FENÓMENOS DE TRANSPORTE. CAPÍTULO 1: VISCOSIDAD Y MECANISMO DEL TRANSPORTE.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
PRESENTACIÓN. La presente es una Guía de Ejercicios de Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial, Mecánica, de Petróleo y Química de reconocidas Universidades en Venezuela. El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos. Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Fenómenos de Transporte en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente en la literatura. Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor. Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1
ó
7A264BE3,
correo
electrónico:
[email protected]
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[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.
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ACERCA DEL AUTOR. Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas, Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
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1.1.- DEFINICIONES BÁSICAS. Fenómenos de transporte. Estudio sistemático y unificado de la transferencia de momento, energía y materia. Para entender muchos procesos en ingeniería, agricultura, meteorología, fisiología, biología, química analítica, ciencia de los materiales, farmacia y otras áreas, es esencial tener una buena comprensión de los fenómenos de transporte. Tales fenómenos constituyen una rama bien desarrollada y eminentemente útil de la física que trasciende muchas áreas de la ciencia aplicada. El estudio y la aplicación de los fenómenos de transporte son esenciales para la ingeniería contemporánea, principalmente en la ingeniería química y la ingeniería mecánica.
Objeto de estudio de los fenómenos de transporte. El dominio de los fenómenos de transporte comprende tres temas estrechamente relacionados: dinámica de fluidos, transmisión del calor y transferencia de materia. La dinámica de fluidos se refiere al transporte de cantidad de movimiento, la transmisión de calor trata sobre el transporte de energía, y la transferencia de materia estudia el transporte de materia de varias especies químicas. Transporte de cantidad de movimiento. Ley de Newton. x y
d v x d y
(1)
Transferencia de calor. Ley de Fourier. q y k
d T d y
(2)
Transferencia de masa. Ley de Fick de la difusión. j A y D AB
d C d y
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Propiedades de transporte: Viscosidad ( ), conductividad térmica ( k ), coeficiente de difusión ( D AB ). Las ecuaciones básicas que describen los tres fenómenos de transporte están bastante relacionadas entre sí. La semejanza de las ecuaciones en condiciones simples es la base para resolver problemas “por analogía”. Las herramientas matemáticas necesarias para
describir estos fenómenos son muy semejantes. El lector debe tener dominio de los siguientes procedimientos matemáticos para abordar la solución de problemas de fenómenos de transporte: - Análisis de regresión (método de mínimos cuadrados). - Solución de ecuaciones de una variable. - Solución de sistemas de ecuaciones. - Identificación y solución de ecuaciones diferenciales. - Diferenciación (Cálculo de derivadas). - Integración (Cálculo de integrales indefinidas e integrales definidas). - Optimización de ecuaciones en una variable. - Cálculo de límites indeterminados (regla de L´Hopital). - Fórmulas de geometría (perímetro, área y volumen de figuras planas y sólidos regulares). - Manejo de gráficas.
Viscosidad. Propiedad física que caracteriza la resistencia al flujo de los fluidos sencillos. Para los gases a baja densidad, la viscosidad aumenta con la temperatura, mientras que en el caso de los líquidos, la viscosidad generalmente disminuye al aumentar la temperatura. Las unidades de la viscosidad son kg/m.s y lbf .s/ft .s/ft2 en el sistema internacional y en el sistema inglés respectivamente. La mayor parte de los datos de viscosidad están expresados en la unidad poise, la cual equivale a 1 g/cm.s.
Densidad. Propiedad física que representa la masa por unidad de volumen para todos los materiales. Por definición:
m V
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La densidad generalmente disminuye al aumentar la temperatura. Las unidades de la densidad son kg/m3 y slug/ft3 en el sistema internacional y en el sistema inglés respectivamente.
Viscosidad cinemática. El cociente entre la viscosidad de un material y su densidad es definido como viscosidad cinemática.
(5)
Las unidades de la viscosidad cinemática son m 2 /s y ft2 /s en el sistema internacional y en el sistema inglés respectivamente.
Reología. La ciencia del flujo y la deformación. Estudia las propiedades mecánicas de los gases, líquidos, plásticos, sustancias asfálticas y materiales cristalinos. El campo de la reología se extiende desde la mecánica de fluidos newtonianos por una parte, hasta la elasticidad de Hooke por otra. La región comprendida entre ellas corresponde a la deformación y flujo de todos los tipos de materiales pastosos y suspensiones.
1.2.- CLASIFICACIÓN DE FLUIDOS. Tipos de fluidos. - Newtoniano:
x y
d v x d y
(1) d v
Al representar gráficamente frente a d y x para un fluido determinado, debe obtenerse una línea recta que pasa por el origen de coordenadas, y cuya pendiente es la viscosidad del fluido a una cierta temperatura y presión. La viscosidad puede ser determinada aplicando regresión lineal simple. Existen algunos materiales industrialmente importantes que no se comportan de acuerdo con la ecuación (1). Se conoce a estas sustancias con el nombre de fluidos no-newtonianos. - Bingham:
x y 0
d v x
(6)
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d y
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Toda sustancia que se comporta de acuerdo con este modelo de dos parámetros se denomina plástico de Bingham; permanece rígida mientras el esfuerzo cortante es menor de un determinado valor 0 , por encima del cual se comporta de forma semejante a un fluido newtoniano. Este modelo resulta suficientemente exacto para muchas pastas y suspensiones finas. Para un fluido de Bingham, la gráfica de vs
d v x d y
se corresponde a una línea recta cuya
pendiente es y cuya intersección al eje y es 0 . Estos parámetros pueden ser determinados aplicando regresión lineal simple. n
- Modelo de Ostwald-de Waele (Ley de la potencia) :
d v x y m x (7) d y
Esta ecuación de dos parámetros se conoce también con el nombre de ley de la potencia. Para n 1 se transforma en la ley de la viscosidad de Newton, siendo m ; por consiguiente, la desviación del valor de n con respecto a la unidad es una medida del grado de desviación del comportamiento newtoniano. Cuando n 1 el comportamiento es pseudoplástico , mientras que para valores superiores a la unidad es dilatante.
d v Para un fluido pseudoplástico, la gráfica de ln vs ln x se corresponde a una línea d y
recta cuya pendiente es n y cuya intersección al eje y es ln m . Estos parámetros pueden ser determinados aplicando regresión lineal simple.
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Ejercicios propuestos. 1. Para dos fluidos distintos se conoce experimentalmente la relación entre la fuerza F vs el gradiente de velocidad (d v / d y) , tal como se señala en la siguiente tabla. Se conoce que el área de aplicación es 1 m 2. Fluido A Fluido B
F (N) – 1 ( d v / d y ) (s ) F (N)
0 0 0
1 1 1
1.41 2 5
2 4 9
( d v / d y ) (s
0
0
2
4
– 1
)
Se pide identificar cada fluido. Respuesta: Fluido A: Pseudoplástico. Fluido B: Bingham ( 0 1 Pa , 0 2 Pa.s ).
2. Clasifique qué tipo de fluido se tiene cuando, sometido a diferentes tasas de deformación, se obtienen experimentalmente los siguientes esfuerzos cortantes. Todos los experimentos se realizan a temperatura constante: – 1
Fluido A
(d v / d y ) (s
)
2 (lbf / /ft ft )
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0 15
1 20
3 30
5 40
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Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte. – 1
Fluido B
(d v / d y ) (s
)
2 (lbf / /ft ft )
– 1
Fluido C Fluido D
(d v / d y ) (s
)
2 (lbf / /ft ft )
(d v / d y ) (s – 1) 2
( N/m )
– 1
Fluido E (Hidroxietilcelulosa)
(d v / d y ) (s
Fluido F (Sangre)
(d v / d y ) (s
( N/m2 )
)
– 1
)
( N/m2 )
0 0 0 0
0.5 2 0.3 2
1.1 4 0.6 4
1.8 6 0.9 6
1.2 8
1 3.57 50 5.99 105 0
2 3.89 70 7.45 126 0.3
3 4.96 90 8.56 215 0.6
4 5.62 110 9.09 315 0.9
5 6.13 130 10.25 402 1.2
Determine el valor de los parámetros correspondientes a cada modelo. Respuesta: Fluido A: Bingham ( 0 15 Pa , 0 5 Pa.s ). Fluido B: Pseudoplástico. Fluido C: Newtoniano ( 6.6667 Pa.s ). Fluido D: Bingham ( 0 2.779 Pa , 0 0.685 Pa.s ). Fluido E: Potencia. Fluido F: Newtoniano ( 0.0322 Pa.s ).
3. Una suspensión de salsa de tomate a 22ºC es analizada en un reómetro rotacional con geometría de cono y placa. Determine si el modelo de la ley de potencia describe adecuadamente el comportamiento de este material. Los datos de esfuerzo de corte vs. gradiente de velocidad obtenidos en el estudio fueron los siguientes: 1
1
d v / d y (s )
(Pa)
d v / d y (s )
(Pa)
0.1 0.25 0.65 1.25 2 3.15
4.1 5 6.6 7.9 9.1 10.5
5 7.95 12.6 19.95 31.6 50.09
12.1 14 16.1 19.1 22.4 26.6
Respuesta: Fluido: Pseudoplástico. m 7.6267 , n 0.3034 .
4. Los siguientes datos experimentales de esfuerzos cortantes vs. tasa de deformación fueron obtenidos para chocolate fundido a 40ºC: 1
1
d v / d y (s )
(Pa)
d v / d y (s )
(Pa)
0.099 0.140 0.199
28.6 35.7 42.8
6.4 7.9 11.5
123.8 133.3 164.2
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Capítulo 1.
0.390 0.790 1.60 2.40 3.90
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52.4 61.9 71.4 80.9 100.0
13.1 15.9 17.9 19.9
178.5 201.1 221.3 235.6
a) Grafique el esfuerzo cortante del fluido en función de la tasa de deformación. b) Estudie el modelo de flujo apropiado y determine los parámetros. Respuesta: Fluido: Pseudoplástico. m 68.409 , n 0.3644 .
5. [MY] La viscosidad de la sangre se debe determinar a partir de mediciones del esfuerzo cortante, , y de la razón de deformación de corte, d v / d y , obtenidas a partir de una pequeña muestra de sangre probadas en un viscosímetro apropiado. Con base en los datos que se proporcionan a continuación, determinar si la sangre es un fluido newtoniano o no newtoniano. Explicar cómo se llegó a la respuesta. d v / d y (s 1 )
2.25 4.50 11.25 22.5
(Pa)
0.04 0.06 0.12 0.18
d v / d y (s 1 )
45.0 90.0 225 450
(Pa)
0.30 0.52 1.12 2.10
Respuesta: Fluido: Pseudoplástico. m 0.0196 , n 0.7438 .
6. La consistencia es un factor primordial en alimentos como la salsa de ketchup. Se estudia el comportamiento reológico a 25°C de una muestra de 1050 kg/m 3 con un viscosímetro de cilindros concéntricos, con una altura de 60 mm, un radio externo de 21 mm y un radio interno de 20.04 mm. Obteniéndose los siguientes datos: 1 1 (Pa) (Pa) d v / d y (s ) d v / d y (s ) 2.6 35 83.1 60 5.19 37 166.21 87 10.39 39.5 332.41 120 20.78 42 664.82 195 41.56 47 Caracterice el material en cuestión. Sí el envase en el que se va a vender tiene una altura de 25 cm y un diámetro de 5 cm. ¿Fluirá en posición invertida o requerirá que el consumidor realice alguna presión sobre las paredes del envase? Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
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Respuesta: Fluido: Bingham. 0 38.097 Pa , 0 0.2409 Pa.s . Fluye libremente.
1.3.- APLICACIONES DEL PERFIL LINEAL DE VELOCIDADES. Perfil lineal de velocidades.
d v x d y
v x
(8)
Fuerza y potencia en función de la velocidad cuando en el fluido (Newtoniano) se establece un perfil lineal de velocidades. Caso 1. Dos láminas paralelas, una de ellas en movimiento. Por definición, el esfuerzo cortante es la fuerza tangencial por unidad de área: F A
(9)
Al despejar la fuerza: F A
(10)
Ley de Newton de la viscosidad: x y
d v x d y
(1)
Para un perfil lineal: d v x v x d y
(8)
Al sustituir la ecuación (8) en la ecuación (1) v x
v x
(11)
Al sustituir la ecuación (11) en la ecuación (10): Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
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v x A
F
F
v x A
(12)
Potencia disipada en el movimiento. P F v x
(13)
Al sustituir la ecuación (12) en la ecuación (13): 2
P
v x A
(14)
Ejercicios propuestos. Flujo entre dos láminas. Sistemas rectangulares. 7. Una placa situada a 0.5 mm de otra fija, se mueve a 0.25 m/s y requiere una fuerza por unidad de superficie de 2 N/m 2, para mantener esta velocidad. Calcúlese la viscosidad absoluta del fluido situado entre las dos placas, en unidades del sistema internacional. Respuesta:
0.004 004 Pa.s .
8. [MY] Entre dos placas paralelas hay petróleo crudo cuya viscosidad es de 9.52 10 4 lbf .s/ft 2 . La placa inferior está fija y la placa superior se mueve cuando se aplica
una fuerza F (Ver (Ver figura). Si la distancia entre las dos placas es de 0.1 in, ¿qué valor de F se requiere para trasladar la placa con una velocidad de 3 ft/s? El área efectiva de la placa superior es de 200 in2.
