fascÍculo 08 ENEM 2011

 .   e   m    i   r    C    é   a    d   a   z    i   r   o    t   u   a   o    ã   n   a    i   p    ó    C  .   o    l   u   c    í   c   s   a    f   e    t   s   e    d   o    ã   ç   u    d   o   r   p   e   r   u   o   o    ã   ç   a   c    i    l   p   u    d   a   a    d    i    b    i   o   r   p     É  .   a    h   c   o    R   o    t    i   r   c    ó   m   e    D   o    ã   ç   a    d   n   u    F   a    d   s   a    d   a   r    t   s    i   g   e   r   s   a   c   r   a   m   o    ã   s   a    i   c   n    â    t   s    i    D   a   o   n    i   s   n    E   e   e    t   s   e    d   r   o    N   o    d   a    t   r   e    b    A   e    d   a    d    i   s   r   e   v    i   n    U

Matemática e suas Tecnologias Matemática

Alexmay Soares Soares,, Cl Cl eit eiton on Albu Al buqu querqu erque, e, Fab abrr ício Maia, Mai a, João João Mendes Mend es e Th Th i ago Pacífi Pacífico co

 8  0

n t abelecer relações de i ridades, es ta a l u g e r r e  ve  v e r c s e d , s o n  it o de  fenôme  t o de fe  t amen to ompor ta e ao moderno conce to c d a o d i r n e a d n m e u e h r p a , m e o  te  t c n e e d m l idade iu, gradua uziu,  t ica”. A necessida  t emá ti  fórmula ma te  ificar e generalizar cond  t fi comum de “ fó quan ti , o r a ã c ç i  fi   f o l i n a a u q e , u i a q c o n d ê e d d n a e d p i  t ili r u til  te  t erde  xponen funções e xp  t ica, fu mais precisa e de maio uadrá ti q a o m ã r ç o  fo  f n u a  fu  f : m s u a é ica  tic  t o á  to   t i m e c e  te  t n a o  Tal c unções m is fu  fu  função. Ta incipais f as das princ lo, abordaremos algum  fascículo,  t e fa Nes te  t ricas.  t rigonomé tr icas e as tr ítmica ciais, funções logarítm  t udos! Bons es tu

 te  tudan te Caro Es tu

Objeto do Conhecimento

Função Quadrática As aplicações da função quadrática abrangem situações do meio social, relações de mercado e capital, engenharia, economia, saúde, transportes, indústrias, artes, energia, problemas de otimização etc.

Defnição Toda função f: R → R definida por f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0, recebe o nome de função quadrática. Pode-se interpretar a função quadrática como sendo uma transformação do número real x no número número real ax2 + bx + c. Em símbolos: x



ax

2

+

bx

+

Resumo gráfco Com a > 0 (nesse caso, dizemos que a parábola possui concavidade voltada volt ada “para cima”). cima”). y

∆

0

x2

x

Com a < 0 (nesse caso, dizemos que a parábola possui concavidade voltada volt ada “para baixo”). baixo”).

c

∆

0 x2

x

Para o traçado do gráfico de d e funções quadráticas, quadráticas, é útil lembrar que as coordenadas do vértice da parábola são dadas por:  − b − ∆   4a 

Vértice érti ce =  2a ,

O valor de = b2 – 4ac determina, portanto, o número de raízes reais de uma equação do 2º grau e, por esse motivo, ti vo, é chamado chamado discriminante discrimin ante da equação. equação.

Interpretação do discriminante 1º caso: se > 0, então haverá h averá duas raízes raízes reais diferent diferentes es.. 2º caso: se = 0, então as duas raízes serão reais e iguais. 3º caso: se < 0, então ent ão não haverá h averá raízes raízes reais. reais. 114

Forma atorada Se os valores x1 e x2 representam as raízes de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, então podemos reescrevê-la na forma fatorada: y = a·(x – x1)·(x – x2), em que a é denominado coeficiente dominante. Essa forma form a é especialment especialmentee útil út il para determinar determ inar a função f unção quadrática em estudo quando possuímos as suas raízes. Determinar as relações de interdependência entre as variáveis é uma das habilidades mais cobradas pelo Enem. Acompanhe no exemplo como utilizar a forma fatorada para obter obt er a função quadrática quadrát ica desejada. desejada.

2º caso: a < 0

Exemplo:

A figura mostra um arco parabólico ACB de altura CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm. M é o ponto médio de AB.

ponto

máximo

C

Nesse caso, como a concavidade da parábola está vol − b − ∆ 

A

M

B

Tomando o ponto pont o A como origem o rigem de um sistema cart cartes esiaiano, teremos t eremos a figura figu ra abaixo: abaixo: y

tada para baixo, seu vértice V =  2a , 4a  representa um ponto pont o de máximo, o ponto pont o mais alto alto da parábola. parábola. Dessa forma, yV representa o maior valor da função, dado por:

C (20, 16)

Observação importante: x A (0, 0)

M (20, 0)

B (40, 0)

Assim, as raízes de tal função são 0 e 40. Dessa forma, pode-s pod e-see aplicar a forma fatorada: fato rada: y = a(x – x1) (x – x2) ⇒ y = a(x – 0) (x – 40) ⇒ y = a(x2 – 40x). Como f(20) = 16, temos: 16 = a(202 – 40 · 20) ⇒ 16 = – 400a ⇒ a =

−1 25

Logo, a função procurada procu rada é: y

1

− =

25

. (x 2

−

40 x)

⇒

y

− =

x

2

25

+

Interpretar corretamente o texto é essencial para responder com sucesso a questão. Assim, observe que a abscissa do vértice da parábola, isto é, não representa nem o máximo, nem o mínimo valor da funçã fu nçãoo. Ovalor valor est está relacionado à condição cond ição necessá necessária ria para se se atingi atin girr o extremo da função (máximo ou mínimo). Isto é, é a condição (ou circunstância) circu nstância) para termos o máximo (ou mínimo) valor da função. Acompanhe o quadro-resumo abaixo. yV

=

xV

=

8x 5

Máximos e mínimos em unção quadrática Para a função f(x) = ax + bx + c, temos dois casos a considerar com relação relação ao coeficiente coeficient e a. 2

1º caso: a > 0 a>0

  representa o mínimo, se a > 0      4a representa o máximo, se a < 0   − b   representa a condição para se atingir o mínimo, se a > 0   2a representa a condição para se atingir o máximo, se a < 0

−∆

Por fim, note que se o exercício cobrar o máximo (ou mínimo) valor da função quadrática, você deve calcular . Entretanto, se a questão perguntar sobre uma condição (ou circunstância) em que se obtém o máximo (ou mínimo) valor da função quadrática, você deve calcular lar Em qualquer caso, a parábola que representa a função y = ax2 + bx + c intersecta o eixo-y no ponto de coordenadas (0, c) e apresenta uma simetria em relação à reta vertical que passa por seu vértice (ou seja, a reta ret a cuja cuja equação é ). Acompanhe Acomp anhe a ilusil ustração a seguir.

