Familia de diseños para comparar tratamientos.docx

2.1. Familia Familia de diseños diseños para compa comparar rar tratamientos tratamientos.. Los diseños experimentales más utilizados para comparar tratamientos son: 1. 2. !. ".

Diseño Diseño compl completam etamente ente al azar azar (DCA) Diseño Diseño en bloque bloque complet completamente amente al azar (DCA) (DCA) Diseño Diseño en cuadro cuadro latino latino (DCL) (DCL) Diseño Diseño en cuadro cuadro #recolatin #recolatino o (DC$L) (DC$L)

La di%erencia %undamental entre estos diseños es el n&mero de %actores de bloque que incorporan incorporan o controlan controlan de %orma expl'cita durante el experimento experimento.. La comparacin de los tratamien tratamientos tos en cuanto cuanto a la respuesta respuesta medi mediaa que lo#ran lo#ran en cualqu cualquiera iera de estos estos dise diseño ños s se *ace *ace medi median ante te la *ip *ipte tesi siss que se prueba con la t+cnica

estad'stica

llama da Análisi Análisiss de ,arianza rianza (A-,A) co n uno do s tre s o cuat ro cr iter ios de clasi%icacin dependiendo del n&mero

de %acto %actore ress de blo bloqu ques es inc incor orpo pora rado doss al

diseño. Dise ño DC

/actores de 

A-,A

0odelo estad'stico

n criterio

D

1

Dos criterios

DCL

2

3res criterios

DC

!

Cuatro criterios

4 es la 5ariable de salida la media #lobal son los e%ectos de tres %actores de bloqueo.

el e%ecto del i6+simotratamiento i6+simotratamiento

error aleatorio 7

8l model modelo o estad'stico estad'stico que describe describe el comportamie comportamiento nto de la 5ariable obser5ada 4 en cada cada diseño diseño incorp incorpora ora un t+rmi t+rmino no adicio adicional nal por por cada cada %actor %actor de bloq bloque ueo o controlado. De

a cu cu er er do do c o n l os mo d el el o s d a d o s en

la t a bl bl a  p a ra ra c ad ad a di s eñ eño

comparati5o se tienen al menos dos %uentes de 5ariabilidad: los tratamientos o ni5eles del %actor de inter+s 7 el error aleatorio. 9e a#re#a una nue5a %uente de 5ariabilidad por  cada %actor de bloque que se controla directamente. 9e obser5a que los diseños suponen que que no *a7 e%ectos e%ectos de interacci interaccin n entre entre los %actores %actores lo cual ser'a lo deseab deseable le que que ocurra de no ocurrir as' tal tal e%ect ecto se recar car#a al error ror 7 el problema de comparacin no se resuel5e con +xito. n e%e e%ect cto o de inte intera racc cci in n entre dos %actores *ace re%erencia a que el e%ecto de cada %actor depende del ni5el en que se encuentra el otro.

2.2. 2.2. El model modelo o de efectos efectos fijo fijoss 8l model odelo o de efectos efectos fijos (es cuando se estudian estudian todos los posibles tratamientos) tratamientos) de análisis de la 5arianza se aplica a situaciones en las que el experimentador *a sometido al #rupo #rupo o materia materiall analiza analizado do a 5arios 5arios %actores %actores cada uno de los cuales le a%ecta a%ecta slo slo a la media permaneciendo la ;5ariable respuesta; con una distribucin normal. 8ste modelo se supone cuando el in5esti#ador se interesa &nicamente por los ni5eles del %actor %actor presen presentes tes en el experim experiment ento o por lo que cualqu cualquier ier 5ariaci 5ariacin n obser5 obser5ada ada en las las  puntuaciones se deberá al error experimental. Donde es el parámetro de escala com&n com&n a todos los tratamientos llamado media #lobal  es un parámetro parámetro que mide mide el e%ecto del tratamiento tratamiento 7 es el error atribuible atribuible a la medicin . 8ste modelo modelo implica que en el diseño completamente al azar actuar'an a lo lo más dos %uentes de 5ariabilidad: Los tratamientos 7 el error aleatorio. La media #lobal de la 5ariable de respuesta no se considera considera una %uente de 5ariabilidad 5ariabilidad por ser una constante constante com&n a todos los tratamientos que *ace las 5eces de punto de re%erencia con respecto al cual se comparan las respuestas medias de los tratamientos. 9i la respu respuest estaa medi mediaa de un trat tratam amien iento to parti particu cular lar es !

