Fcts Plusieurs Variables Amphis 2

Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre, 2ème année) Emmanuel Risler Pôle de mathématiques, INSA de Lyon

30 mars 2007

Emmanuel Risler

Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre, 2ème anné

Continuité Diérentiabilité Dérivées partielles et directionnelles, matrice Jacobienne Théorèmes opératoires classiques

Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Rappels sur la continuité Soient

(E , k . . . kE ), (F , k . . . kF )

deux espaces vectoriels normés.

Dénition

Une application f : E → F est dite continue en a ∈ E si : ∀ε > 0,

∃α > 0 kx − akE ≤ α ⇒ kf (x ) − f (a)kF ≤ ε,

ou de manière équivalente :

lim

kx −akE →0

kf (x ) − f (a)kF = 0.

Question : cette dénition dépend-elle du choix de

k . . . kF

k . . . kE

et

?

non si

E

et

F

sont de dimension nie (car en dimension nie

toutes les normes sont équivalentes). a priori oui si

E

ou

F

est de dimension innie (en dimension

innie deux normes peuvent ne pas être équivalentes).

Emmanuel Risler

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Continuité Diérentiabilité Dérivées partielles et directionnelles, matrice Jacobienne Théorèmes opératoires classiques

Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Rappels sur la continuité, suite Exemples :

1

pi : Rn → R, (x , . . . , xn ) 7→ xi

les projections

i ∈ {1, . . . , n} sont continues 2

(pour

par produits et sommes, toutes les fonctions polynômiales (de

n 3

1

variables) sont continues

toujours à l'aide des théorèmes classiques, l'application

(x , y ) 7→ 3x 2 + 2xy − cos(x ) + yx

Exercice : étudier la continuité de l'application par :

f (x , y ) =

xy x +y 2

2

2

si

(x , y ) 6= (0, 0),

Emmanuel Risler

R∗ × R. : R → R dénie

est continue sur

et

f

2

f (0, 0) = 0.

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Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Continuité Diérentiabilité Dérivées partielles et directionnelles, matrice Jacobienne Théorèmes opératoires classiques

Dérivabilité d'une application : R → R Proposition

Soit f une application : R → R et a ∈ R. Les assertions suivantes sont équivalentes. 1 f est dérivable en a f (a + h) − f (a) 2 La limite lim existe (et est nie) h h→ , h6= 3 Le graphe {(x , f (x )) x ∈ R} de f admet une tangente en (a, f (a)) 4 Il existe une application linéaire L : R → R telle que f (a + h) − f (a) − L(h) → 0 quand h → 0 |h| 5 Il existe une application linéaire L : R → R et une application ε : R → R telles que f (a + h) = f (a) + L(h) + |h|ε(h) avec ε(h) → 0 quand h → 0. 0

0

Emmanuel Risler

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Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Diérentiabilité d'une application : R2 → R Proposition

Soit f une application : R → R et a ∈ R . Les assertions suivantes sont équivalentes. 1 le graphe {(x , f (x )) x ∈ R } de f admet un plan tangent en (a, f (a)) 2 il existe une application linéaire L : R → R telle que f (a + h) − f (a) − L(h) → 0 quand khk → 0 khk 3 il existe une application linéaire L : R → R et une application ε : R → R telles que f (a + h) = f (a) + L(h) + khkε(h) avec ε(h) → 0 quand khk → 0. 2

2

2

2

2

2

f est dite diérentiable en a et l'application linéaire L est appelée la diérentielle de f en a.

Si ces assertions sont vériées, l'application

Emmanuel Risler

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Continuité Diérentiabilité Dérivées partielles et directionnelles, matrice Jacobienne Théorèmes opératoires classiques

Diérentiabilité d'une application : Rn → R Dénition

Une application f : Rn → R est dite diérentiable en un point a ∈ Rn s'il existe une application linéaire L : Rn → R telle que l'une des deux (les deux) assertions équivalentes suivantes soit vériée : f (a + h) − f (a) − L(h) 1 → 0 quand khk → 0. khk 2 Il existe une application ε : Rn → R telle que f (a + h) = f (a) + L(h) + khkε(h) avec ε(h) → 0 quand khk → 0. Dans ce cas L est unique, elle est appelée la diérentielle de f au point a et notée dfa . Puisque toutes les normes sont équivalentes en dimension nie, cette dénition ne dépend pas de la norme

Emmanuel Risler

k...k

choisie sur

Rn .

