Fenomeno de Gibbs

Fenómeno de Gibbs. Cuando una función tiene una discontinuidad de salto en un punto, su serie de Fourier tiene un comportamiento especial en dicho punto. Este comportamiento se llama fenómeno de Gibbs. Este fenómeno consiste en que cerca del punto las sumas parciales de la serie de Fourier mantienen unas oscilaciones que no se hacen pequeñas. Este fenómeno fue observado por el físico experimental Albert Michelson, quien en 1898 construyó una máquina para sumar series de Fourier. Alrededor de las discontinuidades de las funciones siempre aparecían saltos, que no se hacían pequeños por mucho que se aumentara el número de sumandos de la serie. El fenómeno fue explicado en 1899 por J. Williard Gibbs, y puede cuantificarse con precisión. Aquí tan sólo ilustramos el fenómeno considerando la función que vale 1 entre 0 y pi y -1 entre -pi y 0. Las sumas parciales de la serie de Fourier de esta función son

Sumas parciales para n variando entre 1 y 60 ejemplo de 9, 32

La serie de Fourier converge uniformemente a la función en cualquier conjunto cerrado que no contenga a 0, por eso las perturbaciones se acercan cada vez más a 0, sin desaparecer.

Aproximaciones para las series de fourier de la función cuadrada, usando un número variado de términos escrito por

K:

Solución al fenómeno La serie presentará un pico próximo a la discontinuidad. Este pico se acercará más a la discontinuidad al sumar más términos de la serie, pero su amplitud “δ” no disminuye cuando el número de términos sumados tiende a infinito. El valor de “δ” es proporcional a la magnitud de discontinuidad en “x0″.

Un importante ejemplo: la función "delta de Dirac” En 1926, el físico ingles P.A.M. Dirac (1902-1984), introdujo la función delta de Dirac ([Di]), (que denotaremos ±(x)) en conexión con sus estudios sobre Mecánica Cuántica. Realmente no se trata de una función en el sentido ordinario del término, sino de una distribución (ver [Sc]). La delta de Dirac viene caracterizada por las siguientes propiedades:

Bibliografía: http://euler.us.es/~plopez/fenomeno-de-Gibbs.htm http://cnx.org/content/m12929/latest/ http://estudiarfisica.wordpress.com/2009/04/20/metodos-matematicos-iii-3-series-defourier-coeficientes-convergencia-fenomeno-de-gibbs-funciones-pares-e-impares-derivacione-integracion-de-fourier-convergencia-en-media-notacion-compleja/