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Familles sommables par

Bernard RANDÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand

1. 1.1 1.2 1.3

Ensembles dénombrables ...................................................................... Définitions .................................................................................................... Propriétés ..................................................................................................... Exemples ......................................................................................................

2. 2.1 2.2 2.3 2.4

Sommabilité .............................................................................................. Somme d’une famille positive.................................................................... Propriétés élémentaires de la sommation des familles positives .......... Théorèmes sur la sommation des familles positives ............................... Sommabilité des familles quelconques.....................................................

— — — — —

3 3 4 4 5

3. 3.1 3.2

Propriétés de la sommation.................................................................. Propriétés élémentaires .............................................................................. Théorèmes sur la sommation.....................................................................

— — —

6 6 7

4. 4.1 4.2

— —

8 8

4.3

Méthodes d’étude .................................................................................... Méthodes générales .................................................................................... Familles indexées par une demi-droite de N ........................................... 4.2.1 Familles de référence ......................................................................... 4.2.2 Critères pratiques ............................................................................... Familles quelconques..................................................................................

— — — —

9 9 10 11

5. 5.1 5.2

Espaces  ................................................................................................. Présentation ................................................................................................ Étude.............................................................................................................

— — —

12 12 12

5.3

Dualité et espaces  ..................................................................................

—

13

p

p

AF 72 – 2 — 2 — 2 — 3

a loi d’addition sur les scalaires ou les vecteurs vérifie certaines propriétés, telles que l’associativité et la commutativité, qui permettent de définir naturellement les sommes de familles finies, auxquelles les propriétés de l’addition, considérée comme opération binaire, s’étendent aisément. Les difficultés surviennent lorsque l’on envisage d’étendre la sommation à des familles infinies discrètes, dont l’archétype est la suite indexée par N . Si l’on veut en effet que cette sommation soit d’un usage commode, on doit lui conserver les propriétés de la sommation finie : associativité, commutativité par exemple. Une telle conservation est possible au prix d’une certaine limitation des familles étudiées. Pour ce faire, on étudie, dans un premier temps, les familles positives, pour lesquelles il n’existe qu’un phénomène d’accumulation, sans compensation, qui permet dans tous les cas d’attribuer à la famille une somme, finie ou infinie. On se limite ensuite à l’étude des familles, scalaires ou vectorielles, dont la famille des modules (ou des normes) a une somme finie. Il n’est alors pas difficile d’attribuer à la famille initiale une somme scalaire (ou vectorielle) qui possède toutes les vertus souhaitables : c’est la théorie des familles sommables, qui fait l’objet du présent article.

L

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AF 72 − 1

FAMILLES SOMMABLES _________________________________________________________________________________________________________________

Lorsque la famille n’est pas sommable, on devra développer une théorie ad hoc qui prenne en compte le problème d’origine. Très fréquemment, la façon dont la famille est indexée founit une indication. Si des charges électriques équidistantes sont disposées sur une demi-droite, rien n’est plus naturel que de les numéroter, c’est-à-dire de les indexer par N . Si l’on considère le potentiel développé en un point, par exemple l’origine de la demi-droite, on pourra considérer d’abord la somme des potentiels correspondant aux n premières charges, puis examiner la limite de ces sommes lorsque n tend vers l’infini. Cette façon de voir conduit à la théorie des séries, évoquée dans l’article « Procédés sommatoires » [AF 73]. Lorsque ce procédé diverge (c’est-à-dire ne permet pas d’attribuer une somme à la suite), on peut étudier la suite des moyennes arithmétiques des termes de la suite (procédé de Cesaro), ou encore introduire la série entière génératrice associée à la suite, puis examiner la limite de cette série entière lorsque la variable tend vers 1. On obtient alors le procédé de sommation d’Abel. Ces procédés et d’autres, analogues, présentent une certaine cohérence, en ceci qu’en cas de convergence de deux procédés, les sommes attribuées seront égales, y compris lorsque la « somme » est +∞ , dans le cas des familles positives. Il existe cependant d’autres méthodes, qui permettent d’attribuer des sommes finies à des familles positives dont la somme usuelle serait infinie.

1. Ensembles dénombrables 1.1 Définitions Soit I un ensemble. S’il est fini, il est en bijection avec un intervalle du type [ 1, n ] . L’entier n est alors le cardinal de I . Si l’ensemble est infini, il n’est pas toujours en bijection avec une partie de N . Cela conduit à la définition 1. Définition 1. On dit qu’un ensemble est dénombrable lorsqu’il est en bijection avec une partie de N . Un ensemble dénombrable infini est dit strictement dénombrable. Ainsi, I est dénombrable lorsqu’il existe une injection de I dans N (on dit que I s’injecte dans N ). Un ensemble qui s’injecte dans un ensemble dénombrable est dénombrable. En particulier, si deux ensembles sont en bijection, et si l’un est dénombrable (respectivement strictement dénombrable), l’autre l’est aussi. De plus, un sousensemble d’un ensemble dénombrable est dénombrable. S’il existe une surjection de I sur I′ , il existe une injection de I′ dans I . Pour le voir, il suffit d’associer à chaque élément de I′ l’un quelconque de ses antécédents par la surjection. Ainsi, l’image d’un ensemble dénombrable est dénombrable. Une famille indexée par un ensemble dénombrable est souvent appelée suite. Nous utiliserons librement cette terminologie. Concrètement, un ensemble indexé par un ensemble dénombrable est dénombrable. En effet, l’ensemble des indices se surjette sur cet ensemble. Réciproquement, la proposition 1 assure qu’un ensemble strictement dénombrable peut toujours être indexé par un ensemble strictement dénombrable donné, N par exemple. Proposition 1. Si I est sous-ensemble infini de N , il existe une bijection strictement croissante de N sur I .

sens parce que I est infini et que f ( [0, n ] ) est fini. L’application ainsi construite est strictement croissante, donc injective, et elle arrive dans I . D’autre part, il n’existe aucun élément de I strictement plus petit que f ( 0 ) ou bien strictement compris entre f ( n ) et ♦ f ( n + 1 ). Donc f est surjective. Il résulte de cette proposition qu’un ensemble strictement dénombrable est en bijection avec N , puisqu’il est en bijection avec une partie infinie de N . L’existence d’une bijection entre un ensemble et N caractérise donc la stricte dénombrabilité de cet ensemble. Cependant, il peut être malaisé de mettre en évidence une telle bijection. C’est pourquoi nous allons donner d’autres propriétés permettant de décider de la dénombrabilité d’un ensemble.

1.2 Propriétés Disons qu’une suite ( I n ) n ∈ N est exhaustive dans I lorsqu’elle est croissante, et que I est la réunion des I n . On note parfois cela In 3 I . On peut interpréter une suite exhaustive comme une suite d’ensembles « tendant en croissant vers I ». Pour donner corps à cette interprétation, nous pouvons dire aussi que, pour n assez grand, les ensembles d’une suite exhaustive sont plus grands (pour l’inclusion) qu’un ensemble fini donné à l’avance. Cette affirmation est formulée précisément dans la proposition 2. Proposition 2. Soit ( I n ) n ∈ N une suite exhaustive dans I . Soit J un sous-ensemble fini de I . Il existe N tel que, pour tout n  N , J ⊂ I n . Preuve ♦ Chaque élément j de J est dans un I nj . Si N est le plus grand des n j , J est inclus dans I N , et donc dans I n pour n  N . ♦ Nous utiliserons principalement des suites exhaustives formées d’ensembles finis. Remarquons que si ( I n ) est une suite exhaustive dans I formée d’ensembles finis, et si f est une application de source I , la suite ( f ( I n ) ) est une suite exhaustive dans f ( I ) formée d’ensembles finis.

Preuve ♦ On construit une telle bijection f de N sur l’ensemble I par récurrence. On pose f ( 0 ) = minI (car I n’est pas vide). Puis, f étant définie sur [0, n ] , on pose f ( n + 1 ) = min ( I – f ( [0, n ] ) ) , ce qui a un

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Lemme 1. Une réunion dénombrable d’ensembles finis disjoints est dénombrable.

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Preuve ♦ Une réunion finie d'ensembles finis est finie. Il n'est donc pas restrictif de considérer la réunion d’une famille ( I n ) n ∈ N d’ensembles finis. Soit I la réunion de la famille ( I n ) , avec I n = p n . Si k

sk =

∑

p n , et s –1 = 0 , on peut construire une bijection f n entre I n

n=0

et [s n – 1, s n ] . On peut ensuite « recoller » ces bijections et créer une bijection entre I et N , en la définissant par f n sur I n .

♦

Proposition 3. Un ensemble est dénombrable si, et seulement s’il admet une suite exhautive d’ensembles finis. Preuve ♦

FAMILLES SOMMABLES

Comme réunion des Q n [ X ], Q [ X ] est donc dénombrable. Mais tout polynôme non nul de Q [ X ] admet un nombre fini de racines complexes. Ainsi, l’ensemble des nombres algébriques apparaît comme une réunion dénombrable d’ensembles finis : il est par conséquent dénombrable. Donnons enfin un exemple d’ensemble indénombrable : l’intervalle [0,1[. Rappelons au préalable que tout élément de [0,1[ admet un développement normalisé et un seul en base 10, c’est-à-dire un développement dans lequel la suite des décimales n’est pas stationnairement égale à 9. Si, par l’absurde, [0,1[ est dénombrable, on peut l’indexer par N* : [0,1[ = { a n } n ∈ N* . Soit a n, p la p-ième décimale de a n , et b n un entier différent de a n, n et de 9. Considérons le réel dont la n-ième décimale est b n . C’est un élément de [0,1[, disons a p . Mais sa p-ième décimale, b p , est différente de a p, p , ce qui conduit à une contradiction. Il en résulte que R lui-même est indénombrable.