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Diérentiabilité d'une application : Rn → Rp Dénition

Une application f : Rn → Rp est dite diérentiable en un point a ∈ Rn s'il existe une application linéaire L : Rn → Rp telle que l'une des deux (les deux) assertions équivalentes suivantes soit vériée : kf (a + h) − f (a) − L(h)k 1 → 0 quand khk → 0. kh k 2 Il existe une application ε : Rn → Rp telle que f (a + h) = f (a) + L(h) + khkε(h) avec kε(h)k → 0 quand khk → 0. Dans ce cas L est unique, elle est appelée la diérentielle de f au point a et notée dfa . Puisque toutes les normes sont équivalentes en dimension nie, cette dénition ne dépend pas des normes choisies.

Emmanuel Risler

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Continuité Diérentiabilité Dérivées partielles et directionnelles, matrice Jacobienne Théorèmes opératoires classiques

Remarques :

1

La dénition de la diérentiabilité n'est rien d'autre qu'une formule de Taylor-Young à l'ordre un.

2

f est une application : R → R et a ∈ R, alors : f diérentiable en a ⇔ f dérivable en a, et dans ce cas dfa (h) = f 0 (a)h, ∀h ∈ R.

si

Emmanuel Risler

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Continuité Diérentiabilité Dérivées partielles et directionnelles, matrice Jacobienne Théorèmes opératoires classiques

Continuité des applications linéaires entre espaces vectoriels normés (E , k . . . kE ) et (F , k . . . kF ) deux espaces vectoriels normés L une application linéaire : E → F .

Soient et

Proposition

Les assertions suivantes sont équivalentes. 1 L est continue 2 L est continue en 0 3 ∃k > 0 ∀x ∈ E , kx kE ≤ 1 ⇒ kf (x )kF ≤ k 4 ∃k > 0 ∀x ∈ E , kf (x )kF ≤ k kx kE Proposition

1 2

Si E est de dimension nie, alors f est toujours continue. Si E est de dimension innie, alors f peut ne pas être continue. Emmanuel Risler

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Continuité Diérentiabilité Dérivées partielles et directionnelles, matrice Jacobienne Théorèmes opératoires classiques

Diérentiabilité d'une application entre espaces vectoriels normés Soient

(E , k . . . kE )

et

(F , k . . . kF )

deux espaces vectoriels normés.

Dénition

Une application f : E → F est dite diérentiable en un point a ∈ E s'il existe une application linéaire continue L : E → F telle que l'une des deux (les deux) assertions équivalentes suivantes soit vériée : kf (a + h) − f (a) − L(h)kF 1 → 0 quand khkE → 0. khkE 2 Il existe une application ε : E → F telle que f (a + h) = f (a) + L(h) + khkE ε(h) avec kε(h)kF → 0 quand khkE → 0. Dans ce cas L est unique, et est appelée la diérentielle de f au point a et notée dfa . Emmanuel Risler

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Remarques :

1

si

E

ou

F

est de dimension innie, la dénition précédente

peut dépendre du choix des normes.

2

avec les notations précédentes, continue en

a.

Emmanuel Risler

f

diérentiable en

a⇒f

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Dérivées partielles et dérivées directionnelles

Rn → Rp , a ∈ Rn , et v ∈ Rn \{0}. Notons (e , . . . , en ) la base canonique de Rn .

Soit

f

une application :

1

Dénition

On appelle dérivée directionnelle suivant le vecteur v lim

t →0

en

a la limite

f (a + tv ) − f (a) t

(lorsque cette limite existe). On appelle dérivée partielle en a par rapport à la i -ième coordonnée, et on note ∂i fa , la limite lim

t →0

f (a + tei ) − f (a) t

(lorsque cette limite existe).

Emmanuel Risler

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Continuité Diérentiabilité Dérivées partielles et directionnelles, matrice Jacobienne Théorèmes opératoires classiques

Notations pour les dérivées partielles et directionnelles

Notations (équivalentes) pour les dérivées partielles :

∂i fa ,

∂f (a), ∂ xi

∂xi f (a),

D i fa , . . .

