dacă într-un gaz avem două feluri de atomi, se poate arăta (să zicem că am arătat) că mediile energiilor cinetice ale celor două feluri de atomi sint egale - aceasta dacă gazul respectiv se află inchis într-Un rectpîcnt, în stare de echilibru. Înseamnă deci că atomii mal grei se mişcă mai incet decît cei mai uşori, fapt care se poate arăta cu uşu­ rinţă experimentînd cu "atomi" de diferite mase pe un banc cu pernă de aer. Acum vrem să facem un pas mai departe. afirmînd că dacă avem într-un reclpient două gaze diferite separate, ele vor avea de asemenea energii cinetlce medii egale atunci cind vor ajunge la echilibru, deşi riu se află în aceeaşi parte a recipientului. Putem argumenta în mai multe moduri. 'Un mod ar fi să presupunem că avem un perete despărţitor fix, 1) Acest raţionament, utilizat de Maxwell, implică unele subtilităţi. Deşi concluzia e corectă, ea nu rezultă numai din consideraţiile de simetrie făcute înainte. căci, trecînd la un sistem de referinţă care se mişcă prin gaz, putem avea o distri; huţie de viteze distorsionată. Nu am găsit o demonstraţie simplă a acestui rezultat-

};:UMPERATURA

ŞI ENERGIA CINETICA

615

'ti;

''''ţu un mic orificiu (fig. 39.4), astfel încit numai un gaz să se poată scurge ~.

orificiu pe cînd celălalt să nu poată face aceasta, moleculele sale . d prea mari; dacă s-a atins echilibrul, ştim că într-o parte, unde moele sînt amestecate, ele au aceeaşi energie cinetică medie. Dar unele t trece prin orificiu, fără pierdere de energie cinetică, aşa că energia etică medie trebuie să fie aceeaşi şi in gazul pur, şi in amestec. Raţie-

Fig. 39.4.

gaze intr-un reciptent cu o

Două

membrană semlpermeabtlă.

1'. ' ":~': ~'ool _•

•• o

•

•

nu e prea satisfăcător, fiindcă s-ar putea ca să nu existe nici fel de orificii care să separe cele două tipuri de molecule. Să ne intoarcem la problema cu plstonul. Se poate arăta că energia tică a acestui piston trebuie să fie tot m2v~ . De fapt, energia cine-

i

+

s-ar datora numai mişcării orizontale a pistonului; aşa că, ignorînd bilitatea mişcării in sus şi in jos, ea va trebui să fie egală cu m2vi.:. fel, pornind de la echilibrul din cealaltă parte a pistonului, se poate cnstre că energia cinetică a pistonului trebuie să fie .!.. mlV~r. Cu 2,

te

că

pistonul se poate afla nu in mijlocul gazului, ci într-o parte a se poate totuşi argumenta (deşi ceva mai greu) că, in urma ciocniri1 energiile cinetice medii ale moleculelor şi pistonului sînt egale. Dacă nici aceasta nu ne satisface, putem imagina un exemplu arti, in care echilibrul este generat de un obiect ce poate fi ciocnit din părţile. Să presupunem că avem o bară scurtă, cu o bilă la fiecare t, putind aluneca prin piston fără frecare cu ajutorul unei articulaţii "versale. Fiecare bilă e rotundă, ca o moleculă, şi poate fi ciocnită toate părţile. Intregul obiect are o masă totală m. Ca şi inainte, eeulele de gaz au mase mI şi m2. Argumentind ca mai sus, energia tică a lui m, datorită ciocnirilor cu moleculele dintr-o parte, trebuie fie, in medie, .!m1Vr. La fel, datorită ciocnirilor cu moleculele din 2

tă parte, ea trebuie să fie, in medie -!. m2u~. Prin urmare, in am-

•

"e părţi trebuie să avem aceeaşi energie cinetică, atunci cînd ele sint echilibru termic. Astfel, deşi noi am demonstrat rezultatul numai in unui amestec de gaze, el se extinde cu uşurinţă la cazul cînd avem ă gaze diferite, separate, la aceeaşi temperatură. Deci cînd avem două gaze la aceeaşi temperatură, energiile cinetice ii ale CM ale moleculelor sint egale. Energia cinetică medie moleculară depinde numai de "temperatură". ,,'pinzind numai de "temperatură" şi nu de natura gazului, o putem j

.,6

TEORIA

CINETICĂ

A GAZELOR

utiliza ca definiţie a temperaturii. Energia cinetică medie a unei molecule este deci o anumită funcţie de temperatură. Dar cine ne va spune ce scară să utilizăm pentru temperatură? Putem defini in mod arbitrar scara temperatură astfel încît energia medie să fie direct proporţională cu temperatura. Cel mai bine ar fi să zicem că "temperatura" este însăşi energia medie; aceasta ar fi cea mai simplă funcţie posibilă. Din nefericire, scara temperaturii a fost aleasă in alt mod: in loc să zicem că energia cinetică medic e tocmai temperatura, utilizăm un factor de conversie constant între energia unei molecule şi scara temperaturii absolute, numită scara Kelvin. Constanta de proporţionalitate este k=1,33· .10-23 jouli pentru fiecare grad Kelvin 1). Deci, dacă temperatura absolută este T, definiţia noastră spune că energia cinetică medie a molcculelor este kT. (Factorul o introdus pentru comoditate, el con-

f

%

ducind la simplificări in formule.) Subliniem faptul că energia cinetică legată de componenta mişcării Într-o direcţie anumită este numai! kT. Cele trei direcţii independente de mişcare dau in total ~ kT .

•

•

39.5. Legea gazelor perfecte

Acum putem introduce definiţia noastră a temperaturli in ecuaţia (39.9), găsind astfel legea care ne dă presiunea gazelor în funcţie de temperatură: presiunea înmulţită cu volumul este egală cu numărul total de atomi înmulţit cu constanta universală k şi cu temperatura (39.221

Prin urmare, la aceeaşi temperatură, presiune şi volum, numărul de atomi este determinat; el e de asemenea o constantă universală! Volume egale de gaze diferite, la aceeaşi presiune şi temperatură, conţin acelaşi număr de molecule, şi aceasta rezultă din legile lui Newton. Iată o concluzie uluitoare! Deoarece in practică numerele de molecule sînt atit de mari, chimiştii au ales in mod artificial un anumit număr foarte mare şi i-au dat un nume special. Ei l-au numit mol (sau moleculă gram). Molul nu e decît un număr uşor de minuit. Motivul pentru care nu au ales un număr rotund, de exemplu 1024, este de ordin istoric. Ei au ales drept număr standard N o=6,02'10 23 obiecte; acesta se numeste un mal de obiecte. In loc să măsoare numărul de molecule în unităţi, ei il măsoară 1) Scara Celsius (centtgradă) nu este decit scara Kelvîn, cu originea dep lasata in 273,16 aşa că T=273,16 temperatura Celsius. QK,

+

al? numere de molt'). Exprimind numărul de molecule in moll, putem Tie membrul drept al ecuatie! (39.22) in jorma (numărul de molt) X (ouărul de atomi dintr-un mol)XkT. Dacă vrem, putem folosi o notaţie ecială pentru numărul de atomi dintr-un moI, înmulţit cu k; să-I notăm R: astfel R=Nok=8,317 'f·mol-1 . 0J(- l , Astfel, în legea gazelor putem le sau numărul de moli (notat tot cu N) înmulţit cu RT, sau numărul e atomi înmulţit cu kT (39.23)

e acelaşi lucru, doar că unităţile de măsură ale numerelor de atomi nt diferite. Noi folosim ca unitate numărul 1, iar chimiştii folosesc ~ 10 23 ]

Mai facem încă o observaţie cu privire la legea gazelor, observaţie eritoare la cazul obiectelor care nu sînt molecule monoatomice. Noi examinat numai mişcarea CM a atomflor unui gaz monoatomtc. Ce petrece dacă sînt prezente forţe? Mai întîi să considerăm cazul cînd stonul este legat de un resort orizontal şi asupra sa se exercită forţe. orice moment, mişcarea pe care şi-o transmit reciproc atomii şi pistenu depinde de poziţia plstonului la momentul respectiv. Condiţiile echilibru sînt aceleaşi. Indiferent unde se află pistonul, viteza sa tree să fie astfel încît el să transmită energie moleculelor în proporţia sară. Deci resortul nu modifică situaţia. Viteza cu care trebuie să mişte pistonul este, in medie, aceeaşi. Deci teorema noastră, care ne că valoarea medic a energiei cinetice pentru o anumită direcţie

mişcare este ~ 2

kT, e

adevărată

indiferent

dacă

sînt sau nu prezente

e. Să considerăm, de exemplu, o moleculă biatomtcă formată din ato.. mA şi mB. Ceea ce am demonstrat noi este că mişcarea Cl\I a părţii A

;apărţii

B este astfel

încît =0; prin urmare, mişcarea de ansamblu a întregii molecule, privită ca o singură particulă de masă M, are o energie cinetică medie egală cu ~ kT .

•

In acelaşi timp, am demonstrat că energia cinetică medie a mişcărilor interne ale moleculei, neglijînd mişcarea de ansamblu a CM, este kT! Căci energia cinetică totală a părţilor moleculei este îmAv~

i

+-.lmBvB. a

+1

cărei

medie

e!.kT+!.kT, s

2

sau 3kT.Energia

cinetică

a

miş-

cării centrului de masă este 2. kT, aşa că energia cinetică medie a rniş­

•

."

LEGEA GAZELOR PERFECTE

\, cărtlor de

), 3 ,i: eenţa kT.

rotaţie şi vibraţie

ale celor doi atomi din

moleculă

e di le-

'2

(: Teorema referitoare la energia medie a mişcării CM este generală; ";:pentru orice obiect considerat ca un intreg, indiferent că sint sau nu '::sint prezente forţe, energia cinetică medie corespunzătoare mişcării după 'ifiecare direcţie independentă de mişcare este!. kT. Aceste "direcţii in,'.,'

2

'dependente de mişcare" sint numite uneori grade de libertate ale siste, ului. Numărul gradelor de libertate ale unei molecule compuse din torni este 3 r, căci pentru fiecare atom sint necesare trei coordonate re a-i defini poziţia. Energia cinetică totală a moleculei poate fi exprită fie ca suma energiilor cinetice ale atomilor separaţi, fie ca suma ergiei cinetice a mişcării CM şi a energiei cinetice a mişcărilor interne. asta din urmă poate fi uneori exprimată ca o sumă a energiei de taţie a moleculei şi a energiei de vibraţie, dar aceasta reprezintă o rcximaţie. Teorema noastră aplicată moleculei cu r atomi, spune că olecula va avea, in medie, o energie cinetică 3 r kT/2, din care energia

cinetică

a

mişcării

(T-l)kT, este energia

centrului de

cinetică internă

masă

de

f

kT

al moleculei, iar restul,

vibraţie şi rotaţie.

""o.

Principiile mecanicii statistice

40.1. Atmosfera

exponenţială

Am discutat citeva din proprietăţile unor numere mari de atomi care se ciocnesc unii cu alţii. Descrierea materiei din punctul de vedere al ciocnirllor dintre atomi se numeşte teorie cinetică. Presupunerea fundamentală este că proprietăţile macroscopice ale materiei trebuie să poată fi explicate prin mişcările părţilor ei. Ne limităm deocamdată la stările de echilibru termic, adică la o subclasă a fenomenelor din natură. Legile mecanicii aplicate la echilibrul termic reprezintă ceea ce se numeşte mecanică statistică; în acest capitol vrem să ne familiarizăm cu teoremele centrale ale acestui domeniu. Cunoaştem deja una din teoremele mecanicii statistice şi anume că valoarea medie a energiei cinetica, pentru orice mişcare la temperatura T, 1 este "2 kT pentru fiecare grad de libertate, Aceasta ne dă indicaţii despre

vitezele pătratice medii ale atomi lor. Acum, obiectivul nostru este să aflăm mai multe despre poziţiile atomilor, să vedem ciţi dintre ei se vor afla în diverse locuri, la echilibru termic şi de asemenea să examinăm ceva mai detaliat distribuţia vitezelor. Deşi cunoaştem viteza pătratică medie, nu ştim să răspundem la întrebări de genul: cîte molecule au o viteză de trei ori mai mare decit viteza pătratică medie?, sau: cite molecule au o viteză de patru ori mai mică? Or, au toate exact aceeaşi

viteză?

Acestea sînt, deci, cele două întrebări la care vom încerca să răs­ pundem: cum sînt distribuite în spaţiu moleculele atunci cînd asupra lor acţionează forţe? şi: cum sînt distribuite ele după viteze? Se constată că cele două probleme sint complet independente şi că distribuţia vitezelor este totdeauna aceeaşi. Avem deja o indicaţie că această ultimă afirmaţie este corectă, fiindcă am găsit că energia cinetică medie este aceeaşi kT pentru fiecare grad de libertate), indiferent ce

(t

forţe acţionează

asupra moleculelor. Distribuţia vitezelor moleculelor e independentă de forţe, deoarece numărul de ciocniri din unitatea de timp nu depinde de forţe.