476 lbf . Respuesta: F 0.476
9. Dos placas paralelas se encuentran separadas una distancia de 5 mm. Una de ellas se mueve a una velocidad constante de 0.20 m/s. Entre ambas placas se encuentra petróleo Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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crudo ( SG 0.86 ) y
5
1.95 10 m /s , 2
a una temperatura de 20ºC. Se desea calcular la
fuerza ejercida sobre 1 m2 de cada placa. Respuesta: F 0.6695 N .
Caso 2. Dos láminas paralelas, movimiento de una tercera contenida entre ellas. Fluido 1, 1 h
Fluido 2, 2
1 F 1 F 2
v0
2
Al aplicar la ecuación (12) a la zona superior y a la zona inferior: F 1
1v 0 A
(15)
1
F 2
2 v 0 A 2
(16)
La fuerza total requerida para poner en movimiento la lámina es: F F 1 F 2
(17)
Al sustituir las ecuaciones (15) y (16) en (17): F
1v0 A 2 v0 A
1
2
F v0 A 1 2 1 2
1
F v0 A
1
2
h 1
(18)
Separación entre las placas. F 1 1 2 v A h 0 1 F 1 1 v A 0 Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
(19)
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Capítulo 1.
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Ubicación de la placa en movimiento: Se requiere resolver la ecuación de segundo grado en 1 . v A v A h 1 1 0 h 0 12 ( 2 1 ) 0 F F
(20)
Potencia disipada en el movimiento. Al sustituir la ecuación (18) en la ecuación (13): 1
P v02 A
1
2
(21)
h 1
Ejercicios propuestos. 10. [ÇC] Una placa delgada se mueve entre dos superficies estacionarias planas horizontales paralelas, a una velocidad constante de 5 m/s. las dos superficies estacionarias están espaciadas entre sí 4 cm, y el medio entre ellas está lleno de aceite con viscosidad de 0.9 N.s/m2. La parte de la placa que está sumergida en aceite en cualquier tiempo dado tiene una longitud de 2 m y una anchura de 0.5 m. a) Si la placa se mueve en el plano medio entre las dos superficies, determine la fuerza necesaria para mantener el movimiento. b) ¿Cuál sería su respuesta si la placa estuviera a 1 cm de distancia de la superficie inferior (h2) y a 3 cm de distancia de la superficie superior (h 1)? 450 N ; b) F 600 600 N . Respuesta: F 450
11. Un espacio de 2.5 cm de ancho entre dos superficies planas de gran superficie está lleno de glicerina a 20ºC. a) ¿Qué fuerza se necesita para halar, a una velocidad de 0.15 m/s, una placa de espesor despreciable y 0.5 m 2 de área ubicada a una distancia equidistante de las dos superficies? b) ¿Cuál sería la fuerza necesaria si la placa se ubicase a 1.0 cm de una de las superficies? 228 N ; F 18.9875 N . Respuesta: F 18.228
12. El espacio entre dos grandes superficies planas de 2.00 cm, se ha llenado con un líquido de peso específico relativo 0.8. Determinar:
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Capítulo 1.
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a) La viscosidad cinemática, si la fuerza requerida para remolcar una lámina muy delgada de 4000 cm2 a una velocidad de 20.00 cm/s es de 0.700 kg f , cuando dicha lámina permanece equidistante de las superficies. b) La fuerza, si la lámina se encuentra a 7 mm de una de las superficies. Respuesta: 5.3630 104 m2 /s , F 7.5436 N .
13. Dos superficies planas de grandes dimensiones están separadas 25 mm y el espacio entre ellas está lleno con un líquido cuya viscosidad absoluta es 0.10 kp.s/m 2. Suponiendo que el gradiente de velocidades es lineal, ¿qué fuerza se requiere para arrastrar una placa de muy poco espesor y 40 dm 2 de área a la velocidad constante de 32 cm/s si la placa dista 8 mm de una de las superficies? Respuesta: F 2.35 kp .
14. Dos superficies planas de grandes dimensiones están separadas 32 mm y el espacio entre ellas está lleno con un líquido cuya viscosidad es de 0.15 poises. Suponiendo que el gradiente de velocidades es lineal, se pide: a) ¿Qué fuerza en N se requiere para arrastrar una placa de muy poco espesor y 0.5 m 2 de área a la velocidad constante de 20 cm/s si la placa dista 10 mm de una de las superficies? b) ¿Cuál es la potencia disipada en watios? Respuesta: F 0.21 218 8 N , P 0.0436 W .
15. Se desea recubrir por ambos lados una cinta magnética de cassette con un material protector que, en el momento de la aplicación, es un fluido con comportamiento newtoniano. Con este fin, se hace pasar la cinta a través de una hendidura muy estrecha. La cinta tiene 0.04 cm de espesor y 0.5 cm de ancho. Se centra la cinta en la hendidura dejando una holgura de 0.03 cm en cada lado. El recubrimiento, cuya viscosidad es 1 Pa.s, llena completamente el espacio que existe entre la cinta y la pieza que forma la hendidura a lo largo de 2 cm. Si la cinta puede soportar una fuerza máxima de tensión de 100 N antes de romperse, determine la velocidad máxima a la cual se puede hacer pasar la cinta a través de la hendidura. 150 m/s . Respuesta: v0 150
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16. [MY] Una gran placa móvil está colocada entre dos grandes placas fijas, como se muestra en la figura. Dos fluidos newtonianos con las viscosidades indicadas están contenidos entre las placas. Determinar la magnitud y dirección de los esfuerzos cortantes que actúan sobre las paredes fijas cuando la placa móvil posee una velocidad de 4 m/s como se muestra. Suponer que la distribución de velocidad entre las placas es lineal.
Respuesta: Placa superior: 13.33 Pa . Placa inferior: 13.33 Pa .
17. Determinar el espesor de la película para cada fluido (25ºC) en el sistema siguiente.
El área de la lámina en movimiento es 0.4 m 2. 0.0093 m . Respuesta: Glicerina 0.0157 m , Aceite de ricino
18. Determinar la viscosidad del fluido desconocido (25ºC) en el sistema siguiente. Identifique el fluido desconocido.
El área de la lámina en movimiento es 0.7 m 2. 2 102 102N.s/m . Etilenglicol. Respuesta: 1.62
19. Una placa delgada muy grande se centra en un espaciamiento de 0.06 m de anchura con diferentes aceites de viscosidades desconocidas arriba y debajo; una viscosidad es el doble Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
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de la otra. Cuando se jala la placa a una velocidad de 0.3 m/s, la fuerza resultante sobre 1 m2 de placa debida al esfuerzo de corte viscoso en ambos lados es de 29 N. Suponiendo un flujo viscoso y despreciando todos los efectos de extremo, calcular las viscosidades de los aceites. Respuesta: 1 0.9667 Pa.s ; 2 1.9333 Pa.s .
20. [ÇC] Se jala horizontalmente de una placa plana delgada de 20 cm × 20 cm a 1 m/s a través de una capa de aceite de 3.6 mm de espesor, que está entre las placas, una estacionaria y la otra moviéndose a una velocidad constante de 0.3 m/s, como se muestra en la figura. La viscosidad dinámica del aceite es de 0.027 Pa.s. Suponiendo que la velocidad en cada una de las capas de aceite varía en forma lineal, a) trace la gráfica del perfil de velocidad y encuentre el lugar donde la velocidad del aceite es cero y b) determine la fuerza que se necesita aplicar sobre la placa para mantener este movimiento.
Respuesta: a) La velocidad es nula a 0.6 mm de la placa inferior. b) F 1.62 N .
21. A través de un interespaciamiento muy angosto, de altura h, se está tirando de una placa delgada de extensión muy grande, a una velocidad constante. A un lado de la placa hay un aceite de viscosidad , y al otro lado un aceite de viscosidad k ( k veces ). Calcular la posición de la placa para que la fuerza de tiro sobre la misma sea mínima. Respuesta:
h 1
k
.
22. Si la viscosidad del aceite encima de la placa móvil es 4 veces mayor que la del aceite debajo de la placa, determine la distancia de la placa a la superficie inferior ( h2) que reducirá al mínimo la fuerza necesaria para tirar de la placa entre los dos aceites a velocidad constante. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Respuesta: h2 1.3333 cm .
23. Una cinta muy delgada desea recubrirse por ambos lados con dos fluidos 1 y 2 de viscosidades diferentes. La cinta se coloca entre dos placas separadas a una distancia H . Se halará la cinta mediante la aplicación de una fuerza horizontal de magnitud fija F . Determine a qué distancia ( h ) debe colocarse la cinta de la placa superior para que la velocidad de recubrimiento ( v0 ) sea la máxima posible. Respuesta: h
1
H
2 / 1
.
Fuerza en función de la velocidad cuando en el fluido (Bingham) se establece un perfil lineal de velocidades. Esfuerzo cortante. 0
d v x
d y
(6)
Al sustituir la ecuación (8) en la ecuación (6): 0 v x 0
(22)
Al sustituir la ecuación (22) en la ecuación (10):
F 0
0 v
A
(23)
Potencia disipada en el movimiento. Al sustituir la ecuación (23) en la ecuación (13):
P 0
0 v x
A v x Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Ejercicios propuestos. 24. Un plástico ideal de Bingham se coloca entre dos placas paralelas vecinas, una de las cuales se mueve en dirección paralela a su cara a 4 m/s cuando la separación es de 0.02 m. 2 Si el esfuerzo tangencial (fuerza por unidad de área) que se desarrolla es de 0.450 kg /m y f 2 , encuentre el valor de 0 (viscosidad plástica el esfuerzo de fluencia 0 es de 0.250 kg /m f
= coeficiente de rigidez) en N.s/m2. 2 Respuesta: 0 0.001 001 kgf .s/m .
25. Una muestra de fluido está entre dos placas paralelas separadas por una distancia de 2 mm. El área de las placas es de 100 cm2. La placa inferior se encuentra fija y la placa superior se mueve a una velocidad de 1 cm/s cuando la fuerza aplicada es de 315 dinas, y 5 cm/s cuando la fuerza es de 1650 dinas. Determinar: a) Si el fluido es newtoniano. b) ¿Cuál es su viscosidad? Respuesta: El fluido no es newtoniano. Si fuese un fluido de Bingham, sus parámetros son: 2 2 4 875 10 N/ N/m m . 675 10 Pa.s ; 0 1.875 0 6.675
26. Un método para caracterizar la reología de fluidos se basa en colocar un fluido entre dos placas paralelas y ejercer una fuerza longitudinal ( F ) sobre unas de las placas para llevarla a una velocidad límite ( V ). Al utilizar un aparato basado en este principio para el cual la distancia de separación entre las placas es de 0.03 mm se ha determinado que, si el fluido es agua a 20°C, cuando la fuerza ejercida es de 0.12 N, la velocidad límite es de 1 cm/s. En el mismo aparato se coloca un fluido tipo Bingham y se realizan dos experimentos para dos niveles de fuerza aplicadas diferentes, obteniéndose los siguientes resultados: F 17.4 N corresponde a una velocidad de 1 cm/s. F 29.4 N corresponde a una velocidad de 2 cm/s.