(1) Supposons I dénombrable. S’il est fini, il admet évidemment pour suite exhaustive la suite constamment égale à I . S’il est infini, il est en bijection avec N , qui admet pour suite exhaustive la suite ( [0, n ] ) n ∈ N . (2) Supposons que I admette la suite exhaustive ( I n ) . Posons J n = I n – I n – 1 , avec I –1 = ∅ , de sorte que I est la réunion disjointe des J n . Le lemme 1 assure que I est dénombrable. ♦ Proposition 4. (1) Un produit fini d’ensembles dénombrables est dénombrable. (2) Une réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable. Preuve ♦ (1) Pour asseoir un raisonnement par récurrence évident, il suffit de montrer que le produit de deux ensembles dénombrables I et J est dénombrable. Si ( I n ) est une suite exhaustive dans I formée d’ensemble finis, et ( J n ) est une suite exhaustive dans J formée d’ensembles finis, ( I n × J n ) est une suite exhaustive dans I × J formée d’ensembles finis. (2) Si ( I k ) k ∈ K est une famille d’ensembles dénombrables indexée par l’ensemble dénombrable K, considérons ( K n ) une suite exhaustive dans K formée d’ensembles finis, et pour chaque k, ( I k, n ) n ∈ N une suite exhaustive dans I k formée d’ensembles finis. Alors  k ∈UK I k, n est une suite exhaustive dans  n ∈ N n d’ensembles finis.

U I k∈K k

formée

Dans la suite, les ensembles d’indices, notés I , J, K, seront systématiquement supposés dénombrables. On utilisera librement les propriétés de la sommation finie. D’autre part, on notera  f ( I ) l’ensemble des parties finies de I . Enfin, on utilisera les propriétés + de l’ensemble R ∪ { +∞ }. On conviendra ici que 0 × ( +∞ ) = 0.

2.1 Somme d’une famille positive On dira qu’une famille u = ( u i ) i ∈ I est positive lorsque c’est une famille de réels positifs ou nuls, ce que l’on notera aussi u  0 . En réalité, il peut être commode d’élargir cette définition en autorisant aux u i de prendre la valeur +∞ , convention que l’on s’accordera dans la suite. Définition 2. Soit ( u i ) i ∈ I une famille positive. On pose :

∑ ui

=

Nous avons défini ainsi

∑ uj

sup

J ∈ f(I) j ∈ J

i∈I

♦

∑ ui

+

comme un élément de R ∪ { +∞ }.

i∈I

Dans le cas particulier où cet élément est un réel, on dit que la famille ( u i ) i ∈ I est sommable. Ainsi, la famille ( u i ) i ∈ I est sommable si, et seulement si :

1.3 Exemples Nous avons vu qu’un ensemble fini est dénombrable. L’ensemble N des entiers naturels est strictement dénombrable. L’ensemble 2N des entiers pairs est dénombrable, comme sous-ensemble d’un ensemble dénombrable. D’ailleurs, on dispose d’une bijection explicite entre N et 2N , à savoir n Œ 2 n . L’ensemble N* des entiers strictement positifs est aussi dénombrable. L’ensemble – N des entiers relatifs négatifs ou nuls, en bijection avec N par n Œ – n , est dénombrable. L’ensemble Z des entiers relatifs, réunion des deux ensembles dénombrables N et – N , est dénombrable. On dispose d’une surjection de Z × N* sur l’ensemble Q des rationnels, l’application ( p, q ) Œ p ⁄ q . On voit ainsi que Q est dénombrable. p

2. Sommabilité

p

p

Les ensembles N , Z , Q sont dénombrables, comme produits d’ensembles dénombrables. Dans la théorie des familles sommables, nous ne rencontrerons guère que de tels exemples d’ensembles dénombrables. À titre de curiosité, examinons-en un dernier. Disons qu’un nombre complexe est algébrique lorsqu’il est racine d’un polynôme non nul de Q [ X ] . Remarquons que l’espace Q n [ X ] des polynômes de Q [ X ] de degré inférieur ou égal à n est dénombrable, car en bijection avec Qn + 1 .

∑ ui < +∞

i∈I

Dans ce cas, le réel (positif ou nul) famille ( u i ) i ∈ I .

∑ ui

est appelé somme de la

i∈I

On remarque qu’évidemment, lorsque I est finie, la famille ( u i ) i ∈ I est sommable, et que la nouvelle définition de la somme coïncide avec l’ancienne. Bien entendu, par définition même du supremum, une famille positive est sommable si, et seulement s’il existe un réel M tel que, quelle que soit la partie finie J de I , ∑ u i  M . Ce critère de somi∈J

mabilité est extrêmement employé. Nous disposons d’un autre critère de sommabilité, qui permet simultanément de calculer la somme d’une famille positive sommable. Proposition 5. Soit ( I n ) une suite exhaustive dans I formée d’ensembles finis et ( u i ) i ∈ I une famille positive. Alors :

∑

i ∈ In

ui

& ∑ ui

n → +∞ i ∈ I

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FAMILLES SOMMABLES _________________________________________________________________________________________________________________

Par conséquent, la famille est sommable si, et seulement si, la suite  

∑

i ∈ In

u i 

admet une limite réelle, et cette limite est alors la n∈N

Preuve ♦ Soit m un réel strictement plus petit que

∑ ui . Par définition du

i∈I

supremum, il existe J ∈  f ( I ) telle que

∑ uj  m . D’après la propo-

j∈J

sition 2, il existe un indice à partir duquel I n contient J et donc, les u i

∑

j ∈ In

i∈I

i ∈ Ik

Commentaires.

somme de la famille.

étant positifs,

Puisque K est un ensemble fini, le membre de gauche tend vers ♦

∑ ∑ ui , tandis que le membre de droite tend vers ∑ ui . k∈K

uj 

∑ uj  m . Cela assure la première partie du

j∈J

résultat, qui elle-même entraîne immédiatement la seconde.

♦

Pratiquement, nous disposons de deux conditions nécessaires et suffisantes pour la sommabilité d’une famille positive. La première consiste à majorer les sommes sur les parties finies, la seconde à étudier la limite des sommes sur les parties d’une suite exhaustive formée d’ensembles finis.

2.2 Propriétés élémentaires de la sommation des familles positives

L’assertion (1) de la proposition 6 permet de montrer la sommabilité d’une famille positive grâce à la majoration de son terme général par celui d’une famille sommable connue. L’assertion (3) de la proposition 6 peut être considérée comme un théorème de sommation par paquets, ou encore d’associativité. Le théorème 2 ci-après fournit une extension considérable de ce fait, en s’affranchissant de l’hypothèse que K est fini. L’assertion (5) est une extension de la proposition 5 au cas d’une suite exhaustive formée de parties quelconques.

2.3 Théorèmes sur la sommation des familles positives Théorème 1 de réindexation. Soit ( u i ) i ∈ I une famille positive, et σ une bijection de J sur I . Alors :

∑ ui

=

i∈I

∑ uσ ( j )

j∈J

En particulier, la famille ( u i ) i ∈ I est sommable si, et seulement si, la famille ( u σ ( j ) ) j ∈ J l’est.

Proposition 6. Preuve ♦

Soit ( u i ) i ∈ I et ( v i ) i ∈ I des familles positives. (1) Si u  v , alors

∑ ui  ∑ vi . Par conséquent, si

i∈I

i∈I

( v i ) i ∈ I est

sommable, alors ( u i ) i ∈ I est sommable.

Considérons une suite ( J n ) n ∈ N de parties finies exhaustive dans J. Alors ( σ ( J n ) ) n ∈ N est une suite de parties finies exhaustive dans I . D’après la propriété de réindexation des sommes finies :

∑

(2) Si λ et µ sont deux réels positifs ou nuls, alors :

∑ ( λ ui + µ vi )

i∈I

= λ ∑ ui + µ ∑ vi i∈I

i∈I

(3) Si I est la réunion disjointe de la famille ( I k ) k ∈ K , où K est fini, alors :

∑ ∑ ui

k ∈ K i ∈ Ik

=

∑ ui

i∈I

(4) Si J ⊂ I , alors :

∑ ui + ∑

i∈J

i∈I–J

∑ ui

ui =

i∈I

En particulier :

i ∈ σ ( Jn )

∑

ui

& ∑ ui

i ∈ Jn ∩ Ik

AF 72 − 4

ui =

∑

Considérons une suite ( K n ) n ∈ N de parties finies exhaustive dans K. D’après l’assertion 3 de la proposition 6, on peut écrire :

∑ ∑ ui

i ∈ Jn

ui

∑ ui

i∈I

=

k ∈ Kn i ∈ Ik

Ce sont de simples vérifications. À titre d’exemple, montrons l’assertion (3). Considérons une suite ( J n ) n ∈ N de parties finies exhaustive dans I . Pour chaque k dans K, la suite ( J n ∩ I k ) n ∈ N est exhaustive dans I k . D’après la propriété d’associativité des sommes finies, compte tenu du fait que J n est la réunion disjointe de la famille ( J n ∩ I k ) k ∈ K :

∑ ∑ k∈K

=

Preuve ♦

n → +∞ i ∈ I

Preuve ♦

♦

Théorème 2 d’associativité généralisée. Soit ( u i ) i ∈ I une famille positive. Si I est la réunion disjointe de la famille ( I k ) k ∈ K , alors :

∑ ∑ ui

i∈I

uσ ( j )

Le théorème 1 exprime que la façon dont on indexe une famille positive n’influence ni la sommabilité, ni la somme de cette famille. On peut interpréter le résultat différemment. Puisque réindexer une famille revient, si l’on veut, à permuter les termes de cette famille (en réalité, les indices), le théorème 1 est souvent cité comme un théorème de convergence commutative des familles sommables positives.

k ∈ K i ∈ Ik

(5) Soit ( I n ) n ∈ N une suite exhaustive dans I . Alors :

i ∈ In

∑

j ∈ Jn

Il suffit ensuite de faire tendre n vers +∞ .

