FEM - 3d

ANALISA TEGANGAN TIGA DIMENSI

Introduction Elemen 3D digunakan untuk analisa tegangan umum struktur tigadimensi (3D) yang memerlukan analisa yang lebih tepat daripada yang dihasilkan melalui analisa dua dimensi atau analisa Contoh masalah tiga dimensi axisymmetric  bendungan lengkung  bejana tekan berdinding tebal  benda-benda tempaan padat (dalam alat berat dan industri otomotif) Gambar 1-1: (a) rim roda; (b) engine block; and 　 (c) pembajak 12-baris (untuk pertanian). Daryl L. Logan, 2012.

(a)

(b)

(c)

Tegangan –– Tegangan Regangan 3D 3D Regangan

Dari momen kesetimbangan elemen

 x,  y,  z  xy ,  yz ,  xz

x,  y, z u , v, w Gambar. 1–2 Kondisi tegangan 3D pada sebuah elemen

 xy   yx

 yz   zy

= tegangan normal ( bidang elemen) = tegangan geser = regangan = perpindahan arah sumbu x, y, z

 zx   xz

 Hubungan regangan - displacement

x 

u x

y 

v y

z 

w z

… (1.1)

 Regangan geser

u v    yx y x v w  yz     zy z y w u  zx     xz x z

 xy 

… (1.2)

 Tegangan dan regangan dinyatakan dalam bentuk matrik kolom

 x     y   z  { }      xy    yz      zx 

 x      y   z  { }      xy    yz      zx 

… (1.3)

 Hubungan tegangan – regangan untuk material isotropik

{ }  [ D  { }

… (1.4)

[ D  = matriks konstitutif

 1 v  

v 1 v



 E  [D   (1  v)(1 2v)    



 Simetris

v v 1 v

0 0 0 1 2v 2



0 0 0

0 0 0

0

0 

1 2v 2

0 

     

1 2v   2  … (1.5)

Elemen Tetrahedral Tetrahedral 44Elemen node node 1. Menentukan tipe elemen  Perpindahan tiap node

 u1   v   1  w1 

* Penomoran node elemen berlawanan arah jarum jam Gambar. 1–3 Elemen solid tetrahedral dengan 4 node sudut

  {d }      u4     v4   w4 

… (1.6)

Terdapat 3 derajat kebebasan tiap node  total 12 derajat kebebasan tiap elemen

2. Menentukan fungsi perpindahan Fungsi perpindahan elemen u, v, dan w harus linier di sepanjang setiap sisi karena hanya ada dua poin (node sudut) sepanjang setiap sisi, dan fungsi harus linear di setiap sisi bidang tetrahedron.  Fungsi perpindahan linear

u ( x, y, z )  a1  a2 x  a3 y  a4 z v( x, y, z )  a5  a6 x  a7 y  a8 z w( x, y, z )  a9  a10 x  a11 y  a12 z

x1 , y1 , z1 , ... , z 4  Dari koordinat node u1tiap , v1 , node w1 , ...elemen , w4 perpindahan diketahui), diperoleh

u ( x, y , z ) 

… (1.7)

(diketahui) dan (tidak

1 {(1  1 x   1 y  1 z )u1 6V  ( 2   2 x   2 y   2 z )u 2  ( 3   3 x   3 y   3 z )u 3  ( 4   4 x   4 y   4 z )u 4 }

… (1.8)

Menghitung determinan, diperoleh

 Koefisien

1 x1

y1

z1

1 x2 6V  1 x3 1 x4

y2 y3 y4

z2 z3 z4

 i , i ,  i

dan i

(i  1, 2, 3, 4)

… (1.9)

V = volume tetrahedron sbb :

… (1.10)

… (1.11)

… (1.12)

… (1.13)

 Perpindahan node dari fungsi shape function Dari hasil substitusi nilai-nilai koefisien kedalam pers. (1-8), diperoleh

[N  Matriks shape function

… (1.14)

 Shape function

… (1.15)

enentukan hubungan antara perpindahan regangan dan tegangan-regan

 Regangan elemen untuk kondisi tegangan 3D

… (1.16)

Substitusi pers. (1-14) kedalam pers. (1-16) diperoleh … (1.17) … (1.18)

dimana Submatriks

[B1  dinyatakan sebagai

… (1.19)

begitu juga untuk submatriks [ B2  , [ B3 

[Bdan 4

Substitusi pers. shape function (1-15) kedalam pers. (1-19) diperoleh

… (1.20)

Bentuk yang serupa untuk submatriks[ B2  , [ B3 

[Bdan 4

 Tegangan elemen dalam hubungannya dengan regangan … (1.21)

[D  Matriks konstitutif dalam pers. (1.5)

untuk material elastis dinyatakan

. Menentukan matriks dan persamaan kekakuan elemen  Matriks kekakuan elemen dinyatakan sebagai

Karena [ B  dan adalah konstan untuk elemen [D  tetrahedral sederhana, sehingga

 Body force

… (1.23)

Matriks 12 x 12

Matriks body force elemen … (1.24)

dimana

… (1.25)

Resultan body force didistribusikan secara merata pada keempat node, sehingg … (1.26) Matriks 12 x 1  Surface force … (1.27)

[ N s  = matriks shape function yang dihitung pada permukaan dimana traksi permukaan terjadi

p Contoh, jika tegangan seragam dikenakan pada bidang elemen dengan node 1-3, maka gaya-gaya pada node yang dihasilkan :

… (1.28)

 Dalam bentuk sederhana gaya-gaya pada node dinyatakan

… (1.29)

S123 = area permukaan yang berhubungan dengan node 1-3

Elemen Kubus Kubus 8-node 8-node Elemen

Gambar 11–4 Elemen kubus 8-node

 Perpindahan node dari fungsi shape function

… (1.30)

… (1.31)

… (1.32)

Dengan cara yang sama, untuk kasus temperatur, variasi temperatur ruang pada sebuah elemen dinyatakan sebagai

… (1.33)

Elemen Tetrahedral Tetrahedral Elemen 10-node 10-node Lebih cocok dan lebih akurat untuk pemodelan dengan kondisi batas melengkung Gambar 11–5 Elemen tetrahedral 10-node

 Perpindahan node dari fungsi shape function … (1.34)

… (1.35)

… (1.35) Dengan cara yang sama, untuk kasus temperatur, variasi temperatur ruang pada sebuah elemen dinyatakan sebagai … (1.35)

Elemen Tetrahedral Tetrahedral Elemen 20-node 20-node

Gambar 11–6 Elemen tetrahedral 20-node

 Perpindahan node dari fungsi shape function

… (1.36)

v Untuk komponen sebagai berikut

w dan

u komponen sama halnya dengan

… (1.37)

… (1.38) Dengan cara yang sama, untuk kasus temperatur, variasi temperatur ruang pada sebuah elemen dinyatakan sebagai

… (1.39)

Elemen Heksahedral Heksahedral Elemen Linier Linier

Gambar 11–4 Elemen heksahedral linear (a) dalam sistem koordinat global (b) Elemen dipetakan kedalam sebuah kubus dengan dua sisi yang terletak simetris dalam koordinat t, s, dan z’

ai Komponen geometri elemen dalam hubungannya dengan derajat kebebasan dinyatakan sebagai … (1.30) Begitu juga untuk komponeny

Memasukkan koordinat

dan z

z pada fungsi perpindahan 2D berikut

… (1.30 a)

Maka fungsi perpindahan node-node

Elemen Heksahedral Heksahedral Elemen Kuadrat Kuadrat