Nesse caso, como a concavidade da parábola está vol − b − ∆  tada para cima, seu vértice V =  2a , 4a  representa um ponto pont o de mínimo, mínimo , o ponto pont o mais baixo baixo da parábola. parábola. Dessa forma, yV representa o menor valor da função, dado por:

eixo de simetria: x =

y

b 2a

(0, c)

0 yv

x1

xv

x2

x

v

Universidade Aberta do Nordeste 115

Exemplo:

Um posto de combustível vende 10 000 litros de álcool por dia a R$ R$ 1,50 1,50 cada cada litro. lit ro. Seu Seu propri p roprietário etário percebeu p ercebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10 200 litros. lit ros. Des Desssa forma, form a, considerando considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, o valor V, em R$, arrecadado diariamente com a venda do álcool, pode ser obtido pela relação: (1,50 – x /100): preço do litro de combustível, em reais. (1500 + 100x): quantidade vendida diariamente. Então:

Para Fixar

|C5-H20| 01. A luz não influi na respiração das plantas. Mantendo-se a planta em ambiente com O2 e temperatura constante, a respiração é a mesma nas várias horas do dia. A fotossíntese é influenciada pela quantidade de luz que a planta recebe. Medindo-se o volume de O2 que a planta plant a produz, obtém-se obt ém-se a curva da fotoss fot ossínt íntes esee indicada ind icada adiante. o d a in mi l e s á g e

( d e m ul o

Uma vez que o valor arrecadado (receita) é uma função quadrática com a concavidade voltada para baixo, a receita terá um valor máximo, e o desconto necessário para que a receita seja máxima é , isto é, se o proprietário conceder 25 centavos de desconto por litro de combustível e, consequentemente, vendê-lo a R$ 1,25, obterá a maior receita possível, ou seja, atingirá o valor máximo que é [

]

|C5-H21| Uma pequena localidade é abastecida com água extraída de 6 poços, cada um possuindo uma vazão de 1 100 litros de água por hora. Dessa forma, a vazão total é de 6 600 litros de água por hora. A prefeitura dessa cidade pretende aumentar o número de poços. Porém, para cada poço adicional perfurado, esti estima-s ma-see que a vazão vazão por poço p oço diminui di minui em 25 litros lit ros por hora. Por exemplo, com um poço adicional perfurado, a vazão de cada um dos 7 poços fica em 1 075 litros por hora, assim, a vazão total passa a ser 7 525 litros de água por hora. A quantidade de poços adicionais a serem perfurados de modo que a vazão vazão tot t otal al seja seja a maior poss p ossível ível é: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 Solu ção ção coment ada: De acordo acordo com os o s dados, dados, podemos podemo s es escrever a vazã vazãoo tot t otal al como ; Vazãototal = (quantidade (quant idade de d e poços) · (vazã (vazãoo de d e cada poço). Seja Seja n a quantidade de poços adicionais, temos: ⇒

Vazãototal = – 25n2 + 950n + 6 600

Trata-se rata-se de uma função fu nção quadrática quadráti ca e seu seu gráfico é uma parábola de concavidade voltada para baixo, assim, haverá um ponto de máximo. A quantidade quanti dade de poços adicionais adicion ais a serem serem perfurados de modo mod o que qu e a vazão vazão tot al seja seja a maior poss p ossível ível represent representaa uma condição para se atingir o máximo e, dessa forma, devemos calcular o

. Logo, n =

Resposta esposta correta: corr eta: d

116

0

6

7

8

9 10 11 11 12 13 14 15 16 17 1 7 18

24

Horas do dia

Seja t ∈[0, 24), a opção que contém a função quadrática que melhor melho r modela mod ela o volume V(t) V(t) de O2 produzido através da fotossíntese ao longo do dia é: a)

, em que que k é uma

constante real e negativa. b) V(t) = k(t2 + 24t + 12), em que k é uma constante positiva. c)

, em que k é uma cons con s-

tante real e negativa. d) V(t) = k(t2 + 24t + 144), em que k é uma constante negativa.

Questão Comentada

Vazãototal = (1100 – 25n) · (6 + n)

v

= 19 poços.

e)

, em que k é uma constante real e positiva.

|C5-H21| 02. Uma distribuidora de produtos alimentícios, ainda não implantada, deseja fornecer seus produtos para as cidades A, B, C e D, situadas ao longo da mesma rodovia. A cidade A está situada no quilômetro 10 da rodovia; a cidade B, no quilômetro 20; a cidade C, no quilômetro 80 e a cidade D, no no quilômetro quilô metro 130. 130. km 0

km 10 km 20

A

B

km 80

km 130

C

D

Os custos do transporte da distribuidora para as cidades A, B, C e D são dados respectivamente por (x – 10)2, (x – 20)2, (x – 80)2 e (x – 130)2, em que x é a posição (medida em quilômetros, a partir do Km 0) onde deverá ser instalada instalada a futura fut ura distribuidora. distribui dora. Considerando que o proprietário deseja minimizar os custos com transportes, o quilômetro onde a distribuidora deverá ser construída é: a) 0 b) 20 c) 60 d) 80 e) 100

F• iqueade Olho

ANTENAS, RADARES, FARÓIS E PARÁBOLAS Quando um satélite artificial é colocado em uma órbita geoestacionária, ele emite um conjunto de ondas eletromagnéticas que podem ser captadas por antenas ou radares na Terra. O que talvez você não saiba é que esses objetos são construídos tendo a parábola como referência, isto porque tal curva possui propriedades geométricas extremamente úteis. Na construção de antenas parabólicas, radares ou faróis, a propriedade mais explorada é a reflexiva. Quando um feixe de raios luminosos incide paralelamente ao eixo de simetria de uma superfície paraboloide espelhada, sua reflexão reflexão ocorre de forma a faze fazerr convergir os raios em um único ponto. Da grande quantidade de calor produzido nesse ponto, surgiu o nome foco (em latim focus significa fogo). Como os sinais recebidos (ondas de rádio ou luz) são são muit m uitoo fracos fr acos,, é necess necessário captá-los e concentrá-los em um único ponto para que sejam naturalmente amplificados. Portanto, a superfície da antena ou do espelho deve d eve ser ser tal que qu e todos tod os ossinaisrecebidos de uma mesma direção sejam direcionados para um único ponto após a reflexão. Aplica-se o mesmo princípio na construção de d e espelh espelhos os para telescópios, antenas de radar, antenas parabólicas e faróis.

guia direcional

O prato curvo focaliza as ondas de rádio que chegam para a guia direcional.