∑ ui  ∑ ui

i∈J

ui =

∑

i ∈ Jn

ui

lorsque J n désigne la réunion de la famille ( I k ) k ∈ K . Observons n que la suite ( J n ) n ∈ N est exhaustive dans I . Le membre de gauche tend vers :

∑ ∑ ui

k∈K i∈I k

lorsque n tend vers +∞ . Quant au membre de droite, il tend vers ♦ ∑ ui d’après l’assertion (5) de la proposition 6. i∈I

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Le théorème 2 permet de découper de manière arbitraire l’ensemble I des indices, de commencer par sommer sur chaque sous-ensemble I k d’indices, puis d’étudier la sommabilité (et la somme) de la famille constituée par les sommes sur chaque paquet. Il est souvent cité comme un théorème de sommation par paquets. L’intérêt est que les paquets peuvent être infinis. On peut spécifier la sommabilité. Si la famille initiale est sommable, alors chaque paquet est sommable, la famille des sommes des paquets est sommable, et de somme égale à la somme de la famille initiale. Dans la pratique, c’est cependant le point de vue réciproque qui est le plus souvent utilisé : si chaque paquet est sommable, et si la famille des sommes des paquets est sommable, la famille initiale est sommable. Le théorème 2 admet deux corollaires très utiles, qui correspondent à des découpages fréquemment rencontrés. Ce sont le théorème 3, de Fubini, et le théorème 4 sur le produit de convolution de deux familles. Théorème 3 de Fubini. Soit ( u i, j ) ( i, j ) ∈ I × J une famille positive. Alors :

∑ ∑ ui, j

i∈I j∈J

=

∑ ∑ ui, j

j∈J i∈I

∑

=

( i, j ) ∈ I × J

u i, j

FAMILLES SOMMABLES

En autorisant comme d’habitude des sommes infinies, on dispose du théorème suivant. Théorème 4 de convolution. Les ensembles I et J sont des p parties de Z . Soit ( u i ) i ∈ I et ( v j ) j ∈ J deux suites positives, u * v leur produit de convolution. Alors :

∑ ∑ ui, j

i∈I j∈J

=

∑

k∈Z

( u * v )k p

Preuve ♦ D’après le théorème 3 de Fubini, le premier membre est égal à

∑

u i v j . D’autre part, Z p

( i, j ) ∈ ( Z )

p

est la réunion disjointe des ensem-

2

p

p

bles { ( i, j ) ∈ Z × Z ; i + j = k }. Une application du théorème 2 permet de conclure. ♦

2.4 Sommabilité des familles quelconques

Il suffit de remarquer que I × J est la réunion disjointe de la famille ( { i } × J ) i ∈ I et d’appliquer le théorème 2 d’associativité généralisée. Bien entendu, les rôles de I et J peuvent être intervertis. ♦

Nous considérons dans cette partie un espace de Banach E sur K . Bien entendu, E peut être égal à K lui-même. La norme sur E est notée . . On notera que, si l’on remplace la norme sur E par une norme équivalente, les résultats obtenus sont inchangés. Les familles d’éléments de E indexées par I constituent l’ensemble noté EI.

Le théorème de Fubini permet de ramener l’étude d’une somme double (indexée par un ensemble produit) à l’étude de deux sommes « simples » emboîtées. Ce théorème est d’usage fort courant. Il s’étend par une récurrence immédiate à des familles multiples :

Définition 3. Soit ( u i ) i ∈ I une famille d’éléments de E. On dit qu’elle est sommable lorsque ( u i ) i ∈ I est sommable.

Preuve ♦

∑ ∑

i1 ∈ I1 i2 ∈ I2

…

∑

ip ∈ Ip

ui

1, i 2, …, i p

∑

=

( i 1, i 2, …, i p ) ∈ I 1 × I 2 × … × I p

ui

1, i 2 , … , i p

Bien entendu, on peut fournir une version détaillée du théorème de Fubini : pour que la famille positive ( u i, j ) ( i, j ) ∈ I × J soit sommable, il faut et il suffit que pour chaque valeur de i la famille ( u i, j ) j ∈ J soit sommable, et que la famille  

∑ ui, j

j∈J

soit sommable. On peut i∈I

alors intervertir les sommations. Lorsque les ensembles I et J sont des parties de N et u, v deux suites positives indexées par I et J respectivement, on peut définir le produit de convolution de u et v par la formule : ( u * v )k =

∑

( i, j ) ∈ I × J ; i + j = k

ui vj

On remarque que la somme porte sur un ensemble fini. Si l’on suppose que I = J = N , ( u * v ) k est nul pour k < 0 . On peut donc considérer u * v comme une famille indexée par N , que l’on appelle parfois aussi produit de Cauchy des suites u et v. On a aussi, dans ce cas : k

( u * v )k =

∑ ui vk – i i=0

On peut étendre assez largement cette notion de produit de convolution lorsque, par exemple, I et J sont des parties de Z ou même p de Z . Dans ce cas, il est commode de supposer directement que p I = J = Z en prolongeant les suites u et v par 0 là où elles ne sont pas définies. La définition initiale s’applique, sous réserve d’admettre la possibilité que ( u * v ) k = +∞ . La somme de deux éléments de p Z est évidemment définie composante par composante.

Il est essentiel de remarquer que la sommabilité d’une famille arbitraire se ramène systématiquement à celle d’une famille positive. Si l’on note  1( I , E ) l’ensemble des familles sommables indexées par I , on dispose donc de l’équivalence : ( u i ) i ∈ I ∈  1( I , E ) ⇔ ( u i ) i ∈ I ∈  1( I , R ) ⇔

∑

i∈I

u i < +∞

Grâce à la proposition 6, on vérifie immédiatement que  1( I , E ) est un espace vectoriel, et que l’application qui à la famille u = ( u i ) i ∈ I associe le réel positif u 1 = ∑ u i définit une norme i∈I

sur  1( I , E ) . D’autre part, on note que si J ⊂ I , et si ( u i ) i ∈ I est sommable, ( u i ) i ∈ J est elle aussi sommable. L’ensemble des familles presque nulles, c’est-à-dire des familles u telles que u i soit égal à 0 sauf pour un nombre fini de i, forme évidemment un sous-espace vectoriel de  1( I , E ) . On le note usuellement E ( I ) . Si u est presque nulle, on appelle support de u l’ensemble des i tels que u i ne soit pas nul. Cet ensemble est fini. C’est pourquoi une famille presque nulle est aussi appelée famille à support fini. De plus, soit u un élément de  1( I , E ) , et ( I n ) une suite exhaustive dans I formée d’ensembles finis. Si l’on note, pour chaque n ∈ N , u ( n ) la suite dont tous les termes sont nuls sauf ceux d’indice i ∈ I n , pour lesquels u (i n ) = u i , on a : u – u( n )

1

=

∑

i ∈ I – In

ui =

∑

i∈I

ui –

∑

i ∈ In

ui

Le membre de droite tend vers 0 d’après la proposition 2 (appliquée à la famille sommable positive ( u i ) i ∈˙ I ). On a donc montré que tout élément de  1( I , E ) est limite (pour la norme . 1 ) d’une suite d’éléments de E ( I ) , qui apparaît ainsi comme un sous-espace

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FAMILLES SOMMABLES _________________________________________________________________________________________________________________

vectoriel dense dans  1( I , E ) . Sur ce sous-espace vectoriel, nous disposons d’une application linéaire, l’application somme : S:uŒ

∑ ui

3.1 Propriétés élémentaires Proposition 8.

i∈I

En effet, la somme de la famille se résume à une somme finie. Cette application S est continue, puisque S ( u )  u

1

.

Le théorème de prolongement des applications linéaires continues permet d’étendre, de façon unique, cette application S définie sur E ( I ) en une application linéaire continue sur  1( I , E ) tout entier. Pour u ∈  1( I , E ) , on notera encore :

Soit ( u i ) i ∈ I et ( v i ) i ∈ I des familles de  1( I , E ) .

