Fase3_100402_128

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Plantilla para entrega de la Unidad la Unidad 1: Fase 1 Axiomas de Probabilidad Portada

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PROBABILIDAD FASE 3 – AXIOMAS DE PROBABILIDAD

GRUPO: 100402_128 ELABORADO POR: DIANA CAROLINA GÓMEZ BEDOYA COD:1.061.739.928 KAREM LUCIA TRUJILLO RODRIGUEZ COD: 1.061.797.925 DANNY ASTRID ORDOÑEZ ORTEGA COD: 1.064.676.424

PRESENTADO A: LUZ ANA ABAD

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CEAD – POPAYAN 2018

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Introducción (mínimo 2 párrafos de 10 líneas de texto cada uno) (No borrar este encabezado)

El siguiente trabajo se realiza con el fin de que el estudiante pueda afianzar sus conocimientos, poniendo en práctica su destreza y capacidad de resolver situaciones de probabilidad en situaciones reales. En el trabajo colaborativo del curso Probabilidad se pretende que estudiante analice y comprenda los conceptos básicos del curso, en especial los tratados en la Fase 3 Axiomas de Probabilidad, donde se encuentran conceptos básicos de probabilidad, definiciones, enfoques, análisis combinatorio, axiomas de probabilidad, entre otros los cuales son necesarios para desarrollar los estudios de casos planteados. En el desarrollo colaborativo se describe el aprendizaje basado en estudios de casos que procura desarrollar habilidades de análisis, evaluación y solución de los planteamientos, motivando la exploración y alternativas de solución razonables, cuyo propósito es buscar que el estudiante desarrolle habilidades necesarias para su vida profesional. La probabilidad es muy importante, mediante este recurso matemático es posible ajustar de manera más exacta los imponderables debidos del azar en diferentes campos, desde la vida cotidiana hasta la ciencia. En efecto podemos decir que es una gran herramienta y a su vez una estrategia mediante la cual se intenta estimar la frecuencia con la que se obtiene un resultado en el marco de una experiencia en la que se conocen todos los resultados posibles.

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Cuadro sinóptico: Experimento Aleatorio Espacio muestral

Sucesos o eventos Operaciones entre eventos TECNICA S DE    D    A    D    I    L    I    B    A    B    O    R    P    E    D    S    O    I    P    I    C    I    R    P

Principio multiplicativo Principio aditivo

Un fenómeno aleatorio, es por tanto, aquel cuyo resultado está fuera de control y que depende del azar. Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Suceso o Evento de un fenómeno o experi mento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral S Usamos las operaciones básicas de conjuntos, tales como uniones, intersecciones y complementos, para formar otros eventos de interés, denominados eventos o sucesos

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas  para enumerar eventos difíciles de cuantificar

Una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o Con la condición no de que los eventos sean independientes sino de que sean mutuamente excluyentes, es decir que cada uno ocurra sin la necesidad de que otro lo haga.

Factorial de Un número

Este se denota por el símbolo n!  y se define como el producto de n por todos los enteros que le preceden hasta llegar al uno.

Permutacione

Una permutación de los elementos es un acomodo u ordenamiento de ellos.

Combinación

Es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de estos.

Axiomas de Probabilida

Los axiomas no determinan las probabilidades, lo que hacen es facilitar el cálculo de las probabilidades de algunos eventos a partir del conocimiento de las probabilidades de otros.

Regla De la

Si dos eventos son mutuamente excluyentes, podemos expresar esta probabilidad haciendo uso de la regla de adición. la regla de

Regla de la Multiplicación

En esta sección se desarrollará una regla para determinar P (AnB), esto es, la probabilidad de que el evento A ocurra en un rimer ex erimento el evento B ocurra en un se undo