A secç secção ão de um farol de um automóvel automó vel tem o formato form ato de uma pará p arábol bolaa (a superf superfície ície espelhada espelhada é um paraboloide). paraboloi de). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que, após incidirem sobre a parábola, serão refletidos numa mesma direção, segundo retas paralelas ao eixo de simetria da parábola. Sup. espelhada F

Far Farol de um au autom tomóve óvel

Secção cção de um um far farol ol

Objeto do Conhecimento

Função Exponencial e Logarítmica As funções exponenciais e logarítmicas ocupam lugar de destaque em todas as áreas do conhecimento, desde estudos relativos a taxas de crescimentos, nascimentos e morte de indivíduos de uma população (animais ou plantas) até a propagação de doenças em sistemas epidemiológicos, todos constituem casos típicos de situações cuja modelagem é feita através de funções logarítmicas e exponenciais.

Defnição da unção exponencial A funçã fun çãoo f: R → R dada por f(x) = bx (com b ≠ 1 e b > 0) é denominada função exponencial de base b e definida para todo tod o x real. Se x = 0, então y = b0 = 1, isto é, o par ordenado (0, 1) sat isfaz isfaz a lei lei y = bx. Iss Isso quer q uer dize di zerr que qu e o gráfico de qualquer qu alquer função fun ção dess desse tipo ti po int i nters ersecta ecta o eixo y no ponto pont o de ordenaordenada 1. Com relação à base b , há dois dois casos casos a considerar:

1º caso: se b > 1, ent então ão a função é crescente, crescente, isto é: x x > y ⇔ b > by Gráfico y

1 x

0

f é crescent crescentee

Universidade Aberta do Nordeste 117

2º caso: 0 < b < 1, então então a função é decrescente: decrescente: x y x > y⇔ b < b Gráfico y

Exemplos

1º) log2 16 = 4, pois 24 = 16 16 2 2º) log3 9 = 2, pois poi s 3 = 9 3º) log7 1 = 0, pois 70 = 1 Decorrências da defnição

1 x

0

f é decrescent decrescentee Uma generalização são as funções com a forma . Nessas funções o coeficiente a é frequentemente associado ao valor inicial da função, pois Por sua vez, para cada aumento de k unidades no valor de x, a função é multiplicada pelo fator b . Essa compreensão dos coeficientes das funções do tipo é de fundame fun dament ntal al importâ import ância para montagem rápida de modelos exponenciais. Acompanhe o exemplo a seguir. Exemplo:

Um agricultor está sofrendo com a infestação de determinada espécie de formiga que está destruindo sua plantação. Após buscar a ajuda de um especialista, este recomenda a aplicação de certo inseticida, explicando que, após seu uso, a população dessas formigas será reduzida à metade a cada 5 dias. A população inicial de formigas é estimada em 30 000 espécimes. A partir dessas informações, podemos escrever a população pop ulação de formigas form igas em funçã fun çãoo do tempo t , medido em dias, transcorrido após a aplicação do inseticida. Nessa função temos a = 30 000 (população ção inicial) i nicial),, temos também

dessas formigas é

(pois a população

reduzida à metade  b

1 =

). Portan-

2

to, a população de formigas poderá ser estimada pela lei P(t) = 30 000 ·

Logaritmos Defnição

Dados os números reais reaisN N, a e a, com N > 0, a > 0 e a ≠ 1, o expoente a que colocamos na base a para obtermos o número N é chamado logaritmo de deN N na bas basee a. Em símbol ímbolos: os: A nomenclatura nomenclat ura usada usada é a seguin seguintt e: N – logaritmando ou antilogaritmo a – base base (quando a base base é omit omitida, diremos diremos que a base base é 10) a – logaritmo 118

Alguns logaritmos, pelo fato de que vamos encontrá-los muitas vezes, devem ter seus valores rapidamente reconhecidos. São logaritmos cujos resultados decorrem de maneira imediata da definição. Consideradas satisfeitas todas as condições de existência, temos: 1ª decorr decorrência: ência: loga 1 = 0 Pois qualquer que seja a base a elevada ao expoente 0, apresenta apresenta resultado igual igu al a 1. 2ª decorr decorrência: ência: loga a = 1 Pois qualquer que seja a base a elevada ao expoente 1, apresenta apresenta result resultado ado igual igu al aa a a. 3ª decorr decorrência: ência: loga a = a Pois a é justamente o expoente que devemos colocar na base a para obtermos o resultado a . a

a

4ª decorr decorrência: ência: aloga N = N Pois logaN é, é, por força de definição, defin ição, justamente justament e o expoente que devemos colocar na base a para obtermos o resultado N. Propriedades

A partir da definição, podemos desenvolver algumas utilizações frequentes dos logaritmos e transformá-las em propriedades que passaremos a estudar. Considerando os números reais positivos a, N e M, com a ≠ 1: P1: P2: P3: P4: P5:Mu 5: Mudan dança ça de Bas Basee , ondea onde a é uma base base convenientemente convenient emente escolhida.

Função Logarítmica Defnição

É toda função f: R +* → R  na forma f(x) = loga x, em que, a > 0 e a ≠ 1. Para a > 1, tal função é crescente. Acompanhe o gráfico na página seguinte.

Solu ção ção comentada: De acordo acordo com a fórmul a o valor da luminosidade na superf ície é 1000 1000 luxes. luxes. Como o mergulhador não consegue trabalhar sem luz artificial quando essa luminosidade fica inferior in ferior a 10%de seu valor na superfície, então devemos ter:

y y = logax

1 (a > 1) 1

a

x

Respost espostaa correta: corr eta: d

Para 0 < a < 1, tal função fu nção é decrescent decrescente. e. Acompanhe Acomp anhe o grágráfico abaixo.