(1) Si λ et µ sont deux scalaires, la famille ( λ u i + µ v i ) i ∈ I est sommable, et l’on a :

∑ ( λ ui + µ vi )

i∈I

∑ ui

∑ ui

On notera à ce stade la démarche suivie. On a commencé par définir la somme d’une famille positive, et par en dégager les propriétés. Cette théorie autonome est rendue possible par la structure + ordonnée particulière de R ∪ { +∞ }, qui autorise des manipulations telles que l’addition d’un réel et de +∞ , manipulations qui ne pour+ raient s’étendre à R ∪ { – ∞, +∞ } (combien vaudrait ( +∞ ) + ( – ∞ ) ?), et qui ne seraient pas même envisageables dans C ou dans E. On a ensuite pu définir la notion générale de famille sommable, en considérant la famille des normes, sans encore donner un sens à la somme elle-même. Enfin, grâce à un argument de densité, on a pu passer de la somme d’une famille finie à la somme d’une famille sommable arbitraire.

Proposition 7. Soit ( I n ) une suite exhaustive dans I formée de parties finies, et ( u i ) i ∈ I une famille de  1( I , E ) . Alors :

& ∑ ui

∑ ∑ ui

n

u n = 1 si n  1 , u n = – 1 si n  – 1 , u 0 = 0. Si J n = [– n, n ] , il est

∑

&

0 . Pourtant, cette famille n’est pas sommable,

∑

i∈I–J

∑

i ∈ Kn

ui

ui =

∑ ui – ∑ ui

i∈I

i∈J

(5) Si  est une application linéaire continue de E vers F (F étant lui aussi un espace de Banach), la famille (  ( u i ) ) i ∈˙ I est sommable, et l’on a :

  ∑ u i = i∈I

∑  ( ui )

i∈I

(6) Si u est une famille d’éléments de E 1 × … × E p , u est sommable si, et seulement si, chacune des familles composantes est sommable. Si ces conditions sont réunies, la q-ième composante de la somme de u est la somme de la famille des q-ièmes composantes.

∑

i ∈ In

& ∑ ui

n → +∞ i ∈ I

Ce sont de simples vérifications. À titre d’exemple, montrons l’assertion (5). On dispose de l’inégalité :

 ( ui )   ui ce qui entraîne la sommabilité de la famille (  ( u i ) ) i ∈˙ I . Soit alors ( I n ) une famille exhaustive dans I formée de parties finies. On a :

 

& +∞ . n → +∞

Pratiquement, on commence par montrer la sommabilité en appliquant les résultats sur les familles positives à la famille ( u i ) i ∈˙ I , puis, le cas échéant, on calcule la somme par le passage à la limite évoqué ci-avant.

ui

Preuve ♦

n → +∞

puisque si K n = [0, n ] , on voit que

∑ ui

i∈I

(4) Si J ⊂ I , les familles ( u i ) i ∈˙ J et ( u i ) i ∈ I˙ – J sont sommables. De plus :

Exemple 1 : considérons la famille u indexée par Z définie par

i ∈ Jn

ui

(7) Soit ( I n ) une suite exhaustive dans I . Alors :

si u était supposée positive, ce n’est pas vrai en général.

ui

=

k ∈ K i ∈ Ik

n → +∞ i ∈ I

dans I formée d’ensembles finis, si u est un élément de E I , et si lim ∑ u i existe, u est nécessairement sommable. Ce serait vrai

clair que

∑

i∈I

k

Il ne faudrait pas en déduire que, si ( I n ) est une suite exhaustive

n → +∞i ∈ I

i∈I

(3) Si I est la réunion disjointe de la famille ( I k ) k ∈ K , où K est fini, chaque famille ( u i ) i ∈˙ I est sommable, et l’on a :

Cet argument de densité, tel qu’il est énoncé dans la proposition 7, est une simple reformulation de la définition de la somme d’une famille sommable, et exprime la continuité de l’application S.

ui



i∈I

le vecteur ainsi construit. On l’appelle toujours somme de la famille sommable u.

∑

i∈I

(2) La famille ( u i ) i ∈˙ I est sommable et :

i∈I

i ∈ In

= λ ∑ ui + µ ∑ vi

∑

i ∈ In

u i = 

Le membre de droite tend vers

∑

i ∈ In

 ( ui )

∑  ( ui ) , tandis que, par conti-

i∈I

nuité de  , celui de gauche tend vers   ∑ u i , ce qui fournit le   i∈I

résultat.

3. Propriétés de la sommation Dans ce paragraphe, nous énonçons un certain nombre de propriétés des familles sommables de vecteurs. Leurs démonstrations s’appuient à la fois sur l’étude préalable des familles positives et sur la définition de la somme d’une famille quelconque comme limite de sommes finies.

AF 72 − 6

♦

Commentaires. L’assertion (1) exprime que la somme est linéaire sur l’espace vectoriel  1( I , E ) . L’assertion (2) n’est rien d’autre qu’une extension aux sommes de familles sommables de l’inégalité triangulaire. L’assertion (3) est une version du regroupement de termes, qui trouvera une extension dans le théorème 5. Par exemple, pour montrer la sommabilité et calculer la somme d’une famille indexée par

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________________________________________________________________________________________________________________

Z , il suffit d’étudier la sommabilité des deux sous-familles indexées, l’une par N , l’autre par – N∗ (cela grâce à l’assertion (3) de la proposition 6), et d’ajouter les deux sommes ainsi obtenues. L’assertion (6) permet de ramener l’étude de la somme (et de la p sommabilité) d’une famille de vecteurs de K à celle de p suites scalaires. De même, l’étude de la sommabilité d’une suite de complexes peut s’effectuer via la famille des parties réelles et celle des parties imaginaires. L’assertion (7) généralise la proposition 7 aux suites exhaustives quelconques.

FAMILLES SOMMABLES

Le théorème 2, appliqué à la famille positive ( u i ) i ∈˙ I , montre que la famille  

∑

i ∈ Ik

ui  

est sommable. Dans ces conditions, le k∈K

membre de gauche tend vers :

∑ ∑ ui

k ∈ K i ∈ Ik

lorsque n tend vers +∞ . Quant au membre de droite, il tend vers ♦ ∑ ui . i∈I

Le théorème 6 permet de découper de manière arbitraire l’ensemble des indices I , de commencer par sommer sur chaque sousensemble I k d’indices, puis d’étudier la somme de la famille constituée par les sommes sur chaque paquet. Il est souvent cité comme un théorème de sommations par paquets. Cependant, à la différence du cas positif, il est indispensable de vérifier au préalable que la famille u est sommable.

3.2 Théorèmes sur la sommation Théorème 5 de réindexation. Soit ( u i ) i ∈˙ I une famille sommable, et σ une bijection de J sur I . Alors, la famille ( u σ ( j ) ) j ∈˙ J est sommable. De plus :

∑ ui

=

i∈I

Le théorème 6 admet un corollaire très utile.

∑ uσ ( j )

j∈J

Théorème 7 de Fubini. Soit ( u i, j ) ( i, j ) ∈ I × J une famille sommable. Alors :

Preuve ♦ Considérons une suite ( J n ) de parties finies exhaustive dans J. Alors ( σ ( J n ) ) est une suite de parties finies exhaustive dans I . D’après la propriété de réindexation des familles positives :

∑

i∈I

ui =

∑

j∈J

u σ ( j ) < +∞

∑

ui =

∑

j ∈ Jn

♦

Le théorème 5 exprime que la façon dont on indexe une famille positive n’influence ni la sommabilité, ni la somme de cette famille. De ce point de vue, il n’y a pas de différence entre la situation des familles positives et celle des familles sommables quelconques. Comme dans le cas des familles positives, le théorème 5 est souvent cité comme un théorème de convergence commutative des familles sommables. Théorème 6 d’associativité généralisée. Soit ( u i ) i ∈˙ I une famille sommable. Si I est la réunion disjointe de la famille ( I k ) k ∈ K , les quantités écrites ci-dessous ont toutes un sens et l’on a :

∑ ∑ ui

∑ ui

=

i∈I

k ∈ K i ∈ Ik

Preuve ♦ Considérons une suite ( K n ) de parties finies exhaustive dans K. D’après l’assertion (3) de la proposition 8, on peut écrire :

∑ ∑ ui

k ∈ Kn i ∈ Ik

=

∑

i ∈ Jn

ui

lorsque J n désigne la réunion de la famille ( I k ) k ∈ K . Puisque I k ⊂ I , n la famille ( u i ) i ∈ I est sommable. En outre : k

∑ ui

i ∈ Ik



∑

i ∈ Ik

ui

∑

( i, j ) ∈ I × J

u i, j =

∑ ∑ ui, j

j∈J i∈I

Il suffit de remarquer que I × J est la réunion disjointe de la famille ( { i } × J ) i ∈ I et d’appliquer le théorème 6 d’associativité généralisé. ♦

uσ ( j )

Il suffit alors de faire tendre n vers +∞ .