Notations (équivalentes) pour les dérivées directionnelles :

∂v fa ,

Emmanuel Risler

∂f (a) ∂v

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Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Dérivées partielles et dérivées directionnelles, suite Proposition

Soit f une application : Rn → Rp et a ∈ R. On a : f diérentiable en a ⇒ ∀v ∈ Rn , f admet une dérivée directionnelle suivant v, qui vaut : dfa (v ). Exercice : montrer que l'application

(x , y ) 7→

R

2

→ R,

x y x +y 2

2

2

admet des dérivées directionnelles dans toutes les directions en 0 mais n'est pas diérentiable en 0.

Emmanuel Risler

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Matrice Jacobienne et Jacobien

Soit

f

une application :

Rn → Rp et a ∈ Rn .

Dénition

1

Si f est diérentiable en a, la matrice de dfa est appelée la f en a, on la note Jf (a). Si cette matrice est carrée, son déterminant est appelé le Jabobien de f en a.

matrice Jacobienne de

2

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Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Expression de la matrice Jacobienne Proposition

Si f : Rn → R est diérentiable au point a ∈ Rn , alors on a, pour tout h ∈ Rn , n X ∂f (a)hj . dfa (h) = ∂ xj j= 1

En d'autres termes, la matrice de

R

n)

vaut :

On écrit souvent :



∂f ∂ x1 (a)

dfa

...

(dans la base canonique de

∂f ∂ xn (a)



n X ∂f df = dxj ∂ xj j =1

Emmanuel Risler

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Expression de la matrice Jacobienne, suite Soit

f

a∈R

une application :

n.

Rn → Rp (notons f

= (f1 , . . . , fp )T )

et

Proposition

1 2

f est diérentiable en a ⇔ ∀i ∈ {1, . . . , p }, fi est diérentiable en a. si f est diérentiable en a, alors la matrice de dfa (dans les bases canoniques de Rn et Rp ) vaut :  ∂ f1

∂ x1 (a)

 

.. .

∂ fp ∂ x1 (a)

Emmanuel Risler

... ...

 ∂ f1 ∂ xn (a)

.. .

 

∂ fp ∂ xn (a)

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Gradient d'une fonction Dénition

Si f : Rn → R est diérentiable au point a ∈ Rn , on appelle vecteur gradient de f au point a, et on note grad fa (ou indiéremment ∇fa ) le vecteur :  ∂f T ∂f (a), . . . , (a) ∂x ∂ xn 1

Autrement dit, les coordonnées du vecteur gradient constituent la transposée de la matrice de

dfa , et on a :

dfa (x ) = ∇fa · x ,

∀x ∈ Rn

(où  · désigne le produit scalaire canonique de

Emmanuel Risler

Rn ).

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Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Gradient d'une fonction, suite Nous verrons dans la suite (théorème des fonctions implicites) que si :

f : R → R est C au voisinage de a ∈ R dfa 6= 0 ⇔ ∇fa 6= 0, 2

1

2

,

alors : les ensembles de niveau de des courbes de

f

constituent, au voisinage de

a,

R , et la courbe de niveau de niveau f (a) est 2

a à la droite orthogonale à ∇fa , la direction de ∇fa correspond, dans R , à la ligne de plus grande pente du graphe de f au-dessus du point a (au point (a, f (a))). tangente en

2

Emmanuel Risler

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Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Gradient d'une fonction, n De meme en dimension supérieure, si

f : Rn → R est C au voisinage de a ∈ Rn , dfa 6= 0 ⇔ ∇fa 6= 0, 1

alors : les ensembles de niveau de

f

constituent, au voisinage de

a,

Rn , et l'ensemble de niveau de niveau f (a) est tangent en a à l'hyperplan de Rn orthogonal à ∇fa , n la direction du vecteur gradient correspond, dans R , à la ligne des hypersurfaces de

de plus grande pente du graphe de

point

(a, f (a))).

Emmanuel Risler

f

au-dessus du point

a (au

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Continuité Diérentiabilité Dérivées partielles et directionnelles, matrice Jacobienne Théorèmes opératoires classiques

Diérentiabilité de la combinaison linéaire et du produit Soient

(E , k . . . kE )

et

(F , k . . . kF )

deux espaces vectoriels normés.