Para Fixar

y y = logax (0 < a < 1) 1

a 1

x

Logaritmo natural

O logaritmo natural ou logaritmo neperiano é o logaritmo cuja base é o número irracional e, que é aproximadamente ment e igu igual al a 2,718281 2,71828182845 828459045. 9045..... Tal logaritmo é normalmente representado por Ln x. Ist Ist o é: n

|C5-H22| 03. O valor de certo equipamento, comprado por R$ 60 000,00, é reduzido à metade a cada 15 meses. Assim, a equação V (t) = 60 000 · , onde ond e t é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais, representa a variação do valor desse equipamento. Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor do equipamento equip amento após 45 meses meses de uso será será igual a: a) R$ 3 750,00 750,00 b) R$ 7 500,00 c) R$ 10 000,00 000,00 d) R$ 20 000,00 e) R$ 15 000,00 000,00 |C5-H20 e H-21| 04. A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser modelado por uma função exponencial do d o tipo t ipo f(x) = a ·bx, conforme o gráfico a seguir. y = f(x)

x é equivalente equivalente a log loge x

960%

Questão Comentada

|C5-H21| Admitindo-se que a luminosidade L(x) da luz solar a x metros abaixo do nível do oceano seja dada, em luxes, por L(x) = 1 000 · e que um mergulhador não consiga trabalhar sem luz artificial quando quand o essa essa luminosidade lumi nosidade fica fi ca inferior inferio r a 10% de seu valor na superfície, então a maior profundidade, em metros, que o mergulhador pode pod e atingir sem ter t er de usar usar luz artificial artifi cial é igual a: Dado: Ln10 ≈ 2,3 a) 4,6 b) 2,3 c) 0,23 d) 23 e) 11,5

7,5% 0

a) b) c) d) e)

4

7

x (anos)

A taxa de inflação desse país, no quarto ano de declínio, foi de: 60% 50% 40% 30% 22,5%

Universidade Aberta do Nordeste 119

Fique de Olho •

a

COMO SEREALIZA ALIZA A PROVA DO CARBONO-14 PARA CONHECER A IDADE DOS RESTOS ENCONTRAD ENCONTRADOS OS POR PALEONTÓLOGOS PALEONTÓLOGOS? ?

Fósseis podem ser datados com o teste do carbono-14

A técnica do carbono carbono-14 -14 foi descoberta nos anos anos quarenta por Willard Libby. Ele percebeu que a quantidade de carbono-14 dos tecidos orgânicos mortos diminui dimin ui a um ritmo ritm o constante com o passar do tempo. Assim, a medição dos valores de carbono-14 em um objeto fóssil nos dá pistas muito mui to exatas exatas dos anos decorridos decorrid os desde desde sua morte. mort e. Essa técnica é aplicável à madeira, carbono, sedimentos orgânicos, ossos, conchas marinhas – ou seja – todo material que conteve carbono em alguma de suas formas. Como o exame se baseia na determinação de idade através da quantidade de carbono-14 e que esta diminui com o passar do tempo, ele só pode ser usado para datar amostras que tenham entre 50 mil e 70 mil anos de idade.

A RADIOATIVIDADE DO CARBONO-14 Libby, que era químico, utilizou em 1947 um contador Geiger para medir a radioatividade do C-14 existente em vários objetos. Este é um isótopo radioativo instável, que decai a um ritmo perfeitamente mensurável a partir da morte de um organismo vivo. Libby usou objetos de idade conhecida (respaldada por documentos históricos) e comparou comp arou esta com os o s result resultados ados de sua radio radiodatação. datação. Os Os diferentes dif erentes testes testes realizados realizados demonstraram a viabilidade viabilid ade do método até cerca de 70 mil anos. O C-14 se produz pela ação dos raios cósmicos sobre o nitrogênio-14 e é absorvido pelas plantas. Quando estas são ingeridas pelos animais, o C-14 passa aos tecidos, onde se acumula. Ao morrer, este processo se detém e o isótopo começa a desintegrar-se para converter-se de novo em nitrogênio-14. A partir desse momento, a quantidade de C-14 existente em um tecido orgânico se dividirá pela metade a cada 5 730 anos. Cerca de 50 mil anos depois, essa quantidade começa a ser pequena demais para uma datação precisa. Depois de uma extração, o objeto a datar deve ser protegido gid o de qualquer q ualquer contami con taminaçã nação o que qu e possa possa mascara mascararr os resultados. Feito Feito isso, isso, leva-se leva-se ao laboratório laborat ório onde se contará cont ará o número de d e radiações radiações beta produzidas por minuto minut o e por grama de material. O máximo são 15 radiações beta, cifra que se dividirá dividi rá por dois doi s por cada período período de 5.730 5.730 a anos nos de idade da d a amostra. amostra. Disponível em: .

Objeto do Conhecimento

Trigonometria e suas aplicações Situações relacionadas com a medição de lados e ângulos de triângulos deram início à Trigonometria, que com o passar do tempo, transformou-se numa genuína ferramenta ment a na res resolução de um consideráve considerávell número nú mero de prop roblemas relacionados com a mecânica, a topografia, a navegação e sobretudo nos cálculos astronômicos. Assim, esta esta abordagem tem t em como objetivo obj etivo princip p rincipal al a aplicação aplicação de conceitos trigonométricos em situações que envolvam triângulos e a exploração de fenômenos periódicos reais, recorrendo às funções trigonométricas. Vale salientar que a eficácia desta ferramenta, nas aplicações que iremos apresentar, apresentar, exigirá naturalment e um razoáve razoávell domínio algébrico algébrico e geométrico do leitor. l eitor.

Trigonometria no triângulo retângulo Considere um ângulo agudo a = med(CÂB). Construindo perpendiculares ao lado AB a partir dos pontos C1, C2, C3 etc., os triângulos retângulos obtidos C1B1A, C2B2A, C3B3A etc. serã serãoo semelhantes por t erem o ângulo ângu lo a comum.

120

C C3 C2 C1

α

A

B1

B2

B3

B

Considerando que é amplamente amplament e conhecida a proporprop orcionalidade dos lados homólogos em triângulos semelhantes, então podemos escrever as seguintes proporções:

Estas constantes k1, k2 e k3 dependem apenas do ângulo compriment os doslados envolvido envolvidoss. Éoportuno Éoport uno a e não dos comprimentos dar nomes nomes a es essasconstantes constant esque que dependem dependem de a (agudo).

Assim, considerando o triângulo retângulo ABC e fixando um ângulo agudo a, podemos definir: C

hipotenusa a

Exemplo 2:

b cateto oposto

c

α

B

Logo, se tivermos as medidas de h e a (valores acessíveis) e uma tabela de senos, podemos tranquilamente determinar det erminar o raio da Terra: Terra:

A

cateto adjacente

Uma outra out ra sit situaçã uação-pr o-probl oblema, ema, para most most rar a import imp ortância ância da Trigonometria na resolução de problemas relacionados com ângulos e lados de um triângulo, é a questão do topógrafo que deseja medir a altura de uma montanha e para tal toma como referência referência o ponto pon to P, no pico. A partir de um ponto A no solo, calcula calcula a medida do ângulo ângu lo a que o segment segmentoo AP forma forma com a horizontal horizont al local e, afas afastt ando-se 1 km até o ponto B, mede o ângulo θ de BP com a horizontal. hori zontal. Faz Fazendo endo um u m des d esenho enho ilustrati i lustrativo, vo, encont encontramos ramos:: P

h

Os benefícios que a Trigonometria propicia à facilitação nas resoluções de problemas aparentemente difíceis é incontestável.