ATMOSFERA EXPONENŢIALA

621

Să incepem cu un exemplu: distribuţia moleculelor Într-o atmosferă asemănătoare cu a noastră, dar fără vinturi sau alte perturbaţii. Să presupunem că avem o coloană de gaz care se întinde pînă la o mare înălţime, şi aflată in echilibru termic spre deosebire de atmosfera noastră care, după cum ştim, se răceşte cînd ne deplasăm în sus. Observăm că dacă temperatura variază cu înălţimea, lipsa echilibrului poate fi demonstrată punînd în contact o bară cu cîteva bile situate in partea

de jos (fig. 40.1); acestea vor primi de la molecule energia

2.2 kT

şi vor

pune in mişcare, prin intermediul barci, bilele din partea de sus, iar acestea vor transmite energia moleculelor de sus. Deci, in cele din urmă, intr-un cîmp gravitational temperatura va fi aceeaşi la orice înălţime. Dacă temperatura c aceeaşi la orice înălţime, problema este să vedem conform cărei legi se rarefieză atmosfera atunci cînd ne deplasăm in sus. Daeă N este numărul total de molecule dintr-un volum de gaz V la presiunea p, ştim că pV =NkT, sau p=nkT, unde n=NjV este numărul de molecule pe unitatea de volum. Cu alte cuvinte, dacă cunoaştem numărul de molecule pe unitatea de volum cunoaştem presiunea şi invers; aceste mărimi sint proporţionale, fiindcă in problema noastră temperatura este constantă. Dar presiunea nu e constantă, ea trebuie să crească atunci cînd

I! ,f!eC/JlJf,"m pIIlJtf"(J

egalilDreu

~

It

t&tpenr/vl'li

Fig. 40.1. Diferenţa dintre presiunile la înălfimile h+dh şi h este egală eu greutatea gazului aflat intre aceste două nivele.

), altitudinea scade, deoarece e generată, ca să zicem aşa, de greutatea întregului gaz de deasupra. Iată cheia pentru determinarea modului de variaţie a presiunii cu înălţimea. Considerînd o unitate de suprafaţă la înălţi­ mea h, forţa verticală exercitată asupra sa de jos in sus este presiunea p. Forţa verticală care impinge de sus în jos asupra unităţii de suprafaţă, situate la înălţimea h+dh ar fi aceeaşi, în absenţa gravitaţiei; dar aici ea e diferită, deoarece forţa orientată de jos in sus trebuie să fie mai mare decit forţa de sus in jos, considerată ca o cantitate reprezentînd

PRINCIPIILE MECANICII STATISTICE

tocmai greutatea gazului aflat între h şi h+dh. Forţa cu care acţionează gravitaţia asupra fiecărei molecule este mgh (unde g e acceleraţia gravitaţiei), iar numărul total de molecule situate în volumul cuprins între h şi h+dh şi avind aria secţiunii egală cu unitatea este ndh. De aici obţi­ nem ecuaţia diferenţială Ph+dh-Ph=dp=--mgndh. Cum p==nkT, iar T este constant, putem elimina fie pe P, fie pe n; eliminind p obţinem ecuaţia diferenţială

dn dh

mg kT

-=--n care ne spune cum scade intensitatea cind creşte înălţimea. Avem o ecuaţie pentru densitatea n a particulelor, care variază cu înălţimea astfel încît denvata ei e proporţională cu ea însăşi. Funcţia a cărei derivată e proporţională cu ea însăşi este exponenţiala, şi soluţia acestei ecuaţii diferenţiale este n=noe-mgh/kT.

(40.1)

Constanta de integrare nfJ este, evident, densitatea la h= O (care poate fi aleasă oriunde). Densitatea scade exponenţial cu înălţimea.

0,

Observaţi că dacă

Fig. 40.2. Densitatea ca funcţie de înălţimea în cîmpul gravitaţional al pămîntului, pentru oxigen şi hidrogen, la temperatură constantă.

avem diverse feluri de molecule, cu mase diferite,

el~ sc~d după legi exponenţiale diferite. Cele mai grele vor scădea cu

altitudinea mai repede decit cele uşoare. Cum oxigenul e mai greu decît azotul, este de aşteptat ca, atunci cînd urcăm din ce in ce mai sus într-O atmosferă alcătuită din azot şi oxigen, proporţia de azot să crească. Acest lucru nu se petrece în realitate in atmosfera noastră, cel puţin la înălţimi

LEGEA LUI BOLTZMANN

623

rezonabile, deoarece agitaţia este atit de mare incit amestecă gazele la loc. Atmosfera nu e izetermă. Totuşi, există o tendinţă ca materialele mai uşoare, cum e hidrogenul, să domine in atmosferă la înălţimi foarte mari datorită faptului că moleculele mai uşoare continuă să fie prezente, i~ timp ce cele grele au dispărut datorită descreşterii exponentului (fig. 40.2).

40.2. Legea lui Boltzmann Observăm aici un fapt interesant: numărătorul exponentului din formula (40.1) este energia potenţială a unui atom. Deci mai putem enunţa această lege şi sub forma: în orice punct densitatea este proporţională cu e-{""ergia pot"lltialiill

""oi atom/kT).

Acest fapt poate fi un accident, adică s-ar putea să fio adevărat ,numai in acest caz particular al cimpului gravitaţional uniform. Putem .,,,' "fnsă arăta că el reprezintă o situaţie generală. Să presupunem că asupra Yh:: moleculelor dintr-un gaz acţionează o forţă, alta decît gravitaţia. De exem;,',: plu, moleculele pot fi incăreate electric şi asupra lor să acţioneze un cimp -~'i electric sau o altă sarcină care să le atragă. Sau, datorită atracţiilor reci-K:' .proce ale atomilor, ori atracţlilor dintre atomi şi peretele recipientului, ori li ,'. dintre atomi şi un solid etc., se poate să existe o forţă de atracţie care ,~ variază cu poziţia şi care acţionează asupra tuturor moleculelor. Să pre'~, Supunem, pentru simplitate, că moleculele sint toate la fel şi că forţa acţio.W( nează asupra fiecăreia din ele, aşa că forţa totală care acţionează asupra 'i;::.' unei mase de gaz va fi egală pur şi simplu cu numărul de molecule in" mulţit cu forţa actionind asupra uneia din ele. Pentru a evita unele ,!~;,:.:' ~=~~~;:;enţiale, să alegem un sistem de coordonate cu axa x în

t:

,~. ',:

i;'t{:,

In acelaşi mod ca şi înainte, dacă luăm două plane paralele separate printr-o distanţă dx, forţa acţionînd asupra fiecărui atom, înmulţită cu n atomi pe cm" (generalizarea lui nmg din cazul precedent) şi cu dx trebuie să fie echilibrată de variaţia de presiune: Fndx=dp=kTdn. Sau, sub o formă care ne va fi utilă mai tirziu, d

F-kT d, (In n).

(40.2)

Deocamdată observaţi că -Fdx este lucrul mecanic pe care l-am efectua deplasind o moleculă din x in x+dx; dacă F derivă dintr-un potenţial (dacă lucrul efectuat poate fi reprezentat printr-o energie potenţială) această expresie va fi tocmai variaţia energiei potenţiale (Epot). Diferenttala energiei potenţiale, luată cu semn schimbat, este lucrul mecanic efectuat, Fdx; astfel găsim că d(ln n)=--..-.-.d(Epot)/kT sau, integrînd,

n=(constant) cEpotl kT.

(40.3)

PRINCIPIILE MECANICII STATISTICE

624

Prin urmare, faptul pe care l-am remarcat într-un caz special este adevărat in general. (Dacă F nu derivă dintr-un potenţial? Atunci (40.2) nu are nici o soluţie. Deplasindu-se pe un drum inchis pe care lucrul mecanic efectuat nu e zero, atomii pot cîştiga sau pierde energie şi nu se poate stabili o stare de echilibru. Echilibrul termic nu poate exista dacă forţele externe exercitate asupra atomiIor nu sînt conservative). Ecuaţia (40.3), cunoscută sub numele de legea lui Boltzmann, constituie un alt principiu al mecanicii statistice: probabilitatea de a găsi moleculele într-o aranjare spaţială dată depinde exponenţial de energia potenţială a aranjării respective (cu semn schimbat), împărţită la kT. De aici putem deduce distribuţia moleculelor. Să zicem că am avea un ion pozitiv într-un lichid, atrăgînd ionii negativi din jur; cîţi ioni negativi am avea la diverse distanţe? Dacă se cunoaşte energia potenţială ca funcţie de distanţă, proporţia de ioni la diverse distanţe e dată de această lege. In mod analog se pot face multe alte aplicaţii. 40.3. Evaporarea unui lichid In mecanica statistică mai avansată se încearcă să se rezolve urmă­ toarea problemă importantă. Să considerăm un ansamblu de molecule care se atrag una pe alta şi să presupunem că forţa dintre două molecule oarecare, să zicem i şi j, depinde numai de distanţa rii care le separă, şi poate fi reprezentată ca dcrivata unui potenţial V(rij). Fig. 40.3 arată ce formă ar putea avea această funcţie. Pentru r>ro energia descreşte pc măsură ce moleculele se apropie una de alta, deoarece ele se atrag; apoi, cînd se apropie şi mai mult, energia creşte foarte repede, deoarece ele se

V(r)

resping puternic. Aproximativ vorbind, acesta reprezintă modul tipic in care se comportă moleculele. . Să presupunem acum că avem o cutie plină cu asemenea molecule si vrem să ştim cum se vor dispune ele în medie. Răspunsul este e-EpollkT. In acest caz energia potenţială va fi suma energiilor perechilor de molecule, presupunînd că toate moleculele interacţionează în perechi (în obiecte

EV APORAREA UNUI LICHID

625

mai complicate pot exista şi Jnteractii in grupuri de Cîte trei particule însă in electricitate, de exemplu, forţele apar întotdeauna in perechi}: Atunci, probabilitatea de a găsi moleculele într-o anumită combinaţie de 1'# va fi proporţională cu

exp[-~ V(r,,)/kTJ]. '.1 Dacă

temperatura e foarte inaltă, astfel incit kT»jV(1'o)l, exponentul este relativ mic aproape peste tot, şi probabilitatea de a găsi o moleculă e aproape independentă de poziţie. Să considerăm cazul a numai două molecule; e -Epo/kT va reprezenta probabilitatea de a le găsi la diverse distanţe r una de alta. Evident, probabilitatea e maximă acolo unde potenţialul are valorile cele mai negative, iar cînd potenţialul tinde la infinit probabilitatea e aproape zero - ceea ce se întîmplă la distanţe foarte mici. Inseamnă că într-un gaz constituit din astfel de atomi nu există nici o l:t. şansă ca atomii să stea unul peste altul, deoarece ci se resping foarte t', puternic. Pe unitatea de volum probabilitatea cea mai mare este să-i ~Ji~'Răsim la distanţa ro unul de altul. Cit este de mare această probabilitate, "1.: pepinde de temperatură. Dacă temperatura este foarte mare în comperatic t ' ;;,\~'eu diferenta de energie dintre 1'=1'0 şi 1'=00, exponentiala este Intotdea-> 'una aproape egală cu unitatea. In acest caz, cînd energia cinetică medic (de ordinul lui kT) depăşeşte cu mult energia potenţială, forţele nu con"tează prea mult. Insă, pe măsură ce temperatura scade, probabilitatea de '~ia, găsi moleculele la distanţa preferată ro creşte treptat În raport cu pro",;, :i,babilitatca de a le găsi la altă distanţă; într-adevar, dacă kT este mult '~f#';(;' ţD.ai mic decît jV(ro)I, avem un exponent pozitiv relativ mare in vecina_1~\:;ţatea lui 1'0. Cu alte cuvinte, într-un volum dat este mult mai probabil ca }.I'~:, moleculele să se afle la distanţa corespunzătoare energiei minime decît ~Bfi\ la distanţă mai mare unele de altele. Pe măsură ce temperatura scade, -/ti:': atomtf ce apropie, se îngrămădesc, alcătuind lichide, solide şi molecule;

'jf~l:" dacă:~~t~~ăl~~~~r=i::r:~o~~dUlUiexact tn care

să desfăşoare

trebuie se într-o anumită situaţie dată, a modului exact în care se evaporă chidele, se procedează in felul următor: Mai întîi, trebuie aflată legea rectă a forţelor moleculare, adică V (1'), care trebuie luată de altundeva, zicem din mecanica cuantică sau din experienţă. Dar, o dată cunoscută ea forţelor dintre molecule, aflarea modului în care se vor comporta miliard de molecule constă pur şi simplu 'în studiul funcţiei e~·i:/lidkT. mod destul de surprinzător (dată fiind simplitatea funcţiei şi a ideii l), o dată ce se cunoaşte potenţialul calculele sînt enorm de compiite; dificultatea o constituie numărul imens de variabile. In ciuda acestor dificultăţi, problema c deosebit de interesantă. E un emplu de ceea ce se numeşte adesea o "problemă cu mai multe corpuri" ea este intr-adevar foarte interesanta. În această singură formulă treie să fie conţinute, de exemplu, toate detaliile privitoare la solidifica-

~'ucrurile

-

Fizica moderud "oI. I.

.2.

PRINCIPIILE MECANICn STATISTICE

rea unui gaz, sau la forma crtstalelor din care e alcătuit un solid; s-a incercat descifrarea ei, dar dificultăţile matematice sint foarte mari, nu in ceea ce priveşte scrierea legii, ci în manipularea unui număr atit de imens de variabile. Iată, deci, care e distribuţia particulelor in spaţiu. Cu aceasta, practic vorbind, am terminat mecanica statistică; cunoscind forţele, putem in principiu să găsim distribuţia in spaţiu, iar distribuţia vitezelor poate fi calculată o dată pentru totdeauna, ea fiind aceeaşi in toate cazurile. Marea problemă a mecanicii statistice clasice constă in extragerea de informaţii COrecte din soluţia noastră formală.