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Resumen individual Aportes de cada participante en donde evidencia el resumen de los conceptos teóricos de la unidad que le permitieron solucionar el estudio de caso seleccionado. 1. Nombre del participante y caso seleccionado: Resumen de conceptos teóricos: 2. Nombre del participante y caso seleccionado: Resumen de conceptos teóricos: 3. Nombre del participante: Diana Carolina Gómez Bedoya Caso seleccionado: N° 3 Resumen de conceptos teóricos: PRICIPIOS DE PROBABILIDAD Experimento Aleatorio: Un fenómeno aleatorio, es por tanto, aquel cuyo resultado está fuera de control y que depende del azar. Espacio muestral: Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Sucesos o eventos: Suceso o Evento de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral S. Operaciones entre eventos: Usamos las operaciones básicas de conjuntos, tales como uniones, intersecciones y complementos, para formar otros eventos de interés, denominados eventos o sucesos. Técnicas de conteo: Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Principio multiplicativo: Una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras. Principio aditivo: Con la condición no de que los eventos sean independientes sino de que sean mutuamente excluyentes, es decir que cada uno ocurra sin la necesidad de que otro lo haga.

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Factorial de Un número: ¡Este se denota por el símbolo n! y se define como el producto de n por todos los enteros que le preceden hasta llegar al uno. Permutaciones: Una permutación de los elementos es un acomodo u ordenamiento de ellos. Combinación: Es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de estos. Axiomas de Probabilidad: Los axiomas no determinan las probabilidades, lo que hacen es facilitar el cálculo de las probabilidades de algunos eventos a partir del conocimiento de las probabilidades de otros. Regla De la Adición: Si dos eventos son mutuamente excluyentes, podemos expresar esta probabilidad haciendo uso de la regla de adición. la regla de la adición para calcular P(AUB). Regla de la Multiplicación: En esta sección se desarrollará una regla para determinar P (AnB), esto es, la probabilidad de que el evento A ocurra en un primer experimento y el evento B ocurra en un segundo. 4. Nombre del participante: Karem Lucía Trujillo Rodríguez Caso seleccionado: Estudio de caso 4 Resumen de conceptos teóricos: Experimento Aleatorio: Es aquel que, bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes. Espacio muestral: Consiste en el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Sucesos o eventos: Es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio. Axiomas de probabilidad: Se define como todas las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades.

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Teorema de bayes: Es el método para calcular posibilidades posteriores. Probabilidad clásica o a priori: Los resultados del espacio muestra deben ser iguales o probables. Diagrama de árbol: Describen los eventos básicos que ocurren en un experimento aleatorio Probabilidad total: Es la regla de la multiplicación útil para determinar la probabilidad de un evento que depende de otros. Probabilidad condicional: es la probabilidad de que ocurra un evento  A, sabiendo que también sucede otro evento B. 5. Nombre del participante y caso seleccionado: Resumen de conceptos teóricos: Solución al estudio de caso 1: El grupo entrega aquí, de manera organizada, el análisis, desarrollo y solución del ESTUDIO DE CASO presentado RESPONSABLE ROL SELECCIONADO (No borrar este encabezado)

Solución al estudio de caso 2: El grupo entrega aquí, de manera organizada, el análisis, desarrollo y solución del ESTUDIO DE CASO presentado RESPONSABLE ROL SELECCIONADO DANNY ASTRID ORDOÑEZ ALERTAS (No borrar este encabezado)

ESTUDIO DE CASO 2 1 Una pareja de jóvenes acaba de casarse, ambos tienen 20 años y viven en lo profundo de la Patagonia comiendo pescado crudo, lo que imprime un carácter fuerte: NADIE SE DIVORCIA y todos tienen BUENA SALUD. La mitad de la población de esa región, en efecto, vive hasta los 110 años, una cuarta parte vive hasta los 100 años, y el último cuarto de la población vive hasta los 90 años. 1

Tomado y adaptado de Giovanangelli, B.,100 Enigmas de Probabilidad. Juegos divertidos para potenciar tu monte, Editorial Planeta, 2009

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Los jóvenes esposos se preguntan: “Lo más probable es que nuestro matrimonio dure…. ?” Haciendo uso de los axiomas de probabilidad y en especial de la probabilidad para eventos independientes, ayude a los jóvenes esposos a responder la pregunta, y encuentre como mínimo lo siguiente: 1.- Probabilidad de que ambos vivan 90 años 2.- Probabilidad de que ambos vivan 100 años 3.- Probabilidad de que ambos vivan 110 años 4.- Probabilidad de que el esposo viva 90 años y la esposa 110 años 5.- Probabilidad de que la esposa viva 90 años y el esposo 100 años. 6.- Finalmente, la respuesta a la inquietud de los esposos es: “Lo más probab le es que el matrimonio dure _____ años”. Para resolver el estudio de caso se sugiere completar el siguiente diagrama: El Esposo vivirá hasta: (probablemente)