=

Preuve ♦

Par conséquent, ( u σ ( j ) ) j ∈ J est sommable. En outre : i ∈ σ ( Jn )

∑ ∑ ui, j

i∈I j∈J

Le théorème 7 de Fubini a deux fonctions : il permet d’intervertir deux symboles de sommation et de ramener l’étude d’une somme double (indexée par un ensemble produit) à l’étude de deux sommes « simples » emboîtées. Ce théorème est d’usage fort courant. Il s’étend par une récurrence immédiate à des familles multiples :

∑ ∑

i1 ∈ I1 i2 ∈ I2

∑

…

ip ∈ Ip

ui

1, i 2, …, i p

∑

=

( i 1, i 2, …, i p ) ∈ I 1 × I 2 × … × I p

ui

1, i 2, …, i p

Pratiquement, pour vérifier que la famille double (ou multiple) est sommable, on appliquera à la famille des normes le théorème de Fubini dans le cas positif (théorème 3). Il convient de remarquer que les hypothèses du théorème de Fubini, qui permettent l’interversion de deux symboles sommatoires, ne peuvent être raisonnablement affaiblies. En particulier, il peut se faire que les deux quantités ∑ ∑ u i, j et ∑ ∑ u i, j aient i∈I j∈J

j∈J i∈I

toutes deux un sens, sans qu’elles soient égales. Bien sûr, la famille double ( u i, j ) ( i, j ) ∈ I × J ne pourra alors être sommable. Exemple 2 : posons, pour n et m entiers naturels strictement posi1 - si n et m sont distincts, u n, m = 0 sinon. Pour tifs, u n, m = ------------------2 2 n –m chaque m, la famille ( u n, m ) n  1 est sommable. Calculons sa somme. On a :

∑

1 u n, m = --------2m ], n ≠ m n∈[

n ∈ [ 1, p 

∑

 1, p ], n ≠ m

1 1  ------------- – ---------------  n – m n + m

Pour p  2m + 1 , il vient :

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AF 72 − 7

FAMILLES SOMMABLES _________________________________________________________________________________________________________________

∑ n ∈ [ 1, p ], n ≠ m

1 u n, m = --------2m

1 1 --- – --------k 2m

∑

∑

1 --- = k

1 + m  k  p + m, k ≠ 2m

1 – m  k  p – m, k ≠ 0

1 1 1 1 1 1 1 --------- -------------- + -------------- + … + -------------- – --------------- + --------------- + … + ---------------  = 2 m 1 – m 2 – m p – m 1 + m 2 + m p + m  1 1 1 1 1 1 --------- -------------- + -------------- + … + ----- – -------------------------- + … + ---------------  2m 1 – m 2 – m m p–m+1 p + m 

Preuve ♦ D’après le théorème 7, de Fubini, le premier membre est égal à

∑

p

( i, j ) ∈ Z × Z

p

u i v j . D’autre part, Z est la réunion disjointe des ensemp

p 2

bles { ( i, j ) ∈ ( Z ) ; i + j = k }. Une application du théorème 6 permet de conclure. ♦

Lorsque p tend vers +∞ , la quantité précédente tend vers : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ---------  -------------- + -------------- + … + ----- = ---------  – ------------- – ------------- + … – 1 + 1 + --- + … + ----- 2m  1 – m 2 – m m 2m  m – 1 m – 2 2 m 1 = -----------2 2m

Pour déterminer si une famille est sommable, il est bon de disposer de critères pratiques et d’exemples suffisamment nombreux. Quant au calcul de la somme de la famille, il est illustré dans l’article Procédés sommatoires [AF 73].

Par conséquent :

∑ ∑ un, m

1 -----------2 2m

∑

=

m1

m n

Puisque u n, m = – u m, n

4.1 Méthodes générales

∑ ∑ un, m = – ∑ n1

∑ n1

n m

Puisque

1 ---------2 2n

1 ---------2 ≠ 0 , les deux sommes sont inégales. 2n

Applications. Supposons que u et v soient deux familles sommables de scalaires, ou plus généralement d’éléments d’une algèbre normée. Grâce au théorème 3, on vérifie que la famille ( u i v j ) ( i, j ) ∈ I × J est sommable. Grâce au théorème 7, on aura :

∑

( i, j ) ∈ I × J

ui vj =

∑ ∑ ui vj

∑ ui ∑ vj

=

i∈I j∈J

i∈I

j∈J

la dernière égalité provenant de la linéarité et de la continuité de x Œ u i x (proposition 8, assertion (5)). En appliquant le même argument, on peut mettre en facteur à droite ∑ v j , et l’on obtient finaj∈J lement :

∑

( i, j ) ∈ I × J

u i v j =  ∑ u i    i∈I

∑ vj

j∈J

p

Lorsque les ensembles I et J sont des parties de Z , on peut définir le produit de convolution de u et v par la formule : ( u * v )k =

∑

( i, j ) ∈ I × J ; i + j = k

ui vj

Cette somme est bien définie. Dans le cas particulier où I et J sont égaux à N , ( u * v ) k est nul pour k < 0. On peut donc considérer u * v comme une famille indexée par N , que l’on appelle parfois aussi produit de Cauchy des suites u et v. On a aussi, dans ce cas : k

( u * v )k =

∑ ui vk – i i=0

On dispose alors du théorème suivant. Théorème 8 de convolution. Les ensembles I et J sont des p parties de Z . Soit ( u i ) i ∈ I et ( v j ) j ∈ J deux suites sommables d’une algèbre normée, u * v leur produit de convolution. Alors :

∑ ∑ ui, j

i∈I j∈J

AF 72 − 8

4. Méthodes d’étude

=

∑ p (u*v)(k)

k∈Z

Puisque la sommabilité d’une famille se ramène, par définition, à celle de la famille des normes, il est possible, tout au moins en théorie, de supposer toutes les familles positives. Nous expliciterons cette hypothèse le cas échéant. En principe, plus le terme u i d’une famille positive est petit, mieux elle réalise les conditions de sommabilité. Cela provient de la définition même, qui impose à un certain supremum d’être fini. Cette remarque peut être illustrée par la proposition suivante. Proposition 9. Soit u une famille sommable. Pour tout ε > 0 , il n’existe qu’un nombre fini de i tels que u i  ε . Preuve ♦ Soit M un majorant des sommes

∑

i∈J

u i lorsque J décrit l’ensem-

ble des parties finies de I . Si J ε > M , il existe au moins un i ∈ J tel que u i < ε . Autrement dit, l’ensemble des i tels que u i  ε a un M cardinal inférieur ou égal à ----- . ε

♦

Il est posssible de réinterpréter cette condition en disant que le terme général de la famille tend vers 0 selon le filtre des complémentaires de parties finies : pour tout ε , il existe L, complémentaire d’une partie finie de I , tel que si i ∈ L , u i  ε . En particulier, une famille sommable est toujours bornée. Dans le cas particulier où I = N , cela se traduit par le fait que, nécessairement, u i tend vers 0 lorsque i tend vers +∞ . Si I = Z , cela se traduit par le fait que u i tend vers 0 lorsque i tend vers +∞ . p Si I = N , cela se traduit par le fait que u i tend vers 0 lorsque i tend vers +∞ . Une famille finie est toujours sommable. Puisque modifier un nombre fini de termes d’une famille revient à lui ajouter une famille finie, on voit que l’on ne modifie pas la nature (c’est-à-dire le caractère sommable ou non) d’une famille lorsque l’on modifie un nombre fini de termes de cette famille. Nous avons vu (proposition 6, assertion (1)) que si 0  u  v , et si v est sommable, u est sommable. Il est commode de reformuler ce critère à l’aide de la notation de Landau. Disons que u = O ( v ) , ou encore que u i = O ( v i ) , lorsqu’il existe une constante A telle que, sauf pour un nombre fini de i, u i  A v i . Avec ce langage, si u = O ( v ) et si v est sommable, u est sommable. Par contraposition, si u n’est pas sommable, v n’est pas sommable.

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________________________________________________________________________________________________________________

Si u = O ( v ) et v = O ( u ), on dit que les familles u et v sont de même ordre. Ce qui précède montre que deux familles de même ordre sont, du point de vue de la sommabilité, de même nature. Dans le cas où la famille est indexée par N , on remarquera que, si u = o ( v ) , alors u = O ( v ). Notons aussi que deux suites équivalentes de scalaires (c’est-à-dire telles que l’une est le produit de l’autre par une suite tendant vers 1) sont, toujours du point de vue de la sommabilité, de même nature. La technique la plus efficace pour étudier la sommabilité d’une famille est la comparaison avec une intégrale. Elle nous permettra d’étudier des familles sommables indexées par une demi-droite [n 0, +∞ [ de N . Lorsque nous aurons affaire à une telle famille, nous la noterons plutôt ( u n ) n  n . Le critère le plus élémentaire est le suivant. 0

Proposition 10. Soit f une application décroissante positive sur [n 0, +∞[, et u n = f ( n ) . La sommabilité de ( u n ) n  n équivaut à l’intégrabilité de 0 f sur [n 0, +∞[. Preuve ♦ Puisque f décroît, on dispose, pour n  n 0 + 1, de l’inégalité :

∫

n+1

n

Par conséquent :

∫

+∞

n0 + 1

f  un 

∑

f

n  n0 + 1

∫

f

n–1

∫

+∞

♦

f

n0

1 quantité qui tend vers ----------- lorsque n tend vers +∞ . Ainsi, la famille 1–r ( r k) est sommable si, et seulement si, r ∈ [ 0, 1[.  1 ■ Suites  ------ n  1 Pour α  0 , la famille  -----α- n’est pas sommable, puisque son   n n1 terme général ne tend pas vers 0. Pour α > 0 , nous pouvons utiliser la 1 proposition 10, puisque l’application t Œ ----α- décroît. On sait que cette t application est intégrable sur [ 1, +∞[ si, et seulement si, α > 1 . En 1 résumé, la famille  -----α- est sommable si, et seulement si, α > 1 .   n n1   1 - ■ Suites  -----------------------   n ( ln n ) 

n

un 

On exprime souvent le résultat précédent en disant que l’intégrale et la famille sommable sont de même nature.