Método dentro 8l m+todo dentro de estimacin de la 5arianza produce una estimacin 5álida sin importar si la *iptesis nula de las medias poblacionales i#uales es cierta. 8sto se debe a que la 5ariabilidad de los 5alores de la muestra se determina comparando cada elemento

en los datos con la media muestral. Cada 5alor de la muestra obtenido de la poblacin A se compara con la media muestral A cada elemento obtenido de la poblacin  se compara con la media muestral  7 as' sucesi5amente. La ecuacin para calcular la estimacin de la 5arianza con el m+todo dentro es:

= donde:

(2")

•  8stimacin de la 5arianza muestral con el m+todo entr e. •  i6+simo elemento de los datos de #rupo =. •  media del #rupo = • C  n&mero de #rupos • n  n&mero de elementos de la muestra en cada #rupo.

8l n&mero adecuado de #rados de libertad para el m+todo dentro se calcula como c(n61) si el n&mero de obser5aciones en cada #rupo es i#ual. Como a cada elemento del #rupo se le resta la media de ese #rupo slo (n61) elementos de cada #rupo pueden 5ariar. Además como se tienen c #rupos c se multiplica por (n61) para obtener los #rados de libertad para el m+todo dentro. $rados de libertad para #lE  C(n F 1)

Método entre 8l se#undo m+todo para estimar la 5arianza com&n de la poblacin produce una estimacin 5álida slo si la *iptesis nula es cierta. ara entender el m+todo entre recuerde el teorema del l'mite central. 8ste importante teorema en estad'stica establece que la distribucin de las medias muestrales tiende a una distribucin normal con%orme crece el tamaño de la muestra con una media µ 7 una des5iacin estándar δ√n. 9i el error estándar de la media es δ√n entonces la 5arianza de la distribucin es i#ual al 2

error estándar al cuadrado δ √n. 8sta 5arianza es una medida de las di%erencias entre todas las medias muestrales que puedan obtenerse de la distribucin 7 la media de la poblacin. La ra'z cuadrada de esta 5arianza es el error estándar de la media es decir la di%erencia estándar entre una media muestral 7 la media poblacional. 8n A-,A para estimar la 5arianza de la distribucin muestral de medias se debe estimar primero la media poblacional. La media de todos los 5alores muestrales proporciona esa estimacin. Despu+s se determina la di%erencia entre la media de cada #rupo 7 esta media poblacional estimada 7 estas di%erencias se ele5an al cuadrado 7 se suman. 8ste 5alor con %recuencia se llama la suma de cuadrados entre

 para obtener la estimacin de la 5arianza de la distribucin muestral. La ecuacin si#uiente da el cálculo de la estimacin de la 5arianza de la distribucin muestral de las medias:

= donde:

• • • • •

(2>)

 8stimacin del m+todo entre de la 5arianza poblacional com&n.  media del #rupo =.  media #lobal (media de todos los 5alores) usada como estimacin de µ. C  n&mero de #rupos n  n&mero de elementos de la muestra en cada #rupo si el n&mero de obser5aciones en cada uno es el mismo. $rados de libertad para #l b  (C F 1)

Tabla ANOVA Los resultados del análisis de 5arianza se presentan en una tabla A-,A que resume los 5alores importantes de la prueba. 8sta tabla tiene un %ormato estándar que usan los libros 7 los problemas de computadora que e=ecutan A-,A. La si#uiente tabla muestra la %orma #eneral de la tabla A-,A. 8n dic*a tabla se resumen los cálculos necesarios para la prueba de i#ualdad de las medias poblacionales usando análisis de 5arianza. rimero se usa el m+todo dentro para 2 estimar δ . Cada 5alor de los datos se compara con su propia media 7 la suma de las di%erencias al cuadrado se di5ide entre los #rados de libertad c(n61).