Determine la viscosidad aparente y el esfuerzo de cedencia de dicho fluido. 2 N/m m . Respuesta: 0 0.1 Pa.s ; 0 15 N/
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Sistemas que involucran fuerza gravitacional. Sistemas en los cuales un objeto se desliza sobre un fluido en un plano inclinado. Fluido Newtoniano. v0
A
Balance de fuerzas. Conviene seleccionar la parte positiva del eje en la misma dirección del movimiento. Cuerpo moviéndose hacia abajo. Cuerpo moviéndose hacia arriba. y
F v A
y
x
N
W x
d t
F v A
W y
W m g
d v x
W x
W y
W x F v m
N
x
(25)
W m g
W x F v m
d v x d t
(26)
La componente del peso a lo largo del eje del movimiento ( x) es: W x m g sen
(27)
Al sustituir las ecuaciones (12) y (27) en las ecuaciones (25) y (26): m g sen
v x A
m
d v x d t
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(28)
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
m g sen
v x A
m
d v x
(29)
d t
Las cuales pueden escribirse como: d v x A v x g sen d t m d v x d t
A m
(30)
v x g sen
(31)
Obsérvese que independientemente de si el objeto baja o sube, la diferencia en las ecuaciones diferenciales es el signo en la componente de gravedad, por lo cual la ecuación diferencial puede escribirse como: d v x d t
A m
v x g sen
(32)
Se trata de sistemas dinámicos de primer orden. La ecuación diferencial (32) es una ecuación lineal de primer orden. Puede resolverse mediante la utilización de un factor integrante o mediante la separación de variables. Si se recurre a la separación de variables, una integral útil que aparece en el método de solución es: d v
1
v ln ( v) C
(33)
Análisis de la situación física. a) Movimiento descendente. En esta situación se alcanza una velocidad límite, también llamada velocidad terminal ( v ). Esta velocidad se obtiene para un objeto que cae en un plano inclinado cuando la fuerza viscosa se iguala a la fuerza gravitacional ( F v W x ), provocando que el objeto se encuentre en equilibrio ( F 0 ) y por lo tanto se mueva con velocidad constante. Si al cuerpo se le imprime una velocidad inicial ( v 0 ) menor a la velocidad terminal, entonces la velocidad del objeto aumentará asintóticamente hasta aproximarse al valor de la velocidad terminal, mientras que si se le imprime una velocidad inicial mayor a la velocidad terminal, ésta disminuirá asintóticamente hasta aproximarse a su valor. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Deducción de la ecuación de la velocidad terminal. Siendo la velocidad terminal una velocidad constante, entonces
d v x d t
0 , teniéndose que
cuando esta velocidad terminal es alcanzada, la ecuación (28) se reduce a v A m g sen 0 y por lo tanto:
v
m
A
g sen
(34)
Obsérvese que la velocidad terminal es independiente de la velocidad inicial del objeto. b) Movimiento ascendente. Puesto que la fuerza resultante ( W x F v ) que actúa sobre el objeto es opuesta al movimiento, el movimiento es retardado, por lo tanto, al cabo de un tiempo, el objeto se detiene ( v x 0 ). En general, para el movimiento del objeto en un plano inclinado, cuando el cuerpo baja (+) y cuando el cuerpo sube ( – – ), ), tenemos: Ecuación del tiempo. m g sen v m A ln t A m g sen v0 A
Ecuación de la A velocidad. v x (t ) v0 e
t m
(35)
t m g sen 1 e m A A
(36)
En este nivel, podemos determinar la velocidad terminal aplicando v lim lim v x (t ) . t
A A t m t m m g sen 1 e v lim lim v0 e t A
v
m
A
g sen
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Ecuación de la aceleración. a (t )
d v d t
(37)
a (t ) A v0 e m
A t m
g sen e
A t m
(38)
Aceleración inicial. A a0 v0 g sen m
(39)
Ecuación de la distancia recorrida. x (t )
t
v (t ) d t
(40)
0
Una integral útil para determinar la distancia recorrida es:
e a t d t 1 e a t C a
(41)
2 A t m A t m m m g sen e x (t ) v 0 1 e g sen t 1 A A A
m
(42)
Finalmente, si el cuerpo se mueve en un plano horizontal ( 0 ), el movimiento es retardado, y las ecuaciones (35), (36), (38), (39) y (42) son válidas, siendo simplificadas a las siguientes: Ecuación del tiempo. v t m ln A v0
(35a)
Ecuación de la velocidad. v x (t ) v0 e
A t m
Ecuación de la aceleración.
(36a)
A
t A m v0 e a (t ) m
(38a)
Aceleración inicial. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1. a0
A m
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte. v0
(39a)
Ecuación de la distancia recorrida.
x (t ) m v0 1 e A
A
m t
(42a)
En resumen: 1) Si el cuerpo se lanza hacia arriba del plano inclinado, eventualmente se detendrá, para luego comenzar a descender desde una velocidad inicial nula. 2) Si el cuerpo se lanza hacia abajo con una velocidad inicial menor a la velocidad terminal, la velocidad aumentará hasta alcanzar la velocidad terminal. 3) Si el cuerpo se lanza hacia abajo con una velocidad inicial mayor a la velocidad terminal, la velocidad disminuirá hasta alcanzar la velocidad terminal. 4) Si el cuerpo se lanza en un plano horizontal, el movimiento es retardado. Su velocidad disminuye asintóticamente hasta una velocidad nula.
Ejercicios propuestos. Sistemas en régimen estacionario (Velocidad constante). 27. [RF] Un bloque que pesa 10 lb y que tiene dimensiones de 10 in en cada borde se empuja hacia arriba en una superficie inclinada en la que hay una película de aceite SAE 10W-30 a 100ºF ( 7.73 104 lbf .s/ft 2 ). Si la velocidad del bloque es 2 ft/s y la película de aceite es de 0.001 in de espesor, encontrar la fuerza necesaria para empujar el bloque. Suponga que la distribución de velocidades en la película de aceite es lineal. La superficie está inclinada en un ángulo de 25º de la horizontal. Respuesta: F 17.11 N .
28. [ÇC] Se debe mover un bloque de 50 cm × 30 cm (en su base) × 20 cm (de altura) que pesa 150 N a una velocidad constante de 0.8 m/s sobre una superficie inclinada 20º con respecto a la horizontal. Si se aplica una película de aceite de 0.4 mm de espesor, con una viscosidad dinámica de 0.012 Pa.s entre el bloque y la superficie inclinada, determine la fuerza F necesaria necesaria a aplicar en la dirección horizontal. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Respuesta: F 57.15 N .
Sistemas en régimen no estacionario (Velocidad en función del tiempo). Movimiento en un plano horizontal ( 0 ). 29. [RF] Una patinadora de hielo estilo libre femenino, con un peso de 100 lbf, se desliza sobe un patín a una velocidad de 20 ft/s. Su peso es soportado por una fina capa de agua líquida fundida del hielo por la presión de la cuchilla del patín. Supongamos que la hoja 125 in de ancho, y la película de agua tiene tiene L 11.5 in de largo y w 0.125 h 0.0000575 in de espesor. Estimar la desaceleración de la patinadora que resulta del
esfuerzo viscoso en la película de agua si se desprecian los efectos finales. 2 491 m/s . Respuesta: a0 0.491
30. [FW] Un disco de hockey de aire tiene una masa de 50 g y un diámetro de 9 cm. Cuando se coloca sobre una mesa de aire a 20ºC, el ventilador forma una película de 0.12 mm de espesor de aire bajo el disco. El disco es golpeado con una velocidad inicial de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo se tarda el disco para que el disco a) reduzca su velocidad a 1 m/s, b) se detenga completamente? c) ¿Cuán lejos ha viajado el disco para el caso a? Respuesta: a) 119.0 s; b) Infinito; c) 465.11 m.
31. Cuando un automóvil frena sobre pavimento mojado, los cauchos pueden momentáneamente deslizar sobre una película delgada de agua. Si los cauchos están lisos, el movimiento del agua entre los cauchos y el suelo puede aproximarse al del flujo entre dos placas infinitas paralelas, cuando la placa superior se mueve a velocidad constante. Si el área efectiva de contacto entre los cauchos y el pavimento es 1500 cm 2 y el espesor de la película de agua es 0.02 mm, exprese la fuerza de arrastre que ejerce la película de agua sobre el automóvil en función de su velocidad. Considerando que, durante el proceso de Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
frenado, la única fuerza que actúa sobre el automóvil es la ejercida por la película de agua y suponiendo que la fuerza de arrastre – velocidad velocidad es la misma aún si la velocidad cambia, calcule el tiempo que se requeriría para desacelerar un automóvil de 1000 kg desde 100 hasta 10 km/h si se mantuviese la película de agua a 20ºC entre los cauchos y el pavimento. Determine además la distancia recorrida. Respuesta: F v
v x A
; t 300.99 s ; x 2169.94 m .
32. [WM] En el intro del comic Meteoro (Speed Racer), el Rey de las Pistas, el archifamoso Mach 5 es frenado sobre un pavimiento mojado desde una velocidad de 120 km/h y mientras el vehículo se encuentra en movimiento a 5 km/h, el protagonista sale del mismo. Sabiendo que dicho vehículo tiene una masa aproximada de 1500 kg (incluyendo al protagonista, a Chispita y a Chito, que siempre viajan en la maleta), que la película de fluido es de 20 m de espesor y que el área de contacto de los 4 cauchos con el pavimento es de 720 cm 2, determine el tiempo que tarda el Mach 5 en disminuir su velocidad y la distancia que recorre en ese periodo de tiempo. Respuesta: t 1298.22 s ; x 13049.20 m .
33. [WM] Una práctica común de los niños en el baño del preescolar es disolver jabón y agua en el piso y deslizarse colocando la parte frontal de su cuerpo contra el piso, impulsándose con las piernas contra las paredes del recinto. Un niño de 16 kg se impulsa con una velocidad de 4.0 m/s, tardando 2 segundos en llegar a la otra pared en el extremo del recorrido y con una velocidad de 3.5 m/s. Si el espesor de la película es 2de 0.06 mm, y el área de contacto entre la parte frontal del niño y el piso es de 500 cm , determine la viscosidad del agua enjabonada y la distancia recorrida por el niño. Respuesta: 1.28 103 N.s/m2 , x 5.29 m .
34. [WM] En la Taberna de Moe, uno de los principales lugares donde se desarrolla la trama de la serie de televisión de dibujos animados “Los Simpson”, y propiedad de Moe
Szyslak, Homero pide su acostumbrada cerveza Duff , la cual es servida en un vaso cilíndrico de 8 cm de diámetro. El vaso (incluyendo el refrescante contenido) es lanzado a lo largo de la mesa por Moe, quien le imprime una velocidad inicial de 40 m/s, recibiéndola Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Homero a una velocidad de 1.0 m/s al cabo de 0.5 segundos. Es de esperarse que el mesón esté mojado de cerveza, agua producto de la condensación en las paredes de los vasos, o la m de espesor entre la superficie del saliva de Barney. La película de fluido es de 1.16
vaso y la mesa. Asumiendo que la masa del vaso y su contenido es 0.6 kg, determine: a) La viscosidad del fluido que moja la mesa. b) A qué distancia de Moe se encuentra Homero? Respuesta: 1.02 103 N.s/m2 , x 3.18 m .
Movimiento en un plano inclinado ( 0 ). 35. Un bloque cúbico de 0.2 m de arista tiene una masa de 2 kg. El bloque se suelta y se desliza sobre un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal. Entre el bloque y el plano existe una película muy delgada de aceite SAE 10W-30 a 20°C ( 0.45 Pa.s). La película tiene 0.02 mm de espesor y el perfil de velocidades dentro de ella se puede suponer lineal con la posición perpendicular al plano. Eventualmente, el bloque alcanza una velocidad de deslizamiento constante, denominada velocidad terminal. Explique por qué esto ocurre. Determine el valor de dicha velocidad y el tiempo que el bloque tarda en alcanzarla. Respuesta: v x 0.0109 m/s ; Infinito.
36. [IS] Un bloque cúbico de 1 kN de peso y 200 mm de lado se desliza hacia abajo en un plano inclinado sobre una película de aceite con un espesor de 0.0050 mm. Si se utiliza un perfil lineal de velocidades en el aceite, ¿cuál es la velocidad terminal del bloque? La viscosidad del aceite es 7 102 P .
Respuesta: v 6.11m/s .
37. [MY] Un bloque de 10 kg se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado liso, como se muestra en la figura. Determinar la velocidad terminal del bloque si la separación de 0.1 Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
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mm entre el bloque y la superficie contiene aceite SAE 10W-30 a 60ºF ( 0.38 N.s/m2 ). Suponer que la distribución de velocidad en la separación es lineal y que el área del bloque en contacto con el aceite es de 0.2 m 2.
Respuesta: v 0.0441 m/s .
38. Un bloque cúbico que pesa 5 kgf tiene 20 cm de arista y resbala sobre un plano inclinado, en el que existe una película de aceite de espesor 0.025 cm. ¿cuál es la velocidad límite a la que descenderá el bloque? Asumir perfil lineal de velocidades. Datos: Aceite 2.2 104 kgf .s/m 2 , 20º (Ángulo de inclinación).
Respuesta: v 476 476.59 m/s .
39. Un cuerpo de 40 kg de masa, resbala sobre un plano inclinado 30º con la horizontal, apoyándose en una de sus caras planas de 1800 cm2 de superficie. Para una viscosidad de 1 poise y una velocidad de 1.5 m/s, determinar el espesor de la película lubricante y la potencia en el deslizamiento en kW. 294.3 W . Respuesta: 0.1376 mm , P 294
40. [MY] Un cubo sólido que mide 0.5 pies de arista y pesa 100 lb desciende por una superficie lisa que forma un ángulo de 30º con la horizontal. El bloque se desliza sobre una película de aceite cuya viscosidad es de 1.71 102 lbf .s/ft 2 . Si la velocidad terminal del bloque es de 1.2 ft/s, ¿cuál es el grosor de la película? Suponer una distribución de velocidad lineal en la película. 7 125 10 ft . Respuesta: 7.125
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Capítulo 1.
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41. Un cuerpo de 120 lb f y y superficie plana igual a 2 ft 2, resbala sobre un plano inclinado formando un ángulo de 30° con la horizontal. Si el lubricante posee un poise y el cuerpo se mueve a 3 ft/s. Determine el espesor de la película del lubricante.
Respuesta: 2.0885 103 ft .
42. Un deporte oficial de las olimpiadas de invierno que es popular en países de altas latitudes es el “bobsledding”. Dicho deporte consiste en deslizar un vehículo (trineo) sobre
una pista de hielo inclinada. Los vehículos tienden a alcanzar velocidades muy altas. El peso del vehículo ejerce una presión sobre el hielo que es mayor que la presión de saturación líquido – sólido del agua, lo que hace que el hielo se funda formando una película muy delgada de agua entre el fondo del vehículo y el hielo. Se desea estimar el espesor de la película de agua entre la cual se desliza el vehículo. Se sabe que la inclinación de la pista es de unos 30º con respecto a la horizontal y que el vehículo alcanza una velocidad máxima de 100 km/h. Suponga que el área de contacto entre el fondo del vehículo y la película de agua es 0.5 m 2 y que la masa total del vehículo más el ocupante es de 80 kg. Especifique las suposiciones realizadas. Respuesta: 61.9 m .