1 1  . Si α < 1 , --- = O  -----------------------β  α n n ( ln n ) 1 1 = O  -----γ- . Si α > 1 , introduisons γ ∈ ]1, α [ . Alors -----------------------α β   n n ( ln n ) Reste à étudier le cas où α = 1. Nous nous appuyons à nouveau sur la proposition 10 que nous appliquons à f définie par :

4.2 Familles indexées par une demi-droite de N Dans la suite de ce paragraphe, l’ensemble des indices (notés n ou k plutôt que i) est une demi-droite [n 0, +∞ [ de N . Les familles indexées par une telle demi-droite seront plutôt appelées suites, et notées ( u n ) n  n . Parfois, l’entier n 0 sera omis ou non précisé : cela 0 signifiera que la suite est définie à partir d’un certain indice.

1 f ( t ) = -----------------βt ( ln t ) Cette application décroît sur [ 2,+∞[ . On peut calculer :

∫

Pour étudier la sommabilité d’une famille positive, il est naturel d’utiliser comme famille exhaustive la famille ( In ) = ( [n 0, n] ) . Nous savons que

∑

n

k ∈ In

∑

uk =

u k tend vers

k = n0

∑

k  n0

u k . La famille est

n

  donc sommable si, et seulement si, la suite  ∑ u k admet une k = n  0

limite réelle lorsque n tend vers +∞ . Lorsque la famille est quelconque, on peut seulement affirmer n

que, si elle est sommable,

∑

u k tend vers

k = n0

∑

k  n0

u k . En revanche,

n

le seul fait que

∑

u k admette une limite dans E lorsque n tend

k = n0

vers +∞ ne permet pas d’attester la sommabilité de la famille.

4.2.1 Familles de référence ■ Suites géométriques Si r est un réel positif ou nul, on considère la suite géométrique ( r ) . Si r  1 , le terme général ne tend pas vers 0, donc la famille n’est pas sommable. Si r < 1, on peut calculer : n

n

∑ rk = k=0

FAMILLES SOMMABLES

x

2

f =

∫

ln x ln 2

du -------β u

Ainsi, on voit que f est intégrable si, et seulement si, β > 1. Pour résumer la situation, il est bon d’introduire sur R 2 l’ordre lexicographique défini de la façon suivante : ( α , β )  ( α ′, β ′ ) lorsque α > α ′ ou α = α ′ et β  β ′ . Avec ce langage, la famille 1 -----------------------est sommable si, et seulement si, ( α , β )  ( 1, 1 ) . α β n ( ln n ) ■ Généralisation Notons L k la fonction logarithme itéré k fois : L 0 ( x ) = x , L 1 ( x ) = ln ( x ) , L 2 ( x ) = ln ( ln ( x ) ) , etc. La fonction L k est définie au voisinage de +∞ . On peut considérer la suite u définie pour n assez grand par : 1 u n = ----------------------------------------------------------------α1 α2 αk n ( ln ( n ) ) … ( L k ( n ) ) Par un raisonnement analogue, on voit que la famille u est sommable si, et seulement si : ( α 1, …, α k )  ( 1, …, 1 )

n+1

1–r ---------------------1–r

k

l’ordre sur R étant l’ordre lexicographique calqué sur celui précédemment défini.

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AF 72 − 9

FAMILLES SOMMABLES _________________________________________________________________________________________________________________

 ( ln n ) 3 1 1  1 - ,  -------------------2- ,  --------------- , Exemple 3 : les familles  -----2- ,  ---------   4 ⁄ 3    n3 ⁄ 2  n n n ( ln n ) 1  ---------------------------------- sont sommables. 3  n ln n ( ln ln n )

Soit u une suite strictement positive.

■ Estimation directe du terme général Pour montrer que u est une famille sommable, il suffit de montrer que u n = O ( v n ) ou u n = o ( v n ), v étant une famille dont on sait déjà qu’elle est sommable (famille de référence en général). Si l’on soup1 çonne que poser v n = -----α- peut permettre de conclure, on estime le n u α quotient -----n- = n u n . Si ce quotient tend vers 0 pour un α > 1 , u est vn sommable. Si la norme de ce quotient tend vers une limite non nulle, ou +∞ , pour un α  1 , la famille u n’est pas sommable. Bien entendu, cette technique s’étend à d’autres suites de référence. sin n Exemple 5 : la famille  -------------------2- est sommable, car son terme   n ( ln n ) 1 général est un O  -------------------2- .   n ( ln n ) 2

) est sommable, car son terme général

–n

est un O ( e ) . Exemple 7 : pour étudier la famille ( e ne

– ln n

– ln n

) , étudions la limite de

– ln n

) = ln n –

ln n ∼ ln n → +∞

La limite cherchée est +∞ . Donc la famille ( e

– ln n

) n’est pas sommable.

■ Critères logarithmiques Soit u et v deux suites strictement positives. De la comparaison un + 1 vn + 1 des quotients ------------- et ------------- , on peut déduire une comparaison un vn entre les termes généraux eux-mêmes. Proposition 11. Soit u, v deux familles strictement positives telles qu’à partir d’un un + 1 vn + 1 certain indice -------------  ------------- . Alors u n = O ( v n ) . un vn Preuve ♦ On peut réécrire l’inégalité sous la forme : un + 1 un -------------  -----vn + 1 vn

AF 72 − 10

un + 1 (2) Si ------------- tend vers  ∈ ]1, +∞[ , la famille u n’est pas sommable. un

un + 1 1 α = 1 – --- + o  --- , avec α < 1 , la famille u n’est pas som(4) Si ------------ n un n mable. Preuve ♦ Montrons à titre d’exemples les assertions (1) et (3). un + 1 vn + 1 - = r  ------------- pour n assez (1) Soit r ∈ ] , 1[ , et v n = r n . On a -----------un vn grand. Il suffit d’appliquer la proposition 11. 1 (2) Soit β ∈ ]1, α [ , et v n = -----β- . On a : n vn + 1 1 1 –β β ------------- =  1 + --- = 1 – --- + o  ---   n n vn n Donc : vn + 1 un + 1 α–β 1 α–β ------------- – ------------- = ------------- + o  --- ∼ ------------ n n vn un n vn + 1 un + 1 α–β - – ------------- > 0 pour n assez grand. Comme la Puisque ------------- > 0 , -----------n vn un famille v est sommable, la proposition 11 entraîne que la famille u l’est aussi. ♦ un + 1 1 1 Exemple 8 : soit u n = ----- . Puisque ------------= --- tend vers 0, u est n un n!

. Pour ce faire, on calcule : ln ( ne

un + 1 (1) Si ------------- tend vers  ∈ [ 0, 1[ , la famille u est sommable. un

un + 1 1 α = 1 – --- + o  --- , avec α > 1 , la famille u est sommable. (3) Si ------------ n un n

4.2.2 Critères pratiques

–n

Donnons quelques conséquences utiles de cette proposition. Proposition 12.

1 1 1   1   - , ----------------- , -----------------------5- , Exemple 4 : les familles  --- ,  --------- n  2 ⁄ 3  n ( ln n )   n ( ln n ) n 1  ------------------------- ne sont pas sommables. 3  n ( ln ln n )

Exemple 6 : la famille ( e

un Ainsi, la suite ------ décroît, donc est bornée, ce qui entraîne le résulvn tat. ♦

une famille sommable. n

αα

 C 2n - . Exemple 9 : soit u n =  ------- 4n 

un + 1 1 2 ( 2n + 1 ) α α Puisque ------------ =  ------------------------- = 1 – ------- + O  -----2- , la famille u est    4(n + 1)  un 2n n sommable pour α > 2 et ne l’est pas pour α < 2 . Le cas α = 2 reste douteux au vu de la proposition 12. On peut néanmoins conclure grâce à une extension de cette proposition : un + 1 1 si ------------ = 1 – --- + v n , et si v est sommable, u n’est pas sommable. un n Dans le cas qui nous occupe, on voit que u n’est pas sommable pour α = 2 . On peut aussi traiter cette question à l’aide de l’équivalent de Stirling de n!. En effet, on a : 1 u n ∼ --------------2πn ce qui montre que u n’est pas sommable.