Fuente de variación

SC

GL

Estimación de

Grupos Entre

2

c-

! "#$

Grupos %entro &ota#

2

c(n-)

! "#$

Coeficiente F !

∑ ∑ ( 'i  ' )

donde:

• • • •

 -&mero de la columna i  -&mero de la %ila c  -&mero de columnas (#rupos) n  -&mero de elementos en cada #rupo (tamaño de la muestra)

La tabla A-,A contiene columnas con las %uentes de 5ariacin las sumas de cuadrados los #rados de libertad las estimaciones de la 5arianza 7 el 5alor F  para el  procedimiento de análisis de 5arianza.

Getomando el problema del e%ecto de cuatro m+todos de ensamble A  C 7 D sobre el tiempo de ensamble en minutos tenemos:

0+todo de A  C ?  1 1 @ B 1  1 ?  @ 1 @ 0edia ( i) 2> @> 12> 0edia #lobal :  B! C  " n  "

D

1  1 2

1>

"



H

H H

Comp#etando #a ta$#a *+*, .uedando de #a si"uiente manera Fuente de 2 ariación SC "# Estimación de δ Coeficiente F  ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Grupos entre /0,10 3 /0,!3 = 23,2 23,2!2,1 = Grupos 20,14 2 20,14!2 = 2,1 ----------------------------------------------------------- ----------------------------------------------&&* 04,0 

Como la *iptesis a probar es  H :  H 1:

µ1  µ2  µ!  µ" -o todas las poblaciones tienen la misma media

8l 5alor de / calculado por tabla cuando tenemos un ni5el de si#ni%icancia de > 7 ! #rados de libertad en el numerador 7 12 #rados de libertad en el denominador  es

/> (!12)  !"B

Como nuestro estad'stico de prueba / (B"2) excede el 5alor cr'tico tabulado (!"B) rec*azamos la *iptesis nula 7 aceptamos la alterna conclu7endo que s' *a7 di%erencia o e%ecto de los m+todos de ensamble en cuanto a su tiempo promedio.

A*ora 5eremos el procedimiento 7 notacin más com&nmente utilizado para la solucin de A-,A 3abla 2.! Diseño completamente al azar (DCA)

.

3ratamientos I I . . . . . .

I

Notación de puntos 9ir5e para presentar de manera abre5iada cantidades num+ricas que se pueden calcular a  partir de los datos experimentales donde representa la obser5acin en el tratamiento  con 7 . Las cantidades de inter+s son las si#uientes:

• • • •  -ote que el punto indica la suma sobre el correspondiente sub'ndice. As' al#unas relaciones 5álidas son:

(2.?)

donde

es el total de obser5aciones.

 ANOVA Como 7a lo mencionamos el ob=eti5o del análisis de 5arianza en el DCA es probar la *iptesis de i#ualdad de los tratamientos con respecto a la media de correspondiente 5ariable de respuesta. ara probar la *iptesis dada por la relacin:

mediante la t+cnica de A-,A lo primero es descomponer la 5ariabilidad total de los datos en sus dos componentes: la 5ariabilidad debida a tratamientos 7 la que corresponde al error aleatorio (equi5alente al m+todo entre 7 m+todo dentro) como se

es la suma total de cuadrados (

) dada por:

(2.)

donde

es la suma de los

datos en el experimento.

La suma de cuadrados de tratamientos (

) +sta

dado por:

(2.@)

donde apreciamos que la mide la 5ariacin o di%erencias entre tratamientos 7a que si +stos son mu7 di%erentes entre s' entonces la di%erencia tenderá a ser  #rande en 5alor absoluto 7 con ello tambi+n será #rande la La suma de cuadrados del error (

) +sta dado por:

(2.B)

donde la mide la 5ariacin dentro de tratamientos 7a que si *a7 muc*a 5ariacin entre las obser5aciones de cada tratamiento entonces tenderá a ser #rande en 5alor absoluto. 8n %orma abre5iada esta descomposicin de la suma total de cuadrados se puede describir como:

(2.1)

La suma de cuadrados di5ididos entre sus respecti5os #rados de libertad se llaman cuadrados medios . Los dos que más interesan son el cuadrado medio de tratamientos ( ) 7 el cuadrado medio del error (  que se denotan por:

(2.11)