La Esposa vivirá hasta: (probablemente) 90 años 100 años 110 años

90 años 100 años 110 años ¼ El Esposo Porcenta vivirá hasta:  je% (Probableme nte) 0,5 0,25 0,25 1

1/4

½

¼ 1/4 1/2

La Esposa vivirá hasta: (Probablemente) 90 Años

90 Años

0,125

100 Años 110 Años

0,125 0 0,25

100 110 TOTAL Añ Añ ES os os 0,1 25 0 0,1 25 0 0,25 0 0,5 0,2 5 0,5 1

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   =   ∗   Axiomas de probabilidad para eventos.

  ∩  =   ∗   ∪ ∪

A. B. P (A∩B) =1-P (A B) C. P (A B) =P (A)+P (B)-P(A∩B)

P ( A∩B) =P (A)*P (B)

 =   ∩ B = (14)(14) = 161  = 0,0625 ∗100 = 6,25 1.- Probabilidad de que ambos vivan 90 años. Evidenciando lo anterior podemos decir que la probabilidad de que ambos vivan 90 años sería del 0,0625= 6,25%

2.- Probabilidad de que ambos vivan 100 años

  ∩ B =  ∗  (12)(12) =  14 = 0,25∗ 100 = 25 La probabilidad de que ambos vivan 100 años es del 25%

3.- Probabilidad de que ambos vivan 110 años

  ∩  =  × 1 −    ∩  = 14 × 1 − 12    ∩  = 14 × [12 − 12]    ∩  = 14 × [12 − 12]    ∩  = 14 × [12]    ∩  = 18 = 0,125    ∩  = 0,125 ∗ 100 = 12,5

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La probabilidad de que ambos vivan 110 años es del 12,5%

4.- Probabilidad de que el esposo viva 90 años y la esposa 110 años

   ∩  =   × 1 −      ∩  =  14 × [1 − 14]    ∩  =  14 × [11 − 14]    ∩  =  14 × 34    ∩  = 163  = 0,1875    ∩  = 0,1875 ∗ 100 = 18,75 La probabilidad de que el esposo viva 90 años y la esposas 110 es de18,75%. 5.- Probabilidad de que la esposa viva 90 años y el esposo 100 años.

   ∪  =    +   −   ∩    ∪  = 12 + 12 − 14    ∪  = 2 +2 2 − 14    ∪  = 42 − 14    ∪  =  1616− 4    ∪  =  12 16    ∪  =  34    ∪  = 0,75 ∗ 100 = 75%

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Probabilidad de que la esposa viva 90 años y el esposo 100 años es del 75%

6.- Finalmente, la respuesta a la inquietud de los esposos es: “Lo más probable es que el matrimonio dure ___90___ años”. 110 años (es la edad de vida)  – 20 (edad en la cual contrajeron matrimonio = 90 años de vida matrimonial.

Solución al estudio de caso 3: El grupo entrega aquí, de manera organizada, el análisis, desarrollo y solución del ESTUDIO DE CASO presentado RESPONSABLE DIANA CAROLINA GÓMEZ BEDOYA

ROL SELECCIONADO ENTREGAS

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ESTUDIO DE CASO 32 Colombia ha clasificado al Mundial de Rusia 2018; así que muchos aficionados han comenzado los preparativos para el viaje. Teresa quiere ir al mundial y decide utilizar una aerolínea de bajo costo por lo que es importante que decida que va a llevar para que no le toque pagar más por sobrepeso. Teresa decide hacer una lista de lo que podría llevar: una maleta, una mochila, una cámara, y unas lindas gafas que lleva a todos sus viajes. Al revisar en algunas páginas de internet sobre viajes, encuentra que hay una posibilidad sobre siete de que pierda la maleta, una sobre cinco de que pierda su mochila, una sobre tres de que pierda la cámara y una posibilidad de tres sobre diez de que pierda sus preciosas gafas. Teresa se queda preocupada y decide calcular la probabilidad de que su viaje no sea tan perfecto como lo tiene previsto si por alguna razón se pierden sus cosas. Haciendo uso de los axiomas de probabilidad, su tarea es ayudar a Teresa y para eso debe encontrar como mínimo lo siguiente: 1. Probabilidad de que no pierda la maleta. 2