α

θ

B

1

A

x

P’

Temos que: qu e:

Exemplo 1:

Para mostrar uma aplicação, suponha que se quer medir o raio r da Terra, que é um comprimento impossível de ser obtido pelo cálculo direto. Um processo, usado desde os gregos, é o seguin seguintt e: Sobe-se a uma torre t orre de altura alt urahh e mede-se mede-se o ângulo ângul o a que faz a reta BC do horizonte de B com a vertical verti cal BO BO do lugar. lu gar. Considerando a Terra esférica, temos a ilustração: B

Substituindo ubstit uindo (I) em (II (II),), encontramos encont ramos::

Torre h

α

Portanto, ort anto, a altura altu ra desejada desejada é dada por:

C

  t  e   o  n   z    i   r    h  o   o   d    h  a   n    i    L

R

Terra R

O

Trigonometria num triângulo qualquer Em vis vi sta das numeros numero sas aplicações apli cações em que que se consideram t riângulos riângul os quaisquer, vamos vamos apresentar apresentar duas d uas leis de grang rande relevância na Trigo Trigonomet nometria. ria. •

Usando as razões trigonométricas apresentadas, encontramos:

Lei dos senos:

Em todo triângulo, as medidas dos lados são diretamente proporcionais aos senos dos ângulos opostos, onde a constante de proporcionalidade é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita.

Universidade Aberta do Nordeste 121

Demonstração:

•

Lei dos cossenos:

Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produt prod utoo desses desses dois doi s lados pelo cosseno cosseno do ângulo formaform ado por p or eles. eles.

A

α

P

B α

O

Lei dos cossenos: ^

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A R C

^

b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

a

^

B

a

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

C

O teorema dos senos estabelece que

a sen(A )

c

é constante.

Acompanhe: I. Seja O o circuncent circuncentro ro do DABC; II. Prolongando rolon gando o segment segmentoo BO BO até encontrar a circunferência, obtemos obt emos o diâmetro d iâmetro BP; III. Observe Observe que o triângu tri ângulo lo PC PCBé retângulo retângu lo em C, pois BP é um diâmetro; IV. IV. Osângulo ânguloss inscrit inscritos os  e P são igu iguais ais (arco capaz); V. No triângul riâng uloo retângulo retângu lo PC PCB, temos:

b

A





sen  = sen P 

a

= 2 R 

→

a

2 R  =

sen sen A 

Observação:

Essas fórmulas são de fácil demonstração e muito úteis na determinação dos ângulos de um triângulo, conhecendo as medidas dos lados.

Portanto, podemos escrever: Exemplo: a

 b =

sen sen A 

c

sen sen B

=



=

2 R 

sen sen C 

Exemplo:

Para mostrar uma aplicação, suponha que um navio, via jando em linha lin ha reta, avista avista um farol em F, 45º 45º à direit direi ta; após ter caminhado 20 km, avista o mesmo farol numa direção que forma fo rma 75º com sua sua trajetória, trajetória, como mostra a figu figura. ra. 20 km

A

Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura fig ura a seguir. seguir. C

   m     0     0     2

B

4 5º

7 5º

50º N B

 3 m  0  √  0  3 20º A

F

•

Nes Nesse pont pon to, a distância do navio n avio ao farol pode pod e ser ser calculada facilmente. Evidentemente, a medida do ângulo AFB é igual a 60º. Portanto, aplicando a lei dos senos, temos: 

•

122

P

Para a construção do teleférico, há duas possibilidades: o ponto pon to de partida ficar localiza localizado do no terminal de trans t rans-portes port escoletivos (pont (pontoo A), com uma um a parada parada intermediint ermediária (ponto B), e o ponto pont o de chegada localizado localizado no pico p ico do morro (ponto C); o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem parada intermediária.

Sendo , BC = 200 m, BÂP = 20º e CBN = 50º, a distância entre os pontos pontosA A e C, pode ser ser facilmente facilment e calcucalculada a partir da lei dos cossenos. 

• •

Acompanhe: C

Somando omando (III) e (IV), (IV), obtemos: obt emos: a2 · cos2 a + a2 · sen2 a = c2 + b2 a2 · (cos2 a + sen2 a) = a2

   m     0     0     2

Logo, cos2 a + sen2a = 1 (R. (R. Fun Fundamen damenttal), ∀a agudo.

50º

d

150º N

B

 0  3 0

Por out ou t ro lado, tem-s t em-se: e:

 m  √ 3

20º P

Temos: Simplificando, obtemos: d = 700 metros.

Pitágoras e a relação undamental da Trigonometria A tradição é unânime em atribuir a Pitágoras (geômetra grego, nascido por volta de 572 a.C. na ilha egeia de Samos) a descoberta independente do teorema sobre triângulos retângulos, hoje universalmente conhecido pelo seu nome – que o quadrado sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados sobre os cat cat etos. eto s.Ésabido abid o que qu e ess esse teorema teorema era conhecido conheci do pelos p elos babilônios dos tempos de Hamurabi, mais de um milênio antes, mas sua sua primeira pr imeira demonstraçã d emonstraçãoo geral g eral pode pod e ter t er sido sido dada por Pitágoras. Desde os tempos de Pitágoras, muitas demonstrações desse teorema foram apresentadas. Vejamos uma demons demon st ração ração ut u t iliza ili zando ndo as razões razões trigonotrig onométricas:

Funções trigonométricas: Seno e Cosseno As seis razões trigonométricas apresentadas até o momento variam conforme o ângulo a que se referem. São perfeitamente determinadas para cada um dos ângulos compreendidos entre 0º e 90º e a cada ângulo, nesse intervalo, corresponde apenas um valor para cada razão. As razões trigonométricas são, pois, funções dos ângulos a que se referem e costumamos nomeá-las de funções trigonomét gon ométricas ricas.. No No entanto, ent anto, as definições defin ições acima acima podem po dem ser generalizadas generalizadas para para qualquer qu alquer ângulo ângu lo a da seguinte forma: A ampliação do domínio das funções trigonométricas a toda reta real faz-se recorrendo à circunferência trigonométrica. Ela é definida por uma circunferência de raio unitário (raio = 1) centrada na origem ori gem dos d os eixos cartesianos. cartesianos. y +

(0,1) 90º

(arcos positivos, sentido anti-horário) P(xp,yp)

yp 1 180º (–1,0)

0º = 360º

a O

xp

(1,0)

x

(arcos negativos, sentido horário) A

270º (0,–1) θ

α

b

α

θ

C

Dessa forma, podemos definir o seno e o cosseno do ângulo a para todos os valores de a e não somente para aqueles aqueles entre ent re 0º (ou 0 radianos radiano s) e 90º (ou radianos radiano s). Vejamos:

c

h

m

n

H a

•

•

Somando (I) e (II), obtemos: c2 + b2 = na n a + ma = a · (n + m) m ) = a · a = a2. Logo, c2 + b2 = a2 (Pitágoras).

