Fase1_grupo3

CONTROL DIGITAL Código 299006

Fase 1 Presentado al Ingeniero: JOAN SEBASTIAN BUSTOS Grupo de trabajo N° 299006_3

Realizado por: HUGO ERNESTO MOLINA RODRÍGUEZ COD. 80205283 FREDDY CLAVIJO COD. EDGAR HORACIO DIAZ COD. ALEXANDER VILLAMIL COD. JUAN CARLOS AGUILAR COD.

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e ingeniería – ECBTI Bogotá, D.C Octubre, 2016

Contenido INTRODUCCIÓN................................................................................................... 3 OBJETIVOS.......................................................................................................... 4 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD..........................................................................5 CONCLUSIONES................................................................................................ 14 BIBLIOGRAFÍA................................................................................................... 15

INTRODUCCIÓN En el área de la ingeniería electrónica, uno de los grandes campos es el desarrollo de los sistemas de control, los cuales tienen una amplia aplicación en la industria, investigación y desarrollo de las nuevas tecnologías. Por ejemplo: sistemas aeroespaciales, controles industriales, controles automotrices, control para periféricos de computador, métodos de comunicación. Es por esta razón que este trabajo desarrolla unos ejercicios plantados para la fase 1 para los estudiantes apliquen el conocimiento adquirido durante sus lecturas de aprendizaje autocontrolado. En la teoría de control moderno el análisis de los sistemas puede ser abordado desde el modelo matemático de sistemas Eléctricos, Mecánicos, Fluidos, Térmicos, entre otros.

OBJETIVOS 1. Aplicar métodos para el desarrollo de la transformada Z y transformada inversa z, vistos en la documentación referencia. 2. Estudiar la función de transferencia pulso en lazo cerrado de un sistema de control digital. 3. Diseñar controladores para el sistema planteado en la guía de actividades.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD 1. Teniendo en cuenta el video transformada z de control digital (https://www.youtube.com/watch?v=IK5GYVCYA8k) y los demás materiales relacionados en el entorno de conocimiento y relacionados con la transformada Z resuelva los siguientes ejercicios: a. Usando el método de fracciones parciales obtenga x[n] a partir de X(z)=z(z+2)/(z-0.5)(z-1)^2

2

2

A (¿¿ 2−2 z+ 1)+ B ( z −z−0.5 z+ 0.5 ) +Cz−0.5 c Az 2−2 Az + A + Bz2−1.5 Bz+0.5 B+Cz−0.5 C ( Az + Bz = = ( z−0.5 ) ( z−1 )2 ( z−0.5 ) ( z−1 )2

−0.5 A+ C=3.5

C=3.5+0.5(5) C=6

A + B=1 5+ B=1

B=−4

) (

)

X (z ) 5 −4 6 1 1 z−1 = + + = X ( z ) =5 −4 +6 =x ( n )=( 5 ( 2 )n −4 +6n ) u(n) 2 −1 −1 2 −1 z z−0.5 z−1 ( z−1 ) 0.5−z 1−z ( 1−z )

(

) (

b. Usando el método de división directa obtenga x[n] a partir de X(z)=z(z+1)/(z-0.5)^2 Solución: X(z)(Z(Z+1))/〖(Z-0,5)〗^2 →X(z)(Z^2+Z)/(Z^2-Z+0,25) Método de división directa. En este método X(z) se expande en una serie infinita de potencias en Z^(-1) Encontrar X(k) para k=0,1,2,3,4 y 5 de X(z). Z^2+Z (/Z^2-Z+0,25)/(1 + 2Z^(-1)+1,75Z^(-2)+2,32Z^(3)+1,89Z^(-4)+1.31Z^(-5)+⋯………) -Z^2+Z+0,25 2Z-0,25 -2Z+2 -O,5Z^(-1) 1,75-0,5Z^(-1) -1,75+1,75Z^(-1)-0,43Z^(-2) 2,32Z^(-1)-0,43Z^(-2) -2,32Z^(-1)+0,32Z^(-2)-0,58Z^(-3) 1,89Z^(-2)-0,58Z^(-3) -1,89Z^(-2)+1,89Z^(-3)-0,47Z^(-4) 1,31Z^(-3)-0,47Z^(-4) -1,31Z^(-3)+1.31Z^(-4)-0,3275Z^(-5)

Así, X(z)= 1 + 2Z^(-1)+1,75Z^(-2)+2,32Z^(-3)+1,89Z^(-4)+1.31Z^(-5)+⋯……… Yx(0)=1, X(1)=2,X(2)=1,75, X(3)=2,32, X(4)=1,89,X(5)=1,31

c. Compare los resultados obtenidos en a y b. Podemos decir que el método de división directa nos permite realizar el −1 arreglo de la función X(z) en términos de Z tanto el numerador como el denominador, por otro lado, el método de fracciones parciales nos permite expandir la función X(z) en fracciones parciales con el fin de que queden términos más simples y luego encontrar a cada fracción la transformada Z inversa. A través del método de la división directa, no se halló una expresión cerrada para x(k), como sí sucede usando fracciones parciales.

2. Considere el sistema de control de la figura 1 para la planta “1/(s+0.5)”. Determine la secuencia c(kT) resultante de aplicar las siguientes señales en R(s), utilice T=1: δ(t) u(t) r(t) Sugerencia: Se sugiere el siguiente proceso para realizar el ejercicio: Obtenga la función de transferencia en lazo cerrado (página 208-Libro guía) Para cada una de las señales de entrada obtenga R(z) Aplique C(z)=G(z)R(z)/(1+GH(z) ) Para hallar c(kT), obtenga la transformada Z inversa de C(z)

Figura 1. Esquema de control Solución: Podemos decir que la función de transferencia es igual a: C ( z )=

G ( z ) R (z) 1+GH ( z )

Por lo tanto

( 1−e−1 ) z C( z )=

(z−1)(z−e−1) 1+

a.