40.4.

Distribuţia

vitezelor moleculare

In continuare vom discuta distribuţia vitezelor moleculare, fiindcă e interesant şi util să ştim cite molecule se mişcă cu diverse viteze. Pentru aceasta, putem folosi cele aflate relativ la gazul din atmosferă. Considerăm că este vorba despre un gaz perfect, neglijind energia atractdlor reciproce dintre atomi.Singura energie potenţială de care am ţinut seama în primul nostru exemplu era de natură gravitaţională. Dacă între atomi s-ar exercita forţe, situaţia ar fi, desigur, mai complicată. Deci, presupunem că între atomi nu există forţe şi, deocamdată, neglijăm şi ciocnirile, urmind să dăm mai tirziu justificarea acestui fapt. Am văzut că la înăl­ ţimea h există mai puţine molecule decît la înălţimea h=O; conform formulei (40.1), numărul lor descreşte exponenţial cu înălţimea. Cum este posibil ca la înălţimi mai mari să existe mai puţine molecule? In definitiv, moleculele care la înălţimea h=O se mişcă in sus nu ajung toate la înălţimea h? Nu, deoarece unele dintre ele se mişcă prea incet şi nu pot urca bariera de potenţial pînă in h! Avind această indicaţie, putem calcula cite molecule trebuie să se mişte cu diverse viteze, fiindcă din formula (40.1) ştim cîte se mişcă cu o viteză mai mică decît cea necesară pentru a urca o distanţă dată h. Acestea sint tocmai cele datorită cărora densitatea este mai mică in h decît în h=O. Să formulăm această idee ceva mai precis: să socotim cîte molecule trec de jos în sus prin planul h=O (considerind h=O nu înţelegem că există acolo o podea, ci introducem doar o notaţie convenţională; există gaz şi la înălţimi h negative). Moleculele de gaz se mişcă in toate direcţiile, dar unele dintre ele vor trece prin planul considerat; la orice moment, un anumit număr va trece pe secundă prin plan, de jos in sus, cu diverse viteze. Observăm următoarele: dacă viteza necesară pentru a atinge la limită înălţimea h este u. (energia cinetică mu 2/2= mg h), numă­ rul de molecule pe secundă care trec in sus prin planul inferior, în direcţia verticală, avind componenta vitezei mai mare decit n, este exact acelaşi cu numărul celor care trec prin planul superior h, avînd viteza oarecare orientată in sus. Acele molecule ale căror viteze pe verticală nu depăşesc u nu pot trece pe planul superior. Vedem deci că

DISTRIBUŢIA

vrrezraoa

MOLECULARE

621

Numărul de molecule care trec prin h=O cu vo:>u=numărul de molecule care trec prin h=h cu vo:>O. Dar numărul celor care trec prin h cu orice viteză mai mare

decît O este mai mic decît numărul celor care trec la o înălţime mai mică, cu orice viteză mai mare decît 0, fiindcă numărul de atomi aici e mai mare; iată singurul lucru de care avem nevoie. Ştim deja că distribuţia viteze-

Fig. 40.4. Numai moleculele care la mişcă în sus cu o viteză suficient de mare pot ajunge la înălţimea h.

h=O se

r--t--+~---\--IlrQ

lor e aceeaşi, deoarece temperatura e constantă peste tot în atmosferă. ;,Deci, Întrucît distribuţiile vitezelor sînt aceleaşi şi singura deosebire c că ~n partea de jos există mai mulţi atomi, numărul n>o{h) al moleculelor e trec cu viteze pozitive la înălţimea h şi numărul n>n(O) al molccuelor care trec cu viteze pozitive la înălţimea h=O se află in acelaşi ra. rt cu densităţile la cele două înălţimi; acest raport este fOmg~/kT • Dar '>o(h) =n>u (O), şi astfel găsim că fI>u

(O)

-mgh/kT

~--=e

=e

-mu'/2hT

fI>O (O)

trucît ~ mu 2=mgh. Deci, in cuvinte, numărul de molecule care trec 2

tr-o

secundă

componentă

prin unitatea de

suprafaţă situată

la

înălţimea

h=O, cu

z a vitezei mai mare decît u, este e_mu'j2kT, înmulţit cu nu-

1 total al celor care trec prin plan cu o viteză mai mare decit zero. Aceste rezultat este adevărat nu numai la înălţimea arbitrar aleasă =0, ci şi la oricare altă înălţime, acelaşi peste tot! (Rezultatul final au depinde de înălţimea h, care apărea numai în raţionamentul interediar). Acest rezultat reprezintă o propoziţie generală care ne dă disibuţia vitezelor. El ne spune că dacă facem un mic orificiu într-o conuctă de gaz, un orificiu foarte mic, astfel încît ciocnirile să fie separate in distanţe mai mari decit dtamctrut orificiului, particulele care vor eşi afară vor avea viteze diferite, dar din ele o fracţiune e- m u' /2k T vor Ieşi cu viteze mai mari decit u. -

PRINCIPIILE MECANICII STATISTICE

628

Revenim acum la problema neglijării clocnirilor: de ce nu arc aceasta nici o importanţă? Am fi putut argumenta in acelaşi mod, dar nu cu o înălţime h finită, ci cu una infinitczimală, care să fie atît de mică încît intre h=O şi h să nu poată avea loc ciocniri. Insă acest lucru nu este necesar; argumentarea noastră este bazată pe analiza energiilor care intervin şi pe conservarea energiei, iar în ciocniri există un schimb de f(uj

Fig. 40.5. Graficul unei distribuţii de viteze. Suprafaţa haşurată este f(u)du (fracţiunea din numarul toil

energii intre molecule.

Totuşi,

tal al particulelor, avînd viteze în interiorul intervalului din vecinătatea lui u).

in realitate nu ne

interesează dacă urmă­

rim una şi aceeaşi moleculă, atîta vreme cît tot ce se petrece este nimic mai mult decît un schimb de energii intre molecule. Astfel se constată că, chiar dacă problema este examinată mai atent (un calcul riguros este, evident, mai dificil), rezultatul nu se modifică. E interesant că distribuţia de viteze pe care am găsit-o este tocmai (40.4)

Acest mod de descriere a distribuţiei vitezelor, prin indicat-ea numărului de molecule care trec printr-o suprafaţă dată cu o anumită valoare minimă a componentei z a vitezei, nu este modul cel mai convenabil de a prezenta distribuţia vitezelor. De exemplu, cel mai adesea vrem să ştim cîte din moleculele unui gaz se mişcă cu o componentă z a vitezei intre două valori date; această mărime nu ne este dată direct de formula (40.4). Am vrea să examinăm rezultatul nostru într-o formă mai convenabilă, deşi cele găsite mai înainte sînt absolut generale. Observaţi că nu este posibil să se spună că o moleculă oarecare are cu precizie o anumită viteză dată; nici una dintre ele nu are o viteză exact egală eu 1,7962899173 metri pe secundă. Pentru a face o afirmaţie care să albă sens, trebuie să ne întrebăm cîte molecule se vor afla intr-un anumit interval de viteze. Trebuie să spunem cîte au viteze Între 1,796 şi 1,797 şi aşa mai departe. In termeni matematici, fie f(u) du fracţiunea din numă­ rul total de molecule care au viteze intre u şi u+du sau, ceea ce este acelaşi lucru (dacă este infinitezimal), care au o viteză u situată În intervalul du. Fig. 40.5 arată o formă posibilă a funcţiei f(u), iar partea haşu-

DISTRIBUŢIA

rată,

VITEZELOR MOLEC'ULARE

de lungime du

şi înălţime

629

medie f(u),

reprezintă fracţiunea

f(u) du.

Adică, raportul dintre suprafaţa haşurată şi suprafaţa totală cuprinsă sub curbă reprezintă proporţia relativă a moleculelor cu viteză u in inter-

valul du. Dacă definim pe f(u) astfel încît fracţiunea din numărul total al moleculelor avînd o viteză în acest interval să fie dată direct de suprafaţa haşurată, suprafaţa totală trebuie să reprezinte 100% din totalul

moleculelor,

adică,

1f(u)du=1.

(40.5)

~~

Acum trebuie doar să aflăm forma acestei distribuţii, comparind-o cu rezultatul dedus anterior. Mai întii; ne întrebăm care este numărul de molecule ce trec pe secundă printr-o suprafaţă cu viteză mai mare decit u, exprimată.., in funcţie de f(u). Am putea crede că ea este pur şi simplu {integrala

Sf(u)du, dar nu c aşa, deoarece

noi

Întrebăm

care este

numărul

" care trec prin suprafaţă pe secundă. Cele mai rapide trec moleculelor -';.,mai des, ca să zicem aşa, decît cele mai lente, şi pentru a exprima nu.'.mărul celor care trec trebuie să înmulţim cu viteza. (Am discutat acest >fapt in capitolul precedent, cînd am vorbit despre numărul de ciocniri). j:~,Numărul total de molecule care trec prin suprafaţă într-un timp teste ;,·egal cu numărul de molecule care au putut să ajungă la suprafaţă, iar ş.acestea sosesc de la o distanţă ut. Deci, numărul de molecule care sosesc 'Ja suprafaţă e egal cu numărul moleculelor existente în unitatea de vo/lum, înmulţit cu distanţa pe care ele o parcurg mişcîndu-se înspre supra'cfaţa prin care urmează să treacă, iar această distanţă e proporţională cu u: i\Prin urmare, avem nevoie de integrala din u înmulţit cu f(u)du, inte,;grală luată Între limita inferioară u şi limita superioară infinită; ea treI'buie să fie egală cu ceea ce am găsit inainte şi anume e_mu'/2kT (pină la o ,'~nstantă de proporţionalitate pe care o vom afla mai tîrziu) i

\

Juf(u)du=const·e

Dacă derivăm

-mu'/2kT

.

(40.6)

"

integrala în raport cu u, obţinem expresia de sub Integrandul (cu un semn minus, deoarece u este limita dacă derivăm celălalt membru, obţinem u Inmultit cu exponişte constante). Simplificind pe u, obţinem

integrală, adică ,jnferioară); .,.:nenţiala (şi

f(u)du=Ce-mu'/zkT du. Reţinem pe

cu o it şi

du in ambele părţi pentru a ne reaminti că avem de-a face care ne spune ce proporţie de molecule au vitezele intre

distribuţie,

u+du.

(40.7)

.,0

PRINCIPIILE

Constanta C trebuie

determinată

MECA~rrCII

astfel incit integrala

unitatea, în conformitate cu (40.5). Se poate demonstra'?

să

STATISTICE

fie

egală

cu

că

Utilizînd acest fapt, c uşor de găsit că c= Vmj2rr.kT. întrucît viteza şi impulsul sint proporţionale, putem spune că distribuţia impulsuri lor este şi ea proporţională cu e - EpoljkT pe unitatea de interval de impuls. Exprimată in funcţie de impulsuri. această teoremă este adevărată şi in cazul rclativist, pe cînd exprimată în funcţie de 'viteze nu mai e adevărată; deci e mai bine să o reţinem in funcţie de impulsuri decit in funcţie de viteze f(p)dp = Ce -/!pol,lkT dp. Găsim

(408)

cu o anumită energie, cinetică şi potenţială, sint egale in ambele cazuri cu e -energ;alkT, un rezultat destul de frumos şi foarte uşor de reţinut. Pînă acum avem numai distribuţia vitezelor "pe verticală;'. Am putea să TIC întrebăm care este probabilitatea ca o moleculă să se mişte in altă direcţie. Bineînţeles, aceste distribuţii sint legate una de alta şi putem obţine distribuţia completă din cea pc care o avem, fiindcă distribuţia completă depinde numai de pătratul mărimii vitezei, iar nu de componenta z a sa. Ea trebuie să fie independentă de direcţie şi este dată de o singură funcţie, probabilitatea diverselor mărimi 81c vitezei. Cunoaştem distribuţia componentei z şi din ea putem deci obţine distribuţia celorlalte componente. Rezultatul este următorul: probabilitatea este mai departe egală cu e -Epot/kT, însă acum energia cinetică e compusă din trei părţi, mV:/2, mv~i2 şi mv~/2, adunate la exponent. Formula poate fi scrisă şi sub forma unui produs astfel

că probabilităţile unor stări

(409)

1}

Pentru a obţine valoarea integ raţei, ne 1= ) e-1;' dr.

