Fase Uno Sistemas Dinamicos

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SISTEMAS DINAMICOS ETAPA UNO

IVAN DAVID ARCOS REYES CODIGO: 1.085.284.919

TUTOR: JUAN CARLOS AMAYA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD” ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA INGENIERIA EN TELECOMUNICACIONES

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2016 INTRODUCCIÓN

La ingeniería de control y la automatización de los procesos es fuente fundamental del progreso en la sociedad actual y para poder llevar a cabo dicha automatización es de vital importancia el uso de planteamientos matemáticos que permiten realizar cálculos precisos, y es por esto que se desarrolla esta primera actividad que nos permite introducirnos en ese mundo de la solución de problemas propiamente en el campo de la ingeniería de control, mediante el manejo de las técnicas y métodos propios de la matreria.

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OBJETIVOS GENERAL Presentar un informe donde se muestre el análisis de circuitos mediante un modelamiento matemático basándonos en el análisis de sistemas dinámicos ESPECÍFICOS 

Conocer los principales conceptos que actualmente dominan los sitemas de control identificando sus elementos.



Desarrollar destrezas en el desarrollo de ejercicios donde pueda ejercitar la interpretación y análisis del diseño de sistemas dinámicos



Resolver problemas que involucren el análisis y contextualización de sistemas de control

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GLOSARIO DE CONCEPTOS CONOCIDOS

FRECUENCIA: Es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo o suceso periódico. Para calcular la frecuencia de un suceso se contabilizan un número de ocurrencias de este teniendo en cuenta un intervalo temporal, luego estas repeticiones se dividen por un tiempo transcurrido. Según el sistema internacional (SI), la frecuencia se mide en hercios (Hz). ESPACIO DE ESTADOS: En ingeniería de control , una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un sistema físico descrito por un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. ESTABILIDAD ABSOLUTA: La variable vuelve al punto de consigna a un valor estable después de una perturbación, sin importar el tiempo qe este oscilando hasta anularse. Es decir, los criterios correspondientes no indica lo próximo que este el sitema de la inestabilidad. MODELAMIENTO MATEMÁTICO: Es uno de los tipos de modelo científico que emplea algún tipo de formulismo matemático, para expresar, relaciones, proposiciones sustantivas de hechos , variables parámetros variables y relaciones entre variables y/o entidades o el estudio de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad. SENSOR: Es un dispositivo capaz de transformar una magnitud física como presión, caudal, temperatura, etc. En una señal eléctrica. SISTEMA NO LINEAL: Es cualquier sistema físico que no pueda ser representado mediante ecuaciones diferenciales o de diferencias de primer orden. MATRIZ: Es una colección de elementos arreglados en forma rectangular o cuadrada.

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ESTABILIDAD: Es una noción que describe si un sistema es capaz de seguir un comando de entrada, o en general si dicho sistema es útil. PERIODO DE MUESTREO: Es el intervalo de tiempo que existe entre cada una de las muestras tomadas de una señal continua. SISTEMA MULTIVARIABLE: Es un sistema que se caracteriza por poseer un gran numero de entradas y salidas. OBSERVABILIDAD: Es una condición que expresa el hecho de que las variables de un sistema afectan algunas de las salidas del mismo. LINEALIZACIÓN: Es un proceso mediante el cual los sistemas no lineales, se llevan a un punto de operación en el cual las características de este sean más o menos lineales, con el fin de encontrar un modelo de representación más sencillo. SISTEMA DE CONTROL: Es un conjunto de dispositivos encargados de implementar ciertas estrategias con el fin de lograr un resultado esperado

GLOSARIO DE CONCEPTOS DESCONOCIDOS

TRANSFORMADA DE LAPLACE: Es una herramienta matemática utilizada para convertir una ecuación diferencial en una ecuación algebraica en el dominio de complejos MODELO OUTPUT: En el modelo Input-Output de Leontief se supone que en un sistema económico existen n industrias que proveen a las restantes y además a una demanda externa. Se trata de determinar el nivel correcto de producción. MODELO BOX JENKINS: Este método de predicción se basa en el análisis de las propiedades pirobalísticas o estocásticas de las series de tiempo económicas en sí

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mismas, pues una variable yt puede ser expresada como una función de sus valores pasados, razón por las que algunas veces se denomina modelos a teóricos, donde no existe relación casual alguna a diferencia de los modelos clásicos de regresión. DIAGRAMA DE BODE Es una gráfica de la magnitud y fase de la función de transferencia de un sistema en función de la frecuencia, la cual permite determinar la estabilidad del mismo.

DESCRIPCION DEL PROBLEMA La compañía donde usted trabaja ha realizado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el fin de prevenir fallas y proteger la alta inversión realizada, el presidente de la compañía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la existencia de alguna falla. Para el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se requiere conocer de forma precisa el modelo matemático del equipo industrial; de esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su modelo matemático; en caso contrario es posible que la máquina esté presentando fallas. A continuación se presenta un diagrama simplificado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada la corriente aplicada salida el voltaje en el condensador

e o ( t )=Vc (t) :

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ii ( t )

y como variable de

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El condensador posee una capacitancia lineal por lo que su corriente

i R ( t )=

√e o ( t ) R

, donde

iR ( t )

R=0.1 √ V / A

C=1 F

( Faradio ). La resistencia es no

depende de la raíz cuadrada del voltaje, esto es:

(

√ Voltios/ Amperios ).

