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EQUILIBRIO DE CUERPOS RIGIDOS Colaborativo 2

Aporte Individual

Entregado por:

Álvaro Leonardo Ortiz Cód.: 7.319.942

Grupo: 212019_24

Presentado a: Jhon Erickson Barbosa Tutor

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Abril de 2017

FASE 3. TRABAJO INDIVIDUAL Síntesis de los contenidos leídos de la Unidad 1. El libro es: Rodríguez, A. J. (2014). Estática. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria (pp. 27-52 y 73-81). EQUILIBRIO DE CUERPOS RIGIDOS. Estática del cuerpo rígido. Los cuerpos rígidos poseen forma y dimensiones. Las fuerzas aplicadas sobre los cuerpos rígidos ocasionan que estos se desplacen y giren alrededor de un punto o de un eje. Principio de transmisibilidad Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán sin cambio si una fuerza F que actúa en un punto de un cuerpo rígido se sustituye por una fuerza F’ de la misma magnitud y la misma dirección, pero actuando en un punto diferente, siempre que las dos fuerzas tengan la misma línea de acción. Las fuerzas F y F’ tienen el mismo efecto obre el cuerpo rígido y se dice que son equivalentes. Producto vectorial. Es donde multiplicamos 2 vectores por lo común, se le conoce como producto cruz (producto vectorial entre dos vectores que se encuentran contenidos en un plano es otro vector perpendicular a dicho plano, es decir un vector ortogonal al plano, mismo que representa geométricamente el área del paralelogramo y que tiene por lados A y B. El producto vectorial se define como: ⃗⃗ = 𝑨 ⃗ ∗𝑩 ⃗⃗ = |𝑨 ⃗ | ∗ |𝑩 ⃗⃗ | 𝒔𝒆𝒏∅ 𝑹 Producto escalar Es donde es posible multiplicar dos vectores. Por lo general, a esta se le conoce como producto punto (●). El resultado del producto escalar entre dos vectores que se encuentran contenidos en un plano es un escalar, es decir una magnitud. Geométricamente, el producto escalar permite encontrar la dirección entre vectores en el espacio define como:

⃗𝑹 ⃗ = ⃗𝑨 ∗ ⃗𝑩 ⃗ = |𝑨 ⃗⃗ | ∗ |𝑩 ⃗⃗ | 𝒄𝒐𝒔∅ Momento de una fuerza con respecto a un punto: Se denomina momento de una fuerza a un punto, al producto vectorial del vector posición ⃗𝒑 de la fuerza por el vector fuerza F. Cuando se aplica una sola fuerza en forma perpendicular a un ⃗ ∗ ⃗𝑭 objeto, el momento de torsión se calcula con la siguiente fórmula: 𝑴𝒐 = 𝒑 Dónde: 𝑀𝑜 = momento de torsión en Newton-metro (Joule). ⃗ = fuerza aplicada al objeto en Newtons. 𝑭 ⃗ = brazo de palanca o longitud del punto donde se aplica la fuerza respecto al punto 𝒑 considerado en metros. Momento de un par Dos fuerzas F y –F tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas y sentidos opuestos forman un PAR •La suma de las componentes de las fuerzas es cero •La suma de los momentos de las fuerzas respecto a un punto dado NO es cero. •Las fuerzas no originan un traslación del cuerpo sobre el que se actúa, pero si tenderán a hacerlo rotar. Sistema equivalente de Fuerzas: Son las fuerzas de otros cuerpos que actúan sobre nuestro cuerpo de estudio; estas son las que causan que el cuerpo se mueva o permanezca en reposo. Las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, es decir las fuerzas que otros cuerpos, unidos o en contacto con él, le ejercen. Estas fuerzas son las fuerzas aplicadas por contacto, el peso y las reacciones de los apoyos. Ecuación ∑𝑴𝑨 = 𝟎

Equilibrio del cuerpo rígido en el plano: En conclusión las condiciones de equilibrio para cuerpo rígido son que la resultante de todas las fuerzas aplicadas sea nula y que el momento resultante tomado respecto de un punto cualquiera sea nulo.