–

B

e Assim, as coordenadas do ponto P são: P(xp, yp) = (cos a , sen a). Consequent onsequentemente, emente, temos: t emos: e De modo semelhante, para o ângulo a = p radianos (meia-volta na circunferência), temos cos(p) = –1 e sen(p) = 0, pois o ponto (xp, yp) = (0, –1). Universidade Aberta do Nordeste 123

Quando a = 2p radianos, radianos, voltamos a ter o ponto pon to (1, 0), o que nos dá cos(2p) = 1 e sen(2p) = 0. Prosseguindo para outros valores, verificamos que as funções trigonométricas se repetem cada vez que adicionamos 2p radianos ao ângulo primitivo a. Da mesma forma que temos valores pos possíveis síveis para o seno e o cosseno cosseno quand q uandoo a > 0, também é possível atribuir valores às funções trigonométricas quando a < 0. Nesses casos, temos ângulos descritos no sentido dos ponteiros do relógio (sentido horário). Portanto, as duas funções, seno e cosseno, ficam bem definidas para todos os valores de a na reta real.

Propriedades • D(f) = R . • Im(f) = {y ∈ R | – 1 ≤ y ≤ 1} = [– 1; 1]. • f é função ímpar, pois sen(–x) = – sen x, ∀x ∈ R . limi tada, pois – 1 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ R . • f é limitada, • f é periódica, de período p = 2p •

Gráfico

y 1

3π 2

Observação:

É possível definir a função tangente do ângulo a de modo semelhante. g eométrica rica das d as funções funções seno, seno, cos cosse• Representação geomét no e tange t angente nte na n a circunferência circunferência trigonométri tri gonométrica ca..

0

π

π π

π

6

4 3

2

2π

π

x

-1

Gráfico da função cosseno Utilizando os pontos (x, y) da tabela abaixo, onde y = cos x , construímos o gráfico da função cosseno no intervalo de 0 a 2p. x y = cos x •

eixo dos senos

eixo das tangentes

90º B(0,1) P’

II Q sen α 180º (–1,0)

IQ

III Q

T tg α

α

O

P

cos α

0º = 360º A(1,0)

0

1

 /6

3/2

 /4

2/2

/3

1/ 2

/2

0

p

eixo dos cossenos

p

IV Q

p

p

270º (0,–1)

Para se ter uma um a ideia do comport comp ortamento amento gera g erall de uma um a função trigonométrica, é conveniente construir o seu gráfico. A princípio, seria necessário conhecer todos os pontos para obter obt er o gráfico, entretanto, o conjunto conjunt o de pont os notáveis discuti discutidos dos anteriorment anteriormentee permite permit e construi construirr uma um a figura bastante próxima do gráfico desejado. •

x

y = sen x

0

0

/6

1/ 2

 /4

2/2

 /3

3/2

/2

1

p

0

3p/ 2

–1

2p

0

p p p

p

124

 – 1

3p/ 2

0

2p

1

Propriedades • D(f) = R . • Im(f) = [– 1; 1]. • f é função par, pois cos(–x) = cos x, ∀x ∈ R . • f é função limitada, pois – 1 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ R . • f é periódica, de período p = 2p.

Gráfico da função seno

Utilizando os pontos (x, y) da tabela abaixo, onde y = sen x, construímos o gráfico da função seno no intervalo de 0 a 2p.

p

•

Gráfico

y 1

π

0

π

π

π

π

6

4

3

2

3π 2

2π

x

-1

Gráfico da função tangente Utilizando os pontos (x, y) da tabela a seguir, onde y = tg t g x, com com x ≠ , constr construímos uímos o gráfico da d a função •

tangente no interva int ervalo lo de 0 a 2p.

x

y = tg x

0

0

 /6

p

Questão Comentada

|C2-H8 e C3-H11| Três ilhas, I1, I2 e I3, aparecem num mapa, em escala 1:10 1:10 000,como na n a figura figu ra ao lado. Das alternativas, a que melhor aproxima a distância entre as ilhas I1 e I2 é:

3/3

/4

1

p

 /3

p

3

 /2

p

∃

2p /3

 –

/ 4 3p

3

–1

5p /6

 –

0

2p

0

Propriedades D(f) =

•

•

Im(f) = R . f é função ímpar, pois tg(–x) = – tg t g x, ∀x ∈ D. f não é limitada. f é periódica, de período p = p.

•

Gráfico

•

105º

I3

12 cm

I1



•

•

30º

a) 2,3 km b) 2,1 km c) 1,9 km d) 1,4 km e) 1,7 km Solu ção ção comentada: Para encontrar a distância entre as ilhas I 1 e I2, podemos recorrer à lei dos senos, pois claramente a medida do ângulo ACB = 45º, o que nos n os permite permit e escrever: escrever:

3 /3

p

I2

. Como o mapa mapa est está na escala escala 1:10 1:10 000, podemos podemo s ent entender ender que q ue 1 cm no mapa equivale a 10 000 cm na realidade. Portanto, a distância entre as ilhas I1 e I2 é igual igual a 17 vezes10 000 cm, isto é, 1,7 km. Respost espostaa correta: corr eta: e

Para Fixar

y

0

π

2

π

3π 2

2π

x

|C2-H8| 05. Do alto de prédios circundantes, foram feitas medições de ângulos e outras, com vista a determinar a altura da Torre Eiffel. iff el. Tendo em conta todas as medições apresentadas na figura, a alt altura ura total da torre, incluindo a antena, é, aproximadamente, igual a: (considere (consid ere ) a) 217 m b) 279 m c) 301 m d) 319 m e) 400 m 45º

60º

  m    0    2

471,4 m

Exemplo:

Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante de Ciências Exatas, observou o fenômeno das marés em determinado ponto da costa brasileira e concluiu que o mesmo era periódico e podia ser aproximado pela expressão: ,

|C2-H8| 06. Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura abaixo. P

onde t é o tempo (em horas) decorrido após o início da observação (t = 0) e P(t) é a profundidade da água (em metros) no instant instantee t .