43. Se tiene un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal, con una película de aceite de 0.5 mm de espesor y un bloque de 1 kg de masa con un área de contacto de 0.04 m 2. Se lanza el bloque hacia abajo por el plano inclinado con una velocidad inicial de 10 cm/s. Determine cuánto tiempo tardará en incrementarse la velocidad del bloque en un 50%. La viscosidad del aceite es de 2 mPa.s. Respuesta: t 0.0102 s . Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
44. [RF] Un bloque cúbico de 0.2 m de arista, con 5 kg de masa, se desliza por una pendiente suave, 30º por debajo de la horizontal, sobre una película de aceite SAE 10W-30 ( 0.4 N.s/m2 ) que tiene 0.20 mm de espesor. Si el bloque se libera a partir de t 0 , ¿Cuál es su aceleración inicial? Deducir una expresión para la velocidad del bloque como una función del tiempo. Trazar la curva de v (t ) . Encuentre la velocidad después de 0.1 s. Si queremos que la masa alcance una velocidad de 0.3 m/s en este momento, encuentre la viscosidad del aceite que tendríamos que usar. t m v (t ) g sen 1 e m δ , A μ A
Respuesta:
905 m/s a0 4.905
2
,
269 N.s/m v (0.1 ) 0.245 245 m/s , 0.269
2
(1 e v (t ) 0.3066
16 t
)
,
.
45. La bajada del Picacho, muy famosa en la ciudad de Maturín, Estado Monagas, es particularmente peligrosa en periodos de lluvia, puesto que el pavimento mojado junto con el aceite de desecho de algunos talleres mecánicos cercanos puede formar una película de fluido que hace que algún conductor desprevenido tome la bajada y cuando pretenda frenar, el vehículo se deslice. Dicha bajada tiene un ángulo de inclinación de 45º aproximadamente. Un vehículo con una masa de 1600 kg entra a la bajada con una velocidad de 21 m/s y se desliza durante 1.3 segundos, al final de los cuales choca contra las defensas con una velocidad de 30 m/s. Si la viscosidad de la película de fluido es 1.02 103 N.s/m2 y
el área de contacto de uno de los cauchos con el pavimento es de 576
2
cm , determine: a) El espesor de la película. b) La distancia recorrida antes del impacto. Respuesta: a) 0.25 mm ; b) x 33.15 m .
46. Se tiene un plano inclinado (ángulo de inclinación ) sobre el cual se encuentra una capa muy delgada (espesor h ) de un fluido newtoniano (viscosidad ). Sobre el plano inclinado se coloca un bloque (masa M y área de contacto A ) el cual se lanza hacia arriba (velocidad inicial v0 ) y se les pide obtener: Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
a) Una expresión que permita calcular el tiempo que tarda el bloque en detenerse. b) Una expresión para calcular la distancia recorrida.
v0 M h ; ln 1 Respuesta: a) t M h A g sen A M h v0 M h v0 g sen ln 1 b) x M h A A g sen A
Fluido de Bingham. Para que se pueda iniciar el movimiento, es necesario vencer una fuerza umbral mínima ( 0 A ). Esto se consigue aplicando una velocidad inicial ( v0 ) o, dejando actuar sólo el efecto
gravitacional ( m g sen ). sen 0 A : El cuerpo se mueve libremente. Una vez iniciado el Caso I. Si m g sen
movimiento con cualquier velocidad inicial, ésta varía hasta alcanzar la velocidad terminal. Ángulo mínimo requerido para iniciar el movimiento: 1 0 A sen m g
(43)
Velocidad terminal (ó velocidad límite): m g sen 0 0 A
v
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(44)
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30
Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
sen 0 A : El cuerpo se moverá sólo si se le imprime una velocidad Caso II. Si m g sen
inicial. La velocidad disminuye hasta que el cuerpo detiene su movimiento. En general, para este movimiento, cuando el cuerpo baja (+) y cuando el cuerpo sube ( – )),, tenemos: Ecuación del tiempo. 0 m g sen v m A t ln 0 A m g sen v0 A
(45)
Ecuación de la velocidad. v (t ) v0 e
A
t m
A t m 0 m 1 e g sen A
(46)
Ecuación de la aceleración. a (t )
A m
v0 e
A
t m
A
0 A m g sen e m
(47)
Aceleración inicial. a0
A A v 0 g sen 0 m m
(48)
Ecuación de la distancia recorrida. A A t t m 0 m m 0 m m sen sen 1 x (t ) A v0 1 e g t g e A A A
m
(49)
Si el cuerpo se mueve en un plano horizontal ( 0 ), el movimiento es retardado, y las ecuaciones (45), (46), (47), (48) y (49) son válidas, siendo simplificadas a las siguientes: Ecuación del tiempo. v 0 m t ln 0 A v 0 Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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31
Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Ecuación de la velocidad. A
t v (t ) v0 0 e m 0
(46a)
Ecuación de la aceleración. A A 0 A m t e v0 a (t ) m m
(47a)
Aceleración inicial. a0
A m
v0
0 A m
(48a)
Ecuación de la distancia recorrida. t m v0 0 1 e m 0 t x (t ) A
A
(49a)
Ejercicios propuestos. 47. Un disco de 10 cm de radio y 5 cm de espesor descansa sobre una película de 1 mm de espesor de un fluido tipo Bingham, la cual está extendida sobre un plano inclinado (ver figura). El disco está hecho de un material con densidad de 2000 kg/m 3. El esfuerzo de cedencia del fluido es de 0 600 Pa y su viscosidad es
80 mPa.s .
a) Determine el máximo valor del ángulo de inclinación ( max max ) para que el disco no deslice. max , determine la velocidad límite a la que se mueve el disco sobre el plano. b) Si el 2 max El perfil de velocidad en la capa de fluido entre el disco y el plano puede considerarse
lineal, una vez que se establece el movimiento.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Respuesta: a) max 37.71º ; b) v x 4.37 m/s . 48. Un bloquecito de masa m 4 kg se lanza hacia abajo en un plano inclinado con una velocidad inicial v0 2 m/s . El plano está inclinado un ángulo y puede considerarse de longitud infinita; sobre él hay una película de espesor h 1 mm de un fluido tipo Bingham ( 0 750 Pa y 115 115 mPa.s ). Si la base del bloquecito es
A (20 20) cm y su altura es
de 10 cm, calcule el tiempo que tardaría en detenerse si 30º y 60º . ¿Qué pasa en cada caso? h m h g sen 0 m h A t 0.5519 s . Respuesta: t ; ln 0 h A m h v0 g sen A
Sistemas radiales. Flujo longitudinal entre dos cilindros. 49. Un método experimental para determinar la viscosidad de fluidos newtonianos consiste en dejar caer un cilindro sólido concéntricamente en el interior de un cilindro graduado que se encuentra lleno de fluido. El cilindro sólido alcanza una velocidad límite de caída ( v0 ) y, por tener ambos cilindros diámetros muy similares, el espacio entre ellos se aproximar a un espacio entre dos placas paralelas (ver figura). La distribución de presiones puede considerarse igual a la que existe en condiciones estáticas. En un fluido cuya densidad es de 1700 kg/m 3 se deja caer un cilindro de 700 g. Se ha determinado que el cilindro cae una distancia de 40 cm. en un tiempo de 2 s. Determine la viscosidad del fluido.
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33
Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Respuesta: 4.2704 kg/m.s .
50. [Cr] Este problema envuelve un cilindro cayendo dentro de un tubo que está lleno con aceite, como se muestra en la figura. El pequeño espacio entre el cilindro y el tubo es lubricado con una película de aceite que tiene viscosidad . Derive una fórmula para la velocidad estacionaria de descenso de un cilindro con peso W , diámetro d y longitud L deslizándose dentro de un tubo vertical liso que tiene un diámetro D. Asuma que el cilindro es concéntrico con el tubo mientras cae. Use la fórmula general para encontrar la velocidad de descenso de un cilindro de 100 mm de diámetro que se desliza dentro de un tubo de 100.5 mm. La longitud del cilindro es 200 mm y su peso es 15 N. El lubricante es aceite SAE 20 W a 10ºC.
Respuesta: v
W ( D d ) 2 d L
, v 0.23 m/s .
51. Un cilindro solido A de masa 2.5 kg se desliza hacia abajo dentro de un tubo, como se muestra en la figura. El cilindro es perfectamente concéntrico con la línea central del tubo Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
con una película de aceite entre el cilindro y la superficie interna del tubo. El aceite posee 3 7 10 N.s/m2 .
¿Cuál es la velocidad terminal del cilindro, es decir la velocidad constante
final del cilindro?
Respuesta: v 10.07 m/s .
52. Un cilindro de 20 lb de peso se desliza dentro de un tubo lubricado. La holgura entre el cilindro y el tubo es 0.001 in. Si se observa que el cilindro se desacelera a una tasa de 2 ft/s 2 cuando la velocidad es 20 ft/s, ¿cuál es la viscosidad del aceite? El diámetro del cilindro D es 6.00 in y la longitud L es 5.00 in.
Respuesta: 2.5465 104
lbm ft.s
.
53. Una probeta rectangular, de área transversal (0.1×0.4) m 2, 0.9 m de longitud y 196000 N/m3, resbala verticalmente a través de un ducto rectangular con una velocidad de 12 ft/s. La separación constante entre el ducto y la probeta es de 0.0254 in y está lleno con un aceite de
9
5.6 10 m /s . 2
Encuentre la densidad del aceite.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
54. Un émbolo se mueve a lo largo de un cilindro con una velocidad de 20 ft/s. La película de aceite que separa el émbolo del cilindro tiene una viscosidad de 0.020 lb.s/ft2. ¿Cuál es la fuerza que se requiere para mantener este movimiento?
313.28 lbf . Respuesta: F 313
55. [MY] Un eje de 25 mm de diámetro es empujado a través de un cojinete cilíndrico, como se muestra en la figura. El lubricante que llena la separación de 0.3 mm entre el eje y el cojinete es un aceite con viscosidad cinemática de 8.0 104 m2 /s y densidad relativa de 0.91. Determinar la fuerza F requerida para empujar el eje a una velocidad de 3 m/s. Suponer que la distribución de velocidad en la separación es lineal.
285 5.88 N . Respuesta: F 28 56. [OL] ¿Qué diámetro de tubo vertical permitiría a la mayonesa ( 1200 kg/m 3 ) fluir
bajo su propio peso? Respuesta: R 1.4441 102 m .
57. Un fluido tipo Bingham cuya densidad es de 1700 kg/m 3 y su esfuerzo de cedencia es de 1200 Pa se encuentra en reposo en un tubo circular vertical de 2.5 cm de radio, tal como se muestra en la figura. Sobre el fluido se encuentra colocado un émbolo sólido cuya masa
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
es de 500 g. Determine la magnitud de la fuerza que debe ejercerse sobre el émbolo para que el fluido comience a moverse hacia abajo.
Respuesta: F 13.94 944 4N.
Flujo rotacional. Fuerza en función de la velocidad angular cuando en el fluido se establece un perfil lineal de velocidades en un sistema rotatorio. Se presentan los sistemas siguientes: Viscosímetro de cilindro rotatorio: w
Cilindro interior rotatorio Fluido
L
R
Cilindro exterior fijo
La relación entre la velocidad tangencial y la velocidad angular en un sistema rotatorio es: v w r
(50)
Área de contacto (Área de la superficie lateral del cilindro): A 2 r L
(51)
En el caso del cilindro, el radio es constante e igual al radio del cilindro interior: Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
R r
(52)
Las ecuaciones (50) y (51) se escriben como: v w R
(53)
y
A 2 R L
(54)
Al sustituir en las ecuaciones (53) y (54) en la ecuación (12): F F
( w R) ( 2 R L) 2 w R 2 L
(55)
La ecuación (55) proporciona la fuerza (constante) que actúa sobre las paredes del cilindro interno.
Torque necesario para mover el cilindro interior. T F R Al sustituir la ecuación (55) en la ecuación (56):
(56)
2
T T
2 w R L
2 w R 3 L
R
(57)
Potencia disipada en el movimiento. P T w
(58)
Al sustituir la ecuación (57) en la ecuación (58): P
2 w 2 R 3 L
(59)
Ejercicios propuestos. 58. [MY] La viscosidad de los líquidos se puede medir usando un viscosímetro de cilindro rotatorio como el que se ilustra en la figura. En este dispositivo, el cilindro exterior está fijo y el cilindro interior gira con una velocidad angular para desarrollar
w y
w . Se mide el torque T (par)
requerido
la viscosidad se calcula a partir de estas mediciones. Obtener una
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
ecuación que relacione ,
w , T , L , R0 ,
y Ri . Ignorar los efectos en los extremos y
suponer que la distribución de velocidad en la separación es lineal.
2
Respuesta: T
2 w L Ri
R0 Ri
.
59. Un viscosímetro giratorio consiste en dos cilindros concéntricos: un cilindro interior estacionario de radio Ri un cilindro exterior de radio interior Ro que gira a una velocidad angular (razón de rotación) w0. En la pequeña brecha entre ambos cilindros está el fluido cuya viscosidad ( ) se va a medir. La longitud de los cilindros es L. L es tan largo que los efectos de extremo son despreciables (podemos tratar este problema como bidimensional). Se necesita un momento de torsión ( T ) para hacer girar el cilindro exterior a velocidad constante. Mostrando todo su trabajo y toda su álgebra, genere una expresión aproximada de T como como función de las otras variables. 2 w R 3 L Respuesta: T 0 0 .