∑𝑭𝒙 = 𝟎

∑𝑭𝒚 = 𝟎

∑𝑴𝒐 = 𝟎

Equilibrio del cuerpo rígido en el espacio: Las ecuaciones que definen si un cuerpo rígido se encuentra en el espacio son: ∑𝑭𝒙 = 𝟎

∑𝑭𝒚 = 𝟎

∑𝑴𝒙 = 𝟎

∑𝑴𝒚 = 𝟎

∑𝑭𝒛 = 𝟎 ∑𝑴𝒛 = 𝟎

Las tres primeras ecuaciones hacen referencia al desplazamiento del cuerpo rigido en x, y, z. Las otras tres ecuaciones hacen referencia a los giros alrededor de los ejes x, y, z. Los tipos de apoyo que se pueden utilizar en el espacio son: Articulación de rodilla, junta universal, cojinetes, empotramientos, bisagra. EJERCICIOS PROPUESTOS PARA LA ACTIVIDAD INDIVIDUAL 1. Ejercicio 2.13 Determinar los ángulos, y que se forman entre los cables:

a) OA y OB b) OB y OC c) OA y OC Primero se determinan los vectores: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 = 5𝑚𝑖̂ − 15𝑚𝑗̂ − 35𝑚𝑘̂ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 7𝑚𝑖̂ − 20𝑚𝑗̂ − 35𝑚𝑘̂ 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −10𝑚𝑖̂ − 3𝑚𝑗̂ − 35𝑚𝑘̂ 𝑂𝐶 Ahora se utiliza el producto escalar para obtener el ángulo: ⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ | ∗ |𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | 𝑐𝑜𝑠∅ a) 𝑅⃗ = 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (5𝑚𝑖̂ − 15𝑚𝑗̂ − 35𝑚𝑘̂)(7𝑚𝑖̂ − 20𝑚𝑗̂ − 35𝑚𝑘̂) = 35 − 300 + 1225 = 960 𝑂𝐴 |𝑂𝐴| = √52 + (−15)2 + (−35)2 = 38.41 |𝑂𝐵| = √72 + (20)2 + (−35)2 = 40.92 |𝑂𝐴||𝑂𝐵|𝑐𝑜𝑠∅ = |38.41| |40.92|𝑐𝑜𝑠∅ 960 = 1571.74 𝑐𝑜𝑠 ∅ ∅ cos −1 (

960 ) = cos−1 0.6108 = 52.35° 1571.74

∅ = 52.35° ⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | ∗ |𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | 𝑐𝑜𝑠 𝜌 b) 𝑅⃗ = 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (7𝑚𝑖̂ − 20𝑚𝑗̂ − 35𝑚𝑘̂ )(−10𝑚𝑖̂ + 3𝑚𝑗̂ − 35𝑚𝑘̂) = −70 − 60 + 1225 = 1095 𝑂𝐵 |𝑂𝐵| = √72 + (20)2 + (−35)2 = 40.92 𝑚 |𝑂𝐶| = √(−10)2 + (3)2 + (−35)2 = 36.52𝑚 |𝑂𝐵||𝑂𝐶|𝑐𝑜𝑠∅ = |40.92| |36.52|𝜌 1095 = 1494.40 𝑐𝑜𝑠 𝜌 𝜌 = cos −1 (

1095 ) = cos−1 0.7327 = 42.88° 1494.40

𝜌 = 42.88° ⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ | ∗ |𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | 𝑐𝑜𝑠 𝛽 c) 𝑅⃗ = 𝑂𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = (5𝑚𝑖̂ − 15𝑚𝑗̂ − 35𝑚𝑘̂ )(−10𝑚𝑖̂ + 3𝑚𝑗̂ − 35𝑚𝑘̂) = −50 − 45 + 1225 = 1130 𝑂𝐴 ∗ 𝑂𝐶 |𝑂𝐴| = √52 + (−15)2 + (−35)2 = 38.41 𝑚 |𝑂𝐶| = √(−10)2 + (3)2 + (−35)2 = 36.52𝑚 |𝑂𝐴||𝑂𝐶|𝑐𝑜𝑠∅ = |38.41| |36.52| 𝛽 1130 = 1402.73 𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝛽 = cos −1 (

1130 ) = cos−1 0.8055 = 36.33° 1402.73

𝛽 = 36.33°

STÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES 2. Ejercicio 2.19 Una fuerza de F 85 N i ˆ 64 N j ˆ 36 N k ˆ actúa sobre una ménsula

Determinar el momento de la fuerza con respecto al punto ‘O ’. Primero, las componentes del vector F: 𝐹 = 𝐹𝑥𝑖̂ + 𝐹𝑦𝑗̂ + 𝐹𝑧𝑘̂ 𝐹 = 85𝑥𝑖̂ + 64𝑦𝑗̂ + 36𝑧𝑘̂ Ahora, se determina el vector que une al punto O con el punto F: 𝑝 = 𝑝𝑥𝑖̂ + 𝑝𝑦𝑗̂ + 𝑝𝑧𝑘̂ 𝑝 = 3.5𝑚 𝑖̂ + 5.5𝑚 𝑗̂ + 0𝑘̂ En seguida, se calcula el momento de la fuerza F con respecto al punto O:

𝑖 𝑗 𝑘 𝑀𝑜 = 𝑝 ∗ 𝐹 = |3.5 5.5 0 | = (5.5 ∗ 36)𝑖 − (3.5 ∗ 36)𝑗 + (3.5 ∗ 64 − 5.5 ∗ 84)𝑘 85 64 36 𝑀𝑜 = 𝑝 ∗ 𝐹 = 198𝑖 − 126𝑗 − 243,5𝑘 𝑁𝑚

3. Ejercicio 2.30 Para la viga que se representa

Calcular: a) El sistema de fuerzas equivalentes en el punto A. b) El sistema de fuerzas equivalentes en el punto B. c) Las reacciones en los apoyos A y B. ∑𝐹𝑥 = 0 ∑𝐹𝑦 = 0

𝐴𝑦 − 3.5 + 1.8 + 𝐵𝑦 = 0

∑𝑀𝐴 = 0

∑𝑀𝐴 = (−3.5)(4) + (1.8)(6) + 𝐵𝑦5.3 = 0

Luego, se despeja B y de la tercera ecuación: 𝐵𝑦 =

14 − 10.8 = 0.60𝑁𝑚 5.3

Al sustituir el valor de B y en la segunda ecuación, se obtiene: 𝐴𝑦 = 3.5 − 1.8 + 0.60 = 2.3𝑁

4. Ejercicio 2.45 Una losa de cimentación rectangular soporta la carga de las columnas de un edificio a través de los dados.

Determinar: a) El sistema fuerza-par en el origen. b) La magnitud y el punto de aplicación de la resultante. a) Para calcular el sistema fuerza-par en el origen, primero se definen los vectores distancia que van desde el origen “O” hasta el centro de cada dado y los vectores fuerza F que están aplicados sobre cada uno de los dados. Después, se calcula el producto vectorial, a fin de obtener el momento M O en el punto O. 𝑀𝑜 = 𝜌 ∗ 𝐹

𝜌 (m)

𝐹 (N)

0

−7.5𝑘̂

0

8𝑖̂

5.5𝑘̂

0𝑖̂ + 44𝑗̂

8𝑖̂ + 1.5𝑖̂

−6𝑘̂

-9𝑖̂ + 48𝑗̂

4𝑖̂

3.5𝑘̂

−14𝑖̂ + 0𝑗̂

(Nm)

4𝑖̂ + 4.5𝑖̂

−8𝑘̂

−32𝑖̂ + 36𝑗̂

4𝑖̂ + 8𝑖̂

9𝑘̂

−36𝑖̂ + 72𝑗̂

∑

−3.5𝑘̂

−91𝑖̂ + 200𝑗̂

Así, el sistema equivalente queda: 𝐹 = −3.5𝑁𝑘̂ 𝑀𝑜 = 𝜌 ∗ 𝐹 = −91𝑁𝑚𝑖̂ + 200𝑁𝑚𝑗̂ b) Para calcular la magnitud y el punto de aplicación de la resultante, nuevamente se utiliza el producto vectorial: 𝑀𝑜 = 𝜌 ∗ 𝐹 𝑀𝑜 = −91𝑁𝑚𝑖̂ + 200𝑁𝑚𝑗̂ 𝐹 = −3.5𝑁𝑘̂ 𝜌 = 𝑋𝑖̂ + 𝑌𝑗̂ Las componentes Xi y Yj representan la posición que tiene la resultante. Al resolver la ecuación anterior, se obtiene: −91𝑁𝑚𝑖̂ + 200𝑁𝑚𝑗̂ = (𝑋𝑖̂ + 𝑌𝑗̂) ∗ (−3.5𝑁𝑘̂ ) 𝑖 𝑀𝑜 = |𝑥 0

𝑗 𝑦 0

𝑘 0 | = (−3.5𝑦 − 0)𝑖 − (3.5𝑥 − 0)𝑗 + (0 − 0)𝑘 −3.5

𝑀𝑜 = 3.5𝑦𝑁𝑖̂ + 3.5𝑥𝑁𝑗̂ Al igualar las ecuaciones, se tiene: −91𝑁𝑚𝑖̂ + 200𝑁𝑚𝑗̂ = 3.5𝑦𝑁𝑖̂ + 3.5𝑥𝑁𝑗̂ −91𝑁𝑚

−91𝑁𝑚 = 3.5𝑦

𝑦=

200𝑁𝑚 = 3.5𝑥

𝑥=

3.5𝑁 200𝑁𝑚 3.5𝑁

= −26𝑚 = 57.14𝑚

Por tanto, la magnitud y la posición de la resultante son: 𝐹 = −3.5𝑁𝑘̂

𝑥 = 57.14𝑚𝑖̂

𝑦 = −26𝑚𝑗̂