30º A

Evidentemente, P(t) será maximizado quando tomarmos Consequent emente, , com k inteiro. Daí, podemos garantir que, depois de 4,5 horas (k = 1), ocorreu a primeira maré alta após o início da observação.

60º 1 000 m

B

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30º com a direção AB. AB. Após a embarcação percorrer 1 000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo gul o de d e 60º com a mesma direção AB. AB. Seguindo eguin do sempre a direçã di reçãoo AB, AB, a menor dis di st ância entre a embarcação barcação e o farol será será equivalente, equivalent e, em metros metro s, a: a) 500 b) 500 3 c) 1 000 000 3 d) 70 0 3 e) 1 000 Universidade Aberta do Nordeste 125

Fique de Olho

FORM FORMULÁR ULÁRIO TRIGONOM TRIGONOMÉ ÉTRICO TRICO Fórm órmul ulas as da adiçã adi çãoo

3

sen(b + a) = sen b · cos a + sen a · cos b cos(b + a) = cos a · cos b – sen b · sen a tg (β + α ) =

tg β + tg α 1 − tg β ⋅ tg α

Admitindo-se que sen(a) = e que o barco se aproximou 5 do farol e uma u ma nova obs ob servação ervação foi realizada, realizada, na qual o ângulo a passou exatamente para 2a, a nova distância x’ a que o barco se encont encontrará rará da base base do farol f arol pode po de ser ser calculada facilmente facilmente us u sando a fórmula do arco arco duplo: du plo: tg 2 α =

Fórm órmul ulas as da subtraçã subt raçãoo

2 . tg 1 − tg

α

2

α

sen(b – a) = sen b · cos a – sen a · cos b

Ilustração

cos(b – a) = cos b · cos a + sen b · sen a tg(β − α ) =

tg β − tg α 1 + tg β ⋅ tg α x’

Arcoo dup lo Arc

α α

sen(2a) = 2 · sen a · cos a 36 m

cos(2a) = cos2a – sen2 a

tg (2α) =

2 . tg α 1 − tg

2

α

Saiba que alguns problemas de geometria exigem a utilização de algumas dessas fórmulas. Constatação: Um farol localizado l ocalizado a 36 m acima do nível do d o mar é avistado por um barc b arcoo a uma distânciax distância x da base base do farol, f arol, a partir de um ângulo a, conforme a figura:

• sen

α =

3

⇒

5

• tg ( 2α )

tg α

=

3 4

2 tg α

=

1 − tg

2

α

( I)

=

36 x’

(II)

x

Substitu ubsti tuind indo o (I) em (II), (II), e encont ncontramos: ramos:

α

36 m

2. 1−

3

4 2 3  

 4 

=

36 x’

⇒ x’ = 10,5 m.

Exercitando para o Enem

|C5-H21| 01. 01. Sob determinadas condições, o antibiótico gentamicina, quando ingerid i ngerido, o, é eliminado elim inado pelo p elo organismo à razã razãoo de metade do d o volume vol ume acumulado acumu lado a cada 2 horas. horas. Daí, Daí, se se K é o volume da substância no organismo, pode-se utilizar a função para estimar a sua eliminação depois de um tempo t , em horas. Nesse caso, o tempo mínimo necessário para que uma pessoa conserve no máximo 2 mg desse antibiótico no organismo, tendo ingerido 128 mg numa única dose, é de: a) 12 horas horas e meia. meia. b) 12 horas hor as.. c) 10 horas hor as e meia. d) 8 horas hor as.. e) 6 horas horas..

126

|C5-H22| 02. O corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22 horas. Às 22 h e 30 min, o médico da polícia chegou e imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de 32,5 ºC. Uma hora mais tarde, tomou a temperatura outra vez e encontrou 31,5 ºC. A temperatura do ambiente foi mantida constante a 16,5 ºC. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva seja 36,5 ºC. O médico sabe que o resfriamento do corpo da vítima segue um modelo exponencial do tipo:

Em que:  – t é o tempo, em hora;  – Do é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente no instante t = 0; 0;   – D(t) é a diferença dif erença de temperatura temperatu ra do cadáver cadáver com o meio ambiente num instante t qualquer e;  – k é uma constante positiva. Os dados obtidos pelo médico foram colocados na tabela seguinte.

TempeTempeDiferença ratura do ratura do de tempecorpoo (ºC) corp (ºC) quart qu artoo (ºC) (ºC) rat ratur uraa (ºC) (ºC)

Hora t=?

Morte

36,5

16,5

D(t) = 20

t=0

22 h 30 min

32,5

16,5

D(0) = D0 = 16 16

t=1

23 h 30 min

31,5

16,5

D(1) = 15

a) b) c) d) e)

Considerando os valores aproximados log 25 = 2,3 e log23 = 1,6, pode-se estimar a hora em que a pessoa morreu como sendo: 19 h 15 min mi n 19 h 30 min 19 h 45 min 20 h 00 min 20 h 15 min

|C5-H20| 03. “Thomas Malthus (1766-1834) assegurava que, se a população não fosse de algum modo contida, dobraria de 25 em 25 anos, crescendo em progressão geométrica, ao passo que, dadas as condições médias da Terra disponíveis em seu tempo, os meios de subsistência só poderiam aumentar, no máximo, em progres prog ressã sãoo aritméti arit mética”. ca”. Analise os gráficos e assinale a alternativa em que a Lei de Malthus Malthu s está está representada. representada. a)   s   a   o   s   s   e   p   e    d   o   r   e   m    ú    N

Crescimento populacional

  s   a    d   a    l   e   n   o    T

Produção de alimentos Anos

Anos

b)

  s   a   o   s   s   e   p   e    d   o   r   e   m    ú    N

  s   a    d   a    l   e   n

Crescimento populacional

  o    T

Produção de alimentos

Anos

Anos

c)

  s   a   o   s   s   e   p   e    d   o   r   e   m    ú    N

Crescimento populacional

  s   a    d   a    l   e   n   o    T

Produção de alimentos

Anos

Anos

d)

  s   a   o   s   s   e   p   e    d   o   r   e   m    ú    N

  s   a    d   a    l   e   n   o    T

Crescimento populacional

Anos

e)