Atunci,P=

~ -,,: Să presupunem că sînt foarte puţini atomi de gaz şi că aceştia sint in" ,:' depărtaţi unul de altul, astfel încît avem un oscilator ideal, fără realsJt!J;I,tenţă, cu excepţia rezistenţei radiatlei. Considerăm atunci că, la echilibru \~i~:"ţermic, osctlatorul efectuează simultan două lucruri. întîi, el are o ener: Ct~; gie medie k{I' şi calculăm cîtă radiaţie emite. în al doilea rind, aceasta ~~ll:".'tadiaţie ar trebui să fie exact egală cu cea care ar rezulta datorită Iap[,2f(tulUi că lumina ce Iradiază osctlatorul este împrăştiată. Deoarece cnergi~ ;~!ynu poate merge în altă parte, această radiaţie efectivă este de fapt tocmai .\" :':i:":lumina tmprăştiată de către lumina care se află in incintă. , " \' Deci, calculăm mai întîi energia radiată de oscilator pe secundă, dacă ..,::OScilatorul arc o oarecare energie. (împrumutăm din capitolul 32 asupra F~zistenţei radiaţiei un număr de ecuaţii, fără a ne întoarce la deducerea

, I

"\or.) Energia ".\,

;Iecuaţia ;".

radiată

(32.8)]:

.!. = Q

pe radian dW jwoW. dt

împărţită

la energia oscilatorului este

Q1

Folosind cantitatea l' (constanta de frinarc),

"~asta poate fi scrisă deasemenea ca 1. = :L, unde Q

00,

(00

este frecvenţa na-

MIŞCAREA

torală

gia

BROWNIANA

a osctlatcrului ~ dacă 't este foarte mic, Q este foarte mare. Enerpe secundă este atunci

radiată

dw = rooW = ro.W.., = yW. dr Q ro o

(41.4)

Energia radiată pe secundă este astfel 't ori energia oscilatorului. Osct.atorul ar trebui să aibă o energie medie kT; astfel, vedem că y ori kT este cantitatea medie 'de energie rad iată pe secundă (dW)/dt~'lkT.

Acum trebuie doar (32.12). El este

să ştim

(41.5)

cît este 'i . Aceasta se

găseşte uşor

din

ecuaţia

W 2 foW1 y =o' - = - Q 3 c

unde

To=e 2 /m c 2

este raza

clasică

a elcctronulut

(41.6) şi

Rezultatul nostru final pentru radiaţia medie de timp în vecinătatea frecvenţei IDO este, prin urmare,

Ne

dW

=.!

dt

3

am pus

2>< j.ee - - , 00,

lumină

pe unitate de

fo(Q~k~

c

întrebăm cît de multă lumină trebuie să iradieze osctlatorul. fie suficientă pentru ca energia absorbită de .a lumină (şi

(41.7)

Tl"C'apoi imprăştiată) să fie exact 'atîta cît este cea care a iradiat osctlatorul. Cu alte cuvinte, lumina emisă este considerată ca lumina împrăştiată de către lumina care tradiază oscilatoruj din cavitate. Astfel, trebuie să calculăm acum cît de multă lumină este împrăştiată de către oscilator, dacă ('XiS~{L o oarecare cantitate ~ necunoscută ~ de radiaţie tncidentă asupra sa. Fie l(w)dw cantitatea de energic luminoasă ce există la frecvenţa tn, in interiorul unui domeniu oarecare du) (deoarece nu există lumină la exact o frecvenţă oarecare; este împrăştiată pe tot spectrul). Astfel ~ (w) este el oarecare distribuţie spectrală, pe care urmează acum să o găsim - c-ec culoarea unui cuptor la temperatura T, pe care o vedem cînd .joschldcm uşa şi privim in interior. Cît de multă lumină este absorbită? Am oLţi­ nut cantitatea de radiaţie absorbltă dintr-un fascicul incident dat şi am calculat-o in funcţie de o secţiune eficace. Este exact ca şi cum am spt..rne că toată lumina ce cade pe o secţiune eficace oarecare este absorbită. Astfel, cantitatea totală care este re-radiată (împrăşttată) este intensitatea incidentă 1 (w) dto înmulţită cu secţiunea eficace o. Formula pentru secţiunea eficace, pe care am dedus-o [ecuaţia (31.19)] nu a inclus amor-tizarea. Nu este gre-u să refacem deducerea şi să mtrobuio

să

ECHILIBRUL TERMIC AL

ducem termenul de

RADIAŢIEI

645

rezistenţă

şi calculăm secţtunea efloace

în

pe care l-am neglijat. Dacă facem a-ceasta acelaşi mod, obţinem

8". (

o ~ -3-

ro'

(00' _ 00,])' -:- y'oo"

)

(41.8)

•

Ca funcţie de frecvenţă, (J are dimensiune importantă numai pentru foarte apropiat de frecvenţa naturală {Oo. (Reamintiţi-vă că Q pentru un oscilator radient este aproximativ 10~.) Oscilatorul împrăştie foarte puternic cînd oi este egal cu 0>0 şi foarte slab pentru alte valori ale lui r». Prin urmare, putem înlocui co prin Wo şi W2_W~ prin 2Wjj({i)-----{))0) şi

O>

obţinem

o

(41.9)

3 [(ro - ooG)" + y~/41

Intreaga curbă este localizată in vecinătatea lui {O=(i)o. (Nu avem nesă facem nici o aproximaţie, dar e mult mai uşor a efectua tntcgralele dacă simplificăm puţin ecuaţia) Multiplicăm intensitatea intr-un domeniu dat al frecventelor cu secţiunea eficace de împrăştiere, pentru a obţine cantitatea de energic împrăştiată În domeniul dUJ. Energia totală împrăş­ tietă este atunci integrala acesteia pentru toţi oi. Astfel voie

.

aw _\ -dt

u

.

I(ro) aw ( )d (1)_ \

o

2ITrij ro51 (ro) de 3 [(ro - (tln)' + y'/4;

•

(41.10)

Punem acum dW =3 Y kT. De ce trei? Deoarece atunci cînd am dr

fă-

cut analiza secţiunii eficace în capitolul 32, am presupus că pol-arizarea a 'rost astfel încît lumina a putut pune in mişcare osctlatorul. Dacă am fi folosit un oscilator care s-ar fi putut mişca numai într-o direcţie şi lumina, Să spunem, ar fi fost polarizată intr-un mod necorespunzator, nu ar fi cat nici o împrăştiere. Astfel, trebuie fie să mcdicm secţiunea eficace a unui oscllator care poate oscila numai într-o direcţie, pentru toate direcţiile de incidenţă şi polanzare a luminii S'au, mai uşor, ne putem imagina un oscfletor care urmează cîmpul indiferent de direcţia in care este îndreptat acesta. Un 'astfel de oscilator. 'Care poate oscila la fel în trei direcţii, va avea energia medie 3kT, deoarece există trei grade de libertate in acel oscilator. Astfel, trebuie să folosim 3"{kT din cauza celor trei grade de libertate. Să cfectuăm Integrala. Presupunem că distribuţia spectrală necunosCută a luminii I(w) este o curbă lină şi nu variază foarte mult de-a curmezişul regiunii foarte inguste de frecvenţe unde cr are un maximum {'fig. 41.3). Atunci singura contribuţie semnificativă provine de la valori w care sint foarte apropiate ele 000, in cadrul unui interval y foarte mic. Prin re, cu toate că 1 ((O) poate fi o funcţie necunoscută şi complicată, sinI loc unde este importantă se află in vecinătatea lui w=OOo şi acolo

MIŞCAREA

646

BROWNlANA

putem înlocui curba lină prin una plată - o "constantă" la aceeaşi înăl­ ţime. Cu alte cuvinte, scoatem simplu I (00) în exteriorul semnului de in-

llw)

Fig, 41.3. Factorii în iritegrandu! (41.10). Vîrful este curba de rezonanţă 1/«()J-wo)2+'Y2/4. Într-o bună aproximaţie factorul I(m) poate fi inlocuit prin I(ma).

L=-+t-t---'=-" tegrală şi O

numim I(u'l()). Putem de asemenea scoate restul constantelor şi ce am lăsat este

in afara fntegralei

3

2__ ? 2

- :ltorowo/(wo) 2

"OI

o

do " = (ro_fDo)2+'1/4

3ykT,

(41.11)

Integrala trebuie efectuată de la zero la infinit, dar zero este atît de departe de (Oo încît curba este complet ncimportantă acolo, astfel că integrăm de la minus infinit nu este nici o diferenţă şi este mult mai uşor de calculat integrala. Integrala este o funcţie arctangcntă de forma

~ d;/(x!+a!). Dacă ne 'Uităm într-o

carte vedem

că

este

egală cu xţa.

Ast-

fel, ceea ce rezultă pentru cazul nostru este 2rr/'Y. Obţinem, prin urmare,

o oarecare rearanjare (41.12)

Inlocuim atunci formula (41.6) pentru 'Y (nu vă îngrijoraţi de faptul e scris 000.; deoarece este adevărată pentru orice ffiQ, îl putem numi simplu w) şi formula pentru 1 (00) rezultă

că

1(00) =

w'kT

n"e'·

(41.13)

Aceasta ne dă distribuţia luminii intr-o sobă fierbinte. Este numită corpului negru. Negru, deoarece orificiul din sobă la care DC uităm este negru cind temperatura este zero. In interiorul unei incinte închise, la temperatura T, (41.13) este clis~ tributia de energie a radiatdei, conform teori-ei clasice. Să notăm, mai intii, o trăsătură remarcabilă a acelei expresii. Sarcina oscuatcrului, masa oscilatcrului, toate proprietăţile specifice osctlatorulut, dispar, deoarece

radiaţia

ECHIPARTIŢIA ŞI

OSCILATORUL CUANTIC

647

de indată ce am realizat echilibrul cu un oscila-tor, trebuie să fim în echilibru cu orice alt oscilator de masă diferită sau, dacă nu, vom fi în dificultate. Acesta este un mod important de verificare a afirmaţie] că echilibrul nu depinde de natura corpului eu care sîntem în echilibru, ci numai de temperatură. Să desenăm acum o imagine a curbei l (Ill) (fig. 41.4). Ea ne spune cîtă lumină avem la diferite frecvenţe.

IMI Flg.

41.4.

Distribuţia

s--~\

,,

tnten-

sităţii corpului negru la două temper-atur-i, conform fizicii clasice (curbele continue). Curbele punctate arată distrl-

buţia reală.

2'0 T,

\ Rodio

'N fizilJil

I/Y

w

Roze X

Cantitatea de intensitate care există în incinta noastră, pe unitatea de interval de frecvente, variază, aşa cum vedem, ca pătratul frecvenţei, ceea ce înseamnă că dacă avem o incintă la orice temperatură şi dacă recepţlonăm razele !X emise, va exista o mare cantitate de astfel de raze! Evident, noi ştim că această afirmaţie este falsă. Cind deschidem soba şi ne uităm la ea, nu ne ardem de loc ochii cu raze X. Este complet fals. Mai mult, energia totaLă in incintă, totalitatea intensităţilor însumată pentru toate frecvenţele, ar fi aria de sub această curbă infinită. Prin urmare, ceva este fundamental şi absolut greşit. Astfel, teoria clasică a fost absolut incapabilă să descrie corect dtstributla luminii emise de un corp negru, exact cum a fost incapabilă să deserie corect căjdurile specifice ale gazelor. Fizicienii au făcut şi refăcut această deducere din mai multe puncte de vedere diferite şi nu există scăpare. Aceasta este prezicerea fizicii clasice. Ecuaţia (41.13) este numită legea lui Rayleigh şi este prezicerea fizicii clasice, şi este evident ebsurdă.

41.3.

Echipartiţia şi

oscilatorul cuantic

Dificultatea de mai sus a fost o altă parte a problemei permanente a fizicii clasice, care a început cu dificultatea căldurii specifice a gazelor şi s-a focalizat acum asupra distribuţiei luminii intr-un corp negru. Evident, că la vremea cind teoreticienii au studiat acest lucru, au fost erectu8Jte mai multe măsurători ale curbei reale. Şi a rezultat că curba corectă ar arăta ca şi curbele punctate din figura 41.4. Adică, razele X nu existau. Dacă coborîm temperatura, intreaga curbă coboară mai jos, Ptvporţional cu T, conform teoriei clasice, dar curbele observate se teşesc mai repede la o temperatură-mat coborîtă. Astfel, capătul de frecvenţe

MIŞCAREA

BROWNIANA

coborite al curbei este corect, dar capătul de frecvenţe ridicate este greşit. De ce? Cind Sir James Jeans se preocupa de căldurile specifice ale gazelor, el a observat că mişcările care au frecvenţe înalte sînt "îngheţate atunci cînd temperatura coboară prea jos, 'adică, dacă temperatura este prea coborîtă, dacă frecvenţa este prea înaltă, osciietot-ii nu au in medic energia kT. Să ne reamintim cum s-a efectuat dcduccrea lui (41.13): ca depinde integral de energia unui oscilator la echilibru termic. Ceea ce a fost kT din (41.5) şi e acelaşi kT' in (41.13), reprezintă energia medie a unui oscilator armonie de frecvenţă ti) la temperatura T. Clasic, aceasta este kT, dar experimental, nu! - nu- atunci cînd temperatura este prea coborîtă sau frecvenţa oscflatorulut este prea mare. Şi astfel, motivul pentru care curba descreşte este acelaşi cu motivul pentru care căldunlc specifice ale gazelor se micşorează. Este mai uşor de studiat curea corpului negru decît aceea a căldurilor specifice a gazelor, care sînt atît de complicate; prin urmare, atenţia noastră este îndreptată pe direcţia determtnăr-ii curbei adevărate 'a corpului negru, deoarece aceasta C' o curbă ce ne spune corect, la fiecare frecvenţă, care este energia medie a oscilatorilor armonici ca 'o funcţie de temperatură. Planck a studiat această curbă. El a determinat mai intii răspunsul în mod empiric, potrivind curba observată eu o funcţie drăguţă cu care s-a corelat foarte bine. Astfel, ela avut o formulă empirică pentru energia medie a unui oscilator armonie ca funcţie de frecvenţă. Cu alte cuvinte, el a avut formula corectă în locul lui kT şi apoi, agttlndu-se puţin, a gă-­ sit o deduccre simplă pentru aceasta, care conţinea o presupunere foarte particulară. Presupunerea a fost că la un moment dat oscilatorul armonie poate lua numai energii hoo. Ideea că el poate avea orice energie este falsă. Evident, acesta a fost începutul sfîrşitului mecanicii clasice. Oea dintii formulă de mecanică cuantică corect determinată va fi dedusă acum. Să H

~E~~ I;f,w

rz:»: 1/,

f',:, =Aeq;(-I;/i",iJi)

Mw f'J~Af"fl(-J;;w/i7/

--;: tOr.i care sint în starea El; N 2 numărul celor care sint în starea E 2 ş.a.m.d. "ii;:j'Conform Ipoteze! (pe care nu am demonstrat-o) că in mecanica cuantică ';:J~Îj,iegea care a inlocuit probabilitatea e -EPO/II T sau e- Ed ,,1I1T din mecanica I:!i;::'tIasiCă este că prcbaoiirtatea descreşte ca e-AElkT, unde dE este energia i}~i!,1n exces, vom presupune că numărul N 1 'al celor ce sint in starea intii va :'1i;:fi egal cu numărul N c a celor ce sint in starea fundamentală, inmulţit cu li

~'.

