Felix El Gato 99

2012

ANALISIS NUMERICO PROFESOR: ING.ERNESTO RIVEROS OSPINA. ESTUDIANTES: -LEONARDO DAVID QUIMBAYO ALMARIO -DIEGO FELIPE ESPINOSA PARADA

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[CAÍDA LIBRE DE FELIX BAUMGARTNER] BAUMGARTNER]

CAÍDA LIBRE DE FELIX BAUMGARTNER  Introducción  En este laboratorio buscamos encontrar una simulación para el salto desde la estratosfera que realizo el austriaco Felix Baumgartner. Con ayuda de unos datos suministrados por el  profesor, se ajusto una ecuación de segundo orden con la finalidad de conocer el factor de corrección que se le tiene que poner al coeficiente de fricción de la ecuación diferencia que modela la caída libre.

 Asi, el siguiente valor (yi+1) es determinado por el  presente valor (yi) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes: K1 es la pendiente al principio del intervalo. K2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando K1 para determinar el valor de y en el punto  xi+h/2.

 Base teórica

K3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando K2 para determinar el valor de y K4 es la pendiente del intervalo, con el valor de y determinado por K3.

-Método solución ecuaciones diferenciales de RungeKutta cuarto orden

Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Uno de los métodos más utilizados para resolver  numéricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales, es el método de  Runge-Kutta de cuarto orden, el cual proporciona un  pequeño margen de error respecto a la solución real del problema y es fácilmente programable en un software, para realizar las interaciones necesarias.  El método de Runge-Kutta se utiliza para resolver  ecuaciones diferenciales de la forma explícita:

-Método regresión cuadrática  La regresión cuadrática es el proceso por el cual encontramos los parámetros de una parábola que mejor se ajusta a una serie de datos que poseemos, ya sean mediciones hechos o de otro tipo. Una función cuadrática o de segundo grado se puede  presentar de manera genérica como:

O en su forma implícita:

Y es sumamente útil para casos en lo que no puede hallarse por los métodos convencionales (como separaciones de variables). Hay variaciones en el método de Runge-Kutta de cuarto orden pero el más utilizado es el método en cual se elige un tamaño de  paso h y un número máximo de interacciones n.

          Entonces lo que nos interesa es encontrar los valores de a ,b y c que hacen que el valor de Y calculado sea lo más cercano posible al medido.  Dichos valores se obtienen de resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

 El método de RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

 Para i:o,…,n-1. La solución se da a lo largo del intervalo (xo,xo+hn)  Donde:

Una vez se halla remplazado el valor de N, y de las sumatorias , sol habrá que solucionar el sistema de ecuaciones por su método preferido. Después de que ha solucionado el sistema de ecuaciones entonces tendrá los valores de los parámetros a ,b , c .

CAÍDA LIBRE DE FELIX BAUMGARTNER Calculo de variables Uno de los términos que se presentan en l a ecuación diferencial que modela el salto, es el factor de corrección del coeficiente de fricción del aire a una altura correspondiente. Con base a los datos suministrados por el profesor , tenemos tres puntos de una función que relaciona (factor de corrección, altura), con estos datos  podemos realizar una regresión cuadrática que nos  permite modelar una función aproximada para el  factor de corrección .

Y el siguiente paso será modelar nuestra constante de  forma con base a los datos suministrados por el video de youtube que nos muestra la caída de Felix  Baumgartner , este video también nos muestra unos datos de velocidad en función de tiempo y con estos datos podemos generar una tabla con su respectiva grafica.

 Los datos son los siguientes:

Utilizando el sistema computacional de la calculadora Texas Tti-nspire cx cas , encontramos los valores de la regresión.

Componemos ahora la ecuación diferencial que modela la caída de Felix teniendo en cuenta el factor  de corrección explicado antes y con la respectiva expresión de la resistencia del aire . Y se genera la siguiente función:

         Podemos observar de la ecuación anterior que existe relación directa entre el coeficiente de fricción y la altura con la que cae el paracaidista. Con esta ecuación podemos generar la ecuación diferencial que vamos a solucionar por el método de  Runge-Kutta cuarto orden.

 





     

              

 Donde : v-es la velocidad de Felix G-es la constante de gravitación m-masa de Felix c-constante de forma h-altura en la que se encuentra  R-radio de la tierra

CAÍDA LIBRE DE FELIX BAUMGARTNER  El siguiente paso es solucionar la ecuación diferencial  por Runge-Kutta cuarto orden. La tabla que se genera al realizar la iteración se encuentra en los anexos. Con esta tabla se pueden graficar velocidad vs tiempo  y distancia vs tiempo, se presentan las graficas a continuación.

-

Utilizar nuevamente ésta función para restringir la altura de estudio a 1524 varian el “paso”.

Programación en VB de Excel Option Explicit Public Function acel(g, h, t, masat, masah, radiot, altura, k, vel) Dim a As Double Dim f As Double f = 1.4014 * 10 ^ (-10) * (altura ^ 2) - 0.000032 * altura + 1.0498 a = ((g * masat) / ((radiot + altura) ^ 2)) - f * (k * ((radiot + altura) ^ 2) * (vel ^ 2)) / (2 * g * masah * masat) acel = -a End Function Public Function aceld(g, h, t, masat, masah, radiot, altura, k, vel, acel) Dim a As Double Dim veld As Double

 Al comparar la grafica de la simulación con la del video de youtube podemos ver que hay mucha coincidencia.

Dim f As Double f = 1.4014 * 10 ^ (-10) * (altura ^ 2) - 0.000032 * altura + 1.0498 veld = vel + acel * h / 2 a = ((g * masat) / ((radiot + altura) ^ 2)) - f * (k * ((radiot + altura) ^ 2) * (veld ^ 2)) / (2 * g * masah * masat) aceld = -a End Function Public Function acelt(g, h, t, masat, masah, radiot, altura, k, vel, aceld) Dim a As Double

 Algoritmo

Dim velt As Double Dim f As Double

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-

 Definir la ecuación diferencial que gobierna el movimiento. Programar Runge – Kutta de cuarto orden VB incluyendo la regresión cuadrática de f de corrección Utilizar la función “Buscar objetivo” para conocer la constante de la fricción.

f = 1.4014 * 10 ^ (-10) * (altura ^ 2) - 0.000032 * altura + 1.0498 velt = vel + aceld * h / 2 a = ((g * masat) / ((radiot + altura) ^ 2)) - f * (k * ((radiot + altura) ^ 2) * (velt ^ 2)) / (2 * g * masah * masat)

CAÍDA LIBRE DE FELIX BAUMGARTNER acelt = -a End Function Public Function acelc(g, h, t, masat, masah, radiot, altura, k, vel, acelt) Dim a As Double Dim velc As Double Dim f As Double f = 1.4014 * 10 ^ (-10) * (altura ^ 2) - 0.000032 * altura + 1.0498 velc = vel + acelt * h a = ((g * masat) / ((radiot + altura) ^ 2)) - f * (k * ((radiot + altura) ^ 2) * (velc ^ 2)) / (2 * g * masah * masat) acelc = -a End Function

Prueba en el computador 

Conclusiones  Bibliografía: -http://fisica.udea.edu.co/~labgicm/Curso%20de%20Instrumentacion/2011_RungeK  utta.pdf