R0 Ri
60. [ÇC] Se va a medir la viscosidad de un fluido con un viscosímetro construido de dos cilindros concéntricos de 75 cm de largo. El diámetro exterior del cilindro interior es de 15 cm y la brecha entre los dos cilindros es de 0.12 cm. Se hace girar el cilindro interior a 200 rpm y se mide que el par de torsión es de 0.8 N.m. Determine la viscosidad del fluido.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Respuesta: 0.0231Pa.s .
61. [ÇC] Considere una chumacera de 40 cm de largo que se lubrica con un aceite cuya viscosidad es de 0.1 kg/m.s a 20ºC al principio de la operación, y de 0.008 kg/m.s a la temperatura de operación anticipada de 80ºC. El diámetro de la flecha es de 8 cm y la brecha promedio entre esa flecha y la chumacera es de 0.08 cm. Determine el par torsión necesario para vencer la fricción en la chumacera, inicialmente, y durante la operación estacionaria, cuando la flecha se hace girar a 800 rpm. N.m m; A 80ºC: T 0.1348 N.m N.m . Respuesta: A 20ºC: T 1.6844 N.
62. [ÇC] Un eje cilíndrico de 10 cm de diámetro gira dentro de una chumacera de 40 cm de longitud y 10.3 cm de diámetro. El espacio entre el eje está completamente lleno con aceite cuya viscosidad a la temperatura prevista de operación es 0.300 N.s/m 2. Determine la potencia necesaria para vencer la fricción cuando el eje gira a una velocidad de a) 600 rpm, y b) 1200 rpm. Respuesta: a) P 2.48 W ; b) P 9.92 W . 63. [MY] El espacio entre dos cilindros concéntricos que miden 6 pulgadas de longitud está lleno de glicerina (viscosidad = 8.5 103 lbf .s/ft 2 ). El radio del cilindro interior mide 3 in y el ancho de la separación entre los cilindros es de 0.1 in. Determinar el torque y la potencia requerida para hacer girar el cilindro interior a 180 rpm. El cilindro exterior está fijo. Suponer que la distribución de velocidad en la separación es lineal. 944 lbf .ft , P 17.8 lbf .ft/s . Respuesta: T 0.944
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
64. [OL] Se planea producir y comercializar una excelente y nueva pasta de dientes de brillo cegador deominada . Se ha construido una pequeña planta piloto y se dispone de muestras de para ensayos. En la planta industrial se tendrá que bombear a diversos sitios, y para hacer esto de una manera eficaz se necesita saber sus propiedades de flujo. Para ello se introduce en un viscosímetro de capa rotatoria de las dimensiones mostradas a continuación.
Se encuentra que la capa es capaz de girar solamente cuando el par de torsión excede / 10 N.m; y la capa gira a 3.8 rpm cuando el par de torsión es / 5 N.m. ¿Qué clase de fluido es y cuáles son los valores de sus parámetros de flujo? Respuesta: Fluido de Bingham. 0 196 196.05 Pa , 0 9.7563 Pa.s .
Viscosímetro de disco giratorio. Cuando la fuerza es variable con el radio, la ecuación (12) se escribe en forma diferencial: d F v d A
(60)
Al sustituir la ecuación (50) en la ecuación (60): d F
w r
d A
(61)
La fuerza (F ), ), la velocidad tangencial (v) y el área de contacto ( A) son variables con la distancia radial al centro del disco ( r ). ).
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Vista superior: d r
r
R
El área de contacto es el área del anillo diferencial, el cual tiene longitud 2 r y altura d r . 2 A r (62) d A 2 r d r
(63)
Al sustituir la ecuación (63) en la ecuación (61): w r d F (2 r d r ) 2 w r 2
d F
d r
(64)
Torque requerido para poner en movimiento uno de los discos. r T r d F r 2
1
(65)
Al sustituir la ecuación (64) en la ecuación (65): T
T
R
0
2 w r 2 r d r
w 2
R
0
3
r d r
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Capítulo 1. T
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
w R 4
(66)
2
Potencia disipada en el movimiento.
Al sustituir la ecuación (66) en la ecuación (58): P
w 2 R 4 2
(67)
Expresiones similares pueden ser deducidas para otras configuraciones radiales en las cuales la fuerza, la velocidad tangencial y el área de contacto varíen en función del radio de giro. Ejemplos de estos sistemas son: Viscosímetro cónico, Viscosímetro esférico,
Viscosímetro parabólico, etc. Ejercicios propuestos. 65. En algunos aparatos de medición eléctrica, el movimiento del mecanismo indicador se atenúa al tener un disco circular que gira (con el indicador) en un tanque de aceite. De esta forma, las rotaciones extrañas se atenúan. a) [Cr] Deduzca una fórmula para el torque de atenuamiento como una función del radio del disco R, espaciamiento , velocidad de rotación
w y viscosidad del aceite .
b) [IS] ¿Cuál es el torque de atenuamiento para w 0.2 rad/s si el aceite tiene una 3 2 viscosidad de 8 10 N.s/m ? Ignore los efectos en el borde exterior de la placa rotante.
Respuesta: a) T
4w R
988 10 5 N.m. ; b) T 1.988
66. [FW] El dispositivo mostrado en la figura se denomina viscosímetro de disco rotatorio . Suponga que R 5 cm y 1 mm . Si el torque requerido para rotar el disco a 900 rpm es 0.537 N.m, ¿cuál es la viscosidad del fluido? Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Respuesta: 0.2902 Pa.s .
67. [ÇC] En algunos sistemas de amortiguación se usa como amortiguador un disco circular sumergido en aceite, como se muestra en la figura. Demuestre que el par torsión de amortiguamiento es proporcional a la velocidad angular w, de acuerdo con la relación T amortiguamiento C w
en donde C 0.5 (1 / a 1 / b) R4 . Suponga perfiles lineales de
velocidad en los dos lados del disco y desprecie los efectos en los bordes del disco.
Viscosímetro cónico. R
r
H y
Vista superior:
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte. d y
r
R
El área de contacto es el área del anillo diferencial, el cual tiene longitud 2 r y altura d y . d A 2 r d y
(68)
Al sustituir la ecuación (68) en la ecuación (61): w r d F (2 r d y) 2
d F 2 w r d y
(69)
Aplicando triángulos semejantes: y R H 2
2
r R
R 2 H 2
y
R
r
R 2 H 2
d y
R
(70)
d r
Al sustituir la ecuación (71) en la ecuación (69): 2 w R H r 2
d F
R
2
(71)
2
d r
(72)
Torque requerido para poner en movimiento el cono interno. T
r 2
r 1
r d F
(65)
Al sustituir la ecuación (72) en la ecuación (65):
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Capítulo 1. T
R
0
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
2 w R 2 H 2 r 2 r d r R
2 w R H 2
T T
R
2
R
0
3
r d r
w R 2 H 2 R 3
(73)
2
Potencia disipada en el movimiento.
Al sustituir la ecuación (73) en la ecuación (58): P
w 2 R 2 H 2 R 3 2
(74)
68. Se hace rotar un cuerpo cónico con una velocidad constante de 10 rad/s. Una película de aceite con una viscosidad de 4.5 105 lbf .s/pie 2 separa el cono del contenedor. El espesor de la película es 0.01 in. ¿Qué torque se requiere para mantener este movimiento? El cono tiene un radio de 2 in en la base y 4 in de altura. Use la suposición de perfil lineal y la ley de viscosidad de Newton.
Respuesta: T 0.1913 lbf .in .
69. [ÇC] Un cuerpo en forma de cono cortado gira a velocidad angular constante de 200 rad/s en un recipiente lleno con aceite SAE 10W-30 a 20ºC ( 0.1 Pa.s ) como se muestra en la figura. Si, especialmente en los lados el espesor de la película de aceite es de 1.2 mm, determine la potencia necesaria para mantener este movimiento. Determine también la Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
reducción en el consumo de potencia necesario cuando la temperatura del aceite se eleva hasta 80ºC ( 0.0078 Pa.s ).
Respuesta: W
w2 D 4 32 h
4 d 2 L [1 (d / D)4 ] 1 , 92%. D D d
70. [RF] El viscosímetro de cono y placa que se muestra es un instrumento usado frecuentemente para caracterizar fluidos no newtonianos. Consiste de una placa plana y un cono que gira con un ángulo muy obtuso (típicamente es menor de 5 grados). El vértice del cono sólo toca la superficie de la placa y el líquido a ser probado llena el espacio estrecho formado por el cono y la placa. Obtenga una expresión para la velocidad en el líquido que llena la brecha en términos de la geometría del sistema. Evaluar el par de torsión en el cono impulsado en términos del esfuerzo cortante y la geometría del sistema.
Respuesta:
w
, T
2 w R 3
3
.
71. [RF] Un eje con punta cónica gira en un cojinete cónico. El espaciamiento entre el eje y el cojinete está lleno de un fluido que tiene viscosidad . Obtenga una expresión Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
algebraica para el esfuerzo cortante que actúa en la superficie del eje cónico. Calcule el torque viscoso que actúa en el eje.
Respuesta:
w tan3 H 4 w y tan , T 2 cos cos
72. [RF] Calcular el par torsión que actúa en el eje. El espaciamiento entre el eje y el cojinete está lleno de aceite pesada que tiene la viscosidad de SAE 10W-30 a 30ºC ( 0.2 Pa.s ).
N.m m. Respuesta: T 0.0206 N.
73. Un cuerpo cónico gira a velocidad angular constante de 600 rpm en un recipiente como se muestra en la figura. Una brecha uniforme de 0.001 ft entre el cono y el recipiente se llena con aceite que tiene una viscosidad de 0.01 lb f .s/ft .s/ft2. Determinar el par de torsión requerido para hacer girar el cono.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Respuesta: T 0.197 197 lbf .ft .
Viscosímetro esférico. 74. [RF] Se muestra un cojinete de empuje esférico. La brecha entre el miembro esférico y la carcasa es de anchura constante . Obtener y representar gráficamente una expresión algebraica para el par sobre el elemento esférico, en función del ángulo .
Respuesta:
w R sen
, T
4 3 2 w R cos cos
3
2 cos cos 3
75. [IS] Una esfera de radio R rota con una velocidad constante de w rad/s. Una película de aceite separa la esfera rotante de un contenedor esférico estacionario. Deduzca una expresión para el torque resistente en términos de R, w, y .
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Respuesta: T
8 w R 3
4
.
1.4.- LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD PARA PERFILES DE VELOCIDAD NO LINEALES. Sistemas rectangulares. Esfuerzo cortante. El esfuerzo cortante se obtiene a partir del perfil de velocidades mediante la siguiente ecuación: x y
d v x
(1)
d y
Velocidad máxima.
Para obtener el valor máximo de la velocidad ( v y ,max ), se tiene que d v x d y 0
(75)
Luego x y 0
(76)
Al resolver la ecuación (76) obtenemos un valor crítico ( y y0 ) para la velocidad. Para determinar la velocidad máxima, se evalúa el perfil en el valor de y y0 , esto es v x ( y0 ) v y ,max
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(77)
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Ejercicios propuestos. 76. [Cr] Aire a 15ºC forma una capa límite cerca de una pared sólida. La distribución de velocidades en la capa límite está dada por v vmax (1 e
2 y
),
m/ss y donde vmax max 30 m/
1 cm . Determine el esfuerzo cortante en la pared ( y 0 ).
Respuesta: 0.08763 Pa .
77. [Cr] La distribución de velocidad para el agua (20ºC) cerca de una pared está dada por 1 6
v a y b
, donde a 10 m/s , b 2 mm y y es la distancia a la pared en mm. Determine el
esfuerzo cortante en el agua a y 1 mm . Respuesta: 0.2958 Pa .
78. [Cr] Se muestra la distribución de velocidad para el flujo de petróleo crudo a 100ºF ( 5 8 10 lbf .s/pie2 ) entre dos paredes, y está dado por v 10 100 0 y (0 .1 y ) ft/s, donde y es
medido en pies y el espacio entre las paredes es 0.1 ft. Trazar la distribución de velocidad y determinar el esfuerzo cortante en las paredes.
2 4 4 2 lbf /ft /ft . 8 10 Respuesta: y 0 8 10 lbf /ft /ft , y 0.1ft
79. Considere el flujo laminar de un fluido newtoniano de viscosidad entre dos placas paralelas. El flujo es unidimensional y el perfil de velocidad se da como
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
y y 2 v 4 vmax , donde y es la coordenada vertical desde la superficie del fondo, h es h h
la distancia entre las dos placas y vmax max es la velocidad máxima de flujo que se tiene a la mitad del plano. Desarrolle una relación para la fuerza de arrastre, ejercida sobre las dos placas por el fluido en la dirección del flujo por unidad de área de las placas.
Respuesta: y 0
4 v max
, y 0
2 vmax
h
.
h
80. [RF] La distribución de velocidad para el flujo laminar entre placas paralelas está dada 2 y 2 por v vmax 1 , donde h es la distancia que separa las placas y el origen se sitúa h
equidistante entre las placas. Considere el flujo de agua a 15ºC con vmax 0.10 m/s y h 0.25 mm . Calcular el esfuerzo cortante en la placa superior y dar su dirección. Dibuje
la variación de esfuerzo cortante a través del canal. Respuesta: y h / 2 1.91708 Pa hacia la izquierda.