~~

~-th"/"T . Pentru a simplifica algebra, să notăm e- kT =x. Avem atunci

',simplu N 1 = NoX, N 2=NoX 2 , ••• N,,=NoX". Trebuie să fie calculată mai întîi energia totală a tuturor osctlatorilor. un oscilator este in starea fundamentală, nu există energie. Dacă itlprima stare, energia este hwo; sint N 1 oscilatori in această stare. Ast,de la aceştia obţinem energia N l 1\lJ) sau U'uNfJx. Cei care sint în a doua e au 2h:Do şi există N 2 dintre 'aceştia, astfel că N 2 • 2hro=2hwN ox2 este gia pe care o obţinem ş.a.m.d. Ii adunăm atunci pe toţi împreună tru a obţine ElO t=1'/rhW{O+x+2x2 + 3 x 3 + ... ) Şi acum, cîţi oscllatort există? Evident, N o este numărul celor ce sint. starea fundamentală, N, in prima stare ş.a.m.d. şi le adunăm pc toatepreună: Ntt=No(1+x+x 2.+x3 + . .). Astfel, energia medie este w

(E)= Eloi = , N'ol

N~fj(O(O+x+2x',-r3x'+ . .). N o(1 + x' + x' + ...)

{41.14)~

Acum cele două sume ceepar le lăsăm cititorului să se distreze cu . Cînd am terminat de adunat şi de înlocuit pe x în sumă, ar trebui 'Obţinem, dacă nu facem greşeli la sumare, (41.15)

Aceasta a fost, atunci, prima formulă de mecanică cuantică cunoscută etă sau discutată şi a fost frumoasa incoronare a decade! de încurcă-

UP

MIşCAREA

BROWNIANA

tort. Maxwell ştia că ceva era greşit şi problema se punea: ce era corect? Aici este răspunsul cantitativ despre ce este corect in locul lui kT. Această expresie ar trebui, evident, să tindă spre kT atunci cînd (J)--+O sau cînd T-+(X). Vedeţi dacă puteţi demonstra că ea tinde învăţaţi cum să faceţi matematică.

Acesta este faimosul factor de tăiere pe care îl căuta Jeans şi, dacă-I folosim in loc de kT in (41.13), obţinem pentru distribuţia luminii într-o incintă neagră

I(ffi)d(()=

3

dro 'JI.'c'el"'/kT -1) f,w

(41.16)

Vedem că pentru ro mare, cu toate că avem {t)3 la rrumarator, există un e ridicat la o putere imensă la numitor, astfel că curbele coboară din !lOU şi nu "explodează!' nu obţinem lumină ultravioletă şi r-aze X unde? le aşteptăm! Ne-am putea plînge că in deducţie lui (41.16) am folosit teoria cuantică pentru nivelele de energie ale oscilatorului armonie, însă teoria clasică la determinarea secţiunii cficase Ci. Dar teoria cuantică a 'luminii în interacţiune cu un oscilator armonie dă exact acelaşi rezultat ca şi cel dat de teoria clasică. Acesta este, de fapt, motivul cu care ne-am justificat pierderea unui timp atit de lung în analiza noastră referitoare la indicele de refractte şi la împrăştierea luminii folosind un model din atomi ca mici osctlatori - formulele cuantice sint substanţial aceleaşi. Să ne reintoarcem acum la zgomotul Johnson intr-un rezistor. Am remarcat că teoria referitoare la puterea acestui zgomot este de fap' aceeaşi ca şi teoria distribuţiei clasice a corpului negru. De fapt, cu totu; amuzant, am spus deja că dacă rezistenta într-un circuit nu ar fi o rezistenţă reală, ci ar fi o antenă (o antenă se comportă ca o rezistenţă, deoarece ea radiază energie), o rezistenţă de radiaţie, ne-ar fi uşor să ce"culăm care ar fi puterea: exact puterea ce intră în antenă din lumina care o înconjoară şi am obţine aceeaşi distribuţie, diferind doar cu unul sau do; factori. Putem presupune că rezistorul este un generator cu un spectru de putere necunoscut P(lD). Spectrul e determinat prin faptul căacela~1 generator, legat cu un 'Circuit rezonant de orice frecvenţă, ca în fig~ra 41.2, o, generează în inductanţă o tensiune de mărimea dată în (41.2). 51;;tem astfel conduşi la aceeaşi integrală ca in (41.10) şi aceeaşi metodă ('sL, bună pentru a ne da ecuaţia (41.3). Pentru temperaturt joase, kT in (41.~j) trebuie să fie evident înlocuit prin (41.15). Cele două teorii (radiaţia corpulut negru şi zgomotul Johnson) sint atit de strîns legate fizic deoarece putem lega, evident, un circuit rezonant la o antenă, astfel ca rezist€.Dţa R să fie o rezistenţă de radiaţie pură. Deoarece (41.2) nu depinde de OrlgIllC'a fizică a rezistenţei, ştim că generatorul G pentru o rezistenţă reală şi pentru rezistenţa de radiaţie este acelaşi. Care este originea puterii generate P(w), dacă rezistenta R este numai o antenă ideală in echilibru cu mediul înconjurător la temperatura T? Este radiaţia [(ro) in spaţiu, la tempo-

MIŞCAREA

INT!MPL,\TOARE

651

ratura T, care cade asupra antenei şi ca "semnale recepttonate'' produce un generator efectiv. Prin urmare, S€ poate deduce o relaţie directă a lui P(w) şi [(ro), conducînd atunci de la (41.13) Ia (41.3). Toate lucrurile despre care am vorbit ~ aşa numitul zgomot Johnson, şi distribuţia lui Planck, şi teoria corectă a mişcării browniene pe care sintem pe cale să o descriem ~ sînt dezvoltări ale primei decade a secolului nostru. Cu acele puncte şi cu acea istorie in minte, ne reintoarcem la mişcarea browniană.

41.4.

Mişcarea întîmplătoare

Să analizăm

cum ar trebui să se schimbe in timp poziţia unei partidezordonat, pentru intervale de timp foarte lungi in comparaţie cu timpul dintre "şocuri". Să considerăm o mică particulă in mişcare browniană, care "ţopăie" deoarece este bombardată pe toate păr­ ţile de molecule de apă ce "ţopăie" şi ele neregulat. Intrebare: după un interval de timp dat, cît de departe este probabil să fie ea de locul din care a plecat? Această problemă a fost rezolvată de Einstein şi Smoluchowski. bacă ne închipuim că împărţim timpul in mici intervale, să spunem de o sutime de secundă sau cam atîta, atunci după prima sutime de secundă se mişcă etcl, în următoarea sutime de secundă se mişcă ceva mai mult, În următoarea sutime de secundă se mişcă într-o altă parte şi aşa mai departe. In termeni de frecvenţă de bombardare, o sutune de secundă este 'Un timp foarte lung. Cititorul poate verifica uşor faptul că numărul ciocnirilor pe care le suferă o singură moleculă de apă într-O secundă este aproximativ 1014 , astfel că într-o sutime de secundă ea are 1012 ciocniri, ceea ce este mult! Prin urmare, după o sutime de secundă nu îşi mai reaminteşte' ce i s-a întîmplat mai înainte. Cu alte cuvinte, ciocnirile sint toate întîmplătoare, astfel că un "pas" nu este legat de "pasul" precedent. Este ca faimoasa problemă a marinarului beat: marinarul iese dintr-un şi face un şir de paşi, dar fiecare pas este ales la un unghi arbitrar,

cule ce se

mişcă

Fig. 41.6.

Mişcare

întîmp lătoare corn- 9

pusă din 36 pasi de lungime L. Cît de depar-te este· SJ6 de Lt Raspuns: la aproximativ 6L, în medie.

~'"

.,Ja, intîmplare (fig. 41.6). Problema este: după un timp îndelungat unde se

află

marinarul? Evident, noi nu

ştim!

Este imposibil de spus. Ceea ce

;:1nţelegem: el este undeva mai mult sau mai puţin întîmplător. Bine,

""atunci, in medie, unde se află el? In medie, cit de departe de bar a mers? ~,Am răspuns deja la această intrebare cînd am discutat suprapunerea IuJninii provenite de la o mulţime de surse diferite cu faze diferite: aceea

.,2

MISCAREA

flROWNTANĂ

se obţinea adunînd o mulţime de săgeţi cu unghiuri diferite (vezi capitolul 32). Acolo am descoperit că pătratul mediu al distanţei de la un capăt la altul al lanţului de paşi întîmplători, care era intensitatea luminii, este

suma tntensttăţilor părţilor separate. Şi astfel, prin acelaşi tip de matematici, putem demonstra imediat că, dacă RN este distanţa vcctorială din origine după N paşi, pătratul mediu al distanţei de la origine este proporţional cu numărul N de paşi, adică ( R~ >=NU, unde L este lungimea fiecărui pas. Deoarece numărul de paşi este proporţional cu timpul în problema noastră prezentă, distanţa pătratică medie este proporţională cu timpul

(R') ~ al.

(41.17)

Aceasta nu însemnează că distanţa medie este proporţională eu timpul. Dacă distanţa medie ar fi proporţională eu timpul ar insC'mnacă îndepărtarea de punctul de pornire 'Se face cu o simpatică viteză uniformă. Marinarul efectuează o înaintare relativ sensibilă, dar numai astfel ca distanţa sa pătratică medic să fie proporţională cu timpul. Aceasta este caracteristica unei mişcări întîmplătoare. Putem arăta foarte uşor că în fiecare pas succesiv, pătratul distanţei creşte, în medie, cu U, deoarece dacă scriem RIV=R\'_l~L găsim că R';

ostc Şi

mediind asupra unui mare număr de încercări, avem --!-U, întrucît (RN_1·L)=O. Astfel, prin inducţie,

=(R~_l)

R1=NU.

(41.18)

Am dori să calculăm acum coeficientul a din ecuaţia (41.17) şi pentru a face aceasta trebuie să adăugăm ceva. Vom presupune că dacă am actiona eu o forţă asupra particule; (neavînd nimic de-a face cu mişcarea brownlană luăm o consecinţă particulară, pentru moment), atunci aceasta ar reacţiona în modul următor împotriva forţei. Mai întîi, ar fi o inerţie. Fie m coeficientul de inerţie, masa efectivă a obiectului (nu in mod r.ccesar aceeaşi ca şi masa reală a paruculei reale, deoarece apa trebuie să se mişte în jurul parttculet dacă acţionăm asupra ci). Astfel, dacă vorbim de . d~x pe d e o parte. e m, mişcarea diIn t 1'-0 d iirec ţ.le există un termen ca m ---, W

, ' ~. Apoi, dorim de asemenea să presupunem că dacă menţinem o acţionar" stattonară esupra obiectului, va exista o frînă asupra sa din partea Iluidului, proporţională cu viteza sa. In afară de inerţia fluidului există o rezistenţă la scurgere datorită vlscoaitătf şi complexităţii fluidului. Este absolut esenţial să existe unele pierderi ireversibile, ceva ca rezistenţa, pentru a exista fluctuaţii. Nu există alt mod de a produce valoarea kT, dacă nu există de asemenea pierderi. Sursa fluctuaţiilor este foarte strîns legată de aceste pierderi. Care este mecanismul frînării, o vom discuta curînd - vom vorbi despre forţe care sint proporţionale eu viteza şi ele

MIŞCAREA

INTIMPLATOARE

653

unde provin ele. Dar să presupunem acum că există o astfel dC' rezistentă Atunci formula pentru mişcarea sub 'acţiunea unei forţe externe, dnd acţionăm normal pc direcţia mişcării, este d 2x

de

m dt' +J.ldt=F~"t.

(41.19)

,!