∗R(z )

( 1−e−1 ) ( z−e−1 )

δ (t )

( 1−e−1 ) z ∗1 ( z−1 ) ( z−e−1 ) C ( z )= ( 1−e−1) 1+ ( z −e−1 ) ( 1−e−1 ) z ( z−1 ) ( z−e−1 ) C ( z )= ( z −e−1 ) + ( 1−e−1 ) ( z−e−1) C ( z )=

(1−e−1) z (z−1)( ( z−e−1 ) + ( 1−e−1 ) )

(1−e−1 ) z C ( z )= +1 ( z−1) ( z−e−1)

δ ( t )=1−e−1 n +1

b.

u(t )

( 1−e−1 ) z ∗z ( z−1 ) ( z−e−1) C ( z )=

z−1 ( 1−e−1 ) 1+ ( z−e−1 )

( 1−e−1 ) z 2 2 ( z−1 ) ( z −e−1 ) C ( z )= ( z −e−1 ) −( 1−e−1 ) ( z−e−1 ) (1−e−1 ) z C ( z )= ( z−1) ( z−e−1) u ( t ) =1−e−1 t c.

r (t)

( 1−e−1 ) z ∗z ( z−1 ) ( z−e−1) 2

C ( z )=

( z−1 ) ( 1−e−1 ) 1+ ( z−e−1 )

( 1−e−1 ) z 2 3 ( z−1 ) ( z−e−1) C ( z )= ( z −e−1 ) −( 1−e−1 ) ( z−e−1 )

−1

(1−e ) z C ( z )= −1 ( z−1) ( z−e )

−1 t

r ( t ) =1−e

3. Teniendo en cuenta el mismo esquema de esquema de control de la Figura 1. Diseñe los controladores de acuerdo a las instrucciones y requerimientos: a. Diseñe un controlador PID digital (T=0.01s) usando el método de Ziegler Nichols, tal que el tiempo de establecimiento sea menor a 2 segundos y el sobreimpulso sea menor al 20%, para la siguiente planta: Gp ( s ) =

1 ( s+1 ) ( 5 s +1 )( 0.2 s+1 )

Sugerencia: Obtenga el controlador analógico y luego realice la discretización del mismo mediante alguno de los métodos explicados en (http://www.controlclass.com/Tema_6/Slides/Tema_6_Diseno_Controladores.pdf) Nota: Si no es posible obtener un tiempo de establecimiento menor a 2 segundos, obtenga un controlador cuyo tiempo de establecimiento sea el menor posible. Solución:

Resolviendo el producto del denominador tenemos:

Gp ( s ) =

1 s +6.2 s +6.2 s+ 1 3

2

Para lo cual su respuesta simulada en Matlab es:

Para calcular los parámetros se comienza por trazar una línea recta tangente a la señal de salida del sistema. El tiempo T1 corresponde al tiempo muerto. Este es el tiempo que tarda el sistema en comenzar a responder. Este intervalo se mide desde que la señal escalón sube, hasta el punto de corte de la recta tangente con el valor inicial del sistema.

El tiempo T2 es el tiempo de subida. Este tiempo se calcula desde el punto en el que la recta tangente corta al valor inicial del sistema hasta el punto en el que la recta tangente llega al valor final del sistema. Para esto aplicamos el siguiente método al sistema: plantado quedaría: t 1 =0.20 t 2 =7.3 Reemplazamos en las siguientes ecuaciones: 3 t= (t 2−t 1) 4 t=5.325

t 0=(t 2−t ) t 0=1.975

Para determinar los valores de 𝑘𝑘, 𝑘𝑘, 𝑘𝑘 se tiene la tabla:

1.975 −1 ¿ 5.325 1.2 kc= ¿ 1 k c =0.18 t i =2∗1.975 t i =3.95 t d=0.5∗1.975 t d=0.98 Para determinar los valores de las ganancias que tendrá el controlador PID se tiene las siguientes ecuaciones: k p =k c k i=

kp td

k d =k p∗t d k p =0.18 k i=

0.18 0.98

k i=0.18 k d =0.18∗0.98 k d =0.176 Aplicando los cálculos del controlador PID, obtenemos la siguiente salida en Matlab: num=[1]; den=[1 6.2 6.2 1] G=tf(num,den) T=0.01; kp=0.18; ki=0.18;

kd=0.176; Gz=c2d(G,T,'zoh') Gc=pid(kp,ki,kd) Gzc=c2d(Gc,T,'match'); F=Gz*Gzc Hz=feedback(F,1) step (Hz,'b');

CONCLUSIONES 1. No se logró desarrollar la totalidad de los ejercicios planteados en la guía de actividades. 2. Los estudiantes aplicaron los conocimientos adquiridos para el desarrollo los puntos 2 y 3 de la guía de actividades.

BIBLIOGRAFÍA 1. Ogata, K. (1996). Sistemas de Control en Tiempo Discreto (ed., Vol., pp. 110-127). México, 1996: Pretince Hall. 2. (2016, 08). UNIDAD 1 (Conceptos básicos y diseño de controladores digitales por métodos convencionales). CONTROL DIGITAL 299006A_291. Obtenido 09, 2016, de http://campus14.unad.edu.co/ecbti09/mod/book/view.php?id=2577