(2.12)

Con base en este *ec*o se constru7e el estad'stico de prueba como si#ue: se sabe que

7

son independientes por lo que

7 son dos 5ariables son dos 5ariables aleatorias independientes con distribucin =i6cuadrada con 7 #rados de libertad respecti5amente. 8ntonces ba=o el supuesto de que la *iptesis es 5erdadera el estad'stico

(2.1!)

si#ue una distribucin con ( #rados de libertad en el numerador 7 ( ) #rados de libertad en el denominador. De la ecuacin (2.1!) se deduce que si es #rande se contradice la *iptesis de que no *a7 e%ecto de tratamientos en cambio si

es pequeño se con%irma la 5alidez de . As' para un ni5el de si#ni%icancia pre%i=ado se rec*aza si donde es el percentil ( ) x 1 de la distribucin . 3ambi+n se rec*aza si el 5alor6p  donde el 5alor6p es el área  ba=o la distribucin a la derec*a del estad'stico  es decir el ) 3oda la in%ormacin necesaria para calcular el estad'stico *asta lle#ar al 5alor6  p se escribe en la llamada tabla de análisis de varianza (A-,A) que se muestra en la tabla 2.". 8n esta tabla las abre5iaturas si#ni%ican lo si#uiente: %uente de 5ariabilidad (e%ecto) suma de cuadrados #rados de libertad cuadrado medio estad'stico de prueba 5alor6p  si#ni%icancia obser5ada 3abla 2." 3abla de A-,A para DCA 9C 3ratamient os

$L

C0

,alor6

)

8r 

ro

Análisis del e=emplo 1 (comparacin de cuatro tipos de m+todos de ensamble). La interro#ante que se plante en el problema de la comparacin entre los cuatro tipos de m+todos de ensamble %ue: Jexisten di%erencias entre el tiempo promedio de los di%erentes m+todos de ensambleK La respuesta a esta pre#unta es el resultado de contrastar las *iptesis:

C%lc!los man!ales Detalles de los cálculos para el A-,A en DCA para el tiempo de ensamble Métodos de ensamble Operaciones básicas & Observaciones A B C D6 '(ma de los c(adrados de todas las  !! observaciones o datos !" # $ !6 !% &  *otal por s(ma de los datos total de  *ratamiento + %$ ,- ! mediciones N(mero de datos /n cada tratamiento + - - Media m(estral por media .% #."  *ratamiento + )lobal !%.

1.6 9uma total de cuadrados o 5ariabilidad total de los datos:

= 1?2 6 2.6 9uma de cuadrados de tratamientos o 5ariabilidad debida a la di%erencia entre m+todos de ensamble:

!.6 9uma de cuadrados del error o 5ariabilidad dentro de m+todos de ensamble:

".6 Cuadrados medios de tratamientos 7 del error (e%ecto ponderado de cada %uente de 5ariacin):

>.6 8stad'stico de prueba:

Con toda esta in%ormacin se procede a llenar la tabla A-,A. 8l 5alor de la si#ni%icancia obser5ada o 5alor6p es el área ba=o la cur5a de la distribucin a la derec*a de  lo cual es di%'cil de calcular de %orma manual. 9in embar#o cuando esto no sea posible recordemos que otra %orma de rec*azar o no una *iptesis es comparar el estad'stico de prueba contra un n&mero cr'tico de tablas. 8n el caso de las tablas de la distribucin  en donde se lee que el 5alor cr'tico para es . Como:

entonces se rec*aza  con lo cual se conclu7e que s' *a7 di%erencias o e%ecto de los m+todos de ensamble en cuanto a su tiempo promedio 3abla A-,A  Fuente de variacione  s 3ratamient 8rror 3otal

S  C 

G  L

C   M 

?B 2B BB

! 1 1

2! 2

B"

Val  or críti !"B

Gesultados arro=ados en un paquete computacional (8xcel 7 0initab) para el e=emplo 1 de los tiempos de ensamble para los cuatro m+todos.