Cantitatea poate fi determinată direct din experienţă. De exemplu, putem urmări căderea picăturii sub acţiunea gravitaţiei. Ştim atunci că forţa este mg şi u este mg împărţit la viteza de cădere pe care o dobîndeşte pînă la urmă picătura. Sau, am putea pune picătura într-o centrtfugă şi să vedem cît de repede sedimcntează. Sau, dacă este încărcată, putem aplica asupra-I un cimp electric. Astfel, u este un lucru măsurabil, nu unul artificial şi este cunoscut pentru multe tipuri de particule coloidale etc. Să folosim acum aceeaşi formulă în cazul in care forţa !1U este externă ci este egală cu forţele neregulate ale mişcării browntene. Vom încerca atunci să determinăm distanţa pătratică medie pe care o parcurge obiectul. In loc de a lua distanţele în spaţiul tridimensional, să luăm numai o dimensiune şi să găsim media lui x 2 , tocmai pentru a ne pregăti. (Evident, valoarea medie a lui x 2 este aceeaşi ca şi valoarea medie a lui y2 şi aceeaşi ca şi valoarea medie 'a lui Z2, prin urmare, pătratul mediu al distanţei este exact de trei ori ceea ce vom calcula noi.) Componenta x a forţei neregulate este, evident, exact la fel de nercgu.ată ca o,'ic(~altă _

. . .

componenta. Care este VIteza de schimbare a IUl x 2 ? Este

dlr)

ili =

2x

rlr

dt·;

astfel ceea ce avem de găsit este media poziţiei înmulţită cu viteza. Vom arăta că aceasta este o constantă şi că, prin urmare, raza pătratică medic va creşte proporţional cu timpul, şi în ce raport. Dacă inmulţim (41.19) mx d'x + ~x ~ =xF". Dorim să obtinem media în timp a lui ~

dt"

dt~

astfel,

să luăm

de

media întregii

ecuaţii şi să

.

studiem cei trei termeni.

cu forta? Dacă se întîmplă că particula a mers o oareforţa ncregulată este complet ncregulată de unde a pornit particula, impulsul următor poate fi în orice ,,,"" şi numărul de electroni ne, toate pe 'Unitatea de volum. Problema este: ce legătură există între aceste trei ;numere?

APLICA'f!l ALE TEORIEI C!NETICE

662

In primul rînd avem două condiţii sau constrîngeri asupra numerelor. De exemplu, cînd vanem diferite condiţii, ca temperatura şi altele, n,,+n. va rămîne constant, deoarece acesta este simplu numărul N de nudee atomice care există în incintă. Dacă păstrăm fix numărul de nuclee pe unitatea de volum şi variem să spunem, temperatura, atunci, deoarece ionizarea continuă, unii atomi vor deveni Ioni, dar numărul de atomi plus tont va fi neschimbat, adică n..+1'l.i=N. O altă condiţie este că, dacă intregul gaz trebuie să fie neutru din punct de vedere electric (şi dacă neglijăm ionizările duble şi trtple), aceasta înseamnă că numărul de ăoni este totdeauna egal cu numărul de electroni, sau t1-I=n e. Acestea sint ecuaţii suplimentare care exprimă simplu conservarea sarcinii şi conservarea atomilor. Ele sint adevărate şi le vom utiliza pînă la urmă atunci cînd considerăm o problemă reală. Dar noi dorim să obţinem o altă relaţie Între cantităţi. Putem să facem 'aceasta după cum urmează. Folosim din nou ideea că este nevoie de o anumită cantitate de energie pentru a smulge electrcnul din atom, pe care o numim energie de ismizcre şi o vom scrie ca 1V, pentru a face ca toate formulele să arate la fel. Astfel, luăm W egal cu energia necesară să smulgem un electron dintr-un atom şi să producem Un ion. Spunem acum din nou că numărul de electroni liberi pc unitatea de volum în "vapori" este egal cu numărul electrontlor legaţi pe unitatea de volum în atomi, înmulţit cu e la minus diferenţa de energie intre a fi legat şi a fi liber, împărţit eu kT. Aceasta este din nou ecuaţia de bază Cum putem să o scriem? Numărul de electroni liberi pe unitatea de volum va fi, evident, ne, deoarece aceasta este definiţia lui ne. Cît este număru. de electroni pe unitatea de volum, care sînt legaţi de atomi? Numărul total de locuri în care am putea pune electroni este n,,+nj şi vom presupun? că, atunci cînd electronii sînt legaţi, fiecare este legat in Intenoru; unu; volum oarecare Va_ Astfel, volumul total accesibil clectronilor ce sint ~('­ gati este (na+nl)V a, aşa că am putea dori să scriem formula noastră ca

w

n,

1I

(n"

a

+ ni) Va

e sr .

Formula este, însă, greşită dintr-un motiv esenţial: cînd un olectro-i este deja pe un atom, un alt electron nu mai poate veni în acel volum! Cu alte cuvinte, toate volumele tuturor locurilor posibile nu sînt de fapt accesibile pentru electronuj care încearcă să se hotărască dacă să fie sau nu în vapori sau in poziţie condensată, deoarece în această problemă există o caracteristică suplimentară şi anume că atunci cînd un electron este acolo unde se află un alt elcctron, acest lucru nu-i este permis - el c respins. Din acest motiv, rezultă 'Că ar trebui să socotim numai acea parte a volumulut în care un electron poate să se aşeze sau nu, adică acele părţi care sint deja ocupate nu se socotesc in volumul disponibil total, ci sin-

[ONIZAREA TERMICA

663

gurul volum disponibil este acela al ionilor, unde există locuri vacante pentru electron. Atunci, în aceste circumstanţe, găsim că un mod mai plă­ cut de a scrie formula noastră este neTi/ J1a

= ~ ~-WlkT

(42.7)

Va

Această formulă

este numită ecuaţia de ionizcre a lui Saha. Să vedem putem înţelege calitativ de ce o asemenea formulă este corectă, deabătînd faptele cinctjce care se petrec. Mai întîi, din cind În cind un electron vine la un ion şi ei se combină pentru a face un atom. Şi, de asemenea, din cînd În cînd un atom se ciocneşte şi se rupe într-un ion şi 'Un electron. Dar cele două viteze trebuie să fie egale. Cît de repede se întîlnesc ionii şi electronii? Viteza este desigur sporită dacă numărul de electroni pe unitatea de volum este sporit. Ea este de asemenea sporită dacă este sporit numărul de ioni pe unitatea de volum. Cu alte cuvinte, viteza totală cu care Se produce rccombinarea este cu siguranţă proporţională cu numărul electronîlor înmulţit cu numărul ionilor. Viteza totală cu care se produce jonizarea datorită ciocnirllor trebuie să depindă liniar de cît de mulţi atomi sint de ionizat. Şi astfel, vitezele se vor echilibra atunci cînd există o relaţie Între produsul n e1li şi numărul de atomi na. Faptul că această relaţie se întîmplă a fi dată de această formulă particulară, unde W este energia de ionizare, este evident o mică informaţie în plus, dar putem înţelege uşor că formula va cuprinde în mod necesar concentratiile de electroni, ioni şi atomi în combinaţia ~ pentru a produce o constantă independentă de concentraţii dacă

n,

şi dependentă

numai de temperatură, de secţiunile eficace atomice şi de factori constanţi. Putem nota de asemenea că deoarece ecuaţia cuprinde numerele pe unitatea de volum, dacă am efectua două experienţe cu un număr total dat N de atomi plus Iont, adică un număr oarecare fix de nuclee, dar 'folosind incinte cu volume diferite, concentraţiile vor fi toate mai mici in volumul mai mare. Dar deoarece raportul J1B n, rămîne acelaşi, numărul alţi

n,

total de electroni şi de iorii trebuie să fie mai mare in incinta mai mare. Pentru a vedea aceasta, să presupunem că există N nuclee în interiol'U.l unei incinte de volum V, şi că fracţiunea f dintre ei este tonizată. Atunci ne = f~ =nj şi n a= (1 ~!) N şi ecuaţia noastră devine

L

!!- =

1-f V

w1kT

eVa

•

(42.8)

Cu alte cuvinte, dacă luăm o densitate din ce în ce mai mică de atomi sau dacă facem volumul recipicntului din ce in ce mai mare, fracţiunea f de electroni şi de tont trebuie să crească. Ionizarea provenită prin

...

APLICAŢII

ALE TEORIEI CINETICE

"expansiune" atunci cînd densitatea coboară, este motivul pentru care noi credem că la densităţi foarte coborîte, ca cele din spaţiul rece dintre stele, pot fi prezenţi iont, chiar dacă am putea să nu-i înţelegem din punctul de vedere al energiei disponibile. Cu toate că se cer mulţi, mulţi kT de energie pentru a-i produce, există ioni prezenţi. De ce pot fi prezenţi ioni cînd este mult spaţiu împrejur, in timp ce dacă creştem densitatea, ionii tind să dispară? Răspuns: Să considerăm un atom. Din cînd în cind, lumina sau alt atom, sau un ion, sau indiferent ce este şi menţine echilibrul termic, il loveşte. Foarte rar, deoarece este nevoie de un exces de energie colosală, un electron iese afară şi rămîne un ion. Acum, acel elcctron, dacă spaţiul este enorm, hoinăreştc şi holnăreşte şi nu ajunge lîngă nimic ani întregi, probabil. Dar o dată, într-un interval de timp foarte mare, el se reintoarce la un ion şi ei se combină pentru a produce un atom. Astfel, viteza cu care electronii ies din atomi este foarte lentă. Dar dacă volumul este enorm, electronulut ce a scăpat îi trebuie un timp atit de lung pentru a găsi un alt ion pentru a se recombina, încît probabilitatea sa de recombtnare este foarte, foarte mtcăj astfel, eu tot excesul mare de energie necesar, poate exista un număr rezonabil de electroni. 42.4. Cinetica

cbimică

Aceeaşi situaţie pe care am numit-o .jontzere'' este de asemenea gă­ într-o reacţie chimică. D€ exemplu, dacă două obiecte A şi B se combină într-un compus AB, 'atunci dacă ne gîndim la aceasta un timp vedem că AB este ceea ce am numit un atom, B este ceea ce numim electron şi A este ceea ce numim un ion. Cu aceste substituţii ecuaţiile de echilibru sint exact aceleaşi in formă sită

f1,AnB

=

c e-W1kT.

(42.9)

nAB

Formula, evident, nu este exactă, deoarece "constanta': c depinde de cit de mult volum este disponibil pentru A şi B să se combine şi aşa mai departe, dar prin argumente termodinamice se poate identifica care este semnificaţia lui W în factorul exponenţial, şi rezultă că este foarte apropiată de energia necesară in reacţie. Să presupunem că am încercat să înţelegem această formulă ca un rezultat al ciocntnlor, într-un mod foarte asemănător cu cel în care am rnteles formula evaporărn, observind numărul de electroni care au plecat şi numărul electronilor care s-au reintors, in unitatea de timp. Să presupunem .că A şi B se combină din cînd in cînd într-o ciocnire pentru a forma un compus AB şi să presupunem că compusul AB este o moleculă complicată, care "ţopăie" şi este lovită de alte molecule şi din timp în timp ea primeşte energie suficientă pentru a "exploda~~ şi a se desface din nou inAşiB.

CINETICA CHIMICA

665

In reacţiile chimice se întîmplă, de fapt, că dacă atomii vin împreună cu o energie prea mică, chiar dacă energia poate fi eliberată în reactia A+B -+ AB, faptul că A şi B se pot atinge unul pe altul nu face ca reacţia să înceapă. Este de obicei necesar ca ciocnirea să fie puternică pentru ca reacţia să poată avea loc - o ciocnire .moale'' între A si R s-ar putea să nu o producă, chiar dacă in proces energia poate fi eliberată. Să presupunem atunci că este foarte obişnuit in reacţiile chimice faptul că, pentru ca A şi B să formeze AB, nu este destul ca ei să se clocnească, ci trebuie să se ciocnească cu energie suficientă. Această energie este numită energie de activare - energia necesară pentru a "activa" reacţia. Să numim A· energie de activare - excesul de energie necesar intr-o ciocniri:' pentru ca reacţia să poată avea loc, de fapt. Atunci viteza Rf cu care ..'1 şi B produc AB va reprezenta numărul de atomi A înmulţit cu numărul de atomi B, Inmulţlt cu viteza cu care un singur atom va lovi o oarecare secţiune eficace 0AB, înmulţit cu un factor e-A'/kt, ce reprezintă probabilitatea ca atomii să aibă energie suficientă (42.10)

Trebuie să găsim acum viteza opusă, R•. Există o oarecare şansă ca AH 'să se desfacă. Pentru a se desface, nu trebuie să aibă numai energia "V, care este necesară să se afle despărţiţi exact cum a fost greu pentru A ~i \' B să se unească; există un fel de deal pe care A şi B trebuie să-I treacă , 'pentru a se putea îndepărta - ei nu trebuie să aibă numai energie sufî'cientă pentru 'a fi gata să se separe unul de altul, ci şi un oarecare exces. .')Este ca şi cum ai urca un deal pentru a ajunge intr-o vale adîncă; ei trebuie să urce dealul atunci cînd se apropie şi trebuie să urce din vale şi

Fig. 42.1.