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________________________________________________________________________________________________________________

On se limite à des valeurs strictement positives des α i . Par le même

4.3 Familles quelconques

∑

cheminement, nous pouvons encadrer

k1  1 2

Exemple 10 : soit ( α 1, α 2 ) ∈ R . Posons pour ( n 1, n 2 ) ∈ N* 2 , u n1, n2

1 = ---------------------. Puisqu’il s’agit d’une famille positive, on peut appliα1 α2 n1 + n2

α2 u ( k2

de l’encadrement :

∫

2

dt 1 --------------------  ∑ u k1, k2  α1 α t 1 + k 2 2 k1  1

Estimons I k2 ( a ) =

t1 =

α2 -----α uk 2 1

∫

∫

+∞

1

a

I k2 ( a ) =

α – α 2 + -----2α1 k2

∫

+∞ α2 – ------α1

du ----------------α1 u +1

L’intégrale converge bien puisque α 1 > 1. D’autre part, puisque

C =

∫

tend

+∞

0

du ----------------α u 1+1

vers

la

constante

strictement

∫

+∞

0

du -------------------------m α (u 1 + 1)

Il est bien sûr nécessaire que, tout d’abord, l’intégrale ait un sens, soit m α 1 > 1 . La sommabilité de la famille initiale équivaut alors à celle de la famille :

k 2  1, …, k p  1

Pour p = 1, on obtient comme condition nécessaire et suffisante 1 ------ < m . Si, par récurrence, on suppose que la condition cherchée pour α1 1 1 une famille indexée par N* p – 1 est ------ + … + ------ < m , on aboutit finaleα2 αp ment à la condition (qui inclut m α 1 > 1) : 1 1 ------ + … + ------ < m α1 αp pq

ak 2

l’intégrale

α

( k2 2 + … +

αp kp )

m – -----α1

    1  ----------------------------------------------------- 1  m – ----- α2 α 1 α  ( k2 + … + kp p ) 

. Il vient :

Exemple 12 : soit u p, q = x , où x est un réel positif. On étudie la sommabilité de ( u p, q ) p  1, q  1 . On suppose x < 1, faute de quoi la condition nécessaire fournie par la proposition 9 n’est pas satisfaite. On a :

∑

positive

lorsque k 2 tend vers +∞ , on a :

x

pq

p1 q

q

x q = ---------------q ∼ x 1–x

Comme la famille ( x ) q  1 est sommable, le théorème 3 entraîne que la famille ( u p, q ) p  1, q  1 est sommable. Exemple 13 : considérons la famille ( p

I k2 ( a ) ∼

par deux intégrales.

1 -----αp α1 kp )

1 ---------------------------------------------------1

dt 1 -------------------α1 α t1 + k2 2

dt 1 -------------------- grâce au changement de variable α1 α t1 + k2 2

+∞

1, …, k p

. Nous sommes ainsi ramenés à étudier la somt1 = +…+ mabilité de la famille dont le terme général est de même ordre que :

même α 2 > 1. On se limite désormais à des valeurs strictement positi1 - , on dispose ves de α 1 et α 2 . Grâce à la décroissance de t 1 Œ -------------------α α t1 1 + k2 2

uk

Pour les évaluer, on effectue cette fois le changement de variables

quer le théorème 3 de Fubini. On a nécessairement α 1 > 1, et de

+∞

FAMILLES SOMMABLES

α – α 2 + -----2α1 Ck 2

réel strictement positif. On a

∑

p

– aq

q2

– aq

) p  2, q  2 , où a est un – 2a

p = ---------------- , comme somme –a 1–p

– 2a

La famille ( I k2 ( a ) ) k

2

1

est donc sommable si, et seulement si,

α – α 2 + -----2- < – 1, soit : α1

p – 2a - ∼ p , la famille double est d’une suite géométrique. Puisque ---------------–a 1–p 1 sommable si, et seulement si, a > --- . 2 Considérons maintenant la famille des entiers qui sont de la forme q

p , avec p  2 et q  2 . Cela signifie que l’on considère chaque élément de cet ensemble I d’entiers une fois et une seule. Cette famille 1 1 ------ + ------ < 1 α1 α2

Exemple 11 : on peut généraliser l’exemple 10. Soit :

un

1, …, n p

1 = ------------------------------------------- , avec ( n 1, …, n p ) ∈ N* p αp m α1 ( n1 + … + np )

q

n’est pas identique à ( p ) p  2, q  2 , car, par exemple, l’entier 16 s’écrit q

4

2

de deux façons différentes sous la forme p : 16 = 2 = 4 . Étudions 1 la sommabilité de la famille  -----a . Puisque cette famille peut être   n n∈I considérée comme une sous-famille de la famille ( p

– aq

) p  2, q  2 , elle

1 est sommable lorsque α > --- . D’un autre côté, c’est une famille qui con2  1  1 - tient la famille  ------. Elle n’est donc pas sommable lorsque α  --- . 2  k 2a k1

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AF 72 − 11

FAMILLES SOMMABLES _________________________________________________________________________________________________________________

5. Espaces 

p

L’inégalité de Minkowski, dans ce cadre plus général, se montre de façon identique : 1 ---

Nous étudions dans ce paragraphe des espaces de suites caractérisées par une propriété de sommabilité. Ces espaces fournissent, élémentairement, des archétypes discrets d’espaces que la théorie de l’intégration oblige de considérer dans un cadre plus général.

1 ---

1 ---

p p p p p p  u + vi    ∑ ui  +  ∑ vi  ∑ i      i∈I

i∈I

i∈I

On en déduit en particulier que la somme de deux éléments de p

p

 ( I ) est encore un élément de  ( I ). Compte tenu de vérifications p

par ailleurs évidentes, on en conclut que  ( I ) est un espace vectoriel. De même que dans le cas d’un ensemble fini d’indices, l’inéga-

5.1 Présentation p

Soit p un réel supérieur ou égal à 1. L’ensemble  ( I , E ) est celui des suites u indexées par I , à valeurs dans E, telles que la famille ( u i p ) soit sommable. Nous étendons cette définition au cas où ∞ p = +∞ , en notant  ( I , E ) l’espace des suites bornées. L’explication de cette notation sera fournie un peu plus tard. Nous nous limiterons aux suites à valeurs complexes, c’est-à-dire p au cas où E = C . Nous noterons alors simplement  ( I ) l’ensemble correspondant. ∞

Nous savons déjà que  ( I ) , muni de la norme espace vectoriel de Banach.

.

∞,

lité

de

Minkowski

exprime

qu’en

posant,

pour

p

u ∈  ( I ),

1 ---

u

p

p p p =  ∑ u i  , on définit une norme sur  ( I ), norme dont sera   i∈I

tacitement muni l’espace vectoriel  p ( I ). Le cas p = 2 présente un intérêt tout particulier. On constate en effet que, si u et v sont dans  2( I ) , on peut poser :

est un

〈 u, v 〉 =

∑ ui vi

i∈I 1

Nous savons d’autre part (proposition 8, assertion (1)) que  ( I ) , muni de la norme . 1 , est un espace vectoriel. Étendons cette p

propriété aux espaces  , avec p ∈ ]1, +∞[. Pour chaque p  1 , on 1 1 désigne par q l’unique élément de [ 1, +∞[ tel que --- + --- = 1 . Si p q p = 1 , q = +∞ . Si p = 2 , q = 2 .

On définit de cette façon sur  2( I ) un produit scalaire, qui fait de  2( I ) un espace préhilbertien. Bien entendu, la norme . 2 n’est autre que la norme préhilbertienne associée. (I ) Nous avons vu que l’espace C des suites à support fini est dense dans  1( I ) . Cette propriété s’étend aisément à tous les espap ces  ( I ) , en tout cas lorsque p ∈ [ 1, +∞[ . En revanche, elle est inexacte lorsque p = +∞ .

Rappelons que, si J est un ensemble fini, si p ∈ ]1, +∞[, si ( u i ) i ∈ J et ( v i ) i ∈ J sont deux familles indexées par J, on dispose de l’inéga-

5.2 Étude

lité de Holder :

∑

i∈J

ui vi   

∑

i∈J

1 ---

p p ui    

∑

1 ---

i∈J

Lemme 2. Si ( u i ) i ∈ I +∞ > p′  p  1 , alors :

q q vi  

est

une

1 ---

  En u

p

∑

i∈J

d’autres =  

∑

i∈J

ui

ui + vi



termes,

1 --p p



 

∑

i∈J

ui

1 --p p



+ 

l’application

∑

i∈J

vi

définie

si

1 -----

i∈I

1 --p p



i∈I

Preuve ♦ sur

C

J

par

définit une norme. Pour p = 1 , ce fait n’est autre

p′ r r Posons r = -----  1 . Pour u  0 , on a 1 + u  ( 1 + u ) , comme on p le voit en dérivant la différence des deux membres, qui se révèle être une fonction croissante de u. Appliquant cette inégalité à p

u = t , on obtient :

que l’inégalité triangulaire.

1 -----p′ p′

p

À présent, si u et v sont deux familles de  ( I ), on peut étendre les propriétés qui précèdent. En effet, l’inégalité de Holder montre que ( u i v i ) i ∈ I est sommable. De plus, grâce à la considération d’une suite exhaustive dans I formée d’ensembles finis, un passage à la limite montre que l’inégalité de Holder reste vraie dans ce cadre :

∑

i∈I

1 ---

i∈I

∑ ui vi

i∈I

i∈I

1 --p p

 (1 + t )

x Si l’on prend t = --- , il vient : y (x

p′

1 -----p′ p′

+y )

p

1 --p p

 (x + y )

L’inégalité visée est donc avérée lorsque I est un ensemble à deux éléments. Par récurrence, on passe aisément aux familles finies, puis par passage au supremum aux familles quelconques. ♦ Proposition 13.