81. [RF] La distribución de velocidad para el flujo laminar entre placas paralelas está dada 2 y 2 por v vmax 1 , donde h es la distancia que separa las placas y el origen se sitúa h
equidistante entre las placas. Considere el flujo de agua a 15ºC con la velocidad máxima de 0.05 m/s y h = 1 mm. Calcular la fuerza en una sección de 1 m 2 de la placa inferior y dar su dirección. Respuesta: F
y h / 2
0.2396 N hacia la derecha.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
82. [MY] Un fluido newtoniano con densidad relativa de 0.92 y viscosidad cinemática 4 10
4
m /s fluye 2
por una superficie fija. En la figura se muestra el perfil de velocidad
cerca de la superficie. Determinar la magnitud y dirección del esfuerzo cortante desarrollado sobre la placa. Expresar la respuesta en términos de unidades de metros por segundo y metros, respectivamente.
v V
V y
3 y 2
expresados en
1 y
3
. 2
V
Respuesta: 0.552 552 hacia la izquierda.
83. [MY] Resolver el problema anterior si el perfil de velocidad está dado por la ecuación y sen . V 2 v
Respuesta: 0 .578V hacia la izquierda.
84. [Cr] Supongamos que la glicerina está fluyendo (20ºC) y que el gradiente de presión d p d x
es – 1.6 1.6 kN/m3. ¿Cuáles son la velocidad y el esfuerzo cortante a una distancia de 12
mm desde la pared si el espacio B entre las paredes es 5.0 cm? ¿Cuáles son el esfuerzo cortante y la velocidad en la pared? La distribución de velocidad para flujo viscoso entre las placas estacionarias es v
1 d p
2 d x
( B y y ) .
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2
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Capítulo 1.
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Respuesta: v y 12 mm 0.588 588 m/s , y 12 mm 20.8 Pa . En la pared: v y 0 0 , y0 40 Pa .
85. [Cr] Un flujo laminar se produce entre dos placas paralelas horizontales bajo un gradiente de presión
d p
( pp disminuye en la dirección x positiva). La placa superior se
d x
mueve hacia la izquierda (negativa) a la velocidad v está dada por v
1 d p 2 d x
( H y y ) vt 2
y H
v t .
La expresión para la velocidad local
.
a) Es la magnitud del esfuerzo cortante mayor en la placa móvil ( y
H )
o en la placa
estacionaria ( y 0 )? b) Deducir una expresión para la posición y de esfuerzo cortante nulo. c) Deducir una expresión para la velocidad de la placa cortante nulo en
v t requerida
para hacer el esfuerzo
y 0 .
vt
Respuesta: a) El esfuerzo cortante máximo se producirá en y H ; b) v 12 H
;
H p d d x
c) vt
1 d p 2 d x
H 2 .
86. Dedúzcase una expresión para la componente de la fuerza F del fluido sobre cada superficie de la figura para flujo laminar entre dos placas en movimiento.
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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54
Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
El perfil de velocidades está dado por v x Respuesta: F x F x
y
y 0
( P0 PL ) 2 L
( y 2 y ) (u 0 v0 )
y
u0 .
( P PL ) 0 u v ( ) 0 0 A ; 2 L
(P PL ) 0 (u 0 v0 ) A . 2 L
87. Una suspensión de partículas sólidas en un líquido se encuentra entre dos placas planas paralelas de área
A separadas
por una distancia h . La placa superior se mueve con una
velocidad constante v0 en la dirección x tal como se muestra en la figura. La suspensión se encontraba inicialmente en reposo pero, debido al movimiento de la placa superior, se desarrolla en ella un perfil de velocidades. La suspensión puede ser considerada un fluido newtoniano pero, debido a que las partículas sólidas tienden a acumularse sobre la placa inferior, su viscosidad será función lineal de la posición vertical. Si dicha viscosidad puede expresarse como una función lineal de y en la forma 0 1
y
. Halle una
expresión para calcular la fuerza que debe ejercerse sobre la placa superior para mantener
ln 1
su movimiento. El perfil de velocidades está dado por
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y
v x v0 . ln (1 )
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55
Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Respuesta: F x
y
0 v0 A ln (1 )
.
88. Resolver de nuevo el problema 87 para el caso de que la viscosidad dependa de la ( y / ) 0
, en la que 0 es la viscosidad en la posición en la forma siguiente: e superficie de la película, y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar x . El perfil de velocidades está dado por Respuesta: F x
y
0 v0 A (1 e )
v x
1 e
( y / )
1 e
v0 .
.
89. Resolver de nuevo el problema 87 para el caso de que la viscosidad sea constante ( 0 ). Demostrar cómo se puede llegar a los resultados de este problema a partir del caso límite de que 0 en los problemas 87, 88 y 89. El perfil de velocidades está dado por Respuesta: F x
y
0 v0 A
v x y v 0 .
.
90. [MY] Una capa de agua desciende por una superficie inclinada fija con el perfil de velocidad
v V
2
y
y
2
2
que se muestra en la figura. Determinar la magnitud y dirección
del esfuerzo cortante que ejerce el agua sobre la superficie fija para V 3 m/s y 0.1 m .
Respuesta: 4.48 102 Pa en la dirección del flujo. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
91. [RF] El petróleo crudo, con una gravedad específica SG = 0.85 y viscosidad 2.15 10 3 lb f .s/ft 2 fluye hacia abajo en forma constante sobre una superficie inclinada
30º por debajo de la horizontal en una película de espesor h 0.125 in . El perfil de 2 g y h y sen . velocidad está dado por v 2
(La coordenada x está a lo largo de la superficie e y es normal a la superficie. Trazar el perfil de velocidad. Determinar la magnitud y dirección del esfuerzo cortante que actúa en la superficie. 2 Respuesta: g h sen , 0.277 277 lbf /f /ftt en la dirección del flujo.
92. Consideremos una superficie plana inclinada. Estas películas se han estudiado en relación con torres de pared mojada, experiencias de evaporación y absorción de gases y aplicación de capas de pintura a rollos de papel. Se supone que la viscosidad y densidad del fluido son constantes y se considera una región de longitud L y ancho W , suficientemente alejada de los extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están incluidas en L; es decir, que en esta región el componente v z de velocidad es independiente de z. z
x
v z ( x)
El perfil de velocidades está dado por
xy ( x) L
Dirección de la gravedad
v z
cos g cos 2 2
x 1
2
Determinar: a) La posición x para la cual el esfuerzo cortante sobre el fluido es igual a cero. b) La velocidad máxima. F del fluido sobre la superficie. c) Componente de la fuerza Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willian s Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademi http://www.slideshare.net/asesoracademico/ co/
57
Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Respuesta: a) x 0 ; b) v z ,máx
cos g 2 cos 2
; c) F z x g LW cos .
93. Resolver de nuevo el problema 92 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la forma siguiente: 0 1 x , en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la película, y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar v z
x .
El
perfil
de
velocidad
está
dado
por
g 2 cos
x x 1 ln 1 ln ( 1 ) . Demostrar como el resultado
2
0
de este problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso límite de que 0 (fluido de viscosidad constante). 2
Respuesta: a) x 0 ; b) v z ,máx
co g cos s [ ln (1 )] ; c) F z x g L W cos . 2 0
94. Resolver de nuevo el problema 92 para el caso de que la viscosidad dependa de la 2 x 2 posición en la forma siguiente: 0 1 2 , en la que 0 es la viscosidad en la
superficie de la película, y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar
x .
El
de
velocidad
está
dado
por
2 ln ( 1 ) . Demostrar como el resultado de este 2 2 2 0 problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso límite de que 0 v z
g 2 cos
perfil
ln 1
2 x 2
(fluido de viscosidad constante). Respuesta: a) x 0 ; b) v z ,máx
g 2 cos cos 2 ln (1 2 ) ; c) F z x g L W cos . 2 0
95. Resolver de nuevo el problema 92 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la forma siguiente: 0 e ( x / ) , en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la película, y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
aumentar
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte. x .
El
perfil
de
velocidad
está
dado
por
g 2 cos x / x ( 1 ) 1 . Demostrar como el resultado de este v z e e 0 2
problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso límite de que 0 (fluido de viscosidad constante). Respuesta: a) x 0 ; b) v z ,máx
co s g 2 cos 2 [e ( 1) 1] ; c) F z x g L W cos . 0
96. Trabajar el problema 92 para el fluido que obedece la ley de potencias. El perfil de 1 n
n g cos velocidades está dado por v z ( x ) . 1 n m 1 n n
1 n n
Demostrar que el resultado se simplifica de manera idónea al resultado newtoniano. 1
Respuesta: a) x 0 ; b) v z ,máx
cos n 1nn n g cos ; c) F z 1 n m
g LW cos .
x
97. Determínese la fuerza tangencial por unidad de área ejercida sobre la placa superior y su dirección.
El perfil de velocidades está dado por v y
Respuesta: 12 g h sen
v0 h
v g sen x ( x h) 0 x 2 h
.
98. La banda transportadora (figura) lleva fluido a un depósito de tal profundidad que la velocidad en la superficie libre del fluido sobre la banda es cero. Determínese la fuerza tangencial por unidad de área ejercida sobre banda transportadora y su dirección. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
El perfil de velocidades está dado por v y g sen x ( x ) v0 ( x ) 2
Respuesta: 12 g sen
v0
.
99. Una correa continua, que pasa en forma ascendente a través de un producto químico a una velocidad v 0 , levanta una película de líquido de espesor h , densidad y viscosidad ; no hay rozamiento con la atmósfera.
El perfil de velocidades está dado por v y
g h x 2
x v0 2 h
Determinar a) La posición x para la cual el esfuerzo cortante sobre el fluido es igual a cero. b) La velocidad máxima. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
e) Calcule el esfuerzo cortante en la pared. 2
Respuesta: a)
gh x h ; b) v v0 ; c) xy x 0 g h . y 2
Sistemas radiales. Esfuerzo cortante. El esfuerzo cortante se obtiene a partir del perfil de velocidades mediante la siguiente ecuación: r z
d v z
(1)
d r
Velocidad máxima.
Para obtener el valor máximo de la velocidad ( v z ,max ), se tiene que d v z d r
0
(78)
Luego r z 0
(79)
r 0 ) para la velocidad. Para Al resolver la ecuación (79) obtenemos un valor crítico ( r r 0 , esto es determinar la velocidad máxima, se evalúa el perfil en el valor de r v z ,max v z (r 0 )
(80)
Ejercicios propuestos. 100. [IS] El agua corre a través de una tubería. El perfil de velocidad en una sección es como se muestra en la figura y matemáticamente está dado por v donde
2 D
r 2 4 4
es una constante
r = distancia radial desde la línea central. V = = velocidad en cualquier posición r .
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
a) ¿Cuál es el esfuerzo cortante sobre la pared de la tubería causado por el agua? b) ¿Cuál es el esfuerzo cortante en la posición r D / 4 ?; si el perfil anterior persiste una distancia L a lo largo de la tubería, c) ¿qué arraste se induce sobre la tubería por acción del agua en la dirección del flujo a lo largo de esta distancia?
Respuesta: a) D / 4 ; b) D / 8 ; c) F D 2 L / 4 .
101. Consideremos el flujo laminar en estado estacionario de un fluido de densidad constante y viscosidad constante en un tubo de longitud L y radio R .
El
perfil
de
velocidades
está
dado
por
2 P R 2 r v z 1 4 L R
Determinar a) La posición r para la cual el esfuerzo cortante sobre el fluido es igual a cero. b) La velocidad máxima. c) La componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie. Respuesta: a) r 0 ; b) v z ,máx
P R 2 4 L
; c) F z ( R) R 2 P .
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
102. Resolver de nuevo el problema 101 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la forma siguiente: 0 1
r
, en la que 0 es la viscosidad en el centro
R
de la tubería, y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar El perfil de velocidades está dado por r . P R 2 r r 1 ln 1 ln ( 1 ) v z 2 R R 2 L
Demostrar como el resultado de este problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso límite de que 0 (fluido de viscosidad constante). Respuesta: a) r 0 ; b) v z
P R 2 2
2 L
[ ln (1 )];
c) F z ( R) R 2 P .
para el caso de que la viscosidad dependa de la 103. Resolver de nuevo el problema 101 r / R posición en la forma siguiente: 0 e , en la que 0 es la viscosidad en el centro de la tubería, y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar r . P R 2 r / R r ( 1 ) 1 e e El perfil de velocidades está dado por v z 2 2 L R
Demostrar como el resultado de este problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso límite de que 0 (fluido de viscosidad constante). Respuesta: a) r 0 ; b) v z ,máx
P R 2 2 [e ( 1) 1] ; c) F z ( R) R 2 P . 2 L
104. Algunos fluidos no newtonianos se comportan como un plástico de Bingham, para los cuales el esfuerzo cortante se puede expresar como 0
d v d r
. Para el flujo laminar de
un plástico de Bingham en un tubo horizontal de radio R, el perfil de velocidad se expresa como v (r )
P 4 L
(r R ) 2
2
0 (r R) , en donde P / L es la caída constante en la
presión a lo largo del tubo, por unidad de longitud, es la viscosidad dinámica, r es la distancia radial desde la línea central y es el esfuerzo en el punto de fluencia del plástico 0
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
de Bingham. Determine a) el esfuerzo cortante en la pared del tubo y b) la fuerza de arrastre que actúa sobre una sección del tubo de longitud L. Respuesta: r R
P R
, F R 2 P .
