Fase 1 Control Digital

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Control Digital - 299006_5 Fase 1 – Momento 2

Fase 1: Parte Teórica Conceptos básicos y diseño de controladores digitales por métodos convencionales Informe Grupal – Momento 2

eptiembre 2016 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería CONTROL DIGITAL 299006 Introducción 1

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Algunos aspectos del control analógico son aplicados en el control digital, ya que las señales al provenir del mundo analógico (real, físico), no pueden ser tratadas directamente, a no ser por medio de convertidores A/D, se puede llegar controlar y mejorar una respuesta de un proceso; para ello en este informe se encontrara con las transformaciones matemáticas, del tiempo continuo al discreto, del dominio del tiempo al de la frecuencia, y diferentes modelos, que al aplicarles modelos de ecuaciones y ecuaciones en diferencias, se pueden moldear para obtener una mejor visión de la señal, y diseñar los controladores necesarios (PID, adelanto, atraso, etc.), así como conocer la respuesta del sistema, al aplicarle una señal o el modelo matemático de la señal. Así que, el control digital, permite un control más preciso de la señal, pero también es posible que se pierdan datos al tener que convertir una señal analógica a digital, y nuevamente de digital a analógica; pero con los sistemas (Microntroladores, Microprocesadores, Sistemas Embebidos, PLC, etc.) en constante desarrollo, los procesos son más rápidos y mayor cantidad de datos son procesados en menos tiempo, reduciendo la cantidad de señal que se pierde, a costa de mayores recursos de máquina.

Objetivos 2

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 

Reconocer los aspectos necesarios en el tratamiento de las señales, para el diseño de controladores PID. Calcular por medio de los diferentes métodos, la transformada Z inversa para el manejo de las



secuencias en X[n]. Conocer la respuesta de los modelos matemáticos, es decir las respuestas de los sistemas, al aplicar

 

alguna señal de entrada. Con base en los cálculos matemáticos, diseñar controladores en adelanto y PID digitales. Determinar las ecuaciones para manejar modelos o sistemas de lazo cerrado, e integrar los demás conocimientos en la solución de problemas de control digital.

ANEXO 1 -Ejercicios 1, 2, 3.-

3

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1. Teniendo en cuenta el video transformada z de control digital (https://www.youtube.com/watch? v=IK5GYVCYA8k) y los demás materiales relacionados en el entorno de conocimiento y relacionados con la transformada Z resuelva los siguientes ejercicios: a. Usando el método de fracciones parciales obtenga x[n] a partir de b. Usando el método de división directa obtenga x[n] a partir de

X (z) =

X (z) =

z ( z +2) 2 ( z−0.5)(z−1)

z( z +1) (z−0.5)2

c. Compare los resultados obtenidos en a y b. Solución:

a. Usando el método de fracciones parciales obtenga x[n] a partir de

X (z) =

z ( z +2) 2 (z−0.5)(z−1)

Solución: Reescribimos la expresión:

2 z (z +2) z (z +2) z (z +2) Z 2+2 Z =¿ =¿ =¿ ( z−1 )2 (2 z−1) z ( ( z−2.5 ) z+2 ) −0.5 ( z−1 )2 ( z−0.5) ( z−1 )2 ( z−0.5)

4

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Desarrollamos:

Z−1¿ 2 ¿ Z−1¿ 2 ¿ Z−1¿ 2 ¿ Z−1 ¿2 Z−1¿ 2 ¿ ¿ Z−1 ¿2 Z−1¿ 2 ¿ ¿ => (Z −0.5)¿ Z−1¿ 2 2 Z +2Z ¿ ¿ C (Z −0.5)¿ B( Z−0.5) ¿ A ( Z−0.5) ¿ ( Z−0.5)¿ 2 Z +2 Z ( Z−0.5)¿ ¿

igualdad por el denominador común En C Z= 0.5 => En B Z=1 =>

=>multiplicamos ambos miembros de la

Z −1¿ 2+ B( Z−0.5)(Z−1)+C (Z−0.5) Z 2 +2 z=A ¿

0. 25+1= A ( 0.25 ) =¿ A=5

3=C ( 0.5 )=¿ C=6

Sustituimos los valores de A y C en la ecuación original así:

Z −1¿ 2+ B( Z−0.5)(Z−1)+6 ( Z−0.5 ) desarrollamos: Z 2+ 2 Z=5 ¿ Z 2 +2 Z=5 Z 2−10 Z +5+ B ( Z 2−1.5 Z+ 0.5 ) +6 Z−3 B=