Relaţia

reacţia

energetică

A+B

'* AH.

pentru

";apoi peste deal pentru a reveni la loc (fig. 42.1). Astfel, viteza cu care AB se desface în A şi B va fi proporţională cu numărul atomllor oxistenti nAB înmulţit cu e-(W+A')/kT R,=c'nABe-(W + A')lkT. (42.11) '," C' va cuprinde numărul de atomi şi viteza de ciocnire, pe care le putem iiCaleula, aşa cum am făcut-o în cazul evaporării, cu arii, timpi şi grosimi, Mar nu vom face aceasta. Trăsătura caracter-istică ce ne interesează este \tă atunci cînd aceste două viteze sînt egale, raportul lor este egal cu

APLICAŢII

666

ALE TEORIEI C'1NETICE

unitatea. Aceasta ne spune că nAnS!nAS=Ce-W'/kT , ca mai inainte, unde c cuprinde secţiunile eficace, vitezele şi alţi factori independenţi de n. Lucrul interesant este că viteza de reacţie variază de 'asemenea ca e-coust/kT , cu toate că constanta nu este eceeaşt cu cea care guvernează concentrathle; energia de activare A* este cu totul diferită de energia W. Energia W guvernează proporţiile din A, B şi AB pe care le avem la echilibru, dar dacă vrem să ştim CÎt de repede trece A + B în AH, aceasta nu este o chestiune de echilibru şi aici o energie diferită, energia de activare, guvernează viteza de reacţie printr-un factor exponenţial. Mai mult, A* nu este o constantă fundamentală ca W. Să presupunem că la suprafaţa peretelui sau într-un alt loc oarecare - A şi B s-ar uni Intr-un astfel de mod incit să se poată combina mai uşor. Cu alte cuvinte, am putea găsi un "tunel" prin deal, sau poate un deal mai coborît. Prin conservarea energiei, cînd am terminat totul am refăcut totuşi AB din A şi B; astfel, diferenţa de energie W va fi independentă de modul în care a decurs reacţia, însă energia de activare A* va depinde foarte mult de modul în care decurge reacţia. Acesta este motivul pentru care vitezele reacţiilor chimice sînt foarte sensibile la condiţiile exterioare. Putem schimba viteza făcînd ca reacţia să decurgă într-o suprafaţă de tip diferit, putem deci să o situăm într-o "incintă" diferită şi viteza Va fi diferită, dacă depinde de natura suprafeţei. Sau, dacă introducem în substanţă un al treilea tip de obiect, acesta poate schimba viteza foarte mult; unele lucruri produc schimbări enorme ale vitezei pur şi simplu schimbindu-' pe A" puţin - ele sint numite catalizatori. O reacţie s-ar putea să nu se petreacă, practic, deloc dacă A" este prea mare la temperatura dată, dar cînd introducem catallzatoruj, reacţia poate să se desfăşoare într-adevăr foarte repede, deoarece A * este redus. Incidental, există o oarecare dificultate cu o astfel de reacţie (A plus B să producă AB), deoarece nu putem conserva şi energia, şi momentul cind încercăm să punem două obiecte împreună pentru a produce unul care este mai stabil. Prin urmare, ne trebuie cel puţin un al treilea obiect C, astfel că reacţia reală este mult mai complicată. Viteza reacţiei directe de formare ar conţine produsul nAnBnC şi s-ar putea părea că formula noastră se desfăşoară greşit; dar, nu! Cînd analizăm viteza cu r-are se desface AB, găsim că AB trebuie de asemenea să se ciocneescă cu C; astfel, există un nAnBne în viteza reacţiei inverse. Mărimile ne SE:' simplifică în formula pentru concentraţiile de echilibru. Legea de ccjnubru (42.9) scrisă mai înainte este absolut garantat că-i adevărată, indiferent care poate fi mecanismul de reacţie! 42.5. Legile

radiaţiei

ale lui Einstein

Ne îndreptăm atenţia spre o situaţie interesantă analogă, ce arc de-a face cu legea radiatiei corpului negru. În ultimul capitol am ajuns la legea distribuţiei radtatjet într-o cavitate în modul in care a făcut-o Planck,

LEGILE

RADIAŢIE!

ALE LUI EINSTEIN

667

considerînd radiaţia unui oscilator. Osctletorul trebuia să aibă o oarecare energie medie şi, deoarece oscila, ar fi radiat şi ar fi continuat să pompezc radiaţie in cavitate pînă s-ar fi îngrămădit destulă radiaţie pentru a echilibra absorbţia şi emisia. In acest mod am găsit că intensitatea radiatiet la frecvenţa o 'a fost dată de formula I(ffi)dffi

ll·c·(r/llJl/kT-U.

tlw3dw

(42.12)

Acest rezultat a cuprins presupunerea că oscilatorul care genera radiaţia avea nivele definite de energie, egal depărtate. Nu am spus că lumina trebuia să fie un foton sau ceva in acest gen. Nu a fost discuţie despre modul cum trebuie să apară intr-o unitate de energie, 'Fi 0, sub formă de lumină, atunci cînd atomul trece de pe un nivel pc altul. Ideea originală lui Planck a fost că materia era cuantificată, nu lumina: oscilator-ii materiali nu pot să ia orice energie, ci trebuie să o ia in porţii. Mai mult, dificultatea apare din faptul că deducerea a fost parţial clasică. Am calculat viteza de radiaţie a unui oscilator conform fizicii clasicej-atunci ne-am uitat imprejur şi am spus: "Nu, acest oscilator are o mulţime de nivele de energie". Astfel, gradual pentru a găsi rezultatul corect, rczul'-tatui complet al mecanicii cuantice, a existat o dezvoltare înecată care a culminat în mecanica cuantică a anului 1927. Dar în acest interval a exts. bat o tentativă 'a lui Einstein de a transforma punctul de vedere al lui ;Planck şi anume că numai oscilatorii materiei sint cuantificaţi, în ideea >că lumina era de fapt fotoni şi că aceştia ar putea fi consideraţi intr-un mod oarecare ca particule cu energie nw. Mai mult, Bohr a accentuat că 'Orice sistem de atomi are nivele de energie, dar ele nu sînt egal .îndepăr­ "tate ca la oscilatorullui Planck. Şi astfel a devenit necesară o rededucerc 'sau cel puţin a rediscuta legea de radiaţie din punctul de vedere mai corn.plet al mecanicii cuantice. Einstein a presupus că formula finală a lui Planck era corectă şi a ':ro:osit acea formulă pentru a obţine o oarecare informaţie nouă, necunos,;CUtă 'anterior, 'asupra interacţtet cu materia. Analiza sa s-a desfăşurat după

Fig. două

42.2. Tranziţii între nivele de energii ale unui atom.

'cum urmează: să considerăm oricare două dintre multele nivele de ener:Jie ale unui atom, să zicem nivelul m şi nivelul n (fig. 42.2). Einstein a 'l>resupus ca atunci cind un astfel de 'atom este iluminat de o lumină eu , ecvcntă corespunzătoare, el poate absorbi acel foton de lumină şi efectua ,tranZiţie din starea n în starea m şi că probabilitatea ca aceasta să aibă -$oc, pe secundă, depinde de cele două nivele, evident, dar este -proporţio­ ă cu cît e de intensă lumina care-I luminează. Să numim constanta de

608

APLICAŢII

ALE TEOmEl crNETICE:

proporţionalitate B nm , mai ales pentru a ni se reaminti că aceasta nu este a constantă universală a naturii, ci depinde de perechea particulară de nivele: unele nivele sint Uşor de excitat, eltc nivele sint greu de excitat, Care este acum formula ce va da viteza de emisie de la m la n? Einstein a propus că aceasta trebuie să 'aibă două părţi în ea. Mai întîi, chiar dacă nu ar fi lumină prezentă, ar trebui să existe unele şanse ca un atom într-o stare excttată să cadă într-o stare mai coborîtă, emiţînd un roton: aceasta o numim emisie spontană. Este analog cu ideea că un oscilator eu o anumită cantitate de energie, chiar şi in fizica clasică, nu-şi păstrează această energie, ci o pierde prin radiaţie. Astfel, analogul radiatiei spontane '8 unui sistem clasic este că, dacă atomul se află Într-o stare excitată, există o oarecare probabilitate Am'" care depinde din nou de nivele, ca atomul să meargă in jos din m in n, şi această probabilitate este independentă de faptul dacă lumina luminează atomul sau nu. Einstein a mers mai departe şi, prin comparaţie cu teoria clasică şi prin alte argumente, a conchis că emisia a fost de asemenea influenţată de prezenţa luminii - că atunci cînd lumina de frecvenţă corespunzătoare luminează un atom, acesta arc o viteză crescută de emitere a unui foton, care este proporţională cu intensitatea luminii, cu o constantă de proporţionalitate B",,,. Mai tirziu, dacă deduceam că acest coeficient este zero, am fi găsit că Einstein a greşit. Evident vom găsi că el a avut dreptate. Astfel, Bistein a presupus că există trei tipuri de procese: o absorbtie proporţională cu intensitatea luminii, o emisie proporţională eu intensitatea luminii, numită emisie indusă sau, uneori, emisie stimulată şi o emisle spontană, independentă de lumină. Să presupunem acum că avem la echilibru, la temperatura T, un număr oarecare de atomi N.. în starea n şi un alt număr N", in starea rtL. Atunci numărul total de atomi care trec din n in m este numărul celor ce sînt in starea n inmulţit cu viteza pe secundă ca dacă fiecare este în n să treacă in m. Astfel avem o formulă pentru numărul celor ce trec din n in m intr-o secundă

(42.13) Numărul celor ce trec din m în n este exprimat în acelaşi mod, ca numă­ rul N,m a celor -ee sint, în m, înmulţit cu şansa pc secundă ca fiecare să treacă in jos in n. De data aceasta expresia noastră este

R", .....,= Nm~ Am" + B"",I(tn)].

(42.14)

Vom presupune acum că la echilibru termic numărul de atomi ce lfii ure5. energia este egal cu numărul celor a căror energic coboară. Acesta este un mod, cel puţin, in care va fi asigurat faptul că numerele vor rămîne

LEGILE

RADIAŢIEI

ALE LUI EINSTEIN

constante pe fiecare nivel'). Luăm astfel aceste două viteze egale la echilibru. Dar noi avem un alt obiect de informaţie: ştim cît de mare este Nffl în comparaţie cu N n - raportul acestora este e-(Em-Efl)/kT. Einstein a presupus că singura lumină care este eficace în producerea tranziţiei de la 11 la m este lumina care arc frecvenţa corespunzătoare diferenţei de energie, aşa că Em-En=rn.u în toate formulele noastre. Astfel (42.15)

Astfel, dacă punem cele două viteze egale: N"Bnml(w)=Nm[Amn+Bm"I(('I)J şi împărţim prin N m, obţinem Bmnl(t,j)ehlODINAMIcn

astfel că .ăQ este pozitivă dacă TI este mai mare decît T 2. Astfel, schimbarea de entropie a întregului sistem este pozitivă şi este diferenţa celor două fractti

(44.19) Aşadar, este adevărată următoarea propoziţie în orice proces care este ireversibil entropia tntregulut sistem creşte. Numai în procese reversibile

ilolum rămîne constantă

Fig. 44.11. Schimbarea in entcopie intr-un ciclu complet reverslbfj.

entropta. Deoarece nici un proces nu e absolut revcrslbil, totdeauna cel puţin un mic cîştig de entropie; un proces revcrsibil este o idealizare în care am făcut cîştigul de entropîc minim. Din păcate, nu vom intra în domeniul termodtnamicti foarte departe. Scopul nostru este numai de a ilustra ideile principale conţinute şi motivele pentru care este posibil să facem asemenea argumcntărt, dar noi nu vom folosi termodinamica foarte mult în acest curs. 'I'ermodinamica este folosită foarte des de ingineri şi, în special, de chimişti. Astfel, noi trebuie să învăţăm termodinamica noastră în practică, in chimie sau în inginerie. Deoarece nu merită să dedublăm totul, vom da mai bine doar o discuţie a originii teoriei, decît multe detalii pentru aplicaţii speciale. Cele două legi ale tcrmodtnamrcti sint adesea formulate astfel: Prima lege: Energia universului este totdeauna constantă. A doua lege: Entropia universului creşte incontinuu. Aceasta nu este formularea foarte bună a legii a doua; ca nu spune, de exemplu, că intr-un ciclu revcrsibil entrcpia rămîne aceeaşi şi nu spune exact ce este entropia. Acesta este un mod inteligent de a reaminti cele două legi, dar nu ne spune nouă de fapt unde stăm. Am rezumat legile discutate în acest capitol în tabloul de mai jos. In capitolul viitor vom aplica aceste legi pentru a descoperi relaţia intre căldura generată în destinderea unei fîşii de cauciuc şi tensiunea suplimentară cînd este mcălattăexistă

ENTROPIA

707

Rezumatul legilor termodinamicii Prima lege: Căldura cedată unui sistem -l-Lucrul efectuat asupra sistemului = =Creşterea in energie internă a sistemului dQ+dW~dU.

A doua lege:

Un proces a cărui singur rezultat net este a lua căldură de la un rezervor şi a o transforma in lucru este imposibil. Nici o maşină termică ce ia căldura Ql de la TI şi eliberează căldura ) Q2 la T 2 nu poate efectua mai mult lucru decît o maşină reversibtjă, pentru care

W=Q,_Q,~Q,(!L~

r,).

Entropia unui sistem este definită astfel: (a) Dacă căldura âQ este adăugată reversibil la un sistem la temperatura T, creşterea in entropia sistemului este d.8= âQjT. (b) La T=O, 8=0, (a treia lege) într-o transformare reversibilă, entropta totală a tuturor părţilor sistemului (inclusiv rezervoarele) nu se schimbă. într-o transformare ireversibilă, cntropta totală a sistemului creşte intotdeauna.

45.