2 L
105. Trabajar el problema 101 para el fluido que obedece la ley de potencias. El perfil de P R velocidades está dado por v z m L 2
1 n
1 R r n 1 . 1 1 R n 1
Demostrar que el resultado se simplifica de manera idónea al resultado newtoniano. Respuesta: a) r 0 ; b) v z ,máx
P R 2 m L
1 n
R 1 n
1
; c) F z ( R) R 2 P .
106. [ÇC] En las regiones alejadas de la entrada, el flujo de un fluido por un tubo circular es unidimensional y el perfil de velocidad para el flujo laminar se expresa como r 2 v (r ) vmax 1 2 , donde R es el radio del tubo, r es es la distancia radial desde el centro de R
ese tubo y vmax es la velocidad máxima de flujo, la cual se tiene en el centro. Obtenga a) una relación para la fuerza de resistencia al movimiento aplicada por el fluido en una sección del tubo de longitud L, y b) el valor de la fuerza de resistencia al movimiento para flujo de agua a 20ºC, con R = 0.08 m, L = 15 m, vmax 3 m/s y
0.0010 kg/m.s
.
Respuesta: a) F 4 L vmax ; b) 0.565 N.
107. [ÇC] Considere el flujo de un fluido con viscosidad por un tubo circular. El perfil r n de velocidad en el tubo se expresa como v (r ) vmax 1 n , en donde vmax es la R r es la distancia radial desde velocidad máxima de flujo, la cual se tiene en lahttp://www.slideshare.net/asesoracademi línea central; are.net/asesoracademico/ Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willian s Medina. http://www.slidesh co/ 64
Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
la línea central y
v (r ) es
la velocidad de flujo en cualquier posición r . Desarrolle una
relación para la fuerza de arrastre ejercida sobre la pared del tubo por el fluido en la dirección del flujo, por unidad de longitud de tubo. Respuesta: F / L 2 n vmax . 108. [FW] Un fluido altamente viscoso (no turbulento) llena el espacio entre dos cilindros concéntricos largos de radio a y b, respectivamente. Si el cilindro exterior es fijo y el cilindro interior se mueve constantemente a velocidad axial V , el fluido se moverá a la v z
velocidad axial
V
ln (b / r ) ln (b / a)
. Encontrar expresiones para los esfuerzos cortantes en
ambas superficies de los cilindros interior y exterior y explicar por qué son diferentes.
Respuesta: r a
V b ,
a ln a
r b
V b . Son diferentes porque están calculados a
b ln a
diferentes radios.
109. Por un riel cilíndrico, tal como se muestra en la figura, se desliza otro cilindro con una velocidad
V .
Halle una expresión para determinar la fuerza tangencial que actúa sobre el
cilindro que se mueve. Considere que el fluido que se encuentra entre ambos mantiene sus propiedades constantes y que la longitud del cilindro que se desliza es L .
El perfil de velocidades está dado por
Respuesta: F
V L 2
v z V
1
ln (r / R) ln k
.
ln k Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
110. Un fluido incompresible fluye en estado estacionario a través de la región comprendida entre dos cilindros circulares coaxiales de radios k R y R .
El
perfil
de
velocidades
está
dado
por
2 2 P R 2 r (1 k ) r v z ln 1 ln (1 / k ) R 4 L R
Determinar: a) La posición r para la cual el esfuerzo cortante sobre el fluido es igual a cero. b) La velocidad máxima. c) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido interior. d) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido exterior. (1 k ) 2
Respuesta: a) r
2 ln (1 / k )
R ;
b) v z ,max
2 P R 2 (1 k ) (1 k 2 ) 1 1 ln 2 ln (1 / k ) ; c) 4 L 2 ln (1 / k )
(1 k 2 ) 2 F z (kR ) P R k 1 ; d) F z ( R ) P R 2 2 k ln (1 / k ) 2
2
(1 k 2 ) 1 . 2 ln ( 1 / ) k
111. Se tiene una tubería vertical de radio R2 y dentro de ella, un fluido newtoniano que se mueve hacia arriba. Dentro de la corriente del fluido se coloca una barra muy larga y delgada de masa m , radio R1 y longitud L ( L R1 ) como puede verse en la figura. Dicha barra la sostiene la corriente que fluye hacia arriba.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
El perfil de velocidades que hay entre los dos cilindros v z
concéntricos
P 4 L
(r R1 ) 2
2
está
dado
por
r 4 L ln ( R2 / R1 ) R1 P ( R R ) 2 2
2 1
ln
Determinar: a) La posición r para la cual el esfuerzo cortante sobre el fluido es igual a cero. b) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido interior. c) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido exterior. Respuesta:
a)
r
R22 R12
R 2 2 R2 ln 2 R1
;
b)
R22 R12 2 F z ( R1 ) P R1 1 ; R 2 R12 ln 2 R1
c)
2 2 R R 2 1 . F z ( R2 ) P R22 1 R2 2 2 R2 ln R1
112. Un fluido newtoniano se encuentra entre dos cilindros concéntricos horizontales de radio R1 y R2 (ver figura). Si el cilindro interno se mueve hacia la izquierda y el externo hacia la derecha, ambos con velocidad v 0 . El perfil de velocidades está dado r R v z 2 1 2 por V 0 R ln 1 R2 ln
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Determinar: a) La posición r para la cual la velocidad del fluido es igual a cero. b) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido interior. c) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido exterior. Respuesta: a) r R1 R2 ; b) F r R 1
4 V L
R ln 1 R2
; c) F r R 2
4 V R1 L
R R2 ln 1 R2
.
113. En una experiencia de absorción de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un pequeño tubo circular, para descender después por la parte exterior del mismo.
La distribución de velocidad en la película descendente (despreciando los efectos finales) es 2 g R
2 r r 2 v z 1 2 a ln 4 R R
Determinar a) La posición r para la cual el esfuerzo cortante sobre el fluido es igual a cero. b) La velocidad máxima. c) La componente de la fuerza F del fluido sobre la parte exterior del cilindro. Respuesta: F
r R
a)
a R ; r
b)
v z ,max
g R 2
4
(1 a 2 a ln a) ; 2
2
c)
R 2 g L (a 2 1) .
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
114. En una experiencia de rebose de un tanque, un fluido viscoso asciende hasta cierto nivel de seguridad dentro del tanque, para descender después por la parte interior de un tubo circular de radio R.
La distribución de velocidad en la película descendente (despreciando los efectos finales) es 2 g R
2 r r 2 k v z 1 2 ln 4 R R
Determinar a) La posición r para la cual el esfuerzo cortante sobre el fluido es igual a cero. b) La velocidad máxima. c) La componente de la fuerza F del fluido sobre la parte interior del cilindro. Respuesta: F
r R
a)
k R ; r
b)
v z ,max
g R 2
4
(1 k 2 k ln k ) ; 2
2
c)
R 2 g L (k 2 1) .
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
RESUMEN DE FIGURAS Y TABLAS. Tabla 1.1. Fórmulas de geometría. Cubo Paralelepípedo
h a a
Área de la superficie inferior: A a 2 (74) (75) Volumen: V a 3 Cono
L
Área de la superficie inferior: A L a (76) Volumen: V L a h (77) Cilindro (o disco) R h
Área de la superficie inferior: A R 2 (78) Área de la superficie inf.: A R 2 (80) Volumen: V 13 R 2 h (79) Volumen: V R 2 h (81)
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70
Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Tabla 1.2. Dimensiones y unidades en el sistema internacional e inglés de parámetros relacionados con el flujo de fluidos. Magnitud Aceleración Ángulo Area Densidad Desplazamiento Distancia Diámetro Espaciamiento Longitud Radio Energía Esfuerzo cortante Frecuencia angular Fuerza Masa Momento de una fuerza Potencia Rapidez Tiempo Velocidad angular Viscosidad Viscosidad cinemática Volumen
Símbolo
L M/L L
m/ m/ss RADIÁN m kg/m METRO
del SI. m/s Rad m kg/m M
Unidades del USCS. ft/s Rad ft lbm /ft ft
ML /T M/L.T M/L .T 1/T ML/T ML /T M ML /T ML /T L/T T 1/T M/L.T L2 /T L
joule (J) Pa rad/s new newto tonn (N (N)) KILOGRAMO N.m wat attt (W (W)) = J/ J/ss m/s SEGUNDO rad/s Pa.s m2 /s m
kg.m /s kg/m.s kg/m.s s – 1 kg.m/ kg .m/ss Kg kg.m /s kg.m kg.m /s m/s S – 1 s kg/m.s m2 /s m
lbm.ft /s lbm /ft.s s – 1 lbm.ft/ t/ss lbm lbm.ft /s lbm.ft /s ft/s S – 1 s lbm /ft.s ft2 /s ft
Dimensión
a A s d, h D l, L R E, U, K F m, M P v t
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L/T
Unidad
Unidades
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71
Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Tabla 1.3. Factores de conversión. Viscosidad absoluta ( ). Unidad SI: 1 kg/m.s
Equivalente a:
Centipoise Gramo por centímetro segundo Libra por pie hora Libras por pie segundo. Libra fuerza por segundo pie cuadrado Newton por metro cuadrado cuadrado por segundo segundo Pascal por segundo Poise (g/cm.s) Densidad ( ). Unidad SI: 1 kg/m 3 Gramo por galón
= 1000 cP = 10 g/cm.s = 2419.08815 lbm /ft.h = 0.6719689750 lbm /ft.s = 0.020885430234 lbf .s/ft .s/ft = 1 N/m .s = 1 Pa.s = 10 P
Gramo por litro Gramo por centímetro cúbico Gramo por metro cúbico Kilogramo por litro Libra masa por galón Libra masa por pie cúbico Libra masa por pulgada cúbica Miligramo por litro Onza por galón Onza por pie cubico Onza por pulgada cúbica
= 1 g/L = 10 – g/ g/cm = 1000 g/m3 = 0.001 kg/L = 0.008345406355 lbm/gal = 0.06242797373 lbm/ft3 = 3.612729815×10 – lb lbm/ m/in in = 1000 mg/L = 0.1335265017 oz/gal = 0.99884 0.9988473948 73948 oz/f oz/ftt = 0.0005780366868 oz/in3
Viscosidad ( ) Unidad SI: 1cinemática m2 /s Centímetro cuadrado por hora Centistokes Pie cuadrado hora Pie cuadrado segund segundoo Stokes Energía o Trabajo (E, W) Unidad SI: 1 Joule = 1 m 3.Pa = 1 N.m = 1 kg.m2 /s2 Caballos de potencia por hora.
Equivalente a: = 3.6×107 cm2 /h = 106 cSt = 38750.0775 ft2 /h = 10.7639 10.7639104170 104170 ft /h = 104 St
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Calorías.
Equivalente a: = 58.41784449 g/gal
Equivalente a: = 3.725060×10 – 7 hp-h. =http://www.slideshare.net/asesoracademi 0.2390057361 cal. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ co/
72
Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Caloría internacional. Caloría (Nutricional). Centímetros cúbicos por atmósfera. Centímetros cúbicos por barias.
= 0.238845896 IT cal. = 2.38845896×10 – 4 Cal. = 9.869232 9.869232667 667 cm .atm. .atm. = 10 10 cm .bar .bar..
Dinas por centímetros. Electrón voltio. Ergios. Kilocalorías. Kilogramos fuerza por metro. Kilojoule Kilopascal por metro cúbico. Kilovatio hora. Libra fuerza pie. Litros por atmósfera. Litros por barias.