La diérentielle est un opérateur linéaire : Proposition

Si f et g sont deux applications : E → F diérentiables en a ∈ E et (λ, µ) ∈ R , alors λf + µg est diérentiable en a et : 2

d (λf + µg )a = λdfa + µdga Proposition

Si f et g sont deux applications : E → R diérentiables en a ∈ E , alors le produit f · g est diérentiable en a et : d (f · g )a = f (a) · dga + g (a) · dfa Emmanuel Risler

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Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Diérentiabilité de la composée Soient

(E , k . . . kE ), (F , k . . . kF )

et

(G , k . . . kG )

trois espaces

vectoriels normés. Proposition

Si f : E → F est diérentiable en a ∈ E et g : F → G est diérentiable en f (a), alors g ◦ f : E → G est diérentiable en a et : d (g ◦ f )a = dgf (a) ◦ dfa Autrement dit, la Jacobienne de la composée est simplement le produit des Jacobiennes, calculées aux points adéquats :

Jg ◦f (a) = Jg (f (a)) · Jf (a). Emmanuel Risler

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Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Continuité Diérentiabilité Dérivées partielles et directionnelles, matrice Jacobienne Théorèmes opératoires classiques

Diérentielle de la composée, calcul f : Rn → Rp et g : Rp → R sont des applications diérentiables, et si on note F = g ◦ f , alors on a : Si

p

X ∂g ∂F ∂ fi (a) = (f (a)) (a), ∂ xj ∂ yi ∂ xj i =1

a ∈ Rn

et on peut écrire (abus de notations) :

p p p n n X  X X X ∂g ∂ g  X ∂ fi ∂ g ∂ fi  dF = dg = dyi = dxj = dxj ∂ yi ∂ yi ∂ xj ∂ yi ∂ xj i =1

i =1

Emmanuel Risler

j =1

j =1 i = 1

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Applications de classe C 1 Taylor-Lagrange à l'ordre un C 1 -diéomorphismes

Applications de classe C 1 Soit

f

f : Rn → Rp

diérentiable en

et

a ∈ Rn . Nous avons vu que :

a⇒f

admet des dérivées partielles en

a

(et même des dérivées directionnelles dans toutes les directions) mais que la réciproque était fausse. Pour que la réciproque devienne vraie, il faut ajouter une hypothèse de continuité sur les dérivées partielles de

f

au voisinage de

a.

Théorème

Si toutes les dérivées partielles d'ordre un de f existent dans un voisinage de a et sont continues en a, alors f est diérentiable en a.

Emmanuel Risler

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Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Applications de classe C 1 Taylor-Lagrange à l'ordre un C 1 -diéomorphismes

Applications de classe C 1 , suite Le résultat précédent justie la dénition suivante. Soit de

R

n.

Ω

un ouvert

Dénition

Une application f : Ω → Rp est dite de classe C sur Ω si toutes les dérivées partielles d'ordre un de f existent en tout point de Ω et sont continues sur Ω. 1

Remarque : l'application

R→R:

x 6= 0 7→ x

2

sin

x− , 1

0

7→ 0

est partout diérentiable (dérivable) mais pas

Emmanuel Risler

C

1

(exercice).

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Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Taylor-Lagrange, calcul préliminaire Soient :

Ω

un ouvert de

Rn ,

f : Ω → Rp une application de classe C (a, h) ∈ (Rn ) tel que le segment

1

,

2

[a; a + h] = {a + th 0 ≤ t ≤ 1} soit tout entier inclus dans On considère l'application

Ω.

ϕ : t 7→ f (a + th)

(dénie sur un

voisinage de [0; 1]). Lemme

Pour tout t ∈ [0; 1], ϕ est dérivable en t et : ϕ0 (t ) = dfa+th (h). Emmanuel Risler

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Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Taylor-Lagrange, calcul préliminaire, suite Démonstration :

∀t ∈ [0; 1]

xé, et

∀u ' 0

ϕ(t + u ) − ϕ(t )

u

f (a + th + uh) − f (a + th) u dfa+th (uh) + kuhkε(uh) = u |u | = dfa+th (h) + khkε(uh) u qui tend vers dfa+th (h ) quand u → 0. =

Emmanuel Risler

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Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Taylor-Lagrange avec reste intégral Soient :

Ω

un ouvert de

Rn ,

f : Ω → Rp une application de classe C (a, h) ∈ (Rn ) tel que le segment

1

,

2

[a; a + h] = {a + th 0 ≤ t ≤ 1} soit tout entier inclus dans

Ω.

