Fenômenos de Transporte I - Equações Básicas na Forma Integral para um Volume de Controle

Universidade Federal do Pará Faculdade de Engenharia Química Mecânica dos Fluidos Titularr - Pro Titula Professor fessor João Nazar Nazareno eno Assistentes – Cl Clau aude deri rino no Ba Bati tist staa Edilson Magalhães

Capítulo 2 Equações Básicas na Forma Integral para um Volume Volume de Controle Tópicos 

Leis Físicas Básicas da Mecânica dos Fluidos.

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Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle.



Conservação da Massa.



Conservação da Quantidade de Movimento Linear.

Técnicas Básicas de Análise de Escoamento Há três modos básicos de atacar um problema de escoamento de um fluido: 1 – VOLUME DE CONTROLE ou ANÁLISE INTEGRAL 2 – SISTEMA INFINITESIMAL ou ANÁLISE DIFERENCIAL 3 – ESTUDO EXPERIMENTAL ou ANÁLISE DIMENSIONAL

Leis Físicas Básicas da Mecânica dos Fluidos.

Conservação da Massa O Princípio da Quantidade de Movimento Angular

dm 

0  dt    Sistema

T  

A 1 ° Lei da Termodinâmica  Q   W

dQ dt



dW dt

 dE   

ds 

1

dE   F  

dt  

T 

Q

.

dS  

 dt    Sistema

A Segunda Lei de Newton

A 2 ° Lei da Termodinâmica .

d H  

Q

  dt   Sistema T 

dP 

 dt   Sistema

Leis Físicas Básicas da Mecânica dos Fluidos. Em cada ponto Análise do Movimento: Região finita (Volume de Controle) Importância de se fazer uma análise de Volume de Controle: Falta de ferramentas matemáticas e a incapacidade dos computadores(Análise Diferencial) Falta de tempo, dinheiro, e generalidades fazem da experimentação também limitada. 



Na análise integral e diferencial, essas cinco relações são modeladas matematicamente e solucionadas por métodos computacionais. Em um estudo experimental, o próprio fluido desempenha essa tarefa sem uso de qualquer matemática. Em outras palavras, acredita-se que essas leis sejam fundamentais para a Física e não se conhece escoamento de fluido que as infrinja.

SISTEMA: é uma quantidade fixa e identificável. VOLUME DE CONTROLE: é uma região finita, cuidadosamente escolhida por um analista, com contornos abertos pelos quais se permite que massa, quantidade de movimento e energia se cruzem. O analista faz um balanço ou equilíbrio entre o fluido.

SISTEMA INFINITESIMAL: Quando as leis de conservação são escritas para um sistema infinitesimal de um fluido em movimento, elas se tornam as equações diferenciais básicas do escoamento do fluido. Para aplicá-las a um problema específico, deve-se ‘integrar’ essas equações matematicamente sujeitas às condições de contorno do problema particular.

Exemplos de Volumes de Controles

Vazão Volumétrica e Vazão em Massa

Fluxo de saída (Vetor positivo) Vetor unitário nornal

V. n Fluxo de entrada (Vetor negativo)

Vazão mássica

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Propriedades Extensiva : são as propriedades de um sistema que dependem de seu tamanho, ou da quantidade de material que ele contém. Podem ser divididas. Ex: massa, volume, entropia, energia, resistência elétrica, textura, calor. Propriedades Intensiva: são as propriedades de um sistema que não dependem de seu tamanho, ou da quantidade de material que ele contém. Ex: pressão, temperatura, viscosidade, densidade, resistividade elétrica, ponto de fusão, ponto de ebulição, cor (em solução),

Elemento de massa Quantidade total de B no volume de controle

Grandeza intensiva correpondente Extensiva

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Teorema do Transporte de Reynolds 

Volume de Controle Fixo Unidimensional

Objetivo: Relacionar a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva arbitrária, B, do sistema com quantidade associadas com o volume de controle

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle d V  .   AV  dt  d  dt 

 Bsist  

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle d V  .   AV  dt  d  dt 

 Bsist  

Taxa de variação de B dentro do V.C

Fluxo de B para fora, através da superfície de controle

Fluxo de B para dentro, através da superfície de controle

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Teorema do Transporte de Reynolds 

Volume de Controle Fixo Arbitrário:

- Em cada elemento de área haverá uma velocidade diferente, formando um ângulo diferente com a normal local a dA. - Haverá fluxo de volume de entrada e saída.