(−4 Z 2+ 6 Z +1) =−4 (Z 2−1.5 z+0.5) 2

Z−1¿ ¿ 5 −4 6 + +¿ (Z −0.5) (Z−1) Ahora por medio de tablas de trasformas Z, se busca la señal X(n) para cada fracción de X(z), así aquí se tienen dos términos los cuales son lo que se tiene en las fracciones:

5

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Imagen tomada de: https://www.youtube.com/watch?v=kt4aBGy1eYM

Ahora se reemplazan los términos en la señal causal, y se obtiene la secuencia X(n):

X ( n )=0.5n u [n]+2 u[n]+1 u[n] X ( 0 )=0 ; X (1 )=3.5 ; X ( 2 )=6.5 ; X ( 3 )=9.37 ; X ( 4 )=12.25 ; X ( 5 )=15.15

b:

Usando el método de división directa obtenga x[n] a partir de

X (z )=

z ( z +1) ( z−0.5 )2

Primero lo que se hace es convertir X(z) de su forma factorizada a polinómica, en el numerador aplicamos la propiedad distributiva, y en el denominador aplicamos la definición del cuadrado de un binomio, el cual dice que, “el cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más

el

cuadrado

del

segundo

número”

tomado

de:

http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIII/3_5_1_cuad_bin.htm

X (z )=

X ( z )=

¿

z (z+1) ( z−0.5)2

( z∗z ) +(z∗1) 2 z +2 ( z∗(−0.5 ) ) +0.5 2

z 2+ z 2 z −1 z+ 0.25 6

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¿

z2 + z z 2−z +0.25

Ahora se convierte el polinomio, para que, quede en función de la trasformada inversa, es decir de z-1.

z2 z + z2 z2 X ( z )= 2 z z 0.25 − 2+ 2 2 z z z −1

1+ z X (z) = −1 −2 1−z +0.25 z Ahora se procede a realizar la división del polinomio

1+ z−1 +0 z−2 −1

1−z−1+ 0.25 z−2 −2

−1

−2

−3

−4

−5

−1+ z −0.25 z 1+2 z −2.25 z −2.75 z −2.1875 z −1.5 z … 2 z −1−0.25 z−2 −2 z−1−2 z−2−0.5 z −3 −2

−3

−2.25 z −0.5 z

2.25 z−2−2.25 z −3 +0,5625 z−4 −2.75 z−3 +0,5625 z−4 2.75 z−3 −2.75 z −4 + 0.6875 z −5 −2.1875 z−4 +0.6875 z−5 −4

−5

−6

2.1875 z −2.1875 z + 0.546875 z

−1.5 z−5 +0.546875 z−6 7

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1.5 z −5 −1.5 z−6 +0.375 z−7 −6

−7

−0.953125 z +0.375 z c: Compare los resultados obtenidos en a y b.

El método de la división directa proviene del hecho de que si X[Z] está expandida en una serie de potencias de Z-1, esto es sí

Entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente, los valores de X[n] se pueden hallar por inspección para n= 0, 1, 2,...

En la mayoría de los casos no resulta tan sencillo identificar el término general mediante la observación de algunos valores de la secuencia. El método mas utilizado es la descomposición en fracciones parciales de X[Z]. En vista de la unicidad de la transformada Z, se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para identificar las secuencias correspondientes.

2. Considere el sistema de control de la figura 1 para la planta “1/(s+0.5)”. Determine la secuencia c(kT) resultante

de

aplicar

las

siguientes

señales

en

R(s),

utilice

T=1:

Figura 1. Esquema de control 8

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a.

δ (t)

b.

u(t)

c.

r (t)

Solución:

Reescribimos las fracciones

Encontramos sus raices:

Z z−0.5¿ ¿ ¿2 ¿ Z z−0.5¿ ¿ ¿ 4 Z( Z +1) Z (Z+ 1) Z2 ¿ = = ( 2 Z−1 )2 ( z−1 ) z+ 0.25 ¿ Z= -1 y Z=0

Considere el sistema de control de la figura 1 para la planta “1/(s+0.5)”. Determine la secuencia c(kT) resultante de aplicar las siguientes señales en R(s), utilice T=1: d. δ (t ) e.

u(t)

f.

r (t)

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Para el sistema mostrado definimos que:

y

Tenemos entonces que:

y:

O De lo anterior según el siguiente diagrama de bloques:

Y para nuestro caso

G p ( s )=

1 s+ 0.5

y como sabemos que

de acuerdo a la función de transferencia:

H ( s)=1

: 10

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

G ( z )= ( 1−z−1 )∗Z



G ( z )=

[

]

1 z−1 −1 ( ) = 1−z 2 s2 +0.5 ( 1−z −1 +0.5 )

z−1 1.25−z−1

Ahora bién para GH(Z) tenemos:

[

]

1 ∗1 ( ) ( ) G s H s s +0.5 GH ( Z ) =( 1−z−1 )∗Z p =( 1−z−1 )∗Z =¿ s s

[

( 1−z −1 )∗Z

[

]

]

1 z−1 z−1 −1 ( ) ( ) = 1−z =GH Z = 2 s 2+0.5 1.25−z−1 ( 1−z−1 +0.5 )

Así pues reemplazamos en

para obtener la función de transferencia del lazo completo:



z−1 z−1 z −1 z−1 1.25−z−1 1.25−z −1 1.25−z−1 1.25−z−1 z −1∗z −1 z−1 = = = = = −1 −1 z−1 z −1 z−1 1.25−z−1 1.25 1 ( 1.25−z ) + 1 ( z ) 1+ −1 1.25−z −1 1 ( 1.25−z )



C ( z ) z−1 = R ( z ) 1.25

Lo anterior nos muestra que para cualquier entrada de R(Z), la salida de C(Z) será: −1

C ( z )=

R (z) z 1.25

Desarrollamos la secuencia c(kT) resultante de aplicar las siguientes señales en R(s), utilizando T=1:

a :δ (t)

=> cómo R(Z) = 1 => tenemos que:

C ( z )=

z−1 z−1 ∗1= =impulsounitario 1.25 1.25

11

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b:

1 u(t) => R(Z)= 1−z−1

=>tenemos que: −1

z ∗1 −1 1.25 z C ( z )= = =escalónunitario −1 −1 1−z 1.25−125 z

c:

t r ¿ ) =>

C ( z )=

R ( z) =

z

−1

( 1−z−1 )

z−1 ∗z −1 1.25

( 1−z−1)

2

2

=> tenemos que:

=rampa unitaria

3. Teniendo en cuenta el mismo esquema de esquema de control de la Figura 1. Diseñe los controladores de acuerdo a las instrucciones y requerimientos: a. Diseñe un controlador PID digital (T=0.01s) usando el método de Ziegler Nichols, tal que el tiempo de establecimiento sea menor a 2 segundos y el sobreimpulso sea menor al 20%, para la siguiente planta: Gp ( s ) =

1 (s +1)(5 s+1)(0.2 s +1)

Debemos encontrar la función de transferencia Gp ( s ) =

1 s +6,25 s +6,25 s +1 3

2

Simulamos lo anterior y se obtuvo la siguiente gráfica, son iguales porque son la misma ecuación

12

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Como se puede ver se puede aplicar el Método de Ziegler-Nichols de lazo abierto o curva de reacción, esta es la curva con L y T denotados, el cual está basado en ideas de optimización. Una de las reglas de aplicación de este método es que la respuesta temporal al escalón tiene forma de ‘S’. Este método se puede aplicar de dos formas: - Si la línea graficada es semejante a una S como respuesta a un escalón, se calcula la pendiente R en el punto de inflexión y el eje temporal (x), determina el retardo equivalente L. Dichos parámetros R y L permiten definir la constante de tiempo y el retardo. Y a partir de dichos valores (R y L) Ziegler y Nichols recomiendan los siguientes valores para diseñar el controlador PID: K p=

1.2 τ |T =2 L|T d =0,5 L kL i

- La Segundo forma llamada “de ciclo limite’, se basa en la información obtenida a partir de condiciones límites de estabilidad del proceso en lazo cerrado. Se denomina Kc la ganancia crítica y Pc al periodo de oscilación, por lo cual Ziegler y Nichols recomiendan los siguientes valores para diseñar el controlador PID: K p=0,6 K c|T i=0,5 Pc|T d =0.125 Pc 13

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Como se mención anteriormente nos iremos por la primera opción.

Según el esquema básico de un sistema de control, identificamos el bloque del proceso y el bloque de controlador C(s) que debemos diseña, que es nuestra función de traferencia Gp ( s ) =

1 s +6,25 s +6,25 s +1 3

2

Los retardos de L y T serían: L = 0,5 seg, T = 8,8 seg. Calcular los parámetros óptimos del controlador PID: K p=

1.2 τ 8,8 10,56 =1.2 = =21,12 kL 0,5 0.5

T i =2 L=2∗0,5=1 T d=0,5 L=0,5∗0,5=0,25

Parámetr Controlador o PID 14

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Kp

21,12

Ti

1

Td

0,25

Quedando los parámetros del controlador de la siguiente forma: T T (¿¿ d) s (¿¿ i) s +¿ 1 1+ ¿ GPID (S)=K P ¿

