Fase 3 Discusion

EJERCICIO 1 Un método alternativo para hallar soluciones con series de potencias de ecuaciones diferenciales como: (�)�̈+ �(�)�̇ + �(�)� = 0, alrededor de un punto ordinario x = 0 es el método de la serie de Taylor. Este método usa los valores de las derivadas evaluadas en el punto ordinario, los cuales se obtienen de la ecuación diferencial por diferenciación sucesiva. Cuando se encuentran las derivadas, usamos luego la expansión en serie de Taylor

Dando la solución requerida. Considerando lo anterior, la solución para la ecuación

 Lo primero que debemos hacer es seguir hallando las derivadas de la ecuación

´y =x + y +1 ´y =1+ y ' ⃛y = y ' '

 Ahora debemos evaluar las derivadas en

y ( a )=c ´y ( a )=x + y +1=0+c +1=c +1 y ´( a )=1+ y ' ( a )=1+ c+1=c+ 2

y=a , para

a=x=0 , siendo

'' y⃛ ( a )= y ( a )=c +2

 Procedemos a reemplazar en la ecuación

2

3

( c+ 2)(x−0) (c +2)(x−0) y ( x )=c+ ( c+1 )( x−0 )+ + +… 2! 3!

2

y ( x )=c+ ( c+1 ) x +

3

(c +2) x (c+2) x + +… 2! 3!

Por lo tanto la respuesta correcta es el numeral A

EJERCICIO 4 La solución de la ecuación:

´y −e−x y=0 , �(0) = �̇(0) = 1 teniendo en cuenta la

condición iniciales x=0 y utilizando las series de Maclaurin es:

 Lo primero que debemos hacer es hallar las derivadas de la ecuación

y '2 =e−x y y '3 =−e−x y + y ' e−x −x

y ' 4=e−x y −e−x y ' + y ' ' e

−x

−e

y ' =e−x y ' ' + y' (−2 e−x ) + y e−x

y '5 =−e−x y ' ' + y' ' ' e−x +2 ( y ' e− x − y ' ' e−x )+ y ' e−x − y e−x

 Ahora debemos evaluar las derivadas en y(0)=y’(0)=1

y ( a )=1 ' y ( a )=1

y '2 ( a ) =e 0 1=1 y '3 (a)=−e 0 1+1 e0 =−1+1=0

y=a , para

a=0 , y

y ' 4 (a)=e0 1+1 ( −2 e 0 ) +1 e0 =1−2+1=0 '5 0 0 0 0 0 0 y (a)=−e 1+0 e +2 ( 1e −1 e ) +1 e −1 e =−1+0+0+ 0=−1

 Procedemos a reemplazar en la ecuación

y ( x )=1+1 ( x−0 )+

1( x−0)2 0 ( x−0)3 0( x−0) 4 1 ( x−0 )5 + + − +… 2! 3! 4! 5!

2 5 x x ( ) y x =1+ x + − +… 2! 5 !

Por lo tanto la respuesta es el numeral A