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Teorema do Transporte de Reynolds 

Volume de Controle Fixo Arbitrário:

Em termos de fluxo (1): V.Cos θ = Vn e dm/dt = ρ Vn.dA

Em termos de fluxo (2): n→ vetor normal para fora

Vn = V . n e V . n = -V.n

Forma compacta do Teorema de Transporte de Reynolds

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Teorema do Transporte de Reynolds 

Volume de Controle movendo-se a velocidade constante: Velocidade relativa

Vr = V - Vs

velocidade do V.C observado

Velocidade do fluido com relação ao mesmo referencial no qual o movimento Vs



Volume de Controle de forma constante mas movendo-se a velocidade variavél: Vr = V (r , t) - Vs ( t )

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Teorema do Transporte de Reynolds 

Volume de Controle com movimento e deformação arbitrários Vr (r , t) = V (r , t) - Vs (r , t)

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Teorema do Transporte de Reynolds Aproximações Unidimensionais para termos de fluxo:

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Exemplo 1

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle Exemplo 1

Conservação da Massa 

Para a conservação da massa: B = m e β = dm/dm = 1 V.C deformável

V.C fixo

Para um certo número de entradas Escoamento permanente Fluxos de saída = Fluxos de entrada

Conservação da Massa 

Escoamento Incompressível.

Todos os líquidos são praticamente incompressíveis, e escoamentos de gases podem se comportar como se fossem incompressíveis, em particular se a velocidade do gás for menor que 30% da velocidade do som no gás. Se V.C for fixo,entrada e saídas são unidimensionais : 0

V.C fixo

Se não são unidimensionais :

velocidade média baseada no volume

Conservação da Massa Escoamento Incompressível.



Se a densidade varia através da seção:

Conservação da Massa Exemplo 3

Conservação da Massa Exemplo 4

Exemplo 5

Exemplo 5

A Equação da Quantidade de Movimento Linear 

Para a Quantidade de Movimento Linear: B = mV e β = dB/dm = V V.C deformavél



V→ é a velocidade do fluido em relação a um referencial inercial (não-alterado). ∑ → é a soma vetorial de todas as forças atuantes no volume de controle

material, considerando com um corpo livre; ou seja, ele inclui as forças de superfície sobre todos os fluidos e sólidos cortados pela superfície de controle,mais todas as forças de campo(gravitacional e eletromagnética) atuando sobre as massas no interior do volume de controle. A equação como um todo é uma relação vetorial; 



V.C fixo É interessante observar que a equação acima é uma relação vetorial e que V deve ser uma velocidade em relação a um referencial inercial.

A Equação da Quantidade de Movimento Linear 

Fluxo de quantidade de movimento unidimensional.

Por analogia com a expressão do fluxo de massa, a equação abaixo é chamado de Fluxo de Quantidade de Movimento:

 Negativo → fluxo de quantidade de movimento é para dentro. Positivo → fluxo de quantidade de movimento é para fora.

Se seção transversal é unidimensional,V e ρ são uniformes sobre a área; Se o V.C possui apenas entradas e saídas unidimensionais;

O vetor da força resultante sobre um volume de fixo é igual à a taxa de variação da quantidade de movimento dentro do volume de controle mais a soma vetorial dos fluxos de quantidade de movimento de saída menos a soma vetorial dos fluxo de entrada.

A Equação da Quantidade de Movimento Linear Força de Pressão resultante sobre uma superfície de controle fechada. As forças de superfície sobre um volume de controle devem-se a (1): forças expostas pelos cortes através dos corpos sólidos que se prolongam pela superfície e (2): forças devidas às pressões e tensões viscosas do fluido circundante. 

A Equação da Quantidade de Movimento Linear Fator de correção do fluxo de quantidade de movimento. Para um duto, geralmente a velocidade axial não é uniforme.O calculo simplificado do fluxo da quantidade de movimento: 

É relativamente impreciso e precisa ser corrigido por de correção de fluxo de quantidade de movimento, β 1.

onde β é um fator adimensional