Théorème

Egalité de Taylor-Lagrange avec reste intégral : f (a + h) = f (a) +

Z 0

Emmanuel Risler

1

dfa+th (h)dt

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Applications de classe C 1 Taylor-Lagrange à l'ordre un C 1 -diéomorphismes

Taylor-Lagrange avec reste intégral, démonstration

Démonstration : avec les notations précédentes, on a

Z ϕ(1) − ϕ(0) =

1

ϕ0 (t )dt

0

(puisque

ϕ

est en fait

C

1

), cqfd.

Emmanuel Risler

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Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Inégalité des accroissements nis Sous les mêmes hypothèses (Ω un ouvert de application de classe

C

1

,

R

(a, h) ∈ ( n )2

[a; a + h] = {a + th 0 ≤ t ≤ 1}

Rn , f

: Ω → Rp

une

tel que le segment

soit tout entier inclus dans

Ω)

on

a le résultat suivant. Corollaire

Inégalité des accroissements nis : ||f (a + h) − f (a)|| ≤ M ||h||

où M = maxx ∈[a;a+h] |||dfx |||. (ici

k...k

norme sur

est une norme quelconque sur

Mn (R)

induite de

k . . . k)

Emmanuel Risler

Rn , et ||| . . . ||| est la

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Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Condition susante pour que f soit Lipschitzienne Corollaire

Soit Ω un ouvert convexe de Rn , f : Ω → Rp une application de classe C , et k > 0. On a : 1

∀x ∈ Ω, |||dfx ||| ≤ k

⇒ f est k-Lipschitzienne

Remarques :

1

La réciproque est vraie (mais peu utile en pratique).

2

Si

dfx = 0 ∀x ∈ Ω, alors f

est constante sur

(cette conclusion reste vraie même si condition qu'il soit

Ω

Ω

n'est pas convexe, à

connexe (notion hors programme),

c'est-à-dire d'un seul tenant.

Emmanuel Risler

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Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Egalité des accroissements nis Soient :

Ω

un ouvert de

Rn ,

f : Ω → R une application diérentiable, (a, h) ∈ (Rn ) tel que le segment 2

[a; a + h] = {a + th 0 ≤ t ≤ 1} soit tout entier inclus dans

Ω.

Théorème

Egalité des accroissements nis : il existe θ ∈]0; 1[ tel que : f (a + h) = f (a) + dfa+θh (h) Emmanuel Risler

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Applications de classe C 1 Taylor-Lagrange à l'ordre un C 1 -diéomorphismes

Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Egalité des accroissements nis, suite Attention, cette égalité des accroissements nis n'est valable que si l'espace d'arrivée est de dimension 1 ! Contrexemple : l'application

f :R→R , 3

t 7→ (cos t , sin t , t )

(hélice). On a

f (2π) − f (0) = (0, 0, 2π), et donc

∀t ∈ R,

f 0 (t ) = (− sin t , cos t , 1)

f (2π) − f (0) 6= 2π f 0 (t )

Il existe aussi des contrexemples pour une application :

Emmanuel Risler

R→R . 2

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Applications de classe C 1 Taylor-Lagrange à l'ordre un C 1 -diéomorphismes

C 1-diéomorphismes Soient

U, V

deux ouverts de

Rn .

Dénition

Une application f : U → V est appelée un C -diéomorphisme si elle vérie les conditions suivantes. 1 f est de classe C sur U, 2 f dénit une bijection U → V , 3 la bijection réciproque f − est de classe C sur V . 1

1

1

1

Remarque : nous verrons au chapitre suivant que la troisième condition peut être obtenue comme une conséquence du

d'inversion locale

Emmanuel Risler

théorème

Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre, 2ème anné

Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Continue diérentiabilité à l'ordre k Matrice Hessienne Développement à l'ordre deux

Applications de classe C k

Soit

Ω

un ouvert de

Rn et k ∈ N∗.

Dénition

Une application f : Ω → Rp est dite de classe C k sur Ω si toutes les dérivées partielles d'ordre k de f existent en tout point de Ω et sont continues sur Ω.

Emmanuel Risler

Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre, 2ème anné

Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Continue diérentiabilité à l'ordre k Matrice Hessienne Développement à l'ordre deux

Matrice Hessienne

Rn , f

Ω → R,

a ∈ Ω. On suppose que les dérivées partielles d'ordre deux de f en a existent.