1 --p p 

1 --q q

  ∑ ui v   ∑ i  i∈I

(1 + t )

1 ---

p p q q ui vi   ∑ ui   ∑ vi     

Il en résulte en particulier l’inégalité :

AF 72 − 12

positive,

p p p′ p′  u    ∑ ui  ∑ i   

Cette inégalité a pour conséquence l’inégalité de Minkowski : 1 --p p

famille

i∈I

p

(1) Si +∞ > p′  p  1 , alors  ( I ) est un sous-espace vectoriel de p′

p

 ( I ) . De plus, si u est dans  ( I ) , u

p′

 u

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p

.

________________________________________________________________________________________________________________

p

(2) Si u est dans  ( I ) , l’application p′ Œ u p ′ est continue sur [ p, +∞[ et tend vers u ∞ lorsque p′ tend vers +∞ . p

(3) Si +∞  p  1, alors  ( I ) est un espace de Banach.

En particulier, en affectant à n une valeur particulière, par exemple p N ( 1 ) , on voit que u – u n et u n sont dans  ( I ) , donc u aussi. D’autre part, on peut réécrire (3) sous la forme :

Preuve ♦

∀ ε > 0 ∃N ( ε ) ∀ n  N ( ε ) u – u n

p

(1) Soit u ∈  ( I ) (avec sans restriction p < +∞ ). Pour chaque i, u i  u p de façon évidente. Donc u est bornée, et u ∞  u p . Dans les autres cas, le résultat découle directement du lemme 2. (2) Soit ( I n ) une suite exhaustive dans I formée de parties finies, et f n ( p ) =

∑

i ∈ In

ui

p′

∑

. Posons aussi f ( p ) =

i∈I

p′

ui

. Chacune des

applications f n est continue sur [ p, +∞[ . De plus, la suite ( f n ) converge simplement sur [ p, +∞[ vers f. Montrons que la convergence est en réalité uniforme. On a :

0  ( f ( p′ ) – f n ( p′ ) )

1 --p

=  

∑

1 -----

i ∈ I – In

p′ p′ ui     

1 ---

∑

i ∈ I – In

p p ( ui )  

Puisque la quantité majorante, indépendante de n, tend vers 0 lorsque n tend vers +∞ , la convergence uniforme est bien assurée. La continuité de f en résulte. Montrons à présent que u

tend vers u

p

∞

lorsque p tend vers

+∞ . Soit ε > 0 . Il existe un sous-ensemble fini J de I tel que

∑

i∈I –J

∑

i∈J

ui



+ 

∑

i∈I –J

ui

∞ u

p′  J

1 ----p′

u

∞

5.3 Dualité et espaces 

Le dual (topologique) d’un espace vectoriel normé V est l’espace vectoriel des formes linéaires continues sur V, muni de la norme subordonnée. Si l’on note V ′ le dual de V, et si φ ∈ V ′ , on aura donc :

1 1 Soit p ∈ [ 1, +∞[ et q ∈ [ 1, +∞[ tels que --- + --- = 1. Considérons un p q

1 ----p′ p′



est, d’après l’inégalité de Holder, sommable, ce qui nous permet de poser :

Φ(v)(u) =

+ε

p

ε

(1)

Fixons i ∈ I . Puisque, clairement, v ( i )  v p , l’assertion (1) prouve que la suite ( u n ( i ) ) n ∈ N est une suite de Cauchy dans C . Elle admet donc une limite u ( i ) . Puisque cette propriété est vraie pour tout i ∈ I , nous avons pu définir un élément u de C I . Soit à présent J un sous-ensemble fini de I . Toujours grâce à l’assertion (1) : p

un + m ( i ) – un ( i )  ε

p

(2)

Nous pouvons faire tendre p vers +∞ dans (2), J et n étant fixés. Il vient : ∀n  N ( ε )

∑

i∈J

p

u ( i ) – un ( i )  ε

p

(3)

Toujours d’après l’inégalité de Holder, on a en outre :

Φ(v)(u)  u

p

v

q

q

On a ainsi défini, pour chaque v ∈  ( I ) , une application Φ ( v ) , de p  ( I ) dans K . Cette application est manifestement linéaire, et continue, d’après l’inégalité qui précède. Celle-ci, jointe à l’exemple où l’égalité est réalisée, prouve aussi que Φ ( v ) = v . q

On dispose donc d’une application Φ de  ( I ) dans le dual topop logique de  ( I ). Cette application est évidemment linéaire. Nous venons d’autre part de constater qu’elle conserve la norme : c’est une isométrie. Montrons à présent que f est surjective. Étant donné une forme p

linéaire continue f sur  ( I ), on considère pour chaque i ∈ I la suite à support fini δ i dont toutes les valeurs sont nulles, sauf pour l’indice i, pour lequel elle vaut 1. Posons v i = f ( δ i ) . Cela définit un élément v de C I . Soit J un sous-ensemble fini de I . Soit λ i = 0 si q

vi v i = 0 , et λ i = --------- si v i ≠ 0 . Puisque la suite vi

∑ λi δi

est à support

i∈J

p

fini, donc dans  ( I ), on peut écrire :

Cela prouve deux choses. Tout d’abord que, n étant fixé, la famille p ( u ( i ) – u n ( i ) ) i ∈ I est dans  ( I ) , ensuite que : ∀n  N ( ε ) u – u n

∑ ui vi

i∈I

∀ ε > 0 ∃N ( ε ) ∀m  0 ∀n  N ( ε ) u n + m – u n

∑

p

q

élément v de  ( I ). Pour chaque u dans  ( I ), la famille ( u i v i ) i ∈ I

(3) Puisque le résultat est connu pour p = +∞ , nous supposons ici que p ∈ [ 1, +∞[ . Pour la lisibilité, un élément u de C I sera noté fonctionnellement ( u ( i ) ) i ∈ I . Nous considérons une suite ( u n ) n ∈ N p d’éléments de  ( I ) , qui soit de Cauchy. On peut donc écrire :

i∈J

p

x = 1

La quantité majorante tend vers u ∞ + ε lorsque p tend vers +∞ , donc est inférieure à u ∞ + 2 ε pour p ′ assez grand, ce qui conduit au résultat.

∀m  0 ∀n  N ( ε )

(5)

φ = sup φ ( x )

d’après l’inégalité de Minkowski. Donc, d’après le lemme 2 :

u

ε

En particulier, l’espace  2( I ) , qui est un espace préhilbertien de Banach, est donc un espace de Hilbert. Il joue un rôle important en analyse. Par exemple, une application périodique localement intégrable sur R admet une transformée de Fourier discrète, qui n’est autre que la famille (indexée par Z ) de ses coefficients de Fourier. Cette famille est alors un élément de  2( Z ). Comme deux fonctions ont mêmes coefficients de Fourier si, et seulement si, elles sont égales presque partout, on constate que l’on peut représenter les classes de telles fonctions dans  2( Z ). Le problème réciproque est celui de la synthèse de Fourier.

p

1 ----p′ p′

p

L’assertion (5) exprime exactement que la suite ( u n ) converge vers u pour la norme . p . ♦

u i  ε . On dispose alors de l’encadrement :

u ∞  u p′   

FAMILLES SOMMABLES

p

ε

(4)

f 

∑

i∈J

λ i δ i =

∑ λi vi

i∈J

 f

∑ λi δi p

i∈J

= f  

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∑

i∈J

1 --p p

λi 

AF 72 − 13

FAMILLES SOMMABLES _________________________________________________________________________________________________________________

Remplaçant λ i par sa valeur, on obtient finalement :

∑

i∈J

q vi  f  

∑

i∈J

vi

En résumé, pour p et q finis et strictement supérieurs à 1, le dual p q topologique de  ( I ) est isométrique à  ( I ) . Nous remarquons que p et q jouent dans cette situation des rôles parfaitement symétriques.

1 --p ( q – 1 ) p



Cette situation se produit en particulier lorsque p = q = 2 . Ainsi, l’espace de Hilbert est isométrique à son propre dual, l’isométrie construite étant l’application qui, à v dans  2( I ) , associe la forme linéaire u Œ 〈 u, v〉 . Ce résultat est connu sous le nom de théorème de représentation de Riesz.

En utilisant la relation p + q = pq , on déduit alors :

 

∑

i∈J

vi

1 --q q



1

Étudions à présent le dual topologique de  ( I ) . On peut de la même façon attacher à toute suite bornée v une forme linéaire Φ ( v )

 f q

Par passage au supremum, cela prouve que v est dans  ( I ) . D’autre part, Φ ( v ) ( δ i ) = f ( δ i ) par construction. Par linéarité, cette égalité s’étend à l’espace C I des suites à support fini. Mais cet p espace vectoriel est dense dans  ( I ), et chacune des applications p Φ ( v ) et φ est continue sur  ( I ). Par conséquent, Φ ( v ) = f , ce qui prouve la surjectivité de Φ .

AF 72 − 14

sur  1( I ) définie par Φ ( v ) ( u ) =

∑ ui vi . On constate de façon ana-

i∈I

logue à ce qui précède, mais plus simplement, que Φ réalise une ∞ isométrie de  ( I ) sur le dual de  1( I ) . En revanche, la situation n’est plus symétrique : le dual topologi∞ que de  ( I ) n’est pas isométrique à  1( I ) .

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