Usted y sus compañeros de grupo son designados para encontrar el modelo matemático más preciso posible. Para encontrarlo se ha dividido el problema en cuatro etapas: 

En la Etapa 1 se deberá encontrar el modelo matemático en el dominio del tiempo y analizar la controlabilidad y la observabilidad del proceso.

PLANTEAMIENTO DE LA SOLUCIÓN LLUVIA DE IDEAS Debido a que la solución al circuito planteado está basada en el uso de ecuaciones diferenciales es de vital importancia reconocer de manera clara las variables que intervienen en dicho circuito de la siguiente manera

( t )=corriente de entrada del circuito en el dominio deltiempo ir ( t )=Corriente de la resistencia en el dominio de tiempo

( c )=Corriente delcapacitor en el dominio de tiempo

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Por ley de ohm los voltajes en paralelo son iguales siendo: e o ( t )=Voltaje de salida que es el mismo volatajedel capacitor ec ( t ) Por lo tanto e o ( t )=vc ( t )

donde R=

10 √ V resistencia no lineal A

C=1 Faradio Se necesita comprender el comportamiento de la corriente y/o del voltaje según correspondan para poder hacer el uso de ecuaciones diferenciales con el fin de encontrar una posible solución. Se define la corriente del capacitor en el tiempo como el valor del capacitor por la variación del voltaje del mismo. Y la corriente en la resistencia por lo que plantea el ejercicio es la raíz cuadrada del voltaje de salida sobre R. El fin de definir la variables es el de poder examinar y determinar cuál es el mejor método de solución si por el método de mallas o el método de nodos. En mi concepto el método más óptimo para usar es la de la ley de nodos que esta definida por: ∑ la suma de las corrientes de entrada es igual a la ∑ suma de las corrientes de salida Una vez se ha determinado el método se hacen los reemplazos pertinentes hasta encontrar una ecuación en la cual el coeficiente del termino de primer orden sea uno y al obtener esta ecuación podemos expresar en espacio de estados definiendo x(t) la salida del sistema y en u(t) la entrada del sistema. 8

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Y para consolidar la solución aplicamos la teoría de espacios de estados y se obtendrá el sistema.

DESARROLLO DEL PLANTEAMIENTO

Teniendo que:

vR ( t )=R∗iR ( t )

Definimos: ic ( t )=C d

c=1 F R=10 √ v / A

vc ( t ) dt

iR ( t )=e o / R Por lo tanto: vi ( t )=voltaje de entrada i i ( t )=correiente de entrada

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e 0 ( t )=vc ( t ) voltaje en el capacitor Aplicando ley de nodos: i i ( t )−ir ( t )=ic(t ) i i ( t )=ic ( t ) +ir (t ) i i ( t )=Cd

vc ( t ) +ir ( t ) dt

Como nos indica el ejercicio la corriente en la resistencia equivale a la raíz cuadrada del voltaje de salida en R i i ( t )=C d

vc ( t ) + √ e0 / R dt

R ii ( t )=RC d

d

vc ( t ) +√ e o (t) dt

vc ( t ) √ e o ( t ) i i ( t ) + = dt RC C

De esta manera encontramos que la ecuación diferencial corresponde a:

dv ( t ) √ e o (t ) ii ( t ) + = Ecuación uno dt 10∗C C 2. Exprese el modelo matemático del sistema lineal en el espacio de estados mediante variables de estados. a ¿ ( t )=vc (t )

x= Ax+ Bu

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b ¿ ( t )=i i( t) y=cx+ Du c ¿ ( t )=vc (t)

Utilizamos la primera ecuación 1 x ( t ) +√ x (t)/10*C = C (t) Por lo tanto x (t ) x (t ) = √ t= √ x ( t ) x (t )1/2

√ t=x(t)1−1 /2 =x( t)1/ 2 x

( t )∗x ( t ) 1 ∗√ x ( t )= 10 C Cu ( t )

Tomamos el valor de C=1 x ( t )=

−x (t) 1 = Sistema lineal en el espaciode estados 10 √ x (t) C(t )

Por las ecuaciones a y c x ( t )= y ( t ) Sistemalineal en espacio de estados

Cuando la entrada del sistema es constante en un punto de operación

i i ( t )=I i=10 A , el sistema se estabiliza

e o ( t )=E o=1 V . Exprese el modelo matemático linealizado

mediante una ecuación diferencial

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ii ( t ) =Ii=10 A Punto de operación en el cual se debe estabilizar el sistema e o ( t )=V o ( t )=e o =1 v Modelo matemático usando la ecuación d

vc ( t ) √ eo ( t) + =ii(t )C dt 10∗c

NOTA: recordemos que en ley de OHM los voltajes en paralelo son iguales v ( t )=v o ( t ) entonces v 0 ( t )=1 v por lo tantoii ( t )=10 A

Al reemplazarlo en la ecuación tenemos lo siguiente d vo ( t ) √ 1 + =ii ( t ) dt 10 d vo ( t ) + 0.1=ii ( t ) ecuación numero dos dt

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PRACTICAS Utilice MATLAB® para simular el sistema no lineal y grafique la salida del sistema cuando se aplica una entrada constante i i ( t )=I i=10 A , durante los primeros 2 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario, esto es, la corriente de entrada cambia de 10 A a 11 A durante 3 segundos más. De manera que la simulación dura 5 segundos.

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