Soit

Ω

un ouvert de

une application :

et

Dénition

On appelle matrice Hessienne de f au point a, et on note Hf (a), la matrice n × n dont les coecients valent ∂2f (a), ∂ xi ∂ xj

Emmanuel Risler

1

≤ i, j ≤ n

Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre, 2ème anné

Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Continue diérentiabilité à l'ordre k Matrice Hessienne Développement à l'ordre deux

Diérentielle seconde

Rn , f

Ω → R,

a ∈ Ω. On suppose que les dérivées partielles d'ordre deux de f en a existent.

Soit

Ω

un ouvert de

une application :

et

Dénition

On appelle diérentielle seconde de f au point a, et on note d fa la forme bilinéaire associée à la matrice Hessienne de f en a, c'est-à-dire l'application : 2

(Rn )2 → R,

(h, k ) 7→ hT · Hf (a) · k

En termes de coordonnées

d fa (h, k ) =

X

2

≤ i ,j ≤ n

1

Emmanuel Risler

∂2f (a) hi kj ∂ xi ∂ xj

Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre, 2ème anné

Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Continue diérentiabilité à l'ordre k Matrice Hessienne Développement à l'ordre deux

Théorème de Schwarz Soit

Ω

un ouvert de

Rn , et f

:Ω→R

une application.

Théorème

Si f est de classe C au voisinage d'un point a de Ω, alors 2

∂2f ∂2f (a) = (a) ∂ xi ∂ xj ∂ xj ∂ xi

autrement dit la matrice Hessienne de f en a est symétrique (ou encore d fa est une forme bilinéaire symétrique). 2

Emmanuel Risler

Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre, 2ème anné

Continue diérentiabilité à l'ordre k Matrice Hessienne Développement à l'ordre deux

Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Taylor-Lagrange, calcul préliminaire Soient :

Ω

un ouvert de

Rn ,

f : Ω → R une application C , (a, h) ∈ (Rn ) tel que le segment 2

2

[a; a + h] = {a + th 0 ≤ t ≤ 1} Ω. ϕ : t 7→ f (a + th)

soit tout entier inclus dans On considère l'application

(dénie sur un

voisinage de [0; 1]). Lemme

Pour tout t ∈ [0; 1], ϕ est deux fois dérivable en t et : ϕ0 (t ) = dfa+th (h), Emmanuel Risler

ϕ00 (t ) = d 2 fa+th (h, h)

Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre, 2ème anné

Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Continue diérentiabilité à l'ordre k Matrice Hessienne Développement à l'ordre deux

Taylor-Lagrange, calcul préliminaire, suite Démonstration. On sait que

ϕ0 (t ) =

n X
∂f d f (a + th) = dfa+th (h) = (a + th) hi dt |t ∂ xi i= 1

et en appliquant la même formule à chacune des fonctions

∂f ∂ xi (a

+ th)

(comme ci-dessus pour

f (a + th), on trouve :

 n X n X ∂  ∂f
(a + th) hj hi ϕ (t ) = ∂ xj ∂ xi 00

i =1 j =1

X

=

≤ i ,j ≤ n

1

∂2f (a + th) hi hj ∂ xi ∂ xj

cqfd.

Emmanuel Risler

Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre, 2ème anné

Continue diérentiabilité à l'ordre k Matrice Hessienne Développement à l'ordre deux

Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Egalité de Taylor-Lagrange à l'ordre deux Soient :

Ω

un ouvert de

Rn ,

f : Ω → R une application C , (a, h) ∈ (Rn ) tel que le segment 2

2

[a; a + h] = {a + th 0 ≤ t ≤ 1} soit tout entier inclus dans

Ω.

Théorème

Il existe θ ∈]0; 1[ tel que : 1

f (a + h) = f (a) + dfa (h) + d fa+θh (h, h) 2

2

Emmanuel Risler

Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre, 2ème anné

Diérentiabilité à l'ordre un Continue diérentiabilité à l'ordre 1 Etude locale à l'ordre 2

Continue diérentiabilité à l'ordre k Matrice Hessienne Développement à l'ordre deux

Taylor-Young à l'ordre deux

Théorème

Si f : Rn → R est une application de classe C au voisinage d'un point a ∈ Rn , alors, ∀h ∈ Rn , 2

1

f (a + h) = f (a) + dfa (h) + d fa (h, h) + khk ε(h), 2 2

2

où ε(h) → 0 quand khk → 0.

Emmanuel Risler

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