= 10 10 Di Dina. na.cm cm.. = 6.241457006×1018 eV. = 107 erg. = 2.390057361×10 – 4 kcal. = 0.101971621 kgf .m. .m. (Kilopondímetro) – = 10 kJ. = 10 – kPa kPa.m .m . = 2.77777778×10 – 7 kW.h. = 0.737562007 lbf .ft. .ft. = 9.869232667×10 – 3 L.atm. = 10 – 2 L.bar. –
Metros cúbicos por barias. Pie cúbico por libra pulgada cuadrada. Termia Unidad Térmica Británica (Btu). Vatio segundo. Potencia (P) Unidad SI: 1 W = 1 J/s = 1 m3.Pa/s = 1 N.m/s = 1 kg.m2 /s3 Caballo de potencia (mecánico) Caballo de potencia (eléctrico) Caloría por segundo
= 1.341022038×10 – 3 hp = 1.340482574×10 – 3 hp = 0.2390057361 cal/s
Kilocaloría fuerza por hora Kilogramo por metro sobre segundo Kilojoule por hora Kilovatio Libra fuerza por pie sobre hora Libra fuerza por pie sobre minuto Libra fuerza por pie sobre segundo Tonelada de refrigeración Unidad Térmica Británica por hora Unidad Térmica Británica por minuto Unidad Térmica Británica por segundo
= 0.101971621 0.860422295 kg kcal/h = .m/s f .m/s = 3.6 kJ/h = 10 – 3 kW = 2655.223714546 lbf .ft/h .ft/h = 44.25372074221 lbf .ft/min .ft/min = 0.737562007 lbf .ft/s .ft/s = 2.843332386×10 – 4 ton = 3.412141285852 Btu/h = 0.056869021 Btu/min = 9.478170236×10 – 4 Btu/s
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
= 10 m .bar .bar.. – = 5.121959369×10 f ftt .(l (lbb /in abs). f – = 9.47817119×10 termia. = 9.47817119×10 – 4 Btu. = 1 W.s. Equivalente a:
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73
Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Tabla 1.4. Densidad de varias sustancias. Sustancia Sustancia Aluminio Cobre Hierro Magnesio Oro
Densidad Densidad (kg/ (kg/m m) 2700 8920 7860 1750 19300
Sustanci Sustanciaa Pino Plata Platino Roble Uranio
Densidad Densidad (kg/ (kg/m m) 373 11300 21450 710 18700
Tabla 1.5. Propiedades del Agua a 1 atm de presión, Sistema Internacional (Mott). Viscosidad Peso Densidad Viscosidad cinemática específico Temperatura (ºC) (Pa.s) (kg/m 3 ) 3 2 ( N/m ) /ss) v (m / – 3 9.81 1.75 10 – 6 0 1000 1.75 10 9.81 1.52 10 – 6 5 1000 1.52 10 – 3 9.81 1.30 10 – 6 10 1000 1.30 10 – 3 9.81 1.15 10 – 6 15 1000 1.15 10 – 3 9.79 1.02 10 – 6 20 998 1.02 10 – 3 9.78 8.94 10 – 7 25 997 8.91 10 – 4 9.77 30 996 8.00 10 – 4 8.03 10 – 7 9.75 35 994 7.18 10 – 4 7.22 10 – 7 9.73 40 992 6.51 10 – 4 6.56 10 – 7 9.71 45 990 5.94 10 – 4 6.00 10 – 7 9.69 50 988 5.41 10 – 4 5.48 10 – 7 9.67 55 986 4.98 10 – 4 5.05 10 – 7 9.65 60 984 4.60 10 – 4 4.67 10 – 7 9.62 65 981 4.31 10 – 4 4.39 10 – 7 9.59 70 978 4.02 10 – 4 4.11 10 – 7
– 4
75 80 85 90 95 100
9.56 9.53 9.50 9.47 9.44 9.40
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
975 971 968 965 962 958
3.73 3.50 3.30 3.11 2.92 2.82
10 – 4 10 10 – 4 10 – 4 10 – 4 10 – 4
– 7
3.83 3.60 3.41 3.22 3.04 2.94
10 – 7 10 10 – 7 10 – 7 10 – 7 10 – 7
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74
Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Tabla 1.6. Propiedades del Agua a 1 atm de presión, Sistema Inglés (Mott). Peso Viscosidad Viscosidad Densidad específico dinámica cinemática Temperatura (ºF) 3 (slug/ft ) 2 (lb f /ft 3 ) (lbf .s/ft 2 ) v (ft /s) 32 62.4 1.94 3.66 10 – 5 1.89 10 – 5 1.67 10 – 5 40 62.4 1.94 3.23 10 – 5 1.40 10 – 5 50 62.4 1.94 2.72 10 – 5 1.21 10 – 5 60 62.4 1.94 2.35 10 – 5 1.05 10 – 5 70 62.3 1.94 2.04 10 – 5 9.15 10 – 6 80 62.2 1.93 1.77 10 – 5 8.29 10 – 6 90 62.1 1.93 1.60 10 – 5 100 62.0 1.93 1.42 10 – 5 7.37 10 – 6 110 61.9 1.92 1.26 10 – 5 6.55 10 – 6 120 61.7 1.92 1.14 10 – 5 5.94 10 – 6 130 61.5 1.91 1.05 10 – 5 5.49 10 – 6
– 6
140 150 160 170 180 190 200 212
61.4 61.2 61.0 60.8 60.6 60.4 60.1 59.8
1.91 1.90 1.90 1.89 1.88 1.88 1.87 1.86
9.60 8.90 8.30 7.70 7.23 6.80 6.25 5.89
10 – 6 10 10 – 6 10 – 6 10 – 6 10 – 6 10 – 6 10 – 6
– 6
5.03 4.68 4.38 4.07 3.84 3.62 3.34 3.17
10 – 6 10 10 – 6 10 – 6 10 – 6 10 – 6 10 – 6 10 – 6
Tabla 1.7. Propiedades de la Glicerina (Çengel). Temperatura (ºC) 0 5 10 15 20 25 30 35 40
(kg/m 3 )
(Pa.s)
1276 1273 1270 1267 1264 1261 1258 1255 1252
10.49 6.730 4.241 2.496 1.519 0.9934 0.6582 0.4347 0.3073
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
2
v (m /s)
8.219 5.287 3.339 1.970 1.201 7.878 5.232 3.464 2.455
10 – 3 10 – 3 10 – 3 10 – 3 10 – 3 10 – 4 10 – 4 10 – 4 10 – 4
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Tabla 1.8. Viscosidades de algunos líquidos a la presión atmosférica (Bird). Sustancia (Pa.s) Fórmula Temperatura (ºC) Eter etílico (C2H5)2º 20 0.245 10 – 3 Benceno C6H6 20 0.647 10 – 3 Bromo Br2 26 0.946 10 – 3 Etanol C2H5OH 20 1.194 10 – 3 Mercurio Hg 20 1.547 10 – 3 Ácido sulfúrico H2SO4 25 19.15 10 – 3 Tabla 1.9. Propiedades de líquidos comunes a 25ºC, Sistema Internacional. Viscosidad Peso Viscosidad Gravedad Densidad dinámica específico cinemática Sustancia 3 específica (kg/m ) (Pa.s ó 3 ( N/m ) (m2 /s) (m 2 N.s/m ) Acetona 0.787 7.72 787 3.16 10 – 4 4.02 10 – 7 Alcohol, etílico 0.787 7.72 787 1.00 10 – 3 1.27 10 – 6 Alcohol, metílico 0.789 7.74 789 5.60 10 – 4 7.10 10 – 7 Alcohol, propílico 0.802 7.87 802 1.92 10 – 3 2.39 10 – 6 Amoniaco 0.826 8.10 826 – 4 Benceno 0.876 8.59 876 6.03 10 6.88 10 – 7 Tetracloruro de carbono 1.590 15.60 1590 9.10 10 – 4 5.72 10 – 7 Aceite de ricino 0.960 9.42 960 6.51 10 – 1 6.78 10 – 4 Etilenglicol 1.100 10.79 1100 1.62 10 – 2 1.47 10 – 5 Gasolina 0.68 6.67 680 2.87 10 – 4 4.22 10 – 7 Glicerina 1.258 12.34 1258 9.60 10 – 1 7.63 10 – 4 Querosen 0.823 8.07 823 1.64 10 – 3 1.99 10 – 6 Aceite de linaza 0.930 9.12 930 3.31 10 – 2 3.56 10 – 5
– 3
Mercurio Propano Agua de mar Trementina Aceite de petróleo, medio Aceite de petróleo, pesado
13.54 0.495 1.030 0.870 0.852 0.906
132.8 4.86 10.10 8.53 8.36 8.89
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
13540 495 1030 870 852 906
1.53 1.10 1.03 1.37 2.99 1.07
10 – 4 10 10 – 3 10 – 3 10 – 3 10 – 1
– 7
1.13 2.22 1.00 1.57 3.51 1.18
10 – 7 10 10 – 6 10 – 6 10 – 6 10 – 4
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Tabla 1.10. Propiedades de líquidos comunes a 25ºC, Sistema Inglés. Sustancia
Gravedad específica
Peso específico 3
(lb /ft )
Densidad (slug/ft3)
f
Acetona Alcohol, etílico Alcohol, metílico Alcohol, propílico Amoniaco Benceno Tetracloruro de carbono
Aceite de ricino Etilenglicol Gasolina Glicerina Querosen Aceite de linaza Mercurio Propano Agua de mar Trementina Aceite de petróleo, medio Aceite de petróleo, pesado
0.787 0.787 0.789 0.802 0.826 0.876 1.590 0.960 1.100 0.68 1.258 0.823 0.930 13.54 0.495 1.030 0.870 0.852 0.906
48.98 49.01 49.10 49.94 51.41 54.55 98.91 59.69 68.47 42.40 78.50 51.20 58.00 844.9 30.81 64.00 54.20 53.16 56.53
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
Viscosidad dinámica
2.44 1.60 1.80 26.26 0.96 2.00 1.69 1.65 1.76
2
2
(lb .s/ft ) f
1.53 1.53 1.53 1.56 1.60 1.70 3.08 1.86 2.13 1.32
Viscosidad cinemática
6.60 2.10 1.17 4.01
10 10 – 5 10 – 5 10 – 5
1.26 1.90 1.36 3.38 6.00 2.00 3.43 6.91 3.20 2.30 2.15 2.87 6.25 2.24
– 6
– 5
10 10 – 5 10 – 2 10 – 4 10 – 6
– 2
10 – 5 10 10 – 4 10 – 5 10 – 6 10 – 5 10 – 5 10 – 5 10 – 3
v (ft /s)
10 – 6 10 – 5 10 – 6 10 – 5
4.31 1.37 7.65 2.57
7.41 6.17 7.31 1.59 4.55
10 – 6 10 – 6 10 – 3 10 – 4 10 – 6
– 3
8.20 2.14 3.84 1.22 2.40 1.08 1.70 3.79 1.27
10 – 5 10 10 – 4 10 – 6 10 – 6 10 – 5 10 – 5 10 – 5 10 – 3
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Tabla 1.11. Propiedades del Aire a 1 atm de presión (Çengel). Temperatura (ºC) 0
(kg/m 3 )
(Pa.s)
v (m2 /s)
1.292
1.729 10 – 5
1.338 10 – 5
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 60 70
1.269 1.246 1.225 1.204 1.184 1.164 1.145 1.127 1.109 1.092 1.059 1.028
80 90 100
0.9994 0.9718 0.9458
1.754 1.778 1.802 1.825 1.849 1.872 1.895 1.918 1.941 1.963 2.008 2.052
– 5
10 – 5 10 10 – 5 10 – 5 10 – 5 10 – 5 10 – 5 10 – 5 10 – 5 10 – 5 10 – 5 10 – 5
– 5 2.096 10 – 2.139 10 5 2.181 10 – 5
1.382 1.426 1.470 1.516 1.562 1.608 1.655 1.702 1.750 1.798 1.896 1.995
– 5
10 – 5 10 10 – 5 10 – 5 10 – 5 10 – 5 10 – 5 10 – 5 10 – 5 10 – 5 10 – 5 10 – 5
– 5 2.097 10 – 2.201 10 5 2.306 10 – 5
Tabla 1.12. Parámetros de flujo de algunos plásticos de Bingham familiares (Levenspiel). Material Salsa de tomate, Catchup Mostaza Oleomargarina Mayonesa
Temperatura (ºC) 30 30 30 30
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
0 (Pa )
0 (Pa.s)
14 38 51 85
0.08 0.25 0.12 0.63
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Tabla 1.13. Parámetros de la ley de potencias para soluciones acuosas (Bird Levenspiel). n Temperatura n Solución. m (Pa.s ) (ºC) (adimensional) Hidroxietilcelulosa al 2.0% Hidroxietilcelulosa al 05% Oxido de Polietileno al 1.0% Compota de manzana, diferentes recetas Papilla de plátanos, diferentes muestras
Sangre humana Sopas y salsas Zumo de tomate (5.8% sólidos) Zumo de tomate (30% sólidos) 23.3% de arcilla amarilla de Illinois en agua. 0.67% de carboximetilcelulosa en agua. 0.67% de carboximetilcelulosa en agua. 0.67% de carboximetilcelulosa en agua. 33% de cal en agua. 10% de NAPALM en keroseno. 4% de pasta de papel en agua. 54.3% de cemento en agua.
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
293 313 333 293 313 333 293 313 333 24 24 24
93.5 59.7 38.5 0.84 0.30 0.136 0.994 0.706 0.486 0.66 0.50 6.5
0.189 0.223 0.254 0.509 0.595 0.645 0.532 0.544 0.599 0.41 0.65 0.46
24
10.7 0.00384 3.6 – 5.6
0.33 0.89 0.51 0.59 0.40 0.229 0.716 0.554 0.566 0.171 0.520 0.575 0.153
32 32 5.55 0.304 3.13 9.29 7.18 4.28 20 2.51
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
Figura 1.1. Viscosidad absoluta de diversos líquidos en función de la temperatura. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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Capítulo 1.
Viscosidad y Mecanismo Mecanismo del Transporte.
BIBLIOGRAFÍA. BIRD, R. B, Fenómenos de Transporte. Editorial Reverté., Barcelona, 1996. ÇENGEL, Y y CIMBALA, J. Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones , Segunda Edición., McGraw-Hill / Interamericana Editores S.A de C.V., México, 2012. GILES, R, EVETT, J y LIU, C, Mecánica de los Fluidos e Hidráulica, Tercera Edición., Mc-Graw Hill / Interamericana de España, S.A.U., Madrid, 1994. MOTT, R, Mecánica de Fluidos Aplicada, Cuarta Edición., Editorial Prentice Hall., México, 1996. STREETER, V y WILYE, E, Mecánica de los Fluidos, Octava Edición., Editorial McGraw Hill., México, 1988.
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.
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