Ilustrări ale termodinamicii

45.1. Energia

internă

Termodlnamlca este un subiect cam dificil şi complex atunci cînd ajungem să o aplicăm şi nu este adecvat să mergem foarte departe in aplicaţii în acest curs. Subiectul este de o foar-te mare importanţă, evident, pentru ingineri şi chimişti, şi aceia care sint interesaţi in subiect pot să studieze aplicaţiile in chimie sau fizică sau în termodinamica inginerească. Există de asemenea cărţi bune de referinţă, ca: Căldura şi termoiinamşca a lui Zemansky, unde se poate învăţa mai mult despre subiect. In Encyclopedia Britanica, ediţia a patrusprezecea, se pot găsi articole excelente despre terrncdinamică şi tcrmochimte, şi în articolul despre chimie, secţiu­ nile de chimie fizică, vaporlzere, lichefterca gazelor şi aşa mai departe. Subiectul termodmamicrt este complicat, doarece există atît de multe căi de a descrie acelaşi lucru. Dacă dorim să descriem comportarea unui gaz, putem spune că presiunea depinde de temperatură şi de volum, sau putem spune că volumul depinde de temperatură şi presiune. Sau, în ceea ce priveşte energia internă, am putea spune că ea depinde de temperatură şi volum, dacă acestea sint variabilele ce le-am ales - dar am putea de asemenea spune că ea depinde de temperatură şi presiune, sau de presiune şi volum, şi aşa mai departe. In ultimul capitol am discutat o altă funcţie de temperatură şi volum, numită entropie, S şi putem, evident. construi atîtea alte funcţii de aceste variabile cîte dorim: U-TS este o funcţie de temperatură şi volum. Avem astfel un număr mare de cantităţi diferite care pot fi funcţii de mai multe diferite combinaţii de variabile. Pentru a păstra subiectul simplu în acest capitol, vom decide la ceput să folosim temperatura şi volumul ca variabile independente. Chimiştii folosesc temperatura şi presiunea, deoarece acestea sînt mai uşor de măsurat şi controlat in experimente chimice, dar noi vom folosi temperatura şi volumul în întreg capitolul de faţă, exceptînd intr-un loc un~e vom vedea cum etectuăm transformarea în sistemul de variabile al r-hi-

îr:-

miştflor.

Vom considera, deci, mai întîi numai un sistem de variabile indepen: dente: temperatura şi volumul. In al doilea rînd, vom discuta numai doua

ENERGIA INTERNA,

'"

funcţii dependente: energia internă şi presiunea. Toate celelalte funcţii pot fi deduse din acestea, aşa că nu e necesar să le discutăm. Cu aceste limitări, termodinamlca este încă un subiect cam dificil, dar nu este atît de imposibil! Vom revedea mai intii ceva matematică. Dacă o cantitate este o funcţie de două variabile, ideea de derivată a cantităţii necesită o gindire ceva mai atentă decît in cazul în care există numai o variabilă. Ce înţelegem prin derivata presiunii în raport cu temperatura? Schimbarea de presiune care însoţeşte o schimbare de temperatură depinde parţial, evident, de' ceea ce i se întîmplă volumului atunci cînd T se schimbă. Trebuie să specificăm schimbarea in V înainte de a avea înţeles precis conceptul de dertvată in raport cu T. Ne-am putea intreba, de exemplu, despre viteza de schimbare a lui p în raport cu T dacă Veste ţinut constant. Acest raport este

obişnuită pe care o scriem de obicei ca :; . Folosim de

tocmai dertvata

obicei un simbol special

k,T

pentru a ne reaminti

că

p depinde

şi dc o

valtă variabilă

V şi că această altă variabilă este menţinută constantă. Vom :, f;crie de asemenea variabila ce este ţinută constantă ca un indice inferior, ',:,Il!!.) . Deoarece avem numai două variabile independente, această notaţie

. ,\'ăIlv

,:,,~ste superfluă,

dar ne va ajuta să ne păstrăm cu noi inteligenţa în jungla derivatelor parţiale. :' Să presupunem că funcţia f(x, y) depinde de două variabile indepen;'ijente x şi y. Prin înţelegem simplu derivata ordinară, obţinută in 1: el: JI ;:lJ1odUI obişnuit, dacă tratăm y ca o constantă 'termodinamică a

(EL)

:EL) = ( ax y

Iim f(x

:EL) = Iim (3y x by-tG exemplu,

dacă

utem extinde

, -

+ ăx.y) -

11' + ~a·oI> +!a!oI> _.!. a' = l1x"

aif

az'

c' 2t"

m"c'

4>.

(48.24)

h"

Mai, întîi, caracterul rclativist al acestei expresii este sugerat de apariţia lui x, y, z şi t în combinaţia plăcută pe care o implică relativitatea. În al doilea rînd, este o ecuaţie a undelor în care, dacă substituim o undă plană, va rezulta că _k2 + W 2 / C2 = m'a' , care este relaţia corectă pentru meh'

un alt lucru mare conţinut în ecuaţia undelor: că orice suprapunere de unde este de asemenea o soluţie. Astfel. această ecuaţie conţine toată mecanica cuantică şi relativitatea pe care le-am discutat pînă acum, cel puţin atîta vreme cît se referă la o singură particulă în spaţiul vid fără potenţiale externe sau forţe care să acţioneze asupra sa!

canica faptul

cuantică. Există îneă

48.7. Moduri normale Ne întoarcem acum la un alt exemplu al fenomenului de bătăi, care este ciudat şi puţin diferit. Să ne imaginăm două pendule egale ce au intre ele o legătură slabă printr-un arc. Ele sint construite cit se poate mai bine, de aceeaşi lungime. Dacă il tragem pe unul într-o parte şi il lăsăm să meargă, el se mişcă înainte şi înapoi, şi astfel aceasta este de fapt o maşină care generează o forţă ce are frecvenţa naturală a celuilalt pendul. Prin urmare, ca o consecinţă a teoriei rczonantei, pe care am studiat-o mai înainte, cînd aplicăm o forţă asupra unui lucru la exact frecvenţa corectă, aceasta îl va pune în mişcare. Astfel, destul de sigur, un pendul

BATA1

762

ce se mişcă înainte şi înapoi îl va pune în mişcare pe celălalt. Însă, în această situaţie

se

întîmplă

un lucru nou, deoarece energia

totală

a siste-

mului este finită, astfel că atunci cînd un pendul îşi cedează energia sa celuilalt pentru a-l pune în mişcare, el îşi pierde gradat energia, pînă cînd, dacă sincronizarea cu viteza este necontenit realizată, el îşi pierde

întreaga energie şi este redus la starea de repaus! Atunci, evident, cealaltă sferă a pendulului este cea care are întreaga energie şi primul pendul nu are şi atunci cînd se scurge timpul vedem că cel de-al doilea pendul lucrează în sens invers şi că energia este trecută înapoi în prima sferă; acesta este un fenomen foarte interesant şi amuzant. Spunem, însă, că acesta este legat de teoria bătăilor, şi trebuie să explicăm acum cum putem analiza această mişcare din punctul de vedere al teoriei bă tăilor. Notăm că mişcarea ambelor sfere este o oscilaţie care are o amplitudine ce se schimbă ciclic. Prin urmare, mişcarea uneia dintre sfere este probabil analizabi1ă într-un mod diferit, in sensul că este suma a două oscilaţii prezente simultan, dar avînd două frecvenţe puţin diferite. Prin urmare, ar trebui să fie posibil să găsim alte două mişcări în acest sistem şi să pretindem că ceea ce am văzut noi a fost o suprapunere a celor două soluţii, deoarece acesta este evident un sistem liniar. Intr-adevăr, este uşor de găsit două căi in care putem începe mişcarea; fiecare dintre acestea este o mişcare perfectă cu frecvenţă mică - absolut periodică. Miş­ carea cu care am început înainte a fost strict periodică, deoarece ea nu persistă; curind o sferă a trecut energia celeilalte şi astfel şi-a modificat amplitudinea; dar există moduri de a incepe mişcarea astfel încît nimic nu se schimbă şi, evident, imediat ce le vedem înţelegem de ce. De exemplu, dacă facem ambele pendule să meargă împreună, deoarece sînt de aceeaşi lungime şi arcul nu face nimic atunci, ele vor continua evident să se mişte la fel încontinuu, presupunînd că nu există frecare şi că totul este perfect. Pe de altă parte, există o altă mişcare posibilă, care are de asemenea o frecvenţă definită; aceasta este cînd mişcăm pendulele opus, trăgîndu-le într-o parte cu distanţe egale; atunci ele vor fi din nou in mişcare, absolut periodică. Putem aprecia că arcul tocmai adaugă puţin la forţa de revenire pe care o generează gravitaţia, aceasta este totul şi sistemul rămîne in oscilaţie la o frecvenţă ceva mai înaltă decît în primul caz. De ce mai înaltă? Din cauză că arcul atrage, în plus faţă de gravitaţie şi că face sistemul ceva "mai rigid" astfel că frecvenţa acestei mişcări este cu puţin mai înaltă decît a celeilalte. Astfel, acest sistem are două moduri in care poate oscila cu amplitudine neschimbată: el poate fie oscila într-un mod în care ambele penoule merg în acelaşi fel şi oscilează tot timpul la o frecvenţă, fie ambele pendula pot merge în direcţii opuse la o frecvenţă ceva mai înaltă. Acum mişcarea de fapt a ansamblului, deoarece sistemul este liniar, poate fi reprezentată ca suprapunerea celor două. {Subiectul acestui capitol, reamintesc, este efectul adunării a două mişcări cu frecvenţe diferite). Astfel, să ne gindim ce s-ar întîmpla dacă am combina aceste două soluţii. Dacă la t..pO cele două mişcări încep cu amplitudine egală şi în aceeaşi

MODURI NORMALE

763

fază, suma celor două mişcări Înseamnă următoarele: uneia dintre sfere i se imprimă prima mişcare într-un sens. a doua mişcare În sens opus, deci ea se află la zero, în timp ce cealaltă sferă este deplasată În acelasi sens în ambele mişcări, deci arc o amplitudine mare, Cu trecerea timpului, însă, cele două mişcări de bază se comportă independent, astfel că faza uneia faţă de cealaltă se modifică Încet. Aceasta înseamnă că după un

i ,

timp destul de lung, suficient ca într-o mişcare să se fi efectuat ,,900 -i oscflaţii, în timp în cealaltă numai ,,900", faza relativă s-ar inversa faţă de cea anterioară, Cu alte cuvinte, mişcarea cu amplitudine mare va scă­ dea la zero, iar în acest timp, evident, sfera iniţial nemlscată va atinge intensitatea maximă. Iată deci că am putut analiza această mişcare complicată atît cu ajutorul ideii că există rezonantă şi că un corp ia energie de la altul, cît şi prin suprapunerea a două mişcări cu amplitudine constantă la două frecvenţe diferite,

49.

Moduri

49.1. Reflexia undelor

Acest capitol va analiza cîteva din fenomenele remarcabile care sînt un rezultat al limitării undelor într-o regiune oarecare finită. Vom fi întîi conduşi la a descoperi cîteva fapte particulare despre corzi vibrante, de exemplu, şi apoi generalizarea acestor fapte ne va da un principiu care este probabil principiul cel mai cuprinzător al fizicii matematice. Primul nostru exemplu de limitare va fi de a limita o undă la un capăt. Să luăm cazul simplu al unei unde monodimensionalo pe o coardă. S-ar putea la fel de bine considera sunetul într-o dimensiune particulară pe un perete, sau alte situaţii de natură asemănătoare, dar exemplul unei corzi va fi suficient pentru scopurile noastre prezente. Să presupunem că coarda este ţinută la un capăt, de exemplu fixînd-o de un perete "infinit de solid". Aceasta poate fi exprimată matematic spunînd că elongaţia Y' a corzii în poziţia x=O trebuie să fie zero, deoarece capătul nu se mişcă. Dacă nu ar exista peretele, ştim că soluţia generală pentru miş­ care este suma a două funcţii, F(x-ct) şi G(x+ct), prima reprezentînd o undă ce se propagă într-un sens pe coardă, iar a doua o undă ce se propagă în sens opus în coardă

y= F(x-ct)-G(x-ct)

(49.1)

soluţia generală condiţia ca coarda să

pentru orice coardă. Dar trebuie să satisfacem acum nu se mişte la un capăt. Dacă punem x=O în ecuaţia (49.1) şi examinăm y pentru orice valoare a lui t, obţinem y=F(-ct)+ +G(+ct). Dacă aceasta trebuie să fie zero pentru orice tip, înseamnă că funcţia G(ct) trebuie să fie -F(-ct). Cu alte cuvinte, G funcţie de oricetrebuie să fie -F de minus acelasi lucru. Dacă acest rezultat este înlocuit în ecuaţia (49.1), găsim că SOluţia problemei este este

y=F(x-ct)-F{-x-c:t)

(49.2)

uşor de verificat că vom obţine y=O dacă punem x=O. Figura 49.1 arată o undă ce se propagă în sensul x negativ în vecină­ tatea lui x=O şi o undă ipotetică propagîndu-se în celălalt sens cu sem-

Este

REFLEXIA UNDELOR

765

nul inversat şi în cealaltă parte a originii. Spunem ipotetică, deoarece, evident nu există o coardă care să vibreze in acea parte a originii. Miş­ carea totală a corzii trebuie să fie privită ca suma acestor două unde în regiunea cu x pozitiv. Cind ele ajung in origine, ele se vor reduce intotdeauna la x=O şi, in sfîrşit, a doua undă (reflectată) va fi singura ce va exista pentru x pozitiv şi se va propaga, evident, in sens opus. Aceste [apă! fixat