→

(

GPID (S)=21,12 1+

1 +(0,25) s (1) s

)

En octave realizamos la simulación del controlador en lazo cerrado, utilizando un escalón unitario:

15

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Después de obtener el centro analógico podemos buscar el conversor Análogo Digital. Para este paso utilizamos el método de Aproximación rectangular hacia delante Euler I,

El ejercicio dice que el Tiempo de muestreo = 0.01s 16

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Aplicamos la transformada Z para obtener U(z) en función de E(z). −1

−2

U ( z) q 0+ q1 z +q 2 z C ( z )= = −1 E(z) 1−z

Y se calculan las variables de la aproximación así: q 0=K p (1+

q1 =K p (−1−2 q 2=K p

Td ) T

Td T + ) T Ti

Td T

Con la información que ya tenemos se calculan: T = 0,01 seg. Parámetr Controlador o PID Kp 21,12

(

q 0=21,12 1+

Ti

1

Td

0,25

0,25 =549.12 0,01

)

0.01 + =−1076.90 ( 0.25 0.01 1 ) 0.25 q =21.12 ( =528 0.01 ) q1 =21.12 −1−2

2

Parámetr Controlador o PID q0 549.12 17

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q1

-1076.90

q2

528

Por lo tanto La función de transferencia del controlador se define así: 549.12+−1076.90 z−1+528 z−2 ( ) C z= 1−z−1

Código y grafica en Octave

18

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Se observa que el tiempo de establecimiento es mayor a 2 segundos (esta alrededor de 25 seg) y que el sobre-impulso es mayor al 20% (esta alrededor del 40%). No cumple con lo solicitado. b. Diseñe un controlador digital (T=0.01s) en adelanto, tal que el tiempo de establecimiento sea menor a 1.5 segundos y el sobreimpulso sea menor al 20%, para la siguiente planta: 1 Gp ( s ) = (s +1)( s+ 2)

La solución de este ejercicio es muy similar al anterior por lo que se realizara sin detallar mucho. Función de transferencia Gp ( s ) =

1 s +3 s+2 2

19

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Los retardos de L y T serían: L = 0,2 seg, T = 2 seg. Calcular los parámetros óptimos del controlador PID: K p=

1.2 τ 2 2.4 =1.2 = =12 kL 0,2 0.2

T i =2 L=2∗0,2=0.4 T d=0,5 L=0,5∗0,2=0,1

Parámetr Controlador o PID Kp 12 Ti

0.4

Td

0,1

Quedando los parámetros del controlador de la siguiente forma: T T (¿¿ d) s (¿¿ i) s +¿ 1 1+ ¿ GPID (S)=K P ¿

→

(

GPID (S)=12 1+

1 +(0.1)s (0.4)s

)

20

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Se calculan las variables de la aproximación así: q 0=K p (1+

q1 =K p (−1−2 q 2=K p

Td ) T

Td T + ) T Ti

Td T

Con la información que ya tenemos se calculan: T = 0,01 seg. Parámetr Controlador o PID Kp 12

(

q 0=12 1+

(

q1 =12 −1−2

Ti

0.4

Td

0,1

0,1 =132 0,01

)

0.1 0.01 + =−251.7 0.01 0.4

)

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q 2=12

0.1 ( 0.01 )=10

Parámetr Controlador o PID q0 132 q1

-251.7

q2

10

Por lo tanto La función de transferencia del controlador se define así: −1

−2

U ( z) q 0+ q1 z +q 2 z C ( z )= = −1 E(z) 1−z

C ( z )=

132−251.7 z−1+10 z−2 1−z−1

Código y grafica en Octave

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Conclusiones 23

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Desde las ecuaciones en diferencias pasando por las transformadas de LapLace, hasta la transformada Z, la cual se usa mucho en control digital, se ejecutan conocimientos importantes para el manejo de las señales y sus modelos matemáticos, para el manejo del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo, para la conversión de señales continuas a discretas, así como para su conversión A/D, D/A y el diseño del controlador digital (PID, en adelanto, etc.). Otro aspecto importante, fue el de poder conocer la respuesta de un sistema al aplicar una señal de entrada, todo esto por medio de ecuaciones y cálculos matemáticos, así mismo para controlar esta respuesta se ejecuta un proceso similar, todo esto con la ventaja de que se puede experimentar un poco sin consecuencias mayores, debido a que conocemos sus equivalentes matemáticos, tanto del sistema, como de su posible control.

Bibliografía  Rodríguez Ramírez, D; Alamo Cantarero, T. Ingeniería de Control, Tema 6. Diseño de controladores discretos.

Recuperado

Sep.

2016

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http://www.control-

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