Tomado y adaptado de Giovanangelli, B., 100 Enigmas de Probabilidad. Juegos divertidos para potenciar tu monte, Editorial Planeta, 2009

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2. Probabilidad de que pierda la maleta y pierda el bolso de mano 3. Probabilidad de que pierda la maleta o pierda el bolso de mano 4. Probabilidad de que NO pierda ninguna de sus cosas 5. Finalmente, Determine la probabilidad de que el viaje de Teresa no sea tan perfecto como lo tiene previsto, si por alguna razón se pierden todas sus cosas. Para resolver el estudio de caso se sugiere completar el siguiente cuadro:

Solución Probabilidades que tiene Teresa de Perder No perder La Maleta 1/7 6/7 La Mochila 1/5 4/5 La Cámara 1/3 2/3 Las Gafas 3/10 7/10 1. Probabilidad de que no pierda la maleta. P=6/7 = 0,85714286 = 86%

2. Probabilidad de que pierda la maleta y pierda el bolso de mano P=1/7 1/5 =1/17 =6%

3. Probabilidad de que pierda la maleta o pierda el bolso de mano

∩

P(A B)=P(A)+P(B) =1/7+1/5

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=1/6

=17% 4. Probabilidad de que NO pierda ninguna de sus cosas P=6/7 * 4/5 * 2/3 * 7/10 =336/1050

5. Finalmente, Determine la probabilidad de que el viaje de Teresa no sea tan perfecto como lo tiene previsto, si por alguna razón se pierden todas sus cosas. 1/7 * 1/5 * 1/3 * 3/10 = 3/1050 es muy poca, debería viajar al mundial.

Solución al estudio de caso 4: El grupo entrega aquí, de manera organizada, el análisis, desarrollo y solución del ESTUDIO DE CASO presentado RESPONSABLE ROL SELECCIONADO KAREM LUCIA TRUJILLO RODRIGUEZ REVISOR ESTUDIO DE CASO

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Los exámenes de selección están asociados principalmente con exámenes médicos de diagnóstico, pero ahora están encontrando aplicaciones en varios campos de actividad. Estos exámenes se evalúan sobre la probabilidad de un falso negativo o un falso positivo y éstas dos son probabilidades condicionales. Un falso positivo es el evento de que el examen sea positivo para una condición determinada, dado que la persona no tiene la condición. Un falso negativo es el evento de que el examen sea negativo  para una condición determinada, dado que  la persona tiene la condición. Se supone que una cierta prueba detecta cierto tipo de cáncer con probabilidad del 85% entre gente que lo padece, y no lo detecta el 15% restante. Si una persona no padece este tipo de cáncer la prueba indicará que no lo tiene un 95% de las veces e indicará que lo tiene un 5% de ellas. Por estudios realizados se supone que el 5% de la Población padece este tipo de cáncer.

3

Tomado y adaptado de Pateiro B., Bioestadística 2011

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Con base en esta información y usando el Teorema de Bayes, elabore un informe que como mínimo, debe incluir: 1. Probabilidad de que una persona NO tenga este tipo de cáncer 2. Probabilidad de que el examen indique que la persona tiene cáncer 3. Probabilidad de que el examen indique que la persona no tiene cáncer 4. Probabilidad de un falso positivo, es decir que el examen indique que la persona tiene cáncer dado que la persona no lo tiene. 5. Probabilidad de un falso negativo, es decir, que el examen indique que la persona no tiene cáncer dado que la persona tiene la enfermedad 6. De acuerdo con las probabilidades encontradas, que tan confiable es este examen para detectar este tipo de cáncer Para resolver el estudio de caso se sugiere realizar un diagrama de árbol, que represente las probabilidades utilizadas para resolverlo. Solución: Considérense los siguientes esquemas: PRUEBA

RESULTADO POSITIVA NEGATIVA

ENFERMO

85%

15%

SANO

5%

95%

CÁNCER

Con:

/ = 0,85 / = 0,15 / = 0,05 / = 0,95  = 0,05

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 = 0,95 Luego: Diagrama de árbol

ENFERMO (0,05) CÁNCER SANO (0,95)

Positivo (0,85) Negativo (0,15) Positivo (0,05) Negativa (0,95)

De esta forma:

1. Probabilidad de que una persona NO tenga este tipo de cáncer S/: Aplicando el Teorema de Bayes:

    á = / =    Donde:

 =    +    Luego:

 =  0,95 ∗ 0,95 + 0,15 ∗ 0,05  =  0,9025 + 0,0075  = 0,91 Así:

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∗0,95   á = 0,950,91   á = 0,9025 0,91   á = 0,99 ∴ De esta forma la probabilidad de la prueba determine que una persona no tiene cáncer es del 99%

2. Probabilidad de que el examen  indique que la persona tiene cáncer S/: Donde:

 =    +    Luego:

 = 0,85 ∗ 0,05 + 0,05 ∗ 0,95  =  0,0425 + 0,0475  = 0,09 ∴ De esta forma la probabilidad de la prueba determine que una persona tiene cáncer es del 9%

3. Probabilidad de que el examen indique que la persona no tiene cáncer

 =    +    Luego:

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 =  0,95 ∗ 0,95 + 0,15 ∗ 0,05  =  0,9025 + 0,0075  = 0,91 ∴ De esta forma la probabilidad de la prueba determine que una persona no tiene cáncer es del 91%

4. Probabilidad de un falso positivo, es decir que el examen indique que la persona tiene cáncer dado que la persona no la tiene S/:

/ = 0,05 ∴ De esta forma la probabilidad de la prueba determine que una persona tiene cáncer dado que no la tiene es del 5%

5. Probabilidad de un falso negativo, es decir, que el examen indique que la persona no tiene cáncer dado que la persona tiene la enfermedad S/:

/  = 0,15 ∴ De esta forma la probabilidad de la prueba determine que una persona no tiene cáncer dado que tiene cáncer es del 15%

De acuerdo con las probabilidades encontradas, que tan confiable es este examen para detectar este tipo de cáncer S/: Observando los valores que resultan al calcular las probabilidades pedidas en cuanto a dar falsos positivos y falsos negativos, se puede concluir que la prueba efectuada tiende a afirmar que las personas que la tomen crean que se

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encuentran sanas a pesar de estar enfermas, y la probabilidad de arrojar FALSOS NEGATIVOS o FALSOS POSITIVOS es muy alta. De esta forma LA PRUEBA NO ES MUY CONFIABLE. Solución al estudio de caso 5: El grupo entrega aquí, de manera organizada, el análisis, desarrollo y solución del ESTUDIO DE CASO presentado RESPONSABLE ROL SELECCIONADO (No borrar este encabezado)

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Conclusiones (mínimo 1 por cada participante) (No borrar este encabezado)

ESTUDIANTE

CONCLUSIÓN

DIANA CAROLINA GÓMEZ BEDOYA

El cuadro sinóptico es una manera diferente de aprender cualquier tema, de una manera resumida, permitiendo identificar los conceptos más importantes. Un fenómeno aleatorio, su resultado está fuera de control y depende del azar.

KAREM LUCIA TRUJILLO RODRIGUEZ





La temática de la probabilidad nos demuestra la importancia que tiene cada uno de los conceptos para desarrollar de mañera eficaz cualquier tipo de problema relacionado con el estudio y análisis de datos estadísticos para determinar un alto grado de confiabilidad en la toma de decisiones. El trabajo se desarrolló de manera colaborativa lo cual permitió la interacción entre los estudiantes y tutor encargado del curso para contar con el apoyo permanente a través del aula virtual en el foro expuesto.

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Referencias bibliográficas en formato APA. (Mínimo una por cada participante, no pueden repetir referencias) (No borrar este encabezado)



Rodríguez, F. & Pierdant, A. (2014). Estadística administración. Página 177 a 200. Recuperado de:

para

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?doc ID=11013767&ppg=177 

Wikipedia.org, teorema de bayes. Recuperado de:

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bayes 

Evelio Hernandez, 2013. Teorema de bayes, nunca más lo complicado. Recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=MrX1pS0wiU0