  s   a   o   s   s   e   p   e    d   o   r   e   m    ú    N

Produção de alimentos

Anos

Crescimento populacional

  s   a    d   a    l   e   n   o    T

|C5-H23| 04. A população de peixes em um lago está diminuindo devido à contaminação da água por resíduos industriais. A lei n(t) = 5 000 – 10 · 2t – 1 fornece uma estimativa estimativa do número de espécies vivas n(t) em função do número de anos (t) transcorridos após a instalação do parque industrial na região. Uma ONG divulgou que, se nenhuma providência pro vidência for tomada, em uma década (a partir partir do início da instalação da indústria) não haverá mais peixes no lago. Com base nos dados apresentados, apresentados, podemos afirmar corretamente corret amente que: qu e: a) tal inform informaçã açãoo não não procede, pois pois semp sempre re haverá peixes peixesno lago. b) tal inform in formaçã açãoo é exagera exagerada, da, pois poi s haverá um redução do número de peixes no lago, mas não a ponto de extingui-los. c) tal inform in formaçã açãoo procede, pois em nove anos anos já não haverá haverá mais peixes. d) tal inform in formaçã açãoo é exagera exagerada, da, pois poi s levaria mais mais de 20 20 anos anos para extinguir os peixes. e) tal informação inf ormação é procedente, procedent e, pois poi s em cinco anos já não não havehaverá mais peixes. |C5-H22| 05. Uma calha será construída a partir de folhas metálicas em formato retangular, cada uma medindo 1 m por 40 cm. Fazendo-se duas dobras de largura x, paralelas ao lado maior de uma um a dessa dessass folhas,obtém-se obt ém-se três faces facesde um bloco bl oco retanret angular, como mostra a figura da direita.

x

x 1m

40 cm

1m x

1m

a) b) c) d) e)

x

        s    t    i    b   r   e    t   n    I

Com relação ao volume que esse bloco retangular poderá ter, podemos afirmar corretamente que: seu seu máximo valor valo r será será 20 000 m 3. seu seu máximo valor será será 10 000 m3. seu seu máximo valor será será 40 000 m3. seu seu mínimo mínimo valor será será 5 000 m3. não depender dependeráá da variável x.

|C5-H21| 06. Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro nacional. Ao fazer uma pesquisa de preços de passagens, os estudantes receberam de uma empresa uma proposta, na qual o preço de cada passagem dependeria do total de passageiros que as comprassem. Cada passagem passagem custaria custaria R$ 90,00, 90,00, mas seria seria cobrada cob rada uma mult mu ltaa individual no valor de R$ 5,00 por cada lugar que, eventualmente, ficasse vago no ônibus. Considerando que o ônibus tem 52 lugares, lugares, é correto afirmar afi rmar que qu e a máxima máxima receita receit a dessa dessa empresa ocorrerá se a viagem for realizada com: a) 39 passageiros. passageiros. b) 38 passageiro passageiros. s. c) 37 passagei passageiros. ros. d) 36 passageiro passageiros. s. e) 35 passageiros. passageiros.

Produção de alimentos Anos

Anos

Universidade Aberta do Nordeste 127

|C5-H20| 07. A foto a seguir mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico parabóli co com bas b asee AB= 8 m e altura altu ra central OC = 5,6 m. y

C

|C5-H19 |C5-H19 e H-22| 09. As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplificadamente, pela função seno. Suponhamos que, para uma determinada maré, a altura h, medida em metros, acima do nível médio, m édio, seja seja dada, aproxim aproximadamente, adamente, pela fórmula: em que t ∈ [0, 24) representa representa o horário

A

O

x

B

Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o vertical verti cal Oy represe represent ntaa o eixo de simetria simetri a da parábol parábola. a. P

  m    5    4  ,    2

A

Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 2,45 m, como ilustrado acima, toca sua extremidade P em determinado ponto do arco parabólico, a distância do ponto P ao eixo vertical Oy é igual a: a) 3 m b) 3,5 m c) 4 m d) 4,5 m e) 5 m |C2-H6 e H-8| 08. Para representar as localizações de pontos estratégicos de um acampamento em construção, foi usado um sistema de eixos cartesianos ortogonais, conforme mostra a figura abaixo, em em que os pontos pont osF F e M representam os locais onde serão construídos os respectivos dormitórios feminino e masculino e R o refeitório.

de aferição. O período do dia di a em em que qu e um navio de 10 m de calado (alt (altura ura necessária de água para que o navio flutue livremente) pode permanecer nesta região está compreendido entre: a) 12 e 18 horas hor as.. b) 6 e 12 horas hor as.. c) 2 e 10 horas horas.. d) 10 e 18 horas horas.. e) 12 e 10 horas hor as.. |C2-H8| 10. Um rolamento, peça largamente utilizada na indústria, pode ser descrito de maneira bem simplificada como um conjunto de dois cilindros de bases concêntricas e mesma altura, além de várias esferas idênticas idênt icas,, colocadas entre as supersuperfícies laterais dos dois cilindro cili ndross. A figura ao lado mostra o esquema de um rolamento: os raios das bases dos dois cilindros medem dem r e R, respectivamente, e as esferas são tangentes entre si e também t ambém tangent t angentes es às às superfícies superfícies laterais dos cili cilindro ndros. s.As esferas esferasocupam todo to do o espaço espaço entre ent re os cilindros, cilin dros, masapenas cinco delas estão estão desenhadas desenhadas na figura. fig ura. r

R

5º

a

sen a

10º

15º

20º

25º

1

7

13

1

21

10

40

50

3

50

y (metros)

F

30º

M (30,0)

R

x (metros)

O total de esferas existentes em um rolamento em que r = 33 mm e R= 47 mm, usando, se necessário, as aproximações fornecidas na tabela, é igual a: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

Para Fixar Se o escritório escritóri o da d a coordenação do acampamento acampament o deverá d everá ser ser equidistante dos dormitórios feminino e masculino e, no sistema, sua sua representação representação é um ponto pon to pertencente pert encente ao eixo das absciss abscissas as,, quantos quant os metros ele distará d istará do refeitó refei tório? rio? a) 10 3 b) 9 3 c) 8 3 d) 10 e) 9

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a

c

b

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d

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Exercitando xercit ando para o Enem Enem 01

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Atenção!! Inscreva-se já e tenha acesso a outros materiais sobre o Enem no www.dr.com.br/enem2011 www.dr.com.br/enem2011 Expediente Presidente: Luciana Dummar Coordenação da Universidade Abert a do Nord este: este: Sérgio Falcão Coordenação oor denação do Curso: Fernanda Denardin e Marcelo Pena Coordenação Edit Edit orial: orial : Sara Rebeca Aguiar Coordenação Acadêmico-Admini Acadêmico-Admini strati va: Ana Paula Costa Salmin Coordenação oor denação de Desig Designn Gráfico: Deglaucy Jorge Teixeira

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ISBN ISBN978-85-7529-512-0 978-85-7529- 512-0

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