6

CA12*34O Diseño de e5perimentos de

ANOVA unidireccional: A; B; C; D Minitab Fuent Facto Error Total

G 3

1 1

S = 1,568

*+

1



4

5

4

C

4

/

4

SC 69,5 29,5 99,0

MC 23,17 2,46

!cua"# = 70,20$

Me"*a 7,250 8,500 12,75 10,50

/e'+#E't 0,957 1,291 2,363 1,291

P

0,00

!cua"#%a&u'ta"o( = 62,75$

)C' "e 95$ *n"*+*"uale' ara la -e"*a .a'a"o' en /e'+#E't# arua"a !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! %!!!!!!!!!!!!( %!!!!!!!!!!!!( %!!!!!!!!!!!!( %!!!!!!!!!!!!( !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 7,5 10,0 12,5 15,0

/e'+#E't# arua"a = 1,568

Diagrama de cajas simultáneos Los dia#ramas de ca=as es una *erramienta para describir el comportamiento e unos datos 7 es de suma utilidad para comparar procesos tratamientos 7 en #eneral para *acer análisis por estratos (lotes pro5eedores turnos). 8n el resultado arro=ado por  0initab se obser5a en la %i#ura (%i#ura 2.1) que el m+todo C parece di%erente al los m+todos A 7  en cuanto a sus medias la media del m+todo D tambi+n se 5e di%erente a la media del m+todo A. or otra parte se obser5a un poco más de 5ariabilidad en el m+todo C que en todos los demás. Lo que si#ue es 5eri%icar que lo que se obser5a en el dia#rama de ca=as implica di%erencias si#ni%icati5as entre los distintos tratamientos por 

6

CA12*34O Diseño de e5perimentos de

dia#ramas de ca=as son muestras.

8n #eneral cuando los dia#ramas no se traslapan es probable que los tratamientos correspondientes sean di%erentes entre s' 7 la probabilidad es ma7or en la medida que los dia#ramas están basados en más datos. Cuando se traslapan un poco  puede ser que *a7a o no di%erencias si#ni%icati5as 7 en cualquier caso es con5eniente utilizar una prueba estad'stica para determinar cuáles di%erencias son si#ni%icati5as. 8stas pruebas se 5erán en la si#uiente seccin.

Gráfca de caja de A; B; C; D

!7

!7"

!%7

!"7"      s      o       t      a       D

7

7" A

B

C

D

/i#ura 2.1 Dia#rama de ca=as para los m+todos de ensamble

An%lisis del ejemplo 2 (comparacin de cuatro tipos de cuero). La interro#ante que se

 plante en el problema de la comparacin entre los cuatro tipos de cuero %ue: Jexisten di%erencias entre el des#aste promedio de los di%erentes tipos de cueroK La respuesta a esta pre#unta es el resultado de contrastar las *iptesis:

8n el resultado arro=ado por 8xcel se muestra el análisis de 5arianza para este e=emplo. Como el 5alor6p   es menor que la si#ni%icancia pre%i=ada  se rec*aza 7 se acepta que al menos un par de tipos de cuero tiene un des#aste  promedio di%erente Análisis de varianza de (n actor en /5cel 8/'3M/N

Grupos

uenta

A B

6 6

!uma !.-" !%6,

"romedio

 

%.67666666 %!"7.

Varianza 6#7666666 .%7

AN94:':' D/ Origen de las

!uma de

/ntre )r(pos Dentro de los

"!$7-.#,,,

 *otal

%".67

$".7$.#,,,

Grados de

, % %

"romedio de los %,,$7#!$-!"%7#%.

# 

"robabilidad

%%7..,..6

Valor cr$tico ,7"$#,$!

ANOVA unidireccional: A; B; C; D Minitab Fuent Facto Error Total

G 3

2 2

S = 10,14

*+el 

6

5

6

C

6

/



6

SC 70 20 90

MC 2340 103

F

!cua"# = 77,34$

Me"*a 256, 210, 230, 221,17

P

0,0

!cua"#%a&u'ta"o( = 73,94$

)C' "e 95$ *n"*+*"uale' ara la -e"*a .a'a"o' en /e'+#E't# arua"a /e'+#E't# !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! %!!!!!!!!!( 8,29 7,26 %!!!!! 16,3 %!!!! 4,79

/e'+#E't# arua"a = 10,14

%!!!!!!!!!( !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 208 224 240 256